Idő-frekvencia analízisoldweb.reak.bme.hu/fileadmin/user_upload/felhasznalok/pokol/ido-frekvencia_pokol.pdfIdő-frekvencia analízis Pokol Gergő BME NTI Műszaki rendszerek diagnosztikája

Idő-frekvencia analízis

Pokol Gergő

BME NTI

Műszaki rendszerek diagnosztikája2008. április 21.

2

Vázlat• Történelmi bevezető az idő-frekvencia analízishez• Alapfogalmak az idő-frekvencia síkon• A hagyományos módszer: rövid idejű Fourier-tr.• Az újabb módszer: Folytonos wavelet tr.• Matematikai kitekintés – Wigner-Ville eloszlás• Cohen-osztály• Folytonos vagy diszkrét?• Példa: Wavelet koherencia frekvencia-invariáns simítással

ALPS jeleken• Példa: STFT koherencia és wavelet koherencia

skálainvariáns simítással + módusszámok Mirnov-szondajeleken

Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis

Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.

3






4

Történelmi bevezető,avagy

Mi volt az idő-frekvencia analízis előtt?

• Analízis időben és frekvenciában – Fourier-transzformáció

• Euler-formula:



∫+∞

∞−

−− >==< dtetfeff titi ωωω )(,)()

)sin()cos( tite ti ωωω −=−

5

Történelmi bevezető,avagy

Hol van az időbeli lokalizáció?: Példa

• ALPS, Paks NPP



6






7

Hol van az időbeli lokalizáció?

• Gyakorlatban mindig véges hosszúságú jelek



∫+

−

−− >==<T

T

titi dtetgtfetgtff ωωω )()()(),()()

],[)supp TT(g −=Ablakozás:

∫+∞

∞−

−− >==< dtetfeff titi ωωω )(,)()

8

Alapfogalmak:Idő-frekvencia sík

Idő-frekvencia atom

• Energiasűrűség az idő-frekvencia síkon - peremeloszlások• Idő-frekvencia atom:

Olyan függvény, aminek energiája időben és frekvenciában is lokalizált



( )

( )∫

∫

∫

∫

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

+∞

∞−

−=

−=

=

=

ωωξωπ

σ

σ

ωωωπ

ξ

ω dff

dttfutf

dff

dttftf

u

t

222

2

222

2

22

22

)(2

1

)(1

)(2

1

)(1

)

)

9

Határozatlansági reláció

• Alsó korlát az idő-frekvencia atom kiterjedésére

• Egyenlőség Gábor-atomra:



21

≥ωσσ t

2)()( utbti eaetf −−= ξ

10

Heisenberg-doboz

• Idő-frekvencia atom kiterjedése az idő-frekvencia síkon



11






12

A hagyományos módszer:rövid idejű Fourier-transzformáció 1.

• STFT: short-time Fourier-transform• folytonos ablakozott Fourier-transzformáció• Az idő-frekvencia atom:



)(, utgeg tiu −= − ξξ 1|||| =g

13

A hagyományos módszer:rövid idejű Fourier-transzformáció 2.

• A transzformáció:

• Inverz transzformáció:

• Egyenletes lefedés:



∫+∞

∞−

−−>==< dtetugtfgfuSf tiu

ξξξ )()(,),( ,

∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

−−= ξξπ

ξ dudetuguSftf ti)(),(21)(

14

A hagyományos módszer:Spektrogram

• A jel teljes energiája megmarad:

• Energiasűrűség-eloszlás az idő-frekvencia síkon (spektrogram):



∫ ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

= duduSfdttf ξξπ

22 |),(|21|)(|

2|),(|),( ξξ uSfufPS =

15

Példa spektrogram alkalmazására



16

Vázlat• Történelmi bevezető az idő-frekvencia analízishez• Alapfogalmak az idő-frekvencia síkon• A hagyományos módszer: rövid-idejű Fourier-tr.• Az újabb módszer: Folytonos wavelet tr.• Matematikai kitekintés – Wigner-Ville eloszlás• Cohen-osztály• Folytonos vagy diszkrét?• Példa: Wavelet koherencia frekvencia-invariáns simítással





17

Az újabb módszer:folytonos wavelet transzformáció 1.

