プログラミング言語I 第3回コンピュータ ... · プログラミング言語i 第3回コンピュータ・グラフィックス1 埼玉大学工学部電気電子システム工学科

プログラミング言語I 第3回

コンピュータ・グラフィックス1

埼玉大学工学部電気電子システム工学科

伊藤和人

Copyright © 2008 Kazuhito Ito

コンピュータ・グラフィックスとは

計算機(コンピュータ)を使って人工的に作り出す絵

実際には見られないものを可視化する

昔の建築物の再現、事故や事件の状況再現

半導体中の電流の密度

まだ存在しないものをリアルに提示する新製品のイメージ(模型の代わり)

アート

実世界とはほとんど無関係な形状、色彩

映画など


コンピュータ・グラフィックスの例

実際には見られないものを可視化する

昔の建築物の再現地下の構造物の様子



まだ存在しないものをリアルに提示する

新商品のモデル



アート系


コンピュータグラフィックスの手順

モデリング

計算機が処理可能なデータとして物体を表現

線、面などの集合として対象物を表す

幾何学処理

移動、回転、拡大/縮小

レンダリング

2次元画像化光(反射、透過、色、影)、テクスチャ(質感)


レンダリング手法

塗りつぶし

隠面消去

マッピング

シェーディング

レイトレーシング

ラジオシティ

レイトレーシングに注目


レイトレーシングとは

画面を画素に分割

視点から画素に向かう視線(Ray)を延長(追跡, trace)した先の色を画素の色とする

画面

画素

対象物

視点

視線


レイトレーシングの例

単一の球としてモデリング三角の集合としてモデリング

まず球の場合を考える

対象物の表し方(モデリング)の違い


レイトレーシングの基礎(1)

直線の方程式

tv vPP +=

P

vt

vP: 直線上の点(変数): 通過点(定点)

: 任意の実数(変数): 直線の方向ベクトル

P

vP v

太字はベクトル、細字は実数(スカラ)



視線(直線)の方程式

画面

画素視点

視線

tv vPP += vP として視点方向ベクトル

P

vPv

vS PPv −=

SP


レイトレーシング: 球の場合(1)

球の定義

球の方程式

( ) 22 RC =− PPPR

CP: 点(変数) : 球の中心

: 球の半径

CPP

R

ある1点(中心)から同じ距離(半径)にある点の集合

( ) 22CCCC PPPPPPPP −=−•−=−

BA• ベクトルの内積



視線と球面の交点を求める⇒視線の式を球の式に代入

( ) 22 RC =− PPtv vPP +=

( ) ( ) 02 2222 =−−+•−+ Rtt CvCv PPvPPv

P

vP

t に関する二次方程式

実数解が存在する　⇒視線が球と交わる

実数解が存在しない ⇒視線が球と交わらない

{



実数解が存在するか否か⇒判別式を調べる

実数解が存在する場合、解の公式を利用

( ) ( ) 02 2222 =−−+•−+ Rtt CvCv PPvPPv判別式

( )( ) ( )( )2222 RD CvCv −−−•−= PPvvPP

( )20 v

vPP Dt Cv −•−−=

0tv vPP +=交点の座標

なぜ‘+’は考えない?


C言語によるプログラム(1)

ベクトルの表現

各成分ごとに別々の変数を使用

要素数3の配列を使用

3次元ベクトル P=(Px, Py, Pz) はPx, Py, Pzの3つの実数値の集まり

double Px, Py, Pz;

⇒1個のベクトルのために常に3個の変数が必要

double P[3];P[0]がPx, P[1]がPy, P[2]がPzを担当

⇒1個のベクトルは1個の配列として扱える

扱いが面倒


配列とは

同じ型の複数の変数をまとめて扱う

例えば、「プログラミング言語I」受講生80名の成績

80人分の80個の変数、すべて整数型3次元ベクトルの3つの成分は、すべて実数

配列(array)C言語で同じ型の変数をまとめて扱う手段

1つ1つの変数は要素という


配列の宣言

型、名前、要素数を宣言する

変数の型として指定できるすべての型が可能

1つ1つの要素の型を指定すると考えればよい

上の例では、各要素はint型

型配列名[要素数];

int a[10];例要素数が10の整数(int)型配列a


要素の参照

配列の各要素を読み書きするには⇒配列名に添え字(インデックス)を与える

添え字の範囲は0～(要素数-1)まで

各要素の使い方は変数と全く同じ

a[5]例配列aの6番目の要素

i = a[5];

a[5] = j+1;

a[5]++;

