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Identificação Relevante para Controle PreditivoUtilizando Algoritmo Genético

J .F . FARDIN 1

L.V.R. DE ARRUDA 2

W.C. DO AMARAL3

lUniversidade Federal do Espírito Santo - CT - ELECaixa Postal 01-9011 , 29060-970, Vitória - ES, Brasil

2Centro Federal de Educação Tecno lógica do Paraná - CEFET /PRAv. 7 de Setembro , no.3165, 80230-901, Curitiba - Parana, Brasil

3Universidade Estadual de Campinas - FEEC - DCACaixa Postal 6101 , 13081-970, Campinas - SP, Brasil

Abstra et. This works shows a genetic algorithms(GA) application in paramet ric identificationof discr ets systems into a relevant identification approach to predictive control (LRPI). In thisapproach , the models identifieds are reduced modeis order but the cost functions that willbe minimized present non -linearities and they are compose of high arder polinomiais . It isused an otimization method th at no involves the calculations of derivateds, Iike is the case ofgeneti c algorit hms. The applicat ion of th e GA is ilustrated through simulateds examples and aperformance comparation with the LRPI identification method is also realized.

R esumo. Est e trabalho apresenta uma aplicação dos algoritmos genéticos(AG) na identi-ficação paramétrica de sistemas discretos dentro de uma abordagem de identificação relevantepara cont role preditivo(LRPI). Nest a abordagem, os modelos identificados são de ordem redu-zida mas as fun ções cust o a serem minimizadas apresentam não -linearidades e são compostasde polinômios de ordem alta. Utiliza-se um método de otimização que não envolva o cálculode derivadas como é o caso dos algoritmos genéticos. A ap licação do AG é ilustrada através deexemplos simulados e uma comparação de desempenho com um método de ident ificação LRPIé também realizada.

1 I n t r o d u ção

Em 1962 J .H.Holland apresentou os princípios bá-sicos do algoritmogenético(AG) [5]. Desde então, oAG passou a ser usado em diversas áreas inclu indoidentificação de sistem as e controle robusto [2], [7],[8], [6]. Um dos asp ectos mais atra t ivos do AG éque ele é um a técnica de bus ca global e paralela ava-liando diferentes pontos no espaço de parâmetros ,facilitando a convergência na dire ção da soluçãoglobal sem que seja necessário um espaço de buscadiferenciável ou contínuo .

POl; outro lado , a teoria de identifi cação de sis-temas tem encontrado aplicações práticas em áreast ã.o diversas tais como estatíst ica , economia, pro-cessament o de sin ais e imagens , geofísica , biologi a ,cont role de processos e qualquer outro domínio emque um modelo din âmico do sistema deva ser ob-tido a partir dos dados de entrada e saíd a do sis-tema. Existem vários métodos de identifi cação a

disposição de pesquisadores e técn icos que podemser selecionados de acordo com o sistema específicoa ser modelado.

Em especial, no caso de ap licações de con-tro le adaptativo de processos, os métodos de ident i-ficação são obtidos a partir da minimização de umafunç ão custo que pode ser diferenciada quando hálinearidade dos parâmetros do modelo . No casode identifi cação relevante para controle preditivo(Long Range Prcdictive Identification), devido à ne-cessidade de se ter critérios compatíveis para con-trole e identificação, a função custo a ser minimi-zad a na obtenção do modelo do processo deve levarem conta um horizonte de previsão múltiplo como ousado no cálculo da lei de controle [11], [12]. Alémdisso , os métodos de identificação tradicionais fa-lham quando o modelo usado apresenta erros es-truturais (modelos de baixa complex idade) devidoà pres ença de dinâmicas não-modeladas. o que é

295

Deseja-se estim ar os pol inômios A e B a par-t.i r das medidas y(t) e 7/.(i) . A fun ção custo a sermi nimi zada cons iderando a est ra tégia LRPI [11] é

sendo y(t) e v.(l) , respecti vamen te, os sinais de :;a-ida e entrada para o tempo t. O termo da per-turbação é,(t) cons idera os efeitos das din àm icasnâo- modelad as ((i) e a con tribuição do ruído v (l)

frequente em con trole de processos uma vez que oscon troladores são proj etados para atuarem apenas 'em torno de um dos pontos de op eração do pro-cesso [13].

