Ikili Frekans Izgesi ile EEG AnaliziEEG Analysis Using Bifrequency Spectrum

Umut Gundogdu, Aydın Akan

Istanbul Universitesi, Elektrik-Elektronik Muhendisligi Bolumu,

34320 Avcılar, Istanbul, {gunumut,akan}@istanbul.edu.tr

OzetceBu calısmada, isaret isleme uygulamalarında pek sık kul-lanılmayan bir yontem olan Ikili Frekans Izgesi’nin tanıtımıyapılmıs, gerek yapay isaretler gerekse de EEG isaretleriyardımıyla kullanılmasının gereklilik arz edebilecegi durumlaroldugu gosterilmistir. Ayrıca yeni fonksiyondan yola cıkılarakduraganlık tanımı irdelenmis, yeni fonksiyonun duraganlıktanımına yeni bir bakıs acısı getirdiginin altı cizilmistir.

AbstractIn this paper, we discuss the Bi-frequency Spectrum, which

is not used quite often in signal processing applications. Wepresent some cases where the use of this method is necessaryby means of several synthetic and EEG signals. We alsoinvestigate the stationarity concept related to the new bi-frequency spectrum, and hence present a new perspective ofstationarity.

1. GirisEEG isaretlerinin de icinde bulundugu biyolojik surecler

tarafından uretilen isaretlerin analizi dusunuldugunde, tek

baslarına zaman veya frekans tabanlı basit yaklasımlar cogu

zaman yetersiz kalmaktadır [1]. Bunun nedeni biyolojik

isaretlerin, yapıları geregi duragan olmayan rasgele surecler

tarafından uretilmeleridir [2, 3].

Genellikle, duragan olmayan rasgele isaretler incelenirken

birlesik zaman-frekans (ZF) bolgesi yaklasımları on plana

cıkmaktadır [4]. Kısa Zamanlı Fourier Donusumunden

(KZFD) baslayıp Dalgacık Donusumune (DD), yuksek dereceli

ZF dagılımlarından kesirli Fourier bolgesi yontemlerine

varan genis bir yelpazeye yayılan ZF yaklasımları, cok

cesitli biyolojik isaretlerin ve ozellikle EEG gibi beyin

faaliyetlerini yansıtan isaretlerin incelenmesinde bircok

uygulama acısından genis faydalar getirmektedirler. Buna

ragmen, ZF yaklasımlarının bircok uygulamada yetersiz

kaldıgı ya da yeteri kadar bilgi tasımadıgı durumlar oldugu

dusunulmektedir. Bunu asmak icin genellikle incelenilen

duruma en uygun ZF yaklasımları arastırılmakta ve ele alınan

sistemin performansını arttırmak icin cesitli on ve son isaret

isleme teknikleri gelistirilmeye calısılmaktadır [3, 5].

Pek az arastırmada ise duragan olmayan yapıya daha

uygun yuksek dereceli istatistikler (YDI), zamanla degisen

YDI gibi daha ileri sayılabilecek yontemlerin kullanıldıgı

gorulmektedir [6, 7]. Bu yontemlerin daha az ilgi cekmesinin

baslıca nedenleri ise;

(i) yuksek mertebeden momentlerin analizine dayanan bu

yontemlerin fiziksel anlamlarının cok acık olmaması,

(ii) bu yontemlerin kullanılmasında standart teknikler

gelistirilmesinin onunde yapısal zorluklar bulunması olarak

sayılabilir.

ZF Izgesi yaklasımları, isaretin veya surecin frekans

bilesenlerinin yani Guc Izgesinin zamanla degisiminin

izlenilmesi olarak ifade edilebilir [4]. Bu bakıs acısından yola

cıkılarak sunu soylemek mumkundur, ZF izgesi yaklasımları

surece ait ancak duragan bilesenlerin zamanla degisimini

incelemektedir ki, duragan olma hali zaten Guc Izgesi

hesabının on kosuludur [8]. Ayrıca capraz iliskinin incelenmesi

gereken durumları da kavramsal kargasaya dahil edersek, ZF

yaklasımlarının, incelenilen surece ait duragan olmayan bilgiyi

ortaya koymakta yetersiz kalabilecegi aklımıza gelmelidir.

