INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CIUDAD VALLES

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS

APUNTES

ING. ANTONIO MARBAN PAZ

ENERO DEL 2011

UNIDAD 2

METODOS DE INTEGRACION

ALGUNAS INTEGRALES INDEFINIDAS, APARENTEMENTE SIMPLES NO PUEDEN SER RESUELTAS CON LAS FORMULAS BASICAS UTILIZADAS EN LA UNIDAD ANTERIOR Y ESTE TIPO DE PROBLEMAS GENERAN LOS METODOS DE INTEGRACION.A CONTINUACION MOSTRAREMOS UN PROBLEMA QUE SI PUEDE SER RESUELTO EN FORMA BASICA, PERO QUE EN OTRAS CONDICIONES NO SERIA POSIBLE.

ESTE PROBLEMA LO PODRIAMOS RESOLVER DESARROLLANDO EL BINOMIO AL CUADRADO Y LUEGO MULTIPLICANDO CADA TERMINO POR “X” PARA DESPUES INTEGRAR EL POLINOMIO RESULTANTE.PERO SI EL EXPONENTE “2” EN ESTE EJEMPLO FUERA UN NÚMERO NEGATIVO O FRACCIONARIO ENTONCES EL DESARROLLO DEL BINOMIO NO SERIA FINITO Y NO PODRIAMOS EFECTUAR LA MULTIPLICACIÓN POR LA “X” PARA LUEGO INTEGRAR, POR TAL MOTIVO NUESTRO PRIMER METODO SERÁ:

CAMBIO DE VARIABLE

, EN ESTA INTEGRAL EL FACTOR O PARTE MAS COMPLICADA ES (X+3) POR ESTAR ELEVADA A UNA POTENCIA, POR TAL MOTIVO LLAMAREMOS

LUEGO DE ESA EXPRESION DESPEJAMOS LA “X” Y DE ESTA NUEVA EXPRESIÓN CALCULAMOS “dX” ENTONCES COMO (X+3) ESTA AL CUADRADO, TAMBIEN “U” LO ESTARÁ

AHORA PROCEDEMOS A EFECTUAR EL CAMBIO DE VARIABLE

AQUÍ PODEMOS EFECTUAR LA MULTIPLICACION Y

OBTENEMOS AHORA ESTA EXPRESION SE PUEDE INTEGRAR

OBTENIENDO PERO COMO LA VARIABLE ORIGINAL ES “X”

Y NO “U” REGRESAMOS A LA VARIABLE ORIGINAL, CAMBIANDO

QUE ES EL RESULTADO DE LA INTEGRAL.

OTRO EJEMPLO

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EN ESTA INTEGRAL LA PARTE MAS COMPLICADA ES POR ESTAR DENTRO DEL RADICAL, POR ESA RAZON DE AHÍ DESPEJAMOS “X”

CALCULANDO AHORA Y COMO (5-X) ESTA DENTRO DE

UNA RAIZ CUADRADA ESCRIBIMOS LA SIGUIENTE IGUALDAD

PROCEDIENDO AHORA A EFECTUAR EL CAMBIO DE LOS TRES ELEMENTOS DE LA INTEGRAL QUE SON: LA “X”, EL RADICAL Y EL DIFERENCIAL

EN LOS PASOS ANTERIORES EFECTUAMOS LA MULTIPLICACION Y EN LA PARTE FINAL MULTIPLICAMOS POR EL SIGNO MENOS DEL DIFERENCIAL, PROCEDIENDO AHORA A INTEGRAR.

REGRESAMOS AHORA A LA VARIABLE ORIGINAL DONDE U= (5-X)

QUE ES EL RESULTADO

FINAL.

EN ESTA INTEGRAL POR ESTAR DENTRO DEL RADICAL, DE AHÍ DESPEJAMOS Y ENTONCES CALCULAMOS EL

DIFERENCIAL ADEMAS AHORA PODEMOS HACER EL

CAMBIO DE VARIABLE.

