124
19 «Ἀριθμῷ δὲ τὲ πάντ’ ἐπέοικεν» Ἀριστοτέλης 1. , , . 1 «» , 2 - . ’ 1 . . Neugebauer, Vorlesungen über die Geschichte der antiken Mathematik Bd. I. Vorgrie- chische Mathematik. Berlin. Springer 1934. . O. Neugebauer and A. Sachs, Mathe- matical. Cuneiform Texts. New Haven. American Oriental Society 1945, E. Bruins and M. Rutten, Textes mathématiques de Suze. Paris. Paul Geuthner 1961. - . B. L. van der Waerden, Geometry and Algebra in Ancient Civilizations. New York Springer 1983 J. Høyrup Lenghts, Widths, Surfaces. A Portrait of Old Babylonian Algebra and its Kin. New York. Springer 2002. 2 . K. Menninger, Zahlwort und Ziffer: Eine Kulturgeschichte der Zahlen. 1958. . P. Broneer, Num- ber Words and Number Symbols. A Cultural history of numbers. New York Dover. 1992. ...

II 19 - sch.grdide.ker.sch.gr/emekerkyra/articles/Pythagoras - Dedekind.pdf · Taylor, The Theoretic Arithmetic of the Pythagoreans. London 1816 (repr. Los Angeles 1934)

Embed Size (px)

Citation preview

II

� ������ � ���� �� �� ������� ��� � ������ � ��� ����� ������

��� � 19� ����

«Ἀριθμῷ δὲ τὲ πάντ’ ἐπέοικεν»

Ἀριστοτέλης

1. � ��������

� ���� � ���� �������� ���������, ���� �� ���� ����� ������,

� � ����� ��� ��������� ������. �� �� � � ��������� �����1

��� ��!�� �� �������"� «����» �������"� ����"�,2 ��"� �� � -

�!�� �� ���� � ��� � � ���� ����! �������������� ����� �� �!��

�������� �����. #’ �� ������ ���� � �� �� � � �� ������ �������

���� ���� ���� ����� �������� �� ��� �� �� �� ������ ��"� � ���

1 $�. %. Neugebauer, Vorlesungen über die Geschichte der antiken Mathematik Bd. I. Vorgrie-chische Mathematik. Berlin. Springer 1934. $�. ��� � O. Neugebauer and A. Sachs, Mathe-matical. Cuneiform Texts. New Haven. American Oriental Society 1945, �� E. Bruins and M. Rutten, Textes mathématiques de Suze. Paris. Paul Geuthner 1961. &� ������������ �������-����� ��. B. L. van der Waerden, Geometry and Algebra in Ancient Civilizations. New York Springer 1983 ��"� �� J. Høyrup Lenghts, Widths, Surfaces. A Portrait of Old Babylonian Algebra and its Kin. New York. Springer 2002.2 &� ������������ ������������ ��. �� ����� ��� K. Menninger, Zahlwort und Ziffer: Eine Kulturgeschichte der Zahlen. 1958. $�. ��� � � � ������ ���!��� ��� P. Broneer, Num-ber Words and Number Symbols. A Cultural history of numbers. New York Dover. 1992.

02 arx kat FILH.indd 15502 arx kat FILH.indd 155 30/1/2010 2:13:29 ��30/1/2010 2:13:29 ��

�������� ��� .�.�.

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���156

������, ��" � � 3 ��� ��� ������� ��� �! �� ���� � � ��� �� -

����������� ���� �� ������� �������� �!���� �� � ��� �� � �����-

� � � ���� ����� �� � ������!��� ������� .

'�� ���� (�����4 ����� ���� ��"���� )���� ����������5 ����-

� � ��� ������� ������ �� ���� �������� ���������� ���� �� ����

������� ��� ������ �� ��� ����������� �������6. *� ��� ��" � �����-

�� � ��� �+, ����!������ �� �������� �������� � � ���������

��� ���� �� ������� �� ������, � ��� ��� � ������ ������ ��

��� ����� ������� � � ��"� �7,8. %� ����������� �� �������������9 ���-

������ ��� �����!����� �� ��"�� ��� ���! #� ����! ���������

��� ���� ������ ��������� ���� �� � ����� ��� ����� ������.

3 /����! ��"� � ��� ��� ��������� �������� !��� �� �� ������� ���� � ��-� � �.4 &� ������������ ������������ ��. �� ����� � � ������ ���������� ��� �������-�"� #� ����"� El. Robson, Mesopotamian Mathematics 2100-1600 B.C. Technical Con-stants in Bureaucracy and Education. Oxford. Oxford University 1998 �� «Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a reassessment of Plimpton 322». Hist. Math. 28 2001 pp. 167-206.5 P. Tannery, Pour l’ Histoire de la Science Hellène. Paris 1887. Ch. IV. §3 p. 84. 6 $�. (. /� , *��������� ����� �� #� ����! ��������. '���. 1987. ;��. <�� . ��. 223-247.7 L. Brunschvicg, Les étapes de la philosophie mathématique. 2e éd. Paris. Blanchard 1972 p. 33.8 $�. �� F. Barry, The Scientific Habit of Thought. New York 1927 p. 207 et passim.9 F. M. Conford, Mysticism and Science in the Pythagorian tradition. Classical Quarterly 1922 pp. 137-150 �� 1923 pp. 1-12. $�. ��� � G. Urton, The Social Life of Numbers. A Quechua Ontology of Numbers and Philosophy of Arithmetic. Austin Textas. University of Texas Prers 1997 �� M. Ascher, Mathematics Elswhere. An Exploration of Ideas across cultures. Princeton N. J. Princeton University Press 2002.

02 arx kat FILH.indd 15602 arx kat FILH.indd 156 30/1/2010 2:13:30 ��30/1/2010 2:13:30 ��

2

II. ������ � ������� �� ������� ... 157

2. %� =���������

��� � ��� ������ ��� ������ (98-117) ���� ����������� � �������

<� � ����� ��� ����� ������ �����>� �� =��������� �� ����-

������ ���� ���� �. «/����� �? �@ �Q��� �X� Z����X� ���+����

Z��?� �[�� �@ \� ]� � ��^� �_�� �@ \� �!� �� �@ `>���»10.

� ��������11 ��� =�������� ��� ��������! �� «���� �� �-

�"�», ��"� ��"� �� ������ ��� ������� !�� �� ������������ ���>�

����.12 «*@ �!�� � �j� �j ����������� Z����X� q�����z �{ �j� �[�� ��

�{�|� �}�� �� �~��� �}�� �����~��� ���� ������»13.

;�" ������ � ������14 ��� ����� ����� �>�������� �� !���� �� �� ��-

���,15 ��� �� � � ��� �����, «�>��"����» �� � ��!��� «�� �’ Z��-

10 '�����������, ���! � "� ��#. '. 5. 986 15.11 «�X� �j� ���� �{��X� ������!+����� �> Z������». idem. 1080 � 16.12 '������ � � ������� ��������� �� ��������, � �����!���� Nicolas de Cusa (1401-1464) � ����������� �� ��������� ���������� ���� �. % Cusa ��� ����� � ����� ��� , �� �� ������, ��!� �� �� ��������� ����� �� ����� � ��� �� ��� ��� ���������. � �� ����� ������ � � ��� � ������ � � ��� ���� �� � � � �� �������. &� ������������ ������������ ��. H. Loeb, Die Bedeutung der Mathematik für die Erkenntnislehre des Nikolaus von Kues. Berlin. Ebering 1907. $�. �� (�. /� , ��"� � ��� ������ ���� Nicolaus Cusanus. "�$� ��� A�� � '� �"� 2008, ��. 180-18713 '������ ��� /����!��, ��� �� ������� � <�����. H. Diels, Die Fragmente der Vor-sokratiker 1ste Band 2e Aufl. Berlin.1906. p. 240. &�������� �� ��� /����� ��. C. A. Huff-man, Philolaos of Croton. Pythagorean and Presocratic Cambridge 1993.14 $�. L.B. van der Waerden, Die Arithmetik der Pythagoreer. Math. Ann. Bd. 120 1947 pp. 249-254 ��"� Die Pythagoreer Zürich 1979. B�. ��� � H. Boehme, Mathematik der Pythago-reer ��� Wanderschaft in der Mathematik #. �yksová, U. Reich (hrsg.) Dr. E. Rauner Verlag. Augsburg 2006, pp. 41-53.15 '�����������, ���# � "� ��# '5, 986 22-36. � ��!���� ��� ������ �� ������� �� !���� «!����� �’ �� �� ������� �������, �� ������� � � ����� �� �� � � �������� -

02 arx kat FILH.indd 15702 arx kat FILH.indd 157 30/1/2010 2:13:30 ��30/1/2010 2:13:30 ��

3

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���158

���@ �[�� ��@� {�j �j ��!���»16. *�"� ������ �� =��������� ���-

���!���� ���� ������� �� ��!���, � ������ ��� �’ ��� �� �����

� ������������� �� ���� �� ������� �������, ����!������ �������,

����� ������ �������, ������������ ������� �.!.

#� ��� �� �������� �� =��������� �� ��+��� �� «���������� ���-

� ����» ��������"��� � � ����� ��� ������ �’ �� ����� ��� �� ����.

«% ������ ������!+���... �� !������ �� ������ ����� � ���� ���

�"��, ��" � ����� –������, ����!����� � �����– � ��� ��!�����

�� ��! � � �� ������ �� �����»17. %� ����� �� ���� =����-

������ «��� ��� «��������!» �����, ��! �������� � � ������� ������-

�� � ��»18,19.

)��� �� �� ��� ���� ��� "� �� ��� =��������� � �������

���� ������� �� � ��!��� � ��� �������� «��!��� »20 � � ���-

����� ���������� �� � ����� ��������� ����"�.21 % =������ �� �

�� ��� ��� ��� ����� �� �� � � �� � � ����� ��� ������». P. H. Michel, De Pythagore à Euclide. Paris. Les Belles Lettres. 1950 ���. 683-684. *�"� �� �� =��������� ��� � ����� ����� �� �� «������» �������� +���"� ����-!�����, !����-������� ('����� ��� �, ���# � "� ��# '. 986 24) ��� � �������� ������ � �������� �� �� ��������� +�� ��� (���� – !������), ��"� � �������� ������ ��������+�� �� �����-����� ���� ��!����� ��" �� ��� � !����� ��������+�� �� !�����.16 '�����������, ���# � "� ��# 987 � 29.17 L. Brunschvicg, op. cit. p. 35.18 Idem.19 =�. � � ������ ���� � � ��������. &� ������������ ������������. $�. J. A. Philip, Pytha goras and Early Pythagorism. Univ. of Toronto Press. 1966. $�. ��� � C. Riedweg, Pythagoras. München. Beck. 2002 ��"� �� C. J. de Vogel, Pythagoras and Early Pythagorism Assen 1966.20 /����! �� ���� �� ��� =����� ����� �� ��� ��������� ������� �� ��� � �-�����. ���� �� ���� ��� ��� ������� ��� �� ����� ��!��� ��. ��� %���, ��� '���-��� � ��� �� ������ ����� ��� ��. � � ��� ��� '�����, ��� �������� �� ���������� ���� ����� ��� ��+���� � ��� ��� � �"�.21 ���� �� ������� � ���� � <������ �� � �!������� ������� � � �������� ��-��� ������� �� ����!�� ��� =����� �� ���������. ���+���� ��� ������� ���� ��� 6:8=9:12, ���� �� ���� ���� ����!+��� �� �!�� �� !�� do � � �������� �����, � ������ 8 ��� �� ������� ���� ��� ���� ���� � � ����� ��� 6 �� ��� 12 �� � 9 ��� �� ���� ���� ���� ��� !���� ���� � � �����. <� ��������

����� ������� ���� ��� 4 31: : 23 2� . % ��"��� ���� ���� ������ � 1 �� ����!-

02 arx kat FILH.indd 15802 arx kat FILH.indd 158 30/1/2010 2:13:30 ��30/1/2010 2:13:30 ��

4

II. ������ � ������� �� ������� ... 159

<���� ��� ����� �� ���� ���� ������� �� ��!�� � ��������� � � ���-

�� �� «����», � � ������� , ���������� ��!���� �� � � ��!���

��� ������"� �����.

+��� ��!� . %� ��������� ����� ������ ��� 43

��� ��� , 32

��� ����� �� 2 ���

��� . % =������ ��!���� ��� � �������� ������� �� ��� ���� ������!+���

������� ���� ���� ������ � 98

. &� � ������ � �������� ���� ��������!+�� ���

��"�� ������ 1 �� �� 98

�� ���!��� �� ������� ������ ��� 98

. &� � ���� ��� ����

������ ��������!+�� ��� ������� �� �� 98

, � ��� 9 9 818 8 64� � . �� ������ ������ ��-

�!��� ��� ������ �� ������ � 43

�� �� ������ ��� 32

. &� � ���� ��� ���� ������ ���-

�����!+�� ��� ������ 32

�� �� 98

� ��� 3 9 272 8 16� � . &� ��� ������ ������ ���!��� ��

�������� ��� ����� ������� �� �� ��������!+�� �� �� 98

� ��� 27 9 24316 8 128� � ��" ��

��� ����� ������ ���!��� ��� ����� 2. &� � ������������ � � ���� ���� ���"� ������� �� ���� ����� ����"� ������ ��� � �� ����� ��� ���" ������� � � �������� ����� ��� =�������� ���������� �� � � ����� ��� ������� �� �� � � ��� ��� ����"� ��� ��������� (=�. �"���� ������� ��!� , ��"���� ��� , �� � � �� ���� ��> ����� ���������� ��� ����.) $�. ;. <��!� , % ���� �&� '$$����*� �������*�. '��� 1976. % ��"��� ��� ����� �� ��� � ���������� � � '�����-� � �� � '���, ��"� �� ����"� �"� � � ��� ;��!�� ����� �������� �� �!� ��� ���� � � ��������, ��� � ��������� '��!���� &�����!� � ��. �� ����� ��� + ���-�� �� �� ������������ ���� �� '��� 1926. % ;. <��!� � �� � � ������� ��� �� � '�� � '� �"� (���. 31 1956 �. 10-14) ��� �� ��� � ������ ��� ������ � � ���!� � �����!� ��� =����"� ��� 17 � �. �� !������ ��� ���� 9 �� 8 ��� ��!����� 9:8 ��� ����!+�� ��� ���� � � ��������. �� 8 (� ������ ��� ������ � � ������ �����!�) ��� �� ������� ����� ��� ����"� 6 �� 12 �� � 9 �� ���� ���� ���� ��� ���� ����"�, ��� �������� ���� !����� ����� � � �������� � ���� 6:8=9:12. &����! �� ��� ������� #� ����"� �� #������� ��. J. Fauvel, R. Flood, R. Wilson (Eds): Music and Mathematics: From Pythagoras to Fractals. Oxford University Press. Oxford 2003. '��� ������! �� � � �� ��� ���� ������� ��. '�����>����, *����� �, '�"�����. �/��� ��� ����. ;��-����, *����, #��!��� , <���� �. ������ �. ����� ���������� '��� 2005, ��"� �� G. Loy, Musimathics: The Mathematical Foundation of Music. Vol. I. MIT Press 2006.

02 arx kat FILH.indd 15902 arx kat FILH.indd 159 8/2/2010 9:17:26 ��8/2/2010 9:17:26 ��

5

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���160

�� �&���� �$���������� ����������� � ������� &� ��� ����.

%� =���������22 �������� ����: ����������� �������: 1, 3, 6, 10 ...

12

(n2 +n) .

������������ �������: 1, 4, 9, 16 ... n2 .

=����������� �������: 1, 5, 12, 22 ... 12

(3n2-n)

22 &� ������������ ������������ ��. T. Taylor, The Theoretic Arithmetic of the Pythagoreans. London 1816 (repr. Los Angeles 1934).

02 arx kat FILH.indd 16002 arx kat FILH.indd 160 30/1/2010 2:13:30 ��30/1/2010 2:13:30 ��

6

II. ������ � ������� �� ������� ... 161

;>��������: 1, 6, 15, 26 ... 2n2-n�� ������������ �������, �����"��� ���� ������ �����>� ��!�����

��������� �������, ����, �.�., ���:

n2 +(2n+1)=(n+1)2

1+3+5+...+(2n-1)=n2

���� ������23 � ������� &!���� ��������� �� �� ������, �� -

� ��� ��� Collège de France J. Vuillemin (1920-2001), �� ��������� ��� ��

�� ��+��� � � ��"� �!> ��� ���������"� ����"�,24 �� �!���� ��

��" ��� =��������� �������+� ��� ������ ��� ��������"� ����"�

12

(n2 � n) �� �� ������� ��� ���������� �� � ��� � � � (�����).25

% E. Schrödinger, �� �����! �� ����� (Shearman Lectures) ���

����� ��� ������ �� #!�� ��� 1948 ������ ���� ������!: «<� ���-

23 J. Vuillemin, Mathématiques Pythagoriciennes et Platoniciennes. Paris A. Blanchard. 2001.24 O Vuillemin ����� ��� �� =��������� � ������ �� ��� ��� �� ����� ���� ������� ��� ����"�. �� ��"�� �� ��! � ����� ��� �� ������ ��� ����� ����-�"� �����"�, �� ������� ��� �� ������ ��� ��������"�, � ���� ��� �� ������ ��� ���������"� ����"�. #!���� ���� �� ��� ������ ��� ���������� ���: «��� �� ����� ���� ������ �����"� ������� ����� �� ������ �� ������. *!�� ������ ���� �� ��� ��� ��+��� �� ��� ����� ���� (i, j) ���� i ��� � ���� � �� � � ����� �� j �� � � ���� .25 P.H. Michel, De Pythagore à Euclide. Paris Les Belles Lettres 1950 p. 310.

02 arx kat FILH.indd 16102 arx kat FILH.indd 161 30/1/2010 2:13:30 ��30/1/2010 2:13:30 ��

7

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���162

���� ������, �� ����!���� � � �������� ���������� ������ �� n(n�1)h2

�� ��� n2h2 (���� n ������ ������). '��� ����� � �����+���

�� � ���> ����� �� ������� ��� �>���� � �� ����������� ������� ���

��� �� ������ . ��� �� ����� ����! ������������ �� #� �-

���!».26

=��� ������ ������! �������� �� =���������!27

3. � ��!��� ��� ���������

� ����� ��� ������ �� ��� �������� � � ���� ����� ��"� � � ��

� � ������ ��������� �� ��� ������ ����� =��������� �’ �����

� � ������ ��� ����������28 �� ��������� �����.

�� ������� � ��� =�������� �������,29 ��"� �� �� � ���-

������� ����� � � ��������� ������� �� �� ������ ��"� �, ��

���� ������� ���� =�����30

� � ��� �� � � ��������� �� ��"��

��!�����, ���� ������!+��� �� ������ � � �����> � �� �� �-

26 E. Schrödinger, Nature and the Greeks. Cambridge. Cambridge University Press 1954 p. 27.27 L. Brunschvicg, Le rôle du Pythagorisme dans l’évolution des idées. Paris 1937 ��"� �� D. J. O’Meara, Pythagoras revived. Mathematics and Philosophy in Late Antiquity Oxford. Clar-endon Press. 1989, reprinted 2006.28 H. Vogt, Zur Entdeckungsgeschichte des Irrationalen. Bibl. Math (3) XIV. 1914 pp. 9-29. $�. ��� � �� *. von Fritz, Grundprobleme der Geschichte der antiken Wissenschaft, Berlin 1971.29 #���� � ���� �� �� � ��� ����� �� � � �>���> ��� #� ����"� ��. J. W. Dau-ben, Conceptual revolutions and the history of mathematics: two studies in the growth of knowledge ��� D. Gillies (ed) Revolutions in Mathematics Clarendon Press 1992 pp. 50-71. <�� ����� ��� ��� �����������"� ���"� ������������ �� � � �������� ��� #� ���-�"� ��. � � ���������� ������� ��� I. ����� , 3������� ������� � �������*� �����*� �� ������ �#�� ��. '=� 1995 ��"� �� �� !���� ��� '. $����!� , �. * -��!� , ;������������ �����: M� ��!���� ��� ��������� ����� � � ������ ��� #� ����"�. % ���� �� �������� '������ �, �������� ��� �������� 2006, ��. 213-232.30 H. Vogt, Haben die alten Inder der Pythagorischen Lehrsatz und das Irrationale gekannt? Bibl. Math. (3) VII (1906-7) pp. 6-23.

02 arx kat FILH.indd 16202 arx kat FILH.indd 162 30/1/2010 2:13:30 ��30/1/2010 2:13:30 ��

8

II. ������ � ������� �� ������� ... 163

���!, ��! �� ���> � � ��������. � «��!��� »31 � � 2 � �����

�� �� �! � ������ � ����� ��� *�������.

�� ������ ��"� � (�� ����!���� � � ���������� � ������ �� ��

!������ ��� �����"��� ��� ��� ������ �����"�), �� ���� ����� ��

�� � � ���� ���� ��� ����� ����� "� � �� �������� ���� ���-

�"� (��. �� ���!�� ����� � ��� Fermat), ��� ����� ��� � ���������

�� �!�� ���>� ����������� �������� � �� ���� ����� ������. ����, �

�����! ���� �����"��� ��� ���!� �� ���"���� ���� ��� ����-

�"��� ��� ���� �����! � ���!� ���� �� �� �����! ���� ����������

�����"���, �� ����� � � � ��� �� ����� � � ���������� � ��� ������-

��� ����"��� ��� ����� �!�� �����! ������ �� � ���!�. � � �����-

� � � 2 ��� �������� .

��� ��������� ������32 ����� � ��������� �� ��������� � � -

��������������� ���� �, ��"� � ������� ��� ��"� �� ��� � ��!� ��

������� �� ���� ������ ������� �� �� ���� ���>� ���� ������

«=������... �!�� �j ��!��� Z������+�� ��^� Z�����^�. �! �� �j� ���

Z����X� q��� �@ ����� ���@ �!���� ��� Z������ ��X� Z�������»33.

'����"� �� ������ ����� ���� ������� ������ ���!�>� � � �� -

���� ��� >�������� ���� ���������,34 � �������� �� � ���� !����� «��

�| ��� Z��������� ������ ��������»35 � «�j �| ����� Z�������

���� ������»36· ��� �� ��������� �� �� � ���� !�� ���37 �� � �

������ ��� �� ��� ��������, � ��� ����� �� ���� ��� ������ � ���-

31 % P. Tannery ����� ��� �� ����� � � � �������� � � 2 ����� � ���� ��� �+�� ��� ���� �� ������� ��� �� �� ���� ��������. $�. P. Tannery, Du rôle de la musique grecque “pure”. Mém. Scient. Vol. III. 1915. pp. 68-89. $�. ��� %. Becker, Zur Geschichte der griechischen Mathematik. Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgemeinschaft 1965 p. 143.32 H. R. Dodds, The Greeks and the Irrational. Berkeley 1951.33 H. Diels – W. Kranz. Die Fragmente der Vorsokratiker. Berlin 1903 58 B

2.

34 W. Burkert, Weisheit und Wissenschaft, Studien zur Pythagoras, Philolaos und Platon. Nürenberg Carl 1962.35 ;������� 4������ $���. (, ���. 3.36 Idem o��. 4.37 <� � =����� ��� =�!����� �����!�� � � ����� «!�� ��� ��!������ � � ����!���» 546C � ��� �� �������� ����� � � �������, ��� �� ����!���� ���� �����! 5.

02 arx kat FILH.indd 16302 arx kat FILH.indd 163 30/1/2010 2:13:30 ��30/1/2010 2:13:30 ��

9

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���164

�������� ��. &�’ ��� � �"����� ��������� ��� ;����� 38 ���"+�� � �

�������� � �! ��� ��� � ��"��� � ����� � ������� �� � � ��!���

��� ��������� �!� �� �’ �� ��!���: « ���� �| �?� Z��?� ��@ �?� �~�

�������� +�� ��� �� ���������� ... �����¡ �j� ¢�!���� £���� ������ �~�

���!��� �@ ��@ ��� ������� ����X� ������ �¤��^� �{� ¥����� �� ... ���

�j� ��������� ����� �X ������ �?� ���@ ������ ����� �¦� ������|�

�>����� ���� ���� ����^�»39. ;�" � �!������� ������!+�� � � ������

��� � )����� � #�� �������40 ������� �� �� ������ ��� ������ ���

«����» � � ������: «`���� �| �X� (¨�����) ���@ �~� Z���� �@ �~� Z���-

����� �>������ ��¡�� � ��^� q��>�».41,42

% E. Schrödinger ����� ��� �� ��������� ��"� � � �������� �

���� ��������� �� � ������� �!����� �������� �����. «'� p, q, x ���

� ��� � ��� ����+���� �� �� ����� ����� � ���� � ���� ���

��������� �����"���43 � � �� �� �!����� ���, ���� �� x ��!��� ��

«�� ��» ��� ���>� ��� ��������� ���� �� � ��� p �� q. � ���-

���! ������� ���>� p �� x �� ���>� x �� q ��� �. '��� ����"�

�� �� ��� � ������� �� ����� � � � ����� � ���� ��������� ��������

�� ������� �� � ��� � (��!����) �������. #� � � ��"� ���!

��� ����� � �� ��������� �� � � ����, ���, � � ������

����� p:q ��� � ���, � ������� � ��� ����� �������� ��� � ���.

���� ���� ��� ����"� � ����� � � �� ������������ � ��������� �� �

������ � � � ��������� ����� ��� ��!��� ��� �������� �"��� ��-

�����. ;�� ��� ���������� ���������� �� ���� � � ���� ���-

�, ��� ����� ���� ������ �������� � ��������� �’ �� ����� ��

38 <����� 1� ����� (.39 1214-16. Greek Mathematical Works Vol. 1-2 Loeb Classical Library. Harvard University Press 1967.40 M. T. Cardini, Pitagorici, testimonianze e frammenti. Firenze, La nuova Italia 1958.41 H. Diels – W. Kranz, op. cit. p. 184.42 $�. �. #�� �� �, <���"����� �� �� �+... �������# '�����. ;��. =���� '��� 2004.43 ���+���� ��� ��" ��� ��!�� ��+���� � ������ ��!����� �� �������, �� ������ ������ � �������� �������"��� ����! � �!���� ��� � � ���������� � ���� ���� ���� ����.

02 arx kat FILH.indd 16402 arx kat FILH.indd 164 30/1/2010 2:13:30 ��30/1/2010 2:13:30 ��

10

II. ������ � ������� �� ������� ... 165

����� ����������� �������� (sonorities). % '�����44 (������� �� � �

��� ��� �� ��� =�!���, ���� �!���, �� ��� ��� 4�� �"� �.(.)

����� ���������! ��� ���� �� ���� �� ����� �� ����� � ... � � ����-

� � ��� ���������"� ����� (��� ���� Z�! ����� �¤��^), � � � ����� �

���� �������� ����� ���� �� �� ��!���� � �� �����».45,46

´%��� ��� ����� ��� ������� ���"� #� ����"� ��� ��!-

��� ��� ��� ���� >�� . '� ������������ � ����>���� �� ��� �"�

��������. � ����� ��� ����� ������, �����-����� �� � � ������-

� �� ������ ����� ��� =��������, �������� �� ��� ���������

�� ����. % ��� ����!+�� � � ���������� ��� ��� �� ���� ����"� �

��� ����� �� <���� ��� *�������, ��� ������� ��� ������ �� ��

������ ��� ��� � ������ � �, �� �������"���� �����, ��� �� ���!-

���.47,48

���� ������ �� ���� =���������� � ������ ������ �� ��+�� ��

������ «�������� �» �� ���!���-� ��.49 % �������� ����� ��+���

�� ��� ��� ������ �� ��������� ������. % ������ ������!���� ��

���� �� � � ��!> ���� � � ��� �����"�. � ������ ���� � ���������

44 $�. C. A. Huffman, Archytas of Tarentum. Pythagorean, Philosopher and Mathematician King. Cambridge University Press 2005. 45 E. Schrödinger, op. cit. p. 32 (�����. (. /.).46 �� ����� � ��� ��������! �������� �� � � ����� ���

qp

3 .

47 [=�. «������ �� �� � !�� ��!��� �’ ����� � � ��� ������� � ��� �����-����� ������ �� ���� ������� �� �� ����� ������ � ��� �� ��"��� ����� ��� �’ ����� � � ��� , ������� ��� � ������ ��� ����"� ��� � ������ ���� ��� ����� �� ��� ����� ��� � ������ ��� ���� �� ������... �� �������� ������� ��� � ������ ��� ��"� ���, ���� �� �� �� � ��!��� ��� �� �� ��� ��� ������! ��� ����� ���� �� ��� ������� ����!���� ����» '�������� �, ����� ��# '5, 985 b 23. (���. �. *��������. M. C. S. Kirk – J. E. Raven – M. Schoefield. 5� ��� &������� "�$�- ����. MIET '��� 1988, �. 339. 48 «'��! ����!������ � ���� ����� ������ �������� �� � � ����� ���!���, ��" �� �������� ������ ���+��� ��� ����� �� � ����! ���. �� �!� ������"��� �����+��� ��� ������ ���� �� �"�� �� � ��� ������� �� ������� ���� �������». Idem �. 342.49 =�. �� ���� �������� 1 �� 2 ��� VII $����� �&� 4������&�. 1�� �������: «#��!� ����, ��’ ª� `����� ��� £���� `� ������». 2�� ������� «�!��� ��¬� Z�����¬� ������������ �� ���!��� ������� �����».

02 arx kat FILH.indd 16502 arx kat FILH.indd 165 30/1/2010 2:13:30 ��30/1/2010 2:13:30 ��

11

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���166

��� � ������-����� ��� «��������» �� ��� ����� ��� ��� =��������.

� ���!� ��� ����������� �� ��!����� ������� ��� ������ ��� �����.

'��! ����������� ��� ���� �� «��������� ������» ���� ���� ����

�� ������� ������� (����, ����!���, ������), �� ����+���� �� �����,

�� ���� ��������� (�����, ������, �����). #� � � ��!��� � � 2

��"� �� ����"� ���� � �������� �����, �� ��������� ������.

'� ����� �"� ��� ��� �������� ����>��� �� � � ������� � � 2 .

­�!����� ��� ����>��� ��� ����� � J. Heiberg �������� ��� ����!�� �

��� 10�� ������ ��� 4������&�.

<� ����!��� ����� ���"����50 ���� � � �����! ��� ��� ������

��! �� �����.

���� '& ���"���� �����"���, �� '$ �����! ���, ���� + ����

� �������� ��� ���"���� '& ��� ��������� ���� � � �����! '$

��! �� �����51.

<� � �����> �� ���������� ������� � � ��� !����� ������.

���� ��� ���"���� ��� ���������, ���� � ������:

'�� �� ��������� ��"� �

2 2( ) 2( )� � � �� (�)

'��� ���� �������� ��� ��!������ ��� ��������� ���� � � �����!,

���� � ����� ����� ����� �� � ����� ���� � ������ ���� �� ���� ���

����"� ��� ��� ������� � ��� =n

� ����

'� ;� ��� � ������, � ����� ����! � � '& �� n � ������ � �����

����! ������� � � '$. '� � ����� n��

��� ��� �!�����, �������� �

��� �!����� ;�, n ��� ��"��� ���� �������.

�� ;�>1 ��� �� '&>'$.

50 ���+���� ��� ���"��� ����+� �� ���� � � ��!�����, ���� ��� ����� � ���-��!� �� �� � � ������ ���� ����!���� �� �����.51 % O. Töplitz, ���������� � � ������� ������� �� � � �����!� �����"��� ���+�-�� ��� �� 2 ����� ��� 10�� ������. $�. Die Entwicklung der Infinitesimalrechnung. Berlin 1949 pp. 2-6.

02 arx kat FILH.indd 16602 arx kat FILH.indd 166 30/1/2010 2:13:31 ��30/1/2010 2:13:31 ��

12

II. ������ � ������� �� ������� ... 167

;����� 2 2

2 2

( ) ( )= =n ( ) n

� �� � ���

�� ��

(1) 2 2

2 22 2

2( ) ( ) ( ) 2n( ) n�� ��

� � � �� ���

(2)

¯� � 2( )�� ��� !����� ������, !� �� � ;� � ��� !�����, �����,

� ;� ��� �������� 2( )� �� � ��� ��������. '��� ���� ;� ��� !�����,

� n ������ � ��� ��������, �� ��!�� n��

��� �!����, � ��� �� ����

��� ��� ����� ��"��� ���� �������. % !����� ������ ;� ��� � � ���-

��� 2(;�) �� ��� ;�=2(;�) 2 2( ) 4( )� �� � ��

(2) 2 22n =4( )� ��

2 2n =2( )��

¯� � n2 ��� !����� �� � n � ��� !�����. ���� ��� ������ ��-

>�� ��� � n ��� ��������, !� ��� ����� � ��� ��������� �� !�����.

¯� ���" ���� '& ��� ��� ��������� ���� � � �����! '$, � ��� ���

��� ������ ��! �� �����.

/���� ��� � � �����> ��� ��"��+� � '�������� �, ����� �� ��-$����# ������52 ������ ��� ��!������, ���"���� � ���, ��� ���-

������ ���� � � �����!, ���, � �������� ��� ��� ��� ���������, ����

�������� ��� ��� ����� �� �� !���� �� �� �������.

%� =��������� �����!� �� � ������� � � ����� ��� ���>�� ��

��� >������� ���� ���� � ��!��� � � ��������. % =������

�� <����! ��� �� � ��$���� ��� =�!�����, ������ ����� =���������

�� ��"� �53 �� �� ���� �����"���� � � ����������� �� �� �����

52 «Z��������� ° ��!������ ��j �X ������� �j ������j ±� ��^� Z����� ��������� ����-� �» 41 26.53 «=�������� �| �� ���������� ������ ������� ��"� � �����X� ���@ ��� �������� �@ �������, ��� ° �|� ��!������ �������¡� �?� �����!�, ²� ����� ��!������ ������

02 arx kat FILH.indd 16702 arx kat FILH.indd 167 30/1/2010 2:13:31 ��30/1/2010 2:13:31 ��

13

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���168

��� ���, �� ���� ����� ���+�� ��� ���������, �� � �������+��� ��-

�����! � � 2 .

=��� ���� ������!����� �� �� ����� ����� ��������� � � � 2 ,

� ������!����� �!��� ������ ������! �� ���� ���������� �� ����-

������� (���"����� � ���) �������. =������� ����� ����!+���� ��

�����, �� ����� ������+��� � ��� �����"� �����"���, ��" ����-

����� ������ �� ����� ������+��� � ��� ��� ��������� �������

��� �����"���.

�������� � ��� ;/&� ��� 4�������

<����� �� ��� ���� ��� <����� (2�� �"�� �.(.) �� �������� ��

�� ��������� ����� �� ��+���� �� ��� ���!�� �����54. ��������

�� ����!���� ��� ����� ���� �����! ��� �� ��!������ (� ���

���"���� ���) ������� �� � � �����! �� � � ��!����� ���� �����"���

��� ������� �� �� �����, ����������� � � �����! �� � � ��!����� ���

�����!, ° �| �����j ³��µ �������^� �@ �������¡� �?� ��!������ ³��~� ������ ��!������ �@ ��¡�� ������� ��j ��� �� �µ ������� <������� �������� Z�’ ������. ¶j� �{�� �� �¸ ��, �������� �| �{���, �X Z�X �~� �� � �¬� �¸ ����������¹ �@ �X Z�X ��� � ��� � ����! ��� ����!�� ��� �� Z�X �~� °������� �@ ��¡ Z�X �~� �����-������ � �� �~� °���� ��� �@ �~� ����� ���� �». =������, 4��$� ��� �$#�&��� ��$�-����. Greek Mathe matical Works. Vol. 1. Loeb Class. Library. Harvard Univ. Press. 1964 p. 136 � =������ <���� ���. Kroll ���. ��. p. 24.54 ���� <������, Expos. Rerum math. Ad leg Platonem ed. E. Hiller Leipzig 1878. pp. 42-45. &����! �� ��� ���� ��� <����� ��. J. Dupuis, Théon de Smyrne philosophe platonicien. Paris 1892 (repr. Bruxelles 1966).

02 arx kat FILH.indd 16802 arx kat FILH.indd 168 30/1/2010 2:13:31 ��30/1/2010 2:13:31 ��

14

II. ������ � ������� �� ������� ... 169

�� �� ���� �����"��� �� �� !������ ��� � ��� �����! ��� �����-

����� �����"���. <�� ����!��� � � �����!� ��� �������� �����"��� ���-

�������� � � ��!����� (���"���) ��� �������� �� ��� �� !������ �

��� ��!������ (���"����) ��� ���������� �����"���. *� �����-

� ��� �����+��� ��’ !������.

<����� ������ �� ��� ���� ��� <����� � ������:

�$������� �������

=����! ��"��� �����"��� 1

=����! �������� �����"��� 1+1=2

=����! ����� �����"��� 2+3=5

=����! ���!���� �����"��� 5+7=12

=����! ������� �����"��� 12+17=29

=����! ����� �����"��� 29+41=70

3��������� (3��*����) �������

��!������ ��"��� �����"��� 1

��!������ �������� �����"��� 2·1+1=3

��!������ ����� �����"��� 2·2+3=7

��!������ ���!���� �����"��� 2·5+7=17

��!������ ������� �����"��� 2·12+17=41

��!������ ����� �����"��� 2·29+41=99

&����! � ����!����� � � �����! �� � � � ��!����� (���"���) ���

��"��� �����"���, � ������:

�$������� ������ 3��������� ������

1� � � � � 12� � � � �

1 1 2� � � � � 1 1 22� � � � �

2 2 3� � � � � 2 2 32� � � � �.............................. ..............................

-1 -1� � �� � � � � -1 -12 � � ��� � � � �

02 arx kat FILH.indd 16902 arx kat FILH.indd 169 30/1/2010 2:13:31 ��30/1/2010 2:13:31 ��

15

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���170

«������ ���� ° �����! �� ����� ° ��!������ ¼�>» ������ �� ����!-

���� � � �������� ������ ���� ��� ����!��� � � �����!�.

% ���� �� ��+�� ���� ������55 ��� ��������� �������� ���� ���

���� ���:

11=1 =1

23 =1,5... =2

37 =1,4... =5

417 =1,41... =2

541 =1,41... =29

�.............................

... = 2��

�� � �

'� ��� ������� ��!, � ����� ��� �� ����� �������� �!>��� �>!-

�����, ��" �� ����� !���� �!>��� ������, � ��� � ����������� ���

�������� ����"�, ��� ����� �� ���� ��� 2 .

=����!�� � � �����! �����"��� �� �� ��������� ���� ��� ����-

�� �� �� 1.

1

1� 3� 5�

2

4� 2� 1,5

55 %� ����� ��� ������� � �������� �� �� � ������ ��!���:

11

=1, 32

=1+ 12

, 75

=1+ 1

2+ 12

, 1712

=1+ 1

2+ 1

2+ 12

02 arx kat FILH.indd 17002 arx kat FILH.indd 170 30/1/2010 2:13:31 ��30/1/2010 2:13:31 ��

16

II. ������ � ������� �� ������� ... 171

� ��� �� ���� 1� � �� ���� �"���� ��!��

�� ���� � � �� ���� ��"���� ��!��

��� ��� 2 .

%�������! � ��� � ���� � <������ �� �������� � � �� ������ ����-

������ ��� �� �������� � '������ � �� ������������ �� ������� ���

�����. ���� �� �� ����� ������ � � ����� ��, ��� ���� �+�� ���

�����!����� ������� � � � '�!��� �56 �� ���� Lagrange, Bolzano, Cauchy,

Weierstrass �����!�� �� ��� ���! �� ����!. /����! � ���� � <���-

��� ��� ������ ���� �"���� ���� ��"���� ��!�� ���� ���� ��!�-

��� �� ��� � � ������� �, �� �������� ���� �� «��� ��������» ��� 18��

�� ��� 19�� �"�.

