Identificacion Experimental de Sistemas

- 1 -

Sistemas de Control Automático

Identificación experimental de sistemas

Angel Martínez Bueno

© 2011 GITE – IEA

ÍNDICE

1. Introducción.

1.1 Tipos de respuestas.

2. Métodos de identificación experimental.

2.1 Identificación mediante respuesta ante entrada escalón.

• Respuestas Sobreamortiguadas.

o 1er orden puro.

o 1er orden con retardo.

o Polos reales múltiples.

o Polos reales múltiples con retardo.

o Polos reales distintos.

• Sistemas inestables.

• Respuestas Subamortiguadas.

o 2º orden estándar.

o 2º orden estándar con retardo.

o 2º orden estándar con polo adicional.

o 2º orden estándar con cero adicional.

2.2 Identificación mediante respuesta en frecuencia.

2.3 Identificación mediante Mínimos cuadrados.

2.3.1 Propiedades del estimador de mínimos cuadrados.

o Modelo ARX.

o Modelo OE.

o Modelo ARMAX.

o Modelo BJ.

3. Ejemplos.

Máster en Automática y Robótica

Ángel Martínez Bueno Pag.1

1. Introducción.

Mediante el proceso de identificación se pretende obtener un modelo matemático del

proceso. Para ello se deben tener en cuenta las siguientes consideraciones sobre la

señal de entrada:

- Relación señal ruido: Entrada lo suficientemente grande.

- Linealidad restringida a 1 punto de funcionamiento: entrada no demasiado

grande.

- Señal de entrada “excitante”: que aporte información suficiente.

Señales más utilizadas.

1.1 Tipos de respuestas.

Existen 2 tipos de respuestas, subamortiguadas y sobreamortiguadas.

Generalmente las respuestas subamortiguadas implican un proceso con mayor

velocidad de respuesta, sin embargo presentan como inconveniente la

sobreoscilación.



2. Métodos de identificación experimental.

El control de un proceso implica la utilización de una serie de sensores, según la

variable a controlar, para poder obtener información del proceso en tiempo real. De

esta forma, se puede obtener un valor del error existente entre la señal de referencia o

consigna y el valor real de la variable, este tipo de configuración se denomina control

en bucle cerrado.

Figura1: Diagrama de bloques bucle cerrado.

Actualmente, existen dispositivos compactos para controlar procesos industriales,

por ejemplo: controladores de temperatura, control de velocidad de un motor, etc.

Además estos dispositivos de control disponen de un autoajuste una vez insertados

en el proceso, que permiten ajustar los parámetros del controlador de forma

automática. Sin embargo, no siempre se obtiene un correcto funcionamiento del

proceso con este autoajuste, este es el momento de diseñar el controlador de forma

analítica. Previamente al diseño del controlador, es necesario identificar el proceso,

para ello se pueden aplicar varios métodos experimentales de identificación.



2.1 Identificación mediante respuesta ante entrada escalón.

Este método consiste en aplicar sobre un sistema en equilibrio, una entrada en

forma de escalón y observar la respuesta del mismo. Posteriormente se analiza

esta respuesta, obteniendo un polinomio denominado “función de transferencia”

que pretende ser un fiel reflejo del comportamiento del proceso.

Básicamente todos los procesos existentes en la naturaleza pueden clasificarse en

dos tipos, sistemas de primer orden y sistemas de segundo orden. Dentro de los

cuales existen variantes, tal como se especificará posteriormente.

• Respuestas sobreamortiguadas.

o 1er orden Puro.

La respuesta típica de estos sistemas no presenta sobreoscilación, esto

quiere decir que nunca llegan al valor exacto de la consigna y por lo

tanto, son sistemas relativamente lentos. Por ejemplo: el calentamiento de

un horno.

Figura 2: Sistema de 1er orden puro.

La función de transferencia de un sistema de 1er orden es la siguiente.

( )1

KG ssτ

=+ ⋅

Donde:

K: Ganancia del sistema. Señal salida yKSeñal entrada u

Δ= =

Δ

τ : Constante de tiempo



El valor de la constante de tiempo se obtiene sobre la gráfica, para ello se

observa de tiempo correspondiente a un valor del 63% yΔ .

Normalmente se trabaja con un factor denominado tiempo de

establecimiento, que suele estar comprendido entre un 95 – 98 %. Este

factor determina el tiempo en el cual la respuesta se estabiliza entre los

límites indicados a ese porcentaje.

o 1er orden con retardo.

La respuesta típica de este tipo de sistemas, presenta la misma

configuración que un sistema de 1er orden puro, en el cual la respuesta

presenta un desfase o retardo respecto a la señal de entrada.

Figura 3: Sistema de 1er orden con retardo.

La función de transferencia de un sistema de 1er orden con retardo es la

siguiente.

( )1

T sKG s esτ

− ⋅= ⋅+ ⋅

Donde:

K: Ganancia del sistema. yKu

Δ=

Δ


T : Retardo.



o Polos reales múltiples.

La respuesta de este tipo de sistemas varía según la cantidad de polos

existentes, conforme aumenta el número de polos la respuesta es más

rápida, pero aparece al inicio un arranque con mayor suavidad.

