IAR134 Procesamiento de Señales Introducción al Proceso Digital de Señales (DSP) y sus Aplicaciones Primavera - 20081Dr. Juan José Aranda Aboy

IAR134Procesamiento de Señales

Introducción al Proceso Digital de Señales (DSP) y sus Aplicaciones

Primavera - 2008 1Dr. Juan José Aranda Aboy

Contenido

• ¿Qué es una Señal? – ¿Por qué “procesar” señales?

• Tiempo continuo y discreto• Tipos de señales:

– Determinísticas, – Estocásticas, – Fractales y – Caóticas

• ¿Qué es Ruido?• Aplicaciones comunes.


Objetivos

• Definir en qué consiste el DSP.• Indicar para qué se debe utilizar y cuáles son

los pasos fundamentales en el DSP.• Describir los elementos que forman un

sistema de DSP.• Referenciar las principales aplicaciones del

DSP.


Dr. Juan José Aranda Aboy

• Este concepto se utiliza para describir mediante modelos, principalmente matemáticos, los diferentes procesos físicos, químicos, biológicos ó sociales que ocurren.

• Los sistemas están integrados por varios elementos ó dispositivos mediante interconexiones grandes y complejas.

• Los elementos que conforman el sistema cumplen, por lo general, diferentes funciones dentro del mismo.

Sistemas

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Ejemplos de sistemas

Naturales• El Universo• La Galaxia• El Sistema Solar

• La Tierra• El Cuerpo Humano

• La Célula

• La Molécula• El Átomo• …

Construidos por los seres humanos• Las Naciones Unidas• El Televisor• Internet• La Bolsa de Negocios• La Universidad• El Automóvil• Una Fábrica• Un Robot• …

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• Estático• Periódico• Invariante en el tiempo • Lineal• Determinístico• Estable• Causal

• Dinámico• Aperiódico

• No Lineal• Probabilístico (Aleatorio)• Caótico• Auto semejante (Fractal)

Clasificaciones de los SistemasEn base a sus características, se ubican en categorías no necesariamente excluyentes entre si. Algunas categorías típicamente utilizadas son:

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Información• Está formada por “mensajes” sobre los eventos

relativos a los procesos que tienen efecto en el interior de los sistemas y en su relación con el entorno que les rodea.

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Teoría de la Información

• Se ocupa de la estimación cuantitativa acerca de cómo se comunica, o sea, como se transmite la información en el espacio y en el tiempo.

• Se basa en estudiar las señales emitidas por un sistema.

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Señales• Son funciones que describen la variación a través del

tiempo de las variables dentro de un proceso. • Cada señal brinda información acerca del estado en

que se encuentra una determinada condición de dicho proceso en estudio.

Ejemplos:– El cambio en la temperatura de un cuerpo,– La posición de una válvula,– Etc.

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Sistemas y Señales

Para su estudio, los sistemas se definen en términos de la relación a través del tiempo que se establece entre dos vectores de señales, uno de entrada y otro de salida.

Vector de Señales a la Entrada

X(t)

Función de Transferencia

H(t)

Vector de Señales a la Salida

Y(t)

SISTEMA

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Interacción entre señales y sistemas• Puede comprenderse mejor si se considera que el

vector de señales a la entrada se propaga a través del sistema y emerge como el vector de señales a la salida.

• Desde este punto de vista, el sistema cambia la señal de entrada cuando dicha señal se propaga a través del mismo: realiza una Función de Transferencia.

• El interés se centra en caracterizar el cambio en las propiedades de la señal utilizando las propiedades del sistema, lo cual es muy importante en muchos procesos.

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Interconexiones de sistemas y señales

• Muchos procesos son muy complejos y constan de muchas componentes interrelacionadas.

• Para describir estos complicados procesos, es útil pensarles como si estuviesen compuestos de muchos sistemas interrelacionados que envían sus correspondientes señales.

• Existen varias formas de combinar señales:

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Ejemplos de combinaciones


Aditiva Multiplicativa

Ejemplo de interconexiones


H1 H2

H1

H2

Conexión en Serie ó Cascada

Conexión en Paralelo


Teoría de Señales

Existen varios motivos para estudiar señales:1. Modelado: Para desarrollar una descripción del

comportamiento del proceso observado.2. Análisis: Para obtener información del proceso a

partir de las señales que entrega.3. Diseño: Cumple dos propósitos:

a) Asociar una señal con su contenido informativo, yb) Determinar y predecir la forma de la señal que se

propagará a través de un sistema.