例値の読み出し

値の代入

1だけ増加

int a[10]; a[0]～a[9]が使用可能


配列の効用

配列を使うと…

計算式は1つだけ書けばよいfor文などで繰り返し実行

int mid[100];int final[100];int score[100];int i;

:for( i=1 ; i<=80 ; i++ ){

score[i] = mid[i]*0.4+final[i]*0.6;}

:


配列の初期値

配列を宣言するときに初期値を指定可能

初期値指定が足りなければ0を補う

初期値指定がなければ初期化しない

int a[3]={0, 20, 300};a[0]は0, a[1]は20, a[2]は300が代入される

int a[3]={0, 20};a[0]は0, a[1]は20, a[2]は0が代入される

int a[3];a[0], a[1], a[2]の初期値は不定


浮動小数型

細かな数値、大きな数値を表す型

±1.175×10-38～±1.175×10+38

(32ビット、有効桁数7)float

double

long double

±2.225×10-308～±2.225×10+308

(64ビット、有効桁数15)

±1.084×10-4932～±1.084×10+4932

(80ビット、有効桁数19)

通常は double 型を利用コンパイラによっては long doubleはdoubleと同じ



視点、球の宣言と定義

double Pv[3] = {0.0, 0.0, 2000.0};double Pc[3] = {0.0, 0.0, -1000.0};double R = 200.0;

z

y

x

vP

O

画面

視点

(0,0,2000)

(0,0,-1000)

半径 R=200

CP中心

-200

-200

200

200


double v[3]; /* 視線方向ベクトル */int i, j;for( i = -200 ; i <= 199 ; i++ ){

for( j = -200 ; j <= 199 ; j++ ){v[0] = i+0.5-Pv[0];v[1] = j+0.5-Pv[1];v[2] = 0-Pv[2];…

}}


視線方向ベクトル

2 i=3 411

j=12

13

座標(3.5,12.5)

視線



2つのベクトルの内積を計算する関数定義

使い方

double InnerProduct( double a[3], double b[3] ){

return a[0]*b[0] + a[1]*b[1] + a[2]*b[2];}

視線ベクトルvと別のベクトルuの内積double r;r = InnerProduct( v, u );

関数を呼び出す前に関数の定義(宣言)が必要

関数呼び出し


double A, B2, C, D;double Pvc[3];int k;for( k=0 ; k<3 ; k++ ) Pvc[k] = Pv[k]-Pc[k];

A = InnerProduct( v, v );B2 = InnerProduct( Pvc, v );C = InnerProduct( Pvc, Pvc )-R*R;D = B2*B2-A*C ;


判別式の計算

( )( ) ( )( )2222 RD CvCv −−−•−= PPvvPP

2v( ) vPP •− Cv

( ) 22 RCv −− PP

CvvC PPP −=


C言語によるプログラム(4)判別式が非負ならば視線が球に当たる

double v[3]; /* 視線方向ベクトル */int i, j;for( k=0 ; k<3 ; k++ ) Pvc[k] = Pv[k]-Pc[k];for( i = -200 ; i <= 199 ; i++ ){

for( j = -200 ; j <= 199 ; j++ ){…D = B2*B2-A*C ;if( D >= 0 ){

/* 座標(i,j)に点を描く */}

}}



色を着けて点を描く

/* 座標(i,j)に点を描く */if( D >= 0 ){

DrawPoint( i, j, 255, 0, 0 );}else{

DrawPoint( i, j, 0, 0, 127 );}

関数DrawPoint( int i, int j, int R, int G, int B )座標色(3原色)

