曲げ変形とせん断変形（曲げ変形とせん断変形（中中中中編 …miyoshi/str_eng/Theme04/...技術者のための構造力学 20150605 2 は，変形後のはりの断面とはり軸が直角に交わるため，たわ

技術者のための構造力学 20150605

1

曲げ変形とせん断変形（曲げ変形とせん断変形（曲げ変形とせん断変形（曲げ変形とせん断変形（中中中中編編編編））））

三好崇夫

加藤久人

１．はじめに１．はじめに１．はじめに１．はじめに

「曲げ変形とせん断変形（前編）」では，静定ばりについては，たわみを曲げたわみとせん断たわみ

に分離し，各々を個別に求めてから両者を合計してせん断変形を考慮したたわみが求められることを説

明した．そして，せん断変形の計算式を示すとともに，同式を用いた計算例についても示した．本資料

では，前編を基本として，せん断変形を考慮した不静定ばりの解析方法について説明する．そのため，

まずせん断変形を考慮したはり理論における変位の連続性について説明する．そして，不静定ばりの解

法の一つとして，静定ばりへの分解や支持条件を変更して静定ばりとしての変位を計算し，重ね合わせ

の原理に従って変位の適合条件を用いて不静定力を求める応力法について説明する．また，不静定次数

の高い構造物に対しても汎用的に適用可能な解法としてマトリックス変位法を取り上げ，せん断変形を

考慮した平面はりの要素剛性方程式を導く．

本資料（「曲げ変形とせん断変形（中編）」の内容

・集中荷重作用点における断面回転角の連続性

・応力法による不静定ばりの解法とその適用例

・マトリックス変位法による解法

２．２．２．２．集中荷重作用点における断面回転角の連続性集中荷重作用点における断面回転角の連続性集中荷重作用点における断面回転角の連続性集中荷重作用点における断面回転角の連続性