'� ����� �"� � � ���������� ��� �� ��� �������"� �� ���� ����"�

����"�, ���� ������!+��� �� ��� =�����. �������� ���� ���� �"���

� ���������57 ����!���� ��� ����� �����! � ������ ���� ��

!������ � � �����!� �� � � �������� ��� �������� �����"��� �� �

���������� ��!������ ��� + �������� �����"��� ��������� � � ����-

�!� �� � � �������� ���.

���� �� ����� ����!���� �����!� '&= �� �������� (�������)

;&=�. =����������� � � �����! '& �� ���!����� ����� &$= ��

$�=�. �� + ������� ����!���� ���� �����! &�=+�, !� ������� � ���-

������� ��!������ (���"����) ��.

56 $�. �� *��!��� V�. + ��������� � ��� ��#$� � ��# ��� 18� �� 19� �*�.57 *!�� ��������� ����!���� ��� ��������� ������� �������� ��"� �� ��� ����-�� �������� �����+��� �’ !������.

02 arx kat FILH.indd 17102 arx kat FILH.indd 171 30/1/2010 2:13:31 ��30/1/2010 2:13:31 ��

17

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���172

&� � �� ��������� � =������ �������� ��� 10� ��"� � ��� 2��

������ ��� 4������&� ��� ;����� (� & �� ���� ��� ������� '$ �� �

� ��� �� � ������� ��� '$, ���� �� !������ ��� ����"� ��� ����-

�"��� �� ������� '$, $� ��� ����!��� �� �� !������ ��� ����"� ���

�����"��� �� ������� '&, &�). � � � ���� ���� ���� ��� � (1)

� � � �

���� '&=, &$=, $�=� ������ $�=&; ��

� � � �� � ���� � ��� ���� (2)

- � ��� ��� ��� ��� �

��� ���� � ���� ��� '� ��� ��!������ (���"����) �����"��� ����-

�!� &�. � ��!������ ��� ��, !� ��='� ���� '�='&+&$+$�

���� $�=&; !� '�=2+�.

� ��� ��� �� ��� �� �����! �� ��!������ � ���� ����-

�"���, �����! ��� ���������� �����"��� ��� ������ �� ��!������

������� .

=����������� � &� �� ���!����� ���� ��=&� �� ���! ��=��

�� �!�� ������ �� �� ��� ��"� �

� � � �������� � � ���� ��� � ����� (3)

������ ��=�� �� � ���� ��� � � � ���� ��� � (4)

- ��� ��� � ������

'��� � ���� ��� &� ��� ��!������ �����"��� �����!� ��, ��

��!������ ���� ��� �����"��� ��� �*.

!� &�=�*

��! � ����������� ��

�� � �� � ���������� ��

02 arx kat FILH.indd 17202 arx kat FILH.indd 172 30/1/2010 2:13:31 ��30/1/2010 2:13:31 ��

18

II. ������ � ������� �� ������� ... 173

��’ ��� ��� ����� �� ������ ����!���� � ���� �����! - -� � � � �� �� �� ��

��!����� - -� � � � �� ��� �� .

���� � ���� � <������ ����� ���, ��� �� �� � ����� !����

���!� ��! ��� ��������� �� ��������� ����, ���� �� � ����� � � ��-

�� ���� ���� � � �����! � ��� ���!�,58 � ��� =1 �� ���

�59,60,61.

'���, ���� ������ � ;. <��!� �62 �� ������ «���������» ���-

����� � �� ���������� ���"���� ��� «���!���»63, ��" �� ������� ��� ����

�� � � �������� �������� �� ���!���� �����.

'������� �"� � ����� �� ��� �������� � �!����� =1 �� �=1,

� ��� � ���������� �� «��� ����� ����!����», ��� �����! ��� �

������ �� � ���"��� ���. &� � � �����> , ������������ � ���! ��-

������ �����"��� �� � � ��� ������ �� ��� =����� ��������� ��

2 (��. ��. ���. 171).

���� ����� ����!���� ��. =����������� � � �� �� �� ������ �� �

�� ��� � � ��!����� �*, ��!����� ����� ��� � ������ � � �������

� � �� ���� �� � ��� &. #� �����! �& ������!+���� ����!����, ��

���� �������� ��������. '�’ ��� �� ��������� ����!���� ������!-

����� � � �� �������, � ��� �� ������ �� � �� ��� � � ��!�����

�� ��!����� �����, ��� � ������ � � ������� � � �& �� �!���� � ���

'. #� �����! � � '& ������!+���� ����!���� �.�.�.

58 «½���� �{� �!���� ��� �� �!��� ��j �X� Z�"���� �@ ��������X� ����� ° ���j� �����, �]�� �@ �~� �������� �@ �~� �����¾� ����� �� �¸ ���!�� �¤������».59 � ������� ��� ������ ��� >��������� . � �������� � ��� ��� ��!������ ����-�� ���� � � �����! �� ������ �� � ���!�, ��" � �"��� ��� � ����� ���� � � �����! ��� ���!�, ��!����� ��� � � ��������� ��� � � �� ���� ����������.60 %�������! � �. �’ ��� � � ������� � � ������� ��� �������"� �����"���, �� ����� "��� �����! � � �����!� ��� ��"��� �����"��� �� � � ���"��� ��� � ��� ��������� ����� � �. -!"#� � � $"� �% � .61 ���� � <������. Greek Math. Work. Loeb Class. Library Vol. I. p. 132.62 E. <��!� , '��$����� <�&�����, ;�&�� �����*�. $��� V, VI, VIII, IX. ����� ��. %.;.<.$. '��� 1953 �. 12.63 «% ���� ������!+�� � � ����� � � � ���!��� � ��� � ����� � � �������� ���� � � �����! �����"��� ���� ��� ���������� �����, ��’ �� �� ����� ���� ������� � +��-��� ��������� ������� �� ���" ��� �� ����� �� ��� �������� +"���� ���������». idem.

02 arx kat FILH.indd 17302 arx kat FILH.indd 173 30/1/2010 2:13:31 ��30/1/2010 2:13:31 ��

19

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���174

'� �������� ���� � � ����� �������. &� � ������ � � �����!

�&, ������� �� � � ��!����� �*=�&, � � �����! �� ��� �����"���

��� ��� �

# � �

. ���� �� � ������ � � �����! &', ������� �� � �

��!����� ��=�', � � �����! �& ��� ��� �

# ���

�� �� ��� ������� ��

��� ��������� ��������. '��� ����� ����������� ��� �����! �

� $ ���

. � ��!������ �

��$�

�������� �* �.�.�.

<����� �� �� ;�������� ��"� �64 ((, 1) � ���������� ��� � �

�������, �������� � �!����� �����! �����"��� �� ���"��� �����-

��� �� ��������� �������� ����� �����!, � ��� �� ��"�� ���

�"��� - v� �!"#� � � $" ! #& � �� � %�

!� �

���

���� ���� � =������65 ���� � ���� �������� �� � ���� ������

������� ��� ���!���� �� � � ������� ������� �����> 66 ��� 2

��� ���������.

64 ������ ��� !��� ����� , � �� �� ��������� ������ ������� ��������� �� �� ���� ��� �� �� �� �������� ������ �!�� ������� ��������� �� �� ���� ��� �� ������ ��� ���� ��� �����"�, � ������� ������� ��������� ��� ���������� �� � ��� ������ ����! ����� .65 &� ������������ ������������ ��. J. Rosan, The Philosophy of Proclus. New York 1949.

66 2 �����> : ���� �� �

� �� 2 ��������� � ������ � ��!���� ���>� � �� ��

����� �����, ������ ��������� �����. ���� �>0, ���! � � ������ ������� � ������ � ������ ��� -� � � �

"!"#� � $" � $ � � $"� � ���������� ������ � ������ � ����! ���� ����������� �� � � �����! � � !� !����.¯� ��� ��!���� ����� ����� ���>� � � ������� �� �����!� ����"���, !� 2 ��� ���������.

02 arx kat FILH.indd 17402 arx kat FILH.indd 174 30/1/2010 2:13:32 ��30/1/2010 2:13:32 ��

20

II. ������ � ������� �� ������� ... 175

� �$#�&�

� � ���!��� ��� ��������� ��������67,68 2 !���� � � �������

���� =����� ���� ���� � �������� ���! ����!, ��" !���� �����

=��������� ��� 5�� �"� �.(. ���� � =�!���69,70 ���� ��!���� ��� ;��-

����71, ������ � � «�����> » ��� ��������� 3, 5 ... 17 ���� ���-

���� ��� *�� ��. �� ���� � � «�����>�» ��� «� =�!��� ������! ���

67 $�. �� A. Pringsheim, Nombres irrationnels et la notion de limite. Encycl. des Sc. Math. Pures et Appliquées trad. J. Molk, Paris Gauthier – Villars, 1904 Vol. I fasc 1 sect. 3. p. 133.68 <� �� ��������� ��!� (­$C 7289 Yale Babylonian Collection) �!����� ������ ���-��� �� ����!���� �� ��� �������� ���, ��"� �� �� ����� � � �����!�, � � ������� �� ����� ��� ���� ���>� ��� ���, 1,4142129 (�� �� 1,41423562...). «#� ����� ���-������ ������ ��� ���� ��� �� $���"���� ��"��+� ��� � ����� � � ������� ���� � � �����! ��� «��� ������ ���, ��������+������ �� ��� ���� ��� ���� 2», ��! ��-� � ��� ��"��+� ��� �������� ��� ��������. ���� ���� � � ���������� �+ ��� 2

��� ������ �����...». B. Rittaud, Le fabuleux destin de 2 . Gazette de Mathématiciens. Janvier 2006 no 107. S.M.F. Paris p. 29.69 $�. J. Dhombres, Un platonisme spontané: le témoignage contradictoire des textes mathéma-tiques. L’ objectivité mathématique. Platonismes et structures formelles. Paris. Masson (sous la direction de M. Panza et J. M. Salanskis) 1995.70 <� � �������� '�� �, ���� � #� ����! ����� � � ��������� ��� , ��� �� �� ������� ������ � �������� �� �� ���������� ������� ��� �!�� ���� ���� �� � ������ �� ����� ������� . '��� �������� >��� �� �� ���� �������� ��� ���-��� �� ��� ��� �� �� �����"��� �� � <����� ��� ������. &� ������������ �����-������� ��. F. Lassere, La Naissance des Mathématiques à l’ époque de Platon. Vestigia 7. Fribourg – Paris Editions Unive sitaires Ed. Du Cerf 1990.71 $�. �� A. Szabó, Theaitetos und das Problem der Irrationalität in der griechischen Mathema-tikgeschichte. Act ant. Sc. Hung. Budapest XIV. 1966. pp. 303-358.

02 arx kat FILH.indd 17502 arx kat FILH.indd 175 30/1/2010 2:13:32 ��30/1/2010 2:13:32 ��

21

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���176

������ ��� � �������� �����>� ����� �� ��� ��� �!�� �� �����"� ��-

������� �� � � ����� ���»72.

'� ����� �� ������� ������ �� ��� �������� ��!����:

«;�������: % �������� �� ���� � ����� �� ��� ���!����73,74 ��� ���"�

�� ��� ����� ����"� �� ����>� ��� �� ���� �� ����� ��� ��� ��������� ��

� � ���� ��� ���� ������ �� ���� ����"� ��, ������!� ��� � � ��

� � ���� ��� ������! ����"�. <’ ���� ���� �!��� ���!� ��»75.

/����! �� ��� �� ���� ��� ��������� ������� ���"����� ���

����! �������. #� ����� ����� � �������� � *�� ��� �����>� � �

�������76 ��� ����"� 3, 5 ... 17 �� �������� ��� ���!� �� ���

17 . *� �� � ��� ��! + ���� � =�!���77 ��� ������ ���� ���-

����.

% =�!��� ��� ������!+�� ��� ����� �� ��� ���� � �������� ��-

����!+�� ��� «���!����» �� ����� ��� ����+���� � ��� ��!��� �� ��

������ �����> �� � ���� � ��� ������ ��! ��� ������ ����!����,

� � ��� ���������� �� �� ��������� �>���� � ��� ���������. '���

������� � ������� ���78 ���+��� �� ���� ����� � �����������

����.

E������ �� �!����� �����!����� ������ � ��� #� ����"�

���� � � � ������, � ������!����� ����� ����!:

72 A. Szabó, Anfänge der griechischen Mathematik. Budapest 1969 p. 58.73 &� � � ����� � � ���� � ��. '. Szabó, op. cit.74 ���� ������ � ;. <��!� �, �� � ������� ��� �� � '�� � '� �"�, ��> ���� � ���� ���������� �+ ������. $�. ;. <��!� , ;� ��� �� ������ ����� ��� �������� ��� =�!�����. ����. ���. ����*� ���. 31 1956 �. 315.75 =�!�����, ;�������. 147 d-e. #��!��� $. ��!� � – =. =���� � '��� �.�., ���. ����� – �. �� ��������.76 =����� � ������������ ��� ���� ����� ����� ��� ��������� �� � �� ;��!� ��� ������. % � �������� ����� �� ������ �� ���� ��� ����� ���-�"� �� ���"� �, ��� ��� ��� ������ ����"� �� �����"� (����� � ���� ������) $�. Diels op. cit p. 41 �� T. L. Heath, op. cit. ���. ���!��� ���. � '��� 2001 *.;.;=.;*. ��. 198-201.77 �� ��� �������, ������ � Szabó ��� ��!���� ���� ��� ��. '. Szabó, op. cit. p. 63.78 $�. �� G. H. Hardy – E. M. Wright, An Introduction to the theory of Numbers. Oxford. 1938.

02 arx kat FILH.indd 17602 arx kat FILH.indd 176 30/1/2010 2:13:32 ��30/1/2010 2:13:32 ��

22

II. ������ � ������� �� ������� ... 177

% Zeuthen79 ����� ��� � �������� � *�� ��� �����>� ��� ��

3, 5 ... 17 ��� ��������� �� �������"��� � � ������ ��� �����"�

����!���, ������ �� �����> �� �� ��� 18 ��� ��������� ���

����� , ��� �!���� �� � �����> 3 2 , ��� ��� ������, ��" �����

�����> �� � � 19 ��� ����! ������ ��� 19 ���� �>����

������ �� ��’ ��� � �������� ���!� �� �� � 17 .

% <. #���� � �������! � � ������� ��� ����"���80 �� ��� � -

��!�� �����. ����� ��� � �������� � *�� ��� �������� �����"-

��� ������ ���������, ��� ���� �� ��� �!����� ������� ������ �� �

���!�, �� ���������! ��� � ��� 2 . #��! ������!+�� �� !���

�����"���, �� ���� ���� �!����� ������� � � 2 �� 1, ��������� ���

���������� ����"��� � ��� 3 . *� �� ��� ��� ����� ��������

�������! 16 �����"�� ����� ��� ����� �� ����������� ������+���

���������"� ���� 2 , 3 ... 17 .

��� ��� ����"� ����� �������� �� � J. H. Anderhub81 �� � � ������

������� ���.

79 H. G. Zeuthen, Sur l’ origine historique de la connaissance des quantités irrationnelles. Over-sigt over Videnskabernes Selskabs. Forhandlinger. 1915 (.(. . 333-362.80 <. #���� �, ��� ���. �$#�&� ���. 3 '��� 1905 �. 188.81 Joco – Seria, Aus den Papieren eines reisenden Kaufmannes, Gewidmet den Freunden des Hauses Kalle. Co. A.G.S. 166 ff. Wiesbaden 1941.

02 arx kat FILH.indd 17702 arx kat FILH.indd 177 30/1/2010 2:13:32 ��30/1/2010 2:13:32 ��

23

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���178

���� � A. Szabó ����� ��� ������ ��� ��� ������ 82 ���

��� ���!��� ���� � � ����� � � ���� � �� � ���"��� ��� � ��������

���!��� ��� ���!���� (� ����!���) ����� ��+���� (�� � ������ ���

���������� ����!���� 13 �� 17 ��� 6�� ������)83 � �����"�� �� ����!-

�� � ��� ����� ��� ������.

� =. L. van der Waerden

% $. L. van der Waerden,84 ������� �� ���� ��� ��������� ����-

��� �� �� ��+������ �� �������� ������� (��, 6 �� (, 10),85 ���� ��

���������� �����> ��� �� 3, 5 ... 17 ��� ���������.

;�" ���� ���� ������ ��������� �� � � �����> � � ��������, �

;. <��!� � �� ��� �����"����86 ��� �� � '�� � '� �"� ������!+��

82 A. Szabó, op. cit. pp. 59-94.83 � ����� ��� �!����� ��� �������� ���������� �� �!��� (VI, 13). '� ��� ����-���� ����� ��� �!���, �� �����"��� �� ��� ��������� ������� ���� !����� ����� � � ����� ���� �� ������ ���� �� ����!���� �� �����! ��� ���� ��� � � ����� �� ���������� (VI, 17).84 Science Awakening 4th ed. Noordhoff Intern. Publ. Leyden 1975 pp. 142-146.85 '� & ��� �� ����� ��� ������� '$ �� ������������ �� ���� ��! $�, ���� �� ����-�"��� ��� ��+��� � ����� '� �� $� �+ �� �� ����!���� �����!� $� ��� �����-��� �� �� ����!���� �����!� &� (��, 6). '� ����� �� ��������� ���� �� � �� ���!�, � ������� ��� �������� ����� �� � ��� �� �� � ��� �������� ���� �� ���� �� �� ��� �� �� �������, ��" �� ������� � ��� �� �������� �� ���� �� ����!���� �� �� �� ����� ((, 10) ;�������, 4������ *.;.;=.;*. '��� 2001.86 ;. <��!� �, '�� ��� ��������� �&���� ��� ;������� ��� �$#�&���. ���. 31 1956 ��. �� ;. <��!� , '�� �������� '�� ��. ���. '¿. 1972. ��. 315-321 �� 325-329.

02 arx kat FILH.indd 17802 arx kat FILH.indd 178 30/1/2010 2:13:32 ��30/1/2010 2:13:32 ��

24

II. ������ � ������� �� ������� ... 179

� � �� �� � � ��� � �������� � *�� ��� ���!� �� ��� 17 , ����-

����� � � ����� � ��� ������ 17, ��� �� =��������� ��� ������, ��"�

�� � � � �� ��� ���� � �������� ����� 98

(9+8=17) �� � ������� � �

��������� �������� �����. '��� �� ������ ������� ��� ����-

��!+�� �� ��������� �� � ��� ������ 17 (!������ ��� 10, ������ �����

������� ������ �� ��� ����� ������ 7) �� ���� �� ��.

4. � ��"� � ��� ������

� ������ �!���� � ������������ ��� ���� �� =��������� ���� �

=�!���87 �������� � � ���!� �����. (��� ������� ��� ��!� ���

������ ��� <������: «%}�� �| ° ���j� Z������, Z��j Z��? Z�����¡».88

% '�������� � ������� ������ �� � �������� ��� � ��� ���-

���, ��� ��� �� ������� ���!���. % ������ ���!���� �!�� ��

� � ������� ��� ���!�� ���� ��� �������: «��X �@ À �|� �� ����X�

Z�����^�� ���j �X `� ���, ��X� �µ q�������� ³�@ ���� `�, �@ �j �� ��X�

��^� ���@ ������� ���� ³� �@ À ����X� �| \�����»89. %� ��������� ������-

������� ���!��� �� ��+��� ���� �������, �� ����� ���������� ��

����� �� ������ ��� ���!���. «Á�� �X �[�� ��j �j� ��� ���!�� �?�

��!� ����� ���!, �@ �?� ���!� ��j �j� ���^� ���!��, ��� ��������;»90

%� �� ��������, ���� ������ ��������, ������� ��, ��� �.��., ���� �

��� ���� �������! �� ���!� ���� ������� �� ���+����� ����� «��X

�@ �X Z�����^�� �]���, `� ���, �? �������������� ��X� ��� ¤�!������

Z� ���� {��^� ������».91

87 =�. �� ������ �� ��� �������� ��!���� %���� ����&� (��������� ���� Frege) ���� � <���!� � + �! �� ��� ��� � ��� �> ����� «=������ �¦� ���|� ��à �| �@ �¬ Ä �� �� ��� �¦ �¦�! �� ���;» 301e – 303c6.88 ������ <������, ���� �&� ��# �� ��������� ��� ��&� ��� ��� �$#�&��� �#��&- ��. ed. Hiller, Leipzig 1878 p. 24. $�. �� ;. <���!���, ���. '�� '��� 2003.89 '�����������, ���# � "� ��# 1080, 30.90 Idem. 1082, 15.91 Idem. 1082b, 28.

02 arx kat FILH.indd 17902 arx kat FILH.indd 179 30/1/2010 2:13:32 ��30/1/2010 2:13:32 ��

25

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���180

� ���������� ��"� � � � ����� �� ��������� ����� ����������

�� �!�� ����� �� ��!��� ��� �������� ��� ������� �’ ��� �����-

����� ����, � ����� ����� � ����!+��� � ��� �’ ��� ���������� ��

���!� ������ �������.

% '�������� � �� � ����� ���>� �������� �� ����������� ��"-

� � � �� �� ���� ���� ������ ��� ����� �� ���!�� ��� ��� �������

=� ������ <���� ���� �� ������� � � ������ ��� ������, �� ���

�������! ������� ��� �� ����� �������� ��� �������� ��� �’

��� � � ����� �������� � ������� �� ��� ������ «������ �»

�� � � ����� ��� ������: «����j �j� Z����¡���, ��� ��¡�� ��’ {�X

q���� ���j �������� Z����, �������, ��� Z�������� �@ �±����� `� ���

��, ��� ��� �!����� Z�����¡��� Ä ��j �����. =���¡��� �| Z������ �·

��X ����^� ��� � �¦� � ����� � �~� �{�� Z�!��� �����!�».92

� ������ ���� � ���!>���� ��� � � ��� ��� <������ ��� �����

� � ����� � ���>� � � ����������� �� �������� !��� � ��� ����� �+��

=������� <���� �� � #� ����! �� � � ��������� ���� �����.

#� !�� ���� � ����� ��� «���!� �» �����"� ���>� ��� ����������,

��� ����� �� ������� ���� �� ��� �������"�, ��������"� �� ��������

���� ����.

'��� ��!���� �� �� ��� '�������� � ���� �� � ���!�

��� ��������� ��� ������ � � ������ �� ������.93

#�� �� � � ������ ��� ���� � � =������� <���� �������

���� ��� � �������� ��� � ������, � � ��� «�������», ���

�� «���������» ��� ���� ��������� � ������ ��� ����� � ����� ��

� � ����� � � ���� �, � � �>!�� � �, ��� �����.

���� ��� ����� ������� � ������� �� ���� ������ �� ��� ���� ����

�� ����� ��� ����!���, �������� �!���� �"� �� ����� � �����

�� ���� ��� ��� �"� ���������. ���� ����� �� ��!����� ��� �� �����

���������� �� �� ��� ����!� �� ��� � �, ��! �’ ��� ��� �����"-

��� ��� ����� ��! �� ���� ����"�. ��� ������ ��� �!�� ��

«������» �� �!��� ����!� � �� �!��� � � � ���!���, ���� �’ ��� ���

92 Ib. 1082 b, 33.93 Ib. 1084 b. 33.

02 arx kat FILH.indd 18002 arx kat FILH.indd 180 30/1/2010 2:13:32 ��30/1/2010 2:13:32 ��

26

II. ������ � ������� �� ������� ... 181

����+��� ���, ��� ��������� �� ��� ���� ������������ ���-

�"� «�j �| �~ �!� �Ã� Z�����, �X ����X� �@ ����X� �@ �X ������; Å��

�’ �{� �� Z�����@ �{� �{�| �~� ����~� ±����, �~���· À �j� ����� ° �{�,

À �’ Z����X� ]� . %[�� ���X� Æ Ç���¡ Z����X� ° �{� �}��, �� �����,

�~� �| ���. *@ Z�@ À Z����X� �� È� Æ ����� ����, Æ ������� Æ ������ Æ ���-

�����· Z��’ ° �{� �X ������’ �[�� ��X� ������j ��j �?� �>��· ��¡�� �’

�{���� Z����X� Z��j ����� �>��� Z������ �������� Æ À������¡�».94

#�� �’ ��� �� ������ ������� ��� � <������ � �������

��� ����� �� ��� ����.

'��� �� ���������! $��� ��� 4������&� ��� �� ��������� �� ��-

���� ������ �����. <� �>� ��"� $��� ���� ������� ��� �������,

���� ��� � �� �� !���� ������� ����� ��������.

���� ��� ��� � ���������� ��"� � � � ���!��; &� � �-

�������� �’ ���� � � ��"� � � ������������� � ��� �������� ���� ���

����������� �������� ��� 7�� $����� ��� 4������&�, ��"� �� � � �����-

����� ��"� � �� � � ���!�.95

�� 7� $���� ��� 4������&� ��+�� �� ���� ��� ���!�� ��������:

1��. #��!� ��� ��� ������ �� �� ���� ���� �� � ��!�����

��!� �� ������ ��.

2��. '������ ��� �������� � ��� �������� �� ���!���.

«� ���!� ������ ��� �� ������������ ��������� �� ���� ���

���������� �� ���!� � �� �����, ��� ���� � �� � ��� �� ������,

�� ����, �� �� ���� �� ����������� ���������, ��� ��! �!�����

����� � ��"���� �� !�� �������� � � ��� �������>�. '��� �� ���

«��� ���» �������� ���� �� �������� �����, ���� ��� � � ���� -

�� � ��� ��� �� !���� ����� �� �� >�������� ���������, ��� ���

���� ��� ��������».96

="� ���� ������� � <������ � � � ���!� �� ��� �����;

94 Id. 1092 b. 15.95 % =�!���, � ����� ����� �������� ���� ���������� � ��� �������� ��� ���!���, ���������� �� � ����� � � ���!���� � ��. "��&� 101c 4-8.96 J.L. Gardies, Du mode d’ existence des objets de la mathématique. Paris. Vrin 2004 p. 29.

02 arx kat FILH.indd 18102 arx kat FILH.indd 181 30/1/2010 2:13:32 ��30/1/2010 2:13:32 ��

27

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���182

«�� �� � ���� ��� ��� ����� �!���� �������� ��, ��" � ��� ���

� ���� ��� ��� ��������� �������� �, �� �������� � ������ �

��� � �� ����� ��, ��� �� �� ��� ��� ������· ��� �� ����� ���

��� ����, ��! ���� �� ����� ��� �� ��� ���. =����� ������ �!��

�� �� � ��!��� � ��!���� ������».97

=�� ����� ������ ��� ���� � ;����� � ��� �� � '�������� � ���

������� � � ���!� �����. 98 *� ��� ��� � � �����!��� �� � �

� �� ���� ���� �� ������!, � ��� � �� ����� � � '����� � �� ���!�

� S. Stevin, ���� � ����� ���!��, �� 1585 ��� ����� ��� � ����������

� ��� ��>�� �� ���� ��!��� �� � ��"� ���� ��� ����� ��� ���

� #%�'�' ;��'� '��#%<.

% ;����� � ��� ������!+�� � � ���� ���� ��� �� ��� ��� >���-

���� ����� ��� ������!+�� �� � � �������. � ���������� ��� ��� ���

>�������.99 H >��������� � � � ���� ����� � ����� �� ��� ���-

��� ��� Grassman, Dedekind �� Peano. (� �������"��� ���� ���� ���

��� � ��������� ��������, �� ���� ������ ���!��� � � ����� ������

��� �� �! � ��� �� ��"� �� �� � � ��� � ����������� ���� ��

�����.

���� �� � � ���� ��� �����"�, � �������� ��� 5�� $����� ���

4������&� � ����� �� ��������� �� ����� ���������: ��� ���� � � �

�$��� ��� � ������� ��� ����� ��� ��� modus operandi.

97 '�����������, ����� ��# � 1088 4-9.98 =����� � ������������ ��� �� � ������ ������� ���� ��!��� ��� �� �������-����� ���� ���� �������, �� �� ����� ���� ���������� �������� �� � � ���� �� ����, ��" ����� �� � ����� ��� ������� ����� �’ �� ����������� �������� �� ����� �������� ��������� ����� � �� ���������� ���������� �� �����>���� �������-�����. $�. (�. /� , *��������� ����� �� #� ����!, �������� ���. <�� '��� 1987 ��. 223-247.99 &� ������������ ������������ ��. �� ��������� !���� � � S. A. Yanofskaya, '�� � � ����� � � >�������� Ist. Math. Issl. 1958 t. XI. pp. 63-96 (�� �����!). $�. ��� � J. Vandoulakis, Was Euclid’s approach to Arithmetic Axiomatic? Oriens - Occidens Cahiers du Centre d’Histoire des Sciences et des philosophies arabes et médiévales. Vol. 2 1998. pp. 141-181.

02 arx kat FILH.indd 18202 arx kat FILH.indd 182 30/1/2010 2:13:32 ��30/1/2010 2:13:32 ��

28

II. ������ � ������� �� ������� ... 183

5. � ���� ��� �����"� ��� ;���>�� (5� $���� ��� 4������&�)

���� �����! �� ���!��� , ��� ������� �� �� � � ���!���

��� ���������, ����� �� �� �� �������� ���� ��� �����"�,

��� ������"� �� ��� 5� ����� ��� 4������&� ��� ;����� �� ���-

���� ���� ;���>� ��� *���� (ca 408 – 355 �.(.), ���� ������ � �"�����

��������� ��� ;����� «������ �µ ������ ����� ���@ Z������� ���-

��^� ... �X �| ������ ;{��>�� ���|� �]����� �[�� ������� ��¡ =�!����� ���-

��! ���»100.

���� � ;���>�� � *����� �� � �������� � >������ �� � � ��!-

��� ��� ���������, ��������"��� �� ������ ��� �� �����"� �����"�

��� �����"� �� �� ������!+�� �� � ������ ����101. �� ���� ���

;� �� >�� ���> �� �� � � ��!�> ��� 4������&�. % ;����� � ���������!

���� �+�� � � ������� ���� �� � � ���� �����"�. <� ��"� ���-

��� ���� ��� 4������&� ��� ��!���� ������ ����� �����> ��� � �-

������ �� ���������� ������ �102, ��� ������ �� ��������� ��� 6��

$�����.

'� �� ��� ������ ������ ������, ����� ��� �� =��������� ���

� ���������� �� ���� �����"�, � ��� «��� � � ���� � ��� �����

�� ������� ����� � �� ����� ��� � ����� ���� ����� � ������� ��

��� ���� ����� ����"�»103.

�� 5� $���� ������!+�� ������� ���������, ��"� ���� ��� ����

�� ����� ���� ��!��� �’ �� �� � �� ����� � �� � � � �� �����

� �, ��� ������� � ���� �� �� � >������� ����� ��� 19� �"�.

�� $���� ���, ��’ ��� ��� ��� ������ ��������� �� � ������

��� ������, ������� ���� ����/� /������ ��� ��"��� $�����, ��" �����-

100 Greek Mathematical Works. Loeb Classical Library t. I. 408.101 M. Cantor, Vorlesungen über Geschichte der Mathematik 1e Band. Leipzig 1894 p. 238.102 $�. �.�. � � �������� �����> ��� =��������� ���������. $�. �� K. Reidemeis-ter, Das exakte Denken der Griechen. Hamburg Claasen und Coverts 1949.103 M. Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. New York Oxford Uni-versity Press 1972. p. 68.

02 arx kat FILH.indd 18302 arx kat FILH.indd 183 30/1/2010 2:13:32 ��30/1/2010 2:13:32 ��

29

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���184

����� �� ��� �� ���� ����� �������� >�������. %�������! ������-

�� �� �� ���� �����"�, �� � � ��� ���!��� � � ����� � � ���-

��,104 ��� ���! ����� � �������� �� ������ $��� �� ���!

���������! ����� .

% ;���>�� ������ �� � � ���� ��� �����, ��� �����+��� ����

�� �������� ��� �� �� ������� ����� , ��� ������ ��� �����"���

� ������� �� ������� �� ����! �������� ���� ���� ����� 5�

������105, � ����� �� ������� ������� ���:

i) �'>�$ �� ��������� �&>��

ii) �'=�$ �� ��������� �&=��

iii) �'<�$ �� ��������� �&<��

104 $�. I. Grattan-Guinness, Numbers, magnitudes, ratios and proportions in Euclid’s Elements: how did he handle them? Historia Math. Vol. 23 1996 pp. 355-375. (printing correction: vol. 24 1997 p. 216).105 #� ��� ������ ���� �������� � ����>���� � ������ ��"� ����� ��� 6�� $�����, ���� ��� ����� ��� ���� ����� ����� ����! �!��� ��� �!���� ����. ������ � ����� '$& �� '&� ��� ����� �� ��� ���� '& �� �!���� ��������� $&, &�. =����������� � � $� �� �� � ��� ��� �� ������� $&=$�=�� �� &�=�*=*�./������ ��� '�, '�, '*, '� ���� ������ &$=$�=�� � ����� '��, '�$, '$& ��� � ���>� ����, � ��� �&=�$& �� '�&=�'$& ���� &�=�&� �� '&�=�'&� �� � �!�

� �� �� � �' () )� # �� �� # � �* +) )� $ �� �� $ � �, -

= =μ ν μ ν

μ ν μ ν

μ ν μ ν

(I)

(o ;����� � ��� ������!+�� ��� ������"���� ��� ���������). ������ ������ ������ ����� , ��� �!���� $&, &� �� ��� ����� '$&, '&� �� � ��� ������� � �� ��� (�)

��� ���� �'$&>=<�'&� �� ��������� � # $ ��=μ ν ������ �� ��� 5� ������

�� � � � �

= � � '$&=', '&�=$, $&=&, �

� ��� �

= = . $�. ;������� &������, ;�&��

�����*� ���. ��. �������, ���, ������, ���> ������ ;. <��!� %.;.<.$. 1953 ��.

68-70. %� ����� AB

�� �

� ��� ��� � �� �!�� +����� �����"� ����"� �, � ������

� �� ��� ����� ���!�� �������:

02 arx kat FILH.indd 18402 arx kat FILH.indd 184 30/1/2010 2:13:32 ��30/1/2010 2:13:32 ��

30

II. ������ � ������� �� ������� ... 185

���� � � ���� �� ������� � ������� ����� , ��" �� ������"���� ���

��������� �������!���� �� � ������� ����� .

#� �� 5� $���� ��� 4������&� ��� ;����� ��+�� �� �������� ���-

���� � � ���� �� ��������� ��� ������� ��� �����"� �� ���

��! �!����� ����� ���� �� ������ �� � ������� ��� �������"�

��� �"� ��! ��� 19� �"�. /����! �� ��� ��� ��� ��� ����������

�������, «��! �� ��� ���� ��� � � ����� ��� ��������. <��� �� ��

��� �� ���� ������: ��������� ������ � �!�� � (�.�., ���� ���).

*� ��� >�� � ����� ��� �� �����! �� ��> ������� (grandeur), ��"�

�� �� �������! �� ��> ������� (Grösse), �����!����� �� �� ��� �������

��������� ������ �� �� ����� �������».106

�� �� � ����! ������ ��� 5�� B����� ��� � ������� ��� �����

��� �����"�: «'� ��� ������� ����� ���������� ���>� ����, ���� ��!����

�!����� �� ���� ��� ��������� �� � ������� ��� ���� �� �� !���,

��� ������ ����� ��� ��� ��"� �����"�»107.

����, ��>!�� � � � ����� ��� ������� � �������, ��� ���

����� ��� ���� �����, �� � � �������� ����, ��������� �� ���� ��

��� ����!+��� �����. %������ ����! ����, ��� ���� ��� �� ��������

�� ������, ��� � ������� �� �����������.

���� ��� ��� ������ �� � ����� ��� ����� ��� ���� �����

�� �� ���>� ����; '��� �� � � ���� � 4�� ������� � ����� ����� ��� ��-

�" � �� �������108. ��� ����� ������� ��� ����� ���� ���>� ����, ���

��������+���� ������� � ��������� ���>� ����109.

106 S. Bochner, The Role of Mathematics in the Rise of Science. Princeton University Press. Princeton 1966, pp. 278-279.107 %������ 3: «����� q��� ��� ������� À������� ° ��j � ����� � ���j ������».

108 % ;. <��!� � ����� ��� �� �� � ���� ��� ������� ������� �� � � 8 �����

��� 5�� ������ (� � ��#�� #

��

#

� �).

109 ����� q��� ��X� ��� � ����� ������, �¦ ������ ��������+���� Z������ ¤��-������.

02 arx kat FILH.indd 18502 arx kat FILH.indd 185 30/1/2010 2:13:33 ��30/1/2010 2:13:33 ��

31

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���186

� ��� ���� ����� «��� ����� �� � � �!���� ����� ����-

��!��� n ����������������� (�� ��� 1) ��� , �������� �� � �� �!����

����� ������!��� (����������������� ��� 1) �������� �� . '�

> � ����!>���� ��� ��� ������, ���������! � ����� ��� ��������

�� ��� � � ��������� ������ ����� ��, ��� ��� ��� � ���, �� ��������.

% ���������� ������� ��� �������� � � ���> ����� ���>� ��� ����-

�"�, � �� �� �� � ��� ��� ���� ����� "��� �!���� ���������� ���-

���!��� ��� � � � �������� �� !���. % ������� ��� � ������� ���-

����! ���!� ����� , ��� ���� ���� ���������� ������!��� ���

���������� ��� ����� � ������ �� ���������»110.

���� ����� ����� ��� �����, ���� �� ����� ��� ��������,

�� +���� �����. % �����, ���� ����, ��+��� �� ���� �������� 3, 4, 5 ��

7,111,112 ��" �� ������� �� ��������+�� �� �� ����� (�� � ��> ����� �����

���������!���) ��������� �� �� ���������, ��� ����� �� �����-

����.

�� ������� ������ ����� ���� ���������� ��������, � �������� �

���������� �� ������� ������� �� ���!� ���� � � �� ��"�� (1�� �������).

'� �� ������� ����� � ���� �� �� �� ��������� ���, ���� ��� ������

������!��� ��� ���������� ��� (2�� �������). #� ��! � ����� � ;���-

>�� �����! � � ���������� ���� ��� ����"� ����� �����"� ���

���>� �� ��� �������� ��� �����"�113,114 «�j �X� {�X� q���� �����

����� Z�! ��� ������» (6�� �������).

110 M. Kline, op. cit. p. 69.

111 % ����� � # . /

� � ����!������ �� +����� �����"� ����"� �, � ����� "��� �>�$

��! ��<��.112 � ������ ��� ���� ��������� ���� �� � >������� ��"� � � � �������� �� ��� Hilbert ��. �� ��"�� >�� � � ��������.113 $�. A. Szabó, op. cit. pp. 157-198.114 $�. ��� Ch. Phili, About the Theory of Proportions exposed in the V Book of Euclid’s “Elements”. Proceedings of the International Congress of the History and Philosophy of Sci-ences Unesco. Islamabad 8-13 Dec. 1979 pp. 165-175.

02 arx kat FILH.indd 18602 arx kat FILH.indd 186 30/1/2010 2:13:33 ��30/1/2010 2:13:33 ��

32

II. ������ � ������� �� ������� ... 187

���� �� ������, � ��� � ������� ������� ��� � 5��, � �����

��������� � � ����� � � ���� �� ��� �����115,116

� � � 0�$�� �0 $��

� �

0���� �0 ���

0�#�� �0 #��

����� ���� � ��� � �

� � ������� �����! ������� �� � � ���� �

��� ����!��� ��

�� �

. «% ;����� �», ��!��� � Frege, «����������

���� 5� ������ ��� 5�� $�����, ����!+��� � � ����� ��� ���������!����

�� � ����� � � ���� � ��� ��� ����� ��� � �"�. *� �� � ����! � �

����� ��� ���������!���� �������� �� �� ���� � ����"�. '� ��-

������� �!���� �� � ������ � �� ��� ���� ������, ���� ���������!

