Název školy Integrovaná střední škola technická, Vysoké Mýto, Mládežnická 380

Číslo a název projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0374Inovace vzdělávacích metod EU - OP VK

Číslo a název klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Autor Ing. Pavel Novotný

Číslo materiálu VY_32_INOVACE_MAT_4S_NO_07_10

Název Hyperbola – určení základních parametrů

Druh učebního materiálu Prezentace

Předmět Matematika

Ročník 4

Tématický celek Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině

Anotace Převod obecné rovnice na středový tvar a následné určení středu, poloos, vrcholů, ohnisek a rovnice asymptot

Metodický pokyn Materiál slouží k výkladu nové látky a následnému procvičení na řešených příkladech (35 min)

Klíčová slova Hyperbola, střed, poloosa, vrcholy, ohniska, asymptoty, kvadratický trojčlen

Očekávaný výstup Žáci určí základní parametry hyperboly, která je zadaná obecnou rovnicí

Datum vytvoření 29.6.2012

HYPERBOLA

Převod obecné rovnice na středovou rovnici

- ke dvojčlenům se stejnou proměnnou přidáme vhodné číslo tak, aby vzniklý kvadratický trojčlen bylo možno přepsat pomocí vzorce (x ± a)2 , resp. (y ± b)2

- toto vhodné číslo lze vždy určit tak, že číslo u lineárního členu nejdřív podělíte 2 a následně umocníte na druhou

Např. -2x2 + 16x = -2(x2 – 8x -2(x2 – 8x + 16) -2(x – 4)2

- nesmíme měnit rovnici, tzn. když přidáme do rovnice nějaké číslo, musíme stejné číslo současně i odečíst

- pokud u x2 nebo y2 stojí jiné číslo než 1, je nutné toto číslo (včetně znaménka) nejprve z celého dvojčlenu vytknout

HYPERBOLA

Např. 6x2 – 5y2 – 24x – 10y – 11 = 0

6.(x2 – 4x + 4 – 4) – 5.(y2 + 2y + 1 – 1) – 11 = 0

HYPERBOLA

Např. 6x2 – 5y2 – 24x – 10y – 11 = 0

6.(x2 – 4x + 4 – 4) – 5.(y2 + 2y + 1 – 1) – 11 = 0

(x – 2)2 (y + 1)2

6.(x – 2)2 – 24 – 5.(y + 1)2 + 5 – 11 = 0

6.(x – 2)2 – 5.(y + 1)2 = 30 / : 30

HYPERBOLA

Příklad 1: Určete souřadnice středu, velikost hlavní a vedlejší poloosy a souřadnice vrcholů a ohnisek hyperboly 16x2 – 9y2 + 96x + 72y – 576 = 0

16.(x2 + 6x + 9 – 9) – 9.(y2 – 8y + 16 – 16) – 576 = 0

HYPERBOLA

Příklad 1: Určete souřadnice středu, velikost hlavní a vedlejší poloosy a souřadnice vrcholů a ohnisek hyperboly 16x2 – 9y2 + 96x + 72y – 576 = 0

16.(x2 + 6x + 9 – 9) – 9.(y2 – 8y + 16 – 16) – 576 = 0

(x + 9)2 (y – 4)2

16.(x + 9)2 – 144 – 9.(y – 4)2 + 144 – 576 = 0

16.(x + 9)2 – 9.(y – 4)2 = 576 / : 576

HYPERBOLA

Příklad 1: Určete souřadnice středu, velikost hlavní a vedlejší poloosy a souřadnice vrcholů a ohnisek hyperboly 16x2 – 9y2 + 96x + 72y – 576 = 0

S = [-9, 4], a = 6, b = 8

- hlavní osa je || s osou x

A = [-14, 4]

FS

BA

eaE

a

B = [-3, 4]

E = [-19, 4] F = [1, 4]

e

y

x

HYPERBOLA

Příklad 2: Určete souřadnice středu, velikost hlavní a vedlejší poloosy a rovnice asymptot hyperboly 4x2 – y2 + 40x – 2y + 107 = 0

4.(x2 + 10x + 25 – 25) – (y2 + 2y + 1 – 1) + 107 = 0

HYPERBOLA

Příklad 2: Určete souřadnice středu, velikost hlavní a vedlejší poloosy a rovnice asymptot hyperboly 4x2 – y2 + 40x – 2y + 107 = 0

4.(x2 + 10x + 25 – 25) – (y2 + 2y + 1 – 1) + 107 = 0

4.(x + 5)2 – 100 – (y + 1)2 + 1 + 107 = 0

4.(x + 5)2 – (y + 1)2 = – 8 / : (-8)

HYPERBOLA

Příklad 2: Určete souřadnice středu, velikost hlavní a vedlejší poloosy a rovnice asymptot hyperboly 2x2 – y2 + 20x – 2y + 57 = 0

- hlavní osa je || s osou yS = [-5, -1],

S

a

b

- asymptoty:

y + 1 = ± 2.(x + 5)

1) y + 1 = 2.(x + 5) y = 2x + 9

2) y + 1 = -2.(x + 5) y = -2x – 11

x

y