1

I KVAZISTACIONARNO ELEKTROMAGNETNO POLJE

☺ 1. FENOMEN ELEKTROMAGNETNE INDUKCIJE

1.1. USLOV KVAZISTACIONARNOSTI POLJA

U okviru elektrostatike (I deo) i magnetostatike (II deo) razmatrana su polja

nepokretnih naelektrisanja, odnosno stacionarnih struja. Odgovarajuća polja: elektrostatičko i

magnetostatičko polje opisuju se vektorima rE

i rB

nezavisnim od vremena. Pokretna

naelektrisanja i nestacionarne struje formiraju jedinstveno elektromagnetno polje (III deo).

Elektromagnetno polje se opisuje jačinom električnog polja trE ,

i jačinom

magnetnog polja trB ,

. Za raziliku od elektrostatičkog i magnetostatičkog polja, funkcije E

i B

elektromagnetnog polja su vremenski zavisne. Takođe, ovi vektori su međusobno

spregnuti, tako da električno i magnetno polje više ne mogu da se razmatraju nezavisno jedno

od drugog.

Specijalnu klasu elektromagnetnih polja čine takozvana kvazistacionarna polja. Kod

ovakvih polja se pretpostavlja da se sinhrono menjaju sa promenom svog uzroka. Funkcije

kvazistacionarnog elektromagnetnog polja su u svakom trenutku vremena t određene

raspodelom naelektrisanja ( tr ,

) i struja ( tr ,j ) u tom istom trenutku, vidi sliku 1.

Slika 1.

Dakle, u posmatranom slučaju imamo:

tttrE E j,, F (1.1a)

tttrB B j,, F (1.1b)

Primetimo da u opštem slučaju odziv polja na promenu stanja naelektrisanja i struja nije

trenutna, tako da postoji kašnjenje u reakciji polja na promene gustine naelektrisanja i gustine

struje. Zbog ovog efekta jačina električnog polja trE ,

i jačina magnetnog polja trB ,

zavise od raspodele naelektrisanja u struja u nekom prethodnom trenutku t , gde je

vreme potrebno da se polje „prenese“ od date tačke uzroka do posmatrane tačke polja (vidi

sliku 2.). elektromagnetno polje u vakuumu se prenosi brzinom svetlosti c, tako da je Rc ,

gde smo sa R označili odgovarajuće rastojanje, vidi sliku 2.

Kvazistacionarno polje se u nekim svojim aspektima ponaša kao stacionarno polje, pri

čemu vreme t preuzima ulogu parametra. Tako, na primer, u uslovima kvazistacionarnosti,

2

električno polje struje u provodniku trE ,

i gustina kvazistacionarne struje tr ,j ostaju

proporcionalni, to jest i dalje važi Omov zakon u diferencijalnom obliku:

trEtr R ,,

j . (1.2)

Slika 2.

Kod kvazistacionarnih struja u kvazi-linijskim provodnicima, jačina struje tI zavisi od

veremena, ali i dalje ima istu vrednost u svim tačkama nerazgranatog strujnog kola. Za

razgranato kolo, u svakom trenutku, ostaju u važnosti Kirhofovi zakoni.

U suštini, kvazi-stacionarnost polja se ostvaruje u uslovima u kojima su promene

raspodela naelektrisanja i struja dovoljno spore, tako da polje uspeva da prati (skoro trenutno)

ove promene. Takođe, kvazistacionarno polje se ostvaruje samo u ograničenom delu prostora

oko struja i naelektrisanja, to jest u tačkama čija rastojanja (R) nisu previše velika.

■Primer

Razmotrimo uslov kvazistacionarnosti magnetnog polja takozvanih naizmeničnih

struja koje se menjaju sa vremenom periodično:

tItI 0 cos . (1.3)

Ovakva struja se uspostavlja u kolu u kome deluje periodična elektromotorna sila. Jačina

magnetnog polja tBd

u tački M od elementa

d strujnog provodnika proporcionalna je

jačini struje tI gde je Rc , vidi sliku 3(a). Uslov stacionarnosti magnetnog polja će

biti ostvaren ako je tItI , to jest ako je vreme znatno manje od perioda 2T

oscilovanja struje, slika 3(b):

T . (1.4)

Slika 3.

3

Za procenu vrednosti granične učestanosti ar uzmimamo da se polje prostire u

vakuumu na udaljenost R manju od 3 km. U tom slučaju vreme biće manje od s10 6 , tako

da je granični period s10T 6

gr

. Ovaj period odgovara kružnoj učestanosti grgr T2 ,

odnosno frekvenciji Hz10T12 6

grgrgr .

Sve do ovih učestanosti struju možemo smatrati kvazistacionarnom. Za ovakve struje važi

Omov zakon i Kirhofova pravila. Međutim, treba uzeti u obzir da se u provodnicima sa

nestacionarnom strujom javljaju i dodatni fenomeni, to jest dolazi do indukovanja struje. Ovaj

nestacionarni efekat predstavlja bitno novu karakteristiku nestacionarnih polja, i upravo

njegovim izučavanjem biće rnoguće generalizovati teoriju stacionarnih polja na nestacionarni

slučaj.■

1.2. ELEKTROMAGNETNA INDUKCIJA

U strujnim kontura koje se pomeraju u magnetnom polju ili u kojima „teče“

nestacionarna struja dolazi do pojave indukovanja dodatne struje. Ovaj efekat naziva se

elektromagnetna indukcija.

Još je 1831. godine Faradej ustanovio da pri promeni magnetnog fluksa:

S

m SdtrBt

, (1.5)

kroz površinu S naleglu na strujnu konturu dolazi do pojave struje u ovom provodniku.

Slika 4.

Na sici 4(a) prikazana je promena magnetnog fluksa kroz površinu naleglu na konturu (1)

usled promene jačine magnetnog polja. Kao izvor promenljivog magnetnog polja tB

uzeta

je promenijiva struja jačine tI kroz konturu (2). Na slici 4(a) je prikazan slučaj kada I raste

sa vremenom (tako što se smanjuje otpornost R). U kolu (1) se, pomoću galvanometra G,

registruje indukovana struja jačine Iʹ. Do indukovanja struje može doći i kada je jačina struje

u provodniku (2) konstantna, ali se provodnik (1) pomera (na primer, približava) u odnosu na

provodnik (2), slika 4(b).

Suštinu pojave lako uočavamo iz navedenih eksperimenata. Kad god postoji promena

magnetnog fluksa m u toku vremena kroz površinu ograničenu strujnom konturom (1), u

4

konturi se pojavljuje struja. Pojava struje znači da se u posmatraniom provodniku indukuje

elektromotorna sila i koju nazivamo indukovana elektromotorna sila. Eksperimenti

pokazuju da je i proporcionalna brzini promene magnetnog fluksa m kroz površinu S

naleglu na konturu:

i ~dt

d m . (1.6)

Znak minus ukazuje na smer indukovane struje. Naime, pri definisanju ve1ičine m ,

jednačina (1.5), površina S je orijentisana u skladu sa orijentacijom strujne konture. Pritom se

orijentacija konture (1) usklađuje sa smerom struje kroz konturu (2).

U slučajevima prikaznim na slikama 4(a) i 4(b) smer indukovane ektromotorne sile, to

jest indukovane struje je suprotan smeru struje I. U slučaju prikazanom na slici 4(a)

pretpostavili smo da jačina struje I raste tako da raste i fluks m kroz konturu (1), ako

usvojimo predloženu orijentaciju konture. To znači da je 0dtd m , pa je, prema (1.6)

0i . Prema tome za indukovanu struju Iʹ imamo 0I tako da je indukovana struja

suprotnog smera od smera orijentacije konture. U slučaju sa slike 4(b) pretpostavili smo da se

kontura (1) primiče konturi (2). Ponovo se povećava magnetni fluks m kroz površinu

konture (1), orijentisane kao na slici 4(b), to jest ponovo imamo 0dtd m . Indukovana

elektromotorna sila je ponovo negativna ( 0i ) tako daje 0I to jest ponovo se indukuje

struja u smeru suprotnom od smera orijentacije konture.

Smer indukovane struje može se odrediti na osnovu takozvanog Lencovog pravila:

indukovana struja u konturi ima takav smer da sopstvenim magnetnim poljem teži da vrati

fluks vektora B

na prvobitnu vrednost. Tako je u primerima sa slika 4(a) i 4(b) smer

indukovane struje suprotan smeru struje I da bi magnetno polje B

indukovane struje Iʹ bilo

suprotnog smera od polja B

struje I i tako (delimično) kompenzovalo povećanje fluksa ovog

polja.

Analizom prikazanih eksperimenata dolazimo do zaključka da je indukcija struje u

zatvorenoj provodnoj konturi u magnetnom polju efekat koji je analogan inertnosti tela

određene mase na delovanje sile. Naime, i strujni provodnik se protivi promeni svog stanja, to

jest “teži” da održi magnetni fluks m stalnim.

1.3. INDUKOVANJE STRUJE U POKRETNOM PROVODNIKU

Eksperimentalno uspostavljenu proporcionalnost (1.6) (kao i tačan faktor

proporcionalnosti) može se relativno lako dobiti u slučaju indukcije struje u provodniku koji

se kreće u stacionarnom magnetnom polju. Polazna tačka objašnjenja elektromagnetne

indukcije u ovom slučaju leži u Lorencovoj sili koja deluje na slobodna naelektrisanja u

provodniku.

Pretpostavimo da se kvazi-linijski strujni provodnik (konture C) u kome ne deluje

strana elektromotorna sila, kreće u spoljnjem magnetnom polju constB

određenorn

brzinom pV

. Zajedno sa provodnikom kreću se i njegova slobodna naelektrisanja (elektroni).

Uporedo sa ovim kretanjem treba uzeti u obzir i komponentu u pravcu provodnika zbog

indukovanja struje u pokretnom provodniku, slika 5(b). Prema tome, posle usrednjavanja,

nalazimo da se i-ti elektron kreće brzinom:

ep UV

, (1.7)

5

gde je eU

srednja vrednost usmerene komponente brzine elektrona. S obzirom na usvojeni

tehnički smer struje, brzina eU

je u sprotnom smeru od Iʹ.

Na svaki “usrednjeni” elektron deluje Lorencova sila:

BeBeBeF epm

UV . (1.8)

Druga komponenta sile:

BeF e2m

U (1.9)

normalna je na vektor eU

, tako da ne može da promeni intenzitet ove brzine, to jest ne utiče

na jačinu struje Iʹ, nego samo zakrivljuje putanju elektrona u provodniku. Sumarno ove sile

stvaraju Amperovu silu koja pomera provodnik u celini. Ovaj ekefat na dalje zanemarujemo.

Prva komponenta sile:

BeF p1m

V (1.10)

potiče od kretanja samog provodnika. Ova sila, u opštem slučaju, zaklapa neki ugao sa

brzinom eU

i utiče na promenu brzine elektrona u odnosu na provodnik. Upravo ova sila i

izaziva indukovanu struju. Tako, na primer, u delu provodnika prikazanom na slici 5(b), sila

1mF

deluje na gore i u tom smeru se indukuje struja.

Slika 5.

Pojava indukovane struje u provodniku znači da se u njemu indukuje elektromotorna

sila i . Po analogiji sa elektromotornom silom generatora stacionarne struje, veličina i se

definiše kao cirkulacija jačina stranog polja *E

po konturi C:

C

i dE

* . (1.11)

Formula (1.11) predstavlja takozvanu algebarsku definiciju, to jest 0i .

Usvojena definicija je pogodna pri razmatranju indukovane struje. Naime, u tom slučaju nije

unapred jasno u kom se smeru indukuje struja. Ako pri proizvoljnoj orijentaciji konture struju

orijentišemo kao i konturu, i pretpostavimo da su zadovoljeni uslovi kvazistacionarnosti

struje, na osnovu Omovog zakona imamo:

RI i , (1.12)

gde je R termogena otpornost strujnog provodnika. Pri 0I smer indukovane struje poklapa

se sa smerom konture, a pri 0I ovaj smer je suprotan.