球に当たる

背景


条件分岐の構文: else節付if文“もし(if)…ならば…を実行、さもなければ…を実行”という形式の条件分岐を表すelse節をともなうif文の文法

if ( 式 ) 文1 else 文2意味: 式が真の場合に文1を実行、　　　　偽の場合に文2を実行

式

文1

True False

文2合流


実行結果

視線が球に当たれば単に赤い点を描いただけ⇒ 単に円になる(球は2次元に射影すると円)


光の考慮

対象物の色は、対象物自体の色と照明によって決まる

照明の種類直接光点光源、面光源、平行光など⇒面の傾き(法線)に依存して明るさが決まる間接光(環境光)⇒法線に関係なく(一定の)明るさが決まる反射の種類拡散反射(つや消し面など)鏡面反射(光沢のある面など)


反射: 拡散反射

反射光の強さが反射の方向に依らず一定

反射光強さ=反射面(点)の明るさ×反射率

n

Lvα

( ) DD KI ×αcos

αDI : 照明の強さ

: 照射角P

DK : 拡散反射率光入射

拡散反射光

反射面(点)

明るさ反射率法線

(入射光と法線の成す角)


反射: 拡散反射

反射光強さ

点光源の場合

n

Lvα

LL PPv −=

P

LP : 点光源の位置

( )( ) ( )nnvv

nvnv

nv••

•−=

•−=

LL

L

L

Lαcos

光入射拡散反射( ) DD KI ×αcos

αcosBABA =• αはベクトルの成す角

法線


レイトレーシングの基礎(3)球面上の点 P における法線ベクトル法線: 接面に垂直な直線

v

n⇒球の中心から点 P に向かう直線

CPPn −=

CP

P

n

具体的に視線と球の交点 P の座標を求めることが必要

視線


double A, B2, C, D;double P[3];int k;double t0;t0 = (-B2-sqrt(D))/A;for( k=0 ; k<3 ; k++ ) P[k] = Pv[k]+v[k]*t0;


視線と球の交点を求める

( )20 v

vPP Dt Cv −•−−=

0tv vPP +=代入


double PL[3] = {-20000, 20000, 20000};double P[3], N[3], vL[3];int k;double cosA;/* P は視線と球の交点 */for( k=0 ; k<3 ; k++ ) N[k] = P[k]-Pc[k];for( k=0 ; k<3 ; k++ ) vL[k] = P[k]-PL[k];cosA = -InnerProduct( vL, N );cosA /= sqrt( InnerProduct( vL, vL )*

InnerProduct( N, N ) );/* 座標(i,j)に明るさcosAで点を描く */


法線ベクトルおよび拡散反射強度を求める

光源座標

法線

光入射



cosA < 0 の場合

Lv

n

CP

P入射光と法線の成す角が90度を超える

点 P は球自身の影にある

黒色にする



色を着けて点を描く

if( D >= 0 ){/* 座標(i,j)に明るさcosAで点を描く */if( cosA >= 0 ){

DrawPoint( i, j, 255*cosA, 0, 0 );}else{

DrawPoint( i, j, 0, 0, 0 );}

}else{DrawPoint( i, j, 0, 0, 127 );

}

球に当たる

背景

球自身の影


実行結果

左上から照らされる球⇒ 拡散反射では、つや消し効果が得られる


反射: 鏡面反射

反射光の強さが反射の方向によって決まる

反射光強さ=反射面(点)の明るさ×反射率

n

LvαγSI : 照明の強さ

: 反射受光角

P

SK : 拡散反射率光入射

拡散反射光

反射面(点)

明るさ反射率法線

(反射光と視線の成す角)

( ) SN

S KI ×γcos

反射光Rvαv

視線 γ

N : 鏡面度(10～20)


反射: 鏡面反射

を求める⇒ まずを求める

n

Lvα

P

αv γRv

( )nnvvv αcos2 LLR =−+

( )nv

nv

L

L •−=αcos

( )L

LR vn

nnvv +

•−= 22

を代入

( )vv

vv

R

R •−=γcos

入射

反射

視線γcosRv

n

LvRv αα


double P[3], N[3], vL[3], vR[3];int k;double w, cosG;/* P は視線と球の交点 */w = -InnerProduct( vL, N )/InnerProduct( N, N );for( k=0 ; k<3 ; k++ ) vR[k] = 2*w*N[k]+vL[k];cosG = -InnerProduct(vR,v)/

sqrt(InnerProduct(vR, vR)*InnerProduct(v,v));if( cosG < 0 ) cosG = 0;cosG = pow(cosG,n);


