Universiteit Tvventefaculteit der chemische technologie
l
inleidingtrancportverschijnset er!dictaat
(jr. ir. hl. Jaii SintAn~aiai;d2 1 ~ 5 . ir. J.A.M. Kuipers
dr.
--
I
VOORWOORDHet vak "Inleiding Fysische Transportverschijnselen"
vormt, zoals de naam reeds doet vermoeden, een eerste kennismaking
met het vakgebied van de fysische transportverschijnselen en zal
zich toespitsen op de (technische) stromingsleer. Dit vakgebied is
voor een chemisch technoloog van zeer groot belang aangezien bij
het ontwerp van procesapparatuur vaak een beroep wordt gedaan op de
hier verworven kennis. Fysische transportverschijnselen legt de
basis voor de procestechniek, fysische scheidingen,
schaalvergroting en chemische reaktorkunde en is bovendien van
belang voor de materiaalkunde.
Om tot een goede beheersing van dit vak te komen is een grondige
bestudering van dit diktaat noodzakelijk, tevens strekt het volgen
van de hoorcolleges tot (sterke) aanbeveling. Deze twee elementen
zijn echter niet voldoende: Daarnaast is het grondig voorbereiden
en volgen van de werkcolleges van uitermate groot belang en
derhalve wordt dringend aangeraden om veel aandacht te schenken aan
de uitwerking van de problemen welke in het bijbehorende
vraagstukkenboek zijn geformuleerd. In aanvulling op het
voorbereiden en volgen van de werkcolleges vormt het Computer
Qndersteund Qnderwijs (COO) voor IFTV een nuttig additioneel
leerinsument.Uiteraard wordt binnen het vak IFTV slechts de basis
gelegd voor het vakgebied van de fysische transportverschijnselen.
Een verdere verdieping in dit vakgebied vindt plaats in het tweede
jaars vak Fysische Transportverschijnselen I. Tenslotte bestaat het
keuzevak Fysische TransportverschijnselenII waarin ondermeer
diepgaand aandacht wordt geschonken aan het formuleren van de
algemene micro- en macrobalansen voor behoud van massa, impuls en
energie. Daarnaast wordt binnen dit vak veel aandacht besteed aan
het analytisch oplossen van de gereduceerde micro- en
macrobalansen. Dit vak is met name van belang voor studenten die
hun afstudeeropdracht binnen de vakgroep Proceskunde willen gaan
uitvoeren.
Ir. M . van Sint Annaland Prof .dr.ir. J.A.M. Kuipers
INHOUDSOPGAVE
1. FYSISCHE TRANSPORTVERSCHIJNSELEN1 . 1 . INLEIDING 1 . 2 .
BEHOUDSWETTEN 1 . 3 . SNELHEID VAN MOLEKULAIRE
TRANSPORTPROCESSEN
1 1 18
2. MICROBALANS VOOR MASSA
18
3. MICROBALANS VOOR IMPULS3 . 1 . EENVOUDIGE STROMINGSPROBLEMEN
3 . 1 . 1 . STATIONAIRE STROMING TUSSEN PLATEN 3 . 1 . 2 .
STATIONAIRE STROMING DOOR RONDE BUIS3.1.3. STATIONAIRE STROMING
DOOR ANNULAIRE RUIMTE
25 29 32 35 37
3 . 2 NAVIER-STOKES VERGELIJKINGEN 3 . 3 WERKEN MET DE
NAVIER-STOKES VERGELIJKINGEN
4. WET VAN BERNOULLI VOOR WRIJVINGSLOZE STROMING 3 94 . 1 .
AFLEIDING 4 . 2 . TOEPASSINGEN 39 43
5. LAMINAIRE EN TURBULENTE STROMING; GRENSLAGEN5. l . LAMINAIRE
EN TURBULENTE STROMING
49 49
5 . 2 . GRENSLAGEN 5 . 2 . 1 . INSTATIONAIRE STROMING LANGS
VLAKKE PLAAT 5 . 2 . 2 . STATIONAIRE STROMING LANGS VLAKKE PLAAT 5
. 2 . 3 . STATIONAIRE STROMING OM CYLINDER EN BOL
6 . WET VAN BERNOULLI VOOR STROMING MET WRIJVING;
STROMINGSWEERSTANDEN6 . 1 . UITGEBREIDE WET VAN BERNOULLI 6 . 2 .
STROMINGSWEERSTANDEN 6 . 2 . 1 . STROMINGSWEERSTANDEN VAN
OMSTROOMDE LICHAMEN 6 . 2 . 2 . STROMINGSWEERSTANDEN VAN
DOORSTROOMDE BUIZEN 6 . 2 . 3 . STROMINGSWEERSTANDEN VAN GEPAKTE
BEDDEN 6 . 3 UITGEWERKTE VOORBEELDEN
1.FYSISCHE TRANSPORTVERSCHIJNSELEN
In de praktijk spelen bij het ontwerp van procesapparatuur zowel
kwalitatieve als kwantitatieve benaderingswijzen een grote rol. Bij
de kwalitatieve benaderingswijzen worden met behulp van
kwalitatieve beschouwingen ontwerpen geselecteerd, die op grond van
ervaring economisch haalbaar worden geacht. Echter, om tot een
uiteindelijke keuze te komen is een kwantitatieve benadering m.b.v.
mathematische modellen noodzakelijk. De kwantitatieve
beschouwingswijzen zijn (mede) gebaseerd op de behoudswetten voor
massa, impulsl) en energie. In het vakgebied van de fysische
transportverschijnselen wordt bij de behandeling van problemen
veelvuldig gebruik gemaakt van deze behoudswetten. Bij het ontwerp
van procesapparatuur wordt men geconfronteerd met systemen die zich
niet in thermodynamisch evenwicht bevinden; er is uitwisseling van
materie, impuls en energie. De klassieke thermodynamica voorspelt
slechts naar welke evenwichtstoestand het systeem streeft en niet
de snelheid waarmee deze evenwichtstoestand wordt bereikt. Het
vakgebied van de fysische transportverschijnselen houdt zich bezig
met het voorspellen van de snelheid waarmee het thermodynamische
evenwicht in een systeem wordt bereikt. Met name is men
genteresseerd in de snelheid waarmee de transportprocessen verlopen
teneinde tot een ontwerp (bepaling van de hoofdafmetingen) van de
procesapparatuur te komen.
Voordat we overgaan tot de formulering van de behoudswetten is
het van groot belang dat we de volgende vragen stellen: a) Wat
wordt er getransporteerd? Is er transport van uitsluitend materie,
impuls of energie of treedt er gecombineerd transport op? In
procesapparatuur vindt vaak simultaan transport van materie, impuls
en energie plaats. b) Welke transportmechanismen welen een rol?
Voorlopig kan een onderscheid worden gemaakt tussen convectief en
molekulair transpor$). Convectief transport is transport door
meevoering (convectie); een fludum transporteert materie (fludum of
eventueel in het fludum opgeloste stof), impuls of energie door
zich te verplaatsen.1) Aangezien impuls een vectorile grootheid is
kan men in het algemeen 3 impulsbalansen formuleren
(x-impulsbalans, y-impulsbalans en z-impulsbalans in Cartesische
cordinaten).2) Later zullen we ook straling tegenkomen.
2 Stroomt een fludum met een volumestroom @ m31s door een buis,
dan wordt daardoor , meegevoerd:
- een massastroom @,p (kg/s) als p de dichtheid (in kg,m3) van
het fludum is. - een molenstroom @,ci (kmoVs) als Ci de
concentratie (in kmol/m3) van component iis. - een thermische
energiestroom @,pu (J/s) als u de thermische energie per
massaeenheid is (in Jlkg). - een impulsstroom @,,pi (N) als i de
stroomsnelheid (in mls) van het fludum is. Merk op dat ook opgevat
kan worden als impuls per massa-eenheid (N.s/kg). Naast convectief
transport is er molekulair transport mogelijk waarbij het medium
waarin het transport plaatsvindt zich niet verplaatst in de
richting van het transport, maar het getransporteerde slechts
"doorgeeft". De molekulaire transportprocessen worden in paragraaf
1.3 nader besproken. c) Welke variabelen ziin in het spel? Het is
van belang om een overzicht te krijgen van de variabelen waarmee
het beschouwde systeem eenduidig beschreven kan worden. Indien er n
variabelen in het spel zijn dan zal men in het algemeen ok n
vergelijkingen (behoudswetten) moeten formuleren. d) C@ welke
schaal speelt het proces zich af? Bij het formuleren van de
behoudswetten speelt de schaal waarop het proces zich afspeelt een
grote rol. De fysische technologie is gebaseerd op drie belangrijke
empirische wetten: de wet van behoud van massa (Lavoisier), impuls
(Newton) en energie (Joule). Voor de drie fysische grootheden
massa, impuls en energie is een boekhouding op te stellen over een
te kiezen volume (het zogenaamde controle volume) welke resulteert
in respektievelijk de massabalans, de impulsbalans en de
energiebalans. Voor de keuze van het geschikte (naar vorm en
grootte) controle volume is enige goede fysische intutie
onontbeerlijk. Ten aanzien van de afmetingen van het controle
volume kan men een onderscheid maken tussen macrobalansen en
microbalansen.I
macrobalansenAls we genteresseerd zijn in de macroscopische
systeemeigenschappen, zoals de gemiddelde waarde van een grootheid
in het gekozen controle volume, dan stellen we een balans op over
dit gehele controle volume voor de betreffende grootheid. Balansen
over een apparaat (destillatiekolom, chemische reaktor) of een
fabriek behoren tot deze categorie.