6

Strano električno polje *E

povezano je sa silom 1mF

relacijom:

B

e

FE p

1m

V* . (1.13)

Primetimo da je polje *E

lokalizovano duž čitavnog provodnika. Kako je ovo polje

neelektrostatičkog porekla, njegova cirkulacija duž konture C je različita od nule, tako da je i

0i . Zamenom (1.13) u (l.11) nalazimo:

C

pi dB

V . (1.14)

Indukovana elektromotorna sila i direktno je povezana sa fluksom m vektora B

kroz

površinu naleglu na konturu C. Zaista, primenom jednačina iz vektorske algebre

abcacbcba

nalazimo:

C

pi Bd V

. (1.15)

Kako je pV

brzina pomeranja elementa

d , slika 5(a), imamo dtdp s

V gde je s

d

(virtuelno) pomeranje elementa

d . Dakle:

dt

ddBd

dt

1 m

C

i

~

s

. (1.16)

Veličina md~

predstavlja fluks vektora B

kroz površinu koju prebriše kontura C pri svom

pomeranju za s

d :

CCC

m BSdBdddBdd

ss~

, (1.17)

gde je

ddSd s šrafirana površina sa slike 5(a). Kako je fluks vektora B

kroz

proizvoljnu zatvorenu površinu i u nestacionarnom polju jednak nuli, imamo:

dttStS

m

S

SdBSdBdSdB0 ~

, (1.18)

gde smo sa tS označili površinu ograničenu konturom C u trenutku t. Na osnovu jednačine

(1.18) imamo:

mmmm dtdttd ~

(1.19)

gde je md promena magnetnog fluksa kroz površinu naleglu na konturu C. Zamenom (1.19)

u (1.16) nalazimo:

dt

d mi

. (1.20)

Formulom (1.20) dokazan je zakon elektromagnetne indukcije dobijen eksperimentalnim

putem, vidi jednačinu (1.6).

S obzirom na definiciju (1.14) indukovane elektromotorne sile, kao i definiciju

magnetnog fluksa, jednačina (1.5), zakon elektromagnetne indukcije može da se napiše u

obliku:

SC

SdBdt

ddE

*. (1.21)

7

■Primer

Kao primer indukovanja elektromotorne sile u pokretnom provodniku razmotrimo

indukovanje naizmenične elektromotorne sile u rotirajućem pravougaonom provodnom ramu,

koji rotira u homogenom magnetnom polju, slika 6.

Slika 6.

Magnetni fluks kroz površinu S

je dat sa:

cosSBSBtm

(1.22)

gde je ugao između vektora B

i S

. Pri rotaciji rama imamo t . Indukovana

elektromotorna sila je:

tSBdt

d mi

sin . (1.23)

Vidimo da se posmatrano strujno kolo ponaša kao generator naizmenične i , slika 6(b).■

1.4. INDUKOVANJE STRUJE U PROVODNIKU U PROMENLJIVOM

MAGNETNOM POLJU

U prethodnom odeljku objasnili smo poreklo indukovane elektromotorne sile za slučaj

da do promene magnetnog fluksa kroz površinu konture dolazi usled kretanja konture u

stacionarnom magnetnorn polju. Međutim, magnetni fluks se može menjati i kada kontura

miruje u vremenski promenljivom magnetnom polju. Priroda indukovane elektromotorne sile

u ovom slučaju je različita od prethodne. U suštini, promenljivo magnetno polje ( 0tB )

izaziva vrtoložno električno polje BE

pod čijim delovanjem dolazi do usmeravanja kretanja

elektrona u povodniku, to jest do indukovanja struje. Do zakona elektromagnetne indukcije u

ovom slučaju, može se, međutim doći polazeći od principa relativnosti kretanja i zaključaka

prethodnog odeljka.

Pođimo zato od prethodno razmotrenog slučaju pokretnog kvazi-linijskog provodnika

u stacionarnom magnetnorn polju, i pretpostavimo da se kontura (1) kreće uniformno,

konstantnom brzinom V

, (slika 7(a)). Kako su mirovanje i kretanje relativni pojmovi, to

„interakcija“ dve konture koje se jedna u odnosu na drugu kreću uniformno može zavisiti

samo od njihove relativne brzine. Prema tome, ako bi se provodnik (2) kretao brzinom V

, a

kontura (1) mirovala, indukovana struja Iʹ u konturi (1) ostala bi nepromenjena, slika 7(b).

Ovim smo pokazali da se u nepokretnoj strujnoj konturi indukuje elektromotorna sila po

zakonu (1.20):

8

dt

d mi

, 0p V . (1.24)

Slika 7.

Pokazuje se da zakon (1.20), to jest (1.24) može da se uopšti i na slučaj neuniformnog

kretanja. Takođe ovaj zakon važi i u slučaju kada se promenljiv magnetni fluks kroz površinu

konture (1) ostvaruje promenljivom strujom kroz konturu (2), pri čemu kontura (2) može i da

miruje. Dakle, izraz:

dt

d mi

(1.25)

važi nezavisno od toga šta je uzrok promenljivom magnetnom fluksu m .

Napomenimo, na kraju, da zakon elektromagnetne indukcije važi i u slučaju kada se

strujni provodnici nalaze u magnetiku ( 1r ). U tom slučaju, međutim, magnetni fluks m

potiče kako od spoljnjeg polja 0B

, tako i od polja B

indukovanih mikrostruja.

☺ 2. INDUKTIVNOST STRUJNIH PROVODNIKA

2.1. KOEFICIJENT SAMOINDUKCIJE, L

Strujni provodnik u kome „teče“ nestacionarna struja se u pogledu svojih

geometrijskih svojstava karakteriše takozvanim koeficijentom samoindukcije, L. U ovom

odeljku biće definisana veličina L za kvazi-linijski provodnik.

Slika 1.

9

Uvođenje koeficijenta L se zasniva na činjenici da između jačine struje tI kroz

provodnik i sopstvenog magnetnog fluksa tm s, kroz površinu naleglu na konturu C, vidi

sliku 1, postoji proporcionalnost. Koeficijent proporcionalnosti između ove dve veličine je po

definiciji koeficijent samoindukcije L. Dakle:

tI

tL

m s, , (2.1)

gde je:

S

Sm SdBt

s, (2.2)

U SI sistemu jedinica za indukovanost je Henri (H):

HL .

Indukovanost od 1H ima kontura kroz koju struje od 1A izaziva fluks od 1Wb.

Primetimo da linearna veza između m i I važi samo u slučaju kada je magnetna

propustljivost sredine koja okružuje konturu nezavisna od jačine polja. Drugim rečima,

formula ILm važi samo u odsustvu feromagnetika. Formalno, formula (1.26) se može

primeniti i u prisustvu feromagnetnih materijala, ali je tada L složena funkcija od I .

U odsustvu feromagnetika, koeficijent samoindukcije L zavisi sarno od geometrijskih

svojstava konture i od magnetnih svojstava sredine oko konture.

■Primer

Nađimo koeficijent samoindukcije solenoida dužine r (gde je r poluprečnik

navojka) sa N gusto namotanih navojaka.

Pretpostavimo da kroz navojke solenoida teče struja jačine I. Polje beskonačnog

solenoida je koncentrisano unutar njegove zapremine i iznosi InB , gde je n broj navojaka

po jedinici dužine solenoida. Približno isti izraz važi i za konačan solenoid kod koga je

Nn ako su zadovoljeni navedeni uslovi. Ukupan fluks (kroz svih N navojaka solenoida)

je:

SInnSBNm , (2.3)

gde je S površina jednog navojka, slika 2.

Slika 2.

Kako je zapremina solenoida SV , to je:

IVn2

m , (2.4)

tako da formula (1.26) daje:

VnL 2 . (2.5)

Primetimo da na osnovu formule (2.5) za magnetnu propustljivost vakuuma dobijamo

sledeću dimenziju:

10

m

HL

Vn

L20

, (2.6)

to jest dimenzija 0 je Henri po metru. ■

2.2. KOEFICIJENT UZAJAMNE INDUKCIJE

U slučaju sistema kvazilinijskih provodnika, pored koeficijenta samoindukcije

pojedinih kontura uvode se, kao mera njihovih karakteristika takozvani koeficijenti uzajamne

indukcije.

Slika 3.

Posmatrajmo dva kvazilinijska provodnika (kontura C1 i C2) kao na slici 3. Ako kroz

konturu C1 „teče“ struja jačine tI1 onda se kroz površinu S2 naleglu na konturu C2

pojavljuje magnetni fluks t12m :

2S

2112m SdtBt

, . (2.7)

Ovaj fluks je proporcionalan struji 1I . Pri definiciji fluksa 12m , smer obilaska konture C2

usklađen je sa smerom struje 1I . Takođe, ako kroz provodnik C2 „teče“ struja tI2 , onda se

kroz površinu S1 ograničenu konturom C1 javlja magnetni fluks:

1S

1221m SdtBt

, . (2.8)

Poslednji fluks je proporcionalan jačini struje tI2 .

Pomenute proporcionalnosti t12m ~ tI1 i t21m ~ tI2 , se koriste za definiciju

koeficijenata L12 i L21:

tI

tL

1

12m12

,

tI

tL

2

21m21

(2.9)

Pokazuje se da su koeficijent L12 i L21 u odsustvu feromagnetika međusobno jednaki, to jest

važi:

2112 LL (2.10)

Koeficijent uzajamne indukcije L12 (to jest L21) zavisi samo od geometrije i uzajamnog

odnosa provodnika i od sredine koja ih okružuje. Dimenzija L12 je isto kao i dimenzija L:

HL12 .

11

■Primer

Nađimo koeficijente uzajamne indukcije L12 i L21 dvaju kalemova namotanih na

toroidalno gvozdeno jezgro, slika 4.

Slika 4.

Magnetno polje posmatranog sistema je koncentrisano unutar torusa. Za tanak torus

srednjeg obima i poprečnog preseka S primenom uopštene Amperove teoreme za jačinu

magnetne indukcije od N1 navojaka struje I1 imamo:

11

1 IN

H

, (2.11)

dok je odgovarajuća jačina polja 1F1 HB . Magnetni fluks kroz N2 navojaka drugog kalema

jednak je:

1211F1212m IS

NNHBSN

(2.12)

Analogno, jačina magnetne indukcije od N2 jednaka je:

22

2 IN

H

, (2.13)

tako da je:

2212F2121m IS

NNHBSN

. (2.14)

Primenom definicije (2.8), nalazimo:

SNNHL 211F12 (2.15a)

SNNHL 212F21 (2.15b)

Dakle, oba koeficijenta uzajamne indukcije imaju isti oblik. Međutim, veličine 1F H i

2F H su međusobno različite i zavise od jačine struja I1 odnosno I2. U odsustvu

feromagnetnog jezgra 02F1F HH , imamo:

SNNLL 2102112 . (2.16)

Primetimo, na kraju, da se koeficijenti L, L12 i L21 mogu definisati i za zapreminske

provodnike. Takođe, kada se razmatraju ovi koeficijenti u prisustvu feromagnetika često se

koristi opštija (takozvana energijska) definicija.

12

☺ 3. SAMOINDUKCIJA I UZAJAMNA INDUKCIJA U STRUJNIM

KOLIMA

3.1. STRUJA U KOLU SA SAMOINDUKCIJOM

Kada kroz površinu naleglu na strujnu konturu postoji promenljivi magnetni fluks, u

konturi se javlja efekat indukcije. Specijalni slučaj ove pojave je kada promenljivi magnetni

fluks izaziva sopstvena, vremenski zavisna struja jačine tII .

Slika 1.

Dakle, ako je u kvazi-linijskom provodniku promenljiv sopstveni magnetni fluks

s,m , zbog promenljivog magnetnog polja tBs , vidi sliku 1(a), u provodniku se indukuje

elektromotorna sila samoindukcije s po zakonu (1.25):

dt

d m s

s

, . (3.1)

Kako je, na osnovu definicije koeficijenta samoindukcije, jednčina (2.1), ILm s, , imamo:

dt

dLI

dt

dILIL

dt

ds . (3.2)

U slučaju nedeformabilne konture smeštene u neferomagnetnu sredinu, koeficijent L ne zavisi

od vremena, tako da se anulira član dtdLI u jednačini (3.2). Tada je elektromotorna sila

samoindukcije data formulom:

dt

dIL s . (3.2)

Činjenicu da u strujnoj konturi (električne otpornosti R) uporedo sa stranom

elektromotornom silom t koja predstavlja izvor struje deluje i elektromotorna sila

samoindukcije ts može šematski da se predstavi kao na slici 1(b). Takođe, često se koristi i

šematski prikaz kao na slici 1(c) u kome je eksplicitno prikazan parametar kola (zavojnica

odnosno solenoid) kome se u prikazu kola sa koncentirsanim parametrima pridružuje

koeficijent sarnoindukcije L. Napomenimo da je elektromotorna sila samoindukcije s data

izrazom (3.3) pod uslovom da struja I (izlazi iz pozitivnog pola elementa s na slici 1(b).