Bu calısmada, genis anlamda da (WSS) olsa herhangi bir

duraganlık on kosulu gerektirmeyen ayrıca YDI yontemleri

gibi guc kavramından fazla uzaklasmayan biryontemin, IkiliFrekans Izgesinin (IFI) [9, 11] tanıtımı yapılmıs, sentetik

isaretler kullanılarak fiziksel anlamı irdelenmis ve son olarak

bu yontem gercek EEG isaretlerine uygulanmıstır.

2. Ikili Frekans IzgesiBilindigi gibi klasik Guc Izgesi tanımı ilgilenilen surecin

duragan oldugunu kabul eder. ZF Izgesi yaklasımları ise

duragan olmayan sureclerin analizi icin, surecin belirli zaman

blokları genisliginde duragan olması halinde gecerlidirler [4,

12]. Surece ait herhangi bir duraganlık varsayımı yapılmadan

da izge hesabı yapılabilir. En genel haliyle, X rastgele surecine

ait ozilinti fonksiyonu (1) denklemi ile tanımlanır.

Rx(t1, t2) = E[X(t1)X(t2)] (1)

Bu noktada eger duraganlık soz konusuysa τ = t1 − t2buyuklugu zamandan bagımsız kabul edilip izge hesabına

devam edilir (2).

Rx(τ) = E[X(t)X(t + τ)] (2)

ZF yaklasımları ise Rx(τ) buyuklugunun zamanla

degisimini inceler ve ozilinti fonksiyonu olarak Rx(τ, t) temel

alınır.

Bunlardan farklı olarak ucuncu bir secenek ise ozilinti

fonksiyonunun en genel haliyle taban fonksiyonlara acılmasıdır.

Ozilinti fonksiyonu Rx(t1, t2), iki tane zamana baglı degisken

icerdiginden, bu surecin frekans etki alanı analizi de iki

284

SIU2010 - IEEE 18.Sinyal isleme ve iletisim uygulamalari kurultayi - Diyarbakir

978-1-4244-9671-6/10/$26.00 ©2010 IEEE

boyutlu olmalıdır. Bu surece ait Ikili Frekans Izgesel Yogunlukfonksiyonu, (1) esitliginin, iki boyutlu Fourier donusumu olarak

Denklem(3)’teki gibi tanımlanabilir[9].

Sx(ω1, ω2) = F2{Rx(t1, t2)} (3)

Burada t1 ve t2 zamanları birbirlerinden bagımsız ve X

surecine ait herhangi bir cıktının Fourier donusumu

X(ω) = F{x(t)} (4)

olmak uzere. SX(ω1, ω2) izgesel yogunluk fonksiyonu

Denklem (5)’teki gibi hesaplanır.

SX(ω1, ω2) = E[X(ω1)X∗(ω2)] (5)

Bu yaklasım Loeve Izgesi (LI) ya da Ikili Frekans Izgesi [9, 11]

adıyla anılır ve cok az bir haberlesme arastırmasının haricinde

kullanımı pek yaygınlasmamıstır. Elektrofizyolojik isaretlerin

incelenmesi konusunda ise bilinen bir uygulamasının olmadıgı

soylenebilir. Benzer bir sonuca ZF Izge kestirimleri sonucu

ortaya cıkan izgedeki zaman bileseninin Fourier donusumu

yardımıyla da varılabilir [10].

Burada ilk dikkat edilmesi gereken nokta beklenen deger

hesabının herhangi bir duraganlık ve ergodiklik onkosulu

gerektirmedigidir. Bundan dolayıdır ki, ilgili rastgele surecin

uygunlugu, hesabı yapılırken grup ortalamalarının kullanılması

ve gozlem setinin olusturulması gibi durumlar dikkat edilmesi

gereken noktalardır. Ikinci olarak, duragan durumun aksine

SX(ω1, ω2) fonksiyonu sanal bilesenlere de sahiptir. Ayrıca,

ω1 = ω2 dogrusu etrafında simetrik bir ozellik tasır. Yine

ω1 = ω2, durumu icin fonksiyonun, tek boyutlu akrabasına-

Guc Izgesine esit oldugu gorulebilir. Fakat asıl onemlisi, ω1 �=ω2 durumları icin, SX(ω1, ω2) fonksiyonunun tasıdıgı bilgi,

surec icinde bulunan frekans bilesenlerinin birbirleri ile olan

iliskisine ait agırlık katsayıları olarak yorumlanabilir.

3. Deneysel SonuclarDeneysel olarak bu yaklasımın faydalarını gostermek icin

capraz iliski incelemesinin daha uygun oldugu dusunulmustur.

