I. Konsep Peluang

5/14/2018 I. Konsep Peluang - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/i-konsep-peluang-55a931d0b4eaa 1/50

1. Konsep Peluang

EL2002-Probabilitas dan Statistik

Dosen: Andriyan



Isi

1. Ruang Cuplikan (Sample Space)

2. Kejadian ( Events)3. Operasi Terhadap Kejadian

4. Pencacahan Titik Cuplikan5. Peluang Kejadian

6. Hukum Peluang7. Peluang Bersyarat

8. Aturan Bayes



1.1 Ruang Cuplikan

(sample space)



Data Mentah

• Def.1.1: Data mentah adalah rekaman dalambentuk asal, baik berupa hasil pencacahan maupunpengukuran

• Hasil pengamatan: pencacahan atau hasil

numerik dari suatu pengukuran

• Percobaan (statistik): segala macam proses

yang menghasilkan data mentah– Contoh: pencacahan trafik kendaraan, pelantunan mata uang

atau dadu, pengamatan besaran fisik dalam eksperimen di

Lab, dll



Ruang Cuplikan• Def.1.2: Himpunan semua hasil percobaan statistik

disebut sebagai ruang cuplikan dan dituliskan sebagaiS.

• Setiap titik dalam ruang cuplikan disebut titik cuplikan (sample

point ), atau elemen/anggota ruang cuplikan.• Contoh ruang cuplikan:

– Pelantunan uang logam (koin): S = {H, T}

– S = {x|x kota dengan penduduk diatas 1 juta jiwa}

– S={(x,y)}| x2 + y2 ≤ 4}

– Pelantunan dadu:

• S1={1, 2, 3, 4, 5, 6}

• S2 = {ganjil, genap}



1.2 Kejadian/Peristiwa

(Events)



Definisi kejadian

• Def.1.3: Suatu kejadian (peristiwa) adalah

himpunan bagian dari ruang cuplikan

• Contoh:

– A={3,6} adalah kejadian dalam pelantunan dadudimana mata dadu yang muncul dapat dibagi 3

– Untuk t yng menyatakan umur komponen elektonik,

kejadian A dimana komponen berumur kurang dari5 tahun adalah A={t|t<5}, dengan S={t|t≥1}



Kejadian sederhana dan kejadian majemuk

• Def.1.4: Jika suatu kejadian berupa himpunan yang hanyamengandung satu titik cuplikan, maka kejadian ini disebut

sebagai kejadian sederhana. Kejadian majemuk adalahkejadian yang dapat dinyatakan sebagai gabungan daribeberapa kejadian sederhana

• Contoh:

– Untuk percobaan/pengamatan jenis kartu, dimana S={ ♥, ♠, ♣ ♦},maka A={♥} adalah kejadian sederhana, sedangkan B = {♥, ♦}

adalah kejadian majemuk.• NB: ♥ ≡ heart , ♠ ≡ spade, ♣ ≡ club, ♦ ≡ diamond

– Sebaliknya, jika S = {seluruh 52 buah kartu yang dilihat satupersatu}, maka A={semua kartu ♥} adalah kejadian majemuk.



Ruang null• Def.1.5: Ruang null atau ruang kosong adalah

himpunan bagian dari ruang cuplik yang tidak

memiliki anggota dan dilambangkan sebagai ∅.

• Contoh null-space

– Hasil pengamatan organisme mikroskopis dng mata-

telanjang

– B={x|x faktor nonprima dari 7}

– Hasil percobaan pelantunan dadu (biasa) yang memberi

mata tujuh



Diagram Venn

S

A

B

C A={kartu warna merah}

B={kartu J♦, Q♦, K♦}

C ={kartu As}

• Penggambaran relasi antar himpunan.

S = ruang cuplikan

A, B, C : kejadian



1.3 Operasi terhadap kejadian



Irisan dua kejadian• Def.1.6: Irisan antara kejadian A dengan kejadian B,

dilambangkan sebagai A∩ B, adalah kejadian yangmengandung semua elemen yang berada di A dan di B

sekaligus.