• CWT: continuous wavelet transform• Komplex, analitikus• Az idő-frekvencia atom:



⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Ψ=Ψs

utssu

1, 1|||| =Ψ

18

Az újabb módszer:folytonos wavelet transzformáció 2.

• A transzformáció:

• Feltétel: • Inverz transzformáció:

• Lefedés változóalakú atomokkal:



∫+∞

∞−

∗ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Ψ>=Ψ=< dts

uts

tffsuWf su1)(,),( ,

+∞<Ψ

= ∫+∞

Ψ0

2|)(ˆ| ωωω dC

∫ ∫+∞+∞

∞−Ψ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Ψ=0

2

1),(1)(sdsdu

sut

ssuWf

Ctf

19

Az újabb módszer:Skálagram

• A jel teljes energiája megmarad:

• Energiasűrűség-eloszlás az idő-frekvencia síkon (skálagram):



∫ ∫ ∫+∞

∞−

+∞+∞

∞−Ψ

=0

22 |),(|2|)(|s

dsdusuWfC

dttf

2|),(|),( suWfsufPW =

20

Példa skálagram alkalmazására



Frequency (Hz)7400

5300

4100

1800

830180

21




Frequency (Hz)

7400530041001800830

180

22




Frequency (Hz)

7500

1300 - 2550830 - 1260

14050

15 - 35

1

23

A két módszer összehasonlítása



24

Idő-frekvencia atomok kiválasztása



• Komplex, analitikus atomok (STFT esetén automatikusan)• Az atom típusa függ a jeltől, de általában a Gábor-atom jó• Az atom paramétereit a fizikai modell határozza meg:

– STFT esetén az ablakhosszt– CWT esetén a hullámok számát

• A „jó” paraméterezést a fizikai kép határozza meg(lásd: lebegés)

25






26

Wigner-Ville eloszlás 1.



• Definíció:

• Interferencia:

( ) ( ) τξ τξττ deufufufP iV

−+∞

∞−

−+= ∫ 2*

2),(

27

Wigner-Ville eloszlás 2.



• Elemi idő-frekvencia atomokra pontos idő-frekvencia energiasűrűség-eloszlás

• Paraméterezést nem igényel• Összetett jelre negatív értéket is felvehet

Nem értelmezhető energiasűrűség-eloszlásként• Lényeges jelkomponensek is elveszhetnek az

interferenciában

28






29

Cohen-osztály



• Interferencia csökkentése simítással:

• Simító kernelt megfelelően kell megválasztani• Csökken az idő-frekvencia felbontás• Paraméterezést igényel• Speciális esete a lineáris transzformáció (STFT, CWT),

mikor az interferencia teljesen eltűnik.• Lin. tr. esetén simítás az atomok Wigner-Ville eloszlásával

ξξξξξ ′′′′Θ′′= ∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−Θ duduuufPufP V ),,,(),(),(

30






31

Folytonos vagy diszkrét?

Alapvető tulajdonságok



• A folytonos transzformáció:– idő-eltolás invariáns– frekvencia-eltolás invariáns (vagy skálainvariáns) – redundáns ábrázolás– a transzformált értékek összefüggnek

• A diszkrét transzformáció (ortogonális bázissal):– nem idő-eltolás invariáns– nem frekvencia-eltolás invariáns– nem redundáns ábrázolás– a transzformált értékek függetlenek

32

Folytonos vagy diszkrét?

Melyiket használjuk?



• A folytonos transzformáció:– tranziens jeleknél fontos az invariancia– vizualizálásnál hasznos a sima (összefüggő) kép– az atomok szabadon választhatók

• A diszkrét transzformáció (ortogonális bázissal):– sztochasztikus stacioner jeleknél nem fontos az invariancia– további statisztikus feldolgozás esetén hasznos a függetlenség– speciális ortogonális bázisok (atomok) kellenek (keret elmélet)

• Kevert tulajdonságú transzformációk– pl. csúszóablakos FFT

33

Irodalom

• Stéphane Mallat: A wavelet tour of signal processing(Academic Press)

• Alfred Mertins: Signal analysis(John Willey & Sons Ltd.)

• ...



