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I VETTORI I VETTORI di
Federico Barbarossa
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I vettoriI vettori
Definizione di “vettore”:Definizione di “vettore”:
Segmento orientato caratterizzato da “direzione” “verso” ed “intensità” o “modulo”.
Segmento orientato caratterizzato da “direzione” “verso” ed “intensità” o “modulo”.
Può essere utilizzato per rappresentare alcune grandezze fisiche come:Può essere utilizzato per rappresentare alcune grandezze fisiche come:
ForzaForza SpostamentoSpostamento VelocitàVelocità AccelerazioneAccelerazione
..ed altre....ed altre..
La direzione di un vettore La direzione di un vettore
La direzione di un vettore è la retta su cui giace il vettoreLa direzione di un vettore è la retta su cui giace il vettore
La direzione del vettore A possiamo definirla, per esempio, “orizzontale”
La direzione del vettore A possiamo definirla, per esempio, “orizzontale”
Vettore B
La direzione del vettore B possiamo definirla, per
esempio, “verticale”
La direzione del vettore B possiamo definirla, per
esempio, “verticale”
vettore A
Il verso di un vettore Il verso di un vettore
Il “verso” di un vettore è il suo orientamento sulla retta. Graficamente è indicato dalla “punta” del vettore (freccia)
Il “verso” di un vettore è il suo orientamento sulla retta. Graficamente è indicato dalla “punta” del vettore (freccia)
Punta del vettore
Per ogni “direzione” si possono individuare due vettori di “verso” oppostoPer ogni “direzione” si possono individuare due vettori di “verso” opposto
vettore Avettore (- A)
Il segno “meno” davanti ad uno dei due vettori ci ricorda che un vettore è opposto all’altro.
Il segno “meno” davanti ad uno dei due vettori ci ricorda che un vettore è opposto all’altro.
vettore A
Retta di direzione
Retta di direzione
L’intensità di un vettore (o modulo)L’intensità di un vettore (o modulo)
L’ ”intensità” di un vettore è il suo valore numerico, espresso in valore assoluto e nell’unità di misura della grandezza che rappresenta.
L’ ”intensità” di un vettore è il suo valore numerico, espresso in valore assoluto e nell’unità di misura della grandezza che rappresenta.
Se un vettore rappresenta, per esempio, uno spostamento di 10 metri, la sua intensità (o modulo) è 10 metri
Se un vettore rappresenta, per esempio, uno spostamento di 10 metri, la sua intensità (o modulo) è 10 metri
Un vettore può assumere, per convenzione,
segno positivo o negativo,
secondo il verso del vettore
stesso.
Un vettore può assumere, per convenzione,
segno positivo o negativo,
secondo il verso del vettore
stesso.
Il vettore è una rappresentazione grafica (freccia orientata): sarà quindi necessario fissare una scala di rappresentazione adeguata.
Il vettore è una rappresentazione grafica (freccia orientata): sarà quindi necessario fissare una scala di rappresentazione adeguata.
1 metro
- S = 10m S = 10m
SOMMA E DIFFERENZA DI VETTORI NEL PIANO
il metodo punta-coda e la regola del parallelogramma
SOMMA E DIFFERENZA DI VETTORI NEL PIANO
il metodo punta-coda e la regola del parallelogramma
Somma di vettori sulla stessa retta Somma di vettori sulla stessa retta
Prendiamo l’esempio del vettore “spostamento” Prendiamo l’esempio del vettore “spostamento”
Se uno “spostamento” avviene sulla stessa retta , dobbiamo ricordare che i vettori che rappresentano tale spostamento hanno la stessa direzione ma possono avere verso opposto
Se uno “spostamento” avviene sulla stessa retta , dobbiamo ricordare che i vettori che rappresentano tale spostamento hanno la stessa direzione ma possono avere verso opposto
Posizione 1
Posizione 3
Posizione 2
Questi spostamenti sono uguali ed opposti e si annullano
Questo è lo spostamento risultante, effettuato dal
nostro personaggio
Il nostro personaggio si è spostato dalla posizione 1 alla posizione 2 e poi alla posizione 3, tornando in dietro per un tratto. Lo spostamento effettivo, cioè quello che risulta alla fine del movimento, è quello dalla posizione 1 alla posizione 3, rappresentato dal vettore blu.