3microbalansenAls we genteresseerd zijn in microscopische
systeemeigenschappen, zoals de verdeling van een grootheid in het
gekozen controle volume, dan stellen we een balans op over een
infinitesimaal klein volume-elementje van het beschouwde systeem.
Vervolgens bepalen we d.m.v integratie en toepassing van bekende
randvoorwaarden op de systeemgrenzen de verdeling voor de
betreffende grootheid. De drie behoudswetten kunnen als volgt
algemeen in woorden worden geformuleerd (Zie ook Fig. 1.l) :
toename van hoeveelheid X in V per tijdseenheid = ingaande
stroom van X uitgaande stroom van X + produktie van X in V per
tijdseenheid
-
Bij het formuleren van de balans wordt X uitgedrukt als een
hoeveelheid per volume-eenheid:
-
transport van massa transport van component i transport van
thermische energie transport van impuls
:
X=p X=ci X=pu
(kglm3)
x=p;
(kmolJm3) (~/m~) (N. s/m3=kg/(m2.s))
Het voordeel van deze aanpak is dat we slechts n balans hoeven
te formuleren welke geldig is voor verschillende
transportprocessen.I
.
Ov,in
I
CONTROLE VOLUME V
l
a v,uit l
X uit
Fig. 1.1. Een open systeem met gelijktijdige invoer, uitvoer en
produktie van X. Definities: @v,in, @v,,it V r&n9
: : ::
respektievelijk in- en uitgaande volumestroom in m%. volume
(m3). hoeveelheid X geproduceerd per volume-eenheid en per
tijdseenheid..respektievelijk in- en uitgaande hoeveelheid X per
volume-eenheid.
Xuit
In formulevorm luidt de algemene balans:
Ter verduidelijking van deze algemene balansformulering zullen
vervolgens twee specifieke voorbeelden nader worden uitgewerkt en
wel:
- een macroscopische warmtebalans voor een goed geroerd,
doorstroomd vat voorzien/ '
1
-
van een verwarmingsspiraal. een macroscopische impulsbalans voor
stroming van een fludum door een leiding met een haakse bocht.
Voorbeeld van een macroscopische warmtebalans voor een goed
geroerd. doorstraomd,va~ J voorzien van een verwarmingss~iraal, Als
eerste voorbeeld werken we een macroscopische warmtebalans uit voor
een goed geroerd, gesloten vat dat aanvankelijk geheel gevuld was
met koud water met een uniforme . temperatuur T (Zie Fig. 1.2).
Vanaf t=O wordt er warm water van een constante temperatuur Tin
toegevoerd met een volumedebiet terwijl water uit het vat met een
debiet @v,,it wordt afgevoerd. De waterafvoer is zodanig dat het
vat telkens geheel gevuld blijft. Bovendien wordt op tijdstip t=O
een electrisch verwarmingselement ingeschakeld waardoor een
vermogen Q>, (W) aan de vloeistof wordt afgestaan. De inhoud van
het vat wordt zeer goed geroerd zodat er geen verschillen in
watertemperatuur bestaan. De dichtheid van het water p en de
warmtecapaciteit worden konstant verondersteld.
5
t = O T=TO
vQ>v,in
Q>
v,uit
T. in
Lcdsr,. Een warmtebalans.overhet hele vat V luidt (met constante
pcp):
Merk op dat het door de verwarmingsspiraal geleverde vermogen
OWals een produktieterm in de warmtebalans (1.2) verschijnt. Indien
aangenomen wordt dat de inhoud van het vat ideaal gemengd is, dan
is de gemiddelde vloeistoftemperatuur T in het vat gelijk aan de
uitgangstemperatuur Tuitvan de vloeistof:
Bovendien geldt voor een volledig met vloeistof gevuld vat
volgens de wet van behoud van massa dat de ingaande en uitgaande
massastromen aan elkaar gelijk zijn (Ga dit zelf na door een
massabalans over het vat op te stellen!):
hetgeen voor constante dichtheid impliceert dat de in- en
uitgaande volumestroom gelijk aan elkaar zijn. Onder deze en de
eerder gemaakte aannames reduceert vergelijking (1.2) tot de
volgende eenvoudige eerste orde differentiaalvergelijking:
De oplossing van (1.5) met (1.6) als beginvoorwaarde luidt:
Ti,
W + - Tuit -
-
pCp@v
a
= exp(-
v t)v
(9
Merk op dat het effekt van de electrische verwarmingsspiraal
equivalent is aan het' verhogen van de ingangstemperatuur ter
grootte ATin,met:
,J
Ga zelf na wat de uitgangstemperatuur van het water T wordt na
zeer lange doorstroming , van het vat. Is het resultaat in
overeenstemmingmet hetgeen U verwacht? Voorbeeld van een
macroscopische impulsbalans voor stroming;van een fludum door een
leiding met een haakse bocht. Als tweede voorbeeld beschouwen we de
stroming van een fludum door een leiding met een haakse bocht (Zie
Fig. 1.3). We willen de kracht (naar grootte en richting) Er.,
berekenen welke het stromende fludum op de bocht uitoefent. De
diameter van de leiding veronderstellen we constant en tevens
verwaarlozen we de wrijving tussen het stromende fludum en de
binnenwand van de leiding. Bovendien nemen we aan dat er aan de
ingang "1" en aan de uitgang "2" geen snelheidsverschillen over de
doorsnede van de leiding bestaan. In het vorige voorbeeld lag de
keuze van het controle volume voor de hand: het vat met volume V.
Hier is een geschikte keuze voor het controle volume het fludum
volume dat zich tussen de referentiepunten "1"en "2" in de leiding
bevindt. Naast de specificatie van het controle volume moet een
assenstelsel gekozen worden; een mogelijke keuze is in onderstaande
figuur weergegeven. ' l -r
Fig. 1.3. Stroming van een fludum door een leiding met een
haakse bocht.
7 De kracht Rf..,, kan worden ontbonden in R,,f., en RySf-,,
respektievelijk de kracht welke het stromende fludum in de
x-richting en de y-richting op de bocht uitoefent. Als deze twee
componenten van Rf__,, bekend zijn, dan kennen we Rf,,,, naar
grootte en richen Ryf.-, zijn respektievelijk een ting. De
uitgangspunten voor de berekening van R,$, impulsbalans voor de
x-richting en de y-richting.