S

A B

• Contoh:– Jika A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B={2,

4, 6, 8}, maka A∩ B={2,4}– Jika P = {a, i, u, e, o} dan

Q={s,t}, maka P∩Q = ∅• Pada contoh terakhir, P dan Q tdk

dapat terjadi bersamaan.Kejadianspt ini disebut mutually exclusive.



Kejadian mutually exclusive

• Def.1.7: Dua buah kejadian A dan B disebut mutuallyexclusive jika A∩ B = ∅

S

A B



Gabungan kejadian

• Def.1.8: Gabungan dua buah kejadian, A dan B,dilambangkan sebagai A∪ B, adalah kejadian yang

mengandung semua elemen dari A, atau B, atau keduanya.

S

A B

• Contoh:

– Jika A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B={2,4, 6, 8}, maka A ∪ B={1, 2, 3, 4,5, 6, 8}

– Jika P = {a, i, u, e, o} danQ={s,t}, maka P∪Q ={a, i, u, e,o, s, t}



Kejadian Komplementer

• Def.1.9: Komplemen dari kejadian A terhadap S,dituliskan sebagai A’, himpunan semua elemen S yang

tidak berada dalam A.

• Contoh:

– Jika S = {1, 2, 3, 4, 5} dan A={2,4}, maka A’ ={1, 3, 5}

– Untuk S={ ♥, ♠, ♣ ♦} danA={♥}, maka A’={♠, ♣, ♦}

S

A

A’



Hasil-hasil penting

• A ∩ ∅ = ∅

• A ∪ ∅ = A• A ∩ A’ = ∅

• A ∪ A’ = S• S’ = ∅

• ∅’ = S• ( A’)’ = A



1.4 Pencacahan Titik Cuplikan

(Counting)



Isi• Prinsip-prinsip dasar pencacahan:

– Aturan perkalian (Product rule --Theorem 1.1)

– Aturan perkalian umum (Generalized Product rule--Theorem 1.2)

– Permutasi (Def. 1.10)• Permutasi n-objek berlainan (Theorem 1.3)

• Permutasi n-objek berlainan, diambil r-objek sekaligus (Theorem 1.4)

• Permutasi sirkular (Theorem 1.5)

• Permutasi berlainan untuk n-objek dengan masing-masing ada n1objek jenis pertama, …, nk objek jenis ke-k (Theorem 1.6)

• Partisi himpunan dari n-objek kedalam r-sel dengan n1-elemen, … dst(Theorem 1.7)

• Kombinasi n-objek, diambil r-objek sekaligus

– Theorem 1.8.– Tambahan EL2009:

• Aturan penjumlahan (Sum Rule)

• Aturan penjumlahan umum (Generalized sum rule)

NB: Counting kita terjemahkan sebagai pencacahan



Aturan perkalian

• Teorema 1.1: Jika suatu operasi dapat dilakukan dengan n1

buah cara, dan untuk setiap operasi ini dapat dilakukanoperasi kedua sebanyak n2 buah cara, maka kedua operasiini dapat dilakukan bersamaan dengan n1⋅n2 cara

• Contoh:– Soal: Tentukan jumlah titik cuplikan dalam pelantunan dua buah

dadu!

– Jawab: Dadu pertama memberikan 6 macam keluaran. Untuk setuaphasil, dadu kedua menghasilkan 6 macam keluaran juga. Dengan

demikian, sepasang dadu akan menghasilkan 6.6=36 macamkeluaran.

– Tugas Mhs:

• Berikan daftar ke-36 buah keluaran ini !