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EN EL PASO ANTERIOR PRIMERO DESARROLLAMOS EL BINOMIO AL CUADRADO LUEGO EL RADICAL TRANSFORMADO A UNA POTENCIA FRACCIONARIO, MULTIPLICO A CADA UNO DE LOS TERMINOS DEL BINOMIO OBTENIENDO EL POLINOMIO QUE FINALMENTE SE INTEGRO EN FORMA BASICA.

AHORA COMO

ESTA ES LA RESPUESTA FINAL, QUE TAL VEZ PUEDA SIMPLIFICARSE LO CUAL ES TEMA DE ALGEBRA Y NO DE CALCULO INTEGRAL.

EJERCICIOS

INTEGRACION POR PARTES

ESTE METODO SURGE DE LA FORMULA PARA CALCULAR EL DIFERENCIAL DEL PRODUCTO DE DOS FUNCIONES.

DE ESTA EXPRESION DESPEJAMOS

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AHORA INTEGRAMOS CADA TERMINO:

ELIMINAMOS EL SIMBOLO DE INTEGRACION Y DE DIFERENCIACION DEL PRIMER TÉRMINO DEL SEGUNDO MIEMBRO DE LA EXPRESION POR SER OPERACIONES INVERSAS, OBTENIENDO ASI LA FORMULA PARA EL METODO DE INTEGRACION POR PARTES

PARA USAR ESTE METODO SE REQUIERE QUE EN LA INTEGRAL EXISTA UN PRODUCTO, “U” SERA EL FACTOR MAS SIMPLE Y DEL CUAL CALCULAMOS “du”.“dv” SERA EL FACTOR MAS COMPLICADO Y DEL CUAL INTEGRANDO OBTENEMOS “V”.UNA VEZ TENIENDO LOS ELEMENTOS SE PROCEDE A LLENAR EL FORMATO, EL CUAL REQUERIRA DE RESOLVER LA INTEGRAL DEL SEGUNDO MIEMBRO PARA ENCONTRAR LA SOLUCION DEL PROBLEMA.

EJEMPLO:

AQUÍ DE DONDE Y QUE

INTEGRANDO AQUÍ LA INTEGRAL Y EL DIFERENCIAL SE

ANULAN EN EL MIEMBRO DE LA IZQUIERDA Y SE LIBERA “V”

EJEMPLO:

EN ESTE EJEMPLO Y

Y INTEGRANDO EN LOS DOS LADOS

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EN ESTE EJEMPLO FUE NECESARIO INVERTIR EL ORDEN DE LOS FACTORES EN LA INTEGRAL INICIAL POR SER MAS FACIL DERIVAR LA FUNCION lnX QUE INTEGRARLA, LUEGO AL LLENAR EL FORMATO DE LA INTEGRACION POR PARTES EN LA INTEGRAL DEL SUGUNDO MIEMBRO LA X CUBICA DEL NUMERADOR SE REDUCE CON LA X QUE ESTA DIVIDIENDO A dx.

EJEMPLO.

AQUÍ

INTEGRANDO EN LOS DOS LADOS OBTENEMOS

EJEMPLO: AQUÍ

ADEMAS INTEGRANDO

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EJEMPLO: AQUÍ SE CAMBIO EL ORDEN DE LOS FACTORES PARA FACILITAR LA OBTENCION DE LOS ELEMENTOS, ASI ENTONCES

LUEGO

EN ESTA

INTEGRAL SE ORDENAN LOS TERMINOS, SE REDUCEN LAS “X” Y SE SACAN LAS CONSTANTES

AHORA UTILIZAREMOS LAS IDENTIDADES PARA LOGARITMOS

REPETICION DE LA INTEGRACION POR PARTESEXISTEN PROBLEMAS QUE AL LLENAR EL FORMATO DE LA INTEGRACION POR PARTES EN LA INTEGRAL QUE SE PLANTEA EN EL SEGUNDO MIEMBRO ES NECESARIO REACOMODAR LA VARIABLE “X” DEL “du” Y CALCULAR NUEVAMENTE LOS TRES ELEMENTOS DEL METODO QUE SON U, du Y V UTILIZANDO EN ESA PARTE LA FORMULA Y ASI SUCESIVAMENTE.EJEMPLO EN EL QUE USAREMOS LA INTEGRACION POR PARTES DOS VECES.

