i quaderni della DIDATTICA - Dipartimento di … - 208 bolondi e...Giorgio Bolondi e Martha Isabel Fandiño Pinilla della DIDATTICA i quaderni Metodi e strumenti per l ’insegnamento

A cura diGiorgio Bolondi e Martha Isabel Fandiño Pinilla

della DIDATTICAquadernii

Metodi e strumenti per

l’insegnamento e l’apprendimentodella matematica

I quaderni della didattica – Metodi e strumenti per l'insegnamento

e l’apprendimento della matematica – I edizione

Copyright © 2012, EdiSES S.r.l. – Napoli

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

2016 2015 2014 2013 2012

Le cifre sulla destra indicano il numero e l’anno dell’ultima ristampa effettuata

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A norma di legge è vietata la riproduzione, anche par-ziale, del presente volume o di parte di esso con qual-siasi mezzo.

L’Editore

Redazione: EdiSES S.r.l.

Composizione: Spazio creativo publishing

Progretto grafi co: ProMedia Studio di A. Leano – Napoli

Fotoincisione: PrintSprint – Napoli

Stampato presso la Litografi a di Enzo Celebrano – Pozzuoli (Napoli)

per conto della EdiSES S.r.l. – Napoli

http://www.edises.ite-mail: [email protected]

ISBN 978 88 6584 218 8

Premessa

Questo libro vuole offrire ai futuri insegnanti e agli insegnanti in servizio una rassegna agile di alcuni degli strumenti professionali che sono oggi a disposizione di chi insegna matematica, in tutti i livelli scolastici.Si tratta di strumenti concettuali, che vogliamo ricordare di se-guito.La didattica della matematica è ormai una disciplina teoricamente consolidata sulla base delle problematiche sollevate dalle situazioni d’aula, specifi che per la matematica, i cui risultati permettono, a chi si trova quotidianamente sul campo, di comprendere ed analizzare i processi di insegnamento-apprendimento, di interve-nire sulla propria azione didattica per favorire un apprendimento corretto da parte degli studenti.Per essere un “buon insegnante” non basta il buon senso, così come non basta la preparazione disciplinare. Chi ancora la pensa così evidentemente non ha mai messo piede in un’aula (da adul-to). Quelle sono entrambe condizioni necessarie, ma sono ben lungi dall’essere suffi cienti. L’insegnante futuro, e l’insegnante attuale, hanno bisogno di strumenti di didattica disciplinare spe-cifi ca che vadano al di là della semplice ingegneria didattica, dei suggerimenti per fare una bella lezione o organizzare una effi cace unità di insegnamento, e di materiali corretti (che ovviamente sono indispensabili, ma non bastano).La prima parte del libro è quindi dedicata a una veloce rassegna di questi strumenti concettuali. Data la brevità dello spazio, si tratta solo di pochi primi cenni ed esempi; per questo ogni capitolo è corredato da un’ampia bibliografi a di riferimento alla quale il lettore può ricorrere per i necessari approfondimenti, se lo riterrà opportuno.

Metodi e strumenti per l’insegnamento e l’apprendimento della matematica

iv

Un capitolo a sé è dedicato al ruolo delle misconcezioni in matema-tica, perché questo tema si è rivelato molto importante per le sue ricadute pratiche; la categoria delle misconcezioni si è dimostrata utilissima per interpretare comportamenti degli studenti, sbrogliare diffi coltà di apprendimento, analizzare ostacoli, organizzare interven-ti di recupero, progettare effi cacemente percorsi di insegnamento.L’insegnamento della matematica ha poi bisogno di categorie e strumenti che provengono da una rifl essione più generale sull’in-segnamento e l’apprendimento non specifi ci di una data disciplina. A questa rifl essione è dedicato un capitolo specifi co, in cui diversi temi, riguardanti soprattutto le situazioni d’aula, sono sviluppati esemplifi candoli nel caso della matematica.Uno dei temi di maggiore attualità per la scuola italiana è rappre-sentato dall’avvento delle prove Invalsi. Che cosa sono le valutazioni standardizzate; cosa ci dicono sulla scuola italiana e sui nostri allievi le valutazioni internazionali come OCSE-Pisa, IEA-TIMSS e TIMSS Advanced; che ruolo può avere l’Invalsi nel miglioramento della nostra azione didattica; come utilizzare in classe e nelle scuole i metodi, i materiali e i risultati delle valutazioni esterne; questi gli argomenti trattati nell’ultimo capitolo. L’azione dell’insegnante di matematica, oggi, non può ignorare l’esistenza di queste valutazioni.In Appendice, riportiamo indicazioni per materiali di documenta-zione e aggiornamento, ovviamente riferiti al 2012.Speriamo, con questo volume, di aver fornito dei riferimenti utili per il lavoro degli insegnanti e, in ultima analisi, per la formazione dei ragazzi, futuri cittadini ai quali affi deremo il domani.

Sommario

1 Capitolo PrimoElementi di didattica della matematica

Martha Isabel Fandiño Pinilla

1.1 La didattica della matematica come arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Due modi diversi di intendere la didattica della matematica . . . . . . . . . 3

1.3 Limiti della didattica A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Concetto e concettualizzazione in matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Il caso della matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6 Apprendimento, costruttivismo, simbolizzazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7 Semiotica e noetica nella matematica e nel suo apprendimento . . . . 16

1.8 Componenti dell’apprendimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.9 Introduzione agli strumenti teorici e concreti della didattica B . . . . . 27

1.10 Il contratto didattico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.11 Confl itti e misconcezioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.12 Immagini e modelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.13 Il triangolo insegnante, allievo, Sapere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1.14 Ostacoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1.15 La teoria delle situazioni didattiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1.16 Il ruolo dell’epistemologia nella formazione degli insegnanti di matematica nella scuola secondaria. . . . . . . . . . . . 74

1. 17 Uso della storia nella didattica della matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

1. 18 La didattica della matematica C, come epistemologia dell’insegnante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

1. 19 La didattica della matematica è una scienza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Sommario

vi

1.20 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

1.20 Bibliografi a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

2 Capitolo SecondoIl ruolo delle misconcezioni nella didattica della matematica

Silvia Sbaragli

2.1 Il termine misconcezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

2.2 Misconcezioni “evitabili” e “inevitabili” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

2.3 Alcuni esempi di misconcezioni evitabili e inevitabili . . . . . . . . . . . . . . 118

2.3.1 Esempi di misconcezioni inevitabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

2.3.2 Esempi di misconcezioni evitabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

2.3.3 Misconcezioni derivanti da “incoerenze” nei libri di testo . . . . . . 133

2.4 L’“errore”: un termine da reinterpretare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

1.20 Bibliografi a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

3 Capitolo TerzoLa sfi da della Didattica: trasformare le classiin contesti di apprendimento continuo

Piergiuseppe Ellerani

3.1 La bussola dal nome Didattica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

3.2 I tratti distintivi della Didattica come scienza autonoma . . . . . . . . . . 142

3.3 La bussola Didattica nel contesto classe incontra le diff erenze individuali degli studenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

3.4 La Didattica: comunicazione nel contesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Sommario

vii

3.5 La Didattica si esprime al meglio nel contesto-classe come laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

3.6 La Didattica e le competenze: punto cardinale Nord . . . . . . . . . . . . . . . 154

3.7 La Didattica e le intelligenze: punto cardinale Est. . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

3.8 La didattica cooperativa per lo sviluppo delle competenze: punto cardinale Sud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

3.9 La didattica basata sui problemi (Problem Based Learning): punto cardinale Ovest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

3.10 La formazione delle “abitudini della mente”: punto cardinaleNord-Est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

3.11 La Didattica metacognitiva e l’apprendere ad apprendereper lo sviluppo del pensare: punto cardinale Sud-Est . . . . . . . . . . . . . . 171

3.12 Didattica e valutazione autentica. La prospettiva per la valutazione delle competenze: punto cardinale Nord-Ovest . . . . . 175

3.13 La Didattica per capacitare e costruire capitale sociale.Un nuovo orizzonte formativo: punto cardinale Sud-Ovest . . . . . . . 179

1.20 Bibliografi a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

4 Capitolo QuartoLe valutazioni nazionali e internazionali

Giorgio Bolondi

4.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

4.2 L’indagine OCSE-PISA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

4.2.1 L’edizione del 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

4.2.2 La matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

4.2.3 I risultati e l’Italia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

4.3 L’indagine IEA-TIMSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

Sommario

viii

4.4 Il Servizio di Valutazione Nazionale dell’Invalsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

4.4.1 La Prova Nazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

4.4.2 Come “utilizzare” le prove Invalsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

1.20 Bibliografi a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

AppendiceStrumenti di documentazione per l'insegnante

Giorgio Bolondi

Indicazioni di legge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Valutazioni Internazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Invalsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

Matematica 200x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

Repository di materiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

Convegni e congressi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

Gruppi di ricerca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

Autori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

1 Capitolo PrimoElementi di didatticadella matematica

1.1 La didattica della matematica come arteIl sostantivo “didattica” ha come traduzione in latino dotto,“ars docendi”, con evidente rinvio a problematiche che sono stret-tamente legate all’insegnamento. Il riferimento a quella “ars” è particolarmente suggestivo: da un lato è “artigianato” (il do-cente che prepara e sceglie le lezioni, i modi, gli esempi …) e dall’altro è “arte” (scelte comunicative, recite a soggetto, mo-dalità per catturare l’attenzione, per motivare…).La didattica della matematica come arte ha prodotto risultati interessanti. L’oggetto del lavoro di quel tipo di didattica era costituito essenzialmente dall’insegnamento della matemati-ca; mentre l’obiettivo principale era creare situazioni (sot-to forma di lezioni, attività, oggetti, ambienti, giochi, ...) per un insegnamento migliore della matematica. L’assunto più o meno esplicito sembrava essere il seguente: se migliora l’in-segnamento, migliorerà anche l’apprendimento, e la validità di questo assunto era data per scontata.Il peso “artistico” dell’attività d’insegnamento, dunque, gra-va tutto sulle spalle dell’insegnante. Ma al fondo di questa scelta sta il convincimento che l’attrazione esercitata sull’at-tenzione e sulla motivazione dello studente sono le caratte-ristiche essenziali perché quest’ultimo apprenda. Ciò cor-risponde al vero o si tratta di una illusione un po’ ingenua? Scrive a questo proposito Moreno Armella (1999): «L’inse-gnamento, come semplice processo di istruzione, appesan-


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tito da ipotesi sulla capacità dello studente di assorbire quel che gli si dice “bene”, non è una concezione: è un’illusione».Si noti l’accentuazione di quel “bene”: puntare tutto sull’in-segnamento, per quanto inteso come risultato di una rifl es-sione artistica, non dà affatto garanzie sul piano degli ap-prendimenti.Questa è l’opinione condivisa al giorno d’oggi da parte degli studiosi di didattica.Tuttavia, in passato più d’un Autore ha sostenuto che inse-gnare è un’arte, frutto di doti personali che non si possono né imparare né trasmettere, con la conclusione estrema che la ricerca didattica non serve. Si tratta di una concezione de-leteria che certo non apre la strada a rifl essioni interessanti e che piuttosto chiude ogni speranza di migliorare gli appren-dimenti attraverso studi specifi ci, costituendo un’involuzione non aggirabile.Fortunatamente gli indubbi successi ottenuti dall’odierna ricerca hanno mostrato che si tratta di una posizione ampia-mente superata sulla quale non vale la pena soffermarsi ulte-riormente.

Innanzitutto, è necessario fare alcune distinzioni per non ca-dere in equivoci: quanto affermato sopra non signifi ca che non vi siano docenti che mostrano indubbie doti naturali nella comunicazione e nell’attrarre l’attenzione degli stu-denti, piuttosto quel che vogliamo dire è che l’effi cacia de-gli apprendimenti non è appannaggio solo di questi “artisti della didattica” anche se, ovviamente, partendo da una base di attenzione ed interesse, è facile che cresca la motivazione e soprattutto la volizione (Pellerey, 1993). Non è detto che un perfetto insegnante ottenga, solo per questo motivo, il risultato voluto sul piano della qualità dell’apprendimento da parte dei propri allievi.

Capitolo 1 Elementi di didattica della matematica

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Torniamo ai risultati della didattica che punta tutto sull’in-segnamento; essa ha ottenuto, negli ultimi decenni, risultati interessanti. Basti ricordare i lavori della cosiddetta Matema-tica vivente, termine coniato da André Révuz [1914 – 2008] fi n dagli anni’50 (Révuz, 1965) e poi divulgato da Zoltan P. Dienes (1972) con i suoi famosi blocchi logici; il famosissimo lavoro di Emma Castelnuovo, legato a idee ancora oggi mol-to moderne sulla matematica della realtà ed alla creazione di strumenti di grande effi cacia; i cosiddetti numeri in colore idea-ti da Georges Cuisenaire [1891 – 1976] ed analizzati da Galeb Gattegno [1911-1988] (Cuisenaire, Gattegno, 1955); i teorici dell’uso degli abachi, ancora oggi tanto diffusi nelle scuole primarie; il geopiano; il minicomputer di George Papy [1920 – 2011]; il linguaggio delle frecce di George e Frédérique Papy [1921 – 2005]; le macchine operazioni;… Si trattava soprattutto di creare ambienti artifi ciali ideati su misura per certi inse-gnamenti specifi ci. In questa direzione, occorre ricordare an-cora quegli “ambienti” che si ispirano alle idee pedagogiche di Maria Montessori [1870-1952].

1.2 Due modi diversi di intendere la didattica della matematica

Prima di proseguire con altri esempi signifi cativi, tentiamo una descrizione generale di quel che si intende oggi circa la ricer-ca in didattica della matematica. Si possono ipotizzare diversi modi di vedere la didattica della matematica:

> tipo A, come divulgazione delle idee, fi ssando dunque l’at-tenzione sulla fase dell’insegnamento (A qui sta per Ars, riferendoci alla sua traduzione latina);

> tipo B, come ricerca empirica, fi ssando l’attenzione sulla fase dell’apprendimento (qualche cosa che più avanti ver-


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rà defi nito meglio e che potremmo chiamare: epistemologia dell’apprendimento della matematica);

> tipo C, come studio delle convinzioni personali degli in-segnanti di matematica e della loro infl uenza nelle azioni d’aula e dell’apprendimento degli studenti.

Questa distinzione è suggerita dagli studi di Bruno D’Amore (1999b, 2006a) e successivi.Ora, tutte le esperienze brevemente richiamate nel paragra-fo 2.1, sono pertinenti alla tipologia A, in quanto lo sforzo del didatta è tutto teso a trasformare un discorso specialisti-co (e dunque complesso in quanto si fa uso di un linguaggio tecnico non naturale) in uno comprensibile e più consono alla natura dell’allievo. Il didatta A è sensibile all’allievo, lo pone al centro della sua attenzione, ma la sua azione didat-tica non è sull’allievo bensì sull’argomento in gioco.La didattica A può servire a contribuire a risolvere problemi di grande importanza come: migliorare l’immagine della ma-tematica, migliorare l’immagine di sé nel fare matematica, migliorare l’attenzione, attivare interesse e motivazione.Una cattiva immagine della matematica nuoce a tutta l’atti-vità dell’insegnante stesso. Lezioni inconcludenti, ripetitive, noiose, fi niscono con il contribuire a trasmettere una visione negativa della matematica allo stesso docente, che si estende al suo lavoro didattico.All’interno di un modo “nobile” di intendere la didattica A, c’è l’importante problematica dell’uso della storia della ma-tematica in aula: come strumento didattico; per migliorare l’immagine della matematica rendendola più vicina alla vita quotidiana dell’essere umano; per dare l’idea che la matema-tica è cultura.Su questi punti, la letteratura è vastissima; si veda per esem-pio D’Amore (1999b).


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In sintesi, fanno parte della didattica di tipo A tutti gli studi e le ideazioni di strumenti (concreti o no) che possono migliorare l’insegnamento della matematica, nel senso precisato sopra.Oltre agli “strumenti”, bisogna ricordare la fortuna avuta (ne-gli anni ’70-80) di certi “ambienti di lavoro”, come i “laborato-ri di matematica” (Caldelli, D’Amore, 1986). Vi furono anni intensi di lavoro attorno a questa idea che ha indubbi frutti molto positivi sul piano didattico-cognitivo, dato che vi si in-staurano meccanismi relazionali (insegnante-allievo) molto particolari e relazioni cognitive (allievo-matematica) di estre-mo interesse teorico (D’Amore, 1988, 1990-91). È ovvio che questa attività in laboratorio si confi gura all’interno della co-siddetta “pedagogia attiva”: il ragazzo costruisce (nel nostro caso non solo metaforicamente, ma concretamente), con le proprie mani, oggetti che sollecitano conoscenza. I concet-ti sono il risultato della elaborazione di progetti che devo-no passare al vaglio dell’esperienza. Il manufatto deve essere pensato a priori perché ha uno scopo dichiarato ed atteso, ma deve poi esserne verifi cata l’effi cacia. Poiché lo strumento matematico non era, come di consueto, del tutto realizzato da un adulto e portato in classe già confezionato e pronto per l’uso, bensì solo proposto dall’insegnante attraverso il bisogno di rendere concreta un’idea, ma poi progettato, rea-lizzato e verifi cato dall’allievo, si potrebbe anche pensare che questa attività costituisca un “ponte” tra la tipologia A e quel-la B (che conosceremo in dettaglio tra breve) della didattica.

1.3 Limiti della didattica A

Un generale fraintendimento e una immotivata esagerazione acritica, soprattutto la perdita dell’evidenza della motivazio-ne didattica che sta all’origine di un’idea e di uno strumen-to, sembra essere comune a molte delle innovazioni che si


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considerano far parte della didattica A, forse proprio a causa

del fatto che sia i proponenti sia gli adepti non avevano alle

spalle i risultati di una ricerca didattica sugli effetti cogniti-

vi in relazione alle modifi che degli apprendimenti ottenute

con lo strumento. Infatti, la fi ducia nel risultato cognitivo

derivava dallo strumento in sé, dal grado di convincimento

operato dal proponente, dal consenso che ruotava, a tutti i

livelli, attorno alle proposte.

Così è stato per molti degli strumenti presentati, per la teoria

degli insiemi [la cosiddetta “insiemistica”, sulla quale il letto-

re può vedere l’analisi fatta in D’Amore (1999b)], per l’in-

troduzione della logica degli enunciati (un’esasperata messa

in opera di tavole di verità e di connettivi; D’Amore, 1991)

eccetera.

Uno dei problemi didattici principali che lega tra loro tutto

il materiale presentato fi nora è senz’altro quello del transfer cognitivo. Ci soffermeremo su questo punto brevemente, rin-

viando a D’Amore (1999b) per un discorso più approfondito.

Molti dei creatori degli strumenti citati hanno realizzato

ambienti di lavoro particolari, chiusi in sé stessi, che chia-

meremo in un colpo solo ambienti artifi ciali; in essi si poten-

ziano, evidenziandoli ed isolandoli, gli aspetti matematici

delle attività stesse.

Ma si tratta di attività per così dire fi ni a sé stesse, “endoge-

ne” cioè. La scommessa pedagogica di fondo sembra essere

la seguente: la motivazione e l’interesse che la nuova attività

ha acceso nell’allievo sono tali che l’apprendimento del con-

cetto “in gioco” sarà non superfi ciale ma profondo. In tal

modo, quando l’allievo si troverà di fronte ad un problema

dello stesso tipo, ma in ambiente diverso, trasferirà il sapere

da una situazione all’altra, in modo naturale, implicito, spon-

taneo, senza richieste cognitive specifi che per la nuova situazione di apprendimento.


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È, detto in modo molto semplicistico, il sogno ingenuo che

il fenomeno del transfer cognitivo sia automatico: da una co-

noscenza “artifi ciale” costruita su misura in un ambiente op-

portuno e specifi co, alla conoscenza generalizzata, cioè alla

capacità di produrre abilità cognitive e procedurali in altre

situazioni.

Di fatto, però, le cose non vanno sempre così; anzi, a ben

guardare, diffi cilmente vanno così: le capacità cognitive e pro-

cedurali restano spesso ancorate all’ambito nel quale si sono

raggiunte: non si sa trasferire la conoscenza, se non in casi

particolari.

In un biennio delle superiori, anche se lo studente ammette

di saper ricavare z dalla uguaglianza x =

yz

, dimostra fastidio

e diffi coltà alla proposta di ricavare, durante l’ora di fi sica, t

dalla espressione �s

= t . L’insegnante non vede la differenza

fra le due espressioni ed i due compiti che gli appaiono iden-

tici; lo studente la vede, eccome.

Questo limite, tipico dell’essere umano, ha molto ridimen-

sionato gli studi fatti in ambito A; questi, se pure proseguo-

no, sono oggi usualmente accompagnati da una seria ricer-

ca empirica, ben fondata, sempre più specialistica, ed allora

fatalmente tendono a diventare ricerche in didattica B;

oppure sono considerati oggi, se non puri esercizi retorici,

senza alcuna credibilità didattica (in realtà, la problematica

del transfer cognitivo non è così banale).

Si può fare ricerca empirica in una didattica di tipo A?

Va detto subito che se si assume così semplicemente la tipo-

logia A come ambiente di ricerca, allora bisogna riconoscere

che quegli studiosi non sono riusciti ad elaborare un loro pro-

prio statuto epistemologico complessivo.


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A questa affermazione qualcuno ribatte chiamando in causa il bourbakismo1; ma il riferimento allo strutturalismo bourbaki-sta è scorretto, perché esso non è, né mai ha chiesto di essere, una epistemologia della ricerca in didattica, essendo ad essa totalmente estraneo.Né è corretto riferirsi allo strutturalismo in senso piagetia-no, che pure a quello bourbakista fa riferimenti continui: la teoria secondo la quale l’apprendimento avviene “a sta-di” gerarchici lineari, in analogia con il modello dell’episte-mologia genetica di Jean Piaget [1896-1980], è da qualche decennio al centro di discussioni: si tratta di una elegante ed affascinante costruzione teorica, ma sembra stentare a trovare serie e signifi cative verifi che empiriche che la renda-no accettabile; anzi, le verifi che empiriche fi n qui compiute sembrano andare in direzioni molto diverse o opposte2.Senza una vera e propria ricerca empirica, qual è la certezza che abbiamo sul fatto che l’uso di uno strumento qualsiasi tra quelli descritti nella tipologia A renda davvero gli allievi più

1 Si tratta di una corrente che oggi potremmo chiamare di epistemologia della ma-

tematica che ha spinto a riscrivere daccapo tutta la matematica, cercando di basarsi

su pochissime strutture algebriche considerate fondamentali (D’Amore, Matteuzzi,

1975). Questa ricerca, iniziata negli anni ’40 ed ancora oggi in corso (anche se

senza più il vigore e le forti motivazioni iniziali), ha profondamente infl uenzato

non solo la matematica, ma molte altre discipline che l’hanno presa ad esempio

(D’Amore, 1981, 1987a). Il fenomeno strutturalista, che ha investito molteplici di-

scipline, ha certo origine qui; ad esso si ispirano, per esempio, molti dei più celebri

lavori di Jean Piaget.2 Su questo punto delicatissimo, ci limitiamo a citare solo le prime ricerche criti-

che (quelle della seconda metà degli anni ’70, che fecero tanto scalpore in quanto

minavano le basi di teorie che sembravano assolutamente indiscutibili) e, tra le

ultime, solo quelle nate all’interno del Nucleo di Ricerca di Bologna. Si possono

vedere, per esempio, tra i precursori: Brainerd (1973), Mogdil (1974), Feldman e

Toulmin (1976), Gelman e Gallistell (1978); e, tra gli studi più recenti: Aglì, D’A-

more, Martini, Sandri (1997); Sbaragli (1999). Ma le ricerche di questo tipo sono

numerosissime. Per una critica più generale alle indagini sullo stile piagetiano, ved.

Gardner (1993), pagg. 57 e segg. della edizione italiana.


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abili in qualche cosa che non sia meramente specifi co? Per esempio, usare a lungo e con l’assistenza dell’insegnante l’a-baco multibase rende ovviamente più abile l’allievo ad usare... l’abaco multibase; ma siamo sicuri che quello stesso allievo sarà diventato più abile anche in altro, per esempio nell’ese-cuzione di un’operazione, nella risoluzione di un problema, nella dimostrazione di un enunciato? O, almeno, abbia assun-to una consapevolezza più profonda dei concetti aritmetici di base e sulla matematica in generale? L’abaco si utilizza so-prattutto nella scuola primaria; che tipo di apprendimento specifi co esso potrebbe convogliare al passaggio nella scuola secondaria? Non si riesce a trovare un fi lo logico.D’altra parte, però, se si effettuano prove empiriche, con op-portuni e ben studiati dispositivi sperimentali, sui risultati co-gnitivi ottenuti con attività di tipo A, allora si passa alla ricerca considerata sperimentale, si entra nel campo della epistemologia dell’apprendimento, cioè si passa al punto che contraddistingue la tipologia B.Per chiudere questo paragrafo, segnaliamo un paio di lavori storico-critici di Angelo Pescarini (1995, 1997) che fanno il punto sulla ricerca in didattica della matematica, fermandosi agli anni ’80, e tentando di stabilire alcune fondazioni di ca-rattere epistemologico alle diverse concezioni emerse tra gli anni ’50 ed ’80.Un altro lavoro che ha lo stesso scopo è Linati (2011).

Il lavoro di Dienes, Papy ed altri “mostri sacri” degli anni ’60 e ’70 fu sottoposto a critiche radicali da parte di alcuni didatti nel decennio successivo; in particolare, in modo molto lucido e profondo, tale da non permettere repliche, da parte di Guy Brousseau fi n dagli anni ’60, quando ancora era un maestro elementare (ma poi divenne professore ordinario ed emerito; fu insignito della medaglia Felix Klein per la didattica della matematica al momento della sua istituzione, nel 2003).


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A parte certe pubblicazioni “interne”, analisi critiche appa-iono in Brousseau (1972a,b, 1974) e poi infi ne raccolte in Brousseau (1986). Data la diffi coltà di rintracciare questi testi degli anni ’60 e ’70, rimandiamo al lungo articolo del 1986, uno dei pilastri del nuovo modo di intendere la didat-tica della matematica, per avere i dettagli di tali critiche. Si veda anche Sarrazy (1995; nella trad. it. alle pagine 136-137).

1.4 Concetto e concettualizzazione in matematica

In D’Amore (1999b, pagg. 193-208; 2001a; 2001d) si danno le idee di base attraverso le quali tentare una risposta alla domanda su che cosa sia, dapprima in generale e poi in ma-tematica, un concetto. Rinviando i lettori più curiosi a quei lunghi lavori per un approfondimento, ci limitiamo qui solo a riassumere il discorso.Distinguere il “concetto” dalla sua costruzione non è facile e, forse, non è né possibile né auspicabile: un concetto è, per così dire, continuamente in fase di costruzione ed in questa stessa costruzione sta la parte più problematica e dunque ric-ca del suo signifi cato:

Costruzione

Concetto

Signifi cato

Costruzione

Potremmo chiamare, come fanno altri Autori, tale costru-zione: concettualizzazione, e chiederci che cosa sia e come av-venga. Nel tentativo di far luce su questo argomento, molti autorevoli studiosi hanno proposto ipotesi e teorie sulle quali


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non entriamo in dettagli, rinviando ancora, per una rapida carrellata, a D’Amore (1999b); basti ricordare i contributi (spesso tra loro in ferma opposizione) di Vygotskij, di Piaget, di Gal’perin, di Bruner, di Gagné, tanto per limitarci solo ai più noti.

Addentrarsi in questa avventura, conduce a rendersi conto almeno di una cosa: che la seconda domanda (Che cos’è o come avviene la concettualizzazione?) resta fondamentalmente un mi-stero.Un passo chiarifi catore è stato tentato da Vergnaud (1990) che unifi ca nel concetto la sua stessa componente costruttiva. Secondo Vergnaud, il punto decisivo nella concettualizzazio-ne (e nella didattica, ma questo è un discorso più specifi co, che sarà ripreso più avanti) è il passaggio dai concetti-come-stru-mento ai concetti-come-oggetto ed un’operazione linguistica es-senziale in questa trasformazione è la nominalizzazione. Egli intende con “concettualizzazione” proprio questa appropria-zione consapevole, quando propone la seguente defi nizione: un concetto C è la terna (S, I, S) dove S è il referente, I il signifi cato ed S il signifi cante.

Resta il fatto che appropriarsi di un concetto (qualsiasi cosa ciò signifi chi) richiede comunque sempre ben più che nomi-narlo (la questione risale almeno al Medioevo). (D’Amore, 1999b, 2001b). Ora, lungi dall’idea di tentare una teoria generale di queste cose; ma, certo, il caso della matematica è, in questo settore, peculiare; ciò, almeno per i seguenti motivi:

> ogni concetto matematico ha rinvii a “non-oggetti”; dun-que la concettualizzazione non è e non può essere basata su signifi cati che poggiano sulla realtà concreta; in altre parole in matematica non sono possibili rinvii ostensivi;


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> ogni concetto matematico è costretto a servirsi di rappre-sentazioni, dato che non vi sono “oggetti” da esibire in loro vece o a loro evocazione; dunque la concettualizzazione deve necessariamente passare attraverso registri rappresen-tativi che, per vari motivi, soprattutto se sono a carattere linguistico, non possono essere univoci. [Qui “oggetto” è inteso nel senso di “oggetto reale” o di “cosa”. Che cosa ciò signifi chi è ben espresso nella Metafi sica di Aristotele, quan-do afferma che la “cosa”, in quanto parte del reale, è ciò che presenta le tre caratteristiche seguenti: tridimensionalità; accessibilità sensoriale multipla (cioè di più sensi alla vol-ta) indipendente dalle rappresentazioni semiotiche; possi-bilità di separazione materiale e da altre parti della realtà, da altre “cose”].

Si parla più spesso in matematica di “oggetti matematici” che non di “concetti matematici” in quanto in matematica si stu-diano preferibilmente oggetti piuttosto che concetti; «la no-zione di oggetto è una nozione che non si può non utilizzare dal momento in cui ci si interroga sulla natura, sulle condi-zioni di validità o sul valore della conoscenza» (Duval, 1998).Nel sentiero tracciato da Duval, la nozione di concetto, pre-liminare o comunque prioritaria in quasi tutti gli Autori, di-venta secondaria, mentre ciò che assume carattere di priorità è la coppia (segno, oggetto), come sarà evidenziato ancora me-glio nel prossimo paragrafo, al momento in cui si farà riferi-mento al paradosso cognitivo del pensiero matematico, sottolinea-to proprio da Duval (1993, pag. 38).In Duval (1996) si cita un passo di Vygotskij nel quale sostan-zialmente si dichiara che non c’è concetto senza segno: «Tut-te le funzioni psichiche superiori sono unite da una caratteri-stica comune superiore, quella di essere dei processi mediati, cioè di includere nella loro struttura, come parte centrale ed essenziale del processo nel suo insieme, l’impiego del segno


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come mezzo fondamentale di orientamento e di dominio dei processi psichici. L’elenco centrale [del processo di forma-zione dei concetti] è l’uso funzionale del segno, o della paro-la, come mezzo che permette all’adolescente di sottomettere al suo potere le proprie operazioni psichiche, di dominare il corso dei propri processi psichici...» (Vygotskij, 1962; nell’ed. francese, 1985, alle pagg. 150, 151, 157).A proposito di questa citazione di Vygotskij, o meglio appro-fi ttando di essa, è bene compiere una rapida considerazione a proposito della parola “segno”, suggeritaci da conversazio-ni e scambi di idee con Raymond Duval, in quanto, egli affer-ma, che in alcuni studiosi di didattica si scorge una riduzione del segno ai simboli convenzionali che connotano direttamente e isolatamente degli oggetti.In riferimento a De Saussure (1915) (che Vygotskij conosce-va bene a causa della sua formazione di linguista) non c’è segno fuori da un “sistema di segni”.Per esempio, le parole non hanno signifi cato che all’inter-no del sistema di una lingua (da qui i problemi ben noti di traduzione).Quando in Duval (e dunque qui) si parla di “registro di rap-presentazione semiotica” ci si riferisce ad un sistema di se-gni che permette di riempire le funzioni di comunicazione, trattamento e di oggettivazione, e non ci si riferisce invece a delle notazioni convenzionali che non formano un sistema.Per esempio, la numerazione binaria, o quella decimale, for-mano un sistema, ma non le lettere o i simboli che si uti-lizzano per indicare delle operazioni algebriche. Forse con-verrebbe allora tradurre Vygotskij ponendo in luogo della parola “segno” la locuzione “sistema di segni”.Si noti anche che, da questo punto di vista e contrariamente all’opinione diffusa, un sistema semiotico non è uno stru-mento: esso è costitutivo del funzionamento stesso del pen-siero e della conoscenza. Solo un codice che venga usato


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per ricodifi care un messaggio già espresso, può essere uno strumento.

1.5 Il caso della matematica

Per comprendere meglio il nostro discorso risulta effi cace il seguente schema.

“oggetto” matematico da concettualizzare: non esiste come oggetto reale

OGGETTIVA INACCESSIBILITÀ ALLA PERCEZIONE

(conseguente necessità di) rappresentanti semiotici

sugli oggetti

attività matematica

sui rappresentanti

conseguente paradosso cognitivo del pensiero matematico

Vediamo in che cosa consiste questo paradosso (Duval, 1993, pag. 38; la traduzione è concordata con l’Autore): «(…) da una parte, l’apprendimento degli oggetti matematici non può che essere un apprendimento concettuale e, d’altra parte, è solo per mezzo di rappresentazioni semiotiche che è possibile un’attività su degli oggetti matematici. Questo paradosso può costituire un vero circolo vizioso per l’ap-prendimento. Come dei soggetti in fase di apprendimento potrebbero non confondere gli oggetti matematici con le


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loro rappresentazioni semiotiche se essi non possono che avere relazione con le sole rappresentazioni semiotiche? L’impossibilità di un accesso diretto agli oggetti matemati-ci, al di fuori di ogni rappresentazione semiotica, rende la confusione quasi inevitabile. E, al contrario, come possono essi acquisire la padronanza dei trattamenti matematici, ne-cessariamente legati alle rappresentazioni semiotiche, se non hanno già un apprendimento concettuale degli ogget-ti rappresentati? Questo paradosso è ancora più forte se si identifi ca attività matematica ed attività concettuale e se si considera le rappresentazioni semiotiche come secondarie o estrinseche».

In questa fase “paradossale” dell’apprendimento, bisogna stare molto attenti; da un lato lo studente non sa che sta apprendendo segni che stanno per concetti e che dovreb-be invece apprendere concetti; se l’insegnante non ha mai rifl ettuto su questo punto, d’altra parte, crederà che lo studente stia apprendendo concetti, mentre questi sta in realtà “apprendendo” solo a far uso di segni (D’Amore, 1999a).

1.6 Apprendimento, costruttivismo, simbolizzazione

Apprendere sembra dunque essere una costruzione sotto-posta al bisogno di “socializzare”, il che avviene ovviamen-te grazie ad un mezzo comunicativo (che può essere il lin-guaggio) e che nella matematica sempre più decisamente sarà condizionato dalla scelta del mediatore simbolico, cioè, poi, del registro di rappresentazione prescelto (o im-posto, a vario titolo, anche solo dalle circostanze).


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apprendimento costruttivismo

simbolizzazione

Torneremo a parlare di costruttivismo, proponendo una de-fi nizione che sembra calzare perfettamente al caso della ma-tematica. Per giungere a tanto, però, si deve far chiarezza su alcune questioni che sono fondamentali nel dibattito attuale.

1.7 Semiotica e noetica nella matematicae nel suo apprendimento

In matematica, l’acquisizione concettuale di un oggetto pas-sa necessariamente attraverso l’acquisizione di una o più rappresentazioni semiotiche. Lo dice per primo Duval, pre-sentando la problematica dei registri, nei celebri articoli del 1988 pubblicati sugli Annales (1988a, 1988b, 1988c) [dei qua-li il lavoro del 1993 costituisce un primo tentativo di sintesi (1993); ma Duval pubblica su questo argomento anche lavori nel 1989 e 1990]; lo confermano Chevallard (1991), Godino e Batanero (1994).Dunque, prendendo a prestito da Duval: non c’è noetica senza semiotica.Da tempo si usa esplicitare i signifi cati dei termini semiotica e noetica nel modo seguente:

> semiotica �df ➝ teoria che studia le diverse rappresenta-zioni all’interno di opportuni registri;

> noetica �df ➝ acquisizione concettuale di un oggetto.


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Per Platone, la noetica è l’atto di concepire attraverso il pen-siero, per Aristotele, l’atto stesso di comprensione concettuale.Useremo il seguente simbolismo:

> rm �df ➝ registro semiotico m-esimo (m � 1, 2, 3, ...)

> Rmi(A) �df ➝ rappresentazione semiotica i-esima (i � 1, 2,

3, ...) di un oggetto A nel registro semiotico rm.

Si può notare che, in base a queste scelte, se cambia il regi-stro semiotico cambia necessariamente anche la rappresen-tazione semiotica, mentre non è detto che accada viceversa; cioè può cambiare la rappresentazione semiotica pur mante-nendosi lo stesso registro semiotico.Si intende solitamente con “caratteristiche della semiotica” tre attività cognitive diverse: rappresentazione – trattamento – conversione. Vediamo di che si tratta. Ancora una volta, usia-mo un grafi co per illustrare tali caratteristiche della semioti-ca, perché sembra più incisivo ed effi cace.

oggetto A da rappresentare ➝ scelta dei tratti distintivi di A ➝ ➝ RAPPRESENTAZIONE Rm

i(A) in un dato registro semiotico rm

se si applica una trasformazione di rappresentazione TRATTAMENTO, si ottiene una nuova rappresentazione (i�j) Rm

j(A) nello stesso registro semiotico rm

se si applica una trasformazione di registro CONVERSIONE, si ottiene una nuova rappresentazione Rn

h(A) in un altro registro semiotico rn (n�m)

(m, n, i, j, h � 1, 2, 3, ...)

I tratti distintivi fi ssati dell’oggetto A dipendono dalle capacità semiotiche di rappresentazione del registro scelto. Adottando un registro diverso si fi sserebbero altri tratti di A. Ciò dipende dal fatto che due rappresentazioni dello stesso oggetto, ma in registri diversi, hanno contenuti differenti.


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Ancora una nota. La scelta dei tratti distintivi di A non è neu-tra e fi ssata a priori, ma è frutto di opinione, volontà, necessità o gusto … dunque fatti legati non solo all’oggetto di discorso ma anche al soggetto umano che sta rappresentando A.

Quali sono le caratteristiche della noetica?L’acquisizione concettuale di un oggetto matematico si basa su due sue caratteristiche “forti” (Duval, 1993):

> l’uso di più registri di rappresentazione semiotica è tipica del pensiero umano;

> la creazione e lo sviluppo di sistemi semiotici nuovi è sim-bolo (storico) di progresso della conoscenza.

Queste considerazioni mostrano l’interdipendenza stretta tra noetica e semiotica, come si passa dall’una all’altra: non solo dunque non c’è noetica senza semiotica, ma la semiotica viene assunta come caratteristica necessaria per garantire il primo passo verso la noetica.A questo punto è doverosa una precisazione sulla teoria che da anni sta sviluppando Raymond Duval. In essa, egli accorda alla conversione un posto centrale rispetto alle altre funzioni, ed in particolare rispetto a quella di trattamento, considerata invece dai più come decisiva dal punto di vista matematico.Perché? Per almeno tre ragioni distinte:

> la conversione cozza contro dei fenomeni di non con-gruenza che sono per nulla concettuali (in quanto legati al senso stesso della conversione). Questi fenomeni di non congruenza costituiscono l’ostacolo più stabile osservabile nell’apprendimento della matematica, a tutti i livelli ed in tutti i dominii;

> la conversione permette di defi nire delle variabili cognitive indipendenti, il che rende possibile costruire delle osserva-zioni e delle sperimentazioni relativamente precise e fi ni.


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Certo, una volta validate attraverso una ricerca molto meto-dica, esse possono poi essere utilizzate come delle variabili didattiche. Dunque, Duval non lavora nella osservazione di una classe per settimane, ma piuttosto si comporta come fanno un biologo o un medico, quando vogliono capire il funzionamento del cervello;

> la conversione, in casi di non congruenza, presuppone una coordinazione dei due registri di rappresentazione mobi-lizzati, coordinazione che non è mai data in partenza e che non si costruisce spontaneamente basandosi sul solo fatto che si facciano effettuare delle attività matematiche didatti-camente interessanti. Ciò che si chiama la “concettualizza-zione” comincia realmente solo quando si mette in moto, anche solo abbozzandola, la coordinazione di due distinti registri di rappresentazione.

Tuttavia, recenti ricerche effettuate nell’ambito del nostro gruppo di ricerca, hanno portato a studiare con molta pro-fondità nel dominio della didattica della matematica le tra-sformazioni di trattamento (D’Amore, 2006b, 2011; D’Amo-re, Fandiño Pinilla, 2007); una tesi di dottorato su questo tema è già stata conclusa a Palermo, altre due sono in corso a Bogotà.

La teoria dei registri semiotici deve essere valutata basandosi sugli apporti relativi alla ricchezza, alla novità delle osserva-zioni, così come alla novità delle attività di apprendimento che le variabili cognitive permettono di defi nire e non in rap-porto a delle decisioni a priori su che cos’è la matematica o in base a considerazioni globalizzanti non controllabili attra-verso metodologie precise.È ogni singolo allievo che apprende, e nessuno può appren-dere (o comprendere) al posto di un altro! Inoltre, la riuscita di un’azione didattica non si giudica immediatamente, ma


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può essere valutata solo alcuni anni più tardi: ci sono molti casi di riuscita immediata che si rivelano poi essere degli in-successi a distanza di tempo.Ecco, dunque, perché Duval insiste sul carattere centrale della conversione; è questo il punto decisivo, quel che vera-mente differenzia la sua teoria dei registri, rispetto a tutto quel che si può dire e si usa dire su segni e semiotica, o sul cognitivo.

La costruzione dei concetti matematici è dunque strettamen-te dipendente dalla capacità di usare più registri di rappre-sentazioni semiotiche di quei concetti per:

> rappresentarli in un dato registro;

> trattare tali rappresentazioni all’interno di uno stesso regi-stro;

> convertire tali rappresentazioni da un dato registro ad un al-tro.