������� , ������� ������! � ������ � � �� ������� +���».117 ���� �����!

�� ��� ��� ���� ���� ���� ���! ��� ;����� �� ����������� ��!��-

115 � ��� �� ��� Heath ��� ����� �������: � ����� ��

���+�� �� ������ ��� ����-

�"� � �"� ����"� �0

�� �������� "��� �'>�$ �� �'1 �$, ��! Dedekind ���� ��+��

��� � �� � �������� ����� ��

. ���� � ����� �

���+�� �� ������ ��� �����"� � �"�

�0

�� �������� "��� �&>�� �� �&1 ��.

� ��! Dedekind ���� ��������+�� ��� � �� � �������� ����� �

. '� �� ��� �����

��������� �

� �� �

, ��" � ��"� ���� ��� �������� � � ������ � � #

� �2 34 56 7

����

��������� ��� 7� ������. $�. �.;. Heath, The Thirteen books of Euclid’s Elements. Ed. 1926. Cambridge. pp. 124-126.116 % K. Weierstrass ��� ������� �� ��� ������ ��� ��� ����"�. $�. P. Dugac, �p. cit. 117 G. Frege, Die Grundlagen der Arithmetik. Hamburg, Felix Meiner 1988 p. 32.

02 arx kat FILH.indd 18702 arx kat FILH.indd 187 30/1/2010 2:13:33 ��30/1/2010 2:13:33 ��

33

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���188

�,118,119 ��’ ����� ������ ���� � ������ ������, � ����� ��� ���������

��� �������� ���� � ��� ����� �� �� ��!�� ��� ��������� �’ ��

� ��� � � ���� ����� ����� ���� ������� � ���������� �� ��������

���� ����� ��!>���.

% �� � ��� J. L. Gardies ������: «�� � ������ �’ ��� ������ ���-

��� ��� ��� ���� ��� ����� ����!������ �� �� �� ��� ����� ������"����,

���� � ���"�� � ����+�� ��� ����� �� � ���� (������� ) �� ����.

'��� �� ����� �� � ��� ���! ���� ���� ��� ��� ������� ��� ��

��� ��� ��� ��, ����!������ �� ��� ���� ��� ��������� �����-

��"�, �����+�� ���� ����>��� ��� 5�� $����� ��� ���������� ������,

���� ��!+��> ��� ���"� ��+��>���:

[( )� �! # #a c xy xa y xc yd

d ορσβ και

β � ( )� �xa y xc ydβ και �

xa $ y� ��� xc $ yd)] ���� ���� �! ���������, �� �� ��+��>

���"� ��������!���: ���� xy ������

[( )

( )( )

� �! # � #

� � �$ � $

a c xy xa y xc ydd

xa y xc yaxa y xc yd

ορσβ

β

και β

και β

������ ���� ����>��120 ��� �� ��� ���� �����"���� ��� ��� $����#

��� �� ����, ��! ��� ������� � ���� ���� �� ��������� � ������� ��

>� � (��� �!��� �� ��� ��� ���� ����� ����� � �������� ��� 5��

$�����) ��� �� ������ ��� �����*� ��� ������ ��� �� ������ ��� ��

������ ������ ����������».121

118 % '������ � �� �����������! ��� ��� �������"� ��� �� �������� ��!���.119 V. Katz, op. cit. p. 78.120 $�. J. Carrinet et J. L. Gardies, Ordre total et archimédien entre grandeurs dans les Eléments d’ Euclide. Les définitions 5 et 7 du livre 5. Cahier du Séminaire d’ histoire des mathématiques de Toulouse. No 7 pp. 3-11.121 J. L. Gardies, L’organisation des mathématiques grecques de Théétète à Archimède. Vrin. Paris 1997, pp. 60-61.

02 arx kat FILH.indd 18802 arx kat FILH.indd 188 30/1/2010 2:13:33 ��30/1/2010 2:13:33 ��

34

II. ������ � ������� �� ������� ... 189

������ ����� ��� ������� ����� �� ������!��� �������, � ;���>��

�� ��� 9� ������ �����"��� ���, � �

� � � �� � �

� � ��

� � �

� �

� � � ��� � � �

(��� �� ����� �������� �� ������ ����, ���� �� ��"�� ���� ��

���� ������� �� ����!��� ���� �� ��� ���� ��� ��"��� ���� �� �������),

��" �� �� 10� ������ ����� ��� �� ��� ������ � �

� �

� � � � � �� � � � � �

� � � � �

����!+�� ��� ���� �

������� ��� ��

, ��" ������� ��� ��

�����-

�� � ��� ��

122.

'��� ��+�� ��!����� ������� ��� ���� ���� �����, ����!+����

����!> ���� � � ���� ��� ����� ���� �� � ��� ���� (�

� � �� � �

� � � � ������ � �������� ��� ��� ��!> �������!

������� �� ������ ��� � ������ ����� ������ � ��� ������� 12��

�������) ��!���� (�������� ����) � � �

� � � �� � �

(13�� �������), �

��� ��+�� � � ������ ��� ����� � ��� ��� � �

� � � � (14�� �������),

«����� » ��� �����: - -� � � �

� � �� � � �

(15�� �������), �� �������

��� �����: - -

� � � � �

� � � � � (16�� �������).

�� ����� ����� � � ����� ��� 5�� $����� �������� �� � � ����

��� ����� ������� ��� �����"� ��� ������!+���� ���� 25 ����!����

��� 5�� $�����.

<��� ��"��� ����� ����!���� ������� ���� ������������� �� �����-

�� �������� ����� ���:

'� ��!����� ��� ��!��� �����"� ��� �������, ���� "��� �!�� �������

� � ��"� � ��!�� � ��� ��� ����� ������!��� ��� ��������� � �

122 =����� � ������������ ��� � ;����� � ��� ��������!+�� ������, ���� ��� ��� ��������!+�� ����� , ���� ��������!+�� ����� �� �������. ;�� � ��� ����� ���� ����� .

02 arx kat FILH.indd 18902 arx kat FILH.indd 189 30/1/2010 2:13:33 ��30/1/2010 2:13:33 ��

35

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���190

������ �, ���� �� �� !������ ��� �����"� � � ��"� � ��!�� � ��� ��

��� ��� ����� ������!��� ��� �������� ��� �����"� � � ������ �

��! ��. (1 ����� ).

<� ������� �� ����� ��"�� � ����� ���, � � � �� �� 888� ��� �

����� �� 1 2, ,... vβ β β ��� �����, "��� � � � � � �� �0� � � �0� � � �0� �

� � � � � �� �� �888�� �0�� �� �888�� 123 ��" 2 �� 3 ����� ��!����� ��

�>��:

'� , �, �, �, �, + ��� ����� : =��, �=��, �=��, +=�� (�, � ������ ������)

���"����0��9����0�

'� =��, �=�� �� ;�=�, ��=��.

�0��0�����0��0�0�����0��

<� � 4 ����� �� ��"� ���! ������!+��� � «���� �����», �

�� �� �����, �� � �"��� ���, � � ����� ���� ��"��� �������� ���� ��

������� ��� � ���� �� ��� ���� ���� ����� ���� �� ������ �������, ����

� ��� �� ��� ������!�� ��� ��"��� �� ��� ����� ���� � ��� �����

���� ��!�� ��� �������� �� ��� ���!���� � ����� ��� ��� ���� ��!

������ ������ �����������, � � ����� ��!�� �.

� ��� � � 0� 0 � � �

� � �� �� ���� �, � ��������.

&� � ����>�� ��� � � ���� � � ;����� � ����!+��� � ����>��

���, � �(�') �� �(�&) ��� � ������!�� ��� �' �� �& �� �(�$),

�(��) ��� � ������!�� ��� �$, ��, ����, ��� �� �(�') � ������

�� ��� 5� ������ �� �� ����� ������"����:

�(�')>�(�$)

�(�')=�(�$)

�(�')<�(�$)

123 $�. �� ;�������, 4������ *.;.;=.;*. '��� 2001 �. 378-379.

02 arx kat FILH.indd 19002 arx kat FILH.indd 190 30/1/2010 2:13:33 ��30/1/2010 2:13:33 ��

36

II. ������ � ������� �� ������� ... 191

��! ��� � �

� �, �� ��� �������������� ���� �� ��� ������ ��� ����

����� ��������� �� + �������.

<� � 7 ����� ���������� ���, � � �

���� �

�� �

� �, �� � 8

����� ���������� ���, � � �

�#�� #

�� #

� �.

<� � 11 ���������� � � ��������� � � � ���� �� ��� �����:

'� � �

� � ��

� � �� � �

� � � �, ��" 16 � ', $, &, � :

AB

� �� � �� �

��

��������� ����!���� �������� �� � ������ � �� � ����� �����, ��"

�� ��� �������� �� �����:

'� � ��

� ��

� � ��� ���� � �

� � (24 ����� )

'� � �

� � �� ' ��� ��������� ��� �� � ��� ��!����� ����#�� (25

����� )124.

<�� 5� $����, ����, ���� ����, ������!+���� ���� ��� �����"�

�� ��� ����� ���>� ��� �����"�, ��"� � ��� ��������� �' ���

��� ����� ����!+���� ������� �������. � ���� ��� ��� �����-

����� �� � � �>���> ��� #� ����"�.

'� �� �������� ��� �����������. ���� ����, ���� �� =���������

��� �� �� �������� �� ����� «�����������» ���� !�� ���� �� ��

����������� �������� ���������� � ���� ��������. ���� �� �

��"� ������ $��� ��� 4������&� ����� ����� ��� ���� � � ���-

����� ��� �������� � ������ ������ �� ������ ��������� ���-

�"�, ��’ ��� � ;���>�� ������� ��� �� ���� �� �� 5� $����125. � �����-

124 #� � � ����� ��� � ;����� � ���������� ��� � ���� ����� ����� ��� !����� ��� �"� ��� ���������� �� ��� ���������� ���� ��� ����"� ��"�. ;�������, 4���-��� (*.;.;=.;*.) '��� 2001 �. 416.125 ���� �� ������ ��� �� �� ����>��� ����� ���������� �����.

02 arx kat FILH.indd 19102 arx kat FILH.indd 191 30/1/2010 2:13:33 ��30/1/2010 2:13:33 ��

37

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���192

�� ��� 5�� $� ���� ��� ����� "��� �������� ���� � ������ �� ��

������ ��� �� � �� �����"�, ��� �� ���� ��� ��� ����!+��� ���-

����.126 #� ��� �����! ���� ��� 4������&�, ���� ��� �����"� ����� ��

��� �� �� ���� ���!� �� ������ �� ����"�, �� ����� ��������

��� ��� ���� ��� ��+��� �� �������127. ���� ���! � � '����-

� � , ��� ������ � ��� ����������� �� !�� ��� �����, ����� �� -

����� ���� �������, ��"� ��� ������ ���! ������ ������ 128 ��’

�����.

���� � ;����� � � � ;���>�� �� �� 5� $���� ���������� �������!

�� ���� ������, ��"� �� � ����� ������� � ���� ���� �� !�� -

��� ����� �� � ����� ��� �����"� ����� � ��� !�� ��� ������.

) '� ���������� ��� � ����� ������� � ��� !�� ��� �����.

=�’ �� � � � ��� �� ���� ��� 4������&� �� ��� �� ������ ��"���� � �

������, �� �� ������ ��� �>�������. % ;����� �, ���� �� ������,

��� ���� ��� ������ ��� �������� � ��� ��� ������ ��� ��+��� ���-

� � � ��� ���� �����"�, ��� ��� �� �������� ����� ��! ���-

���. «�� ���� ���� ��� �����"� �� � ���!�� ���� ��� �� � ���

��� , � ��� ���������� ���� ;����� � �������� �� �������� �� ���-

���. ���� �� ���� ���� � ��� ����� � ��� ������, ��� �� �������� ���

���� ������ �� ��� ���� ;����� . ;������� ��� 5� $���� ���������� ����!

������� � ����"�, � ��� ... ������� � ���� ���� �� �������!.

;�������� �� � ����>�� � � 18 ����� (� � ��� ��� � �

� � � �) ����!-

+��� � ����� � � ����� �!���� �� ���� �� ������ ����� , � ���

����� � � ����� �� ����� ��� ��� �������� �����» (VI, 12)129.

126 *!����� ����>��� �+ ���� ���Ê�������� ��� ��� ������� � ���������� �’ ����� ���� ������ ��������.127 #���� �� ��� 18� �"� ������� ������� ��� ��� � ����� ��!��� ��� #� �-���"� �� ��� �� ������� . '��� �������� �� � 4������ �� �� �� ��� ����� ���� ��� ������ �������� ������� � � � ��������.128 M. Kline, op. cit. p. 72.129 �dem. &����! ������� � � ����� � ������ ��� ����� � ��������� �� ���� �� �� ��� .

02 arx kat FILH.indd 19202 arx kat FILH.indd 192 30/1/2010 2:13:34 ��30/1/2010 2:13:34 ��

38

II. ������ � ������� �� ������� ... 193

'��� �� «>��» � � ���> � ������ ���, � �� ��� �����"���� ���

5� $����, �� ���������� ������ ����� ���� ����>���.

'��� ������ � �������� ��� ���� 3� ������ � ;����� � ���+�� ���

� ����� ��� ������� (��� �����, ��� ����), � ���� ����! ���

������ �� �������, ���� � ������� ��� � ��� ��� . � ����� ��� ����-

���� ��� �������� ��� �� �������. $��� �������� � �������-

����� ��� ���� � � ����� «��� ������ �!���� ���� � ������»130. %

;����� � ��� ���� � � ����� ��� � ��� �� � ����������� ��!�� ��� � �

���� ��� ������.

�) '� ���������� �"� ��� ��! ��� ;����� �� ����� ��� �����"�

������� � ���� ���� �� �����. #� ��� �� �������� «�� ���������

����� � ��� !�� ��� ����� �� �� ��������� ����� � ��. '� ��� ��

����� ��� �����, � ������ ����!������ �’ ���+���� �� � ����-

����!+����. '��! ������! ���� ;����� ��� ����+��� �� �� � ����

� �

� �, ��� ', $, &, � ��� ����� . <� � �������� ���� ��� ����� �-

��"��� ���� �� ������ �����»131.

#���� �� 1800 �� ������� ����� ��� ��� ��� �! ������������ �� ���-

������� �!� 132.

130 M. Kline, op. cit. idem.131 Idem.132 «� ������� ��� ���� ������� ��� ��� ����!+���� �������� ������ � � ����-� �� �� ��� ������ � � � �� �� �� � �������� ������ ��� ���������, ��� �� ���� ������ � �!� � � ������� � ������� �». L. Brunschvicg, op. cit. p. 97.

02 arx kat FILH.indd 19302 arx kat FILH.indd 193 30/1/2010 2:13:34 ��30/1/2010 2:13:34 ��

39

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���194

6. To 10� $���� ��� <�������. � �>���� � ��� ������

�� ����� � ��� ����!���� ��!��� � � �������� ����� � -

���� ��� ��� ����� � � ���������� ��� ����� ��� 10� $���� ��� 4���-���&�, ��� ��� ��� �� ����� ���� ����� �������� �’ �� ����������

�� ��.133

� ���� � ��� 10�� $����� ��������! �!���� �� � �+�� �

��� ����������� �������� ��� ���������� �� � �������� �>���� � .

% �� � ��� Marouane ben Miled, �� ���������� ��� �������,134 � ���"-

��� ��� �� � � �+�� � ���� ��� �������� «�� �������� ��� #� �-

���"� ����� ��� �� �������� ��� �� ������� �"�����: � ���

������ �� ��������� �� 4������, ��" !�� ��� �������� �� �>�������.

�� ��"�� ���� ��� �������� ��+��� �� � �������� ���� ��� 4���-���&� ��� �������� � � �+�� � ��� ������"���� (����������� � ���)

��� � �� ��� ���������� �����"� ��� 10� $����...�� ������� ���� ���

��������, �+ �"��� �� � ����������� ����� � �� ��� ������

��� 10�� $� ����, �� �� �� �� ��������� ��������� �� ��������� �������

����� �� ����� �� ���������� ���������».135

���� �� � � ��!��� � � �������� ������ �� �� ������

���� ����� ������� ��� ��������. «� ����� ��� ��������"� ������ �

���� ����� �� �������� ���� ��, ���� ������ � M. ben Miled, �� ���

�� �����"�, �� ����� �+�� �� � ��� ������ ��! �� ������ ��

����� ����� ��� �����"� �����"�».136

133 I. Mueller, Philosophy of mathematics and deductive structure in Euclid’s Elements. The MIT Press, Cambridge Mass. London 1981.134 Les Commentaires arabes au Livre X des Eléments d’ Euclide jusqu’ au XIIe siècle. Paris 2003. $�. ��� � �� �� ����� ��� Opérer sur le continu, traditions arabes du livre X des Elé-ments d’Euclide, avec l’ édition et la traduction du commentaire d’ AbÍ Abdi AllÎ Muhammad b. IsÎ al- MÎhÎnÏ. Préface R. Rashed. Académie Tunisienne. Carthage 2005.135 M. ben Miled, op. cit. pp. 19-20.136 Idem p. 21.

02 arx kat FILH.indd 19402 arx kat FILH.indd 194 30/1/2010 2:13:34 ��30/1/2010 2:13:34 ��

40

II. ������ � ������� �� ������� ... 195

«1) � ��"��� ������ �������� �� � � ����� ��� ����� �����"�

�� ���"� ��� � ������ ��� � �� ���� �������. &�’ ��� �+�� ��

��� !>����: � � ������ � � ����� ���>� �����"� (��� �� �� ��� 5�

$���� ��� 4������&� �� ���� ����!���� 5-9 ��� 10�� $�����) �� �� �

�!�� �����, ��� ������ ���!�� ��� �����"� �����"� (��� �� ����

�� � ��’ !������ ����� �����"� �����"� �� ���� ����!���� 1-4 ��� 10��

$����� ��� 4������&�). ���� � ;����� � ��+�� � ��� � ��� ���-

����� � ��!��� �� � ����� � ��� ������� ������ �� ��� ����!����

2, 5 �� 6 ��� 10�� $����� ��� ������� � ��� ���������� � ��������

� ��� ����� ����� � ��� ����� �����.

� 2 ����� ������ ���, � �� ��� ������ !��� ����� ���-

������ �!����� �� ��������� �� �� �������� ��� �!�� ���! �������

��� ����! �� ��� ������� ���, ���� � ��� ����� ��� �������. %� ���-

�!���� 5 (� ������� ����� ����� ���>� ���� ���� �� �� ��� ���� ���

����"� (�����"� ����"�) �� 6 (� ��� ����� ����� ���� �� �� ��� ����

��� �� ���"� ����"�, ���� � ����� ��� �������) ����������� ���

��� ����� ��� ������� ���� �� ���� ���� � ����� �� ����� ��� �����

���� ������ ���� ��� �����. ������ ��!, � ;����� � ��������+�� ��

����, ��� ��!� ��� ���>� ��� <������� �� ��� ������������. � ������

����� ������ ��� ��� ��������, � ����� �����! ��� ��� ��! ��-

����� ���,137 ��� ��� ��� ��������! ���� ����. ���� �� ���������

���� � � ����� � ������� ��� �,�� ������ �� ���� ��� �� �� ���� �

���� ������ �� ���� ������� ��� ��� �� ������. %� ����!���� 5 ��

6 ��� 10�� $����� �� ��������� ��� �� ����� ����� ��� �����"� ���

���� �� ��� ��� �� � �� � � ������ ���� ������ ��������� ��

������ �� ���������� ���� � . ����, �!�� ������� ������� ��������� �

����������� ����� � ��� � ��� ��� ������� (���������

137 «� 2 ����� ��� 10�� $����� ������!+�� � � ������� . #� ��������� � ����-+���� � ��� ����� ����� ����� ����� �+ �"��� �� ��� ���!�� ���� *���� #����. '� � ��������� ������� �’ ��� ���������� ����� �������"� � ����� ����� ����� ����� �� ������� �� =#*#, � ��� ��� �����. /����! ��� �� «��������» ��� ��-�������� ��� �����+��� �� ������� ����� – �������� ����� � ��� 10�� $����� – ��� ���� ��� ������� �’ ��� ���������� ����� �������"�, ����� �� ������� ������"����, ���� ����+��� ���������� �».

02 arx kat FILH.indd 19502 arx kat FILH.indd 195 30/1/2010 2:13:34 ��30/1/2010 2:13:34 ��

41

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���196

�!��� �� ���� ��������� � � �� ����� � � ������� ��� �����"���

���). ¯�, ������ ��� <������� �� ��� ������������ ������� ��-

�� 138 �� �� �� ����. '�’ ��� ��� ����� �!�� � ������� ��

����� �, �� ��� � �������� ������ ��� ��� ���� ��».

«2) � �������� ������ �������� �� ��� �����!����� � >�������

�� ��� �� � ��� ��� �� �� � � �������. &�’ ��� �� ��������� ��

��� ��� ��:

«� ���� ��� ��������� � � ���� � «���� ����� ����� ��», �� � ����-

�"��� �� �>���� � �����"� �� ������� ����� "��� ��� ������� ���� �

� �������� �� � �� �!> 139 �� � ������ �� ��� ����, � ������ ���

�!>��� ���� ����������� � ���, ��! ��������� �������� �� �� �

«acces sible à l’ entendement».140 ;�" ���!���� ����� ��� � ��� �� ����

�� � � ������ �� �� �!> �� � � ��� ���������� ��� !����. � ��� ���

�� ��� ���� �� � � ����� � ���� «��������» �����"� �����"�, ���-

������ ���� �������� �� ���� �� ����� ��������! ��� ���� ����

�������, ��� ���� ��� ��� �� ������. <� � ��������� � ��� �����

�� ��� ����� ������"� ��� �� �������������. ��� �� � ������!

����� �� ��� �� � ����� ����� ».141

138 «=������� �� ���� ���� �������� �� � � ������� �� � � ���� ����. � ��� �!�� ���� ��� � ��� � � ������> � �����"��� ������� �� ���� ���� � ������ � �� �� ��������� �� ��"�� ������� ��������: � � !�����».139 «��� �������� �� �!>��� ��������. '� ��� ��������� ������ �������� �� � �� �!> , � ������ ��� ��� �!> � ��� ��� �!�� ������� ���� ��� ������� �� ���!-���».140 «<����� �� � � ������� ��� =!����, �>’ �� ����� ��� ����������� ������ �� ����� �� ���� � ������������ ������� ��� '����"����, ��� �������� ��� ������ ��� =!���� ��� 10�� $����� (39, �� §1)».141 «'���� «� ��������» ����� �� ����� , �������� � ����������� ��� ������� ����� (��� ������ � ��� ����!�����), �������� � ��������� �� ��� ����� �� �� ��� ���!��, �������� � ���������� � � ����!��� ���� ��������� �� �� ������� �� �������� �� ��� ������� ���, �� � ���������� � � ������� � � «����� ��� ����� �� ����-�"���» � ��� � � �����! ��� �����"��� � � ������� � � �� �� ������, �� �� «���-������� ��!> » � � �>����� � � ����������� �+� ���� ���������. '��! ��� �������� � ������ ����� ��� ����� �’ �� �������, ���� � ��� ���������. ��� �������� ��-� � ���� � ��������!����� ���� � ���������� ��� ����� �� �� ������� �� ���

02 arx kat FILH.indd 19602 arx kat FILH.indd 196 30/1/2010 2:13:34 ��30/1/2010 2:13:34 ��

42

II. ������ � ������� �� ������� ... 197

«'���� � ������ ���� >� ��� 10� $���� ��� <�������, ��� ����� ��

���������, �� � � 10 ����� �� ���! ��� � ���������� ��� �� �� �-

��� ����������� �� �� ����� �>���� � .142 � ������� ���� ��� «���-

�� ������ ��������» �� ������! ����� ����� ��������� � ���� ����

+ ������ �>���� � .

�����, ���� ����� ��� ������ ����� �� ������ ����� �� �� ���-

���� ������ ����+��� ���� , �� ����� � � ������� ��� ������

�����"� ��� ����������! �������. '��� ��� �� ��������� ��� 10��

$�����».143

&� ������� ���������� ��� #� ����"� �� 10� $���� ��� 4������&�

��� �� ��� � ������, �� ��� ��������� �� ��� �� ��� �������,144 ��"�

� ��� ��!+�� �� ������������ �>���� � ��� !�� ��� � �"�, � ���

� �������� �� �� ��� �������� ������"� ��� ����"�, >����"��� ��

�� ����� ��� ������� ������, ���� �����! � ��!���� ���� �

������� ������. *�! ��� �� � �� J. L. Gardies, « ������ ������, ���-

���! �� � !�� $���, ��� ������ �� � � ����������!� � ���

���!��� $�����, ������� ��� �,�� � ����� � � $��>����� ������ �� ���

������� �������� ����� ������� �’ �,�� ��� ���, ��������� �!���,

��� ������� �� ��� ����� ���� $���� �� � ���������! �����».145

������ ��!+���� � ��������, �� ������� �� ��� �����, ��� ���! �� ���� � �� ����!��� ��� ����������� �’ ���� � ��� ���+����. '����� �������� � ���������� � � ����� � ���>� ��� ����� ��� ����"� �� ��� ����� ��� �����"�. #� ��� �� �!��� ��� ����>��� ��� 10�� $�����... ������ ��� ��� � ;����� � ������!+�� �� ���� ��� ����� ������� �� �� �����> , ��� �� �� �� ��� ����� ��� ���� ��� ����� �������� �� ���������! �������� ���� ��� � ����� , �� ����� �������� �>� �� � � ������� ����».142 =�����"��� � ���������� ����������� ��� � � �>���� � � '����"���� �� ��-� �� � ���!+��� �’ ��! ��� ������ !�� ���� 39, ��, §1.143 M. ben Miled, op. cit. pp. 21-23.144 % Simon Stevin ������: «� ������ ��� 10�� $����� ... ��� ��’ ������� ������� , "��� � ����!+��� ��� �� ����� ��� ����� ��� �� ����"�, �� ����������� ��� ��� ���� ������� � ���� ��» Oeuvres mathématiques de Simon Stevin de Bruges, où sont insérées les Mémoires Mathématiques desquelles s’ est exercé le Très haut et Très illustre Prince Maurice de Nassau … Leiden 1634 p. 10a. 145 J. L. Gardies, L’organisation des mathématiques grecques de Théétète à Archimède. Paris. Vrin 1997. p. 155.

02 arx kat FILH.indd 19702 arx kat FILH.indd 197 30/1/2010 2:13:34 ��30/1/2010 2:13:34 ��

43

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���198

'����� ��� �� � ��������� ��� �� ����� �� ��� ��� ��, ��"�

� �"����� ��������� � � 9 � ����� �, ����� ���: «�X ��"� � ��¡��

��� ������� ���@� �]� � �@ ���� �� {��¡ À =�!��� �� ������� Z��’

���^ �|� �����"����� q������, ���¡� �| ������»146,147.

<����� �� �!����� �"���� �������� ��� 4������&�148 � ������ ���

10�� $����� ��� � «���!>� ���@ ��������� �@ Z��������� �@ ���@

Ð ��� �@ Z����� ... ���@ Ð ��� �@ Z����� �{ ���� ... Z��j ��� ¢����-

��!��� �¦���, ½� ������������ ������� ������� ������ ½� ���j� �@ À

Ñ��� �"���� Z���!���».

'��� �� �� ������149 ��� Aboû Uthman al-Dimashqi150 (ca. 1000 �.(.)

�� ����������� ���: «� ���� ��� ���� ��� �+�� � � �� <���� ���

=�����. '������ �� � �����! �� ��� ��� �� ��� '� ��, � �����

�’ ��� ��� ��!��, ���� �� �� !�����, �����>� ����� ����� �, "���

���� ��� ���+�. '��� ��� ��� �� ���� �>������! �������������

���" ����, �� �� ������ ���������� ����"� �� �� � ����� � � ��-

���� ��� ��������� �’ ���� ��� ���������, ���� ������ � ��"����� ��!-

����� ��� =�!�����. ��� �� � � ����� ��!���� ��� �������������

�����"� �� � � ��� �� �����> ��� ���� �!��� ���� � � �����,

������� ��� ��! ����� ����� ������� �’ ����. *� ������, � ����

'����"����, ��� ����� �������� !���>� �� �� ������ � ��� ��

#� ����!, �������� �’ ���� ��� �������� � ������� ������ ���!

�� ������ �����!����� �� ���� �����. &�� � ��� ��� �������� ��� ���!-

���� �� ����� ���������� �� ���������� �� ������ ��� ������� !�� ���

������ ��! ��!����� ������ �������� � ��� 151 ��� � � �������,

��� �� ��� ����!��� ��� � � ���� ���� �� � � ������ �� � �������,

146 ;�������, 4������, ���. Heiberg ���. V �. 450.147 % van der Waerden ��� ����� ��� + ����� � ��� '�� ����� ����� ��� � �������� ��� ���� ������ ��� � ��� ��� ��. op. cit. p. 172.148 ;��. J. Heiberg, ���. V �. 414.149 ��"����� ����� ��� ��� 4������&� ������� ��� ��������� �� ������ ��� =!�-��� (300 �.(.) ��� ��� ���"� ��.150 �� ������ ��� ��� ������� �� ����! �� ���� �� �� � ������� �� �� 1855 �� ��� Woepke.151 '� , � ��������� ���>� ���� ���� ��"�����, -� ������ �� �� ��� .

02 arx kat FILH.indd 19802 arx kat FILH.indd 198 30/1/2010 2:13:34 ��30/1/2010 2:13:34 ��

44

II. ������ � ������� �� ������� ... 199

���� ������� �� ��� ;�� ��� ��� =����� �����. ���� ���! ���

;����� , ��������� �����"� ������ ������ ������"� �� � � �������

�� � � �������. �������� �� ����� ���� �������� �� ��� ��������

���>� � �"� �� ������ �����"� �� ����� �� ������ �����>� � �

�������� �! ����»152,153.

% =!���� ������, ���� �� ������� �� �����! ��� ��� 10� $����, �

al-Dimashqi,154 �� �������� ��� ����!���� 1 �� 2 ���� ��� $����� �� �

����� �� <������ �� � � ����� � ��� � ��� ��’ !������ ������� �� ���

����������� ������ ��� ������������� �������"� ����-

���� ����� � ��� ������ : «�� ��� � �������� �� � � ��"� ���

����!���� ���� ��� $����� ������ � � ���� ������� ��� �����"�

����!��� �� ���� � � ��������. '��� ��� ��� >�������� �� ������

��!��� ��� ��� �� �� ��!����� ���� ����+��� �!�� �� ��� �����

���� �� ��� �� �����, ��� ���� ��� �����"��� ����. ���� �� <���-

��� ��+��� �� ��� �� ���� ������ ��’ !������».155

;��� � � ����� ������, ��� 4� �"� �.(. ��!���� ��� ������ ���

��’ !������ ����� �������� �� � � �������, ��� ��� ��!���� ��

���� ��!���� ���>� ��� �������� �� ��� ���������� !������. #!����

� ������� ����� ��� ��� ���� ��� ���"� �� ����"� M. Caveing ���-

152 P. H. Michel, De Pythagore à Euclide. éd. Les Belles Lettres. Paris 1950 p. 109 �� 457.153 <�����! �’ ��� �� ������ ��. �� «#��� �| �X ���X� ���^� Ò�� ����� ��� ��@ =��-����� �@ ��� ��’ {�X� �� ������, Z���� ���� �� �@ ° ���������? �@ ° ���| �|� ¤����� ������� �¸ �!>�� ��� , ¤�X �| ��� ���@ Ó����� {��� �@ ¨����� ¢������� ����� ��^� ��� ��¬� ��j �X °� ����� �@ �����|� �������� ������ ���������». Greek Math. Work Loeb. Vol. I. p. 112. $�. �� G. Junges & W. Thomson, The commentary of Pappus on Book X Harvard Scientific Series VIII. Cambridge Mass. 1930 ��. �� � � ���������� 1968.154 % Abu Uthman Said ben Yaqub al-Dimashqi, ��������� ��� <����� ��� =!���� ��� 10� $���� ��� 4������&� ��� ������. #!���� � ��+�� � Al ben Isa, �� 914 ��� ������ ������� �� ��� ���������� � � $��!� �, � � #���� �� � � #����. ;���� �� ��� �����!���� � � /������, ��� *� ����"� �� ��� �����"� ��� '�������� , ��������, ���>� !����, �� �� ���� ��� &� ���, De pulsibus ad tirones �� � ����� ��� �����-��� ���� ��!�� /�������.155 G. Junge & W. Thomson (eds), The Commentary of Pappus on Book X of Euclid’s Elements. Cambridge Mass. Harvard University Press 1930. $�. ��� � � � �������� New York 1968 §4.

02 arx kat FILH.indd 19902 arx kat FILH.indd 199 30/1/2010 2:13:34 ��30/1/2010 2:13:34 ��

45

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���200

> �� ��� � � ������ �������� ���: «� ����������� (��������� ����

��������� ��������, � ����� �����"� �� �� � � 2 ����� ��� 10��

$����� ��� 4������&�) ��� �� �� �� � �����> � � �������� ��� ���

�� �!��� ��� ��+��� ��! �� � �! � �� ������ �� ��! � ���-

��, ��� �� �+��� �� � ����������� �������. ���� �!�� ���!

�� ����������� ���� ��� �!�� ��� ���!�� �� �� ����, �� �’ ���,

��� � ��� ����� ���������� �+, �� �� ������ ������� �, � ���-

�������� ���! !�� � � ��. �� ��������� �������� ��� �� -

����: ��� ��!���� ��� ��� ���!�� !��� ��� ��� ������, ���������� � ���

!�� !�� �������� �� �� ��� ����� ���������� ��� ��� ���!��. ���

��� ��� ��!���� �� !�� �� � ���. ;�� ��� �� ���� ����!+�� ��> ��

���� ���� �� ������: �������. � ��� �� >�� ������� ���� ��

>� � ��� Dedekind ��� ��� ��� ��. '����� �� «>�� ��� '���-

��� » �� ����� ��!�> ��� � �"� � ����».156

&� ��� =!���, ������ ���� �� ��� ����� ���, ��’ !������ �����

�� �� ������������� !������ ��������� �������� ���� �+��� ��

<������, �� ���� ����� �� � �������, �������!��� � � �������, ��

���� ���� ����� ������� �� ����� ��� ���� ��������� «��� � ��!�-

�� ��� ��+ �!�� ��" �� � � ���!>����, ������ �� � �������,

������� �� �� !����� ��� �������� ����� ������� – ����� ��

����� ��� ���� � �� �� ��������� – ... �� ��� ��� �� ����� �>!-

����� �� �� ��!�� ��� ��� �� ��� ����� �� �!�� ����� �� !�����, ��"

����� � ����� , ���� � �� ��+��� �� �� ���������� �� �� � �

����� � ����� ��� !��� ��».157

=��� �����"����� �� � <���� ��� =!����158 � ������ ��� � � ���-

��������� ��� ��� ����������� ��������� ����������� ��� �� ��������

�� � � ����� ��� � ���: � � ������� �� ��� =�!���, ���� ��-

� �� �� ��+��� �� ������ � � � � � ���� � � ���� �������� � ���-

156 M. Caveing, Quelques remarques sur le traitement du continu dans les Eléments d’ Euclide et la Physique d’ Aristote. Penser les Mathématiques (J. Dieudonné, M. Loi et R. Thom éds) Paris Seuil 1982, textes préparés et annotés par F. Guénard et G. Lelièvre pp. 153-154.157 G. Junge & W. Thomson, op. cit. §3.158 Idem §5.

02 arx kat FILH.indd 20002 arx kat FILH.indd 200 30/1/2010 2:13:34 ��30/1/2010 2:13:34 ��

46

II. ������ � ������� �� ������� ... 201

����� �������� �� � ���!� ������ � �������. � ��������� �� �

���!� ����!+���� � �! �� � ������� !�� �. % �������� �������

��� � ������� ���������� ������� ��� 10�� $�����. #!���� � =!����

������!+�� �� ��� ��� ������ ������ ���>� ��� �����"� �� �� ������

��� ����� �� � � ����� ���� ���� �� ��� 5� $���� ��� 4������&�.

<�� 10� $���� �� ��"��� ������ ������ �� � ���� ���� �� �� -

����� ��� ��������� �� ��� ���������. «<������ ����� ������ �j �µ

{ �µ ����� ���������, Z������� �| ½� � �|� �������� ����X� ������

���� ���»159,160 (1�� ��� ���). � ��� ��������! �� ����� � ��� �����-

���� � ��������� �������� ������+��� �� � ���> ������ � � ������

������ �� ������ ��� ������� �� � ���� ���� ����� ��� ������. #�

���� ��� ������, ��� ��� ��� ���� ��� 5� $���� �������+�� � � ����

�����"�. � ������� ����� ������� � ���� ���� �� �� �� �� ���

�����. � «��� ����» ����� ��� ������� � ����� ����������� �����

�����. '���� � ��� ���� ��������� ���� ������� � ����� �"��� �� �

���� �����"� �!��� �������� ������� ���� ���! ��������

������� � >��������.

;������� ����� ������� ������� �� ���� �� ����!���� (���!-

��� �� �� ��� ���!), ��� � ����!��� ��� � �"� ���� ������� ���

�� �� ��� ������, ��" ������� ������� �� ���� �� ����!���� ���

� ����!��� ��� � �"� ���� ��� ������� � ���� ���� �� ����� ������

(2�� ��� ���).

������ >������� � � ����� ��� ��������� � ��������� �����"�

��"� �� � � ����� ��������� � ��������� �����"� ������!+�� ��

«��" � �» �� ������. ���� �� ������� ��������� ���� �� ����

������ � �� ���!�. ���� � ��!����� !���� �������� �����, �

��� () ��� � ��� ������� �� ���� �� �����161 �� �� ����!���� �� ��

159 <������ ����� ������� � ��������� �� �� ��� �����, ������� ���� ��� ��� ����� ����� �����.160 % '. Szabó ������!+�� �� ��!����� �� � � ���� � � �������� �� � ��>�� ��� �� ���� ��� ��� �����+� �� ����� ����� ��� �� �!��� $�. A. Szabó, op. cit. pp. 217-222.161 � �� ����� «������» ��� ��� ��� ��� 10�� $����� ��� <������� �� ������ ��� ��"��� �����"� ���!+��� ����. %� ��!���� «����� ���������», «���!��� ���������»,

02 arx kat FILH.indd 20102 arx kat FILH.indd 201 30/1/2010 2:13:34 ��30/1/2010 2:13:34 ��

47

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���202

�������, ��� ������� ���� �� ���� �� ����!���� (�) ��� ������� ����

�� ���� �� �� ��� �� �� ����!���� �� �� �������. <� � ��"� ��� ����

� ������� ����� � ����!+���� � �!162, ��" �� ������ !� � �163.

'�’ ���� ��� ������ ��������� ��� � ���������� ��� ���� �����

���� �����, ���� ��� ���� �� ������ ������ ��

��� � ���, ��! �� ����

��� ����� ����� ��

���� , � ������ ������164.

� ��"� ����� ��� ��� � �!���� ���� ;���>�, ��� � ������

���� �� � � ������ � � �>!��� � �165, ��� �� �� �� 12� $����.

������ ��� !��� ����� . '� �� �� ��������� ������ �������

��������� �� �� ���� ��� �� �� �� �������� ������ >�! �������

��������� �� �� ���� ��� �� ������ ��� ���� ��� �������,

� ������� ������� ��������� ��� ���������� �� � ��� ������ ����!

����� 166,167. '� ����� � � �����> ��� ;����� .

