i Bimestre Geometría 1ro Secundaria

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA

ÍNDICE

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA 2008 - TRILCE

Departamento de Publ icac ionesLima - Perú

TRCO1SLIGM1B-08.pmd

Pág.

Cap. 1 Introducción: Elementos geométricos .............................................................................. 5

Cap. 2 Posiciones relativas entre rectas ...................................................................................... 9

Cap. 3 Distancias entre puntos y rectas ...................................................................................... 15

Cap. 4 Repaso I ........................................................................................................................ 21

Cap. 5 Segmentos de recta ........................................................................................................ 25

Cap. 6 Ángulos ......................................................................................................................... 31

Cap. 7 Plano cartesiano ............................................................................................................. 39

Cap. 8 Repaso II ....................................................................................................................... 45

Cap. 9 Simetría con respecto a una recta .................................................................................... 49

Cap. 10 Simetría en el plano cartesiano ........................................................................................ 57

Cap. 11 Construcciones de triángulos I ......................................................................................... 65

Cap. 12 Repaso III ...................................................................................................................... 71

Cap. 13 Construcciones de triángulos II........................................................................................ 75

Cap. 14 Suma de ángulos internos de un triángulo ........................................................................ 81

Cap. 15 Construcciones de triángulos III ...................................................................................... 87

Cap. 16 Repaso IV ...................................................................................................................... 93

1er año de secundaria

Pág.

Cap. 17 Líneas notables en el triángulo I ...................................................................................... 97

Cap. 18 Líneas notables en el triángulo II ..................................................................................... 103

Cap. 19 Ubicación del incentro en el triángulo ............................................................................... 109

Cap. 20 Repaso V ....................................................................................................................... 115

Cap. 21 Ubicación del circuncentro en el triángulo ......................................................................... 119

Cap. 22 Ubicación del baricentro en el triángulo ............................................................................ 125

Cap. 23 Ubicación del ortocentro en el triángulo ........................................................................... 131

Cap. 24 Repaso VI ...................................................................................................................... 137

Cap. 25 Operaciones con segmentos ............................................................................................ 141

Cap. 26 Operaciones con ángulos ................................................................................................ 147

Cap. 27 Operaciones con ángulos entre paralelas .......................................................................... 155

Cap. 28 Repaso VII ..................................................................................................................... 163

Cap. 29 Operaciones en el triángulo ............................................................................................. 167

Cap. 30 Operaciones en el triángulo con líneas notables ................................................................ 175

Cap. 31 Repaso VIII .................................................................................................................... 183

5Organización Educativa TRILCE

COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO

A. PUNTOEs la idea geométrica más pequeña. Se le representa con una letra mayúscula.

AB C

D

B. RECTAEs la idea geométrica formada por infinitos puntos sucesivos que se encuentran en una misma dirección. Se lerepresenta con una letra minúscula.

ab

Recta a: a Recta b: b

C. PLANOEs la idea geométrica que puede contener completamente puntos y rectas. Se le representa con una letra mayúscula.

Plano P

D

ACB

a

b

Superficieplana

Reconocer los elementos geométricos adecuadamente apartir de objetos y construcciones reales.

Introducción:Elementos Geométricos1

OBJETIVO

6

Introducción: Elementos geométricos

Primer Año de Secundaria

OBSERVACIONES:

1. Grafica un punto “E” y tres rectas que contengan a dicho punto.

2. Grafica un punto “M” y cinco rectas que pasen por dicho punto.

3. Grafica dos puntos “C” y “D” y la recta o las rectas que pasen por dichos puntos a la vez.

4. Graficar la recta “a” horizontal y los puntos “A”, “B” y “C” contenidos en ella.

ii) Recta vertical iii)Recta oblicuai) Recta horizontal

Test de Aprendizaje



1. Graficar la recta vertical “m” y los puntos “D”, “E” y “F”contenidos en ella.

2. Graficar la recta “n” y los puntos “A” y “B” exterior aella.

3. Graficar un plano “R” y una recta “a” contenida en él.

5. Graficar la recta “c” horizontal y los puntos “M”, “N” y “K” exterior a ella.

4. Graficar un plano “Q” y los puntos “A”, “D” y “F”contenidos en dicho plano.

5. Graficar un plano “T”; luego la recta “ l ” y los puntos“M” y “N” contenidos en dicho plano.

Practiquemos

8

Introducción: Elementos geométricos


1. Graficar un punto “A” y cuatro rectas que pasen por dicho punto.

2. Graficar un punto “M” y ocho rectas que pasen por dicho punto.

3. Graficar los puntos “P” y “Q”; además la recta o rectas que pasen por ambos puntos a la vez.

4. Graficar la recta vertical “ l ” y los puntos “M”; “N” y “Q” contenidos en ella.

5. Graficar la recta horizontal “a” y los puntos “E”; “F” y “H” contenidos en ella.

6. Graficar la recta “m” y los puntos “P”; “Q” y “R” exteriores a dicha recta.

7. Graficar la recta horizontal “b” y los puntos “M”; “N”; “P” y “Q” exteriores a dicha recta.

8. Graficar un plano “P” y a los puntos “A”; “B” y “C” contenidos en ella.

9. Graficar un plano “Q” y a una recta “a” contenida en ella.

10.Graficar un plano “R” y a la recta “ l ” contenida en ella. Luego a los puntos “M” y “N” que pertenecen a l .

1. Graficar un plano “Q” y tres puntos no colineales “A”, “B”, “C”. Luego unir “A” con “B”, “B” con “C” y “C” con “A”. ¿Quéfigura resulta?

2. Del problema anterior, graficar una recta L

//AC, tal que las distancias de los puntos “A” y “B” son respectivamente3. y 8.cm. ¿Cuál será la distancia del vértice “C” a la recta L

?

3. Graficar un plano “P” y cuatro puntos no colineales “A”, “B”, “C” y “D”, de tal manera que las rectas que pasen porAB y CD, sean paralelas entre sí. Además las rectas que pasen por BC y AD también sean paralelas.

4. Del problema anterior, si unimos AC y BD tal que se corten en el punto “P”, ¿qué puedes afirmar de los segmentosAP y PC?

5. Del problema 3, ¿qué podemos afirmar de los segmentos BP y PD?

Tarea domiciliaria

Autoevaluaciòn



A. Rectas paralelasDos o más rectas son paralelas si no tienen ni un punto en común.

a

b

l12l3l4l

B. Rectas secantesDos rectas son secantes si tienen un punto en común, llamado punto de intersección o punto de corte.

Pm

m y n son secantes

n

a es paralela a b ( a // b ).

Graficar y relacionar rectas paralelas y secantes en el plano,reconociendo los puntos de corte.

1m P

n

a

b

2

3

llll

4

Posiciones Relativasentre Rectas2

OBJETIVO

10

Posiciones relativas entre rectas


OBSERVACIONES:

i) Rectas perpendiculares .- Son dos rectas que forman90°.

a

b

a y b son perpendiculares ( a b )

ii) Rectas concurrentes .- Son tres o más rectas quese intersectan en un mismo punto.

A

En el gráfico se muestra cuatro rectas concurrentes

iii) Número de puntos de corte:

Tres rectas y tres puntos de corte

Cuatro rectas y seis puntos de corte

1. Graficar dos rectas paralelas y una recta secante a ambas. Contar los puntos de corte.

2. Graficar tres rectas paralelas y una recta secante. Contar los puntos de corte.

Test de Aprendizaje



1. Graficar tres rectas paralelas y dos rectas secantes.Contar los puntos de corte.

3. Graficar cuatro rectas secantes y contar los puntos de corte.

4. Graficar cinco rectas paralelas y una recta secante. Contar los puntos de corte.

5. Graficar dos rectas secantes y dos rectas paralelas. Contar los puntos de corte.

2. Graficar tres rectas concurrentes y una secante a ellas.Contar los puntos de corte.

Practiquemos

12

Posiciones relativas entre rectas


3. Graficar una recta perpendicular “l ” a la recta “f”.

f

4. Graficar las rectas “a” y “b” perpendiculares a la recta“n”.

n

5. Graficar cuatro rectas concurrentes y una recta secantea dichas rectas, contar los puntos de corte.

1. Graficar tres rectas paralelas y dos rectas secantes. Señalar el número máximo de puntos de corte.

2. Graficar cuatro rectas paralelas 1 L

, 2 L

, 3 L

y 4 L

, tal que la distancia de recta en recta sea de 2 cm, luegotrazar la distancia AB (“A” en 1 L

y “B” en 4 L

); en las rectas 1 L

y 4 L

. ¿Cuánto medirá dicha distancia?