L’insieme di questi tre elementi e le considerazioni fatte nei precedenti paragrafi mettono in evidenza il profondo legame che c’è tra noetica e costruttivismo: da tempo proponiamo che “costruzione della conoscenza in matematica” signifi chi pro-prio l’unione di quelle tre “azioni” sui concetti, cioè l’espres-sione stessa della capacità di rappresentare i concetti, di trattare le rappresentazioni ottenute all’interno di un registro stabilito e di convertire le rappresentazioni da un registro ad un altro.È come se si stessero specifi cando le operazioni-base che, nel loro insieme, defi niscono quella “costruzione” che, altrimen-ti, resterebbe un termine misterioso e ambiguo, esposto ad ogni sorta di interpretazione, anche metafi sica.

La mancata costruzione concettuale, la non raggiunta noeti-ca, è un fenomeno molto studiato in didattica della matema-tica. D’Amore (1999a) da tempo ha messo in relazione questo


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mancato apprendimento con un altro fenomeno, la “scolariz-zazione”: «Con il termine “scolarizzazione del sapere” inten-do qui riferirmi a quell’atto in larga misura inconsapevole, attraverso il quale l’allievo, ad un certo punto della sua vita sociale e scolastica (ma quasi sempre nel corso della Scuola Elementare) delega alla Scuola (come istituzione) ed all’in-segnante di scuola (come rappresentante dell’istituzione) il compito di selezionare per lui i saperi signifi cativi (quelli che lo sono socialmente, per status riconosciuto e legittimato della noosfera), rinunciando a farsi carico diretto della loro scelta in base a qualsiasi forma di criterio personale (gusto, interes-se, motivazione,...). Poiché questa scolarizzazione comporta il riconoscimento dell’insegnante come depositario dei saperi che socialmente contano, è anche ovvio che vi è, più o meno contemporaneamente, una scolarizzazione dei rapporti inter-personali (tra studente ed insegnante e tra studente e compa-gni) e del rapporto tra lo studente ed il sapere: è quel che (...) si chiama “scolarizzazione delle relazioni”».

1.8 Componenti dell’apprendimento

Abbiamo cercato di caratterizzare alcune delle peculiarità della matematica, soprattutto nella direzione che riteniamo adatta a spiegare il fenomeno più tipico dell’apprendimento matematico e che abbiamo voluto racchiudere nella coppia noetica - semiotica.Va ricordato che l’apprendimento della matematica non è solo fatto di costruzione di concetti, ma consta di varie ti-pologie di apprendimenti distinti ma non del tutto privi di sovrapposizioni:

> apprendimento concettuale;

> apprendimento algoritmico (calcolare, operare, …);


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> apprendimento strategico (risolvere, dimostrare,…);

> apprendimento comunicativo (troppo spesso non preso in esame);

> apprendimento semiotico, specifi co ma trasversale a tutti i precedenti.

Su questo tema, un’analisi didattica molto dettagliata e con-creta si può vedere in Fandiño Pinilla (2008).

In breve, due parole per caratterizzare ciascun tipo di ap-prendimento.

Apprendimento concettuale

È evidente che in matematica si costruiscono concetti che rappresentano le diverse componenti degli oggetti mate-matici che sono il tema dell’azione di insegnamento - ap-prendimento. Un concetto si considera costruito quando l’allievo è in grado di identifi care proprietà di quel concet-to, di rappresentarlo, di trasformare tale rappresentazione, di usarla in modo opportuno. Lo abbiamo già detto. Ecco quindi che risulta interessante, per la valutazione in senso costruttivo, creare occasioni nelle quali gli studenti abbiano la possibilità di mostrare di aver costruito concetti. Le tecni-che per far ciò sono ampiamente esemplifi cate in Fandiño Pinilla (2008) e altrove; dunque senza entrare troppo nel merito, ricordiamo solo che abbiamo trovato assai soddisfa-cente la tecnica dei TEP (produzioni testuali autonome de-gli studenti) (D’Amore, Maier, 2002).Poiché nelle prove cui sono sottoposti gli allievi si usa molto la scrittura, anzi è essenziale, così come il ricorso al disegno e agli schemi, si capisce bene come la semiotica sia componen-te trasversale irrinunciabile dell’apprendimento concettuale.


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Apprendimento algoritmico

Tale tipologia di apprendimento è in relazione con l’abilità di dare risposta alle operazioni, al calcolo, all’applicazione di formule o al disegno di fi gure usando strumenti opportuni.Contrariamente a quanto potrebbe ritenersi a prima vista, valutare questo tipo di apprendimento non è banale; a no-stro avviso all’interno di queste prove devono trovare posto domande che, in modo signifi cativo, mettano in relazione le abilità puramente meccaniche con quelle che riguardano la capacità di ragionare prima di procedere ad eseguire calcoli, che permettano di decidere quali operazioni fare, che elimi-nino calcoli non necessari.In Fandiño Pinilla (2008) si danno molti esempi, qui ci limi-tiamo a riportarne pochi senza commenti.

Esempio 1 Trova il procedimento più effi cace per risolvere ciascuna di queste situazioni e giustifi ca la tua risposta; puoi scegliere tra calcolatrice, calcolo mentale, calcolo a mano, altra tecnica (in tal caso, descrivila):

> qual è il resto della divisione 4567:230?

> se una matita costa 0,75 €, quanto costano 10 matite?

> qual è la radice quadrata di 576?

> trova la somma dei primi cento numeri naturali a partire da 1

> esegui: 2356-1356

> esegui: 300�450�200

Esempio 2 Sai che 35 – 20 � 15; quanto fa 35 – 19? Uno in più o uno in meno di 15? Perché?

La gestione di algoritmi di qualsiasi tipo e la loro organiz-zazione in fatti logicamente connessi tra loro in una catena fi nita in modo meccanico da eseguire passo a passo, necessita


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evidentemente di una signifi cativa gestione semiotica; tutto quel che è algoritmico è rappresentato e dunque la semiotica è un apprendimento fondamentale e trasversale.

Apprendimento strategico

Si cerca di potenziare e di dare importanza a procedimenti e strategie che si usano quando si risolve un problema. Biso-gna arrivare a convincere tutti gli studenti che quel che conta sono i processi e non i prodotti.Si tratta di uno degli apprendimenti più complessi, tanto è vero che la didattica si è molto occupata di esso, isolando-lo da tempo dal contento generale, come fosse a sé stante e producendo più di una errata indicazione a questo proposito (Brousseau, D’Amore, 2008).Su questo tema, si vedano D’Amore (1993b), D’Amore e Ma-razzani (2011) e soprattutto Fandiño Pinilla (2008).Anche in questo caso, è ovvio che l’apprendimento semiotico è trasversale; quale che sia il problema in oggetto, quale che ne sia la natura, esso è necessariamente espresso in un regi-stro semiotico; spesso la sua risoluzione è in grande misura un trattamento o una conversione da una rappresentazione a un’altra, che vanno interpretate.

Apprendimento comunicativo

Questo aspetto dell’apprendimento matematico, troppo spes-so dimenticato o sottaciuto, cerca di mettere in evidenza la capacità di esprimere idee matematiche, giustifi cando, argo-mentando, dimostrando (in forme adatte allo studente, sia orali che scritte) e rappresentando in modo visivo con fi gure, in modo effi cace. Questa attività didattica, molto praticata e


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tenuta sotto osservazione in vari Paesi del mondo, costringe alla discussione, al dialogo, dunque alla comunicazione.Sappiamo bene che esistono studenti che, pur avendo co-struito cognitivamente oggetti della matematica, non hanno però la prontezza, la capacità di comunicare quel che hanno costruito in forma compiuta, signifi cativa ed effi cace.Su questo tema suggeriamo di approfondire con Fandiño Pi-nilla (2008), ma anche con Radford e Demers (2006).Poiché la comunicazione degli oggetti matematici costruiti cognitivamente avviene per mezzo di registri semiotici, è evi-dente che, anche in questo caso, l’apprendimento semiotico è trasversale.

Apprendimento semiotico

E giungiamo fi nalmente all’ultima componente dell’appren-dimento che ha un ruolo in sé ma anche ampia trasversalità; come sappiamo, essa consiste in:

> saper scegliere i tratti distintivi che di un tal oggetto ma-tematico cognitivamente costruito o in via di costruzione si vogliono rappresentare;

> scegliere il registro o i registri semiotici che si reputano adatti a tale rappresentazione;

> una volta effettuata la rappresentazione semiotica, saperla trasformare in un’altra dello stesso registro (trattamento) o di un altro (conversione) in modo opportuno, senza perdere di vista il signifi cato dell’oggetto di partenza.

Questo elenco ha un senso in sé stesso, ma si potrebbe ri-utilizzare per esaminare tutte le precedenti quattro compo-nenti, visto che nessuna di esse sfugge al destino di tutte le rappresentazioni degli oggetti matematici e delle attività ma-tematiche, la rappresentazione semiotica.


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Dunque, questo particolare apprendimento deve essere divi-so in due categorie:

> apprendimento semiotico in sé, specifi co per ciascun esempio (si ricordi il caso delle relazioni binarie, o quello dell’uguaglianza);

> apprendimento semiotico di gestione delle rappresenta-zioni, ma all’interno delle quattro componenti precedenti.

Ciò delinea ed evidenzia, a nostro avviso, l’assoluta necessi-tà di prendersi cura di questo apprendimento, così centrale nella matematica.

La ripartizione dell’apprendimento semiotico in due tipo-logie è, di fatto, più una comodità adulta, uno strumento professionale per l’insegnante, soprattutto con funzioni va-lutative, che non una vera e propria necessità culturale, di-dattica, epistemologica. Pur ammettendo che vi siano sottili differenze tra un concetto come “retta” ed uno come “dimo-strazione” o uno come “operazione di divisione”, riteniamo che la fase semiotica non faccia o richieda troppe distinzioni; riteniamo che l’operatività (il cosiddetto “saper fare” che ci viene suggerito dai pedagogisti) investa tanto l’uso di concet-ti, quanto di strategie (il saper dimostrare, il saper risolvere, etc.) quanto di attività algoritmiche (il saper calcolare, il sa-per operare, etc.).Su questo punto, ancora si rende necessaria una densa in-dagine; tuttavia riteniamo che le precedenti considerazioni su noetica e semiotica nell’apprendimento della matematica comprendano questioni relative a risoluzione di problemi, di-mostrazioni di teoremi, esecuzioni di algoritmi, esecuzioni di operazioni.


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1.9 Introduzione agli strumenti teorici e concreti della didattica B

L’attuale ricerca in didattica disciplinare è tutta tesa ad ac-centrare l’attenzione sul fenomeno dell’apprendimento, ma da un punto di vista fondazionale e comunque non accettan-do un unico modello di teoria dell’apprendimento (anche se la psicologia cognitiva in questo momento sembra la più autorevole candidata a fornire fondazioni interessanti per molte esperienze di ricerca).Affrontando la didattica disciplinare come epistemologia dell’apprendimento, faremo dunque esempi solo nel campo che ci compete, cioè in quello della matematica. Discussioni con colleghi, didatti di altre discipline e letture occasionali, però, danno conferma del fatto che le problematiche gene-rali sembrano essere le stesse, anche nelle diverse specifi cità. Per cui, pur non volendo (o potendo) uscire dallo stretto ambito descritto, siamo convinti che non troppo diversi sa-rebbero i possibili analoghi resoconti critici di appartenenti ad altri settori di ricerca.Quel che faremo qui di seguito è presto dichiarato. Analizze-remo alcune tra le problematiche che sembrano emergere con più forza negli ultimi anni, che si sono consolidate come elementi di ricerca in didattica della matematica, e che sem-brano fornire appigli solidi e signifi cativi per una possibile generalizzazione. Ci asterremo da presentazioni troppo tec-niche e ci limiteremo dunque solo alla posizione di ogni sin-golo problema proposto, passando in rassegna, nei prossimi paragrafi , alcune tematiche molto diffuse nell’ambiente di ricerca e che sembrano essere di particolare interesse special-mente per gli insegnanti.


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Faremo, laddove possibile, riferimento a ricerche, anche per dare al lettore l’idea di quel che i ricercatori − alcuni ricerca-tori − fanno in didattica della matematica.Ma un avvertimento esplicito preliminare è necessario.Capita relativamente spesso che, nelle scuole secondarie (non solo italiane), il docente sia sorpreso e colpito da inat-tese frasi, dichiarazioni, proposte fatte dall’allievo che dimo-strano ed evidenziano gravi lacune, misconcezioni del tutto inattese. Si resta sbalorditi.Noi stessi abbiamo incontrato studenti di quinta superiore

che mettevano sull’asse delle ascisse il valore +

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fra �3 e �4.

Nessuno s’era mai accorto di questa misconcezione perché tutti davano per scontata una costruzione concettuale delle frazioni.Così, abbiamo trovato, in interviste poi pubblicate, studenti al termine del loro percorso, in procinto dell’esame di matu-rità, che avevano dunque studiato l’Analisi, che non ammet-tevano la densità in Q (immaginiamoci la continuità in R): è impossibile che fra 0,34 e 0,35 ci siano infi niti razionali; an-cora peggio: dati due punti nell’asse orientato delle ascisse, la quantità dei punti compresi fra due dati dipende dalla di-stanza fra essi o da quanto grandi sono disegnati i punti [qui il problema investe la semiotica e la confusione fra oggetto matematico e sua rappresentazione, cioè l’epistemologia; è per questo che noi suggeriamo che la preparazione dell’in-segnante investa del tempo nello studio della storia e dell’e-pistemologia della matematica, a qualsiasi livello (D’Amore, 2004)]. Purtroppo, situazioni di questo genere sono rintrac-ciabili non solo fra gli studenti, ma anche fra insegnanti di scuola primaria e questo spiega l’origine della misconcezio-ne negli allievi di secondaria (si veda, per esempio, Arrigo, D’Amore, Sbaragli, 2011).


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La didattica della matematica e il buon senso dimostrano e mostrano che l’origine di quelle lacune non è cronologica-mente attribuibile al giorno prima; si sono creati fraintendi-menti, talvolta colossali, in anni precedenti, fi n dalla scuola primaria. È per questo che il nostro gruppo di ricerca segue l’atteggiamento internazionale di accomunare, negli studi di didattica della matematica, i diversi livelli scolastici; per un docente di secondaria è fondamentale sapere quali sono i problemi di apprendimento nella scuola primaria, perché essi sono la base dei problemi che lo studente rivelerà di lì a qualche anno al docente di scuola secondaria. Sempre per questo motivo, noi preferiamo condurre gruppi di lavoro e vere e proprie ricerche “in verticale”, mettendo a lavorare fi anco a fi anco i docenti-ricercatori dei vari livelli scolastico, con grande giovamento per entrambi. Il nostro sito (www.dm.unibo.it/rsddm) pubblica risultati di ricerca e di speri-mentazione di tutti i livelli, proprio in quest'ottica.

1.10 Il contratto didattico

Dopo la metà degli anni ’70 fece l’ingresso nel mondo della ricerca in didattica della matematica l’idea di contratto didat-tico, lanciata da Guy Brousseau fi n dal decennio precedente ma resa famosa grazie al celebre articolo del 1986 (Brousseau, 1986). L’idea si rilevò subito fruttifera ma furono poi gli studi della seconda metà degli anni ’80 a decretarne il trionfo e la piena teorizzazione; ad essi parteciparono vari studiosi di tut-to il mondo: l’idea veniva riconosciuta ed entrava a far parte del linguaggio condiviso dall’intera comunità internazionale.Questa idea, di spirito tutto francese3, non era completamente nuova. Nel 1973, Jeanine Filloux introdusse il termine di con-

3 Stiamo pensando a Jean-Jacques Rousseau e al suo Contratto Sociale (1762).


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tratto pedagogico per defi nire alcuni tipi di rapporto tra docente ed allievo. Quello della Filloux era un contratto generale, più sociale che cognitivo, mentre il contratto didattico di Brousseau tiene conto anche delle conoscenze in gioco. Il primo tentativo di “defi nizione” del contratto didattico è il seguente: «In una situazione d’insegnamento, preparata e realizzata da un inse-gnante, l’allievo ha generalmente come compito di risolvere un problema (matematico) che gli è presentato, ma l’accesso a questo compito si fa attraverso un’interpretazione delle do-mande poste, delle informazioni fornite, degli obblighi imposti che sono costanti del modo di insegnare del maestro. Queste abitudini (specifi che) del maestro attese dall’allievo e i compor-tamenti dell’allievo attesi dal docente costituiscono il contratto didattico» (Brousseau, 1986).Spesso queste “attese” non sono dovute ad accordi espliciti, imposti dalla scuola o dagli insegnanti o concordati con gli allievi, ma alla concezione della scuola, della matematica, alla ripetizione di modalità.Trarremo ora qualche esempio dalla vasta letteratura in pro-posito (soprattutto da vari lavori di D’Amore e del nostro gruppo di ricerca). In essa, l’interpretazione di “contratto didattico” è incredibilmente vasta, com’è d’altra parte testi-moniato in Sarrazy (1995).

Esempio 1 (concezione della scuola). L’allievo ritiene che la scuola sia direttiva e valutativa; quindi anche se l’insegnante chiede per esempio all’allievo di scrivere liberamente quel che pensa su un certo concetto, l’allievo ritiene di doverlo fare con un linguaggio il più possibile “rigoroso” perché suppone che sotto quella richiesta vi sia comunque una prova, un con-trollo. Non scriverà dunque affatto “liberamente” ma cerche-rà invece di dare la defi nizione che ritiene essere quella “cor-retta”, cioè quella che secondo cui è attesa dall’insegnante.


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Esempio 2 (concezione della matematica). Lo studente ritiene che in matematica si devono fare dei calcoli; per cui, anche se la risposta alla domanda posta in un problema può essere data solo rispondendo a parole, lo studente è a disagio e ten-de a far uso operativo dei dati numerici per dare comunque una risposta formale.

Esempio 3 (ripetizione delle modalità). Per tre lunedì conse-cutivi l’insegnante di matematica fa svolgere esercizi alla lava-gna; da quel punto in poi l’allievo “sa” che ogni lunedì sarà così; dunque, una modifi ca al programma atteso genera sor-presa. Lo stesso vale, per esempio, quanto all’attesa del pro-gramma possibile nel corso di un’interrogazione: se l’inse-gnante ha sempre e solo fatto domande sul programma svolto nelle ultime lezioni, non può, a detta dello studente, fare domande su argomenti oggetto di lezione in un passato più remoto.

Lo studio dei vari fenomeni di comportamento degli allievi da questo punto di vista ha dato enormi frutti, di estremo interesse. Oggi molti comportamenti considerati fi no a poco tempo fa inspiegabili o legati al disinteresse, all’ignoranza, o all’età immatura, sono invece stati chiariti.

Uno degli studi più noti è quello che va sotto il nome di Effet-to età del capitano (credo che questa denominazione sia stata coniata da Adda, 1987, come conferma anche Sarrazy, 1995). Il nome è legato ad un celebre e antico problema (che si trova anche in Peano, 1924) nel quale, forniti dati su un na-tante (colore, lunghezza dello scafo, altezza degli alberi), si richiede l’età del capitano. L’interessante comportamento degli studenti di fronte a questo tipo di problemi “assurdi” o “impossibili” fu messo in luce dall’IREM di Grenoble nel 1980 (IREM Grenoble, 1980), ma ha poi dato notevoli frut-


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ti su quel che si chiama oggi rottura del contratto. In questo contesto, seguiamo il resoconto di un’esperienza condotta da Bruno D’Amore (1993a). In una classe IV elementare (età degli allievi 9-10 anni) di un importante centro agricolo, egli ha proposto il celeberrimo problema (nel quale il “capitano” diventa un “pastore”): «Un pastore ha 12 pecore e 6 capre. Quanti anni ha il pastore?».In coro, con sicurezza, e tutti senza eccezioni o riserve, i bam-bini hanno dato la risposta attesa: «18». Si tratta di un fatto legato al contratto didattico: l’insegnante non aveva mai dato problemi senza soluzione, o impossibili (per una delle tante forme di impossibilità) (D’Amore, Sandri 1993), dunque i bambini avevano introdotto nel contratto didattico una “clausola” in base alla quale, per così dire: «Se la maestra ci dà un problema, questo deve poter essere risolto certamen-te». E, poiché vige un’altra clausola micidiale secondo la qua-le i dati numerici presenti nel testo vanno presi tutti (una ed una sola volta), e possibilmente nell’ordine in cui compaio-no, i bambini di quella classe non avevano nessun’altra possi-bilità, nessuno scampo: dovevano rispondere usando i dati 12 e 6. L’unico imbarazzo stava semmai nella scelta dell’opera-zione da eseguire. Ora, può darsi che quella dell’addizione sia stata una scelta casuale; ma va detto che alla richiesta ad un biondino particolarmente vivace di spiegare perché non avesse fatto uso per esempio della divisione, dopo un attimo di riflessione, ha spiegato che: «No, è troppo piccolo!», rife-rendosi ovviamente all’età del pastore, e dunque restituendo in ogni caso un senso ad una situazione che ne era priva.

Con l’espressione Effetto età del capitano si designa oggi la condotta di un allievo che calcola la risposta di un proble-ma utilizzando una parte o la totalità dei numeri che sono forniti nell’enunciato, allorché questo problema non pos-sieda invece una soluzione numerica.


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Naturalmente, il “caso” non è esclusivo della scuola elemen-tare ma, mutando quel che c’è da mutare, interessa ogni or-dine di scuola.Per esempio, se si chiede ad una classe di prima superiore quali siano le radici dell’equazione di II grado (x-1)(x-2)�0, si può scommettere sul fatto che i ragazzi si metteranno a moltiplicare tra loro i due binomi per giungere all’equazione scritta in forma canonica ed usare poi la formula risolutiva generale, invece di rispondere semplicemente: 1 e 2. Non si tratta solo di ignoranza relativa al senso che ha la radice di una equazione, ma anche di contratto didattico: in un com-pito di natura matematica bisogna fare dei calcoli e bisogna saper applicare le formule.

Se si propone un triangolo isoscele in questa posizione nella scuola secondaria:

con ogni probabilità più di un allievo dimostrerà disagio dovuto sì a stereotipi nella rappresentazione, ma anche al contratto didattico, per cui un triangolo si deve disegnare nel modo abituale.

Torniamo ai problemi del tipo Età del capitano. Tale effetto rientra tra quelli cosiddetti di rottura del contratto didattico: se anche l’allievo si rende conto dell’assurdità del problema posto, necessita di farsi carico personale di una rottura del contratto didattico, per poter rispondere che il problema


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non si può risolvere. Questa nuova situazione, infatti, con-trasta con tutte le sue attese, con tutte le sue abitudini, con tutte le clausole fi n qui messe in campo nelle situazioni didat-tiche. Ma lo studente non ha la forza, non essendo mai stato abituato, di rompere il contratto e preferisce rispettarne le supposte clausole pur di non rischiare, pur di non osare in prima persona.

Studi approfonditi sul contratto didattico hanno permesso di rivelare appunto che i bambini ed i ragazzi hanno attese par-ticolari, schemi generali, comportamenti che nulla hanno a che fare stricto sensu con la matematica, ma che dipendono dal contratto didattico instaurato in classe.Per esempio, in una ricerca sui problemi con dati mancanti e sugli atteggiamenti degli allievi di fronte a problemi di que-sto tipo (D’Amore, Sandri, 1998) riportiamo un testo propo-sto in III elementare (allievi di 8-9 anni) e in II media (allievi di 12-13 anni):

«Giovanna e Paola vanno a fare la spesa; Giovanna spende 10.000 lire e Paola spende 20.000 lire. Alla fi ne chi ha più soldi nel borsellino, Giovanna o Paola?».

Ed ecco un prototipo del genere di risposte più diffuse in III; riportiamo il protocollo di risposta di Stefania esattamente come lo ha redatto l’allieva:

Stefania:

Nel borsellino rimane più soldi Giovanna30 � 10 � 2010 � 10 � 100


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La risposta “Giovanna” (58,4% di tali risposte in III elemen-tare, età degli allievi 8-9 anni) è giustifi cata dal fatto che (clausola delle attese e della costanza) lo studente ritiene che, se l’insegnante affi da un problema, questo debba po-ter essere risolto; dunque, anche se si accorge che manca il dato della somma iniziale, se lo inventa implicitamente più o meno come segue: «Questo problema deve essere risolto; dunque, forse Giovanna e Paola partivano dalla stessa som-ma». A quel punto, la risposta è corretta: Giovanna spende meno e quindi le resta più danaro. E ciò giustifi ca la parte scritta a parole della risposta di Stefania. Dopo di che scatta un altro meccanismo legato ad un’altra clausola (del tipo: immagine della matematica, attese presupposte da parte dell’insegnante): «Non può bastare così, in matematica si devono fare dei calcoli, la maestra se li aspetta di certo». A quel punto, il controllo critico crolla e qualsiasi calcolo va bene.

Nel lavoro D’Amore, Sandri (1998), questa clausola del con-tratto didattico è stata chiamata: “esigenza della giustifi cazio-ne formale” (egf), studiandola in ogni dettaglio. Tale clauso-la egf è molto presente anche nella scuola media (età degli allievi: 11-14 anni). [La percentuale di risposte “Giovanna” scende dal 58,4% della III elementare (8-9 anni) al 24,4% della II media (12-13 anni); ma solo il 63,5% degli allievi di II media denuncia in qualche modo l’impossibilità di dare una risposta; dunque il 36,5% dà una risposta: oltre 1/3 di ciascuna classe].

Ecco un prototipo di risposta avuta allo stesso problema in II media; è stato scelto il protocollo di risposta di un’allieva, riportandolo esattamente come da lei prodotto:


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Silvia:

Secondo me, chi ha più soldi nel borsellino è Giovanna [poi corretto in Paola] perché:Giovanna spende 10.000 mentre Paola spende 20.000

10.000 20.00 Giovanna Paola

20.000 � 10.000�10.000 (soldi di Giovanna)10.000 � 10.000�20.000 (soldi di Paola)

Nel protocollo di Silvia si riconoscono in azione le stesse clauso-le del contratto didattico messe in opera nel protocollo di Ste-fania, ma la sua analisi è più complessa. Per prima cosa, si nota un tentativo di organizzazione logica e formale più impegnati-vo. Silvia, poi, dapprima scrive “Giovanna” perché ha ragionato come Stefania; poi, però, a causa della clausola egf, ritiene di dover produrre calcoli. È probabile che si renda conto, anche se in modo confuso, che le operazioni che sta facendo sono slega-te dal problema, le fa solo perché ritiene di dover fare qualche calcolo. Ma, per quanto assurde, fi nisce con assumerle come fossero plausibili: poiché da questi calcoli insensati ottiene un risultato che contrasta con quello dato in via intuitiva, preferisce demolire la propria intuizione ed accettare piuttosto quanto ot-tenuto per via formale: i calcoli le danno “Paola” come risposta e non “Giovanna”, come invece aveva supposto, e dunque barra “Giovanna” e al suo posto scrive “Paola”.

Sempre legato al contratto didattico, risulta molto interes-sante leggere l’atteggiamento degli studenti di fronte al se-guente celebre problema di Alan Schoenfeld (1987a):«Un bus dell’esercito trasporta 36 soldati. Se 1128 soldati devono essere trasportati in bus al campo d’addestramento, quanti bus devono essere usati?».


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Dei 45000 allievi quindicenni presi in esame negli USA da Schoenfeld, solo meno di un quarto (il 23%) è riuscito a dare la risposta attesa: 32. Il ricercatore statunitense afferma quin-di che pochissimi studenti sono in grado di rileggere il senso della domanda, osando scrivere “32”, di fatto non ottenuto formalmente nell’operazione, e propone come causa di que-sto comportamento questioni relative a fatti metacognitivi.A distanza di parecchi anni, recentemente (D’Amore, Mar-tini, 1997) è stata analizzata di nuovo la stessa situazione ri-scontrando alcune novità. La prova è stata fatta a vari livelli scolastici lasciando libertà agli studenti di usare o meno la macchina calcolatrice. Si sono avute molte risposte del tipo: 31,333333 soprattutto da parte di chi usava la calcolatrice; altre risposte: 31,3 e 31,3.Il controllo semantico, quando c’è, porta qualcuno a scrivere 31 (gli autobus «non si possono spezzare»), ma ben pochi si sentono autorizzati a scrivere 32. Tra chi usa la macchina cal-colatrice, poi, si ha lo 0% di risposte “32”.Lo studente non si sente autorizzato a scrivere quel che non appare a seguito di un calcolo: se anche fa un controllo se-mantico sugli autobus come oggetti non divisibili in parti, ciò non lo autorizza a scrivere “32”; c’è addirittura chi non si sente autorizzato neppure a scrivere “31”. Non si può parlare semplicemente di “errore” da parte dello studente, a meno che non si intenda per “errore” l’incapacità di controllare, una volta ottenuta la risposta, se essa è semanticamente coe-rente con la domanda posta. Ma allora scatta un altro mecca-nismo: lo studente non è disposto ad ammettere di aver fatto un errore e preferisce parlare di “trucco”, di “trabocchetto”; per lo studente un errore matematico o in matematica, è un errore di calcolo o assimilabile ad esso, non di tipo semantico.Un lungo e sistematico studio su questa prova, eseguito an-che attraverso numerose interviste agli studenti, rivela che “il colpevole” di questo comportamento è una clausola del con-


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tratto didattico, alla quale è stato dato il nome di “clausola di delega formale”. Lo studente legge il testo, decide l’operazio-ne da effettuare ed i numeri con i quali deve operare; a quel punto scatta, appunto, la clausola di delega formale: non tocca più allo studente ragionare e controllare. Sia che faccia i cal-coli a mano, tanto più se fa uso della calcolatrice, si instaura quella clausola che disimpegna le facoltà razionali, critiche, di controllo: l’impegno dello studente è fi nito ed ora tocca all’algoritmo, o meglio ancora alla macchina, lavorare per lui. Il compito successivo dello studente sarà quello di trascri-vere il risultato, qualsiasi cosa sia e non importa che cosa esso signifi chi nel contesto problematico.

Gli studi sul contratto didattico, praticamente coltivati in tut-to il mondo, si stanno rivelando molto fruttiferi ed hanno dato, in pochissimi anni, risultati di grande interesse, che sempre più ci stanno facendo conoscere l’epistemologia dell’apprendimento matematico. Suggeriamo la lettura del testo D’Amore, Fandiño Pinilla, Marazzani, Sarrazy (2010).

1.11 Confl itti e misconcezioni

Un altro argomento di studio in didattica della matematica che sta emergendo con estrema forza e grande rilievo riguarda i confl itti cognitivi. Si tratta di questo: lo studente può nel tem-po aver assunto un concetto ed essersene fatto un’immagine; questa immagine può essere stata rinforzata nel tempo da pro-ve, esperienze ripetute. Ma può capitare che tale immagine si rilevi inadeguata, prima o poi, rispetto ad un’altra dello stesso concetto, per esempio proposta dall’insegnante stesso o da al-tri, e non attesa, in contrasto cioè con la precedente.Si crea così confl itto tra la precedente immagine, che lo stu-dente credeva defi nitiva, relativamente a quel concetto, e la


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nuova; ciò accade specialmente quando la nuova immagine amplia i limiti di applicabilità del concetto, o ne dà una ver-sione più comprensiva.

Legata alle idee di “immagine di un concetto” e “confl itto”, c’è un’importante questione che riguarda la misconcezione. Una misconcezione è un concetto errato e dunque costitu-isce genericamente un evento da evitare; essa però non va vista sempre come una situazione del tutto o certamente ne-gativa: non è escluso che, per poter raggiungere la costruzio-ne di un concetto, si renda necessario passare attraverso una misconcezione momentanea, ma in corso di sistemazione.Si può notare come, almeno in taluni casi, alcune immagini possono essere delle vere e proprie misconcezioni, cioè inter-pretazioni errate delle informazioni ricevute.Qui si presenta la vasta ed interessante problematica del “cur-ricolo nascosto”. Lo studente rivela le proprie misconcezioni quando applica correttamente regole scorrette. Spesso, all’origi-ne di questo fatto c’è una mancata comprensione o un’errata interpretazione. Se l’insegnante non si rende conto di ciò, le sue sollecitazioni cadono a vuoto perché lo studente ha già incluso nel proprio curricolo quelle regole che ritiene corret-te e che, in taluni casi, hanno funzionato.Per esempio, in una III elementare, uno studente eseguiva in colonna le seguenti sottrazioni:

37� 89� 26� 56� 24� 67� 18� 43� -––––– -––––– -––––– -–––––

13� 22� 12� 13�

L’insegnante osservò che tre sottrazioni su quattro erano state effettuate correttamente; diede dunque una valutazio-ne positiva, ma invitò lo studente, nella terza, a “prendere in prestito una decina”. Lo studente non capiva di che de-


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cina si stava parlando perché aveva in mente un’altra regola personale: per eseguire le sottrazioni in colonna si procede da destra verso sinistra e, in ogni colonna, si sottrae dal più grande il più piccolo. Ne aveva avuto conferma in molti casi, la comunicazione che riguardava casi come la terza sottrazio-ne non gli era giunta per chissà quale motivo, e dunque ave-va assunto nel suo curricolo quella “regola”. Essa funzionava quasi sempre e nei casi negativi egli non capiva perché: stava usando correttamente, infatti, una regola che non sapeva essere invece scorretta. Una vera e propria misconcezione. [Sulla differenza tra curricolo insegnato e curricolo appreso, si veda Fandiño Pinilla (2002)].

Qualche esempio tratto dalla vasta letteratura.

Esempio 1. Si provi a mostrare la seguente fi gura chiamandola trapezio.

La solita e ripetuta posizione stereotipata del trapezio lì per lì crea una situazione di disagio. A nulla vale una perfetta conoscenza della defi nizione di trapezio.

Esempio 2. In prima o seconda superiore, si mostri la seguen-te scrittura: �x e �x; quale dei due numeri è negativo e quale è positivo?


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Esempio 3. Rappresentare sul piano cartesiano i seguenti pun-ti: A(�a; �b), B(�a; �b), C (�a; �b), D(�a; �b). Quale di essi va nel III quadrante?

Esempio 4. x � x2 è sempre vera, perché un numero è sempre minore del suo quadrato. Questa affermazione convince l’e-norme maggioranza degli studenti.

Esempio 5. È vero che, se 3x � 32x�3 allora x � 2x � 3 ma non è affatto vero che se 0,3x � 0,32x�3 allora x � 2x � 3. Eppure, quasi tutti gli studenti ne sono convinti.

Gli esempi potrebbero continuare a lungo, ma riteniamo che questi possano bastare.Dunque, il confl itto cognitivo è un confl itto “interno” causa-to dalla non congruenza tra due concetti, o tra due immagini o tra un’immagine ed un concetto.

Ma il confl itto può anche essere sociale. Supponiamo cioè che lo studente abbia un’immagine o un concetto su un cer-to argomento e che ritenga si tratti di quello condiviso da tutta la classe (o, più in generale, da tutta la società); un bel giorno tale immagine o tale concetto entra in confl itto con quello proposto dall’insegnante o da una nuova situazione e, in quella occasione, lo studente si accorga che quello suo non è affatto condiviso dalla classe, anzi, riguarda lui solo, è isolato; per esempio i suoi compagni non si meravigliano af-fatto di una proposta che lui non riesce, invece, ad accettare.Un esempio solo: un quadrato è sempre disegnato e propo-sto dai libri di testo con i lati orizzontali e verticali, il rombo spessissimo con le diagonali orizzontale e verticale. Lo stu-dente Pierino si è fatto l’idea che i quadrati devono essere così ed i rombi invece così, ed è convinto che la sua concezione sia la stessa di tutti i compagni di classe; crede cioè, implici-


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tamente, che si tratti di un'idea largamente, anzi totalmente condivisa. Un bel giorno l’insegnante disegna un quadrato con le diagonali orizzontale e verticale, ma non lo chiama “rombo”, come Pierino si aspetta, bensì “quadrato”.Pierino sussulta: “Il prof. si è sbagliato?”. Ma si accorge in-vece che il resto della classe accetta questa denominazione: si tratta sì di un confl itto cognitivo, ma non solo sul piano individuale “interno”, bensì pure sul piano sociale perché mette Pierino in confl itto con un concetto che riteneva con-diviso.

Alla base dei confl itti ci sono quindi le misconcezioni, cioè concezioni momentanee non corrette, in attesa di sistema-zione cognitiva più elaborata e critica. Attenzione, però: lo studente non lo sa e dunque ritiene che le sue, quelle che per il ricercatore sono misconcezioni, siano invece conce-zioni vere e proprie. Dunque è l’adulto che sa essere quelle elaborate e fatte proprie dai ragazzi delle misconcezioni.Chiamarle errori è troppo semplicistico e banale: non si trat-ta di punire, di valutare negativamente; si tratta, invece, di dare gli strumenti per l’elaborazione critica.In un certo senso, si potrebbe addirittura pensare che tutta la carriera scolastica di un individuo, per quanto attiene la matematica, sia costituita dal passaggio da misconcezioni a concezioni corrette.Le misconcezioni, intese come detto (concezioni momen-tanee non corrette, in attesa di sistemazione cognitiva più elaborata e critica), non sono eliminabili, né costituiscono del tutto un danno. Costituiscono un momento delicato, necessario, di passaggio da una prima concezione elemen-tare (ingenua, spontanea, primitiva) ad una più elaborata e corretta.Alla base di questo tipo di problematiche, si possono por-re alcuni studi di Piaget-Inhelder, anche se oggi c’è stata


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una grande evoluzione in questo campo. Esse invadono anche la fi ssità funzionale, l’effetto Einstellung, i parassiti cognitivi etc.Per non dilungarci troppo, rinviamo a D’Amore (1993b).

1.12 Immagini e modelli

Appena un rapido cenno su questo complesso argomento che, sistemato per lo meno nell’ambito della didattica della matematica (e non certo in generale) da D’Amore (1999), è ancora in fase di studio e di analisi critica (sono in corso studi di dottorato su questo tema).Innanzitutto è importante chiarire il signifi cato dei seguenti termini: “immagine” e “modello”.“Immagine mentale” è il risultato fi gurale o proposizionale prodotto da una sollecitazione sensoriale esterna. Per esempio, durante una lezione in aula, si sente provenire dall’esterno un forte rumore (sollecitazione sensoriale ester-na); la mente dell’essere umano è tale da creare immedia-tamente un’immagine al suo interno; ci si può immaginare, inconsciamente, la causa di tale rumore, per esempio.L’immagine mentale è condizionata da infl uenze culturali, stili personali, in poche parole è prodotto tipico dell’indivi-duo, ma con costanti e connotazioni comuni tra individui di-versi. Essa può più o meno essere elaborata coscientemente (anche questa capacità di elaborazione dipende però dall’in-dividuo). Tuttavia l’immagine mentale è interna ed almeno in prima istanza involontaria.L’insieme delle immagini mentali elaborate (più o meno co-scientemente) e tutte relative ad un certo concetto costitui-sce il modello mentale (interno) del concetto stesso.


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Proseguendo nell’esempio, supponiamo che uno degli stu-denti guardi fuori dalla fi nestra (altro senso impegnato: la vista); riceve un’informazione, grazie alla quale è in grado di ritoccare l’immagine precedente (debole, cioè modifi cabile, malleabile, grazie a nuove informazioni) ed adattarla meglio alla situazione.

Quel che accade in aula rientra in questo ambito assai gene-rale nel quale lavora la mente umana. L’insegnante spiega (udito), disegna alla lavagna formule o fi gure (vista), produ-ce cioè delle sollecitazioni sensoriali esterne allo studente; il quale reagisce facendosi proprie immagini che si modifi cano proprio grazie alle successive informazioni.Detto in altro modo, lo studente si costruisce un’immagine I1 di un concetto C; egli la crede stabile, defi nitiva. Ma ad un certo punto della sua storia cognitiva, anche immediatamente dopo, riceve informazioni su C che non sono contemplate dall’im-magine I1 che aveva. Egli deve allora (e ciò può essere dovuto ad un confl itto cognitivo, voluto dall’insegnante) adeguare la “vecchia” immagine I1 ad una nuova, più ampia, che non solo conservi le precedenti informazioni, ma accolga coerentemente anche le nuove. Di fatto, egli si costruisce una nuova immagine I2 di C. Tale situazione può ripetersi più volte durante la storia scolastica di un allievo, costringendolo a passare da I2 a I3 etc.Molti dei concetti della matematica sono raggiunti grazie a passaggi, nei mesi o negli anni, da un’immagine ad un’altra più comprensiva e si può immaginare questa successione di costruzioni concettuali, cioè di successive immagini I1, I2,…, In, In�1,… come una specie di scalata, di “avvicinamento” a C.Ad un certo punto di questa successione di immagini, c’è un momento in cui l’immagine cui si è pervenuti dopo vari pas-saggi “resiste” a sollecitazioni diverse, si dimostra abbastanza “forte” da includere tutte le argomentazioni e informazioni nuove che arrivano rispetto al concetto C che rappresenta.


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Un’immagine di questo tipo, dunque stabile e non più mute-vole, si può chiamare “modello” M del concetto C.Farsi un modello di un concetto, dunque, signifi ca rielabora-re successivamente immagini (deboli, instabili) per giungere ad una di esse defi nitiva (forte, stabile).Ci sono due possibilità:

> M si forma al momento giusto nel senso che si tratta dav-vero del modello corretto, proprio quello che l’insegnante auspicava per C; l’azione didattica ha funzionato e lo stu-dente si è costruito il modello M corretto (quello voluto dall’insegnante) del concetto C;

> M si forma troppo presto, quando ancora rappresenta solo un’immagine che avrebbe dovuto essere ulteriormente am-pliata; a questo punto non è facile raggiungere C, perché la stabilità di questo parziale M è di per sé stessa un ostacolo ai futuri apprendimenti.

Proseguiamo nell’analisi dei modelli e del loro ruolo nell’ap-prendimento.Quando un insegnante propone un’immagine forte e con-vincente, che diventa persistente, confermata da continui esempi ed esperienze, di un concetto C, l’immagine si tra-sforma in modello intuitivo.C’è insomma rispondenza diretta tra la situazione proposta ed il concetto matematico che si sta utilizzando; ma questo modello potrebbe non essere ancora quello del concetto C che ci si aspetta all’interno del sapere matematico.Dunque, tra i modelli, si riserva il nome di “modello intuiti-vo” a quei modelli che rispondono pienamente alle solleci-tazioni intuitive e che hanno dunque un’accettazione imme-diata forte (Fischbein, 1985, 1992). Talvolta, infatti, si parla anche di modelli parassiti.


