Identifisering av parametre i hydraulikkmodellTTK17 Systemidentifikasjon

Espen Løkseth

Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet

1 Espen Løkseth Identifisering av parametre i hydraulikkmodell

Innhold

1 Bakgrunnsinformasjon2 Preprosessering av data3 Trinnvis estimering og simulering

Generelt minste kvadraters-problem og -løsningVentilkarakteristikkTetthet ρa

Volum-bulk Va/βa

Uthenting av strømning qSimulering av pc-subsystemVolum-bulk Vd/βd

Simulering av pp-subsystemEstimering av f (q), ρd og M

4 OppsummeringTallverdierSimulering av hele systemet

2 Espen Løkseth Identifisering av parametre i hydraulikkmodell

Bakgrunnsinformasjon

Hydraulisk modell

Dynamikk

Vd

βd

dpp

dt= qp(up)−q (1)

Va

βA

dpc

dt= q+qbpp(ubpp)−qc(pc,zc) (2)

Mdqdt

=

{0, q = 0pp−pc− fd(q)− fa(q)+(ρd−ρa)gh, q > 0

(3)

Utgang:

pdh = pc + fa(q)+ρagh (4)

3 Espen Løkseth Identifisering av parametre i hydraulikkmodell

Preprosessering av data

Preprosessering av data

0 1000 2000 3000 4000 5000 60000

100

200

300

400

pc

pp

pdh

pcds

0 1000 2000 3000 4000 5000 60000

500

1000

1500

qp = 0

qc

Figur 1 : Datasett 3 originalt

4 Espen Løkseth Identifisering av parametre i hydraulikkmodell

Preprosessering av data

Preprosessering av data forts.

0 1000 2000 3000 4000 5000 60000

100

200

300

400

pc

pp

pdh

pcds

0 1000 2000 3000 4000 5000 60000

500

1000

1500

qp = 0

qc

Figur 2 : Datasett 3 prosessert – kuttet og interpolert

5 Espen Løkseth Identifisering av parametre i hydraulikkmodell

Trinnvis estimering og simulering Generelt minste kvadraters-problem og -løsning

Generelt minste kvadraters-problem og -løsning

Minste kvadraters metodeAnta at et virkelig system gitt ved

z(t) = φT(t)θ ∗ (5)

Kun data fra utgangen z(t) og regressoren φ(t) er kjent. Enestimator for systemet er da

z(t) = φT(t)θ (6)

der θ er en ukjent parametervektor. Et LS-estimat avparametervektoren er

θLSN =

[1N

N

∑k=1

φ(t)φT(t)

]−11N

N

∑k=1

φ(t)z(t) (7)

6 Espen Løkseth Identifisering av parametre i hydraulikkmodell

Trinnvis estimering og simulering Ventilkarakteristikk

Ventilkarakteristikk

Strømning qc og åpningskarakteristikk gc

Antar at uc = zc, slik at strømningen qc er gitt av

qc(pc,zc) = gc(zc)√

pc−pc0 (pc0 = pcds) (8)

Bruker gitte datavektorer Zc og Gc til å tilpasse en2.-gradskurve for åpningskarakteristikken gc(zc).

7 Espen Løkseth Identifisering av parametre i hydraulikkmodell

Trinnvis estimering og simulering Ventilkarakteristikk

Åpningskarakteristikk

Minste kvadraters-løsning for gc(zc)

Koeffisientene som minimerer feilen i polynometgc(zc) = a0 +a1zc +a2z2

c er gitt av minste kvadraters-løsningen

A = (XTX)−1XTY (9)

Her er X og Y konstruert vha. de gitte datavektorene Zc og Gc,slik:

X =

1 Zc(1) Zc(1)2

1 Zc(2) Zc(2)2

......

...1 Zc(7) Zc(7)2

og Y = Gc (10)

(Alternativ formulering.)

8 Espen Løkseth Identifisering av parametre i hydraulikkmodell

Trinnvis estimering og simulering Ventilkarakteristikk

Åpningskarakteristikk forts.