Il nostro personaggio si è spostato dalla posizione 1 alla posizione 2 e poi alla posizione 3, tornando in dietro per un tratto. Lo spostamento effettivo, cioè quello che risulta alla fine del movimento, è quello dalla posizione 1 alla posizione 3, rappresentato dal vettore blu.
Somma di vettori sulla stessa retta Somma di vettori sulla stessa retta
Potremo scrivere: Potremo scrivere:
Il nostro personaggio ha percorso il tratto S1 e poi il tratto S2 (verso opposto), mantenendosi sulla stessa direzione. Lo spostamento risultante SR è rappresentato dal vettore blu
Il nostro personaggio ha percorso il tratto S1 e poi il tratto S2 (verso opposto), mantenendosi sulla stessa direzione. Lo spostamento risultante SR è rappresentato dal vettore blu
S1
- S2SR
+ =+ =S1 (- S2) SR
Il “verso” Il “verso” del vettore risultante sarà il medesimo verso del vettore somma di maggiore intensità
del vettore risultante sarà il medesimo verso del vettore somma di maggiore intensità
C
A
B
Somma di vettori con direzioni diverseSomma di vettori con direzioni diverse
Consideriamo sempre due vettori spostamento e tre posizioni: A , B , C
Consideriamo sempre due vettori spostamento e tre posizioni: A , B , C
Si può notare, anche a occhio, che lo spostamento rappresentato dal vettore blu è minore del totale dei due spostamenti rappresentati dai vettori rossi.
Si può notare, anche a occhio, che lo spostamento rappresentato dal vettore blu è minore del totale dei due spostamenti rappresentati dai vettori rossi.
La “somma” di due (o più) vettori complanari, con direzioni diverse, NON può essere svolta sommando algebricamente le loro “intensità”. E’ necessario usare una “regola particolare” che si chiama “metodo punta- coda” o “regola del parallelogramma”
La “somma” di due (o più) vettori complanari, con direzioni diverse, NON può essere svolta sommando algebricamente le loro “intensità”. E’ necessario usare una “regola particolare” che si chiama “metodo punta- coda” o “regola del parallelogramma”
Risultato dello spostamento
Il nostro personaggio, alla fine del movimento, si è spostato dalla posizione A alla posizione C
Il nostro personaggio, alla fine del movimento, si è spostato dalla posizione A alla posizione C
Possiamo dire che i due spostamenti rappresentati dai vettori rossi, hanno prodotto lo spostamento risultante rappresentato dal vettore blu
Possiamo dire che i due spostamenti rappresentati dai vettori rossi, hanno prodotto lo spostamento risultante rappresentato dal vettore blu
Qui abbiamo usato il metodo punta- coda
Vettore (A)Vettore (A)
Vettore (B)Vettore (B)
Somma e differenza di vettori nel piano: la regola del parallelogrammaSomma e differenza di vettori nel piano: la regola del parallelogramma
Quando due vettori sono rappresentati con la coda posta nello stesso punto ed hanno direzioni diverse
Quando due vettori sono rappresentati con la coda posta nello stesso punto ed hanno direzioni diverse
Risulta più conveniente utilizzare una regola che si chiama “regola del parallelogramma”
Risulta più conveniente utilizzare una regola che si chiama “regola del parallelogramma”
Vettore (A)Vettore (A)
Vettore (B)Vettore (B)
RisultanteRisultante
Somma e differenza di vettori nel piano: la regola del parallelogrammaSomma e differenza di vettori nel piano: la regola del parallelogramma
Eseguiamo la SOMMA dei due vettori (A) e (B):Eseguiamo la SOMMA dei due vettori (A) e (B):
Fissiamo alcune idee:Fissiamo alcune idee:
Questi modi di eseguire la “somma” di due (o più) vettori si chiamano “regola del parallelogramma” e “metodo punta-coda”.
Questi modi di eseguire la “somma” di due (o più) vettori si chiamano “regola del parallelogramma” e “metodo punta-coda”.
Si applica quando i vettori NON hanno la stessa direzione (cioè NON giacciono sulla medesima retta o su rette parallele).