• Ulangi untuk pelantunan uang logam dengan hasil {H, T}



Aturan perkalian yang diperumum• Teorema 1.2: Jika suatu operasi dapat dilakukan dengan n1

buah cara, dan untuk setiap operasi ini dapat dilakukanoperasi kedua sebanyak n2 buah cara, dan untuk setiap

operasi ini dapat dilakukan operasi ketiga sebanyak n3buah cara, … dst, maka k buah operasi ini dapat dilakukanbersamaan sebanyak n1⋅n2 … ⋅nk cara

• Contoh:– Suatu restoran memiliki 4 jenis lauk-pauk, 3 jenis sayuran, 5

jenis kerupuk, dan 4 macam jus. Ada berapa banyak menuyang bisa dibuat oleh restoran tersebut, jika setiap menu terdiri

dari satu buah lauk, satu mangkuk, 1 bungkus kerupuk, dan 1gelas jus?

• Jawab: akan ada 4⋅3 ⋅5 ⋅4 = 240 macam menu



Permutasi

• Def.1.10: Permutasi adalah penyusunan dari seluruhatau sebagian dari sekumpulan objek.

• Contoh:

– 4 buah huruf a, b, c, d dapat di-permutasikan sebanyak

4! = 4⋅

3⋅

2⋅1 = 24

• Teorema 1.3: Jumlah permutasi dari n objek berlainan

adalahn!

• Contoh:– Tiga buah huruf a, b, c dapat disusun sebagai abc, acb, bac,

bca,cab, dan cba

– Berdasarkan aturan perkalian, untuk n buah objek akan ada:

n(n-1) … 2⋅ 1 = n!



Permutasi r dari n objek • Untuk keempat huruf tadi, permutasi per-dua huruf adalah:

ab, ac, ad, ba, ca, da, bc, bd, cb, db, cd, dc; ada sebanyak 12 buah. Dengan Teorema 1.2, ada 4 buah untuk pilihan

pertama, dan ada 3 buah untuk pilihan kedua sehingga ada4⋅3=12 permutasi.

• Pada umumnya, n objek berlainan diambil r buah sekaligusakan menghasilkan pengaturan sebanyak

n⋅(n-1)⋅ … ⋅(n – r + 1)= n! / (n-r )!

• Teorema 1.4: Jumlah r buah permutasi dari n objek

berlainan adalahnP

r = n!/ (n-r )!

• Contoh:– Banyaknya cara mengambil tiket undian untuk pemenang pertama

dan kedua, dari 20 tiket adalah

20P2 = 20!/ (20-2)! = 20⋅19 =380



Permutasi Sirkular

• Permutasi yang muncul dalam pengaturan objek secaramelingkar disebut permutasi sirkular. Dua permutasisirkular berbeda jika keduanya didahului atau diikuti objek

yang berbeda, ketika dilihat dalam arah putar jarum jam.

• Permutasi sirkular dapat dihitung dengan mengambil satuobjek tetap, kemudian melakukan permutasi objek sisanya.

Dengan demikian, permutasi n objek secara sirkular akanmenghasilkan (n-1)! susunan berlainan.

• Teorema 1.5: Jumlah permutasi sirkular dari n objek

berlainan adalah (n-1)!



Permutasi beberapa jenis objek

• Tinjau permutasi tiga huruf a,b,c. Jika huruf b=c=x, maka

permutasi menjadi axx, axx, xax, xax, xxa, dan xxa;

sehingga menjadi 3 buah yang berbeda.• Teorema 1.6: Jumlah permutasi berlainan dari n buah

objek yang terdiri dari n1 objek jenis pertama, n2 jenis

kedua, …, nk jenis ke k adalah

!...!!

!

21 k nnn

n

• Contoh: ada berapa banyak cara berbeda untuk menyusun lampu

warna-warni dalam seuntai tali jika ada 3 yang berwarna merah,

4 kuning, dan 2 biru?• Jawab: ada sebanyak 9!/(3!4!2!) = 1260



Partisi himpunan• Partisi himpunan n objek kedalam r himpunan bagian (subset) atau sel:

– Partisi berhasil jika irisan sebarang dua subset adalah ∅ dan gabunganseluruh subset menghasilkan himpunan asal.