Figura 4: Sistema de polos reales múltiples.

La función de transferencia de un sistema de polos reales múltiples es la

siguiente.

( )( )

1 nKG s

sτ=

+ ⋅

Donde:


Δ=

Δ


n : Número de polos del sistema.



Método de Strejc.

Este método se emplea para la identificación de sistemas de polos múltiples,

mediante los parámetros Tu y Ta obtenidos sobre la respuesta del sistema.

Emplea una línea recta de pendiente máxima superpuesta sobre la zona de

pendiente, de modo que el valor del parámetro Tu se obtiene con el corte del eje

de abscisas y el valor del parámetro Ta se obtiene con el corte de una paralela al

eje de abscisas en el punto donde la respuesta está estable.

Figura 5: Parámetros de Strejc.

Tras obtener el valor de las variables Tu y Ta, se obtiene el valor de Tu/Ta. Con

este valor se va a la tabla de Strejc y se toma el valor más próximo, que

determina el número de polos múltiples “n”.

Tabla 1: Número de polos múltiples.

Se toman los parámetros aTτ

y uTτ

y se despeja en cada ecuación τ , si los 2

valores no coinciden significa que el sistema no se ajusta bien a polos múltiples.

Si por el valor obtenido es muy próximo al de la tabla se tendrá un sistema de

orden “n”.



o Polos reales múltiples con retardo.

La respuesta es del mismo tipo que para polos reales múltiples, en la cual

al comienzo presenta un retardo.

Figura 6: Parámetros de Strejc con retardo.

La función de transferencia de un sistema polos reales múltiples con

retardo es la siguiente.

( )( )

1T s

n

KG s esτ

− ⋅= ⋅+ ⋅

Donde:


Δ=

Δ


T : Retardo puro.

n : Número de polos del sistema.

Una vez obtenidos los parámetros, se vuelve a consultar la tabla 1 para

valores de Strejc para los parámetros aTτ

y uTτ

, y de igual modo al

anterior se calculan los valores de τ para saber si se ajusta bien a un

sistema de polos reales múltiples.



o Polos reales distintos.

Si la respuesta es subamortiguada y no se ajusta a ningún sistema visto

hasta ahora y 0.104u

a

TT

< (n=2) se puede aproximar con polos reales

distintos.

Figura 7: Ejemplos respuestas polos distintos.

La función de transferencia de un sistema de 2 polos reales distintos es la

siguiente.

( ) ( )1 2

( )1 1

KG ss sτ τ

=+ ⋅ ⋅ + ⋅

Donde:


Δ=

Δ

1 2,τ τ : Constantes de tiempo

Existen 3 proceso de ajuste, el primero consiste en ajustar a ojo tras

realizar Strejc hasta que el ajuste sea lo suficientemente preciso. El

segundo consiste en aproximar el retardo por un polo, obteniendo la

siguiente ecuación.

2 2( )1 (1 ) (1 )(1 / 2 ) (1 )(1 )

TsTs

K K K KG s es s e s Ts T s s Tsτ τ τ τ

−= = = ≈+ + + + + + + +



Por último, se puede hacer un ajuste por graficas logarítmicas, donde las

ecuaciones correspondientes son:

)1)(1()1)(1()(

21

βαττ ss

Kss

KsG++

=++

=

La respuesta ante escalón es:

Restando el valor final:

tt BeAetyy βα −− −=Δ−∞Δ )()(

Si el polo α es mucho menor que el β , para t grandes se aproxima: tAetyy α−≈Δ−∞Δ )()(

Se dibuja en una gráfica el logaritmo de esta expresión respecto del

tiempo:

tAtyy α−≈Δ−∞Δ )ln())()(ln(

Figura 8: Representación ec. tAtyy α−≈Δ−∞Δ )ln())()(ln( .

tt BeAeyty βα −− +−∞Δ=Δ )()(



Para obtener la posición del otro polo se procede de forma similar. tt BeAetyy βα −− =+Δ+∞Δ− )()(

Se representa en una grafica el logaritmo neperiano de la ecuación

anterior.

Figura 9: Representación ln( ( ) ( ) )t ty y t A e B eα β− ⋅ − ⋅−Δ ∞ + Δ + ⋅ = ⋅ .

• Sistemas inestables.

Un tipo de sistema inestable es un sistema de 1er orden con integrador,

cuya función de transferencia es la siguiente.

)1()(

ssKsG

τ+=

10: Sistema con respuesta inestable.



• Respuestas subamortiguadas.

Como se comento al comienzo de este documento, este tipo de respuestas

presentan sobreoscilacion y un periodo transitorio con oscilación.

o 2º orden estándar.

La mayoría de los sistemas industriales se comportan como un sistema de

este tipo, en el cual posteriormente el control pretende limitar parámetros

como la sobreoscilacion, tiempo de establecimiento y error en régimen

permanente.

Figura 11: Respuesta 2º orden estándar.

La función de transferencia de un sistema de 2º orden estándar es la

siguiente.

22

2

2)(

nn

n

ssksG

ωξωω

++=

Donde:


Δ=

Δ

nW : Frecuencia natural del sistema.

ξ : Amortiguamiento.



