IHAC UFBa AM Aula10 EquacaoSegundoTerceiroGrauFinal

Universidade Federal da Bahia

INSTITUTO DE HUMANIDADES, ARTES & CINCIAS MILTON

SANTOS

[email protected]

Marcio Luis Ferreira Nascimento

HACA82: Arte & Matemtica: Aula 10 Equaes do

Segundo e Terceiro Graus


Tpicos da Apresentao

Equao do 2o Grau Contribuio dos Egpcios / Babilnios Bhaskara II (Bhaskaracharya)

Aplicao de um problema Al-Kharismi (ou Abu Ja'far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi)

Interpretao com o uso de lenos e oraes Um problema clssico de equao do 2 grau Importncia dos coeficientes Artigos de Luiz Barco

Equao do 3 Grau Niccolo Tartaglia A Grande Arte de Girolamo Cardano Ilustrao de soluo de um tipo particular de equao de 3

grau Artigo de Luiz Barco

Lista de exerccios! Um tesouro escondido por sculos...


Equao do Segundo Grau Contribuies

Povos Antigos


Contribuio Egpcia1

Detalhe papiro Livro dos Mortos (c. 1550 a. C.)

Os problemas chamados de quadrado (envolvendo a equao do segundo grau) compreendiam por exemplo inventrios: heranas de terra e metais preciosos

Detalhe Livro de Exerccios Babilnio (c. 1700 a. C.) Museu Britnico


Contribuio Egpcia2

Cpia papiro Livro dos Mortos de Hunefer (c. 1300 a. C.)

O Escriba: Museu do Louvre


Contribuio Babilnios


Equao do Segundo Grau Equao de

Bhaskara


Aplicao1

Considere o seguinte problema inscrito num tablete de barro babilnico: um campo retangular com rea de 60 unidades tem um lado 7 unidades maior do que o outro. Qual o tamanho dos lados deste campo?

x(x + 7) = 60 x2+ 7x = 60

x + 7

60 x

Tablete cuneiforme babilnio Plimpton 322 (1900 1700 a.C.)

x = 5 ou x = 12

verso reverso


O quadrado da oitava parte de um bando de macacos saltitavam em um bosque, enquanto os doze restantes tagarelavam no alto de um outeiro. Oh, meu querido e inteligente pai: quantos macacos constituram o bando?

Lilavati (Bonita, Bela)

1114 - 1185 Bhaskara II (Bhaskaracharya)


Bhaskara II Outra pgina do Lilavati

A raiz quadrada da metade do nmero de abelhas de um apirio voou para uma florada de jasmim, 8/9 de todo o enxame permaneceu atrs. Uma das fmeas voou em volta do zango que zumbindo pousou no centro de uma flor-de-ltus, seduzido na noite pelo suave aroma desta planta. Entorpecido pelo perfume, o macho foi aprisionado pela flor. Diga-me o nmero de abelhas


Equao do Segundo Grau: Al-Kharismi


Mtodo Al-Kharismi

x

x

x2

5

5

x+5

5x

5x

39

x + 5 = 8 Al-Kharismi

Al-Kitb al-mukhtaar f isb al-jabr wa-l-muqbala (rabe:

Equao 2o Grau (circa 830)

x2 + 10x = 39

x2 + 5x + 5x = 39

x2 + 5x + 5x + 25 = 39 + 25

x2 + 25x + 55 = 64 = 88


livro no site do curso: www.moodle.ufba.br Al-Kharismi (outra concepo artstica)

Oxford University


RPM 43 (2000)

43

Disc. Scientia: Cin. Nat. Tec. 6 (2005) 79


Outra Maneira de Completar o Quadrado

Certa quantidade de vasos dgua pela mesma certa quantidade mais dez vezes esta mesma certa quantidade igual a 39 vasos de gua. Qual deve ser esta certa quantidade de vasos de gua?