Zaista, u slučaju da struja I u kolu raste, imaćemo 0 s u odnosu na prikazan polaritet i

struja samoindukcije će biti suprotnog smera od smera struje I.

Ukoliko su u posmatranom kolu ostvareni uslovi kvazistacionarnosti, za kolo će važiti

Omov zakon koji sada možemo da napišemo u obliku:

sIR . (3.4)

13

Pri pisanju gornjeg zakona uzeli smo da se smer struje I i smer obilaska konture pokapaju i

primenili konvenciju usvojenu za znak elektromotorne sile. Za nedeformabilne konture u

slabom magnetiku, elektromotorna sila samoindukcije je data jednačinom (3.3). Zamenom

ovog izraza u jednačinu (3.4) nalazimo:

dt

dILIR . (3.5)

Poslednja formula predstavlja opštu jednačinu za struju tI u kolu sa samoindukcijom.

Pomoću ove jednačine može se odrediti jačina struje u kolu sa promenljivim izvorom t .

Najvažnija klasa ovakvih elektromotornih sila su periodične elektromotorne sile. Nalaženje

struje u kolima sa ovakvim izvorima t biće odloženo za odeljak u kome se razmatra opšti

slučaj oscilatornih strujnih kola. U ovom odeljku razmotrićemo jedan specifičan slučaj

nestacionarnosti struje koji nastaje uključivanjem i isključivanjem konstantne elektromotorne

sile u strujnom kolu.

■Primer 1.

Efekat samoindukcije je vrlo izrazit pri isključivanju struje u kolu u kome deluje

konstantna strana elektromotorna sila .

Slika 2.

Posmatrajmo kvazilinijsko strujno kolo otpornosti R i samoindukcije L u

kome se pomoću preklopnika P može isključiti struja (slika 2(a)). Kada je preklopnik u

položaju 1 kroz kolo “teče” stacionarna struja:

RI

s . (3.6)

Pretpostavićemo da smo u trenutku 0t preklopnik P prebacili u položaj 2 i tako isključili

izvor iz kola. struja u kolu neće trenutno iščeznuti jer se javlja elektromotorna sila

samoindukcije (slika 2(b)) koja teži da održi struju u kolu. Posle isključenja izvora, jednačina

kola je data izrazom (3.5) u kome treba uzeti 0 :

dt

dILIR , (3.7a)

to jest:

0I1

dt

dI

(3.7b)

gde smo uveli takozvanu vremensku konstantu kola:

R

L . (3.8)

14

Jednačina (3.7b) predstavlja takozvanu linearnu i homogenu diferencijalnu jednačinu

prvog reda sa konstantnim koeficijentima u kojoj se razdvajaju promenljive:

dt1

I

dI

(3.9)

Neposrednom integracijom jednačine (3.9) nalazimo:

t

eKI , (3.10a)

gde je K proizvoljna konstanta. Primenom početnog uslova: 0t , 0II , nalazimo da je

0IK , tako da je:

t

0 eII . (3.10b)

Dakle, matematički gledano, tek pri t struja u kolu iščezava. Međutim, kako

jačina struje opada sa vremenom po eksponencijalnom zakonu to će brzo dostići vrednost

blisku nuli, slika 2(c). Tako, na primer, za vreme jačina struje opadne e puta u odnosu na

svoju vrednost 0I u trenutku 0t . ■

■Primer 2.

Analogna analiza može da se izvrši i pri uključivanju kola prebacivanjem preklopnika

P iz položaja 2 u položaj 1 (slika 3(a)). Sada je u početnom trenutku ( 0t ) struja 0I . Posle

prebacivanja preklopnika u položaj 1 u kolu deluje strana elektromotorna sila kao i

elektromotorna sila samoindukcije s koja onemogućava trenutno uspostavljanje struje, slika

3(b).

Slika 3.

Jednačina kola je sada data sa (3.5):

dt

dILIR . (3.11a)

Poslednji izraz se može napisati u obliku:

LI

1

dt

dI

. (3.11b)

Ponovo smo dobili linearnu diferencijalnu jednačinu prvog reda sa konstantnim

koeficijentima koja je sada nehomogena ( 0L ). Njeno rešenje jednako je zbiru opšteg

rešenja odgovarajuće homogene jednačine (koje ima oblik (3.10a)) i partikularnog rešenja

nehomogene jednaeine (na primer, RIp ):

15

ReKI

t

. (3.12a)

Odredivši K iz početnog uslova ( 0t , 0I ), nalazimo:

t

0 e1II , (3.12a)

gde je RI0 stacionarna vrednost struje. Grafik uspostavljanja struje u kolu dat je na slici

3(c). ■

3.2. STRUJE U MAGNETNO SPREGNUTIM KOLIMA

Dva bliska, kvazilinijska strujna provodnika 1 i 2 promenljivih (kvazistacionarnih)

struja jačine 1I i 2I ostvaruju uzajamnu magnetnu spregu. Usled ove sprege, u njima se, pored

elektromotornih sila samoindukcije 1s i 2s indukciju i elektromotorne sile 1i i 2i koje

nazivamo elektromotorne sile uzajamne indukcije.

Slika 4.

Posmatraćemo dva kvazilinijska strujna provodnika kao na slici 4(a) konture C1 i C2.

Ako je struja 1I promenljiva, onda se u njoj bliskoj konturi C2 indukuje elektromotorna sila:

112

12m

2i ILdt

d

dt

d

,. (3.13a)

Pri pisanju gornjeg izraza iskoristili smo definiciju (2.9): 11212m IL , . Analogno, ako je

struja 2I promenljiva, u kolu 1 se indukuje elektromotorna sila:

221

21m

1i ILdt

d

dt

d

,. (3.13a)

U slučaju kada se uzajamni položaji kontura C1 i C2 ne menjaju, koeficijenti L12 i L21

uzajamnih indukcija biće nezavisni od vremena, tako da je:

dt

dIL 1

122i (3.14a)

dt

dIL 2

211i . (3.14b)

Spregnuta kola 1 i 2 su šematski prikazana na slici 4(b). Polariteti indukovanih

elektromotornih sila 1i i 2i su određeni tako da iz pozitivnog pola 1i “izlazi” struja 2I i

obratno. Polariteti elektromotornih sila 1s i 2s su, kao i ranije, određeni tako da struje 1I i

16

2I izlaze iz pozitivnih polova ovih izvora. Ukupne indukovane elektromotorne sile u

magnetno spregnutim kolima (slika 4(b)), su:

1i11ind s, (3.15a)

2i22ind s, . (3.15b)

U neferomagnetnoj sredini, pod uslovom konstantnih geometrijskih karakteristika

( constL1 , constL2 , constLL 2112 ), imamo:

dt

dIL

dt

dIL 2

211

11ind , (3.16a)

dt

dIL

dt

dIL 1

122

22ind , . (3.16b)

Ukoliko su struje u sistemu kvazistacionarne, na svaku od kontura se može primeniti

Omov zakon:

1ind111IR , (3.17a)

2ind222IR , . (3.17b)

Zamenom (3.16a,b) u (3.17a,b), nalazimo:

dt

dIL

dt

dILIR 2

211

1111 (3.18a)

dt

dIL

dt

dILIR 1

122

2222 . (3.18b)

Do sada smo pretpostavili da su struje u spregnutim konturama

paralelne, slika 4(a). To su takozvano saglasno spregnute konture. Ukoliko jedna od struja

promeni smer (nesaglasna sprega, slika 5(a)) treba ponovo primeniti konvenciju o

polaritetima izvora indukovanih elektromotornih sila, tako da dobijama šemu prikazanu na

slici 5(b). Primenom Omovog zakona na svaku od kontura sada nalazimo:

dt

dIL

dt

dILIR 2

211

1111 (3.18a)

dt

dIL

dt

dILIR 1

122

2222 . (3.18b)

Slika 5.

■Primer

Razmotrimo jedno jedinstveno razgranato strujno kolo sa saglasno spregnutim

granama, prikazano na slici 6.

17

Slika 6.

Svaka od grana karakteriše se otpornošću Ri i samoindukcijom Li ( 21i , ), a

magnetnoj sprezi odgovaraju koeficijenti samoindukcije MLL 2112 . S obzirom da se kolo

može predstaviti ekvivalentnom šemom sa slike 6(b), kao i da važe Kirhofova pravila (pod

uslovima kvazistacionarnosti struja) imamo:

dt

dIL

dt

dILIR 2

211

111 (3.18a)

dt

dIL

dt

dILIR 1

122

222 . (3.18b)

Vidimo da se dobija sistem spregnutih diferencijalnih jednačina za struje tII 11 i

tII 22 . Pod uslovom da je poznata elektromotorna sila t , uz zadate početne uslove,

rešavanjem ovog sistema diferencijalnih jednačina dobijamo obe struje: tI1 i tI2 . ■

☺ 4. ENERGIJA ELEKTROMAGNETNOG POLJA

4.1. MAGNETNA ENERGIJA Wm SISTEMA KVAZILINIJSKIH

STRUJNIH PROVODNIKA

U okviru magnetostatike nije bilo u potpunosti moguće definisati magnetnu energiju

strujnih sistema. Razlog je u efektu elektromagnetne indukcije čiji doprinos energijskom

bilansu u sistemu nije moguće zanemariti. Jedino što je bilo moguće u magnetostatici je

definisanje potencijalne funkcije mW~

koja u izvesnom smislu igra ulogu potencijalne energije

sistema. U ovom odeljku biće razmotrena magnetna energija sistema od dva kvazilinijska

provodnika.

Slika 1.

18

Posmatrajmo dva magnetna spregnuta kvazilinijska strujna provodnika (konture C1 i

C2) koji se nalaze u neferomagnetnoj sredini. U trenutku t, slika 1, sistem se karakteriše

strujama tI1 i tI2 , stranim elektromotornim silama t1 i t2 i otpornostima R1 i R2. Za

struje u kolima se pretpostavlja da su kvazistacionarne. Razmotrimo šta se sa stanovišta

energije dešava u sistemu za vreme dt. Uzećemo u obzir da se za ovo vreme konture mogu

međusobno pomerati i da se pritom svaka ponaosob može deformisati. U tom slučaju

koeficijenti samoindukcije L1 i L2 kao i koeficijenti uzajamnih indukcija MLL 2112

predstavljaju funkcije vremena.

Slika 2.

Za vreme dt, slika 2(a), u posmatranom sistemu oslobodi se toplota, dQ koja je na

osnovu Džul-Lencovog zakona data sa:

dtIRIRdQ 2

22

2

11 (4.1)

Za isto vreme strane sile izvora elektromotornih sila izvrše rad:

dtIIAd 2211 * . (4.2)

U magnetostatici smo imali da se ukupan rad stranih sila generatora transformiše u toplotu, to

jest 0dQAd * . Zbog toga je magnetostatičko polje u pogledu energije neaktivno; koliko

primi energije, toliko isto i vrati sistemu, slika 2(b). Primetimo da je u elektrostatici ukupan

izvršen rad bio jednak potencijalnoj energiji sistema, odnosno odgovarajućoj energiji polja,

slika 2(b).

U elektrodinamici magnetno spregnutih kontura 0dQAd * . Energijski bilans u

sistemu ima oblik:

21IImm WddWdQAd

~* (4.3)

gde je dWm priraštaj magnetne energije sistema, odnosno, kao što ćemo videti odgovarajućeg

polja za vreme dt, dok je mWd~

promena potencijalne funkcije za isto vreme. Naime, usled

promene uzajamnog položaja kontura, a i zbog njihovih eventualnih deformacija za vreme dt

u sistemu se javlja i priraštaj mehaničke energije koji je jednak 21IImWd

~ (pri konstantnim

strujama I1 i I2).