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Per esempio, avendo accettato fi n dai primi anni di scuola primaria il modello intuitivo di moltiplicazione tra numeri naturali ed avendolo erroneamente esteso a tutte le molti-plicazioni (non importa in che sistema numerico) – modello intuitivo rafforzato dalle raffi gurazioni schematiche (in Italia è chiamato in modo diffuso per schieramento) – si forma un modello parassita che si può enunciare così: la moltiplicazio-ne accresce sempre, deve accrescere sempre (Fischbein, 1985, 1992). Questo tipo di modello si riscontra a tutti i livelli di scolarità, anche nelle prove di ingresso nelle facoltà scien-tifi che. Lo studente, anche senza fare i calcoli, deve decide-re se abbia maggior valore il prodotto 8�0,25 o il quoziente 8:0,25; ed è preponderante la scelta del prodotto (va sotto-lineato che quasi nessuno studente è in grado di effettuare questa divisione a mano).

Analogo è il modello parassita della divisione. Se l’insegnan-te di scuola primaria non conosce un po’ di didattica della matematica, si può correre il rischio di dare allo studente un modello intuitivo che fi nirà con il produrre un modello parassita: in una divisione A:B, il numero B deve essere mi-nore del numero A. Ed infatti, per diversi studenti di scuola secondaria (e per vari insegnanti di scuola primaria), non si può eseguire (in generale, non solo in N) la divisione 2:4 (si

ricorre allora alla frazione

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che non viene percepita come

2:4). Sulla enorme diffi coltà che ha lo studente nel gestire l’i-dea di frazione, anche nella scuola superiore, proprio a causa di una debole formazione avvenuta nella scuola primaria, si veda Fandiño Pinilla (2005).

Didatticamente conviene sempre lasciare immagini ancora instabili, in attesa di poter creare modelli adatti e signifi ca-


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tivi, il più possibile vicini al sapere matematico che si vuole raggiungere.Più “forte” è il modello intuitivo, più diffi cile è infrangerlo per accomodarlo ad una nuova immagine. Insomma, l’imma-gine - misconcezione non deve diventare modello visto che, per sua stessa natura, è in attesa di defi nitiva sistemazione.Si tratta allora di non dare informazioni distorte e sbagliate; non solo non darle in modo esplicito, ma addirittura evitare che si formino autonomamente per non favorire l’insorgere di modelli parassiti. Una solida competenza dell’insegnante in didattica della matematica è, in questo, un forte aiuto.Vediamo alcuni esempi in dettaglio.

Esempio 1. Lo studente ha verifi cato per anni che l’operazio-ne di moltiplicazione “aumenta il valore dei fattori”; detto in altre parole, il prodotto di due fattori è maggiore di entrambi (12 è ben più grande di 3 e di 4; e 60 è ben più grande di 12 e 5; etc.). Anche le immagini fi gurali (di schemi rappre-sentativi e operativi) offerte all’allievo per rendere accettabi-le ed intuitiva l’operazione di moltiplicazione confermano questa attesa intuitiva (per esempio, un maldestro uso del cosiddetto “schieramento” diffusissimo nella realtà didattica della scuola primaria). Infatti, fi n dal primo ciclo elemen-tare, l’immagine fi gurale della moltiplicazione, per esempio 3×4, è data da 4 fi le di 3 oggetti:

• • • • • • • • • • • •

È evidente che una fi gura siffatta rinforza quell’immagine del concetto. Ma poi fatalmente arriverà il giorno in cui si deve moltiplicare quel 3 non più per 4, ma per 0,5 ed allora il mo-


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dello (ormai formatosi) non funziona più e la sua supposta regola generale dell’aumento crolla; ed abbiamo il confl itto (Fischbein, 1985, 1992).A questo punto assimilare la nuova situazione per accomodare il modello precedente ad uno nuovo non è affatto facile (in quanto caratteristica dei modelli, nei confronti delle immagi-ni, è proprio la loro stabilità).Si crea quindi la necessità didattica di non rendere stabile quell’immagine troppo presto, allo scopo di poterla poi mo-difi care successivamente, nel tentativo di costruire un model-lo del concetto di moltiplicazione in modo ottimale, che ten-ga conto dei successivi ampliamenti ai numeri non naturali.Non è un caso che molti studenti evoluti (anche universita-ri) si dichiarino meravigliati di fronte al fatto che tra le due operazioni 18�0.25 e 18:0.25 la prima sia quella che dà un risultato minore. Essi conservano il modello errato creatosi nella scuola primaria in base al quale “la moltiplicazione au-menta i valori”.

Esempio 2. Lo studente ha sempre diviso un numero grande per uno più piccolo; detto in altre parole, si è fatto l’immagi-ne che il dividendo deve essere maggiore del divisore. Lo stes-so modo in cui la divisione è proposta spinge a credere che sia così: si tratta sempre di ripartire molti oggetti tra poche scatole o cose del genere (divisione di ripartizione); si tratta sempre di contenitori che raccolgono diversi oggetti ciascu-no (divisione di contenenza). Ma ciò comporta allora che, di fronte ad un problema del tipo: «15 amici si dividono 5 chilo-grammni di biscotti. Quanti ne spettano a ciascuno?» (Deri, Sainati Nello, Sciolis Marino, 1983; D’Amore, 1993b)4, lo stu-

4 È uno dei problemi di una serie di 42 presentati in Deri, Sainati Nello, Sciolis

Marino (1983); questo articolo è a lungo discusso ed i suoi risultati sono paragonati

a quelli ottenuti in D’Amore (1993b), pagg. 168-185.


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dente, anche delle scuole superiori (età 14-19 anni), venga spontaneamente spinto ad eseguire 15:5 [calcolando non quanti biscotti spettano a ciascun amico, ma “quanti amici a ciascun chilo di biscotti”, come ebbe a commentare con ironia un simpatico studente di I Liceo Scientifi co di Lugo (RA) (età 14-15 anni), in occasione dell’intervista, quando lo si mise a rifl ettere sul suo “15:5”]. Tra l’immagine intuitiva della operazione e quella poi costruita in modo più raffi nato e profondo, c’è confl itto.In situazioni nelle quali non c’è un esplicito richiamo ad una competenza cognitiva forte, il modello intuitivo dell’opera-zione emerge sempre con energia. Si può ipotizzare infat-ti che, anche quando lo studente più evoluto si è costruito (con fatica) un modello corretto di un concetto C, modello assai vicino al sapere matematico, in condizioni di normalità il modello intuitivo fa sempre ancora capolino, dimostrando la sua persistenza.Per comprendere meglio, rivediamo la questione dello stu-dente di I liceo citato poco sopra. In situazione di routine, lo studente “cade” nella trappola tesagli dal suo stesso mo-dello intuitivo, ma quando durante l’intervista viene richia-mato nel restituirgli il suo testo, questa nuova situazione su-scita un’attenzione diversa, più consapevole, ed una messa in causa di fatti cognitivi più forti: a questo punto non è più il modello intuitivo a dominare la scena, ma quello più raffi na-to, elaborato cognitivamente. Proprio la reazione sorpresa e divertita dello studente dimostra che lui stesso non si è reso conto del fatto di aver usato un modello intuitivo al posto di uno più elaborato e critico.

Esempio 3. Ancora sulla divisione. Nello stesso articolo di Efraim Fischbein del 1985 citato poco fa, compare un altro interessantissimo test che abbiamo molto spesso utilizzato, soprattutto in occasione di incontri con insegnanti.


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Esso si compone di fatto di due esercizi che differiscono tra loro solo nei dati numerici:

P1. Una bottiglia di aranciata, che contiene 0,75 l, costa 2 euro. Qual è il prezzo di 1 l?

P2. Una bottiglia di aranciata, che contiene 2 l, costa 6 euro. Qual è il prezzo di 1 l?

Se si dà da risolvere solo P1, celando alla vista P2, si note-rà sempre tra i presenti un tempo di imbarazzo più o meno lungo, anche tra studenti evoluti ed insegnanti. Dato poco dopo anche il secondo esercizio ed evidenziato il fatto che si tratta dello stesso problema, molti saranno disposti ad ammet-tere con sincerità che, mentre il secondo problema si risolve immediatamente con la divisione 6:2, risolvere il primo con l’analoga divisione 2:0,75 crea forti imbarazzi.Vediamo il commento dello stesso Fischbein: «Di conseguen-za si può supporre che siano proprio i numeri e le relazioni tra essi a bloccare o a facilitare il riconoscimento dell’opera-zione di divisione come procedura risolutiva. Ogni operazio-ne aritmetica possiede, oltre al suo signifi cato formale, anche uno o più signifi cati intuitivi. I due livelli possono coincidere oppure no».Si è chiesto agli insegnanti e agli studenti più maturi come hanno fatto a risolvere P1. Alcuni hanno confessato di aver considerato 0,75 come ¾ e di aver dunque proceduto nel campo delle frazioni (non operando sempre in modo inec-cepibile). Altri hanno invece ammesso di aver risolto P1 con la proporzione 0,75 : 2 � 1 : x e di aver poi applicato le note proprietà per risolvere (con successo). Ora, si badi bene, nel corso della risoluzione di questa equazione lineare nell’inco-gnita x, c’è un momento in cui si deve fare 2:0,75, cioè appa-rentemente la stessa operazione che, se eseguita direttamente sui dati del problema, avrebbe risolto P1 in un battibaleno.


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Ma non è la stessa cosa! Se è vero che c’è una forte resistenza in moltissimi di noi ad eseguire direttamente 2:0,75 (a cau-sa del contrasto tra signifi cato formale e signifi cato intuitivo della divisione), non c’è più alcun imbarazzo ad applicare le regole delle proporzioni ed a eseguire i passaggi di un algorit-mo, quando questo arriva al momento fi nale di chiederci di eseguire l’apparentemente stessa operazione. Qui, come ormai sappiamo, scatta una clausola del contratto didattico, quella di delega formale: in un certo senso, non ci impegniamo più direttamente nel fare quel passaggio, non è più una questio-ne di scelta, di decisione personale. A quel punto stiamo solo seguendo una procedura che consiste in una serie di passag-gi automatici, per i quali abbiamo avuto consenso e delega, e per i quali non dobbiamo più darci, dentro di noi, una giustifi cazione passo-passo.

Esempio 4. L’addizione. Raccogliendo un’idea di Gérard Ver-gnaud (1982)5, Fischbein la considera un ulteriore esempio di non coincidenza tra signifi cato formale e signifi cato intu-itivo. Si tratta di 3 problemi additivi, a una tappa, cioè che si risolvono con una sola operazione. Li riportiamo per intero, per comodità del lettore, con ritocchi minimi:

P.A Intorno ad un tavolo ci sono 4 ragazzi e 7 ragazze. Quanti sono in tutto?

P.B Giovanni ha speso 4 franchi. Egli ha ora in tasca 7 franchi. Quanti franchi aveva prima?

P.C Roberto ha giocato due partite. Nella prima ha perso 4 punti, ma alla fi ne della seconda partita si è trovato in vantaggio di 7 punti. Quanti punti ha ottenuto nella seconda partita?

5 Si tratta dello studio di una terna di problemi, famosissima, che appare citata in

moltissimi testi; è presente e discussa anche in D’Amore (1993b).


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Tutti e tre i problemi, è ovvio, si risolvono con la stessa ope-razione 4�7; ma essi hanno percentuali di successo incredi-bilmente diverse.P.A è ben risolto già in seconda elementare (all’età di 7 anni): i risolutori arrivano a sfi orare il 100%. Qui, d’altra parte, c’è perfetta coincidenza fra signifi cato formale e signifi cato intuiti-vo: l’addizione è l’operazione che risolve problemi di unione tra raccolte (prive di elementi comuni). Ma quasi nessuno degli stessi ragazzi risolve P.B e quei pochi che lo risolvono più o meno tirano a indovinare: dopo tutto ci sono solo due dati numerici a disposizione, 4 e 7 ...;P.B è risolto, anche se con diffi coltà, in quarta o quinta elemen-tare (all’età di 9 o 10 anni); diciamo che, comunque, le solu-zioni corrette ottenute con consapevolezza raggiungono una discreta percentuale;P.C è causa di un insuccesso pressoché totale. Ancora in pri-ma e seconda media (all’età di 11 o 12 anni), P.C ha percen-tuali di risoluzione solo di circa il 25%, o anche meno, in accordo con le prove fatte da Vergnaud e da Fischbein.

Tuttavia è ovvio che qui non si tratta solo di signifi cati formali ed intuivi dell’addizione. Qui si tratta anche, e forse soprat-tutto di diffi coltà di gestione “narrativa” del testo. [E questo aprirebbe l’importante questione della stesura del testo dei problemi, per la quale rinviamo a D’Amore (1993b); D’Amo-re, Franchini et al. (1995)].Questo tipo di prove, da un punto di vista didattico appli-cativo, evidenziano per lo meno che è falso quel supposto criterio di diffi coltà della risoluzione dei problemi in base al quale l’aumentare del numero di operazioni da eseguire nella risoluzione è sinonimo di aumento della diffi coltà. È facilmente provabile che vi sono molti problemi che richie-dono due operazioni assai più facili da risolvere che non P.B; P.C, poi, con la sua pur unica operazione, resta fuori della


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portata dell’intera scuola primaria e mette in diffi coltà anche studenti della secondaria di primo grado.La resistenza all’uso dell’addizione in situazioni considerate di non congruenza tra significato formale e significato intui-tivo, sono testimoniate non solo nella scuola elementare, ma anche in tutta la scuola media. Si veda, per esempio Billio et al. (1993) in cui si analizzano anche situazioni esplicitamente denunciate da allievi in opportune interviste.

Esempio 5. La sottrazione. La sottrazione, poi, per sua stessa na-tura, presenta almeno due diversi signifi cati intuitivi, a dispet-to di un unico signifi cato formale, che si possono evidenzia-re ricorrendo a due problemi suggeriti ancora da Fischbein (1985):

1. Se togliamo 3 palline da un insieme di 10 palline, quante palline rimarranno?

2. Ho 7 palline, ma me ne occorrono 10 per giocare. Quante palline devo aggiungere a quelle che ho già, per poter cominciare a giocare?

È ovvio che entrambi i problemi si risolvono con una sot-trazione; ma nel primo caso, quello del togliere via (come lo chiama Fischbein), la cosa è intuitiva perché c’è coinciden-za tra signifi cato formale e signifi cato intuitivo; nel secondo caso sembra essere più spontaneo il ricorso a strategie ad-ditive del tipo : 7 � … � 10, intendendo in qualche modo che quei puntini … devono valere 3. D’altra parte è additiva ogni strategia di “complemento a”, come, per esempio, l’o-perazione di dare il resto in un negozio: il negoziante di solito non fa la differenza, ma fa, passo a passo, il comple-mentare a partire dalla spesa fi no ad arrivare alla somma versata. Abbiamo dunque tra gli allievi una certa percen-tuale di risposte scorrette; al posto della sottrazione, c’è chi


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fa l’addizione 7�10 o 10�7 legata al fatto che c’è la parola aggiungere che suggerisce l’uso dell’addizione.C’è un forte contrasto tra l’operazione ingenua e sponta-nea di conteggio che verrebbe di fatto ad essere usata in una situazione concreta (cioè il conteggio: 7�1�1�1, con la risposta 3 legata al numero dei �1 necessari per giun-gere a 10) ed il signifi cato formale della sottrazione. Se esistesse un’operazione specifi ca che esprime il numero di quei �1 che permettono di passare da 7 a 10, proba-bilmente la percentuale di successo salirebbe nettamente; qualcuno potrebbe dire che quell’operazione esiste ed è proprio la sottrazione espressa da 10�7; ma le prove fatte e le considerazioni effettuate fi nora mostrano che non è questo il signifi cato intuitivo con cui gli studenti costrui-scono nel loro cognitivo la sottrazione. Paradossalmente, è più intuitivo risolvere il problema con l’algebra in pri-ma superiore: 7�x�10 perché qui si sfrutta l’aggiungere come modello intuitivo di addizione.

Per quanto la ricerca, facendo tesoro dei mille esempi for-niti dagli insegnanti nel loro lavoro quotidiano, abbia fatto passi da gigante in questo campo, riteniamo ci sia ancora parecchio da sistemare. Ma si tratta, indubbiamente, di un tema la cui conoscenza profonda costituisce uno strumento di analisi delle situazioni di aula formidabile.

1.13 Il triangolo insegnante, allievo, Sapere

Tutta la Scuola francese (e, più in particolare, Brousseau) considerano il fenomeno insegnamento-apprendimento da un punto di vista sistemico e non come lo studio separato di ciascuno dei suoi componenti. In Brousseau sono fonda-mentali insegnante ed allievo, con la relazione “sapere” che


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li lega, all’interno di un milieu, mezzo, ambiente, nel quale essi si trovano ad operare (D’Amore, 1999b).Per quel che vogliamo evidenziare in questo capitolo, però, ci serviremo di una semplifi cazione che appare in lavori di Yves Chevallard a partire dal 1982; in essi viene proposto allo stu-dio un modello del sistema didattico, formato da tre sole com-ponenti: insegnante, allievo e Sapere (accademico, uffi ciale, universitario), che si usa chiamare: triangolo della didattica.

insegnante allievo

Sapere (savoir savant)

È chiaro che l’insegnante si trova implicato in una serie di rapporti di estrema delicatezza. Da un lato deve operare una trasposizione didattica dal sapere (che sorge dalla ricerca, dalla storia, dalla istituzione) al sapere insegnato (quello della pratica in aula, dal punto di vista dell’insegnante) (Cheval-lard, 1985).In realtà, il passaggio è molto più complesso perché va dal sapere matematico al sapere da insegnare al sapere insegnato. (Di conseguenza, il curricolo può essere esaminato in base a queste trasformazioni; e così pure la valutazione: Fandiño Pinilla, 2002).La trasposizione didattica consiste quindi nell’estrarre un elemento di sapere dal suo contesto (universitario, sociale etc.) per riambientarlo nel contesto sempre singolare, sem-pre unico, della propria aula.In questo lavoro, l’insegnante non è mai un individuo iso-lato. È di fatto il collettivo, l’istituzione che oggettivizza e


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defi nisce nella sua specifi cità il sapere scolare, i suoi meto-di, la sua razionalità.La trasposizione didattica produce allora un certo numero di effetti: semplifi cazione e dedogmatizzazione, creazione di artefatti o produzione di oggetti totalmente nuovi.In effetti, la scuola non ha mai insegnato dei saperi puri ma dei contenuti d’insegnamento, qualche cosa che ha esisten-za solo all’interno della scuola e che non ha solitamente un’immediata corrispondenza né con la sfera della produ-zione né con quella della cultura. Dal momento in cui en-trano in un programma scolastico, un dominio del sapere, un concetto, subiscono una trasformazione massiccia, sono snaturati per trovare un altro statuto, entrano in un’altra logica, in un’altra razionalità (Fandiño Pinilla, 2002).Il concetto di trasposizione didattica sembra essere anche per il futuro di notevole importanza intesa come il lavoro di adattamento, di trasformazione del sapere in oggetto di in-segnamento, in funzione, come detto, del luogo, del pubbli-co e delle fi nalità didattiche che ci si pone.Dall’altro lato però, l’insegnante deve tener conto del siste-ma didattico e dell’ambiente sociale e culturale, cioè della noosfera in cui si trova ad agire.Per noosfera si può intendere il luogo dei dibattiti, di idee signifi cative sull’insegnamento, le fi nalità della scuola, gli scopi della formazione, le attese della società per quanto attiene scuola e cultura (per esempio i programmi ministe-riali); la noosfera è l’intermediario tra il sistema scolastico (e le scelte dell’insegnante) e l’ambiente sociale più esteso (esterno alla scuola); si potrebbe pensare come «la cappa esterna che contiene tutte le persone che nella società pen-sano ai contenuti ed ai metodi di insegnamento» (Godino, 1993).


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C’è anche un legame tra noosfera e contratto didattico, in quanto su alcune clausole di quest’ultimo ha certo infl uen-za diretta l’ambiente nel quale ci si trova ad operare.Su questo importante argomento, ci limitiamo qui solo a questo breve cenno. Tuttavia, in D’Amore, Fandiño Pinilla (2002) si trova un approfondimento dello studio del trian-golo che recupera l’approccio al milieu, com’era in origine.Ci pare che qui si inserisca bene il dibattito internaziona-le che ha conosciuto anche l’Italia, circa il problema delle competenze che dovrebbero sostituire le conoscenze come traguardo scolare; evitiamo di entrare in dettagli, rinviando a D’Amore, Godino, Arrigo, Fandiño Pinilla (2003).

1.14 Ostacoli

Non è facile formarsi concetti; ciò perché ogni concetto, anche semplice in apparenza, è circondato da un insieme fl uttuante e complesso di rappresentazioni associate che comportano molteplici livelli di formulazione e livelli di in-tegrazione del concetto (Giordan, De Vecchi, 1987).Dunque il primo problema è quello di “ripulire” il concet-to da questo alone che sembra nasconderne il signifi cato intimo.E poi c’è da tener presente gli ostacoli che si frappongono all’apprendimento, proposti una prima volta da G. Brousse-au fi n da suoi lavori del 1968, altri del 1972 e 1976 (Brousse-au, 1972a, 1976), resi celebri dal suo lavoro specifi co del 1983 e dal citatissimo del 1986 (Brousseau, 1986) [tale con-cetto è però già presente in studi fi losofi ci di Gaston Bache-lard (1938), anche se ristretti alle sole scienze naturali].Vediamo di che si tratta. Per ostacolo si intende qualsiasi cosa che si frapponga alla costruzione cognitiva di un con-cetto. Non sempre è sinonimo di mancata conoscenza; per


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esempio un ostacolo può essere un’idea che, al momento della formazione di un concetto, è stata effi cace per affron-tare dei problemi (anche solo cognitivi) precedenti, ma che si rivela fallimentare quando si tenta di applicarla ad un problema nuovo. Visto il successo ottenuto (anzi: a maggior ragione a causa di questo), si tende a conservare l’idea già acquisita e comprovata e, nonostante il fallimento, si cerca di salvarla; ma questo fatto fi nisce con l’essere una barriera verso successivi apprendimenti.

Esempio. Nella scuola primaria si insiste molto sul fatto che ogni numero ha un successivo; la cosa è corretta se questo “numero” è in N o in Z, ma non certo se è un numero ra-zionale. L’idea di successivo, in Q, non esiste. Eppure, ci si provi a chiedere d’improvviso a studenti liceali quale sia il successivo di 2,35 e ci si sentirà rispondere da parecchi 2,36. L’ostacolo alla comprensione della mancanza di un’idea di successivo in Q è legato al successo che un concetto di ugual nome ha avuto in N. Se poi si chiede d’improvviso, non solo a studenti, quale sia il successivo di 4, invece della risposta corretta (ma di quale sistema numerico stiamo parlando?) sentiremo spesso risponderci 5.

Si distinguono tre tipologie di ostacoli:

> di natura ontogenetica;

> di natura didattica;

> di natura epistemologica.

Li esamineremo nell’ordine.

Ogni soggetto che apprende sviluppa capacità e conoscenze adatte alla sua età mentale (che può essere diversa dall’età cronologica), dunque adeguate a mezzi e scopi di quella età: rispetto all’acquisizione di certi concetti, queste capacità e


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conoscenze possono essere insuffi cienti rispetto ad un pro-getto didattico da parte dell’insegnante e possono costituire quindi ostacoli di natura ontogenetica (l’allievo potrebbe avere limitazioni neurofi siologiche anche solo dovute alla sua età cronologica).Per esempio, si rivela fallimentare ogni tentativo di introdur-re dimostrazioni in seconda o terza media (età degli allievi 12-14 anni), al momento di presentare il teorema di Pitago-ra; ciò costringe gli insegnanti a sostituire la “dimostrazione” con una “prova” a volte concreta. Si ritiene generalmente che questo “fallimento” sia legato all’età degli studenti ed alla loro immaturità critica.Ancora per esempio, si rivela un insuccesso tentare di intro-durre nella scuola primaria il connettivo logico “implicazio-ne”, se A allora B, per lo stesso motivo. Ma anche le prove fatte alle superiori si sono rivelate per lo più fallimentari; mandar giù che A➝B con A falsa sia vera, non è affatto naturale.

Ogni docente sceglie un progetto, un curricolo, un metodo, interpreta in modo personale la trasposizione didattica, se-condo le sue convinzioni sia scientifi che sia didattiche: egli crede in quella scelta e la propone alla classe perché pensa che sia effi cace; ma quel che è effi cace effettivamente per qualche studente, non è detto che lo sia per altri. Per questi ultimi, la scelta di quel progetto si rivela un ostacolo didattico.Un esempio di ostacolo didattico cui abbiamo già fatto rife-rimento è la presentazione che fanno taluni insegnanti della scuola primaria al momento di presentare gli oggetti geome-trici attualmente infi niti: il segmento come infi nità di punti, la retta come fi gura illimitata. Il modello più diffuso nelle scuole è quello del segmento come una collana di perline che, per la sua immediatezza, viene subito accettato dagli stu-denti e diventa modello intuitivo; esso costituisce un eviden-te ostacolo didattico al momento in cui si deve introdurre


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l’idea di densità, nella stessa scuola elementare ed ancora di più nella scuola media, e quando si deve introdurre l’idea di continuità nella scuola superiore. Ricerche accurate han-no ampiamente evidenziato che gli studenti maturi (ultimo anno delle superiori e primi anni di università) non riescono a diventare padroni del concetto di continuità proprio a cau-sa del modello intuitivo persistente di segmento come colla-na di perle (Arrigo, D’Amore, 1999, 2002). Quanto alla retta come fi gura illimitata, essa ed il conteggio prolungato dei numeri naturali, sembrano fornire agli studenti la capacità di vedere l’infi nito solo in potenza e non in atto, il che pure crea gravi ostacoli didattici nei corsi successivi.

Ogni argomento a carattere matematico ha un proprio sta-tuto epistemologico che dipende dalla storia della sua evolu-zione all’interno della matematica, dalla sua accettazione cri-tica nell’ambito della matematica, dalle riserve che gli sono proprie, dal linguaggio in cui è espresso o che richiede per potersi esprimere.Quando nella storia dell’evoluzione di un concetto si indivi-dua una non continuità, una frattura, cambiamenti radicali di concezione, allora si suppone che quel concetto presenti al suo interno degli ostacoli di carattere epistemologico ad esse-re appreso; ciò si manifesta, per esempio, in errori ricorrenti e tipici di vari studenti, in diverse classi, stabili negli anni.Ad esempio, l’infi nito matematico costituisce certo un osta-colo epistemologico; basti ripercorrerne la storia all’interno della matematica per rilevare le lotte, le discussioni, le rottu-re che la sua accettazione ha determinato dal momento in cui Zenone di Elea (V-VI sec. a.C.) introdusse i suoi celebri paradossi, fi no alla condanna di Aristotele di Stagira (III sec. a.C.) dell’infi nito attuale e su su fi no alla completa accetta-zione, grazie all’opera di Georg Cantor (a cavallo tra i secoli XIX e XX) (Arrigo, D’Amore, 1992; più attuale: Arrigo, D’A-


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more, Sbaragli, 2011). Dal punto di vista didattico, la cosa è stata ampiamente studiata nel contesto internazionale (D’A-more, 1996a; Arrigo, D’Amore, 1999, 2002).Lo zero pure costituisce un ostacolo epistemologico; esso era assente presso tutti i popoli antichi, compresi Greci e Roma-ni, ed apparve solo nel VI sec. d.C. in India. Fu divulgato gra-zie alle opere del mondo arabo attorno al IX sec. d.C., ma la sua presenza in opere europee dei secoli XIII e XIV fu molto ostacolata e causa di lotte furibonde. Una piena accettazione dello zero come vero e proprio numero è tarda e si può forse far risalire al secolo XVI. Dal punto di vista didattico, è ben noto che lo studente vede lo zero come numero “speciale” e diffi cilmente lo domina. Si può vedere la ricerca esposta in D’Amore, Fandiño Pinilla (2009).I numeri interi, quelli dotati di segno e che nella scuola pri-maria e secondaria di I grado si usa chiamare “relativi”, fanno la loro comparsa solo nel VI sec. d.C. in India ed hanno una storia analoga a quella dello zero ma ancora più osteggiata e tardiva. Inutile ricordare come, dal punto di vista didattico, vi siano molte diffi coltà, da parte degli studenti, a darsi ragio-ne del funzionamento di tali numeri. Esempio classico è la stranezza del fatto che il prodotto di due negativi è positivo.Potrà apparire strano o incredibile al docente di scuola se-condaria, ma abbiamo trovato radicate ed inattese miscon-cezioni relative non tanto ai concetti di contorno e super-fi cie e delle loro rispettive misure perimetro e area, quanto piuttosto alle relazioni che intercorrono fra questi concetti e queste misure. Per esempio, è dato per assodato e scontato il fatto che, data una fi gura piana, se ne aumenta il contorno, aumenta anche la superfi cie e, di conseguenza, se aumenta il suo perimetro, aumenta anche l’area. Analogamente, nel caso tridimensionale, se due solidi hanno la stessa estensio-ne superfi ciale, allora essi hanno anche lo stesso volume. L’incredulità di fronte a questa convinzione è antica: era


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manifestata esplicitamente anche da Galileo Galilei che as-seriva di non capire com’era possibile che persone anche colte cadessero in questa credenza errata. E dovettero porsi problemi simili i Cartaginesi se crearono la leggenda della bella (e matematica) Didone di fronte al re Iarba, alle prese con fi gure isoperimetriche, ma non della stessa estensione. Il che signifi ca che alla base di tutto ciò ci sono ostacoli di tipo epistemologico che riguardano la relazione fra aerea e perimetro di una fi gura piana e volume e superfi cie totale di una fi gura solida. Se il lettore è incuriosito dalla storia qui ac-cennata e dalla ricerca assai sofi sticata che ha coinvolto non solo studenti e insegnanti, ma pure ricercatori, lo invitiamo ad approfondire su Fandiño Pinilla, D’Amore (2006).

Riassumendo, l’ostacolo ontogenetico è legato allo studente ed alla sua maturità (da tanti punti di vista); quello didattico alla scelta strategica del docente; quello epistemologico alla natura stessa dell’argomento.Quando e in occasione di quali idee matematiche è probabi-le che si abbia un ostacolo epistemologico? Quasi certamente ciò si verifi ca a proposito di quelle idee per le quali nell’ana-lisi storica di esse si riconosce una frattura, un passaggio bru-sco, una non-continuità nell’evoluzione storico-critica dell’i-dea stessa; si ha un ostacolo epistemologico a proposito di un’idea quando uno stesso errore si verifi ca come ricorrente più o meno negli stessi termini attorno a quell’idea.La ricerca degli ostacoli va allora fatta contemporaneamente, e questo legame è interessantissimo:

> a scuola, nella pratica didattica;

> nello studio della storia della matematica,

> congiungendo l’una ricerca con l’altra.


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È di estremo interesse la posizione secondo la quale, come scrive Federigo Enriques (1942), l’errore «non appartiene né alla facoltà logica né all’intuizione, [ma] s’introduce nel mo-mento delicato del loro raccordo». [Per rintracciare questo articolo nella letteratura, bisogna cercare come autore Adria-no Giovannini, lo pseudonimo che Enriques fu costretto ad usare sotto il regime fascista, per fuggire alle persecuzioni razziali e soprattutto per poter continuare a pubblicare, cosa che gli era allora proibita. Si ha allora la citazione (Giovan-nini, 1942)].L’errore, dunque, non è necessariamente solo frutto di igno-ranza, ma potrebbe invece essere il risultato di una conoscen-za precedente, una conoscenza che ha avuto successo, che ha prodotto risultati positivi, ma che non tiene alla prova di fatti più contingenti o più generali.Dunque non si tratta sempre di errore di origine sconosciuta, imprevedibili, ma della evidenziazione di ostacoli nel senso sopra citato. Queste considerazioni hanno portato la ricer-ca in didattica della matematica a rivalutare in modo molto diverso dalla prassi usuale l’errore ed il suo ruolo. Questo tipo di studi è di grande fascino ed ha già dato molti frutti interessanti.

1.15 La teoria delle situazioni didattiche

Un fi lone di ricerca iniziato con Brousseau (1986) che ha dato ampi risultati è la teoria delle situazioni, che abbiamo più volte citato. In tale teoria, si individuano le situazioni che rap-presentano un insieme di relazioni stabilite in modo esplicito o implicito tra l’insegnante, l’allievo (o un gruppo di allie-vi) ed elementi al contorno (strumenti o materiali), avendo come scopo quello di far sì che gli studenti apprendano, cioè costruiscano una certa conoscenza stabilita in precedenza.


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Le situazioni sono dunque specifi che della conoscenza che si vuol fare raggiungere.Nell’ambito di questa teoria, si individuano tre tipologie di-verse di situazioni:

> situazioni a-didattiche; > situazioni didattiche; > situazioni non didattiche.

Per parlare delle situazioni a-didattiche ci serviremo delle spie-gazioni che ha dato lo stesso Brousseau (1986): «L’allievo apprende adattandosi ad un ambiente che è fattore di con-traddizioni, di diffi coltà, di disequilibri, un po’ come la so-cietà umana. Questo sapere, frutto dell’adattamento dell’al-lievo, si manifesta con delle nuove risposte che sono la prova dell’apprendimento (...). [L’allievo sa che] il problema è sta-to scelto per fargli acquisire una nuova conoscenza ma sa an-che che questa conoscenza è giustifi cata dalla logica interna della situazione e che può costruire senza far appello a delle ragioni didattiche».In tale situazione sono in ballo gli studenti e l’oggetto della conoscenza, ma non l’insegnante. La situazione suggerisce delle esigenze alle quali gli allievi danno risposte. Non ci sono obblighi didattici, dunque quel che si fa non è legato a spinte da parte dell’insegnante che in questo caso non in-terviene ma “gioca” solo un ruolo da “regista”. Detto in altro modo, gli allievi partecipano a qualcosa che non è esplici-tamente cognitivo; solo l’insegnante è consapevole, ma non dichiara lo scopo dell’attività. Si tratta quindi di un modello teorico che si realizza quando in un ambiente organizzato per l’apprendimento di un certo argomento viene a cadere l’ossessione didattica esplicita.L’allievo fa (da solo o in gruppo) dei tentativi, verifi ca che tali tentativi falliscono o sono ineffi caci; se deve rifare più volte la prova, interagendo con gli elementi dell’ambiente,


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l’allievo modifi ca il suo sistema di conoscenze a causa degli adattamenti che assume nell’utilizzare varie strategie. Ossia, la richiesta di effettuare quell’attività matematica non è stata proposta dall’insegnante, non sarebbe necessaria dal punto di vista scolastico (non c’è interazione con il sapere da in-segnare). È invece un bisogno motivato dall’attività. Se tale attività pertinente alla matematica non riesce al primo colpo e provoca nello studente o tra gli studenti una discussione per accordarsi su modalità, allora si ha produzione di cono-scenza, che però non è richiesta dall’insegnante, non è istitu-zionalizzata. Questa situazione sembra essere la più consona alla costruzione di conoscenza. Brousseau (1986) in effetti sostiene che l’allievo costruisce la conoscenza solo se si inte-ressa personalmente della risoluzione di quanto gli è stato proposto attraverso la situazione: «La situazione a-didattica fi nale di riferimento, quella che caratterizza il sapere, può essere studiata in modo teorico, ma nella situazione didat-tica, per il maestro come per l’allievo, vi è come una sorta di ideale verso il quale si tratta di convergere: l’insegnante deve senza posa aiutare l’allievo a spogliare il più possibile la situazione di tutti i suoi artifi ci didattici, per lasciargli la conoscenza personale ed obiettiva».Nelle situazioni a-didattiche si possono, pertanto, delineare sei importanti fasi, descritte di seguito, attraverso le quali inse-gnante e allievi permettono che si snodi e prenda forma l’a-zione didattica e si giunga ad una nuova conoscenza.

1. Devoluzione: è un atto che riguarda l’insegnante nei confronti degli allievi; egli consegna l’obiettivo cognitivo agli studenti. È il processo o l’attività di responsabilizzazione attraverso i quali l’insegnante ottiene che lo studente impegni la sua personale responsabilità nella risoluzione di un problema, o in generale di un’attività cognitiva, che diventa allora problema dell’allievo, accettando le conseguenze di que-


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sto trasferimento momentaneo di responsabilità, in parti-colare per quanto concerne l’incertezza che questa assun-zione genera nella situazione.In origine Brousseau (1986) defi nisce la devoluzione come «l’atto attraverso il quale l’insegnante fa accettare all’allie-vo la responsabilità di una situazione di apprendimento (a-didattica) o di un problema ed accetta lui stesso le con-seguenze di questo transfer».La devoluzione è dunque il frutto di un’azione in base alla quale l’allievo dovrebbe funzionare in modo scientifi co, e non solo in risposta a spinte esterne alla situazione, per esempio di tipo didattico. Vi sono vari ostacoli alla realizzazione della devoluzione, ostacoli che Perrin-Glorian (1994, 1997) sintetizza come segue:

> mancanza di stabilità delle conoscenze previe, sia per quanto concerne la loro utilizzazione sia per la capacità di una eventuale loro messa in discussione;

> mancanza di affi dabilità delle tecniche operatorie, il che comporta un distoglimento dell’attenzione dall’obiettivo principale ed un alto costo per le procedure complesse;

> mancanza della capacità della lettura globale della ri-chiesta del problema che spesso è sostituito con una let-tura selettiva, locale, allo scopo di dare risposte pronte.

Anche D’Amore ha dato delle spiegazioni (diverse) al falli-mento della devoluzione, sulla base delle sue esperienze di ricerca (D’Amore, 2002c).

2. Implicazione: è la fase nella quale lo studente accetta l’“of-ferta” dell’insegnante e si implica nell’attività proposta, cioè accetta la responsabilità di occuparsi personalmente del problema/dell’attività proposto/a, senza la guida con-tinua e ossessiva dell’insegnante.


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3. Costruzione di conoscenza privata: fase in cui ciascuno studen-te crea una propria conoscenza interna singolare, la quale dovrà poi essere tradotta e riorganizzata nel momento in cui diventa modello esterno, cioè comunicata ad altri.

4. Validazione: processo di grande rilevanza che si adotta e si segue per raggiungere la convinzione che un certo risulta-to ottenuto (o un’idea costruita da singoli allievi) risponda davvero ai requisiti esplicitamente messi in campo. La va-lidazione si ha quando un allievo, dopo aver proposto una propria costruzione concettuale agli altri, o una propria risposta al problema che si sta risolvendo, accetta l’invito dell’insegnante-regista a difendere la propria costruzione privata di conoscenza, mettendosi in situazione esplicita-mente comunicativa allo scopo di spiegare ai compagni la propria idea; più o meno consapevolmente, egli rivolge così la sua attenzione alla trasformazione di un sapere per-sonale privato in un prodotto di comunicazione, validando appunto la propria costruzione. In didattica della matema-tica questa fase è di straordinaria importanza: senza di essa l’apprendimento matematico non funziona.

5. Socializzazione: il sapere personale costruito e validato da un singolo studente viene presentato, discusso, “patteg-giato” con gli altri, entra cioè a far parte del patrimonio comune, acquisito e condiviso dall’intera classe. Avviene dunque uno scambio sociale tra gli allievi, cosicché singole conoscenze private diventano conoscenza sociale condivi-sa dalla classe. Quando si è raggiunta la consapevolezza che la classe ha risolto il problema iniziale, o effettuato l’attività, o costruito nuova conoscenza, manca ancora un momento fondamentale: tutti gli allievi volgono l’atten-zione all’insegnante che, fi no a quel momento, a mo’ di regista, ha diretto la scena, ma che deve riprendere il suo ruolo per accettare o smentire il traguardo raggiunto. Si passa così alla fase successiva.


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6. Istituzionalizzazione delle conoscenze: atto esplicito che com-pie l’insegnante al fi ne di permettere ad una conoscenza costruita dagli allievi, e socialmente condivisa, di essere uffi cialmente riconosciuta. Rappresenta quindi quel pro-cesso attraverso il quale gli studenti devono cambiare sta-tuto alle loro conoscenze non ancora uffi ciali, non ancora patrimonio defi nitivo, quello utilizzabile uffi cialmente per esempio per la risoluzione di problemi o preteso dall’in-segnante come sapere posseduto in modo uffi ciale. È un momento importante nell’apprendimento e quindi deve essere un atto forte. Lo studente tende a non accettare le costruzioni cognitive proprie o della classe, mentre tende ad accettare quelle dell’insegnante. L’insegnante cessa di essere regista e torna ad assumere il ruolo istituzionale che lo studente gli riconosce; questo processo risulta essere quindi complementare alla devoluzione.

Una situazione non-didattica è una situazione pedagogica non specifi ca di un sapere: insegnante ed allievo non hanno un rapporto specifi co e tipico con il sapere in gioco, manca cioè la volontà esplicita didattica di insegnare. Per esempio, gli studenti in aula, alla presenza dell’insegnante o meno, ana-lizzano tra loro dei grafi ci. Le strategie realizzate, pur se con strumenti “matematici”, non sono specifi che per obiettivi co-gnitivi scolastici. Non è detto che lo studente non impari: è solo che l’insegnante non ha costruito un “ambiente didatti-co” fi nalizzato all’apprendimento di qualche nozione specifi -ca del sapere da insegnare. Dunque, non è previsto un ap-prendimento come scopo, come traguardo di quella attività. Se un apprendimento avviene ugualmente, è casuale.