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Señales y sistemas en tiempo continuo• Una señal es una función que describe como

se desarrolla una variable en el tiempo.• Los sistemas donde el tiempo se modela

utilizando números reales se denominan sistemas en tiempo continuo.

• Se relaciona directamente con muchos procesos físicos de la realidad cotidiana: voltaje, corriente, posición, velocidad, presión, temperatura, etc.


Señales y sistemas en tiempo discreto

• Los sistemas donde el tiempo se modela utilizando números enteros se denominan sistemas en tiempo discreto.

• Estas señales se denominan también secuencias.

• Estas señales NO son tan familiares.


Comentario acerca de las señales y sistemas en tiempo discreto• Se relacionan directamente con procesos tales

como la variación de la cotización de acciones en la bolsa de valores, etc.

• Sin embargo, para nuestro estudio son importantes, debido a que los computadores digitales procesan datos secuenciales en pasos discretos, lo que se modela naturalmente mediante señales y sistemas en tiempo discreto.



Ejemplos de Señales

Continua Discreta

Las siguientes gráficas muestran la función seno:

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Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Clases de Señales

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Procesamiento de Señales• Brinda un marco de trabajo sólido para conceptuar y

analizar la conducta de los sistemas de manera organizada y coherente.

• Puede realizarse de dos formas:– Analógico: Si las señales se procesan de forma continua en el

tiempo, aunque los valores de cada señal individual pueden ser continuos ó discretos.

– Digital: Cuando las señales se procesan utilizando técnicas discretas, numéricas, para lo cual se emplean muestras digitalizadas con un período fijo, en valores de tiempo bien determinados; y cuantificadas en niveles de valores discretos de amplitud ó intensidad predefinidos.

21


Tipos de ProcesamientoPrincipalmente se realizan las siguientes tareas:• Análisis del Espectro de Frecuencias• Filtrado.- Para eliminar ó suavizar el ruido que se introduce

durante el proceso de adquisición de la señal y que puede originarse por múltiples fenómenos tales como: movimientos, interferencia electromagnética, otros fenómenos ajenos al que se mide, etc.

• Detección de características.- Para contribuir al diagnóstico del estado de un sistema.

• Compresión.- Para ocupar menos espacio de almacenamiento y menor tiempo en la transmisión de información útil.

22


Ejemplo: Filtrado

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0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.5

1

Original

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

1ra derivada

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

2da derivada

Ejemplo: Detección de características

Algoritmo utilizado:1. Obtener la primera derivada de la señal: Sus ceros indican los Puntos de Inflexión.

2. Calcular la segunda derivada: Sus mínimos indican los valores máximos de la función.

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Posiciones de los "peaks" encontradas

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Numero de Muestra

Am

plitu

d

80 271 454 644 825

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Ejemplo: Compresión

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Ruido• Se considera ruido a todas las perturbaciones

que interfieren sobre las señales transmitidas o procesadas.

• Los orígenes del ruido son múltiples.


SistemaSeñal

a la EntradaSeñal

a la Salida

Perturbación Ruido

Ejemplo de ruidos en procesos físicos• movimiento desordenado de las partículas

elementales, • agitación térmica de las moléculas, • producido por fuentes tales como contactos

defectuosos, artefactos eléctricos, radiación por ignición y alumbrado fluorescente,

• errático producido por fenómenos naturales tales como tormentas eléctricas con relámpagos y rayos, eclipses y otros disturbios en las atmósfera o fuera de ella como las manchas solares.



Aplicaciones del Procesamiento de Señales Algunas aplicaciones actuales del Procesamiento de Señales son:• el espacio: Análisis inteligente de los cuerpos celestes mediante sondas

espaciales, mejoramiento de fotografías, etc.• el comercio y la economía: Predicción de las variaciones de la bolsa, video

conferencias, etc.• las telecomunicaciones y el entretenimiento: Internet, video juegos, telefonía

móvil, etc.• la industria: Prospección minera y de combustibles fósiles, supervisión y

control de procesos industriales, validación no destructiva de la calidad de los productos, etc.

• la esfera militar: Radar, Sonar, conducción remota de armamento, etc.• la investigación científica: Grabación y análisis de terremotos, análisis

espectral de compuestos, etc.• los cuidados de salud: Equipos para ayuda al diagnóstico, a la terapia y a la

rehabilitación; Almacenamiento de estudios realizados a los pacientes, etc.• y otras múltiples en constante desarrollo e innovación ...