– Contoh: Partisi S = {a, e, i, o, u} kedalam dua sel yang masing-masingmengandung 4 dan 1 buah anggota adalah: {(a, e, i, o), (u)}, {(a, i, o, u),(e)}, {(a, e, o, u), (i)}, dan {(a, e, i, u), (o)}. Sehingga ada 5 buah:

5

!1!4

!5

1,4

5==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛

• Teorema 1.7: Banyaknya cara untuk mempartisi suatu himpunan n objek

kedalam r buah sel dengan masing-masing n1 objek untuk sel pertama, n2

objek untuk sel kedua, …, nr objek untuk sel ke r adalah

dimana n1 + n2 + … + nr = n.

!...!!

!

,...,,2121 r r nnn

n

nnn

n=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛



Kombinasi• Pengaturan r -objek dari sekumpulan n-buah objek tanpa memperhatikan

urutan disebut kombinasi. Suatu kombinasi pada dasarnya adalah partisidua sel, yang pertama mengandung r -objek dan yang kedua ada (n-r ) objek.

Dengan demikian banyaknya kombinasi r -objek dari n kumpulan adalah

karena sudah pasti sel kedua beranggotakan n-r

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

− r

nditulisbiasaatau

r nr

n

,

• Teorema 1.9: Kombinasi r dari n buah objek berlainan adalah

( )!!!

r nr n

r

n

−=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛



1.5 Nilai Peluang



Inferensi dan Arti Peluang• Ahli statistik berurusan dengan pengambilan kesimpulan

(inferensi) dalam eksperimen yang menyangkut ketidakpastian.

• Beberapa contoh:

– “Chris John kemungkinan memenangkan pertandingan tinjumalam ini.”

– “Saya punya peluang 50-50 untuk mendapatkan angka genap jikadadu ini dilantunkan”

– “Nanti malam kemungkinan besar saya tidak akan memenangkanundian.”

– “Kebanyakan mahasiswa STEI lulus dalam 8 semester”

• Dalam contoh-contoh diatas, kita mengekspresikan keluaranhasil eksperimen yang tidak pasti. Akan tetapi denganmengetahui informasi yang lalu atau struktur dari eksperimen,kita punya derajat keyakinan tertentu akan validitas daripernyataan-pernyataan diatas.



Pembobotan titik cuplikan

• Teori Matematika untuk peluang dari ruangpencuplikan berhingga menyediakan sekumpulanbilangan yang disebut sebagai pembobot (weights), dengan nilai antara 0 sampai 1, sebagaicara mengevaluasi kebolehjadian (likelihood)munculnya suatu peristiwa dari eksperimen

statistik.• Setiap titik dalam ruang pencuplikan diboboti

sedemikian rupa hingga jumlah keseluruhan dari

pembobot menjadi 1.– Kejadian dengan kemungkinan tinggi diberi bobotmendekati 1.

– Kejadian yang lebih mustahil diberi bobot mendekati 0.



Nilai Peluang dari Kejadian

• Peluang dari kejadian A dihitung dengan menjumlahkanseluruh bobot titik cuplikan didalam A.

• Jumlah ini disebut sebagai ukuran (measure) dari A, ataupeluang A dan dituliskan sebagai P( A). Dengan demikian,

– P(∅) = 0

– P(S) = 1

• Def. 1.11: Nilai peluang dari kejadian A adalah hasilpenjumlahan pembobot dari semua titik cuplikan didalam A. Sehingga

• 0≤P(A)≤1,

• P(∅) = 0

• P(S) = 1



Contoh

• Soal: Sebuah uang logam dengan sisi H dan T dilantunkan dua kali. Berapa peluang munculsedikitnya satu buah sisi H ?

