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No. 1 CENTRO DE ESTUDIOS TECNOLÓGICOS DEL MAR No. 26 Identidades Trigonométricas Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas, verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones). Estas identidades, son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. Otra aplicación importante es el cálculo de integrales indefinidas de funciones no- trigonométricas: se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas. Las funciones trigonométricas, en matemáticas, son relaciones angulares; guardan relación con el estudio de la geometría de los triángulos y son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones. En trigonometría existen varias identidades fundamentales, entre ellas encontramos las: Recíprocas De división Por el teorema de Pitágoras Práctica 0. Crea una carpeta y llámala Identidades para guardar todos los ejercicios de este tema. 1. Abre GeoGebra, daño clic sobre el icono correspondiente: 2. Coloca el apuntador del mouse sobre el área de graficación y pulsa el botón derecho del mouse, con la finalidad de realizar un acercamiento del 200%.

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Page 1: identidades trigonométricas

No. 1

CENTRO DE ESTUDIOS TECNOLÓGICOS DEL MAR No. 26

Identidades Trigonométricas

Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas, verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).

Estas identidades, son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. Otra aplicación importante es el cálculo de integrales indefinidas de funciones no-trigonométricas: se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas.

Las funciones trigonométricas, en matemáticas, son relaciones angulares; guardan relación con el estudio de la geometría de los triángulos y son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.

En trigonometría existen varias identidades fundamentales, entre ellas encontramos las:RecíprocasDe divisiónPor el teorema de Pitágoras

Práctica0. Crea una carpeta y llámala Identidades para guardar todos los ejercicios de este tema.

1. Abre GeoGebra, daño clic sobre el icono correspondiente:

2. Coloca el apuntador del mouse sobre el área de graficación y pulsa el botón derecho del mouse, con la finalidad de realizar un acercamiento del 200%.

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3. Abre la herramienta Nuevo Punto y selecciona Intersección de Dos Objetos, marca con ella la intersección de los ejes, con ello tenemos un punto A

4. Crearemos una barra de deslizamiento a la que llamaremos 1, para esto en la barra de entrada da clic sobre el símbolo que se encuentra a la derecha, luego introduces guión bajo e el número 1, enseguida escribes = 20, como se muestra a continuación:

Si no aparece el deslizador, en la ventana o vista algebraica, da clic sobre 1.

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5. Enseguida coloca el apuntador sobre la barra que acabas de crear y da clic derecho sobre ella para activar las propiedades y cambiar el rango de 0 a 90.

6. Dibuja una circunferencia con centro en el punto A y radio = 1

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6. Introduce por medio de la barra de entrada el punto D, para ello escribe D = (1, 0)

7. Ahora vamos a introducir un ángulo sobre el eje x’x, para ello activa la herramienta Angulo y enseguida selecciona la opción Angulo dada su Amplitud. Para ello se requiere un punto lateral (D) y el vértice (A). En Amplitud escribimos _1 y finalmente damos clic en OK

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8. Unimos el punto A con el D’ mediante un segmento, el cual se encuentra en la herramienta Recta.

9. Colocamos el apuntador sobre el segmento a y con clic derecho, activamos propiedades, para cambiar el nombre del segmento, ahora lo llamaremos r.

10. Mueve el deslizador para ampliar el ángulo.

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11. Trace una perpendicular al eje x’x que pase por el punto D’. Active para ello el icono Recta Perpendicular.

12. Marque el punto de intersección de la perpendicular y el eje x’x, utilice la herramienta Intersección de dos Objetos.

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13. Enseguida ocultaremos los ejes y la perpendicular creada en el paso 11. Para ocultar los ejes da clic derecho sobre ellos y enseguida en Ejes. Para la perpendicular, clic derecho sobre ella y Ocultar Objeto.

14. Uniremos los puntos A, B y B, D’ mediante segmentos. Luego renombraremos los puntos D’ y B, así como los segmentos formados, para que nos quede de la siguiente manera:

15. Oculte el punto D, y proceda a medir los catetos y la hipotenusa del triángulo formado:

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16. Introduciremos la definición de las seis funciones trigonométricas, para ello utilizaremos la herramienta Inserta Texto.