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AQUÍ ADEMAS

ESTOS ELEMENTOS SON PARA LA PRIMERA INTEGRACION POR PARTES.

AQUÍ EN ESTA ULTIMA INTEGRAL SACAMOS LAS CONSTANTES Y REACOMODAMOS LA “X” PARA PROCEDER NUEVAMENTE A CALCULAR LOS TRES ELEMENTOS DE LA SEGUNDA INTEGRACION POR PARTES.

EJERCICIOS

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DESCOMPONER Y ACOMODAR

METODO DE SUSTITUCION TRIGONOMETRICA

ESTE METODO ES APLICABLE SOLAMENTE EN INTEGRALES QUE CONTIENEN RAIZ CUADRADA Y ADEMAS DENTRO DE LA RAIZ (CANTIDAD SUBRADICAL) DEBE HABER UNA SUMA O RESTA DE DOS CANTIDADES, UNA DE LAS CUALES DEBE SER NUMERICA (CONSTANTE) Y LA OTRA DEBE CONTENER UNA VARIABLE ELEVADA AL CUADRADO.

EJEMPLOS:

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OBSERVE COMO EN EL EJEMPLO UNO LA CONSTANTE ESTA PRIMEROEN EL EJEMPLO DOS LA VARIABLE ESTA AHORA PRIMEROCUANDO LOS DOS TERMINOS ESTAN SUMANDO NO IMPORTA EL ORDEN, CASO DE LOS EJEMPLOS TRES Y CUATRO Y ADEMAS OBSERVE QUE EL EJEMPLO CUATRO ES DIFERENTE A LOS TRES PRIMEROS POR TENER LA “X” AL CUADRADO CON UN COEFICIENTE DISTINTO DEL UNO, EN ESTE CASO UN CUATRO.

PARA ESTE METODO EXISTEN TRES CASOS, CADA UNO CON UN GRUPO DE FORMULAS Y UN DIAGRAMA.

DOS DE ELLOS SON PARA CUANDO DENTRO DE LA RAIZ EXISTE UNA RESTA Y EL OTRO ES PARA CUANDO HAY UNA SUMA ENTRE EL NUMERO Y LA VARIABLE AL CUADRADO.

UNA VEZ TENIENDO EL PROBLEMA E IDENTIFICANDO A CUAL CASO PERTENECE SE CALCULAN LOS ELEMENTOS UTILIZANDO LAS FORMULAS Y SE ELABORA EL DIAGRAMA (TRIANGULO RECTANGULO) ADECUANDOLO A EL PROBLEMA.

AHORA SE PROCEDE HA HACER LA SUSTITUCION, ES DECIR CAMBIAR LOS ELEMENTOS ALGEBRAICOS POR LOS ELEMENTOS TRIGONOMETRICOS, LUEGO SE HACEN LOS DESARROLLOS Y SIMPLIFICACIONES NECESARIOS PARA PODER INTEGRAR (AQUÍ ES NECESARIO TENER A LA MANO UNA TABLA DE IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS) UNA VEZ INTEGRADO SE UTILIZA EL DIAGRAMA PARA REGRESAR A LA SOLUCION FINAL CAMBIANDO LA O LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS OBTENIDAS POR LO QUE CORRESPONDA.

CASO 1.- LA EXPRESION CONTIENE

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FORMULAS

CASO 2.- LA EXPRESION CONTIENE

aU

22 Ua

11

FORMULAS

CASO 3.- LA EXPRESION CONTIENE

22 Ua U

a

12

FORMULAS

U22 aU

a

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EJEMPLO: COMO LA INTEGRAL CONTIENE ESTO LO

RELACIONAMOS CON EL PROBLEMA PERTENECE AL CASO 1, LO CUAL NOS LLEVA A OBTENER LA SIGUIENTE LIGA:

AHORA PROCEDEREMOS A UTILIZAR LAS FORMULAS PARA CALCULAR LOS ELEMENTOS Y POSTERIORMENTE EFECTUAR LA SUSTITUCION.