Los parámetros que definen este tipo de respuesta son:

- Sobreoscilacion: 21max ( )

( )y y e Obtener

y

ξπ

ξδ ξ−

−Δ − Δ ∞= = →

Δ ∞

- Tiempo de pico: 22 1

oscp n

n

Tt Obtenerπ ωω ξ

= = →−

o 2º orden estándar con retardo.

La función de transferencia de un sistema de 2º orden estándar con

retardo es la siguiente. 2

2 2( )2

T sn

n n

kG s es s

ωξω ω

− ⋅= ⋅+ +

12: Respuesta 2º orden estándar con retardo.

o 2º orden estándar con polo adicional.

Se puede identificar un sistema de 2º orden con polo adicional si el valor

de 2osc

pTt > . Por tanto, son sistemas que evolucionan más lentamente

que los de 2º orden estándar.



La función de transferencia de un sistema de 2º orden estándar con polo

adicional es la siguiente.

)1)(2()( 22

2

sssksG

nn

n

τωξωω

+++=

13: Respuesta 2º orden con polo adicional.



( )y y e Obtener

y

ξπ

ξδ ξ−

−Δ − Δ ∞= < →

Δ ∞


oscp n

n


> = →−

o 2º orden estándar con cero adicional.

Dentro de este grupo se pueden diferenciar 2 situaciones distintas, en

primer lugar si 0τ > , obtenemos un sistema que presenta un tiempo de

pico 2osc

pTt > , siendo un sistema más rápido que uno de 2º orden

estándar. En segundo lugar, si 0τ < 0τ > , obtenemos un sistema que

presenta un tiempo de pico 2osc

pTt < , siendo un sistema más lento que

uno de 2º orden estándar, por presentar al inicio una respuesta contraria a

lo esperado.



La función de transferencia de un sistema de 2º orden estándar con cero

adicional es la siguiente.

22

2

2)1()(

nn

n

sssksG

ωξωτω++

+=

13: Respuesta 2º orden con cero adicional y 0τ > .



( )y y e Obtener

y

ξπ

ξδ ξ−

−Δ − Δ ∞= > →

Δ ∞


oscp n

n


< = →−

14: Respuesta 2º orden con cero adicional y 0τ < .





( )y y e Obtener

y

ξπ

ξδ ξ−

−Δ − Δ ∞= > →

Δ ∞


oscp n

n


> = →−

2.2 Identificación mediante respuesta en frecuencia.

Dado un sistema de f.d.t G(s), se define la respuesta en frecuencia como la

función de ω : ( ) ( )s j

G j G sω

ω=

=

Si u(t) es senoidal pura de frecuencia ω :

)()( tsenUtu ω⋅=

Entonces y(t) cuando pasa el transitorio es senoidal pura de la misma frecuencia

ω :

( )( ) ( ) arg( ( ))y t U G j sen t G jω ω ω= ⋅ +

La representación de la respuesta en frecuencia mediante los diagramas de Bode,

contempla 2 gráficas. En la primera se representa en el eje de abscisas la

frecuencia en escala logarítmica la frecuencia y en el eje de ordenadas la

amplitud en decibelios. En la segunda se representa en el eje de abscisas la

frecuencia en escala logarítmica la frecuencia y en el eje de ordenadas el

argumento o desfase en grados.

Figura 15: Representación Amplitud / Frecuencia.



Figura 16: Representación Desfase / Frecuencia.

El método empleado para la identificación de sistemas mediante la respuesta en

frecuencia es la aproximación asintótica de líneas rectas sobre la gráfica de

amplitud / frecuencia.

Las consideraciones a tener en cuenta para la aplicación de este método son:

Para el diagrama de amplitud.

- Término constante k: añade un valor constante 20log(k).

- Un polo simple añade pendiente de -20 db/década a partir del valor del

polo.

- Un cero simple añade pendiente de +20 db/década a partir del valor del

cero.

- Un par de polos complejos, añade una pendiente de - 40 db/década a

partir del valor del módulo de los polos. Si x es pequeño, hay pico de

resonancia.

- Un par de ceros complejos, añade una pendiente de +40 db/década a

partir del valor del módulo de los ceros. Si x es pequeño, hay pico de

resonancia.

- Un polo en el origen (1/s) añade una pendiente de -20 db/década en

todas las frecuencias.

- Un cero en el origen (s) añade con una pendiente de +20 db/década en

todas las frecuencias.



Para el diagrama de fase.

- Término constante k: no contribuye

- Un polo simple: 0º para w=0, -90º para w=∞.

- Un cero simple: 0º para w=0, +90º para w=∞.

- Un par de polos complejos: 0º para w=0, -180º para w=∞.

- Un par de ceros complejos: 0º para w=0, +180º para w=∞.

- Un polo en el origen (1/s): -90º en todas las frecuencias.

- Un cero en el origen (s): +90º en todas las frecuencias.

- Un cero simple positivo: 0º para w=0, -90º para w=∞.

- Un retardo puro (e-sT): fase = -wT

Si se emplea la respuesta en frecuencia para la identificación de un sistema hay

que tener presente la zona de identificación posible, esto quiere decir, que no

toda la gráfica obtenida es válida para la identificación. A continuación se

muestra una gráfica en la cual al final se obtiene una oscilación inesperada, que

indica que el sistema presenta retardo.