Tentando contorn a r es tes prob le-mas, Shook et al. propuseram um método LRPIbaseado no algo ritmo de Gauss-Newton que com-binado a um controlador do tipo GPC i Genercíis edPredictiue Coniro ller s tem apresentado resu lt adospromissores no caso do contro le preditivo em pre-sença de dinâmicas não-modeladas . Este métodoapresenta porém alguns problemas [11]:

A( - I ) 1 -I + - 11q = + a1q .. .. + anq

B( - I ) b b -1 b - 711.q = 1 + 2q + .. .. + rn -l-L q

é,(t) = v (i ) + ((i.)

(2)

(:3)

(4)

(i) A necessidade de se ca lcular as segundas de-rivadas dos pred itores a fim de se ob ter limaaproximação para a matr iz hessiana da funçãocusto.

N N O

hRPJ(t.,O) = L L (y(t) - y(t·li - j))'.! (5)/.=1 j=N1

- y(i ))oilY li - j)oO(i - 1)

J\''2

ê(t) ê(t - 1) + P(i.) L (Y(t li - j)j=N,

Disto res ulta qu e os preditores j > 1 são nâo-linear es nos par âmetros e a fu nção cus to( 5) não écalculada facilmente , não sendo possível uma soluçãodireta do tipo mínimos quadrados.

Para contornar estes problemas , Shook et ai . [11]desenvolveram um método de est im aç ão LRPI. ba-seado numa aproximação do algo ritmo de Gauss-Newton corno mostrado a seguir:

em que Ú(t. - j ) é o valor pr ev isto para a saída y(t)dada lim a informação até o tempo (t -j) sob re umhorizonte de previsão N'2 - N 1 e N'.! > N 1 . QuandoN'.! = N 1 nós temos a função custo dos MínimosQuadrados . No caso de j > 1 o preditor é não-linear nos parâmetros e a função custo (5) é não-linear , não-quadrá t ica .

Para o modelo de sa ída em (1) o preditor j-passos-a frente pode ser calculado como [13]

)

( LO)

j -Iej =- L Ciàj - i

;=0

No - II, = - L Ci àj +No- i ,

i = O

à'n+1 = àn +'2 = .. .=O

y(i li - j) =Gj (q-1 )u(t. - 1) + q- j Fj (q - 1 )y('1) (G)

1 = E j(q-l) Aj(q-l )+ q-j Fj( q- I) (I)

Gj(q -I) = Ej(q -J)Êj(q-J) (8)

sendo o polinômio Ej (q- l ) mô nico e com ord em(j - 1) e o polin ômio Fj(q -I) tem ordem (11 - L).Cada termo destes po linômios é calculado como se-gue:

(ii) Dependen do das condições iniciais, o algoritmopode convergi r para um conjunto de par âme-tros completamente errado.

A(q-1)y(t) = B(q -1)U(t - 1) + ,;(i ) (1)

Dentro da abordagem LRPI e pro curando umasolução pr inc ipalmente para os problemas (i) e (ii)citados acima, propõe-se neste trabalho , a utilizaçãodos algori tmos genéticos na identificação de pará-me t ros de um modelo de ordemrecluz icl a (p resen çade dinâmicas não-modeladas) para sistemas linea-res , discretos e invarian tes no tempo.

O artigo é organizado como segu e: na seçãodois ap rese nta-se brevemente a abordagem LRPIe seus princi pais métodos ; na seção tr ês as carac-teríst icas do a lgoritmo genético utilizado são dis-cutidas; na seção quatro o método LRPI propostoem [3] é comparado ao algoritmo genético a travésde exemplos simulados. Po r fim, as conclusões epe rspectivas são discu t idas na seção cinco .

(iv) Não se pode afirmar que existe um ponto deconverg ênc ia único quando se est ima modelosde ordem reduzida..