LLENAREMOS EL DIAGRAMA CON LOS DATOS DEL PROBLEMA

SUSTITUYENDO OBTENEMOS:

AL HACER LA SUSTITUCION SE SIMPLIFICO, LUEGO SE USO LA IDENTIDAD

TRIGONOMETRICA QUE AL ELEVARSE AL CUADRADO DA

POSTERIORMENTE UTILIZAMOS LA FORMULA BASICA DE

INTEGRACION HABIENDO PREVIAMENTE SACADO LA

CONSTANTE DE LA INTEGRAL.

REGRESANDO A LA FUNCION OBTENIDA Y UTILIZANDO LOS ELEMENTOS DEL TRIANGULO EN EL DIAGRAMA TENEMOS QUE:

ENTONCES LA SOLUCION QUEDARA ASI:

EJEMPLO: COMO LA INTEGRAL CONTIENE LA

RELACIONAMOS CON PERTENECE AL CASO 3 Y ENTONCES.

3

X

29 X

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(SI AL DESPEJAR “a” EL NUMERO NO TIENE RAIZ CUADRADA ENTERA SE DEJA INDICADA EJEMPLO: ).FORMULAS: DIAGRAMA:

SUSTITUCION:

EN EL PASO ANTERIOR SE SIMPLIFICO AHORA UTILIZAREMOS IDENTIDADES;

SUSTITUYENDO:

EN EL PROCESO ANTERIOR SIMPLIFICAMOS E INTEGRAMOS UTILIZANDO PARA

ELLO LA FORMULA BASICA AHORA REGRESAMOS AL

DIAGRAMA SABIENDO QUE SUSTITUYENDO:

PROCEDIMIENTO PARA OBTENER LA FORMULA PARA INTEGRAR

PARA ELLO MULTIPLICAMOS Y DIVIDIMOS POR ALGO CONVENIENTE:

162 X

X

4

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AHORA HACIENDO CALCULAMOS

EFECTUANDO OPERACIONES Y ORDENANDO OBTENEMOS QUE:

AHORA OBSERVANDO LA EXPRESION OBTENIDA EN LA INTEGRAL NOS DAREMOS CUENTA QUE ESTA COMPLETA PARA LA FORMULA BASICA

EJERCICIO: ESTE PROBLEMA CONTIENE QUE SE

RELACIONA CON CASO 2

FORMULAS:

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DIAGRAMA::

SUSTITUCION:

AHORA UTILIZAREMOS IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS:

PARA LLEGAR A ESTA RESPUESTA UTILIZAMOS LA FORMULA OBTENIDA EN LA PAGINA ANTERIOR, AHORA REGRESANDO AL DIAGRAMA (TRIANGULO).

Y SUSTITUIMOS

EJERCICIO: EN ESTE PROBLEMA NOTE QUE LA TIENE COMO

COEFICIENTE UN NUMERO DIFERENTE A 1 EN ESTE CASO EL 4, EL PROBLEMA ES DEL CASO 2 POR EXISTIR UNA SUMA DENTRO DEL RADICAL.

CALCULO DE LOS ELEMENTOS Y USO DE LAS FORMULAS.

236 X

6

X

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SUSTITUCION DE LOS ELEMENTOS:

AHORA UTILIZAREMOS IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS:

AHORA VOLVEMOS A UTILIZAR LA FORMULA BASICA OBTENIDA ANTERIORMENTE Y LAS RELACIONES DEL DIAGRAMA:

QUEDANDO FINALMENTE ASI:

EJERCICIOS:

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METODO DE FRACCIONES PARCIALES

FUNDAMENTO DEL METODO: EFECTUAR LA SUMA DE FRACCIONES SIGUIENTE

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DE LO ANTERIOR SE CONCLUYE QUE:

ENTONCES TODA EXPRESION PARECIDA A LA ANTERIOR

TENDRA UN ORIGEN COMO EL QUE SIGUE:

EN ESTE CASO YA SABEMOS QUE LOS VALORES DE A=5 y B=3, PERO VAMOS A DAR EL PROCEDIMIENTO PARA LLEGAR A ELLOS.