Resta da defi nire che cosa sia allora una situazione didattica: l’insegnante struttura l’ambiente in modo opportuno, con strumenti adeguati, allo scopo di giungere alla fi ne dell’atti-


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vità ad una conoscenza specifi ca. Tutto avviene, per così dire, alla luce del sole, in un ambiente dichiarato: l’allievo sa che sta imparando, che l’insegnante sta insegnando e a sua volta l’insegnante è consapevole del proprio ruolo e di come la situazione si sta sviluppando.Nell’ambito dunque della situazione didattica vi è l’intenzione esplicita di insegnare. Si tratta di situazioni di stimolo concre-to a fare attività, a risolvere problemi, ad eseguire consegne. La situazione è tutta esplicita: l’allievo sa che in quel mo-mento si stanno delineando ed evolvendo nozioni che fan-no parte del sapere della scuola. L’insegnante dichiara fi n da subito il traguardo cognitivo che si vuole raggiungere, spesso dichiara anche quali sono le sue proprie attese, che cosa egli si aspetta che gli studenti facciano, costruiscano, che risposte devono dare alle sue domande. Lo studente viene impegnato non tanto ad apprendere la matematica che costituisce l’oggetto dell’attività, ma ad apprendere che cosa fare o dire per assecondare le attese dell’insegnante su quel determinato argomento.Siamo, ovviamente, in pieno contratto didattico: è tutto così esplicito che l’allievo, giunto al momento di dover dare rispo-ste, non si pone domande sul contenuto, ma su che cosa l’in-segnante si aspetta che egli faccia o risponda. E poi, soprat-tutto ai bassi livelli di scolarità, ogni frazione di gesto, ogni minimo passo è accompagnato dalla ricerca del consenso.Nella situazione didattica ha un ruolo defi nitivo e trionfante il contratto didattico che a volte è regola, a volte è strategia.In Sarrazy (1995, pagg. 138-139 della trad. it.) si trova un esempio di una risposta da parte dell’allievo non sul conte-nuto della domanda da parte dell’insegnante, ma su quel che ritiene che l’insegnante si aspetti da lui. Siamo in una classe primaria; la maestra (in attività di tirocinio) propone a bambini (di 6-7 anni) di mettere in ordine crescente i nume-rali 38, 24, 49, 46, 51. Dopo che la soluzione corretta è stata


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scritta alla lavagna, la maestra chiede: «Perché è stato messo 46 e 49?» (lei intende dire: «Perché ho messo “prima” 46 e “poi” 49?». È chiaro che intende stimolare l’attenzione sul fatto che, a parità di numero delle decine, il numero delle unità 6 precede 9). L’allievo A. risponde: «Perché altrimenti sarebbe troppo facile se ci fossero stati solo gli altri». A. non risponde a tono, nel tono voluto dalla maestra, ma cerca di interpretare la consegna iniziale, mettendosi nei panni della maestra: perché ha inventato quella situazione? La maestra replica: «Non è questo che ti chiedo … [E, rivolgendosi a tut-ta la classe] Allora?». Risponde B.: «Perché 46 è più piccolo di 49», al che la maestra risponde: «Bene!». Ma A. aveva già dato per scontato questa ovvia risposta ed ha fatto di tutto per interpretare la richiesta dell’insegnante; B., invece, dà la ri-sposta più banale, quella che ha capito che l’insegnante vuol sentirsi dire.Situazioni di questo tipo sono riportate spesso in letteratura e sono molto diffuse nella pratica scolastica: uno studente su-pera ed interpreta a monte la domanda diretta, la cui risposta considera troppo scontata, e dà la scalata alle intenzioni didat-tiche dell’insegnante.

Confrontando le situazioni a-didattiche con quelle didatti-che si deduce che l’atteggiamento d’aula e l’impegno richie-sti allo studente sono ben diversi: nella situazione a-didattica si chiede all’allievo di attivarsi, mentre nella situazione didattica si chiede all’allievo di riprodurre ciò che ha detto l’insegnante: i Fran-cesi li defi niscono due mestieri di allievo diversi.Quello che si riesce a mettere sotto forma di situazione a-didattica risulta vincente nell’apprendimento. In effetti, pur essendo una situazione di apprendimento più lenta, permet-te un apprendimento consapevole e profondo; è attraverso una costruzione di situazioni a-didattiche in aula che si arriva ad una vera e propria conoscenza, capace anche di transfer


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cognitivi. Non è necessario affrontare tutti gli argomenti nuo-vi attraverso la costruzione di situazioni a-didattiche, ma è bene, in fase di progettazione e programmazione, individua-re a priori i nuclei fondanti della disciplina che si vogliono far costruire agli studenti. Almeno quelli dovrebbero essere costruiti attraverso situazioni a-didattiche.Si parla invece di mezzo o ambiente (in francese: milieu) come di quel sottosistema con il quale ha a che fare direttamente l’allievo (materiali, strumenti, etc.). Questo milieu è all’inizio defi nito come l’insieme di tutto quel che sull’allievo agisce o su cui l’allievo agisce. Si può pensare all’interazione tra allie-vo e milieu, in assenza di un concreto coinvolgimento dell’in-segnante, come a ciò che defi nisce una situazione a-didattica; mentre se si prende in esame anche un sistema educativo esplicito (per esempio la fi gura dell’insegnante) allora si par-la di situazione didattica. A volte il milieu è defi nito sulla base di veri e propri oggetti concreti, a volte vi si aggiunge una intenzione per la quale questi oggetti sono stati scelti, a volte come qualche cosa di stabile, altre come di qualche cosa che si sviluppa e si modifi ca insieme all’allievo. Pur nella varia-zione dell’accezione di questo termine, dovuta al processo di sviluppo di tutta la teoria, appare ugualmente chiara la fun-zione: esso serve a defi nire, all’interno del sistema didattico, quella parte legata ad usi specifi ci a-didattici, predisposti sì dall’insegnante, e dunque con obiettivi didattici, ma senza la presenza necessaria e costante di tali obiettivi (per esempio, senza la partecipazione diretta dell’insegnante).

Torniamo a Brousseau: si può dire che l’allievo costruisce la conoscenza solo se si interessa personalmente del problema del-la risoluzione di quanto gli è stato proposto attraverso la situa-zione didattica; in tal caso si usa dire che è avvenuta la devolu-zione e ciò si verifica nelle situazioni a-didattiche.


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Questo tipo di teoria, non dimentichiamolo, ha la matematica come riferimento e dunque, quando si parla di conoscenza, è sempre sottinteso che si sta parlando di conoscenza matema-tica; ora, come sua caratteristica, la conoscenza matematica include sì concetti ma anche sistemi di rappresentazione sim-bolica, processi di sviluppo e validazione di nuove idee.Poiché la conoscenza matematica, nella sua peculiarità, in-clude non solo concetti ma anche sistemi di rappresentazio-ne simbolica, non solo processi di sviluppo ma anche vali-dazioni di nuove idee matematiche, dobbiamo contemplare vari tipi di situazioni:

> situazioni di azione: agiscono sull’ambiente e favoriscono il sorgere di teorie implicite che funzioneranno nella classe come modelli protomatematici;

> situazioni di formulazione: favoriscono l’acquisizione di mo-delli e linguaggi espliciti; se esse hanno dimensione sociale esplicita, si parla allora di situazioni di comunicazione;

> situazioni di validazione: agli allievi sono richieste prove e dunque spiegazioni sulle teorie utilizzate ed anche esplici-tazione dei mezzi che soggiacciono nei processi dimostra-tivi;

> situazioni di istituzionalizzazione: hanno lo scopo di stabilire e dare uno status uffi ciale a conoscenze apparse durante l’attività in aula. Normalmente hanno relazione con cono-scenze, simboli, etc. che si devono ritenere in vista della loro utilizzazione in un lavoro successivo.

Apprendere, però, per adattamento all’ambiente compor-ta rotture cognitive, accomodamento, modifi ca di modelli impliciti, di linguaggi e sistemi cognitivi. È anche per que-sto che si è rivelato controproducente obbligare l’allievo ad una progressione cognitiva passo dopo passo; il principio di adattamento può contrastare il processo di rifi uto di una conoscenza inadeguata che è invece necessario all’apprendi-


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mento. Idee che sappiamo essere transitorie, in attesa di loro sistemazione, resistono per così dire agli “attacchi” e dunque persistono anche quando dovrebbero essere superate. Que-ste rotture sono così necessarie da dover essere addirittura previste dallo studio delle situazioni e indirettamente dai comportamenti degli allievi (Brousseau, 1976-1983a).

Nella fase di devoluzione, però, si viene a creare un paradosso che rientra tra gli aspetti relativi al contratto didattico: «Se l’insegnante dice ciò che vuole, non può ottenerlo; (...) se [l’allievo] accetta che, secondo il contratto, l’insegnante gli insegni i risultati, non li stabilisce lui stesso e dunque non ap-prende la matematica, non se ne appropria. Se, al contrario, rifi uta ogni informazione da parte dell’insegnante, allora la relazione didattica è rotta. Apprendere, implica, per lui, che egli accetti la relazione didattica ma che la consideri come provvisoria e si sforzi di rigettarla» (Brousseau, 1986).Oppure: «Più il professore (…) svela ciò che desidera, più dice all’allievo precisamente ciò che deve fare e più rischia di perdere le possibilità di ottenere e di constatare oggetti-vamente l’apprendimento al quale, in realtà, deve mirare» (Brousseau, 1983b, pag. 315, cit. anche in Sarrazy (1995), nella trad. it. a pag. 146).Questo “paradosso” della devoluzione fa il paio con il “para-dosso” della credenza: «Credetemi, ma non credete, impara-te a sapere che cos’è sapere (…) abbiate fi ducia in me per non dover più avere fi ducia in me, ma nella vostra ragione» (Clanché, 1994, pag. 224).Scrive Sarrazy: «Questo sistema di paradossi sembra funzio-nare come una trappola nella quale cadrebbero alcuni allievi – quelli che (…) dubitano della pertinenza di far uso hic et nunc del loro proprio intendimento. Così pure, per imparare, l’allievo deve sublimare il disagio delle incertezze legate all’in-completezza del suo sapere, accettando di rischiare nella ricer-


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ca dei mezzi utili per questa padronanza. Questo rischio è al tempo stesso il fondamento e la condizione del funzionamen-to del processo di insegnamento-apprendimento» (Sarrazy, 1995; nella trad. it. a pag. 146).Questa idea dell’apprendimento come rischio personale, come impegno, come implicazione diretta dell’allievo è un po’ il cardine attorno al quale ruota tutta l’impostazione che stiamo cercando di descrivere e che si manifesta con la rottu-ra (voluta) del contratto. «La necessità di questa rottura po-trebbe essere riassunta dal seguente aforisma: Credimi, dice il maestro all’allievo, osa utilizzare il tuo proprio sapere e imparerai» (Sarrazy, 1995, nella trad. it. a pag. 147).

1.16 Il ruolo dell’epistemologia nella formazione degli insegnanti di matematica nella scuola secondaria

Vi sono due motivazioni irrinunciabili alla necessità di una pre-parazione culturale forte in epistemologia della matematica per i futuri docenti di matematica della scuola secondaria:

> fattori culturali;

> fattori didattici o professionali.

Lo sviluppo della nostra disciplina è non solo fatto di pro-gresso tecnico e formale; anzi, al contrario, questi due rap-presentano il risultato di una continua revisione di senso e signifi cato che la matematica cerca all’interno di sé stessa. Il rigore, per esempio, che è uno degli aspetti che colpisce di più il profano o lo studente, non è un fatto intrinseco o un vezzo dell’insegnante, ma necessità linguistica e fi losofi ca (D’Amore, Plazzi, 1990), un fi ltro (a volte faticoso) che il ma-tematico dà al proprio strumento linguistico per evitare frain-


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tendimenti (dunque pluralità di senso) e per dare univocità di signifi cato nella comunicazione. È per questo motivo che il rigore non è fatto assoluto, ma relativo all’epoca ed al luogo, in costante evoluzione.Lo sviluppo della matematica, d’altra parte, procede in varie direzioni, ma è innegabile che, in prima istanza e con grande portata, esso è teso alla creazione di concetti6; ora, non si può produrre un concetto senza delinearlo epistemologicamente, dunque, volente o nolente, chi rifl ette sullo sviluppo della ma-tematica deve necessariamente porsi il problema della natura dei concetti (quegli stessi che, in matematica, spesso vengono chiamati oggetti) (D’Amore, 2001a, b).Va da sé dunque che, a parte il matematico professionista che potrebbe anche produrre e che talvolta produce teoremi e/o teorie all’interno di un determinato dominio senza uscirne e studiarne il senso generale epistemologico, chiunque altro si occupi di matematica e del suo sviluppo deve necessariamen-te porsi il problema epistemologico come fatto culturale.L’insegnante di matematica non è necessariamente un crea-tore di teoremi e/o teorie, ma un professionista, esperto di matematica, al quale la società propone di far sì che giovani cittadini costruiscano ed apprendano ad usare competenze matematiche7.In primo luogo, egli deve conoscere la matematica; nono-stante su questo punto si siano sviluppate varie prese di po-sizioni, noi lo giudichiamo punto irrinunciabile di partenza (D’Amore, 1999a, b).

6 Evitiamo accuratamente di usare il termine scoperta preferendo parlare di crea-

zione; la scelta epistemologica a monte è evidente (D’Amore, 2003b), essa comun-

que non è più dibattuta acremente come in passato.7 Usiamo il termine competenza in luogo di conoscenza non a caso (D’Amore,

Godino, Arrigo, Fandiño Pinilla, 2003).


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L’insegnante ha poi due doveri principali:

> effettuare una trasposizione didattica, ovvero non può limitar-si banalmente a ripetere la matematica appresa all’Univer-sità (suo luogo di formazione culturale, per quanto concer-ne la matematica), ma piuttosto deve trasformare il sapere matematico elaborato dall’accademia in un sapere adatto agli allievi affi dati alle sue cure; egli cioè deve trasformare il Sapere in un “sapere da insegnare”. Questa trasformazione non è affatto banale, anzi, al contrario, è ampiamente crea-tiva e fa strettamente parte, condizionandola, della profes-sionalità del docente (Fandiño Pinilla, 2002);

> comunicare la matematica; noi tutti sappiamo che, in una si-tuazione d’aula, il carattere mediatore dell’insegnante è molto forte e che lo studente quasi mai ha accesso diretto al Sapere, limitando il proprio impegno alla relazione per-sonale con l’insegnante ed all’apprendimento della mate-matica che l’insegnante ha scelto (in modo più o meno consapevole, più o meno vincolato) per lui; dunque, il pas-saggio dal docente al discente della matematica insegnata avviene in situazione comunicativa piuttosto forte, sotto-messa alle complesse maglie della pragmatica della comu-nicazione umana (Watzlawick, Beavin, Jackson, 1976).

In base a questi due punti, si vede chiaramente come l’inse-gnante non possa ignorare il senso che ha lo sviluppo della matematica: non potrebbe altrimenti compiere quell’atto creativo che è la trasposizione; lo può fare se e solo se è in grado di scegliere criticamente all’interno di un corpus sul quale ha una qualche legittimità e capacità di decisione. Se egli ritiene che la matematica non offra alternative epistemo-logiche, che il corpus delle conoscenze sia immutabile, eter-no, indiscutibile, identico a quel che lui ha appreso (semmai


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prima della “parentesi universitaria”)8, allora non compierà la trasposizione e dunque fallirà come insegnante.Non potrebbe altrimenti comunicare la matematica; si può co-municare, infatti, quel che si è costruito dentro, quel che fa parte della esperienza personale, vissuta, cioè personalizzata.Se la matematica è vista come qualche cosa di impersonale, di atemporale, solo come una successione di risultati conca-tenati ottenuti da esseri umani che, mentre producono, non pensano che all’interno della teoria in cui creano, allora non si parla più di comunicazione bensì di ripetizione di risultati.Nella pragmatica della comunicazione umana è implicito un senso di proprietà critica, di capacità e disponibilità alla scel-ta personale; d’altra parte, uno dei limiti della matematica trasmessa a scuola, più volte denunciato da Brousseau (1986) è proprio questo suo carattere di impersonalità e atemporali-tà, questo voler nascondere la ricca storia degli sforzi e delle diffi coltà che gli esseri umani hanno incontrato nel costruire la matematica per come è oggi; lo studente che vede della matematica solo i risultati fi nali, lindi e cristallini, puliti da ogni fatica e discussione, ordinati, apparentemente dedotti da un’assiomatica che sembra essere calata dall’alto, è indot-to a credere che la matematica debba per sua natura essere così; se questo studente è un futuro insegnante di matemati-ca, porterà con sé, nella sua storia professionale, tale conce-zione sbagliata.Abbiamo molti Autori a nostra disposizione da citare a difesa di questa visione che dà importanza alla cultura in epistemo-logia della matematica da parte di futuri docenti.

8 Terminologia di solito attribuita a Felix Klein per indicare il periodo degli studi

universitari di un futuro docente di matematica; vi è implicito un negativo giudizio

di inutilità nella formazione, visto che, mancando una preparazione specifi ca, il

docente di matematica replicherà il modello osservato quando era studente pre-

universitario (Loria, 1933).


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In primo luogo Speranza (1997) che ha impegnato tutto sé stesso per porre questo insegnamento in modo uffi ciale ed esplicito nei programmi della Scuola di Specializzazione (post laurea) per l’insegnamento nella scuola secondaria (che dava in Italia fi no a poco tempo fa l’abilitazione all’in-segnamento nella scuola secondaria). In quello stesso testo, Speranza ci dà la possibilità di considerare anche Enriques schierato in questa ottica, con una molteplicità di citazioni che qui non sono riportate. Ulteriore conforto ci viene da Vailati, per esempio quando mostra l’importanza che ha ri-fl ettere su atteggiamenti anche rivelatisi erronei nel passa-to, nella costruzione di concetti matematici, anche in attivi-tà didattiche (Vailati, 1896). Così come da Bachelard che, anzi, è da molti considerato il propugnatore della revisione del modo di concepire l’errore nelle scienze come qualco-sa di valorizzabile intrinsecamente (Bachelard, 1951), tanto da arrivare, in questo campo, a condizionare il pensiero di Brousseau (1976-1983a, 1989), il creatore della moderna di-dattica della matematica.

Senza una forte preparazione in epistemologia della mate-matica, tutti i temi presenti in un curricolo di matematica per la scuola secondaria potrebbero essere fonte di equi-voco: l’insegnante trasmette un sapere agli allievi, dopo una trasposizione didattica che egli giudica idonea. Ma, in caso di insuccesso, di fronte alla mancata costruzione di conoscenza (e ovviamente di competenza) da parte degli studenti, non ha altra alternativa se non il pensare che gli studenti non siano idonei a questo genere di questioni, non all’altezza. O, peggio, pensa di non essere adeguato lui alla professione di docente.Proprio le competenze epistemologiche rivelano, invece, le incredibili insidie che si nascondono dietro questi temi. In Fandiño Pinilla (2002), per esempio, si studia proprio il caso


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esemplare del dibattito didattico/epistemologico tra “frazio-ni” (oggetto scolastico) e “razionali” (oggetto del Sapere).Le incredibili convinzioni che hanno anche studenti maturi (fi ne secondaria superiore, anche dopo corsi di analisi) su densità e continuità, proposti in aula come puri oggetti mate-matici da apprendere, senza alcuna attenzione epistemologi-ca cautelativa, sono evidenziate da infi niti autori in ricerche didattiche sul campo, cui abbiamo già fatto cenno.Ma non vogliamo parlare solo di oggetti della matematica, cioè di contenuti. Vi sono altri fattori che chiamiamo meta-matematici; per esempio: che cosa sono le defi nizioni, che cosa sono le dimostrazioni. Vi sono studenti di alto livello scolastico che confondono questi due termini, mostrando che le cose non sono così ovvie come l’insegnante spera.Proprio sull’interpretazione di questi due termini, per esem-pio, molto ci sarebbe da dire; senza una profonda competenza epistemologica, si corre il rischio di fraintendere grossolana-mente il senso di queste due fondamentali componenti della matematica. Quante volte abbiamo sentito studenti, anche ma-turi, confondere queste due parole tra loro, a conferma del-la mancanza di senso attribuita alla terminologia matematica. Purtroppo, in varie occasioni, abbiamo sentito insegnanti cor-reggere l’enunciato di una defi nizione dato da uno studente con frasi del tipo: «Non si dice così, devi dire così»; e pensare che, proprio a proposito delle defi nizioni, Francesco Speranza parlava di “libertà della matematica” (D’Amore, 1986). E che dire delle dimostrazioni recitate a memoria? Quanti tra noi docenti universitari hanno sentito pronunciare da uno studen-te la micidiale frase: «Questa dimostrazione non me la ricor-do»? Anche questo è segnale di un fraintendimento di base sul senso della dimostrazione (e dunque, più in generale, della matematica e della conoscenza matematica).Come si formano queste convinzioni deleterie presso gli stu-denti? Non certo per generazione spontanea: esse sono il


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frutto o di diretti insegnamenti fallaci o di interpretazioni in-dotte da comportamenti ripetuti e forse causati dal contratto didattico.Solo una forte preparazione dei docenti in epistemologia della matematica (e in didattica della matematica) può, da un lato fortifi care le convinzioni positive degli insegnanti su questi temi, dall’altro renderli didatticamente vigili.Sia nelle defi nizioni sia nelle dimostrazioni vi deve essere un ampio “grado di libertà”, favorito dal docente, e conquistato dallo studente; è questo che ci insegna l’epistemologia.A proposito di dimostrazioni, vorremmo segnalare il fatto che i fraintendimenti portano a casi aberranti, come quel-lo segnalato in D’Amore (1999b) alle pagine 358-360, rela-tivo al comportamento dimostrativo di fatto assurdo di uno studente di terza superiore che metteva sequele di frasi in successione senza legame logico tra loro, eppure sintattica-mente corrette, ricche di gerundi, di connettori causali, con un formalismo preciso ed assillante. Intervenire in questi casi è quasi impossibile, ma si possono prevenire situazioni di questo tipo; per farlo, però, occorre competenza sia in epistemologia sia in didattica della matematica, non solo in matematica.Tra le tante altre conquiste culturali forti che sono permesse e favorite dalla cultura epistemologica, si deve porre l’accen-to anche sulle seguenti tre rifl essioni, riguardanti:

> come è fatto il linguaggio della matematica;

> come si apprende la matematica;

> i legami forti che esistono tra semiotica e noetica.

Ci limiteremo a brevi considerazioni sui primi due punti, vi-sto che il terzo è già stato trattato.

Si verifi cano molti fraintendimenti sul linguaggio che usia-mo in matematica e tante convinzioni che determinano mi-


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sconcezioni (D’Amore, 1993c; 1996b; 2000f). Se la convinzio-ne (debole) dell’insegnante è che il linguaggio che si usa in matematica sia univocamente ed eternamente determinato a priori dalla comunità scientifi ca, non potrà che pretendere dall’allievo un cieco uso di esso, senza vie personali; il che porta spesso ad una sorta di tentativo di imitazione acritica da parte dello studente, una sorta di vuota e sterile malacopia del linguaggio che costituisce per la classe un miraggio inar-rivabile; in D’Amore (1993c) questa lingua d’aula viene chia-mata “matematichese”, dando varie prove della sua esistenza e dei suoi caratteri negativi.

“Come” si apprende la matematica non è solo un problema psicologico, pedagogico o didattico, come potrebbe inge-nuamente apparire; poiché il “come” è strettamente legato al “che cosa”, l’apprendimento matematico riguarda anche l’epistemologia. Per esempio, c’è chi crede che l’apprendi-mento della nostra disciplina possa ridursi a mero calcolo (a vari livelli), come se questo fosse il senso della matemati-ca; questa caratteristica fortemente strumentale intrinseca è molto più diffusa di quanto non si creda: come si può pen-sare che un giovane arrivi a costruirsi conoscenze matemati-che? In una visione epistemologica realista, questa posizione potrebbe anche trovare posto, dato che i concetti matematici costituiscono il punto d’arrivo ideale; mentre in una visione pragmatista il concetto è quella costruzione personale mano a mano raggiunta (D’Amore, Fandiño Pinilla, 2001; D’Amore, 2003a), nel passaggio da un rapporto personale al sapere, verso un rapporto istituzionale, in una prospettiva antropo-logica (Chevallard, 1992).

Abbiamo fi nora messo in evidenza perché sia necessaria una competenza in epistemologia della matematica per prepa-rare futuri docenti di matematica, facendo cenno a motivi


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culturali. Ora affronteremo in modo più dettagliato i motivi didattici (o professionali). Ma lo diremo con poche parole: abbiamo già visto che, tra gli ostacoli all’apprendimento vi sono quelli epistemologici, relativi alla natura stessa della ma-tematica. Come riconoscerli e dunque aiutare i nostri allievi, se non abbiamo una formazione storica ed epistemologica?C’è poi da prendere in esame un fatto apparentemente bana-le: lo studente non ha diretto accesso alla conoscenza mate-matica, quel che apprende o decide di apprendere lo fa con la mediazione dell’insegnante. Dunque, la fi gura dell’inse-gnante è determinante per quel che lo studente apprende. Ma quel che l’insegnante insegna, esplicitamente o no, è il risultato delle competenze che possiede, delle sue convinzio-ni, delle sue concezioni9. Siccome su questo argomento la bibliografi a è impressionante, rinviamo qui solo a D’Amore, Fandiño Pinilla (2004), nel quale la bibliografi a è fortemen-te selezionata. In questo lavoro viene descritta una ricerca tesa ad evidenziare proprio i cambiamenti di convinzioni e di concezioni su matematica, didattica della matematica e ruolo del docente di matematica, da parte di insegnanti di scuola secondaria in formazione iniziale. Rinviamo ancora al testo D’Amore, Fandiño Pinilla (2004) per i dettagli, ma risulta interessante quanto gli stessi specializzandi dichiaravano a proposito dei propri notevoli cambiamenti: sono sempre me-

9 La distinzione tra questi due termini, a prima vista sinonimi, è oggi abbastanza

condivisa in ambiente di ricerca; si usa fare una differenza più o meno esplicitabile

come segue (D’Amore, Fandiño Pinilla, 2004):

• convinzione (belief) (o credenza): opinione, insieme di giudizi/attese, quel che si

pensa a proposito di qualcosa;

• l’insieme delle convinzioni di qualcuno (A) su qualcosa (T) dà la concezione (K)

di A relativamente a T; se A appartiene ad un gruppo sociale (S) e condivide con

gli altri appartenenti ad S quell’insieme di convinzioni relativamente a T, allora

K è la concezione di S relativamente a T.

Spesso, in luogo di “concezione di A relativamente a T” si parla di “immagine che

A ha di T”.


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scolate motivazioni didattiche con motivazioni epistemologi-che, segno del fatto che gli studenti, proprio perché futuri professionisti della scuola, tendono a valutare le proprie nuo-ve competenze epistemologiche in seno all’azione didattica.Tra i cambi di convinzione che maggiormente stupiscono gli stessi insegnanti in formazione, emerge una differenza tra una precedente indisponibilità ad un uso improprio del lin-guaggio matematico ed una nuova disponibilità all’ascolto dell’allievo impegnato in una comunicazione a soggetto ma-tematico. Su questo punto, grande infl uenza hanno le prove di tirocinio effettuate concretamente nelle aule; gli specia-lizzandi cambiano radicalmente la propria convinzione sul senso da dare al contenuto matematico espresso dagli studen-ti in base principalmente a due fattori che hanno imparato a riconoscere: sebbene la comunicazione dallo studente A allo studente B sia (dal punto di vista adulto) scorretta, B ne capisce il senso; spesso l’uso del linguaggio è improprio (rispetto alle attese adulte) non per lacune matematiche ma per incomprensioni a monte.Un esempio di questo secondo punto è dato dal comporta-mento di uno studente che, alla richiesta di defi nire il paral-lelogrammo risponde: «Un parallelogrammo è un quadrila-tero con i lati a due a due». Si ha uno scollamento totale delle attese: da una parte l’insegnante avverte la mancanza di un aggettivo che “chiuda” la frase altrimenti senza senso; dall’al-tra parte lo studente ritiene che aver detto 12 parole esatte su 13 sia una buona performance. È vero che gioca molto il contratto didattico e la diversa concezione di matematica che hanno i due attori della storia, ma è anche vero che ci sono attese epistemologiche diverse per quanto concerne l’uso del linguaggio in matematica.Le osservazioni precedenti non possono non avere notevoli ripercussioni sul senso del curricolo; da pesante fardello da rispettare, il curricolo diventa strumento da plasmare e da


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sfruttare nella situazione vera d’aula, motivo conduttore del-la storia di classe. Da elenco più o meno commentato che vie-ne calato in aula e condiziona tutto, il curricolo si trasforma in arma adatta a far sì che ogni studente sia messo, anche in base alle proprie capacità, nelle migliori condizioni per co-struire competenze matematiche; da un curricolo normativo si passa proprio ad un curricolo che rifl ette punti di vista epi-stemologici (Fandiño Pinilla, 2002, pag. 36 e segg.: «Il punto di vista epistemologico nella costruzione del curricolo»).Ciò dà centralità alla fi gura dell’allievo, piuttosto che a quella della sequenza curricolare ed ai meri contenuti. E questo signifi ca interpretare alla rovescia quella che in D’Amore (1999b) è chiamata “epistemologia dell’appren-dimento della matematica”: il problema reale di chi si oc-cupa di didattica della matematica, come ricerca o come professione, è di capire i processi di apprendimento della matematica, non limitarsi a creare ideali insegnamenti.Un esempio solo per chiarire questo punto di vista.Da millenni fa parte dei compiti di uno studente di ma-tematica l’apprendere a dimostrare teoremi; il Sapere ha deciso che il paradigma da rispettare universalmente per quanto concerne tale attività siano la logica megarico-stoica e quella aristotelica, per cui molti considerano pre-liminare all’attività del dimostrare l’apprendimento della logica, come capitolo della matematica. È così che gli stu-denti imparano le tavole di verità semantiche, i connettivi, in particolare l’implicazione materiale. Fatto ciò, spesso si confonde la deduzione (metalinguistica) con l’implicazio-ne (linguistica) e si passa alla struttura dei teoremi e delle loro dimostrazioni. Se lo studente fallisce, lo si considera come inadatto o non in grado di effettuare delle dimostra-zioni. Ma se si fa attenzione alle proposte dimostrative de-gli studenti, capovolgendo il senso di tutta l’esperienza, si possono avere sorprese interessanti. Se gli studenti falliva-


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no nel compito è perché non sanno gestire lo strumento metalogico proposto? In tal caso si può pensare che esso non sia adeguato. Inizia da qui una lunga ricerca descritta in D’Amore (2004) che inizia ascoltando gli studenti che fallivano per capire quali tipi di errori commettevano. Si è così scoperto che molti di essi facevano continuamente riferimenti ad esempi impropri, enunciando la tesi come fosse una ipotesi, cercando di ancorare l’implicazione ma-teriale ad esempi concreti. Questo modo di comportarsi nel corso di una dimostrazione ha ricordato al ricercatore la logica nyaya, sviluppatasi millenni fa in India, nella quale uno schema di ragionamento tipico è concepito in modo ben diverso da quello aristotelico. Per dettagli su questo lungo studio, circostanziato e corroborato da esempi tratti dall’aula, rinviamo a D’Amore (2004).Ci limitiamo qui ad un esempio, il più tipico nyaya (esatta-mente come il sillogismo di Socrate è considerato come pro-totipo della logica aristotelica):

> l’oggetto A si muove (asserzione)

> perché gli è stata applicata una forza (ragione)

> ogni volta che si applica una forza ad un oggetto, esso si muove (proposizione generale); per esempio: se si attacca-no buoi a un carro, esso si muove (esempio)

> all’oggetto A è stata applicata una forza (applicazione)

dunque:

> l’oggetto A si muove (conclusione).

Ebbene, alcuni degli studenti intervistati e indicati come non in grado di condurre dimostrazioni in aula, di fatto, effettuava-no dimostrazioni secondo la logica nyaya e non secondo la lo-gica aristotelica o megarico-stoica. Senza adeguate informazio-ni a carattere epistemologico, il ricercatore non avrebbe avuto


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strumenti per rendersi conto di ciò. Analogamente, senza stru-menti epistemologici adeguati, l’insegnante è senza armi.È ovvia l’importanza che ha in tutto ciò una visione epistemo-logica del curricolo che fornisce una visione centrale dell’al-lievo in aula.

Fra le altre cose, emerge qui una visione complessa della va-lutazione come processo e non come fi ne, dunque come stru-mento didattico. In Fandiño Pinilla (2002, pag. 75 e segg.) si propone una valutazione con vari scopi: valutazione del cur-ricolo, autovalutazione dell’effi cacia del processo di insegna-mento, valutazione per dare informazioni su quel che conta, per prendere decisioni, per giudicare un allievo etc. Quanto poi agli scopi ed alle tecniche di ciascuna di queste accezioni, la cosa è complicata proprio perché spesso, per prendere de-cisioni, occorre far precedere scelte a carattere epistemologi-co (si veda l’evoluzione storico-sociale dell’idea di valutazione negli ultimi 100 anni, alle pagg. 94-96 del testo citato sopra; e l’elenco delle funzioni e delle caratteristiche della valutazione nei vari Autori, a seconda delle scelte epistemologiche, alle pagg. 97-98). Una innovazione nella valutazione comporta scelte di criteri ed è per questo che si chiama “valutazione criteriale”. A frenare queste specifi che spinte innovative (che, in altri Paesi, sono addirittura diventate norme di legge nella Scuola), stanno certo le convinzioni degli insegnanti e molte delle loro concezioni su scuola, senso dell’istruzione etc., in generale, e su matematica, senso dell’apprendimento mate-matico etc., in modo più specifi co.Ma abbiamo visto come le convinzioni epistemologiche, anche quando mancano o sembrano mancare (Speranza le chiama: implicite, 1997), infl uenzino decisamente tutte le altre, così che il cerchio si chiude.Tra le scelte, non sempre implicite, emergono con una certa percentuale, quegli atteggiamenti che, più o meno, rispecchia-


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no modi di interpretare la matematica e che si rifanno a scuole epistemologiche:

> formalismo

> platonismo

> logicismo

> empirismo

> intuizionismo alla Poincaré

> intuizionismo come costruzione di atti del pensiero

ed oggi, più in generale, ascrivibili a due grandi gruppi (Spe-ranza, 1997; D’Amore, 1987):

> realismo

> pragmatismo

che li riassumono (D’Amore, 2003b).

Ma l’uso delle convinzioni maturate con gli studi epistemolo-gici deve fare coppia con la competenza forte in didattica della matematica perché solo così contribuisce a formare quella fer-ramenta, quegli strumenti pratici e teorici così utili nella profes-sione docente, per capire l’evoluzione delle situazioni d’aula. A ciò giova certo l’enorme contributo di Guy Brousseau che, lungi dall’essere solo pionieristico e limitato ai primi passi del-la didattica della matematica, fornisce ancora oggi, a nostro avviso, materiale sul quale rifl ettere, in costante evoluzione ed approfondimento. Idee come il contratto didattico, la teoria degli ostacoli, la teoria delle situazioni, ma anche le spietate analisi che hanno portato alla scomparsa di precedenti modi di interpretare la didattica, sono ancora tutte da analizzare e potenzialmente vi sono ancora misteri da chiarire.


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1. 17 Uso della storia nella didattica della matematica

«La fi losofi a senza la storia è vuota, la storia senza la fi loso-fi a è cieca», asseriva a ragione Kant (per esempio: Speranza, 1997, pag. 145). Circostanziava Lakatos: «La fi losofi a della scienza senza la storia è vuota, la storia della scienza senza la fi losofi a della scienza è cieca» (Lakatos, 1971, pag. 102).Accettata la presa di posizione di tali giganti, ogni commen-to è superfl uo. Va da sé che, se più volte abbiamo detto che l’epistemologia studia l’evoluzione dei concetti, non è pensa-bile scindere gli studi di epistemologia della matematica da quelli di storia della matematica. Ciò giustifi cava la scelta di chiamare i corsi della SSIS con il nome doppio di epistemo-logia/storia della matematica.

Così, appare ovvio pensare alla storia come al riferimento pa-radigmatico per eccellenza per capire l’evoluzione delle idee e le necessità di adeguamento del pensiero. Per esempio, se nulla si sapesse delle origini aristoteliche della geometria eu-clidea, né delle geometrie non euclidee con la loro portata rivoluzionaria sul concetto di verità matematica, né della ne-cessità di un nuovo rigore che desse ai termini primitivi e agli assiomi un senso moderno, non si potrebbe capire perché David Hilbert abbia dovuto scrivere dei nuovi elementi di ge-ometria ventidue secoli dopo quelli di Euclide. La storia del-la matematica costituisce dunque il riscontro oggettivo per capire l’epistemologia.

Sebbene entrambi i punti precedenti siano di eccezionale ri-levanza, tali da dare ragione a chi impone corsi di epistemo-logia agli insegnanti in formazione, c’è un punto emergen-te con grande forza negli ultimi 30 anni, un punto al quale Francesco Speranza e Bruno D’Amore, tra gli altri, hanno dato corpo curando le edizioni di 3 libri che raccolgono


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esperienze vere di insegnanti a diversi livelli scolastici, quan-do ciò ancora non era diffuso affatto (D’Amore, Speranza, 1989, 1992, 1995); si tratta dell’uso della storia della matema-tica come strumento didattico a vario titolo nei corsi di mate-matica. Siccome questo punto è strettamente intrecciato con le questioni epistemologiche, ci pare corretto parlarne qui. D’altra parte, se si vuol usare la storia della matematica in aula, bisogna conoscere la storia della matematica; dunque ha senso il problema di porsi anche la questione della prepa-razione in storia dei docenti in formazione.

Secondo Freudenthal, imparare la matematica signifi ca “rein-ventarla” (si descrive un processo denominato “mathemati-sing”) (Freudenthal, 1973): dunque il ruolo della componen-te storica nell’insegnamento merita un approfondimento specifi co. La considerazione di un concetto matematico attra-verso la sua evoluzione storica richiede però l’assunzione di posizioni epistemologiche impegnative: la stessa selezione dei dati storici non è neutra (Radford, 1997) e problemi notevoli sono inoltre connessi alla loro interpretazione, inevitabilmen-te condotta alla luce dei nostri attuali paradigmi culturali, me-diante i quali si pongono in contatto culture “diverse ma non incommensurabili” (Radford, Boero, Vasco, 2000, pag. 165).Abbiamo già insistito molto sul fatto che l’insegnamento sia infl uenzato dalle concezioni dei docenti a proposito della na-tura della conoscenza scientifi ca e della sua evoluzione. Ap-pare dunque fondamentale che un insegnante si confronti direttamente con la storia della disciplina e che giunga a sa-per impiegare i riferimenti storici consapevolmente e coeren-temente con le proprie concezioni epistemologiche (Thom-pson, 1992; Moreno, Waldegg, 1993; Speranza, Grugnetti, 1996).In generale, la storia della matematica offre alla didattica al-cune importanti possibilità (Furinghetti, Somaglia, 1997): in-


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nanzitutto quella di un approccio aneddotico che, pur essen-do talvolta considerato superfi ciale, può rinforzare in termini apprezzabili la motivazione dei discenti (D’Amore, Speranza, 1989, 1992, 1995; Radford, 1997; D’Amore, 1999a); in secon-do luogo la possibilità di una rifl essione metacognitiva e la possibilità di una conoscenza organica di un periodo storico e della comprensione delle situazioni culturali che hanno in-fl uenzato la nascita o la diffusione di un’idea matematica.Riferendoci a quel vertice del triangolo della didattica che abbiamo chiamato Sapere (Chevallard, 1985), chiameremo “conoscenza istituzionalizzata” l’ultima versione, dal pun-to di vista cronologico, del sapere considerato, dunque la sua più recente forma accettata dalla comunità scientifi ca: da ciò segue che l’istituzionalizzazione alla quale facciamo riferimento viene ad essere fortemente contestualizzata dal punto di vista storico; e tale contestualizzazione è connessa ai diversi ambienti socio-culturali (Bagni, 2004b). A questo punto entra però in gioco la componente storica: è infatti rarissimo (o forse impossibile) che una conoscenza mate-matica nasca da un’idea assolutamente nuova, priva di con-nessioni con l’esperienza del passato: per molti versi una conoscenza incorpora in sé stessa le proprie radici storiche. Quale rapporto collega la conoscenza istituzionalizzata alla propria storia?Tale problematica ci spinge ad un’indagine più approfondi-ta della struttura storica di una conoscenza matematica che, come vedremo, potrà infl uenzare notevolmente la didattica. Seguendo D’Amore (2001a), potremmo ad esempio chieder-ci: il progressivo incremento del sapere può essere assimilato ad un processo di affi ancamento (accumulazione quantitati-va) o di sovrapposizione (qualitativa)? Ovvero: la reimposta-zione di un oggetto matematico si affi anca alle vecchie versio-ni o le rimpiazza? (D’Amore 2001a).


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L’adozione di modelli di (puro) affi ancamento o di (pura) sovrapposizione comporterebbe problemi teorici: tali modelli risentirebbero di un’impostazione decontestualizzata. La con-cezione dell’evoluzione del sapere K che preveda l’affi anca-mento di una conoscenza K(m�1) alla K(m) non tiene con-to che la K(m) aveva senso nel suo originale contesto C(m), mentre la K(m�1) risente del nuovo contesto socio-culturale C(m�1) venutosi a creare (in Bagni, 2004a è esaminato, a mo’ di esempio, il caso dei procedimenti infi nitesimali). D’altro canto, la sovrapposizione dei concetti porterebbe ad una con-tinua rifondazione ex novo, mentre la (progressiva) variazione dell’ambiente socio-culturale fa pensare a progressivi reinqua-dramenti.In un momento storico (ad esempio quello attuale) ed in un contesto socio-culturale C(n) determinati, possiamo pensare a processi in cui le versioni “storiche” della conoscenza consi-derata vengono a far parte del Sapere in relazione ai contesti socio-culturali in cui si sono sviluppate; per questo motivo, il processo va inteso come una continua evoluzione cronologica, in perenne divenire.Torniamo ora all’aspetto didattico: descritto il Sapere specifi co della conoscenza K, è necessario procedere alla sua trasposizio-ne didattica, cioè in sapere insegnato. Abbiamo già visto che importanza riveste, in questa trasformazione, l’epistemologia; ed ora ci chiediamo: che ruolo si riconosce, in questa fase, alla storia di K? In particolare, come si differenziano le modalità della trasposizione della conoscenza K(n) (istituzionalizzata al momento in cui si considera il processo di insegnamento-apprendimento) da quelle della trasposizione dei riferimenti che costituiscono la “storia di K”? Il punto cruciale è costituito dalla trasposizione della “storia di K” (Gadamer, 1975).Indichiamo due scelte possibili:


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> la trasposizione di K(1), K(2), ..., K(n�1) con riferimento al contesto C(n) (attualizzazione);

> la trasposizione di K(1), ..., K(n�1) con riferimento ai ri-spettivi contesti C(1) C(2), ..., C(n–1) (contestualizzazione storica dei riferimenti).