x

x x2

Passo 1

5x/2

x2

5x/2

5x 2

5x 2

Passo 2

39

25/4 25/4

25/4 25/4

Passo 3

Universidade Federal da Bahia Equao 2o Grau

02 =++ cbxax

2

222

+=

+

+

ab

ac

abx

abx

02 =++acx

abx

acx

abx =+2

222

22

+=

++

ab

ac

abx

abx

22

22

+=

+

ab

ac

abx

2

2

2

2

22

+=

+

ab

ac

abx

2

22

+=+

ab

ac

abx

2

2

2 444

2 ab

aac

abx ++=

aacb

abx

24

2

2 =

x

x

x2

abx2

+

ab2

abx2

abx2

2

2

ab

ab

2

Parte de um maniscrito rabe citando Scrates (Soqrt) e seus pupilos

Universidade Federal da Bahia x

x

x2

4

4

x+4

4x

4x

65

Aplicao2

Resolver a seguinte equao:

x2 + 8x = 65


Aplicao3: Pontes e Viadutos

Embora os modernos arcos de pontes seja construdos seguindo uma curva particular denominada catenria, algumas pontes foram elaboradas seguindo simples formas parablicas:

Viaduto Langwies, Graubnden (Canto dos Grises), Sua (1912) 9

222xy =

Ponte das Cataratas Victoria, fronteira entre Zambia e Zimbabwe, frica (1905)

12021116 2xy =

Construo da Ponte das Cataratas Victoria (1905)


Equao do Segundo Grau: Um Problema

Clssico


Um Problema Clssico1

As equaes do segundo grau so a chave para a soluo de um problema clssico da matemtica: encontrar dois nmeros, x e y, conhecendo-se sua soma S e seu produto P.

x + y = S xy = P

y = S x xy = P

ou

Logo, x(S x) = P ou x2 Sx + P = 0, e portanto:

24

2

2 PSSx =2

42

2 PSSxSy ==

Um minuto, Professora! Ontem voc disse que x valia 2

ou


i) Equaes acima do 1 grau podem ter mais de uma soluo (e elas podem ser iguais...);

Um Problema Clssico2

Pelo menos duas constataes importantes decorrem da frmula de Al-Kharismi / Bhaskara:

ii) Em alguns casos, a aplicao da frmula conduz a um resultado misterioso: a raiz quadrada de um numero negativo:

aacb

abx

24

2

2 =0

2 =++ cbxax

1=x012 =+x Por exemplo: ou seja

Pensei ter a resposta para o sentido da vida, mas tudo foi cancelado


Importante notar que1: Dada uma equao do 2 grau:

b b2 4ac 2a

= x1,2 a

c b

ax2 + bx + c = 0 Com coeficientes a, b e c a soluo se d

por:

Envolvendo duas razes, x1 e x2, de tal forma que:

(x x1)(x x2) = 0

x 1 +

x2 =

S

x 1x

2 = P

Le

mbr

ando

aind

a que

:

e

Bhaskaracharya


Importante notar que2: Sendo as duas razes, x1 e x2, solues:

(x x1)(x x2) = 0 Desenvolvendo o produto acima:

x2 (x1 + x2)x + x1x2 = 0 Comparando com: ax2 + bx + c = 0 Ou mais precisamente: b a x

2 + x + = 0 c a Percebe-se claramente que:

b a x1+x2 = = S x1x2 = = P

c a

x 1 +

x2 =

S

x 1x

2 = P

Le

mbr

ando

aind

a que

:

e


Para Casa

Notar que a equao de Baskhara (ou de Al-Kharismi) pode ser re-escrita como:

x1+ x2 x1+ x2 2 4x1x2 2

= x 1


Para Casa: Lista de Exerccios Construir o grfico da funo y = x .

x y 2 4 1 1 0 0 1 1 2 4 3 9

2 4 2 1 3 3 0 1

2

4

6

8

1) Para auxiliar, construa uma tabela de valores de x e y.

2) Com dados de x e y, distribua os pares de pontos nas coordenadas carte-sianas. Perceba que, quanto mais pontos, melhor fica a definio do grfico

Construir o grfico da funo y = x + 5x + 6. Determine as razes (ou zeros) da equao de Al-Kharismi: x + 5x + 6 = 0.