3. Del problema anterior, tomar un punto “C” que pertenece a 4 L

, tal que la distancia de “C” a “B” sea de 8 cm.

4. Del problema 2, si unimos “A” con “C”, ¿cuánto medirá dicha medida?

5. Del problema 2, calcular la distancia de “B” a la recta que pasa por los puntos “A” y “C”.

Autoevaluaciòn



1. Graficar tres rectas concurrentes y dos rectas secantes.Hallar el número de puntos de corte.

2. Graficar dos rectas paralelas y dos rectas secantes.Señalar el número máximo de puntos de corte.

3. Graficar cuatro rectas paralelas verticales y ademásuna recta secante.

4. Graficar tres rectas paralelas horizontales y ademásdos rectas paralelas verticales que intersectan a lasrectas anteriores.

5. Graficar seis rectas concurrentes y una recta secante aellas.

6. Graficar cinco rectas secantes no concurrentes.

7. Trazar las rectas l1 y l2 perpendiculares a la recta “a”.

a

8. Trazar las rectas “a”, “b” y “c” perpendiculares a l .

l

9. Graficar dos rectas secantes: una vertical y la otrahorizontal.

10.Graficar seis rectas paralelas verticales. Además dosrectas oblicuas, secantes a las anteriores.

Tarea domiciliaria



A. Distancia entre dos puntosLa distancia entre dos puntos es la medida del segmento de recta que une a dichos puntos.

B. Distancia entre un punto y una rectaEstá representado por un segmento perpendicular trazado desde el punto hacia la recta.

A

B01

23

4

La distancia entre “A” y “B” mide 4 cm La distancia entre “P” y “Q” mide 5 cm

01

23

45

P

Q

La distancia entre “A” y m mide 1,5 cm La distancia entre “B” y n mide 3 cm

A

m

1,5 cm

B

n

3 cm

C. Distancia entre dos rectas paralelasEstá representado por el segmento perpendicular a ambas rectas.

a

b1 cm

m n

3 cm

Representar y medir distancias entre puntos y rectasutilizando una regla de medición.

La distancia entre a y b mide 1 cm La distancia entre m y n mide 3 cm

Distancias entrePuntos y Rectas3

OBJETIVO

16

Distancias entre puntos y rectas


1. Graficar la distancia entre “A” y “B” y medirlo.

A B

2. Graficar la distancia entre “P” y l y medirlo..

lP

3. Graficar la distancia entre “a” y “b” y medirlo.

a

b

A

B

l

Figura: Puente de San Francisco (EE.UU.)

Test de Aprendizaje



1. Graficar una línea recta horizontal y dos puntos “B” y“E” contenidos en ella que disten 8 cm.

4. Graficar la distancia entre l1 l2; l3; l4y y dar sus medidas

l1

l2l3

l4

5. Graficar la distancia de “B” a l1 l2y . Dar sus medidas.

l1 B l2

2. Graficar una recta vertical y dos puntos “M” y “N”contenidos en ella que disten 6 cm.

Practiquemos

18



3. Graficar un punto “A” y una recta “l ” horizontal quedisten 7 cm.

4. Graficar un punto “B” y una recta “m” vertical que disten10 cm.

5. Graficar tres rectas horizontales “a”; “b” y “c” que disten3 cm en forma consecutiva.



1. Graficar las distancias mínimas de “Q” a las rectas 1 L

, 2 L

, 3 L

y 4 L

.

L1

Q

L2

L3L4

2. Graficar cinco rectas horizontales a

, b

, c

, d

y e

que disten 0,5; 1; 1,5 y 2 cm entre ellas respectivamentey dos rectas secantes a ellas. Calcular el máximo número de puntos de corte.

3. Graficar cinco rectas oblicuas paralelas y tres rectas secantes a ellas. Calcular el máximo número de puntos decorte.

4. Trazar las distancias mínimas de “Q” a PR, de “P” a QR y de “R” a PQ. Luego medirlos.

Q

RP

5. Graficar una recta L

vertical y los puntos “A” y “B” tal que la distancia de “A” y “B” a las rectas son de 3 y 6 cmrespectivamente. Si la distancia de las perpendiculares perteneciente a la recta L es de 4 cm, calcular la distancia“AB”.