EN EL PASO ANTERIOR ELIMINAMOS LOS DENOMINADORES Y EN EL SEGUNDO MIEMBRO AGRUPAMOS LOS TERMINOS QUE TIENEN “X” Y LOS QUE SON CONSTANTES.

AQUÍ FACTORIZAMOS LA “X” PARA ESTABLECER UNA RELACION EN LA QUE SE CUMPLA LA IGUALDAD.EL COEFICIENTE EN “X” DEL SEGUNDO MIEMBRO DEBE DE SER IGUAL AL QUE TENGA EN EL PRIMERO Y LAS CONSTANTES TAMBIEN.

OBTENIENDO UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES CON DOS INCOGNITAS.EL CUAL RESOLVIENDO NOS LLEVA HA ENCONTRAR QUE:

CASO 1.- EL DENOMINADOR CONTIENE FACTORES LINEALES DIFERENTES.

EN ESTE EJEMPLO UTILIZAMOS LOS VALORES CALCULADOS EN EL FUNDAMENTO DEL METODO Y LAS INTEGRALES GENERADAS SON BASICAS.

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EJERCICIOS:

EN ESTE EJERCICIO AL ESTABLECER EL SISTEMA DE ECUACIONES

EN EL LADO DERECHO QUEDA (0X+1) Y ASI SE ESTABLECE LA RELACION.

CASO 2.- EL DENOMINADOR CONTIENE FACTORES LINEALES Y ALGUNOS SE REPITEN.

AQUÍ SE REALIZA LA SUMA DE FRACCIONES Y SE ESTABLECE LA RELACION DE TERMINOS CON Y EN EL CASO DE NO HABER SE RELACIONA CON CEROS.

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EJERCICIOS

CASO 3.- EL DENOMINADOR CONTIENE FACTORES CUADRATICOS DIFERENTES.

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EN ESTE EJEMPLO SE FACTORIZO LA SUMA DE CUBOS

EN ESTE EJEMPLO EL POLINOMIO SE FACTORIZO UTILIZANDO EL METODO DE AGRUPACION DE TERMINOS.

CASO 4.- EL DENOMINADOR CONTIENE FACTORES DE SEGUNDO GRADO O CUADRATICOS Y ALGUNOS SE REPITEN.

NOTA: EN EL CASO DE QUE EL NUMERADOR SEA DE GRADO MAYOR AL DEL DENOMINADOR SE EFECTUA LA DIVISION, OBTENIENDOSE UN RESIDUO QUE FORZOSAMENTE TENDRA GRADO MENOR AL DEL DENOMINADOR Y POSTERIORMENTE SE APLICA ALGUNO DE LOS FORMATOS ANTERIORMENTE SEÑALADOS.

INTEGRACION POR MEDIO DE TABLAS DE INTEGRALES O FORMULAS.

CADA LIBRO DE CALCULO INTEGRAL INCLUYE AL FINAL UN FORMULARIO QUE PERMITE RESOLVER LA MAYORIA DE LAS INTEGRALES QUE EN EL MISMO SE PRESENTAN.EN LO PERSONAL UN FORMULARIO MUY COMPLETO PARA RESOLVER INTEGRALES INDEFINIDAS ES EL QUE ENCONTRAMOS EN EL MANUAL DE FORMULAS Y TABLAS MATEMATICAS CAPITULO 14 DEL AUTOR MURRAY R. SPIEGEL DE LA EDITORIAL Mcgraw-hill (SERIE SCHAUM).EN DICHO FORMULARIO ENCONTRAMOS LAS FORMULAS AGRUPADAS POR CARACTERISTICAS QUE DISTINGUEN A LAS INTEGRALES, ASI HAY UN GRUPO DE FORMULAS DONDE EN LA INTEGRAL CONTIENE , OTRAS CONTIENEN