Super 32 (1990) 39 Super 43 (1991) 47


Resoluo de um Tipo Particular de Equao

do Terceiro Grau: Disputa Entre um

Matemtico Gago e um Mdico


Nic

col

Fon

tana

T

arta

glia

(1

499-

1557

)

Novos Problemas e Invenes (1546)

Juro a voc pelo Sagrado Evangelho e por meu credo de cavalheiro, no apenas nunca publicar suas descobertas, se me forem reveladas por voc, mas tambm prometo e penhoro minha f como cristo verdadeiro de colocar em escritas cifradas para que, depois de minha morte, ningum seja capaz de as compreender 25 de maro de 1539 Juramento de Cardano, de acordo com Tartaglia neste livro

Universidade Federal da Bahia Girolamo Cardano (1501-1576)

A G

rand

e Arte

As

Reg

ras d

a lg

ebra

(15

45)

Arit

mt

ica P

ratic

a (1

539)


A Grande Arte1

Pois eu tinha sido iludido pelas palavras de Luca Pacioli, que negou que qualquer regra mais geral que a sua pudesse ser descoberta. Em que pesem as muitas coisas que j descobri, como bem sabido, eu tenha me desesperado e no tinha tentado estudar em maior profundidade. Depois, porem, tendo recebido a soluo de Tartaglia e procurando pela demonstrao dela, vim a compreender que havia muitssimas outras coisas que ainda poderiam ser conseguidas. Seguindo este pensamento e mais confiante, descobri estas outras, em parte sozinho e em parte atravs de Ludovico Ferrari, meu ex-aluno.

Em nosso prprio tempo, Scipione dal Ferro de Bolonha resolveu o caso do cubo e da primeira potencia igual a uma constante, uma proeza bem elegante e admirvel. J que esta arte ultrapassa toda a astucia humana e a lucidez do talento mortal, e j que um talento verdadeiramente celestial e um teste bem claro da capacidade das mentes dos homens, quem quer que se dedique a esta arte acreditar que no existe nada que no seja capaz de entender. Em emulao a ele, meu amigo Niccol Tartaglia de Brscia, no querendo ser superado, resolveu o mesmo caso quando entrou em uma competio com seu [de Scipione] pupilo, Antonio Maria Fiore, e, comovido pelas minhas muitas suplicas, deu-a a mim.


A Grande Arte2

Scipione Ferro de Bolonha, quase trinta anos atrs, descobriu esta regra e a entregou a Antonio Marie Fiore de Veneza, cuja competio com Niccol Tartaglia de Brscia deu a Niccol a oportunidade de descobri-la. Ele [Tartaglia] a deu a mim em resposta as minhas splicas, embora recusando mostrar a demonstrao. Armado com esta ajuda, procurei sua demonstrao de [vrias] formas. Isto foi bem difcil. Segue a minha verso dela.

Universidade Federal da Bahia Equao 3o Grau (circa 1510)

Considere x = y + m.

023 =+++ dcxbxax

( ) ( ) ( ) 023 =++++++ dmycmybmya

( ) ( ) ( ) 0233 223223 =+++++++++ dmycmymybmymmyya( ) ( ) ( ) 0233 23223 =+++++++++ dcmbmamcbmamyambyay

ou:

Fazendo b + 3am = 0 , tem-se: m = b/3a .

03 =++ qpyy

03333

23

33

3232

23 =

+

+

+

+

+

+ d

abc

abba

abc

abb

abay

ababyay

Obtm-se nova equao em y:

Niccol Fontana Tartaglia (1499-1557)


A nova equao do 3 grau pode ser resolvida em y, e desta forma possvel encontrar x = y + m.

Equao 3o Grau (Tartaglia)1 03 =++ qpyy

Tal estratgia, elaborada por Tartaglia, representa uma resposta geral e no apenas particular, ao problema de resoluo da equao de 3 grau.

No entanto, falta encontrar uma expresso em y. A descoberta de Tartaglia passou pela suposio que a tal soluo seria composta de duas parcelas. Assim:

y = A + B

Desta forma: y3 = (A + B)3 = A3 + 3AB(A + B) + B3

A rig

or, a

solu

o

de Ta

rtagl

ia b

em m

ais g

eral

que e

sta a

pres

enta

da

cubos e incgnitas (ou primeira potncia) iguais a nmeros


y = A + B como: y3 = A3 + B3 + 3AB(A + B)

y3 = A3 + B3 + 3ABy

ou: y3 3ABy (A3 + B3) = 0

lembrando ainda : y3 + py + q = 0

portanto: p = 3AB e q = (A3 + B3)

ou ainda: A3B3 = p3/27 e A3 + B3 = q

Assim, A3 e B3 so dois nmeros dos quais conhece-se a soma e o produto, problema conhecido desde o sculo VIII e revisto recentemente (Equao do 2 Grau)...