Figura 17: Comprobación Magnitud, oscilación a partir de 0.5 Hz.



Figura 18: Comprobación Fase.

Aplicando retardo, se obtiene una gráfica en la cual se ajusta casi perfectamente

la fase esperada.

( )( )5.15

210( )

1 10.011 0.094

sG s es s

−=+ +

Figura 19: Comprobación Fase tras introducir retardo.

Ánge

2.3

el Martínez B

3 Identificac

Este mét

sistema c

intervalo

Aplicand

G

Δ

El proble

conocido

Bueno

ción median

todo de iden

continuo lin

o de valores

do la transfo

1

1

( )1

b zG za

=+

1k ky a y −Δ + Δ

ema de iden

os 0 1,u uΔ Δ

nte mínimos

ntificación c

neal. Para el

continuos q

Figura

ormada Z s

1 22

1 21 2

z b zz a z

− −

− −

++

1 2 2ka y− −+ Δ =

ntificación s

........ NuΔ y

Pag.19

s cuadrados

consiste en

llo se debe e

que equival

a 20: Proces

se obtiene la

1 1kb u b−= Δ +

se basa en o

y 0 1, ...y yΔ Δ

Má

s.

obtener el e

especificar

len a un mis

o de muestr

a función di

2 2kb u −Δ

obtener los v

...... NyΔ .

áster en Auto

equivalente

el periodo d

smo valor d

reo.

iscreta del s

valores a1, a

mática y Rob

discreto de

de muestreo

discreto.

istema.

a2, b1, b2

bótica

un

o y el



Realización del experimento.

- Se aplica una entrada constante hasta que el sistema llega al equilibrio.

Figura 21: Señales de entrada usuales.

- Se produce el cambio de la entrada para obtener variación de la salida.

- Restando el valor del punto de equilibrio se obtiene la secuencia de entrada

y salida, es decir, 0 1, ........ Nu u uΔ Δ Δ y 0 1, ........ Ny y yΔ Δ Δ .

- Se plantea el sistema de ecuaciones a resolver (no tiene solución, porque

tiene más ecuaciones que incógnitas).

- Se definen los errores de las ecuaciones como:

2 2 1 1 2 0 1 1 2 0

3 3 1 2 2 1 1 2 2 1

1 1 2 2 1 1 2 2

( )( )

( )N N N N N N

e y a y a y b u b ue y a y a y b u b u

e y a y a y b u b u− − − −

= Δ − − Δ − Δ + Δ + Δ⎧⎪ = Δ − − Δ − Δ + Δ + Δ⎪⎨⎪⎪ = Δ − − Δ − Δ + Δ + Δ⎩

- Se reorganiza de la siguiente forma matricial:



- Finalmente se resuelve el sistema de forma que se minimiza la suma de

errores al cuadrado, es decir, minimiza: 2TiE E e= ∑

Solución: ( ) 1ˆ T TX X X Yθ−

=

2.3.1 Propiedades del estimador de mínimos cuadrados.

• Modelo ARX.

Equivale a introducir a la salida “limpia” una perturbación que es un

ruido blanco “e” previamente filtrado por 1/A(z):

)(1zA

)()(

zAzBΔu Δy

e

+ +

Esta situación no es cierta, puesto que supone que el valor esperado de

los parámetros no tienen sesgo.



• Modelo OE (Output Error).

1 21 2

1 21 2

( ) ( ) ( )1

b z b z By z u z e z u ea z a z A

− −

− −

+Δ = Δ + = Δ +

+ +

Es decir, que a la salida “limpia” se le suma una perturbación que es

directamente un ruido blanco “e”.

)()(

zAzBΔu Δy

e+

+

Este modelo representa bien la presencia de un ruido de medida

independiente en el sensor.

• Modelo ARMAX.

1 21 20 1 21 2

1 2 1 21 2 1 2

( ) ( ) ( )1 1

c c z c zb z b z B Cy z u z e z u ea z a z a z a z A A

− −− −

− − − −

+ ++Δ = Δ + = Δ +

+ + + +

Es decir, que a la salida “limpia” se le suma una perturbación que es un

ruido blanco e previamente filtrado por C(z)/A(z).

)()(

zAzC

)()(

zAzBΔu Δy

e

+ +

• Modelo BJ (Box Jenkins).

1 21 20 1 21 2

1 2 1 21 2 1 2

( ) ( ) ( )1 1

c c z c zb z b z B Cy z u z e z u ea z a z d z d z A D

− −− −

− − − −

+ ++Δ = Δ + = Δ +

+ + + +

Es decir, que a la salida “limpia” se le suma una perturbación que es un

ruido blanco e previamente filtrado por C(z)/D(z).



)()(

zDzC

)()(

zAzBΔu Δy

e

+ +

Cada modelo de perturbación lleva asociado un algoritmo de resolución sin sesgo para

obtener q. Estos algoritmos estan disponibles en MATLAB (funciones arx, oe, armax,

bj).

3. Ejemplos.

A continuación se muestran varios ejemplos para facilitar la comprensión de los

distintos sistemas vistos en este documento. Se muestra para cada uno de ellos, la

identificación sucesiva y simulación, hasta obtener el resultado deseado.