Autoevaluaciòn

20



1. Trazar la distancia entre “P” y “Q”; “Q” y “R” y “P” y“R”. Luego medirlos.

Q•

P • • R

2. Trazar la distancia entre “A” y m, luego calcular estamedida.

m

A

3. Ubicar un punto “P” a una distancia de 2 cm de “ l ”.

l

4. Ubicar los puntos “A” y “B” a una distancia de 3 cmde n.

n

5. Graficar dos rectas paralelas y horizontales que disten1,5 cm.

6. Ubicar los puntos “A” y “C” que pertenezcan a “ l ” ydisten 5 cm.

l

7. Graficar las distancias de “A” a las rectas a y b. Luegomedirlas.

a

b

A

8. Trazar las distancias de los puntos mostrados a la recta“ l ”. Dar las medidas.

A

B

C

l

9. Graficar las distancias entre 1 2 3 4; ; y l l l l . Luego

medirlas.

l1 l3l2 l4

10.Graficar las distancias de “P” a las rectas “l1”; “l2” y“l3”.

l1

l2

P

l3

Tarea domiciliaria



1. Graficar la recta “a” horizontal y una recta “b”perpendicular a ella.

2. Graficar la recta “m” vertical y una recta “n”perpendicular a ella.

3. Graficar ocho rectas paralelas y una recta secante aellas. Contar los puntos de corte.

Para este repaso mensual, debemos ser capaces de graficar, relacionary medir, situaciones geométricas en dimensiones menores

4. Graficar cinco rectas secantes que no sean concurrentesy contar los puntos de corte.

5. Graficar cinco rectas concurrentes y una recta secantea ellas. Contar los puntos de corte.

Repaso I4

Practiquemos

O B J ETIV O

22

Repaso I


6. Graficar seis rectas paralelas y dos rectas secantes.Contar los puntos de corte.

7. Graficar una recta oblicua y dos puntos “A” y “B”contenidos en ella que disten 5,5 cm.

8. Graficar el punto “P” y la recta “a” vertical que disten3,5.cm.

9. Graficar las rectas “m” y “n” oblicuas y paralelas quedisten 4 cm.

10.Graficar una recta horizontal y los puntos “P”, “Q” y “R”respectivamente contenidos en ella, tal que “P” y “Q”disten 6 cm y “Q” y “R” disten 7 cm.



1. Graficar una recta oblicua L

y los puntos “A”, “B”, “C” y “D” contenidos en ella. Si: m AB .=.2.cm, mBC .=.3.cmy la m CD .=.1.cm, calcular m AD .

2. En la figura, graficar las distancias mínimas de “A”, “B”, “C”, “D” y “E” a la recta L

.

D

L

EC

AB

3. Del problema anterior, si unimos todos los segmentos de recta posible entre los puntos “A”, “B”, “C”, “D” y “E”,¿cuántos puntos de corte hay?

4. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cuatro rectas secantes.

5. Graficar una recta L

oblicua, un punto “B” que pertenece a L

y un punto “A” tal que la distancia entre “A” y larecta L

sea de 3 cm y la distancia entre los puntos “A” y “B” de 5 cm. Calcular la distancia del pie de la perpendicular

que pertenece a L

y “B”..

1. Graficar siete rectas concurrentes

2. G r a f i c a r u n p u n t o “ P ” y u n a r e c t a v e r t i c a l “ l ” que disten 3 cm.

3. Graficar un punto “A” y una recta horizontal “a” que disten 4 cm.

4. Graficar seis rectas horizontales y dos rectas secantes.

5. Ubicar un punto “A” que pertenece a 2

l y que diste 2 cm de 1

l .

l2

l1

Tarea domiciliaria

Autoevaluaciòn

24

Repaso I


6. Graficar las distancias de “E” a las rectas “m” y “n”, luego medirlas.

E

mn

7. Graficar una recta horizontal y ubicar los puntos “A” y “B” que pertenezcan a la recta y además disten 8 cm.

8. Graficar ocho rectas concurrentes.

9. Graficar cinco rectas secantes y no concurrentes.

10.Ubicar un punto que diste de a 3 cm y de b 2 cm.

a

b



A. Definición

El segmento de una recta es la porción de recta que tiene como extremos a dos puntos. La medida del segmentoes la distancia entre sus extremos.