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Conversión de señales en tiempo continuo a señales en tiempo discreto• Para poder procesar señales en tiempo continuo

utilizando sistemas en tiempo discreto y viceversa se necesita realizar un proceso de conversión de la información.

• Si lo que se desea es llevar una señal continua a digital el proceso es llamado Conversión Analógico - Digital (ADC).

• Si se desea lo contrario, el proceso es llamado Conversión Digital – Analógica (DAC).


Conversión Analógico - Digital (ADC)

• Para procesar señales en tiempo continuo utilizando sistemas en tiempo discreto se necesita realizar la Conversión Analógico - Digital (ADC), que consta de dos partes:

1.Muestreo y retención (Sampling and Hold –S/H) y

2.Cuantificación



Muestreo (Presentación del tópico)

• Consiste en tomar valores de la señal a intervalos de tiempo fijos, o sea, con un período T dado.

• Comúnmente se utiliza también el término frecuencia de muestreo, que equivale al inverso del período:

= 1/T y se mide en hertzios(Hz).

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Teorema del Muestreo (Nyquist)

“Una señal continua sólo puede ser muestreada apropiadamente si y solamente si no contiene componentes de frecuencia por encima de la mitad de la razón de muestreo.”

Establece que para lograr la apropiada reconstrucción de una señal analógica a partir de una señal muestreada, se necesita que dicho muestreo se haya realizado al menos al doble de la máxima frecuencia existente en la señal analógica original.

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Muestreo apropiado

Estas muestras NO contienen toda la información necesitada para reconstruir la señal.

Estas muestras SI contienen toda la información necesitada para reconstruir la señal.

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Cuantificación• Proceso mediante el cual se

convierte de una amplitud infinitamente precisa a un valor digital expresado comúnmente en el sistema binario de numeración.

• Se toman valores en intervalos de amplitud ó intensidad fijos, a partir de un nivel prefijado conocido como “Bit Menos Significativo (LSB)”.

• Su unidad depende del tipo de sistema que entrega la señal:– voltios si es tensión eléctrica, – amperes si se trata de

intensidad de la corriente eléctrica,

– etc.Primavera - 2008 35


Resumen del proceso de digitalizaciónLas partes de este proceso son:a) Muestreo y Retención (Sampling

and Hold - S/H). b) Conversión Analógica a Digital

(ADC) : Este proceso ocupa un tiempo conocido como “Tiempo de Conversión”.

Error deCuantificación

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Conversión digital – analógica (DAC)

• Es la conversión necesaria para poder reconstruir una señal en tiempo continuo a partir de una señal (secuencia) en tiempo discreto.


Herramientas matemáticas

• Teoría de Funciones con variables reales y con variables complejas.

• Álgebra Lineal: Teoría de Matrices, incluida la solución de sistemas de ecuaciones lineales, así como el cálculo de autovalores y autovectores de una matriz.

• Transformaciones ortogonales: de Laplace, de Fourier, Z, Gabor, Wavelets, etc.


Funciones reales• Una función real es una regla ó aplicación (mapping)

de un intervalo ó subconjunto de los números reales en otro intervalo.

• Se denomina dominio ó conjunto de partida de la función al intervalo en que se define.

• Se denomina rango ó conjunto de llegada al intervalo en que toma valores la función.

• Una función es: – par si x(t) = x(-t) ej: cos(t) y abs(t)– impar si x(t) = -x(-t) ej: sin(t) y x(t)=t


Funciones comunes• Impulso unitario: Aδ(t-t0)

(Delta de Dirac)

• Paso ó escalón unitario: us(t)

• Rampa unitaria: rp(t)

• Pulso unitario: П(t)

• Triángulo ó “diente de sierra”: Λ(t)


)0()()( fdtttf

0,0

0,1)(

t

ttus

0,0

0,)(

t

tttrp

0

,1)( 2

121 t

t

0

0,

0,

)( 21

21

21

21

tt

tt

t

Otras funciones comunes• Exponencial (exp):• Logaritmo natural(ln):• Logaritmo en base 10(log):• Sinusoidales, con sus

parámetros: – A-amplitud, – ω-frecuencia de la sinusoide y – ф- fase

• Sincronismo(sinc):• Signo(sgn):


atAetf )(

)ln()( ttf

)log()( ttf

)()( tAsentf

0,1

0,)(inc

)(

t

tts t

tsen

0,1

0,0

0,1

)sgn(

t

t

t

t

Función Sa


0,1

0,)(

)(t

tt

tsentSa

Funciones en tiempo discreto

• Una función discreta es aquella que localiza los números enteros dentro del conjunto de los números reales.