, ALGUNAS CON FUNCIONES TRIGONOMETRICAS COMO , ETC. ALGUNAS OTRAS CON Y ASI MISMO CON

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DONDE a Y b SON CONSTANTES Y PUEDEN SER PÒSITIVAS, NEGATIVAS, ENTERAS O FRACCIONARIAS,

EJEMPLOS:

AQUÍ DEBEMOS DE OBSERVAR QUE LA INTEGRAL CONTIENE LA

EXPRESION QUE SE RELACIONA CON LAS FORMULAS QUE CONTIENEN PRESENTADAS EN LAS PAGINAS 61 Y 61 DE DICHO MANUAL ESPECIFICAMENTE LA FORMULA 14.67 EN LA CUAL HAY QUE SUSTITUIR

PARA ENCONTRAR LA RESPUESTA. EN DICHA FORMULA APARECE LA “X” SOLA EN EL NUMERADOR Y EN ESTE CASO SACAMOS EL 5 Y EL FORMATO SEÑALADO QUEDARA MULTIPLICADO POR EL 5.

ESTE MISMO RESULTADO O ALGO PARECIDO SE PUEDE OBTENER SI UTILIZAMOS EL METODO DEL CAMBIO DE VARIABLE O LA INTEGRACION POR PARTES, HAY ALGUNOS PROBLEMAS QUE DAN EXACTAMENTE IGUAL PERO HAY OTROS QUE DAN UN POCO DIFERENTE Y QUE REQUIEREN DE TRABAJO ALGEBRAICO PARA IGUALARLOS LO CUAL NO ES NECESARIO.

EJEMPLO:

ESTA INTEGRAL LA RELACIONAMOS CON LA FORMULA 14.44 DE

LA PAGINA 59

AQUÍ SE ESTABLECE LA RELACION Y CALCULAMOS LOS ELEMENTOS.

ENTONCES SUSTITUYENDO LOS ELEMENTOS EN LA FORMULA ENCONTRAMOS QUE:

EN ESTE CASO CALCULAMOS EL VALOR DE “a” Y NO LO OCUPAMOS PERO HAY CASOS QUE SI LO REQUIEREN, ADEMAS SI LA CONSTANTE QUE SE RELACIONA CON LA NO TIENE RAIZ ENTERA SE DEJARA INDICADA EJEMPLO:

Y ASI SE MANEJA DEJANDO INDICADO SU VALOR.

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EJEMPLO:

ESTA INTEGRAL SE RELACIONA CON LAS FORMULAS DE LA

PAGINA 63 PARTICULARMENTE CON LAS QUE CONTIENEN

EN NUESTRO PROBLEMA SUSTITUYENDO OBTENEMOS:

ESTA INTEGRAL TAMBIEN SE PUEDE RESOLVER POR EL METODO DEL CAMBIO DE VARIABLE O LA INTEGRACION POR PARTES.

ALGUNAS INTEGRALES REQUIEREN DE LA UTILIZACION DE VARIAS FORMULAS:EJEMPLO:

INTEGRALES CON PAGINAS 61 Y 62.

INICIAMOS CON LA FORMULA

14.92 OBSERVE QUE LA SOLUCION QUE

PROPORCIONA LA FORMULA 92 REQUIERE DE RESOLVER OTRA INTEGRAL Y EN ESTE CASO SE NOS INDICA CON QUE FORMULA SE HACE, EN ESTE CASO NOS MANDA A LA FORMULA 87.

14.87

OBSERVE QUE LA FORMULA 14.87 MUESTRA DOS RESPÙESTAS, DE LAS CUALES SE DEBE TOMAR LA QUE NO VIOLE LAS REGLAS QUE EXISTEN PARA LOS NUMEROS REALES, SE TOMARA LA PRIMERA SI Y SE TOMARA

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LA SEGUNDA CUANDO , EN ESTE CASO SE TRABAJARA CON LA PRIMERA.

