予定 （川口担当分）

（１）４月１３日 量子力学・固体の性質の復習

（２）４月２０日 自由電子モデル

（３）４月２７日 結晶中の電子

（４）５月１１日 半導体

（５）５月１８日 輸送現象・金属絶縁体転移

（６）５月２５日 磁性の基礎

（７）６月１日 物性におけるトポロジー

今日（５/１１）の内容

ブロッホ電子の運動

• 電磁場中の運動

• ランダウ量子化

半導体

• 半導体中の不純物準位

• キャリアー密度

• 代表的な半導体のバンド構造

• 半導体へテロ構造・超格子

• 半導体の応用

レポート問題４

２次元三角格子を持つ３価金属のフェルミ面を、以下の手順に従って描きなさい。

1. 逆格子ベクトルを求め、第一、第二、第三ブリルアンゾーンを図示しなさい。

2. 一電子あたり第一ブリルアンゾーンの半分の面積を占有することから、３価の金属に対するフェルミ円の半径を求めなさい。（準自由電子模型）

3. 1,2の結果から、フェルミ面を求め、どこに電子・正孔がいるかを示しなさい。

ブロッホ電子の運動

静電場中のブロッホ電子

逆格子ベクトルだけ任意性をもつ

１D強束縛模型

ブロッホ振動

通常は振動周期よりも短時間で散乱が起こる→直流電流（Drudeの式）

家泰弘『物性物理』（産業図書）

静磁場中のブロッホ電子

家泰弘『物性物理』（産業図書）

等エネルギー面の法線方向

等エネルギー面の磁場に垂直な接線方向

電子は常に等エネルギー面にとどまる→ 周回運動

静磁場中のブロッホ電子周回運動の周期

家泰弘『物性物理』（産業図書）

実空間での軌道

磁場に垂直成分は、波数空間での軌道を磁場の周りに９０度回転した方向に動く

静磁場中のブロッホ電子

閉じた軌道

波数空間 実空間

開いた軌道

波数空間

実空間

家泰弘『物性物理』（産業図書）

ランダウ量子化磁場により電子状態そのものが変化

磁場中の電子のハミルトニアン

２次元自由電子、一様磁場

シュレディンガー方程式

ランダウゲージ

：サイクロトロン周波数

縮重度：（単位面積当たり）

量子化

レポート問題５

面直磁場下の２次元自由電子のシュレディンガー方

程式を解き、エネルギー固有値と各固有値に対する

縮重度を求めなさい。

ランダウ量子化

軌道の量子化

→熱力学量・輸送係数が磁場の関数として振動

ex) de Haas-van Alphen効果：磁化の振動

Shubnikov-de Haas効果：磁気抵抗の振動

※スピン自由度はないとする

一般に

のとき、N番目の励起状態までが完全に、 N+1番目が部分的に占有される

de Haas-van Alphen効果電子密度 に対し、

であれば電子はすべて基底状態にはいる。このとき、電子のエネルギーは

de Haas-van Alphen効果

磁化

1/Bに対して周期的

周期:

2Dフェルミ円の囲む面積

フェルミ面の形状の測定に用いられる

家泰弘『物性物理』（産業図書）

半導体

半導体

電子が完全に詰まったバンド（価電子帯）とその上の完全に空いたバンド（伝導帯）との間にエネギーギャップがある物質は絶縁体となる。絶縁体でもエネルギーギャップが比較的小さい物質（<2eV）を半導体という。