• Se escribe f(n), para n entero.• Una secuencia de números se representa por

an, para n=1,2,3,…

y puede corresponder a los valores de una función discreta si f(n)=an


Truncamiento

• Una secuencia f(n) es:– truncada a la derecha si

f(n) = 0 para todo n < n0 < ∞

– truncada a la izquierda si f(n) = 0 para todo -∞ < n1 < n

– de longitud finita si f(n) = 0 para todo n < n0 ≤ n1 < ∞


Funciones discretas comunes

• Impulso unitario discreto• Paso unitario• Exponencial• Sincronismo• Sa• Pulso• Sinusoidal


Ejercicio: Describir estas funciones.

Números complejos• Un número complejo s se define como

s = σ+ jωdonde: σ y ω son números reales, y

j = √-1 (raíz cuadrada de -1)• Esta es la representación rectangular ó cartesiana, y

σ = Re(s), y ω = Im(s)

son su parte real y su parte imaginaria respectivamente.


Representación gráfica y operaciones

• Se asocia s = σ+ jω al par ordenado (σ, ω) del plano real.

• Las reglas de la suma y resta corresponden con las de suma y resta de vectores.

• Los vectores pueden representarse también en coordenadas polares: σ = ρ cos(θ) y ω = ρ sin(θ)ρ = √(σ 2 + ω2) y θ = atan(ω / σ)


Exponencial e Identidad de Euler

• Para un número complejo r = s + jt, la función exponencial se calcula como

er = e(s+jt) = es(cos(t)+j sin(t)) • La ecuación

ejt = cos t + j sin tes llamada Identidad de Euler, y proporciona la representación polar de un número complejo: r = p ejt


Magnitud y Fase• Dado el número complejo s = ρ ejθ, su valor

absoluto ó módulo se define como:

donde σ = Re(s) y ω = Im(s)

• La magnitud de s es su valor absoluto: ρ• El ángulo ó fase de s es θ


22s

Ejemplos

• El número complejo 5ej(0.52) en representación polar corresponde a 4.3 + j2.5 en representación cartesiana.

• El número 1 + j4 en representación cartesiana rectangular corresponde a (√17)ej1.33 en representación polar.


Utilidad de la representación polar

• Simplifica las operaciones de multiplicación y de división de dos números complejos.

• Multiplicar:s0s1=(A0ejθ0) (A1ejθ1) = A0A1ej(θ0 + θ1)

• Dividir:


)(

1

01

1

0

1

0 10

0

j

j

j

eA

A

eA

eA

s

s

Conjugado complejo

• Corresponde al reflejo de un número complejo respecto al eje real:

• Se obtiene reemplazando j por (-j).Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy 52

jejs

Sinusoidales como exponenciales complejas


2cos

jj ee

2

sin

jj ee

Círculo unitario y disco unitario• El círculo unitario se define como el subconjunto de los

números complejos C cuya magnitud es 1.• El disco unitario

– Abierto: subconjunto de C cuya magnitud es menor que 1.– Cerrado: subconjunto de C cuya magnitud es menor ó

igual que 1, o sea: el círculo unitario unido con el disco unitario abierto.

• Utilizando la identidad de Euler puede escribirse como s = ejθ para 0 ≤ θ < 2π


Representación


Funciones racionales• Una función racional es una función compleja que es la relación

entre dos polinomios con coeficientes reales:

• Se define el orden de esta función como n.• El polinomio b(s) es llamado polinomio del numerador,

mientras que a(s) es el del denominador, cuyo coeficiente delantero siempre vale 1.


)(

)(´)(

01

1

01

1

sa

sb

asas

bsbsbsX

nn

n

mm

mm

Características• Una función racional X(s) es

1. Estrictamente propia si m < n2. Propia si m ≤ n3. Impropia si m > n

• Las funciones racionales impropias son llamadas funciones no causales.

• Para una función racional con coeficientes reales, los polinomios b(s) y a(s) pueden descomponerse en factores lineales como:

• Si los coeficientes de X(s) son reales, las raíces complejas de b(s) y a(s) aparecen como pares complejos conjugados.


)())((

)())(()(

21

21

n

m

pspsps

zszszsKsX

Matrices• Una matriz A nxm es un arreglo bidimensional aij

de n x m elementos, donde i es la fila y j es la columna.

• Puede denotarse también como A[aij].

