1

İçerik: Graflar• Tanım

– Yönlendirilmiş ve yönlendirilmemiş graflar– Ağırlıklı graflar

• Gösterim– Komşuluk Matrisi– Komşuluk Listesi

• Dolaşma Algoritmaları– BFS (Breath First Search)– DFS (Depth-First Search)

2

Graflar• Graf, matematiksel anlamda, düğümlerden

ve bu düğümler arasındaki ilişkiyi gösteren kenarlardan oluşan bir kümedir.

– Bağlantılı listeler ve ağaçlar grafların özel örneklerindendir.

• Bir G grafı D ile gösterilen düğümlerden (node veya vertex) ve K ile gösterilen kenarlardan (Edge) oluşur.

– Her kenar iki düğümü birleştirir.

• Her kenar, iki bilgi (Düğüm) arasındaki ilişkiyi gösterir ve (u,v) şeklinde ifade edilir.

– (u,v) iki düğümü göstermektedir.

Graflar - Örnek

• G = (D, K) grafı aşağıda verilmiştir.– D = {A, B, C, D, E, F}– K = {(A, B), (A, D), (B, C), (C, D), (C, E), (D,

E)}

3

A

B C

D

F

E

Uygulama Alanları• Elektronik devreler

– Baskı devre kartları (PCB)– Entegre devreler

• Ulaşım Ağları– Otoyol Ağı– Havayolu Ağı

• Bilgisayar Ağları– Lokal alan ağları– İnternet

• Veritabanları– Entity-relationship diyagram

4

Graflar – Kenar Türleri• Yönlendirilmiş Kenar (Directed Edge)

– Sıralı kenar çiftleri ile ifade edilir. • (u, v) ile (v, u) aynı değildir.

– İlk kenar orijin ikinci kenar ise hedef olarak adlandırılır.

• Yönlendirilmemiş Kenar (Undirected Edge)– Sırasız kenar çiftleri ile ifade edilir.

• (u, v) ile (v, u) aynı şeyi ifade ederler.

• Yönlendirilmiş Graf (Directed Graphs)– Bütün kenarları yönlendirilmiş graftır. – Digraph şeklinde de ifade edilirler.

• Yönlendirilmemiş Graf (Undirected Graphs)– Hiçbir kenarı yönlendirilmemiş graftır.

5

Graflar - Tanımlar• Komşu(Adjacent): Eğer (u, v) ∈ K ise u

ve v düğümleri komşudur.– (A, B) komşudur.– (B, D), (C, F) komşu değildir.

6

A

B C

D

F

E

Graflar - Tanımlar• Graf kenarları üzerinde ağırlıkları

olabilir. Eğer kenarlar üzerinde ağırlıklar varsa bu tür graflara ağırlıklı/maliyetli graf (Weighted Graphs) denir.– Ağırlık uygulamadan uygulamaya değişir.

• Şehirler arasındaki uzaklık.• Routerler ararı bant genişliği

7

Graf Gösterimi• Zaman ve yer karmaşıklığı aşağıdaki

her iki ifade ile de ölçülür.– Düğüm sayısı = |D| = n– Kenar sayısı = |K| = k

• Graf gösterimi için iki farklı yol vardır.– Komşuluk matrisi– Komşuluk listesi

8

Komşuluk Matrisi Gösterimi

9

• Komşuluk Matrisi Gösterimi: 1 (u,v) K’nın içindeyse

0 diğerM(u, v) =

A

B C

D

F

E

A B C D E F

A 0 1 0 1 0 0

B 0 0 1 0 0 0

C 0 0 0 1 1 0

D 0 0 0 0 1 0

E 0 0 0 0 0 0

F 0 0 0 0 0 0

Yer? O(n2)

10

Komşuluk Matrisi Gösterimi• Komşuluk Matrisi Gösterimi (Ağırlıklı Graf): ağırlık(u, v) (u, v) K’nın içindeyse

∞ diğerM(u, v) =

A

B C

D

F

E

A B C D E F

A ∞ 10 ∞ 5 ∞ ∞

B ∞ ∞ 20 ∞ ∞ ∞

C ∞ ∞ ∞ 30 50 ∞

D ∞ ∞ ∞ ∞ 15 ∞

E ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

F ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

10

20

5

3050

15

11

Komşuluk Listesi Gösterimi• Komşuluk Listesi:

A

B C

D

F

E

Yer? n*a + 2*b*k = O(n+2k)

B D

A

D E

E

C

B

A C

C D

ab

A

B

C

D

E

F

12

Komşuluk Listesi Gösterimi• Komşuluk Listesi (Yönlendirilmiş Graflar)

A

B C

D

F

E

Yer? n*a + b*k = O(n+k)

B D

C

D E

E

a

b

A

B

C

D

E

F

Graf Üzerinde Dolaşma• Graf üzerinde dolaşma grafın düğümleri

ve kenarları üzerinde istenen bir işi yapacak veya bir problemi çözecek biçimde hareket etmektir.

• Graf üzerinde dolaşma yapan birçok yaklaşım yöntemi vardır. En önemli iki tanesi aşağıda listelenmiştir.– BFS (Breadth First Search) Yöntemi– DFS (Depth First Search ) Yöntemi

13

14

Graf Üzerinde Dolaşma• Breath-First Search (BFS):

– Başlangıç düğümünden başla ve tüm komşuları ziyaret et.

– Daha sonra komşunun komşularını ziyaret et.– Başlangıç düğümünden başlayıp dışa doğru

dalga gibi.

• Depth-First Search (DFS)– Bir düğümden başla düğümün bir kenarında o

kenar üzerinde gidilebilecek en uzak düğüme kadar sürdür.

– Geri gel ve düğer kenarı dene– Tüm düğümler gezilene kadar devam et.

15

Breath-First Search (BFS)

• Verilen G = (D, K) grafında, “s” başlangıç düğümünden başla ve s den erişilebilecek düğümleri belirle.– Bulunan ama işlenmeyen düğümler sınır düğümleridir (gri

düğümler).

• Sınır düğümlerine sırası ile gidilir ardından bunların komşuları bulunur ve bu komşulara gidilir.

s

1

1

1

2

2

2

22

2

3 3

3

33

Breath-First Search (BFS)• İşlem adımları:

1. Seçilen düğümün tüm komşuları sırasıyla seçilir ve ziyaret edilir.

2. Her komşu kuyruk içerisine atılır.3. Komşu kalmadığında Kuyruk içerisindeki ilk

düğüm alınır ve 2. adıma gidilir.

16

Breath-First Search (BFS)• Sonuçların gösterilmesi

– Her bir v düğümü için, d[v]’yi (s ve v arasındaki uzaklığı) kaydetmemiz gerekiyor.

• “v” ve “s” düğümleri arasındaki uzaklık, “s” den “v” ye giden yol üzerindeki minimum düğüm sayısıdır.

• Dolayısıyla d[s] = 0

– Ayrıca aile (parent) düğümünü de tutmamız gerekiyor. v den s ye giderken yoldaki ilk düğüm

• pred[s] = 0 (pred predecessor önceki)

17

18

BFS – Gerçekleştirimi

• Başlangıçta tüm düğümler (başlangıç düğümü hariç) beyaza boyanır. Anlamı henüz bulunmadı demektir.

• Düğüm bulunduğu zaman, griye boyanıyor. • Gri düğüm işlendiği zaman siyaha boyanıyor.

s s s

1

1

1

2

2

2

22

2

19

BFS – Gerçekleştirimi

• Arama da kuyruk (FIFO) kullanılıyor.• Ayrıca dizi de kullanılır.

– color[u], u düğümünün rengini tutar• Beyaz, gri veya siyah

– pred[u], u düğümünün önceki düğümünü tutar• u’yu bulan düğüm

– d[u], s den u’ya uzaklık

s s s

1

1

1

2

2

2

22

2

20

BFS GerçekleştirimiBFS(G, s){ for each u in D- {s} { // İlk değerleri atama color[u] = white; d[u] = SONSUZ; pred[u] = NULL; } //end-for

color[s] = GRAY; // s’nin ilk değerlerini atama d[s] = 0; pred[s] = NULL; K = {s}; // s’yi kuyruğa koy while (K boş değilken){ u = Cikart(K); // u bir sonraki düğüm

for each v in Adj[u] { if (color[v] == white){ // Eğer v bulunmadı ise color[v] = gray; // … Bulundu şeklinde

işaretle d[v] = d[u] + 1; // … uzaklığı ayarla pred[v] = u; // … öncekini ayarla Ekle(v); //… kuyruğa ekle } //end-if } //end-for

color[u] = black; // u ile işimiz bitti } //end-while} //end-BFS

Çalışma Zamanı?