Løsning

gc(zc) =−0,2758z2c +56,98zc−1602,39

0 20 40 60 80 100 120 1400

200

400

600

800

1000

1200

1400

Aktuatorposisjon zc

Lookup-data

Estimert gc

Figur 3 : Tilpasset åpningskarakteristikk med øvre og nedremetningsgrenser

9 Espen Løkseth Identifisering av parametre i hydraulikkmodell

Trinnvis estimering og simulering Tetthet ρa

Estrimering av tetthet ρa

Datasett 3I datasett 3 er q = 0 slik at fa(q) = 0. Utgangslikningen (4)forenkles dermed til

pdh = pc +ρagh (11)

der alle parametre er kjent/målt bortsett fra ρa.

Estimering av ρa

Tettheten ρa finnes ved å snu (11), slik at

ρa =pdh−pc

gh≈ 1,534 ·10−2 (12)

10 Espen Løkseth Identifisering av parametre i hydraulikkmodell

Trinnvis estimering og simulering Volum-bulk Va/βa

Estimering av volum/bulk-konstant Va/βa

Problemformulering

Bruker fortsatt datasett 3, dynamisk modell er forenklet til

Va

βa

dpc

dt= qbpp−qc(pc,zc) (13)

Eulerdiskretisering med dt = 1 gir

dpc

dt≈ pc(k+1)−pc(k) (14)

slik at modellen kan skrives som

pc(k+1)−pc(k)︸ ︷︷ ︸= βa

Va︸︷︷︸ [qbpp−qc(pc,zc)]︸ ︷︷ ︸ (15)

z(t) = θ∗ · φ(t) (16)

11 Espen Løkseth Identifisering av parametre i hydraulikkmodell

Trinnvis estimering og simulering Volum-bulk Va/βa

Estimering av volum/bulk-konstant Va/βa forts.

Løsning

Ved hjelp av minste kvadraters metode finnes

Va

βa≈ 1

θ LSN

= 708,9 (17)

Uthenting av strømning q

Når Va/βa er kjent, kan q hentes ut som

q =Va

βa

dpc

dt−qbpp +qc (18)

I diskret tid:

q(k) =Va

βa[pc(k+1)−pc(k)]−qbpp(k)+qc(k) (19)

12 Espen Løkseth Identifisering av parametre i hydraulikkmodell

Trinnvis estimering og simulering Simulering av pc-subsystem

Simulering av pc-subsystem

Simuleringsmodell

Nå kan modellen

dpc

dt=

βa

Va[q+qbpp− qc(pc,zc)] (20)

der

qc(pc,zc) = gc(zc)√

pc−pc0 (21)

simuleres og sammenlignes med måledata for pc.

13 Espen Løkseth Identifisering av parametre i hydraulikkmodell

Trinnvis estimering og simulering Simulering av pc-subsystem

Simulering av pc-subsystem forts.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 16000

5

10

15

20

25

Malt pc

Simulert pc

Figur 4 : Målt og simulert pc – datasett 1

14 Espen Løkseth Identifisering av parametre i hydraulikkmodell

Trinnvis estimering og simulering Simulering av pc-subsystem

Simulering av pc-subsystem forts.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 45000

5

10

15

20

25

Malt pc

Simulert pc

Figur 5 : Målt og simulert pc – datasett 2

15 Espen Løkseth Identifisering av parametre i hydraulikkmodell

Trinnvis estimering og simulering Simulering av pc-subsystem

Simulering av pc-subsystem forts.