• Una matriz cuadrada posee el mismo número de filas que de columnas, por lo que sus dimensiones son nxn.

• Una matriz diagonal es una matriz cuadrada que solamente toma valores distintos de cero en la diagonal principal.


Vectores y valores propios• Juegan un papel importante en el estudio de

sistemas representados por ecuaciones diferenciales de primer orden.

• Sea A una matriz cuadrada no singular, V un vector (complejo en general) y sea λ un número complejo. Si

AV = λVse dice que V es un vector propio (auto vector) y que λ es un valor propio (auto valor) de A.



Transformaciones Ortogonales Son herramientas matemáticas comúnmente utilizadas

para extraer información útil de las señales. Ejemplos típicos son:

– Transformada de Fourier– Transformadas de pequeñas onditas (“Wavelets”)

Estas transformaciones cambian la correlación de la información temporal, y permiten encontrar en otros espacios, como el dominio de las frecuencias ó la escala, características no observables en el tiempo.

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Dominios temporal y de frecuencias

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Transformada de Fourier Consiste en representar una señal s(t) mediante una

sumatoria de funciones sinusoidales:

donde 0 = 2 / T.

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Base ortogonal con componentes a distintas frecuencias

Cosenos a frecuencias fijas Senos a frecuencias fijas

Determinación de los coeficientes bn y cn de la expansión en series de Fourier

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Transformada Discreta de Fourier

• La Transformada Discreta de Fourier (DFT) es la herramienta primaria, básica, fundamental del Procesamiento Digital de Señales (DSP).

• Su algoritmo de cálculo, conocido como Transformada Rápida de Fourier (FFT) es:

DIRECTA INVERSA

que utiliza el hecho de que:

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Espectro de Frecuencias• Herramienta utilizada para determinar las características

de variación de la frecuencia de una señal a través del tiempo.

Se obtiene calculando la Transformada Rápida de Fourier (FFT) de tramos consecutivos y traslapados de la señal.


Transformada de Gabor ó“Short-Time Fourier Transform”

Se utiliza una función ventana de tipo gaussiano para la localización en el tiempo de las frecuencias.Existe un parámetro b, equivalente a un intervalo de tiempo fijo que es empleado para trasladar dicha ventana sobre la señal, con el objetivo de cubrir todo el dominio temporal.Permite analizar la señal en su relación tiempo – frecuencia.

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Transformadas “Wavelet”

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Transformadas “Wavelets”• Las “wavelets” son un conjunto de funciones bases que permiten

expresar cualquier función en el espacio como combinación lineal de traslaciones en el tiempo y dilataciones de una única función madre W(t); y que emplean un parámetro de escala 2J, de una función simple:

f(t) = b(J,k) W(2J t - k)• Estas traslaciones y dilataciones necesitan ser ortogonales• La descomposición permite el análisis multiresolución de la

función f(t).• Los b(J,k) contienen la información cerca de la frecuencia 2J y el

tiempo 2-J k.• La “wavelet” W(t) tiene que satisfacer condiciones que aseguren

que esta descomposición es válida.

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Comparación

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Bibliografía• Lindner, Douglas K: “Introducción a las Señales y los Sistemas”, McGraw-Hill, 2002 ISBN: 980-

373-049-5.• Ogata . K. Ingenieria de Control Moderno Ed Prentice Hall Hispanoamericana, 1993• Oppenheim,A.V.; Schafer,R.W y Buck,J.R.. “Tratamiento de Señales en Tiempo Discreto”, 2da

Edición. Prentice Hall, 2000• Burrus,C.S; McClellan,J.H; Oppenheim,A.V; Parks,T.W; Schafer,R.W; y Schuessler,H.W.

“Ejercicios de Tratamiento de la Señal utilizando MATLAB V.4”, Prentice Hall, 1994• Bruce,E.N. “Biomedical Signal Processing and Signal Modeling”, Wiley, 2001• Oppenheim,A.V; Willsky,A.S; Nawab,S.H. “Señales y Sistemas”, Prentice Hall, 1997• Principe,J.C; Euliano,N.R; y Lefebvre,W.C. “Neural and Adaptive Systems: Fundamentals

Through Simulations”, John Wiley & Sons Inc., 2000• “The DSP Handbook” (En disco compacto)• “DSP Guide” (En disco compacto ó Internet)• Monografías y tutoriales en Internet, artículos de revistas y trabajos presentados a congresos

de la especialidad que aportan estrategias novedosas sobre Procesamiento Digital de Señales.


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