鏡面反射強度を求める

( )2n

nv •− L

Rv

( )vv

vv

R

R •−=γcos

γncos


環境光

光源の位置、視線交点の法線の向きに依らずに与えられる一定の明るさ

拡散反射と同様に、視線方向によらず一定の反射率とみなす

EI : 環境光の強さ


照明のまとめ

拡散反射、鏡面反射、環境光のうち、最も明るいものを選び、点P の明るさとする

{ }EN

SSDD IIKIK ,cos,cosmax γα拡散反射鏡面反射環境光


色について

赤(R), 緑(G), 青(B)の各原色について明るさを評価する

環境光、拡散反射については対象物の色、鏡面反射については光源の色(通常は白)とすると「らしさ」が出る

{ }EEN

SSSDDD ICICKICK ,cos,cosmax γα

DC : 拡散反射の原色要素

SC : 鏡面反射の原色要素

EC : 環境光の原色要素


double Kd = 1.0, Ks = 0.7, Ie = 0.1, I = 255.0;double RGB[3] = {255, 0, 0}, color[3];if( D >= 0 ){

for( k=0 ; k<3 ; k++ ){color[k] = RGB[k]*Kd*cosA;if( color[k] < I*Ks*cosG ) color[k] = I*Ks*cosG;if( color[k] < RGB[k]*Ie ) color[k] = RGB[k]*Ie;

}DrawPoint( i, j, color[0], color[1], color[2] );

}else{DrawPoint( i, j, 0, 0, 127 );

}

C言語によるプログラム(10)拡散反射、鏡面反射、環境光を考慮

背景

鏡面反射は白色

拡散反射

環境光


実行結果

左上から照らされる部分 ⇒ 拡散反射および鏡面反射直接照らされない部分 ⇒ 環境光


球が複数個ある場合(1)

⇒ 視点に最も近い球を表示すればよい


球が複数個ある場合(2)視点に最も近い球を表示

視点

視線1

視線2

手前の球が遠くの球を隠す

遠くの球が見えている

視点と球の交点のうち、視点により近い交点を表示


球が複数個ある場合(3)

より近い交点を選ぶには

tv vPP +=vP

直線の式2Pv

1P

11 tv vPP +=22 tv vPP +=

P2 が P1 よりも視点 Pv に近ければ t2<t1

視線と交差する球について t を求め、最小の t を与える球を選ぶ

(t2 > 0, t1 > 0)


C言語によるプログラム(11)double Pc[2][3] = {{-50.0, 50.0, -1000.0},

{200.0, -200.0, -1700.0}};double R[2] = {200.0, 200.0};int s0 = -1;for( s=0 ; s<2 ; s++ ){

for( k=0 ; k<3 ; k++ ) Pvc[k] = Pv[k]-Pc[s][k];C = InnerProduct( Pvc, Pvc )-R[s]*R[s];D = B2*B2-A*C;if( D >= 0 ){

t = (-B2-sqrt(D))/A;if( s0 < 0 || t < t0 ){

s0 = s; t0 = t;}

}}

}

A,Bを計算(省略)

s=0, s=1番目の球について

視線が球と交わる

最小の tおよびその球の番号 s を記録

s0=0なら最初の球なので必ず記録、それ以外はtが小さければ記録


C言語の補足説明(1)

2次元配列: 添え字が2つある配列

2次元配列の初期化: 1次元の場合を拡張

double Pc[2][3]

Pc[0][0] Pc[0][1] Pc[0][2]Pc[1][0] Pc[1][1] Pc[1][2]

要素数6(=2×3)、double型

6個の要素

double Pc[2][3] = {{-50.0, 50.0, -1000.0}, {200.0, -200.0, -1700.0}};