2 . Identifica ção Relevante para Controle Pre-d itivo (LRPI)

Métodos de con trole preditivo do t ipo GPC e EP-SAC calculam 'as leis de controle a partir de umnúmero grande de previsões das saídas fut uras doprocesso . Assim, dentro da abordagem LRPI, pro-cura-se um estimador que também seja resu ltanteda minim ização de uma função custo que leve emconta um horizonte de prev isão maior que 1 [11].

Nest a abordagem considera-se o processo re-presentado por um modelo CARMA:

(iii) Para horizontes de previsão maiores que 10,o algoritmo, apesar de recursivo , necessita demuito tempo e o esforço computacional au -menta consideravelmente.

296

3 .1 Operadores - representação de pontoflutuante

S / v ( )VI··V/,; ,W/'; +I"Wms/1o (WI ..W/,; , V/';+I"Vm),

af [O..I].+ (1- a)s;;; ,/S10s/v as;;; + (1 - a)

Os operadores recombinação e mutação apresenta-dos a seguir foram escolhidos de aco rdo com Mich a-lewicz [9], [10] . O vetor de solu ção será considera dodescrito por :

Par a evitar que estes novos parâmetros dos vetoresde solução estejam fora dos seus domínios é usad aa propriedade dos espaços convexos:Ex iste um aé[O, 1] tal que

s/v (VI"V /,;, w/,;+la +W/,;+l(l - ·a) .....wma + wm(l- a) )

s/1o (WI"W/,; , V/'; +la + v/,; +I (1 - a)..• .. 1Jma + vm(l - a) ) .

em particular. O mecanismo de seleção mais co-mument e usado é o da roleta de probabilidade [4].

Após a seleção , os indivíduos escolhidos vãose combinar através dos op eradores genéticos cha-mados recombinação e mutação . Estes op eradoressão cons tru ídos de manei ras distintas d ependo se arepr esentação usada for binária ou ponto flutuante.

Neste art igo escolheu-se a representação emponto flutuante que gera algoritmos mais rápidose mais precisos [9].

R ecombinação aritmética - quando um par devetores de solução (ou indivíduos) s, e S10 são re-combinados , o resultado é

3.1.1 Recombinação:Recombinação simples - uma vez selecionadoum pa r de vetores de solução (ou indivíduos) Sv

e S10 eles são recombinados a partir do k-ésimoparâmet ro tendo como resul tado

send o l ' um número rand ômico entre O e 1, e asolução S10 deve ser melhor que Sv para proble-mas de maximização e o cont rário par a problemas

R ecombinação heurística - este op erador gerasomente um a nova soluç ão. Pode gerar nenhuma,mas nunca du as novas soluções . Considere du assoluções Sv e S1o ' Uma nova solu ção , após a aplica-ção deste operador será

s/. = 1'(s1o - sv) + S10

No entanto , como discu t ido pelos autores [11], estealgoritmo apresenta os prob lemas (i) a (iv) listadosanteriormente.

Por out ro lado , a partir de uma análise nodomínio da frequência do comportamento e pro -priedades das funções custo LRPI e Mínimos Qu a-dr ados , Fardin [3] desenvolveu um algor itmo LRPIcomposto por um est. imador do tipo Mínimos Qua-dr ados In crementa i [1] e um filt ro capaz de emu laro comportame nto de um est imado r LRPI.

Os algorit mos dis cutidos acima não são resul-tantes da ot imização dir eta da função custo ( 5)e portan to ca lculam apenas aproximações par a osestimadores . Assim , a fim de se obt er os valoresde par âm etr os que sejam realmente resul tan tes daotim ização da função custo LRPI , uti liza-se nest etrabalho um algor itmo genético como discutido aseguir.

P (t - 1)-1 + f . - j) )j =N, fJB(t - 1)

* ( fJYY1 t _ j) )TôB(t - 1)

3 Conceitos Básicos - Algoritmo GenéticoOs AG constit uem um a classe de algoritmos debusca estocást ica baseada nos conceitos de seleçãona tura l e genét ica. Cada veto r de solução possívelpara o prob lem a a ser resolvido é considerado umind ivíduo composto por um conj unto de par âme-t.ros. O conj unto dest.es ind ivíduos consti tui um apopul ação que evolui de geração em geração at ravésde um mecanismo de seleção e ap licação dos ope -rador es genét icos .