Sistemas Automáticos. Tema 2. Identificación experimental. Ejemplos.

2

EJEMPLO 1. Obtener la función de transferencia de un sistema cuya respuesta ante un escalón de valor ∆u=1 es:

0 0.5 1 1.5 20

0.05

0.1

0.15

T im e (secs)

∆y

G 1

Si suponemos que el sistema es de orden 1, se tiene: K=∆y/∆u=0.15, τ≈0.5. La respuesta de este sistema sería:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.05

0.1

0.15

T im e (secs) Luego el sistema no es de orden 1. Por el método de Strejc:

0 0.5 1 1.5 20

0.05

0.1

0.15

Time (secs)

∆y

G1

Se obtiene Tu≈0.07, Ta≈0.65, es decir, Tu/Ta≈0.108. Entrando en la tabla de Strejc:



ANGEL

Rectángulo

ANGEL

Rectángulo


3

se observa que la mejor aproximación es n=2, Tu/τ=0.28, Ta/τ=2.7. Se obtienen dos valores: τ=0.25, τ=0.24. Se pueden considerar lo suficientemente próximos y tomar el valor: τ=0.24. El sistema quedaría entonces:

G ss

( ).

( . )=

+0 15

1 0 24 2

La simulación de la respuesta da en este caso:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.05

0.1

0.15

Time (secs) La aproximación del método hace que el sistema obtenido sea ligeramente más lento que el real. Se puede mejorar el ajuste reduciendo ligeramente el valor de τ:

G ss

( ) .( . )

=+

0 151 0 22 2

quedando una respuesta:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.05

0.1

0.15

Time (secs) EJEMPLO 2 Obtener la función de transferencia de un sistema cuya respuesta ante un escalón de valor ∆u=0.3 es:

n Ta/τ Tu/τ Tu/Ta 1 1 0 0 2 2.7 0.28 0.104 3 3.7 0.8 0.22 4 4.46 1.42 0.32 5 5.12 2.1 0.41



ANGEL

Rectángulo

ANGEL

Rectángulo


4

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Tim e (secs)

∆y

G2

La ganancia estática es K=∆y/∆u=3/0.3=10. Como la respuesta es muy plana al principio, se podría tratar de aproximar a un sistema de 1er orden con retardo:

G s es

Ts

2101

( ) =+

−

τ

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Time (secs)

∆y

G2

T τ

1.89

Midiendo se tiene aprox. T=0.9 seg., τ=2.25 seg. Simulando la respuesta de este modelo se tiene:

0 2 4 6 8 1 0 1 20

0 .5

1

1 .5

2

2 .5

3

T im e (s e c s ) La aproximación podría ser suficiente si no se requiere una precisión elevada. Se podría aplicar el método de Strejc para obtener un modelo mejor:



ANGEL

Rectángulo

ANGEL

Rectángulo


5

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1 .5

2

2 .5

3

T im e (secs)

∆y

G 2

Midiendo Tu≈0.8, Ta≈3.3, Tu/Ta≈0.24. Entrando en la tabla de Strejc se observa que la mejor aproximación es n=3, Tu/τ=0.8, Ta/τ=3.7. Se obtienen dos valores: τ=1, τ=0.89. Tomando el valor medio τ=0.95, se tendría el modelo:

G ss

( )( . )

=+

101 0 95 3

cuya respuesta simulada es:

0 2 4 6 8 100

0 .5

1

1 .5

2

2 .5

3

T im e (secs) Se observa en este caso que el modelo obtenido no es mejor que el de primer orden con retardo. Se podría utilizar el método de Strejc con un retardo adicional:

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

T im e (secs)

∆y

G 2

T

Fijando el retardo de forma que Tu/Ta≈0.104 se tiene T≈0.46, Tu≈0.34, Ta≈3.3, Tu/Ta≈0.103. Entrando en la tabla de Strejc se observa que la mejor aproximación es n=2, Tu/τ=0.28, Ta/τ=2.7. Se obtienen dos valores: τ=1.26, τ=1.22. Tomando el valor medio τ=1.24, se tendría el modelo:



ANGEL

Rectángulo

ANGEL

Rectángulo


6

G s es

s( )

( . )

.=

+

−101 1 24

0 46

2


0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Tim e (secs) Se observa que tampoco se mejora el modelo de 1er orden con retardo.



ANGEL

Rectángulo

ANGEL

Rectángulo


7

EJEMPLO 3 Se ha medido el incremento de la salida de un sistema ante un incremento escalón de la entrada de valor 2. Obtener un modelo aproximado.