A B

4 cm

Segmento AB: AB

Medida del segmento AB: m AB = 4 cm

B. Punto medio de un segmento de recta

Es el punto que pertenece al segmento de recta y lo divide en dos medidas iguales.

A B

2,5 cm

M

2,5 cm

“M” es punto medio de AB

1. Graficar una recta horizontal y los segmentos AB y BC contenidos en ella consecutivamente que midan 6 cm y8.cm respectivamente.

2. Graficar los segmentos consecutivos PQ y QR que midan 5 cm y 9 cm.

- Representar en diferentes posiciones a un segmento de recta .- Medir y ubicar a su punto medio utilizando regla de medición y compás.

Segmentosde Recta5

Test de Aprendizaje

O B J E T I V O

26

Segmentos de recta


Ubicación del punto medio de un segmento de recta con el uso del compás

Paso 1: Se toma el compás y se traza desde los extremos con una misma abertura, obteniéndose dos puntos decorte como en la figura II ó III.

Fig. I.

AB

Fig. II.

A B

3. Graficar un segmento DE que mide 12 cm y ubicar su punto medio “M”..

4. Graficar el segmento AB de 8 cm y ubicar su punto medio “N”..

5. Graficar a los puntos “M”; “N” y “R” contenidos en una recta de tal manera que: mMN = 7 cm y mNR = 6 cm.

Luego ubicar el punto medio “A” de MR .


ELEMENTOS DE GEOMETRÍAFig. III

A B

Paso 2: Se marcan los puntos de corte y se unen. Luego la intersección entre el segmento inicial y la línea de uniónde los puntos de corte será el punto medio buscado.

Fig. IV Fig. V

A BM A BM

“M” es el punto medio de AB

28

Segmentos de recta


1. Ubicar el punto medio de un segmento de recta que mida 14 cm haciendo uso del compás.

2. Ubicar el punto medio de un segmento de recta que mida 9 cm haciendo uso del compás.

3. Graficar el segmento de recta AB en posición vertical que mide 12 cm, luego ubicar su punto medio usando elcompás.

Test de Aprendizaje



4. Graficar un segmento PQ en forma oblicua de 11 cm, y ubicar su punto medio haciendo uso del compás.

5. Graficar un segmento cualquiera sin medirlo y ubicar su punto medio haciendo uso del compás.

1. Graficar una recta oblicua “L” y los segmentos consecutivos AB y BC contenidos en “L”, de tal manera que:AB.=.4.cm y BC.=.5 cm, luego ubicar el punto medio de AB y BC usando el compás. Calcular la distancia entredichos puntos medios.

2. Graficar los segmentos consecutivos AB y BC de tal manera que AC = 7 cm, luego ubicar con el uso del compáslos puntos medios “M” y “N” de AB y BC respectivamente. Calcular la medida de MN.

3. Graficar los segmentos consecutivos AB , BC y CD de tal manera que BC = 2 cm y AD = 10 cm, luego ubicar conel uso del compás, los puntos medios “R” y “S” de AB y CD respectivamente. Calcular la medida de RS.

4. Graficar los segmentos consecutivos PQ y QR de 3 y 4 cm. Luego ubicar con el uso del compás el punto mediode PR y calcular la distancia de dicho punto medio a “Q”.

5. Graficar los segmentos consecutivos PQ , QR , RS y ST que midan 1, 2, 3 y 4 cm respectivamente. Haciendo usodel compás, ubicar el punto medio “M” de PT y calcular la distancia de “M” a “S”.