Karsılastırmaya temel olması acısından ilk olarak aralarında

herhangi bir iliski bulunmayan iki yapay surece ait cıktılar

elde edilmistir. Daha sonra, aralarındaki iliski ZF tabanlı

yaklasımlarca ortaya konulamayan iki surec kullanılmıstır.

Farklı frekans bolgelerindeki yuksek guc farklılıklarının

getirdigi etkilerin ortadan kaldırılması icin izgelerin

normalizasyonu yapılarak, ZF Koheransı ve IF Koheransı

kullanılmıstır [10, 7, 3, 1].

Butun analizlerde, sureclere ait 50 deney kullanılmıstır. 2.

gruba dahil surecler icinse SNR = −15dB olarak secilmistir.

ZF yaklasımı olarak KZFD secilmis ve her iki buyuklugunde

kestirimi icin periodogram yaklasımı kullanılmıstır [13]. Ayrıca

kestirimde kullanılan pencere 100ms uzunlugunda Hamming

pencere ve bilgisayar benzetimleri ornekleme frekansı 500Hz

olarak gerceklestirilmistir.

3.1. Yapay Isaret Cifti 1: Ilintisiz Durum

Uygulamada karsılasılan surecler, birbirleri ile ilintisiz, normal

dagılımlı 2 surec tarafından uretilmis, 2 beyaz gurultu olabilir.

Sekil(1) ve Sekil(2)’de goruldugu gibi her iki yontemde bu iki

surec hakkında herhangi belirgin bir oruntu gostermemektedir.

Sekil 1: ZF koheransı.

Sekil 2: Ikili Frekans Koheransı.

3.2. Yapay Isaret Cifti 2: Harmonize Surecler

Ikinci olarak, literaturde Harmonize surecler [9, 14, 10, 11]

olarak adlandırılan ve ZF yaklasımlarınca aralarındaki iliski

tam olarak ortaya konamayan iki surec dusunulmustur. Bu

surecler tarafından uretilen isaretler yapay olarak (YI2), θ1,2(t)

fonksiyonuna baglı olarak x(t) ve y(t) olarak tanımlanabilir.

x(t) = a sin(θ1(t)) + ϕ1(t),

y(t) = b sin(θ2(t)) + ϕ2(t), ϕ1, ϕ2 ∼ N (0, 1)

θ1(t) ve θ2(t) fonksiyonlarını soyle secebiliriz.

1

2π

dθ1(t)

dt=

8<

:

25Hz, 3.2 s ≤ t < 4 s;

72Hz, 6.3 s ≤ t < 7.1 s;

0, dısında.

ve

1

2π

dθ2(t)

dt=

8<

:

57Hz, 3.2 s ≤ t < 4 s;

37Hz, 6.3 s ≤ t < 7.1 s;

0, dısında.

Ikili frekans koheransı fonksiyonunun asıl ayırt edici ozelligi

285

SIU2010 - IEEE 18.Sinyal isleme ve iletisim uygulamalari kurultayi - Diyarbakir

Sekil 3: ZF koheransı.

Sekil 4: Ikili Frekans Koheransı.

YI2 grubu surecler tarafından uretilen isaretler uzerinde

gorulmektedir. Sekil(3)’te goruldugu gibi bu gruba giren

isaretlerin ZF koheransı fonksiyonları, ilintisiz iki surecin

analizleri ile aynı sonucları vermektedir. Sekil(4)’te ise, Ikili

Frekans Koheransında YI2 isaretlerinde bulunan frekanslar

belirgin bir oruntu olusturmaktadır Sekil(4).

3.3. EEG Isaretlerinin Analizi

Bu bolumde, onerilen yeni yontem ile eszamanlı kaydedilmis 2

EEG kanalı arasındaki iliski gosterilmistir. Asagıdaki sekiller,

farklı odevler altında farklı sayıda tekrarlanmıs deneylere ait

olcumlerin ikili frekans koheransı fonksiyonlarıdır. Denekten

3 oturumda 4-9 arası olcum alınmıstır. Her bir olcumde

denege gorsel olarak bir geri besleme saglanmıstır. Gorsel geri

besleme ile denekten, bilgisayar ekranında dusey dogrultuda

asagı yonde hareket eden bir topu saga ya da sola hareket

ettirmesi istenmis, boylelikle sanal hareket olusturulmustur.