0 2 4 6 8 10 120

1

2

3

4

T im e (secs)

G 3

∆y

La ganancia estática es de K=2. Aproximando a un sistema de 1er orden con retardo se tiene aprox. T≈1.5 seg., τ≈3.1. La respuesta simulada es:

0 2 4 6 8 10 120

1

2

3

4

T im e (secs) Se observa una discrepancia importante. Se puede mejorar el modelo mediante el método de Strejc con retardo:

0 2 4 6 8 10 120

1

2

3

4

Time (secs)

G3

∆y

T Tu

Se tiene que T+Tu≈1.47, y Ta≈4.8. Ajustando para que Tu/Ta=0.104 se tiene T≈0.97, Tu≈0.5, obteniendo de la tabla n=2, Tu/τ=0.28, Ta/τ=2.7. Se obtienen dos valores: τ=1.78, τ=1.78. Se tendría el modelo:



ANGEL

Rectángulo

ANGEL

Rectángulo


8

G s es

s( )

( . )

.=

+

−21 1 78

0 97

2


0 2 4 6 8 10 120

1

2

3

4

Tim e (secs) Nota: La respuesta real del sistema G3 se ha obtenido mediante el sistema:

Gs s s3 10

21 1 1 2 1 0 1

=+ + +( .43 )( )( . )

Se observa que el modelo obtenido no se parece demasiado al real. Sin embargo es un modelo adecuado, pues tiene una respuesta ante escalón muy similar. EJEMPLO 4 La respuesta ante escalón de valor 4 de un sistema se ha medido, siendo:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tim e (secs)

G4

∆y

Aproximando un sistema de 1er orden se tiene K=1/4=0.25, τ≈0.7. La respuesta simulada es:

0 1 2 3 40

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1

T im e (se cs )



ANGEL

Rectángulo

ANGEL

Rectángulo


9

La aproximación no es demasiado buena. El método de Strejc da:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time (secs)

G4

∆y

Tu≈0.08, Ta≈0.85, Tu/ Ta≈0.094. La entrada de la tabla más próxima es la de n=2, obteniéndose: τ=0.286 y τ=0.315. Tomando el valor medio se tiene τ=0.3, con lo que la respuesta simulada es:

0 0 .5 1 1 .5 2 2 .5 30

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1

T im e (secs) En este caso la aproximación tampoco es buena. Eso significa que el sistema no se puede aproximar a un modelo de polos múltiples. Se podría intentar ajustar un modelo con dos polos reales distintos:

G ss s

( ).

( )( )=

+ +0 25

1 11 2τ τ

La respuesta de este modelo ante el escalón de valor 4 es

∆y t Ae Be e em

t t t t

( ) = + + = −−

+−

− − − −1 11 2 1 21

1 2

2

1 2

τ τ τ τττ τ

ττ τ

El problema a resolver sería ahora obtener los valores de τ1 y τ2 que minimizan la diferencia de la función anterior y de los valores medidos. Para ello habría que tomar una serie de puntos de la gráfica, y plantear el problema de minimización, que se resuelve de forma numérica, por ejemplo mediante la función fminu de MATLAB. Lo normal es minimizar la suma de los cuadrados de los errores (∆ym(t)-∆y(t))2 en los puntos en los que se tiene la medida.

Una alternativa para identificar un modelo con varios polos reales y diferentes es la realización de gráficas logarítmicas de la respuesta. Este método es válido si los polos son bastante diferentes entre sí. En este caso, si se supone que el modelo tiene 2 polos reales y diferentes, es decir, la función de transferencia es:

)1)(1(

25.0)1)(1(

25.0)(21

βαττ ssss

sG++

=++

=

La respuesta de este modelo ante el escalón de valor 4 tiene la forma:



ANGEL

Rectángulo

ANGEL

Rectángulo


10

ttm BeAety βα −− ++=∆ 1)(

Despejando el término de valor final se tiene: tt

m BeAety βα −− −−=∆− )(1 Si el polo α es mucho menor que el β, la exponencial e-βt se hace despreciable frente a e-αt en cuanto pasa un tiempo, por lo que

tm Aety α−−≈∆− )(1

para t suficientemente grande. Si se dibuja en una gráfica el logaritmo de la expresión anterior se tiene: tAtym α−−≈∆− )ln())(1ln(

es decir, se tiene para t grande una recta cuya pendiente es el polo y cuyo valor en t=0 es el ln(-A). Trazando la recta tangente para tiempos altos se obtiene:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

ln(-A)=0.4

α=8/4=2

ln(1-∆y)

t

es decir, A=-e0.4=-1.5, α=2. Para obtener el otro polo se pasa a la izquierda el término del polo lento que ya es conocido:

ttm

tm BeetyAety βα −−− =+∆+−=−∆+− 25.1)(1)(1

donde se ha cambiado de signo a toda la expresión para poder tomar logaritmos: tBety t

m β−=+∆+− − )ln()5.1)(1ln( 2 Dibujando esta gráfica logarítmica se tiene:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-25

-20

-15

-10

-5

0

β=24/4=6

ln(-1+∆y+1.5e-2t)

Es decir, la pendiente es β=6 (el otro polo). Se observa que la gráfica es prácticamente una línea recta (no solo para tiempos grandes). Esto se debe a que el sistema no tiene ningún otro polo en este caso. En un



ANGEL

Rectángulo

ANGEL

Rectángulo


11

caso real lo habitual es que la gráfica solo se aproxime a una línea recta para tiempos grandes, por lo que se tendría que trazar la tangente, tal y como se ha hecho antes. En este caso la ordenada en el origen me daría el ln(B), pero no hace falta, pues no es necesaria para el modelo. Si hubiera un tercer polo sí tendríamos que medir el valor de B, y volver a dibujar una nueva gráfica logarítmica para el nuevo polo (pasando a la izquierda los términos conocidos de los 2 polos ya calculados). Otra alternativa al método anterior es el método de mínimos cuadrados. En este método se plantea la obtención de una función de transferencia discreta:

G z b z b za z a z

( ) = ++ +

− −

− −1

12

2

11

221

de donde se obtendrá la función de transferencia continua mediante el método del equivalente discreto. Este método solo es válido si las medidas de ∆y(t) están igualmente espaciadas en el tiempo (han sido tomadas con un periodo constante). Por ejemplo se tendrían los valores medidos ∆y(-0.1)= ∆y(0)=0, ∆y(0.1), ∆y(0.2), ..., ∆y(2). Además se conocen los valores de la entrada en esos instantes ∆u(-0.1)=0, ∆u(0)=∆u(0.1)=...=∆u(2)=4. Las ecuaciones que se pueden plantear son:

)1.0()0()1.0()0()1.0( 2121 −∆+∆+−∆−∆−=∆ ububyayay

)0()1.0()0()1.0()2.0( 2121 ububyayay ∆+∆+∆−∆−=∆

)1.0()2.0()1.0()2.0()3.0( 2121 ububyayay ∆+∆+∆−∆−=∆ M

)8.1()9.1()8.1()9.1()2( 2121 ububyayay ∆+∆+∆−∆−=∆ La solución a este sistema incompatible de 19 ecuaciones y 4 incógnitas se obtiene por mínimos cuadrados: llamando

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∆∆∆−∆−

∆∆∆−∆−−∆∆−∆−∆−

=

)8.1()9.1()8.1()9.1(

)0()1.0()0()1.0()1.0()0()1.0()0(

uuyy

uuyyuuyy

XMMMM

;

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∆

∆∆

=

)2(

)2.0()1.0(

y

yy

YM

la ecuación se expresa en forma matricial: [ ]TbbaaXY 2121⋅=

la solución que minimiza el error cuadrático es:

[ ] ( ) YXXXbbaa TTT 12121

−=

Es necesario incluir la ecuación en la que aparece ∆u(-0.1) porque en caso contrario la matriz X sería singular (por ser iguales la tercera y cuarta columna) y no se podría invertir. El cálculo se tiene que hacer, evidentemente, mediante un programa de ordenador, por ejemplo el MATLAB. Bastaría construir la matriz X y el vector Y, y resolver la ecuación. En este caso se obtiene a1=-1.368, a2=0.45, b1=0.0204, b2=0. La función de transferencia continua G(s) se obtendría sabiendo que la G(z) obtenida es el equivalente discreto para entrada constante. El cálculo de G(s) a partir del equivalente discreto se puede realizar de forma inmediata utilizando la función d2cm de MATLAB. En este caso se obtiene:

)6)(2(3)(

++=

sssG

por lo que τ1=1/6, τ2=1/2.



ANGEL

Rectángulo

ANGEL

Rectángulo


12

EJEMPLO 5 Obtener la f.d.t. del sistema cuya respuesta ante escalón de valor ∆u=0.4 es:

0 1 2 3 4 50

0 .05

0 .1

0 .15

0 .2

0 .25

T im e (secs)

∆y

G 5

En primer lugar supondremos que es un sistema de 2º orden estándar. La ganancia estática es: K=0.2/0.4=0.5. La sobreoscilación es:

δ ξ

ξπ

ξ=−

= = ⇒ =

−

−0 25 0 20 2

0 25 01 2. ..

. .4e

El periodo de oscilación es: T=2.9 seg ⇒ ωp=2π/T=2.17 rad/s. El tiempo de pico es: tp=1.42 seg ⇒ ωp=π/tp=2.21 rad/s. Como los dos valores son muy similares se concluye que el modelo de 2º orden estándar puede ser correcto. Utilizando el valor medio se tiene: ω ω ξ ωp n n rad s= = − ⇒ =2 19 1 2 392. . / La respuesta del modelo simulada es:

0 1 2 3 4 50

0 .0 5

0 .1

0 .1 5

0 .2

0 .2 5

0 .3

T im e (s e c s )



ANGEL

Rectángulo

ANGEL

Rectángulo


13

EJEMPLO 6 Obtener la f.d.t. aproximada del sistema cuya respuesta ante una entrada escalón de valor 3 es:

0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 1 .2 1 .4 1 .6 1 .8 2 2 .2 2 .4 2 .6 2 .8 30

0 .10 .20 .30 .40 .50 .60 .70 .80 .9

11 .11 .21 .31 .41 .51 .61 .71 .81 .9

2

t (s e g )

∆ y

T /2

Supondremos en primer lugar que es un sistema de 2º orden estándar. Midiendo sobre la gráfica la sobreoscilación, el tiempo de pico y la frecuencia de oscilación se tienen datos suficientes para obtener ξ y ωn. La ganancia estática se obtiene sin más que leer el valor en el que se estabiliza la entrada, teniendo en cuenta que la entrada es un escalón de 3 unidades:

K = =1 53

0 5. .

δ

ξπ

ξ=−

= =

−

−187 1 51 5

0 247 1 2. ..