17. Introduzca los siguientes textos:"Sen(α)= Sin(" + α + ")=" + (sin(α))"Cos (α)= Cos (" + α + ")=" + (cos(α))"Tan (α)= Tan (" + α + ")=" + (tan(α))

Estas son las únicas funciones que GeoGebra tiene definidas, por ello debemos encontrar una forma de calcular las tres restantes, por lo que procederemos ahora a calcular estas funciones a partir de su definición.

18. Introduzca los siguientes textos:"Sen ( α) =Sin(" + α + ")= b/r =" + b + "/" + r + " =" + (b / r)"Cos ( α) =Cos(" + α + ")= a/r =" + a + "/" + r + " =" + (a / r)"Tan ( α) =Tan(" + α + ")= b/a =" + b + "/" + a + " =" + (b / a)

Continuemos con las otras tres funciones (Cotangente, Secante y Cosecante) a partir de sus definiciones.19. Introduzca los siguientes textos:

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"Cot ( α) =Cot(" + α + ")= a/b =" + a + "/" + b + " =" + (a / b)"Sec ( α) =Sec(" + α + ")= r/a =" + r + "/" + a + " =" + (r / a)"Csc ( α) =Csc(" + α + ")= r/b =" + r + "/" + b + " =" + (r / b)

Observemos los que llevamos hasta este punto y tratemos de relacionar las funciones definidas.

Recordemos que una identidad trigonométrica es una igualdad que contiene razones trigonométricas y que es verdadera, cualesquiera sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.

Para verificar este tipo de ejercicios, se sugiere trabajar con un solo miembro de la identidad, transformándolo (preferentemente ponerlo en términos de seno y coseno) hasta lograr la identidad con el otro miembro.

20. Con base en el archivo creado y la figura y texto construidos podemos estables las siguientes igualdades:

Sen(45º) = Cos(45º)Tan(45º) = Cot(45º)Sec(45º) = Csc(45º)

¿Son estás igualdades identidades? Argumenta tu respuesta.Sugerencia: Mueve el deslizador y observa.

21. Analicemos las siguientes definiciones:

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sen() = br

¿Qué pasa si multiplicamos las dos funciones:

sen() csc() = ( br )∗( rb ) = b∗rr∗b

= 1

csc() = rb

Mueva el deslizador y observe los valores del seno y de la cosecante, con ayuda de la calculadora multiplique.¿Es válido para todos los valores del ángulo?¿Representa entonces una identidad?

22. Repita el procedimiento anterior para tratar de encontrar alguna relación entre coseno y secante, tangente y cotangente.

¿Es una identidad el producto del coseno por la secante?

¿Es una identidad el producto de la tangente por la cotangente?

23. Si en la expresión sen() csc() = 1, despejas para sen() nos queda:

sen() = 1

csc (α) y si se despeja csc() nos queda

csc() = 1

sen (α )

Por lo anterior se dice que el seno y la cosecante son recíprocos, o también suele decirse que las funciones seno y cosecante son funciones recíprocas.

24. Observemos las funciones seno, coseno y tangente a partir de su definición.

sen() = br

tan() = ba

cos() = ar

El numerador del seno (b) es el mismo para la tangente (b), mientras que el numerador del coseno (a) es el denominador de la tangente, por lo que podemos pensar que si hacemos el cociente del seno y coseno obtendremos la tangente, veamos

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sen(α )cos (α)

=

brar

=b∗ra∗r

=ba

Por lo que podemos concluir que:

tan() = sen(α )cos (α)

25. Observemos las funciones coseno, seno y cotangente a partir de su definición.

cos() = ar

cot() = ab

sen() = br

Podemos concluir también que:

cot() = cos(α )sen (α )

26. Identidades trigonométricas Pitagóricas. Tomemos nuestra construcción como base para deducir las tres identidades conocidas como Pitagóricas.