Na osnovu jednačina (4.1) i (4.2) imamo:

dtIRIdtIRIdQAd 22221111 * , (4.4)

19

dok je na osnovu Omovog zakona primenjenog na strujne provodnike 1 i 2:

1ind111IR , (4.5a)

2ind222IR , (4.5b)

gde su 1ind, i 2ind, ukupne elektromotorne sile indukovane u strujnim konturama 1 i 2:

dt

dIL

dt

dIL 2

211

11ind , (4.6a)

dt

dIL

dt

dIL 1

122

22ind , . (4.6b)

Zamenom (4.5a,b) i (4.6a,b) u jendačinu (4.4) nalazimo:

11222222211111 ILdIILdIILdIILdIdQAd * , (4.7)

odnosno:

12212

2

221211

2

11212222212111 dLIIdLIdLIIdLIdIILdIILdIILdILdQAd * . (4.8a)

Ako uzmemo u obzir da je 2112 LL , nalazimo:

2

2

212211

2

1

2

222112

2

11 dLI2

1dLIIdLI

2

1IL

2

1IILIL

2

1ddQAd

* . (4.8b)

Da bi našli priraštaj magnetnog polja, potrebno je izračunati čemu je jednaka promena

potencijalne funkcije 21IImWd

~, za posmatrani sistem od dva magnetno spregnuta provodnika.

S obzirom da potencijalna funkcija u mehaničkom smislu odgovara potencijalnoj energiji u

elektrostatici, opšti izraz za mW~

se može naći po analogiji sa sistemom od dva tačkasta

naelektrisanja. U tom slučaju smo imali:

2e1e

2

1i

iie WW2

1q

2

1W

(4.9)

gde je 111e qW energija naelektrisanja 1q u polju naelektrisanja 2q , dok je 222e qW

energija naelektrisanja 2q u polju naelektrisanja 1q .

Po analogiji sa (4.9) imamo:

2m1mm WW2

1W

~~~ , (4.10)

pri čemu je 1m11m IW ~

, dok je 2m22m IW ~

. Kako su 1m i 2m ukupni magnetni

fluksevi kroz površine nalegle na konture C1 i C2, imamo:

2211121m1ms1m ILIL (4.11a)

1122212m2ms2m ILIL . (4.11b)

Zamenom (4.11a,b) u (4.10), nalazimo:

112222221111m ILILI2

1ILILI

2

1W ~

, (4.12a)

odnosno:

2

222112

2

11m IL2

1IILIL

2

1W ~

, (4.12a)

tako da je:

2

2

212211

2

1IIm dLI2

1dLIIdLI

2

1Wd

21

~. (4.13)

Dakle, zbog rada stranih sila generatora, rada mehaničkih sila, a kada se uzme u obzir

energija oslobođena u obliku toplote, dobija se da u sistemu za vreme dt postoji priraštaj

energije:

20

21IImm WddQAddW

~* . (4.14a)

Zamenom izraza (4.8b) i (4.13) u poslednju jednačinu nalazimo:

2

222112

2

11m IL2

1IILIL

2

1ddW . (4.14b)

Dakle, za magnetnu energiju sistema dva kvazilinijska strujna provodnika nalazimo:

2

222112

2

11m IL2

1IILIL

2

1W . (4.15)

4.2. MAGNETNA ENERGIJA Wm USAMLJENE STRUJNE KONTURE

Izraz (4.15) za magnetnu energiju dve uzajamno magnetno spregnute strujne konture

lako se uopštava na proizvoljan broj kontura. Takođe, kao specijalan slučaj ovog izraza dobija

se magnetna energija Wm usamljene strujne konture.

Za sistem od N strujnih kontura imamo:

N

1i

N

1j

jiijm IIL2

1W (4.16)

gde su iii LL odgovarajući koeficijenti samoindukcije. Na osnovu

poslednjeg izraza, pri 1N , za II1 i LL11 nalazimo:

2

m IL2

1W . (4.17)

Poslednji izraz predstavlja traženu energiju Wm usamljenog kvazilinijskog strujnog

provodnika sa nestacionarnom strujom jačine tII , slika 3.

Slika 3.

Primetimo da smo u svim razrnatranjima ovog odeljka implicitno pretpostavili da

sistem struja nema kapacitivnost. Zbog toga u energijskom bilansu nismo uzimali u obzir

električnu energiju. U opštem slučaju ukupna energija sistema jednaka je zbiru električne i

magnetne energije i one se mogu međusobno transformisati. Prvi ovakav slučaj srešćemo već

kod takozvanih RLC-kola u petom odeljku ove knjige.

■Primer

Kao primer kola sa samoindukcijom već smo razmatrali proces uključivanja i

isključivanja strujnog kola. Razmotrimo sada šta se dešava sa energijom u sistemu u toku

procesa uključivanja strujnog kola.

21

Pretpostavimo da smo u trenutku 0t uključili strujno kolo, vidi primer 2 odeljka 3.1.

Stacionarna vrednost 0I se ne uspostavlja trenutno, već I teži ovoj vrednosti po zakonu

(3.12b). Da bismo našli energijski bilans u ovom kolu, za koje pretpostavljamo da je

nedeformabilno, pomnožimo jednačinu (3.11a) ovog kola sa I.

Tako dobijamo

dt

dIILIRI2 , (4.18a)

to jest:

22 IL

2

1ddIILdtRIdtI . (4.18b)

Izraz na levoj strani jednačine (4.18b) jednak je dQAd * gde je *Ad rad koje izvrše

strane izvora elektromotorne sile za vreme dt, dok je dQ energija koja se u obliku toplote

izrači iz sistema za vreme dt. Ova razlika jednaka je porastu magnetne energije dWm strujnog

kola, jednačina (4.3.), tako da na osnovu (4.18b) dobijamo:

2

m IL2

1dW . ■ (4.19)

4.3. GUSTINA ENERGIJE MAGNETNOG POLJA

Videli smo da strujna kontura indukovanosti L nestacionarne struje tII ima

magnetnu energiju 2

m IL2

1W , jednačina (4.17). Pri analizi energijskog bilansa u ovakvom

sistemu već je bilo napomenuto da se ova energija može interpretirati kao energija magnetnog

polja koja je sa gustinom m raspoređena u celom prostoru.

Opšti postupak pomoću koga dolazimo do gustine energije m analogan je

odgovarajućem postupku u elektrostatici. Polazimo od izraza:

2

m IL2

1W (4.20a)

koji je na osnovu definicione formule za koeficijent samoindukcije L,

jednačina (2.1): IL m s, , svodi na:

s,mm I2

1W . (4.20b)

U okviru magnetostatike videli smo da se sopstveni magnetni fluks

s,m može izraziti u obliku cirkulacije vektorskog potencijala A

. Kako u elektrodinamici

definicija vektorskog potencijala A

ostaje ista kao u magnetostatici ( ArotB

), i izraz za

s,m ostaje isti:

C

m dA

s, , (4.21)

gde je C kontura posmatranog kvazilinijskog provodnika. Zamenom jednačine (4.21) u

jednačinu (4.20b) nalazimo:

C

m dIA2

1W

. (4.22)

U najopštijem slučaju zapreminskog strujnog provodnika imamo

dVdI j

, tako da za energiju Wm dobijamo:

22

V

m dVA2

1W j

, (4.23a)

gde je V zapremina strujnog provodnika, a j

gustina struje u njemu. Ključno mesto pri

prelasku sa energije provodnika na energiju polja, predstavlja činjenica da se poslednji

integral može proširiti na zapreminu V celog (beskonačnog) prostora. Naime, izvan strujnog

provodnika imamo 0j

. Dakle:

V

um dVA2

1W j

. (4.23b)

Pri pisanju poslednje formule uzeli smo u obzir da se u slučaju nestacionarnog magnetnog

polja tB

, obavezno pojavljuje i nestacionarno električno polje tE

koje daje doprinos

gustini struje, tako da u izrazu (4.23b) figuriše ukupna gustina struje uj

.

Sledeći korak u transformaciji izraza (4.23b) je eliminacija vektora uj

na osnovu

jednačine:

u0Brot j

. (4.24)

Poslednju jednačinu smo preuzeli iz magnetostatike; samo je umesto j

stavljeno uj

.

Detaljnije razmatranje jednačine (4.24) biće dato u sledećoj glavi u kojoj se razmatraju

jednačine elektromagnetnog polja. Uvrstivši jednačinu (4.24) u jednačinu (4.23b) nalazimo:

V0

m dVBrotA2

1W

. (4.25)

Koristeći opštu relaciju:

BrotAArotBBAdiv

(4.26)

kao i vezu ArotB

, dobijamo:

V0V

2

0

m dVBAdiv2

1dVB

2

1W

. (4.27)

Drugi član u izrazu (4.27) se na osnovu Gaus-Ostrogradskijeve teoreme transformiše u

površinski integral po površini S koja “ograničava” ceo prostor V :

0SdBAdVBAdivSV

.

(4.28)

Naime, ukoliko je strujni sistem lokalizovan u konačnom delu prostora, pri r imamo

B~ 2r1 , A~ r1 , S~ 2r , tako da je integral (4.28) jednak nuli. Dakle:

V

2

0

m dVB2

1W . (4.29)

Izraz (4.29) ukazuje na to da je energija Wm raspoređena u celom prostoru V sa

gustinom:

2

0

m B2

1

(4.30a)

pri čemu je:

V

mm dVW . (4.30b)

Izrazi (4.29) i (4.30a,b) imaju opšti karakter i važe za proizvoljni strujni sistem u vakuumu

(lokalizovan u konačnom delu prostora), pri čemu je B

jačina magnetnog polja ovog sistema.

23

U tom smislu, jednačina (4.29) može da se iskoristi za nalaženje energije polja sistema od dva

strujna provodnika. Iskoristivši opšti princip superpozicije polja, imamo:

21 BBB

, (4.31)

tako da je magnetna energija sistema (to jest odgovarajućeg polja):

V

2

21

0

m dVBB2

1W

, (4.32a)

odakle sledi:

V

21

0V

2

2

0V

2

1

0

m dVBB1

dVB2

1dVB

2

1W

. (4.32b)

Dakle ukupna energija Wm jednaka je:

12m2m1mm WWWW , (4.33a)

gde su Wm1 i Wm2 energije pojedinih provodnika dok je Wm12 energija njihove interakcije:

V

21

0

12m dVBB1

W

. (4.33b)

■Primer

Nađimo magnetnu energiju solenoida za koji pretpostavljamo da je gusto motan i

dugačak. Za jačinu polja u ovakvom solenoidu imamo InB 0 gde je n broj navojaka po

jedinici dužine, a I struja kroz navojke. Unutar solenoida, energija polja je raspoređena sa

gustinom m , tako da je:

VIn2

1dVB

2

1W 22

0

V

2

0

m

, (4.34)

gde je V zapremina solenoida. Izraz za gustinu energije m može se izraziti preko

koeficijenta samoindukcije VnL 2

0 , jednačina (2.5). Imamo:

2

m IL2

1W , (4.35)

to jest, dobili smo već poznat izraz za magnetnu energiju usamljenog strujnog provodnika,

jednačina (4.17). ■

Sva dosadašnja razmatranja energijskih aspekata nestacionarnog magnetnog polja

odnosila su se na strujne sisteme u vakuumu. Ova razmatranja se relativno lako prenose i na

sisteme u slabim magneticima. Naime, u dijamagneticima i paramagneticima za gustinu

energije magnetnog polja dobija se izraz:

HB2

1B

2

1 2

m

(4.36)

gde je sa H

označena jačina magnetne indukcije (vektor koji se uvodi analogno kao u

magnetostatici).

Problem nastaje kada se razmatra energijski bilans u prisustvu feromagnetika. Naime,

u tom slučaju više ne važi formula (4.3), to jest:

mm WddWdQAd~* . (4.37)

Naime, sada mWddQAd~* nije jednako priraštaju energije magnetnog polja. Deo

energije se nepovratno gubi u procesu namagnetisavanja feromagnetika.

U feromagnetiku zapremine V, za vreme dt imamo:

VQdVdBHdWm

~ , (4.38)

24

gde je Qd~

gubitak energije pri namagnetisavanju feromagnetika za vreme dt. Pri jednom

histerezisnom ciklusu, ukupan gubitak energije jednak je:

dBHQ~

. (4.39)

Veličina Q~

naziva se zagrevanje po histerezisu. Brojna vrednost ove veličine poklapa se sa

površinom histerezisne petlje, a po svom fizičkom smislu predstavlja priraštaj unutrašnje

energije jedinice zapremine feromagnetika pri jednom histerezisnom ciklusu. Ova unutrašnja

energija ide na zagrevanje feromagnetika.

☺ 5. OSCILATORNA KOLA KVAZI-STACIONARNIH STRUJA

5.1. OPŠTA JEDNAČINA RLC-KOLA

Do sada smo razmatrali kvazistacionarne struje kroz zatvorene strujne provodnike koji

su se karakterisali svojom otpornošću R i koeficijentom samoindukcije L. U ovom odeljku

ćemo proširiti naše razmatranje na najopštiji slučaj takozvanih otvorenih električnih kola. To

su, na primer, kola u kojima postoji kondenzator. Ovakva kola se pored parametara R i L

karakterišu i svojom kapacitivnošću i nazivaju se RLC-kola.

Promenljiva struja kroz RLC-kola predstavlja izvor elektromagnetnog polja. Energija

Wem ovog polja predstavlja zbir električne energije We i magnetne energije Wm. Usled

uzajamne transformacije ovih energija, pod izvesnim uslovima, sve veličine u kolu kao što su

naelektrisanja na kondenzatoru, struja u kolu i tako dalje, osciluju sa vremenom. Zato se ova

kola zovu još i oscilatorna kola. Ukoliko u kolu ne deluje strana elektromotorna sila, zbog

otpornosti kola ove oscilacije su prigušene. Međutim, ukoliko u kolu deluje periodična

elektromotorna sila, u kolu se uspostavljaju trajne električne oscilacije.

S obzirom da je RLC-kolo otvoreno električno kolo, Omov zakon za ovakvo kolo gubi

smisao čak i pod uslovima kvazistacionarnosti struje. Naime, zbog elektromagnetne indukcije

električno polje u provodniku nije potencijalno, to jest pojam potencijala gubi smisao.

Da bi našli opštu jednačinu RLC-kola pođimo od energijskog bilansa u kolu, slika

1(a).

Slika 1.

25

U posmatranom kolu javlja se struja tII . Označimo sa tq1 i tq2 naelektrisanja na

oblogama kondenzatora u trenutku t ( 21 qq ), i orijentišimo struju kao na slici 1(a). Pri ovoj

orijentaciji imamo:

dt

dq

dt

dqtI 21 . (5.1)

Elektromagnetna energija u sistemu jednaka je zbiru električne i magnetne energije:

meem WWW . (5.2)

Magnetna energija sistema data je jednačinom (4.17):

2

m IL2

1W , (5.3a)

dok se, pod uslovima kvazistacionarnosti, energija We svodi na energiju kondenzatora (ili

polja u kondenzatoru) dobijenu u elektrostatici:

2

1e qC2

1W . (5.3b)

Zamenom (5.3a) i (5.3b) u (5.2) nalazimo:

2

1

2

em qC2

1IL

2

1W . (5.4)

Energijski bilans u posmatranom RLC-kolu je sada dat sa, vidi sliku 1 (b),

emdWdQAd * (5.5)

gde je dtIAd * rad stranih sila generatora, dok je dtIRdQ 2 oslobođena toplota (za

vreme dt), dok je dWem priraštaj elektromagnetne energije sistema (polja). Pri pisanju

jednačine (5.1) pretpostavili smo da je kolo nedeformabilno ( 0Wd m ~

, constL , constR ,

constC ). Zamenom jednačine (5.4) u jednačinu (5.5) nalazimo:

11

2 dqqC

1dIILdtIRdtI . (5.6a)

Kako je dtIdq1 , to se deljenjem jednačine (5.6a) sa Idt dobija:

C

q

dt

dILIR 1 , (5.6b)

odnosno:

dt

dIL

C

qIR 1 . (5.7)

Dobijena jednačina predstavlja opštu jednačinu RLC-kola. Formalno, ona ima oblik

Omovog zakona:

1221IR , (5.8)

gde je ukupna elektromotoma sila s12 pri čemu je dtdILs elektromotorna sila

samoinudukcije, dok je za razliku potencijala uzeto Cq121 (to je formalno napon na