代表的な半導体・ ダイアモンド構造 Si,Ge・ 閃亜鉛構造 GaAs

半導体中の不純物

不純物：電子を供給/奪う• 電子を供給する不純物 ドナー

• 電子を奪う（正孔を供給する）不純物 アクセプター

例1） Si (IV族)にP (V族)を不純物として添加

５個の価電子のうち、４個が共有結合

残りの１個は不純物原子の周りにゆるく束縛

例2） Si (IV族)にB (III族)を不純物として添加

電子がひとつ不足＝正孔がひとつ供給

意図的に不純物を添加することをドーピングという

n型半導体：ドナー不純物をドープしたもの

p型半導体：アクセプター不純物をドープしたもの

真性半導体：不純物がないもの

不純物イオンによる束縛エネルギー

水素原子と類似状態

伝導電子の有効質量

半導体の誘電率

～100K : 熱励起

ｎ型/ｐ型半導体における電子・正孔の分布

n型半導体 p型半導体

ドナー準位

アクセプター準位

家泰弘『物性物理』（産業図書）

キャリアー密度

伝導帯(conduction band)に励起される電子の密度

フェルミ分布関数

伝導帯の状態密度

エネルギー に の有効状態密度が集中しているとみなせる

キャリアー密度

同様に価電子帯(valence band)に励起される正孔の密度

n型、p型、真性を問わず成り立つ

真性半導体

より、

一方、

が成り立つので、

ギャップのほぼ真ん中

レポート問題６ドナー濃度 、ドナー準位 のn型半導体を考える。

1. 一つのドナー準位を電子が占める確率は、次式で与えられる。これを説明しなさい。

2. 伝導帯に励起されている電子の数はイオン化したドナーの数と正孔の数の和に等しい。このことから、以下の３つの領域において電子とホールの密度をそれぞれ求めなさい。

3. 上の結果を踏まえ、横軸を 、縦軸を電子の密度としてプロットしなさい。

半導体のバンド構造代表的な半導体・ ダイアモンド構造 Si,Ge・ 閃亜鉛構造 GaAs

ブリルアンゾーンはfcc構造と同じ

https://ja.wikipedia.org/wiki/ダイヤモンド https://ja.wikipedia.org/wiki/ブリュアンゾーン

半導体のバンド構造

伝導帯の底と価電子帯の頂上がブリルアンゾーンの同じ位置にある半導体を直接ギャップ半導体、そうでないものを間接ギャップ半導体と呼ぶ。

家泰弘『物性物理』（産業図書）

半導体の伝導帯底付近における等エネルギー面

家泰弘『物性物理』（産業図書）

GaAs, Si, Geの物質パラメター

家泰弘『物性物理』（産業図書）

半導体と半金属

周期律表の下段の元素からなる半導体ほどギャップが小さくなる傾向ex.) InSb : 0.235 eV （ナローギャップ半導体）

IV族では、C: 5.5eV, Si:1.17eV, Ge:0.74eV, a-Sn:半金属

家泰弘『物性物理』（産業図書）

半導体ヘテロ構造・超格子

異種の半導体を層状に積み重ねる（ヘテロ構造）

→ 天然には存在しない人工物質

薄膜技術向上（分子線エピタキシーなど）により可能に

ex) GaAs/AlxGa1-xAs

家泰弘『物性物理』（産業図書）

量子井戸

• GaAsをAlxGa1-xAsではさんだ構造

• GaAsの伝導体の電子はAlxGa1-xAsとの障壁

によってできるポテンシャル井戸に閉じ込められ、２次元電子ガスとなる

家泰弘『物性物理』（産業図書）

半導体の応用

キャリア―密度が

様々なパラメータに敏感（＝制御可能）

→ ダイオード、トランジスタ等に応用

ダイオード

電子

https://ja.wikipedia.org/wiki/ダイオード

順方向バイアス

電流が流れる

電子・正孔の結合により光を発する→ダイオードレーザー、発光ダイオード

整流作用を持つ電子素子

ダイオード

逆方向バイアス

電流が流れない

https://ja.wikipedia.org/wiki/ダイオード

電子

整流作用を持つ電子素子

トランジスタトランジスタ：電流増幅・スイッチング機能を持つ

ＰＮＰ ＮＰＮ

バイポーラトランジスタキャリアを２種類（電子・正孔）持つ

E-B間のわずかな電流変化が、E-C間電流に大きな変化となって現れる。

https://ja.wikipedia.org/wiki/トランジスタ

電界効果トランジスタ（ＦＥＴ）

https://ja.wikipedia.org/wiki/MOSFET

電圧により増幅・スイッチを制御→低消費電力

MOSFET（metal-oxide-semiconductor field-effect transistor）

電界効果トランジスタ（ＦＥＴ）

https://ja.wikipedia.org/wiki/MOSFET

無バイアスではNPN構造 → 電流は流れない

ゲート電圧をかけると絶縁膜がコンデンサとして働く→絶縁膜とP型半導体の間に電子がたまる（N型のチャンネル）→電流が流れる