Ciascuna opzione si basa evidentemente su assunzioni epi-stemologiche impegnative e presenta, dal punto di vista didattico, aspetti delicati: un’evoluzione storica proposta di-datticamente dall’unico punto di vista moderno non sarebbe forse radicalmente inaccettabile (mentre un’interpretazione platonista della storia in senso assoluto lascia oggi scettici e perplessi); una tale concezione permette, ad esempio, di pre-sentare agli allievi gli ostacoli epistemologici principali e di chiarire alcune posizioni storiche la cui debolezza si è rivelata successivamente (Sfard, 1991), ma un’impostazione che pre-tenda di far seguire allo sviluppo cognitivo un percorso mo-dellato sull’evoluzione storica (Piaget, Garcia, 1983) incon-trerebbe diffi coltà teoriche e qualche dubbio fondazionale.La presentazione di elementi storici con riferimento al pro-prio contesto socio-culturale (Radford, 2003) offre la possi-bilità di un organico approfondimento e induce rifl essioni fondamentali sulla genesi di un concetto (Radford, Boero, Vasco, 2000). La scelta di una storia “interna”, di uno svilup-po isolato della matematica, appare problematica (Grugnet-ti, Rogers, 2000, pag. 40) e diffi cilmente sostenibile dal pun-to di vista epistemologico.

Questo, solo per tracciare una panoramica ridotta della com-plessità della gestione della storia ad uso didattico; sta bene tentare un approccio aneddotico per motivare, ma non è questa la vera e propria sfi da cognitiva vincente. Non ap-pena si tenta qualche cosa di più signifi cativo, ecco sorgere problemi e sfi de di grande interesse che possono e devono


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essere affrontate dal docente di matematica con profonda consapevolezza.

In ogni caso, storia ed epistemologia sono strettamente in-trecciate tra loro ed il loro sistema lo è con la didattica della matematica. Tanto che si potrebbe seguire la via aperta da Kant e caldeggiata da Lakatos, coniando un ulteriore motto:La didattica della matematica senza relazioni con la epistemologia e la storia è come uno strumento agile e potente che nessuno sa usare a pieno; l’epistemologia e la storia sono mezzi culturali forti, astratti e profondi che la didattica della matematica rende concreti ed utili al progresso dell’umanità, alla costruzione di competenze, alla consape-volezza del proprio sapere.Per iniziare uno studio della storia della matematica consi-gliamo i volumi di Giorgio Bagni (1996a, b, 1997); ci sono poi studi storici che, proprio per i motivi esposti sopra, pre-cedono la trattazione di argomenti di ricerca in didattica, come le frazioni (Fandiño Pinilla, 2005), lo zero (D’Amore, Fandiño Pinilla, 2010), l’area e il perimetro (Fandiño Pinilla, D’Amore, 2006), o di temi vari a carattere scolastico (D’Amo-re, Fandiño Pinilla, 2011) e tanti altri. A nostro avviso, ogni esposizione tematica in didattica della matematica ed ogni ricerca devono iniziare con un quadro storico ed epistemolo-gico, il che non (sempre) è affatto necessario in matematica.

1. 18 La didattica della matematica C, come epistemologia dell’insegnante

In precedenza abbiamo già fatto riferimento alla nomencla-tura di D’Amore di didattica A, B e C. Ora che abbiamo tutti gli elementi del caso, vogliamo ritornarvi brevemente sopra.Quando D’Amore (1999a) coniò il termine didattica B per l’epistemologia dell’apprendimento, fu quasi per scherzo,


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solo per sottolineare che questa visione della didattica della matematica seguiva la A, la cui denominazione ha un senso dato che, come abbiamo già detto, deriva dal termine Ars.Riassumiamo ciò che distingue queste due didattiche:la didattica A enfatizza l’insegnamento, dunque le scelte re-lative al Sapere e ogni suo interesse è incentrato sui contenuti e su una loro divulgazione; la didattica B enfatizza l’apprendi-mento, dunque i modi di costruzione di conoscenza dell’allievo e ogni suo interesse è focalizzato sui motivi dei successi e degli insuccessi dell’apprendimento.Come abbiamo già rilevato, le analisi critiche degli studi di didattica A hanno rivelato l’inutilità di puntare tutto sul Sape-re; ma già l’insieme di A e B mostra che molto si può fare per tradurre uno sforzo di insegnamento in un apprendimento avvenuto e consapevole; è quel che Brousseau chiama: “crea-re buone situazioni di apprendimento”.Come tutti i ricercatori e gli studiosi hanno modo di vedere oggi, seguendo le riviste del settore, dunque le ricerche più attuali, i convegni, i seminari, etc; balza agli occhi che siamo già passati ad una fase di ricerca in didattica della matematica che D’Amore (2006a) ha chiamato didattica C, proseguendo nello scherzo terminologico:

DIDATTICA A1960 - 1980

DIDATTICA B1980 - 2000

DIDATTICA C2000 - …

Quali sono i riferimenti teorici ai quali ci ancoriamo? Tut-ti facciamo sempre riferimento a quel sistema complesso e problematico che chiamiamo triangolo della didattica (allievo, insegnante, Sapere), già citato in precedenza e che appro-fondiremo nel capitolo successivo; ad esso ci si richiama in varie situazioni teoriche. Esso è uno schema sistemico che


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vari Autori hanno studiato e che ora riprenderemo per ana-lizzare i diversi tipi di didattica:

> la didattica A studia criticamente il Sapere e le sue forme di diffusione;

> la didattica B studia criticamente le forme di apprendi-mento dell’allievo, subordinato a questioni d’aula affron-tate in questo testo (contratto didattico, ostacoli, situazioni didattiche, etc.); resta il problema della decisiva infl uenza che ha l’insegnante in tutto ciò, problema eccessivamente sottovalutato fi no a pochissimi anni fa.

Oggi sappiamo, per esempio, che le convinzioni dell’inse-gnante (la cui evidenziazione ed analisi critica non rientrano né nella didattica A né nella B) determinano e condiziona-no l’insegnamento (A) e l’apprendimento (B), gli ostacoli (specie quelli didattici)10, la scelta delle situazioni, le miscon-cezioni, il passaggio da immagini a modelli, le clausole del contratto didattico; dunque:

> la didattica C si occupa dell’epistemologia dell’insegnante, la sua formazione, le sue convinzioni, il suo ruolo.

È anzi possibile un riferimento teorico semplice e convincen-te: la didattica A infl uisce principalmente sul Sapere; la Di-dattica B sull’allievo; la Didattica C sull’insegnante.

10 Nel nostro Nucleo, vari lavori di Arrigo e D’Amore, di D’Amore, di D’Amore

e Fandiño Pinilla, di Fandiño Pinilla e di Sbaragli hanno mostrato come, in certi

àmbiti “classici” di ricerca, quelli che la letteratura aveva già riconosciuto come

ostacoli epistemologici venivano copiosamente accompagnati da ostacoli didattici,

la cui causa, come vedremo, sta nelle scelte metodologiche dell’insegnante (www.

dm.unibo.it/rsddm).


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allievo (didattica B)insegnante (didattica C)

Sapere (didattica A)

Quali strade prenderà la futura ricerca è impossibile preve-derlo, anche se certe attuali ricerche sembrano avviarsi verso lo studio della complessità sistemica.

1. 19 La didattica della matematica è una scienza

Il titolo di questo paragrafo non è sotto forma di domanda, ma di asserzione. Però, per poterci dare il lusso di arrivare a tanto, dobbiamo prima chiederci che cosa sia una scienza. Ci serviremo di D’Amore (2007) il quale a sua volta cita Kuhn (1957), Lakatos e Musgrave (1960), Bunge (1985), D’Amore (2001b), Romberg (1983, 1988).Il termine “teoria scientifi ca” o “scienza” è generalmen-te riservato ad ogni rappresentazione (simbolica, astratta, scritta) condivisa, coerente e plausibile, di un insieme di fe-nomeni tra loro correlati da relazioni causali, descrivibili, signifi cative (causa - effetto, deduzione, induzione).Tralasciando per brevità il percorso arcaico dell’idea di scienza, nei modi attuali di considerare una teoria scien-tifi ca si trova la nozione di “paradigma” (Thomas Kuhn), con cui si intende l’insieme delle ipotesi teoriche genera-li e l’insieme delle leggi per le loro applicazioni, comune-mente accettate dagli appartenenti ad una stessa comunità scientifi ca, ed implicanti un sostanziale accordo nei giudizi professionali, di merito e di pertinenza. Nella formazione di una nuova comunità scientifi ca, c’è un momento a parti-


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re dal quale si può parlare appunto di “paradigma”; la fase che precede è caratterizzata da una disorganizzazione, priva di accordi specifi ci, e con una costante richiesta di dibatti-to sui fondamenti della disciplina stessa: si può dire che in questa fase vi sono tante teorie quanti ricercatori ed una continua richiesta ed esigenza di chiarire i punti di vista propri e altrui. I lavori scritti di ricerca sul campo sono spes-so accompagnati da spiegazioni sui caratteri generali della ricerca stessa. La tesi di Kuhn (1957) più famosa è quella se-condo la quale il progresso scientifi co procede secondo “ri-voluzioni”, dato che si ha passaggio, evoluzione, solo dopo una crisi.Un altro contributo fondamentale è quello proposto negli anni ’60 da Imre Lakatos, con l’idea di “programma di ricer-ca”, cioè una successione di teorie scientifi che collegate tra loro in uno sviluppo continuo, contenenti regole metodolo-giche di ricerca (sia in positivo, da seguire, sia in negativo, da evitare). Ogni programma deve contenere: un nucleo o centro del programma; un sistema di ipotesi ausiliarie; una euristica, cioè i procedimenti che si applicano alla risoluzio-ne dei problemi. In questa successione, una nuova teoria si può allora considerare un progresso rispetto ad una prece-dente se: fa predizioni che la precedente non era in grado di fare; alcune di tali predizioni si possono provare come vere; la nuova teoria spiega fatti che la precedente non poteva provare.Un altro notevole contributo teorico è quello dovuto a Ma-rio Bunge, negli anni ’80: la scienza è un corpo in costante accrescimento di conoscenze, caratterizzato dal fatto di trat-tare conoscenze razionali, sistematiche, esatte, verifi cabili (e dunque anche fallibili). La conoscenza scientifi ca coincide con l’insieme delle idee su un certo argomento, stabilite in modo momentaneamente provvisorio; ma poi, il concorso dei singoli e lo scambio di informazioni e di idee dà luogo ad


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una comunità scientifi ca. Quel che caratterizza la differenza tra campi di credenza (religioni, ideologie, politiche) e cam-pi di ricerca scientifi ca è il tipo di modalità secondo le quali avvengono i “cambi” nelle idee; nei primi, i cambi avvengo-no a causa di “rivelazioni”, controversie, pressioni sociali; nei secondi c’è un cambio continuo a causa degli stessi risultati della ricerca.Secondo richieste più “deboli”, una teoria scientifi ca si de-fi nisce oggi tale quando dispone di un oggetto specifi co di studio, di un suo proprio metodo di ricerca e di un suo spe-cifi co linguaggio condiviso; a questa richiesta fanno spes-so riferimento i teorici delle scienze umane, per chiamare “scienze” appunto, tali ambiti di studio. Questa richiesta “debole” ha fatto proliferare negli ultimi anni l’appellati-vo di “scienze” dato a molte discipline. Infatti, qualsiasi di-sciplina allo sviluppo della quale concorrano studiosi che si riconoscano e si accettino reciprocamente come esperti in essa, fondando una comunità di pratiche condivise, che facciano uso dello stesso linguaggio, prima o poi acquisisce proprio le caratteristiche appena descritte. Il problema del-la ripetibilità degli esperimenti, della corretta defi nizione delle variabili in gioco, del senso che acquistano termini come “rigoroso”, “vero” etc., tende a svanire o a subire pro-fonde modifi che.Quel che c’è di comune in tutte queste interpretazioni è che le teorie scientifi che non possono essere creazioni o inven-zioni di un singolo, ma deve esserci una comunità di perso-ne tra le quali vige un sostanziale accordo sia sui problemi signifi cativi della ricerca, sia sulle modalità nelle quali essa si esplica, sia sul linguaggio usato.In questa direzione, T. A. Romberg, alla fi ne degli anni ’80, per defi nire le caratteristiche peculiari di una teoria scienti-fi ca consolidata e stabile, affermava che:


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> deve esistere un insieme di ricercatori che dimostrino in-teressi in comune; in altre parole ci devono essere proble-matiche centrali che guidano il lavoro dei ricercatori e che siano condivise;

> le spiegazioni date dai ricercatori devono essere di tipo causale;

> il gruppo dei ricercatori deve aver elaborato un vocabolario ed una sintassi comune, sulla quale il gruppo è d’accordo;

> il gruppo deve aver elaborato procedimenti propri per ac-cettare o refutare gli enunciati in un modo considerato da tutti oggettivo e largamente condivisibile.

Tra le scienze così intese, ben rientrano le didattiche di-sciplinari; è sotto gli occhi di tutti l’esistenza di un folto gruppo internazionale di ricercatori nelle varie didattiche disciplinari che hanno interessi comuni, per i quali esistono problematiche considerate centrali e condivise, che danno (da un paio di decenni) spiegazioni di carattere causale, che hanno elaborato un vocabolario comune. Essi tengono convegni specifi ci e hanno loro riviste di settore, all’interno delle quali le proposte di comunicazione o di pubblicazione vengono vagliate in base a procedimenti oramai ampiamen-te condivisi. Vi sono, dunque, tutte le condizioni proposte da Romberg per poter affermare che molte didattiche disci-plinari hanno tutte le caratteristiche per poter essere consi-derate scienze consolidate e stabili.

1.20 Conclusioni

Questo capitolo è stato concepito e realizzato come una specie di vademecum minimo per chi vuol sapere l’essen-za ridotta all’osso della didattica della matematica. Se poi il lettore scorgerà in queste poche pagine qualche cosa di inte-


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ressante, non avrà certo diffi coltà ad avere delle indicazioni bibliografi che su come proseguire nello studio.Essendo una disciplina nuova, la didattica della matematica si è evoluta in diverse direzioni, impossibile qui delinearne più di una; ma il nostro lettore è un docente di scuola se-condaria, dunque piuttosto ferrato in matematica; dunque, può anche decidere di affrontare studi o almeno letture di ricerche e non solo resoconti a carattere divulgativo come il presente.


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2 Capitolo SecondoIl ruolo delle misconcezioninella didattica della matematica

2.1 Il termine misconcezione

Un termine molto usato da decenni nella ricerca in didat-tica della matematica è “misconcezione”; tale parola viene interpretata in modi diversi dai vari Autori ma assume nella maggior parte dei casi semplicemente connotati negativi, come sinonimo di “errore”, “giudizio erroneo”, “idea sba-gliata”, ma anche “equivoco” o “malinteso”; si trova intesa anche nel senso più esteso di “concezione fallace”. Per que-sta ragione le misconcezioni vengono spesso citate quando si fa riferimento alla didattica relativa agli errori.Molti Autori concordano sul fatto che i primi usi di questo termine, nel senso di “errore” o di “malinteso”, si hanno nel dominio della fi sica o dell’economia. Si fa infatti riferimento di solito a lavori di Di Sessa (1983); di Kahneman e Tversky (a partire dal 1982) riguardo ai processi decisionali; di Voss et al. (1989).Una delle prime apparizioni documentate del termine “mi-sconception” in matematica avviene in USA nel 1981, ad opera di Wagner (1981), in un lavoro che tratta dell’appren-dimento di equazioni e funzioni. Sempre nel 1981 esce un celebre testo di Kieran (1981) sull’attività di risoluzione delle equazioni. Appaiono poi numerosi lavori nel 1985 nei quali


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il termine “misconcezione” è esplicito: Schoenfeld (1985), Shaughnessy (1985) e Silver (1985) che lo usano per lo più a proposito di problem solving, insieme alle convinzioni o per spiegarne le interazioni.In Silver (1985, pp. 255-256) è detto esplicitamente che vi è un forte legame tra le misconcezioni e le convinzioni errate.In Schoenfeld (1985, p. 368) si evidenzia come gli studenti possano sviluppare in modo corretto delle concezioni scor-rette, soprattutto per quanto riguarda procedure.Come si vede bene, nella prima metà degli anni ’80 ci fu un intenso lavoro degli studiosi di didattica della matematica su questo tema.In seguito diversi Autori hanno preso in esame in maniera critica il sostantivo misconcezione, per esempio nell’ambito della Scuola Francese; in una lettera privata che ci ha gentil-mente autorizzato a rendere pubblica, Colette Laborde di-chiara:«Il termine misconcezione che ha origine negli Stati Uniti potrebbe non essere il termine più appropriato se ci si riferi-sce alla conoscenza degli studenti “non corretta”. La nozione di “correttezza” non è assoluta e si riferisce sempre ad un dato sapere; il sapere di riferimento può anche evolversi. I criteri di rigore in matematica sono cambiati considerevol-mente nel tempo. Ogni concezione ha un suo dominio di validità e funziona per quel preciso dominio. Se questo non avviene, la concezione non sopravvive. Ogni concezione è in parte corretta e in parte non corretta. Quindi sembrerebbe più conveniente parlare di concezioni rispetto ad un domi-nio di validità e cercare di stabilire a che dominio queste ap-partengono» (riportato in D’Amore, Sbaragli, 2005, p. 12).Tenuto conto delle posizioni dei diversi Autori e delle oc-correnze a volte anche piuttosto diverse di questo termi-ne, riteniamo che l’attenzione sulle misconcezioni, fi n dal loro apparire nel mondo delle scienze (non matematiche)

Capitolo 2 Il ruolo delle misconcezioni nella didattica della matematica

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sia stato molto produttivo perché ha costretto gli studiosi a non identifi care più gli errori come qualche cosa di assolu-tamente negativo, da evitare a tutti i costi, ma ad interpretarli come prodotti umani dovuti a situazioni in via di evoluzio-ne. Sempre più, negli anni, si è venuto a delineare un signi-fi cato condiviso di “misconcezioni” come cause di errori o meglio ancora cause sensate di errori, cause che sono spesso ben motivabili ed a volte addirittura convincenti. In un testo del 1998, Rosetta Zan parla proprio di misconcezioni come “causa di errori”: «Le convinzioni specifi che scorrette (“miscon-ceptions”) sulla matematica sono quelle responsabili di errori, che si presentano in forme e contesti diversi. Si tratta spesso di convinzioni implicite, di cui cioè il soggetto non è consa-pevole, e per questo agiscono in modo ancora più subdolo e sottile».È dunque innegabile il fatto che questo tipo di studi ha co-stretto a prendere in esame l’interpretazione della realtà da parte del soggetto, interpretazione creata sulla base di con-vinzioni maturate anche grazie all’apprendimento. Dunque a vedere le misconcezioni come il frutto di una conoscenza, non come una assoluta mancanza di conoscenza.Da questo punto di vista, un altro approccio possibile, non lontano dalla posizione di Laborde e da noi scelto, è quello di conservare tale termine e di analizzarlo in modo più costrut-tivo, fornendogli un’interpretazione più elaborata e meno negativa che tenga conto dell’attuale ricerca in didattica della matematica e che permetta di indagare più in profondità le cause del mancato apprendimento. Inizialmente in D’Amore (1999, p. 124) e successivamente in D’Amore, Sbaragli (2005, p. 19) si parla di misconcezione non come situazioni del tutto o certamente negative, ma anche come possibili momenti di passaggio, in corso di sistemazione, a volte necessari per la costruzione di un concetto; è da questo punto di vista che affronteremo l’argomento in questo capitolo.


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2.2 Misconcezioni “evitabili” e “inevitabili”

Le misconcezioni intese in questo modo sono state da noi di-stinte in due grandi categorie: inevitabili ed evitabili (Sbaragli, 2005, p. 56 e succ.).Le misconcezioni inevitabili non dipendono direttamente dalla tra-sposizione didattica effettuata dal docente né dall’ingegneria didat-tica, ma dalla necessità di dover dire e mostrare qualcosa per poter spiegare un concetto, che non potrà mai essere esausti-vo di ciò che si sta proponendo anche a causa delle caratteri-stiche ontogenetiche legate all’allievo.Tali misconcezioni sono quindi imputabili alla necessità di dover partire da un certo sapere iniziale che occorre necessa-riamente comunicare in modo non ineccepibile.In questo caso, le misconcezioni possono essere viste come inevitabili momenti di passaggio nella costruzione dei con-cetti che derivano dalle rappresentazioni che gli insegnan-ti sono costretti a fornire per poter iniziare la presentazione di un concetto, rappresentazioni che potrebbero contenere delle informazioni ancora non del tutto corrette del concetto matematico che si vuole trattare.In questo ambito c’è poi da dover tener conto di un fattore importante. Nel presentare, infatti, un concetto in matemati-ca, si è costretti a fare ricorso a rappresentazioni realizzate per mezzo di segni, ossia alla semiotica; in linea con il pensiero di Duval (1993), affermiamo che non c’è noetica (acquisizione concettuale di un oggetto) senza semiotica (rappresentazione realizzata per mezzo di segni) e che la semiotica viene as-sunta come necessaria per garantire il primo passo verso la noetica. Detto in altro modo: «In matematica l’acquisizione concettuale di un oggetto passa necessariamente attraverso l’acquisizione di una o più rappresentazioni semiotiche» (D’Amore, 2003).


117

Eppure, qualsiasi rappresentazione (un disegno, una frase, un grafi co, un modello tridimensionale, …) non avrà mai le caratteristiche concettuali di astrattezza, idealità, perfezione, generalità tipiche della matematica e questo potrebbe esse-re la fonte di alcune di quelle misconcezioni che abbiamo chiamato inevitabili: «I modelli restano distinti dalla nozione stessa, non solo a causa dell’astrazione propria della nozio-ne (passaggio dall’oggetto alla classe di oggetti) ma anche a causa dell’idealizzazione (passaggio dall’oggetto reale alla sua immagine ideale, mediante il passaggio intermedio del modello)» (Maier, 1995).Tuttavia, dovendo fare i conti con la semiotica di un concet-to, potrebbe accadere che lo studente confonda la semiotica con la noetica, associando le caratteristiche peculiari della specifi ca rappresentazione al concetto stesso: «(…) Come dei soggetti in fase di apprendimento potrebbero non con-fondere gli oggetti matematici con le loro rappresentazioni semiotiche se essi non possono che avere relazione con le sole rappresentazioni semiotiche? L’impossibilità di un ac-cesso diretto agli oggetti matematici, al di fuori di ogni rap-presentazione semiotica, rende la confusione quasi inevitabi-le» (Duval, 1993).Una delle cause del sorgere di certe misconcezioni è certo legata alla necessità della semiotica, ma spesso si tratta di mi-sconcezioni inevitabili.

Le misconcezioni evitabili dipendono invece proprio dalle scelte che l’insegnante fa per effettuare la trasposizione didattica e scelte concernenti l’ingegneria didattica. Queste misconcezioni sono state assai studiate e sembrano dipendere dalla prassi scola-stica “minata” da improprie consuetudini proposte dagli in-segnanti ai propri allievi.Capita spesso che, a complicare l’apprendimento dei concet-ti matematici, incidano le decisioni prese dall’insegnante, a


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volte derivanti dalle proposte della noosfera (libri di testo, pro-grammi, riviste, …), di fornire all’allievo giorno dopo giorno, sempre e solo univoche rappresentazioni convenzionali che vengono così accettate ciecamente dall’allievo come univoche e anzi obbligate a causa del contratto didattico instaurato in clas-se e del fenomeno di scolarizzazione (D’Amore, 1999).Le continue e univoche sollecitazioni fornite dall’insegnante fanno sì che lo studente confonda la rappresentazione pro-posta con il concetto matematico che si vuole far apprendere: «Lo studente non sa che sta apprendendo segni che stanno per concetti e che dovrebbe invece apprendere concetti; se l’insegnante non ha mai rifl ettuto su questo punto, crederà che lo studente stia apprendendo concetti, mentre questi sta in realtà “apprendendo” solo a far uso di segni» (D’Amore, 2003).Ne consegue che occorre didatticamente fare molta atten-zione alla scelta, ai contesti ed alle modalità d’uso dei segni che rappresentano il concetto matematico che si vuole far apprendere ai propri allievi; un’attenzione che è spesso sot-tovalutata o data per scontata. Come vedremo negli esempi riportati nel paragrafo seguen-te, la ripetitività delle rappresentazioni fornite non rappre-senta l’unica causa delle misconcezioni evitabili; queste pos-sono dipendere dalle rappresentazioni scelte dall’insegnante stesso.

2.3 Alcuni esempi di misconcezioni evitabili e inevitabili

Per rendere più esplicita la distinzione tra misconcezioni ine-vitabili ed evitabili, riportiamo di seguito alcuni esempi di entrambe le categorie, prestando particolare attenzione alle evitabili, sulle quali è possibile intervenire preventivamente.


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2.3.1 Esempi di misconcezioni inevitabili

Tra gli esempi di misconcezioni inevitabili si possono indivi-duare quelli legati alle conseguenze dell’ampliamento di un insieme numerico.In D’Amore e Sbaragli (2005) viene messo in evidenza come la formazione prematura di un modello concettuale di mol-tiplicazione, quando si ha a disposizione solo l’insieme N dei numeri naturali, genera spesso misconcezioni quando si passa ad un altro insieme numerico, tra le quali la più conosciuta e diffi cile da superare è “la moltiplicazione accre-sce sempre”. Alla domanda posta a studenti di scuola media: “Quanto fa 4 � 0,5”, diversi rispondono intuitivamente 8. Il tentativo di continuare ad applicare l’idea di accrescimento che si è creata in N quando la moltiplicazione viene eseguita sull’insieme Q dei numeri razionali, per esempio fra frazioni o fra numeri decimali, si rivela fallimentare. Da questo punto di vista, già in una ricerca molto datata di Hart (1981), alla richiesta di scegliere tra le seguenti coppie di operazioni quella che dà il risultato maggiore:

(a) 8 � 4 oppure 8 : 4 (b) 8 � 0,4 oppure 8 : 0,4 (c) 0,8 � 0,4 oppure 0,8 : 0,4

si sono avuti i seguenti risultati che evidenziano come meno del 20% degli allievi di 15 anni ha dato la risposta corretta.

Esercizio Età

(a) (b) (c) 12 13 14 15

Tipi di operazione scelta: : : 13 8 15 18

� � � 50 58 47 30


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Riportiamo la giustifi cazione fornita da un ragazzo di 15 anni che inizialmente aveva segnato tutte le moltiplicazione e poi ha corretto: «Perché con le moltiplicazioni sembra di ottene-re sempre di più di quando si divide».

Analogo a questo esempio è il seguente riportato da Stavy e Tirosh (2000) che ha origini nella scuola primaria e si riper-cuote nei livelli scolastici successivi: «In matematica, alcune proprietà spesso funzionano per sistemi fi no a un certo nu-mero, ma crollano quando la realtà dei numeri si fa più este-sa. Ad esempio, quando confrontiamo due numeri naturali mediante la linea dei numeri, si potrebbe affermare che il numero più lontano dallo zero sia il numero più grande. Quando viene applicata ai numeri relativi, tuttavia, questa regola può spingerci, non correttamente, a stabilire, ad esempio, che �5 è più grande di �2 perché “esso è più lontano dallo zero”. La regola “il più lontano / il più grande” è valida per tutti i numeri naturali, ma non per quelli relativi».Tale misconcezione può essere interpretata come inevitabile a meno che l’insegnante, invece di cercare di superarla e di non radicarla nella mente dello studente, la espliciti e con-fermi nel momento in cui tratta i numeri interi.Si può notare che gli studenti arrivano alla stessa conclusio-ne sbagliata anche quando non tengono conto del ruolo del segno meno, riferendosi unicamente al valore assoluto del numero.Le due Autrici appena citate, proseguono riportando i se-guenti esempi:«In generale, quando due numeri naturali, n e n � a (anche a è un numero naturale), vengono confrontati, gli studenti, sin da piccoli, sanno che n � a � n. Molti studi sull’educazio-ne matematica riportano che quando si chiede di confron-tare una coppia di espressioni numeriche o algebriche (…), spesso gli studenti applicano in modo non corretto la loro


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conoscenza dei numeri naturali (…) (Bell, 1982; Fischbein, 1987; Hart, 1981). Quando chiedemmo di confrontare due espressioni ad esempio, 4x e 2x (…), gli studenti dedusse-ro che (…) 4x � 2x. Allo stesso modo, quando (gli allievi) confrontano due espressioni comprendenti n e n � a, essi affermarono che: “�(n � a) � �n, x(n � a) � xn, (n � a)x

� nx, x(n�a) � xn, e così via”. (…) Gli studenti deducono che, poiché n�a è maggiore di n, il senso dell’ineguaglianza tra le intere espressioni (…) sarà conservato».

Interessanti da questo punto di vista risultano anche i se-guenti esercizi di confronto di espressioni algebriche che fu-rono proposti da Rapaport (1998) a studenti dalla prima alla quarta superiore:Segna �, �, oppure “impossibile da determinare”

4x 2x3(a � b) 2 (a � b)

3x/2 5x/2

Questo lavoro rivelò che un’ampia maggioranza di allievi in ciascuna classe fornì risposte sbagliate del tipo: «4 � 2, perciò 4x � 2x; 3 � 2, perciò 3(a � b) � 2(a � b); 5 � 3, perciò 5x/2 � 3x/2».

Situazioni analoghe possono essere pensate per le potenze. Ad esempio, Kopelevich (1997) chiese ad allievi di seconda media, prima, seconda e terza superiore di confrontare le seguenti espressioni:

1. Rami sostiene che se t è maggiore di m (t � m), allora at � am. Ha ragione Rami? Sì/No.

2. Dana sostiene che se a è maggiore di b (a � b), allora at � bt. Dana ha ragione? Sì/No.


122

Anche in questo caso, almeno il 50% degli allievi di ognuna di queste classi eseguì in maniera sbagliata ciascuno di que-sti problemi, affermando che se t � m, allora at � am e che se a � b, allora at � bt. Eppure quando venne chiesto agli stessi studenti di mettere il simbolo giusto (�, �, oppure “impossibile da determinare”) tra le espressioni a3 e a4, oltre il 65% di allievi di ciascuna di queste classi affermò che a4

� a3.Sempre a proposito di potenze, più recentemente, le prove Invalsi del 2010 somministrate in I media hanno messo in evi-denza come gli allievi tendano a trasferire regole già apprese in altri ambiti (addizione di numeri naturali, somma degli esponenti delle potenze quando si moltiplicano potenze con la stessa base), senza cogliere il cambio di contesto:A quale valore corrisponde il risultato della seguente operazione?

23 � 26

A. 512 (6%)B. 29 (41%)C. 72 (41%)D. 218 (11%)

Si nota un’ampia percentuale di risposte scorrette alcune de-rivanti dalla somma degli esponenti delle potenze.

Risultano inoltre numerose le misconcezioni legate al con-cetto di numero razionale (Fandiño Pinilla, 2005). L’idea di “successivo” di un numero che l’allievo ha appreso e usato con successo nell’insieme N dei numeri naturali e che esten-de intuitivamente a tutti gli altri domini numerici comporta che per diversi allievi il “successivo” di 0,2 sia 0,3, così come nella forma frazionaria il successivo di 2/5 è per alcuni stu-denti 3/5, perché il 3 è il successivo di 2 in N.Emergono di conseguenza diffi coltà nell’ordinare i numeri razionali. Per esempio, la frazione 2/3 è considerata minore


123

di 4/9 perché 2 4. Questa “giustifi cazione” ha un’analogia sviante nell’ordine tra numeri decimali: 2,3 4,9 perché 2 4.La letteratura specifi ca dimostra che anche adulti con un buon livello di scolarizzazione tendono a non saper ordinare le frazioni sulla retta numerica perché si basano essenzial-mente sul confronto dei numeratori delle frazioni o sul con-cetto che più grande è il denominatore, più piccola sarà la frazione.Inoltre, se si tratta di mettere in ordine 1,2 e 1,15, è noto che la competenza acquisita sui naturali può dare problemi inter-pretativi; la letteratura segnala casi in cui lo studente afferma: «A parità di parte intera, siccome 15 � 2, allora 1,15 � 1,2».Non sempre si rivela naturale scrivere 1,3 nella forma 1,30; ad impedire la naturalezza di questo passaggio sta anche una regola acquisita precedentemente, in base alla quale aggiun-gendo uno 0 “in fondo” ad un numero lo si moltiplica per 10; anche in questo caso, una regola valida in N viene erronea-mente ed impropriamente estesa ai numeri razionali.Fin dagli anni ’60, la letteratura segnala inoltre studenti che non sanno gestire l’equivalenza tra frazioni.Come riporta Fandiño Pinilla (2005), sono state sottoposte a studenti di età variabile le seguenti uguaglianze, nelle quali do-vevano riempire i posti mancanti e si è rilevato come (a1) e (b1) siano più facili da gestire che non le altre e che ancora a 15 anni, meno del 30% degli studenti sa risolvere con sicurezza (b2):

a1( ) 13=

2∇

, a2( ) 412

=1◊

;

b1( ) 27=Δ

14, b2( ) 2

7=Δ

14=

10�

.

Le ricerche hanno anche messo in evidenza come lo studente faccia fatica a capire il senso dell’equivalenza nei casi discreti;


124

se abbiamo 3 palline bianche e 6 nere, possiamo dire che le bianche sono 1/3 del totale delle palline; ma se abbiamo 6 bianche e 12 nere, lo studente potrebbe faticare a capire che, all’aumento evidente del numero di palline, non corrispon-da anche un aumento di quel “1/3”.Questa stessa misconcezione si presenta quando si deve valu-tare la probabilità di un evento. In particolare, come sostiene Fischbein (1975) nei problemi in cui intervengono numeri, le valutazioni di probabilità sono infl uenzate dalla grandezza dei numeri considerati. Per esempio, di fronte alla seguente situazione:

Nell’urna A vi sono 3 palline bianche e 5 nere.Nell’urna B vi sono 6 palline bianche e 10 nere.Dovrai pescare una pallina da un’urna a tua scelta: se sarà bianca, avrai un premio. Da quale urna preferiresti pescare?

La maggior parte degli allievi risponde senza esitazione «dal-la B».Risulta inoltre interessante sottoporre gli allievi alla seguen-te situazione: Ho la frazione x/y e divido tanto x quanto y per 2. Ottengo una nuova frazione. Questa è la metà di x/y, uguale a x/y o il doppio di x/y?Le risposte più diffuse sono “la metà” e “il doppio” a qualsiasi età, mentre la risposta “uguale” è assai scarsa, specie tra gli allievi più giovani.Non distante da questo esempio è il seguente. Nel Test Pro-meteo del 1994 somministrato in I Liceo, alla domanda posta agli allievi “Quanto è il doppio di ¾?” si sono avuti i seguenti risultati:

3/8 (5%)6/8 (69%)5/4 (2%)3/2 (24%)


125

Gli esempi potrebbero continuare ancora a lungo, ma termi-niamo qui questa trattazione per non appesantire troppo il testo.

2.3.2 Esempi di misconcezioni evitabili

Misconcezioni evitabili dipendenti da rappresentazioni semiotiche univoche e vincolanti.Tra le misconcezioni evitabili vi sono quelle che dipendono dalla scelta univoca delle rappresentazioni semiotiche forni-te dagli insegnanti, a volte in contrasto con la defi nizione scelta. Emblematico da questo punto di vista risulta l’esem-pio dell’angolo.Come riferiscono Tirosh e Stavy (2000), sono diverse le ri-cerche che si sono occupate delle misconcezioni relative agli angoli. Ad esempio, se si mostra il seguente disegno ad allievi dalla scuola dell’infanzia alla scuola superiore e si chiede di stabilire se i due angoli sono uguali o ce n’è uno più “grande” dell’altro, molti allievi rispondono: «L’angolo è più grande dell’angolo � perché il suo arco è più lungo».

�

La stessa situazione si presenta, ma con una percentuale infe-riore di risposte sbagliate, proponendo le seguenti domande inerenti le due fi gure sotto rappresentate:gli angoli � e sono uguali? Se non lo sono, qual è il più “grande”? Perché?


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�

Si nota quanto la rappresentazione semiotica possa essere fuorviante per stabilire relazioni fra le ampiezze degli angoli.Più recentemente, i risultati di ricerca ottenuti da Sbaragli e Santi (2011) mostrano come le decisioni prese dall’insegnan-te per presentare l’argomento angolo, si basano su proposte univoche e vincolanti derivanti dalla noosfera, più che da scelte personali consapevoli, e vertono sul fornire all’allievo sempre e solo univoche rappresentazioni convenzionali sen-za analizzarne i tratti distintivi con gli allievi.Altra importante causa di diffi coltà sulla quale si è concentra-ta in modo specifi co la ricerca di questi due Autori sono le incoerenze nell’intenzionalità degli insegnanti derivanti da un uso limitato e inconsapevole dei mezzi semiotici di og-gettivazione (ad esempio l’archetto dell’angolo che limita la parte di piano) rispetto all’aspetto concettuale e culturale del sapere al quale si vuole solitamente far giungere i propri allievi (defi nizione di angolo come parte di piano limitata da due semirette con l’origine in comune). La complessità dell’apprendimento del concetto di angolo da parte degli al-lievi, messa in evidenza dalla numerosa letteratura di ricerca, è quindi amplifi cata dalle scelte dell’insegnante riguardanti la trasposizione didattica del sapere e l’ingegneria didattica adottata.L’intenzionalità attribuisce all’individuo, in questo caso al-l’insegnante, un ruolo fondamentale nella possibilità di asse-gnare senso agli oggetti matematici, ma tale intenzionalità deve essere gestita con consapevolezza per poter essere effi -cace didatticamente. L’incoerenza tra l’intenzionalità esplici-


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tata dall’insegnante tramite il mezzo di oggettivazione verba-le e il mezzo di oggettivazione grafi co, scelti per esprimere tale concetto, può essere la fonte di misconcezioni evitabili nella mente dell’allievo. La scelta dei segni non è neutra o indipendente; come sostiene Radford (2005, p. 204): «I mez-zi semiotici di oggettivazione offrono possibilità diverse per svolgere un compito per designare oggetti ed esprimere in-tenzioni (…). Occorre quindi saper individuare i mezzi se-miotici di oggettivazione per ottenere oggetti di coscienza», tale individuazione va gestita con forte senso critico da parte dell’insegnante.Risulta quindi indispensabile per il superamento di misconce-zioni inevitabili e l’assenza di misconcezioni evitabili, fornire una grande varietà di mezzi semiotici di oggettivazione opportu-namente organizzati e integrati in un sistema sociale di signi-fi cazioni rappresentato dalle pratiche matematiche condivise dagli allievi gestite con consapevolezza e coerenza da parte dell’insegnante.

Misconcezioni dipendenti da termini linguistici che vincolano le po-sizioni delle fi gureSembra ormai una prassi scolastica legare l’apprendimento geometrico a termini spaziali che derivano dalla posizione dalla quale si osserva un oggetto matematico. Termini come: orizzontale, verticale, obliquo, laterale, sono presenti in tutti i libri scolastici di qualsiasi livello e appaiono come parole specifi che dell’ambito matematico, pur rientrando in realtà in altri contesti. Eppure tali termini che generano posizioni spaziali vincolanti delle fi gure sono la fonte di misconcezioni evitabili.È pur vero che, come sostengono Tirosh e Stavy (2000): «è stato affermato che le linee verticali e orizzontali costituisco-no le direzioni fondamentali su cui gli oggetti possono essere orientati in relazione alla gravità. Evidentemente, la perce-


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zione delle linee verticali e orizzontali è programmata nel sistema visivo dei mammiferi»11, ma l’uso di questi termini in campo geometrico mette in evidenza la scelta della noosfera di dare più peso alla posizione dell’oggetto del quale si sta parlando, piuttosto che all’essenza dell’oggetto stesso. Invece di rilevare le caratteristiche “assolute” dell’oggetto matema-tico, come il parallelismo, la perpendicolarità, la congruenza dei lati o degli angoli, si mettono in evidenza le proprietà “re-lative” dell’oggetto, che dipendono dal punto di vista, facen-do così puntare l’attenzione degli studenti su caratteristiche concrete, dirette e percepibili, importanti in un contesto di vita reale, ma di ostacolo in un mondo geometrico dove non esistono “direzioni privilegiate”.

I lati obliqui. Una convenzione accettata da anni da quasi tut-to il mondo della scuola italiana, e per questo presente in tutti i libri di testo, è quella di chiamare il lato del trapezio, indicato nel disegno di seguito con il nome di “lato obliquo”.

Questa scelta risulta costruttiva per l’apprendimento degli allievi o fonte di misconcezioni?A nostro parere tale scelta crea nella mente degli allievi mi-sconcezioni evitabili, dato che essa vincola la posizione da far assumere all’oggetto. Nella seguente fi gura, che rappresenta un trapezio congruente a quello della fi gura precedente ma disposto in modo diverso rispetto ai margini del foglio, tutti i

11 Le due Autrici rimandano a: Lindsay P., Norman D., L’uomo elaboratore di informa-zioni, Firenze: Giunti, 1968.


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lati risultano obliqui rispetto al lettore, proprio tranne quello che per convenzione è chiamato obliquo.

A questo punto lo studente potrebbe non riconoscere più il trapezio o per farlo potrebbe doverlo riportare nella posizio-ne da lui considerata standard: con il lato che è stato etichet-tato come obliquo disposto in modo che lo sia effettivamente rispetto al proprio punto di vista.Tali misconcezioni sono evitabili in quanto dipendono dal-la scelta linguistica dei termini che danno maggiore risalto alla posizione assunta dall’oggetto del quale si sta parlando, piuttosto che all’essenza dell’oggetto stesso, valorizzando così saperi esterni al contesto della matematica che blocca-no l’apprendimento concettuale corretto.Esempi così vincolanti dal punto di vista percettivo, sono presenti nei libri di ogni livello scolastico. In un famoso te-sto delle superiori del 2002 edito da una nota casa editrice di Bologna, vi è scritto: «Il trapezio isoscele è un trapezio che ha i lati obliqui congruenti». Escludendo così la se-guente immagine dai trapezi isosceli.


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La parola base nello spazio. Molti insegnanti introducono la pa-rola “base” nello spazio, affermando che è la faccia sulla qua-le “appoggia” il solido. Allo stesso tempo, ai solidi vengono dati particolari nomi, del tipo: “piramide a base quadrata”, “prismi a basi triangolari”, etc.Queste scelte didattiche congiunte possono provocare mi-sconcezioni evitabili, dato che vincolano la posizione che deve assumere il solido nello spazio. Eppure, ciò che si do-vrebbe auspicare in ambito geometrico è che lo studente riesca ad osservare le proprietà matematiche dell’oggetto, invarianti rispetto alla posizione assunta: «La geometria non consiste nel descrivere ciò che si vede ma nello stabilire ciò che “deve” essere visto» (Brousseau, 2005).Ne consegue che, nella logica di ciò che gli insegnanti in-tendono per “base” nello spazio e dei termini che vengono comunemente utilizzati per parlare dei poliedri, è possibile giustifi care il seguente episodio avvenuto durante una speri-mentazione nella scuola media.In una III media, dopo aver disposto un modello di piramide quadrangolare con una faccia triangolare appoggiata sulla cattedra, si è chiesto di quale solido si trattasse.