O AG começa pela criação de uma populaçãoini cial que po de ser encont ra da aleatoriame nte . Arepresentação mais clássica par a os vetores de so-lução ou indivíduos é a bin ári a po r sua simplici-dade. Recen temente , começo u a ser usada a repre-sentação com pon to flu tu an te. Nesta representação ,cada parâmetro do vetor de solução é selecionadodentro do domínio desejado e os opera dores sãoprojetad os para preservarem esta. cond ição. Con-forme Michalewicz [9] a repr esentação em ponto flu-tuante é melhor no que concern e a. precisão. Nest easpecto, sabe-se que para aument ar a precisão darepresentação binári a é necessário aumentar o nú -mero de bi ts to rnando o algoritmo mais lento.

A parti r da população inicial é feit a um a sele-ção dos indivíduos que irão interagir e dar origema novos indivíduos formando um a nova população .O mecanismo pelo qual é feit a a seleção det erminao número de reproduções que terá cada indi víduo

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com d = 2 ede minimi zação. A nova solução gerada pod e nãoser fact ível , então , deve -se gerar um novo n úmerorandômico l ' e uma nova soluçã-o. Se após n ten-tativas não se cons eguir um nova solu ção que sejafactível , é porque neste caso nenhuma nova soluçãoserá gerada pela aplicação deste operador.

1 - 2.14q -1 + 1.5549q - 2-0.4387q-3 + 0.042025q-40.01 + 0.0074q -1 + 0.0 00924q - 2- 0 .000017642q-3 (12) .

3.1.2 M u t a çã o:

Mut a ção uniforme - este oper ador gera umaÚnica solução nova a partir de um a Única solu-ção da geração anterior. Um a vez selecionada um asolução sv, escolhe-se um com pon ente rand ôrn ico k:deste vetor de solução produzindo um novo vetorde solu ção dado por

sendo v' k um valor randômico selecionado dentrodos limites do parâmetro k ,

Mutação de contorno - este op erador é um avariação do operador mutaçào uniforme, com v' ksendo um dos valores , máximo ou mínimo , dos li-mites do parâmetro.

O modelo para o qual se desej a est imar ospar âmetros é

y(t)

(13)

sendo o sina l de ent rada u(t) um ruído br anco N (O , 1) .O número de amostras usado é 250 . ' .

O algoritmo gen ético otimizaa função cus to (5) ,com o pred itor Ü(t lt -j) calculado pelas equações (6)-(10).Os parâmetros usados na simulação foram es-colhidos conforme recom end ado na lit er a tura e lis-tados a seguir:

M u tação n ã o-uniform e ;/ este é um operadorpara ajuste fino. Considere um vetor de soluçãos; no qual o Vk foi selecionado par a estamutação . O vetor de solu ção novo será

V'k = {

s'" (V1 . ' V'" " vm) ,

Vk + /::"(t, maxl(k) - vdVk - /::"(t, V k - minl(k))

se d =Ose d = 1

probabilidade de recorn binaçâ o simples 0.5probabi lidade de recombinação aritmét ica 0.5probabilidade de recombinação heurística 1.0probabi lidade de mutação uniforme 0.(')8

probabilidade de mutação não-uniforme 0..07parâmetro de não-uniformidade b 2.0

dimensão da população 70

sendo d um dígito binário rand ômico, maxl e minisão os valores máximo e mínimo dos limites doparâmetro . A fun ção /::"(t , y) é calcu lada como

t/::"(t , y) = y .l'.(l - T)b

Pode acontecer ap ós a ap licação dos operado-res, qu e as novas solu ções não alcan cem um valo rda fun ção obj et ivo igual 011 maior que as antig as .Neste caso, para a composição da nova geração,existem est ra t égias elitist as como copiar uma oumais das mel hores soluções da geração ante rior paraa nova.