������ ��� !��� ����� , �. '$=', &�=�, '$>&�. ­�!���� �������

� ������ "��� � �� � ����������� �� ���, � �������� ������� ���-

������ ��� .

���� �; �� ��������� ���� ��� ����!+�� �� ������!��� ����

��� � (� �. ��) �� ���� ���+���� �� � ����� � �� �, � ��, ��, �;.

'� ��������� ������ �� �� '$, ������� 12

� #B a �� �� �� '�

12

� # �� �.�.�.

�� ��>��� ����� �� ������ ����� � � �� ����� ���� ���� =�!��� ��� �� ���� ;����� . B. L. van der Waerden, op. cit. 167.162 % ;��������� ���� � ��� ��� ��������� �� � � ������ ������� �� ����� ��"��.163 ;������� 4������ (*.;.;=.;*) '��� 2001 ���. �� �. 182.164 % Aug. de Morgan ������!����� �� ������ ����������� ��� 10�� $����� ���� ��� � ;����� � �>��!+��, �!�� ����� ������ ������ ��� �� � ������� !����� ����� �

������ �� �: � , ���� , � ��������� ������. M. Kline, op. cit. p. 80.165 $�. �� *��!��� III: 5� �����&�� ���.166 ;����� , 4������, ���. ��. *.;.;=.;*. '��� 2001 �. 187.167 �� �������� �>��!�� �� ��� 4� ������ ��� 5�� $�����, ���� ������ ���� ��� ������� ����� ����� ����.

02 arx kat FILH.indd 20202 arx kat FILH.indd 202 30/1/2010 2:13:34 ��30/1/2010 2:13:34 ��

48

II. ������ � ������� �� ������� ... 203

%� ��������� '*, *�, �$ ��� '$ ����� �� ��� ������ �� ��� ���������

��, ��, �; ��� �;. '��� �� �;>'$ �� ����� �� �� �� �; �������

;� ��������� �� �� ���� ���, �� �������� �� ��� ��������� ��� ���-

����� �'. '�� �� �������� �� ���� ������ �� ������� ����"� ��

���� ��� ��, ��" �� �' ���� ������ ������� >�� �

. ¯� �� ��������

�� ��������� ��� ��������� '*. ���� �� �� ����!+�� �� ������� � !�

�� � ��������� �� �� ������� '* ��� ������� �� �� 168.

«<�� �������� � � �����> � � ;����� � ���� ��� �� ��"� � ��� ��

� ��������, � � ��� ��� �������� ��� ���!. <’ �� ��� � � ��-

���> � �� �������� �� >��, �� ���� ��� �����+��� �� >�� ��

��� ;����� , ��� �� ��� !��� ����� �� ��������� ����� � ��������

���� ���� ��� ���������� ����� ���"�, ���� "��� �� !������ �

>�����! �� ���������. % ;����� � ��+�� ��� �� ��� ���� ������ ���

����� ���>� ��� �����"� (���. 4 $����� 5). '��! ���� � ������� ���

��������� ��� �� ���. ����� ��� ��� ����� ����� ���� ��� �������

� ���������� ������ ����� "��� � ����� !������ ��� � >�����! ��

!���. % ;����� � � ������ � ����>�� ��� ��� ������� �� � �����

�� � ��� �������. '�� ��’ ��� �������� ��� � ����� ��� ����� ����

�� �� �������� �� ������� ��� �� ��������� ����� � �������� ����

���� ���, ������ ����� "��� � >����!��� �� ���������. <����� �� ���

'������ , ��� �� >�� �� �� ������� ������� , �� ��������� ��

�� ��� ;���>�, ��� �� �������� �� ����. % '������ � �� �� ������ ��

���� �����> �� ���� �� �� �������� �� >��. <���� ����!+��� -

>�� '������ - ;���>��»169.

=����� � �������� ��� � �������� ���� ��� $����� �� � �-

���>�� ��� ��������� ��� �������� �� � � ������� �� � � ������� ���

��� ������"� ��������� ����!+��� � �� ����� �� ���������! �������

� ��� ����! ��� �������� �� ��"��� ���! ���������! $���.

���� ��� 10� $���� �����!����� ����!���� ��� �� ����>��� ���� �����-

����� ��� �� � � ���� �����"� ��� �� � � ������ �������. '���

168 ;����� , 4������ ���. ��. *.;.;=.;*. '��� 2001 ��. 187-188.169 M. Kline, op. cit. p. 81.

02 arx kat FILH.indd 20302 arx kat FILH.indd 203 30/1/2010 2:13:34 ��30/1/2010 2:13:34 ��

49

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���204

�! ���> ��� ������!+�� ����! ������, ��� �� ����������� ����� -

��� ��� ���� � , ��"� �� ��� 5� $���� ���� ������ ���� �����"�, ���

������ � ��� ������! ��������� � ��� ������ � �� �+���� �’ ����

��� ���� � ���.170

7. � ����� �������: � %�!� *��!�

� 4������ ��� ;����� 171 ��� ����� ������, ��� ���"-

� �� � � �!���> � � �� ������ ����� ���� �������� �"���. %� ���-

��� ��� �����"�, ��� ������ ��������� (��"� �� ��� 5�� ����������

�������, ���� ����) �������� ���� ������� ������������ ��

����� � �� ���� ¯����, � Abu Nasr Muhammad ibn Muhammad al-Farabi

(ca 870- ca 950), ��� �� ���� ��� � �������� ���������� � � ������,

���>� ���������� ����172.

%� Al – Gauhari, Tabit ibn Qurra �� Al Mahani, ��������� �� �� 5�

$���� �� ������!+��� �������� �� �����173 �� � � ���� ��� ���-

��"� �� �!���� �� ��� ������ � � ���� �� ��� �����, ������� �

�� ��� �������� � � ����� ���� , ��� ������� ���� ���������� ��

���� ���������� ������174.

� ������ ��� 10�� $����� ��� 4������&� ��� ���!����� ���� !�-

��� ������ �� � �� ����������.

170 J. L. Gardies, L’héritage épistémologique d’ Eudoxe de Cnide. Un essai de reconstitution. Paris. Vrin 1988.171 '�� �� ����� ��� 7�� �"� �.(. ����� �� ��� 15�, ������������ �� ������ !���� ������ �������� �� ������ � 4������ ��� ;����� . &� ������������ ������������ ��. �� ����� ��� A. P. Youshkevitch, Les Mathématiques Arabes (VIIIe – XVe siècles) trad. par. M. Cazenave et K. Jaouiche. Paris. Vrin. 1976.172 $�. <���� ������! �� ��� �������� �� ����� �������� ���� �������� ��� $����� � �� 5 ��� ;����� .173 $�. ;. B. Plooij, Euclid’s conception of Ratio and his Definition of Proportional Magnitudes as Criticized by Arabian Commentators. Rotterdam 1950.174 '. P. Youshkevitch, op. cit. p. 84.

02 arx kat FILH.indd 20402 arx kat FILH.indd 204 30/1/2010 2:13:34 ��30/1/2010 2:13:34 ��

50

II. ������ � ������� �� ������� ... 205

<��� ���� ��� 9�� �"� � Muhammad b. Musa al- Khawarismi175 � ���-

��!+�� �� ���� ��� «4�������� >�>$�� ��� $��� ��� ��� al-jabr �� ��� al-muqabala»176,177 ��� � ������ �� ��� ��������� ��!�� ��� �� ����"�,

� � !�����, ���� � ���� ���! �� ���������! ��������, ������!+�-

��� �� �� �� ��� �� � ����� �>��"����. *�"� �� 10� $���� ��� 4���-���&� ��� �� ����� � ��������� �� � �!�� ���� � ������ ������-

��� �� ����� ���������� �� ������ ��� �>��"���� � � !������, ��� ���

�� ������!��� � al Khawarismi, �� 10� $���� ����� ��������� ���� �-

����� ������. #!�� �� �� �� ���!� � 10�� �"��178, ����� ����� � � ��

��� ��������� �� � � �������, �������� ��� ����� �"� �� �� 10�

$���� ��� 4������&�.

��� �� ���� ��� � �������� �� �������179, � %�!� *��!� (Umar

al Hayyam) (1048-1131) ��� ���� ��� 4��$� �� ��� ��#���� �� �� ��$��� ��� �� �&�/� ��� =�>$��� ��� '��$����180, �������� ��� ������� ��

��� ���� ����� �� ������� ��� �� ���������� ���� �����"�.

���� �� ���������� ��������� ��� ������ �� � � ���!�� ��� ���-

���� � ���������� �� ������ ����� �� �� ���� ���! ���� ����, �

*��!� ����� ��� ���� � ����������� �� ��������� ����������

175 % Khawarismi (ca. 780-850) ��� ��� �� ���� ��"���� ������� ��� %��� � � <��� ��� ����� � ��� � al Mamun.176 Al-Kitab al muhtasar fi hisab al-jabr wa-l-muqabala. $�. F. Rosen, The Algebra of Muhammed ben Musa. London, Oriental Translation Fund 1930. ��"� �� � � ������ ���!��� , � � �������� ���!��� � ��� 12�� �"�, L. Karpinski, Robert of Chester’s Latin translation of the Algebra of al-Khowarismi. Ann Arbor, University of Michigan Press 1930.177 Al-jabr �� al-muqabala ��� �� ��� ������ ��!>���. Al-jabr � ���� ������ , �� al-muqabala ����� � .178 �� ��!����� �� ����! ����� �����!���� �� ��� ���! �����.179 &� ��� ����������� ����� � %�!� *��!� ��� ������� ���� �� ��� ���, �� �����-��� �� � ��� Rubayat ���!�� �� �’ ��� ��� ����� �!��� �� � ������ ���!��� ��� ���� � E. Fitzgerald �� 1859. ���� � %�!� *��!� �� � � Nishapur ��� ��� �������-����� ���� �����, ��� ���!��� ��������� �� ��� ����������� �� ������. &� ������������ ������������ ��. (. /� , �� �� ����� ���� ��� %�!� *��!�. �������� '����*�� � '��. #!��� – �������. 1979 ��. 97-118. *�"� �� (�. /� , %�!� *��!�, ��� ������� �� ������ �� � ����� � � ���!� � ��� <���+����� �� � � �>��� ��� '?�� � �� � �� ����# ���. =���� ��� '��� 2009 ��. 29-53.180 <�� ��"�� ����� ��� $����� ��� ������� �� �� ����� � ��� �������� ��. *��!-��� �. ��. 93-95.

02 arx kat FILH.indd 20502 arx kat FILH.indd 205 30/1/2010 2:13:34 ��30/1/2010 2:13:34 ��

51

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���206

��� �� � � ������� ���!� ��! �� � �������� ���� ���! ����

������ ����� ���� �����"�: «�� ���� �� ��"� � � � ����� ���>� ����-

�"� ���� ���!��� ��� ����� �� �� � � �� ���, � � ��� ���+��� ��

��� ��� ��, � ��� � ��"���� �� ��� ����� �’ ��� �>������� ����� ��

���� � � ��� ��� ... � ��� � ��"���� �� ��� ����� ���� ���� ����-

���� �� � � ��� ��� ��!�����, ���� � ����+����� �� �>�������

�������� , � �� ���������� ����� �� � ��� ��� ������� � ��� ���-

�� ����� � �������. '��! ������ � �� ����+���� ��� ��" ���!��

�� � � ������ ��� �����, ���������� � �� ��� ������� ��� ������ �� � �

���!�� �� ���! ��� � ��� ������!».181 *� � ���!��� ��+��� �� ������182

�����+��. «­�� ������� ������� � ���!�, �� ������� ��� ���� � � ����

�� ������� G �� �� ��� ���� ' ���� $. (*� ��� � ������ � ����!�����

�� ������� G �� �� ����, �� ����!���, �� ������, � �� ��� �����. '��-

��� � ������ � �� ����!����� �� �� ���� �� �� � ... ��� �� � ��

������ ����� ��� � ����� ���>� ' �� $ � �������� � � � ���

���� �����, ���� "��� � � �������� � ������ ��� ������� ��! ���

���� ����. *� ��� ��� �!���� ��!>���, ���� � �� ��� ��� ���!�����

����, ����! ������ �� �� ���� � � ���!��, �� �� ���� � � �� �� !��

����� � �, � �� ���!� ��� ����� . '��! �� ��� ����!+���

��� �� ����� � �� ���!� ���������� �� � ��� �������: ��-

���, �� ��� ����!+��� �� ����� ���!�, ��� ��’ ����� ���

�������. *� ���! ��! �� ������ ���� �� ���������� � ����� ������

�’ ��� � � ������� ���!� �� ������ �� ���� ������� ��� � � ����-

����. *� ����! ������ �� � � �+ ��� �����, �� � � �+ � � �+� ���

���, ���� �� �� !�� ��!��� ��� ��+��� ���� ��+ ������ ���� ��

���� �������� ���� �� ���� ��������� ����. '��! �’ ��� ����!+���

���� �� ����� ����������� �� �������� ���!���, ���� �� ������.

� ������ ������ � ����+���� ��� ��� ���!� ��� ���� ���

181 R. Rashed et B. Vahabzadeh, Al-Khayyam mathématicien. Blanchard Paris 1999. �. 374.182 &� � � ������� ��� *��!� �� � ������ ��� ��� ��������� ��. � � ������ ��� H. Gropp, Jubilees and calendars. Iranian and European calendars in comparison. VII Oester reichisches Symposion zur Geschichte der Mathematik. Oesterreichische Gesellschaft fuer Wissen schaftsgeschichte. Miesenbach 2004 pp. 20-27.

02 arx kat FILH.indd 20602 arx kat FILH.indd 206 30/1/2010 2:13:34 ��30/1/2010 2:13:34 ��

52

II. ������ � ������� �� ������� ... 207

��� �������, �� ��� �� ������� G, ����� ������� �� � ���, ������ �

���� �� �� ��� ������, ���� �� ������.

*� ��� ����: ������� ��� ���� � � ���!�� ���� �� ������� G �� ��

��� ���� ��� ' ���� $, ��� ������� �� ��� � ����� ��� �������� � ���!-

>���� ��� � � ����� �� �� � ����� � ��� ��� �!����� ��� �� ����

������+���� �� ��� ���� �����>��� ��. '����� �� ��� ������� �

����� ��� ��� ��� �� ��� � ��!���� �� �� � . *� ������ �! ��

� �!����� ��� ��� �� ���� ��� �� ��!�� ��� ��� ��’ ��� �����.

*������� ������ ���� ��� �������».183

���� �� ��� *��!� � ����� ��� �����"�, ���� �� ����� ���� ��� ��

� � ���� �������, ��� ����� � ���� �� �� ��� �������� ������. ;��

��� ������ � ����� ������!+��� �� �� ������� ���!� ��� ���-

������ � �������� ���� �� � ��� ��� �� �� !�� ��� ����� ���.

'� ����� ������ � � ������� ���� � ��� *��!�.

'������"��� �� ��!����� ��� ������������� ���, � *��!� «���-

�����!» ��� ��������� ������ �� ��� ������ � � ���� �� ��� ��� ����� ��

�� �

���+������ �� � ���� � ���� ��� �����"� � ����, ��� ���-

���� ���� �� ���� ������� �����"� ����!���. <���������� �-

�����: «#��������� ��� ������� ������� �� � ������!�� ��� ��"���,

�� ������� ����� "��� �� �������� � ��� ��� ����� �� �� ��"��. #��-

�� ����� ��� ������ ������� �� � ������!�� ��� �����, �� �������

����� "��� �� �������� � ��� ��� ����� �� �� ����. ���� ��� �� ���-

���!��� ��� ��"��� ��� ��� ������� ������ �� �� ������!��� ��� ��-

��� ��� ��� ������. #��! ���������� ��� ��"�� ������� �� � ����-

��!�� ��� �������� ��� ��������, �� ������� ����� "��� �� �������� �

��� ����� ���� �� �� �������� ��� ��������... #� ��� ��� ����� �����-

����� ��� �������� ��� �������� �� � ������!�� ��� �������� ���

��"��� �� ��� �������� ��� ���!���� �� � ������!�� ��� ��������

��� �����. ���� ��� �� � ������!�� ��� ��� �. ���� ����������

�� �� ������ ��� !���� � ������!�� ��� �������� ... �� ���� ���

� ������ ��� �������� ��� ��"��� �� ��� �������� ������ �� ���

183 R. Rashed et B. Vahabzadeh, op. cit. �. 378-380.

02 arx kat FILH.indd 20702 arx kat FILH.indd 207 30/1/2010 2:13:35 ��30/1/2010 2:13:35 ��

53

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���208

����� ��� ��������� �������� ��� ����� �� ��� ���!���� �� ���

� ������� ��’ !������. ���� � ����� ��� ��"��� ���� ��� ������� ������

�������! ���� ��� ���� ��� ����� ���� ��� ������. '��� ��� � -

��� ���� ������ �� � � ���������� ������»184.

<� ������� �� ����� ��"��, � ������������� ������� ��� *��!�

«�����!+���» �� �>��: #������� � �������� ��� ���� ��

�� �

��

������ ��!���185 �� � �����! � �� � � �; �; 888; ������� ���� "���:

��

�<�; ��� <; � �888<;

��

� ��; �

�� ; � �888;

� �

� <� � ; �; !�������888� �

'��� � *��!� ��������� ��� ��������� ������ (V,7) [� ������ ���-

��� ����� �� � ��� ����� ������!�� ��� ��"��� �� �� ����, ��"�

�� ��� �������� �� �� ������, ���� "���: �� ��� ��"�� � �������� ���

������!���� ��� ��������, �� �� ���� � � � �������� ��� ���� ��! ����

��� �������, ���� �� ��"�� ������� ���� �� ������� ���� ���� ��� ������

�� ��� ���� ��� ���� �� ���� ������� ���� �� ������]186.

184 %�!� *��!�, #� ������ =�������. (���!��� �� � ����! �� ��� �� -� �� $. '. Rosenfeld. Istor. Math. Issled. Fas. VI 1953 pp. 80-89. (�� �����!).185 (� �������"��� ��� ��������� �������� �� � � ����� ��� �������� ������ ������ ��� �����"� ����"� (VIII,1) [������ ��� ������ ����� �, � : �>�. '� � ��� �� �������� � � ����� � ��� � �� �� � �� ( , ) 1�β υ �� � ���! 1� ��� �� �������� � �

����� � ��� � �� �� � �� 1( , ) 1�υ υ �.�.�. ���� (�, �)=1] �� ��� ������ ��� =� �� =� ,

� x=��

=�, �� �� � ��� ���!��� ������ ������� � � ��� ��� ��������� ��� x. ���� x�

� ���+������ ������ �� � � ���� � xx��

��� � , �� ���� �� � ��� ���!��� ������ ���

��������� ��� x� �� 2x , � ���+������ ������ �� � � ���� � xx� ��

��� � �888 o ����� x

� ������ �� ������� ��!��.

x �

��

��� �

�� �

� �888

��. �� H. E. Heine, Handbuch der Kugelfunktionen. Berlin 1861; Berlin

1878 p. 264.186 ;����� , 4������ *.;.;=.;* '��� 2001 �. 368-369.

02 arx kat FILH.indd 20802 arx kat FILH.indd 208 30/1/2010 2:13:35 ��30/1/2010 2:13:35 ��

54

II. ������ � ������� �� ������� ... 209

$��+������ �� �����! � �� ��+�� ��� � #

� � ��� � �<; �; �� �<�,

������������ �� ����� ��� 0 0<; $; �� �=2�+1 �� 0 0<; #; �� �=2�.

)���, � ������� � � ���� �� ��� ����� � � � ��� ����������!

�� ��� ���, �������� � � ������� � � ����� �� ��� �����!�� ���-

���! ����187.

���� �� ������>�� ��� *��!� ��� ������� ��", ������� � �� ��>��

� � ������� ��� ��� �����"� ��� ;���>�� – ;����� �� � � ����� ���.

���� ��� �� ������ ����!���� ���������� ��� �� ����� �� �����

��� ��� � !����� ��! ��� ;����� ��� �� �� ��� ���� ��� ������ ��

�������. %� ����>��� ��"� ��� ����!���� �� ����� ��+���� ��

�� � ���� ����� ��� ��!���� � ���!�� �!����� ��� ���"� ���������

�����"� ', $, &188,189. '��� � � ����� � *��!� ������� � � � �����-

��� �� � � «��� � � �������», ������� � � ������������ �� ����-

��!�190, �� � � ���������� �� ��� ���!�� �����.

������!+���� ���!��� �� ������� � ����! ���!�� ������ "���

�$

& �, ���! ����"��� ���� ����� ����!+���, ���!��� �� ������� #

��� �! �����, ������ "��� �#

> �. ���� ������ �� � � «��� � � ����-

���»191 � ����� ��������� ��’ !������, ���� ������ � ��!���� ���>�

187 '. P. Youshkevitch, op. cit. p. 85.188 $�. '. P. Youshkevitch, op. cit. pp. 85-86.189 � � ����� ���, � � ���������� � ;����� � �� � � ���� ��� �������� �� ���� �� �������� �����. $�. $���� VI, ����� 12, � ����� ���!�� �!����� ���"� �������� ������!���� �� �!���.190 «������� �j� � �������� ��¡ ��������» '�������� � "� ���� ����# �&� &¿ 207b 10-11; «�����^�� �|� �j� �¦� ����� �X �������». ib. 207 b. 16-17.191 � ��� � � ������� ��� ��� ��������� � � �!� �� �� ��� �� �����> . % ������-���� ��� ��� �"� �� ������� �������, �� ���� ���!��� �������! ���� ��� ����!�����

�����, >����"��� �� � � ��� ����� &

�� ��!����� �� � ��� ���!� >

. &� ��� *��!�

�� ������ ��� � �"� ��� (0,1) ��� �������. ;� �������� �� ��� '�������� �� ����-���� � � «��� � � �������», ��� ������"���� �!��� �� � ��� �� ������� � � ������ ��� ���� ��! ��� 19� �"�. � ������ � � ���"����� ��� �� ��� ���! #� -����! ��� �����!�� ���� � � �����> � � ���� � ���� � � ����� �� ������� �����-������� ��. �� O. Becker, Eudoxos – Studien I. Eine voreudoxische proportionenlehre und ihre

02 arx kat FILH.indd 20902 arx kat FILH.indd 209 30/1/2010 2:13:35 ��30/1/2010 2:13:35 ��

55

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���210

��� # �� ��� � �� ����!���� ������� � ������ "���.

��

� � (5)

� �������� ��� *��!� ������� ��� ��� �� �������"��� ��� ����-

� ��� ��� �����"� �����"� �����"��� � � ���> � � ����� � ������.

������ �� ����>�� � � ������� � � ����� ��� ;���>�� �� � �

����� ���, ��� �� ��� � �� ����������� ��� ����� ��� ��� �����"�192

��� 5�� $����� ��� 4������&� �� �������+�� � � � �� � � �����

��� � �� ��"� ���� �� � &������ ��� �� �� � '�������.

$��+������ �� ��� ������, � *��!� ���������� ��� ��� ��-

�!�� ����!����193:

1) &� �� ����� ��� ���� ����� ', $, &, � ����� �

�������� ��

���� ������ ��

�� �

.

2) &� ������ ����� ��� ���� ����� ', $, &, � � ����� ��

������-

�� �� ���� ������ ��

, �

, �

�� �����! ���������� «�������!»

��� � � ����� �.

<� � �����> � � ����� �� ��� �������� �����, �� �� ����� , �

�������� �������� �� ������ �������194 �� ����� ��� � ����� ��� ��

�� �� � ���� ������� � ������ �� ��� ���� ��

. '��� �� �� � ���� ����-

Spuren bei Aristoteles und Euklid; II. Warum haben die Griechen die Existenz der 4. Propor-tionale ange nommen? Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik Abt. B II. 1933 pp. 311-333, 369-87. III 1936 pp. 236-244, 370-410. �� «�������» �� ��� *��!�, ��� ��� ��� �� ������� �� ����� ��"�� ����!+���� ����� �����.192 <� � ���� ��� �����"� ������!+�� �� ����. <� ����! �������� ��� <�������, �� 6� $���� �������� ��� ������, ��� 5�: «����� �� ����� �����^��� ������, ��� � ��� ����� � ����� ���, ��’ ³���^� �����������^�� ������ ���!». '���� � ������� ������ � ��� �� �"� �� ������ ��� ������! ��� ������!+�� � ;����� � ��� ������ � � � ����� ��. &� ��� ����������� ��� �����, � ;����� � ��� �� �������� ��� 6� $���� �� � ����� 23 (� ����"�� ���� ������ ����� ���� ����"� �� ���� ��� ���� ��� ��������� ��� �����"� ����).193 A. P. Youshkevitch, op. cit. p. 87.194 �� ������ ������� ��� �������. $�. %�!� *��!�, �������/� ��������� ���!-��� B. A. Rosenfeld, Istorico. Math. Issled. Fasc VI 1953 �. 106 (�� �����!).

02 arx kat FILH.indd 21002 arx kat FILH.indd 210 30/1/2010 2:13:35 ��30/1/2010 2:13:35 ��

56

II. ������ � ������� �� ������� ... 211

���195 «��� �� ����� �� �� �����, �� � ����!���, �� �� �"�, � �� ���

�����, ��! �� �� �������, ��� � ���� �����"��� �� �!�� �� �� ��

���� ����� ����� �������, ��! ��� ����� �������� �� ����� � ���,

��� � ����� ��

����� ������ ����� � � � ��� ���� ���! ����������,

� ��� � � � �������� � ������ ��� ������� ��� ����� � ����� �

������ �� ���� ��� ����»196.

)��� �� ����>��� ��� *��!� � � � ����� � � ��� ��� � � � ���

���� � ������ �� ����� ������� , ���� ����� ��� ���� ��� �����

� �� ��� �������� ����� ��� ������ ��� >�����!���� �� � �

���� ��� ��� *��!�. «��� ����� �����"� ����� � ��� �� ������!

��� ������ � � ���������� ���� �� ��� ����� � ��� � �� ��� � ���-

����� �� ��� ����� ��� �� � � ��� , ��! �� � � ������ �!����� ��!��-

��� �’ �>�, � ��� � ����� � �������� �� � � ��� �’ ��� ����� ��

�� ��� �� ������� ��� ���� �!�� �� ���� �>������� ��!��»197.

#����"��� � � ��!� ��� ��� *��!� �� ������"��� � � �

�����"����� �� ���������� ���������� ����!, �������� ��� �����-

�� «� ���!��� �� #� ����! �� ������! ������ ������� �� ��

�� ��� ����"�, ��� ����������� �� �������� ������ �����"�»198.

%� ����� ���� ��� *��!� ������� �� �� ������ �� �� ���

Nasir ad Din al-Tusi. '�� � � ������� ����� ��� ����� ��� Tusi199, �� ������

� � ��� � ����� �� ��� ������ ��"���� �� ������� �’ ��� �� ���. �

��� ���� ��� «����"�» ���� ���"� �� ���!��� �!���> ��� �����-

������"� #� ����"� ���>� ���������� ���� �� � �!���> � �

������ ��� ������200.

195 «�� ������� z, �� ���� ��� ������ �������, ������� �� ������» idem.196 Idem p. 105.197 Idem p. 102.198 A. P. Youschkevitch, op. cit. p. 88.199 �� 1594 �� ���� ��� Tusi ������� �� � 4������ ��� ;����� ���"� �� �� É"� ��"� �� ����! �� ������ �� 1657 �� ������!. $�. Euclidis elementarum geometricum libri tredecim ex traditione doctissimi Nassireddini Tusini nunc primum arabice impressi. Roma 1594 �� Euclides Elementorum libri tredecim studio Nasseredimi. Roma 1657.200 $�. (�. /� , *��������� ����� �� #� ����!. �������� '��� 1987 ;��. <�� ��. 223-247.

02 arx kat FILH.indd 21102 arx kat FILH.indd 211 30/1/2010 2:13:35 ��30/1/2010 2:13:35 ��

57

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���212

8. %� �������� ��� ���!�� �� �� �� ����� ���� ������������� ������

� ���� ��� ;���>�� ��� ����� ���� ��, ��� ��� ��� ��� ����

�!�� ������� � ��� �������"� ����"�. «“%� ���������� �����”

�� ��! �����!����� �� «�����»· �� ��� ��!���+� �’ ����� � �

������ ��� �����, �!���� ����! ��������� ���� � �+ ��-

���� �� ��� �! ��� �!��� ��� ���� ������� ��"� ��� �������»201.

%� ����!������ �����!���� ��� 4������&� �� � ������! �� ��� -

���! � �� � ����! �� ������! ��� ������� � ��� ������ «���-

��»202 �� �������� corpus.203 =������� �� ����� ����"���� �� ����-

��,204 ����� ��� 5�� $����� ��� ��� ��� ���� ��.205

o . Oresme

201 N. Bourbaki, Eléments d’ Histoire des Mathématiques. Paris. Hermann, 1974 p. 189.202 ���� �� ������ ������ ��. *��!��� �, � 4������ ��!�� �� ���� ��� 300 �.(. ���� �� �������� ��������� ��� ;����� ��� ���� ������. ����� ������ ����! �����, � ��� ��!����� �� �� ���������. �� �������� (888 �.(.) �� ��! ������� �� � %>���� (Bodleian Library) ��. Codex Bodleianus, d’ Orville X, 1 inf. 2, 30. ¯�� ����� ��!����� �� �������� (��.) 8�� �"� �.(. ($������� #�����).203 &� ������������ ������������ ��. J. Murdoch, Transmission of the Elements, ��� ���� Euclid Dictionary of Scientific Biography vol. 4 1971 pp. 437-456.204 B.L. Billingsley, “Authority” in early editions of Euclid’s Elements. Fifteen Century Studies vol. 20 1993 pp. 1-14.205 #� ���������� ������ ��� �������� �� ��� ������ � >������ �� � �� �� ���� ��� ������. � ������ �!���� � ������������ ��� ����! ��!����� ������ ��� ���! ����� ��. �.�. � ����� ��� Campanus de Novara ��� ���� �� ������� ���! ��� �� � ����!. &� ������������ ������������ ��. A.G. Molland, Campanus and Eudo xus; or, trouble with texts and quantifiers. Physics 1983 vol. 25 pp. 213-255.

02 arx kat FILH.indd 21202 arx kat FILH.indd 212 30/1/2010 2:13:35 ��30/1/2010 2:13:35 ��

58

II. ������ � ������� �� ������� ... 213

<�� ��"�� ���� ��� 14�� �"� ��� *������� Merton, �� � %>���� 206

�� ��!� ����� �� Th. Bradwardine, R. Swineshead, W. Heytesbury, �� J.

Dubleton (�� ��������� Calculatores) �������� ���� ����! ��� ������� ���

�"��� �� � � �� � �.207 #!���� �� ��������� ��� Bradwardine (1295-1349)

�� � � ���� � ��� ���� ��� ������� �� ��� �$����� �&� �����-�&� ��� ���� �208 (1328) � �"���� �� �������� "� � �� � ���� ���

���� ���"� �����.209 ��� ������ � N. Oresme (ca. 1323-1382) ��������

��� Lisieux, ��������� ��� *����� ;¿ ��! �� ����� �� ������, ����

��"�� � � � ������� ����� �� ������!�210 ��� ���� ��� �$�������� �&� ��$���*�211 ������!+�� ������ �� ��!>��� ���>� �����. #!���� �� �

������ ��� <� ���� $����� �&� $��&�212 (ca. 1360) �� �������� !� �-

���� �������, ��"� ����� ���� ������ �� ���� � � ����� �� ������

����� �. ���� «� ��!���� �!����� ����� � ����� � ������ ����� ���

������ ����� �� ��� ��� � ��� �� ���� ��� ������ ���� ��� �����

�� ���� � ���!���� ������ � ��� ��� ����� ���"� ���., ��! � ��� ���-

������ �’ ��� ����� �� !� �� �!�� �������� ���� �� ���� ��� �����

�� ��».213

/����! � Oresme ��� ������� ����� ���������� �� � ���������

!�� ���� �������, ��! �� �������� ���� ����� «�����», «���������» �..

�� AB

��� ����� ��� CD

���

AB�

CD2

643

75

1 n

, � AB

��� ��������� �� ��� CD

206 R. T. Günther, Early Science in Oxford t. II London 1920.207 &� ������������ ������������ ��. M. Clagett, Mathematics and its applications to Science and Natural Philosophy in the Middle Ages. Cambridge. Cambridge University Press 1987 ��"� �� E. Grant (ed.) A Source Book in Medieval Science. Cambridge. M.A. Harvard Uni-versity Press 1974.208 Tractatus de proportionibus velocitatum in motibus. ed. H. L. Crosby. Madison 1955.209 S. Drake, Velocity and Eudoxian proportion theory. Physis vol. 15 1973 pp. 49-64.210 P. Duhem, Oresme ���� �� � Encyclopédie Catholique t.XI 1911 pp. 296-297.211 Algorismus proportionum.212 De proportionibus proportionum ed. and translation by. E. Grant. Madison. University of Wisconsin Press 1966.213 �. Oresme, De proportionibus proportionum ed. E. Grant p. 161.

02 arx kat FILH.indd 21302 arx kat FILH.indd 213 30/1/2010 2:13:35 ��30/1/2010 2:13:35 ��

59

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���214

���

AB�

CD2

643

75

n m

���� m �� n ������. <�� ���� � ��� Oresme214 21

���

�� �� �� ����� ��� 8 �� �� ������ ����� ��� 32 � ��� �� � ������ �� -

����� ��"��

212

643

75

3

� 8 ��

212

643

75

5

� 32, 321

��� �� ������ ���� ��� 81

� ���

321�

812

643

75

5 3

. % Oresme �����+�� � � ��� �� ��� ����� ��� ��

����! ���!�� � � � ������, ���� �.�. �� � �� � ��� ��� �"�.215

&� ��� �. Oresme ���� �� � �� ��� �� �� !�� ��� ��� �����, ��!

���� ���� ����� ��� ����� ��� ��� �!�� ������. «%� ���� �����

����!���� (denciminationes) �!����� �����, ������ � Oresme, ��� ���-

����, � ��� �� ����� ���� ��� � �"� �� �!����� ������, ��" �� ����-

��� (���� ����� ����!����) �!����� ������ ��� ��� �������... ����, �

�!��� ���� � ��������� �� �!���� ����, ��� ����� ���� ����

����� ��� ��� ������, ��� ����� � ��������� ��� ���� ���.

=!���� �� � � ������ ����� (��� 4�� *�����) �������� � ������-

����� � �!�� ��������� ����� �� �� ��� ���������� � ���������� ��

�!����� ������ !�� ��, !������ �� � ������ � ������� �����. �����!,

�� ���� ��� �����, ��o����� � ������ ��� ������ ����! ����! �’ ����

��� !������ ���� "��� � ��� ���������� �� ��� ��������� ���� ��

���������� �� ��� ��� ���!��. *� ��� ������ � �� ��� �����».216

214 E. Grant (ed.) A Source Book in Medieval Science. Cambridge M.A. Harvard University Press 1974 pp. 150-151.215 ���+���� ��� ������ ��� ��� Oresme, <� ���� $����� �&� $��&� ��!�� �� �� � ����>�� � � � �� ����� ������� � � �������� � � ���� �������� ���-����� ������ � �� � � ������� '���.216 E. Grant (ed.). idem.

02 arx kat FILH.indd 21402 arx kat FILH.indd 214 30/1/2010 2:13:35 ��30/1/2010 2:13:35 ��

60

II. ������ � ������� �� ������� ... 215

� Luca Pacioli

#� � � ����� ��� 4������&� �� 1505 �� � $���� �� � ������� ���!-

��� �� � ��� ���! ��� B. Zamberti ����+���� �� �� ����� ������

��� 5�� $�����. % Luca Pacioli, ���������� ������ ��� ���� �� ���!�

��� �� ������ ���� �� �� ���"��� (600 ������) ������! ��� ��� ���

�� ����������� � � ������: Summa de arithmetica, geometrica, proportioni et proportionalita (1494) ��� �� �� � � ������ ���,217 �������� � ��-

�� ����� ������� ��������, �� �!���� �� 1509 ������!+�� �� ��������

����� ���� ���� �� �� 5� $���� ������� ��� ����� ��� ���������.

� N. Tartaglia

217 ;�� ���� �������� � ���� ��� J. di Barbari (#����� � � �!��� �) ���� ��� ������+�� � ���!���� �!���� ��� Guidobaldo, ��� ��� ��� ����� ���, ���� ��� Urbino. &� ������������ ������������ ��. R. E. Taylor, No Royal Road: Luca Pacioli and his Times. University of North Carolina Press. 1942. ���+���� ��� �� 1508 � �. �!����� (1445-1535) � � ������ �� � ��� �� ��� Luca Pacioli �� $����.

02 arx kat FILH.indd 21502 arx kat FILH.indd 215 30/1/2010 2:13:35 ��30/1/2010 2:13:35 ��

61

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���216

���� �� 1543 ������������ �� $����218 ��"� ���� � �����

��� 4������&� (�� � ����� �� ��������, �� ����! ����� ��������

�� �� �����) �� ��� ��������219 N. Tartaglia220 (1499-1557), ������ ��

����� �� � � ��� ��� ����� �� � �>��� 3�� ����� x3 � px2 � q .

���� ������ � ���!��� �̄���� ��������� ��� #� ����"� Sir T.L.

Heath, «� Tartaglia �����+�� ��� ��!��� � ��� ����� �� ���� ��

��� ������ ������ ��� ;���>��, ���� ����� � ����� ��� ��� �� ��"��

�������� ������. =�"�, ������� �� � � ������� ��� ����� �!�� �

��� ���� �������. ×���� �’ ���, ��������� ��� � ����� ������ � ��-

���� ���>� � � ���������� �� � � �������� ���� ������, � �� �

����� �� ����� !�������... % '�������� �, ��� ����� ������� ����-

������ �� ����������, ������� �� � � ������� ��� �� � ��� ���

����� ����� ����� � ��!�>�� ���>� ������� �� �����. '��� ���

�����!�� �� �� ��� 4�� ������».221

'�� �� 1543 �� 5� $���� ��� ;����� >�������!+��� ��� ���

���� ���������, ���� �����!����, ���� ��������� ��������, �� ���!���-

�� ���� �� �����! ����������, ��� �� �� � ��’ ���� ������. %

Ostilio Ricci, � ����� ������ ��� ��� �� ��� ��� Tartaglia, ���!����� �

���� �����"�, �� �� � ����! ��� � � ���!���� �� � '��� � � ����!-

� �, ���� �!���� � &�����222 � � ����� �� 1583. <� � ������ ���

�� � # �����223 ���������� �� ��"� � ����������� �� �������"-

218 $�. (. /� , � <����� ��� ;����� , �� �������� ��� '������ , � *����! ��� '����"���� �� �� ��"��� �����!���� �� $����. %� �� ���. 3����/� ��/���� =��#-����, $��� � �� ��"����� ����������. ;.�.;. '��� 2004 ��. 295-320.219 % ���� �������� ��� ��� ��� ����� !��� �!���� ��! � ������ ��������! � � ��� � � � ��"���� ��. Quaesiti et Inventioni Diverse. 1546 (B. VI, Q.8).220 Euclide … con una ampla espositione. Venezia 1543, 2 ����� 1569. &� ��� Tartaglia ��. �� !���� ��� R. Acampora, Nicolò Tartaglia und Ludovico Ferrari: Die «Cartelli», ��� Wege zu Adam Ries H. Roloff, M. Weidauer (hrsg). Dr. E. Rauner Verlag. Augsburg 2004 pp. 1-9.221 T.L. Heath, Mathematics in Aristotle. Oxford Clarendon Press 1949 p. 223.222 S. Drake, Euclid Book V from Eudoxus to Dedekind. History of Mathematics Education. Proceedings of a workshop University of Toronto July – August 1983, ed. by I. Grattan – Guin-ness p. 60.223 La meccanicae (1593, 1594 �� 1600). <� �����! �����!+��� �� 1634 �� �� #. Mer-senne. &�������� �� ��� &���� ��. (�. /� . *� ���� ������... ��� '?�� � �� ���-����#, ���. =���� ��� '��� 2009, ��. 55-134.