Una studentessa ha risposto immediatamente: «Non so che cosa sia, ma se lo rigiri diventa una piramide a base quadrata» (intendendo: con la faccia quadrata appoggiata sulla cattedra).In questo caso la proposta della studentessa risulta coerente con ciò che le è stato insegnato: la base è la faccia sulla qua-le “appoggia” il poliedro, quel solido si chiama “piramide a


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base quadrata” solo se “appoggia” sulla faccia quadrata. Ep-pure in matematica non vi sono piani di “appoggio”, ogni fac-cia può essere considerata come “base”, indipendentemente da come è disposta nello spazio. La “base” può essere una qualsiasi faccia sulla quale si presta l’attenzione, così come, nel piano, la “base” di un poligono può essere un qualsiasi lato, comunque disposto rispetto ai margini del foglio o al punto di vista del lettore. E così, come conseguenza dell’aver richiesto che la base di una fi gura geometrica sia disposta orizzontalmente rispetto al lettore, l’altezza diventa esclusivamente posizionata in modo verticale, creando così anche una misconcezione relativa all’altezza. Quest’ultima misconcezione, specifi ca del conte-sto matematico, deriva dal mondo reale, dato che in questo ambito si parla di solito di altezza come quella distanza che viene individuata tramite la direzione del fi lo a piombo: ver-ticale dal punto di vista dal quale tradizionalmente si osserva il mondo. Come sostiene Hultin (1974): «Quando si tratta di passare da un semplice riconoscimento percettivo all’analisi delle proprietà di una fi gura, la tentazione, per l’insegnante, di proporre l’esplorazione sistematica e successiva di ogni fi -gura geometrica, è grande. Questo modo di considerare le cose presenta l’inconveniente di rendere più diffi cile l’acqui-sizione di proprietà nel loro signifi cato più generale».Al contrario di quanto siamo portati a credere, la presenza dell’oggetto assunto come modello per aiutare la compren-sione del concetto può esasperare il riferimento a caratteri-stiche legate alla percezione che causano deformazione nella costruzione concettuale.Sembra di poter affermare che termini “relativi” legati alla posizione assunta dall’oggetto rispetto all’osservatore, costi-tuiscono la fonte di misconcezioni evitabili che vincolano l’apprendimento geometrico.


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I risultati delle prove Invalsi proposte nella scuola media evi-denziano le difficoltà che derivano dall’uso vincolante dei ter-mini e dal rappresentare le figure sempre in posizione stan-dard. Alla seguente domanda somministrata nel 2010 risponde correttamente solo il 68% degli allievi di prima media, nono-stante il triangolo corretto fosse quello in posizione canonica.

D.16 Indica quale dei seguenti triangoli corrisponde a questa descrizione

ABC è un triangolo rettangolo con l'angolo retto in A.Il cateto AB è minore del cateto AC

M è il punto medio dell'ipotenusa

A

A

•

•B

B

C

C

M

M

Triangolo 1 Triangolo 2

A A

••

B

BC

C

MM

Triangolo 3 Triangolo 4

La stessa percentuale di risposte scorrette rimane anche quando nelle prove Invalsi di terza media si chiede di disegnare un trian-golo rettangolo, “imponendo” una posizione non standard.


133

D.12 Qui sotto vedi una retta r sulla quale sono segnati due punti A e B. Disegna un triangolo rettangolo ABC in modo tale che il segmento AB sia un cateto. Indica con una crocetta l'angolo retto del triangolo.

r

A•

•B

Ovviamente, riteniamo che la geometria debba essere conside-rata come uno strumento utile per la lettura del mondo che ci circonda, una modellizzazione dello spazio materiale nel qua-le siamo immersi, ma sosteniamo che un obiettivo che si deve raggiungere in ambito geometrico è che lo studente riesca ad osservare un oggetto matematico nella sua “essenza”, analizzan-do con elasticità le sue peculiari caratteristiche. Questo è pos-sibile solo se non si assoggetta l’apprendimento a rigidi vincoli spaziali; in effetti, se ci si abitua ad osservare ed analizzare gli oggetti, indipendentemente dalla posizione che essi assumono, si è poi più abili a riconoscere e analizzare la situazione anche al cambiare della proposta. In defi nitiva, si diventa più capaci di modellizzare la realtà e di dominare le situazioni spaziali in tutta la loro complessità.

2.3.3 Misconcezioni derivanti da “incoerenze”nei libri di testo

Riportiamo di seguito un esempio di misconcezioni evitabili che può essere interpretato come conseguenza dell’incoe-renza dell’ingegneria didattica.


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In molti libri di testo viene presentata la defi nizione di qua-drato a partire dal rombo e viene mostrato come la richiesta che evidenzia la “differenza specifi ca” tra il “genere prossimo” rombi ed il “sottogenere” quadrati riguarda solo l’ampiezza degli angoli (che devono essere tutti congruenti), quindi si so-stiene che il quadrato è un particolare tipo di rombo. Nello stesso testo in seguito si parla delle diagonali del rombo e si afferma: «Sono una più lunga dell’altra. Quella più lunga è detta diagonale maggiore che si indica con D, quella più cor-ta diagonale minore che si indica con d». L’incoerenza sorge fornendo le due contrastanti informazioni: il quadrato è un caso particolare di rombo − in un rombo le diagonali hanno sempre lunghezze diverse.Sempre a proposito del rombo, spesso non si tiene conto delle conseguenze che si hanno concependo il rombo come caso particolare di parallelogramma: «un parallelogramma con i lati della stessa lunghezza»; questo comporta che, per trovare l’area del rombo, è possibile applicare la formula dell’area del parallelogramma: lunghezza di un lato per la relativa altezza, piuttosto che coinvolgerne obbligatoriamen-te le lunghezze delle diagonali.

Le misconcezioni che spesso manifestano gli allievi possono quindi derivare dalle scelte didattiche effettuate dall’inse-gnante che, come abbiamo messo in evidenza in questo capi-tolo, a volte risultano incoerenti o improprie; per questa ra-gione è importante che ogni insegnante ripensi criticamente alla trasposizione didattica da effettuare e all’ingegneria di-dattica che intende proporre in classe.

2.4 L’“errore”: un termine da reinterpretare

Come abbiamo rilevato nei paragrafi precedenti, l’esplicita-zione da parte dell’allievo di una misconcezione avviene con


135

quella segnalazione di un malessere cognitivo che si chiama usual-mente e banalmente “errore”: lo studente sbaglia, cioè non dà la risposta attesa dall’insegnante. Per una trattazione più approfondita del ruolo dell’errore si veda D’Amore (1999).Dare agli errori solo connotazioni negative e non interpretarli come segnali di malessere cognitivo, appunto, è troppo sempli-cistico e banale: non si tratta solo di valutare negativamente lo studente che sbaglia; si tratta, invece, di dare gli strumenti ne-cessari per l’elaborazione critica.Ci serviamo di Fischbein (1985): «Eventuali confl itti tra il livello intuitivo, il livello algoritmico e il livello formale non possono essere eliminati ignorando semplicemente il livello intuitivo. A nostro parere, così come avviene nei processi psicoanalitici, lo studente deve essere aiutato a prendere coscienza di tali con-fl itti. Ciò può essere fatto discutendo con gli studenti gli errori dovuti specifi catamente all’intuizione e cercando insieme a loro l’origine di questi errori. In ogni caso, questo processo di chiarifi cazione verbale non è suffi ciente. Gli studenti devono sviluppare la capacità di analizzare le loro risposte, di rendere esplicite il più possibile le loro supposizioni implicite, di usare le strategie formali per verifi care tali supposizioni intuitive».Sta al docente, rendersi conto che quelle che lo studente crede essere concezioni corrette, sono in realtà delle misconcezioni.Come riportato in D’Amore, Fandiño Pinilla, Marazzani e Sbaragli (2008, p. 51): «L’errore, dunque, non è necessaria-mente solo frutto di ignoranza, ma potrebbe invece essere il risultato di una conoscenza precedente, una conoscenza che ha avuto successo, che ha prodotto risultati positivi, ma che non tiene alla prova di fatti più contingenti o più generali».Dunque, non si tratta sempre di errore di origine sconosciu-ta, imprevedibile, ma della evidenziazione di diffi coltà nel senso sopra citato. Queste considerazioni hanno portato la ricerca in didattica della matematica a rivalutare in modo molto diverso dalla prassi usuale l’errore ed il suo ruolo.


136

A tal proposito Zan (2002) riferendosi alle misconcezioni af-ferma:«Gli studi in quest’area sono accomunati dall’enfasi su alcuni aspetti che li differenzia in modo netto dagli studi precedenti sull’analisi degli errori (…):

> la motivazione a capire le radici dei misconcetti, e non solo ad eliminarli

> lo sforzo di assumere il punto di vista di chi apprende, piut-tosto che quello dell’esperto

> l’accettazione della ragionevolezza dei misconcetti e quin-di la necessità che l’allievo ne percepisca i limiti come pre-requisito per modifi carli».

A nostro parere l’esplicitazione agli allievi delle possibili mi-sconcezioni e la proposta di attività pensate da questo punto di vista, permette di prevenire la nascita della loro formazio-ne o il loro superamento; l’insegnante deve cioè svolgere il ruolo cruciale di organizzatore di situazione adeguate a por-tarle alla luce. Per fare questo, è possibile trarre suggerimenti dalla ricerca in didattica della matematica che negli ultimi trent’anni ne ha evidenziato numerose tipiche. Risulta inol-tre importante che l’insegnante strutturi strategie didattiche di carattere trasversale per la prevenzione e il superamento delle misconcezioni, principalmente allo scopo di sviluppare consapevolezza e processi di controllo effi caci negli allievi.Da questo punto di vista emerge il delicato e diffi cile ruolo che svolge quotidianamente l’insegnante in classe e che lo rende un professionista del processo di insegnamento/ap-prendimento.


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3 Capitolo TerzoLa sfi da della Didattica:trasformare le classi in contestidi apprendimento continuo

3.1 La bussola dal nome Didattica

La Didattica moderna è divenuta una bussola fondamentale nelle mani degli insegnanti che possono così dirigersi verso quel cambiamento defi nito da Morin (2001) come paradigma-tico e in grado di formare il cittadino che abita il pianeta del terzo millennio. Quel cambiamento paradigmatico che porta il nome di centralità dell’apprendimento e di democrazia, ne-cessario a formare studenti con “teste ben fatte” competenti innanzi alle sfi de della società della conoscenza. Necessario altresì per costruire atteggiamenti di democrazia cognitiva in grado di far apprendere lungo tutto il corso della vita. All’inse-gnante quindi, come già scriveva D’Amore (2005) «viene affi -dato il compito nuovo di creare le condizioni opportune per l’apprendimento di tutti e di ciascuno sempre che ciascuno degli studenti si faccia carico dell’impegno di responsabilità nella costruzione di tale apprendimento» (p. 73). Si tratta di un compito particolarmente impegnativo per la Didattica in quanto deve aiutare l’insegnante a comprendere come «egli non sia un banale ripetitore di conoscenze, ma un professionista competente non solo nella disciplina, ma nell’azione didattica; il suo dovere non è solo di versare liqui-do in quantità, ma di studiare nel contempo le brocche che

Capitolo 3 La sfi da della Didattica

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gli si presentano davanti» (D’Amore, 2005, p. 72). È questo un esempio di cosa signifi chi centralità dell’apprendimento piuttosto che centralità della trasmissione dei saperi.La bussola Didattica indica quindi i percorsi per poter cre-are le condizioni che permettono di gestire le classi sia con un forte apparato metodologico basato sulla mediazione, sia con una chiara e intenzionale prospettiva formativa, in gra-do, quest’ultima, di guardare alla persona nel suo insieme, cittadino di oggi e di domani, ed equipaggiarla di un profi lo in grado di gestire la complessità. Per questo, la vita della classe richiede progettualità piuttosto che casualità. Inoltre, se pensiamo alla composizione delle classi nelle sue com-ponenti multiculturali, alla necessaria considerazione delle differenze individuali di apprendimento, allo sviluppo dei profi li basati sulle competenze, comprendiamo ancora di più come intenzionalità educativa e progettualità siano in-dispensabili.Dotarsi della bussola Didattica in grado di orientare verso il cambiamento di paradigma formativo che abbiamo presen-tato è giustifi cato allora per almeno due ragioni: la prima perché dirige gli insegnanti avvalendosi delle caratteristiche di una scienza autonoma, la quale, proprio perché scienza, è dotata di strumenti in grado di indirizzare le azioni ac-compagnate da una solida interpretazione teorica (Frab-boni, 1992, 2007; Gennari, 1996; Laneve, 2003); la secon-da ragione poiché la Didattica moderna riconosce i punti cardinali − defi niti da un apparato di ricerca consistente e proveniente dalla Psicologia e dalla Sociologia, al quale da anni ricorre − che indicano alcune priorità sulle quali fo-calizzare le prospettive dell’agire didattico e lo sviluppo di metodologie coerenti. In merito a quest’ultimo aspetto se-gnaliamo per esempio la necessità di formare le intelligen-ze di ciascuno senza escludere nessuno con riferimento alle teorie delle intelligenze multiple di Gardner (1987; 2007),


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dell’intelligenza strategica e tripartita di Stenberg (1988) e dell’intelligenza emotiva e sociale di Goleman (1996; 2006); di costruire una classe con un clima cooperativo e solidale attraverso il lavoro di gruppo basato sui problemi signifi cati-vi e lo sviluppo delle relazioni costruttive in grado di consi-derare le differenze individuali e creare rete sociale per tutti (Comoglio, 1996; Dozza, 2006; Ianes, 2011); di considerare la classe un laboratorio di esperienze per capire in modo profondo i concetti fondativi delle discipline e di saperli utilizzare in modi appropriati (Frabboni, 2005; Frabboni, D’Amore, 2005); di indicare metodologie innovative consi-derando anche i risultati delle ricerche sugli apprendimenti (Dumont, Istance, Benavides, 2010). Su questi aspetti ritor-neremo subito dopo aver presentato le ragioni che fondano la Didattica come scienza autonoma.

3.2 I tratti distintivi della Didattica come scienza autonoma

Abbiamo defi nito la Didattica come scienza autonoma. Qua-li sono i presupposti e le conseguenze di tale prospettiva? Come ampiamente documentato da Frabboni (1992; 2005; 2007; 2011) il Novecento è stato il secolo durante il quale la Didattica si è legittimata come scienza della formazione al pari della Sociologia, dell’Antropologia, della Psicologia e della Pedagogia. Da quest’ultima (Frabboni, 1992, 2007; Laneve, 2003) ha tagliato quel legame di dipendenza che la relegava ad occuparsi solamente delle strategie del fare-Scuola, strappando anche l’etichetta che la legittimava come “arte” del fare scuola. Un certo tipo di pedagogia, infatti, ri-tiene che l’insegnante sia un artista dotato di un talento spe-ciale, innato e quindi in grado di agire come sa (Frabboni, 2011). Sciogliere il vincolo che la manteneva in uno stato di


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a-scientifi cità ha permesso alla Didattica di liberare le ener-gie necessarie per costruire un proprio apparato teorico e scientifi co, costituendo quindi i presupposti di scienza auto-noma. Come tale, ha defi nito il proprio DNA che la contrad-distingue (Frabboni, 1992; 2007):

> nei contenuti dei quali si occupa – l’organizzazione struttu-rale della scuola (con i suoi spazi, tempi, tecnologie, attrez-zature) e la sua progettazione curricolare (il Piano dell’Of-ferta Formativa, le Indicazioni ministeriali);

> nei linguaggi che valorizzano tutti i codici di trasmissione culturale (corpo, suono, immagine, oralità e scrittura, alfa-beto iconico ed elettronico);

> nella logica formale costruita nel triangolo prassi-teoria-prassi che fa assumere all’azione e all’esperienza − la prassi − il fondamentale momento di “azione per la rifl essione” che confronta successivamente l’apparato teorico per rin-novare l’azione seguente;

> nelle metodologie della ricerca, che si esprimono preva-lentemente nella ricerca di tipo sperimentale, nella ricer-ca-azione e nella ricerca clinica;

> nel riconoscimento delle differenze individuali espresse dal soggetto come esiti delle sua specifi cità (linguaggi, creatività, cultura) attribuendo ad esse il medesimo valo-re culturale, e dei saperi appresi nel corso dell’istruzione scolastica.

In sintesi, quindi la Didattica come scienza «è interessata a otti-mizzare l’organizzazione strutturale (i tempi, gli spazi, gli stru-menti, le dinamiche interattive) e curricolare (la conoscenza degli allievi, la strumentazione educativa e didattica, il Piano dell’Offerta Formativa, la ricerca, la valutazione) di ogni istituto scolastico» (Frabboni, 2007, p. 44).La Didattica si trova quindi nella condizione – attraverso il lavoro progettuale e intenzionale degli insegnanti – di di-


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venire relazione e mediazione tra le istanze esterne poste alla scuola dallo sviluppo culturale, sociale ed economico e la formazione degli studenti che vengono considerati dei soggetti attivi e costruttori responsabili delle proprie cono-scenze e competenze. Si tratta di considerare la Didattica con un compito preciso, ovvero quello di progettare del-le azioni che possano assicurare allo studente un grado di coinvolgimento, di partecipazione e di fl essibilità negli ap-prendimenti. Questo implica, come evidenziato da D’Amo-re (2005) alcune considerazioni: «è chiaro che l’insegnante si trova implicato in una serie di rapporti di estrema delica-tezza. Da un lato deve operare una trasposizione didattica del Sapere (che sorge dalla ricerca) al sapere insegnato» (p. 101). Che, come abbiamo visto, dovrebbe essere anche appreso e quindi necessita di ulteriori attenzioni che, per Frabboni (2005), richiedono quelle «cifre plurali che vanno messe in conto ai processi di insegnamento-apprendimento che si presentano colorati di istruzione, ricerca e creatività» (p. 18).Dall’altro lato «l’insegnante deve tener conto del sistema di-dattico e dell’ambiente sociale e culturale, cioè della noo-sfera in cui si trova ad agire» (D’Amore, 2005, p. 101). Una noosfera che è considerata come contesto espressione della cultura, intreccio di attese, espressione comunicata delle fi -nalità del sistema in cui la scuola affonda le proprie radici.Ne consegue allora, per gli insegnanti, che «la sfi da di oggi che si trova innanzi alla Didattica è quella di inventare altre soluzioni, tali da esser realmente in grado di favorire i pro-cessi di formazione richiesti dall’opzione apprendimento» (Guasti, 2002, p. 13).


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3.3 La bussola Didattica nel contesto classeincontra le diff erenze individuali degli studenti

Il tema della noosfera introdotto da D’Amore nella prospet-tiva culturale che abbiamo presentato, fornisce lo scenario entro il quale si pone in primo piano la capacità traspositi-va degli insegnanti: il contesto. In esso trova compimento la progettazione intenzionale delle situazioni di apprendimen-to effi caci, che esalta la crescita culturale degli studenti e de-gli insegnanti.Il contesto rappresenta allora l’elemento d’insieme che per-mette di contenere quei punti cardinali della bussola Didat-tica che indicano alcune priorità sulle quali focalizzare le prospettive dell’agire didattico e lo sviluppo di metodologie coerenti (cfr. par 3.1).Analizziamo allora, quali caratteristiche esprime il “contesto” classe.La classe intesa come grande teatro dell’apprendimento nel quale si giocano differenti ruoli e scene, dove ognuno è contemporaneamente attore principale e comparsa, regista e scenografo, diviene l’espressione che meglio comunica le credenze, le tradizioni, i linguaggi della scuola. In altre paro-le il contesto della classe esprime la cultura che vi si respira. Quanto capita nelle classi è sintomo di quanto, nel tempo, si è maturata un’idea di scuola e, naturalmente, di Didattica. Un dato che sottolinea quanto stiamo argomentando è la ri-cerca Talis-Ocse (2008) la quale indaga le credenze degli in-segnati sottese alle loro organizzazioni didattiche. Rilevante è la conseguenza posta in luce: insegnanti che hanno formato credenze di un’intelligenza statica oppure di contenuti come liquidi travasati, utilizzano forme di insegnamento/appren-dimento di tipo trasmissivo. Parimenti, insegnanti che hanno formato credenze di un’intelligenza progressiva e dinamica


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tendono più facilmente a utilizzare forme attive e problema-tiche per proporre i contenuti.Probabilmente, il “contesto di apprendimento” è divenuto il tema cardine emergente dalle ricerche più recenti sull’ap-prendimento come conseguenza dei risultati che ne dimo-strano l’importanza e l’incidenza sugli studenti. Intesa come contesto, la classe assume le caratteristiche di un insieme molto più aggregato e armonico di eventi ed esperienze, ri-spetto a quei singoli o particolari episodi di apprendimento che si realizzano in forme isolate (Dumont, Istance, Benavi-des, 2010). Lo schema riportato sotto, adattato dal Proget-to Ile-Oecd (2012), permette di comprendere l’importanza dell’azione Didattica. Attraverso di essa le attività che gene-rano apprendimento pongono in relazione le risorse, i con-tenuti, le informazioni relative agli studenti (le informazioni sulle attività di apprendimento progettate, sui profi li degli studenti, sui prodotti dell’apprendimento) e agli insegnan-ti (la valutazione, la trasposizione delle informazioni di ap-prendimento, le conoscenze usabili).

Attività diapprendimento

/Situazioni didattiche

Insegnanti

Contenuti

Studenti

Valutazione e monitoraggiodell'apprendimento:

trasformare le informazioni sull'apprendimento in

conoscenza utilizzabile

Feedbackdell'apprendimento

Informazioni sulle attivitàdi apprendimento, gli

studenti, le evidenze diapprendimento

Leadershipeducativa

Apprendimento

Prodotti


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Pensata come sistema dinamico di interazioni continue, è nella classe come contesto di apprendimento che quindi accadono gli eventi, permettendo lo sviluppo intellettuale, sociale, culturale degli studenti. Con queste premesse pos-siamo comprendere la defi nizione che Cole e Griffi n (1987) hanno dato di contesto, inteso «come insieme di trame inter-dipendenti», che ne esplicitano l’esistere naturale come si-stema i cui fattori interni sono: l’organizzazione delle attività proposte per lo sviluppo del curriculum, l’insieme delle rela-zioni attivate nella classe e nell’intera scuola, le conoscenze coinvolte nella realizzazione di compiti cognitivi complessi e impiegate continuamente in azioni competenti, la qualità e la quantità del tempo dedicato a queste ultime.In questo modo la gestione della classe considera fondamen-tale lo sviluppo di relazioni sociali al suo interno. Osservare la classe attraverso questa lente che possiamo defi nire “con-testualista” (Bruner, 1997) signifi ca analizzare, considerare, comprendere, in forma congiunta piuttosto che disgiunta, alcuni elementi tra loro interdipendenti: gli allievi, gli stru-menti, le relazioni sociali, il clima, i valori condivisi e implici-ti, le pratiche utilizzate, le visioni complessive. Gli eventi che caratterizzano la vita della classe divengono quindi osservabi-li e valutabili nell’insieme delle interazioni, facendo in modo che la classe venga considerata un sistema sociale (Ligorio, Pontecorvo, 2010).L’apprendimento avviene come un processo comune e con-diviso e l’indicazione di Vygotskij (1966) illumina la direzio-ne che dovrebbe assumere la gestione della classe. In essa gli allievi vivono e maturano esperienze in grado di sviluppare progressivamente le loro competenze e di educare e dirigere le loro intelligenze. Una vita della classe che esprime anche la necessità di defi nire in modo co-costruito le leggi che ne regolano l’organizzazione e la vita al suo interno.


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L’apprendimento dunque si attua essenzialmente in intera-zione con e, soprattutto, attraverso la partecipazione a un dato contesto sociale e culturale, che pone in essere delle richieste, le quali direzionano qualità e quantità dell’ap-prendimento. Gli allievi divengono, nel sistema classe, atti-vi costruttori ed interpreti di informazioni, con una storia passata e degli insiemi presenti di scopi, aspettative, desideri, obiettivi. In questa prospettiva, l’attenzione si focalizza sulla persona che agisce in differenti spazi, sull’interazione orga-nismo-ambiente e si ritiene che comportamento, emozioni e pensiero assumano forme e signifi cato in relazione e per mezzo degli ambienti fi sici, che in gran parte si defi niscono attraverso la partecipazione diretta alle situazioni di vita della classe. Questo aspetto genera una ulteriore caratteristica uti-le a favorire il processo di apprendimento: il coinvolgimento. Deborah Stipeck (2004) evidenzia come sia l’apprendimento che il successo formativo di ognuno, necessitano di un coin-volgimento attivo in tutti i processi di vita della classe. Gli al-lievi persistono nel loro coinvolgimento – non si demotivano e non disinvestono nella scuola – quando le proposte degli insegnanti sono varie e stimolanti, quando è richiesto loro di essere partecipanti attivi nel processo di ricerca e di scoperta, quando i docenti strutturano attività che richiedono l’uso di strumenti e risorse per padroneggiare i contenuti e realizzare compiti e prodotti complessi.Le ricerche più recenti mostrano che l’apprendimento ef-fi cace non è un’attività puramente solitaria, ma un’azione distribuita: la costruzione individuale della conoscenza av-viene attraverso processi di interazione, negoziazione e co-operazione con altri (DeCorte 2010; Benavides et al., 2010). L’apprendimento è quindi un fatto sociale poiché avviene in un contesto di relazione con altri e con la cultura da questi rappresentata. È uno dei presupposti dell’apprendimento del costruttivismo socio-culturale.


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Il contesto così rappresentato permette quindi di considera-re e organizzare le attività in modo tale da permettere l’in-contro con le differenze individuali.Infatti, come oramai consolidato dalla ricerca, gli individui differiscono per una serie di motivi: per gli atteggiamenti e le preferenze per l’elaborazione delle informazioni, per la co-struzione del signifi cato e la sua applicazione a nuove situa-zioni; per le loro abilità ad eseguire compiti o raggiungere risultati diversi; per l’uso differente di competenze, atteggia-menti e preferenze nell’affrontare compiti di diversa natura. Vi è inoltre l’altro aspetto della piena partecipazione alla vita della classe degli studenti diversamente abili: una ulteriore specifi cità delle differenze individuali. L’insieme di queste differenze infl uenzano gli studenti nel raggiungere i risultati di apprendimento. Occorre allora considerarle nella proget-tazione didattica del contesto.Un contesto attento e sensibile alle differenze individuali cor-risponde appunto alla noosfera, come espresso da D’Amore, ed esplicita la prospettiva di Bruner (1997) per il quale «la scuola è essa stessa cultura e non solo una preparazione per la cultura, un riscaldamento. Quindi la scuola metacomunica gli atteggiamenti e le credenze che sostengono poi le azio-ni, evidenziando in quali forme e profondità esprime la sua cultura intesa come un modo di venire a capo dei problemi umani, delle transazioni umane di ogni tipo» (p. 111).In sintesi la scuola esprime la sua qualità anche attraverso la qualità della Didattica, che diviene espressione di una cultu-ra profonda dell’essere scuola che progetta. Ancora, la quali-tà della scuola è espressione della misura attraverso la quale sono riconosciute le caratteristiche individuali degli studenti e le loro modalità di apprendimento, a partire dalle quali si organizzano azioni didattiche anche differenziate per per-mettere ad ogni studente di apprendere. Il contesto è quindi anche comunicazione.


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3.4 La Didattica: comunicazione nel contesto

Come abbiamo visto nel paragrafo precedente, le modalità attraverso le quali si organizza e si gestisce la classe divengo-no espressione delle credenze degli insegnanti circa l’ap-prendimento. Esse esprimono però anche le forme attraver-so le quali si manifesta il processo di comunicazione. Considerando il termine latino communicare da cui deriva il signifi cato di “comunicare” porta con sé l’aspetto del “rendere comune” qualcosa ad altri, “condividere” un senso, “partecipare” insieme alla stessa realtà di senso. In questa prospettiva la “comunicazione” coinvolge la vita della classe sotto diversi aspetti: nel suo essere, nel suo sentirsi spazio sociale per chi vi abita e per chi ne è in relazione; nel ripensare le pratiche co-municative poste in essere al fi ne di costruire relazioni positi-ve e di fi ducia; nell’organizzare nuove forme di mediazione comunicativa.Dewey (1992) aveva anticipato la valenza della comunicazio-ne sottolineando che «non solo la vita sociale si identifi ca con la comunicazione stessa, ma ogni comunicazione è edu-cativa. Ricevere una comunicazione signifi ca avere un’espe-rienza allargata e diversa. Si partecipa di quel che un altro ha pensato e sentito, e nemmeno colui che comunica ne rimane inalterato» (pp. 47-48).Quando la comunicazione va oltre gli individui, prolungan-do i suoi effetti sulla valenza educativa negli spazi sociali, di-viene linguaggio comune, direzione pedagogica.Sia l’organizzazione della classe che le modalità di interazio-ne permesse/sostenute al suo interno sono comunicazione e divengono orientamento per “il respirare e l’agire” demo-cratico degli studenti, poiché «l’intera società continua a esi-stere non solo per mezzo della trasmissione, per mezzo della comunicazione, ma si può dire che esiste nella trasmissione e nella comunicazione.


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Gli uomini vivono in comunità in virtù delle cose che possie-dono in comune» (Dewey, 1992, p. 46).Il principio di comunicazione come aspetto vitale della rela-zione diviene contemporaneamente processo di mediazione. Attraverso la comunicazione che avviene con la disposizione degli spazi, attraverso le modalità agite nella comunicazione di idee e informazioni, la didattica è mediazione.La Didattica utilizza quindi linguaggi molteplici affi nché la comunicazione sia la più diffusa, effi cace e formativa possi-bile. Ovvero, come scienza autonoma la Didattica «dà luce all’intero spettro dei canali di comunicazione culturale, evi-tando gerarchizzazioni e discriminazioni. Il campo sistemico dei linguaggi trova nell’ambiente (scolastico ed extrascola-stico) il suo prediletto mediatore culturale. Questo perché l’ambiente è insieme contenuto e messaggio, oggetto cultu-rale e codice di comunicazione» (Frabboni, 2007, p. 48).La comunicazione connota, colora, insaporisce l’interazione e la relazione, permettendo processi di accoglienza, inclusio-ne, differenziazione. Così come, nel polo negativo, genera esclusione e negazione. Per esempio gestire la comunicazio-ne come risorsa didattica e prospettiva pedagogica nel con-testo della classe signifi ca «organizzare la circolarità ascolto/parola/ascolto. Freinet compie una critica-pratica del mo-nopolio della parola da parte dell’adulto. Sposta il centro dell’attenzione sulle esperienze signifi cative che gli allievi possono condividere, dove l’insegnante svolge la funzione di testimone capace di stare in ascolto attivo permettendo ai singoli e al gruppo di ri-vedersi e di ri-ascoltarsi» (Dozza, 2010, p. 37).La comunicazione – nelle sue estensioni descritte – sostiene alcuni valori chiave della democrazia – come per esempio la cooperazione, il mutuo rispetto, l’interdipendenza e l’auto-nomia – che divengono reali e carichi di signifi cato sia per gli studenti che per gli insegnanti. Sviluppare una Didattica


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capace di riconoscere e organizzare una buona comunica-zione coinvolge alcuni fattori come: a) il clima e la cultura della scuola; b) i modi con i quali l’apprendimento e l’in-segnamento sono organizzati; c) la natura delle interazioni, attraverso e tra tutti i membri della comunità scolastica. La scuola, infatti, come comunità ha bisogno di sviluppare un clima e una cultura democratica consistente, con ideali di cooperazione e comprensione, basati sul valore della parola e degli scambi democratici.

3.5 La Didattica si esprime al meglio nel contesto-classe come laboratorio

Nel contesto e attraverso la comunicazione la Didattica esprime quindi l’idea di dirigere l’organizzazione di una classe e di una scuola come laboratorio (Frabboni, 1992, 2007), il quale è “luogo” determinato dallo spazio fi sico e ambientale, dagli strumenti in esso contenuti, ed è quindi anche contesto, inteso come spazio cognitivo ed emotivo, dove le interazioni con gli altri e con le strumentalità deter-minano la qualità delle relazioni e le prospettive di crescita intellettiva. Il laboratorio rifl ette molteplici facce: è natural-mente orientato alla ricerca operando sintesi continue tra aspetti pratici e teorici avviando quelle circolarità che svi-luppano rifl essione e apprendimento. È rifl essivo sulle espe-rienze – cognitive, emotive, di apprendimento – che danno forma e connotano il “luogo” che porta all’elaborazione di modelli per l’apprendimento (metodi di studio e di relazione) che si caratterizzano per l’interdisciplinarietà amplifi cando e aumentando la conoscenza delle “formae mentis” cultural-mente educate. Il laboratorio è lo spazio della memoria, che si evolve continuamente, attraverso le esperienze, costruendo nel tempo la propria identità, recuperando, rinnovando e


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inventando nuovi saperi e nuovi modi di applicare le cono-scenze. Diviene luogo di progettualità e di creatività, poichè la ricerca stessa modifi ca i saperi e le prassi.Potremmo affermare che il laboratorio diviene il luogo “del cambiamento”, poichè attivamente lo produce attraverso le interazioni continue e intersoggettive, i problemi da risol-vere, le pratiche rifl essive. Progettare non solo contenuti, quindi, ma processi di apprendimento, compiti, prodotti che costituiscono le pratiche con le quali misurarsi e misurare padronanze e sviluppi di atteggiamenti intelligenti.Un laboratorio, luogo della sperimentalità, dunque, anche di un “fare scuola” accompagnato da un “essere” in apprendi-mento, in continua ricerca e confronto. In esso è possibile sperimentare anche modi di essere, di condurre, di relazio-narsi che divengono motore di successive applicazioni in am-bienti differenti. In questo modo il laboratorio si confi gura come “palestra” tra pari che sostengono, aiutano, suggerisco-no, per realizzare apprendimento.Il laboratorio come “luogo” è quindi anche “spazio” che in-terpreta un’idea di scuola, divenendone metafora: un essere in ricerca, elevando la cultura della scuola, armonicamente intrecciata con i tratti delle conoscenze e delle pratiche.È nella natura del laboratorio generare richieste di approfon-dimento e di formazione, in quanto i problemi posti in essere richiedono quote conoscitive, esperienziali, progettuali che non sono già compiute. Nel laboratorio si generano istanze alle quali occorre rispondere in modo specifi co costruendo una comunità che rifl ette, che si forma in modo continuo intorno alle soluzioni di problemi.Dopo la tridimensionalità espressa dal contesto-comunicazio-ne-laboratorio che forma la struttura della bussola Didattica, possiamo affrontare i punti cardinali verso i quali guidare i percorsi di insegnanti e studenti.


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3.6 La Didattica e le competenze: punto cardinale Nord

Il primo punto cardinale per orientarsi con la bussola Didat-

tica è il tema delle competenze. Oggi è un punto di riferi-

mento proprio come il Nord nella bussola. La bussola Didat-

tica orienta e traspone nelle classi le modalità per formare

nuovi profi li per gli studenti del XXI secolo. Gli studenti

possono quindi contare su esperienze di apprendimento in

classe che sviluppano un insieme di competenze – come per

esempio la creatività e l’innovazione, il problem solving e

l’apprendere ad apprendere – attraverso le quali sviluppare

contenuti disciplinari fondamentali. Questo tema è un ulte-

riore aspetto che conferma la necessità di uno spostamento

del paradigma dalla trasmissione alla co-costruzione delle

conoscenze. Questo cambiamento nella domanda di com-

petenze ha una conseguente implicazione nelle stesse com-

petenze degli insegnanti che dovrebbero quindi utilizzare

modalità di insegnamento coerenti e innovative (Schleicher,

2012). Infatti formare alle competenze richiede – in un con-

testo come defi nito precedentemente – una Didattica che

sappia sollecitare e fare esperienza di concetti e conoscenze

effi caci per un apprendimento profondo. In tal senso defi ni-

re dei saperi di qualità e la qualità dei saperi è fondamentale.

Lo sviluppo delle competenze per il XXI secolo dovrebbe es-

sere quindi interpretato come un’opportunità per tutti di af-

frontare il cambiamento e acquisire potere di trasformare le

situazioni di vita. Se consideriamo infatti le azioni di “operare

per”, di “poter fare”, di “essere in grado di”, il tema delle com-

petenze assume un ulteriore interesse poiché correlato alla

defi nizione degli strumenti cognitivi e culturali che gli stu-

denti costruiscono e possiedono. Attraverso questi strumenti

gli studenti possono operare per apprendere continuamente


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nel corso della vita (lifelong learning) e direzionare la pro-pria esperienza (self-direction).Se consideriamo una defi nizione di sintesi, tra le più condivi-se, del concetto di competenza, ovvero la capacità di mobili-tare in modo integrato le risorse interne – cognitive, emotive, relazionali, motivazionali – ed esterne – soggetti, strumen-ti, linguaggi, ambienti – per far fronte in modo effi cace e continuo alle richieste spesso inedite del contesto in cui si è impegnati (Perrenoud, 2000; Pellerey, 2004), si comprende come il concetto di competenza così inteso possa rappresen-tare una prospettiva educativa di indubbio interesse. Da una parte, infatti, si riscontra la possibilità di far assumere consa-pevolezza e “potere di” agli alunni (empowerment) nel corso delle proposte formative; dall’altra di rappresentare un rife-rimento per la costruzione del profi lo personale attraverso il curricolo nel corso degli anni dell’istruzione.In sintesi, vi sono, da più parti e da tempo, convergenze si-gnifi cative circa il profi lo defi nito da competenze in grado di capacitare al buon funzionamento individuale e sociale.Le risposte alla vita liquida, alla complessità e al rischio, per-seguendo modelli alternativi di sviluppo sostenibile e coesio-ne, possono essere fornite da soggetti che hanno formato un profi lo per il XXI secolo e che sono in grado di integrare le competenze di pensiero superiore (Dumont, Istance, Bena-vides, 2010). Questo signifi ca che attraverso la trasposizione didattica e le situazioni di apprendimento, a tutti gli studenti è permesso di apprendere per generare, processare e gestire informazioni complesse, pensare sistematicamente e critica-mente, prendere decisioni ponderando diverse forme di ri-sultati, rispondere a domande signifi cative poste su differenti aspetti, essere adattabili e fl essibili all’integrazione di nuove informazioni, essere creativi e capaci di identifi care e risolve-re problemi di vita reale. Si rende indispensabile favorire la capacità naturale della mente di porre e risolvere problemi


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essenziali ed altresì necessario operare per stimolare il pieno uso delle intelligenze (Morin, 2001).

3.7 La Didattica e le intelligenze: punto cardinale Est

Il secondo punto cardinale riguarda il tema dell’intelligenza e del possibile signifi cato da attribuire all’intelligenza come competenza. Il sole sorge a Est e le intelligenze non aspetta-no tempo per svilupparsi. Sorgono veloci ed è quindi impor-tante curare la loro formazione il più presto possibile.Gardner, nel suo Formae Mentis (1983), argomenta che «una competenza deve implicare un insieme di abilità di soluzioni dei problemi che rendono ciascun individuo capace di risol-vere problemi o diffi coltà che incontra e, quando le condi-zioni lo permettono, di creare prodotti validi, e che lo rendo-no capace di scoprire o creare problemi, a partire dai quali acquisire nuove conoscenze. Questi prerequisiti rifl ettono il tentativo di comprendere gli sforzi e le imprese intellettuali degli individui i cui esiti fi nali assumono una certa importan-za all’interno di un contesto culturale».Così esteso, il principio di intelligenze multiple – le nove in-telligenze per Gardner – permette di considerare che esse possono formarsi attraverso un insieme di esperienze di ap-prendimento, all’interno di un dato contesto culturale. La classe, la scuola, i laboratori sono contesti culturali che espri-mono, attraverso le discipline, le forme di educazione delle intelligenze. Per esempio, le arti – la musica, la pittura, la scultura – rappresentano la cultura all’interno della quale si formano le intelligenze particolari; spesso è la specifi ca cul-tura stessa un alimento del pensiero, fi n dalla tenerissima età. Gardner così spiega la formazione di particolari talenti riconosciuti unanimemente come formae mentis esemplari. In ogni soggetto vi è potenzialmente un’orchestrazione di dif-


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ferenti intelligenze, se esse vengono opportunamente solle-citate e formate, attraverso esperienze pratiche, rifl essive e interiorizzanti dei processi di apprendimento.In tal modo, possiamo altresì considerare le competenze come comportamenti intelligenti, agiti nelle situazioni che ne richiedono una loro mobilitazione pertinente. Gardner (1999) infatti afferma che «non è possibile che le società tra-scurino porzioni consistenti della popolazione. Per restare competitive in un mondo in rapido cambiamento, le società dovranno fornire un’educazione di qualità a tutti i loro citta-dini» (p. 13). Il profi lo dello studente del XXI secolo dovreb-be quindi costruirsi considerando la necessità di sviluppare le competenze, sia come comportamenti intelligenti in contesti differenti, sia come espressione e sostegno dei talenti.Questa prospettiva potrebbe permettere ad uno studente di essere formato all’uso di strumenti culturali, coerenti con il compito di affrontare e gestire le opportunità individuali, in un quadro di coesione sociale piuttosto che di confl ittualità e distruttiva competizione. La formazione del talento e delle in-telligenze ha infatti bisogno di tempo – anche non immediata-mente produttivo – e di esperienza che deriva dall’affrontare direttamente la soluzione di problemi. In modo particolare for-nendo tutte le potenzialità di cui i soggetti hanno bisogno per apprendere ad organizzare la conoscenza e formarsi quindi una matrice intellettuale, in grado di codifi care le informazio-ni effi cacemente (Morin, 2001). Un secondo aspetto permette di sostenere che l’educazione non può che essere delle intelli-genze e alle intelligenze, in una prospettiva plurale e integrata, sostenendo il principio che esse non sono innate e determinate ma progressive e incrementali.La Didattica aiuta gli studenti a sviluppare strumenti intellet-tuali e strategie di apprendimento, necessari per acquisire la conoscenza che permetta loro di pensare produttivamente, nelle specifi che aree disciplinari. Questo signifi ca che la co-


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noscenza include anche la capacità di formulare e investiga-re, con domande appropriate, differenti aree di argomenti. Attraverso questi apprendimenti, che possiamo defi nire stra-tegici, gli studenti divengono capaci di auto-sostenersi e di apprendere lungo l’arco della vita (Bransford et al., 2000).È quindi a partire dalla necessità di aggiornare il profi lo di allievi e studenti, per renderlo in grado di rispondere alle mutate condizioni di contesto già presentate, che si sono de-lineati curricoli come insieme di competenze per il XXI seco-lo ai quali le scuole possono fare riferimento per direzionare le proprie scelte. Come già considerato, l’organizzazione Didattica assume un ruolo primario nello sviluppo di contesti adeguati per for-mare competenze, poterle esprimere e osservarle nell’azio-ne. Una particolare forma che permette di esprimere que-sto punto di vista è offerta dal prodotto che agli allievi viene chiesto di realizzare per dimostrare le loro competenze. I prodotti rappresentano uno strumento in grado di defi nire dei livelli di padronanza degli studenti, indicando il grado di qualità e di fi nitezza con il quale la competenza trova com-pimento nelle azioni (processi cognitivi, sequenze, processi metacognitivi) e nei prodotti realizzati.I prodotti possono essere relativamente semplici – la costru-zione di una mappa concettuale sull’argomento studiato, oppure la soluzione di un problema con l’applicazione dei concetti appena appresi – o complessi – stesura di ricerche, di protocolli di sperimentazioni, di progettazioni multime-diali, di stesura di articoli per riviste scientifi che o letterarie, di progettazione di indagini sociali, di organizzazione di se-minari i cui esperti sono gli studenti.I compiti autentici e complessi assumono la caratteristica di motivare gli studenti a sentirsi parte di una classe organizza-ta come comunità di apprendimento. Questo signifi ca che


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alcuni compiti autentici possono essere sviluppati in gruppo oppure sono singole parti di un progetto più ampio di classe.Brophy (2003) a tal proposito suggerisce, per quanto possi-bile, di far apprendere gli studenti attraverso l’impegno in attività autentiche. Queste ultime richiedono che si utilizzi quanto si è appreso al fi ne di realizzare numerosi tipi di ap-plicazioni nella vita reale.L’effi cacia dei compiti complessi e delle attività attorno ad essi correlate, consiste nel loro potenziale di coinvolgimento cognitivo, ovvero nel grado in cui inducono gli studenti a rifl ettere attivamente sui contenuti, ad applicare le idee chia-ve, ad essere consapevoli dei loro obiettivi di apprendimento e a controllare le proprie strategie di apprendimento.Una Didattica basata sulle competenze permette agli studen-ti, attraverso il confronto con prodotti complessi in un contesto autentico, da una parte di renderli motivati allo studio, dall’al-tra di acquisire quelle formae mentis – analisi, sintesi, pro-blem solving, presa di decisone, applicazione di conoscenze – che contraddistinguono il pensare degli esperti.