kondenzatoru Uc). Drugim rečima, RLC-kolo se može opisati Omovim zakonom (5.8) pod

uslovom da se 21 uzima duž puta koji u celini leži između obloga kondenzatora.

Ekvivalentna šema RLC-kola prikazana je na slici 1(c) u kojoj su parametri R, L i C

prikazani odgovarajućim simbolima, a takođe i strana elektromotorna sila t .

26

5.2. SLOBODNE OSCILACIJE U KOLU BEZ OTPORNOSTI

Nalaženje zavisnosti struje od vremena u oscilatornim RLC-kolima započinjemo

razmatranjem kola u kojima ne deluje strana elektromotorna sila ( 0 ). Prvo ćemo razmotriti

slučaj kada se otpornost provodnika može zanemariti ( 0R ).

Jednačinu kola nalazimo iz izraza (5.7) u kome je 0 i 0R :

dt

dIL

C

q0 1 . (5.9)

S obzirorn na (5.1) imamo:

2

1

2

dt

qd

dt

dI . (5.10)

Zamenom (5.10) u (5.9) i deljenjem dobijenog izraza sa L dobijamo diferencijalnu jednačinu:

0qdt

qd1

2

02

1

2

(5.11a)

gde smo uveli oznaku:

LC

10 . (5.11b)

Jednačina (5.11a) predstavlja linearnu homogenu diferencijalnu jednačinu drugog reda sa

konstantnim koeficijentima u kojoj je nepoznata funkcija tqq 11 . Rešenje ove jednačine je:

2011 KtKq cos (5.12a)

gde su K1 i K2 dve integracione konstante. Pretpostavimo da je u trenutku 0t naelektrisanje

na kondenzatoru maksimalno ( m1 qq ). Tada imamo da je 00I . Pod ovim uslovima za

integracione konstante nalazimo:

m1 qK , 0K2 , (5.12b)

tako da je:

tqq 0m1 cos . (5.12c)

lz poslednje jednačine vidimo da se naelektrisanje na kondenzatoru menja po harmonijskom

zakonu sa kružnom učestanošću 0 (slika 2(a)). Veličina 0 se zato naziva sopstvena

učestanost kola.

Slika 2.

27

Ostale funkcije kola, kao što su struja I i “napon” na kondenzatoru Uc, slede direktno

iz jednačine (5.12c). Za jačinu struje dtdqI 1 nalazimo:

2tII 0m cos (5.13a)

gde je maksirnalna vrednost struje:

LC

qqI m

m0m , (5.13b)

dok je napon CqU 1c dat sa:

tUU 0mc cos (5.14a)

gde je maksimalna vrednost napona

C

qU m

m . (5.14b)

Promene struje I i napona Uc sa vremenom prikazane su na slikama 2(b) i 2(c), respektivno.

Primetimo da između Um, Im i qm postoji veza:

C

LUm mm q

C

1I (5.15)

Struja tI , slika 2(b); koja po svojoj definiciji predstavlja struju pražnjenja

kondenzatora, i „napon“ na kondenzatoru tUc , slika 2(c), razlikuju se po fazi za 2 . Sa

slike 2. vidimo da kad 1q postaje jednako nuli (kada je i „napon“ Uc jednak nuli), struja ima

svoje ekstremne vrednosti (tačke na graficima slike 2.).

Slika 3.

Oscilatorni proces u posmatranom kolu lako je razumeti na osnovu energijske analize

procesa. U početnorn trenutku 0t ( m1 qq , 0I ) prikazanom na slici 3(a), sva energija

Wem elektromagnetnog polja je skoncentrisana u kondenzatoru:

2

mcem qC2

1WW , 0t (5.16a)

posle toga, kondenzator počinje da se prazni: 1q opada, a struja I raste. Pritom, energija Wc

opada, a energija magnetnog polja raste.

Kako je u razmatranom slučaju otpornost kola 0R , ukupna energija Wem ostaje

konstantna. Zbog toga, u trenutku 1t kada naelektrisanje na kondenzatoru padne na nulu (pa

prema tome i energija električnog polja), struja I, odnosno energija magnetnog polja, dostižu

svoje maksimalne vrednosti, slika 3(b). Tada je:

28

2

mLem IL2

1WW , 1tt . (5.16b)

Ova energija mora biti jednaka Wc. Zaista, na osnovu jednačine (5.15) imamo:

c

2

mL WqLC

1L

2

1W . (5.16c)

U sledećoj etapi procesa, za vreme 21 ttt , dolazi do punjenja kondenzatora pri

čemu na posmatranu oblogu 1 kondenzatora dolazi negativno naelektrisanje ( 0q1 ). U

trenutku 1tt , kada je 0q1 , jačina struje I je bila rnaksimalna. U narednim trenucima jačina

struje opada zadržavajući prvobitni smer. Za ovo održavanje smera odgovorna je

elektromotorna sila samoindukcije koja teži da održi struju u kolu nepromenjenom. Tek u

trenutku 2t jačina struje I pada na nulu pri čemu naelektrisanje na kondenzatoru dobija svoju

polaznu vrednost ali sa izmenjenim znakom ( m1 qq ), slika 3(c). U tom trenutku energija je

ponovo lokalizovana između obloga kondenzatora (slika 3(c)):

2

mcem qC2

1WW , 2tt . (5.16d)

Posle trenutka 2tt ponovo započinje proces pražnjenja kondenzatora na potpuno

analogan način. S obzirom da iz sistema nema zračenja energije, proces transformacije

električne u magnetnu energiju, to jest prenos punjenja i pražnjenja kondenzatora odvija se

beskonačno dugo. U toku ovog procesa, vidi sliku 4,

0dWem . (5.17)

Slika 4.

5.3. SLOBODNE OSCILACIJE U KOLU SA OTPORNOŠĆU

Neprekidno oscilovanje naelektrisinja u kolu u kome ne deluje strana elektromotorna

sila nije moguće u realnim kolima. Zbog postojanja otpora kola (otpornosti R) ove oscilacije

postaju prigušene, a energija se postepeno gubi iz kola u obliku toplote.

Jednačina ovog RLC-kola data je jednačinom (5.7) u kojoj je 0 :

dt

dIL

C

qIR 1 . (5.18)

Ako ponovo iskoristimo vezu dtdqI 1 i podelimo jednačinu (5.18) sa L, nalazimo:

0qdt

dq2

dt

qd1

2

01

2

1

2

, (5.19a)

29

gde je LC10 , jednačina (5.11b), dok je:

L2

R . (5.19b)

Jednačina (5.19a) predstavlja, isto kao i jednačina (5.11a), linearnu

homogenu diferencijalnu jednačinu drugog reda sa konstantnim koeficijentima. Rešenje ove

jednačine je:

teqq t

0m1~cos (5.20)

gde su 0mq i dve integracione konstante koje mogu da se odrede iz poznavanja 1q i I u

početnom trenutku 0t . Veličina ~ predstavlja kombinaciju parametara kola:

22

0 ~ (5.21a)

to jest:

2

2

L4

R

LC

1~ . (5.21b)

Vidimo da ~ ima realnu vrednost samo pri:

2

2

L4

R

LC

1 . (5.22)

Slika 5.

U tom slučaju jednačina (5.20) opisuje prigušene oscilacije sa kružnom

učestanošću ~ , slika 5(a). Faktor te određuje brzinu opadanja amplitude oscilovanja.

Stepen prigušenja oscilacija određen je logaritamskim dekramentom prigušenja:

~ln

L

RT

Ttq

tq

1

1 , (5.23a)

gde je ~2T period oscilovanja (vidi sliku 5(a)). U slučaju malog prigušenja biće 0 ,

tako da naelektrisanje 1q osciluje sa učestanošću 0

22

0 ~ . U tom slučaju

logaritamski dekrament prigušenja može da se predstavi u obliku:

C

LR . (5.23b)

30

Prigušeno oscilovanje naelektrisanja 1q na kondenzatoru, slika 5(a), prelazi u

aperiodično pražnjenje kondenzatora pod uslovom da je 0~ . U tom slučaju nejednakost

(5.22) prelazi u jednakost; na osnovu koje je:

C

L2R . (5.24)

Ako parametri kola zadovoljavaju gornji uslov, naelektrisanje 1q će težiti nuli po

eksponencijalnom zakonu, (slika 5(b)): t

0m1 eqq ~ (5.25)

gde je cos~0m0m qq . Zakon (5.25) daje takozvanu kritičnu aperiodičnost.

Ponašanje ostalih funkcija u kolu u toku vremena direktno sledi iz zavisnosti

tqq 11 . Za struju tI imamo dtdqI 1 , dok je napon tUc dat sa CqU 1c . Za

tUc imamo:

teUU t

0mc~cos (5.26a)

gde je:

C

qU 0m

0m . (5.26b)

Jačina struje tI data je sa:

tteqI t

0m~cos~sin~ . (5.27a)

Poslednji izraz se može napisati u obliku funkcije koja opisuje prigušene oscilacije. U

tom cilju pomnožimo i podelimo jednačinu (5.27) sa 0

22 ~ . Nalazimo:

tteqI

2222

t

00m~cos

~~sin

~

~. (5.27b)

Uvidirno sada ugao tako da važi:

00

22

~

~

~sin (5.28a)

00

22

~

cos . (5.28b)

Zamenom (5.28a,b) u jednačinu (5.27b) nalazimo:

tteqI t

00m~coscos~sinsin ,

to jest:

teII t

0m~cos , (5.29a)

gde je:

00m0m qI . (5.29b)

S obzirom da veličina figuriše kao konstanta u argumentu kosinusne funkcije, se naziva

fazom struje.

Dakle, u RLC-kolu (bez izvora strane elektromotorne sile), napon na kondenzatoru Uc

i struja I prigušeno osciluju sa vremenom. Na osnovu jednačina (5.20) i (5.29a) vidimo da je

fazna razhka između struje I i napona Uc jednaka .

Energijski bilans u RLC-kolu bez izvora strane elektromotorne sile u uslovima

prigušenog oscilovanja prikazan je na slici 6. Na osnovu opšte jednačine (4.3), sada imamo:

emdWdQ , (5.30)

31

što znači da je pri 0dQ , 0dWem . Drugim rečima, sistem sve više gubi energiju, sve do

vrednosti 0Wem .

Slika 6.

5.4. POBUĐENE ELEKTRIČNE OSCILACIJE

Razmotrimo sada slučaj kada u kolu deluje strana elektromotorna sila. Pretpostavimo

da su zadovoljeni uslovi kvazi-stacionarnosti struje.

Periodičnu stranu elektromotornu silu predstavićemo kosinusnom funkcijom:

tUt m cos , (5.31)

a odgovarajući izvor u šemi kola označićemo sa krugom u kome stoji tildo, slika 7(a).

Slika 7.

Ukoliko učestanost izvora nije previše velika, vidi diskusiju u odeljku 1.1, za jednačinu kola

imamo izraz (5.7):

dt

dIL

C

qIR 1 . (5.32)

Za dalje računanje pogodinije je koristiti oznaku 1qq . Struja u kolu je tada data sa:

dt

dq

dt

dqI 1 . (5.33)

Izraženo preko q, jednačina kola (5.32) ima oblik:

tL

Uq

dt

dq2

dt

qd m2

02

2

cos , (5.34)

gde su uvedeni koeficijenti 0 i definisani jednačinama (5.11b) i (5.19b) respektivno.

32

Dobijena diferencijalna jednačina (5.34) se od diferencijalne jednačine (5.19a)

razlikuje po tome što na desnoj strani jednačine (5.34) figuriše vremenski zavisan član.

Ovakva diferencijalna jednačina je nehomogena linearna diferencijalna jednačina drugog reda

sa konstantnim koeficijentima. Opšte rešenje ovakve diferencijalne jednačine jednako je zbiru

opšteg rešenja odgovarajuće homogene jednačine (a to je jednačina (5.19a)) i partikularnog

rešenja posmatrane nehomogene jednačine (5.34).

Opšte rešenje homogene diferencijalne jednačina (5.19a) smo već našli kada smo

razmatrali RLC-kolo bez izvora stane elektromotorne sile. Ako je data jednačina (5.20), to

jest:

teqq t

0h~cos (5.35)

gde su ~ i definisane jednačinama (5.21b) i (5.19b):

22

02

2

L4

R

LC

1~ ,

L2

R . (5.36)

Partikularno rešenje jednačine (5.34) je bilo koja funkcija koja zadovoljava ovu

jednačinu. Lako se možemo uveriti da je to oscilatorna funkcija oblika:

0mp tqq cos . (5.37)

Zamenom ovog oblika u (5.34) nalazimo da su mq i 0 dati sledećim izrazima:

2

2

mm

C

1LR

Uq

(5.38a)

LC

1

R0

tg . (5.38b)

Kako je opšte rešenje q dato sa:

ph qqq , (5.39a)

nalazimo da se q menja sa vremenom na sledeći način:

0m

t

0 tqteqq cos~cos . (5.39b)

Na osnovu poznatog zakona tqq , lako nalazimo struju dtdqtI kao i napon na

kondenzatoru CqCqU 1c .

■Primer

Kao specijalan slučaj razmotrimo proces punjenja kondenzatora. Kako je kondenzator

kapacilivnosti C povezan za izvor konstantne elektromotorne sile U , to predstavlja

granični slučaj 0 , UUm , pobuđenog RLC-kola.

Pri 0 , imamo 00 i CUq mm , tako da jednačina (5.39b) daje:

CUteqq m

t

0 ~cos . (5.40)

Očigledno, proces punjenja se završava ( t ) kada CUq , tj. Kada je UUc

(izjednačavanje napona na kondenzatoru i priključene elektromotorne sile po apsolutnoj

vrednosti). ■

5.5. RLC-KOLA U STACIONARNOM REŽIMU

Posle izvesnog vremena po uključenju, RLC-kola sa periodičnim izvorom strane

elektromotorne sile dostiže ustaljeno oscilatorno stanje koje se naziva stacionarni režim.

33

Na osnovu analize prethodnog odeljka, vidimo da naelektrisanje q predstavlja zbir

oscilatorne funkcije 0m tq cos i jedne funkcije koja opisuje prigušene oscilacije. Ovaj

član sadrži eksponencijalni umnožitelj texp koji veoma brzo teži nuli. Matematički pri

t , ali u realnim kolima dovoljno brzo po uključenju, ovaj član se gubi i naelektrisanje q

počinje da osciluje harmonijski, vidi sliku 7(b). Naime u kolu se uspostavlja stacionarni režim

u kome naelektrisanje q oscilucije sa istom učestanošću kao i strana elektromotorna sila:

0m tqq cos , (5.41)

gde su mq i 0 dati jednačinama (5.38a,b), respektivno.

U stacionarnom režimu i sve druge funkcije RLC-kola predstavljaju harmonijske

funkcije vremena. za jačinu struje u kolu nalazimo ( dtdqtI ):

2tII 0m cos , (5.42a)

gde je:

mm qI . (5.42b)

Poslednji izraz može da se napiše u obliku:

tII m cos , (5.43a)