Equao 3o Grau (Tartaglia)2

Niccol Fontana Tartaglia


Equao 3o Grau (Tartaglia)3

323

322

+

=

pqqA32

3

322

+

=

pqqB

03 =++ qpyy

y = A + B Lembrando que:

3

32

3

32

322322

+

+

+

+=

pqqpqqy

Frmula de Cardano (Tartaglia) que resolve apenas um tipo particular de equao do terceiro grau

Girolamo (ou Gerolamo ou Gernimo) Cardano (1501-1576)


Super 28 (1990) 53

Mark Kac (1914-1984), matemtico polons-americano)


Aplicao em Sala Resolver a seguinte equao pelo mtodo de

Tartaglia / Cardano: x3 6x 9 = 0 p = 6 q = 9 Sendo: e

Aplicando a frmula:

3

32

3

32

36

29

29

36

29

29

+

+

+

+=x

33

449

29

449

29

++=x 332

792

79 +

+=

31218 33 =+=+=x

Universidade Federal da Bahia Mais uma Lista de Exerccios!


Importante notar que: Dada uma equao do 3 grau:

= f(a,b,c,d) x1,2,3

ax3 + bx2 + cx + d = 0 Com coeficientes a, b , c e d a soluo se

d por:

Envolvendo trs razes, x1, x2 e x3, de tal forma que:

(x x1)(x x2)(x x3) = 0

d

a c b

NOTA: Embora valida, a soluo de Tartaglia / Cardano resulta em apenas uma das trs solues (ou razes) esperadas... Voc consegue descobrir por que?


Um Tesouro Escondido1... A aplicao da expresso de Tartaglia (percebida

por Cardano) pode resolver a simples equao: x3 15x 4 = 0

No entanto, espera-se trs solues (ou razes) para tal equao, uma delas bastante bvia corresponde a x = 4 (verifique).

33 12121212 ++=x Que certamente uma soluo, mas com

significado (na poca da descoberta esta sim por Cardano) difcil de compreender a princpio: pois envolvem nmeros complexos!

Girolamo Cardano

Capitulo 37 de A Grande Arte (1545)


Mesmo considerando apenas equaes de segundo grau, tal tesouro pode ser vislumbrado.

Para Casa: Um Tesouro Escondido2...

De acordo com Cardano em seu livro, ao se procurar dividir 10 em duas partes tais que o produto final de ambas 40, quais seriam estes valores?

x + y = 10 xy = 40

Encontro tais nmeros x e y, verifique que sua soma resulta 10 e que o produto resulta 40.


Referncias

The Algebra of Mohammed Ben Musa Frederic Rosen

Latin Translation of the Algebra of Al-Khowarizmi Robert of Chesters

Uma Historia da Matemtica Florian Cajori A Source Book in Mathematics David E. Smith History of Mathematics: from Mesopotamy to

Modernity Luke Hodgkin History of Mathematics: An Introduction David

M. Burton A Grande Arte Girolamo Cardano (1545)

Slide Number 1Tpicos da ApresentaoSlide Number 3Contribuio Egpcia1Contribuio Egpcia2Contribuio BabilniosSlide Number 7Aplicao1Bhaskara IIBhaskara IISlide Number 11Equao 2o Grau (circa 830)Slide Number 13Slide Number 14Outra Maneira de Completar o QuadradoEquao 2o GrauAplicao2Aplicao3: Pontes e ViadutosSlide Number 19Um Problema Clssico1Um Problema Clssico2Importante notar que1:Importante notar que2:Para CasaPara Casa: Lista de Exerccios Slide Number 26Slide Number 27Niccol Fontana Tartaglia (1499-1557)Girolamo Cardano (1501-1576)A Grande Arte1A Grande Arte2Equao 3o Grau (circa 1510)Slide Number 33Slide Number 34Slide Number 35Slide Number 36Aplicao em SalaMais uma Lista de Exerccios!Importante notar que:Um Tesouro Escondido1...Slide Number 41Referncias

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