02 arx kat FILH.indd 21602 arx kat FILH.indd 216 30/1/2010 2:13:36 ��30/1/2010 2:13:36 ��

62

II. ������ � ������� �� ������� ... 217

��� ��� ��������� ������ ��� «���� �����». ���� ����� ��� ������

�� � ��� � ;���>�� �������� � � ���� �����"� ��� � ���� ��

�!� �� � � �� � ���� ������, ��� � ���!��� /���������� «�� �

�������� ���� ��� ��� ��+�� � � �������� ���� ��� �����"� ���>�

�����"� �����"�, �� ������ ���� ������ � � ��"� � �� ��� ���������.

'��� ����!�� �� ��" � ���� ��� � ����� �����"� ��� � &�����

�’ �� ��� � +�� ��� ����� ���� �� �>��� ».224

� <$�$���

% ���� � ������� ����� ��� ��� &�����, S. Drake, � ���"���225 ��� ��� ����� � � +��� ��� � &����� ������ �������� �� ����� ���226 �� �� 5� $���� ��� 4������&� �� � �������� � �"��� �� ��������� ����� �� � �������� ���� �����"� "��� �� ��������� � ��������� � � � ���������. «&� ��� �������� �� ������ ���+���� ���� ������ ��� “���������� �����” �� ��� ����� ����� � ��������� �� �������� ��� “���� �����”». �� ������227 ��� &����� � ������� �� ���!�� ����� ���! ��� �!��� ���, «��! ���� � � ����� �� !����� ��� �� � ��������-� � ����������� � � ���� �����"�».228

224 S. Drake, id. p. 61.225 S. Drake, Galileo at Work. Chicago. University of Chicago Press 1978 pp. 422-436. &�����-��� �� ��� &���� ��. '. Frova and M. Marenzana, transl. By J. McManus, Thus Spoke Galileo Oxford Univ. Press 2006.226 $�. �� P. Palucieri, A new look at Galileo’s search for mathematical proofs Archive for His-tory of Exact Sciences Vol. 60 (3) 2006 pp. 285-317.227 O �� ��� ��� V. Viviani (1622-1703) o ����� ����� �� � � ��"� ������ ��� � ��-������ �� 1674, �� 5� $���� ��� <������� ��� ;����� , ��! � � ���� ��� &�����. $�. Quinto libro degli elementi d’ Euclide… colla dottrina del Gallileo. Firenze Condotta 1674.228 S. Drake, Euclid Book V from Eudoxus to Dedekind. p. 61.

02 arx kat FILH.indd 21702 arx kat FILH.indd 217 30/1/2010 2:13:36 ��30/1/2010 2:13:36 ��

63

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���218

'?*��$$� ��� Y$��>�� ��� R. Bombelli

02 arx kat FILH.indd 21802 arx kat FILH.indd 218 30/1/2010 2:13:36 ��30/1/2010 2:13:36 ��

64

II. ������ � ������� �� ������� ... 219

;� �������� �� �� 5� $���� ��� ;����� , � R. Bombelli (1526-1572)

������!+�� � � ���� ��� ��"� � �� � Y$��>�#229 ���. «'�����+�� ���

��� �����>� � � ���!� ������ ��!���� �� ������������ ��������

���>� � �"� �� ��� ����� ��� � �"�, � ���� ��+�� ��� ��!����� ���-

������ ��!>��� (����"��� � � ���!� ������� ) �� ������+���� ����

��� ���� �� ��� , ���!��� ��� ���������� ������230 ��� �"���� ��� ���-

����"� ����"� ... ���������� �� � Y$��>�# ��� �� ����� ����������

�!� »231.

*�"� � Bombelli ��� � �������� ����� �������� � � '����-

� � �, !�����,232 ��� ��� ������ �� � ;��"� , �� ��!+�� ��� ���-

����� ������, �� ����� �����"��� �� � �����! ������� ���! �����

� ����!���� �� � �!���>� � � ��! ��� 17� �"�.

� F. Viète

O F. Viète 233 (1540-1603) ������ ��� � � ����� �������� �����

��� 16�� �"�, ��"� � ����������� ��� � ���!��� � ��������� �� ���-

229 � ¯����� ��� Bombelli ��!�� �� ���� �� 1557-1560 �� ���"� �� �� 1579 ��. R. Bombelli, L’Algebra. Bologna G. Rossi 1579. � ����� ���� ��� ��� ��� ���� �. � ���� �V �� V � � Y$��>�� ��� ����� ������. #���� �� 1929 ����� �"� �� ����� � �. $�. R. Bombelli, L’Algebra Libri IV et. V. ed. E. Bortoletti Bologna. $�. �� E. Giusti, Algebra and Geometry in Bombelli and Viète. Bolletino di Storia delle Scienze Matematiche vol. 12 1992 pp. 303-328.230 ���� ���� ��� ������ ��� �� ���"� �� ��� ������"� ����"�.231 N. Bourbaki, op. cit. idem.232 $�. B. L. van der Waerden, A History of Algebra from al-Kwarizmi to Emmy Noether. New York. Springer 1985. *�"� �� R. Franci & L. Toti Rigatelli, Towards a History of Algebra from Leonardo of Pisa to Luca Pacioli. Janus Vol. 72 1985 pp. 17-82 �� R. Franci & L. Toti Rigatelli, Fourteenth century Italian algebra, in Cynthia Hay ed. Mathematics from Manuscript to Print: 1300-1600 Oxford. Clarendon Press 1988. pp. 11-25.233 F. Ritter, François Viète. Paris 1905. G. Gambier, Le mathématicien François Viète. La Rochelle 1901.

02 arx kat FILH.indd 21902 arx kat FILH.indd 219 30/1/2010 2:13:36 ��30/1/2010 2:13:36 ��

65

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���220

����� �� � � �!���> ��� #� ����"� ����� ��������� �"���. � �� �-

���� ��� ����!��� �� � � �������� ����"� �� � !����� (�������

�� ���� !��������, ������ �� ��� ������� ����� ���), ��� ��������� �

���������� ��� ��!>��� �� ��!���, �� � � ��!��� � ��� �����-

������ ����� �� ��� ��� �����! ��� � ������� � � ������� � !���-

���.234

<� � '� �&�� ��� ��$����� �/���235 ������!+��� �� �� ���

��� ��������� ���������, � ���������� �����������:

«� ���� ���� ��������� ��� ���� , ��� �� �������� �������,

��������� ��������� �� �������� ������, � ��!��� ��� ����-

���».236,237 M!���� ��� ��!��� ��� «�� �!�� ����� (chiffre) ��!�����

�!����� ����� ����� (chiffres essentiels), � Viète ������!��� � � �����

����� � � ��> �, ��� ������� ���� ���� ������ ����� ��� �� ���

�������. % ������� &������ ����� ��� J. Klein �������+�� ��� � Viète

����� � �+�� � � ������ ������� ���� ��"� � �� �����, ��� ���-

����� ����� ����������� ����!���, «��" �!�� ������ �� � � ��"�

���! ������ ����� �������� � ��!��� � ��� ���� ��� ���!��� ��� � ���-

��� ����� � ����, �� ������� �������� !��� ���� ������ ������ ���

����� ��� ������, ��� ����� �� �!�� ����� �����».238

234 F. Ritter, François Viète, inventeur de l’ algèbre moderne (1540-1603). Essai sur sa vie et son oeuvre. La revue occidentale philosophique, sociale et politique. 2e série Vol. X 1895 pp. 239-241. B�. ��� � G. Cifoletti, From Valla to Viète: The Rhetorical Reform of Logic and its Use in Early Modern Algebra. Early Science and Medicine Vol. 11 (4). 2006 pp. 390-423.235 Isagoge in Artem Analyticem. De aequationum recognitione et emendatione libri duo, De numerosa potestatum purarem atque adjectarum ad exegesin resolutione tractatus. Tours (1591) B�. �� � � �������� ��� Frans van Schooten Leyden 1646 ��"� �� � � ������ ���!-��� �� ����� ��� T. R. Witmer, The Analytic Art. Kent Ohio: Kent State University Press 1983.236 F. Viète, Isagoge in Artem Analyticem, p. 17.237 %� ������ ����� ��� ��� �� � ��������� �� ����� �� ���������! �����, ��"� �’ �� ��� � +�� ����� �� �! ������ ���! >�"��, ��� � ��� ����� � � ��� �� � � ��� ���� ����!��� �� ����"� �� � !�����.238 P. Pesic, François Viète, father of modern Cryptanalysis Two New Manuscripts. Cryptologia 1997 Vol. 21 pp. 24-25. &�������� �� ��� Viète ��. (�. /� , François Viète, ��������-��!��� � � &��� ��� '���� ��� '?�� � �� �������# ���. =���� ��� '��� 2009 ��. 137-167.

02 arx kat FILH.indd 22002 arx kat FILH.indd 220 30/1/2010 2:13:36 ��30/1/2010 2:13:36 ��

66

II. ������ � ������� �� ������� ... 221

���� ��� ������� � ���������� ����������� � ���������� ��� ��

��� �������"� ����!���� (�� ��� ����� ��� ����>�� ���!� ��>����-

��)· ��"� ��������� �� ��!�� ' �’ �� ���������� �����, ���������

�� '·' ��� ����!����, �� '·'·' ���� ���� �.�.�. #’ ��� ��� ����� ���-

������ ��� ������� � �"��� �� � ������� � � ���� � ������ �� �

������� � �� � � ��� ��� ���������� . �� ��� ��� ������ ���� Viète

� �� ����� �"��� � Descartes.239

� Simon Stevin

��� �� ���� !>���� ���������� ��� � Simon Stevin (1548-1620), �

��� �� � ����!��� �� � ��!���� ������ �� ��������. <�� ���� ��� + ���� ������ (1585) ����!���� ���� ���!�� ��������:

1) � '���� ���� ��� ������� ��� ������.

2) % ������ ��� ����� �� �� ���� ����!+��� ����� � �!�� ��!�-

����.

���� �� � � ��� � Stevin240 ��� ������ ��� � ������ �����! � �

����� �, ��� ��� ������� ��� ���!���,241 ��� ��+�� � ;����� �. #�

���� ��!��� ��!��� �� � ������ ���� � � ����� ��� ���!�

��� ��� ������, ����� ��� �� ��� ��� ��� �������.

239 $�. �� D. Macbeth, Viète, Descartes and the emergence of modern mathematics. Graduate Faculty Philosophy Journal Vol. 25 (2) 2004 pp. 87-117.240 &� ������������ ������������ ��. �� ����� ��� D. J. Struik, The Land of Stevin and Huygens. A Sketch of Science and Technology, in the Dutch Republic during the Golden Cen-tury. Dordrecht Reidel 1981.241 �� �� �� 1547 �� �!���� ��������� � Ferrari ������� ���� Tartaglia ��"� � � ���!� ��� ������. % Tartaglia �������� �� ����� ��� ������� ����� ������� ������ �� ��������� �� �����! ���! ��� ���!� ��� ��� ������ «�� ���!���» �� ��� «�� ��!����».

02 arx kat FILH.indd 22102 arx kat FILH.indd 221 30/1/2010 2:13:36 ��30/1/2010 2:13:36 ��

67

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���222

% Stevin ��� ���� ���! ������ �� ��� ������. #!����, ���� � �"-

��� � ����, ��������� � � ���! ���������� ��"� � ��� ���!� ���

��� ��� ������ «��! ��"� ������ � � � ��� � �»242. =�������

������ ��� ��� ��� �����"� ������� ��� �� ����� «�������� �� ��

��� �����», ���� �������� � ��� ���!���, ��! « �� � � �������-

� �� ��� �� �! ��� ��� ������», �������� �� �����243 � � ���!�� ��

�� ���!� ��� ������, ��"� � ��� ���� ��� ��� �������.

%��� ����! ���+�� ��� ����� ���> � � � ������, ��� �������� ��

�� ���������. ;�" �� � ���, �� ���� ��� �� ����� �����, �� ��+�� ��

��� ���!�� �����: «���� �� � ��� ��� ������� �� ��� , ���� �� ��

� ��� ��� ������� �� ��� »244 �� �������� ��� ��� «�� � ���� �� ������

>�� � �»245.

���� �����, ��� ��"� �������� � � �� �� «���!���», ���� ���-

��� ���� ����� ��� ����������� �� � � ������� ���� � ���� �� �

������ �.�. 6 ��� �>!���� �� � � ������� ��� � ����� 6+0=6.

'���� � ���� ���� ������ �������� �� ���� �����, ��� �� �� �

�����"��� ��� ������� ������ ��� ����� ������ ����� � �� ���-

��� �� � ������ ���!����� � ��� ��� ��!��� ����������� «���-

����»246. ���� � ���!� ���� � � ����� � ;����� �, �� � �!� ��� ���-

���"� ���!��� �� �� �!� ���������� ���>� �������� �� ��������

��� ������ �� ��� Stevin, ��� �� ����� ����� ������ «����» �� ��� ��-

�����. �����"��� ������ � ��� ��� «� ������ ��� ��� �� �������

����� �»247. � ���! ��"� � � � �������� �� ��� ������ ��� ���-

242 “Son principe ou commencement”, S. Stevin, op. cit. part I p. 2r.243 ;��������� ��� �����>� ��� ��� �!�� (�������) ������ ��� ����������� ���-��� �� �������� �+ �!�� ����������� ������ ��� ��� � ������: «�� ����� ��-������ �� �� ��� ����� �� �� ���. � �+ ��� 8 ��� ����� ��� �����"��� � �, !�

8 ���� ���� �� �� ��� ����� ���� �� �� 8. '��! �� ��� 8 ��� ������. ¯�

�� ��� 8 ��� ������, �����"� 8 ��� ������». (idem pp. 191-192).244 Op. cit. p. 4.245 “le o est le vrai et naturel commencement” idem. p. 4r.246 � ��� ���!� ��� ������ ��� ���������! ��! ������! (��. ��� ����������� ���������).247 “que le nombre n’ est point quantité discontinue” S. Stevin, op. cit. p. 4v.

02 arx kat FILH.indd 22202 arx kat FILH.indd 222 30/1/2010 2:13:36 ��30/1/2010 2:13:36 ��

68

II. ������ � ������� �� ������� ... 223

+��� �� � ����� 248 � � ���!��, ���������� �� ��� Stevin �� ��

��� /����� �� ����� �!�� ����� � ��������������� � �� � �

���!�� ����� � �������. � ��� � � ���!�� ��� �� ��! �����,

� ��� �������� �����249 «����� � ��� ����� ������»250.

$��+������ ������ �� � �������� ��"� � ��� ������, � Stevin

�� ���� ���� ���������� �������� ��� -�����, -������ ������ ��

«����������� ��� ��� ��!����� ����� ��!�����, !�� ���, �"����,

��>�� ��� � �o���251, ��! ����� ������� ��!���� �� ����� ������

������� � �� ����, ��� ���� �� ��� ������ � ��������� � � ��-

���� ���� ������� �»252.

� ��"� � � � ������ ��� ������ ��� ����� ��!���� �� ��� R.

Descartes (1596-1650), ��� *������, � ����� ��� ������ ��� «� ������

��� ��� �� ��!�� ��� ��������»253 �� ��� « ���!� ��� ��� ����-

� �»254. ���� � *������� �� �������"��� ��� ���������� ��� Viète,

248 <�� ���� ��� De Thiende, � �/��� �&� 3�����*� (1585) ������!+�� � ������! ��!-���, (��� �� ������������ �� � ;��"� ���� ���� #���� ���� �� � '����� � ) � ��� ���������� ��� ������������� �������� �!�� ��������� ������.249 =�. ��� ����������� «������» ��� ������ �� «��~��� Z��������». ����� ��# #.9. 1085b 22 ��"� �� «�X ³�@ �[�� �µ Z������� ���@� �[��» ����� ��# �� 1052b 16.250 %��. ( op. cit. 5r.251 '�� � ������� ��> surdus ��������� ������ ��> absurde (��!����) (summa ��� �� ����! ���!��� � � ��� ����� ��> � !�����). � ����� numeri surdi, ����� �� ������! �� ���!��� � � ������ ��> � a sam �� � � ��� �� !���� ����-�����+� ��"� �!�� � �� ����� ��� ������ ����+��� �� ��"�� ����, ���! ��� !�� ��� ����� ���, �� ����� �� ��+���� �� ��+��!. $�. G. W. Freytagii, Arabicolatinum … 2, Halle 1833 p. 518. � ���!��� surdus ������!+��� ���� � ��� ��� 12�� �"�, �� � ������� ���!��� ��� Gérard de Crémone, �� ����! ������ �� 4������ ��� ;����� ($���� () ��� El Nairîzî. '��� ����� «������ ������» �������� �� &�-� �� �� &���� ����� ��� 18� �"�, �� �������� ��� !�� �� �����.252 «Nous concluons donc qu’ il n’ y a aucuns nombres absurdes, irrationels, irréguliers, inex-plicables ou sourds; mais qu’ il y a en eux telle excellence et concordance, que nous avons mat-ière de méditer nuit et jour en leur admirable perfection” idem p.33. /����! ��"� � ��� ��� ��� ������ � ����� ���� ������. =�. A.J. Le Tenneur, Traité des quantitéz incom-mensurables. Paris $oullanger 1640.253 “numerus non est res numerata”. Principia Philosophiae II, 8.254 “unitas non est quantitas” idem.

02 arx kat FILH.indd 22302 arx kat FILH.indd 223 30/1/2010 2:13:36 ��30/1/2010 2:13:36 ��

69

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���224

� � �� ��� ������� �� ��!��� ��� ������+��� ����� , ������ �����255

� ���!� ��� ������ �� ��������+���� �� ��!��� ��� ���� ��� ��-

����� � �"� �� ���� �� ������ �����, �� ���+������ �� � ���� ���

�����"� ��� ;����� , ��������� �������� ��� �� �� ��������

���� ��� ��� ��"� ���������������� ��!>��� �� �� �������� �

��!��� �� � ��� ��� ��256.

'� �� � ����������� �� ��� L �� L¿, ��� �������� �, �.�., ���-

������ �� ��� Descartes, �� ����� ��� ��� ���� �� L ���� �� L¿ ��� ��

���� �� ������ �����. ���� � ������� �� «��� ������� ���!�»257 � �

��� ��� ��� ����!��� � Viète. � ¯����� �� &������ �������� ��

��� ��!���� �� ����� �������� �� ��!��� ����� �. *� ��� �� ���

������ ������� �� � ���������� ��� �� ������, !����� �������

���������� �� � � ������� ������� ��� �����"�, � � ��� �����!+��

�� �� ���� �� ����. /����! � ������ �� �!���> � � ��������

��������258 ������!+��� ���������.

% John Wallis259 (1616-1703) ��� ������, � ����� ���� �� �� ���-

������� ��� �� �� ��� �� �� ����� ����, � ����!��� �� � �����-

��� � � ������ ��� ������, ������ �����"��� ��� ����� ��� Stevin, ���

Descartes, ��"� �� ��� William Oughtred, �� �� ���� ��� = ��# �� ��� ���������� �&� �����*� �� �&� '��*�, � ���� ����$��� �� �$���� �� � ��� $��� ���� � � �� ��� �$�����, �� ��� � �$ � ���-����#260.

255 Géométrie livre 1, Oeuvres Vol. 6. pp. 369-371.256 � ������ � � ���"����� ��� � Descartes ��� �����"��� � «���������» � � ������� ��� ����"� �� ������� ��� ����"� �����"�, �� ����� ��� � �"� ��� ��� ��’ ���� �����, ���!� ���� �����������. $�. F. de $aune, Remarques dans l’ édition F. Schooten, (éd latine) de la Géométrie de R. Descartes, Leyden. 1659 p. 107.257 $�. �� ����� ��� A. Mouchot, La Réforme Cartésienne. Paris. 1877.258 $�. *��!��� VII.259 &� ������������ ������������ ��. J. F. Scott, The Mathematical Work of John Wallis. London 1938. New York. Chelsea 1981. J. F. Scott,. The Reverend John Wallis F.R.S. Notes and Records of the Royal Society of London 15 (1960) pp. 57-67. *�"� �� J. A. Stedall, Of our own nation: John Wallis’s account of mathematical learning in medieval England. Historia Math. Vol. 28 2001 pp. 73-122.260 Arithmeticae in numeris et speciebus institutio quae tum logisticae, tum analyticae, atque adeo totius mathematicae, quasi clavis est. London 1631.

02 arx kat FILH.indd 22402 arx kat FILH.indd 224 30/1/2010 2:13:36 ��30/1/2010 2:13:36 ��

70

II. ������ � ������� �� ������� ... 225

<�� ���� ��� ���� �� �#�� �...261 ���!� ����+��� �� ���

��� ������ (principium numeri) �� � ������ �� �������� � ���!���

(unita tum multitud�), ��" ����� � ��� ������ �� ��"� � �

���!� ��� ������,262 ��� ���� ���! ������!: « ���!� ���

������, (una, numerus est)263. ���� �� � Stevin, ���� �� o Wallis ��������

��� � ��� ��� ��� ������ ��� �� � ���, ���� ���� �!���� ��� ���-

�������� � ����264. #! �� �� ������� ��� ����������� ����"��� ���

« &������ ��� �������� �� � '���� ����»265.

«% ;����� � ������� ���� �� � ��� �������, ���� ������-

+������� (�������), �� ����� ���������� �� ���!���, ������� ���-

�� � ���!� �!����� ����� »266. «%� �������� ����� ��� ��� ����

����� ��� ����� � � ���!�� (Unitatis fragmenta)267 �� ��������

��� >� ��� ���� �� ��� � ����� �� ������ �� !��� �����268^ ���� �� ��-

������ ��� ���� �� ��!�> (indicium) ��� ����� ��� ����"� ���>�

����,269 �� ������� ��� 5� $����270 ��� ;����� �� �� ���� ����� ���

�� ���� ��� �����"� ��� ���� ���� �� ��� ����������. *� ��-

� � ���! �� ���������� ����� �� ���� ���� (����) ����� � � �

261 Mathesis Universalis sive, Arithmeticum opus integrum, tum Philologicae, tum Mathemati-cae traditum, Arithmeticam tum Numerosam, tum Speciosam sive symbolicam complectens, sive calculum Geometricum; tum etiam Rationum proportionumve traditionem; Logarithmo-rum item Doctrinam; aliaque, quae Capitem Syllabus indicabit. Londini 1657.262 Ch. IV pp. 24-27.263 idem264 J. Klein, op. cit. p. 214.265 “…quoniam Geometria sit Arithmeticae” Mathesis Universalis... p. 56.266 “(Euclides) de veris tantum numeris et proprie dictis (integros intellige) verba facit, qui ex Unitatibus componunter, adeoque unitatem semper habet pro indivisibili” J. Wallis, op. cit. Ch. XIX p. 93.267 Idem p. Ch. XII p. 60.268 “esse quide Uni et Nulli quasi intermedios. Sed addo, quo jam transitur �¦� ���� �����...» Ch. IV p. 27.269 ��� ���������� ����� ' �� $, �� ' �� ����!+�� antecedens �� �� $ consequens idem. Ch. XXV p. 134.270 '������ �� � �������� ��� ������, De Algebra Tractatus; Historicus et Practicus 1685 (��. �� � � ������ ���!��� ��� 1685) � �>!��� �������! �� � ��������� ��� 5�� B�����.

02 arx kat FILH.indd 22502 arx kat FILH.indd 225 30/1/2010 2:13:36 ��30/1/2010 2:13:36 ��

71

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���226

��� ����� !��� ��! �� ���� �����, �� �� ���� �� �����, ����

!��� ��! �� ������ (indicia) ���� ��� ����"� ����� ��� ����� ��

����� «�����» ��� ���!�. ���� �� 1 � ���!� ���!����� �� ���-

���� ����� � � �� �!�, ���� �� ��������� ����� (������, ��������

��� �� �� !�� ���) ��� ������ � ������� ���� ��� ������� ����"�

����� �� ���� ���� �� � � ����� � ����!�»271.

���� � ������ ��� � �"��� ��� �!���� ����, �� � � �������� �����

��� ����272 �� «����� � ��� ��������+�� �� �����, �������� � !� -

� ��, � ��� � �� � !�� ��, ����� ���� �� � � ����! ���� ���

�� ���»273.

� �!���> � � ��������� ���������� ��� Descartes, ��� �

������� ��$����� <�&�����, � �� ����������� �� ��� ������ �������

��� Fermat.274 '��� �!���> � ������� � � ������� � � ������ ���

������, "��� �!�� ��!���� � ����� � ������+��� �� �������.

� Isaac Barrow

% Isaac Barrow (1630-1677), ��� ���� ��� �������# �����275,

�����+���� � � �!�� � >������ «���������� ������ �», ���-

������� �� � ���� ��� ;���>��, ��! �������� �� �� ��� Descartes.

����, ��+�� ���� ������� �� ������, ��� ����+��� �� ����� ��� � �"�

271 Idem p. 183.272 ;����� , 4������, $���� V, ������ 3-5.273 J. Klein, idem p. 221.274 $�. K��!��� VIII. =������� �� �� ���� ��� '� �&�� � ��������� �� �/����� ������.275 Lectiones Mathematicae. London 1683 � ��� �������� � ����� ��� ��>� ��� Cambridge � �� ���! �� 1664-1665, 1665-1666.

02 arx kat FILH.indd 22602 arx kat FILH.indd 226 30/1/2010 2:13:36 ��30/1/2010 2:13:36 ��

72

II. ������ � ������� �� ������� ... 227

�� �� ����� ������� � ���������� ���>� ���� �� ��� ������ ���� ��-

��� ��! >���.276

� I. Newton

% �� ��� ���, I. Newton, �� � ��� ��� ����� ��� ���� �� ����-������277... ���� ��� ������ ��� ������: «�������� ��� �����, �����������

�� ��� � � ���� ���� ��� ������� ����� �� ���� � !�� ��� ����

����� � � ���� �������� �� ���!�, ��! �� ������� ����"� ���!-

���»278. ���� ��� ��� ������ � ����� ���! �!���� ��� �������� ����

�� � ��� ��� ���, ��� ��� �� �������� �� � ������"��� �� ����

!�� ���, ���+������ ��� 5� $���� ��� 4������&�. ���� �� ���� � ��

���� ���� ������� �� �!�� ����� �������� � �������� ����

��� ���.

% N. Bourbaki ������279 ��� � Martin Ohm (1792-1872) ��� � ��" ���

� ����� �����!� �� � �����!��� � � �!��� �� � � ���� ����. #! �-

��� ������� � ��� ��280 � 4������ ��� ;����� , ��!��� � 4������ �&� �������*� (9 ������). <��� ��"�� ����, ��� ���! � � ���� ����

276 �. Bourbaki, op. cit. p. 191.277 Arithmetica Universalis, sive compositione et resolutione arithmetica liber. Cambridge 1707. (������ ���!��� London 1720). �� ���� ��� ��!�� �� ��� ������� ��!�� � 1673-1683 �� � ����� ��� � ���� �� 1685.278 I. Newton, op. cit., new ed. Leyden 1732 p. 4.279 N. Bourbaki, Eléments de Mathématiques XXII. Les Structures fondamentales de l’analyse Livre 1. Théorie des ensembles Ch. 4 Structures. Paris Hermann 1970 p. 1.280 $�. M. Ohm., op. cit p. V.

02 arx kat FILH.indd 22702 arx kat FILH.indd 227 30/1/2010 2:13:36 ��30/1/2010 2:13:36 ��

73

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���228

�� � � !�����,281 o Ohm ��+��282 � � �����!���! ��� �� � ��"� � ���

� � ����� ������ (unbennante Zahl), ��� ��� ��� � ������ �����

�� �����!� ��� �� � #� ����!. )��� ��� � ��� ��"� �����!���

������� � ��� #� ����"� ���� ����� �����, �� ��"�� ��� �� � �

��� � �� �� �� � � � �!��� �283, ���! ��� Kästner.

� W. R. Hamilton

#� ��"� ���� ����� ����� ��� !�� ��� ������!+��� �� ���

William Rowan Hamilton (1805-1865) �� � ���� ���, ;�&�� �&� ���-�*� ����� �&� � �&� $��>���*� ����*�, �� /� ����������� �� ������* ��� ������� �� ��� #$��>� &� ��� ���� ��� ����� ������284,

���� �� �� ������ �� � � ��"� � ��� I. Kant,285 ���!��� � � ����� ���

281 Versuch eines vollständing Konsequenten Systems der Mathematik. Erster Theil Arithmetik und Algebra enthaltend erst. Aufl. 1822, 2e Auf. Berlin 1828.282 M. Ohm., op. cit. p. VII.283 P. Dugac, Fondements de l’Analyse op. cit. p. 361. $�. ��� � H. N. Jahnke, Motive und Pro-bleme der Arithmetisierung der Mathematik in der ersten Hafte des 19 Jahrhunderts – Cau chys Analysis in der Sicht des Mathematikers Martin Ohm. Archive for History of Exact Science Vol. 37 1987 pp. 101-182.284 Theory of Conjugate Functions or Algebraic couples; with a preliminary and elementary Essay on Algebra as the Science of Pure Time. Transactions of the Royal Irish Academy (Dub-lin, P. Dixon Hardy 1837 XVII pp. 293-423. '��� � � ����� ���, � � ������� �� � �������� '� � �, �� ��� �!���� ��"� �� 1833 �� ����� �� 1835.285 Kritik der reinen Vernuft, KÙnigsberg 1781. O ������ ��� ��� ���� !��� ��! ���!� � � ������ � �� � � ��� �!�� ��!>��� �!��� �� ��!��� ����� ��� ���-������ �����! ����� �, ���!����� ��� ��� ��� ����� �� � “appréhension” � � ����� � (appréhen sion=��"� ��!> ��� ���, �������� ���� � �� � � ���� � ). &� ���. �������-����� ��. L. Brun schivcg op. cit. Ch. XII La philosophie mathématique de Kant pp. 253-281 �� D. Doriako, Kants Philosophie der Mathematik – Grundlagen – Voraussetzungen- Probleme

02 arx kat FILH.indd 22802 arx kat FILH.indd 228 30/1/2010 2:13:37 ��30/1/2010 2:13:37 ��

74

II. ������ � ������� �� ������� ... 229

������: ��� ����� � � ���������� �� � � �� � � ��� ���!������

���� ��� ����� ���� � ��� ��� ��� ����!���� � ��!����� ��� ��������

��� �������!.286 % ���� ������ �� �� ����� ���� (��������) ����� ���

�!� �� � � ��� ��� ������. � !����� ��� �� ��� Hamilton ���-

���� � � ��!�> � � ������� ��� «����� ������»287. �����288 ���

��!���� �� ������ # «���� �"�» �� ���� ��� ���������� ��! � �

���� < ���� "��� �� �!�� ', $ ��� �� �� ����� ��� # ��� '=$, � '<$ �

'>$289. �����"��� �� ��� � � ���� � Hamilton ��+�� �� ���� ������-

�� ��� ������ ��� +���"� ��� �����"� ������� ('$) �������� �� (CD)

��� ������������ �� ���!�� ��� �����. '� ������ $ ���+��� �� � �

', ���� D � ���+��� �� � � C, � $ ����� � � ', ���� �� D � ���-

+��� �� � � C, � $ ����� � � ', ���� �� D ������ � ����� � � C ... ��

� $ ��� ���� � � ', ���� �� D ������ � ��� ���� � � C».290,291

(Kantsforschung 11). Meiner Verlag 1999. $�. ��� � (�. /� , � ����� ��� Kant ���� Hamilton. "�$� ��� '�� � '� �"� 2005 ��. 226-233.286 T. L. Hankins, Sir William Rowan Hamilton. Baltimore John Hopkins University Press 1981 p. 343.287 W. Hamilton, op. cit. p. 293.288 V. Katz, op. cit. p. 682.289 '������ � *. *�������� �� � ������ ���� ��� �� � � >������� � � ���-�� � � �������� �� (1924), � �� ����������� ��� �� ��������, �������� ��� ��� ���� ���, ��� ��� � ��� ��� ������ , � ��� � ������� � �� ��� ���� ��� � � �� � ��� … � ��� �� ������� ��������, ��� �������, ������� ��� �!����� ���� ��� ������� ��, ����� ����, ���������. C. Carathéodory, Zur Axiomatik der speziellen Relativ-itätstheorie. Sitzung sberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften. Physikalish – mathematische Klass 1924 pp. 12-27. $�. ��� � Ch. Phili, Constantin Carathéodory: His Life and Work, in Advances in Convex Analysis and Global Optimization. Hon�ring the Memory of C. Carathéodory (1873-1950). N. Hadjisavvas and P.M. Pardalos (Eds) Kluwer Academic Publishers 2001 pp. xiii-xxiv.290 W. R. Hamilton, Mathematical Papers. Cambridge. Cambridge University Press 1967 vol. 3. p. 10.291 % Hamilton �� ���� �������� ��� �� �������� �� �������� ���������� ��� +��-���� ��! �� $-'.

02 arx kat FILH.indd 22902 arx kat FILH.indd 229 30/1/2010 2:13:37 ��30/1/2010 2:13:37 ��

75

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���230

� K. ^�����&��

«� ��� � � �������� � � ������� ���� ����� �� ������ �� ������

�����!���� � � ��� � � ����� �������� ������� �� �������... '�����-

�"��� ��� �� ��������, ����!��� ... � � ���> ���� ����������� ���-

��� � ����� , � ����� ��� ������ ���������� �+ �!�� ������� ���-

��� � ����� �»292.

�� ���!�� ������ ��� Hamilton ������ �� ��� ��������� � �

����� � � ����� ��! Dedekind. #!���� � �.;. Hawkes �’ �� !���� ���293

������ «��� � Hamilton �� �������� ���� ������ ��� �� �!������ !�� -

���� � � ����� ��� ��������. '��� ���� �"��� ���� �������� ������� ���-

�� �� �� ���� � ����. ����� ��� ���>� ��� ������������ � �"� ����"�

��!���� �� !����� ������ ����"�. '� ' �� $ ��� ��� !���� �����

� �"� ����� "��� �!�� ����� ��� ' � ��� ��������� �� �!�� ����� ���

$, �� � �������� � ��� ��� ' �� $ ��� ����� ���� ����! �� �!����

����, ���� ����� � � � ��!���� � ��� ������ ��� � ���� ���>� ' ��

$. '��! ��� ���� � ( ��� ������ ��+��� �� � ����� ����

������� ��� ������) �������� ��� ����� ����� ������� � �� ������� -

���� �� � ������ ���� !�� ���� �������. =�������� �!���, ������

� � � �� ��� ������� ��� ����+��� �� ��� �������� i?� @ �� i?� @ ,

�� � � ����� � i j i j� �� $�$� � � ����888 . ���� ��� ���������� ��� �!�� ����-

���� �������"� ����"� ��+�� ��� �������� �����.

&� ��� Hamilt�n �� !�� ��� ����� ��!����� ���� �� � ��, �� ��

����� � ��! ��� � ������� �� ��� �������� ���� ��� ��������»294.

292 W. R. Hamilton, Mathematical Papers. p. 40.293 Note on Hamilton’s determination of irrational numbers, Bull. of Am. Math. Soc. Lancaster, Pa. and New York, N. Y. Macmillam 1901, Vol. VII pp. 306-307.294 J. Manheim, op. cit. pp. 79-80.

02 arx kat FILH.indd 23002 arx kat FILH.indd 230 30/1/2010 2:13:37 ��30/1/2010 2:13:37 ��

76

II. ������ � ������� �� ������� ... 231

� A. G. Kästner

=��� ���� ��������� ����� � � ���� ������ � � � � �!��� �, �

&������ �� ������ A. G. Kästner (1719-1800) �������� � ����� ����

���������� ������� �� ���! ���� ���� �!� , ��>!�� � �� � �

��� � ��� �����"�. <� � ��� ��� ������ = ��/� ��/� ��� �������-���, ��� ��&������295... � �"��� ��� «���� �� ������� � � ���� ����� ��-

+���� ����� ������ �������»296, ��" �������+���� � � ������ �

��������� � ��� ������ ������������ �� �+�� "��� «��� �� ����

��� ������� �� � ���� ���� ���� ������� ������ ����� ��� ����� ��

����� ������� ������ �� � ��������� (data quavis quantitate minus)».297

���� ����� �� ����� � ����������� ����� ������������ ��� ���-

��� ����"� �� � ��� ��� ����������� ����� �� �� ��!>��� ����� � ���� ���-

���� � ��������� ����� ������� ��� ���������� ��� ��� ������-

��� ����� �� ������� � ���������. '��� � � ������ ��� ��!>��� �

Kästner � � ��+�� �� � ��� ��� � �������� � ��� ������ ����"� ��

!������ ��� ���"�, �� � �� �� �� !��� ��� ���� �� ���� �� � ���. «���-

����� ��� !�� �� ����� ��� �������� �� ��� ��� : �� ��"��, � � ���

(Anfang) ��� ��� � �� �� ����� � ������� ��� ������� "��� ��

!��� �����, �� �/$�� (Ende), ��� ... ������� �!�� !������, � ���� ���

����� �� �!�� ������� �������... '� ( ��� ��� !�� ��� ������ �� ' � �

� �� ��� ��� �� �� !������ ����� ���, ���� �,�� ��� � ��� �� ���

� �� ���� ��� ' ������ � ��� � ��� �� �� ��� (, ��� ���� � ' ���-

295 Anfangsgründe der Arithmetik, Geometrie, ebenen und sphärischen Trigonometrie und Per-spektiv Göttingen 1e Aufl. 1758; 5e Aufl. 1792.296 Idem p. 3v.297 Idem p. 133.

02 arx kat FILH.indd 23102 arx kat FILH.indd 231 30/1/2010 2:13:37 ��30/1/2010 2:13:37 ��

77

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���232

�� � ��������� �� ����� ��� � � ������ ��� ( ��� �� �������, �� ����

�� ���� �� ����� ��� �� ��� ����� �� ���� �������� � ����� ������

��� �>��+���».298

'������ ��� �� ������ � � ����� ��� Kästner, � � ����� ��� �

��� ������ �� ��������, ��� �!���� �� ����� �� �� � � �����-

��� ��� ������"�, � �� ��� ����� �� � �������� ���������� ����-

�"�299 ��� Bolzano.

� =. Bolzano

*�"� �� ��������� ����� ��� ����� ��� Bolzano300 �������� ��

�!� ����! ����� �������, ��� ������ ��"� �� ��� �� ���� ����-

������ �������301 � ������� !����� . #���� �� 1962 � ������ �� ���-

��� K. Rychlik �����������!+�� � � ���� ��� �������"� ����"�!302

298 Idem.299 $�. D. D. Spalt, Bolzanos Lehre von den messbaren Zahlen, Archives for the History of Exact Sciences Vol. 42 no 1 1991 pp. 15-70 �� H. P. Becker, Bolzanos messbare Zahlen Rechnen mit dem unendlichen 1990 pp. 167-177.300 $�. B. van Rootselaar, ���� Bolzano Bernard in Dictionary of Scientific Biography t. II New York 1970 pp. 273-279 �� P. Funk und J. Berg, Bernard Bolzano, ein Denker und Erzie-her im österreichischen Vormärz. Sitzungsberichte _ster. Akademie der Wissenschaften Phil. – Hist. Klasse 252 Bd 5 Abh. Wien 1967. $�. ��� � J. Sebestik, ���� Bolzano, Encyclopaedia Univer salis 2e éd. t.4 Paris 1989 pp. 328-330. &�������� �� ��� Bolzano ��. (�. /� , Bernard Bolzano, ��� ����� �������� �� � ����� ��� #��������, ��� '?�� � �� ����-���# ���. =���� ��� '��� 2009 ��. 447-485.301 &� ������������ ������������ ��. �� !���� ��� D. Kurepa, Around Bolzano’s approach to real numbers. Czechosl. Math. Journal Vol 32 1982 pp. 655-666.302 K. Rychlik, Theorie der reellen Zahlen im Bolzanos handschriftlichen Nachlasse. Prag 1962. p. 180 ��"� �� K. Rychlik, La théorie des nombres réels dans un ouvrage posthume manu-script de Bernard Bolzano. Revue d’ Histoire des Sciences Vol. 14 1961 pp. 313-327. $�. ��� � B. van Rootselaar, Bolzano’s theory of real numbers. Archives for History of Exact Sciences Vol.

02 arx kat FILH.indd 23202 arx kat FILH.indd 232 30/1/2010 2:13:37 ��30/1/2010 2:13:37 ��

78

II. ������ � ������� �� ������� ... 233

�� 1976, ��� �� ���� ���������� ����� � ��� ����� ��� Bolzano

(Gesam tausgabe), o Jan Berg, � �������� � � ����� ��� ���!��� ��������-

��� ;�&�� �&� ���*� ����*�303,304 (Reine Zahlenlehre), ����� � � ���-

��� � ����� � ��� ;�&�� �����*�305 (Grössenlehre).

'�� ���� ��� � ���������� ����� �� ����� ��� �� �� �� 1830-

1835 � Bolzano ��� ����� ���� � � ���� ������ � � � �!��� �, �� -

����� � ������!��� ���� ���! �� �"� ��� �������"� ����"�.

�� ��� �"� ���� ��� ��"� �����!��� ���� ������ � � ��� �������

� �� ��!��� ���� ���� ���������� ��� ���� ���� � ��������� � � �����

��� ��� ����"� ����"�.

<� �� ��"� ���!�� � � ;�&��� �&� ���*� ����*� �������

�� �������� ��� �� � � ������� ��� �����"� ����"�, ��"� �� ��

��!>��� ����. ���� �� � � ��� �����"��� ��� �������� ���:

«%�+���� ���� ���������� �������, ���� !�� ����, ���� ���-

�������, ���� �������! ���!���� �� ���� �������! �������, �� � ��� ���

����"� �� � � ����� ���� ����� � ����� ���;»306

% ���� ���! ���+���� ��� ��� ���� �� ������ ����� ����� ���-

��� , ��! ��� � �� �� � ��, �� !�� ���, ��"� �� �� �������! ���!-

��� �� �� �������! ����� �����.307

;� �������� �� ��� ����������� ��������� ��� Kant,308 � ����� � �

����� � ���� ��� ���� ��������, ��"� �� �� � � ^������ ��� ^�-��� `����,309 �� ���!��� � � ����� ��� «� � ����� ������»310.

2 no 2 1964 pp. 168-198.303 ��. '7-'10 Grössenlehre 1833-1845 hrsg. Jan Berg. Prag 1976.304 $�. ��� � �� B. Bolzano, Reine Zahlenlehre. Stuttgart – Bad Cannstatt Friedrich Fro-mann Verlag 1976.305 $�. D. Laugwitz, Bemerkungen zur Bolzanos Grössenlehre, Archives for the History of Exact Sciences Vol. 2 no 5 1965 pp. 398-409.306 B. Bolzano, Reine Zahlenlehre. Stuttgart. Bad Cannstatt Friedrich Fromann Verlag 1976. p. 15.307 Idem p. 20.308 $�. M. Meyer, Science et métaphysique chez Kant. Paris. P.U.F. 1988 �� Kant’s Philosophy of Mathematics ed. C. Posy collection Synthese Library, Studies in Epistemology, Logic, Metho-dology and Philosophy of Science. Kluwer 1992.309 ���� ���� �� � � ������� ��. I. Kant, Kritik der reinen Vernuft. Königsberg 1781.310 B. Bolzano, op. cit. p. 23.

02 arx kat FILH.indd 23302 arx kat FILH.indd 233 30/1/2010 2:13:37 ��30/1/2010 2:13:37 ��

79

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���234

<�� ������� ����� � Bolzano �>��!+�� ���� ������ �������311 �� ���

�������� ���� ����� ��!>���. #� � � ����� ���� ����� �� ��� � � ��-

���� ����� ���� �� �������� ������ � � ������ ��� ������, �����

� ����. #��!, ������"��� ��� Kaestner, ������!+�� ���� ������ ����,

�� ��+�� � � ���� ��!�> �. #� ���� ����� ���� ���! � ��� ������

� � ����� ��� ���>� ������������ (zwischen), ��� �� ���� ������ �� �

�������. «��� � ��� ������ $ ������� ���>� ��� !���� � �"� ' ��

C ��� � $ ��� ���������� �� ��� �� �� ��� ������ �� ��� !����».312

#��! �� ��� ��� �� ��� � �����"��� �� ���!�� � ������

��"� � �� � ����: ���>� ��� ������������ � �"� ����"� �������

��� �!������ ��� ����� � ���, �� �������� �� ���� ������� ����"�:

«��� ' �� C ��� �� +����� ���� � �"�, ��!���� �!�� ��� � ���

��� ������� ���>� ����... �� ������ ��� � �"� ����"� ��� ��������

� ������� ���>� ��� ������������ ' �� � � ���� ��� !�����».313

<�� ���� ����� ������!+�� ���� � ���� ������� ��� ���������

�>!����� � ���"�����, � �� �’ ��� � � ��!���� ����������� ��

����������� ���������314 ��� Bolzano �� � #� ����!. «��� �� �������-

����� �� � ����� ���� ���� ����� ' ������������ ��� ������� "���

�� �!�� ����� � ������ ����� (wirkliche Zahl), ��� ���!��� �� � ���,

�������� � ������ ��� ���������, ��� � ����� � ���� �� �� ��

��������� �������� �� ���� ���� ����� ', � ���� ��! ��� ���� -

���� ����� ' ��� ����� ���� ������, � ����� ����� ��’ !������ �

�>!���� (ins Unendliche wachsen oder zunehmen)… '�����, � ����+�-

�� �� �!��� ���� ���� ����� ��������� �� �������������� ��������

"��� �� �!�� ��!��, ��� ����� �� � ���, ��� � ��� ������, ��!����

�� ��!�� ��� ��� �����, �>��� ������ �� �� ��� � � ����� ������-

��� �� � �� ��� ����� � �, � ����� ��! ��� ��� ����� ���� ������

��� ����� ��������� � ���"���� (ins Unendliche abnehmen)”.315

311 Idem pp. 47-54.312 Idem. p. 32.313 Idem p. 35.314 $�. J. Berg, Zur logischen und mathematischen Ontologie. Rechnen mit dem Unendlichen 1990 pp. 146-149.315 Idem p. 94.

02 arx kat FILH.indd 23402 arx kat FILH.indd 234 30/1/2010 2:13:37 ��30/1/2010 2:13:37 ��

80

II. ������ � ������� �� ������� ... 235

'� �����!����� �� ������� �� ����� ��"�� �� ���!�� ��-

���� ��� Bolzano. � «���� ���� �����» ' ��� �� ������ � �"�

����"� an �� � ������� � � �>���� ������� ��� ��� ! An � /

(��� ���� � � �������) ���������� ��� �, � ��� / 0 :A #nn a� � ��

on n# . ;�" �� � � ������ ������, ! � �� ����� �, / ��� � ���

������� ��� ������ ��� � � ������� �� ��� ���������� ��� �.

% «���!��� �������� � � =�!��» ��� ������ ����� � � �������

��� ���� ��� ���"� ����"�, ������!+�� �� �!> ����"�, �������

� � �!> � ��� �������"�, ��� ��+��� �� � � ������� ����� � ����

����� ���� ���"� ��!>���: «#���" � ����!�� �!�� ����� �� �

���, ���� ���� �� !����� ������ ��!>���, ��� ������� , ���� ,

� ���� �������� � ����� , ��� ���� �+ ��������, �� #�����

��� � ���� ����� ».316

$��� ���� � � ����� �� �� ����� �������� �����������! �

�� ���������� ����������� � ������������. % Bolzano �� � �����

��� ��� ��� ����!+�� � ������!+�� ������ «!������ ���� ����� �������»,

���� ���������! ��������:

1+2+3+… (in infin.)317, 12B

14�

18B

116� ... (in infin.) 318

1B 1

22

64

3

75 1B 1

42

64

3

75 1B 1

82

64

3

75 1B 1

162

64

3

75... (in inf.) 319

1 1 1 1... inf� � � inβ

320

���� ���� �� ������ ����!���� ��� � Bolzano !��� �� ��������,

��"� �!��� ��!>��� �� ������������, «��� �������» �� ���� �����-

����"� �� � ���� �������. � �����!���! ��� � ������"��� ��� �! � �

�!��� �����+��� �� �� � � ���� ��� ���������� ����"�. '�� ���

!������ ���� ���! ����!����, �!> ��� ���������� ����!���� ��� ��-

+��� ���� ����������� ������� ��� ���� � ������. % ���!��� ����-

316 Idem p. 100.317 Reine Zahlenlehre VII. p. 103.318 Idem. p. 78.319 Idem.320 Idem.

02 arx kat FILH.indd 23502 arx kat FILH.indd 235 30/1/2010 2:13:37 ��30/1/2010 2:13:37 ��

81

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���236

����� � � �!��� �, ����� � ������!��� ���� ���������� �������

�� � ������� � � ����� ��� ������ ��+���� ���� ���! � � �!> ���

����"� ��� ����! ����"�, �� �������! ���!���,321 ��" ��� �’ ����

���� ��� �� ������ ��!���� ����� � � ���� � �. «<� �� !���� ���� -

���� ����� , � Bolzano � �������� � � ������ � � «���� � �» �� ��

!���� ������ ����!���, �����!�����!� � � �� ��� �������! ���-

���!�� ���

1q

(q C 0) . '� ��� ��!> ��� ������ � ��������� -

��, ����� ��+�� ��� ��������� �����. � ������ ���, ������-

���� �� � � ��������� ��� ���� ���"� �� ��� ���! ��!���, ��-

����� ��� �� � ����� ���� � (�� � ����������� ������ ��� �� ��!-

�� � ��� ��� � ���) ��� �� � ���� � ����! ���

1q

(«����������»

������), ��� ��� ������� �� ���� �� !� ��� ��� ����� �����».322

'� ����� ���� �"� � ��+�� �� ��! � Bolzano: «%�+���� ��� ���-

��� ������� ����� � �������� (naherungsweise bestimmen oder messen) ��

���� ���� ����� S, !���� � ��������� , ��� �� �!�� ����� ������

q ��������� � � ������� ���� ������ ������� � �� ����� ������ p, �

��� � �����, ���� "��� � ������ ��� ���!�� �>��"����:

S � p

q� P1 �

p �1qB P2

���� P1 �� P2 ��+��� ��� ���� ����� ����!���� ���! ������� ��� �

��" ��� ����� ��� � � ��+�� ���� �� � ���».323

'�� ��� ��� ���� �>��"����, � ������ S ����!�� ����! ���

1q

. «...

����+���� ��� ����� S �� ������������� ���� � � � ��� ���������� ��

�� ����� �������.

321 % Bolzano ����� ��� ��� ��� ������ �������! ���!��� ��� ���� ���� ������� «��� �������� �� �� ���� ���!���, ��� � ��� �� ��������� ������ ��" ��� ������ ��� ������ �������! ������ ��� ��� ����» idem pp. 94-95.322 J. Sebestik, Logique et Mathématique chez Bernard Bolzano. Vrin Paris 1992 p. 361.323 B. Bolzano, op. cit. p. 104.

02 arx kat FILH.indd 23602 arx kat FILH.indd 236 30/1/2010 2:13:37 ��30/1/2010 2:13:37 ��

82

II. ������ � ������� �� ������� ... 237

«#� ���� ���� ����� S ����� "��� �� �!�� q ��!���� ��� p ���

� ���� � � ���������� ����� �, ���� "��� � ������ ��� ��� ���!��

�>��"����

S � p

q� P1 �

p �1qB P2

����!+��� �������� ����� (messbarer oderermesslicher Ausdruck)»324.

� ��� �� ������� � ��� «����������» ������ ����� � ���� ��

�� ������ ,� AnS s n � ��

Sn �

pq� P1,n �

p �1qB P2,n

��" �� �������� (P1,n ) ��

(P2,n ) ����+���� �’ ���� ��� �>��"����.

������ ����>�� ��� �!�� � ��� ������ ��� ����������325 �� ���-

��� ���!��� � � ����� ��� ��������� ������, ����������, ��� ������, ��

��"� � ��� �� !������ ��� ���������� ����"� ��� ���������. '���

��+���� � � ���� � ��� ���������� ����"� ���!+��� � ������

��� �������� ����� �� �� ������, � � ���� ���� �� ���� ��� � ��-

����.

%� ������ � � ���� �� �� � � ��!�> � ����� ����������� �������

����� �"���� � ���� ���, ��� ��� �>������! ����������� �� � �

����� ���. «% Bolzano ��� ���! ��� ��� � ���� � ��� ������

� ����� �� � � ������� ��� ��������� ��� ����"� �� �� ��! (�

�� ��) � ���� �� �� �����! ����� ��!�> ».326

%� ���������� ����� ����� �!� , ��� ������ ���� ��� ���-

�"�, �� ��"� � ���> � �"����� ��!�����, ��� � ���� ����"���� �,

�� !���� ����������� ������� ��� � ���� ����, � ����� � ��� �

�� � �� �� � ���� ���������� �������"� ����� �"�.

324 Idem. pp. 104-105.325 �� ������� � ��� ������ ���������� ����� � ���� �� � ,� AnS s n � ��

n 1,n 2,np p+1= +p = -pq q

s , �� �������� 1,n(P ) �� 2,n(P ) ����+���� �’ ���� ��� �>��"����.

326 H. Gericke, Geschichte des Zahlbergriffs. Manheim 1970 p. 102.

02 arx kat FILH.indd 23702 arx kat FILH.indd 237 30/1/2010 2:13:37 ��30/1/2010 2:13:37 ��

83

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���238

� J. Bertrand

'� ��������� �"� �� �� � �����!��� ��� Joseph Bertrand327

(1822-1900).

<�� ������ ����� ��� ������� ��� �����������328 ��������+��

��� ������ ��� ������ ����"� �� �!���� �����������. «��� � ������

r>0 ������� "��� ��� ��!���� � ��� q ������� "��� q2 =r , � ������� �+� ���

r ���� �!��� ���������� �!���> . ���� ��� ��� ������ ��� ���-

������� � ���������� � � r � �� ����!���� ��� ��������� � ���������

��� r. #��! �� � ��������� � ����� ��� ����� r ��� �����, �����-

�����, �.�., ��� ������ ���������� �� �!��� ���!� ������ �������� �����

���� ������� ��� ����!+��� � ��� � ������� �� � �� ���� �����

>����"��� �� � � ����� ���. �� ����� ���� � � ������ � �!��� �

!�� ��� � �"� ��� ����� �� ����� ��� ��������� �� r , �� �� !���

����� ������ ��� ����"� ��� ����� �� ����� � ��� ��������� ��

r . '�! ��� ���� ��� ���� �������� �����"� ��� � ����� � ��!����

���� ��!�� �, ��! ���!� �� � ��� ������� ����. � ����� ��

� � ��� ������� ��� �� � ���, ��� �> ������� �������� �� � � r ».329

% Bertrand ������� ���>� ;���>�� �� Dedekind, �������� � � ���-

������� ���> � � r , � � ��+�� �� ��� ������� ��� ������� ��� � �"�

���������� ��� � ����� �� ��� �!>���.

327 &� ������������ ������������ ��. M. Zerner, Le règne de J. Bertrand (1874-1900) dans H. Gispert, La France Mathématique. Société Française d’ Histoire des Sciences et des Techniques. Société Mathématique de France, Paris 1991, pp. 299-322.328 Traité d’ Arithmétique. Paris. Hachette 1849.329 J. Bertrand, op. cit. p. 45.

02 arx kat FILH.indd 23802 arx kat FILH.indd 238 30/1/2010 2:13:37 ��30/1/2010 2:13:37 ��

84

II. ������ � ������� �� ������� ... 239

*�"� ���� �� �������� �� ������ ��� ��� �� �� � �!��� ,

��� ���!+���, ������ �� ����� ���!+���� ���� � ����� ���! ������-

��� ���>� ����, �� � � ����������� �� �������� ���� ����-

��� �����"� �� �!�� ��"� � ��� � �������� ����������� ����� ��

���� �� ������ � ��������� �� � ����� ��� ������ ������.

9. %� ������ ��� �������"� ����"� ��! ��� 19� �"�330: Méray, Weier strass, Dedekind, Cantor

=��� ���� ������!����� ��� �������� � ������� �����!����� ����-

�� � � ��� �������"� ����"�, � >���� ����� ��������� ������

��� � �������� ��"����.

�������� �� ������ ��� ����� 1, 2, 3 ... ��"� �� ��� �������� � -

����� ��!>��� ������� , ���� �����������, ����� .

� � ������� �� ��� ����������� �������� � ���� �����������

�’ �� ����������� +����� �����"� ����"�. ���� �� � � ���� ��

� � ����� ��� ������� �� ���. &� � ���� �����! -� �� ��"�

����� ���� ����� ������ >�. ;�� � �� � ���� ����� �� � ���� ������

�� � ��� ������!��� ��� �.

#� � � ������� ��� � �����, ��� ����� �� ���"� �� ��� � �"�

(���������), >��������� �� ��� ��������. � ������� ��� � ����� �� ���-

������ � �"����� ����� �� � ����� -, ������� ��� �� ���"� ��

��������� � ����������� � � ��!> 8-9, ��" ������� ��� � �"� � ����!-

��� ���� ����� ��� � ���� 34

.

� ������ ��� �� �� �� �� ��� ������ ��� � �"� �� ��� ��� ���

������� �� �� �� . <�� �� ����� ������ �� ��!>��� � � ������� � �� ���

������������, ��"� �� ��!�> < ���>� ��� ��������, ����� ��!-

�> : x<y�/z:x<z<y .

330 &� ������������ ������������ ��. J. Boniface, Les constructions des nombres réels dans le mouvement d’ arithmétisation de l’ analyse. Paris. Ellipses. 2002.

02 arx kat FILH.indd 23902 arx kat FILH.indd 239 30/1/2010 2:13:38 ��30/1/2010 2:13:38 ��

85

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���240

%���!+���� ���������� (�� ����� �� ���� ����������) �!��

� �� � !�� �� (������, �� ���� � � ���).

#��>� ��� �������"� ����"�, �� ��� ��� ��� �� � ��. <����

!�� ���� ��������� ���� ���������� ���������� �� ���� �������-

����.

� Ch. Méray

O Charles Méray (1835-1911) ��� � ��"��� � ����� � ��������331 ��

��� �! ��������� ���� ������ ����"� �� 1869. $��! �� �����-

��� �� � � ��� � � �������� � � � � �!��� � �� �� ���� ��� Lagrange332,

;�& �� �&� ��$����*� 4����� �&� ... (1797), �����+�� � ���!+��� ���

��� ��� �����, ������ �� ����� ������ �� �!����� ��� ������-

���� �� ����! Taylor333.

<� ����� ��� �� ���� !�� ���� �������334 ��+�� �� � � ����!

��� �����"� ������"���� ���� �� �� ����� � � ������ ��� ��������

���������� �� � � ����� ��� ����.335 =������� �� � ���!�� ���

��� ��! ������� � � �!��� �: i) �!�� �>��� �� !�� ������ ��-

331 Remarques sur la nature des quantités définies par la condition de servir de limites à des variables données. Revue des Sociétés Savantes Sci. math. Phys. Nat. 2, t. 4. 1869 pp. 280-289.332 $�. *��!��� VI.333 Remarques nouvelles sur les points fondamentaux du calcul infinitésimal et sur la théorie du développement des fonctions en séries. Revue des Sociétés Savantes Sci. math. Phys. Mat. 2. t.3 1868. pp. 133-138.334 Op. cit. 1869.335 ���+���� ��� � Cauchy ���� ��� ��� �� ������ ��� ���� �� ����� ��#$� �� �� 1821: «��� �� ��������� ����� ��� �������� �� � �� ����� �� �� ��!+��� ��-������� (indéfiniment) �� ������ ����, �� ����� "��� � ������� ��� ��� �������, ��� �� ������� ����!+��� ���� ��� !����» p. 4.

02 arx kat FILH.indd 24002 arx kat FILH.indd 240 30/1/2010 2:13:38 ��30/1/2010 2:13:38 ��

86

II. ������ � ������� �� ������� ... 241

���� (������ �� �!�� ������ ) �������� ��� supremum (�������

��� infimum) ii) �!�� ����� ������ (� ������ Cauchy) ��������

(�� �������), �� ��� ������� �� ����: «#���� ����� ������-

�� ���� ��� ����!���� �� >�"�� � �� ��� ��"� � ��� ���!-

����� � � �!�� � � �������� ����� ������������ � � ����! ��������

��"� � ��� ���������».336,337

% Méray ������ >����! �!����, ����� ��"� � ����� ���� !�� ����

������� ����� ������ � �����"��� �� ���! ���� ���� ����� ��

���! � ����� � � ����� ��� ����338,339.

'��+�� ��"� �� ���� � ����, ���� ������ ����!+�� ������� � ����-

� ���. #� ����� � � ����!+��� >���� ���>$��� (variable progressive),

� ��� �� ������, ��� �� ��+��� �� !������� � ���� �������

v1,v2 ,v3,...vn... . '� �� �!��� �!> m �����! ���� �������� ��� �,

m p mv - v n p� $"� ! A #�N , ���� ���>$���340 �, � ��� ������ ��-

��� ���� ��������.

#��! ��+�� � � ������� ��� �������"� � �"� ����"�.

��� ����������� ����� ��� u, v, � ��� ��� ����������� �����-

��� ����� ����

u1,u2 ,u3,...um ,...

v1,v2 ,v3,...vn ,...

������� ���������, ��� um -un % 0 ��� �� ������ m, n �>!�����

��� �� ���������.

'� v � vn , ,An � Anv � ��� ����� ���� �� ���� vA� ���� �

336 Méray, op. cit. p. 283.337 $�. �� P. Dugac, Fondements de l’ analyse. op. cit., pp. 368-369 �� Histoire de l’ Analyse. Paris Vuibert 2002 pp. 146-149.338 &� ������������ ������������ ��. P. Dugac, Charles Méray (1835-1911) et la notion de limite. Revue d’ Hist. des Sciences. t. 23 1970 pp. 333-350.339 $�. ��� � �� J. Manheim, op. cit. pp. 80-82.340 #��� �� � ���� ��� 1869, �� �������� � � ����� ���� ����� ��, �� ���-�� ������ ��� ������ ����� ���, Nouveau précis d’ Analyse Infinitésimale. Paris 1872, � � ��������! �� � � ��> ����� ��.

02 arx kat FILH.indd 24102 arx kat FILH.indd 241 30/1/2010 2:13:38 ��30/1/2010 2:13:38 ��

87

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���242

��� �� ������ Cauchy341. '� � ��� �� ������ Cauchy �� ���

��!���� � ��� ���� ��� ���� � �������� ��� ������ �� ����� � ���!��

�� ����. '��! �� � ����!����� � � ������� � � ����� ��� ��� �����-

���� �� � � ����� � m p mv - v� $" , ������ � � ������������ �� ������-

��� ����� (simu lacrum), �� ���� ��� � ���! � ��� �� ������ �����

(simula crum), �� � �� �� ����������� � � � � �� ����� �, � � «���-

�����» (fictive) ����� � � � � ��� ���� , ���� � �!��� �� �� ����-

���! ��!���� ����»342.

���� ������ � Méray ������� � ����� ��� «��� �� ���������

����� �� ��� ����� ���� �!���� ����, � � ����+�� �� ���*���343, �� ����

����!+���� ����� � ������� ����� � �� ��� ��������� �� �� ���

������� �� � � ������ �������!. #������� ������ � ����!�����

� � ������� ��� ������� ����� ���, ������� ��� ����� ���� �� �!����

���� (�������� � ���"��� �!��� �� � � ������� )».344

���� ����� � � ��������� ������ (indéfinie) ��� � �"�

n� � �� �� �� �888� 888

12

12

+ 122

12

+ 122

+ 123

.................

12

+ 122

+ 123

+...+ 12n

��� ��� �� ��������� ����� �� �� ���� ���� �� 1.

341 Ch. Méray, op. cit. pp. 284-285.342 L. Brunschvicg, op. cit. p. 357.343 #� � � ��������� ����� ��� ���� �� ��� �� � � ��������.344 C. Méray, op. cit. p. 31.

02 arx kat FILH.indd 24202 arx kat FILH.indd 242 30/1/2010 2:13:38 ��30/1/2010 2:13:38 ��

88

II. ������ � ������� �� ������� ... 243

'�����, ��������� ����� ��

11

1� 1

1� 2

11�

12�

11� 2 �3

......................

11�

11� 2

�1

1� 2 �3� ...� 1

1� 2 �3...n

��� ���� ����, ����� �� � � � �� �����"����� ���������� «�������!»

(fi cti vement), � �� ��� �"��� ��� !�� �� �����, � ����� � ��� ��� �!

��� ��� ��� �� � � ������ ��� ���"� ��� ����!+�� ��������� �� -

��� ��.345

O #éray ������ ���!��� ���� ����������� ������� �� ����� ���

��������! � «�������!» ��� (limites fictives) �� � �� ��� �"��� ��

������ ��� � �"� �� . '��� �� «�������� �����» (nombres fictifs) ���

��� � !����� ������� � �� ����������� ����� ���, � ��� �� �����-

������ �������� u �� v, ��� ��������� � ���. ���� � ������ U ���

�"����� (����������) � ��"����� (����������) ��� «��������� ���-

���» V � �����! um -vn ��� >0 � <0.

<’ ����� ���� «���������� �������» ����������� ���� �� ���-

������ ��!>��� ��� � �"�. % ������� ��� «�������"� ����"�» �����

� �����!��� �� ���� � ����, �� � � ��������� ������ �� � ����, ��

� � ��������� ������ �� � �� �������� � ���������� ���

� ����� ���� �� � � ������ ������888 �� ��!����� ���� � � ��� �� � � � ��� �� ��� ��� ����! ����

���� « � � ������+�� �’ ��� � ��"�� ��� � � �������� �+ ��

�� ����� ���� ������������ �!�� ����� ����� ��� � � ���� �� ����!-

���� ����� ��� »346.

345 L. Brunchvicg, op. cit. p. 358.346 C. #éray, op. cit. 1869 p. 288.

02 arx kat FILH.indd 24302 arx kat FILH.indd 243 30/1/2010 2:13:38 ��30/1/2010 2:13:38 ��

89

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���244

#� ���� ��� ����� � ������� ��� «�������"� ����"�», ���!-

����� ���� � ���� ������� �� ��� �� ����� ��� ��� � �� ��� �� !� -

� ���. #� ���� ��� ��������, ��� ��� ��+�� �� ���� ������ ����� �

#éray347 ������� � ����� ��� �!348 � � ����� ��� ������ ������ ��

�� ��� ��� � � ��!�� � �����"��� � ������"��� � � �!��� , ���� � �

��������, �� � � �������� � � ��"� � , � � �� ������! ��� Lagrange349.

� K. Weierstrass

���� ��� ��� � � �!��� �� ��!�� � �!���> �� � &���-

�, ���� �� ��� ������ ��� Kronecker �� ��� Weierstrass � � ������ ��

�� �� � � � ���� ������ � � � � '�!��� �, ���� � � ������ � Felix

Klein, ��� ���� �+��� �� «� � �!�� ��� ����������� ������-

����! ��� ���� � �� � ���� ����»350. % �������������������� �������-

347 ��� �� ���� ����������� �� ������� ���� ��� ����"�, � H. Poincaré, �������+�� � � �����!��� ��� #éray: «<� �� ������� �����������, ������! �’ �� ����!����� ��������, ��� �� � ���, ���� !������� ������� ��� ����� ���. ... ��� � ������ Méray. ����� �� ������ � ������"��� �� �!�� ���� ����� �����, ����� �� ������ � ����� �� � �������! �� ��� �� �������, ... � �. Méray… ���� � �� ��������� �� ��� Weier strass �� � �� ��� �� ������ ��... ������"� ���� ��� ������ � ��"���, � � ���� � ���� � ������ �� �� ��� ������� ���� ������������� ���"����, ���� � � ����� ��� � ��� �����! �����». P. Dugac, Sur les fondements de l’analyse mathéma-tique de Cauchy à Baire. Paris Université Pierre et Marie Curie Paris 1978 p. 139.348 ���� ��� � �� ���� ���������� �������.349 «� ���� ��� ������"� ���������� ��� � Lagrange �������� �� � ��!��� � � ������ � ���� ���� �"� �� ��������� �». Ch. #éray, Nouveau précis d’analyse infini-tésimale, Paris 1897 p. 115.350 F. Klein, Ueber Arithmetisierung der Mathematik. Nachr. K{n. Gesellschaft Wissensch. G{ttingen Gesch. Mitt. 1895 pp. 82-91. ��. �� � ������ ���!��� ��� Vassilieff et L. Laugel Nouv. Ann. Math. (3) Vol. 16 1897 pp. 114-128.

02 arx kat FILH.indd 24402 arx kat FILH.indd 244 30/1/2010 2:13:38 ��30/1/2010 2:13:38 ��

90

II. ������ � ������� �� ������� ... 245

��� ���� ��� �������� � ���� � Karl Weierstrass (1815-1897), ��� �����

�� ��� ��� ����>��� � ���������� ���� ������� �� ��� ��������

������ ��� �� ����"� �� ��� �� �����.

#��! �� �� � �� 13 ��"� (1842-1855), o Weierstrass ���������

� � ��������!��� ������� �� ��� ������ �������� ������ �� �� ��

1856 �������� ��� $������, ���� ���� �� �������� �� � ��� ���

����� ������. � ������ ��� � ��� ������ �� � ���� ����� �����-

�!��� � � ������� � � � �!��� �. �� �� �� 1859 ���!������ � �

���� ��� ������"� ����������, ����� � � �!�� ������� � � �

�!��� � �� ���� ���� �!� . � � ������ � � ����� ��� �������"�

����"�, � ������� ��� ������ ��>!�� ��� �� � � ����� ��� ����

������ ��� ��� ���� �� 1863, ���� ��!����, �����"��� � �����-

��� � ���, ����, �.�., ��� � ���"���� ��� A. Hurwitz, ��! �� ����� �>!� ��

��� 1878, � �������� ��������� ��� #� ����"�, P. Dugac351.

&� ��"� ���! ���� ��� �������"� ����"� � ��������� ��

��� ;. Kossak352 �� 1872, �� ��� ���������� � ���"���� ���, ��� ����� ��-

����� ��������"��� � ����� ��� ���!��� &������ �� ������

�� � � ������ ���� ��� ������"� ���������� �� ��������� �>!� ��

��� 1865-1866, ��"� � ���� � Weierstrass ��� � �������353 � ������-

��� ��� �����"� ��� �� � � ���� ������ � � � �!��� �.

� ������ 354 � � ����� ��� �������"� ����"�355 ��+���

351 P. Dugac, Eléments d’ 'nalyse de Karl Weierstrass. Arch. for Hist. of Exact Sc. T.10. 1973 pp. 41-176. $�. ��� � �� � � ������ ���������� ��� ������� (Thèse d’ Etat) Sur les fon-dements de l’ analyse de Cauchy à Baire. Paris 1978. *. Weierstrass, Einleitung in die Theorie der analy tischen Funktionen. Vorlesung Berlin 1878 in einer Mitschrift von Adolf Hurwitz (ed. W. Schar lau und P. Ullrich) DMV Vieweg Braunschweiig 1988.352 E. Kossak, Die Elemente der Arithmetik. Programm Friedr. Werder Gymn. Berlin 1872.353 $�. %. Biermann, Theorie der analytischen Functionen. Leipzig 1887. V. Dautscher, Vorles ungen ueber die weierstrassche Theorie der Irrationalen Zahlen. Leipzig und Berlin, Teubner 1908. $�. ��� G. Mittag - Leffler, Die Zahl: Einleitung zur Theorie der analytischen Fun ctionen. The Tohoku Mathematical Journal Sendai. The Tohoku Imperial University Vol XVII 1920 pp. 157-209.354 �� ������ ��� ������� ��+��� ��� ����� ��� Dautscher, �� � ���� ��� P. Dugac, Fondements d’Analyse op. cit. pp. 364-366, ��"� �� ��� ����� ��� J. Manheim, The Genesis of Point Set Topology, Pergamon Press 1964 pp. 83-85.355 ���+���� ��� � Weierstrass �������� ��� «� ������, �� � ��� ��� ������� , ��� ��������� �������� � � ������� � � � ���!�� �� ���!�» ;. Kossak, op. cit. p. 16.

02 arx kat FILH.indd 24502 arx kat FILH.indd 245 30/1/2010 2:13:38 ��30/1/2010 2:13:38 ��

91

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���246

�� � ���� ��� �����"�. % Weierstrass ����!+�� ���� ���� ����� �

(Zahlengrösse) �!�� ������ ��� ����� ������ � ������ ����� "��� �

��� ������ ����� ����� ����+��� �!�� �������. % ������ ��� ����-

���� ����� � ��� ����������� � !������ ��! �!�� ������� ����+�-

�� ���� �� ���������� ����� ���"�. ��� �� ������ �� ��+��� ��

����� ����� ����� �������� ������ �� �� !������ ��� �������� ���.

��� ����� �� ���������� ����� �������� ��� � ��� � �������

��� ��� ��� �������� ���� ��� �.

'�� � ���!� �� � ��� � � (� ��� � ��!���) �� ��+�� � �

����� ���� ���� ����� �. � �����! �����, � ���������� ��

��������� ������ ��� ����� � ���� ����� ����� ��, ������� �

����������� �� �� !��� �� ������ ���� � ����� �� ����

����.

���� �� ��+�� � Weierstrass ���� ����������� �������, �� �

���!� �� � ��� � � � ��� ��� !���� �� ������. ���� �� � �����

��� �! ����� ���� ���������� �������, �� ����� ��������! ����-

���� �� ������ ��� � �"� �����"� ����!+��� « ���������� ���� ��"-

� � ���� ������ ¿ ����� ��� . � ���� ��� ¿ ��� ����� ��� , � ���-

����� � ����� ������� �� ¿ �� ¿¿, �� ������� ����� "��� �� � � ��

��� ¿¿ � �������� ����� ����� ��� ���� ��� ¿¿»356,357.

'��� ����� ��� ��������� � �"��� ��� ��������� ������ � � ���� -

��: ��� ������� ���� ����� ����������� ����� ��� �� � � ��� ���

��� �!�� ������� � ���, � ����� ��������� ��� ��������� �� ��� �,

�� �!�� ������� � ��� ������ ��� ��������� ��� � ��������� �� ��� .

���� ���� � ���, ���� � � ��+��, «�������� ��� ����� ��� � � �����-

��� �� � � ��������� ��»358. '��! ���� � ������� ��� ��������� �

�"��� �� ��� ��������� ������ � � ����� ��. ��� ������� ���� �����

����������� ����� ��� ��� ��� ���, ��� ��!���� �������! ��� �!-

������ ��� ������� � ��� ������, � ����� � ��������� ��� ���� �

356 P. Dugac, Fondements de l’ analyse p. 365.357 «�� ¿ ����!+��� ����� ��� � �� ¿ �������� ���� ��� ���������� ����� ����-���� ��� ¿¿» idem.358 P. Dugac, idem.

02 arx kat FILH.indd 24602 arx kat FILH.indd 246 30/1/2010 2:13:38 ��30/1/2010 2:13:38 ��

92

II. ������ � ������� �� ������� ... 247

��������� ��� �, � ��������� ��� � ���� � ��������� ��� . <� � ��"�

������� ���� ��� �� ��� ��������� ��� � �� �� � ������ ��� ��

��� ��������� ��� �.

#� ��� ��� ������ ��� �� �� ��� � ����� ���� ����������� ���-

����, ������������� �� �� ���� ��������, �� � �"��� ���� ���-

����� ��� ����"� ���� ���"� ��!>���, ��� ������� ��’ �����. ���� ���-

�!+�� #���� � ��� ��� ����������� ������� ���� ���"� ���������

�� �, � � ���� ���� ����� �, � � ���+���� �� �� ������ ��� �����

� ������ ��� ���� ��� �������� ��� � ��� �, ���� �� ��! �

������ ���� � ��� �� ����� ���"� �� ��� ����� ��� ���"� ��� ��-

����� ��� �> ���� ��! ��� ����� ��� ���"� ������������ ��� �.

;�" �������� ��� ������� ���� ���"� ����������� ��������� �� �

��� ����� ���� ���� ��������� ����� � c, ���+���� �� ��

������ ��� ����� � ������ ���!����� �� ��+���� �� ����� ����

������� ������� �� �������� �!�� �������� �� �!�� ������� ��� �.

;�������� �!���� � � ����� ��� �������� �� !����� ����� ��-

����� ���� ���"� ���������. «%���!+���� #���� � ���� !������ ���-

��� ������� ���� ���"� ��������� , �, c ... � � ����� ���� ����

����� � s � � ���+���� �� �� ������ ��� ����� � ������ ��������

�� � � �� � !�� ��� ���� ���"� ��������� , �, c ..., ���� �� ��!

� ������ e ���� � ��� ne ����� ���"� ����������� ��� , �> ���� ��

��� ����� ��� ���"� ��� ������� ��� �, �> ���� �� ��� ����� ���

���"� ����������� ��� c ....

&� � ��!���� �� s �� ���� ���� ����� � ��� �� ���� ���-

��� ��� �� Ne � ��� ���������� !e , �� �� � ��!���� �� s �� �

��� ���������� ������ �� ���, � ��!���� ��� � ������� "��� ��

!������ ���� ������������ ����������� ��� ����������� ���� ���"�

��������� , �, c... � ��� ��������� ��� �.»359

#� ����� ���� �������� ��� �� ��� � �����"��� ��� �!�� ��-

��� ���� ���� ����� � ��� �� !������ ��� ������������ ��������

� �.

359 Idem.

02 arx kat FILH.indd 24702 arx kat FILH.indd 247 30/1/2010 2:13:38 ��30/1/2010 2:13:38 ��

93

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���248

%�������! �� ��� Weierstrass «� ��������� ������ ��� ��!�

�������� �� � � ���� �������� ���+���� �� � � ���� � ���

���� ��� ��� ���������� �� �������� ��� �����������. ���� �� ��

������ �� ����, ��� ��������� � � ��!� ���, � � ��!���� ��� ������

��� � �"� �� ��� ������ ��� ��� ���������, � ��!� ��� � �����

��� ��������� �����, ��� !�� ��360»361.

#���� �"� ������������ � � ��������� ���� � � ������-

��� � ���� ;���>� ����� ��� �����"�, ���� ����� «�� ��"�� ���

����� ������"� ���������"� �����"� �� ����� �����! ��� �� ����-

��� �"���� ��������� (�� ���� ��� ��������� ��!>��� �� � ��!�> )

�� �� �� . <� � ������� ���� ��� ������ � � ��!���� �� ;������

����� ��� ������� ���� ��� 19�� �"�.... � Richard Dedekind (1831-1916),

�� ���� ����������� �� ������� ��� 19�� �"�, ����� � � ��! ;���-

>�-Dedekind ������ ��� ������� ��� � �"� ����"�»362.