-
-
Irnpulsbalans voor de x-richting:
Impulsbalans voor de y-richting:
en Ry,f--, met een min-teken verschijnen in respektievelijk
(1.8) en Merk op dat (1.9) aangezien ze als negatieve
produktietermen van impuls zijn op te vatten. Invullen van de in
Fig. 1.3. gedefinieerde grootheden in de vergelijkingen (1.8) en
(1.9) levert, na combinatie met de massabalans (Ga dit zelf na!),
in de stationaire situatie de volgende gereduceerde
impulsvergelijkingen:
Met behulp van de vergelijkingen (1.10a) en (1.10b) kunnen
respektievelijk de x- en ycomponent van de gevraagde kracht worden
bepaald, voor de grootte van de resulterende kracht lkf--,wl valt
eenvoudig af te leiden dat:
Als laatste voorbeeld van een macrobalans zal een algemene
energiebalans worden afgeleid welke in feite een generalisatie van
de eerste hoofdwet van de thermodynamica is. Volgens de eerste
hoofdwet van de thermodynamica geldt:l
de toename van de inwendige energie van een systeem per
tijdseenheid = de aan dat systeem toegevoerde warmte per
tijdseenheid + de op dat systeem verrichtte uitwendige arbeid per
tijdseenheid
Oftewel in formulevorm:
waarbij Q de per tijdseenheid aan het systeem toegevoerde warmte
voorstelt en W de per tijdseenheid op het systeem verrichtte
uitwendige arbeid Voor een stromend medium of een doorstroomd
systeem moeten de inwendige energie U en de op het systeem
verrichtte arbeid W worden uitgebreid, bovendien is het zinvol om
de inwendige energie per massa- of volume-eenheid in te voeren. We
definieren u als de inwendige energie per massa-eenheid (dimensie
van u: Jkg). Voor een stromend medium moeten bij de inwendige
energie de kinetische energie en de potentile energie worden
opgeteld om de totale energie-inhoud te verkrijgen. Uitgedrukt als
totale energie per massa-eenheid e (dimensie van e: Jkg) levert dit
dus:
of uitgedrukt als totale energie per volume-eenheid pe (dimensie
van pe: ~/m3):
De aan het systeem toegevoerde warmte per tijdseenheid zal
worden aangeduid met B Met , . deze aanpassingen kunnen we de
volgende algemene balans voor totale (inwendige + kinetische +
potentile) energie formuleren:
( l .15a)
Vaak wordt voor doorstroomde systemen uit de arbeidstem W de op
het systeem verrichtte drukarbeid nog afgesplitst zodat (1.15a) ook
te schrijven is als:
9 waarbij We de per tijdseenheid op het systeem verrichtte
externe arbeid is met uitzondering van de vemchtte drukarbeid. Het
zal duidelijk zijn dat de grootheid pe in het linkerlid van
vergelijkingen (1.15a) en (1.15b) de over het systeemvolume V
gemiddelde waarde representeert. De eerste twee termen in het
rechterlid van deze vergelijking representeren respektievelijk het
in- en uitgaande convectieve transport van totale energie.
1.3.SNELHEID VAN MOLECULAIRE TRANSPORTPROCESSENIn paragraaf 1.2.
is reeds aangegeven dat we naast convectief transport van massa,
impuls en (thermische) energie (warmte) ook molekulair transport
van deze grootheden kunnen onderscheiden. De Brownse beweging van
molekulen is primair verantwoordelijk voor dit type transport en
wordt?iaarom molekulair transport genoemd. Molekulair transport kan
worden onderscheiden in diffusie (massatransport), inwendige
wrijving (impulstransport) en geleiding (warmtetransport) en wordt
respektievelijk veroorzaakt door concentratie- of
dichtheidsgradinten, snelheidsgradinten en temperatuurgradintenl).
Vaak treedt er zowel convectief als molekulair transport van de
genoemde grootheden op, echter voor doorstroomde oppervlakkken is
in het algemeen het convectief transport dominant ten opzichte van
het molekulaire transport. Molekulair transport wordt belangrijk in
niet-doorstroomde media, in de direkte omgeving van
niet-doorstroomde grenzen (wanden) van een systeem of loodrecht op
de hoofdstromingsrichting van het medium. Achtereenvolgens zal
nader ingegaan worden op molekulair stoftransport (diffusie),
molekulair warmtetransport (geleiding) en molekulair
impulstransport (inwendige wrijving).Molekulair stoftransport
(diffusie). Beschouw een lange buis waarin zich een niet-stromend
fludum bevindt met een daarin opgeloste component i. De
concentratie van i is hoog aan het begin van de buis en laag aan
het eind van de buis. Indien men voldoende lang wacht dan zullen
deze initile concentratieverschillen in de axiale of x-richting
volledig worden vereffend ten gevolge van diffusie, zelfs in totale
afwezigheid van stroming in het fludum. Molekulair stoftransport
wordt beschreven door de wet van Fick die stelt dat de
stofstroomdichtheid of molflux2) van een II component i,
(kmo~(m2.s)) de x-richting gegeven wordt door (Zie Fig. 1.4): in
(o~ec 7 2,U-
y
-
f
-
waarjn ci de concentratie van component i (kmollm3) en Di de
diffusiecofficint van1) Een gradint geeft de verandering van een
grootheid (b.v. temperatuur) per eenheid van lengte weer.
2) Het begrip "flux", geeft aan een hoeveelheid (b.v. materie,
impuls of warmte) welke per tijdseenheid per
oppervlakte eenheid wordt getransporteerd. Hierbij staat het
bedoelde oppervIak loodrecht op de richtingvan het transport.
10 component i in het beschouwde medium is (m21s). De molflux
van component i is evenredig met de concentratiegradint van
component i welke de drijvende kracht voor het molekulaire
stoftransport is.
Fig. 1.4. Illustratie van de wet van Fick. Tengevolge van een
concentratiegradint in de x-richting vindt er molekulair
stoftransport plaats van component i. Indien er
concentratiegradinten aanwezig zijn in zowel de x-, y- als
z-richting dan vindt er in alle drie cordinaatrichtingen molekulair
stoftransport plaats. Vergelijking (1.16) wordt dan de volgende
vectorile vergelijking voor de molflux:
(l.17a)
Hierbij is grad of V de gradint-operator welke in Cartesische
cordinaten als volgt is gedefinieerd:
- -
-
waarbij 6,, liy, en 6, de eenheidsvektoren in respektievelijk de
x-, y- en z-richting zijn.
Molekulair warmtetransport (geleiding). Beschouw een lange
metalen staaf welke aan de mantelzijde perfekt is gesoleerd. Aan
het begin wordt de staaf in kokend water gedompeld terwijl de staaf
aan het eind aan de atmosfeer wordt blootgesteld. Indien men
voldoende lang wacht dan zullen de initile temperatuurverschillenin
de axiale of x-richting volledig worden vereffend tengevolge van
geleiding en zal de temperatuur aan het eind van de staaf gelijk
zijn aan die van het begin van
11 de staaf. Hierbij wordt warmteuitwisseling aan het eind van
de staaf met de atmosfeer verwaarloosd. Molekulair warmtetransport
wordt beschreven door de wei van Fourier die stelt dat de
warmtestroomdichtheid of warmteflux 0; (Wlm2) in de x-richting
gegeven wordt door (Zie Fig. 1.S):
waarin T de temperatuur (K) en h de warmtegeleidingscofficint
van het medium is (W/(m.K)). De warmteflux is evenredig met de
temperatuurgradint welke de drijvende kracht voor het molekulaire
warmtetransport is. Indien er temperatuurgradinten aanwezig zijn in
zowel de x-, y- als z-richting dan vindt er in alle drie
cordinaatrichtingen molekulair warmtetransport plaats. Vergelijking
(1.18) wordt dan de volgende vectorile vergelijking voor de
warmteflux.
Fig. 1.5. Illustratie van de wet van Fourier. Tengevolge van een
temperatuurgradintin de x-richting vindt er molekulair
warmtetransportplaats. De wet van Fick en de wet van Fourier zijn
feitelijk analoog hetgeen nog duidelijker tot uiting komt als de
laatste herschreven wordt in de onderstaande vorm welke geldig is
voor constante dichtheid p en constante warmtecapaciteit CP:
waarbij a de temperatuurvereffeningscofficint (Engels: "thema1
diffusivity") is, die
12 dezelfde eenheid heeft als de diffusiecofficintDi (m%) en
gedefinieerd is volgens:
De grootheid pCpT representeert de warmte-inhoud per
volume-eenheid ("warmteconcentratie" in ~/m3) hetgeen analoog is
aan de grootheid Ci, de hoeveelheid i (uitgedrukt in h o l ) per
volume-eenheid.
Molekulair impulstransport (inwendige wrijving). De beschrijving
van molekulair impulstransport verloopt in essentie analoog aan de
beschrijving van molekulair stof- en warmtetransport. De analogie
is echter niet volledig aangezien impuls een vectorile grootheid
is; naast de grootte is ook de richting van belang. Bovendien
bestaan er bij de interpretatie van molekulair impulstransport twee
complementaire zienswijzen welke respektievelijk nauw aansluiten
bij het vakgebied van de fysische transportverschijnselen en bij
het vakgebied van de mechanica.Molekulair impulstransport zal hier
aan de hand van een stationaire n-dimensionale stroming worden
behandeld. Beschouw daartoe de stroming van een fludum in de
positieve x-richting waarbij een snelheidsgradint in de y-richting
aanwezig is (Zie Fig. 1.6). Uiteraard hebben we in deze situatie
convectief impulstransport in de x-richting, echter we nemen aan
dat v, uitsluitend een funktie van de y-cordinaat is, zodat er geen
xafhankelijkheid is.
Fig. 1.6. Molekulair impulstransport in een stromend fludum. De
stroming is stationair en vindt slechts in de positieve x-richting
plaats. Het subscript "1" betekent "langzaam", het subscript "s"
betekent "snel".