EJEMPLO:

EN ESTE PROBLEMA RECURRIMOS A LA FORMULA 14.244 QUE SE LOCALIZA EN LA PAGINA 70 DENTRO DEL GRUPO DE INTEGRALES QUE CONTIENEN

RELACIONANDO LOS ELEMENTOS DE LA FORMULA ENCONTRAMOS QUE:

EJEMPLO:

ESTE PROBLEMA SE RESUELVE CON LA FORMULA 527 QUE ESTA UBICADA EN EL GRUPO DE INTEGRALES QUE CONTIENEN lnX DE LA PAGINA 86.

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EJEMPLO:

EN ESTE PROBLEMA EMPLEAREMOS LA FORMULA 341 DE LA PAGINA 75, UBICADA DENTRO DEL GRUPO DE INTEGRALES QUE CONTIENEN

EN ESTE PROBLEMA

EJEMPLO:

AQUÍ SE UTILIZARA LA FORMULA 39 DE LA PAGINA 59

EN EL FORMULARIO QUE ESTAMOS UTILIZANDO EXISTE UN GRUPO DE FORMULAS PARA INTEGRALES QUE CONTIENEN SENOS Y COSENOS (PAGINAS 78,79 Y 80) PERO AL REVIZARLAS NOS ENCONTRAMOS QUE NINGUNA SE ACOMODA A NUESTRA INTEGRAL POR ESO RECURRIMOS A LA FORMULA SEÑALADA.

ENTONCES RELACIONANDO ENCONTRAMOS QUE:

AL VERIFICAR LOS ELEMENTOS EN NUESTRA INTEGRAL NOS DAMOS CUENTA QUE ESTA COMPLETA.

EJEMPLO:

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LA FORMULA LA ENCONTRAMOS EN EL GRUPO QUE CONTIENEN DE LA PAGINA 85, ESPECIFICAMENTE LA 14.509

AQUÍ

EJEMPLO:

AL BUSCAR EN NUESTRO FORMULARIO NOS ENCONTRAMOS CON LA FORMULA 244 YA UTILIZADA EN UN EJEMPLO ANTERIOR, PERO DEBEMOS OBSERVAR QUE ESTA FORMULA SE UTILIZO DEBIDO A QUE TENIAMOS LA CON COEFICIENTE UNO Y EN ESTA INTEGRAL LA TIENE EL NUMERO 4 DE COEFICIENTE, ENTONCES NOS APOYAREMOS EN LA FORMULA 244 PARA GENERAR LA FORMULA 244-A COMO SIGUE:

CALCULAREMOS AHORA LOS ELEMENTOS:

AQUÍ NOS DEBEMOS DE DAR CUENTA QUE LA INTEGRAL NO ESTA COMPLETA Y QUE HACE FALTA UN 2 EN EL DIFERENCIAL:

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EL PROCEDIMIENTO ANTERIOR PUEDE HACERSE EXTENSIVO A OTROS CASOS EN LOS QUE LA TENGA UN COEFICIENTE DISTINTO DE UNO.

EJERCICIOS:

EN ESTA INTEGRAL TRABAJAMOS EL DENOMINADOR COMPLETANDO TRINOMIO CUADRADO PERFECTO, SUMANDO Y RESTANDO EL CUADRADO DE LA MITAD DEL COEFICIENTE DE X, LUEGO FACTORIZANDO PARA USAR LA FORMULA 40 DE LA PAGINA 59.

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EN ESTA INTEGRAL SE RACIONALIZO Y SE UTILIZO UNA IDENTIDAD TRIGONOMETRICA, LUEGO SE TRANSFORMO LA EXPRESION PARA PODER USAR LA FORMULA BASICA 5 (DE LA HOJA DE INTEGRALES BASICAS).LO ANTERIOR PONE DE MANIFIESTO LA NECESIDAD DE UN CONOCIMIENTO AMPLIO Y UN BUEN MANELO DE CONCEPTOS Y REGLAS DE ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA, ADEMAS DE LA REGLAS DE DERIVACION E INTEGRACION BASICAS.LO CUAL SE LOGRA DOMINAR INVIRTIENDO TIEMPO AL HACER EJERCICIOS.

EXITO

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