Bu esnada denekten 10-20 sistemine gore C3, Cz ve C4

kanallarından, Cz ortak kanal olmak uzere bipolar olcum

alınmıs, bu olcumler 125 Hz ile orneklenerek 1-30 Hz

arası filtrelenmistir. Sekillerden goruldugu gibi ikili frekans

duzleminin kosegeninde farklı frekanslarda bilgi bulunmasının

Sekil 5: Sanal sag hareket Ikili Frekans Koheransı.

Sekil 6: Sanal sol hareket Ikili frekans Koheransı.(Olcumler

BCI yarısması III’ten alınmıstır. [15, 16])

yanında, kosegen dısı bolgelerde de ikili frekans koheransı ayırt

edici oruntu gostermektedir.

4. Tartısma ve SonucBu calısmada hedeflenen ozellikle EEG isaretleri, genel olarak

duragan olmayan tum sureclerin incelenmesi icin, Ikili frekans

koheransı fonksiyonun kullanılabilirligini arastırmaktır. Bolum

1’de, EEG’nin de icinde oldugu duragan olmayan surecler

sınıfına dahil isaretlerin analizinde kullanılan yontemler ve bu

yontemlerin kavramsal acıdan tasıdıkları muhtemel eksiklikleri

tartısılmıstır. Bolum 2’de ise, Bolum 1’de ortaya konan

muhtemel eksikliklerin giderilmesi acısından kullanılabilecek,

Ikili Frekans Izgesi tanıtılmıs, Bolum 3.2’de bu yontemin

klasik yontemlere gore ustunlukleri olabilecegi gosterilmistir.

Kısaca, duragan olmayan surecler icin bazı hallerde, ZF

yaklasımlarının yetersiz kalabilecegi, aranılan bilginin ancak

IFK ile gosterilebilecegi haller olabilecegi gosterilmistir.

Bolum 3.3’te, EEG isaretlerinin de yukarıda anlatılan sureclere

benzer olarak ZF yaklasımlarınca ortaya konamayan bilesenleri

oldugu IFK yardımıyla tespit edilmistir.

286

SIU2010 - IEEE 18.Sinyal isleme ve iletisim uygulamalari kurultayi - Diyarbakir

Gerek yapay isaretler, gerekse EEG isaretleri uzerinde

Ikili Frekans Koheransı kullanılarak yapılan analizler, bu

fonksiyonun duragan olmayan iliskiyi ortaya koymada onemli

bir fark getirdigini gostermektedir. Klasik ZF yaklasımları

genis zamanlıda olsa isaretin ya da surecin belirli bir

zaman dilimi icin duragan oldugu varsayımından yola cıkar.

Buradan hareketle duragan olmama halinin, duraganlıgınzamanla degisimi’ymis gibi yorumlanması sonucu dogar.

Bu calısmada yapay isaretler kullanılarak gosterilmistir ki,

duragan olmama hali, duraganlıgın zamanla degisimi’nin de

otesinde mevcut olabilir. Bu bakıs acısıyla, duragan olmama

terimi dikkatli kullanılmalı, belki de momentlerin zamandan

bagımsız olmalarına dayanan temel duraganlık tanımı gozden

gecirilmelidir.

Her ne kadar bugune kadar yapılan elektrofizyoloji

calısmalarında, Frekans-Frekans (ikili frekans) duzleminin

kullanılması yaygın olmasa da, bu calısmada kullanılan EEG

isaretlerin analizi sonucunda, Frekans-Frekans duzleminin

kullanımının gerekliligi ortaya konulmustur. Sekil(5) ve

Sekil(6)’da kosegen dısı bolgede Sekil(2)’deki gibi herhangi

bir oruntu gozlenmemesi durumunda, surece ait harmonize bir

iliskinin olmadıgı soylenebilir. Buna benzer bir durum baska

bir calısmada yapay isaretler kullanılarak gosterilmistir [17].

Bu calısmada Ikili Frekans Koheransı, Fourier tabanlı

yontemler kullanılarak olusturulmustur. Gelecek calısmalara

konu olmak uzere, Denklem(3) ile tanımlanan 2 boyutlu IFI

fonksiyonunun hesabında, AR, wavelet vb. temelli taban

fonksiyonları donusumleri incelenebilir. Ayrıca incelenilen

surecin dogasına gore Ikili Frekans Koheransı’nın zamanla

evirilmesinin incelenmesi de cesitli yararlar saglayabilir.

Gelecek calısmalara malzeme olabilecek bir diger konu ise,

IFI fonksiyonunun tasıdıgı faz bilgisinin incelenmesidir. Bu

calısmada yeterince deginilmemis olmasına ragmen, iki surec

arasındaki faz farkı onemli bir bilgiyi, ilgilenilen frekansta

hangi surecin digerini tetikledigi bilgisini tasır. Geleneksel

koherans calısmalarında bu ozellik sıklıkla incelenmektedir [1].

5. TesekkurBu calısma Istanbul Universitesi Bilimsel Arastırma Projeleri

birimince 3898, T-925/06102006 ve UDP-3826/25052009

numaralı projeleri kapsamında kısmen desteklenmektedir.

6. Kaynakca[1] D. M. Halliday, J. R. Rosenberg, A. M. Amjad,

P. Breeze, B. A. Conway, and S. F. Farmer, “A

framework for the analysis of mixed time series/point

process data...,” Prog. in Biop. and Mol. Bio., vol. 64,

no. 2-3, pp. 237–278, 1995. [Online]. Available:

http://dx.doi.org/10.1016/S0079-6107(96)00009-0

[2] G. Matz and F. Hlawatsch, “Time-frequency coherence

analysis of nonstationary random processes.” [Online].

Available: http://citeseer.ist.psu.edu/406050.html

[3] Y. Zhan, D. Halliday, P. Jiang, X. Liu, and J. Feng,

“Detecting time-dependent coherence between ...,” Jou.of Neur. Meth., vol. In Press, Corrected Proof. [Online].

Available:http://dx.doi.org/10.1016/j.jneumeth.2006.02.013

[4] L. Cohen, Time Frequency Analysis: Theory andApplications. Prentice Hall PTR, 1994.

[5] J. P. Lachaux, A. Lutz, D. Rudrauf, D. Cosmelli,

M. Le Van Quyen, J. Martinerie, and F. Varela,

“Estimating the time-course of coherence between

single-trial brain sig...” Neurop. Clin, vol. 32,

no. 3, pp. 157–174, June 2002. [Online]. Available:

http://view.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/12162182

[6] J. M. Mendel, “Tutorial on higher-order statistics (spectra)

in signal processing and system theory:...” Proceedings ofthe IEEE, vol. 79, no. 3, pp. 278–305, 1991. [Online].

Available: http://dx.doi.org/10.1109/5.75086

[7] C. Nikias and A. P. Petropulu, Higher Order SpectraAnalysis: A Non-Linear Signal Processing Framework(Prentice Hall Signal Processing Series), facsimile ed.

Prentice Hall PTR, April 1993. [Online]. Available:

http://www.worldcat.org/isbn/0136782108

[8] L. Garcia, Probability and Random Processes forElectrical Engineering. Addison Wesley Publishing

Company, 1993.

[9] M. Loeve, Probability Theory. Springer, 1963.

[10] A. Hanssen and L. Scharf, “A theory of polyspectra for

nonstationary stochastic processes,” pp. 1243–1252, May

2003.

[11] L. L. S. Alfred Hanssen, Yngvar Larsen, “Complex time-

frequency and dual-frequency spectra of harmonizable

processes,” EUSIPCO. EURASIP, 2004.

[12] S. M. Kay, Fundamentals of Statistical SignalProcessing, Volume I: Estimation Theory. Prentice

Hall PTR, March 1993. [Online]. Available:

http://www.worldcat.org/isbn/0133457117

[13] P. D. Welch, “The Use of Fast Fourier Transform

for the Estimation of Power Spectra: ...,” IEEETrans. Audio & Electroacoust., Volume AU-15, p. 70-73, vol. 15, pp. 70–73, 1967. [Online]. Available:

http://adsabs.harvard.edu/abs/1967ITAE...15...70W

[14] M. Rao, Handbook of Statistics, 1985, vol. 5, ch.

10,Harmonizable, Cramer, and Karhunen classes of

processes, pp. 279–310.

[15] S. Pfurtscheller, Gert. Data set iiib,non-

stationary 2-class bci data. [Online]. Available:

http://ida.first.fraunhofer.de/projects/bci/competition iii/

[16] B. Blankertz. Bci competition III. [Online]. Available:

http://ida.first.fraunhofer.de/projects/bci/competition iii/

[17] U. Gundogdu, “Norodejenaratif hastalıklarda

kortikomuskuler koheransın analizi,” YL Tezi, Istanbul

Universitesi, 2008.

287

SIU2010 - IEEE 18.Sinyal isleme ve iletisim uygulamalari kurultayi - Diyarbakir