13 In deze situatie schuiven fludumlagen over elkaar hetgeen in
inwendige wrijving zal resulteren tengevolge van de molekulaire
interacties (Van der Waalskrachten en polaire krachten). Daarnaast
kunnen molekulen ook door botsingen nog impuls uitwisselen hetgeen
oefenen krachten op elkaar uit in de bij gassen van dominant belang
is. ~e.fludumla~e? x-richting hetgeen x-impulsuitwisseling tussen
de lagen impliceert, d.w.z. molekulair transport van x-impuls in de
y-richting en dus loodrecht op de stromingsrichting.Fludumlagen met
een hoge snelheid (hoge impulsconcentratie) zullen impuls afstaan
aan fludumlagen met een lage snelheid (lage impulsconcentratie).
Het gearceerde fluidumlaagje zal enerzijds impuls opnemen van de
sneller stromende bovenlaag maar anderzijds ook impuls afstaan aan
de langzamer stromende onderlaag. In bovenstaande figuur stellen
zYx,,,~ en zyX,~-,, krachten per oppewlakteeenheidvoor (werkend in
respektievelijk de positieve en negatieve x-richting) welke
respektievelijk door de sneller stomende bovenlaag en de langzamer
stromende onderlaag op het gearceerde fludumlaagje worden
uitgeoefend. Aangezien er sprake is van stationaire stroming is er
echter geen nettoimpuls opname van deze en alle andere fludumlagen
aangezien er geen versnelling of vertra= - 2yx~-->s. ging kan
optreden, en dus moet %x,s-->l Molekulair impulstransport wordt
beschreven door de wet van Newton die stelt dat de II
impulsstroomdichtheid aiSF a = ~ / min ) y-richting gegeven wordt
door (Zie Fig. 1.7): (~ 2 de
waarin q de dynamische viskositeit van het fludum is (kg/(m.s)).
De impulsstroomdichtheid is evenredig met de snelheidsgradint welke
de drijvende kracht voor het molekulaire impulstransport is. Het
eerste subscript geeft aan dat het transport in de y-richting
plaatsvindt, het tweede subscript geeft aan dat er x-impuls wordt
getransporteerd. Ga zelf na dat voor het in Fig. 1.6. weergegeven
snelheidsprofiel de impulsstroomdichtheid inderdaad negatief is. De
analogie met de andere molekulaire transportprocessen wordt nog
duidelijker als de wet van Newton wordt herschreven in onderstaande
vorm welke geldig is voor constante dichtheid p:
waarbij V de kinematische viskositeit is, die dezelfde eenheid
heeft als de diffusiecofficint Di (m%) en gedefinieerd is
volgens:
14 De kinematische viskositeit v kan worden op gevat als een
diffusiecofficint voor impuls.
Fig. 1.7. Molekulair impulstransport (inwendige wrijving) in
termen van impulsstroomdichtheid. Naast de formulering in termen
van de impulsstroomdichtheid,welke nauw aansluit bij de
formuleringen van stof- en warmtetransport, wordt de formulering in
termen van de schuifspanningij (Engels: "shear stress") zyx
gebruikt. Voor vergelijking (1.22) kunnen we in ook termen van een
schuifspanning schrijven (Zie Fig. 1.8):
De schuifspanning zy,ligt in het vlak y=constant en wijst in de
x-richting en wordt als volgt gedefinieerd: zr,op y=yo is de kracht
per oppervlakte-eenheid die het fludum met y- waarden kleiner dan
y0 uitoefent op het fludum met y-waarden groter dan yo. Ga zelf na
dat voor het in Fig. 1.8. weergegeven snelheidsprofiel de
schuifspanning zy, op y=yo inderdaad positief is.
Transportcofficinten De wetten van Fick, Fourier en Newton
kunnen worden opgevat als de definitievergelijkingen van de
transportcofficinten (Di, a, h, v en q). Deze grootheden zijn in
principe afhankelijk van de druk en temperatuur, maar praktisch
onafhankelijk van de gradint van de grootheid welke de drijvende
kracht voor het transport is. Voor het maken van schattingen is het
van belang dat men een indruk heeft van de orde-grootte van Di, h
en q in gassen, vloeistoffen en vaste stoffen.1) Een spanning geeft
de kracht per eenheid van oppervlak weer, de dimensie van een
spanning is dus
dezelfde als die van een druk, namelijk ~ a = ~ / r n ~ .
Fig. 1.8. Molekulair impulstransport (inwendige wrijving) in
termen van schuifspanning.
Gassen: Bij normale druk en temperatuur zijn Di, a en v voor
gassen van de orde 0.5.10-5 tot 2.10-5 m2/s. Dat deze
transportcofficinten voor gassen van dezelfde orde-grootte zijn
hangt samen met het feit dat materie, warmte en impuls door de
gasmolekulen "lijfelijk wordt getransporteerd, d.w.z. tengevolge
van hun eigen beweging. Volgens de kinetische gastheoriel) gelden
voor de dynamische viskositeit q en de warmtegeleidingscofficinth
respektievelijk:
en:
waarin m de massa van de molekulen voorstelt, k de constante van
Boltzmann en d de botsingsdiarneter welke m.b.v. n experimenteel
bekende waarde van q of h bepaald dient te worden. Merk op dat deze
theorie voorspelt dat q en h met de wortel uit de absolute
temperatuur T toenemen en dat beide grootheden onafhankelijk van de
druk zijn hetgeen in overeenstemmingis met experimentele data tot
drukken van circa 10 atm. Een meer verfijnde kinetische theorie is
door Chapman en Enskog ontwikkeld2).1) Vergeiijking (1.27) is
strikt genomen geldig voor een n-atomig gas. 2) Zie voor een
uitgebreide beschrijving van deze theorin het boek "MolecularTheory
of Gases and
Liquids" door J:O. Hirschfelder, C.F. Curtiss en R.B. Bird.
16 De kinetische theorin voor het voorspellen van
transportcofficinten in vloeistoffen zijn veel minder ver
ontwikkeld dan die voor gassen, als gevolg is de kennis omtrent
deze grootheden voornamelijk empirisch van karakter. Voor
diffusiecofficinten in vloeistoffen ~ vindt men bij
kamertemperatuur waarden in de orde van 1 0 - tot 10-9 m2ls. Voor
vloeistoffen maakt men vaak gebruik van de vergelijking van
Einstein-Nernst-Eyring welke een verband geeft tussen de
diffusiecofficintvan een bepaalde component i in een oplosmiddel
Di, de dynamische viskositeit van het oplosmiddel q en de absolute
temperatuur T:
-- - constant T
(1.28)
De dynamische viskositeit van vloeistoffen is sterk variabel:
q=0.001 kg/(m.s) voor water en q=1.5 kg/(m.s) voor glycerine (beide
bij 20 "C). De viskositeit van een vloeistof is in het algemeen
sterk temperatuurafhankelijk:
waarbij T de absolute temperatuur is, T. een
referentietemperatuur (in K), E, de "aktiveringsenergie" (in Jlmol)
en R de gasconstante. Merk op dat de viskositeit van vloeistoffen,
in tegenstelling tot die van gassen, daalt met toenemende
temperatuur. Dit feit geeft aan dat het mechanisme voor
impulstransport in vloeistoffen fundamenteel verschillend is van
dat in gassen. De warmtegeleidingscofficint h van de meeste
vloeistoffen ligt tussen 0.1 W/(m.K) (organische verbindingen) en
0.6 W/(m.K) (water).
Vaste stofleen:De diffusiecofficintenin vaste stoffen zijn op
grond van de geringere beweeglijkheid ten opzichte van die in
gassen en vloeistoffen relatief klein: 10-l1 tot 10-13 m2/s. Voor
de warmtegeleidingscofficint dient een onderscheid gemaakt te
worden tussen amorfe stoffen, kristallijne stoffen en metalen. Voor
amorfe stoffen is h ongeveer 1 W/(m.K), voor kristallijne stoffen
is h iets hoger, terwijl voor metalen h het hoogst is tengevolge
van het (aanzienlijke) warmtetransport door de vrije electronen:
voor metalen varieert h tussen 10 en 500 W/(m.K). Volgens de wet
van Wiedemann, Franz en Lorenz bestaat er voor metalen een verband
tussen de warmtegeleidingscofficinth, en de electrische
geleidingscofficint
h:
met L het Lorenz-getal.Het Lorenz getal L varieert voor zuivere
metalen van ongeveer 22 tot
17 29.10-9 volt21~2 is praktisch onafhankelijk van de
temperatuur. Voor niet-metalen is en deze vergelijking ongeschikt
aangezien dan de transportprocessen van warmte en electrische
lading niet meer door de vrije electronen worden gedomineerd. Onder
normale condities treedt er in vaste stoffen geen "stroming" op
zodat het begrip viskositeit bij het bestuderen van de deformatie
van vaste stoffen niet wordt gehanteerd. Het bestuderen van de
deformatie van vaste stoffen en de hiermee
samenhangendeverschijnselen behoort tot het vakgebied van de
mechanica en zal daarom hier geen verdere aandacht krijgen.