図－1は集中荷重 P が作用し，負のせん断力が不連続となる点における断面の回転状況を示している．

連続ばりの中間支点上も支点反力を受けるため，同図

と同様の集中荷重作用点と見なすことができる．

はりが破断しない限り，変位は集中荷重作用点にお

いて連続でなければならないため，同点に無限に近い

左，右側断面のたわみ vL と vR は等しくなる．しかし，

それらの断面に生ずるせん断ひずみ γLと γRはせん断力

によって変化するため，たわみ角 dvL/dx と dvR/dx は異

なることとなり，同点にてたわみ曲線は屈曲する．そ

れらの断面の回転角をそれぞれ θLと θRと表すことにす

れば，断面が互いに剥離や貫入しないためには同点に

おいては，θL = θR = θが満たされなければならない．

せん断変形を無視するはり理論では，集中荷重作用

点のたわみ vとたわみ角 dv/dxが連続しなければならな

いのに対して，せん断変形を考慮するはり理論では，

集中荷重作用点のたわみ v と断面の回転角 θ が連続し

なければならない．せん断変形を無視するはり理論で

図－1 集中荷重作用点における断面回転角

θL = θ = θR

dvL/dx

集中荷重 P

vL = v = vR

QL：左側断面（負のせん断力）

力の釣り合い式：

P＋QR－QL＝0

dvR/dx

dvL/dx

vL dvL/dx γL

θL

QR：右側断面（負のせん断力）

dvR/dx

vR dvR/dx γR

θR


2

は，変形後のはりの断面とはり軸が直角に交わるため，たわ

み角は断面の回転角に等しくなる．したがって，せん断変形

を無視したはり理論におけるたわみ角の連続性は，断面回転

角の連続性として捉えることもできる．以降では，せん断変

形を考慮して連続ばりのたわみを求めるのに，連続ばりを静

定ばりに分解して不静定力を導入し，変位の適合条件を用い

て不静定力を求める応力法について説明するが，同法におい

ても，静定ばりの端部の断面回転角に着目し，変位の適合条

件としては同回転角の連続条件を用いる．

３．３．３．３．応力法による不静定ばりの解法応力法による不静定ばりの解法応力法による不静定ばりの解法応力法による不静定ばりの解法

構造解析法は，断面力を未知数とする応力法，変位を未知

数とする変位法と両者を組み合わせた混合法に分類される．

連続ばりの解析に用いられる 3 連モーメント法は応力法に分

類され，一般的にはせん断変形の影響が無視されている．

3 連モーメント法によって 2 径間連続ばりを解析する場合，

中間支点上で切断して 2 つの単純ばりに分解し，切断点に不

静定力として支点上モーメントを作用させ，切断点における

たわみ角の連続性を変位の適合条件として用いることによっ

て，未知数である同モーメントを求める．（詳細については，

「（補足資料①）せん断変形を無視した 3 連モーメント公

式」を参照されたい）せん断変形を考慮したはり理論では，

せん断変形を無視したはり理論のたわみ角を断面回転角に置

き換えて考えればよいから，上記の支点上のたわみ角の代わ

りに断面回転角を用いることによって，せん断変形を考慮し

た 3 連モーメント法の公式が導ける．3 連モーメント公式の誘導の手順と同様に，変位の適合条件を用

いて不静定力を求める例題として，以下では，図－2に示すように，AB 径間に集中荷重を受ける 2径間

連続ばりについて，支点上曲げモーメント M を求めてみる．

図－2(b)に示すように，中間支点上で連続ばりを切断して単純ばり AB と BCに分解し，切断した中間

支点には支点上モーメント M を不静定力として導入する．本構造では，中間支点上に外力としての集中

モーメントの作用はないから，中間支点に極めて近い左右の断面に生ずるモーメント ML，MRは等しく

なり，以下の関係が成立する．

RLMMM == (1)

図－2(c)に示すように，単純ばり AB の支点 B には，集中荷重 P による曲げ変形に伴う断面回転角 θbP

が生ずる．同図(d)に示すように，支点 B に同荷重によるせん断変形に伴う断面回転角を θsPと表すこと

にする．ただし，後述するように，この場合は θsP = 0となる．また，同図(e)，(f)に示すように，同支点

には，不静定モーメント ML によってもそれぞれ曲げとせん断変形による断面回転角 θbML，θsML が生ず

る．一方，同図(g)，(h)に示すように，単純ばり BC の支点 B には，不静定モーメント MRによって，そ

れぞれ曲げとせん断変形による断面回転角 θbMR，θsMRが生ずる．変位の適合条件は，単純ばり AB の支

図－2 応力法を用いた 2径間連続ば

りの解法

E1, I1, G1, A1, κ1

L1 L2

P E2, I2, G2, A2, κ2

a b

A B C

(a) 2径間連続ばり P

ML = M

(b) 単純（静定）ばりへの分解

MR = M

(c) はり AB の P による曲げ変形

A B

B C

θbP

θsP = 0

(d) はり AB の P によるせん断変形

(e) はり AB の ML による曲げ変形

θbML

(f) はり AB の MLによるせん断変形

θsML θsML

(g) はり BCの MRによる曲げ変形

θbMR

(h) はり BCの MRによるせん断変形

θsMR θsMR


3

点 B に生ずる断面回転角の合計 θL と，単純ばり BC の支点 B に生ずる断面回転角の合計 θRとの連続性

であり，次式で表される．

RsMRbMR

sMLbMLsPbPL

θθθθθθθθ

=+=+++=

(2)

式(2)に各々の回転角を代入して M について解けば不静定モーメントが求められる．

θbPは曲げ変形のたわみ角であるから，まず，「曲げ変形とせん断変形（前編）」の表－2の(1)におい

て，a ≦ x ≦ L の場合の曲げたわみ vbの式を 1階微分し，E = E1，I = I1，L = L1を代入すると，

( )

−+−−== 2

12

111

22 3126

LxababIEL

bPa

dx

dvb

bθ (3)

式(3)に x = L1，b = L1-a を代入して整理すると θbPは，

( )

( ) ( ){ } ( )

( )

−−=−−=

+−+−−=−+−−=

+−=

−−===

3

1

3

111

2

132

1

111

3

1

22

1

3

1

2

111

2

11

2

111

22

111111

22

1

66

2226

26

26

12

6

L

a

L

a

IE

PLaaL

IEL

P

aLaaLaLaIEL

PaLaaLa

IEL

P

abbaIEL

P

abIEL

bPaLxbbP

θθ

(4)

なお，同表の(1)に示されているように，せん断変形による回転角は 0であるから，θsP = 0である．

同様に，θbML は曲げ変形のたわみ角であるから，「曲げ変形とせん断変形（前編）」の表－2 の(2)に

おいて，まず，a ≦ x ≦ L の場合の曲げたわみ vbの式を 1階微分すると，

( ) ( ) ( )

−++−=

−+−++−=

−−+

−−

−

−==

3

2

3

22

3

2

3

2

3

22

2

2222

331

623

16

6231

1

6

L

xL

L

a

LEI

LM

L

xL

L

xL

L

a

LEI

LM

L

xL

L

xL

EI

LM

L

xL

L

a

LEI

LM

dx

dv

CC

CCb

bθ

(5)