• Jawab: Himpunan titik cuplikan dari percobaan iniadalah S={ HH , HT , TH , TT }. Denganmenganggap uang logam tak bias, setiap hasil

memiliki kebolehjadian yang sama. Jika masing-masing pembobot adalah w, maka

|S|⋅w = 4w = 1. dengan demikian w = ¼.

Jika A menyatakan kejadian muncul sedikitnyasatu kali H , maka A = {HH , HT , TH} dan

P( A) = | A|⋅w = 3/4



Peluang Kejadian Sederhana

• Pembobot dapat diasosiasikan dengan kejadian sederhana.Jika eksperimen dilakukan sedemikian rupa hinggapembobot setiap titik cuplikan didalam S bernilai sama,maka nilai peluang dari kejadian A adalah nisbah antara jumlah elemen A dengan jumlah elemen S.

• Teorema 1.9: Jika suatu eksperimen menghasilkan satudari N buah hasil berbeda dengan kebolehjadian yangsama, dan jika n buah dari kejadian ini berasal dari

kejadian A, maka nilai peluang dari kejadian A adalahP( A) = n / N



Contoh

• Soal: Tentukan peluang terambilnya kartu♥ dari setumpukan lengkap kartu.

• Jawab: Banyaknya titik cuplikan didalam Sadalah sejumlah kartu, yaitu 52, dimana ada

13 buah kartu♥

. Dengan demikianP(A) = 13/52 = ¼

• Catatan: jika pembobot tidak seragam, nilai peluang harusdidasarkan pada sifat eksperimen yang diketahuisebelumnya (prior knowledge) atau bukti-buktieksperimental.



1.6 Beberapa Hukum Peluang



Hukum penjumlahan

• Teorema 1.10: Untuk sebarang dua kejadian A dan B akan berlaku

P( A∪ B) = P( A) + P( B) – P( A∩ B)

• Bukti: Tinjau diagram Venndisamping. Perdefinisi, P( A∪ B)

adalah jumlah pembobot titik cuplikan dalam A∪ B. Akan tetapiP( A) + P( B) adalah jumlah seluruhpembobot di A dengan seluruh

pembobot di B, sehingga kita telahmenambahkan A∩ B dua kali. Olehkarena itu, kita harus mengurangiP( A) + P( B) dengan P( A∩ B) untuk

mendapatkan P( A∪ B) semestinya.

S

A B



Peluang kejadian yang saling bebas

• Corollary 1: Jika A dan B adalah kejadian yangsaling bebas (mutually exclusive), maka

P( A∪ B) = P( A) + P( B)• Corrolary 1 ini adalah hasil langsung dari teorema 1.10,

karena jika A dan B saling bebas, maka P(A∩B) = P(∅) =0.Hasil ini dapat diperumum:

• Corollary 2: Jika A1, A2, … dan An, adalah kejadianyang saling bebas (mutually exclusive), maka

P( A1∪ A2∪ … ∪ An) = P( A1) + P( A2) + …+ P( An)

• Kita ingat, jika A1, A2, … dan An adalah partisi dari ruangpencuplikan S, maka

P( A1∪ A2∪ … ∪ An) = P( A1) + P( A2) + …+ P( An)



Contoh

• Soal 1: Peluang seorang mahasiswa lulus kuliah

Matematika adalah 2/3, sdangkan peluang

lulusnya untuk kuliah Biologi adalah 4/9. Jikapeluang lulus sedikitnya satu dari kedua kuliah tsb

adalah 4/5, berapa peluang lulus kedua kuliah tsb?

• Jawab: Sebut M sebagai kejadian “lulus

Martematika” sedangkan B sebagai kejadian “lulus

Biologi”. Berdasarkan teorema 1.10, maka

P( M ∩ B) = P( M ) + P( B) - P( M ∪ B)

= 2/3 + 4/9 – 4/5 = 14/45



Peluang kejadian komplementer

• Teorema 1.11: Jika A’ adalah kejadian komple-menter dari kejadian A, maka

P(A’) = 1 – P( A)

• Bukti: Karena A∪ A’ = S dan karena himpunan A tak

beririsan dengan A’, maka1 = P(S)

= P( A∪ A’)

= P( A) + P( A’)Akibatnya, P( A’) = 1 – P( A)



Contoh

• Soal: Suatu uang logam dengan muka H dan T dilantunkanenam kali berturut-turut. Berapa peluang sedikitnya satu H muncul?