2.MICROBALANS VOOR MASSAIn het vorige hoofdstuk hebben we reeds
kennis gemaakt met de macrobalansen, in dit hoofdstuk zal een
microbalans aan de orde komen en wel de microbalans voor massa,
oftewel de continuteitsvergelijking.Zoals reeds vermeld levert een
microbalans informatie m.b.t. de microscopische
systeemeigenschappen zoals de verdeling van een grootheid (b.v.
massa) over een zeker gekozen controle volume. We gaan uit van een
systeem waarbij er in alle drie cordinaatrichtingen (x, y en z)
stroming optreedt van een compressibel (samendrukbaar) medium,
d.w.z. een medium waarvan de dichtheid niet constant is. De drie
componenten van de stroomsnelheid v,, vy en v, zijn
plaatsafhankelijk, d.w.z. een funktie van x, y en z en bovendien
tijdsafhankelijk. Voor de afleiding van de continuteitsvergelijking
plaatsen we in gedachten een stilstaand, differentieel11
volume-elementje in het stromende medium waarbij de afmetingen van
dit elementje dx, dy en dz in respektievelijk de x-, y- en
z-richting bedragen (Zie Fig. 2.1).
Fig. 2.1. Een stilstaand, differentieel volume-element met
volume dV=dxdydz, waarbij doorstroming met een compressibel medium
plaatsvindt in de drie cordinaatrichtingen x,y en z.1)
Met een differentieel volume-elementje wordt bedoeld dat de
afmetingen dx, dy en dz oneindig (willekeurig) klein worden
gekozen. Deze keuze is noodzakelijk aangezien de systeemgrootheden
(dichtheid en snelheidscomponenten)continue (geleidelijk) vatieren
met de positie.
19 De wet van behoud van massa voor het volume-element dV=dxdydz
luidt in woorden: de toename van massa in dV=dxdydz per
tijdseenheid = netto instroming van massa per tijdseenheid in de
x-richting + netto instroming van massa per tijdseenheid in de
y-richting + netto instroming van massa per tijdseenheid in de
z-richting + produktie van massa per tijdseenheid in
dV=dxdydzInstrorning van massa in de y-richting per tijdseenheid
door oppervlak dxdz (kg/s): pv I dxdzYY
Uitstroming van massa in de y-richting per tijdseenheid door
oppervlak dxdz (kgls):
pvy'y+dy dxdz
Netto instroming van massa in de y-richting per tijdseenheid
(kg/s): ~(PV ( P i y - pvJY,.q)dxdz = (pvYIY - (pvY IY + d y L ) )
d x d z ay
Instrorning van massa in de x-richting per tijdseenheid door
oppervlak dydz (kgls):
Uitstroming van massa in de x-richting per tijdseenheid door
oppervlak dydz (k&):
Netto instroming van massa in de x-richting per tijdseenheid
(kgls):
~(Pv,) (PvXlx PV,?+& )dydz = (pvX IX - (pvxlx +
dxax)Wydz
- -- a(pvx)dxdydz ax
20 Instroming van massa in de z-richting per tijdseenheid door
oppervlak dxdy (kgs): pvz I dxdy z Uitstroming van massa in de
x-richting per tijdseenheid door oppervlak dxdy (kgls):
Netto instroming van massa in de z-richting per tijdseenheid
(kgls):
- -- acpv, 1dxdydz
az
De toename van de massa per tijdseenheid in het beschouwde
differentile volume-element dV=dxdydz bedraagt (kgs):
-(pdV) = -dVatat
a
ap
- dxdydz -at
Aangezien we hier de wet van behoud van (totale) massa
formuleren is de massa die per tijdseenheid in dV wordt
geproduceerd gelijk aan nul1). Invullen van de vergelijkingen
(2.1), (2.2), (2.3) en (2.4) in de wet van behoud van massa welke
in woorden is geformuleerd levert na deling door dV=dxdydz de
microbalans voor massa, of continuteitsvergelijking:
De fysische interpretatie van bovenstaande vergelijking is als
volgt: in het linkerlid staat de accumulatie van massa per
volume-eenheid terwijl in het rechterlid de netto instroming van
massa per volume-eenheid en per tijdseenheid staat. In vergelijking
(2.5) is div of V . de divergentie operator. Met de notatie (V .
p;) wordt weergeven dat het inwendige produkt ; tussen de
vector-differentiaal-operator V en de vector p gevormd dient te
worden, met een1)
Indien er chemische reakties optreden in het medium dan is de
totale (netto) massa-productie ook gelijk
aan nul op grond .van de wet van Lavoisier.
21scalaire grootheid als uitkomst:
Indien de dichtheid constant is, hetgeen voor vloeistoffen onder
normale omstandigheden een goede benadering is, dan reduceert de
continuteitsvergelijkingtot:
De grootheid -(V . G) kan analoog aan de term -(V pv) worden
opgevat als de netto instroming van volume per volume-eenheid en
per tijdseenheid, oftewel de relatieve volumeverandering per
tijdseenheid. In veel boeken op het gebied van de fysische
transportverschijnselen treft men een alternatieve vorm van de
continuteitsvergelijkingaan waarbij gebruik wordt gemaakt van het
begrip "substantile afgeleide naar de tijd" (Engels: "derivative
following the motion"). Aangezien dit begrip bovendien van belang
is bij de formulering van de microbalansen voor impuls zal het hier
aan de hand van een eenvoudig voorbeeld worden gentroduceerd.
Vervolgens zal de continuteitsvergelijking met behulp van dit
begrip opnieuw geformuleerd worden. Beschouw daartoe een rivier
waarin de concentratie van de vissen c bedraagt, waarbij c het
aantal vissen per volume-eenheid weergeeft. Aangezien de vissen
bewegen zal c een funktie van de positie, d.w.z. van de x, y en
z-cordinaat, en de tijd t zijn. We zijn nu genteresseerd in de
contratieverandering per tijdseenheid ct die geregistreerd wordt
door drie waarnemers A, B en C: waarnemer A bevindt zich in rust
aan de rivieroever, waarnemer B verplaatst zich in een roeiboot met
snelheid terwijl waarnemer C in een boot met de waterstroom
meedrijft en dus dezelfde snelheid heeft als de waterstroom.
Waarnemer A bevindt zich op een vaste positie en zal een
concentratieverandering per tijdseenheid registreren welke
overeenkomt met de partile afgeleide van c naar de tijd aclat,
dus:
.
-
De positie (x, y en z-cordinaat) van waarnemer B is een funktie
van de tijd en daardoor zal in dit geval de
geregistreerdeconcentratieverandering per tijdseenheid ct
veroorzaakt worden door enerzijds de concentratieveranderingin de
tijd t welke geregistreerd wordt op een vaste
positie en anderzijds de concentratieveranderingdie
geregistreerd wordt tengevolge van de
22 beweging van waarnemer B. Waarnemer B zal een
concentratieverandering per tijdseenheid registreren welke
overeenkomt met de totale afgeleide van c naar de tijd dcldt,
dus:
waarbij u,, uy en u, respektievelijk de x-, y- en z-component
van de snelheid u zijn waarmee de waarnemer zich in de roeiboot
verplaatst. Aangezien waarnemer C zich met de.(momentane en lokale)
watersnelheid verplaatst kunnen we in (2.9) u,, uy en u, vervangen
door respektievelijk v,, vy en vz. Waarnemer C zal een
concentratieverandering per tijdseenheid registreren welke (per
definitie) overeenkomt met de substantile afgeleide van c naar de
tijd DcPt, dus:
Voor de substantile afgeleide van de dichtheid p naar de tijd
geldt volgens vergelijking (2.10):
terwijl volgens de continuteitsvergelijking (2.5) geldt:
hetgeen met behulp van vergelijking (2.11) te schrijven is
als:
23 Voor een incompressibel medium is op grond van (2.7) de
tweede term in het linkerlid van (2.13) gelijk aan nul zodat de
continuteitsvergelijkingreduceert tot:
3.MICROBALANS VOOR IMPULSIn dit hoofdstuk zal de aandacht zich
enerzijds richten op de analyse van een aantal eenvoudige
stromingsproblemen en 'anderzijds op de afleiding van de
microbalans voor impuls oftewel de Navier-S tokes vergelijkingen.