3.8 La didattica cooperativa per lo sviluppo delle competenze: punto cardinale Sud

Un terzo punto cardinale conduce alla Didattica coopera-tiva. Un punto a sud, verso il “caldo” delle relazioni, della conoscenza co-costruita, del lavoro insieme. Come abbiamo già sostenuto, è necessario che i contesti di apprendimento permettano agli studenti di essere attivamente coinvolti in compiti di apprendimento, insieme agli altri e in costante interazione, per esercitare e formare, nel contesto, le loro competenze (Slavin, 2010).Nel paragrafo precedente abbiamo inoltre presentato come la ricerca educativa evidenzi che gli studenti apprendono


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in modo più profondo e lavorano meglio, sui compiti asse-gnati loro dagli insegnanti, se hanno l’opportunità di impe-gnarsi in attività che richiedono di utilizzare la conoscenza studiata per risolvere i problemi connessi a situazioni del mondo reale, in un contesto di tipo cooperativo.I risultati positivi dell’apprendimento avvengono inoltre quando gli studenti, durante le attività in classe, partecipano a lezioni che richiedono di costruire e organizzare la cono-scenza considerando continuamente delle alternative; quan-do gli studenti vengono coinvolti in ricerche dettagliate ed approfondite, nell’analisi e nella scrittura di report; quando viene chiesto loro di comunicare effi cacemente i risultati ottenuti ad altri – i compagni di classe, quelli di altre classi oppure a esperti esterni – che possono valutare i loro lavori.Occorre allora esplorare come possibilità, sperimentare o consolidare come pratica, forme di organizzazione e di ge-stione delle classi in grado di sostenere gli insegnanti nella loro azione più avanzata che permetta di ridurre il gap ricer-ca-applicazione.L’apprendimento cooperativo – o cooperative learning – po-trebbe essere una tra le più signifi cative metodologie da uti-lizzare in tal senso: essa offre infatti architetture per attivare classi socialmente coese e stimolanti o contesti coinvolgenti, aiutando gli studenti a padroneggiare le competenze neces-sarie. Attraverso l’apprendimento cooperativo gli insegnanti possono progettare contesti per l’apprendimento che stimo-lano il raggiungimento della conoscenza profonda, così come una maggiore creatività e interattività mediante il lavo-ro con gli altri, nella risoluzione di problemi e nella realizza-zione di applicazioni innovative delle conoscenze.Il cooperative learning rappresenta un metodo che, da una parte, è tra i più indagati per gli effetti prodotti sull’ap-prendimento, dall’altra – vantando oramai parecchi anni di rifl essione, modellizzazione e innovazione – è fondato


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sull’intenzionalità pedagogica di formazione e sviluppo delle competenze chiave e di capacità personali, in una prospetti-va di pluralità delle intelligenze e nell’ottica della classe – e della scuola – come comunità di ricerca e di apprendimento.Analizzando i risultati e le prospettive più attuali dell’inda-gine scientifi ca è coerente considerare il lavoro cooperativo come utile allo sviluppo di un pensiero superiore e critico, di intelligenze plurali, di competenze sociali negli studenti (Slavin, 2010).Il termine cooperative learning viene usato per identifi care due dimensioni: una pedagogica, che indaga la prospettiva cooperativa, solidale, di formazione alle competenze e alla cittadinanza e che considera la prospettiva del riconoscimen-to delle differenze individuali, e un’altra didattica che consi-dera il cooperative learning come un insieme di metodologie che prevedono la cooperazione e una pluralità di proposte, costruite attorno al lavoro di gruppi organizzati. Con l’uso di queste metodologie normalmente gli studenti lavorano insieme in gruppi di dimensioni suffi cientemente piccoli ed eterogenei in modo tale che ognuno possa partecipare atti-vamente allo svolgimento di compiti che sono stati assegnati dall’insegnante (Cohen, 2004).Il lavoro in gruppo del cooperative learning consiste nel la-vorare insieme per realizzare obiettivi condivisi, all’interno di situazioni cooperative, dove ogni membro del gruppo cer-ca di ottenere risultati per se stesso e per gli altri (Johnson, 1994). Nell’apprendimento cooperativo, quindi, si attribui-sce una funzione educativa ed intenzionale ai piccoli gruppi, attraverso i quali gli studenti lavorano insieme e apprendo-no come portare al massimo livello il proprio apprendimen-to e quello degli altri. Le modalità attraverso le quali il con-testo di piccolo gruppo e di classe viene organizzato, permettono di impiegare le risorse del gruppo stesso per rafforzare atteggiamenti di cooperazione, di interazione e di


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equità di status tra gli studenti nelle classi multi culturali (dif-ferenze di genere, di provenienza geografi ca, di culture, di competenze).Emerge nella defi nizione di Johnson l’importanza del con-testo di appren dimento come motore per sviluppare alcu-ne caratteristiche quali la collaborazione e l’intenzionalità educativa. Appare di interesse quindi la considerazione di Comoglio (1996) secondo cui l’apprendimento cooperati-vo è un modo di “fare scuola” che, pur essendosi originato all’interno di uno specifi co ambito di ricerca come la psico-logia sociale, integra, in una sintesi quasi “naturale”, alcune prospettive che sono al centro della rifl essione educativa più avanzata come le comunità di apprendimento in un contesto di cognizione situata. Considerato secondo tale ottica, il co-operative learning si offre come un approccio duttile, ricco di risorse e potenzialità, in grado di fornire risposte originali, effi caci e attuali alle problematiche complesse che investono il mondo della scuola. Non solo, ma assume anche la pro-spettiva – tutta pedagogica – di direzionare la formazione del profi lo attraverso l’immersione continua nelle esperienze di apprendimento sociale. Esperienze di apprendimento che imitano o simulano quanto accade nella vita reale, che pre-vedano problemi da risolvere attraverso i gruppi di lavoro, che contemplino sia attività individuali che responsabilità di gruppo. Il cooperative learning, permette agli studenti di acquisire sia le conoscenze indispensabili delle discipline sia le com-petenze sociali derivanti dal lavoro continuo con gli altri. Gli studenti apprendono perché esercitano la propria responsa-bilità personale ma anche perché imitano gli altri e appren-dono dai pari.La classe cooperativa va considerata e organizzata come un insieme di piccoli gruppi di alunni, relativamente per-manenti e la cui composizione è di tipo eterogeneo. I


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gruppi sono formati per portare a termine un’attività e produrre una serie di progetti o prodotti. All’interno del piccolo gruppo ai membri viene richiesta una responsabi-lità individuale nell’acquisizione delle competenze utili al raggiungimento degli scopi individuali e di gruppo (Ver-mette, 1998).Così interpretato il cooperative learning trasforma la classe da un insieme di individui in una rete di gruppi che, in virtù del particolare clima che si genera, modifi cano la struttura sociale della classe. Quest’ultima diviene un sistema inclusivo di tutte le parti in interazione, piuttosto che una serie di in-terpreti individuali focalizzati per un lungo periodo di tempo sulla propria esclusiva performance. Questo micro-sistema è radicato in un sistema più ampio (la scuola) le cui parti che lo compongono (insegnanti e dirigenti) devono interagire in modi che facilitano e sostengono le interazioni necessarie alle classi cooperative (Shlomo Sharan, 1994).Questo “nuovo paradigma dell’insegnamento” si fonda su al-cuni principi:

> la conoscenza è costruita, scoperta, trasformata ed estesa dagli studenti;

> gli studenti costruiscono attivamente la loro conoscenza;

> l’apprendimento è un’impresa sociale, nella quale gli stu-denti hanno bisogno di interagire con l’insegnante e con i compagni di classe;

> gli sforzi della scuola vanno indirizzati allo sviluppo delle competenze e dei talenti degli studenti;

> è necessario che l’apprendimento avvenga all’interno di un contesto cooperativo;

> l’insegnamento è assunto come una complessa azione di connessione tra teoria e ricerca, che richiede continui affi -namenti e innovazioni.


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Alcuni effetti e prospettive pedagogiche connesse alla didat-tica cooperativa riguardano:

> la costruzione di un contesto classe accogliente per tutti dove ognuno trova il suo posto per un adeguato apprendi-mento e sviluppo di competenze riconoscendo le differen-ze individuali;

> il riconoscimento di ogni differenza individuale, che per-mette di considerare ognuno come parte della classe;

> la costituzione di un sistema di tutoraggio tra pari dove i compagni di classe sono la principale risorsa su cui contare per apprendere, in modo particolare per le diverse abilità;

> lo sviluppo di un sistema solidale, nel quale si inizia a prati-care il rispetto di ogni altro e di ogni idea, in un prospettiva democratica;

> la possibilità di operare come cittadini attivi nella classe – contesto sociale.

3.9 La didattica basata sui problemi (Problem Based Learning): punto cardinale Ovest

L’apprendimento basato sui problemi rappresenta il nostro ovest della bussola Didattica moderna. Il punto che solita-mente rappresenta la metafora verso cui andare, l’innovazio-ne. Il Problem Based Learning costituisce, infatti, una moda-lità attraverso la quale tutti gli studenti assumono un ruolo attivo e responsabile nella costruzione della loro conoscen-za, sviluppando competenze e processi di pensiero più raffi -nati. Il lavoro di gruppo rappresenta la modalità attraverso la quale viene proposto agli studenti di affrontare una situa-zione molto vicina alla realtà, sollecitandoli a sviluppare un


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insieme di competenze utili per la vita e per l’apprendimen-to continuo.In particolare affrontare lo studio tramite la soluzione di problemi presenta alcune evidenze molto interessanti circa la formazione del profi lo delle competenze per il XXI seco-lo. Per esempio questo approccio stimola l’uso di forme fl es-sibili di risoluzione dei problemi, sollecita ad utilizzare le conoscenze in modo più effi cace e sviluppa la capacità di generare ipotesi (Dochy, Segers, Van den Bossche, Gijbels, 2003). Inoltre è stato dimostrato che la richiesta di presenta-re le proprie ipotesi e soluzioni, induce gli studenti ad essere più accurati e coerenti nelle spiegazioni ed a sostenere le proprie affermazioni con argomentazioni adeguatamente motivate (Hmelo, 1998; Schmidt et al, 2006; Stepien et al., 1993).Le fasi normalmente coinvolte nell’organizzazione delle atti-vità basate sui problemi rappresentano un modello ben strut-turato di sequenze (Jonassen, Hung 2008; Larmer e Mergen-doller, 2010):

1) l’attività inizia con la presentazione del problema e delle domanda d’indagine; in questa fase l’insegnante introdu-ce il lavoro di ricerca, utilizzando diversi strumenti e lin-guaggi, e avviando forme di discussione e di dialogo per scegliere piste di ricerca sulle quali i gruppi lavoreranno.

2) Una volta focalizzate le domande guida per la ricerca pren-de avvio il lavoro in gruppo cooperativo per ragionare attor-no al problema. In questa fase gli studenti cercano di defi ni-re il problema e i confi ni nel quale collocarlo, identifi cando le conoscenze utili che già possiedono, formulando ipotesi e congetture, progettando lo sviluppo del sapere necessario per affrontare il problema, individuando quali attività saran-no richieste e come le potranno realizzare. Nel gruppo co-operativo gli studenti si distribuiscono le parti da studiare e


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approfondire e defi niscono i tempi necessari per svolgere le attività individuali e di gruppo.

3) A questo punto può collocarsi la fase dello studio indi-viduale, durante il quale gli studenti completano le par-ti scelte e assegnate per indagare il problema studiando fonti e documenti, raccogliendo elementi di nuove cono-scenze connesse al problema e predisponendo dei report per il gruppo.

4) Completata la fase di lavoro individuale si passa alla pre-sentazione e alla discussione in gruppo, nella quale gli studenti condividono con gli altri membri del gruppo le loro scoperte, rivedono il problema alla luce di quanto esplorato, generano ulteriori ipotesi e/o rivedono quelle iniziali, alla luce delle nuove informazioni.

5) Il gruppo è pronto a questo punto per la defi nizione dell’ipotesi fi nale, che integra gli studi svolti e la loro ri-fi nitura e che verrà formalizzata attraverso la stesura del report e del prodotto conclusivo.

6) Ogni gruppo procede quindi alla presentazione dei ri-sultati alla comunità, rappresentata dai compagni, dagli insegnanti, dagli esperti, alcune volte anche dai genitori, che forniscono feedback fi nali. Nella presentazione sono incluse l’esposizione delle modalità con le quali il gruppo ha lavorato, l’esplicitazione delle competenze raggiunte e delle nuove conoscenze acquisite.

7) Oltre alla presentazione è prevista la revisione all’interno del gruppo di lavoro, con la quale gli studenti analizza-no i loro processi di lavoro, rivedono quanto realizzato, defi niscono come progredire realizzando piani di lavoro personali e di gruppo per le future attività. In questa fase vengono utilizzati gli strumenti della valutazione formati-va o continua (Ellerani et al., 2007).


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3.10 La formazione delle “abitudini della mente”:punto cardinale Nord-Est

L’intersezione tra le competenze e lo sviluppo delle intel-ligenze genera un percorso dalle caratteristiche particolar-mente signifi cative. Arthur Costa (2008) ha indagato infatti le modalità di formazione di abitudini mentali connesse ai co-siddetti comportamenti intelligenti. Numerose e signifi cative ricerche indicano che esistono alcune caratteristiche identi-fi cative dei pensatori effi caci, i quali non sono necessariamen-te dei “geni” oppure esseri più dotati che dimostrano questi attributi, piuttosto utilizzano costantemente modi di pensare e di comportarsi defi niti come intelligenti e che sono attivati quando viene chiesto di confrontarsi con le complessità e le ambiguità della vita.Un’abitudine mentale signifi ca quindi avere una disposizio-ne verso il comportamento intelligente nelle occasioni di confronto con i problemi. Le “abitudini mentali” sono ca-ratteristiche di spicco dei performers ovunque nella vita, nelle scuole, nello sport, nelle organizzazioni, nella politica, nelle chiese o nelle associazioni. Sono quindi il “cosa” permette di apprendere continuamente, di rendere un posto di lavoro produttivo e durevole la democrazia. Esse si apprendono “dal” e “nel” contesto e quindi vanno considerate intenzio-nalmente nella formazione.É evidente che l’ambiente di apprendimento diviene un luo-go attraverso il quale sollecitare, riconoscere, apprendere e utilizzare le “buone abitudini” mentali. La classe dovrebbe essere luogo per sostenere ognuno nel liberare, sviluppare e allenare pienamente queste abitudini, che rappresentano gli strumenti per operare scelte disciplinate e durevoli in tutti i campi della vita. Esse sono, infatti, il principale veicolo nel viaggio lungo la vita attraverso l’inclusione delle differenze


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individuali e sociali. Tra le attitudini da formare particolar-mente rilevanti con quanto presentato, possiamo evidenzia-re: a) la gestione dell’impulsività, come attitudine a pensare prima di agire, essere rifl essivi, mantenersi calmi e pronti; b) ascoltare gli altri con comprensione ed empatia, dedicare energie mentali alle idee e ai pensieri di altre persone, tenere in sospeso i propri pensieri in modo da percepire il punto di vista e le emozioni dell’altro; c) porre domande o problemi, conoscere quali dati sono necessari e sviluppare strategie di domande per produrre questi dati.Queste “attitudini” raramente sono agite isolatamente: esse sono attivate e impiegate contestualmente in varie situazioni. Quando ascoltiamo intenzionalmente, per esempio, impie-ghiamo fl essibilità, metacognizione, precisione di linguaggio e capacità di porre domande. Rilevante è quindi la richiesta posta nell’ambiente di apprendimento, in questo caso l’uso del comportamento di ascolto, al fi ne di comprendere, ricer-care, operare con gli altri. Costa (2008) suggerisce alcune scelte che aiutano a formare atteggiamenti mentali attraverso le attività quotidiane nelle classi:

1) Pianifi care strategie. L’insegnante utilizza tre momenti (pri-ma, durante e dopo le attività) per organizzare gli appren-dimenti con gli studenti. Il tempo del “prima” viene utiliz-zato per discutere strategie e passi necessari ad “attaccare” il problema, ruoli o procedure da ricordare, direzioni da seguire. Ogni studente assumerà la propria. Durante l’atti-vità l’insegnante chiede agli studenti di condividere i loro progressi, i loro processi di pensiero, e le percezioni del loro comportamento, per descrivere il punto nel quale si trovano rispetto alla strategia scelta. Vengono chieste anche le strategie alternative, quando questo si rendesse necessario. Dopo le attività didattiche di apprendimento, viene chiesto di valutare come sono stati gestiti i ruoli e i


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compiti svolti, quanto produttive sono state le strategie uti-lizzate, che cosa è utile modifi care per la successiva attività.

2) Generare domande per la comprensione. Porre delle domande continue su come si sono attivati i processi di controllo e di previsione, i collegamenti che permettono il trasferimento tra processi e saperi, permettendo all’allievo di andare ol-tre la superfi cie della conoscenza.

3) Operare scelte consapevoli. Gli insegnanti possono promuo-vere la metacognizione aiutando gli studenti a esplorare le conseguenze delle loro scelte. In questo modo gli stu-denti saranno piú capaci di mettere in relazione le loro scelte, le loro azioni e i risultati che raggiungono.

4) Valutazione differenziata. È possibile chiedere allo studente di rifl ettere e categorizzare le proprie azioni e i processi cognitivi che ha messo in essere, seguendo differenti cri-teri. In questo modo si genera un’abitudine ad osservare gli eventi di apprendimento da più punti di vista.

5) Acquisire fi ducia. Invitare a valutare quanto è stato svolto in modo adeguato e stimolare a ricercare feedback dai compagni.

6) Bandire l’affermazione “io non posso”. Informare gli studenti che non è possibile utilizzare alcune affermazioni per giu-stifi care la rinuncia al compito. Piuttosto aiutare a trovare quali informazioni, procedure, materiali sono necessari a svolgerlo.

7) Parafrasare le idee degli studenti o rifl ettere sulle idee. L’inse-gnante utilizza le forme di supporto verbale e aiuta lo stu-dente a capire il senso delle proprie affermazioni e il gra-do di comprensione che avviene negli altri. Chiedere di fare altrettanto, aiuta gli studenti a formare un pensiero piú effi cace e lineare.

8) Esplicitare (etichettare) i comportamenti degli studenti. Defi nire con un nome e una descrizione precisa il processo cogni-


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tivo che viene svolto dallo studente, rende consapevole quest’ultimo di cosa sta agendo.

9) Chiarire la terminologia degli studenti. È importante che l’insegnante aiuti lo studente a correggere il proprio lin-guaggio, trasformandolo via via in un linguaggio preciso. Questo permette di riconoscere con precisione i processi e i dialoghi interni, fornendo supporto all’acquisizione di consapevolezza.

10) Usare giochi di ruolo e simulazioni. Assumere ruoli di altri e agirli in contesti che richiedono comportamenti specifi -ci aiuta lo studente a utilizzare categorie cognitive come la previsione e la formulazione di ipotesi e a de-centrarsi dalle proprie modalità di intervento nei problemi e nelle situazioni. Viene ulteriormente arricchito il bagaglio di consapevolezza.

11) Compilare un diario di bordo. Chiedere agli studenti di com-pilare e tenere aggiornato un loro diario di bordo sulle esperienze di apprendimento realizzate nel corso dell’an-no implica la sintesi e l’uso di forme simboliche che arric-chiscono il bagaglio metacognitivo dello studente.

12) Modellare comportamenti metacognitivi. Uno dei modi mi-gliori per aiutare gli studenti ad assumere atteggiamenti metacognitivi è quello di utilizzare questi atteggiamenti durante l’insegnamento. Una delle forme più effi caci è fare quello che si chiede di fare.

Questi aspetti sottolineano ulteriormente l’importanza di connettere in modo signifi cativo le teorie dell’apprendimen-to con le pratiche didattiche: pensiamo all’importanza che assume un allievo competente, nel gruppo, in grado di aiu-tare e guidare alcuni compagni ad essere altrettanto compe-tenti. E questo moltiplicato, potenzialmente, per ogni allievo del gruppo e della classe.


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3.11 La Didattica metacognitiva e l’apprendere ad apprendere per lo sviluppo del pensare: punto car-dinale Sud-Est

Organizzare contesti attivi, realizzando prodotti di compren-sione sostenuti da una Didattica laboratoriale, signifi ca con-temporaneamente il pensare all’azione e attraverso l’azione. Il luogo caldo delle relazioni cooperative si innesta nello svi-luppo dell’apprendere continuamente, attraverso percorsi di revisione dei processi di lavoro e di pensiero, individuali e di gruppo. Apriamo la prospettiva del punto cardinale della Didattica metacognitiva.La metacognizione è tradizionalmente defi nita come l’espe-rienza e la conoscenza che abbiamo dei nostri processi cogni-tivi. Essa è una forma di cognizione, un secondo o più alto ordine di processi di pensiero, che coinvolge un controllo attivo sui processi cognitivi. Nella forma più semplice «può essere defi nita come il “pensare sopra al pensare”, oppure come una “cognizione della persona sulla propria cognizio-ne”» (Wellman, 1985, p. 1).Boscolo (1997) afferma che il termine “metacognizione” «viene utilizzato per designare la consapevolezza e il control-lo che l’individuo ha dei propri processi cognitivi; il termi-ne, che ha un signifi cato generale, viene talvolta sostituito da termini più specifi ci in relazione ai diversi tipi di processi su cui esercitano questo controllo: metamemoria, metacom-prensione, metaattenzione» (p. 281).Il fatto che la metacognizione sia qualche cosa di complesso e spesso accentuato su alcune variabili piuttosto che altre, è af-fermato da Cornoldi (1995), il quale divide schematicamen-te l’ambito metacognitivo in due ampi settori, rappresentati dalla conoscenza metacognitiva e dai processi di controllo.


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La metacognizione non attiene però solo al campo della psi-cologia. La dimensione pedagogica della metacognizione è rintracciabile nel pensiero di Dewey al quale, come riferi-to da Pallascio, Benny e Patry (2004), spesso ci si riferisce per il suo “pensare rifl essivo” come ad un precursore dello sviluppo degli strumenti per la realizzazione di un pensa-re critico negli allievi. Attraverso il “metodo sperimentale” e l’attribuzione di valore all’“esperienza”, Dewey presenta risvolti interessanti per una didattica metacognitiva. Infatti quando sostiene che «scopo dell’educazione è di permet-tere agli individui di continuare la loro educazione, ossia che l’obiettivo e la ricompensa dello studio è una continua-ta capacità di sviluppo» (1916, p. 147), Dewey anticipa la competenza di apprendere ad apprendere particolarmente nota oggi. Per Dewey «i principi della continuità dell’azione e dell’interazione non sono separati l’uno dall’altro (…) via via che un individuo passa da una situazione ad un’altra, il suo mondo si espande e si contrae (…). Quello che ha acquisito in conoscenze e abilità in una situazione diventa strumento di comprensione e di effettiva azione nella situa-zione che lo segue. Il processo continua quanto la vita e l’apprendere» (p. 33).Più specifi camente, Dewey (1916) sostiene che “imparare” presupponga quindi l’attivazione di un processo cognitivo che, in questo caso, ci fa guardare a quello che si fa duran-te lo svolgimento del compito, ricordando come si è fatto prima, per farlo meglio poi. Ancor più signifi cativo, in tal senso, la specifi cazione circa la rifl essione nell’esperienza: «il pensiero, o la rifl essione, è il discernimento della relazione fra quel che cerchiamo di fare e quel che succede in conse-guenza. Nessuna esperienza che abbia un signifi cato è pos-sibile senza qualche elemento di pensiero. E vi è differenza nell’esperienza, secondo la proporzione di rifl essione che vi troviamo. Ben altro valore ha, in contenuto di pensiero, ana-


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lizzare per vedere cos’è che fa da intermediario in modo da collegare causa ed effetto, attività e conseguenza: ovvero, l’at-tività che ci permette di prevedere con maggiore accuratezza. Se sappiamo in dettaglio da che cosa dipende il risultato, pos-siamo controllare se esistono le condizioni richieste. Pensare equivale pertanto ad un cosciente astrarre l’elemento intelli-gente della nostra esperienza» (p. 196).L’attività di “prevedere” e di “controllare” esplicitata da Dewey, come pensare cosciente sull’esperienza, richiama la rifl essione circa l’oggetto della metacognizione che, per Cornoldi (1995) diviene la conoscenza sulla nostra attività mentale. Inoltre, diverso è svolgere un compito per prove ed errori, oppure utilizzare un’immagine mentale di un compor-tamento di altri, dal rifl ettere su quanto sta per accadere in noi, prima di agire sul compito. Più esplicitamente, l’oggetto della conoscenza metacognitiva è il funzionamento mentale. E ancora, Cornoldi afferma che la conoscenza metacognitiva si acquisisce, si sviluppa e si esplicita in interrelazione con il comportamento cognitivo. Sempre Dewey, considera «il pen-sare su quello che stiamo per fare un pensare rifl essivo, e il coltivare deliberatamente questa fase di pensiero costituisce il pensare come esperienza a sé. Il pensare è, in altre parole, il tentativo intenzionale di scoprire delle connessioni speci-fi che tra quello che facciamo e le conseguenze che ne risul-tano, in modo che le due cose diventino continue» (p. 196).Troviamo inoltre coerente ed esplicativo dell’oggetto meta-cognitivo evidenziato da Cornoldi, quanto il fi losofo america-no afferma ancora circa il fatto «che il pensiero non connesso con un aumento di effi cienza per l’azione, e con l’imparare un po’ di più su noi stessi e su come funzioniamo, zoppica proprio in quanto pensiero» (1916, p. 203).Il pensare rifl essivo permette di “prevedere” e “controllare” l’attività in atto e quella che potrà avvenire. Siamo nel ver-sante regolativo dei processi cognitivi, quelli che A. Brown,


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come riportato da Varisco (2004), ha nettamente distinto dal-la conoscenza che un soggetto ha del proprio funzionamento cognitivo, evidenziando abilità, processi o strategie di regola-zione metacognitiva:

a) prevedere il livello di prestazione in un compito e/o stima-re il suo grado di diffi coltà;

b) essere consapevole del proprio repertorio di strategie e del loro campo di applicazione;

c) identifi care e defi nire il problema o compito da affrontare;d) pianifi care e programmare appropriate strategie risoluti-

ve, ovvero organizzare le azioni che portano al persegui-mento di un obiettivo;

e) monitorare, ovvero controllare “progressivamente” in ogni sua singola fase, un’attività cognitiva intrapresa;

f) valutate in modo “dinamico” i risultati che si vanno com-plessivamente ottenendo attraverso l’applicazione di una strategia ed eventualmente modifi care quest’ultima.

Come dire, parafrasando Dewey, che il pensare connesso ad un aumento dell’effi cienza in azione e con l’imparare su come noi stessi funzioniamo, è un pensiero metacognitivo.Egli afferma che una persona «che ha conseguito il potere dell’attenzione rifl essiva, il potere di affrontare con la mente problemi e quesiti, è per ciò essa stessa educata dal punto di vista dell’intelligenza. Possiede disciplina mentale, potere del-la mente e per la mente. Senza di questo, la mente resta alla mercé del costume e delle infl uenze esterne (p. 104) (…). E per raggiungere tale processo, l’attenzione rifl essiva implica sempre giudizio, ragionamento e deliberazione, e indica che il ragazzo ha un problema suo ed è impegnato attivamente nella ricerca e nella scelta di materiale pertinente a rispon-dervi» (1938, p. 106).Dewey attribuisce allo sviluppo del pensare e dell’intelligen-za in ognuno, uno dei principali motivi per l’attuazione del-


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la democrazia. Consapevole che in questo «l’educare ha un

senso particolare, poiché una società che non solo cambia,

ma che ha come ideale un cambiamento che la migliori, avrà

norme e metodi di educazione diversi da quella che mira so-

lamente alla perpetuazione dei suoi costumi» (p. 127).

3.12 Didattica e valutazione autentica. La prospet-tiva per la valutazione delle competenze: punto car-dinale Nord-Ovest

Lo spostamento dei paradigmi verso l’apprendimento e le

competenze introduce alcune questioni chiave per il tema

della valutazione.

Il termine “autentico” è stato introdotto da Costa (1989) per

defi nire le forme di valutazione che includono l’osservazio-

ne diretta dei comportamenti, i progetti a lungo termine, le

interviste, i video. Ovvero una varietà di dati di valutazione

per rendere il quadro personale dello studente più vivo e

attendibile, ben oltre la fi ssità del semplice punteggio di

un test standardizzato. Lo scopo è riconoscere “l’autentica”

crescita dell’alunno durante il corso di studi, in contrap-

posizione alla pratica dei test, ritenuta al contrario, poco o

nulla “autentica”.

Wiggins (1989) propone di operare il passaggio dalla di-

mensione di valutazione della conoscenza alla valutazione

della comprensione. Il suo ragionamento è semplice e ac-

cattivante. Se le prove regolano cosa l’insegnante insegna e

cosa gli studenti studiano per comprendere, la strada per ri-

pensare la valutazione è ben tracciata: basta verifi care quel-

le capacità e abitudini che si reputano essenziali, collocan-

dole in un preciso contesto e rendere replicabili le sfi de che

sono al cuore di ogni disciplina. In ciascuna di esse dobbia-


176

mo saper fare con quello che sappiamo. Questa è l’essenza delle prove autentiche.L’alternativa (rispetto alle prove standardizzate) viene man-tenuta e rafforzata, affi ancata dalla prospettiva dell’“auten-ticità” intesa come padronanza reale, non effi mera e dura-tura di ciò che è stato appreso.In altre parole Wiggins sposta il focus sulla prova complessa come il momento centrale di un processo volto a chiarifi ca-re e defi nire livelli di padronanza nei quali le conoscenze sono incontrate ad un certo livello di qualità. Attraverso una situazione complessa viene chiesto allo studente di “mostra-re” il livello di padronanza raggiunto in un dato dominio e operare delle giustifi cazioni rispetto alle scelte operate.Padroneggiare un sapere signifi ca molto più che fare un buon test. Per questo c’è bisogno di progettare prove “au-tentiche” (cfr. par. 3.7) e cioè in grado di mettere lo studen-te in condizione di dimostrare quello che sa e sa fare con quanto conosce (e per come lo ha appreso e interiorizzato).L’autenticità della valutazione è ulteriormente defi nita da Wiggins e Mc Tighe (1999) come una prassi che deve pro-vare quello per cui è stata progettata. Perciò è ipotizzabile che si possano avere più forme di test o di prove, tutte con eguale valore. Nello schema che segue si rappresenta que-sto assunto:

Controlliinformali

Osservazioni/Dialoghi

Questionari/Tests

Argomentazioniaccademiche

Compiti di prestazione/Progetti

Wiggins ha inoltre modifi cato ulteriormente il signifi cato di “autentico”, non solo rafforzando l’importanza del cosid-detto “principio di comprensione”, ma anche estendendo il termine “autentico” nel senso di “educativo”.Due sono le caratteristiche principali che la renderebbero tale:


177

1) la valutazione dovrebbe essere intenzionalmente proget-tata per promuovere e sostenere (non solo misurare) ciò che è ritenuto signifi cativo nella vita, prospettando a tal fi ne agli allievi compiti autentici;

2) la valutazione dovrebbe fornire a tutti gli studenti e ai loro insegnanti sia un ricco e utile feedback che essere pre-disposta per valutare l’uso del feedback da entrambe le par-ti, studenti e insegnanti, per una iniziale autovalutazione.

Le forme diverse di valutazione possono essere correlate alla comprensione dell’argomento, del concetto, dell’unità che l’insegnante ha progettato. Lo schema seguente pone in re-lazione diversi livelli di comprensione con i relativi strumen-ti di valutazione:

Questionari, test “carta e penna”:

– scelta multipla

– vero/falso

– test chiusi

– domande aperte

– schede di lettura

Questionari, test “carta e penna”:

– scelta multipla

– vero/falso

– test chiusi

– domande aperte

– schede di lettura

Compiti di prestazione e progetti aperti

complessi

autentici

Compiti di prestazione e progetti aperti

complessi

autentici

e

Conoscenze e abilitànecessarie per sapere

e saper fare

Conoscenze chmeritano familiarità

Comprensioni per la vita


178

Altri elementi di questa prassi di valutazione, incentrata sull’ap-prendimento, che noi diremmo “personalizzato”, sono i se-guenti: un sistema di valutazione è educativo quando è pro-gettato per migliorare le prestazioni (degli studenti e del-l’insegnante) e si affi da a “pedagogie esemplari”. È costruito incentrandosi su compiti signifi cativi, credibili e realistici e in quanto tali “autentici”. Il sistema è inoltre tenuto a:

> essere aperto e cioè basato su compiti, criteri e standards, conosciuti dagli studenti e dagli insegnanti. La valutazione educativa è quindi molto rilevante rispetto ai semplici test esterni, i quali richiedono che le domande del test siano mantenute segrete;

> modellare istruzioni esemplari, incoraggiando piuttosto che limitando, desiderabili pratiche di insegnamento;

> usare forme di comunicazione e criteri di valutazione che signifi cano ed indicano qualcosa di chiaro, stabile e valido. Questi ultimi naturalmente sono tenuti a essere collegati ai traguardi indicati dal sistema nazionale;

> impiegare le prassi sommative (che non vanno escluse, ma ordinate all’interno di un contesto) nel senso di costituire un set di ragionevoli aspettative per gli studenti.

Per quanto riguarda i feedback che il sistema invia a studenti, insegnanti, dirigenti e decisori politici occorre:

> fornire dati e commenti esaustivi e chiari per rendere ca-paci gli studenti e gli insegnanti di auto-valutarsi e auto-correggere, al tempo stesso, le proprie prestazioni;

> assicurare ampie opportunità di ottenere e usare una valu-tazione immediata e continua.

L’introduzione della valutazione autentica/formativa è per Wiggins un punto fondamentale non soltanto in funzione della maggiore effi cacia delle prassi valutative, ma in rap-


179

porto alla stessa riforma scolastica. Infatti è dalla fi nalità che si attribuisce alla valutazione che dipende il volto della scuola.

3.13 La Didattica per capacitare e costruire capitale sociale. Un nuovo orizzonte formativo: punto cardi-nale Sud-Ovest

La prospettiva basata sulle competenze potrebbe essere – se rigidamente e facilmente interpretata – funzionalistica e adattata alle esigenze del mercato. L’orizzonte è quindi di una Didattica innovativa, dai tratti caldi, generativa di nuove prospettive pedagogiche e sociali. Una Didattica pur basata sulle competenze, ma che permetta di considerare un diffe-rente percorso e signifi cato. La prospettiva a cui ci riferiamo è quella di Amartya Sen (1992) e Martha Nussbaum (2010) che hanno introdotto il principio delle capacitazioni.Abbiamo appreso molto riguardo al capitale umano. Centro di questa prospettiva è la formazione di una persona com-petente che possa trovare soddisfazione e sia in grado di permanere nel mondo del lavoro. Il fulcro è il ruolo attivo degli individui nell’espansione delle possibilità produttive. Potremmo dire che al mutare del sistema produttivo o eco-nomico – e delle sue esigenze – mutano le competenze che formano il capitale umano.La capacitazione di una persona è l’insieme delle combina-zioni alternative di funzionamento che essa è in grado di re-alizzare. È quindi una opzione di libertà, di possibile scelta tra più opportunità. Le scelte si fondano su prospettive di valore o di soddisfazione di bisogni, ma sono opzioni perso-nali verso la realizzazione di un progetto di vita, il quale non necessariamente si fonda sul raggiungimento dei livelli di be-


180

nessere e di status symbol prodotti da un sistema culturale o economico.Questa differenza diviene sostanziale nelle prospettive for-mative: formare a sistemi di possibilità signifi ca ancora una volta porre al centro lo sviluppo umano, poiché sviluppare capacitazioni offre alla persona una prospettiva di intervento autonomo, piuttosto che una formazione per adeguarsi alla prospettiva. Contemporaneamente questo aspetto sottolinea la possibilità di aderire a sistemi di sviluppo differenti, ma che crescono con il crescere delle opportunità e dell’umani-tà. Una prospettiva quindi di sviluppo sostenibile guidato da valori e ideali fondati sul vivere bene. Capacitare non è solo riferito all’individuo ma anche alla necessità di permettere lo sviluppo del contesto affi nché gli individui siano in grado di formarsi capacità.Si affaccia, in questa prospettiva, il capitale sociale. In classe è la qualità delle relazioni che sostiene l’apprendimento e la costituzione di un contesto nel quale permettere agli stu-denti e agli insegnanti di formare capacitazioni. È questa del capitale sociale così inteso una tematica interessante per la classe come contesto sociale e di cittadinanza attiva. Da un parte, assumendo la prospettiva di Putnam (2000), il capitale sociale è importante per alcuni motivi:

1) permette ai cittadini di risolvere più facilmente i proble-mi collettivi. Le persone spesso potrebbero essere più ricche se cooperassero, condividendo ogni loro fare. Le norme sociali e le reti permettono di rendere più effi caci le regole che vengono defi nite a livello istituzionale;

2) rende più fl uido e scorrevole l’ingranaggio sociale che permette alla comunità di progredire in modo agevole. Quando le persone si fi dano e si rendono affi dabili e ripe-tono le interazioni con altri cittadini, ogni giorno le tran-sazioni sociali “costano” meno e sono più effi caci;


181

3) migliora la vita attraverso l’allargamento delle nostre con-sapevolezze circa i molteplici modi nei quali il nostro desti-no è collegato. Le persone che hanno connessioni attive e di fi ducia con altri – membri della famiglia, amici o com-pagni del tempo libero – sviluppano o mantengono tratti caratteristici che sono utili anche per il resto della società;

4) le reti che costituiscono il capitale sociale servono anche come conduttori per il fl usso delle informazioni di aiuto che facilitano il raggiungimento dei nostri obiettivi. Il capitale sociale opera attraverso processi psicologici e biologici per aumentare la vita degli individui. Le persone ricche di capi-tale sociale e che vivono a lungo, fanno fronte in modo mi-gliore ai traumi e combattono le malattie più effi cacemente.