• Jawab: Andaikan E adalah kejadian muncul sedikitnya satukepala. Ruang pencuplikan S terdiri dari 26 = 64 buah titik cuplikan karena setiap lantunan memiliki dua jenis

keluaran. Kita ketahui P( E ) = 1 - P( E ’) dimana E ’ adalahkejadian tidak munculnya sisi H , yang hanya bisa terjadisekali—yakni seluruh lantunan menghasilkan T .

Oleh karena itu, P( E ’) = 1/64 dan kita dapatkan

P( E ) = 1 – P( E ’) = 1 - 1/64

= 63/64.



1.7 Peluang Bersyarat



Pengertian• Nilai peluang dari munculnya kejadian B, jika diketahui adanya

kejadian A disebut peluang bersyarat P( B| A).– Dibaca: “peluang B, diberikan A”

• Tinjau kejadian B dari pelantunan dadu yang menghasilkan bilangankuadrat sempurna (kuad. sempurna: 1, 4, 9, …). Dadu dibuatsdemikian hingga bilangan genap muncul duakali lebih seringdibanding bilangan ganjil. Karena S={1,2,3,4,5,6} makaP(1)=P(3)=P(5)= v, dan P(2)=P(4)=P(6) = 2v, tetapi 3v+2⋅3v = 1 =>v=1/9. Jadi dadu ganjil berpeluang 1/9, dadu genap 2/9.

• Andaikan diketahui pelantunan menghasilkan angka diatas 3, jadiA={4,5,6}⊆S. Untuk menghitung B, nilai peluang dari titik cuplikan diA harus ditentukan lagi shg totalnya 1, dng demikian pembobot wuntuk A adalah 2w+w+2w=5w=1, atau w=1/5;

• Relatif terhadap A, B mengandung satu elemen saja, yaitu 4, atauB|A={4}. Dengan demikian:

P(B|A) = 2/5, atau

P(B|A) = (2/9) / (5/9) = P(A∩B) / P(A)

Definisi



Definisi

• Def. 1.12: Peluang bersyarat dari B, diberikan A,dituliskan sebagai P( B| A) didefinisikan sebagai

P( B| A) = P( A∩ B)/ P( A) jika P( A)>0

• Contoh: Suatu populasi memiliki data sbb:

Bekerja (E) Tdk bekerja

Laki-laki 460 40

Perempuan 140 260

• Tinjau dua kejadian dari seleksi acak berikut

M: terpilih Laki-laki, E: yang terpilih punya pekerjaan

Dengan demikian, nilai peluang bersyarat M|E adalah

P(M|E)=460/(460+140) = 23/30

Def.1.12 juga memberikan hasil sama karena P(E∩M) = 460/900,

sedangkan P(E)=600/900, shg P(M|E) = P(E∩M)/P(E) = 23/30



Teorema perkalian

• Soal: dalam satu kotak terdapat 20 buah sekering, 5 diantaranya cacat.Jika 2 buah sekering dipilih secara acak dan diambil dari kotak secaraberturutan, tanpa penggantian, berapa peluang kedua sekering yangterambil itu cacat?

• Jawab: Andaikan A kejadian terambilnya sekering cacat yang pertamadan B kejadian terambilnya sekering cacat kedua, kejadian A∩B harusditafsirkan bahwa A terjadi, kemudian B terjadi setelah A terjadi.

Peluang terambilnya sekering pertama cacat adalah 5/20=1/4,sedangkan terambilnya sekering kedua cacat adalah (5-1)/(20-1) =4/19. Dengan demikian

P(A∩B) = (1/4)⋅(4/19) = 1/19.