gde je fazna razlika između struje I i priključene elektromotorne sile tUm cos . Kako

je 20 , pri čemu je 0 dato jednačinom (5.38b), nalazimo 01 tgtg to jest:

R

C

1L

tg . (5.43b)

Vidimo da struja zaostaje po fazi za elektromotornom silom kada je 0 , to jest za

C1L , a prednjači po fazi ( 0 ) kada je C1L . Maksimalna vrednost struje

mm qI , na osnovu jednačine (5.38a) iznosi:

2

2

mm

C

1LR

UI

. (5.43c)

Oscilatorno kolu u stacionarnorn režimu može se okarakterisati i “naponima” RU , LU

i CU koji se definišu na sledeći način:

IRR U (5.44a)

dt

dILL U (5.44b)

C

qC U . (5.44c)

Preko uvedenih veličina, opšta jednačina RLC-kola, jednačina (5.32) ima oblik:

CLR UUU . (5.45)

U stacionarnom režimu, za uvedene napone dobijamo sledeće izraze:

tURmR cosU , (5.46a)

2tUCmC cosU , (5.46b)

2tULmL cosU , (5.46c)

34

gde su:

mRm IRU , C

IU m

Cm

, mLm ILU , (5.46d)

pri čemu je Im dato jednačinom (5.43).

Maksimalna vrednost struje, kao i maksimalne vrednosti svih „napona“ u RLC-kolu zavise od

učestanosti izvora elektromotorne sile. Na osnovu jednačine (5.43c) nalazimo da Im ima

maksimum za 0C1L , to jest pri 0LC1 , vidi sliku 8(a).

Slika 8.

Zbog toga se učestanost 0 naziva rezonantna učestanost. Sličnu zavisnost od imaju i

ostale funkcije kola. Na slici 8(b) je prikazana zavisnost

CmU od . Vidimo da se rezonantna učestanost za napon na kondenzatoru takođe jednaka

0 .

Napomenimo, na kraju, da se struja koja se menja sa vrernenom po harmonijskom

zakonu (kosinusnom, na primer) naziva naizmenična struja. Termin ukazuje na činjenicu da

struja u pravilnim vremenskim razmacima menja smer (jačina struje menja znak).

5.6. SLOŽENO RLC-KOLO (METOD KOMPLEKSNIH STRUJA)

U stacionarnom reŽimu sve vremenske funkcije RLC-kola su kosinusne funkcije

vremena. Pokazuje se da je za naLaženje struja u razgranatom (složenom) RLC-kolu vrlo

pogodan metod kompleksnih struja.

Pođimo od nerazgranatog (prostog) RLC-kola, slika 9(a). U stacionarnom režimu ovo

kolo se može zameniti ekvivalentnim kolom sa konstantnom, ali kompleksnom jačinom struje

I

u kome deluje konstantna elektromotorna sila Um. pritorn se i elementi “R”, “L” i “C”

moraju zameniti odgovarajućim kornpleksnim otpornostima, slika 9(b).

Transformacja kola sa vremenski zavisnom strujom tI i kolo sa kompleksnom, vremenski

nezavisnom strujom I

ostvaruje se vezom:

IetI ti

Re , (5.48)

gde je sa Re označen relani deo odgovarajuće kompleksne veličine. Pritom se pretpostavlja da

za kolo kornpleksne struje (sa kompleksnim parametrima R

, LR

i CR

važi Omov zakon:

mCL URRRI

. (5.49)

35

Mogućnost transformacije kola u kompleksni domen dokazuje se rešavanjem

jednačine (5.49) i dokazom da se vraćajem na vremenski zavisnu struju tI dobija baš zakon

(5.43a). Naime, na osnovu jednačine (5.49) imamo:

Ci

1LiR

U

RRR

UI m

CL

m

(5.50)

Slika 9.

Dobijena kompleksna struja se može napisati u obliku:

R

C

1L

i

2

2

m e

C

1LR

UI

arctg

. (5.51a)

Vidirno da je moduo kompleksne struje I

baš jednak maksimalnoj vrednosti jačine struje,

jednačina (5.43c), dok se faza kompleksne struje poklapa sa pri cemu je dato

jednačinom (5.43b). Dakle, i

m eII

. (5.51b)

Trenutna vrednost struje je na osnovu jednačine (5.48) jednaka:

i

m

ti eIetI Re (5.52a)

to jest:

tItI m cos . (5.52b)

Dakle, metod kompleksnih struja daje pravilno rešenje pri tretmanu nerazgranatog RLC-kola

u stacionarnom režimu.

Kornpleksna otpornost LR

se najčešće izražava preko veličine LXL koja se naziva

reaktivna induktivna otpornost i ima dimenziju LX . Analogno, kompleksna otpornost

CR

se izražava preko veličina C1XC koja se naziva reaktivna otpornost kondenzatora, ili

kreće kapacitivna otpornost; i ova veličina ima dimenzije otpornosti: CX . Razlika

CL XX se naziva reduktivna otpornost kola, ili reaktansa:

C

1LXXX CL

(5.53a)

Ukupna kompleksna otpornost nerazgranatog RLC-kola je:

iXRXXiRRRRZ CLCL

(5.53b)

Kompleksna struja u kolu je preko jednačine (5.50) jednaka:

36

Z

U

iXR

UI mm

, (5.53c)

pri čemu je: ieZZ

(5.54a)

gde je:

22 YXZ , R

Xarctg (5.54b)

U teoriji kolo Z

se naziva impedansa kola. Zamenorn (5.54a) u (5.53c) dobijamo

i

m

im eIeZ

UI

(5.55)

što je ponovo jednačina (5.51b).

Metod kompleksnih struja postaje naročito efikasan u primeni na razgranata RLC-

kola. U tom slučaju na kompleksne struje pojedinih grana treba primeniti prvo i drugo

Kirhofovo pravilo. Kao posledica ovih pravila dolazi se do odgovarajućih algebarskih

jednačina za struje, čijim se rešavanjem dobijaju sve struje u kolu u kompleksnom obliku.

Transformacija u realan domen data je jednačinom (5.48).

■Primer

Posmatrajmo razgranato RLC-kolo prikazno na slici 10(a).

Slika 10.

Transformacijom kola u kompleksan domen dolazimo do šeme prikazane na slici

10(b). Ovo kolo se dalje pojednostavljuje uvođenjem kompleksnih otpornosti:

1

111iC

1iLRZ

(5.56a)

2

222iC

1iLRZ

(5.56b)

Ove dve kompleksne otpornosti su vezane paralelno, i mogu se zameniti ekvivalentnom

kompleksnom otpornošću eZ

:

21e Z

1

Z

1

Z

1 . (5.56c)

Ovim se razgranato kolo svodi na prosto kolo. Primenom Omovog zakona dobijamo:

Z

UI m . (5.57a)

Odgovarajuća trenutna vrednost struje jednaka je:

37

Z

UetI mti Re (5.57b)

Konkretan oblik za tI se dalje nalazi algebarskim metodama.

5.7. SNAGA U KOLU NAIZMENIČNE STRUJE

U RLC-kolu u slacionarnom režimu jačina struje je vremenski zavisna:

tItI m cos . Zbog toga i snaga ove struje zavisi od vremena, tako da se u ovom kolu

definiše takozvana trenutna snaga tP . Pored ove veličine kolo se karakteriše i srednjom

snagom P .

Trenutna vrednost snage jednaka je (pod uslovima kvazistacionarnosti) proizvodu

trenutne vrednosti struje i elektromotorne sile:

tIttP , (5.58a)

to jest:

tItUtP mm coscos . (5.58b)

Izraz (5.58b) za snagu može dalje da se transformiše uz pomoć relacije:

coscoscoscos2

1

2

1, (5.59)

tako da nalazimo:

t2IU2

1IU

2

1tP mmmm coscos . (5.60)

Srednja snaga P predstavlja srednju vrednost po vremenu funkcije tP ; pri čemu se

ovo usrednjavanje svodi na usrednjavanje po periodu T:

T

0

dttPT

1P . (5.61)

Prvi član u izrazu (5.60) ne zavisi od vremena, tako da je njegova srednja vrednost upravo

sam taj mlan. Drugi mlan u izrazu za tP je periodična funkcija vremena, srednja vrednost

(po jednom periodu T) ove funkcije jednaka je nuli. Dakle, za srednju snagu irnamo:

cosmmIU2

1P , (5.62)

gde je RXtg , vidi jednačinu (5.54b). Dakle,

Z

R

XR

R

1

1

222

tgcos . (5.63)

Uvrstivši poslednji izraz u (5.62) i iskoristivši vezu mm IZU , nalazimo:

2

mIR2

1P . (5.64)

Primetimo da se srednja snaga P može naći i direktno, preko kompleksne snage:

IUP

(5.65a)

kao:

P2

1P

Re . (5.65b)

Snaga jednaka 2

mIR2

1 ostvaruje stacionarna struja jačine:

38

2

II m

ef . (5.66a)

Zbog toga se veličina efI naziva efektivna (aktivna) jačina struje. Analogno, može se

definisati i efektivna vrednost napona efU relacijom:

2

UU m

ef . (5.66b)

Srednja vrednost snage P izražena preko efU i efI ima oblik:

cosefef IUP (5.67)

Vidimo da srednja snaga P pored veličina efU i efI zavisi i od cos . Ovaj faktor se naziva

faktor snage. Kolo je utoliko efikasnije ukoliko mu je faktor snage veći. Pri većem cos ista

snaga se ostvaruje sa manjom jačinom efI , a samim tim su manji i gubici energije u obliku

toplote.

II NESTACIONARNO ELEKTROMAGNETNO POLJE

☺ 6. NESTACIONARNO ELEKTRIČNO POLJE

6.1. UOPŠTENI ZAKON ELEKTROMAGNETNE INDUKCIJE

Razmotrimo sada opšti slučaj nestacionarnog elektromagnetnog polja. U prethodnoj

glavi već smo započeli razmatranje bitnih karakteristika ovakvih polja koja se baziraju na

efektu elektromagnetne indukcije. Naime, u toku vremena moguća je transformacija

električne u magnetnu energiju i obrnuto.

Elektromagnetno polje se opisuje jačinom električnog polja tE

i jačinom magnetnog

polja tB

. Obe ove funkcije polja su zavisne od vremena, a međusobno su povezane

takozvanim Maksvelovim jednačinama koje predstavljaju opšte jednačine elektromagnetnog

polja. Konstrukciju ovih jednačina započinjemo analizom nestacionarnog električnog polja.

Električna komponenta elektromagnetnog polja se bitno razlikuje od stacionarnog

električnog polja. Stacionarno eklektrično polje, na primer elektrostatično ili električno polje

stacionarnih struja, uvek je bezvrtložno. Ako jačinu ovog polja označimo sa qE

, gde indeks q

označava da su izvori ovakvih polja naelektrisanja, imamo:

0Erot q

. (6.1)

Bezvrtložnost ovog polja je povezana sa njegovom potencijalnošću, to jest 0dEC

q

. U

opštem slučaju, u okviru elektrodinamike, električno polje E

je vrtložno; ovakvo polje pored

komponente qE

čiji su izvor naelektrisanja ima i komponentu BE

koja potiče od

promenljivog magnetnog

polja:

Bq EEE

. (6.2)

Polje BE

je vrtložno, to jest:

39

0Erot B

. (6.3)

Slika 1.

Mogućnost da nestacionarno magnetno polje izaziva vrtložno električno polje već smo

sreli pri razmatranju efekta elektromagnetne indukcije. Videli smo da kad god postoji

promenljivi magnetni fluks m kroz površinu S naleglu na strujnu konturu (slika 1(a)), u

konturi se indukuje elektromotorna sila dtd mi , jednačina (1.25). Elektromotorna sila

se pojavljuje kao rezultat delovanja stranih sila na naelektrisanje u provodniku. Ove sila nisu

ni “hemijske” ni “toplotne”, a ni magnetostatičke. Indukovanje elektromotorne sile u ovom

slučaju je u vezi sa pojavom električnog polja BE

u provodniku, slika 1(a), pri čemu je:

C

Bi dE

. (6.4)

Zamenom ovog izraza u opšti oblik zakona elektromagnetne indukcije nalazimo:

SC

B SdBdt

ddE

. (6.5)

U slučaju da do indukcije dolazi zbog nestacionarnosti magnetnog polja pri nepokretnoj (i

nedeformabilnoj) konturi, poslednju jednačinu možemo napisati u obliku:

SC

B Sdt

BdE

. (6.6)

(parcijalni izvod u jednačini (6.6) je stavljen zato što u opštem slučaju B

može da zavisi i od

koordinata).

Bitna pretpostavka pri konstruisanju Maksvelovih jednačina je da jednačina (6.6) ima

opšti karakter. Naime, polje BE

se ne javlja sarno u provodniku nego i u svim tačkama

nestacionarnog magnetnog polja, slika 1(b).

6.2. VRTLOŽNO ELEKTRIČNO POLJE

Ukoliko se zakon (6.6) generališe na proizvoljnu (zamišljenu) konturu C u prostoru,

onda se primenom Stoksove teoreme dobija:

SS

B Sdt

BSdErot

. (6.7)

Poslednja jednačina mora da važi za svaku površinu S, odakle sledi jednakost podintegralnih

funkcija:

40

t

BErot B

. (6.8)

Dakle, rotor vektora BE

u proizvoljnoj tački polja jednak je tB

.

Pretpostavka učinjena pri izvođenju jednačine (6.8) potiče od Maksvela. On je

pretpostavio da promenljivo magnetno polje izaziva pojavu BE

nezavisna od toga da li je

prisutna provodna kontura.

Slika 2.

Polje BE

je po svojoj prirodi različito od polja qE

. Dok linije polja qE

uvek počinju u

pozitivnim naelektrisanjima i završavaju se na negativnim naelektrisanjima ili odlaze u

beskonačnost, slika 2(a). tako da je 0Erot q

, polje BE

je vrtložno, slika 2(b), to jest

0Erot B

.

U proizvoljnoj tački prostora, ukupno električno polje E

predstavlja superpoziciju

(6.2). Uzimajući u obzir da je 0Erot q

, za ukupno polje E

važi:

t

BErot

. (6.9)

Jednačina (6.9) je jedna od osnovnih jednačina u Maksvelovoj teoriji elektromagnetizma.

Postojanje uzajamne veze između električnog i magnetnog polja ukazuje da

razdvajanje na električno i magnetno polje ima uslovni karakter. Tako, na primer, možemo

reći da je sistem nepokretnih naelektrisanja izvor električnog polja. Međutim, naelektrisanja