De Navier-Stokes vergelijkingen zijn van uitermate groot belang
voor het vakgebied van zowel de theoretische als toegepaste
stromingsleer aangezien in feite alle laminairel)nfasestromingen
met deze vergelijkingen te beschrijven zijn. Deze vergelijkingen
zijn echter uitermate gecompliceerd en slechts in betrekkelijk
eenvoudige gevallen kunnen er (benaderende) analytische oplossingen
worden verkregen. De kwantitatieve analyse van complexe
stromingsverschijnselen is pas mogelijk geworden door enerzijds de
ontwikkeling van efficinte numerieke technieken en anderzijds de
beschikbaarheid van snelle computers. In dit verband kan de
ontwikkeling van het relatief "jonge" vakgebied "computational
fluid dynarnics" worden genoemd, een vakgebied dat zich
concentreert op het ontwikkelen en het toepassen van numerieke
technieken voor het oplossen van de Navier-Stokes
vergelijkingen.
3.1.EENVOUDIGE STROMINGSPROBLEMENMet eenvoudige
stromingsproblemen wordt hier bedoeld dat alle beschouwde
stromingen aan de volgende kenmerken voldoen:
- de stroming is stationair en laminair. - er treedt stroming in
slechts n richting op. - het medium gedraagt zich als een Newtons
fludum21en is incompressibel.In alle gevallen zijn we genteresseerd
in de ruimtelijke verdeling van de snelheidscomponent (in de
hoofdstromingsrichting) binnen het beschouwde systeemvolume zodat
er telkens een microbalans voor impuls (impulsbalans voor een
differentieel volume-element dV) geformuleerd dienen te worden. De
methode die daarbij in de volgende voorbeelden gehanteerd zal
worden is ongeschikt voor systemen met gekromde stroomlijnen. Bij
de analyse van deze systemen dient men van de (algemene)
Navier-Stokes vergelijkingen voor het betreffende cordinatensysteem
uit te gaan. Ten aanzienvan de snelheidsverdelingen kan nog
opgemerkt worden dat men vaak niet in de verdelingen zelf is
genteresseerd maar meer in hieruit af te leiden grootheden zoals de
1) Stromingen kunnen worden onderscheiden worden in laminaire en
turbulente stromingen. In een fludumdat laminair ("laagsgewijs")
stroomt snijden de stroomlijnen (banen van fludumdeeltjes) elkaar
niet terwijl dit in een turbulent ("met wervels") stromend fludum
voortdurend gebeurt.2) Dit betekent dat het verband tussen de
impulsstroomdichtheid of schuifspanning en de snelheidsgradint
volgens de wet van Newton wordt gegeven (Zie paragraaf 1.3).
25 maximale snelheid, de gemiddelde snelheid en de
schuifspanning op systeemwanden. Deze laatste grootheid is
ondermeer van belang voor drukvalberekeningen.
De wet van behoud van impuls kan als volgt worden geformuleerd
voor een differentieel volume-element dV:
de toename van impuls in dV per tijdseenheid = ingaande
hoeveelheid impuls per tijdseenheid uitgaande hoeveelheid impuls
per tijdseenheid + som van de krachten werkend op dV
-
Het uitwerken van deze balansformulering resulteert telkens in
een differentiaalvergelijking voor de snelheidscomponent in de
hoofdstromingsrichting. Integratie van deze vergelijking levert na
toepassing van de randvoorwaarden op de systeemwanden, de
uitdrukking voor het snelheidsprofiel. Ten aanzien van het
formuleren van deze randvoorwaarden maakt men een onderscheid naar
het type grensvlak (G=gas, L=vloeistof, S=vaste stofl)): a)
L-S-grensvlak of G-S-grensvlak: Op dit type grensvlak geldt dat de
fludumsnelheid gelijk is aan de snelheid waarmee de vaste wand
beweegt. Dit type randvoorwaarde heet de "no-slip" randvoorwaarde.
Op stilstaande vaste wanden is de fludumsnelheid dus gelijk aan
nul. b) L-G-grensvlak: Op dit type grensvlak is de
impulsstroomdichtheid (en dus de snelheidsgradint) in de vloeistof
erg klein en kan voor praktische berekeningen gelijk aan nul worden
verondersteld. Dit type randvoorwaarde heet de "free-slip"
randvoorwaarde. c) L-L-grensvlak2): Op dit type grensvlak is zowel
de impulsstroomdichtheid loodrecht op het grensvlak als de snelheid
continue, d.w.z. aan beide zijden van het grensvlak hebben deze
grootheden dezelfde waarde. Het molekulaire impulstransport
beschrijven we in termen van een impulsstroomdichtheid waarvoor we
in het vervolg, in verband met de conventie in de literatuur, het
symbool z zullen gebruiken.
l
3.1.1.STATIONAIRE STROMING TUSSEN PLATENEen incompressibel
Newtons fludum stroomt stationair onder invloed van een opgelegde
drukgradint laminair tussen twee oneindig uitgestrekte vlakke
platen (Zie Fig. 3.1). Voor de analyse van de stroming tussen de
vlakke platen wordt het assenstelsel centraal tussen de1) Onder
"vaste stof' wordt hier ook verstaan een vaste systeemwand zoals de
(binnen-) wand van een
doorstroomde leiding.2) Er wordt aangenomen dat de twee in
contact zijnde vloeistoffen onderling niet mengbaar zijn.
26 platen gekozen waarbij de positieve x-cordinaat in de
stromingsrichting van het fludum wijst. Voorts wordt een
differentieel volume-element dV bdxd als uitgangspunt genomen11
& voor het formuleren van de x-impulsbalans, waarin b de
breedte van de platen loodrecht op het xy-vlak is. In Fig. 3.1.
zijn de verschillende transporttermen van x-impuls aangegeven.
+ uitgaand molehilair
x-impuls transport ingaand convectief x-impuls transportX
td
uitgaand convectief x-impuls transport
I ingaand molekulairstromingsrichting x-impuls transport
----)
Fig. 3.1. Stroming tussen twee oneindig uitgestrekte vlakke
platen. In deze figuur zijn de verschillende transporttermen uit de
x-impuls balans aangegeven.In deze situatie treedt er convectief
transport van x-impuls in de x-richting op en molekulair transport
van x-impuls in de y-richting dus loodrecht op de
stromingsrichting. In de y-richting is er namelijk een
snelheidsgradint aanwezig21 welke de drijvende kracht voor het
molekulaire transport is. Naast de transporttermen hebben we in dit
geval ook nog te maken met de netto drukkrachten welke op het
controle-volume worden uitgeoefend: de drukkracht p.bdylx wordt op
het "linkervlak" van het controle-volume in de positieve x-richting
uitgeoefend terwijl de drukkracht p.bdylx+d, op het "rechtervlak"
van het controle-volume in de negatieve x-richting wordt
uitgeoefend. De microbalans voor x-impuls luidt als volgt:
- + rYX b d xYl - rYX bdx Y + ~ Y+ p < - p b d y z -
Y
+ he- $ a
Ihir- h.
I
y8&&%.
(3.1)\
In de stationaire situatie is er geen accumulatie van x-impuls
in het beschouwde, I controle-volume en derhalve is het linkerlid
van (3.1) gelijk aan nul.1) De afmetingen van het volume-element in
zowel de x-richting als de y-richting zijn oneindig klein
gekozen aangezien v, in principe met beide cordinaten continue
kan variren.2) Op de wanden (y&d/2) zal v, op grond van de
"no-slip"conditie de waarde nul hebben terwijl v, elders
een zekere (positieve) waarde heeft.
