Embed Size (px)
Citation preview
Вiнницький державний педагогiчний унiверситетiменi Михайла Коцюбинського
ЗБIРНИК ЗАДАЧ
З КОНСТРУКТИВНОЇ ГЕОМЕТРIЇ
Вiнниця – 2006
Упорядкував: професор Трохименко В.С., кандидат фiзико-математичних наук.
Даний збiрник задач складений у вiдповiдностi до дiючої програми з конструктивноїгеометрiї для математичних спецiальностей педагогiчних унiверситетiв. Задачникомможуть користуватись не тiльки студенти стацiонарного вiддiлення, але й заочного таособи, якi вивчають предмет самостiйно.
Змiст
1 ГЕОМЕТРИЧНI ПОБУДОВИ НА ПЛОЩИНI 41.1 Метод геометричнiх мiсць . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Метод геометричних перетворень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Метод iнверсiї . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Алгебраїчний метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Рiзнi задачi на побудову . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 ПРОЕКТИВНА ГЕОМЕТРIЯ 102.1 Проективний простiр. Координати точок на проективнiй прямiй i площинi 102.2 Перетворення проективних координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Умова колiнеарностi трьох точок проективної площини. Рiвняння прямої . 132.4 Подвiйне вiдношення чотирьох точок прямої . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5 Принцип двоїстостi. Теорема Дезарга та її застосування . . . . . . . . . . 212.6 Повний чотиривершинник i повний чотиристоронник . . . . . . . . . . . . 242.7 Проективнi перетворення площини (колiнеацiї) . . . . . . . . . . . . . . . 252.8 Гомологiї . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.9 Проективне вiдображення прямої на пряму i пучкiв прямих . . . . . . . . 292.10 Методи зображень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 ВIДПОВIДI 32
3
1 ГЕОМЕТРИЧНI ПОБУДОВИ НА ПЛОЩИНI
1.1 Метод геометричнiх мiсць
1. Побудувати коло даного радiуса, яке проходить через дану точку i дотикаєтьсядо даної прямої.
2. Данi два кола. Побудувати таку точку, щоб кут мiж проведеними через неї дотич-ними до одного кола дорiвнював би α, а до другого — β.
3. Побудувати коло за трьома його дотичними.
4. Побудувати трикутник за основою a, кутом при вершинi A i висотою ha, щовиходить з цiєї вершини.
5. Побудувати трикутник за периметром 2p, кутом при вершинi A i висотою ha, щовиходить з цiєї вершини.
6. Побудувати трикутник за основою a, кутом при вершинi A i радiусом r вписаногокола.
7. Побудувати трикутник за основою a, кутом при вершинi A i точкою D перетинуоснови з бiсектрисою внутрiшнього кута при вершинi A.
8. Побудувати трикутник за основою a, кутом при вершинi A i медiаною mb, прове-деної до бiчної сторони.
9. Побудувати трикутник за основою a, кутом при вершинi A i вiдношенню бiчнихсторiн: |b| : |c| = m : n, де m i n — довжини заданих вiдрiзкiв.
10. Побудувати трикутник за основою a, висотою ha i точкою D перетину бiсектрисипри вершинi з основою.
11. Побудувати трикутник ABC, знаючи кути при вершинах B i C i медiаною ma
сторони BC.
12. Побудувати трикутник за основою i точкам перетину основи з бiсектрисою i ви-сотою.
13. Побудувати паралелограм за його сторонами i вiдношенням дiагоналей.
14. Побудувати паралелограм за його дiагоналями i вiдношенням сторiн.
15. Через точку A, що лежить всерединi кола S, провести хорду, яка при перетинi зданою хордою AB цього кола дiлиться навпiл.
16. Побудувати трикутник, якщо данi основа a, кут при вершинi A i |b|2− |c|2 = |m|2,де m — даний вiдрiзок.
17. Побудувати трикутник за основою a, висотою ha, i |b|2−|c|2 = |m|2, де m — данийвiдрiзок.
4
18. Через дану точку A провести даним радiусом r коло так, щоб дотична до неї зданої точки B мала дану довжину l.
19. Побудуват коло, яке подiляє дане коло (O,R) навпiл i дотикається даної прямоїв данiй на нiй точцi.
20. Побудувати трикутник ABC за радiусом R описаного кола, кутом при вершинi Ai |b|2 + |c|2 = |l|2, де l — даний вiдрiзок.
21. Дано коло i точка на ньому. Провести хорду довжини l так, щоб сума (або рiзни-ця) квадратiв вiдстаней вiд її кiнцiв до даної точки була рiвна квадрату довжиниданого вiдрiзка PQ.
22. Побудувати паралелограм, двi сумiжнi вершини якого — данi точки, а двi iншiналежать даному колу.
23. Побудувати коло даного радiуса, що проходить через дану точку A, так, щоб цеколо з iншої даної точки B було видно пiд даним кутом ϕ.
24. Побудувати коло, що проходить через двi данi точки i перетинає дане коло в двохточках A i B так, щоб AB бiла паралельна данiй прямiй.
25. Побудувати паралелограм, знаючи одну сторону, висоту i кут мiж дiагоналями.
26. В дане коло вписати прямокутник так, щоб прямi, якi мiстять двi його сторони(сумiжнi або протилежнi), проходили через двi данi точки.
27. В дане коло вписати прямокутний трикутник, знаючи гострий кут i точку, черезяку проходить пряма, що мiстить один з його катетiв.
28. Побудувати коло з центром в данiй точцi, яке перетинає дане коло пiд данимкутом.
29. Через точки A i B провести двi прямi, що перетинаються пiд кутом ϕ, так, щобдане коло (O, r) вiдтинало на них рiвнi хорди.
30. Побудувати трикутник за основою a, кутом при вершинi A i медiаною ma, щовиходить з цiєї вершини.
31. Побудувати трикутник за основою a, кутом при вершинi A i висотою mb, прове-деної до бiчної сторони.
32. Побудувати трикутник за периметром 2p, кутом при вершинi A i висотою hc, щовиходить з вершини C.
33. Побудувати трикутник за кутом при вершинi A, висотою hb i медiаною ma.
34. Побудувати трикутник за кутом при вершинi A, радiусом вписаного кола та радi-усом описаного кола навколо цього трикутника.
5
1.2 Метод геометричних перетворень
35. Побудувати трапецiю за дiагоналями та основами.
36. Побудувати трапецiю за висотою, середньою лiнiєю, верхньою основою та кутоммiж дiагоналями.
37. Побудувати трикутник, знаючи три його медiани.
38. Побудувати трапецiю за чотирма її сторонами.
39. Побудувати трикутник ABC за основою a, кутом при вершинi B i рiзницею (абосумою) бiчних сторiн.
40. Данi два концентричних кола i точка. Побудувати коло, що проходить через цюточку i дотикається даних кiл.
41. В дане коло вписати квадрат так, щоб пряма, яка мiстить одну з його сторiн,проходила через дану точку.
42. Побудувати трикутник за двома кутами при основi i сумою висоти з основою.
43. В трикутник ABC вписати квадрат так, щоб двi його вершини лежали на основiтрикутника, а двi iншi — на бiчних сторонах.
44. Дано кут i всерединi нього — коло. Побудувати коло, що дотикається сторiн кутаi даного кола.
45. Побудувати трикутник за двома кутами i сумою висоти, медiани i бiсектриси, щопроведенi з третьої вершини.
46. Побудувати паралелограм за сторонами i кутом мiж дiагоналями.
47. В дане коло вписати трикутник, сторони якого паралельнi сторонам даного три-кутника.
48. Побудувати коло, що проходить через дану точку i дотикається двох даних пря-мих.
49. Через двi данi точки провести двi паралельнi прямi так, щоб вони перетиналидану пряму в точках, вiдстань мiж якими задана.
50. Побудувати трапецiю за рiзницею основ, двом бiчним сторонам i однiєю дiагонал-лю.
51. Побудувати рiвностороннiй трикутник так, щоб одна вершина належала даномуколу, друга — данiй прямiй, а третя вершина спiвпала з даною точкою A.
52. Данi два кола i пряма l. Побудувати рiвностороннiй трикутник так, щоб двi йо-го вершини належали даним колам, а висота, проведена через третю вершину,належала прямiй l.
6
53. Побудувати рiвнобедренний прямокутний трикутник так, щоб вершини гострихкутiв належали двом даним колам, а вершина прямого кута чпiвпала з даноюточкою.
54. Побудувати квадрат, якщо данi його центр i двi точки, що лежать на прямих, якiмiстять двi паралельнi сторони квадрата.
55. На данiй прямiй l побудувати точку X так, щоб:
а) сума |AX| + |BX|, де A i B — данi точки, що не лежать на прямiй l, буланайменшою;
б) рiзниця |AX| − |BX| була найбiльшою.
56. В даний трикутник вписати ромб з даним гострим кутом так, щоб двi його вер-шини лежали на однiй сторонi, а двi iншi — вiдповiдно на двох iнших сторонах.
57. В даний трикутник вписати прямокутник, подiбний даному.
1.3 Метод iнверсiї
58. Дано квадрат, одна вершина якого спiвпадає з центром iнверсiї, а протилежнавершина лежить на колi iнверсiї. Побудувати фiгуру, яка йому iнверсна.
59. Дано квадрат, двi вершини якого лежать на колi iнверсiї, а третя — в центрiiнверсiї. Побудувати фiгуру, йому iнверсну.
60. В коло вписати трикутник ABC. Взявши це коло за коло iнверсiї, побудуватифiгуру, iнверсну вписаному трикутнику.
61. Данi два кола, що дотикаються одна одної в точцi A. Взявши точку A за центрiнверсiї, побудувати фiгуру, iнверсну двом колам.
62. Данi три кола, що мають спiльну точку A. Побудувати коло, яке дотикаєтьсятрьох даних кiл.
63. Побудувати коло, що проходить через двi данi точки i ортогональну даному колу.
64. Через дану точку A провести коло, ортогонально до двох даних кiл.
65. Побудувати коло, яке дотикається двох даних кiл, причому одного з них в данiйточцi A.
66. Побудувати коло, що проходить через двi данi точки i
а) дотикається даної прямої;
б) дотикається даного кола.
67. Побудувати коло, що проходить через дану точку A i дотикається даної прямої iданого кола.
68. Побудувати коло, що дотикається даної прямої i двох даних кiл.
7
69. Побудувати коло, яке проходить через дану точку i дотикається двох даних кiл.
70. Побудувати коло, яке дотикається трьох даних кiл (задача Аполлонiя).
71. Побудувати коло, що проходить через двi данi точки i перетинає дану пряму пiдданим кутом.
72. Побудувати коло, що проходить через двi данi точки i перетинає дане коло пiдданим кутом.
73. Побудувати коло, яке проходить через дану точку i перетинає два даних кола пiдданими кутами.
1.4 Алгебраїчний метод
74. Через данi точки A i B провести коло, що вiдтинає на данiй прямiй d хорду, рiвнуданому вiдрiзку.
75. Знаючи площу трикутника та його периметр, побудувати коло, яке рiвне колу,вписаному в трикутник.
76. Всерединi трикутника ABC дана точка D. Провести пряму, яка розсiкає трику-тних на двi рiвновеликих фiгури.
77. Побудувати вiдрiзок довжини x = 4√abcd, де a, b, c, d — довжини даних вiдрiзкiв.
78. Побудувати вiдрiзок довжини x =ab√
a2 − c2√3
, де a, b, c, d — довжини даних вiд-
рiзкiв.
79. Побудувати вiдрiзок довжини x =a3√ab
bc2, де a, b, c — довжини даних вiдрiзкiв.
80. Побудувати вiдрiзок довжини x =a2b3
c3d, де a, b, c, d — довжини даних вiдрiзкiв.
81. Дано коло i точка A поза ним. Через точку A провести сiчну так, щоб її зовнiшнячастина бiла вдвiчi бiльше внутрiшньої.
82. Побудувати три кола, що попарно дотикаються, з центрами у вершинах даноготрикутника.
83. Через дану точку провести сiчну до даного кола так, щоб отримана хорда мала
довжину
√a√a4 − b4
b, де a i b — довжини даниз вiдрiзкiв.
84. Побудувати паралелограм за його сторонами, якщо сторони паралелограма про-порцiйнi його дiагоналям.
8
85. Через середину бiчної сторони трапецiї провести пряму, яка розтинає трапецiюна рiвновеликi чотирикутники.
86. Через двi данi точки провести коло, що дотикається даної прямої.
87. Побудувати правильний п’ятикутник за заданою його дiагоналлю.
88. Через точку, що належить сторонi трикутника, провести пряму так, щоб вонарозтинала трикутник на двi рiвновеликi фiгури.
89. Прямою, що паралельна сторонi прямокутника, розсiкти його на подiбнi одинодному прямокутники.
90. Через точку, що лежить всерединi прямого кута, провести пряму так, щоб точкиїї перетину зi сторонами кута знаходились на найменш можливiй вiдстанi.
91. Побудувати круг, площа якого рiвна площi кiльця мiж двома даними концентри-чними колами.
92. Побудувати коло, що проходить через двi точки i дотикається даної прямої.
93. Побудувати пряму x, яка паралельна основам даної трапецiї i перетинає бiчнiсторони у внутрiшнiх точках, так, щоб утворенi при цьому двi трапецiї iз спiльноюосновою на прямiй x були рiвновеликi.
94. Побудувати квадрат, рiвновеликий даному трикутнику.
95. Побудувати рiвнобедрений прямокутний трикутник, рiвновеликий даному прямо-кутнику.
96. Побудувати квадрат, площа якого була б рiвна сумi площ двох даних прямоку-тникiв.
97. В дане коло вписати прямокутник, рiвновеликий даному квадрату.
98. В дане коло вписати прямокутник даного периметра.
99. Данi два кола, що дотикаються зовнiшнiм чином. Побудувати коло, яке дотикає-ться двох даних кiл i їх спiльної зовнiшньої дотичної.
1.5 Рiзнi задачi на побудову
100. Данi два концентричних кола. Побудувати квадрат ABCD так, щоб вершини A iB належали одному колу, а вершини C i D — другому.
101. В дане коло вписати прямокутний трикутник так, щоб його катет був рiвнийданому вiдрiзку i лежав на прямiй, що проходить через дану точку.
102. Побудувати пряму даного напрямку, на якiй два даних кола, вiдтинають вiдрiзок,рiвний даному.
103. Побудувати трикутник ABC, знаючи кут при вершинi B i медiани ma i mc.
9
104. Побудувати трапецiю за дiагоналями та бiчними сторонами.
105. Навколо даного кола описати ромб за даною його стороною.
106. В даний круговий сектор вписати коло.
107. Через дану точку провести коло, що перетинає кожне з двох даних кiл в дiаме-трально протилежних точках.
108. Побудувати квадрат за чотирма точками, що належать його сторонам або їх про-довженням.
109. Побудувати коло даного радiуса, що дотикається до двох даних кiл.
110. Побудувати коло, яке видно з двох даних точок A i B пiд даними кутами α i β,так, щоб цент його знаходився на данiй прямiй d.
111. Побудувати коло, ортогональне до трьох даних кiл.
112. Через двi данi точки провести коло, ортогональне до даного кола.
113. Побудувати коло, що дотикається даного кола в данiй точцi A i даної прямої.
114. Побудувати коло, що дотикається двох даних кiл, причому одного з них в данiйточцi.
115. Данi коло i три її рiзнi точки A,B i C. В коло вписати трикутник так, щоб точкиA,B i C належали прямим, що мiстять висоти трикутника.
116. Побудувати ромб, знаючи його дiагональ i радiус вписаного кола.
117. Дано прямокутний трикутник. Побудувати коло з центром, що належить одномуз катетiв, так, щоб воно проходило через вершину прямого кута i дотикалосьгiпотенузи.
118. Данi двi точки i коло. Провести через данi точки двi рiзнi паралельнi прямi так,щоб дане коло вiдтинало на них двi рiвнi хорди.
119. Данi три неколiнеарнi точки A,B i C. Побудувати кола з рiвними радiусами iцентрами в точках A i B так, щоб їх спiльна дотична проходила через точку C.
2 ПРОЕКТИВНА ГЕОМЕТРIЯ
2.1 Проективний простiр. Координати точок на проективнiй пря-мiй i площинi
120. F 22 —двохвимiрний векторний простiр над полем F2 лишкiв за модулем 2. Довести,
що проективна пряма P (F 22 ) мiстить точно три точки.
121. F 32 —трьохвимiрний векторний простiр над полем F2 лишкiв за модулем 2. Дове-
сти, що проективна площина P (F 32 ) мiстить точно сiм точок.
10
122. На розширенiй прямiй l̄ заданий проективний репер R = (A1, A2, E). Побудуватиточки M(1,−1), N(−2, 1), L(−2, 2) за їх координатами в цьому реперi.
123. На розширенiй прямiй l̄ заданий проективний репер R = (A1, A2, E∞). Побудуватиточки M(−1, 1) i N(1,−2) за їх координатами в реперi R.
124. На розширенiй прямiй l̄ заданий проективний репер R = (A1, A2, E), де A1, A2 —власнi точки прямої l̄, E — середина вiдрiзка A1A2. Знайти координати невласноїточки X∞ ∈ l̄.
125. На розширенiй прямiй l̄ данi точки A1, A2. Побудувати одиничну точку E прое-ктивного репера R = (A1, A2, E), якщо невласна точка M∞ прямої l̄ має коорди-нати M∞(−1, 2) в реперi R.
126. На розширенiй прямiй заданий проективний репер R̃ = (A,X∞, E). Побудуватиточку M(2, 1) з вказаними координатами в реперi R̃.
127. На розширенiй площинi σ̄ заданий проективний репер R = (A1, A2, A3, E), деA1, A2, A3, E є власнi точки. Побудувати точки M(1, 2, 0), N(0,−2,−1), P (1, 2, 1),Q(0,−4, 0) за їх координатами в реперi R.
128. На розширенiй площинi σ̄ заданий проективний репер R = (A1, A2, A3, E∞) звласними вершинами i невласною одиничною точкою. Побудувати точкуM(1, 1, 2)за її координатами в реперi R.
129. На площинi дана проективна система координат R = (A1, A2, A3, E); побудуватиточки K(0, 1,−1), L(1,−1, 0), S(1, 2,−1) i Q(2,−1, 1).
130. На розширенiй площинi σ̄ заданий проективний репер R̃ = (A,X∞, Y∞, E). Побу-дувати точки M(2, 4,−1) i N(0, 1, 2) за їх координатами в реперi R̃.
131. Нехай R = (A1, A2, A3, E) — проективна система координат, а E1 = A1E ∩ A2A3,E2 = A2E ∩ A1A3, E3 = A3E ∩ A1A2, P1 = E2E3 ∩ A1E, P2 = E3E1 ∩ A2E, P3 =E1E2 ∩ A3E. Визначити координати точок A1, A2, A3, E, E1, E2, E3, P1, P2, P3.
132. Точка E — центр ваги трикутника A1A2A3 на площинi σ. Побудувати точкуM(1, 1,−1) за її координатами в проективному реперi R = (A1, A2, A3, E) на роз-ширенiй площинi σ̄.
133. Одинична точка E проективного репера R = (A1, A2, A3, E) на розширенiй площи-нi є точкою перетину медiан трикутника A1A2A3. Знайти координати невласнихточок сторiн координатного трикутника i координати невласних точок його медiанвiдносно репера R.
2.2 Перетворення проективних координат
134. На проективнiй прямiй заданi двi системи координат R i R′, якi пов’язанi такимирiвняннями переходу: {
λx1 = x′1 + x′2,λx2 = 2x′1 − x′2.
11
Знаючи координати точок в системi R′ : A(1,−1), B(0, 1), C(−3, 1), знайдiть їх ко-ординати в системi R. Знаючи координати в системi R : D(0, 1), E(1,−1), F (2, 7),знайдiть їх координати в системi R′.
135. На проективнiй прямiй заданi двi системи координат R i R′. Знайдiть рiвнянняпереходу вiд першої системи до другої, якщо вiдомi координати фундаментальнихточок A′
1, A′2, E
′ системи R′ в системi R:
(a) E ′(−1, 3), A′1(1, 2), A′
2(−2, 1);
(b) E ′(1, 1), A′1(1, 0), A′
2(1, 2);
(c) E ′(1, 2), A′1(1, 0), A′
2(0, 1);
(d) E ′(0, 1), A′1(1, 1), A′
2(−1, 1).
136. На розширенiй евклiдовiй прямiй в проективних координатах заданi точки A(1, 1),B(2, 3), C(−3, 5), D(1, 0), E(0, 1). Знайдiть їх координати у вiдповiднiй афiннiйсистемi координат.
137. На проективнiй прямiй в деякiй проективнiй системi координат R′ данi фунда-ментальнi точки iншої системи координат R : E(1, 0), A1(1, 3), A2(1,−3). Знайдiтькоординати точок A,B i C в системi R, якщо вiдомi їх координати в системiR′ : A(1, 1), B(2,−3), C(0, 1).
Вказiвка. Знайдiть рiвняння переходу{µx′1 = x1 + x2,µx′2 = 3x1 − 3x2,
далi координати шуканих точок.
138. На евклiдовiй прямiй данi своїми афiнними координатами фундаментальнi точкипроективної системи координат: E(0), A1(1), A2(−1). Знайдiть проективнi коор-динати точок A(2), B(3), C(−2), D(−3) i невласної точки K∞.
139. Данi координати фундаментальних точок A′1(1, 1, 0), A′
2(1,−1, 0), A′3(1, 1,−2),
E ′(1,−1, 2) проективної системи координат R′ вiдносно проективної системи R.Знайти рiвняння переходу вiд одної системи до iншої.
140. Точка M в системi R′, яка задана в умовi попередньої задачi, має координати(1, 2,−1). Знайдiть її координати в системi R. Точка N в системi R з попередньоїзадачi має координати (1, 0,−1). Знайдiть її координати в системi R′.
141. Вершини координатного трикутника i одинична точка проективного репера R′
мають на розширенiй площинi такi афiннi координати:
A′1(0, 3), A′
2(4, 0), A′3(4, 3), E ′(3, 2).
Знайти:
1) проективнi координати точки M , якщо її афiннi координати M(1, 1);
12
2) афiннi координати точки N , якщо її проективнi координати N(4, 3− 6);
3) проективнi координати невласної точки осi абсцис;
4) однорiднi афiннi координати точки P , якщо її проективнi координатиP (5, 5,−7).
142. Знайдiть проективнi координати точок в проективному реперi R = (A,B,C,D)евклiдової площини, якi заданi своїми афiнними координатами: O(0, 0), A(1, 0),B(0, 1), C(2, 5), D(−3, 1), E(4,−2), F (−1, 5), P (1, 1).
143. В проективних координатах дано рiвняння кривої
3x21 + 3x2
2 + 2x1x2 − 8x2x3 − 8x1x3 = 0.
Знайдiть рiвняння цiєї кривої в проективнiй системi координат R з фундамен-тальними точками A1(1, 1, 1), A2(1, 1, 0), A3(1,−1, 0), E(2, 1, 1).
Вказiвка. Спочатку знайдiть формули переходу вiд проективної системи коорди-нат до системи R.
2.3 Умова колiнеарностi трьох точок проективної площини. Рiв-няння прямої
144. Скiльки прямих мiстить проективна площина P (F 32 ), де F 3
2 — трьохвимiрний ве-кторний простiр над полем F2 лишкiв по модулю 2?
В наступних задачах координати точок i прямих проективної площини заданi вiд-носно проективного репера.
145. Серед наступних трiйок точок:
(a) A(2,−3, 1), B(−1, 5, 3), C(1, 2, 4);
(b) D(−4, 2, 3), E(1, 0, 3), F (3, 2, 7);
(c) K(6,−1, 3), L(2, 2, 1), M(2,−5, 1)
знайдiть колiнеарнi.
146. Переконатись, що точки A(1,−2,−1), B(1, 0,−2) i C(−3,−4, 8), заданi в проек-тивнiй системi координат лежать на однiй прямiй.
147. Переконатись, що точки A(1, 2, 3), B(−3, 2, 4) i C(−2
7,4
7, 1
), заданi в проективнiй
системi координат лежать на однiй прямiй.
148. В реперi R = (A1, A2, A3, E) на проективнiй площинi точки A,B,C,D мають ко-ординати A(1, 0,−1), B(2, 1, 0), C(0, 0, 1), D(1, 1, 2). Перевiрити, що цi точки єточками загального розташування, i знайти векторний базис, який породжує ре-пер R′ = (A,B,C,D).
149. Знайти рiвняння прямої, яка проходить через точки M(1, 0, 1) i N(1, 1,−1).
13
150. Знайдiть рiвняння прямої, яка проходить через точки A(1, 4, 3) i B(2, 1, 3).
151. Знайдiть рiвняння прямих, якi проходять через наступнi пари точок: а) A(2,−1, 0)i B(0, 1, 0); б) (−2, 0, 1) i (3,−2, 1); в) E(1, 1,−1) i F (−1, 0, 1).
152. Знайдiть координати точки перетину прямих 2x1 +x2 +x3 = 0 i 3x1 +3x2 +2x3 = 0.
153. Знайдiть рiвняння прямої, яка проходить через точку перетину прямих x1 + x2 −x3 = 0 i 2x1 − x2 + 4x3 = 0 i через точку M(4,−2, 5).
154. Знайдiть точку перетину прямої u : 2x1 + x2 + x3 = 0 з прямою, яка проходитьчерез точки M(1, 1, 6) i N(2,−1, 0).
155. Знайдiть точку перетину прямої, яка проходить через точки A(1, 4, 2) i B(2, 6, 1),з прямою u : 3x1 − 4x3 = 0.
156. Знайдiть точку перетину прямої, яка проходить через точки A(−4,−3, 2) iB(2, 0, 1), з прямою u : x1 − 2x2 + 2x3 = 0.
157. Данi координати точок: A(6, 1, 10), B(1, 0, 0), C(2, 3, 4), D(4,−1, 2). Знайдiть ко-ординати точки перетину прямих AB i CD.
158. Данi координати чотирьох точок A,B,C,D. Знайдiть координати точки перетинуM прямих AB i CD, якщо
(a) A(3, 0, 1), B(0, 4, 2), C(−2, 1,−3), D(1,−1, 1);
(b) A(0, 1, 1), B(−1, 2, 1), C(3,−3, 1), D(0, 1, 0).
159. Знайдiть рiвняння прямої u, яка проходить через точку перетину прямих
l : 2x1 + 4x2 + x3 = 0, m : x1 + x2 + x3 = 0
i через точку A(2, 1,−1).
160. Знайдiть рiвняння прямої, яка проходить через точку перетину прямих
l : 3x1 − x2 + 6x3 = 0, m : x2 − 4x3 = 0
i через точку A(1,−2, 3).
161. Данi чотири прямi:
a : 3x1 + 2x2 − x3 = 0, c : 2x1 + x3 = 0,b : 4x1 − x2 = 0, d : x1 − x2 + x3 = 0
Знайдiть рiвняння прямої, яка проходить через точки a ∩ b i c ∩ d.
162. Данi чотири прямi:
a : x1 + x2 − x3 = 0, c : x1 − x2 − x3 = 0,b : 2x1 + x2 − 2x3 = 0, d : 2x1 − x2 + 2x3 = 0
14
Знайдiть рiвняння прямої, яка проходить через точки a ∩ b i c ∩ d.
163. Данi чотири прямi:
a : x1 + x2 − 4x3 = 0, c : 2x1 − 3x2 + x3 = 0,b : x1 + x2 + x3 = 0, d : 5x1 + x2 + 3x3 = 0
Знайдiть рiвняння прямої, яка проходить через точки a ∩ b i c ∩ d.
164. Данi чотири точки: A(1, 1, 0), B(0,−1, 2), C(1, 1, 2), D(2,−1, 0). Знайдiть коорди-нати точок P = AB∩CD, Q = AC∩BD, R = AD∩BC. Знайдiть рiвняння прямихPQ, QR i RP .
165. Данi чотири прямi:
a : x1 + x2 = 0, c : x1 + x2 + 2x3 = 0,b : −x2 + 2x3 = 0, d : 2x1 − x2 = 0
Знайдiть рiвняння прямих AC i BD, де A = a∩ b, B = b∩ c, C = c∩ d, D = d∩ a.Знайдiть координати точок P = b ∩ d, Q = AC ∩BD, R = a ∩ c.
166. Данi три точки: A(0, 1,−1), C(−4, 2,−1), D(0, 1, 0) i пряма b : x1 + x2 − 3x3 = 0.Знайдiть рiвняння прямої, яка проходить через точки A i B = b ∩ CD.
167. Данi три точки: A(−1, 0, 1), B(3, 2, 1), C(4, 1, 1) i двi прямi d : 3x1 − x2 + x3 = 0 ie : x1 + x2 − x3 = 0. Знайдiть точку перетину прямої AB з прямою, що проходитьчерез точку C i точку D = d ∩ e.
168. Данi шiсть точок Ai. Доведiть, що точки P = A1A2 ∩ A4A5, Q = A2A3 ∩ A5A6,R = A3A4 ∩ A6A1лежать на однiй прямiй:
а) A1(1, 0, 1), A2(0, 1, 1), A3(3, 4, 5), A4(1, 0,−1), A5(0,−1, 1), A6(−3, 4, 5);
б) A1(1, 1, 1), A2(−1, 1, 1), A3(1,−1, 1), A4(√
2, 0, 1), A5(0,√
2, 1), A6(−√
2, 0, 1);
в) A1(1, 1, 0), A2(1, 2, 0), A3(1, 1, 2), A4(1, 0, 2), A5(1, 1,−2), A6(1,−1, 3);
г) A1(2,−1, 0), A2(2, 1, 2), A3(2,−1, 1), A4(1, 0, 1), A5(6,−3, 2), A6(1, 1, 1).
169. Нехай P1 = A1A4 ∩ A2A3, Q1 = A4A5 ∩ A3A6, R1 = A2A5 ∩ A6A1, де Ai — точки ззадачi 168, а — г. Доведiть, що точки P1, Q1, R1 лежать на однiй прямiй.
170. Нехай P2 = A5A6 ∩ A1A4, Q2 = A6A3 ∩ A1A2, R2 = A3A4 ∩ A2A5, де Ai — точки ззадачi 168, а — г. Доведiть, що точки P2, Q2, R2 лежать на однiй прямiй.
171. Данi шiсть прямих ai, точки перетину цих прямих позначенi таким чином: B1 =a1∩a2, B2 = a2∩a3, B3 = a3∩a4, B4 = a4∩a5, B5 = a5∩a6, B6 = a6∩a1. Доведiть,що прямi p = B1B4, q = B2B5, r = B3B6 перетинаються в однiй точцi:
15
а) a1 : x1 + x2 = 0,a2 : x1 + 2x2 = 0,a3 : x1 + x2 + 2x3 = 0,a4 : x1 + 2x3 = 0,a5 : x1 + x2 − 2x3 = 0,a6 : x1 − x2 + 3x3 = 0;
б) a1 : 2x1 − x2 = 0,a2 : 2x1 + x2 + 4x3 = 0,a3 : 2x1 − x2 + 2x3 = 0,a4 : x1 + 2x3 = 0,a5 : x3 = 0,a6 : x1 + x2 + 2x3 = 0.
172. Нехай A,B,C,D — чотири довiльнi точки, з яких жоднi три не колiнеарнi. Далi,нехай
A1 = BC ∩BC, B1 = BD ∩ AC, C1 = CD ∩ AB
i P = BC ∩B1C1, Q = AC ∩ A1C1, R = AB ∩ A1B1
(див. рис.). Доведiть, що точки P,Q,R колiнеарнi.
Вказiвка. Введiть проективну систему координат R = (A,B,C,D).
173. На двох рiзних прямих m i n довiльно взятi рiзнi точки A1, A2, A3, A4, A5, A6
вiдповiдно (див. рис.). Доведiть, що точки P = A1A2 ∩ A4A5, Q = A2A3 ∩ A5A6,R = A3A4 ∩ A6A1 належать однiй прямiй (теорема Паскаля–Паппа).
Вказiвка. Розгляньте проективну систему координат R = (A1, A2, A3, A4).
16
174. Через рiзнi точки M i N довiльно проведенi прямi a1, a3, a5 i a2, a4, a6 вiдповiдно.Точки перетину цих прямих: B1 = a1 ∩ a2, B2 = a2 ∩ a3, B3 = a3 ∩ a4, B4 = a4 ∩ a5,B5 = a5 ∩ a6, B6 = a6 ∩ a1. Доведiть, що прямi B1B4, B2B5, B3B6 перетинаютьсяв однiй точцi.
175. Данi формули переходу вiд проективної системи координат R до проективної си-стеми координат R′:
λx1 = x′1 − x′3,λx2 = x′1 + 2x′2,λx3 = x′1 − x′2 + x′3.
а) Знайдiть рiвняння прямої l в системi R′, якщо вiдомо її рiвняння в системiR:
x1 + 2x2 = 0.
б) Знайдiть рiвняння прямої m в системi R, якщо вiдомо її рiвняння в системiR′:
x′1 + 2x′2 = 0.
176. В проективнiй системi координат R данi координати фундаментальних точок про-ективної системи координат R′:
A′1(1, 1, 1), A′
2(0, 1, 0), A′2(1, 0, 0), E ′(0, 0, 1).
Знайдiть:
а) формули переходу вiд однiєї системи координат до iншої;
б) координати точки A в системi R, якщо вiдомi її координати в системi R′:
A(−4, 0, 1);
в) координати точки B в системi R′, якщо вiдомi її координати в системi R:
B(2,−1, 3);
г) рiвняння прямої в системi R′, якщо вiдоме її рiвняння в системi R:
x1 + x2 + x3 = 0;
д) рiвняння прямої в системi R, якщо вiдоме її рiвняння в системi R′:
2x′1 − x′2 + x′3 = 0.
177. Одинична точка E проективного репера R = (A1, A2, A3, E) на розширенiй площи-нi є точкою перетину медiан координатного трикутника A1A2A3. Знайти коорди-нати невласних точок сторiн координатного трикутника i координати невласнихточок його медiан вiдносно репера R.
17
2.4 Подвiйне вiдношення чотирьох точок прямої
178. Знайдiть подвiйне вiдношення (AB,CD) наступних четвiрок точок проективноїпрямої:
а) A(1,−1), B(3,−1), C(7,−3), D(5,−3);
б) A(1, 0), B(7,−4), C(1,−1), D(3,−1);
в) A(1, 3), B(−1, 4), C(−1, 11), D(3, 2);
г) A(1, 1), B(3,−2), C(3,−2), D(1, 7);
д) A(2,−1), B(1, 3), C(−1, 1), D(−1, 1);
е) A(1, 1), B(−1, 3), C(1, 2), D(−1, 3).
179. Данi три точки i подвiйне вiдношення четвiрки точок проективної прямої. Знайдiтьчетверту точку.
а) A(1,−1), B(2, 1), C(1, 0), (AB,CD) =1
2. Знайдiть D.
б) A(1,−1), B(2, 1), C(1, 0), (AB,CD) = −1. Знайдiть D.
в) A(1,−1), B(2, 1), C(1, 0), (AB,CD) = 1. Знайдiть D.
г) B(0, 1), C(1, 1), D(2, 1), (AB,CD) = −2. Знайдiть A.
д) A(3, 4), C(−1, 2), D(2, 1), (AB,CD) = −2. Знайдiть B.
е) A(1, 3), B(−1, 2), D(1, 1), (AB,CD) = 0. Знайдiть C.
180. Серед четвiрок точок задачi 178 знайдiть такi, для яких A,B ÷ C,D, i такi, дляяких A,B . . C,D.1
181. Четвiрку точок A(−1, 2), B(−1, 3), C(−3, 8), D(−4, 11) розбийте на роздiленi пари.
182. (AB,CD) = 2. Знайдiть (DC,AB), (BA,CD), (DB,CA), (CA,BD), (AD,BC).
183. (AC,BD) = −3
4. Знайдiть (AD,BC), (BA,DC), (AB,CD).
184. Данi точки A(1, 2), B(2,−1), C(1, 0). Знайдiть точку D таку, щоб були гармонiй-ними 2 наступнi четвiрки:
а) A,B,C,D; б) A,B,D,C; в) A,D,B,C; г) D,A,B,C.
185. Данi двi пари точок проективної прямої: A(2,−1), A′(0, 1) i B(1, 0), B′(1, 4). Знай-дiть пару точок, гармонiйно роздiляючих кожну з даних пар.
186. Данi двi пари точок проективної прямої: A(2,−1), A′(1, 4) i B(0, 1), B′(1, 0). Дове-дiть, що не iснує пари точок, гармонiйно роздiляючих кожну з даних пар.
187. Данi афiннi координати чотирьох точок евклiдової прямої. Знайдiть подвiйне вiд-ношення (AB,CD) цих точок.
1 Вираз A,B ÷ C,D означає, що пара точок A,B роздiляє пару точок C,D, а вираз A,B . . C,Dозначає, що пара точок A,B не роздiляє пару точок C,D.
2 Точки A,B,C,D називаються гармонiйними, якщо (AB,CD) = −1.
18
а) A(−2), B(1), C(3), D(−4);
б) A(3), B(−1), C(1), D(0);
в) A(−10), B(3), C(1), D(−6).
188. Данi афiннi координати трьох власних точок розширеної евклiдової прямої:A(3), B(−1), C(2). Знайдiть: а) (AB,CD∞); б) (D∞C,BA); в) (CB,D∞A), деD∞ — невласна точка даної прямої.
189. Данi афiннi координати трьох власних точок розширеної евклiдової прямої:A(a), B(b), C(c). Знайдiть: а) (AB,CD∞); б) (CD∞, BA); в) (CA,D∞B), де D∞ —невласна точка даної прямої.
190. Данi точки:A(1, 2, 4), B(5, 0, 4), C(3, 1, 4), D(2,−1, 0).
Доведiть їх колiнеарнiсть i знайдiть подвiйнi вiдношення (AB,CD) i (DB,CA).
191. Нехай P — точка перетину дiагоналей трапецiї, а Q — точка перетину бiчних сто-рiн. Доведiть, що пара точок перетину прямої PQ з основами трапецiї гармонiйнороздiляється точками P i Q.
192. Данi точки:
A(1,−2, 1), B(0,−1, 1), C(1, 0,−1), D(1,−1, 0).
Переконайтесь в їх колiнеарностi i знайдiть подвiйнi вiдношення (AB,CD),(AC,BD), (AD,BC), (DC,BA).
193. Данi точки:A(1, 0, 1), B(1,−1, 2), C(5,−2, 7), D(1, 1, 0).
Доведiть їх колiнеарнiсть i знайдiть подвiйнi вiдношення:
(AB,CD), (AB,DC), (AC,BD), (AC,DB), (AD,BC),
(AD,CB), (BA,DC), (CD,AB), (CA,BD), (CB,AD).
194. Переконайтесь, що наступнi четвiрки прямих належать одному пучку:
а) a : x1 − 2x2 + x3 = 0;b : −x2 + x3 = 0;c : x1 − x3 = 0;d : x1 − x2 = 0;
б) a : x2 = 0;b : x1 − x2 = 0;c : 3x1 − x2 = 0;d : 5x1 − x2 = 0.
Знайдiть подвiйнi вiдношення: (ab, cd), (ad, bc), (dc, ba).
195. Данi п’ять точок:
A(1, 1,−1), B(−1, 2,−2), C(0, 1,−1), D(−1, 1,−1), P (0, 1, 0).
Переконайтесь в тому, що точки A,B,C i D колiнеарнi, але не колiнеарнi з P .Безпосередньою перевiркою покажiть, що (AB,CD) = (ab, cd), де a = PA,b = PB, c = PC, d = PD.
19
196. Данi п’ять прямих:
a : x1 − 2x2 + x3 = 0;
b : 2x1 + x2 + x3 = 0;
c : 5x1 + 3x3 = 0;
d : x1 + 3x2 = 0;
p : 3x1 − x2 = 0.
Переконайтесь в тому, що прямi a, b, c, d належать одному пучку, але прямаp цьому пучку не належить. Шляхом безпосередньої перевiрки покажiть, що(ab, cd) = (AB,CD), де A = p ∩ a, B = p ∩ b, C = p ∩ c, D = p ∩ d.
197. Данi прямi a(2, 1, 1), b(0, 1, 3) i c(1, 0,−1). Перевiрте, що цi три прямi належать
одному пучку, i знайдiть в цьому пучку пряму d таку, щоб (ab, cd) =1
3.
198. На розширенiй евклiдовiй площинi данi чотири прямi: a : y = 0, b : y = x,c : y = 3x, d : y = 5x. Переконайтесь в тому, що цi прямi належать одному пучку,i знайдiть (ab, cd).
199. Данi три прямi:
a : 2x1 − x2 − x3 = 0,
b : x1 + 3x2 + x3 = 0,
c : 5x1 + x2 − x3 = 0.
Переконайтесь в їх належностi до одного пучка i знайдiть рiвняння прямої d зумов: а) (ab, cd) = −1, б) (ab, cd) = 3, в) (db, ac) = −2.
200. Данi три точки:A(1,−1, 2), B(−2, 0, 1), C(−1,−1, 3).
Переконайтесь в їх колiнеарностi i знайдiть точку D таку, щоб:
а) (AB,CD) = −1, б) (CD,BA) = −1, в) (CA,DB) = −1, г) (AB,CD) = 2.
201. Данi три точки:A(−1, 2, 1), B(3, 0, 1), C(5,−1, 1).
Переконайтесь в їх колiнеарностi i знайдiть точку D таку, щоб:
а) (AB,CD) = 2; б) (AB,DC) = −1;
в) (AD,CB) = −5; г) (DB,AC) = 3.
202. Данi колiнеарнi точки
A(−5, 0, 1), B(−3, 1, 1), C(−1, 2, 1), D(1, 3, 1).
Знайдiть роздiленi i нероздiленi пари, якi можна скласти з них.
20
203. Подвiйне вiдношення (AB,CD) дорiвнює −1. Знайдiть (DB,CA).
204. а) Дано (AB,CD) = 3. Знайдiть (CA,BD).
б) Дано (AB,CD) = −2. Знайдiть (DB,CA), (CA,DB), (CA,BD), (AD,BC),(CB,AD).
в) Дано (AB,CD) = −1. Знайдiть (DB,CA), (CA,DB), (CA,BD), (AD,BC),(CB,AD).
205. Доведiть, що пара невласних точок гiперболи гармонiйно роздiляється парою не-власних точок її осей.
206. Нехай K∞ i L∞ — невласнi точки гiперболиx2
4− y2 = 1, A∞ i B∞ — невласнi
точки прямих 2x−3y+1 = 0 i x+y = 0 вiдповiдно. Знайдiть подвiйне вiдношення(K∞, L∞, A∞, B∞).
2.5 Принцип двоїстостi. Теорема Дезарга та її застосування
207. Назвати фiгури, двоїстi наступним: а) трьохвершинник, б) двi рiзнi прямi, в) триколiнеарнi точки, г) чотиривершинник.
208. Знайти фiгури, двоїстi (за принципом двоїстостi в просторi P3) таким фiгурам:
а) трьохвершинник,
б) двi мимобiжнi прямi,
в) площина i пряма, яка не лежить в нiй,
г) повний чотиривершинник (чотири точки загального розташування в однiйплощинi i шiсть прямих, що з’єднують їх попарно).
209. Довести:
а) три рiзних площини зажди мають принаймнi одну спiльну точку;
б) якщо три прямi попарно перетинаються i не лежать в однiй площинi, то вонимають одну i тiльки одну спiльну точку.
210. Користуючись принципом двоїстостi, довести, що:
1) на проективнiй площинi P2
а) через кожну точку проходить не менше трьох прямих;б) iснують три прямi, що не проходять через одну точку;
2) в трьохвимiрному проективному просторi P3
а) через кожну пряму проходить не менше трьох площин;б) iснують три площини, що проходять через одну точку;в) iснують чотири площини, що не проходять через одну точку;г) через кожнi двi прямi, що перетинаються, проходить єдина площина;
21
д) через пряму i точку поза нею проходить єдина площина.
211. Розгляньте частиннi випадки конфiгурацiї 3 Дезарга на розширенiй площинi, коли:
а) дезаргова вiсь — невласна пряма;
б) дезарговий центр — невласна точка.
Сформулюйте вiдповiднi частиннi випадки прямої та оберненої теорем Дезарга втермiнах евклiдової геометрiї.
212. Данi чотири точки A,B,C, S, з яких жоднi три не колiнеарнi, i пряма s, не iнци-дентна нi однiй з них. Побудуйте конфiгурацiю Дезарга з центром S, вiссю s iтрьохвершинником ABC.
213. В конфiгурацiї Дезарга на розширенiй еквлiдовiй площинi двi вершини одного здезаргових трикутникiв — невласнi точки. Зробiть рисунок конфiгурацiї Дезаргаi сформулюйте вiдповiднi частиннi випадки прямої та оберненої теорем Дезаргав термiнах евклiдової геометрiї. Доведiть отриманi теореми засобами евклiдовоїгеометрiї.
214. Зробiть рисунок конфiгурацiї Дезарга у випадку, коли одна з вершин одного здезаргових трьохвершинникiв невласна.
215. Зробiть рисунок конфiгурацiї Дезарга у випадку, коли пара невiдповiдних вершинтрьохвершинникiв — невласнi точки.
216. Перевiрте, що для довiльної прямої з конфiгурацiї Дезарга можна пiдiбрати такiдва трьохвершинника цiєї ж конфiгурацiї, для яких дана пряма буде дезарговоювiссю.
217. На евклiдовiй площинi трапецiя вписана в чотирикутник так, що її паралельнiсторони паралельнi однiй з його дiагоналей. Доведiть, що непаралельнi сторонитрапецiї перетинаються на другiй дiагоналi (див. рис. на стор. 23).
218. На евклiдовiй площинi вершини паралелограма ABCD лежать на сторонах пара-лелограма A′B′C ′D′ так, що A ∈ A′B′, B ∈ B′C ′, C ∈ C ′D′, D ∈ D′A′. Доведiть,використовуючи теорему Дезарга, що центр симетрiї паралелограма ABCD спiв-падає з центром симетрiї паралелограма A′B′C ′D′.
219. Використовуючи теорему Дезарга, доведiть, що медiани трикутника перетинаю-ться в однiй точцi.
220. На евклiдовiй площинi данi двi паралельнi прямi l i m i точка P , яка їм неналежить. Користуючись однiєю лiнiйкою, через точку P проведiть пряму, щопаралельна прямим l i m.
3 Конфiгурацiя — сукупнiсть точок i прямих, в якiй кожнiй прямiй iнцидентне одне i теж число точок,а кожнiй точцi — одне i теж число прямих.
22
221. Точку перетину двох прямих l i m будемо називати недосяжною, якщо цi пря-мi перетинаються за межами рисунка. Користуючись однiєю лiнiйкою, проведiтьпряму через точку N i недосяжну точку перетину прямих l i m.
Рис. до задачi 217.
222. Данi пряма n i точки M i L, якi на нiй не лежать. Користуючись однiєю лiнiйкою,побудуйте точку перетину прямої n з прямою ML, не будуючи прямої ML.
223. На евклiдовiй площинi данi паралелограм ABCD, точка M , що належить однiй зсторiн паралелограма, i пряма n. Користуючись однiєю лiнiйкою, проведiть прямучерез точку M паралельно прямiй n.
224. На евклiдовiй площинi данi паралелограм ABCD, пряма n i точка M , що неналежить нi прямiй n, нi сторонам паралелограма. Користуючись однiєю лiнiйкою,проведiть пряму через дану точку паралельно прямiй n.
225. Трапецiя ABCD перетята прямими p i q, паралельними основi AB, p ∩ AD = M ,p ∩ AC = P , q ∩ BD = N , q ∩ BC = Q. Довести, що точка MN ∩ PQ лежить напрямiй AB.
226. Трикутники ABC i DBC перетятi трьома паралельними прямими p, q, r = AD,p∩AB = M , p∩DB = P , q∩AC = N , q∩DC = Q. Довести, що прямiMN,PQ,BCналежать одному пучку.
23
2.6 Повний чотиривершинник i повний чотиристоронник
227. Користуючись однiєю лiнiйкою, побудуйте точку D, четверту гармонiйну до точокA,B i C в таких випадках:
а) (AB,CD) = −1; б) (AC,BD) = −1; в) (AD,BC) = −1.
228. На евклiдовiй площинi данi двi паралельнi прямi i вiдрiзок на однiй з них. Корис-туючись однiєю лiнiйкою, роздiлiть цей вiдрiзок пополам.
229. а) На розширенiй евклiдовiй площинi дана трапецiя ABCD, в якiй AB‖CD;P = CB ∩AD, Q = AC ∩BD; X = AB ∩ PQ, Y = CD ∩ PQ, K = AY ∩BD,T = AB ∩ KP . Доведiть, що вiдрiзок AT Складає третю частину вiдрiзкаAB (див. нижче рисунок).
б) На евклiдовiй площинi дана трапецiя ABCD, в якiй AB‖CD; P = AD∩BC,X — точка вiдрiзка AB, яка вiдтинає вiд нього
1
nчастину, вважаючи вiд A.
Далi: Y = XP ∩ CD, K = AY ∩ DB, T = AB ∩KP . Доведiть, що точка T
вiдтинає вiд вiдрiзка AB1
1 + nчастину, вважаючи вiд A.
Рис. до задачi 229 а.
в) На евклiдовiй площину дана пара паралельних прямих i на однiй з них вiд-рiзок AB. Користуючись однiєю лiнiйкою, роздiлiть AB на 3, 4, 5, . . . рiвнихчастин.
230. Яка пряма на евклiдовiй площинi буде четвертою гармонiйною до трьох прямихпучка a, b i c, якщо пряма c дiлить кут, утворений прямими a i b, пополам?
24
231. На площинi данi три прямi пучка S : a, b, c. Користуючись однiєю лiнiйкою, побу-дуйте четверту гармонiйну пряму до прямих a, b i c : (ab, cd) = −1.
232. На евклiдовiй площинi данi прямi a, b i c одного пучка S, причому c перпенди-кулярна a. Користуючись однiєю лiнiйкою, подвойте кут, утворений прямими a ib.
233. На евклiдовiй площинi данi три паралельнi прямi a, b i c. Користуючись однiєюлiнiйкою, побудуйте пряму d таку, щоб (ab, cd) = −1.
234. На евклiдовiй площинi даний вiдрiзок AB i його середина C. Користуючись однi-єю лiнiйкою, проведiть пряму через дану точку F 6∈ AB паралельно прямiй AB.
235. На евклiдовiй площинi данi двi паралельнi прямi i на однiй з них вiдрiзок AB.Користуючись однiєю лiнiйкою, подвойте вiдрiзок AB.
236. На евклiдовiй площинi даний паралелограм. Користуючись однiєю лiнiйкою, черезточку перетину його дiагоналей проведiть прямi, паралельнi його сторонам.
237. На прямiй данi точки A,B,C. Побудуйте точку D таку, щоб (AB,CD) = 2.
238. Довести, що прямi, якi мiстять дiагоналi паралелограма, гармонiйно роздiляютьпрямi, що проходять через центр паралелограма паралельно його сторонам.
239. Довести, що точка перетину дiагоналей трапецiї, точка перетину продовжень їїбiчних сторiн i середини її основ лежать на однiй прямiй.
2.7 Проективнi перетворення площини (колiнеацiї)
240. Дана колiнеацiя4 κ: λx′1 = x1 + 2x2,λx′2 = x2 + 2x3
λx′3 = x2.
Знайдiть: а) A′ — образ точки A(1, 1,−2); б) B — прообраз точки B′(−2,−2, 1);в) l′ — образ прямої l : 2x1 +x3 = 0; г) m — прообраз прямої m′ : 2x′1 +x′2 +x′3 = 0.
241. Дана колiнеацiя κ: λx′1 = x1 + x2,λx′2 = x1 − x3
λx′3 = 2x2 + x3.
Знайдiть:
а) образи A′, B′, C ′ точок A(2,−1, 0), B(1, 1,−2), C(0, 0, 1);
б) прообрази D,E, F точок D′(5,−1, 1), E ′(0, 1,−1), F ′(1,−2, 3);
в) образи a′, b′, c′ прямих a : x1 + 2x2 − x3 = 0, b : 2x2 + x3 = 0, c : x1 = 0;
4 Перетворення називається колiнеацiєю, якщо образом точки є точка, образом прямої — пряма,зберiгається iнцидентнiсть точок i прямих, а також подвiйне вiдношення довiльної четвiрки колiнеарнихточок.
25
г) прообрази l,m прямих l′ : x1 + 2x2 − x3 = 0, m′ : x2 + x3 = 0;
д) образ G ′ квадрики G: x21 + x2
2 + x23 + 2x1x2 = 0;
е) прообраз H квадрики H ′: x21 + x2
2 − x23 = 0.
242. Знайдiть рiвняння колiнеацiї κ, яка задана двома четвiрками точок:
A(0, 0, 1) 7→ A′(0, 0, 1),B(2, 0, 1) 7→ B′(2, 0, 1),C(1, 1, 1) 7→ C ′(1, 1, 0),D(1,−1, 1) 7→ D′(1,−1, 0).
243. Знайдiть рiвняння колiнеацiй, заданих двома четвiрками точок:
а) A(1, 3, 0) 7→ A′(3, 0,−1),B(2,−1, 2) 7→ B′(−1, 2, 2),C(1, 1, 1) 7→ C ′(1, 1,−1),D(1, 0, 0) 7→ D′(0, 0, 1).
б) A(1, 2, 0) 7→ A′(2, 0, 1),B(0, 3, 4) 7→ B′(7,−4, 0),C(0, 0, 1) 7→ C ′(−1, 1, 0),D(4,−1, 1) 7→ D′(0, 1, 4).
244. Знайдiть рiвняння колiнеацiї, заданої наступними четвiрками точок iз задачi 243,а):
A 7→ B′,B 7→ C ′,
C 7→ D′,D 7→ A′.
245. Знайдiть рiвняння колiнеацiї, яка фундаментальнi точки A1(1, 0, 0), A2(0, 1, 0),A3(0, 0, 1) залишає на мiсцi, а точку E(1, 1, 1) вiдображає на точку E ′(a, b, c).
246. Знайдiть нерухомi точки колiнеацiї, рiвняння якої були отриманi при розв’язуваннiзадачi 242.
247. Знайдiть нерухомi точки таких колiнеацiй:
а)
λx′1 = 2x1 − x2 + 2x3,λx′2 = 5x1 − 3x2 + 3x3,λx′3 = −x1 − 2x3;
в)
λx′1 = x1,λx′2 = −x2,λx′3 = x1 − x3;
б)
λx′1 = 3x1 + x2,λx′2 = x1 + 3x2,λx′3 = 4x3;
г)
λx′1 = 2x1 + x3,λx′2 = x1 + x2 + x3,λx′3 = −x1.
248. Знайдiть нерухомi прямi 5 колiнеацiїλx′1 = x1,λx′2 = x2,λx′3 = x1 − x3.
5 Слiд розрiзняти нерухому пряму i пряму, яка складається з нерухомих точок.
26
249. Знайдiть нерухомi прямi колiнеацiй iз задачi 247.
250. Доведiть, що колiнеацiя λx′1 = x1,λx′2 = 2x2,λx′3 = 3x3
має точно три нерухомi точки.
251. Доведiть, що колiнеацiя λx′1 = x1 + x3,λx′2 = 2x2,λx′3 = x3
має точно двi нерухомi точки.
252. Доведiть, що колiнеацiя λx′1 = x1 − 2x2,λx′2 = 2x1 + x2,λx′3 = x3
має точно одну нерухому точку.
253. На розширенiй евклiдовiй площинi в проективних координатах задана колiнеацiяϕ:
λx′1 = x1
λx′2 = 2x2,λx′3 = x1 − x3.
Знайдiть a′ = ϕ(a∞) образ i b = ϕ−1(a∞) прообраз невласної прямої a∞.
254. На розширенiй евклiдовiй площинi в проективних координатах заданi колiнеацiї
ϕ1 :
λx′1 = x1 + x3,λx′2 = x1 − x3,λx′3 = x2;
ϕ2 :
λx′1 = 2x1 + 7x2 + 3x3,λx′2 = 3x1 + 9x2 + 4x3,λx′3 = x1 + 4x2 + 3x3
i прямil1 : x1 + x2 − x3 = 0; l2 : x3 = 0.
Знайти рiвняння наступних прямих:
а) ϕ1(l1), ϕ−11 (l1); в) ϕ2(l1), ϕ
−12 (l1);
б) ϕ1(l2), ϕ−11 (l2); г) ϕ2(l2), ϕ
−12 (l2).
2.8 Гомологiї
255. Гiперболiчна гомологiя задана центром P , вiссю p i парою точок A 7→ A′. Побу-дуйте:
а) образ довiльної прямої, що проходить через A;
б) образ довiльної точки, що не лежить на прямiй AA′;
27
в) образ довiльної точки, яка лежить на прямiй AA′;
г) образ довiльної прямої;
д) образ i прообраз невласної прямої, вважаючи, що гомологiя задана на роз-ширенiй евклiдовiй площинi.
256. Гiперболiчна гомологiя задана вiссю, центром i парою прямих a→ a′. Побудуйте:
а) образ довiльної точки M , яка не лежить на a;
б) образ довiльної точки прямої m, яка перетинається з прямою a на осi.
257. Гiперболiчна гомологiя на розширенiй евклiдовiй площинi задана власною вiссю,центром i парою точок A 7→ A′
∞. Побудуйте:
а) образ довiльної точки M ,
б) образ довiльної прямої m,
в) образ невласної прямої.
258. Гiперболiчна гомологiя задана невласним центром P∞, власною вiссю p i пароювiдповiдних точок A i A′. Яким афiнним перетворенням є дана гомлогiя? Побу-дуйте:
а) образ довiльної точки M ,
б) образ довiльної прямої m.
259. Гiперболiчна гомологiя задана власним центром P , невласною вiссю p∞ i пароювiдповiдних точок A i A′. Яким афiнним перетворенням є дана гомлогiя? Побу-дуйте:
а) образ довiльної точки M ,
б) образ довiльної прямої m.
260. Доведiть, що гомологiя, яка задана невласним центром P∞ i невласною вiссю p∞,буде паралельним переносом.
261. Iнволюцiйна гомологiя задана вiссю i центром. Побудуйте образ довiльної точки.
262. Параболiчна гомологiя задана вiссю i парою вiдповiдних точок A i A′. Порбудуйте:
а) образ довiльної точки,
б) образ довiльної прямої,
в) образ i прообраз невласної прямої, вважаючи, що гомологiя задана на роз-ширенiй евклiдовiй площинi.
263. Доведiть, що композицiя двох гiперболiчних гомологiй iз спiльною вiссю є го-мологiя з тiєю ж вiссю, причому центри всiх трьох гомологiй лежать на однiйпрямiї.
28
264. Доведiть, що композицiя двох гомотетiй на евклiдовiй площинi є або гомотетiя,або паралельний перенос, причому в першому випадку центри всiх трьох гомотетiйлежать на однiй прямiй, а в другому вектор переносу паралельний прямiй, щоз’єднує центри даних гомотетiй (теорема про три центри подiбностi).
265. Доведiть, що композицiя параболiчних гомологiй з спiльною вiссю є параболiчнагомологiя з тiєю ж вiссю. Виходячи з цього результату, доведiть, що композицiядвох паралельних переносiв на евклiдовiй площинi є паралельний перенос.
266. Побудуйте пряму, що проходить через дану точку A i через недосяжну точкуперетину двох прямих a i b.
267. Дано паралелограм ABCD своїми сторонами, двi його вершини A i C — недосяжнiточки. Побудуйте пряму AC.
2.9 Проективне вiдображення прямої на пряму i пучкiв прямих
268. Проективне вiдображення прямої на пряму задане двома трiйками колiнеарнихточок:
A(1,−1, 2) 7→ A′(2,−1,−1), B(0, 1, 2) 7→ B′(0, 1, 0), C(1, 0, 4) 7→ C ′(2, 1,−1).
Переконайтесь в тому, що точка D(2, 1,−1) лежить на однiй прямiй з точкамиA,B,C, i знайдiть її образ.
269. Проективне вiдображення ϕ прямої lна пряму l′ задоне двома трiйками точок:
A(1, 1, 1) 7→ A′(−1, 2,−1), B(−1, 2,−1) 7→ B′(1,−2, 2), C(2,−1, 2) 7→ C ′(1, 1,−4).
Переконайтесь в тому, що точка U колiнеарна точкам A,B,C ∈ l, а точка V ′
колiнеарна точкам A′, B′, C ′ ∈ l′. Знайдiть ϕ(U) образ точки U ∈ l i прообразточки V ′ ∈ l′, якщо
а) U(0, 1, 0), V ′(7,−11, 8); б) U(1,−5, 1), V ′(5,−7, 4);
в) U(1, 0, 1), V ′(−2, 1, 2).
270. Знайти образ i прообраз точки перетину прямих l i l′ вiдносно вiдображення ϕ,заданого в задачi 269.
271. Перспективне вiдображення прямої на пряму задане двома парами точок:
A(0, 2, 1) 7→ A′(−1, 1, 1), B(1, 3, 0) 7→ B′(1, 3,−1).
Знайдiть M ′ — образ точки M(1, 5, 1) ∈ AB.
272. Перспективне вiдображення ψ прямої на пряму задане двома парами точок:
A(1, 0, 2) 7→ A′(0, 1, 2), B(2, 0,−1) 7→ B′(3, 1, 3).
Знайдiть U ′ — образ точки U ∈ AB i V — прообраз точки V ′ ∈ A′B′:
29
а) U(4, 0, 3), V ′(3, 2, 5); б) U(1, 0,−3), V ′(3,−1,−1);
в) U(3, 0, 1), V ′(3, 0, 1).
273. Доведiть, що проективнi вiдображення прямої на пряму, що заданi наступнимитрiйками точок, перспективнi:
а) A(3,−1,−1) 7→ A′(4, 0, 3), B(0, 1, 2) 7→ B′(1, 0, 2), C(3, 2, 5) 7→ C ′(1, 0,−3);
б) A(−2, 1, 1) 7→ A′(1, 2, 2), B(1,−2, 1) 7→ B′(2, 3, 2), C(1,−1, 0) 7→ C ′(3, 5, 4);
в) A(−1, 0, 2) 7→ A′(−2, 0, 1), B(1, 1,−1) 7→ B′(1, 1,−2), C(1, 3, 1) 7→ C ′(1, 3,−5).
274. Проективне вiдображення ϕ прямої u1на пряму u2 задане трьома парами вiдпо-вiдних точок A1 i A2 = ϕ(A1), B1 i B2 = ϕ(B1), C1 i C2 = ϕ(C1). Подайте ϕ яккомпозицiю двох перспективних вiдображень: ϕ = ψ2 ◦ ψ1.
275. В проективному вiдображеннi ϕ, що задане в задачi 274, побудуйте: а) M2 —образ довiльної точки M1 ∈ u1; б) образ i прообраз точки перетину прямих u1 iu2, якщо u1 6= u2.
276. Сформулюйте i розв’яжiть задачi, двоїстi задачам 275,а i 275,б.
277. Проективне вiдображення f : d → d′ прямої d на пряму d′ задане вiдповiднимиреперами: (A,B,C) ⊂ d i (A′, B′, C ′) ⊂ d′. Побудувати образ i прообраз точкиD = d ∩ d′ у вiдображеннi f .
278. На розширенiй площинi данi двi прямi d i d′. Проективне вiдображення f : d→ d′
вiзначене реперами (A,B,C) ⊂ d i (A′, B′, C ′) ⊂ d′. Побудувати образ невласноїточки M∞ ∈ d.
279. Проективне вiдображення f : P (O) → P (O′) пучка прямих P (O) на пучок пря-мих P (O′) задане вiдповiдними реперами: (a, b, c) ⊂ P (O) i (a′, b′, c′) ⊂ P (O′).Побудувати образ i прообраз прямої OO′ у вiдображеннi f .
280. Довести, що коли в проективному вiдображеннi f : P (O) → P (O′) пучка пря-мих P (O) на пучок прямих P (O′)три пари вiдповiдних прямих перетинаються втрьох точках, що лежать на однiй прямiй, то i довiльна пара вiдповiдних (рiзних)прямих цих пучкiв перетинаються в точцi, що лежить на тiй же прямiй, тобтовiдоьраження f — перспективне.
281. Довести, що коли в проективному вiдображеннi f : P (O) → d пучка прямих P (O)на пряму d 6∈ P (O) три прямi пучка P (O) проходять через вiдповiднi їм точкипрямої d, то i довiльна пряма цього пучка проходить черех вiдповiдну їй точкупрямої d, тобто вiдображення f — перспективне.
282. Проективне вiдображення f : d → P (O)прямої d на пучок прямих P (O) заданевiдповiдними реперами (A,B,C) ⊂ d i (a, b, c) ⊂ P (O). Побудувати прообраз даноїпрямої m ∈ P (O).Розглянути частинний випадок, коли O = A, m = d.
30
283. Данi три точки A,B,C, що лежать на прямiй d, i три точки A′, B′, C ′, що лежатьна прямiй d′ (d′ 6= d). Довести, що точки K = BC ′ ∩ B′C, L = AC ′ ∩ A′C,M = AB′ ∩ A′B лежать на однiй прямiй (теорема Паппа).
2.10 Методи зображень
284. Побудувати зображення правильного трикутника, правильної трикутної пiрамiди,правильної шестикутної призми в паралельнiй проекцiї.
285. Побудувати зображення квадрата, куба, правильної восьмикутної пiрамiди в па-ралельнiй проекцiї.
286. Дано зображення кола в паралельнiй проекцiї. Побудувати зображення:
(a) вписаного в нього правильного трикутника;
(b) описаного навколо нього правильного трикутника.
287. Побудувати зображення правильної трикутної призми, вписаної в цилiндр (опи-саної навколо цилiндра) в ортогональнiй проекцiї.
288. Через дану точку провести дотичну до даного елiпса.
289. Дано зображення кола в паралельнiй проекцiї. Побудувати зображення вписаногов нього правильного шестикутника.
290. Дано зображення кола в паралельнiй проекцiї. Побудувати зображення квадратаi правильного восьмикутника, описаного навколо цього кола.
291. Дано зображення квадрата в паралельнiй проекцiї. Побудувати зображення кола,вписаного в цей квадрат.
292. Дано зображення квадрата в паралельнiй проекцiї. Побудувати зображення кола,описаного навколо цього квадрата.
293. Дано зображення кулi та її екватора. Побудувати зображення двох її меридианiв,площини яких взаємно перпендикулярнi.
294. Дано зображення куба в паралельнiй проекцiї. Побудувати зображення перерiзуцього куба площиною, що проходить через точки M ′, N ′, P ′, такi, що точки M ′
i N ′ лежать в бiчних гранях куба, а точка P ′ — на продовженi одного з бiчнихребер.
295. Дано зображення правильної чотирикутної пiрамiди в паралельнiй проекцiї. По-будувати зображення перерiзу цiєї пiрамiди площиною, що проходить через точкиM ′, N ′, P ′, такi, що точка M ′ лежить на обноиу з бiчних ребер пiрамiди, а точкиN ′ i P ′ — на її бiчних гранях.
296. В паралельнiй проекцiї дано зображення трикутника, вписаного в коло. Побуду-вати зображення його висот.
297. В паралельнiй проекцiї дано зображення трикутника, описаного навколо кола.Побудувати зображення його медiан, висот i бiсектрис кутiв.
31
3 ВIДПОВIДI
Роздiл 11.1
2. Шукана точка лежить на перетинi двох кiл, концентричних даним. 3. Треба розглянути двавипадка: 1) три прямi попарно перетинаються; 2) двi прямi паралельнi, а третя їх перетинає.5. Звести до задачi 4 (побудова трикутника за основою 2p, кутом при вершинi 90◦ + A
2 iвисотою ha). 6. Спочатку довести, що сторону трикутника видно з центра вписаного кола пiдкутом, величина якого рiвна 90◦ плюс половина величини кута, який лежить навпроти сторони.8. Задача зводиться до побудови точки D — середини AC, якщо BC = a. 9. Використати колоАполлонiя. 10. Див. вказiвку до задачi 9. 11. Добудувати шуканий трикутник до паралелограмаABCD i звести задачу до побудови точки B. 12. Використати коло Аполлонiя. 13. Задачазводиться до побудови вершини C трикутника ACA′, у якого AA′ = 2AB (B — серединаAA′). AB i BC — данi сторони шуканого паралелограма i вiдношення AC : A′C дорiвнюєданому вiдношенню. 14. Нехай ABCD — шуканий паралелограм. Точка C є точка перетинукола Аполлонiя i кола радiуса r = 1
2AC з центром в серединi AC. 16. Використати фiгуру F ={M | |BM |2− |CM |2 = |m|2}, де B i C — данi точки i m — даний вiдрiзок. 18. Центр шуканогокола є точка перетину кiл (A, r) i (B,
√r2 + l2). 19. Див. вказiвку до задачi 16. 20.Знаючи R i
∠A, легко побудувати BC. Потiм використати фiгуру F = {M | |BM |2+|CM |2 = |l|2}. 29. ЯкщоM — точка перетину шуканих сiчних i даний кут не рiвний кутовi AOB, то MO — бiсектрисакута AMB. 33. Розглянути середню лiнiю трикутника ABC, паралельну AC. 34. За кутом Ai R побудувати сторону BC.
1.2
35. Використати паралельний перенос однiєї з дiагоналей. 37. Застосувати паралельний переносоднiєї з медiан, звести задачу по побудови трикутника, сторонами якого є 2
3 медiан шуканоготрикутника. 38. Використати паралельний перенос бiчної сторони. 39. Звести задачу до роз-глядання рiвнобiчного трикутника та його осi симетрiї. 41. Вписати в дане коло квадрат i потiмповернути його навколо центра кола на належний кут. 42. Знаючи два кути, побудувати трику-тник, подiбний шуканому, визначити коефiцiєнт подiбностi, що i дасть можливiсть побудуватишуканий трикутник. 44. Припустивши задачу розв’язаною, ззастосувати гомотетiю з центрому вершинi даного кута. 46. Нехай ABCD — шуканий паралелограм. Вiзьмемо довiльнi точкиA1, C1 i побудуємо коло Аполлонiя {M | |A1M | : |C1M | = |AD| : |CD|}. Нехай O1 — серединаA1C1. Проводимо промiнь O1X, такий, щоб ∠A1O1X був рiвний даному кутовi мiж дiагоналя-ми. Цей промiнь перетне коло Аполлонiя у вершинi D1 паралелограма A1D1C1B1. Вiд цьогопаралелограма за допомогою гомотетiї переходимо до шуканого. 47. Навколо даного трикутникаописати коло i з допомогою гомотетiї перевести її в дане коло. 48. Якщо данi прямi перети-наються, то використати спосiб розв’язку задачi 44 (гомотетiя з центром в точцi перетину цихпрямх). Якщо ж прямi паралельнi, то побудувати коло, яке дотикається цих прямих, i потiмпереносом перевести її в коло, що проходить через дану точку (в останньому випадку данаточка повинна належати смузi, обмеженiй даними прямим). 49. Нехай A, B — данi точки, d —дана пряма. Гомотетiя з центром S = d ∩ AB i коефiцiєнтом |SA|
|SB| дозволяє визначити точкуQ ∈ d, де BQ — одна iз шуканих прямих. 51. Розгляньте поворот з центром в точцi A на кут60◦.
32
1.3
58. Дивись рисунок. 59. Дивись рисунок. 60. Три дуги кiл з кiнцями в вершинах трикутника.
Рис. до задачi 58. Рис. до задачi 59.61. Двi прямi, кожна з яких паралельна спiльнiй дотичнiй у точцi A. 62. Вказiвка. Спочаткупобудувати образ шуканого кола при деякiй iнверсiї з центром A. 63. Вказiвка. Побудуватиобраз однiєї з даних точок при iнверсiї вiдносно даного кола. 64. Вказiвка. Див. вказiвку дозадачi 63.
67. Вказiвка. Провести перпендикуляр з цен-тра O даного кола на дану пряму a (див. рис.).Врахувати, що точка A′ шуканого кола — то-чка перетину PA i кола, що проходить черезточки M , Q i A. 68. Вказiвка. Спочатку по-будувати допомiжне коло, концентричне шу-каному i яке проходить через центр одного зданих кiл. 73. Вказiвка. Розглянути iнверсiюз центром в однiй з даних точок, звести задачудо побудови спiльної дотичної до двох данихкiл.
Рис. до задачi 67.
1.4
74. Нехай (O) — шукане коло i d∩ (O) = {D,E}, d∩ (AB) = C. Маємо: |AC| · |BC| = x(x+ a),де x = |CD| i a — довжина даного вiдрiзка. 76. Переконайтесь, що вiдстанi точки D вiд сторiнтрикутника вiдомi. 84. Нехай a, b — довжини сторiн, e, f — довжини дiагоналей паралелограма.За умовою: e = ka, f = kb. Але 2(a2 + b2) = e2 + f2. Звiдси k =
√2. Знаючи a, b, e =
√2a,
побудуємо трикутник, а потiм i паралелограм. 85. Задача зводиться до подiлу основи трапецiїв даному вiдношеннi. 87. Нехай a — довжина сторони правильного п’ятикутника, d — довжинайого дiагоналi. Тодi d : a = a : (d− a). Звiдси a =
√5−12 d.
1.5
102. Застосувати перемiщення одного з даних кiл в даному напрямку так, щоб довжина вектораперемiщення бiла рiвна довжинi даного вiдрiзка. 104. Вивести спiввiдношення: ac = 1
2(p2 +q2−b2 − d2), де a, c — довжини основ, b, d — довжини бiчних сторiн, p, q — довжини дiагоналейтрапецiї. Побудувати вiдрiзки довжини m,n, l, такi, щоб:
ac = l2,a+ c
a− c=m
n.
33
Знайдемо:a
c=m+ n
m− n, a2 =
l2(m+ n)m− n
.
Побудувавши вiдрiзок довжини a, можна побудувати трапецiю. 105. Висота ромба 2R, де R —радiус даного кола. За стороною тi висотою будуємо ромб i вписуємо в нього коло. Перемiщен-ням переводимо побудоване коло в дане. 106. Вiсь симетрiї сектора перетинає його дугу в точцiM дотикання шуканого кола. Знаходимо радiус шуканого кола:
r =dR
d+R,
де R — радiус сектора, d — вiдстань вiд точки M до граничного радiуса сектора. 107. Всi кола,що перетинають два даних дiаметрально, належать одному пучку, центри кiл цього пучка ле-жать на лiнiї центрiв даних кiл. 108. Нехай P,Q,R, S — данi точки на сторонах AB, BC, CD,DA квадрата ABCD або їх продовженнях. Через точку Q проведемо перпендикуляр до PR iвiдкладемо на ньому QT = PR. Тодi AD ⊂ ST . 110. Центр шуканого кола повинен лежати та-кож на колi Аполлонiя, яке можна побудувати за даними точками. 111. Центром шуканого колає радикальний центр даної трiйки кiл. 112. Вважаючи данi точки колами нульового радiуса,розв’язуємо цю задачу, як i попередню. 114. Нехай (O1, r1) i (O2, r2) — данi кола, A ∈ (O1, r1).Побудувати радiус O2B, паралельний O1A. Точка дотикання шуканого кола з колом (O2, r2)лежить на AB. 115. Бiсектриси трикутника ABC лежать на прямих, що мiстять висоти шу-каного трикутника. 118. Розглянути пряму, що проходить через центр даного кола i серединувiдрiзка, який з’єднує данi точки. 119. Спiльна дотична до шуканих кiл, що проходить черезC, або паралельна AB, або проходить через середину AB.
Роздiл 22.1
120. F2 = {0̄, 1̄}, F 22 = {(0̄, 0̄), (1̄, 0̄), (0̄, 1̄), (1̄, 1̄)}. Вектори (1̄, 0̄) = ~a1, (0̄, 1̄) = ~a2 утворю-
ють базис векторного простору F 22 , (0̄, 0̄) = ~0, (1̄, 1̄) = ~a1 + ~a2 = ~e. Множина F 2
2 \ {~0} мi-стить три вектори ~a1,~a2, ~e, якi породжують три точки A1, A2, E, тому P (F 2
2 ) = {A1, A2, E}.121. Векторний простiр F 3
2 мiстить лише сiм попарно неколiнеарних ненульових вектори. 124.X∞(−1, 1). 131. A1(1, 0, 0), A2(0, 1, 0), A3(0, 0, 1), E(1, 1, 1), E1(0, 1, 1), E2(1, 0, 1), E3(1, 1, 0),P1(2, 1, 1), P2(1, 2, 1), P3(1, 1, 2). Вказiвка. Для визначення координат точок P1, P2, P3 скориста-тись умовою колiнеарностi трьох точок. 133. X∞(1,−1, 0), Y∞(1, 0,−1), Z∞(0, 1,−1) — невласнiточки сторiн координатного трикутника,M∞(−2, 1, 1), N∞(1,−2, 1), P∞(1, 1,−2) — невласнi то-чки його медiан.
2.2
134. A(0, 1)R, B(1,−1)R, C(2, 7)R, D(1,−1)R′ , E(0, 1)R′ , F (−3, 1)R′ .
135. (a){λx1 = x′1 − 2x′2,λx2 = 2x′1 + x′2;
(b){λx1 = x′1 + x′2,λx2 = 2x′2;
(c){λx1 = x′1,λx2 = 2x′2;
(d){λx1 = x′1 − x′2,λx2 = x′1 + x′2.
136. A(1), B(23), C(−3
5). Точка D невласна, тому вона не має афiнної координати.
137. A(2, 1)R, B(1, 3)R, C(1,−1)R. 138. A(3,−1), B(2,−1), C(1,−3), D(1,−2), K∞(1,−1).
139.
µx1 = x′1 − x′2 − x′3,µx2 = x′1 − x′2 − x′3,µx3 = 2x′3.
140. M(−2, 0, 1), N(0,−1, 1). 141. M(3, 2,−1), N(12, 9),
X∞(5, 0,−3), P (0, 1, 1). 142. O(−7, 10, 14), A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1), D(1, 1, 1), E(77, 34, 14),F (1, 35,−1), P (−7, 1,−7). 143. 8x′21 − 2x′22 − x′23 = 0.
34
2.3
144. 7. 148. (− ~A, ~B, ~C), де ~A = (1, 0,−1), ~B = (2, 1, 0), ~C = (0, 0, 1) в базисi, який породжуєрепер R. 149. x1− 2x2−x3 = 0. 150. 9x1 + 3x2− 7x3 = 0. 151. а) x3 = 0; б) 2x1 + 5x2 + 4x3 = 0;в) x1 + x3 = 0. 152. (−1,−1, 3). 153. 4x1 + 3x2 − 2x3 = 0. 154. (−5, 4, 6). 155. (12, 38, 9).156. (14, 6,−1). 157. (64, 5, 50). 158. (a) (−3, 10, 4); (b) (3,−2, 1). 159. 3x1 − x2 + 5x3 = 0. 160.42x1 +9x2−8x3 = 0. 161. 3x1 +13x2−5x3 = 0. 162. x1−x2−x3 = 0. 163. 17x1 +17x2 +11x3 = 0.164. P (5, 2, 6), Q(1, 1,−3), R(1, 2, 0); PQ : 4x1−7x2−x3 = 0; QR : 6x1−3x2 +x3 = 0; RP : 6x1−3x2−4x3 = 0. 165. AC : 5x1 +2x2 +6x3 = 0; BD : x1 +2x2 = 0; P (1, 2, 1), Q(−6, 3, 4), R(1,−1, 0).166. x2 + x3 = 0. 167. (1, 1, 1). 175. а) x′1 + x′3 = 0 в R′; б) 4x1 + 5x2 − 6x3 = 0 в R. 176. а)
µx1 = x′1 − x′3,µx2 = x′1 − x′2,µx3 = x′1.
б) A(5, 4, 4); в) B(3, 4, 1); г) 3x′1−x′2−x′3 = 0; д) x1+x2 = 0. 177. X∞(1,−1, 0),
Y∞(1, 0,−1), Z∞(0, 1,−1) — невласнi точки сторiн координатного трикутника, M∞(−2, 1, 1),N∞(1,−2, 1), P∞(1, 1,−2) — невласнi точки його медiан.
2.4
178. а) 4; б) −53 ; в) −4; г) ∞; д) 1; е) 0. 179. а) D(5, 1); б) D(1, 2); в) D(1, 0); г) A(3, 2);
д) B(3,−1); е) C(1, 3). 180. A,B ÷ C,D у випадках б), в); A,B . . C,D у випадках а), д).181. A,D ÷ B,C. 182. (DC,AB) = (BA,CD) = (AD,BC) = 1
2 , (DB,CA) = (CA,BD) = −1.183. (AD,BC) = 3
7 , (BA,DC) = (AB,CD) = 134 . 184. а), б) D(−3, 4); в) г) D(9,−2). 185.
X(1,−2), Y (1, 1). 187. а) 614 ; б)
13 ; в) 123
8 . 188. а), б) −13 ; в) 4. 189. а)
a−cb−c ; б)
b−ca−c ; в)
b−ab−c . 190.
(AB,CD) = −1, (DB,CA) = 2. 192. (AB,CD) = (DC,BA) = 2, (AC,BD) = −1, (AD,BC) =12 . 193. (AB,CD) = (BA,DC) = (CD,AB) = −11
3 , (AC,DB) = (CA,BD) = 37 , (AD,BC) = 7
4 ,(AD,BC) = (CB,AD) = 4
7 , (AB,DC) = −34 , (AC,BD) = 21
3 . 194. а) (ab, cd) = (dc, ba) = 2;(ad, bc) = 1
2 ; б) (ab, cd) = (dc, ba) = 115 ; (ad, bc) = 1
6 . 197. d(−1, 1, 4). 198. (ab, cd) = 115 . 199. а)
3x1 − 5x2 − 3x3 = 0; б) 13x1 − 3x2 − 5x3 = 0; в) 7x1 − 2x2 = 0. 200. а), б) D(3,−1, 1); в), г)D(0,−2, 5). 201. а) D(11,−4, 1); б) D(4, 1, 2); в) D(50,−10, 13); г) D(29,−4, 7). 203. (DB,CA) =2. 204. а) (CA,BD) = −1
2 ; б) (DB,CA) = (CA,DB) = 3, (CA,BD) = 13 , (AD,BC) = 3
2 ,(CB,AD) = 2
3 ; в) (DB,CA) = (CA,DB) = (AD,BC) = 2, (CA,BD) = (CB,AD) = 12 . 206. 21
або 121 в залежностi вiд позначень невласних точок гiперболи.
2.5
213. Вказiвка. Наведемо формулювання прямої теореми: нехай ABC — довiльний трьохвер-шинник, S — точка, що не належить його сторонам, i C1 — довiльна точка прямої SC,вiдмiнна вiд S i C. Якщо точки P i Q, якi лежать вiдповiдно на сторонах BC i AC, такi,що Cq‖AS i C1P ‖ BS, то прямi AB i PQ паралельнi. Для доведення теореми засобами ев-клiдової геометрiї розгляньте гомотетiю з центром в точцi C, при якiй точка S вiдображаєтьсяна C1. Покажiть, що образом прямої AB при цiй гомотетiї буде пряма QP . 217. Розв’язуван-ня. Трапецiя EFQH вписана в чотирикутник ABCD так, що FQ‖EH‖AC. Прямi FQ i EH,FB i DE, BQ i DH перетинаються на прямiй AC. Отже, трьохвершинники FBQ i EDHзадовольняють обернену теорему Дезарга, тому прямi FE, QH i BD перетинаються в однiйточцi. 220. Вказiвка. Нехай задача розв’язана i пряма n — шукана. Розглянемо конфiгурацiюДезарга, центром якої є невласна точка, що належить прямим l,m, n. Вiсь s i точки R ∈ l,Q ∈ m i R′ ∈ l можуть бути вибранi довiльно, але так, щоб R,Q i P не були колiнеарними.Якщо X = RQ ∩ s, Y = PQ ∩ s, Z = RP ∩ s, то Q′ = R′X ∩m, P ′ = R′Z ∩ Q′Y . 221. Вка-зiвка. Розв’язування цiєї задачi аналогiчне розв’язуванню задачi 220, тiльки замiсть невласної
35
точки прямих l i m треба розглядати недосяжну точку перетину прямих l i m. 222. Вказiвка.Конфiгурацiю Дезарга побудуйте так, щоб ML була дезарговою вiссю, а точки M,L i шуканаточка N були точками перетину вiдповiдних сторiн дезаргових трикутникiв. Для цього вер-шини A i C одного з дезаргових трикутникiв слiд вибрати на прямiй n. Тодi третя вершинаB буде точкою перетину AL i MC. Шукана точка N = AC ∩ A1C1, де A1 i C1 — точки, щовiдповiдають A i C в конфiгурацiї Дезарга. 223. Вказiвка. Якщо дана пряма паралельна однiйз сторiн трикутника, то задача зводиться до задачi 220. Якщо ж дана пряма перетинає прямi,на яких лежать сторони паралелограма, то позначимо точки перетину прямих AD i DC з пря-мою n через K i L вiдповiдно. Далi необхiдно розглянути конфiгурацiю Дезарга, вiссю якої єнескiнченно вiддалена пряма, одним з дезаргових трьохвершинникiв — трьохвершинник DLK,а точка M — вершиною другого. Центр S конфiгурацiї вiзьмiть на прямiй DM . При побудовiскористайтесь задачею 220. 224. Вказiвка. Використовуючи задачу 220, побудуйте паралело-грам так, щоб точка M належала однiй з його сторiн, а далi скористайтесь вказiвкою до задачi223. 225. Застосувати теорему Дезарга до трьохвершинникiв DMN i CPQ. 226. ТрикутникиAMN i DPQ мають центр перспективи.
2.6
227. Вказiвка. Скористайтесь гармонiйними властивостями повного чотиривершинника. 229.Вказiвка. а) Розгляньте чотиривершинник ADY Q i доведiть гармонiйнiсть четвiрки точокD,Y,C, U , де U = KP ∩ DC. Врахуйте також, що Y — середина CD. б) Розгляньте повнийчотиривершинник ADYQ, де Q = BD∩PX, i доведiть гармонiйнiсть четвiрки точок D,Y, U, V ,де U = CD∩PK, V = CD∩AQ. Вiзьмiть до уваги, що вiдрiзок Y V складає 1
n частину вiдрiзкаDV . 230. Пряма пучка, перпендикулярна до прямої c. 231. Вказiвка. 1) Використайте принципдвоїстостi та розв’язок задачi 227 або 2) побудуйте A,B,C — точки перетину прямих a, b, c зякою-небудь прямою. Далi побудуйте точку D таку, щоб (AB,CD) = −1, i пряму d = SD.232. Вказiвка. Шукана пряма d задовольняє умову (ac, bd) = −1. 233. Вказiвка. Використайтевказiвку до задачi 231, вважаючи точку S невласною. 234. Вказiвка. Побудуйте повний чоти-ривершинник PFQE так, щоб Q ∈ AF , P = FB ∩ QC, E = AP ∩ QB. Тодi FE — шуканапряма. 235. Вказiвка. Якщо D∞ — невласна точка даних паралельних прямих, а X — шуканаточка, то (AX,BD∞) = −1. 238. На розширенiй площинi розгляньте повний чотиривершинник,вершинами якого є вершини даного паралелограма. 239. На розширенiй площинi розглянутиповний чотиривершинник з вершинами у вершинах трапецiї.
2.7
240. а) A′(3,−3, 1); б) B(8,−2, 3); в) l′ : 4x′1 + x′2 − 9x′3 = 0; г) m : x1 + 3x2 + x3 = 0. 241. а)A′(1, 2,−2), B′(2, 3, 0), C ′(0,−1, 1); б) D(10,−5, 11), E(0, 0, 1), H(1, 0, 3); в) a′ : 2x1−3x2−2x3 =0, b′ : x3 = 0, c′ : 2x1 − x2 − x3 = 0; г) l : 2x1 + 3x2 = 0, m : x1 + 2x2 = 0; д) 5x2
1 + 4x22 + x2
3 −
8x1x2 − 4x1x3 + 4x2x3 = 0; е) 2x21 − 3x2
2 + 2x1x2 − 2x1x3 − 4x2x3 = 0. 242.
λx′1 = x1,λx′2 = x2,λx′3 = x1 − x3.
243. а)
λx′1 = 3x2,λx′2 = 3x3,λx′3 = 9x1 − 4x2 − 8x3;
б)
λx′1 = x2 + x3,λx′2 = −x3,λx′3 = −x1.
244.
λx′1 = 18x1 − 4x2 − 14x3,λx′2 = −4x2 + 4x3,λx′3 = −6x1 − 2x2 − x3.
245.
λx′1 = ax1,λx′2 = bx2,λx′3 = cx3.
246. Розв’язування. Нерухома точка характеризується тим, що вона спiв-
падає iз своїм образом. Тому, для нерухомої точки трiйки x1, x2, x3 i x′1, x′2, x
′3 пропорцiйнi.
36
Отже, з рiвнянь перетворення отримуємо систему рiвнянь, яка дає можливiсть знайти неру-
хомi точки:
λx1 = x1,λx2 = x2,λx3 = x1 − x3.
Цю систему запишемо в такову виглядi:
(1− λ)x1 = 0,(1− λ)x2 = 0,x1 − (1 + λ)x3 = 0.
Отрималась лiнiйна однорiдна система вiдносно x1, x2, x3, коефiцiєнти якої залежать вiд пара-метра λ. Така система має ненульовий розв’язок тодi i тiльки тодi, коли її визначник дорiвнюєнулевi, тобто при умовi∣∣∣∣∣∣
1− λ 0 00 1− λ 01 0 −1− λ
∣∣∣∣∣∣ = −(1− λ)2(1 + λ) = 0.
Таким чином, ненульовi розв’язки будуть при λ = −1 i λ = 1.1) λ = −1. В цьому випадку iз системи знаходимо: x1 = x2 = 0. x3 — довiльне. Отримуємо
нерухому точку A(0, 0, 1).2) λ = 1. Система зводиться до одного рiвняння x3 = x1−x3. В цьому випадку отримується
пряма p : x1 − 2x3 = 0, яка складається з нерухомих точок.Таким чином, множина нерухомих точок колiнеацiї складається з точки A та всiх точок пря-
мої p. 247. а) Точка (1, 1,−1); б) точка (1,−1, 0) i всi точки прямої x1−x2 = 0; в) точка (2, 0, 1) iвсi точки прямої x1 = 0; г) всi точки прямої x1+x3 = 0. 248. Нерухомими будуть всi прямi, рiв-няння яких мають вид αx1 +βx2 = 0, де α i β — довiльнi параметри, не рiвнi нулю одночасно,6
а також пряма p : x1− 2x3 = 0. 249. а) 2x1−x2 +x3 = 0; б) пряма x1−x2 = 0 i всi прямi пучказ центром в точцi (1,−1, 0); в) пряма x1 = 0 i всi прямi пучка з центром в точцi (2, 0, 1); г) всiпрямi пучка з центром в точцi (1, 1,−1). 253. Розв’язування. 1) З рiвнянь перетворення маємо:
x1 = λx′1, x2 = λx′2, x3 = λ(x′1 − x′3).Тому образом прямої a∞ : x3 = 0 буде пряма a′ = ϕ(a∞) : x′1 − x′3 = 0.
2) Рiвняння прямої a∞, яка розглядається як образ шуканої прямої b = ϕ−1(a∞), запишемотак: x′3 = 0. Використовуючи рiвняння перетворення ϕ, знаходимо рiвняння прямої b : x1−x3 =0.
Зауваження. В нашому прикладi ми отримали ϕ(a∞) = ϕ−1(a∞). Таке спiвпадан-
ня випадкове. 254. а)x2 + x3 = 0,2x1 − x2 = 0;
б)x1 − x2 = 0,x2 = 0;
в)4x1 − 5x3 = 0,4x1 + 11x2 + 4x3 = 0 = 0;
г)2x1 − x2 − x3 = 0,x1 + 5x2 + 3x3 = 0.
2.8
255. Розв’язок. в) Образ точки B — точка B′ iнцидентна прямiй PB. Точка K = p ∩ AB —нерухома точка, оскiльки вона належить вiсi гомологiї p (див. рис. до задачi 255 на стор. 38).Пряма AK перейде в пряму A′K. Оскiльки гомологiя зберiгає iнцидентнiсть, то шукана точкаB′ = PB ∩ A′K. д) Шуканi прямi паралельнi осi p гомологiї i проходiть вiдповiдно черезобраз i прообраз довiльної невласної точки. 256. Вказiвка. Побудуйте образ прямої MA, деA ∈ a. 260. Вказiвка. Доведiть, що AA′B′B — паралелограм для довiльних точок A,B та їхобразiв A′, B′ вiдповiдно. 263. Вказiвка. Звернiть увагу на те, що пряма, що проходить черезцентри гомологiй, нерухома i вiдносно композицiї цих гомологiй. 264. Вказiвка. Спочаткурозгляньте гомотетiю як гомологiю на розширенiй евклiдовiй площинi i тому вiсь гомологiївважайте невласною, а далi скористайтесь результатом, отриманим в задачi 263. 266. Вказiвка.Задайте гомологiю так, щоб одна з даних прямих була вiссю, а друга мала б своїм образомшукану пряму. 267. Вказiвка. Розгляньте гомологiю, вiссю якої є шукана пряма AC, а образомточки B є точка D.
6 Легко бачити, що цi прямi утворюють пучок з центром в точцi A(0, 0, 1).
37
Рис. до задачi 255.
2.9
268. D′(2, 0,−1). 269. а) ϕ(U) = (5,−7, 4), ϕ−1(V ′) = (1,−5, 1); б) ϕ(U) = (7,−11, 8),ϕ−1(V ′) = (0, 1, 0); в) ϕ(U) = (−2, 1, 2), ϕ−1(V ′) = (1, 0, 1). 270. ϕ(X) = (7,−17, 20),ϕ−1(X) = (1,−8, 1). 271. (0, 1, 0). Вказiвка. Знайдiть центр преспективи S = AA′ ∩BB′, потiмшукану точку M ′ = SM ∩ A′B′. 272. а) U ′(3,−1,−1), V (1, 0,−3); б) U ′(3, 2, 5), V (4, 0, 3); в)U ′ = V = U = V ′ (3, 0, 1). 275. Вказiвка. а) Подайте ϕ як композицiю двох перспективнихвiдображень ψ2 ◦ ψ1 i побудуйте M ′ = ψ1(M1), M2 = ψ2(M ′) (див. задачу 274). 276. Вказiвка.Означення проективного вiдображення пучкiв i властивостi цього вiдображення двоїстi озна-ченню i властивостям проективного вiдображення прямих. Розгляньте проективне вiдображенняψ∗ пучкiв, що задане трьома парами вiдповiдних прямих a1 i a2 = ϕ∗(a1), b1 i b2 = ϕ∗(b1), c1i c2 = ϕ∗(c1). 280. Вказiвка. Нехай три пари прямих, вiдповiдних у вiдображеннi f , пере-тинаються в точках прямої s. Довести, що перспективне вiдображення g : P (O) → P (O′) звiссю s спiвпадає з f . 281. Вказiвка. Перспективне вiдображення g : P (O) → d спiвпадаєз f . 282. Вказiвка. Ввести допомiжне перспективне вiдображення пучка P (O) на пряму d′,що не проходить через точку O. 283. Вiдображення f : P (A) → P (C), яке визначається ре-перами R = (AC,AA′, AB′) i R′ = (CA,CA′, CB′), перспективне. Воно iндукує перспективневiдображення ϕ : BA′ → BC ′ з центром L, в якому ϕ(M) = K. Отже, L ∈MK.
38
Лiтература
[1] Л. С. Атанасян, В. Т. Базылев, Геометрия, ч. 1, М.: Просвещение, 1986.
[2] Л. С. Атанасян, В. Т. Базылев, Геометрия, ч. 2, М.: Просвещение, 1987.
[3] В. Т. Базылев и др., Сборник задач по геометрии, М.: Просвещение, 1980.
[4] Л. С. Атанасян, В. А. Атанасян, Сборник задач по геометрии, ч. 1, М.: Просве-щение, 1973.
[5] Л. С. Атанасян и др., Сборник задач по геометрии, ч. 2, М.: Просвещение, 1975.
[6] С. Л. Певзнер, Проективная геометрия, М.: Просвещение, 1980.
[7] С. Л. Певзнер, М. М. Цаленко, Задачник-практикум по проективной геометрии,М.: Просвещение, 1982.
39
