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II -3 Les poutres [email protected] version 12 octobre 2010 II - 3 - 2 Les poutres Aperçu Définition d’une poutre • Aspects géométriques Forces internes + conventions de signe = sollicitations Principaux cas de sollicitation – [Frey, 1990, Vol. 1, Chap. 8-9] – [Massonet, 1992, Chap. 5]

II 03 Poutres

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Page 1: II 03 Poutres

II - 3

Les poutres

[email protected] 12 octobre 2010

II - 3 - 2Les poutres

Aperçu

� Définition d’une poutre• Aspects géométriques

� Forces internes + conventions de signe = sollicitations

� Principaux cas de sollicitation– [Frey, 1990, Vol. 1, Chap. 8-9]

– [Massonet, 1992, Chap. 5]

Page 2: II 03 Poutres

II - 3 - 3Les poutres

La poutre : géométrie

C

d’après [Frey, 1990, Vol. 1]

II - 3 - 4Les poutres

La poutre : géométrie

� engendré par une figure plane A de sorte que– le centre C parcoure une ligne donnée (axe ou

fibre moyenne)

– A reste constamment normal à cette ligne

– les dimensions de A restent petites devant la longueur

� la section A varie de manière lente et progressive

� si l’axe est droit, la poutre est dite prismatique

Page 3: II 03 Poutres

II - 3 - 5Les poutres

Forces internes - sollicitations 3D

fibre moyenne

coupe de

section A

y

z

x

choix du système d’axes

x

z

y

autre choix (Frey, Eurocodes)

effort normal N

efforts tranchants Ty

Tz

II - 3 - 6Les poutres

Forces internes - sollicitations 3D

fibre moyenne

coupe de

section A

Mx

moment

de torsion

Mz

Mymoments

de flexion

Page 4: II 03 Poutres

II - 3 - 7Les poutres

Forces internes - sollicitations 2D

fibre moyenne

coupe de

section A

effort normal

N

effort tranchantTy

Mz

moment fléchissant

II - 3 - 8Les poutres

Conventions de signe N

� traction N > 0

� compression N < 0

Page 5: II 03 Poutres

II - 3 - 9Les poutres

Conventions de signe M

� M > 0 si les fibres tendues sont vers le bas

II - 3 - 10Les poutres

Conventions de signe T

� T > 0 lorsque la partie droite descend

Page 6: II 03 Poutres

II - 3 - 11Les poutres

Commentaire

� les conventions de signe de M, N, T sont celles le plus couramment adoptées

� le choix du système d’axes fait couler beaucoup d’encre …

• pas seulement dans les avis pédagogiques

• il existe plusieurs conventions valables

• choix du système usuel à l’ULB

• différent de celui de F. Frey (et des Eurocodes)

� cette convention n’est pas cruciale• l’important réside dans la compréhension du

comportement structural

II - 3 - 12Les poutres

Les sollicitations 2D

� Effort normal

� Effort tranchant

� Moment fléchissant

∫=A

xyy dAT τ

∫=A

xdAN σ

∫=A

xz ydAM σ

Page 7: II 03 Poutres

II - 3 - 13Les poutres

Les sollicitations 3D

� Effort normal

� Efforts tranchants

� Moments fléchissants

� Moment de torsion

∫=A

xyy dAT τ

∫=A

xdAN σ

∫=A

xzz dAT τ

∫=A

xz ydAM σ ∫=A

xy zdAM σ

( )∫ −=A

xyxzx dAzyM ττ

II - 3 - 14Les poutres

Relation M-Téquilibre de translation vertical

( )

)x(qdx

dT

0dTTdxxqT

−=

=+++−

q

équilibre de rotation (point C)

( )

Tdx

dM

0dMM2

dxdxxqTdxM

=

=−−−+

Page 8: II 03 Poutres

II - 3 - 15Les poutres

Détermination des diagrammes M-N-T

� règles élémentaires

– charge axiale nulle ⇔ N constant

– charge axiale uniforme ⇔ N varie linéairement

– charge transversale nulle ⇔ T cst, M linéaire

– charge transversale uniforme

⇔ T linéaire, M quadratique

– T = 0 ⇔ M est extrémal

II - 3 - 16Les poutres

Détermination des diagrammes M-N-T

� construction rapide avec un minimum de

calculs

� calculer les réactions de liaisons

� esquisser les diagrammes

– en tenant compte des règles

� déterminer les valeurs

Page 9: II 03 Poutres

II - 3 - 17Les poutres

Exemple 1 : poutre bi-appuyée

LaQBy =

LbQAy =

0=xA

d’après [Frey, 1990, Vol. 1]

+

1) déterminer les réactions

(par équations d’équilibre)

2) déterminer le diagramme T

(suivre les forces par la droite,

valeurs par équilibre à gauche ou

à droite)

3) déterminer le diagramme M

(suivre les règles + déformée

+ équilibre)

+

-T

II - 3 - 18Les poutres

Exemple 2 : Cantilever

1) déterminer les réactions

2) déterminer le diagramme T

3) déterminer le diagramme M

qLAy =

2

2L

qM A =

-

+T

d’après [Frey, 1990, Vol. 1]

Page 10: II 03 Poutres

II - 3 - 19Les poutres

Exemple 3 : potence

����- +

+T T = 0

d’après [Frey, 1990, Vol. 1]

II - 3 - 20Les poutres

Déformée des poutres planes due à M

� déformée ou ligne élastique

� quelques règles simples

– point d’inflexion ⇒ M = 0

– les angles sont conservés aux nœuds rigides

– respecter les conditions cinématiques

– la portée d’une poutre ne varie pas

Page 11: II 03 Poutres

II - 3 - 21Les poutres

Exemple 4 : tenir compte de la déformée

-

++

d’après [Frey, 1990, Vol. 1]

II - 3 - 22Les poutres

Exemple 5 : le portique

extrait de [Frey, 1990, Vol. 1]

Page 12: II 03 Poutres

II - 3 - 23Les poutres

Cas de sollicitations :

� Traction (compression) pure : N

F F

II - 3 - 24Les poutres

Cas de sollicitations :

� Flexion pure : Mz

Page 13: II 03 Poutres

II - 3 - 25Les poutres

Cas de sollicitations :

� Flexion simple (effet du cisaillement) : Mz + Ty

Tdx

dM=

II - 3 - 26Les poutres

Cas de sollicitations :

� Flexion composée : N + Mz

Page 14: II 03 Poutres

II - 3 - 27Les poutres

Cas de sollicitations :

� Flexion oblique (gauche) : Mz + My

[Frey, 2000, Vol. 2]

II - 3 - 28Les poutres

Cas de sollicitations :

� Torsion : Mx

Page 15: II 03 Poutres

II - 3 - 29Les poutres

Cas de sollicitations : résumé

torsion

composéeflexion

obliqueflexion

simpleflexion

pureflexion

simpletraction

nomMMMTTN zyxzy

000000

000000

000000

000000

000000

000000

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