nepokretna u jednom koordinatnom sistemu postaju pokretna u odnosu na drugi (inercijalni)

sistem, pa predstavljaju izvor i električnog i magnetnog polja. Isto tako, nepokretni provodnik

stacionarne struje izvor je magnetnog polja, dok u odnosu na pokretni koordinatni sistem on

postaje izvor nestacionarnog elektromagnetnog polja. Dakle, električno i magnetno polje

predstavljaju jedinstveno, elektromagnetno polje.

☺ 7. NESTACIONARNO MAGNETNO POLJE

7.1. STRUJA POMERANJA

Uzajamna veza između E

i B

data jednačinom (6.9) nije jedina osobenost

nestacionarnog elektromagnetnog polja. I jednačina za rotor vektora H

trpi promenu.

41

Naime, u proizvoljnoj tački magnetostatičkog polja rotor vektora H

jednak je gustini

struje j

u istoj tački. Ova jednakost je narušena u nestacionarnom elektromagnetnom polju,

to jest:

j

Hrot . (7.1)

Videćemo da se u slučaju nestacionarnog polja na desnoj strani jednačine (7.1) pojavljuje još i

takozvana gustina struje pomeranja.

Potreba za modifikacijom jednačina j

Hrot javlja se u slučajevima polja

nestacionarnih struja. Podsetimo se da je na osnovu jednačine kontinuiteta:

tdiv

j

, (7.2)

uslov stacionarnosti bio izražen relacijom 0tdiv j

, tako da

su linije vektora j

stacionarne struje uvek zatvorene linije. Tipičan primer kada ovaj uslov

nije zadovoljen je slučaj otvorenih strujnih kola (to jest kola koja sadrže kondenzatore).

Pokažimo , na primeru punjenja kondenzatora, da je j

Hrot .

Slika 1.

Neka je kondenzator vezan za izvor konstantne elektromotorne sile U . Sve dok se

napon na kondenzatoru CU ne izjednači sa U u kolu postoji promenljiva struja dtdqtI ,

gde je sa tq označeno naelektrisanje na oblozi kondenzatora u koji „uvire“ struja I, vidi

sliku 1(a). Strujna linija (linije vektora j

) prikazane isprekidanim linijama na slici 1(a), imaju

prekid u prostoru između kondenzatorskih obloga.

Lako je videti da je u posmatranom slučaju zadovoljena nejednakost (7.1). Da bi to

pokazali zamislimo konturu C koja obuhvata provodnik kroz koji se „napaja“ kondenzator,

slika 1(a), i uočimo dve površine 1S i 2S nalegle na ovu konturu. Neka 1S seče provodnik, a

2S ne. Ako jednačina j

Hrot važi, onda bi važile i jednačine:

11 SS

SdSdHrot

j (7.3a)

22 SS

SdSdHrot

j (7.3b)

Na osnovu Stoksove teoreme leve strane ovih jednačina transformišu se u isti linijski integral:

CSS

dHSdHrotSdHrot

21

(7.4)

42

Međutim, desne strane nisu međusobno jednake. Dok je 1S

Sdj

jednako jačini struje

napajanja tI , dotle je 0Sdj2S

. To znači da su jednačine (7.3a) i (7.3b) međusobno

kontradiktorne, tako da ni polazna jednačina j

Hrot ne može da važi.

Razrešenje ove protivrečnosti takođe potiče od Maksvela. On je gustinu struje

provodnosti j

dodao novu veličinu pomj

, tako da bude zadovoljena jednačina:

pomHrot jj

(7.5)

Vektor pomj

očigiedno ima dimenzije gustine struje i naziva se gustina struje pomeranja.

Ukupna gustina struje uj

, koja se sada pripisuje proizvoljnoj tački polja jednaka je:

pomu jjj

(7.6)

Između gustine struje j

i novouvedene veličine postoji veza koja se nalazi na osnovu

jednačine (7.5 ). Naime, ako uzmemo divergenciju leve i desne strane ove jednačine, i uočimo

da je:

0HHrotdiv

, (7.7)

imamo:

jj

divdiv pom . (7.8a)

Kako je, na osnovu jednačine kontinuiteta (7.2) tdiv j

, jednačinu (7.8a) možemo da

napišemo u obilku:

tdiv

pomj

. (7.8b)

Jednačina (7.8b) izražava lokalnu vezu između pomj

i gustine naelektrisanja u proizvoljnoj

tački prostora. Primetimo da je na osnovu jednačine (7.8a):

0div u j

, (7.9)

što znači da su linije vektora uj

zatvorene linije, slika 1(b).

Gustina struje pomeranja može da se poveže sa električnom indukcijom D

, koja

predstavlja električnu komponentu elektromagnetnog polja u dielektriku. Naime, između

gustine naelektrisanja i vektora D

postoji ista veza kao i u elektrostatici:

Ddiv

. (7.10)

Jedina razlika u odnosu na elektrostatiku je u tome što su i D

i sada funkcije vremena t.

Ako jednačinu (7.10) diferenciramo po vremenu, i promenimo redosled diferenciranja po

vremenu i koordinatama (div), nalazimo:

tt

Ddiv

. (7.11a)

Kako je pomdivt j

, jednačina (7.8b), jednačina (7.11a) postaje:

t

Ddivdiv pom

j . (7.11b)

Na osnovu poslednje relacije dobijamo:

t

Dpom

j . (7.12)

U slučaju kondenzatora struja pomeranja se javlja između obloga, slika 1(c).

43

7.2. JEDNAČINA ZA Hrot

Jednačinom (7.12) gustina struje pomeranja povezana je sa promenom vektora D

sa

vremenom. S druge strane pomj

predstavlja jednu od komponenti ukupne struje uj

koja je, na

osnovu jednačine (7.5) jednaka rotoru vektora H

.

Zamenomedn. (7.12) u jednačinu (7.5) dobijamo:

t

DHrot

j . (7.13)

Jednačina (7.13) predstavlja jednu od osnovnih jednačina elektromagnetnog polja. U njoj, kao

i u jednačini (6.9), dolazi do povezivanja električnog i magnetnog poija. Analizom jednačine

(7.13) vidimo da je termin “gustina struje pomeranja” uslovan. Po svojoj suštini, to je drugi

član na desnoj strani jednačine (7.13) i karakteriše brzinu promene električne indukcije. Član

tD

se naziva gustina struje pomeranja samo zbog svoje dimenzije. Od fizičkih osobina

struje ima još i osobinu da “stvara magnetno polje”.

Dakle, promenljivo električno polje u proizvoljnoj tački polja, izaziva vrtložno

magnetno polje, takođe je zadovoljava jednačina (7.13).

■Primer

Razmotrimo sada detaljnije slučaj punjenja kondenzacije sa stanovišta ukupne gustine

struje pomu jjj

. Posmatrajmo pločast kondenzator, slika 2, i označimo sa S površinu jedne

od ploča, a sa q površinsku gustinu naelektrisanja na njoj. Jačina struje punjenja

dtdqI je tada jednaka dtdSI . Ova struja je ravnomerno, sa gustinom SIj

raspoređena po ploči kondenzatora. Dakle, za gustinu struje provodnosti imamo:

dt

dj . (7.14a)

Primetimo da je u pločama 0tD

, tako da je 0pomj

, pa je dtdu jj

.

Slika 2.

U prostoru između ploča gustina struje provodnosti je 0j

. Međutim u ovom delu

prostora postoji promenljvo električno polje tD

. Na osnovu jednačine (7.10), odnosno

odgovarajuće integralne forme (Gausova teorema za dilektrik) imamo da je D . Ovo polje

izaziva struju pomeranja tDpom j :

44

tpom

j (7.14b)

Ukupna gustina struje u rpostoru između ploča je: dtdpomu jj

.

Jednakost ukupne gustine struje u dovodima ( dtdu jj

) i u prostoru između ploča

( dtdpomu jj

) pokazuje da strujne linije ( j

) neprekidno prelaze u linije struje pomeranja

( pomj

). Usled toga su linije ukupne struje ( uj

) zatvorene kao što tvrdi jednačina (7.9),

isprekidane linije na slici 2. ■

☺ 8. MAKSVELOVE JEDNAČINE

8.1. DIFERENCIJALNI OBLIK MAKSVELOVIH JEDNAČINA

Uopštavanjem dosadašnjih razmatranja o nestacionarnom elektromagnetnom polju

može da se formira kompletan skup jednačina na kojima počiva (Maksvelova) klasična

elektrodinamika. Ova teorija objašnjava ogroman broj makroskopskih pojava. U vreme kada

je nastala čak je i predvidela neke nove pojave. Tako, na primer, elektromagnetni talasi su se

prvo pojavili kao rešenja formiranih jednačina, a tek potom su otkriveni eksperimentalno. Ove

jednačine se nazivaju Maksvelove jednačine, i one za elektromagnetizam imaju ulogu

analognu Njutnovoj jednačini u mehanici ili termodinamičkim zakonima u termodinamici.

Prvi par Maksvelovih jednačina u diferencijalnom obliku obrazuju jednačina (6.9.) i

jednačina 0Bdiv

preuzeta iz magnetostatike:

t

BErot

(8.1a)

0Bdiv

(8.1b)

Jednačina (8.1a) povezuje jačinu električnog polja E

sa vremenskom promenom jačine

magnetnog polja B

i predstavlja uopštenje zakona elektromagnetne indukcije. Jednačina

(8.1b) ukazuje na odsustvo magnetnih monopola koji bi, poput naelektrisanja, bili izvori

bezvrtložnog magnetnog polja. Uočimo da u prvorn paru Maksvelovih jedinačina figurišu

samo osnovne veličine trE ,

i trB ,

: jačina električnog polja i jačina magnetnog polja.

Drugi par Maksvelovih jednačina čine jednačina (7.13) i jednačina (7.10) preuzeta iz

elektrostatike:

t

DHrot

j (8.2a)

Ddiv

(8.2b)

Jednačina (8.2a) daje vezu između gustine struje provodnosti j

i gustine struje pomeranja

tDpom j odgovarajućim magnetnim poljem. Jednačina (8.2b) ukazuje da su izvori vektora

D

strana naelektrisanja. U drugom paru maksvelovih jednačina figurišu samo pomoćne

funkcije polja trD ,

i trH ,

: električna indukcija i magnetna indukcija.

Jednačine (8.1a,b) i (8.2a,b) su napisane u vektorskom obliku. Njima odgovara 8

skalarnih jednačina sa nepoznatim funkcijama Ex, Ey, Ez, Bx, By, Bz; Dx, Dy, Dz i Hx, Hy, Hz.

Konkretno, iz jednačine (8.la) u Dekartovim koordinatama slede tri skalarne jednačine:

45

t

B

z

E

y

E xyz

(8.3a)

t

B

x

E

z

E yzx

(8.3b)

t

B

y

E

x

Ezxy

. (8.3c)

Jednačina (8.1b) predstavlja jednu sklarnu jednačinu:

0z

B

y

B

x

B zyx

. (8.4)

Analogno, jednačina (8.2a) prelazi u tri skalarne jednačine:

t

D

z

H

y

H xx

yz

j (8.5a)

t

D

x

H

z

H y

yzx

j (8.5b)

t

D

y

H

x

Hz

zxy

j . (8.5c)

dok jednačina (8.2b) glasi:

z

D

y

D

x

D zyx . (8.6)

Vidimo da se dobija sistem od 8 jednačina sa 12 nepoznatih funkcija polja. preostale

četiri jednačine slede iz odgovarajućih veza između E

i D

kao i B

i H

. Za linearne i

izotropne sredine, imamo:

ED r0

(8.7a)

HB r0

. (8.7b)

Gornjim jednačinama pridružuje se i veza j

i E

koja ima oblik Omovog zakona u

diferencijalnom obliku:

ER

j . (8.8)

Dobijen sistem sklarnih jednačina (8.3a,b,c), (8.4), (8.5a,b,c) i (8.6) upotpunjen

sistemom veza, jednačina (8.7a,b) i (8.8), predstavlja osnovni sistem jednačina

elektrodinamike nepokretnih sredina.

8.2. INTEGRALNI OBLIK MAKSVELOVIH JEDNAČINA

Veza izmđu integralnih i diferencijalnih oblika jednačina polja ostvaruje se primenom

Gaus-Ostrogradskijeve i Stoksove teoreme (kao što je više puta eksplicitno navođeno).

Prvom paru Maksvelovih jednačina (8.1a,b) odgovaraju integralni oblici:

SC

SdBdt

ddE

(8.9a)

0SdBS

(8.9b)

Jednačina (8.9a) se dobija integracijom jednačine (8.1a) po proizvoljnoj površini S pri

čemu se leva strana tako dobijenog izvora transformiše uz pomoć Stoksove teoreme u

46

krivolinijski integral po konturi C na koju naleže površina S. Jednačina (8.9b) se dobija

integracijom jednačine (8.1b) po proizvoljnoj zapremini V pri čemu se u tako dobijenom

izvoru primenjuje Gaus-Ostrogradskijeva teorema radi transformacije zapreminskog integrala

u površinski integral po površini S koja obuhvata ovu zapreminu.

Drugi par Maksvelovih jednačina u integralnom obliku dobija se integracijom

jednačina (8.2a,b). Tako je, postupkom analognim kao pri formulisanju prvog para, dolazi do

sledećeg sistema jednačina:

SSC

SdDdt

dSddH

j (8.10a)

VS

dVSdD

. (8.10b)

Pokažimo na kraju jedno važno svojstvo elektromagnetnog polja. Naime, ako je ovo

polje stacionarno, to jest tEE

i tBB

, desna strana jednačine (8.9a) se anulira, a takođe

i drugi član na desnoj strani jednačine (8.10a). Zbog toga se Maksvelove jednačine rasprežu,

to jest dobijamo dva sistema nezavisnih jednačina: jednačine (8.9a) i (8.10b) za električno

polje i jednačine (8.10a) i (8.9b) za magnetno polje. Ovo svojstvo elektromagnetnog polja

nam je upravo i omogućilo da elektrostatioćko polje (I deo kursa) i magnetostatičko polje (II

deo kursa) posmatrano odvojeno. Tek u slučaju nestacionarnin polja električno i magnetno

polje se sprežu u jedinstveno elektromagnetno polje (III deo kursa).

Slika 1.

Na slici 1. šematski su prikazate veze jačina električnog i magnetnog polja u

nestacionarnom elektromagnetnom polju slika 1(a) i stacionarnom polju slika 1(b).

-KRAJ-