Autoevaluaciòn

30

Segmentos de recta


1. En la recta “ l ”, graficar el segmento AB de 5,5 cm de longitud.

l

2. Graficar los segmentos consecutivos AB y BC que están contenidos en “ l ”, de tal manera que: AB = 3,5 cm yBC = 4,5 cm.

l

3. Graficar un segmento PQ de 6 cm de longitud y luego ubicar su punto medio “M”..

4. En la recta “ l ”, graficar los segmentos AB ,BC y CD que midan 2 cm; 3,5 cm y 2,5 cm respectivamente.

l

5. Graficar un segmento MA de 10 cm y ubicar su punto medio “P”..

6. Graficar un segmento AC de 6,5 cm y luego ubicar su punto medio “M” usando el compás.

7. Graficar un segmento de 7,5 cm y ubicar su punto medio con el uso del compás.

8. Graficar un segmento de 8,5 cm y ubicar su punto medio con el uso del compás.

9. Graficar un segmento de 9 cm y ubicar su punto medio con el uso del compás.

10.Graficar un segmento de 9,5 cm y ubicar su punto medio con el uso del compás.

Tarea domiciliaria



1. Ángulo agudoSu medida varía entre 0° y 90°.

O

A

B

2. Ángulo rectoMide exactamente 90°.

O

A

B

3. Ángulo obtusoSu medida varía entre 90° y 180°

O

A

B

4. Ángulo llanoMide 180° y se representa por una recta.

OA B

180°

Elementos de un ángulo

LADOS

MEDIDA

VÉRTICE

50°

Graficar y clasificar a un ángulo de acuerdo a su medida usando el trans-portador. Utilizar el compás para el trazo de la bisectriz de un ángulo.

Ángulos6O B J E T I V O

32

Á n g u l o s


EL TRANSPORTADOR

El transportador sirve para medir las aberturas entre los lados de un ángulo.

90°

180° 0° 0°

180°

¿Cómo se mide un ángulo?

Dado el cuadrilátero mostrado:

140°

70°

180°0°

90°

180° 0° 0°

90°

0°

180°



1. Medir los siguientes ángulos y clasificarlos:

............................................. ..............................................

...........................................................

2. Graficar un ángulo de 60° y clasificarlo.

3. Graficar un ángulo que mide 130° y clasificarlo.

Test de Aprendizaje

34

Á n g u l o s


BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

Es la línea que divide a un ángulo en dos nuevos ángulos de medidas iguales.

A

BO

30°30°

Bisectriz del ángulo AOBque mide 60°

Q

PO

70°70°

Bisectriz delángulo POQ

que mide 140°





25° 25°

Bisectriz del ánguloque mide 50°

Trazar la bisectriz de un ángulo haciendo uso del compás

Paso 1: Con una abertura arbitraria y a partir del vértice del ángulo, se traza con el compás y se marcan los puntosde corte.

Vértice

Paso 2: Luego, a partir de los puntos marcados y con la misma o con otra abertura trazar con el compás y marcar elpunto de corte.

VérticeW

36

Á n g u l o s


1. Graficar un ángulo de 100° y trazar su bisectriz con el uso del compás. Luego comprobarlo con el transportador.

2. Graficar un ángulo de 120° y trazar su bisectriz con el uso del compás. Luego comprobarlo con el transportador.

Paso 3: Finalmente al unir el vértice y el punto de corte “W”, se obtiene la bisectriz del ángulo inicial.

Vértice W

Bisectriz del ángulo

Test de Aprendizaje


ELEMENTOS DE GEOMETRÍA3. Graficar un ángulo de 90° y trazar su bisectriz con el uso del compás. Luego comprobarlo con el transportador.

4. Graficar un ángulo agudo cualquiera y trazar su bisectriz con el uso del compás.

5. Graficar un ángulo obtuso cualquiera y trazar su bisectriz con el uso del compás.

38

Á n g u l o s







6. Graficar un ángulo de 40° y trazar su bisectriz usandoel compás.

1. En el siguiente gráfico, ¿cuántos ángulos agudos hay?

50º20º

10º

2. Graficar un ángulo de 170º y trazar su bisectriz con el compás, y luego traza las bisectrices de los ángulosparciales formados.

3. En el gráfico, trazar la bisectriz de los ángulos AOB y BOC, haciendo uso del compás. ¿Cuánto medirá el ánguloformado por dichas bisectrices?

A O

B

C

4. Graficar los ángulos consecutivos AOB y BOC, tal que m AOB = 40º y m BOC = 70º. Haciendo uso del compástrazar las bisectrices de los ángulos AOB y BOC y calcular la medida del ángulo entre dichas bisectrices.

5. Graficar los ángulos AOB y AOM tal que la m AOB = 140º y m AOM = 30º. Haciendo uso del compás, trazar labisectriz del ángulo MOB.