34

Példa wavelet transzformáción alapulóadatfeldolgozási eljárásra

Wavelet koherencia frekvencia-invariáns simítással ALPS jeleken



35

Wavelet based coherence• 1. CWT for two signals: • 2. WAPSD (scalogram) and WCPSD calculation:

• 3. WAPSD and WCPSD smoothing:

• 4. Coherence calculation:

),( suWg),( suWf

),(),(),( *, suWsuWsuWCPSD gfgf =

),(),(),( * suWsuWsuWAPSD fff = ),(),(),( * suWsuWsuWAPSD ggg =

dusuWCPSDT

stWCPSDT

T

t

tgfgf ∫

+

−

=2

2

),(1),( ,,

dusuWAPSDT

stWAPSDT

T

t

tff ∫

+

−

=2

2

),(1),( dusuWAPSDT

stWAPSDT

T

t

tgg ∫

+

−

=2

2

),(1),(

),(),(

),(),( ,

,stWAPSDstWAPSD

stWCPSDstWCOH

gf

gfgf =

Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízisPokol Gergő: Idő-frekvencia analízisPokol Gergő: Idő-frekvencia analízis


36

Scalogram (WAPSD) of startup ofmain pump signal G3

Frequency (Hz)

7500

1300 - 2550830 - 1260

14050

15 - 35

1



37

Scalogram (WAPSD) of startup ofmain pump signal M3

Frequency (Hz)

7500

1300 - 2550830 - 1260

14050

15 - 35

1



38

Smoothed cross-scalogram(|<WCPSD>|)

Frequency (Hz)

7500

1300 - 2550830 - 1260

140

50

15 - 35

1



39

Coherence (WCOH)Frequency (Hz)

7500

1300 - 2550830 - 1260

140

50

15 - 35

1



40


STFT koherencia + módusszámokMirnov-szonda jeleken



41

STFT coherence and phase

• Cross-spectrogram:

• Averaging, smoothing:

• Coherence:

*, ),(),(),( ξξξ uSguSfuCS gf ⋅=

duuCST

tCST

T

t

tgfgf ∫

+

−

=2

2

),(1),( ,, ξξ

duuPST

tPST

T

t

tff ∫

+

−

=2

2

),(1),( ξξ

duuPST

tPST

T

t

tgg ∫

+

−

=2

2

),(1),( ξξ

),(),(

),(),(

,,

ξξ

ξξ

tPStPS

tCStCOHS

gf

gfgf =



42

ELMy H

H*

HDH

Freq

uenc

y (k

Hz)

150

100

50

Time (s)0.2 0.5



43

ELMy H

H*

HDH

Freq

uenc

y (k

Hz)

150

100

50

Time (s)0.2 0.5



44

ELM

Freq

uenc

y (k

Hz)

150

100

50

Time (s)0.202 0.206



45

ELM

Freq

uenc

y (k

Hz)

150

100

50

Time (s)0.202 0.206



46

ELM

Freq

uenc

y (k

Hz)

150

100

50

Time (s)0.202 0.206



47

- relative phases as function ofprobe position translated tothe origin

- N(N-1)/2 „independent”measurements

- accepted if all probes see the same mode number

3

21



48

Freq

uenc

y (k

Hz)

150

100

50

Time (s)0.202 0.206

1

2

30

4

-4



49


Wavelet koherencia skálainvariáns simítással + módusszámok Mirnov-

szonda jeleken



50

Continuous wavelet coherence with scaled smoothing

• Conventional smoothing: constant length smoothing kernel + changing time resolution changing number of averaged measurements :

• Scaled smoothing constant number of averaged measurements :

)()(),(1),( ,,,

2

2

tAuCSduuCST

tCS Tgf

t

tgfgf

T

T

∗== ∫+

−

ξξ

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ <<=

otherwise 02

T2

T- if ,1)( ttAT

)()(),( ,, tBuCStCS sgfgf ∗=ξ

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ <<

= otherwise 0

NsNs- if ,1)( avr.avr. ππ t

tBs



51

Freq

uenc

y (k

Hz)

1000

100

1

Time (s)2.45 2.46



10

52

Freq

uenc

y (k

Hz)

1000

100

Time (s)2.45 2.46



10

53

Freq

uenc

y (k

Hz)

1000

100

Time (s)2.45 2.46



10

10

-10

0

Documents

Idő-frekvencia analízisoldweb.reak.bme.hu/fileadmin/user_upload/felhasznalok/pokol/ido-frekvencia_pokol.pdfIdő-frekvencia analízis Pokol Gergő BME NTI Műszaki rendszerek diagnosztikája