O(n + k)

O(1)

O(n)

O(k)

n kez

21

BFS - Örnek

t s x

wvu

∞

∞∞ ∞

0

K: s

t s x

wvu

∞

1∞ ∞

10

K: v, x

t s x

wvu

∞

12 2

10

K: x, u, w

t s x

wvu

∞

12 2

10

K: u, wt s x

wvu

3

12 2

10

K: w, tt s x

wvu

3

12 2

10

K:

∞

1

1

2 2

3

22

BFS Ağacı

t

s

x

wvu

3

12 2

10

0

1 1

22

3

v x

u

t

w

• BSF nin önceki işaretçisini izleyerek ters ağaç oluşturulabilir.– BFS ağacı için bir çok olasılık vardır. Aramanın

nerede başladığı ve düğümlerin hangi sıraya göre kuyruğa eklendiği önemlidir.

Depth-First Search (DFS)• Bir v düğümüne gidildikten sonra v

düğümünün bir komşusu seçilir ve ziyaret edilir.

• Ardından onun bir komşusu seçilir ve ard arda komşu seçimi yapılarak devam edilir.

• Komşu kalmadığında geri dönülür.

23

24

DFS - Örnek

fab

c g

ab

cc

b f

gg

fa

d ed ed e

a

b

c

f

g

d e

DFS(a) ağacı

DFS - Gerçekleştirim• Yönlendirilmiş G = (V, E) grafının verildiğini

düşünelim.– Aynı algoritma yönlendirilmemiş graflar için de çalışır.

• 4 tane yardımcı dizi kullanıyoruz.– color[u]

• White – bulunmamış• Gray – bulunmuş fakat işlenmemiş• Black – işlenmiş

– pred[u], u’dan önceki eleman• u’yu bulan eleman

– İki tane zaman tutucu• d[u]: Düğümün bulunma zamanı

– BSF deki uzaklık ile karıştırmayın.• f[u]: Düğümün işlenme zamanı

25

DFS - Gerçekleştirim• DFS işlem adımları

1. Önce bir başlangıç düğümü seçilir ve ziyaret edilir.

2. Seçilen düğümün bir komşusu seçilir ve ziyaret edilir.

3. 2. adımda ziyaret edilecek komşu kalmayıncaya kadar devam edilir.

4. Komşu kalmadığında tekrar geri dönülür ve önceden ziyaret edilmiş düğümler için adım 2 ve 3 tekrarlanır.

26

27

DFS – GerçekleştirimDFS(G, s){ for each u in V { // İlk değerleri atama color[u] = white; pred[u] = NULL; } //end-for

time = 0; for each u in V if (color[u] == white) // Ziyaret edilmemiş düğüm

bulundu DFSVisit(u); // Yeni bir aramaya başla} // end-DFS

DFSVisit(u){ // u üzerinde yeni bir arama başlat color[u] = gray; // u’yu ziyaret edildi şeklinde

işaretle d[u] = ++time; for each v in Adj[u] { if (color[v] == white){ // Eğer komşu v bulunmadı ise pred[v] = u; // … önceki olarak kaydet DFSVisit(v); // …v’yi ziyaret et } //end-if } //end-for

color[u] = black; // u ile işimiz bitti. f[u] = ++time; } //end-while} //end-DFSVisit

Çalışma Zamanı?

O(n + k)

O(n)

O(k)

28

DFS - Örnek

d e

fab

c g

1/10

a

2/5 6/9 12/13

11/14

3/4 7/8

b

c

f

gC

FB

d

eC

C

29

Parantez Yapısı1/10

a

2/5 6/9 12/13

11/14

3/4 7/8

b

c

f

gC

FB

d

eC

C

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 121314

a d

b

c

f

g

e

• Zaman tutucu ile güzel bir yapı oluşturulabilir. – d[u] sol parantezi “(“– f[u] sağ parantezi “)“ temsil eder.