� R. Dedekind

% R. Dedekind, ��� ������ ��� «�� ����� ��� ��������� � ��������

��� ���"����� ��������»,363 ����� �� � ���� �� ���!���� ���� �����-

������ �� ������� � � ������. <�� =���������� ��� Göttingen ����-

360 &� ��� Weierstrass, � !�� ��� ������ «���� �� ���> ���� ��������, ��� �� ���-������ !��� �� � ��� � � ���� �». G. Mittag – Leffler, Une page de la vie de Weiers trass, Communication au Deuxième Congrès International des Mathématiciens Paris. 1900 p. 150.361 P. Dugac, Fondements de l’ analyse p. 366.362 <. =. ������ – =.$.*����� �, �&� ���>������ �� � �$ ��# �������# � ��*-���. '��� 1997. �. 84.363 “Die Zahlen sind frei Schöphungen des menschlichen Geistes” R. Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen. 1888, Werke Bd 3 p. 335.

02 arx kat FILH.indd 24802 arx kat FILH.indd 248 30/1/2010 2:13:38 ��30/1/2010 2:13:38 ��

94

II. ������ � ������� �� ������� ... 249

����� � ����� ��� Dirichlet �� ��� Riemann364, ��" �� 21 ��� �����

����� �+�� � � ���������� ��� ������� �� ���������� ��� Gauss.

��� �� 1858 ����+��� �� � ��� #� ����"� ��� =��������� � �

���� �, (Eidgenössische Technische Hochschule) ��������!+���� � ���-

�� ��� ��������� �� ����� ������� �������� �� �� ��������� �>!� ��

��� �� ����� ����� 1858-1859 ���!���� ��������� � � �!�� ����-

� � � � ����� ��� �������"� ����"�. '������, �� 1862 ���!������

�� �!�� �!��� ��� =��������� ��� Brunswick, ����"��� �� ���!���

�� ���� ���������� ������� �� � � �������365. *� ��� ����� ���!,

�� 1872, � �������� �� ����� ��� 4��/��� �� #������ ������366, �����

������ �� � #� ����!.

'� ������� ���� ��� ��� ��� Dedekind � �� ��� �"� ����� ���

� ����� : «�� �� � ��� �� � =���������� <���� � � ���� � ���� � ��

��"� ���!367 ������������ � ���!>� � ������ ��� ��������� ����-

���� �� ����� ��� ������ �� ���� ������! �� � ���� ��� � ��-

��� ����� ������� ������� � � � ���� �����. <�+ �"��� � � ����� ���

�"� �� ����� �� ������� �� ��!+�� �� ������ ����� ���� �� ������

�� � �����> ��� ��������� ��� �!�� ������� ��� ����"��� �����"�,

��! ��� ��� �� �!�� ����, � ������ ���������� � �� ��!��� �� ���-

�� ����368, ������ �� ����������� ���������. '��� �� �"� �� �

��"� ���� �� ��� ��������� ��������, �� ����� �������� �� ���-

������� �� �� � � � ����" �>������! ������ �� ��������� �����!�,

�� ��!���� ��� � � �!����� ��� ����� � �!��� ����� ����. '��!

��� ����� �������� ���� �������� ������� ����� � � � ���� �

��� ����� ������, ���� ��� � �� �� ��... � ������> , ��� ����

364 &� ������������ ������������ ��. �� ����� ��� P. Dugac, Richard Dedekind et les fonde-ments de l’ analyse, préface de J. Dieudonné, Vrin Paris 1976.365 $�. P. Dugac, op. cit. Appendice IV.366 Stetigkeit und irrationale Zahlen erste Aufl. Vieweg, Braunschweig 1872 ��. �� � � ������ ���!��� ��� O. Zariski, Stock Roma 1926 ��"� �� � � ������ ��� W. W. Beman, Dover. New York 1963.367 ���� � Dedekind ��� �� � Weierstrass ��� ��� ���!>�� ��������, � � ������� � � �� ������ �!��� �. *� �� ��� �� �������� �� ��� �!���� � � ������� ����, ���� �"���� ��� ������ ���� �� � � ������� ��� �������"� ����"�.368 =�. =�� ��� ��� �� ��� "� �� �� ��� #éray � ������!��� � � ���� ��� ����.

02 arx kat FILH.indd 24902 arx kat FILH.indd 249 30/1/2010 2:13:38 ��30/1/2010 2:13:38 ��

95

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���250

����! �����, ��� � ��������� �������� ������� �� ������ ����� , ��

��� ��� ���� ������! ���� �� �>�� � ���� � � ��������, ��� ��

�� ��� ��� ��� ������!���� ��� ��������� �������� �>��"��� ��

������� � ��� ���� ��� ����� ��������� �� ���! ���� ���� �����...

=������ ������ � ����� �������� ��� (��"� ��� ���� �!���)

�� ������ � � ���� ����� �� ���� �������� � �>������� � � ���

������� � � ���� � � ��������»369,370.

% Dedekind, ������� � ������������� � � ���� ������ � � � �!-

��� �, ��+�� >����"��� �� � ����! >�"�� ��� ����� ��� �"�.

=��������� ��� ��!��� ��� �������� ��� Dedekind � �� �����

�� � ���� � � � � ������� ���.

«� ���� ����� ��� ����� ���������� �� � �� �� �,�� ��� ��

� �� �� �����.

'� ������ ������������� � ������������ ���� ���! � �������

��� ��������� � � ���� ����� �������� ���� � ���� ������� ����-

���. ;�� ����� ���� � �������� ��� �� ������ �� � � � �����-

� ���������� ����"�, � �� ���� ���� � � �� �� ��� �, � ���� ����

���� �, � � �� ������� ���� ���� �����...

� ������� ��� � �"� ����"� �� � � ���� ����� �� �� �� �� �

���"��� ���> � ���!���, ��� �!���� � �� ��� �� � �������!�

����, ��" �� � ���� ����� �������� �� ��� �, ���� ���!��� �

�������. <� �� ������ ������� ��� �������; *��� ������ � �>��!-

�� �� � � �!�� � �’ ��� � � ��"� � �� ���� ��� �’ ��� �

�!����� �� ����� ������ �!� �� � � ����� ���� ��� �����"� �����.

369 R. Dedekind, Continuity and Irrational Numbers, ����. Wooster Beman, in Dedekind, Essays on the Theory of Numbers, La Sale III Open Court 1948 pp. 1-2.370 O Dedekind ��!���� ������ «��� � �� ������ � � ���� � � �������� '������-��"��� � � ���� ��� ��� ������ �� � � ������� ��� ����� �� ��� ������ ��� �� �����. #� ��� ������ ���� ��������� ��� ��� ��������� �� � � �� � � ����� �� ��� ��!���� ������� "��� �!�� �� �� � � ��, � � ��"� � ��!� � � �����-�� �� �� ����! �!�� � ���� � � ������ � ��!� �, ��!���� �!�� �� � ��� � � ����� �� �� ���� ��� ���+�� ��� ��� ��!����». R. Dedekind op. cit. p. 11. � ������ � ���-��������� ��� ��� � � ��"� � � Dedekind � � ���!��� �� >�� ��" ����� �� -����� ��� ��������� ��� ��� � � ��"� � . $�. �.�. o Pasch. $�. M. Pasch, Ueber die EinfÚhrung der irrationalen Zahlen. Math. Ann. Bd. 40. 1892. pp. 149-152.

02 arx kat FILH.indd 25002 arx kat FILH.indd 250 30/1/2010 2:13:38 ��30/1/2010 2:13:38 ��

96

II. ������ � ������� �� ������� ... 251

#� ���� ��� ������ �� � � ��!���� ������ �� �������� ��� ,

���� ��� ��� �������, ������ � �� ����������. �� ����� � ���

� ��������� �� ������ ���� ������� � � �������� ��� � �� �� ��-

������ �� �!� �� ������ ��������.

&� ���� ���� �!�� �� ����������, ��! �����! ���� ��� ���

����. '��� ��!��� � ����� �� ��� ���������! �� ��!������

���"���� �������� � ��� � ���� � � ��� � � ���� �������� . '����-

���� �� � ���!��. <�� ��� ������� ���!��� ��� �� � �� ���

������� ��� �!�� � ��� � � ����� ������ ��!��� �� ����� �� ���

��� ����� "��� �!�� � ��� � � ��� ����� � ������� �� ������!

�!�� � ���� � � !�� �. $���� � � ��� � � �������� ��� ��������,

� ��� �� � ���!�� ���.

'� �� � � �� � � ����� ������ ��������� �� ��� ��!����, ����

"��� �!�� � ��� � � ��"� � ��!� � � ������� �� ������! �!�� � ����

� � ������ � ��!� �, ���� ��!���� �� �� ���� �� � ��� �� ���� ��!���

��� � � ����� ���� ��� � ���� �� ��� �!>���, ��� ��� ��������� � �

����� ������ �� ��� ��� ».371

;�" � ����� � ������������ � � ��� �������� ��� �������

��� Dedekind �� ��� '�������� . % <������ � �� "� ��# ���� ��� ���� -

����� ������ � � ��������: «���� ��� ��!���� ������� ��� � ����372

�� � ��� ��� ��!��� ��+���� ��� �� �� �� ���».373

%�������! � ��� � ������� � ������������� �� � ������� � �

����� ������, �� � ��� �� ���� ������ �� ���� ��� �������. � ���

�� �� ���� �� �� � !�� � � ��+�� � � ���� �� ���� !��� !��� ���

� ���� ��� � ���.

371 R. Dedekind, op. cit. p. 9.372 =��� �������� � ������!����� ��� ������ ��� ������ (�����) ���� ��� ���� � '����� ��� � �� ����� ��#. =��� ������ �� !���� �!�� ��!�����, ��"��� ���� ��� �>�������, ���� ����� ��� ����� � ������� �� ��� ��������� ���� ������� �� �� �� �� ���� ��� ��� � ����� ���� �������� � �� ��� ��� ���� �������. «=��� ����-�� �� �� q����� ³�!���� �@ �{ q>� � �|� q��� ���^� ��"��� �@ �{ q�� �!�� ��"���, �@ À �� Ä �[��� �������� Ä q������ �������». ����� ��# 1022 4-6.373 «���� �’ �[�� �������, ��� ��¡�� ������ �@ �� �X ³������ ���� ��� �������» "� ��! 227 11-12. $�. (. /� , � ����� � � �������� �� ��� '�������� ���� Dedekind. "�$� ��� '�� � '� �"� 2007 ��. 274-279.

02 arx kat FILH.indd 25102 arx kat FILH.indd 251 30/1/2010 2:13:39 ��30/1/2010 2:13:39 ��

97

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���252

/����!, ���� ��� ������ � Dedekind �� �� ��������� ��� ��-

���������� �������, � �������� �� � � ����� ���� ��� ������ � ���-

���� ���!�� � ��! ��� 17� �"�. )��� ��’ ��� � ������� � � ���� ����

� ����� ��� ���� ��� �� ��� ������ ��� ����.

*� � Dedekind ������� ������� � �������� �� ������� � � ����-

����: «���� �� ��, ���+� ��� ��� � ��� �" ���������� ��� � ���

� ����� ����� � � ����� ���� � � ����� �. ;������� ����� � �

��� ������"� ��� � ���� ����� ���� � �!��� ��� �� ��� � � �����-

��� ����� � ���������� �� ������� � � ��������. &�’ ��� ��� �"

� �� ��� ��� ��������� ��� ����� ������ � � ���!�� ��� �� � �

���� ����� ���� ������ �� ���� ������� �� ��� ����� ��� �����. &�’

��� ��� �����"� ����� � ����!��� ���������� �����> �� � �

����� �! � �, ��! ���� �� ����� !���� ���� � � ���� . � ������ ����

� � ����� �� � � ������ ��� ��� ���� !��� ��! �� >�� �� �� ����

�������� �� ����� � � ������� � �, �� �� ���� ��+���� � �������!

� �. ������� �������� ��� � �"��� ���� �������� ���> , ��� ��� ���

��� �� �� � ��� �������, ������ �� ��� ����� ��� ��� ��������

�� ���� � ��� �������. *� � ����� ������� ��� � �"��� ��� ����-

���, ���� ��� � �� ���������, �� � ������� ��� ���� ����������,

� �� �"����� �� � � ���� �� � �!���, �� ���� � ��� ����������

���� ��. '��� ������ �’ ��������� � � � ������ ���� � ����, ��

��� � ����!��� �� � ������ �� � � ���!�� ���»374.

<� � ��"� ��!���� ��� ������ ��� ��� ����� ��� ���$� %�������� �&� ���*� ����*�, � &������ �� ������ ����� ���������� � �

��� � ���� ��� ������� ��� � �"� ����"�375 �� , �� ���� ��� �� �"�376

�� �������� ���� ����� ���!�� ����� ���:

374 R. Dedekind, op. cit. pp. 11-12.375 �� ���� ����� ����! ���������� “wohlgeordnet” op. cit. p. 5.376 ���+���� ��� � Dedekind ���!��� � � ����� ��� �"���� �� 1871 �� � ���� ��� Ueber die Komposition der binären quadratische Formen, [ ��� ��������� �� ����!�-� � �� � ������ ����� ��� ������ ��� Dirichlet ;�&�� �����*�] Supplement X von Dirichlets Lejeune P.G. Vorlesungen über Zahlentheorie 2e Auflage Vieweg Braunschweig 1871 p. 224”. �� ���� � ' �������"� � ������"� ����"� ����!+��� �"� � �� !������, �����!, �� ��������, �� � ���� �!�� +������ �� ����� ���� ������� ����� ��� ��� ���� �». <���� � ����� ���� � ������� ���� �������� ��!>���.

02 arx kat FILH.indd 25202 arx kat FILH.indd 252 30/1/2010 2:13:39 ��30/1/2010 2:13:39 ��

98

II. ������ � ������� �� ������� ... 253

1) � >� �� �>c �>c (���� ��!�> � � ���������, ��������).

2) � � C �% / � ���� � �"� ��� ��������� ���>� �� � (�����-

� �).

3) � �A � , ���� �������� � ����!����� ����� ���� � ���� �������

�� ��� ��!���� (�����) ' �� '1 �� ������� ����� "���

� �!� A��� $� �� !a2 A A2 � a2 # a . % ������ ����� � ��-

��� ��� ��� '1 ��� ��� '

2 (����� �� ��� �������� ��!����)377. '���

��� ����� � ������ ��� ������ � � ����� ��� ������ ���

� �"�.

� ��!� ��� �������"� ����"� �������� �� >�� � � ����-

����, � ��� � �� ������ ���� ��� �������"� ���+��� �� ��� ��!-

���� '1 �� '

2 ������� "��� � � � �!� A� $!� A� � / ��� �� ����� ��� ���

��� ��!��� ��� � � ����� .

� ��� �� ������ ��� �������"� ��� �� ������� �"� ��� ����

������� �� ����� ������������ ����� ���, � ������ � ����!+���

�������.378

'����� ���! ��+�� ��� ��!>��� ���� �����:

��� �� � ���*�. '� c ����� � ���, ���� �������� � �� �!����� �� �

��!� c1 � � �/� A� �� c� � � �� A� D� �� E . ���� �� !���� � �� ����� ��-

������ �� � ��!� c2 . �� +����� ��� ��!���� 1c �� c2 �� ��+�� � �

���� ( c1 , c2 ) ��� c C c C� � � �! A $! A . � ���� ( c1 , c2 ) ��� �� !������ ���

(A1,A2 ) �� (B1,B2 ) .379

377 % Dedekind ��� �� ��� ���� �� ����� ��� ������� ����"� �!��� �� � � �� ��� ����� ������.378 <� ������� �� ����� ��"�� �� >�� � � �������� (� Dedekind) �����"���� �� �>��: � L �� R ��� �� ���� �’ �� ���������� �"� ' ���� ��!���� ��� ������

� A A "��� �!�� ������ ���������� ��� > � ����� ��� L �� �!�� ������ ���������� � ����� ��� R. ���+���� ��� ��� � ' �� ���������� �"� �� ������� ��� ' �� ��� �������� ��� L �� R ������ ���� ��� ������������ � ���!��

L �� Ri) C F ��� � LG R � A, LH R �F

!x A L !y A R� x $ yii) ��. ;. &���, '� �&�� �� �������� ��#$� �. '��� 2001 �. 23.

379 '�!��� ��+�� �� ��� !���� ��!>���.

02 arx kat FILH.indd 25302 arx kat FILH.indd 253 30/1/2010 2:13:39 ��30/1/2010 2:13:39 ��

99

DZ
Text Box
Α1
DZ
Text Box
Α2
DZ
Text Box
Α1
DZ
Text Box
Α2
DZ
Text Box
Þα1£α
DZ
Text Box
Þα1£α
DZ
Text Box
*
DZ
Text Box
* ή " α1ÎΑ1 Þα1<α και " α2ÎΑ2 Þα2³α

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���254

<� � 4 ��!����, � � ��� ����!+�� 3�������� �&� ����&� ���-�*�380, ��������� ���� � ������ ��� Dedekind �� ��� ������ ���

������, ���� � �� ����������� � � !���� ����! � �� ������ ��� � �"�,

���� � Méray �� � Cantor � � Weierstrass.

O Dedekind ��� �� ��� �������� �� !������� ������� � ���-

����� �� ������ ��� � �"� �� ��� ����� ����� "��� �!�� � ��� ������

��� ��"��� ������� � ��� ��� ������ �� �!�� � �� ����� ��� �����-

���. *���� �’ ����� ���� ����������� ������ ���� (��. ����� � 3).

��� ���>� ��� ����"� ��� ��"��� �������, ��!���� ��� ��� ��� �

��� ������ �� ���� !�����, � ���� ��� ���� � � ��� ������ ���������

�� � ������ ��� ����381 (Schnitt) � ��!��� � � ����, ��� ������

(A1,A2 ) (� '1 �� '

2 ��� � ��� ����� CF ).

� R. Lipschitz

� �������� � � ����� ��� Dedekind �� � � ���� ��� ;���>�� ���-

����+��� ��"� �� ��� R. Lipschitz382 (1832-1903). <��� 8 ������ 1876

380 $�. P. Dugac, Fondements de l’ analyse p. 367.381 '�� �� 1918 ���!���� ���� ���"� ��� Dedekind �� � ;��!� �� � � ������ � � �!��� � ��� =��. ������ ��� =���������� '� �"�. �� ����� ��� ������ ����� `��� ��� (�������� 1926, ������ 1929) �������� � � «�������� ����». &� �������-����� �� ��� ������� ��. Ch. Phili, The arithmetization of P. Zervos’ book Infinitesimal calculus at the twenties’ in Greece IX Oesterreiches Symposion zur Geschichte der Mathematik. Oesterreichsche Gesellschaft für Geschichte der Mathematik. Miesenbach 2006 pp. 228-239.382 =��� � ������� ������� �� ������, �� ��� ��� F. Newmann �� ��� P. G. Dirichlet, � ����� ���!�� �� �� ������� ��!���� ��� #� ����"� ����, ���� ����"�, ���� ���� ������ ��� Bessel, ������ Fourier, ������� ��������� �>��"����, ���� �������� �� ��� � �������� ��. �� ����� ��� ���/� ��� ��#$� �� (Grundlagen der Analysis. Bonn 1877-1880) ���������+�� �� ��������� ��� �� ���� ������� � ��� #� ����"�.

02 arx kat FILH.indd 25402 arx kat FILH.indd 254 30/1/2010 2:13:39 ��30/1/2010 2:13:39 ��

100

II. ������ � ������� �� ������� ... 255

��!��� ���� Dedekind ��� � ������� ��� �� ���� ������� «>����+�� ���!�

�� ���� � ����� ��! �� ���� � � ��� ��� � ������� ��� ��� �� ��

���� �����»383 �� � 5�� �������384 ��� 5�� $����� ��� 4������&� (� �� -

��� ����� ��� ���� ���>� ���� ��� ��! � ����� ������������

��� ���� ���� � ��� ��������) ��� �>��� ������� ����� ��� �� �

����� ��, ��� � ���������� �!��� �������, ���� 2 � 3 � 6 ».385

��� ����� ������ � Dedekind (10.6.1876) ���! ���� Lipschitz,

������!+���� ����� ����! � � ���� ���386,387 �� ��������� ��� ����-

��� ��� ���� ������ ��� ������ � Lipschitz «��� ������ ���� ����

������� �� � � ������ ... ���� ����� (Gebiet) ������"� �����"�»388 �� ���

(� �������) ���� «� �"��� ���!� ���� ��� ��!����� ����� �� �� ����

�����"� ����� ��� ��� ���� �� ��� !�����».389

#��! ������!+�� � � ����� ��� ���� � �� � ���� ��� ;���>��

��� 10� $���� ��� 4������&�, ���� ������!+��� �>���� � ��� ���-

���. =� �"����� �� ������ ��� � �"� ����"� ������! ��� ��� ����

«�� ������� (Abschluss) ��� ������ ������ � (Vervollstän digung), � ���

����� ���� �������� ����� �����"� (�� � � ����� ��� Dedekind) � ���

��� �� ������ �� ��������»390. *� ������� � Dedekind ������!��-

��� ���, � ��� ����� ��� �� � ���� ��� ;���>�� ����� � � � ����-

����, «��� ����� � ��������� ��� �! ���� ��� �������"� ���-

�"� �� ����� �����"� �� ���� ������� ���� �� 2 � 3 � 6 ��� ���-

���� � ����������»391.

383 P. Dugac, Richard Dedekind et les fondements des mathématiques. Préface J. Dieudonné. Paris Vrin 1976 p. 217.384 O Lipschitz ������� ��� ������ �� ������!.385 P. Dugac, Idem. 386 R. Dedekind, Gesammelte mathematische Werke. Braunschweig Vieweg (hrsg.) R. Fricke, E. Noether, O. Ore Bd. III 1932 pp. 470-47.387 ­��������� ����������� �� ������ ��� � �"� ���� � ���!��� >�� ������ ����� � �� �� �"���, �� � � ����� � � �����.388 R. Dedekind, op. cit. p. 472.389 Id. pp. 472-473.390 Id. p. 473.391 Id. p. 474.

02 arx kat FILH.indd 25502 arx kat FILH.indd 255 30/1/2010 2:13:39 ��30/1/2010 2:13:39 ��

101

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���256

���� ������ �� ������!��� ��� ;����� , ���� � � ������� � � ����

� � ��������, ��� ����� �� � � �����> � � ����� � 2 � 3 � 6 .

'������� ��� 5� ������ ��� 5�� $����� ��� 4������&� ��� ���� �

Lipschitz �� ������!, �� � � ���� � ��� �����"� AB� �

, ! +����� ��-

��� (�, �) � ������ #A Bν μ �� # �ν μ � #A Bν μ �� # �ν μ �

#A Bν μ �� # �ν μ . % Dedekind ��� �� ��� ���� � ������� ��������

��� ��!���. =�"� ��� �� � ��� ������! ������� ����� �� �� ���

�!�� ��������� �� �� !���, � ��� �� ������ ��� �����"� ��� ����!

����������, �� ������� � �� ' ��� �� ������� �� � ��� ������

������, ���� ��!���� �� ������� �' �������� ��� ', � ��� �� � �����

��� ���!��� ��� '. '��� ���� ������ ��� ;����� , ��� ������� �

Lipschitz, �� � Dedekind ��� ���! ��� «�������+�� �� ��� � �� ��

��� ���������», ��� �������� ���� �� � � ������ ��� ������"�

�����"�. '���� � ������� � �"��� ���� ��� � ��� ��!����� ����� ���

���� (Gebiet) ��� �����"� ����� ��� ��� ���� �� � ��� !��. ������ ���

� ����� ��� ����� �� ��� ������ ���� ������, � �� o ;����� � ���� ���

�� �������� ���� ��� ��� ��>��� �� ���������, ���� � Dedekind ������"-

��� ��� ��� 5� $���� ��� �������� ���� ��� � ��������� � ������!-

����� ��� ��!���� �� ���� �����"� �� ������� �� �� ���� ��� �������-

�� �� � �! ����� .

� ��������392 ��� ��� Dedekind ��� ����! ��� ��������� ��� Lip-

schitz, � ����� �� �������� �������� ��� (6.7.1876) ��������� ��� �"-

��� � �� ���������� ��! �!����� ��� ����� � � �� � � ��-

����. *�! ��� Lipschitz ���������� ���������� ��� �� ���� � � �

���> � ��� ������ �� ��� � � �������� «��!���� �������� �� � �

����� ���� � � ��� �����, ���� � � ��� ���� ��� ����� � � �

�� ��� ���»393.

*� �� � � ����! ��� ���� 27 ������ 1876 � Dedekind ������� ������

�� ������ ����������! ���, �������+���� �� ���� ��� ��!���� �� �

��� � ��� ;���>��, � ��� � � ���� � � ����� �� � � ��������.

392 P. Dugac, op. cit. append. XXXVI pp. 218-220.393 Idem. pp. 219-220.

02 arx kat FILH.indd 25602 arx kat FILH.indd 256 30/1/2010 2:13:39 ��30/1/2010 2:13:39 ��

102

II. ������ � ������� �� ������� ... 257

'���� ����� � �� ����� �� ����������� ���������, ������� � � !��� ���

Lipschitz �� ��� ;���>��, ��! ��� ��� �!�� ��������, ��� ����� �

������ � �"��� �� �������, ��"� �"��� �� ������� ��� �������

��>!�� ���. <�� ��� ��� ��������� ���� ������� � � ��"� � ����� �

��� ������ ��� �� ���� �� �� � /����� � ���� �� ������;394 (1888). %

Dedekind ���� �+�� ��� �� ������ ��� �������"� ����"�, ������ ��

���� �+ �� ��� Cantor �����>� ��� ��� ���������, !� � �������395,

�� ��� ��� ��������� � � �����> ���� ��� ����!���� ��� ;����� ,

�!�� ��� ����! ���������� ��� � <���������� ��� �����!�� �� � � ��-

����� ��� �"���. % Dedekind ��������� ��� �� ���� ��� ��������� ���

;����� , ����! ����������� � ������������, ��� ��!���� ����� � �

��������, ���� ���� ��� ���� � �� ��!+�� � � ������� � ���

������������ ���.396 ����� �!���� ��� ���� ��� ��� ��� �>������!

���������: «=��� ��� ���!�� � ��� ��"� �� ��� �� ���� !�� ����

������� ��� �� ������ �����».397

#� � ����!��� ��! ������� � ��>���� ��� � ����������

��� Dedekind ���� ��� Lipschitz ��� ��� �!��� ��! �� ��� ����

��� ;���>�� !���>� ������ �"��� �� ����� �� ����� ���� Dedekind �

� � «����� �"���».

=�������� �!���, �� 2 ����+�� ��� ����� ��� ���!����� ��-

����� �� ������ ��� � �"� <2 (������� 12) �� �� ������ ��� � �"�

2E (������� >2). =�� ����� ��� �� ����� ���� ��� ����� � � ��-

���� ����� �: ��� ������ ��"� �!> ���� �� ������� �������, ���

394 Was sind und was sollen die Zahlen? Braunschweig Vieweg. 1888. $�. R. Dedekind, Gesam-melte mathematische Werke. Bd III pp. 335-391. <�����! �� ��� �� ����� ������ � ������-������ ��� � Dedekind ��+�� � ���!+��� ��’ ��� �� ���� ��� �� �� 1872. � �����-��� � � 1 � ����� � �� �������� � � ���!�� ��!� ��� ���� �+�� ��� ���!�� �� ����� «<� � ������� ����� �� ���� ����� � ��������, ��� ����� � ���� ���� ��� �� �� �����> ». '��� ������ � ����������� ��� �� ������� ��� Helmholtz, Zahlen und Messen (1887) �� ��� Kronecker, Ueber den Zahlbegriff (1887) "� �� ��� Dedekind � �� �"��� ��� �� �����.395 Idem. p. 339.396 Idem. p. 479.397 R. Dedekind, '�� ��$� ���� ��� Lipschitz 10 %������ 1876. R. Dedekind, op. cit. Bd. III 1930-1932 p. 470.

02 arx kat FILH.indd 25702 arx kat FILH.indd 257 30/1/2010 2:13:39 ��30/1/2010 2:13:39 ��

103

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���258

������ ��!� ���� �� ��!����� �������. '�������, � ��� ����� �

��� ������ �� �� ����, ��!���� �� ��� �� ������� ��� ����� � ���

���!��, ��� ��� ��� � ��� ������ (�� 2 ��� ���!�� ��!�����).

���� ��!� ���� ����� ��� ��� ����� ��� � � ����� �, �.�., � ����������

� � ����� ���� ���� ����� �� � � ��!� ��� �� ���"� � �"� �� ���

�����"� � �"� ��� �� ����!���� ��� <2 �� �>!���� �� � � �!> ���

�� �?*��$$� ��� ���� ��� ��������� ��� Dedekind: �� ����� ��� � �

�� ��� �� ����� �� � ����; X������ ���� ���� � ��# � ��� ��� �������� � �$$����# «}�� ~ ����&��� }����������» � ���� �$�� ��� ���* �� �

��� �������� �� ��� �$�&���� /��� � «� ;��� }�� ��&������».

02 arx kat FILH.indd 25802 arx kat FILH.indd 258 30/1/2010 2:13:39 ��30/1/2010 2:13:39 ��

104

II. ������ � ������� �� ������� ... 259

�����"� � �"� ��� �� ����!���� ��� 2E , �������� � ��>���� ��� ���

��!���� �� ��� ���!�� ������� �� � ��"� ��!� �� �� ��� ����� �������

�� � ������ . #� !�� ����, �� ����� ���� ��� ��!���� �� ��� � ��

�����. =����� ������ � �� �"����� �� ����, �� ���� ������ � �

����� ����+�� ��� ������ ��� � �"� ����"�.

«=��� ��� ����� ��� ��� ����� ��� ���!��� �� ������� ��-

������� �������� � �!���� ��������� ��������� � � �� ������ ����-

�� ... ������ ��� ����� ��� �� ��� ������ ��� �� ���� !�� ���� �������

� ������� �� ��! �!����� ����� ��� ������ ��� ��� ��� �� ����

���� ��� �� ���������� � ������� ������ ��� ���� �!�� �� ���-

���».398

#� ���� ��� ��������� ��� � Dedekind �!+�� ����� �� � ������� ��� Lip-

schitz. ���� ��� ������� �����;

� J. Dieudonné

&� ��� ���!�� &!��� �� ����� Jean Dieudonné ����� � � �����

��!���� �� ���� ;���>�, ���� � Dedekind «��������� ���� ������ ���

��� ��� � � ���� (��" ���� � ;���>�� �������� � � ���> ��� ���-

��� ����� �� ������+��� �� � �������� ��� ���������"� ����)».399

398 '�� ��$� ���� ��� Lipschitz 27 %��$��� 1876 ib. p. 475.399 Jean Dieudonné, ���� Dedekind. Encyclopaedia Universalis V, Paris 1969 p. 374. <�� ��� ��� ������, � Dieudonné, �������+�� ��� �� ��� �� ����� � Dedekind «�� � � ���-����� ��� ��� ��� ����� ���� ������� �������� ��! � ��������� �����». ����-�"��� �� �� ��� ������ ��� ����������� ������� «� Dedekind �� ������������ ����� ����� ���� ��� (�����"� ���������� �� ���� � � ����� �� �� ����� ����� ����� � �� ��!���� ��� ������������� �������) �����"��� � �>!��� ��� ���� �������� ����-� ��� ��� �����"� �����». Idem pp. 374-375.

02 arx kat FILH.indd 25902 arx kat FILH.indd 259 30/1/2010 2:13:39 ��30/1/2010 2:13:39 ��

105

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���260

� O. Zariski

% ������� ������������� � O. Zariski (1899-1986), �����!+����

�� �����! �� ����� ��� Dedekind,400 ������ ��� ��� ����� � � �

�� �� � �� ��� >����+�� �� ������ ��� ����"� ��� Dedekind �� � �

���� ��� ���� ��"� � . %� ��� ��� �>��� � ������!���� �� !����

����� � ������ �� ���� �� ������� ����, ��! ������� �� ��-

������. &�"��+� ��� «�� ������ ��� � ���� � � ����� ��� ����� ��!

��� ��� ���».401

O W. Krull �� � ����� ��� Dedekind �� '���?��402 ����� ��� �� ���-

�!���� ��� 5�� $����� ��� 4������&� �������� � ����� ��� ��������

��� ����������� ����!��, ����! ��������� �. ���� ��� 5� $���� ���

�������� ��! �� ���� ���� �� ��� ����� ��� �����"� ��" ��� ��!-

+��� �� ������� ��� ���"���� �� � � ����� � �����. % Dedekind, >��� �"-

��� � � ���� ��� �� � � ����� ��� �"����, ������� ��� �� � �

���� ��� ;���>�� �� ����� �� ������ ��� � �"� �����"� �+ �� ��

����!� ����! ��������� , � �������, �������� ��� ������ ��

������� �"��. '��� ��� �����>� � Dedekind ��� ��� �� �+ ����� � �� -

���� �� �� ������ ����!� �+, ������ ��� ���� ������ ����� ��� ��

�� � ��� �� �+ ������� �’ ��� ����������� ��!�> �. '���� ����"�

� � ������ ��!�> ��� ��� ������ � ����+��� �� ���� ��� ���.

#��! � Dedekind ���� �� ��!����� ��� ����� ���"� ��� ���

��!����� �� � ����, �� ����� ��� �’ ��� ������� � ������ �

400 Essenza e significato dei numeri. Continuità e numeri irrazionali. Roma Stock. 1926.401 P. Dugac, op. cit. p. 57.402 Zahlen und Grossen. Dedekind und Eudoxos. Mitteilungen mathematische Seminar. Gies-sen 90. 1971. pp. 29-47.

02 arx kat FILH.indd 26002 arx kat FILH.indd 260 30/1/2010 2:13:39 ��30/1/2010 2:13:39 ��

106

II. ������ � ������� �� ������� ... 261

������� ��� � �"�. «�"� �!�� ���! ��� ��!���� �� ���� 1 2(A ,A ) ,

��� ��� ��!���� �� ��� � ��, � ���������� ��� ��������� �����,

��� !�� �� ����� , ��� ���� �������� ������ �������� �� ��� � �

���� 1 2(A ,A ) »403.

#� ��� ��� ������, ��� �� �!�� ���� ��������� ��� �� ���� ���

������, � ��� � !�� ���, � Dedekind ������!+�� � � ����� � � ����� -

��. ��� ����� ��� ��!����� � !�����, ���� �� ���� ���� � �������-

���� �� ��� �����"� ����������� �����.

% Dedekind ����� � � ��� ��� ;���>�� ��� ������������ �’ ���

!�� �� ���� AB

��� �����"�, ��� ������� �� ��� �!>��� � �"� ����"� mn

� m$>n' � m$<n'. % Dedekind ��������� � � ��� � ����� ��� !�� ��

�� ��� ������ ������� � ����. ;�" ���� � ;���>�� ������ � � ���>

������ �� �������+��� � ������!��� ��� �’ ����� ������ �� �����-

�����.

% �� � ��� J. Dhombres404 ��� ����� ��� �������, �/��� �� ����/�. '�� ����$��� �� % ���� ����� ��� «� ;����� � ��� �� � ������!

��� �� � ������!��� �� � ���- ���"�� ��� �������"�, ��!

��� � ���� � ����� ���� ���� �� ����! "���� �� � �������

��! � ���-�"��. =!���� �� ���� ������ ��� ;����� ��� ��-

����� ��� ��� ����������� ����� �� ��� � ��������� � �

������ ��� ������� �"����, � ��� ��� �������"�. #� ��� � � �����,

� '��$����� ��� �� ��� � ���� ���������� �������»405.

<�� ������ ��� ����406 ��� 1888 �� ���� �� �� � /����� � ���� �� ������; (Was sind und was sollen die Zahlen?) � Dedekind, ����+���� ��

��� �� � � ������� �� ����� ��"�� ���� ������ ����� ��� ���

403 R. Dedekind, Stetigkeit und irrationale Zahlen. Braunschweig Vieweg 1872 Werke. Bd 3. p. 325.404 J. Dhombres, Nombre, mesure et continu. Epistémologie et Histoire. Paris Fernand Nathan 1978.405 Idem pp. 56-57.406 �� ����� ��� � Dedekind �� ����� �� �� ��"� ������� �� �� 1872 ����� �� 1878. '��� ��"� ����> ��� �� �������� =����!��� �!��� � � � ������ ��� ���-��� �� �� ������ ��"� � , � ����� �� � ����� ��� 1888 �>���� ��.

02 arx kat FILH.indd 26102 arx kat FILH.indd 261 30/1/2010 2:13:39 ��30/1/2010 2:13:39 ��

107

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���262

�" ��+� �� ��� K����, � �"��� ������� ��� «'��� ����� ����� �

�� �� �� �� ������������ ���� ��� ��� ������� ����!+��� �����

���� ����. ��� ������ ���! ���������� ��� �� ����� ��"� .

<�����! ���� ���� ��� ����� ���"���� ��!�� � ��������� ����

��������� ������ ��� ������!+� ���� ������� ����, ��� �� �� ���� �

+�� ���� ��� ��� ���� �� ����� �� ������ ����».407

� G. Cantor

% Georg Cantor408 (1845-1918), ������� � ���������� ��� ���� �����

����� ��� ��� Weierstrass409, ���� �� � ���!������ ��� ��� =����������

��� Halle, Eduard Heine410 (1821-1881), ������!+��� �� 1872 � � ���� ����

����411 ������� �� ��� � �"���� ��� ������ ��� ������ ������

��>!�� � �� � � ����� ��� ����.412

407 R. Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen? Branuschweig Vieweg. 1901 p. 33.408 Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen. Math. Ann. Bd. 5 1872 pp. 123-132.409 ���+���� ��� � Cantor �����!+�� ��� =���������� ��� $������� (1863-1866) �� �� ������� � ����� ��� Weierstrass, ���� ������!+�� � � ���� ��� �� � � ������� ��� �������"� ����"�.410 Die Elemente der Functionlehre. Journ. für die reine und angewandte Mathematik Bd. 74 pp. 172-188.411 '����� �� ����� � � ����!+��� ���� ��� Heine – Cantor. #!���� � Heine �� � ������� � � ����� � ��� ������� ��� ����� �� ������ ����� �� ��� Cantor, �� ��� ��� ��� ������������ �� ��� ��+ ������ ����, �� ����� ���� ��� �� ���� ��. E. Heine, Die Elemente der Functionenlehre, Journal für die reine und angewandte Mathematik Bd 74, 1872 pp. 172-188.412 $�. P. E. B. Jourdain, The Introduction of Irrational Numbers, Mathematical Gazette IV 1908 pp. 201-209.

02 arx kat FILH.indd 26202 arx kat FILH.indd 262 30/1/2010 2:13:40 ��30/1/2010 2:13:40 ��

108

II. ������ � ������� �� ������� ... 263

� E. Heine

� ������ ��� Heine ��+�� �� �� ��������� ���#413, (Zahlen-

reihen) ��� ��� ������ ��� � �"� ����"� ? @iα ����� "���

an B an�r % 0 414 4������*���� ���/�415 ��� ������ �� ���� ����� ������ ��

��� ����� ������ an % 0 . ��� ���� ����� ������ ? @iα �� ? @iβ � ����!+�-

��� ��� ���� �� ���� ���� � ���� ���� ����! ? @Bi iα β ��� �������"-

� �.

����� � ��� ������� � �"� ����"� ? @iα � ��!���� ��� � ���

������ ' ������� "��� AB an % 0 , ���� �� ' ��+��� �� �� ���� ��� ? @iα .

'� �� ���� � � ���� ����� ����!� ����� �� ' � �� ����, ���� �� ������� '

��� ��� � �� ������� �� ���� ��������� �� ����!. &� ��!����� �� -

�������� � ��!��� 0.1, 0.11, 0.111 ... ��� ����� ���� �� 19

�� ��������

�� 19

��������� �� ����! {0.1, 0.11, 0.111 ...}416.