De eerste twee termen in het rechterlid van (3.1) representeren
respektievelijk het in- en uitgaande convectieve x-impuls
transport, de volgende twee termen geven respektievelijk het in- en
uitgaande molekulaire x-impuls transport weer, terwijl de laatste
twee termen de netto drukkracht voorstelt welke op het
controle-volumewerkt (Ga zelf na dat alle termen in (3.1) de
dimensie van een kracht hebben). De convectieve transporttermen
zijn geformuleerd als het produkt van x-impuls per volume-eenheid
pv, (N.s(m3) en een volumestroom v,bdy (m3/s). De molekulaire
transporttermen zijn geformuleerd als het produkt van een
x-impulsstroomdichtheid in de y-richting (hoeveelheid x-impuls
welke per oppervlakte- eenheid en 2 per tijdseenheid in de
y-richting getransporteerd wordt) zyx((N.s)/(m2.s) = ~ / m = Pa) en
de grootte van het oppervlak bdx waardoor het transport wordt
gerealiseerd. Met betrekking tot de tekens in (3.1) dient nog het
een en ander opgemerkt te worden. Een ingaande impulsstroom welke
in de positieve as-richting wijst is positief terwijl een ingaande
impulsstroom negatief is als deze in de negatieve as-richting
wijst. Een uitgaande impulsstroom welke in de positieve as-richting
wijst is negatief terwijl een uitgaande impulsstroom positief is
als deze in de negatieve as-richting wijst. In de onderstaande
tabel 3.1 zijn deze regels nog eens samengevat. Tabel. 3.1. Het
teken van de impulsstroom in verschillende situaties.
impulsstroom
wijzend in positieve asrichting positief
wijzend in negatieve asrichting negatief
ingaande impulsstroom uitgaande impulsstroom
negatief
positief
Vergelijking (3.1) wordt gedeeld door dV=bdxdy, en vervolgens
wordt de limiet11 dx-->O en dy-->O genomen zodat de volgende
vergelijking resulteert:
Voor een incompressibel medium is op grond van de
continuteitsvergelijkingde eerste term in het rechterlid van (3.2)
gelijk aan nul, indien bovendien wordt aangenomen dat de druk1) Als
alternatief kan men ook gebruik maken van een getrunceerde
Taylor-ontwikkeling zoals bij de
afleiding van de continuteitsvergelijking is gedaan.
28 gradint aplax onafhankelijk van y is dan volgt de volgende
eenvoudige eerste orde differentiaalvergelijking(Ga dit zelf
na!):
welke met de randvoorwaarde z ~ ~ =voor y=O gentegreerd kan
worden tot: O
waarbij tevens de (Newtonse) relatie tussen de
impulsstroomdichtheid en de snelheidsgradint is ingevuld. Merk op
dat de impulsstroomdichtheid zy, lineair met de y-cordinaat
varieert. Aangezien de drukgradint dpldx negatief is, is de
impulsstroomdichtheid voor y>O positief en voor y 1000. Zoals
gezegd is de Ergun-vergelijking geldig voor zowel het laminaire als
turbulente strorningsregime. De Ergun-vergelijking kan ook in de
onderstaande dimensieloze vorm worden herschreven welke samen met
de dimensieloze vergelijkingen van Blake-Kozeny en Burke-Plummer in
Fig. 6.8 is weergegeven:
Indien de Ergun-vergelijking wordt toegepast voor gassen dan
dient de dichtheid p gevalueerd te worden bij (po + pL)/2 waarbij
po en p~ respektievelijk de druk aan de in- en uitgang van het
gepakte bed zijn. Indien de drukval Ap = po - p~ groot is dan dient
men met de differentile vorm van (6.44) te werken waarbij de de
drukval per lengte-eenheid Ap/L vervangen wordt door (-dp/dz)
waarbij z de hoofdstromingsrichtingdoor het bed is:
Hierbij is tevens de superficile snelheid v0 uitgedrukt in de
massaflux Go en de dichtheid p.
92 Op grond van de wet van behoud van massa is Goin de
statioqaire toestand constant (en dus onafhankelijk van z), echter
de dichtheid p van het gas is (via de toestandsvergelijking) een
(bekende) funktie van de druk. Invullen van de
toestandsvergelijking in (6.48) levert dan een (niet-lineaire)
eerste orde differentiaalvergelijking welke de druk als funktie van
z beschrijft.
Fig. 6.8. Weergave van de dimensieloze vorm van de
Ergun-vergelijking (6.47). De dimensieloze vergelijkingen van
Blake-Kozeny en Burke-Plummer zijn evenals de experimentele data
ook weergegeven.
93 6.3.UITGEWERKTE VOORBEELDEN Ter illustratie van de in de
voorgaande paragrafen behandelde theorie zal in deze paragraaf een
drietal voorbeelden worden behandeld. Voorbeeld 1; Stroming door
een leidingsysteem.
Uit een reservoir A wordt door een pomp P water naar een hoger
gelegen reservoir B gepompt (Zie onderstaande figuur). De leiding
tussen A en B bestaat uit een ronde buis, waarin zich vier korte
90" bochten, een open schuifafsluiter S en een meetschijf M
bevinden. a) Bereken de drukval over de leiding tussen de punten 1
en 2. b) Welk vermogen moet de pomp leveren ? Hierbij mag de
drukval over de leiding tussen reservoir A en de pomp P
verwaarloosd worden.
Fig. 6.9. Een leidingsysteem voorzien van verschillende
appendages. Aanvullende gegevens: totale lengte van de buis tussen
de punten 1 en 2: L=200 m; inwendige buisdiameter: Di*. l m;
gemiddelde relatieve ruwheid van de buiswand: x/Di=O.OOQ;
volumestroom: @,,=0.01 m3/s; dichtheid van water: p=1000 kg/rn3;
dynamische viskositeit van water: q=0.001 kg/(m.s); hoogteverschil
tussen de punten 2 en 1: h2 - hi=10 m; verhouding tussen de
kleinste en de grootste doorsnede van de meetschijf: m=0.5
gravitatieconstante: g=10
94 Oplossing: Voor de oplossing van onderdeel a) gebruiken we
vergelijking (6.3) als uitgangspunt:
Voor turbulente stroming (hetgeen achteraf gecontroleerd dient
te worden) is het snelheidsprofiel "vlak en kan in goede benadering
worden gesteld dat:
waarbij de gemiddelde snelheid simpelweg met v wordt aangegeven.
Aangezien water (zoals alle vloeistoffen) als een incompressibel
medium opgevat mag worden geldt op grond van de wet van behoud van
massa: vl=v;! en bovendien:
Tussen "1"en "2" wordt er geen arbeid met de omgeving
uitgewisseld zodat hier a,=O. Indien we alle vereenvoudigingen in
(El-l) invullen dan krijgen we:
De term e, is opgebouwd uit de mechanische energieverliezen in
de leiding, de vier bochten, de schuifafsluiter S en de meetschijf
M:
Verliezen in de leiding: Voor deze verliezen geldt vergelijking
(6.27), met dh=Divoor ronde buizen:
Berekening van de gemiddelde snelheid v in de leiding:
zodat voor de waarde van
96 volgt:
Voor de totale verliezen geldt dan volgens vergelijking
(El-5):ew = (ew)ieidine (ew)bochten+
+
(ew)schuifafsluiter (ew)meetschijf =+
Hieruit blijkt dat de mechanische energieverliezen in de leiding
het meest belangrijk zijn. Invullen van dit resultaat in
vergelijking (El-4) levert het drukverschil tussen de punten "1" en
"2":
Voor de berekening van het vermogen dat de pomp P moet leveren
gaan we uit van vergelijking (6.3) welke we nu toepassen tussen de
punten "3"en "2". Met gebruikmaking van de resultaten van onderdeel
a) reduceert (6.3) in dit geval tot:
Hierbij stelt A, het vermogen voor dat de pomp P moet leveren.
Herschrijven van (El-l l ) en combinatie met vergelijking (El-10)
levert tenslotte:
Berekening van Re in verband met de bepaling van de
friktiecofficint f:
Een dergelijk hoge Re-waarde betekent dat we met sterk
turbulente stroming te maken hebben zodat de aanname van het
"vlakke" snelheidsprofiel gerechtvaardigd is. Met behulp van Fig.
zodat voor volgt: 6.6 volgt dan (met x/dha.004) voor de
friktiecofficint: f~O.008
Verliezen in de bochten; Voor deze verliezen geldt volgens
vergelijking (6.28):
Met behulp van Fig. 6.7 volgt: kw=0.9 zodat we (e,)bhk,
kunnen berekenen (4 bochten):
Hierbij is de maximale kW-waarde Fig. 6.7 gebruikt in de
berekening. uit Verliezen in de schuifafsluiter S: Hiervoor geldt
ook (El-7a) met kw=O.17 volgens Fig. 6.7 zodat voor
(ew)schuifafsluiter volgt:
Verliezen in de meetschiif M: Hiervoor geldt ook (El-7a)
met:
Voorbeeld 2;
97 Stroming uit een bak welke voorzien is van een leiding.
Aan een zeer brede bak hangt een lange, inwendig ruwe buis
waardoor water stroomt (Zie onderstaande figuur). Voor de
friktiecofficintvan de stroming door de buis geldt: 4f=0.0#, als
het Reynoldsgetal Re>4000. De buis heeft een lengte van 5 m en
een diameter van 0.02 m. Terwijl door de buis water stroomt, wordt
het (lage) waterniveau in de bak constant gehouden door een
geregelde toevoer.
bak met constant waterniveau
diameter van 2 cm
a) Wat wordt de stationaire uitstroomsnelheid van het water als
de instroom- en uitstroomverliezen verwaarloosd kunnen worden?