Tradotto nella vita della classe – e della scuola – il capitale so-ciale è sostenuto da una didattica che nelle rappresentazioni sin qui evidenziate è comunicazione, rifl essione, costruzio-ne ed azione. La classe costruisce il proprio capitale sociale all’interno delle pratiche didattiche solidali e cooperative, di aiuto e inclusive. Fondamentali divengono le pratiche di ac-coglienza dove per ognuno, nella classe, c’è un posto.Nell’analisi di Donati (2003) assume signifi cato il valore di capitale sociale basato sulla dimensione relazionale, ovvero quello che mostra l’esistenza di relazioni sociali sui generis la cui funzione primaria non è quella di essere strumento per ottenere qualcosa, ma è quella di favorire la relazionalità so-ciale stessa, cioè la scambietà che produce un bene condivi-so, da cui derivano particolari risorse come effetti secondari.«Il capitale sociale, pertanto, è la relazione sociale stessa, se e in quanto è vista e agita come risorsa per l’individuo e/o per la società» (pp. 49-50).È ancora più stringente la posizione di Donati per la vita del-la classe. Ritorna infatti, a questo punto, il tema della comu-nicazione che, nella prospettiva della psicologia sociale, non


182

è il semplice canale fi sico che trasmette i dati sotto forma di suoni o movimenti, bensì è la relazione sociale stessa che si instaura durante la comunicazione, unitamente alla persona-lità degli interagenti, al luogo fi sico, al codice utilizzato.Uno strumento fondante la relazione sociale, quindi, che ne-cessita di attenzione particolare per il contesto che ne per-mette la realizzazione e per il fatto che essa diviene un atto relazionale fra gli individui, e non un comportamento del singolo soggetto.La classe diviene allora un conteso che sviluppa capitale so-ciale con alcune conseguenze per la prospettiva formativa. Capacitare signifi ca costruire contemporaneamente un siste-ma di possibilità per ognuno e per il contesto che si arricchi-sce continuamente – grazie alla qualità delle relazioni – di capitale sociale. Il quale è rilevante per l’apprendimento. Infatti per Thomas Sergiovanni (2002) «nessuna scoperta è più importante per la costruzione di una scuola di successo del legame che esiste tra la capacità della scuola di sviluppare capitale sociale per tutti i suoi studenti e il loro conseguente impegno con la scuola, il loro comportamento come membri della scuola e le loro prestazioni scolastiche» (p. 201).Alla base delle sue affermazioni, Sergiovanni assume le defi -nizioni di Coleman (1988) per cui «il capitale umano è cre-ato dai cambiamenti nelle persone che producono abilità e capacità che le mettono in grado di agire in modi nuovi. In ogni caso il capitale sociale si crea tramite i cambiamenti nel-le relazioni tra le persone che facilitano l’azione. Il capitale umano facilita l’attività produttiva così come il capitale socia-le» (pp. 101-102).Per Sergiovanni (2002) la generatività del capitale sociale nelle scuole dipende ampiamente dal coltivare una comu-nità di pensiero: «la scuola che si impegna a costruire una comunità di pensiero si sforza di trovare i modi che uniscono le persone con specialità e che le leghi a un sistema di idee


183

condiviso. La comunità emerge da una rete di sistemi di idee condivisi coerenti di convinzioni che tengono insieme le per-sone e che spiegano il loro lavoro in termini di rapporti di causa ed effetto» (pp. 202-203).Poiché si tratta di generare capitale sociale attraverso la cre-azione, il potenziamento, il rafforzamento, lo sviluppo di re-lazioni come bene in sé, la scuola, può essere un importante contesto per ampliare verso l’esterno – solidifi candolo e rav-vivandolo – il capitale sociale. È una prospettiva che restitu-irebbe alla scuola il valore che le compete nella formazione delle nuove generazioni e per uno sviluppo culturale e di co-esione sociale. Nella prospettiva qui presentata la Didattica, in dialogo con-tinuo con le altre scienze umane, ne diverrebbe il motore.


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4 Capitolo QuartoLe valutazioni nazionalie internazionali

4.1 Introduzione

L’introduzione delle prove Invalsi, a partire dalla prova Nazio-nale inserita nell’esame conclusivo del primo ciclo di istru-zione nell’a.s. 2007/08, è stato l’inizio di un piccolo terremo-to nella scuola italiana.Queste prove sono state accompagnate da innumerevoli po-lemiche di diversa natura: culturale, disciplinare, sindacale, corporativa, economica. Hanno però avuto il merito di ripor-tare prepotentemente all’attenzione degli insegnanti e più in generale della società il tema della valutazione. In particolare, hanno posto il problema della valutazione esterna degli appren-dimenti in matematica. La valutazione, infatti, è un compito primario dell’insegnante, intrecciato quotidianamente con il percorso della classe e dei singoli studenti: un intervento esterno, brutalmente sommativo, rischia di venire percepito come una invasione di campo.La matematica, tra tutte le discipline, è forse quella che vanta la più lunga esperienza per quanto riguarda le valutazioni stan-dardizzate. In questo capitolo esamineremo dapprima la situa-zione internazionale, per poi concentrarci sul Servizio Nazio-nale di Valutazione dell’Invalsi e le sue caratteristiche. L’ultima parte del capitolo sarà dedicata a come utilizzare i materiali dell’Invalsi (prove e risultati) come strumento di autovalutazio-ne (per l’insegnante) e in funzione formativa (per gli allievi).


190

4.2 L’indagine OCSE-PISA

L’indagine che ha il maggior impatto sui media di tutto il mondo è sicuramente la ricerca PISA (Program for Internatio-nal Student Assessment) promossa dall’OCSE (Organizzazione per la Cooperazione e lo Sviluppo Economico). L’OCSE (o OECD) è una organizzazione internazionale con sede a Pa-rigi, che non è nuova a interventi in campo educativo e in particolare nell’educazione matematica.L’introduzione delle cosiddette matematiche moderne nelle scuo-le di tutto il mondo, a partire dagli anni ’60, fu il risultato di una specifi ca azione promossa e sostenuta proprio dall’OC-SE. In Italia, l’avvento dell’insiemistica fu il frutto (tardivo) di quell’azione.Alla fi ne degli anni ’90 l’OCSE lanciò un ambizioso progetto per valutare in che modo i ragazzi che terminano l’istruzione obbligatoria, nei diversi paesi del mondo, abbiano acquisito le competenze essenziali per la loro vita futura, come cittadini responsabili. La parola chiave diventa quindi competenza e in particolare, per la matematica, mathematical literacy.OCSE-PISA non punta quindi a valutare specifi che cono-scenze o abilità, anche perché non presuppone un con-fronto tra i differenti curricoli scolastici dei diversi paesi partecipanti; vuole piuttosto valutare (e per quanto possi-bile anche misurare) quanto, dell’insieme di conoscenze e abilità apprese a scuola, un ragazzo è in grado di trasferire nei differenti contesti in cui si troverà a operare.La prima indagine PISA si svolse nel 2000 e da allora si tiene con scadenza triennale. Gli ambiti di competenza conside-rati all’inizio erano la lettura (reading literacy), la matematica (matematical literacy), le scienze (scientifi c literacy). Un’enfasi particolare è posta sul problem solving e diverse importanti no-vità sono state introdotte con l’indagine del 2012. In ogni

Capitolo 4 Le valutazioni nazionali e internazionali

191

sessio l’indagine si concentra su una competenza diversa; la matematica è stata il focus nel 2003 e nel 2012.OCSE-PISA raccoglie anche molti dati di contorno che per-mettono di correlare la misurazione delle competenze a fat-tori di contesto; in questo modo, si può valutare in maniera più precisa l’importanza dei fattori socio-culturali, ma anche l’impatto delle diverse scelte di politica scolastica o l’infl uen-za di particolari situazioni didattiche (disponibilità di stru-menti, pratiche didattiche).I risultati di OCSE-PISA hanno un fortissimo impatto sull’o-pinione pubblica e di conseguenza anche sulle politiche sco-lastiche. Molte nazioni, regioni o città hanno adottato prov-vedimenti, intrapreso revisioni dell’architettura del sistema o del curricolo (in particolare per la matematica) in seguito ai risultati delle rilevazioni OCSE. I dati di questa indagine permettono infatti di rifl ettere su come la spesa in istruzione porti (o non porti) a risultati di apprendimento (in termini di competenze), di come i diversi sistemi offrano opportuni-tà a studenti socialmente svantaggiati, di come le scelte effet-tuate (ad esempio in termini di reclutamento, formazione, orario di impegno, retribuzione degli insegnanti) abbiano infl uenza sul servizio erogato agli studenti e alla società.In conclusione, possiamo dire che l’indagine PISA non ha la fi nalità di valutare il singolo studente (questo sarà più chiaro quando entreremo nel dettaglio tecnico di come viene realiz-zata), piuttosto vuole fornire informazioni sul sistema. D’altra parte, riteniamo che possa essere molto utile anche per gli insegnanti approfondirne i contenuti e i risultati. Il Quadro di riferimento presenta infatti una proposta molto ragionata di una possibile scelta di obiettivi per l’educazione matematica, e una articolazione dei processi coinvolti nell’attività mate-matica utile per la comprensione di quanto fanno i nostri stu-denti. I risultati, soprattutto in chiave comparativa, permetto-


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no di interpretare i percorsi dei nostri allievi confrontandoli con quelli dei loro coetanei di altri Paesi.

4.2.1 L’edizione del 2012

L’indagine del 2012 ha avuto come focus la competenza in matematica e in problem solving. Queste competenze sono state riformulate, rispetto alle precedenti edizioni, in questo modo:«Per competenza matematica si intende la capacità di un indi-viduo di utilizzare e interpretare la matematica e di darne rap-presentazione mediante formule, in una varietà di contesti. Tale competenza comprende la capacità di ragionare in modo matema-tico e di utilizzare concetti, procedure, dati e strumenti di carattere matematico per descrivere, spiegare e prevedere fenomeni. Aiuta gli individui a riconoscere il ruolo che la matematica gioca nel mondo, a operare valutazioni e a prendere decisioni fondate che consentano loro di essere cittadini impegnati, rifl essivi e con un ruolo costruttivo.Per problem solving si intende la capacità di un individuo di met-tere in atto processi cognitivi per comprendere e risolvere situazioni problematiche per le quali il percorso di soluzione non è immediata-mente evidente. Questa competenza comprende la volontà di confron-tarsi con tali situazioni al fi ne di realizzare le proprie potenzialità in quanto cittadini rifl essivi e con un ruolo costruttivo».Sottolineiamo l’enfasi posta sull’idea di competenza come ca-pacità di mobilitare conoscenze e abilità e sviluppare atteg-giamenti, nelle situazioni che lo studente incontrerà come cittadino.L’Italia, in particolare, ha scelto di partecipare alla sommi-nistrazione informatizzata (computer based) delle prove di lettura, matematica e problem solving, di rilevare la fami-liarità degli studenti con le tecnologie della comunicazione


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(TIC), di rilevare le esperienze scolastiche passate (educa-tional career) e il coinvolgimento dei genitori sullo sviluppo della literacy matematica dei fi gli.Un’altra novità dell’indagine 2012 è costituita dal rilevamen-to della fi nancial literacy, che è defi nita come:«(...) l’insieme di conoscenze e capacità di comprensione di con-cetti di carattere fi nanziario unito alle abilità, alla motivazione e alla fi ducia nei propri mezzi che consentono di applicare quelle stesse conoscenze e capacità di comprensione per prendere decisioni effi caci in molteplici e diversi contesti di carattere fi nanziario, per migliorare il benessere degli individui e della società e per consenti-re una partecipazione consapevole alla vita economica».All’indagine partecipa, per ogni nazione, un campione di studenti tra i quindici e i sedici anni, dunque in Italia la gran parte dei ragazzi campionati frequenta la seconda superiore, una piccola parte la prima superiore e un numero molto ri-dotto la terza media o la terza superiore.I quesiti sono suddivisi in blocchi e ogni fascicolo contiene alcuni dei blocchi: questo fatto è importante, perché ci dice che i risultati di PISA sono da considerare aggregati, e non come informazioni sul singolo studente.

4.2.2 La matematica

Al cuore di OCSE-PISA è il cosiddetto ciclo della matematiz-zazione, nel quale viene schematizzata la mathematical literacy quando viene esplicitata.Questo ciclo comprende due processi di matematizzazione oriz-zontale, che vengono defi niti come il processo di formulare e quello di interpretare, e un processo di matematizzazione verticale che viene defi nito come il processo di interpretare.


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Formulare un modello

Utilizzare la matematica

Interpretare i risultati

Mondo reale Mondo matematico

Problema in contesto

Risultati in contesto

Problema matematico

Risultati matematici

I tre verbi, formulare (che possiamo tradurre anche con “im-postare”), utilizzare e interpretare si riferiscono dunque ai pro-cessi in cui sono impegnati i ragazzi in quanto “solutori di problemi”.Più in dettaglio, formulare la matematica ha a che fare con il saper identifi care le opportunità di applicare la matematica, riconoscendo quali strumenti usare per capire e risolvere un problema. Nella fase di impostazione il ragazzo deve pren-dere una situazione così come si presenta nel contesto rea-le, e trasformarla in una forma trattabile matematicamente, dandole una struttura e una rappresentazione adeguata (ad esempio tramite un’equazione, una funzione, una rappre-sentazione geometrica, un grafi co). Per fare questo, è neces-sario spesso identifi care le variabili in gioco e fare opportune ipotesi semplifi cative.Nell’applicare la matematica il ragazzo mette in campo ra-gionamenti matematici, utilizza concetti e procedure, fatti e strumenti, esegue calcoli, manipola espressioni algebriche e aritmetiche, equazioni o altri modelli, analizza matematica-


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mente le informazioni che ha raccolto e rappresentato, ela-bora le descrizioni matematiche della situazione problemati-ca, usa strumenti di calcolo.Nella fase dell’interpretare il ragazzo rifl ette sulle soluzioni ma-tematiche che ha trovato e interpreta i risultati nel contesto del problema. Per fare questo, deve essere in grado di valu-tare le soluzioni e le argomentazioni e di determinare se i risultati sono ragionevoli e sensati in quel contesto.Vediamo dunque che il quadro di riferimento di OCSE-PISA 2012 ci offre una articolazione dell’attività matematica dei ragazzi quando risolvono un problema che può essere molto utile come quadro concettuale per gli insegnanti, per meglio comprendere gli apprendimenti dei propri allievi. Si basa su una visione della matematica che non è ridotta alla pura esecuzione di calcoli e nella quale l’argomentazione non è esercizio logico fi ne a se stesso.OCSE-PISA descrive poi, per ognuno dei tre processi fonda-mentali della matematizzazione, come questi si esplicitano relativamente alle competenze matematiche di base: comunicare, matematizzare, mettere in campo strategie per risolvere problemi, uti-lizzare linguaggio e operazioni simboliche formali e tecniche, usare strumenti matematici.La matematica valutata da OCSE-PISA è quindi una mate-matica ricca, legata a contesti signifi cativi, centrata attorno all’attività di risoluzione di problemi.

4.2.3 I risultati e l’Italia

I risultati di OCSE-PISA (fi no all’indagine 2009, l’ultima per la quale sono già disponibili i risultati) dei quindicenni ita-liani ci forniscono informazioni molto importanti, e una fo-tografi a per certi versi preoccupante delle loro competenze matematiche.


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Innanzitutto, il risultato medio dei ragazzi italiani è al di sot-to della media dei Paesi OCSE, e pochi sono anche i ragazzi che raggiungono dei livelli di competenza alti (PISA indivi-dua 6 livelli di competenza).La situazione è estremamente disomogenea da un punto di vista geografi co, con zone del Nord-Est a livello di eccellenza e il Sud e le isole con risultati confrontabili con le regioni più deboli economicamente e socialmente del pianeta.Infi ne, per la matematica, emerge un dato molto signifi ca-tivo, che “fotografa” in maniera sintetica lo stile di insegna-mento e le caratteristiche dell’apprendimento delle nostre scuole: gli studenti italiani riescono a reggere il confronto con i loro coetanei (posizionandosi sulle medie OCSE) se si guarda il processo dell’utilizzare, mentre sono drammati-camente più scarsi per i processi di matematizzazione oriz-zontale. In altre parole, la nostra scuola raggiunge risultati discreti (nella media) quando si tratta di fare matematica in contesto matematico, ma non riesce a mettere in grado i ra-gazzi di utilizzare la matematica come strumento per com-prendere il mondo, descriverlo, operare su di esso. Eppure, questi obiettivi sono presenti nei programmi e nelle indica-zioni almeno da 25 anni.Un’altra criticità messa in luce da OCSE-PISA è la debolez-za dei nostri ragazzi per quanto riguarda la capacità di argo-mentare e giustifi care le proprie affermazioni. Per certi versi, questo è un paradosso. I nostri studenti sono più deboli, su questi aspetti, di ragazzi che hanno studiato in paesi in cui la valutazione, molto di più che da noi, avviene attraverso prove standardizzate (o addirittura “test a crocette”). Come mai gli studenti della scuola italiana, che più di qualunque al-tra utilizza lo strumento dell’interrogazione orale, acquisiscono meno dei loro coetanei questa capacità? La discussione orale dovrebbe favorire la crescita e lo sviluppo della capacità di argomentazione.


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In realtà, la pratica sul campo delle interrogazioni orali spesso si riduce a una riproposizione alla lavagna di esercizi scritti. Anche quando vengono fatte argomentazioni o “di-mostrazioni”, quello che viene richiesto allo studente è di re-stituire l’argomentazione dell’insegnante, o del libro di testo, o di Euclide. Molto raramente nelle nostre classi si realizza quella discussione in classe che già veniva raccomandata nei documenti di Matematica 2001 (si veda a questo proposito l’Appendice conclusiva sui materiali di documentazione per gli insegnanti).L’indagine OCSE-Pisa ha avuto indiscutibilmente il merito di mettere davanti agli occhi di tutti cosa riesce a fare la nostra scuola, per la matematica, e quali sono i limiti della sua impo-stazione. Ci aiuta a comprendere meglio, al di là degli slogan, gli obiettivi delle Indicazioni di legge, ci dà strumenti con-creti per realizzare effettivamente percorsi di insegnamento-apprendimento attraverso i quali i ragazzi costruiscano vere competenze matematiche.

4.3 L’indagine IEA-TIMSS

L’indagine TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Studies) è una ricerca promossa dall’IEA (Internatio-nal Association for the Evaluation of Educational Achievement) della quale nel 2011 si è svolto il quinto ciclo. A differenza di OCSE-PISA, che studia i ragazzi di una coorte d’età indi-pendentemente dalla classe frequentata, IEA-TIMSS è col-legata ai percorsi scolastici, e valuta ogni quattro anni gli apprendimenti dei ragazzi del quarto e dell’ottavo anno di scolarità (in Italia, quindi, gli studenti della quarta prima-ria e della terza classe della secondaria di primo grado). Si trovano così a essere valutati comparativamente ragazzi che hanno lo stesso numero di anni di scolarità, ma età


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differenti: l’inizio della scolarizzazione non è lo stesso in tutti i Paesi, e ci sono tra i ragazzi valutati ripetenti o antici-patari. Inoltre, è notevole il fatto che sono gli stessi ragazzi che vengono valutati a distanza di quattro anni in due li-velli scolari differenti. Un’altra differenza con OCSE-PISA è nel fatto che TIMSS è una valutazione collegata ai curri-coli scolastici.TIMSS ha una appendice nella valutazione TIMSS Advanced, che confronta gli studenti del dodicesimo (in Italia del tre-dicesimo) anno di scolarizzazione, dei percorsi nei quali la matematica ha un peso importante.Gli obiettivi della ricerca sono:

> comparare gli apprendimenti degli studenti in funzione dei differenti sistemi scolastici dei diversi Paesi;

> individuare, a livello comparativo, punti di forza e di debo-lezza dei rispettivi sistemi educativi e migliorare, così, l’in-segnamento e l’apprendimento della matematica e delle scienze;

> misurare i cambiamenti nel tempo (analisi di trend) degli apprendimenti in matematica e scienze degli studenti dei singoli Paesi;

> identifi care i fattori che infl uenzano le performance in ma-tematica e scienze con particolare attenzione alle variabili di sfondo di tipo socio-economico e culturale, ai curricoli e alle strategie didattiche;

> individuare a spiegare le differenze nei sistemi di istruzione tra Paesi al fi ne di contribuire a migliorare l’insegnamento e l’apprendimento della matematica e delle scienze.

Con l’affermarsi del “modello PISA” l’indagine TIMSS ha perso in parte la propria risonanza, ma continua a fornire importanti elementi di rifl essione sul sistema e ai singoli in-segnanti.


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Innanzitutto, anche TIMSS “fotografa” risultati di apprendi-mento della matematica molto diseguali tra il Nord e il Sud. È signifi cativo però che il distacco tra i ragazzi italiani e i loro coetanei cresca con l’avanzare della scolarizzazione: se in quarta primaria i risultati sono nella media e senza eccessive differenze regionali, alla fi ne del primo ciclo si è già scavato il distacco con gli altri Paesi e tra Nord e Sud. La nostra scuola accentua le differenze, anziché colmarle.

4.4 Il Servizio di Valutazione Nazionale dell’Invalsi

In questo quadro di esperienze internazionali, anche l’Italia ha iniziato a realizzare un Servizio Nazionale di Valutazione, affi dato all’Invalsi. Quasi tutti i Paesi del mondo hanno un organismo deputato a valutare i risultati del sistema di istru-zione, e quasi sempre questo organismo ha come compito primario quello di monitorare i risultati di apprendimento degli studenti. Ogni sistema complesso ha bisogno di moni-torare continuamente i propri processi e i propri risultati, per individuare i punti di forza e i punti di debolezza. Un ovvio principio di buona gestione è che la valutazione deve essere compiuta da un agente esterno, che fornisce gli elemen-ti per l’autovalutazione.L’Invalsi agisce in base a precise indicazioni di legge (ad esem-pio, non è l’Invalsi che decide se la prova deve essere censua-ria o campionaria, o il peso che la Prova Nazionale deve avere nella valutazione degli studenti). Lo scopo principale delle prove Invalsi è fornire strumenti e dati per la valutazione. Va subito detto che questa parola, valutazione, comprende signi-fi cati molto diversi: è importante avere una valutazione del funzionamento del sistema scolastico, ed è importante avere una valutazione degli apprendimenti degli studenti. In base alle attuali disposizioni di legge, l’Invalsi deve fare entrambe le cose.


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L’Invalsi rileva quindi dati per valutare il sistema scolastico nel suo complesso, e tra questi, dati sugli apprendimenti in matematica degli studenti. Queste informazioni sono a di-sposizione dei cittadini e dei decisori politici e amministrativi per stabilire, sulla base di dati per quanto possibile affi dabili e oggettivi, se la scuola italiana sta raggiungendo gli obietti-vi prefi ssati. I dati Invalsi contribuiscono quindi a delineare una fotografi a del sistema. Per realizzarla, il Servizio Nazionale individua un campione molto ampio di studenti, stratifi cato tra l’altro per genere e regione, ai quali la prova viene som-ministrata in maniera controllata.L’obiettivo fi nale però è fornire strumenti per il migliora-mento della scuola, e questo si può realizzare solo attraverso l’azione e l’impegno di ogni singolo insegnante, che quoti-dianamente deve sottoporre ad autovalutazione la propria azione didattica. La valutazione Invalsi è quindi censuaria, viene cioè effettuata su tutti gli studenti. In questo modo, ogni insegnante ha a disposizione i dati dei propri allievi, e può metterli a confronto con quelli di popolazioni di riferi-mento, confrontabili ad esempio come area geografi ca. Ogni insegnante somministra ai propri studenti la prova Invalsi e la corregge: in questo modo lui, e solo lui, ha un dato confron-tabile col campione su cui rifl ettere da utilizzare per migliorare.Attualmente, il Servizio di Valutazione Nazionale valuta an-nualmente gli studenti delle classi seconda e quinta primaria, prima e terza secondaria di primo grado, seconda secondaria di secondo grado. La legge prevede che in futuro verranno valutati anche gli studenti della classe quinta della seconda-ria di secondo grado. Il disegno della rilevazione è evidente: in ogni segmento scolastico gli studenti vengono valutati in entrata e in uscita. Quello che conta sapere, infatti, è il valore aggiunto, quanto la scuola riesce a far crescere i ragazzi.Le domande sono proposte da autori, insegnanti in servizio che seguono percorsi di formazione specifi ci. Le domande


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di ogni livello di valutazione vengono esaminate ed eventual-mente modifi cate nella forma o nella presentazione da un gruppo che segue la preparazione della prova per quel livello fi no al pretest. Con le domande, il gruppo assembla due o più prove che vengono pretestate su un ampio campione di classi, l’anno precedente la valutazione cui sono destinate.I risultati del pretest sono analizzati dal punto di vista didatti-co e da quello statistico. Alcune domande vengono modifi ca-te ulteriormente e, se necessario, ritestate. Alla fi ne di questo processo, che dura quasi due anni, vengono preparati i fasci-coli defi nitivi.

4.4.1 La Prova Nazionale

Le prove Invalsi sono uno strumento di rilevazione di infor-mazioni, e quindi non sono costruite per “dare un voto” agli studenti. Alcuni insegnanti decidono di utilizzarle per la pro-pria valutazione, ma questa è una loro scelta.L’unica eccezione è costituita dalla Prova Nazionale, che è inserita nell’esame conclusivo del primo ciclo di istruzione e il cui risultato entra nel voto del singolo studente. Questo pone un problema generale, che in realtà è presente in ogni valutazione sommativa, anche quella che compie l’insegnan-te quando assegna una verifi ca in classe. Come si fa a tradur-re il risultato di una “fotografi a” (tale vuole essere il ritratto degli apprendimenti) su una scala unidimensionale (un voto da 1 a 10)? È ovvio che non ci si può limitare a considerare la percentuale di risposte corrette: ogni domanda, infatti, forni-sce una informazione qualitativamente differente sugli appren-dimenti del singolo ragazzo. Per fare esempi molto banali e schematici, se una prova contiene 10 domande di algebra e 10 di geometria, un ragazzo che risponde a tutte quelle di un tipo e a nessuna di un altro, e un ragazzo che risponde a 5 e


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a 5, hanno profi li molto diversi. Allo stesso modo, un ragazzo che risponde a 5 domande “facili” e 5 “diffi cili” è molto diver-so da uno che risponde a 10 facili e nessuna diffi cile.Tecnicamente, quello che fa l’Invalsi (ma anche l’OCSE-PISA) sui dati del campione è realizzare una analisi statistica detta analisi di Rasch basata su un modello di tipo logistico grazie alla quale è possibile individuare, per ogni domanda di una prova, il livello di competenza rispetto al quale quella domanda è signifi cativa, e parallelamente individuare su quale livello di competenza (sulla stessa scala) si colloca ogni ragazzo. L’ana-lisi di Rasch, che è disponibile nei rapporti Invalsi, permette di capire meglio che cosa ci dice, rispetto alla competenza va-lutata complessivamente dalla prova, ogni singola domanda.Questo processo viene fatto una prima volta sulle prove che vengono pretestate; sulla popolazione può essere fatto solo a posteriori e di norma è contenuto nel rapporto che ogni anno segue la somministrazione delle prove.Per la Prova Nazionale occorre invece avere subito uno stru-mento per tradurre i risultati in un voto. L’Invalsi fornisce allora una griglia di valutazione nella quale, sostanzialmen-te, le domande sono suddivise in blocchi: un primo blocco individua item che sono indicativi di competenze di base; un secondo comprende item con competenze più elevate e un terzo blocco comprende domande in cui è richiesta esplicita-mente una argomentazione.Il risultato di questo processo, compiuto sulla prova di Italia-no e quella di Matematica, è un voto che “fa media” e quindi entra nella certifi cazione fi nale dello studente al termine del primo ciclo.Questa, lo ripetiamo, è stata una scelta del legislatore, che d’altra parte corrisponde a una esigenza generale.La valutazione che gli insegnanti fanno del singolo studente, lungo tutto il suo percorso scolastico, evolve progressivamen-te da soggettiva a oggettiva. All’inizio della scuola primaria è


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completamente soggettiva, cioè dipende dai soggetti in gioco (l’insegnante e l’allievo, la sua provenienza, la sua storia per-sonale, le sue condizioni di studio, le sue vicende familiari, le sue malattie, etc.). Al termine del percorso, ad esempio al momento della laurea, la valutazione si pretende oggettiva: il diploma di laurea del medico che ci cura o dell’ingegnere che ci costruisce la diga sopra casa non dovrebbe essere sta-to rilasciato in base a considerazioni sulle vicende personali dello studente, ma oggettivamente certifi care la competenza acquisita.L’esame di stato al termine del primo ciclo è uno snodo im-portante, anche perché il suo risultato viene spesso utilizzato per orientare le scelte successive degli studi. È quindi ragio-nevole che in tale sede inizi a entrare una valutazione oggetti-va degli apprendimenti dello studente.

4.4.2 Come “utilizzare” le prove Invalsi

I materiali e i risultati delle prove Invalsi, come quelli delle valutazioni internazionali, possono essere utilizzati dagli in-segnanti a diversi livelli: per acquisire consapevolezza delle caratteristiche del proprio insegnamento, per intervenire sui processi di apprendimento dei propri allievi, per monitorare il raggiungimento dei propri obiettivi formativi.Gli strumenti per queste azioni sono fondamentalmente il Quadro di Riferimento, le prove rilasciate e i rapporti e i risultati.Il Quadro di Riferimento del Servizio Nazionale di Valutazio-ne dell’Invalsi è lo strumento che defi nisce quale matemati-ca viene valutata e come viene valutata. È un documento in progressiva evoluzione, di cui attualmente sono disponibili una versione per il primo ciclo e una per il secondo ciclo di istruzione.


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Il Quadro di Riferimento individua due direzioni lungo le quali sono costruiti i quesiti: la direzione dei contenuti e la direzione dei processi, coerentemente con quanto fatto anche nelle valutazioni internazionali.I contenuti matematici sono organizzati nelle quattro grandi aree di Numeri, Spazio e fi gure, Dati e previsioni, Relazioni e fun-zioni. Ogni quesito viene classifi cato in base all’oggetto di valu-tazione, che è un contenuto compreso in una di queste aree.Ogni domanda viene poi classifi cata secondo il processo pre-valente coinvolto e attivato quando lo studente cerca di co-struire la propria risposta. Questa classifi cazione serve anche a rendere più esplicite le competenze valutate.I processi attualmente classifi cati nel quadro di riferimento sono i seguenti:1) conoscere e padroneggiare i contenuti specifi ci della ma-

tematica (oggetti matematici, proprietà, strutture...);2) conoscere e utilizzare algoritmi e procedure (in ambito

aritmetico, geometrico, algebrico,...);3) conoscere diverse forme di rappresentazione e sapere pas-

sare da una all’altra (verbale, numerica, simbolica, grafi ca, ...);4) risolvere problemi utilizzando gli strumenti della mate-

matica (individuare e collegare le informazioni utili, individua-re schemi risolutivi di problemi, confrontare strategie di soluzione, descrivere o rappresentare il procedimento risolutivo,…);

5) riconoscere in contesti diversi il carattere misurabile di oggetti e fenomeni e saper utilizzare strumenti di misura (individuare l’unità o lo strumento di misura più adatto in un dato contesto, stimare una misura,...);

6) acquisire progressivamente forme tipiche del pensiero matematico (congetturare, verifi care, giustifi care, defi nire, ge-neralizzare, dimostrare...);

7) utilizzare la matematica appresa per il trattamento quan-titativo dell’informazione in ambito scientifi co, tecnolo-gico, economico e sociale (descrivere un fenomeno in termini


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quantitativi, utilizzare modelli matematici per descrivere e inter-pretare situazioni e fenomeni, interpretare una descrizione di un fenomeno in termini quantitativi con strumenti statistici o fun-zioni, ...);

8) riconoscere le forme nello spazio (riconoscere forme in diver-se rappresentazioni, individuare relazioni tra forme, immagini o rappresentazioni visive, visualizzare oggetti tridimensionali a partire da una rappresentazione bidimensionale e, viceversa, rap-presentare sul piano una fi gura solida, saper cogliere le proprietà degli oggetti e le loro relative posizioni, …).

Il Quadro di Riferimento fornisce quindi agli insegnanti uno strumento per interpretare le prove Invalsi e al tempo stesso un aiuto per focalizzare la propria attenzione valutativa sui processi messi in campo dagli studenti, superando una tradi-zionale rigidità, ancora molto diffusa, che porta a centrare la valutazione solamente sui contenuti.Il secondo strumento offerto dal Servizio di Valutazione Na-zionale sono le prove rilasciate nel corso degli anni. A tutt’og-gi (2012) sono disponibili, per i diversi livelli scolastici, circa una ventina di prove, per un totale di oltre 1000 domande. Di tutte queste domande è possibile avere i risultati, scorpo-rati secondo diversi parametri: un patrimonio enorme di dati sui quali basarsi per leggere in profondità i risultati di ap-prendimento dei propri studenti.Il lavoro compiuto sul testo del domande dagli autori e dai gruppi che assemblano le prove è particolarmente accurato. Ogni insegnante, infatti, elabora con la propria classe una sorta di lessico familiare nel quale i termini utilizzati nei pro-blemi di matematica, l’ordine delle parole, le sfumature del discorso acquisiscono signifi cati condivisi: quando i miei studenti leggono i problemi che propongo, capiscono cosa voglio dire; e quando io leggo i loro elaborati capisco cosa vogliono dire.


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Tutto questo fa parte del contratto didattico ed è un aspetto ineludibile delle situazioni valutative d’aula. Una prova stan-dardizzata, che viene somministrata a quasi 30.000 classi di-verse, deve invece avere un testo il più possibile non equivo-co, dove ogni parola ha un signifi cato ben preciso che non si presti a interpretazioni o ambiguità. Da questo punto di vista, sottoporre ai nostri studenti le prove Invalsi può svolgere una funzione importante nel disambiguare il linguaggio utilizza-to nel fare matematica.Le prove Invalsi degli anni passati– questo database di oltre 1000 domande in continua crescita– possono essere uno strumento di lavoro con la classe, non limitato alla sommi-nistrazione e verifi ca. Sono domande su cui è stato fatto un lavoro accurato di revisione del testo, una rifl essione didat-tica sui nodi concettuali coinvolti, una analisi statistica delle diffi coltà incontrate dagli studenti, un confronto sul ruolo dei distrattori e il loro legame con eventuali misconcezioni degli studenti.Per tutto questo, è importante utilizzare anche i Rapporti con i risultati, le Guide alla lettura pubblicate dopo ogni prova e i Quaderni di approfondimento.


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Bibliografi aD’Amore B. (1993). Problemi. Pedagogia e psicologia della matematica nell’atti-

vità di problem solving. Progetto Ma.S.E., vol. XA. Milano: Angeli. Prefa-

zione di G. Vergnaud. [II edizione 1996]. [In lingua spagnola: Madrid:

Editorial Sintesis, 1997, trad. di F. Vecino Rubio].

D’Amore B., Godino D.J., Arrigo G., Fandiño Pinilla M.I. (2003). Competen-ze in matematica. Bologna: Pitagora.

Fandiño Pinilla M.I. (2005). La valutazione in Matematica e le prove INVal-

SI. La matematica e la sua didattica. 3, 359-371.

Fandiño Pinilla M. I. (2010). Costruire una cultura della valutazione. In:

Bolondi G., Fandiño Pinilla M.I., Loiero S. (2010). Guida alle prove inval-si. Firenze: Giunti, Pagg. 4-6.

Fandiño Pinilla M. I. (2010). Presentazione. La valutazione nazionale. In:

AA.VV: (2010). Prove nazionali di matematica. 4 volumi: 2 per la seconda e

2 per la quinta (testo per allievi e guida per insegnanti). Firenze: Giunti,

Pagg. 3-4.

Fandiño Pinilla M. I. (2011). Presentazione a e cura scientifi ca e didattica

di: Asenova M., Foresti I., Grassi G., Iori M., Sangiorgi M. C., Sbaragli

S. (2011). Prove nazionali di matematica. Prepariamoci alle prove Invalsi. Fi-

renze: Giunti.

AppendiceStrumenti di documentazione per l’insegnante

L’insegnante, oggi ha a disposizione molti strumenti – so-prattutto grazie alle tecnologie dell’informazione – per docu-mentarsi, scambiare esperienze, porre domande, interagire con colleghi e istituzioni. Segnaliamo qui i più importanti.

Indicazioni di legge

I “programmi” di un tempo sono oggi sostituiti in Italia dalle Indicazioni. Un sito nel quale trovare i collegamenti ai curricoli di molti Paesi del mondo, e a quelli italiani in particolare, è quello del Database Project dell’International Commission for Mathematical Instruction:(http://www.mathunion.org/icmi/other-activities/database-project/introduction/)I curricoli italiani sono linkati alla pagina:(http://www.mathunion.org/icmi/other-activities/database-project/introduction/italy/)

Valutazioni Internazionali

Le valutazione IEA-TIMSS e OCSE-Pisa sono realizzate in Italia dallInvalsi. Nella pagina http://www.invalsi.it/invalsi/ric.php?page5tutteRI sono presenti i materiali relativi a tutte le rilevazioni internazionali. In particolare segnaliamo il Com-pendio per gli insegnanti in cui si possono trovare le domande rilasciate delle passate rilevazioni PISA, con i risultati degli studenti italiani a confronto con le medie internazionali. Questo Compendio, è disponibile alla pagina:http://www.invalsi.it/download/pdf/Compendio-defi nitivo-22-10-08.pdf


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esso fornisce degli esempi concreti di come PISA cerca di valutare e misurare la competenza in matematica.

Invalsi

Il sito web dell’Invalsi www.invalsi.it contiene una sezione de-dicata agli esami di Stato. Nella parte dedicata all’esame di Stato del primo ciclo sono raccolti i materiali relativi alle Pro-ve Nazionali fi n ora effettuate; nella parte dedicata all’esame di Stato del secondo ciclo sono presenti i rapporti relativi alla ricorrezione delle prove scritte di matematica degli esami di Stato dei Licei Scientifi ci.Tutti i materiali relativi al Servizio di Valutazione Nazionale (e in particolare i rapporti con i risultati) sono nelle pagine a esso dedicate. Per un rapido accesso al quadro di riferi-mento, alle prove, alle griglie di correzione e alle guide alla lettura organizzate per anno scolastico si può utilizzare il se-guente link: http://www.formath.it/ita/invalsi.php

Matematica 200x

Il rinnovamento dei curricoli italiani di matematica, realiz-zatosi attraverso diverse tappe nel primo decennio di questo secolo, ha origine in un grosso lavoro di rifl essione e produ-zione di materiali realizzato dall’Unione Matematica Italiana e dall’allora Ministero della Pubblica Istruzione, concretiz-zatosi in una serie di progetti denominati Matematica 2001, Matematica 2003 e Matematica 2004. In essi gli insegnanti pos-sono trovare materiali utilissimi, sia per il lavoro in classe che per la propria formazione. Sono scaricabili alle pagine:http://umi.dm.unibo.it/old/italiano/Matematica2001/matematica2001.htmlhttp://umi.dm.unibo.it/old/italiano/Matematica2003/matematica2003.htmlhttp://umi.dm.unibo.it/area_download--37.html

Appendice Strumenti di documentazione per l’insegnante

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Repository di materiali

Sul sito dell’ANSAS (Agenzia Nazionale per lo Sviluppo dell’Autonomia Scolastica, ex-INDIRE) sono disponibili i materiali di molti progetti nazionali per la formazione e la documentazione degli insegnanti. In particolare, nella pagi-na http://risorsedocentipon.indire.it/home_piattaforma/ sono rac-colte tutte le risorse per i docenti elaborate in diversi progetti nazionali. Tra le altre, riguardano la matematica i progetti PQM e [email protected].

Convegni e congressi

Il convegno di riferimento per gli insegnanti di ogni ordine e grado è senza dubbio l’appuntamento annuale con gli In-contri con la Matematica, che tradizionalmente si tiene a Ca-stel S. Pietro Terme, ormai giunto nel 2012 alla ventiseiesima edizione. È un momento di incontro pensato al servizio degli insegnanti, occasione di formazione, diffusione della ricerca, cambio di esperienze. Ma vi sono in Italia altri convegni e congressi, sebbene assai meno frequentati.

Gruppi di ricerca

In molte città d’Italia sono attivi presso i Dipartimenti di Ma-tematica di varie Università gruppi di ricerca in cui interagi-scono insegnanti e ricercatori universitari. Sulla pagina web del RSDDM (Gruppo di Ricerca e Sperimentazione in Di-dattica e Divulgazione della Matematica di Bologna), http://www.dm.unibo.it/rsddm/it/convegni/convegni.htm sono disponi-bili molti articoli di ricerca e diffusione della ricerca, nonché un archivio di esperienze didattiche.

Autori

Giorgio Bolondi insegna Matematica e Didattica della Ma-tematica presso l’Università di Bologna. Dopo aver fatto ri-cerca nell’ambito della geometria algebrica, da diversi anni si occupa dei problemi legati alla trasmissione del sapere matematico: storia e didattica. Attualmente è presidente della Commissione Italiana per l’Insegnamento della Mate-matica; ha collaborato alla stesura delle nuove Indicazioni nazionali per il sistema dei Licei e collabora con l’Invalsi per la realizzazione delle prove di matematica. Svolge un’in-tensa attività di formazione con gli insegnanti.

Piergiuseppe Ellerani è ricercatore presso la Libera Univer-sità di Bolzano presso la quale insegna Metodologia del la-voro di gruppo. Esperto di apprendimento cooperativo, da anni svolge attività di ricerca e formazione degli insegnanti sulla didattica cooperativa, le metodologie attive e l’innova-zione dei contesti di apprendimento.

Martha Isabel Fandiño Pinilla, laureata in Matematica e spe-cializzata in Educazione Matematica. PhD in Mathematics Education; docente a contratto di Didattica della Matema-tica presso le Università di Bologna e di Bolzano. È stata do-cente presso l’Università di Urbino, le SSIS di Bologna e di Bolzano, l’Alta Scuola Pedagogica di Locarno (Svizzera) e la SUPSI di Locarno. Tiene seminari presso il Dottorato di Ri-cerca in Didattica della Matematica dell’Università Distrital di Bogotà. Ha al suo attivo oltre 200 pubblicazioni tra libri e articoli in spagnolo, italiano, inglese, portoghese, slovacco


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e francese. Tiene corsi di aggiornamento, seminari e con-ferenze in tutto il mondo. È stata membro del gruppo di ricerca dell’USR dell’Emilia-Romagna e del Comitato Nazio-nale Invalsi. È condirettrice scientifica del Convegno Nazio-nale “Incontri con la Matematica” che si tiene a Castel San Pietro Terme (Bologna) ed è membro del NRD (Nucleo di Ricerca in Didattica della Matematica) di Bologna. È re-sponsabile scientifico della didattica della matematica della rivista Vita Scolastica.

Silvia Sbaragli laureata in Matematica e specializzata SSIS presso l’Università di Bologna. PhD in Mathematics Edu-cation presso l’Università Komenského di Bratislava, in Slovacchia. Insegna Matematica e Didattica della matema-tica presso l’Università di Bologna ed è docente-ricercatore presso la SUPSI di Locarno (Svizzera). Da diversi anni è membro del NRD (Nucleo di Ricerca in Didattica della Ma-tematica) dell’Università di Bologna. È condirettrice scien-tifica del Convegno Nazionale “Incontri con la Matematica” che si svolge a Castel San Pietro Terme (Bologna), curan-done, tra l’altro, gli Atti. È membro del comitato scientifico della rivista “Bollettino dei docenti di matematica” di Bellin-zona (Svizzera). Ha al suo attivo numerose pubblicazioni (di didattica, di divulgazione e di ricerca). Tiene molti corsi per insegnanti ed ha partecipato a diversi convegni e seminari in Italia e all’estero.

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i quaderni della DIDATTICA - Dipartimento di … - 208 bolondi e...Giorgio Bolondi e Martha Isabel Fandiño Pinilla della DIDATTICA i quaderni Metodi e strumenti per l ’insegnamento