413 =����� � �������� ��� � Heine �� ��� ��� ��������� ���#, ����� �� ������ �� ����!+�� ���� ���� ����! ���� ��� � Cantor ����!+�� ����� ������ (Funde-mentalreihen).414 /����! � ������� ���: 0! # /� : �A B $n n vn a a� ε ! An � �� �Av � ��� ����! ��!��>� ��� ��� � ������� �� ������ ���� � Heine, ��� �� �������� �� ������� ��� ������� ���"�.415 � �������"� � ����! (������) ��� Heine ��������� �' ����� ��� � Méray ����!+�� ����� �� �������! �����.

416 «� ������ 19

�������� �>’ ������� �� � ����! {19

, 19

, 19

...}. ;� �����, �� ������ 0

{0.1-19

, 0.11-19

, 0.111-19

,...} ��� �������"���� ������. ;�� ������ � ��>���� ��� ���� ��

�������"���� ������ ��� ��� �� �������� ��� �� ��� ������ {0,0,0...}, ��� ������� ��

� ���. ����� ��� {0.1, 0.11, 0.111...} �� {19

, 19

, 19

...} ������ � «������������» �� ���

��� �����». J. Manheim, op. cit. p. 87.

02 arx kat FILH.indd 26302 arx kat FILH.indd 263 30/1/2010 2:13:40 ��30/1/2010 2:13:40 ��

109

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���264

« EA B � ��!���� � ������ "��� �� ,#n N Bn na β ��� ������

�!�� �� �� � ���. � ������ ��� ����"� (� �"� � ���), �� ��!+�� ��

� ���, � �� �!�� ����� D (������) ��!���� �� : � $ !n vn c D v . ;��

����� ���, � ��� ������ �� �!�� D, � ������ �� �!�� � �� d. #��! �

Heine �� � ������ � � ��� !����� ������ ���������� ���, � ��� ������

�� �!�� d, � ������ �� �!�� D.

#���� �"� ����� ��� ���� ������� �� ���� �� ���� � ���� ��

������ ����� �� ��� ���!�� �����: '� ' ��� �� ������� (� ��

� ���) �� � ? @ 0B %nA B , ���� �� ' ��� �� ���� ��� $. '���� � �������,

�+ �� � ��� ������ ���������, �������� ���� Heine � � �����-

� � � ����>�� �� ��"� �: «�� ������� ' ��� �� ���� ��� ���� ia

��� ����"� ���� ����� �����». � �����> ���� ���� ... ��� �� �!��

� �� d, ������ B $nA a d , �� ����! ���!�� n.

'��� �� ��"� � ������ �� � ��� ���� � � �� � � ��������� ���

Cauchy. � ���> ��� ���� ���� ��������. #���� ���� � ����>�� ��� ��

!�� ��� �� ��+���� �� ���� ����� ������ �� ����� ��� ��� � ��� ��

� ����>�� ��� ���� �� ���� ����� ������ ��� ��� � ���»417.

���+���� �!���� ��� �� ��� Heine �� �������� ����� ��� ��’

���� ��� �������� ��! ������, ���� � ����� � ������ �� � �

���> �� � � ������ ��� ��"� ��� ���������� ����"�: «%���!+�

�!������ ������� �� ��! ������, � �� ���> ��"� ��� ����"�

��� ����� � ��+ � ��».418

*� � Cantor,419 ���� �� � Dedekind, >����! �� �� ������ ��� � �"�.

���� ��� !���� ��� �� ��� ��������������� ������420 ������: «%� � ��

��� �� �������� � � ��� � �!� �� � � ������� ��� ��� ����-

417 J. Manheim, op. cit. pp. 87-88.418 P. E. B. Jourdain, The Development of the Theory of transfinite Numbers. Archiv der Math-ematik und Physik Bd. 16 1910 p. 29 � �. 4.419 &� ������������ ������������ ��. A. A. Fraenkel, Georg Cantor, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung Bd 39, 1930 pp. 189-266 ��"� �� �� ����� ��� H. Meschkowski, Probleme des Unendlichen. Werk und Leben Georg Cantors. Braunschweig. Vieweg 1967 ��. ��� �� !���� ��� I. Grattan-Guinness, Towards a Biography of Georg Can-tor. Annals of Science Vol 27 1971 pp. 345-391.420 Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der trigonometrischen Reihen. Math. Ann. Bd 5. 1872 pp. 123-132.

02 arx kat FILH.indd 26402 arx kat FILH.indd 264 30/1/2010 2:13:40 ��30/1/2010 2:13:40 ��

110

II. ������ � ������� �� ������� ... 265

���� � ������ ���� ����� ��������421 (Zahlengrosse). � ���� ����!��

���� (Gebiet) ' �� � ��������!�� �� �� � ���».422 % Cantor, �����

�� ��� Dedekind, ��� ������ ���! ��� ����� ������� ��� ����� ���

��� � �"� (������� �� ���� ��� �������� ���� ����� ��!>���, ���� ��!�-

> � �� ������ �). 1: ,� B $ ! En m na a n m nε

<’ ��� ������ � ����� ��� (1872) ���!��� � � ����� � � ������ ��-

����� (� Cantor � � ����!+�� ����� ����!423 (Fundemental Reihe)424,

� ��� ��� ��� ����� ����!+���� ������ Cauchy.425 «<�������� ��

��"� ������� � � ������ ��� ���� ����� �������� �� � ������� ���

�� ��� ���� ������ �� !���� ������ � �"� ����"�426 a1a2a3...an... ��� ��� ����� "��� �����! an�m B an � ����� �������! ����� ���

�� n �>!���, �� ������������ m ����� ������, � �� !�� ����, �� �����

� (� �� ������), ��!���� ��� ������ 1n ������� "��� � B $n m na a ε �

n E n1 �� � m ��� ��� ����� ������ �������.

���� ����!+� ��� � � ����� � � � ������� (1): “ ������ (1)

���� �� ��"� ���������� ����”»427.

<� ������� �� ����� ��"�� ��+���� �� ����� ������ ( )na

���� �� ���� ���� � 10! # / Anε �� 1: ,� B $ ! En m na a n m nε .428

421 <’ ��� � � ���� ��� � Cantor ��� �� �������� � � ����� «�������� �����». ��� ���� ��� � ��� �� ����������� ��� ���� ��� ;��/$�... (Grundlagen...) ���� �� ��-����� �� ������ (reel) ��������� ������, ��� ����� ��� � �� �� (real) «����-����» ����� ��� ��!���� ��!���� � ������.422 G. Cantor, op. cit. p. 123.423 ���+���� ��� ����� ������ ��� Cantor ��� ��� ��� ����!+�� � Méray ���$�-��� ���>$���. 424 % ���� ���� ��� �������������, ������!+��� �� 1883, ��� !���� ��� Ueber unen-dliche lineare Punktmannigfaltigkeiten 3. Math. Ann. Bd. 21 1883 pp. 545-586. $. ;�� � G. Cantor, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts. ed. E. Zermelo Berlin Springer 1932. pp. 92-102.425 =�� ����� ��� �� �������� � � ��"�� ��� (�, �).426 G. Cantor, Ges. Abh. p. 92. 427 Idem. 428 ���+���� �"� ��� ����� � ������ �� �������� ��� ������� � Cauchy, ��� ������ ����� ���, Cours d’ Analyse de l’ Ecole Polytechnique. Paris Debure 1821. $� ��� � Oeuvres Complètes 2e série t. III Paris Gauthier-Villars 1897 p. 125. &����! �� ��� Cauchy, ��. (�. /� Augustin Louis Cauchy, �� +�� �� ���� $����"���� ��� '?�� � �� ���-����# ���. =���� ��� '��� 2009 ��. 385-445.

02 arx kat FILH.indd 26502 arx kat FILH.indd 265 30/1/2010 2:13:40 ��30/1/2010 2:13:40 ��

111

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���266

'����! ����� ������ ��� ����� ��� ;��/$� ��� ;�&��� 4���-$&�429 ������ � � ����� « ������ (1) ���� �� ��"� ����������

����» �� � � ��������! ��������"��� �� ����� ������ �v «���

����� ��� � ������������� �, �� ��� ����� �������� �!���� �

�� �� ���� ����� ����! �� ������� (a ) , ���� ����!� �� �� ���

Heine».430 = � � ����� ������ ��� ������ � � ��> ����, ��� ����"�

��� ����� � ���Ê ������� � � ���> ���� !�� ��� ���� ���� � ���� ��-

��� ���� ��� ������� �������.

� �.L. Cauchy

&� ��� Cauchy ��� ����� ��� �� ����� ������ ��������� ��

��� �������� ����� �.

*�"� ���� ���� ���������� ������!��� � � �!��� �, � Cantor

����� ��� ��"� � ��� Cauchy �������� �� ������ �!���, ��"�

���������� � � ���> ���� ������� ��������� ������. ���� �

Cantor � �� ����������� � ����� ������ �� � ����� ��� ����-

���� ����� �.

� ��� �� �!�� ����� ������ � �"� ��������� ��� ���������

������. =�� ����������� ����"��� ��� �� ' ��� �� ������ ��� � �"�

����� ��� (1) �� ���� !������� ����� a1,a2 ,...an... ��� �� ������

Cauchy � �"� ����"�. ���� «����! (1) ���� �� ���������� �, �� ����

��� ��� ��! �� ������� ������� ����������� �� � � ����! (1). �����

429 Grundlagen einer Mannigfaltigkeitslehre. Ein mathematisch-philosophischer Versuch in der Lehre des Unendlichen. Leipzig. Teubner 1883 $�. ��� � G. Cantor, Ges. Abh. pp. 165-208.430 G. Cantor, Ges. Abh. p. 185.

02 arx kat FILH.indd 26602 arx kat FILH.indd 266 30/1/2010 2:13:40 ��30/1/2010 2:13:40 ��

112

II. ������ � ������� �� ������� ... 267

�� �� ������ ������ � � (1)¿ �� !������� ����� a1<,a2<,...an

<... , ���

���� �� ���������� ���� �¿. '� �� (1) �� (1)¿ ��� ���������, ���� �=�¿

���"� � �>�¿ � �<�¿. '� ��!���� �� ������ � �"� ����"� ( <an ) n A�

�� <an � a !n �� ������� �� � � (an ) n A � ���� ������� �=, ���"�

�> � �<.

«'�� ����� ���� ��������», �����+�� � Cantor, «�� �� ����� ���

����� ������, ����������� ��� �� � ���� �� ���� � � ������� (1),

� B an ����� �� �������� ����� �������� �� �� n ��� �>!����,

��!�� �� ���� �����"� ��������� �’ ��� ������������ ����� ��� ����-

�������� ��� ���� � � ����!� (1), �� ���� ��� �� ��� �».431

���� ��� ��� ����! ���� �� ���� � � � �� � � ������� ��

������ ��� B naβ , �� � ������� ��� ������ (an ) n A� ��� �����-

��� �’ ��� � �� ����� ��"� � Cantor ��� ���� ��� ����� ���� ���-

����.

<�� ���� ��� 1883 ���/� ��� ��&��� 4���$&� � Cantor ����� �"���:

«'�’ �� ��� � � ����������, ��������� �� ��"�� ��"� � � �� �#

���������/�� ���, � � ��� ��� ������ ��������� �� �� ����� ��-

���� (a ) , ���� B aνβ , ��� �� � �>!��� ����� ��� ����� �� �!��

� �� ����� ��� ���� �������� � ��������� � � ��� %I

�Lim aνν

β . �

�����>���� ��� �� ����� � ���, ��� ����� >���!�� � � � �� ���: ��

� � ��� ����� ��� �������, � ������ � ��� ��+��� �� ������������

����� �� «����» ��� ���� (a ) . � ��� ������ �� ������ �!���, ����� ��

�� �!��� ��� �������� �� ��+�� � � � ��*��� ������ (� ��� ��� ���-

��� ��� Weier strass), �� ��!���� ��� �!��� ��� ���� � ���?� ��� ����

%ILim a

��� �� ���� �������. �� ����� � ������ ��� �!���� �� ��-

������, ���� "��� �� ���� ��� ��������� �������� ��, ����� ��� � ��

���� � ���� ������� �� ��� ����� ��� �� ��� ������� ��� ����� �������� �

���!����� �� �� ������ �����> ��� ������!�����: �� ���� %I

Lim aνν

��!�-

��� �� ������ �� �».432

431 G. Cantor, idem. p. 125.432 Idem p. 187.

02 arx kat FILH.indd 26702 arx kat FILH.indd 267 30/1/2010 2:13:40 ��30/1/2010 2:13:40 ��

113

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���268

���� � �� � Cantor �����+��� ���, � � ��� � ������ ��� ��+���

�� � ����� ������ (a ) , �������� ��� �! � ����>���� ���

%I�Lim aν

νβ , �� � ��������� � ���� ��� �������� �� � �� �����> .

=���� �+��� � ����������� ��� ���! �� �������� ����� ����� ������

�� �������� � ����>���� � � ����������� ���� �. ���� ����� -

�"���: «� !�� ��� ������, ���� � � ��� � ��� ��� ��������� �� ������,

������ ��� ��� �� �� �>��� ������� ��������� � ��� � �� � �

��������� � ��� � �"� ����"� ... �� ��� ��� ������ �!�� � ���

�!����� (gewinnen) �� ���� �� � � ������ ��� ����, ��! �����,

�� ��� ����� ��� ��� ����� �!���� �����! ����������� �� � � ������ �

�� � � ������ � ���� ��� ��������».433 ���� ������ �� � ���� ���

Cantor ������������ �� �!�� ����� ������ ��� �������� �����,

� �� � ���, �� ��� ���� «���������» �� ������ ��� �������"�

�������� � ����>���� � � ���� � %I

�Lim aνν

β .

'������, �� 1895, �� � ���� ��� 4��>�$� �� ����$�& � ��� ��&-��� ���$&�434 � ������� �� � ���!����� � � ����� «��� ������"�

�������"�» (zusammengehörigen Reihen) �� ���������� ��� ��� ����

���>� ����"� �������"� ���� � � ����� � ��� ���� � ��������.

<���� ���� ��� ��� �������� ��� ����� ��� � � ���� ����� �� ���

���� ��� – ����435. '��� �� �� ���� ������� ��� ������ �� ���" �������,

�������� �� �������.

%� ������ ���� ��� !�� �� � �������� �� � �� ��!���� ����

�� ������� � � ������ – ������ �������436 �� ���� ��!����� �� ���

� ��� ��!+���.

433 Idem. p. 187.434 Beiträge zur Begrundung der Mannigfaltigkeitslehre 2. Math. Ann. Bd 49 1895 pp. 481-512. $�. ;�� � G. Cantor, Ges. Abh. pp. 282-311.435 Idem. p. 309.436 E. Iligens, Zur Weierstrass – Cantorschen Theorie der irrationalen Zahlen. Math. Ann. Bd. 33. 1889 pp. 155-166. M. Pasch, Ueber die Einführung der irrationalen Zahlen. Math. Ann. Bd. 40 1892. pp. 149-152.

02 arx kat FILH.indd 26802 arx kat FILH.indd 268 30/1/2010 2:13:40 ��30/1/2010 2:13:40 ��

114

II. ������ � ������� �� ������� ... 269

� J. Tannery

#��>� ��"� ������ � �������� �� ����� ��� J. Tannery, '� -�&�� �� ����� ����� �&� ��� ���>$����,437 ��"� �� �� �>����

�� � ����� ����� ��� P. Bachmann, ����� �� ��� �� � �&� ����&�438

���� ��+�� ���� !�� ���� ������� �� ��� ��!>��� ���� �� ��� ��������

� �"� ����"� a1,a2 ,...an... �� 1 2, ,... ...nβ β β ������� "��� 1 1� �# # #n n n na aβ β

�� �� �! �� � �� ������ �����, ��� ��������, ������ B $n naβ ε ��

�!���� �� �� � �� ���, ��� ����� ���� �>��!�� �� � � ������� ���

�. ��� !�� ��� ������ ������ �� �� ������ ��� ��� ����������-

�"� �������"�.

'� �� ���� �� ������ �� � � ���� ������ � � � �!��� � ����-

�"� �� �� ���!���� �� ������� � � ������, ��� ������ ��� � ����

��� ����� �����! ��������.

437 Introduction à l’ étude des Fonctions d’ une variable. Paris Hermann 1886. #!���� �� � ������� ��� � J. Tannery ������: «#������� �’�������� �����"� � � '�!��� �� � � ����� ��� ����� ������ �� ��� ������� ��� ����+���� �� � � ������� ��� �����. ��� ����!+��� � ��������� �� ���� !��� >��, �� ���� !��� ����-���� � � ������� … �� ��!��, ���� �����, ��� ����� � ���� �� �� ���� ��� ��� �� �! ��� � � ���!��· ���� �� ��>��� «����� � � ���!��» ��� ����� �� ���� �� �. �� ��!�� ��� �� ������ ��� ����� ����"�, ������� ����� �� � ���-������ ��!�> ». op. cit. p. viii.438 Vorlesungen ueber die Natur der Irrationalzahlen. Leipzig 1892

02 arx kat FILH.indd 26902 arx kat FILH.indd 269 30/1/2010 2:13:40 ��30/1/2010 2:13:40 ��

115

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���270

� P. du Bois – Reymond

��� �� ���!���� ��������� ��� �� � Paul du Bois – Reymond (1831-

1889), � ����� ��"� ��439 � � ���� ������ � � � �!��� � �� �� ���-

��!��� ��!��� � ��� ��������� ��� ��"��� ��� ����� �� �� �����-

����440 �������.

«�� ���! �� ����� ����� � � �!��� �, �� ���� �������� ��

������� ��� ������ �� �� �������, ������� � �����+�� ��� � � ���-

���� , ��� �� � ��������� � ��� �� ������ ������� , � �� ��

���� ��� � � ���������� ��������� ��!��� �� ���� � ��� ������-

�� ����»441.

#!���� ����� ��� �������� �� � �������� �!���> ��� #� �-

���"� �����!��� ���������� � � ����� � ��� ������ �� ��� �������-

��� ��������, ������!+���� ��"� � � ���� ��� ����"� �� �

������! ����� ���! �’ ����� � �������� ����� �� �� >�� ��� Cantor

– Dede kind.442

439 $�. �� ����� ��� Die allgemeine Funktiontheorie, Tuebingen 1882 ����. �� �����! �� ����: G. Milhaud et A. Girot, Nice. 1887.440 &������ (linéaire) ���� �� �����.441 P. du Bois – Reymond, op. cit. p. 61.442 <� ��� ���� ��� >�"���� � P. du Bois – Reymond �������� ��� �� �!�� ������� ��!�� ������� � ��� ��������� �� �� ���� �� �������� � ��� �� � ���������-���� ����. *�"� ���� �!�� !�� ��� ����� � ������ �� �� !����� ��!�� ������ �!� �, ��� �� >�� ��� �!��� ���+��� �� �� >�� ��� Cantor.

02 arx kat FILH.indd 27002 arx kat FILH.indd 270 30/1/2010 2:13:40 ��30/1/2010 2:13:40 ��

116

II. ������ � ������� �� ������� ... 271

� L. Kronecker

*� � L. Kronecker (1823-1891) ��� ������� �’ ���� ��� ������, ���

���� ��� ���� ������ ��443 � � �!��� , ��! ��� ���� ����-

�� �� � � ��� ��� �����.444 *� ��� ��� �����, ��� ����� �� ��-

���������� ������� ��� ����� �������� �������� ������� �� ���

������ �����.

«=������ ��� ����� �� �� ����������� ��� �� ����"� ��!��� �

���� ������� �� �� � � �� ������� ����� ��� ��"� � ��� ������

��� �� ������� � ������� �� � ������� �� ��� ������� � ��

������ ��"� ��� �����"� (� ��� ������� ��� ������, ���� ��

��� �����"� �����"�), �� ����� ������� �� ����� �� ��� �������� � �

����� ��� �� � � � ������, � �>��������»445.

'����� �� ����� ������� ��� ������ �� �!� ���� ������

������� (Weierstrass, Cantor, Dedekind), � Kronecker446 ������� � ����� -

443 % ���� ���� �������" ������� ���� Kronecker, ��� ��� ���� �� ����������� �����. &� � � ���� ��� ��. L. Kronecker, Ueber den Zahlbergriff. Journal für reine und angenwandte Mathematik Bd. 101. 1887. p. 338.444 &� ������������ ������������ ��. H. M. Edwards, Kronecker’s views on the foundations of mathematics. History of Modern Mathematics. t. I.: Ideas and their Reception. Academic Press 1989. =�. ��� � �� � � ���� ������� ��"� � ��� Kronecker «���� �/����� ������� ��������� � � ;���, �$ � #$$ � #���&���». (Die ganzen �ahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschwerk). $�. ��� � �� ����� ��� St. Hawking, God cre-ated the Integers. Running Press 2005.445 L. Kronecker, op cit. p. 340.446 O Kronecker ����������� � � ������ � ��� Helmholtz ���������� �� �� !���� ��� Ueber den Zahlbegriff (�� � � ����� ��� ������) ���� ��� ���� ���� ���������� ��� 50� ��� �� �� � � ���������� ������� ��� ���!��� ��������� � � ������� ����� �������� E. Zeller, �� 1887. =����� ���� ��� �������� � ��������� � � �� �����! ��� ��������� ��� Crelle, Journal für reine und angewandte Mathematik ��. Bd 101, 1887 pp.

02 arx kat FILH.indd 27102 arx kat FILH.indd 271 30/1/2010 2:13:40 ��30/1/2010 2:13:40 ��

117

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���272

��� �!��� �� �� ���� ����447 ��������� �� ��� ������� ���

��� ���. % ���!��� &������ �� ������ ����� � ��������� � ���!

�� ����!, � ��� � � ���� ����, � � !����� �� � � �!��� �� ��

«������ ���� ����» ���������� ���� ����� � � ����������� ����� ���

����� �������, ��"� � ����������� ���� � ��� ����� � � ����� ���

���� � � �� � � � �� ��� ���������� �� � � ��� � · ���� ���-

� ���� � �������� ���!� ���� ������ ��������448.

���� �� ������ ������ ��� �� � ���� �����449, ����� �� !�� -

��� ����� ��� ��� �����, ��� ����� �� ���� ���� ������ �� �����!

��� ������ �� � ���� ����450,451. &� ��� Kronecker �� !�� ��� ������

�� �������, ��� ��� ������� � �������� �� ���� ������� ��������

�� ��� ���������� ����� ������ �� � ����� � � !���� � �������,

��" � Dedekind ���!��� � � ����� � � �����. ���� �� �� ��� ���� �����-

���� ��� ��� ���� ����� �������, ���� �������+�� � Kronecker. #!����

����� �+�� ��� «� ������ ��� �� ����������� � ������ � ��� ����-

����, ��" � �"���, ���� �� � ������, ���� ��� � �� ��������� � ���

�� �� ����� ��, ��������� � �� � ��� ��� �������� a priori �

������������ ����� �����! ���� ������ � �»452.

337-355. $�. ��� Werke Bd. 3 pp. 249-274. � � ��"� � ��� �� ��� ����� ������!+�� ���� ����! �� ���� � ��� ��� =���������� ��� $������� ��! �� ����� �>!� �� ��� 1891 ��. �� ������� ��������� ��� ������� �� $�������� ��� =������ ��� L. Pasteur ��� <���������.447 =�. � � ��"� � ��� Gauss «� �� ����! ��� ������ ��� ;���� �"� �� ��� � ���� ������ ��� #� ����"�». $�. W. Sartorius V. Walterhaussen, In Memo-riam Gauss. Leipzig 1856 p. 79. <�� ��� ������ ��� ��� ��� (p. 97) ������� �� ��� -���! ��� ��� Gauss, «Ý ��X� Z���� �+��».448 % Kronecker ����� �� � !�� ����� � ������ �� !����� ��!���� ��� #� ���-�"� (����� �� � �������).449 &� ��� Kronecker �� �� ���� �� �� �������� ����� ������ �� � ���� ����.450 #� � � ���� ��� �� ��� ���������� ��� #� ����"� ����� ������ �������, ��� ������ ����� ��� ��� ������� �������� ��� ����������������� ��. �.�. M. Margenstern, L’ école constructive de Markov. Revue d’ Histoire des Mathématiques. 1995. p. 272.451 O Kronecker ����� ��� « ���� ���� ��������� �� ������ �� ����"� �� � ������� �� �� � ����� ��" �� ���� ��� ������ ��������� ������ �!������� ����������» L. Kro necker, op. cit. p. 338.452 Idem p. 339.

02 arx kat FILH.indd 27202 arx kat FILH.indd 272 30/1/2010 2:13:40 ��30/1/2010 2:13:40 ��

118

II. ������ � ������� �� ������� ... 273

� H. Hankel

=����� ��� � �������� �� � � ����� ��� H. Hankel, (1839-

1873), � �����, � �� � �������� � � ������� ����� ��� � �"� ��� �"�,

������ ��� ���������� ��� �� � � ���� ��� ������ ����"�.

«*!�� �����!��� �� ������ � � ��� ������ ����"� �� ����!

�� ���� � � ���������� ��"� � ��� �������� �� �� �� ��� ����� �

�� ����� ���! ���� �! ������!���, � ���, ��� �� � ��� ���-

���� � ���������� �� ���� ��� ��� �, ���� ������ ����� �

����!� ��� ��, ��� ����� �� �� ����� ����� ������ >».453

O Hankel454 � ���"��� ��� �: «<���� � ������ ��� ��� �� �� ���-

������, �� ��� ��� ��!���� �>� �� �� ���������� !���� �� �

�������� ����� ������ �’ ����, ��� �� ��>!�� � ���, ����

��� �� ��!����� ����� =���������. ;�������, �� +�� � � � ���> �

��� ��� �"� ����� ���� � ������� ��� ���������� !���� � �� ����

� �������� � � ���� � ��� �� ������� ���� ������+���� �� �������.

&� � ����� �� ����� ���!� �,�� �������� �� ����� �� ��� �� �-

���� ��� ��� �����! �����, � ��� ��� �� ���� ������� ���� ����

���»455.

453 H. Hankel, Theorie der complexen Zahlensystem inbesondere der gemeinen imaginären Zahlen und der Hamiltonschen Quaternionen, Leipzig Voss 1867 pp. 46-47.454 ���+���� ��� � Hankel ������� �� ��� Riemann ��� =���������� � � GÙttingen �� ��� =���������� ��� $������� �� ���� Weierstrass �� Kronecker.455 H. Hankel, op. cit. §2.

02 arx kat FILH.indd 27302 arx kat FILH.indd 273 30/1/2010 2:13:40 ��30/1/2010 2:13:40 ��

119

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���274

� J. Thomae

��� ����������� �� ������, o J. Thomae456 (1840-1921), ��� �����

��� 4������*��� ;�&�� �&� �$����*� ����� �&�457 … ������!+�� ��

�!���458 ��� �����"� ��� �� ������. ���� ���!��� ���� � ����

��� ���� ��! � � ��"� � ��� Weierstrass ��! �� ���� ����������

������� ������� � � ���� ��� Heine �� Cantor. '>��� ���� ���

������ ��� !��� �� ���� �������: «� ������ ��"� � ��� ����"� ��+��

��� ����� ������������ �’ �,�� ������ ��"� �� ����. ��� ���! �� ���

� �� � ������ � ��� �� �����, ��! �� ����!+��� ���� �� ���� ���-

���� �� � ���� ����. &� � � ������ ��"� � , ���� ���� ��� �� ��-

���� �� ������ ��� � �������� ���� � � ����!��� ���!. #� ���

����� ���� � ��� ��� (��� ������ ��� ��������) ��� ����� !��� �����-

������ �� �,�� ���� ������ �’ ��! ������! �� � � ����������! ���� ��

���� �!������ � ����� ��������� (������ ��� ���������). ���� ���

�������� �� �������� � ����� �� ������ �’ ��! �!����� ����� ���, ��

����� ������ ���� ����� � � ����������!� ��� ������, ��" � �� � ���-

�� ��� ���!� � �>������! ������ ��’ ��� �� ������. &� � �����

�������, ��!���� �� � ������ �����! �!��� ��� ��!�� �� �� � ���-

456 <� ��� � � ������ ��� 1860 �������� �� � ����� ��� Weierstrass ��� =���������� ��� $�������. '������ �� 1872 �� �� � ��� ��� =���������� � � Halle, ���� � � ��� � ������� ��� ���� Heine �� ��� Cantor, ��" ������ ��� ���!���� ��� =���������� ��� Freiburg, �����! ��� P. du Bois – Reymond. '�� �� 1879 ����� ��� =���������� � � Iena.457 Elementare Theorie der analytischen Functionen einer complexen Veränderlichen 1e Aufl. 1880. Halle Nebert; 2e Aufl. 1898. Halle, Nebert.458 �.�. ���+������ ���� ����� ��� Hankel �������+�� ��� ���� �� ����� ����� �� ���� ������ � ������ � ���� ���� �� «���! ����� ���� �����������».

02 arx kat FILH.indd 27402 arx kat FILH.indd 274 30/1/2010 2:13:41 ��30/1/2010 2:13:41 ��

120

II. ������ � ������� �� ������� ... 275

� ����. %� ������ �� �� ��!�� ��� �������, �� ���� � ��� ��� ���

�� � � ���� ���� ��� ������ "��� ���� ��"� >���!��� ��� ����"�

� ������� � ����� ���� �� �������! �����459 (anschauliche Mannigfal-

tigkeiten). ���� ������ ���� � ������ �� ��� �� ��"� � � ��� �. �

������ !��� �� �� �!���� �� ���� ��� ���������� ��������z ���

��� ������ � � ��� �� ������»460,461.

� G. Frege

�� 1884 � G. Frege (1848-1925) � �������� � � ������ ��� 5� ���/� ��� �����������462 … ���� ������� � ����������� � #� ����! �� ��

������ � � �������463, ��� ������!+�� ������� � � ���� ����� �� �����

459 � ����� � ��� ��� Thomae � �� � � ��"� � ��� Dedekind �� �� >�� � � �����, �� ������ ���>� ���� ����� �� ��������.460 J. Thomae, op. cit. p. 3.461 % Frege ����� �������� �� ����� ��� Thomae, � ����� ���!+��� � ������� �� ����� ��� �� ������� ��������� �� ����!>���. #��>� Frege �� Thomae ����-�� �� �� ����� ���!� , � � ��� ������� �� ��������� � � &�������� #� ���-��� ;����� (Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung).462 Die Grundlagen der Arithmetik, eine logischmathematische Untersuchung ueber den Begriff der Zahl, Breslau p. 1884. $�. �� � � �������� Breslau 1934. $�. ��� �� � � ��� ���� ����� , � ;��/$� ��� �����������, ������� – ���!��� – ����� &. É������� ��� '��� ���. ����� 1990.463 �� �� �� 1879 � Frege ������"��� � � ���� ���� �� �� ����������� ������ �� �� ���� �����"�, � � ������� (Begriffschrift) ���������� � � �����!��� ��� ��>��� �� ������ �!��� �� ��!��� (����� �!���� � ��������� � � ������� ��� �� �� �������, �� � ����� �� �� ������). «� ��� �� ���� ������� � � ����-���� ��� � ��!��� � � ������ � � ��> � ���� ���"���� ���, ����������� � ��!��� � � ��� � � � ����������, ������ ��������, �� � � ���� � � ��"�-��, ���� ������� ���>� �����"� �� �������"����� � � ���� �� ��! ��� � � ����"-

02 arx kat FILH.indd 27502 arx kat FILH.indd 275 30/1/2010 2:13:41 ��30/1/2010 2:13:41 ��

121

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���276

�����"� �����"�. <�� ����� ��� ������ �� ������ ������ ��+���� ��

���! ������ �!� 464. «… ���� ���� ��� � ��� … ��! �� �����-

��� ������, �!�� ���� ���� ����� , ��� ����� � � �������, ��������

���� �����»465 �� ��� «���� ��� ���"� �� �����, �� ����, ������-

��, !�� ��� � ������� ��� � ����+���� �� ��� ���� ���� �� ����

�������� ������ �������»466,467.

O Frege ��+�� ��� ����� ��� �� �� ������ ��, ���� �� �� ��������-

����, ���� ���� �� ������ � , ��" ��� ��� ����� ��� �������� �� � �

������� ��� ����!���.

% ���������� �� ��������� Frege ��� ������ ��������� �� ��

���� ��� ;���$�*���� ����� ��� �����������468, ���� ��"� � �"��� �� �

��� «'���", �� �’ ��� �� � ��� � >����!�� ��� ;����� , ��� ���� ��

�� �� �� ���������� ��������� ������� � ��� ����������� �� ����»469.

%� ����� ������ ��! ��� Frege ��� �����! ��������, �� ���� ��

���� ����� ��!>��� �� �� ����>��� ��� ����!���� ����� �� �!���� ����

��� �"�� � � �������.

<��� ��"�� ���� ������!+�� ���� ��� �������� �������� ��� ���

�� �� ��� � ��� �������"� ����"� �� ������� ��������� � � ���-

�� ���.

����, � ��� ��� ����� � � � ������ ��"���, �������� ���� ��� � � ������� ��� … ����� � ������� �� ������� ������ �� � �������» Begriffschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens. Halle, Nebert p. vi.464 '��� �� ����� �� ��������� ��� Frege �������� ��������� ����� � ���� ��� �� ����"� ��� �� ��� ���������. $�. �.�. � ���� ��� M. Dummert, Frege – Philoso-phy of Mathematics 1991 London. Duckworth, �� ��� G. Currie, Frege, an Introduction to his Philosophy. The Harvester Press, Sussex 1982 �� H. D. Sluga, Gottlob Frege, London, Bos-ton, Henley, Routledge and Kegan Paul 1980 ��"� �� M. D. Resnik, Frege and the Philoso-phy of Mathematics. Ithaca. London Cornell Univ. Press 1980.465 G. Frege, op. cit. p. 99.466 Idem.467 ���+���� ��� � �� ��� ���� � � ��"� � �, ����+��� �� ����� ������ ��� ������ ���� ��� Dedekind, �� ���� �� �� � ��/��� � ���� �� ������ ��� 1888 « ���-� ���� ( !�����, �!��� ) ��� ��� ��! �� ���� � � �������» op. cit. p. 335.468 Grundgesetze der Arithmetik, Begriffschriftlich abgeleitet. Jena Bd. 1893 (�������� Olms, Hildesheim 1963). Bd 2 Iena, Pohle 1903 (�������� Olms, Hildescheim 1968).469 G. Frege, op. cit. 1es Bd. p. vi.

02 arx kat FILH.indd 27602 arx kat FILH.indd 276 30/1/2010 2:13:41 ��30/1/2010 2:13:41 ��

122

II. ������ � ������� �� ������� ... 277

% ������ ��� Frege �� �� ���� ��� �������"� ����"�470 ���-

���� �� ������ ��� ����� �"���� ��! �� ����� ���������� �����-

�� � ������!��� � «����» � �� ��� �����"� ��� Dedekind �� ���

Weierstrass, ���� 2� ���� ��� ;���$�&�*� ��&� ��� �����������… «="�

�����» ������ «� ��� ���� ������� ��� �’ ���� ���� ��� �� ������,

�� ���������� ���������� ������� �� ������ ��� �� ���� �� ��� �!����

����!+���� �� ��!����� ������� �������� �� ����� �� � � ���-

��� � � � �� ������ ������; '��� �� ����, ���� ��� ��������� �� ��

������ �, � �� ������� � ���� ���� ���»471. %� �������� ���

Weierstrass, Dedekind, Heine �� !���� ����� ��� ��� ������������, ����

� Frege ���� ������ �, �� �!���� ������ ��� ������ � ����+�-

�� ��� �� ������������ �� ������� �� ������� � � ���� ����� ��

������� �� ������� � � �������.

������ ������� ��� �������� �������� � ���������� �!���

�� � ���� ���� ��� ����� ����"�, ������� �� � ���! ��!��� ���

�� �������� ����� � ������ � ���� ���� �� ����� ��������� ����

����! ���������� «����!». /����! �� �� �>��"��� �� ��� ���-

��� � � ����� ��472 �� ��� �>��!+�� ��� ������� ����� ��� ��������

�����.

� ������ ���� � ������������ ��� � Frege ��� ������ ���

������� ����� � ���� �� � ���� ������. #!����, ������ ���

���� ��� ��"� � 473 ������� «�!��� ���� �������� ����������

����� �� � �������� �� ���� ��� ������, ��� �>������� �

���� � � ����� � ��� �. �ankel, �� ���� !���� ��� ��� ��������. '� ��

470 &� ������������ ������������ ��. F. Kutschera, Freges Begründung der Analysis. Archiv für mathematische Logik und Grundlagenforschung Bd 9 1966 pp. 102-111. M. Schirn, Studien zu Frege I Logik und Philosophie der Mathematik Stuttgart, F. Frommann und G. Holzboog 1976 ��"� �� L. Haaparanta and J. Hintikka, Frege synthetised. Dordrecht, Boston, Lan-caster, Tokyo, D. Reidel Publishing Co. 1986.471 G. Frege, op. cit. § 156.472 $�. M. Epple, Das bunte Geflecht der mathematischen Spiele: Ein Diskurs ueber die Natur der Mathematik. Mathematische Semesterberichte 1994 Bd. 41 pp. 113-133.473 C. Parsons, Frege’s «Theory of Number» ��� M. Black (ed.). Philosophy in America London 1965 pp. 180-203.

02 arx kat FILH.indd 27702 arx kat FILH.indd 277 30/1/2010 2:13:41 ��30/1/2010 2:13:41 ��

123

�� ������������� �� ������ � ������� ����� ���278

� � ��� ������ (��"� � ) ��� ����� � � !��� ��� � ��������� ���-

��� ��� ����� ��������� �����+���� ���� ��� � � !��� �� � � ���-

�������, ���� �' �� � ������ �� ���������, �� ���� �������+����

��� �������� �! ����».474

<� ��� ��� 19�� �"� ������� ������ �� ��"� �: �� �����! ���

�� ��� ����� �����; #� ��������, ���������� � ������ ����� �; %

����� ��"� ��� ���������; �� � ������ � ��� ���"����� ��������;

#� ����� � � �������; �� ������ �����������;

&� �� ��! ��!����� ����, ����� ������ �� �� ���. <� � ���-

������ � ��������� ����� ������ ������: ���� ������ � , ����-

���� �� ����������� ��"� � . ���� ����, ���!��� �� ����� ����-

����, � ��������� �� �����+����, ��! �� ��!���� �� ���� ���, ����,

�.�. � Kronecker, � ����� ��� �������� � � ���> ��� !�� ��� ���-

�"�.

���� �����! ���� ���� �� ������, ��� �� �� ���!��� ��� �!����

���� !��� ��! � ����������� �� ����!���� �!�� ���>� ��������

�� ���� �����. %� ������� ���>� ����"� �� �����"� ���������"� �� �!-

���, ���� � � �� ��� ����� ������, � ������ � ����� ���� ���-

��� �� ���, ���� � ������!����� ��� VI ���!���, � ��������� -

�� �� � � ��"� � ��� ����� ���� ���"� �������475. %� ������� ���

+���"� !��� �� – ����������, ����������� – ������� ������ ����� ��

�����, ��" ����� ��� ������ �� ������ ����� ��� ������� ��-

������ �� ���� �� � � �� ������ ������� �.

474 G. Frege, Grundgesetze der Arithmetik Iena 1903. Bd. 2 § 159. 475 $�. J. Ferreirós, Labyrinth of thought: A history of set theory in modern mathematics Basel: Birkhäuser 1999 �� M. Hallet, Cantorian set theory and the limitation of size. Oxford. Oxford University Press 1984.

02 arx kat FILH.indd 27802 arx kat FILH.indd 278 30/1/2010 2:13:41 ��30/1/2010 2:13:41 ��

124

� ����� 29 ��������� 2010