0 1000 2000 3000 4000 5000 60000

10

20

30

40

50

60

Malt pc

Simulert pc

Figur 6 : Målt og simulert pc – datasett 3

16 Espen Løkseth Identifisering av parametre i hydraulikkmodell

Trinnvis estimering og simulering Volum-bulk Vd/βd

Estimering av volum/bulk-konstant Vd/βd

Problemformulering

Den første dynamiske likningen snus slik at

dpp

dt=

βd

Vd[qp(zc)−q] (22)

I diskret tid

pp(k+1)−pp(k)︸ ︷︷ ︸= βd

Vd︸︷︷︸ [qp(zc(k))−q(k)]︸ ︷︷ ︸ (23)

z(t) = θ∗ · φ(t) (24)

17 Espen Løkseth Identifisering av parametre i hydraulikkmodell

Trinnvis estimering og simulering Volum-bulk Vd/βd

Estimering av volum/bulk-konstant Vd/βd forts.

Løsning (med datasett 2)

Ved hjelp av minste kvadraters metode finnes

Vd

βd≈ 1

θ LSN

= 197,6 (25)

Simuleringsmodell

Nå kan modellen

dpp

dt=

βd

Vd[qp(zp)− q] (26)

simuleres og sammenlignes med måledata for pp.

18 Espen Løkseth Identifisering av parametre i hydraulikkmodell

Trinnvis estimering og simulering Simulering av pp-subsystem

Simulering av pp-subsystem

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 16000

100

200

300

400

500

Malt pp

Simulert pp

Figur 7 : Målt og simulert pp – datasett 1

19 Espen Løkseth Identifisering av parametre i hydraulikkmodell

Trinnvis estimering og simulering Simulering av pp-subsystem

Simulering av pp-subsystem forts.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 45000

50

100

150

200

250

300

350

Malt pp

Simulert pp

Figur 8 : Målt og simulert pp – datasett 2

20 Espen Løkseth Identifisering av parametre i hydraulikkmodell

Trinnvis estimering og simulering Estimering av f (q), ρd og M

Estimering av f (q), ρd og M

Probelmformulering

Strømningslikningen

Mdqdt

= pp−pc− fd(q)− fa(q)+(ρd−ρa)gh (27)

omformes til

dqdt

=1M

(pp−pc−ρagh−Ddq2−Caq+ρdgh

)(28)

Dette kan skrives som dq/dt = φTθ ∗ der

φ =[pp−pc−ρagh, −q2, −q, gh

]T (29)

θ∗ =

1M

[1, Dd, Ca, ρd

]T (30)

21 Espen Løkseth Identifisering av parametre i hydraulikkmodell

Oppsummering Tallverdier

Oppsummering

Løsning (med datasett 2) og oppsummering

Ved hjelp av minste kvadraters metode finnes

M ≈ 1,296 (31)

Dd ≈ 4,483 ·10−5 (32)

Ca ≈ 6,781 ·10−3 (33)

ρd ≈ 1,522 ·10−2 (34)

Fra før har vi

ρa ≈ 1,534 ·10−2 (35)Va/βa ≈ 708,9 (36)Vd/βd ≈ 197,6 (37)

22 Espen Løkseth Identifisering av parametre i hydraulikkmodell

Oppsummering Simulering av hele systemet

Simulering av hele systemet – datasett 1

−100

0

100

200

300

Malt pp

Simulert pp

5

10

15

20

25

Malt pc

Simulert pc

−1000

0

1000

2000

3000

“Malt” q

Simulert q

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600260

270

280

290

300

Malt pdh

Estimert pdh

23 Espen Løkseth Identifisering av parametre i hydraulikkmodell

Oppsummering Simulering av hele systemet

Simulering av hele systemet – datasett 2

−100

0

100

200

300

Malt pp

Simulert pp

5

10

15

20

25

Malt pc

Simulert pc

−1000

0

1000

2000

3000

“Malt” q

Simulert q

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000260

280

300

320

Malt pdh

Estimert pdh

24 Espen Løkseth Identifisering av parametre i hydraulikkmodell

Oppsummering Simulering av hele systemet

Simulering av hele systemet – datasett 3

−100

0

100

200

300

Malt pp

Simulert pp

0

50

100

Malt pc

Simulert pc

−500

0

500

“Malt” q

Simulert q

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000250

300

350

Malt pdh

Estimert pdh

25 Espen Løkseth Identifisering av parametre i hydraulikkmodell