7. Graficar un ángulo de 110° y trazar su bisectriz con eluso del compás.

8. Graficar un ángulo de 160° y trazar su bisectriz usandoel compás.

9. Graficar un ángulo de 145° y trazar su bisectrizempleando el compás.

10.Graficar un ángulo recto y trazar su bisectriz con el usodel compás.

Tarea domiciliaria

Autoevaluaciòn



1. Recta numéricaEs una recta enumerada a partir del cero; hacia la derecha números positivos y hacia la izquierda númerosnegativos.

0 1 2 3 4 5 6 77 -6 5 4 3 2 1------

2. Plano cartesianoEs un plano formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y la otra vertical. Todo punto serepresenta por dos números, el primero corresponde a la recta horizontal y el segundo a la recta vertical.

0 1 2 3 4 5 6 77 -

-

6 5 4 3 2 1------

6

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

6

-

-

-

-

-

C(-4; 3)

B(2; 4)

A(3; 1)

D(-2; -5)

E(6; -3)

Utilizar la recta numérica y el plano cartesiano ubicando puntos ygraficando segmentos, ángulos y lo relacionado a dichas figuras.

PlanoCartesiano7

OBJETIVO

40

Plano cartesiano


Graficar un plano cartesiano y además lo pedido en cada ejercicio.

1. Ubicar el segmento AB , tal que: A = (5; 5) y B = (2; 4)

2. Ubicar el segmento PQ , tal que: P = (-1; 5) y Q = (-4; 1)

3. Ubicar el segmento DE , tal que: D = (-5; -1) y E = (-2; -6)

Test de Aprendizaje



4. Ubicar el segmento MN , tal que: M = (1; -2) y N = (7; -5)

5. Ubicar el segmento CF tal que: C = (-1; 1) y F = (4; 2)

42

Plano cartesiano


Para cada ejercicio, graficar un plano cartesiano.

1. Ubicar los puntos: A(2; 3), B(-3; 1) y C(1; -4), luego

unirlos.

2. Ubicar los puntos: P(-4; 5), Q(-4; -3) y R(3; 5), luego

unirlos.

3. Ubicar los puntos: D(0; 0), E(4; 6) y F(2; -5), luego

unirlos.

4. Ubicar los puntos: M(-3; 2), N(4; 0) y P(0; -6),

luego unirlos.

5. Ubicar los puntos: H(0; 7), K(-6; 0) y L(3; -4), luego

unirlos.

Practiquemos



• Graficar un plano cartesiano para cada ejercicio y ubicar los puntos indicados, para luego unirlos.

1. A = (3; 3) y B = (5; 4)

2. C = (-3; 4) y D = (-5; 3)

3. E = (-2; -4) y F = (-1; -8)

4. G = (2; -3) y H = (5; -1)

5. I = (-4; 3) y J = (3; 5)

6. A = (1; 5), B = (-2; 4) y C = (-3; -4)

7. P = (-2; 5), Q = (-3; 5) y R = (4; 3)

8. M = (6; -2), N = (-5; -4) y T = (-2; 6)

9. T = (9; 3), R = (-7; 4) y I = (-1; 8)

10.A = (0; 7), L = (-6; 0) y E = (5; -8)

1. Ubicar los puntos: E(0; 7), D(-7; 0) y L(3; -4). Luego unirlos y trazar la bisectriz del ángulo de vértice “D” con eluso del compás.

2. Ubicar los puntos: A(-3; 1), B(2; 5) y C(4; -3). Luego unirlos y ubicar los puntos medios de AC y BC haciendo usodel compás.

3. Ubicar los puntos: M(-3; 0), N(0; 4) y C(24; 0). Luego unirlos y calcular la medida del ángulo de vértice “N” deltriángulo MNC.

4. Un alumno del colegio Trilce está ubicado en las coordenadas (-1; 0), luego se traslada a las coordenadas (-1; 6),pero como es algo inquieto, se traslada a las coordenadas (4; 6) y luego a las coordenadas (4; 12), para luegoquedarse allí. Calcular la distancia total recorrida por dicho alumno.

5. Del problema anterior, si él desea llegar lo más pronto posible a la coordenada (4; 12), ¿cuál será la distanciamínima que dicho alumno tendrá que recorrer?