O operador mutação uniforme é aplicado emtodos os parâmetros do vetor de solução selecio-nado para passar pela mutação. É usada a estr a-tégia elit ist a de cop iar a melhor so lução da gel'a-ção anterior para a nova geração se aquela for 111('-

Ihor que a atual. Os limites conside rados para cadaparâmetro são :

- 2.5 :s a1 :s - 1.50.5:S 02 :s 1.0

- 0.05 < &1 :s 0.05-0.02:S &2 :s 0.02

4 R esu ltados

Nest a seção o algoritmo genético discutido acimaé usado 'para estimar os parâmetros de um modelode ordem reduzida (nâ + nb =4) para um sistem ainvariante no tempo de ordem (na + nl: = 7) . Osistema [14] a ser simulado é descri to por

- cl BO( - 1)5'0(q-1) = q qT AO(q-1 ' 4JV=O,T = 18 (11)

As Figuras 1 e 2 mostram os parametros iden-t ificados pelo algoritmo genético considerando o ho-rizonte de pr evisâo igual a 50.

Para que se possa fazer uma comparação dodesempenho do algoritmo genético , o sistema (11)foi também identificado usando o método LRPIdesenvolvido em [3],(LRPI-MQI). Todas as consi-derações sobre o sist ema e o modelo são mantidasna aplicação dest e algoritmo cujos resultados sãoapresent ados nas Figuras 3 e 4.

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â] - 1.7487 -1. 7508â2 0.7748 0.77396] 0.0097 -0.0053b2 0.0154 0.0272

I Parâmetros I AG I LRPI-MQI I

.,,:-- ---,..- ----;;;;-- - - --:!

Figura 1: Parâmet ros est imados a] e a '2.

250200100 150amostras

50- 0.6

0.'-- - -:'::- - - :::-- - ---,-::--- - -=-- - ___=_'.,,,_"1I1:-

Figura 2: Parâmetros est imados &] e &'2 '

,,

",

,,,

"a

F igura ;3 : Parâmet ros es timados a] e a'2.

""'I0<.[ I

- 0 010 100 rsc <'1>0

Figura 5: Saidas real e est imadas . Linha cheia,saída real. Linha tr acejada, saída est im ada com oalgoritmo genético . Linha pontilhada, saída esti-mada com o algoritmo LRPI-MQI

ritmo genético, vemos qu e em torno da ge ração 50os parâmetros do po linômio  conv ergem. Nestamesma gera ção .os parâmetros do polinômio Ê jáestão bem próximos do valor para o qual irão con-vergir , o que ocorre próximo a geração 100. Quandocomparamos estes resultados com os obtidos como algoritmo LRPI-tvIQI , vemos que as estimativassão aproximadas e os dois modelos obtidos são sa-tisfatórios conform e mostra a Figura 5 . Este re-sultado está coerente com a afirmação ( iv) de qu enão se pode garantir uma solução única quando setrata de modelos de ordem reduzida. Observa-setambém que os estimadores dos parâmetros usandoo método LRPI apresentam uma vari ância maiorque os obtidos com o algoritmo genético . Isto por-que o método LRPI é mais suscetível aos err os,devido as dinâmicas não-modeladas, qu e os algo -ritmos genéticos .

Figura 4: Parâmetros estimados h e &'2 .

A tabela a seguir list a os valores médios paraos quais os parâmetros est im ados pe los algoritmosgenético e LRPI-MQI convergir am.

As saídas real e as est imadas uti lizando os mo-delos obtidos' com o algoritmo geneti co e o algo-ritmo LRPI-MQI são apresentadas na F igura 5.

An a lisando os resul tados ob tidos com o algo-

5 Conclusão

o obj etivo deste artigo foi usar o algoritmo genéticocomo um est im ador de parâmetros para um sis-tem a dentro de um contexto de identificação re-levant e para contro le preditivo . Sabe-s e qu e ascondições de convergência do AG não são conhe-cidas , mas , como nos casos apresentados na lite-ratura , os resu lt ados dest e artigo mostram qu e oalgoritmo genéti co converge para o conj u nto de pa-

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rárnet ros corretos e com desempenh o semelhan teao algoritmo LRPI-MQI usadu para. comparação.Estes resultados mostram que a est imação de pa-râmetros feita pe lo algoritmo genético é eficiente eesta metodologia pode ser usada nos casos em queas técnicas convencionais não podem ser ap licadas .

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