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En el triángulo rectángulo ABC, se cumple que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, es decir:

a2 + b2 = r2

Si dividimos ambos miembros por r2, tendremos

a2+b2

r2= r

2

r2

Lo cual podemos simplificar de la siguiente forma:

a2

r 2+ b

2

r2=1

O también como:

( ar )2

+( br )2

=1

Pero sabemos que:

sen() = br y que cos() =

ar, por lo que podemos establecer que:

( senα )2+( cosα )2=1

Compruébelo para diferentes ángulos llenando la siguiente tabla:

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Angulo () sen() ( senα )2 cos() (cos α )2 suma

27. Utilice la relación a2 + b2 = r2 pero ahora divida los términos por a2

Escriba el procedimiento y la conclusión, repitiendo el procedimiento descrito en el numeral 26

Angulo ()

28. Utilice la relación a2 + b2 = r2 pero ahora divida los términos por b2

Escriba el procedimiento y la conclusión, repitiendo el procedimiento descrito en el numeral 26

Angulo ()

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29. Utilizaremos lo anterior para comprobar las identidades que se plantean:Sugerencia: Para verificar este tipo de ejercicios, trate de trabajar con un solo miembro de la identidad, transformándolo (preferentemente ponerlo en términos de seno y coseno) hasta lograr la identidad con el otro miembro.

Dada una proposición trigonométrica, demostrarla consiste en transformarla hasta convertirla en una igualdad que sea cierta sin lugar a dudas.

a). Demostrar que sen x sec x = tan x

Tomemos el miembro de la izquierda y recordemos que la sec(x) = 1

cos (x)Sustituyendo tendremos que:

sen(x) 1

cos (x) = =

sen(x )cos (x)

y sabemos que la tan(x) = sen(x )cos (x)

, por lo que se

comprueba quesen (x) sec (x) = tan (x)

b. Demostrar que (sen x + cos x)2 = 1 + 2 sen xsec x

Desarrollemos el miembro de la izquierda:

(sen x + cos x)2 = sen2 x + 2*sen x * cos x + cos2 x agrupando(sen x + cos x)2 = (sen2 x + cos2 x) + 2 * sen x * cos x pero sen2 x + cos2 x = 1 y además

cos x = 1sec x

por lo tanto

(sen x + cos x)2 = 1 + 2*sen x ( 1sec x

)

(sen x + cos x)2 = 1 + 2 sen xsec x

c. Demuestre que 2(1 – cos2 x) + cos2 x = 1 + sen2 x

Tomemos el miembro de la izquierda y desarrollemos

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2(1 – cos2 x) + cos2 x = 2 – 2* cos2 x + cos2 x2(1 – cos2 x) + cos2 x = 2 – cos2 x pero sen2 x + cos2 x = 1 o bien

cos2 x = 1 – sen2 x, sustituyendo2(1 – cos2 x) + cos2 x = 2 – (1 – sen2 x)2(1 – cos2 x) + cos2 x = 2 – 1 + sen2 x2(1 – cos2 x) + cos2 x = 1 + sen2 x

d. Demuestre la identidad: sec α

tanα+cotα = sen

Trabajando con el miembro de la izquierda y reduciendo a senos y cosenos todas las funciones tenemos que:

sec αtanα+cotα =

1cos α

senαcosα

+cos αsen α

= =

1cos α

senα 2α+cos α2

senα∗cos α

= senα∗cos α

cosα (¿ sen α2α+cosα 2)¿ =

sen α∗cosαcos α (1) = sen

e. Demuestre la identidad: tan x * cos x * csc x = 1

Poniendo todo en términos del seno y coseno, tenemos que

( sen xcos x ) (cos x )( 1sen x ) = 1

f. Llene la tabla siguiente:Funciones Trigonométricas en función de las otras cinco

Función sen cos tan cot sec cscsen sen √1−cos2α 1

csc αcos √1−sen2α cos tan 1

sec αcotseccsc

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30. Demuestre las siguientes identidades trigonométricas

a) sen2 x + 1

sec2 x = sen x csc x b)

1

csc2 x + cos2 x = 1

c) tan2 x + sen x csc x = sec2 x d) cos2 xsen2 x

+ tan x cot x = csc2 x

e) sen2 x + cos2 x = cos x sec x f) tan2 x + tan x cot x = sec2 x