Pc[0][0]=-50.0 Pc[0][1]=50.0 Pc[0][2]=-1000.0 Pc[1][0]=200.0 Pc[1][1]=-200.0 Pc[1][2]=-1700.0


C言語の補足説明(2)

if文における複雑な条件

最初はs0=-1なので必ず条件は真⇒ s0にs, t0にtを代入　　(ここでs0は0以上)以降はt<t0ならば、s0にs, t0にtを代入

if( s0 < 0 || t < t0 ){s0 = s; t0 = t;

}

s0 < 0 || t < t0 s0<0 または t<t0ならば真

例:

最小のtをt0に、そのときのsをs0記録

条件:



double RGB[2][3] = {{255, 0, 0}, {0, 255, 0} };if( s0 >= 0 ){ /* 座標(i,j)に点を描く*/

for( k=0 ; k<3 ; k++ ) P[k] = Pv[k]+v[k]*t0;for( k=0 ; k<3 ; k++ ) N[k] = P[k]-Pc[s0][k];for( k=0 ; k<3 ; k++ ) vL[k] = P[k]-PL[k];…for( k=0 ; k<3 ; k++ ){

color[k] = RGB[s0][k]*Kd*cosA;if( color[k] < I*Ks*cosG ) color[k] = I*Ks*cosG;if( color[k] < RGB[s0][k]*Ie ) color[k] = RGB[s0][k]*Ie;

}DrawPoint( i, j, color[0], color[1], color[2] );

}else{ /* いずれの球にも当たらない=> 背景色*/DrawPoint( i, j, 0, 0, 127 );

}

cosA, cosGを計算(省略)

球の色

交点

法線

入射光


実行結果

球による影は？


影の考慮

交点から光源へ向かう直線を想定

視点交点から光源に到達しない⇒ 交点は影にある

視線と球の交点

光源レイ・トレーシングの本来の語源


交点から光源へ向かう直線

直線の式

vP

P

v 'P

tv vPP +=

'' 1tvPP +=

PPv −= L1

LP

視点

光源

視線

入射光

交点

交点

'' 1tvPP +=直線が球と

交わるか調べる

⇒ 交わるならば交点は影にある


C言語によるプログラム(13)if( s0 >= 0 ){ /* 座標(i,j)に点を描く*/for( k=0 ; k<3 ; k++ ) P[k] = Pv[k]+v[k]*t0;…for( s=0 ; s<2 ; s++ ){

if( s == s0 ) continue; /* P[k]がある球自身は除外する*/for( k=0 ; k<3 ; k++ ) v1[k] = PL[k]-P[k];for( k=0 ; k<3 ; k++ ) Pvc1[k] = P[k]-Pc[s][k];A = InnerProduct( v1, v1 );B2 = InnerProduct( Pvc1, v1 );C = InnerProduct( Pvc1, Pvc1 )-R[s]*R[s];D = B2*B2-A*C ;if( D >= 0 && (-B2-sqrt(D))/A > 0 ) break;

}if( s<2 ){ /* 交点Pから光源が見えない*/

cosA = cosG = 0.0;}else{ /* 交点Pから光源が見える*/

}

交点

'' 1tvPP +=が光源側の球と交わる

直線

cosA, cosGを計算


繰り返しの制御: continue文繰り返し中で、continueから後ろをスキップ

for(m=0 ; m<10 ; m++ ){処理1if( 条件 ) continue;処理2

}

例:

m=0

処理1

m++

m<10True

False

意味: ・まず処理1を実行・条件が成り立たなければ処理2を実行、mを1増やす・条件が成り立てば処理2を実行せずに、mを1増やす

処理2

True

False条件


繰り返しの制御: break文繰り返しを中断

for(m=0 ; m<10 ; m++ ){処理1if( 条件 ) break;処理2

}

例:m=0

処理1

m++

m<10True

False

意味: ・まず処理1を実行・条件が成り立たなければ処理2を実行、mを1増やす・条件が成り立てば処理2を実行せずに、for文を終了する

処理2

True

False条件


実行結果

影を考慮影なし


まとめ

レイトレーシングを考察

モデリングを正しく行えば、原理は単純

レイトレーシングの原理をC言語でプログラム化する

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