Tarea domiciliaria

Autoevaluaciòn



Queridos amigos, en este bimestre debemos haber logrado:

• Utilizar adecuadamente los instrumentos geométricos(regla; transportador y compás).

• Reconocer y relacionar puntos, rectas ysegmentos en el plano geométrico yplano cartesiano.

• Reconocer y graficar ángulos con subisectriz.

1. Graficar los puntos consecutivos: “A”; “B”; “C” y“D” contenidos en una recta tal que: m AB = 1 cm;m BC = 3 cm y m CD = 4 cm

2. Graficar los segmentos consecutivos AB ; BC y CDque no estén contenidos en una recta. Tal que:m AB = 2 cm, mBC = 4 cm y m CD = 5 cm.

Repaso II8

Practiquemos

OBJETIVO

46

Repaso II


3. Graficar el segmento PQ que mide 9 cm y ubicar supunto medio con el uso del compás.

4. Graficar el segmento DE oblicuo de 6,5 cm y ubicar supunto medio usando el compás.

5. En el ejercicio anterior, trazar la recta perpendicular alsegmento que pasa por el punto medio ubicado.


7. Graficar un ángulo de 115° y trazar su bisectriz con elcompás.

8. Graficar un plano cartesiano y ubicar los puntosM(-2; 4) y N(3; -5). Luego marcar el punto medio deMN con el uso del compás.


ELEMENTOS DE GEOMETRÍA9. Graficar un plano cartesiano y ubicar a los puntos:

A(7; 1), B(-1; 6) y C(-3; -5), luego unirlos.10.En el ejercicio anterior, trazar las bisectrices de los

ángulos de vértices “A” y “B”, utilizando compás.

1. Graficar los segmentos consecutivos AB y BC , de tal manera que AC = 9 cm. Luego ubicar con el uso del compáslos puntos medios “E” y “D” de AB y BC respectivamente. Calcular la medida de ED.

2. En el gráfico; ¿cuántos ángulos agudos y rectos hay?

70º20º

10º

3. Graficar un plano cartesiano y ubicar los puntos E(8; 2), D(-2; 5) y U(-4; -7). Luego unirlos y haciendo uso delcompás, trazar las bisectrices de los ángulos de vértices: “E”, “D” y “U”.

4. En el triángulo mostrado, ubicar los puntos medios de PQ y QR haciendo uso del compás. Luego, por dichospuntos traza el segmento que los une. ¿Qué puedes observar con respecto a dicho segmento y PR?

RP

Q

5. En el triángulo mostrado, ubicar haciendo uso del compás, el punto medio “R” de AC. ¿Qué puedes observar entreAR, RC y BR?

CA

B

Autoevaluaciòn

48

Repaso II


1. En un plano cartesiano ubicar a los puntos P = (5; 6) yQ = (-4; -5), luego trazar la recta que contiene a dichospuntos.

2. Graficar una recta y sobre ella marcar los puntos “A”,“B” y “C” tal que: mAB 2 cm y mBC 4 cm.

3. Graficar un segmento horizontal de 12 cm y ubicar asu punto medio con el uso del compás.


5. Graficar en un plano cartesiano: los puntos A = (4; 0)y B = (-5; 6). Luego ubicar el punto medio de AB conel uso del compás.

6. En el plano cartesiano ubicar los puntos T = (4; 3) yR = (-6; -2). Luego ubicar el punto medio de TR conel uso del compás.

7. En el plano cartesiano ubicar los puntos A = (0; 5),B = (-3; 2) y C = (4;-5), luego unir AB y BC paraatrazar la bisectriz del ángulo de vértice “B” con el usodel compás.

8. Graficar un plano cartesiano ubicando a los puntosM = (7; 3); N = (-6; 2) y T = (0; -5). Luego trazar labisectriz del ángulo de vértice “M” y de lados MN yMT .

9. En el triángulo, trazar las bisectrices de los ángulos devértices “A” y “C”.

A

B C

10.En el triángulo mostrado ubicar los puntos medios deAC y AB , luego por dichos puntos trazar las rectasperpendiculares a AC y AB.

A B

C

Tarea domiciliaria

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i Bimestre Geometría 1ro Secundaria