(dichtheid van water: p,=1000 kg/m3, dynamische viskositeit van
water: qw=O.OOl kg/(m.s), gravitatieconstante: g=9.8 m/s2). b) Hoe
verandert deze uitstroomsnelheid als men in plaats van water kwik
als doorstromend fluidum gebruikt ? (dichtheid van kwik: pk=13600
kg/mf, dynamische viskositeit van kwik: qk=0.002 kg/(m.s)) c) Onder
aan de buis sluit men een turbine aan die een overall mechanisch
rendement heeft van (u=0.5. Achter de turbine bevindt zich nog een
korte buis met dezelfde eigenschappen als de bovenste buis. Leid
een vergelijking af voor de stroomsnelheid van het water waarbij
het maximale vermogen wordt opgewekt.~ereken tevens de grootte van
dit vermogen. Bekijk hierbij alleen het gebied waarvoor Re >
4000. (verwaarloos wederom in- en uitstroomverliezen)-
Oplossing: Het uitgangspunt voor dit probleem is wederom de
uitgebreide wet van Bernoulli, vergelijking (6.3), waarin we de
kinetische energieterm langs dezelfde weg vereenvoudigen als in het
eerste voorbeeld:
Voor onderdeel a) passen we (E2-1) toe tussen de punten "1" en
"2"waarvoor respektievelijk het waterniveau in de bak en de
uitstroomopening aan de onderzijde van de buis worden gekozen. Er
wordt in deze situatie geen uitwendige arbeid op het stromende
water verricht in tussen de punten "1"en "2"zodat: a,=O, bovendien
staan zowel de punten "1" als "2" kontakt met de atmosfeer,
zodat:
Voor de mechanische energieverliezen is alleen de wrijving in de
vertikaal buis van belang, zodat:
met d en L respektievelijk de inwendige diameter en de lengte
van de vertikale buis en v=v2 de gemiddelde stroomsnelheid in de
buis. Tenslotte is de snelheid v1 aan het wateroppervlak in de bak
te verwaarlozen zodat (E2-1)reduceert tot:
Voor het hoogteverschil tussen de onderzijde van de buis en het
waterniveau in de bak geldt in goede benadering: h2 - hl= -L, zodat
(E2-4) te schrijven is als:
Invullen van de gegevens levert:
Controle van het Reynoldskental Re in verband met de aanname
4f=0.04:
Re=--pvd - 1000.2.98.0.02 = 59600 > 4000 0.001 ri Aangezien
aan de voorwaarde Re>4000 is voldaan, is de volgens (E2-6)
berekende snelheid correct. Deze vergelijking kan ook gebruikt
worden voor de beantwoording van onderdeel b). Volgens (E2-6) is de
snelheid v onafhankelijk van de dichtheid p en de dynamische
viskositeit r\ indien tenminste aan de voorwaarde Re>4000 blijft
voldaan. Voor de waarde van het Reynoldskental Re geldt in dit
geval: pvd Re=-= "l 13600.2.98.0.02 = 4.05, 105 > 4000 0.002
zodat we kunnen concluderen dat de snelheid ongewijzigd zal
blijven ten opzichte van onderdeel a). Voor de beantwoording van
onderdeel c) gaan we wederom van vergelijking (E2-1) uit. Hier
passen we de uitgebreide wet van Bernoulli tussen de punten "1" en
"2" toe waarvoor we respektievelijk het waterniveau in de bak en de
uitstroomopening van het "korte" stuk buis achter de turbine nemen.
We definiren P als het electrische vermogen dat de turbine levert.
Toepassen van vergelijking (E2-1) en de resultaten uit onderdeel a)
levert:
Herschrijven van (E2-9) en invullen van de uitdnikking voor het
massadebiet O,,, levert:
Uit vergelijking (E2- 10) kunnen we aflezen dat het vermogen P
een funktie is van de stroomsnelheid v in de vertikale buis. Voor
de bepaling van de snelheid v* waarbij het maximale vermogen P*
wordt geleverd dient (E2- 10) naar v gedifferentieerd en vervolgens
gelijk aan nul worden gesteld, met als resultaat (Ga dit zelf
na!):
Hieruit volgt de optimale snelheid v*=1.72 m/s en met behulp van
(E2-10) volgt voor het bijbehorende vermogen P* (Ga na dat dit
inderdaad het maximale vermogen is!):
Controle van het Reynoldskental Re in verband met de aanname
4f4.04 bij de berekening van v* volgens (E2-l l) levert:
Aangezien aan de eis is voldaan zijn de berekende resultaten
correct.
101
Voorbeeld 3; In een vat met diameter D=2.0 m (Zie onderstaande
figuur) bevindt zich water met initile hoogte ho=2.0 m. Aan de
onderzijde van het vat bevindt zich een geheel met water gevulde,
gladde ronde buis, met diameter d=0.01 m en lengte L= 6.0 m. Het
water stroomt uit het vat door de ronde buis. De bovenzijde van het
vat en de uitstroomopening van de buis staan in contact met de
atmosfeer. Voor de friktiecofficint geldt: 4*f=0.04 indien het
Reynoldskental
Bereken de tijd (in s) benodigd voor het leeg laten lopen van
het vat (Dichtheid van water p=1000 kglm3, dynamische viskositeit
van water q=0.001 kg/(m.s)).
ODlossincr;Dit probleem lijkt veel op het vorige probleem, er is
echter n belangrijk verschil: Het onderhavige probleem is namelijk
een instationair probleem. Tengevolge van het uitstromen van het
water neemt de waterhoogte in het vat (welke we zullen aanduiden
met z) af met toenemende tijd t. Aangezien de "waterkolom" welke
zich boven de buis bevindt de drijvende kracht voor de uitstroming
is, zal de uitstroomsnelheid ook -afnemenmet toenemende tijd t. Het
startpunt voor de berekening is een instationaire massabalans voor
het vat:
waarbij M de massa water is die zich op ieder tijdstip in het
vat bevindt, V het corresponen derende volume en mmsin @mpit
respektievelijk het in- en uitgaande massadebiet. De dicht-
102 heid p is constant en (E3-1) reduceert feitelijk tot een
volumebalans welke te schrijven is als:
waarbij z de vloeistofhoogte in het vat is (gemeten vanaf de
bodem van het vat), en v de gemiddelde watersnelheid in de
vertikale buis. Vergelijking (E3-2) is te vereenvoudigen tot:
De uitstroomsnelheid v is afhankelijk van z en we zullen
derhalve v in z moeten uitdrukken hetgeen mogelijk is met behulp
van de uitgebreide wet van Bernoulli. We passen deze wet toe tussen
" 1" en "2" waarvoor we respektievelijk het waterniveau in de bak
en de uitstroomopening aan de onderzijde van de vertikale buis
nemen:
De snelheid v2 komt overeen met v terwijl v1 gelijk is aan
dzldt. Uit (E3-3) volgt met (d/D)l dat v1 te verwaarlozen is ten
opzichte van v2(=v). Bovendien geldt (h2 - hl) = -(z+L). De
mechanische energieverliezen worden gedomineerd door de wrijving in
de vertikale buis zodat voor e, geldt:
Invullen van al deze resultaten in (E3-4) levert:
Uit (E3-6) volgt de uitdrukking voor de uitstroomsnelheid v:
Indien het Reynoldskental Re tijdens de uitstroming groter dan
5000 blijft dan geldt 4f=0.04. De kleinste Re-waarde wordt bereikt
voor z=0. Voor z=0 volgt uit (E3-7) voor de waarde van de snelheid
v:
De waarde van het bijbehorende Reynoldskental Re bedraagt:
zodat er altijd aan de eis Re>5000 wordt voldaan tijdens de
uitstroming. Invullen van de uitdrukking @3-7) voor de
uitstroomsnelheid v in de gereduceerde massabalans @3-3) levert de
onderstaande differentiaalvergelijking:
Na separatie van (E3-10) en integratie met de beginvoorwaarde
z=ho voor t=O resulteert de onderstaande vergelijking voor z als
funktie van t (Ga dit zelf na!):
Invullen van z=0 levert dan de uitdrukking voor de gevraagde
tijd t:
Indien alle gegevens worden ingevuld dan volgt de waarde van de
gevraagde tijd t:
