1

I. Pilihan Ganda

1. What is last three digit non zero of 2015!

a. 34 b. 344 c. 444 d. 534 e. 544

2. If 𝑥2 − 𝑥 + 1 = 0 , find

(𝑥 −1

𝑥)2

+ (𝑥 +1

𝑥)2

+ (𝑥2 +1

𝑥2)2

+ (𝑥3 +1

𝑥3)2

+⋯+ (𝑥2015 +1

𝑥2015)2

=

a. 2012 b. 2015 c. 4020 d. 4025 e. 4030

3. Bagaimanakah pembacaan yang tepat dari simbol 𝜋 ini ?

a. Phi b. Pi c. Psi d. Fi e. Vi

4. Diketahui𝑓(𝑥) = 𝑥2015 + 2015 dan 𝑔(−1) ≠ 1. Jika 𝑓(𝑥) dibagi 𝑥8 − 𝑥6 + 𝑥4 − 𝑥2 +

1 sisanya adalah 𝑔(𝑥) . Dan jika 𝑓(𝑥) dibagi (𝑥 + 1)3 sisanya adalah ℎ(𝑥). Tentukan

nilai dari ℎ(1)+1

1−𝑔(−1) =

a. 1007 b. 2010 c. 2014 d. 2015 e. 4025

5. Bilangan prima 3 digit terbesar yang membagi habis (20151007

)

a. 653 b. 659 c. 661 d. 673 e. 997

6. Diketahui ∑ ⌊𝑥 +𝑘

100⌋81

𝑘=16 = 625. Tentukan nilai dari ⌊100𝑥⌋ Jika ⌊𝑥⌋ menyatakan

bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari 𝑥. Contoh: ⌊𝜋⌋ = 3; ⌊2,37⌋ = 2; ⌊−9,3⌋ =

−10.

a. 839 b. 849 c. 939 d. 949 e. 959

7. 𝑎 + 𝑏 = 1

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 2

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦2 = −6

𝑎𝑥3 + 𝑏𝑦3 = 8

Tentukan nilai dari ax2015 + by2015 =

a. −21006 b. −21009 c. −22015 d. 21006 e. 22015

8. Manakah nilai berikut yang pasti bukan merupakan bilangan real?

a. 𝑒𝜋𝑖

b. 𝑖𝑖

c. (3 − 2𝑖)√5 + 12𝑖

d. 𝑖(𝑒−𝑖𝑥 − 𝑒𝑖𝑥)

e. 𝑙𝑛(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑒𝑖))

9. Selesaikanlah ∑ (4𝑘 − 1)(20154𝑘−1

)504𝑘=1 = …

a. 2015. 22012

2

b. 2015. 22013

c. 2015. 22014

d. 2015. 22015

e. 2015. 22016

10. Manakah nilai yang terbesar dari {20162013, 20152014, 20142015, 20132016, 20122017}

a. 20162013

b. 20152014

c. 20142015

d. 20132016

e. 20122017

11. Tentukan nilai dari ∏ 𝑡𝑎𝑛 (𝑘𝜋

2015)2014

𝑘=1

a. -4031 b. -2015 c. 1

22014 d. 2015 e. 4031

12. Manakah yang bukan merupakan nilai dari 𝜋 ?

a. √6 . √1 +1

22+

1

32+

1

42+⋯

b. 4 (1 −1

3+1

5−1

7+1

9−⋯)

c. ∫𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑥 𝑑𝑥

∞

−∞

d. (1

2.√2

2.√2+√2

2.√2+√2+√2

2…)

e. ((−1

2) !)

2

13. Diketahui 𝑎 =1

12+

1

32+

1

52+

1

72+⋯ ; 𝑏 = ∑

(√2−1)2𝑘−1

.(−1)𝑘+1

2𝑘−1

∞𝑘=1 Misalkan juga

20153 dapat dinyatakan sebagai 𝑚2 − 𝑛2 Tentukan nilai dari ⌊𝑎𝑚

𝑛𝑏2⌋

a. 1 b. 2 c. 4 d. 8 e.16

14. What is First digit of 20152015 ?

a. 1 b. 4 c. 5 d. 6 e. 9

15. Berapa Banyaknya pasangan penyelesaian bilangan asli (O,M,I,T,S) dari

O+2M+3I+4T+5S +10 < 100 dengan syarat 𝑂 > 1 ,𝑀 > 2 , 𝐼 > 3 , 𝑇 > 4 , 𝑆 > 5

a. 932 b. 933 c. 934 d. 935 e. 936

16. Tentukan nilai dari

3

√2015 + 2011√2016 + 2012√2017 + 2013√2018 + 2014√2019 + 2015√2020 +⋯

a. 2013 b. 2014 c. 2015 d. 2016 e. 2017

17. Jika 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓 ∈ ℝ+ ∪ {0} yang memenuhi 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 + 𝑓 = 6 dan 𝑎2 +

𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2 + 𝑒2 + 𝑓2 =36

5. Tentukanlah nilai maksimal dari 𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 + 𝑑3 +

𝑒3 + 𝑓3

a. 216

25 b.

246

25 c.

261

25 d.

264

25 e.

275

25

18. Didefinisikan 𝐹1, 𝐹2, 𝐹3, … , 𝐹𝑛 merupakan suku dari barisan Fibonacci dengan 𝐹𝑛 =

𝐹𝑛−1 + 𝐹𝑛−2 untuk n bil bulat non-negative ≥3 dan 𝐹1 = 𝐹2 = 1. Tentukan

𝐺𝐶𝐷(2015𝐹(2014!+1) − 1,2015𝐹(2015!+1) − 1) = ...

a. 1

b. 2014

c. (2014)(2016)

d. (2014)(20152 + 2016)

e. (2014)(2016)(20152 + 1)

19. jika 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥𝑒𝑥...𝑒𝑥

} dengan 𝑒𝑥 sebanyak 2015 kali. Tentukan f'(1) = ?

Ket : f’(x) merupakan turunan pertama f(x) terhadap x.

a. 0 b. 1 c. 𝑒 d. 𝑒2 e. 𝑒2015

20. Misal 𝑓(𝑥) polinomial berderajat 3 dengan koefisien rasional. Yang memenuhi 𝑓(𝑥) =𝑥

𝑥2+1 untuk x = 1,2,3,4. Tentukan nilai dari f(5)

a. 5

26 b.

1

170 c.

4

170 d.

41

170 e.

216

170

21. Terdapat 𝑓(𝑥) = 𝑥2015 + 2𝑥2014 + 3𝑥2013 +⋯+ 2015𝑥 + 2016 Jika

𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥2015 adalah akar-akar dari 𝑓(𝑥). Tentukan nilai dari ∑ ∑ (𝑥𝑘)𝑛2015

𝑘=12014𝑛=0

a. -2016 b. -2015 c. -2014 d. -2013 e. -2012

22. Misalkan 𝛼 = √11

5

7+ √

5

11

7 adalah akar dari polinomial f(x) yang mempunyai koefisien

bilangan bulat dengan koefisien derajat tertingginya adalah -55 maka tentukan nilai dari

f(1) ?

a. 11 b. 19 c. 91 d. 99 e. -55

4

23. Jika Hasil dari lim𝑛→∞

((20𝑛15𝑛)

(5𝑛𝑛 ))

1

𝑛

dapat dinyatakan sebagai 2𝑎 . 3𝑏 . 5𝑐 .Tentukan nilai dari

a+b+c ?

a. 0 b. 5 c. 18 d. 20 e. 28

24. Terdapat kubus ABCDEFGH dimana titik P adalah titik tengah garis FG, dan Jika

terdapat Bola yang didalamnya kubus tersebut sehingga semua titik sudutnya

menyinggung sisi Bola.Jika Volume Bola tersebut adalah 108√3𝜋. maka Tentukan

Jarak Garis PC ke Garis DF ?

a. 2 b. 3 c. 4 d. 3√3 e. 4

√3

25. Usalin mempunyai angka 20152015 yang berada pada basis 10, Usalin ingin

mengubahnya ke dalam basis 7 tetapi dia hanya ingin tau 3 digit terakhirnya saja setelah

diubah ke dalam basis 7, Bantulah Usalin untuk menemukan angka tersebut. Berapakah

angka yang dimaksud Usalin?

a. 041 b. 056 c. 156 d. 241 e.256

26. In acute Triangle ABC, we have ∠𝐶𝐴𝐵 = 70°. D is the foot of the perpendicular

from B to AC, and ∠𝐷𝐵𝐶 = 30°. P is a point on line segment BD such that ∠𝑃𝐴𝐵 =

40°. What is the measure (in degrees) of ∠𝑃𝐶𝐴 ?

a. 10° b. 20° c. 40° d. 50° e. 70°

27. Taufan mempunyai 2 bilangan bulat positif yaitu a dan b yang memenuhi 𝑙𝑐𝑚(𝑎, 𝑏) =

20154 . Bantulah Taufan mencari banyaknya pasangan (a,b) tersebut ?

a. 25 b. 64 c. 125 d. 625 e. 729

28. Uzu,Kahfi dan Fariz mempunyai masing-masing himpunan 𝑛 buah bilangan yang

berbeda dengan n lebih dari 2015, tetapi suku ke 𝑘 dari himpunan milik Fariz selalu

sama dengan suku ke 𝑘 + 1 dari himpunan milik Kahfi , begitu juga suku ke 𝑘 dari

himpunan milik Kahfi selalu sama dengan suku ke 𝑘 + 1 dari himpunan milik Uzu. Jika

pada saat suku ke 𝑘 ≥ 3 jumlah suku ke 𝑘 nya pada himpunan masing-masing orang

tersebut adalah selalu sama dengan (-1), dan Diketahui juga suku ke 3 dari himpunan

Fariz adalah 8

3 dan suku ke 7 dari himpunan Kahfi adalah

2

3 . Maka Tentukan suku ke

2015 dari himpunan Uzu ?

a. 2

3 b.

4

3 c.

5

3 d.

7

3 e.

8

3

29. Didefinisikan 𝑓:ℝ → ℝ yang memenuhi 𝑓(1 − 𝑥) + 𝑓 (1

𝑥) = 𝑥 . Jika 𝑓(𝑛)(𝑥)

didefinisikan turunan ke n dari f(x) terhadap x. Maka Tentukanlah nilai dari 𝑓(2015) (1

2)

a. 0 b. 1 c. 1

2 d.

2015!

2 e. −

2015!

2

5

30. Diberikan fungsi Ackermann yang didefinisikan sebagai berikut

𝐴(𝑥, 𝑦) = {

𝑦 + 1 , 𝑥 = 0

𝐴(𝑥 − 1,1) , 𝑦 = 0

𝐴(𝑥 − 1, 𝐴(𝑥, 𝑦 − 1)) , 𝑥 ≠ 0 ∩ 𝑦 ≠ 0

Tentukan nilai dari 𝐴(3,8) − [𝐴(2,7) + 𝐴(1,6) + 𝐴(0,5)]

a. 2011 b. 2012 c. 2013 d. 2014 e. 2015

31. Jika ∫3⌊𝑥⌋

𝑥3𝑑𝑥

∞

1= 𝑧. Tentukan nilai dari 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 (𝑠𝑖𝑛 (

3𝑧

𝜋))

a. 𝜋

4 b.

𝜋

2 c.

3𝜋

4 d. 𝜋 e. 2𝜋

32. Diberikan segitiga ABC sebarang.Diketahui Keliling segitiga 30 satuan serta Luas

segitiga 90√3

4 satuan luas dan ∠𝐴𝐶𝐵 = 60° .Jika 𝑎, 𝑏, 𝑐 adalah sisi dari segitiga tersebut

.Tentukanlah nilai dari 𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 ?

a. 900 b. 945 c. 1179

4 d. 3307,5 e. 6615

33. Diketahui segiempat talibusur ABCD dengan Pusat Lingkaran luarnya adalah O serta

jari-jarinya 12,5. Ditarik garis 𝑂𝑃 ⊥ 𝐴𝐷 dan 𝑂𝑄 ⊥ 𝐶𝐷. Jika panjang sisi

𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷, 𝐷𝐴, 𝑂𝑃 𝑑𝑎𝑛 𝑂𝑄 dalam bentuk bilangan asli maka Tentukan Luas segiempat

ABCD ?

a. 123 b. 234 c. 345 d. 456 e. 567

34. Jika

.2 𝑙𝑜𝑔(−𝑥2 + 7𝑥 − 10) +3

5√𝑐𝑜𝑠 (𝜋√(𝑥2 + 7)) − 1 = √5 + 2√13

3

+ √5 − 2√133

mempunyai satu solusi bulat yaitu 𝑦 . maka carilah banyaknya nilai 𝑝 yang memenuhi

persamaan berikut :

𝑙𝑛(4𝑝 − 𝑝4 − 2)+5𝑙𝑜𝑔(𝑝2 − 2𝑝 + 26)+2𝑙𝑜𝑔(4𝑝2 − 8𝑝 + 6) = 𝑦

a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4

35. Jika 𝑥 = 22015

O = (sigma) σ(x) menyatakan jumlah semua faktor positif dari x.

M = (tau) τ(x) menyatakan banyaknya faktor positif dari x.

I = (euler phi) ϕ(x) menyatakan banyaknya bilangan asli kurang dari x yang saling prima

dengan x.

T = H(x) menyatakan perkalian semua faktor positif dari x.

S = digit terakhir dari x

Maka tentukan digit ribuan dari 𝑂 +𝑀 + 𝐼 + 𝑇 + 𝑆 ?

a. 0 b. 2 c. 4 d. 6 e. 8

36. Sisa pembagian ∑ (𝑘3 − 1)𝑘!40𝑘=1 oleh 97 adalah

a. 1 b. 6 c. 40 d. 91 e. 96

6

37. Diberikan 2 buah bangun bujur sangkar dengan panjang sisi 28 cm dan 37 cm.jika titik 𝑃

berjarak 7√2 dari 𝐴. Maka luas daerah pada bagian yang tidak bertumpukan adalah...

a. 1271

b. 1272

c. 1712

d. 1720

e. 1721

38. Daerah ∆𝐴𝐵𝐶 terbagi menjadi 4 bagian yang masing-masing luasnya tertera pada

gambar. Luas daerah 𝑥 adalah...

a. 21

b. 22

c. 23

d. 32

e. 42

39. Pada segitiga ABC, titik P membagi sisi AC dengan perbandingan 1 : 2. Misalkan G

titik tengah BF dan E titik perpotongan antara sisi BC dengan AG, maka titik E membagi

sisi BC dengan perbandingan...

a. 1 : 3 b. 1 : 4 c. 1: 5 d. 2 : 5 e. 3 : 7

40. Pada segitiga ABC, garis-garis berat dari titik sudut B dan titik sudut C saling

berpotongan tegak lurus. Nilai minimum cot B + cot C adalah...

a. 2 b. 3 c. 1

3 d.

2

3 e.

4

5

41. Diketahui banyaknya faktor bulat positif dari 𝑛2 yang kurang dari 𝑛 tetapi tidak

membagi 𝑛, ada sebanyak 2015 . Jika banyaknya faktor prima dari 𝑛 adalah 2 misalkan

𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑦 dimana 𝑥 dan 𝑦 kurang dari 2015, maka banyaknya pasangan bilangan asli

(𝑥, 𝑦) yang memenuhi kondisi tersebut adalah ...

a. 2416 b. 2424 c. 2432 d. 2440 e. 2448

42. Sederhanakan ∑ 𝑘

2015𝑘(2015𝑘)2015

𝑘=1

a. (2014

2015)2016

b. (2015

2014)2016

c. (2015

2016)2014

d. (2016

2015)2014

e. (2014

2016)2015

43. Diberikan fungsi Collatz yang terdefinisi di bilangan bulat positif 𝑓: ℕ → ℕ sebagai

berikut : 𝑓(𝑛) = {

𝑛

2 , 𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝

3𝑛 + 1 , 𝑛 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 Dapatkan nilai 𝑛 terkecil sehingga memenuhi

𝑓[7](𝑛) = 5. Dimana 𝑓[7](𝑛) = 𝑓(𝑓(𝑓(𝑓(𝑓(𝑓(𝑓(𝑛))))))) Setelah didapat nilai 𝑛 terkecil

maka jumlah digit-digit dari 𝑛 adalah ...

a. 5 b. 7 c. 8 d. 10 e. 15

D

B A

P

C

B

A

C

x

10 8 5

7

44. Selesaikan soal rally berikut! 𝑎 = √1 + √4 + √16 + √64 + √256 +⋯

Terdapat persamaan fungsi sebagai berikut :

(𝑥2 − 2)𝑓 (𝑥 −2

𝑥) + (𝑥 − 3)𝑓(𝑥) = (

7

2) (𝑥 + 1)

Jika 𝑡 = 𝑐𝑜𝑠3 (2𝜋

7) + 𝑐𝑜𝑠3 (

4𝜋

7) + 𝑐𝑜𝑠3 (

8𝜋

7) .Tentukan nilai dari (𝑓(𝑎). 𝑡. 𝑎)

a. -1 b. −1

2 c. 0 d.

1

2 e. 1

45. Dhody sedang bereksperimen dengan pecahan 𝑎

𝑏. Dhody membuat himpunan sebagai

berikut {1

2014,2

2013,3

2012, … ,

1007

1008} Dalam himpunan tersebut diketahui jumlah penyebut

dan pembilangnya selalu 2015. Bantulah Dhody untuk menemukan banyaknya pecahan

yang dapat disederhanakan dari himpunan tersebut?

a. 287 b. 288 c. 503 d. 575 e. 720

46. Terdapat suatu fungsi sebagai berikut (𝑥−1)2

22+ (𝑦 + 1)2 = 1 .Jika nilai maksimal dari

𝑥2 + 𝑦2 adalah p. Tentukan suku ke 𝑝 dari 𝐿𝑝 ? , Jika 𝐿𝑛 didefinisikan sebagai Barisan

Lucas suku ke n.

a. 1 b. 47 c. 76 d. 123 e. 199

47. Gunakan Konstanta Matematika yang ada pada petunjuk soal untuk mengerjakan

Integral berikut : ∫ ⌊𝑒+𝜏+ϕ⌋𝜋𝑥

𝜋𝑥+√𝜋 𝑑𝑥

⌊ϕ⌋

⌊𝛾⌋

a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 5

48. Misalkan 𝐴 adalah Matriks sebagai berikut : 𝐴 =

(

2 3 4 5 8222

3 4 73 6 85 7 9

91011

2 3 4 5 6 )

Jika |𝐴| menyatakan Determinan dari Matriks A. Maka Tentukan |𝐴𝑑𝑗(𝐴)| = ...

a. −220 b. -32 c. 0 d. 32 e. 220

49. Diberikan 𝑝 = 216 + 1 adalah bilangan prima ganjil. Didefinisikan 𝐻𝑛 = 1 +1

2+1

3+

⋯+1

𝑛 . Tentukan sisa pembagian dari (𝑝 − 1)! ∑ 𝐻𝑛. 4

𝑛 (2𝑝−2𝑛𝑝−𝑛

)𝑝−1𝑛=1 Oleh p ?

a. 23671 b. 26371 c. 36217 d. 32671 e. 32761

50. Misalkan titik B terletak diluar lingkaran O, sedemikian BE dan BD merupakan garis

singgung lingkaran O (titik E dan D terletak di lingkaran). Asumsikan pula titik A dan

titik C berturut-turut terletak pada garis BE dan BD, sehingga AC juga merupakan garis

8

singgung lingkaran O. Diketahui panjang 𝐵𝐷 =1

√𝜋 . Jika luas minimum yang mungkin

dari lingkaran luar segitiga ABC dapat dinyatakan sebagai 𝑚

𝑛 dengan 𝐺𝐶𝐷(𝑚, 𝑛) = 1.

Jika diketahui juga 𝑝 = lim𝑥→

𝜋

4

∫

𝑡𝑙𝑛(𝑡)

𝑡+1 𝑑(𝜋𝑡)

𝑐𝑜𝑡2(𝑥)1

(𝜋2

16−𝑥2)

. Tentukan nilai dari 𝑚+𝑛

𝑝 ?

a. 1 b. 2 c. 5 d. 7 e. 10

II. Isian Singkat

1. 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 3

𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2 = 5

𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 + 𝑑3 = 3

𝑎4 + 𝑏4 + 𝑐4 + 𝑑4 = 9

Tentukan nilai dari 𝑎2015 + 𝑏2015 + 𝑐2015 + 𝑑2015 =

2. Tuliskan 2015 Bilangan Komposit pertama (tidak harus yang paling pertama tapi

seminimal mungkin) yang berurutan dan semuanya merupakan bilangan komposit?

(urutkan dari yang terkecil ke terbesar)

3. Tuliskan rumus Banyaknya digit dari n dengan n bilangan asli.

4. Sederhanakan Bentuk Berikut

∑𝑘2. 2𝑘𝑛

𝑘=1

5. Diberikan akar-akar dari Polinomial ∑ 𝑃𝑛 𝑥(1010−𝑛)1010

𝑛=0 adalah

𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥1010 .

Diketahui 𝑃𝑛 adalah permutasi n element subset dari 1010 element set , maka Tentukan

nilai dari

⌊100

(1010)!∏(𝑥𝑘 − 1)

1010

𝑘=1

⌋

(Dengan menggunakan pendekatan konstanta matematika)

6. Tuliskan semua akar real dari 64𝑥7 − 112𝑥5 + 56𝑥3 − 7𝑥 + 1 = 0

7. Dhelia,Denis,Insan,Novrya,Adel dan Kalfin ingin duduk pada bangku yang sudah

dinomori angka 1 sampai 6.masing-masing orang tersebut mempunyai 1 nomor tempat

duduk yang mereka tidak sukai dan berbeda satu sama lainnya.Maka Tentukanlah

Banyaknya cara mereka semua duduk secara acak, agar tidak duduk ditempat yang

mereka tidak sukai ?

8. Banyak solusi real dari 𝑥3 − 3𝑥 = √𝑥 + 2 adalah ...

9

9. Hasil dari limit berikut adalah

⌈lim𝑥→0

1 − (𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑐𝑜𝑠(2𝑥)𝑐𝑜𝑠(3𝑥)…𝑐𝑜𝑠(2015𝑥))

𝑥(𝑠𝑖𝑛(𝑥) + 𝑠𝑖𝑛(2𝑥) + 𝑠𝑖𝑛(3𝑥) + ⋯+ 𝑠𝑖𝑛(2015𝑥))⌉

10. Pada Suatu Lingkaran terdapat 14 titik berbeda yang berada pada tepi lingkaran. Dengan

menggunakan 14 titik tersebut akan dibuat 7 tali busur yang tidak berpotongan.

Banyaknya cara ada sebanyak ?