Si applica quando i vettori NON hanno la stessa direzione (cioè NON giacciono sulla medesima retta o su rette parallele).
Tracciamo, dalla punta del vettore (A), la parallela al vettore (B)
Tracciamo, dalla punta del vettore (A), la parallela al vettore (B)
Tracciamo, dalla punta del vettore (B), la parallela al vettore (A)
Tracciamo, dalla punta del vettore (B), la parallela al vettore (A)
Vettore (A)Vettore (A)
Vettore (B)Vettore (B)
Prima RisultantePrima Risultante
Somma e differenza di vettori nel piano: la regola del parallelogrammaSomma e differenza di vettori nel piano: la regola del parallelogramma
Osserviamo come si procede quando si vogliono sommare 3 vettori: (A) ; (B) ; (C)Osserviamo come si procede quando si vogliono sommare 3 vettori: (A) ; (B) ; (C)
Fissiamo alcune idee:Fissiamo alcune idee:
Quando si esegue la “somma” di più vettori, si applica la“regola del parallelogramma” in successione:
Quando si esegue la “somma” di più vettori, si applica la“regola del parallelogramma” in successione:
Si determina la risultante di una prima coppia di vettoriSi determina la risultante di una prima coppia di vettori
Vettore (C)Vettore (C)
Risultante FinaleRisultante Finale
Si somma la risultante ottenuta con un vettore successivo…e così via, fino ad ottenere la risultante finale.
Si somma la risultante ottenuta con un vettore successivo…e così via, fino ad ottenere la risultante finale.
oppure
Somma e differenza di vettori nel piano: la regola del parallelogrammaSomma e differenza di vettori nel piano: la regola del parallelogramma
Applichiamo il metodo punta-coda Applichiamo il metodo punta-coda
Fissiamo alcune idee:Fissiamo alcune idee:
Quando si esegue la “somma” di più vettori, si applica può applicare la “regola del parallelogramma” in successione ma il metodo punta coda risulta di esecuzione più rapida
Quando si esegue la “somma” di più vettori, si applica può applicare la “regola del parallelogramma” in successione ma il metodo punta coda risulta di esecuzione più rapida
Vettore (A)Vettore (A)
Vettore (B)Vettore (B)
Vettore (C)Vettore (C)
risultanterisultante
Vettore (A)Vettore (A)RisultanteRisultante
Vettore (B)Vettore (B)
Somma e differenza di vettori nel piano: la regola del parallelogrammaSomma e differenza di vettori nel piano: la regola del parallelogramma
Come si esegue la DIFFERENZA tra vettori? Come si esegue la DIFFERENZA tra vettori?
Prendiamo i vettori (A) e (B). Vogliamo eseguire (A) – (B)
Prendiamo i vettori (A) e (B). Vogliamo eseguire (A) – (B)
La DIFFERENZA tra i vettori (A) e (B) è ancora la somma del vettore (A) con il vettore opposto a (B), cioè (-B) (verso opposto) da cui (A) + (-B)
La DIFFERENZA tra i vettori (A) e (B) è ancora la somma del vettore (A) con il vettore opposto a (B), cioè (-B) (verso opposto) da cui (A) + (-B)
Vettore (-B)Vettore (-B)Vettore (B)Vettore (B)
Vettore (-B)Vettore (-B)
UN CASO PARTICOLAREUN CASO PARTICOLARE
Quando due vettori sono perpendicolari tra loroQuando due vettori sono perpendicolari tra loro
Il triangolo rettangolo che ne deriva, ha come ipotenusa la risultante dei due vettori S1 ed S2
Il triangolo rettangolo che ne deriva, ha come ipotenusa la risultante dei due vettori S1 ed S2
S1
S2
S2
SR
Potremo quindi applicare il Teorema di Pitagora per determinare direttamente ( e non per via grafica) il valore della risultante SR
Potremo quindi applicare il Teorema di Pitagora per determinare direttamente ( e non per via grafica) il valore della risultante SR
22
21
SSSR 2
2
2
1
2 SSSR
La somma del quadrato dei cateti da, come risultato, il quadrato dell'ipotenusa