• Teorema 1.12: Jika dalam suatu eksperimen peristiwa A

dan B dapat terjadi, maka berlaku

P( A∩ B) = P( A)⋅P( B| A)

P(A) P(B|A)



Generalisasi teorema perkalian

• Teorema 1.13: Jika dalam suatu percobaan kejadian

A1, A2, A3, … dapat muncul, maka berlaku

P( A1∩ A2∩ A3 … ) = P( A1)⋅P( A2| A1) ⋅P( A3| A1 ∩ A2) …



Kejadian saling bebas

• Def.1.13 Kejadian A dan B disebut saling bebas(independent ) jika, dan hanya jika,

P( A∩ B) = P( A)⋅P( B)• Soal: sepasang dadu dilantunkan dua kali. Berapa peluang

mendapatkan jumlah 7 dan 11?

• Jawab: Jika A1, A2, B1, dan B2 peristiwa saling bebas bahwa jumlah 7pada lemparan pertama, jumlah 7 pada lemparan kedua, jumlah 11

pada lemparan pertama, dan jumlah 11 pada lemparan kedua muncul.

Kita akanmencermati kejadian mutually exclusive A1∩B2 dan B1∩A2.

Oleh karena ituP[(A1∩B2)∪(B1∩A2)] = P(A1∩B2) + P(B1∩A2)

= P(A1)⋅P(B2) + P(B1)⋅P(A2)

= (1/6)⋅(/18) + ((1/18)

⋅(1/6)= 1/54



Aturan Bayes

Il i



Ilustrasi• Kembali ke contoh sebelumnya:

Bekerja ( E ) Tdk bekerja

Laki-laki 460 40

Perempuan 140 260

• Dengan mudah diperoleh

P( E ) = (460+140)/(460+140+40+260) = 600/900=2/3

• Soal: Andaikan diketahui juga, 36 dari yang bekerja dan 12 dari yangtdk bekerja adalah anggota Rotary Club ( RC ) , berapa peluang

seseorang yang bekerja adalah anggota RC ?

• Jawab: Misalkan A peristiwa orang yang terpilih adalah anggota RC ,

peluang bersyarat yang kita cari adalah:

P( E | A) = P( E ∩ A)/ P( A)

L j



Lanjutan …• Tinjau diagram Venn disamping

• Peristiwa A dapat dinyatakan sebagaigabungan dua peristiwa yang mutually

exclusive, yaitu E ∩ A dan E’∩ A. Jadi A = ( E ∩ A) ∪ ( E’∩ A)

• Berdasarkan Corollary 1,Teorema 1.10,maka: P( A) = P( E ∩ A) + P( E’∩ A)

• Sehingga bisa kita tuliskan

A

E

E’

S

• Dengan demikian, untuk soal sebelumnya, kita bisa hitung:

P( E ∩ A) = 36/900 = 1/25

P( E ’∩ A) = 12/900 = 1/75

P( E | A) = (1/25)/{(1/25) + (1/75)} = 3/4

P( E | A) = P( E ∩ A) /{P( E ∩ A) + P( E’∩ A)}

At B U



Aturan Bayes Umum• Teorema 1.14 (Aturan Bayes). Andaikan { B1, B2, B3, … } sekumpulan

peristiwa yang membentuk partisi dari ruang cuplikan S, dimana P( Bi)≠0,

untuk i=1, 2, …, n. Andaikan A sebarang peristiwa dalam S sedemikian

hingga P( A)≠0. Maka, untuk k = 1, 2, … ,n berlaku

( )( )

( )

( ) ( )

( ) ( )∑∑==

=∩

∩=

n

i

ii

k k

n

i

i

k k

B AP BP

B AP BP

A BP

A BP A BP

11

|

||

A

B1 Bk B3 B4

B2 Bn

…



Sekian

Documents

I. Konsep Peluang