Identidades trigonomtricas

Todas las funciones en O.

Identidades trigonomtricas fundamentales, y cmo convertir de una funcin trigonomtrica a otra.Una identidad trigonomtrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonomtricas y es vlida para todos los valores del ngulo en los que estn definidas las funciones (y las operaciones aritmticas involucradas).Notacin: se define sin2 como (sin )2. Lo mismo se aplica a las dems funciones trigonomtricas.

Relaciones bsicasRelacin pitagrica

Identidad de la razn

De estas dos identidades, se puede extrapolar la siguiente tabla. Sin embargo, ntese que estas ecuaciones de conversin pueden devolver el signo incorrecto (+ ). Por ejemplo, si la conversin propuesta en la tabla indica que , aunque es posible que . Para obtener la nica respuesta correcta se necesitar saber en qu cuadrante est .Funciones trigonomtricas en funcin de las otras cinco.

En trminos de

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De las definiciones de las funciones trigonomtricas:

Son ms sencillas de probar en la circunferencia trigonomtrica o goniomtrica (que tiene radio igual a 1):

A veces es importante saber que cualquier combinacin lineal de una serie de ondas senoidales que tienen el mismo perodo pero estn desfasadas, es tambin una onda senoidal del mismo perodo pero con un desplazamiento de fase diferente. Dicho de otro modo:

Es llamada identidad trigonomtrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades ms, muy tiles para problemas introductorios del tipo conocido el valor de la funcin seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).Por ejemplo, si se divide ambos miembros de "sen + cos = 1" por cos, se obtiene:

Ahora, dividiendo ambos miembros de la misma expresin por el sen, se obtiene:

Entonces puede expresarse la funcin seno segn alguna otra conocida:

Ejemplo 2:

Utilizando la identidad

Entonces:(*)

substituyendo en (*):

Realizando las operaciones necesarias se llega a:

Y queda demostrado.El resto de las funciones se realiza de manera anloga.Teoremas de la suma y diferencia de ngulosPueden demostrarse segn la Frmula de Euler o mediante la proyeccin de ngulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recproca correspondiente.

De lo que se sigue para determinados ngulos suplementarios:

Para ngulos complementarios:

Para ngulos opuestos:

Identidades del ngulo mltipleSi Tn es el n-simo Polinomio de Chebyshev entonces

Frmula de De Moivre:

Identidades del ngulo doble, triple y medioPueden obtenerse remplazndolo y por x (o sea ) en las identidades anteriores, y usando el teorema de Pitgoras para los dos ltimos (a veces es til expresar la identidad en trminos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando la Frmula de De Moivre cuando .Frmula del ngulo doble

Frmula del ngulo triple

Frmula del ngulo medio

Producto infinito de Euler

Identidades para la reduccin de exponentesResuelve las identidades tercera y cuarta del ngulo doble para cos(x) y sin(x).Seno

Coseno

Otros

Paso de producto a sumaPuede probarse usando el teorema de la suma para desarrollar los segundos miembros.

Deduccin de la identidad

Sabemos por el teorema de la suma y la resta que:

Si separamos la suma de la resta quedan entonces los dos posibles casos:1): 2):

Si tomamos la ecuacin 1) y despejamos cos(x)cos(y) nos queda que:3): Y si sumamos el miembro de la derecha de la ecuacin 2) al miembro izquierdo de la ecuacin 3), y para mantener la igualdad se suma el lado izquierdo de la ecuacin 2) en el lado derecho de la ecuacin 3) (al sumar la misma cantidad a ambos miembros de la ecuacin la nueva ecuacin sigue siendo cierta), quedara:

Simplificando el elemento sin(x)sin(y) y sumando cos(x)cos(y) quedara:

Y por ltimo multiplicando ambos lados de la ecuacin por queda:

Nota 1: este procedimiento tambin se puede aplicar para demostrar el origen de las otras dos ecuaciones simplemente cambiando los valores.Nota 2: Usando 3) y el resultado anterior se obtiene tambin:

Notar el cambio de signo.Paso de suma a productoReemplazando x por (a + b) / 2 e "y por (a b) / 2 en las identidades de producto a suma, se tiene:

Paso de diferencia de cuadrados a producto

Deduccin1) recordando: que cateto opuesto sobre cateto adyacente

multiplicando

De tal manera que obtendremos:

aplicando esto en la ecuacin inicial

multiplicando

De una manera anloga se halla el primer teorema.Eliminar seno y cosenoA veces es necesario transformar funciones de seno y coseno para poderlas sumar libremente, en estos casos es posible eliminar senos y cosenos en tangentes.