. e

ln( . ) ( )(ln( . ))

(ln( . ))(ln( . ))

.4060 2471

1 10 247

0 2470 247

02

2 2 22

2

2 2=−

−⇒ − = ⇒ =

+=

ξπ

ξξ π ξ ξ

π

t rad spp

p n n= = ⇒ = = = − ⇒ =0 650 65

4 83 1 5 292..

. . /πω

ωπ

ω ξ ω

Por otra parte tenemos que el periodo de oscilación vale T=2*T/2=2*0.9=1.8 seg. Luego se tiene:

TT

rad sp= ⇒ = =18 2 3. .49 /ωπ

Evidentemente las dos frecuencias calculadas no coinciden, luego el sistema no es de 2º orden estándar, y las fórmulas utilizadas para calcular δ y tp no son válidas. El valor real de ωp siempre coincide con la frecuencia de oscilación, luego sabemos que ωp=3.49 rad/s. Con este valor, si el sistema fuera de 2º orden estándar se tendría un tiempo de pico de tp=π/ωp=0.9 seg. Ahora bien, el sistema real tiene un tiempo de pico de 0.65<0.9. Al ser menor que el correspondiente al sistema de 2º orden estándar, se puede suponer que es un sistema de 2º orden con un cero adicional de valor τ>0, es decir:

G s K ss s

n

n n( ) ( )

=+

+ +ω τξω ω

2

2 21

2

De este sistema conocemos la ganancia K=0.5, y ωp=3.49 rad/s. Falta calcular ξ, τ y ωn. Para obtenerlos disponemos de las ecuaciones para el sistema de 2º orden con cero adicional:

(I) tp

n

n

n

= =

−−

−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

−0 65

11

1

2

2.

arctgπω ξ

τ ξω

ω ξ

(II) δ ξω τ ω τ ξω= = − + −0 247 1 2 2 2. n nte n p

(III) ω ω ξp n= = −3 1 2.49 Estas 3 ecuaciones con 3 incógnitas se pueden resolver iterando o con cualquier programa (MATEMATICA o MATLAB por ejemplo). Los valores iniciales se tomarían de forma que: ξ>0.406 y ωn>3.82 (ya que la sobreoscilación real es mayor que la del sistema de 2º orden estándar) y τ>0. Partiendo de valores iniciales ξ=0.5, ωn=4 y τ=0 y utilizando la función fsolve de MATLAB se obtiene:. ξ=0.5016, ωn=4.034 y τ=0.202. La respuesta simulada se ajusta perfectamente a la respuesta real:



ANGEL

Rectángulo

ANGEL

Rectángulo


14

0 0 .5 1 1 .5 2 2 .5 30

0 .5

1

1 .5

2

T im e (s e c s ) Un método alternativo es el de calcular un modelo discreto de 2º orden por mínimos cuadrados, calculando después el modelo continuo. El modelo discreto sería de la misma forma que en el ejemplo de polos reales diferentes. EJEMPLO 7 La respuesta de un sistema ante un incremento escalón de valor 0.2 en la entrada es:

0 1 2 3 4 50

0 .05

0 .1

0 .15

0 .2

0 .25

0 .3

0 .35

T im e (secs)

∆y

G 7

Suponiendo que fuera un sistema de 2º orden estándar se tiene:

K = =0 30 2

1 5..

.

δ ξ

ξπ

ξ=−

= = ⇒ =

−

−0 35 0 30 3

0 167 01 2. ..

. .495e

Por otra parte tenemos que el periodo de oscilación vale T=2.4 seg. Luego se tiene:

TT

rad sp= ⇒ = =2 2 2 62.4 . /ωπ

Si fuera estándar, el tiempo de pico debería valer: tp=π/ωp=1.2 seg. Sin embargo en la gráfica se mide un valor de tp=1.6 seg. Eso significa que el sistema no es estándar. Tampoco se puede modelizar con un cero adicional, pues el tiempo de pico es mayor, y no hay respuesta negativa inicial. Una posibilidad es considerar un sistema de 3er orden, es decir, un polo adicional, de la forma:

G s Ks s s

n

n n( )

( )( )=

+ + +ω

ξω ω τ

2

2 22 1

este polo adicional podría justificar el aumento del tiempo de pico. También produce un efecto de disminución de la sobreoscilación. Eso implica que en el sistema real ξ<0.495 y ωn<3. Además, τ>0, porque el sistema es estable. Del sistema anterior sabemos además que K=1.5 y que ω ω ξp n rad s= − =1 2 622 . / . El cálculo de los parámetros ξ, ωn y τ se podría hacer bien utilizando mínimos cuadrados con un modelo discreto de 3er orden, calculando después el modelo continuo. El modelo discreto sería de la forma:



ANGEL

Rectángulo

ANGEL

Rectángulo


15

33

22

11

33

22

11

1)( −−−

−−−

+++++

=zazaza

zbzbzbzG

Otra posibilidad es ajustar los parámetros (ξ, ωn y τ ) por tanteo, simulando la repuesta y comparándola con la real.



ANGEL

Rectángulo

ANGEL

Rectángulo

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Identificacion Experimental de Sistemas