Funciones trigonomtricas inversas

Composicin de funciones trigonomtricas

Frmula de productos infinitosSenoCoseno

Frmula de Euler

Inicio del teorema del CosenoLos Elementos de Euclides, que datan del siglo IIIa.C., contienen ya una aproximacin geomtrica de la generalizacin del teorema de Pitgoras: las proposiciones 12 y 13 del libro II, tratan separadamente el caso de un tringulo obtusngulo y el de un tringulo acutngulo. La formulacin de la poca con la ausencia de funciones trigonomtricas y del lgebra oblig a razonar en trminos de diferencias de reas.1 Por eso, la proposicin 12 utiliza estos trminos:

En los tringulos obtusngulos, el cuadrado del lado opuesto al ngulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el ngulo obtuso en dos veces el rectngulo comprendido por un lado de los del ngulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada por la perpendicular, hasta el ngulo obtuso.Euclides, Elementos.2Siendo ABC el tringulo, cuyo ngulo obtuso est en C, y BH la altura respecto del vrtice B (cf. Fig. 2 contigua), la notacin moderna permite formular el enunciado as:

Fig. 2 - Tringulo ABC con altura BH.

Luego, con la trigonometra rabe-musulmana de la Edad Media el teorema evoluciona a su forma y en su alcance: el astrnomo y matemtico al-Battani3 generaliz el resultado de Euclides en la geometra esfrica a principios del siglo X, lo que permiti efectuar los clculos de la distancia angular entre el Sol y la Tierra.4 5 Fue durante el mismo perodo cuando se establecieron las primeras tablas trigonomtricas, para las funciones seno y coseno. Eso permiti a Ghiyath al-Kashi,6 matemtico de la escuela de Samarcanda, de poner el teorema bajo una forma utilizable para la triangulacin durante el siglo XV. La propiedad fue popularizada en occidente por Franois Vite quien, al parecer, lo redescubri independientemente.7Fue a finales del siglo XVII cuando la notacin algebraica moderna, aunada a la notacin moderna de las funciones trigonomtricas introducida por Euler en su libro Introductio in analysin infinitorum, permitieron escribir el teorema bajo su forma actual, extendindose el nombre de teorema (o ley) del coseno.8

Teorema del senoEn todo tringulo se da la siguiente relacin entre la longitud de sus lados a, b y c y el seno de sus respectivos ngulos opuestos A, B y C

Demostracin

El teorema de los senos establece que a/sin(A) es constante.Dado el tringulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento BO hasta cortar la circunferencia, se obtiene un dimetro BP.Ahora, el tringulo PBC es recto, puesto que BP es un dimetro, y adems los ngulos A y P son iguales, porque ambos son ngulos inscritos que abren el segmento BC (Vase definicin de arco capaz). Por definicin de la funcin trigonomtrica seno, se tiene

donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:

Repitiendo el procedimiento con un dimetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.La conclusin que se obtiene suele llamarse teorema de los senos generalizado y establece:Para un tringulo ABC donde a, b, c son los lados opuestos a los ngulos A, B, C respectivamente, si R denota el radio de la circunferencia circunscrita, entonces:

Puede enunciarse el teorema de una forma alternativa:En un tringulo, el cociente entre cada lado y el seno de su ngulo opuesto es constante e igual al dimetro de la circunferencia circunscrita.

AplicacinEl teorema del seno es usado con frecuencia para resolver problemas en los que se conoce un lado del tringulo y dos ngulos y se desea encontrar las medidas de los otros lados.Definiciones exponencialesFuncinFuncin inversa

Vase tambin Trigonometra Funcin trigonomtrica Seno, coseno, tangenteReferencias1. Jump up Heath, Sir Thomas (1921) (en ingls). A history of Greek Mathematics vol. 1. Londres, Inglaterra: Oxford University Press. OCLC 2014918.2. Jump up Proposicin 12 del libro II de Los Elementos de Euclides.3. Jump up Esquema del desarrollo histrico de la matemtica pgs. pg. 6. Universidad Nacional del Nordeste.4. Jump up J J O'Connor y E F Robertson. Abu Abdallah Mohammad ibn Jabir Al-Battani (en ingls) (html). Consultado el 08-06-2008.5. Jump up La trigonometria rab, Al-Battani, Abul-Wafa, Ibn Yunus, Nasir al-Tusi (en cataln) (html). Consultado el 08-06-2008.6. Jump up Al-Kashi, Gamshid ibn Messaoud (en francs).7. Jump up Vite, Franois (1579). Canon mathematicus seu ad triangula. Lutetia Mettayer. OCLC 165919384.8. Jump up Boyer, Carl B.; Uta C. Merzbach (1968). A History of Mathematics. New York: Estados Unidos: John Wiley & Sons. pp.439445. ISBN 0-471-54397-7.