式(5)に E = E1，I = I1，L = L1，MC = -ML = -M を代入し，a = L1，b = 0とすると，

( ) ( )

−+−=

−++−−=

3

1

2

1

111

2

1

3

1

2

1

3

1

2

1

111

2

1 32

633

1

6 L

xL

LIE

ML

L

xL

L

L

LIE

MLb

θ (6)

式(6)に x = L1を代入して整理すると θbML は，

11

1

111

2

1

1 3

2

6 IE

ML

LIE

MLLxbbML

−=−===

θθ (7)

同表の(2)より，せん断変形による回転角 θsML は，κ =κ1，G = G1，A = A1，L = L1，MC = -ML = -M を代

入することによって，

111

1

LAG

MsRsML

κθθ −== (8)

一方，θbMR は「曲げ変形とせん断変形（前編）」の表－2 の(2)において，まず，0 ≦ x ≦ L の場合

の曲げたわみ vbの式を 1階微分すると，


4

++−=

+++−=

−−

−

−−==

3

2

3

22

3

2

3

2

3

22

2

2222

331

6

23

1

6

26

311

6

L

x

L

b

LEI

LM

L

x

L

x

L

b

LEI

LM

L

x

L

x

EI

LM

L

x

L

b

LEI

LM

dx

dv

CC

CCb

bθ

(9)

式(9)に E = E2，I = I2，L = L2，MC = MR = M を代入し，a = 0，b = L2とすると，

+=

++−=

3

2

2

222

2

2

3

2

2

3

2

2

2

222

2

232

633

1

6 L

x

LIE

ML

L

x

L

L

LIE

MLb

θ (10)

式(10)に x = 0を代入して整理すると θbMRは，

22

2

222

2

2

0 3

2

6 IE

ML

LIE

MLxbbMR

====

θθ (11)

同表の(2)より，せん断変形による回転角 θsMRは，κ =κ2，G = G2，A = A2，L = L2，MC = MR = M を代入

することによって，

222

2

LAG

MsLsMR

κθθ == (12)

式(4)，(7)，(8)，(11)，(12)および θsP = 0を式(2)へ代入して，

222

2

22

2

111

1

11

1

3

1

3

111

2

1

336 LAG

M

IE

ML

LAG

M

IE

ML

L

a

L

a

IE

PL κκ +=−−

−− (13)

式(13)を整理すると，

( )

( )22

1

111

2

222

222

22

2

2

111

111

11

1

32

13

111

2

1

111

1

11

1

222

2

22

2

3

1

3

111

2

1

111

1

11

1

222

2

22

2

6

31

3

31

3

633

633

aLLIE

PaM

LAG

IE

IE

L

LAG

IE

IE

L

aaLLIE

PLM

LAGIE

L

LAGIE

L

L

a

L

a

IE

PL

LAG

M

IE

ML

LAG

M

IE

ML

−−=

++

+

−−=

+++

−−=+++

κκ

κκ

κκ

(14)1~3

式(14)の第 3 式において，せん断変形の効果を一般的に表現することのできる無次元パラメータであ

る，次のせん断パラメータ λ1，λ2を定義する．

2

222

222

22

111

111

1,

LAG

IE

LAG

IE κλκλ == (15)1, 2

式(15)より明らかなように，せん断パラメータ λiは次のように一般化できる．

( ),...2,12

== iLAG

IE

iii

iii

i

κλ (16)

なお，せん断パラメータ λi は断面回転半径 ri2 = Ii/Ai を用いて次のように表される．

( )22

2

iii

ii

ii

iii

i rLG

E

LG

rE κκλ == (17)

式(14)の第 3式に式(15)を代入して整理すると，


5

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )22

1

1

2

221

112

11

22

1

111

2

221

112

1

11

1

22

1

111

2

22

2

1

11

1

23131

63131

3

631

331

3

aLL

PaM

IEL

IELL

aLLIE

PaM

IEL

IEL

IE

L

aLLIE

PaM

IE

L

IE

L

−−=

+++

−−=

+++

−−=

+++

λλ

λλ

λλ

(18)1~3

式(18)を M について解けば，

( )( ) ( )

P

IEL

IELL

aLaM

+++

−−=

2

221

112

1

2

1

22

1

31312 λλ (19)

４４４４．．．．応力法による応力法による応力法による応力法による不静定ばりの計算例不静定ばりの計算例不静定ばりの計算例不静定ばりの計算例

応力法を用いた不静定ばりの計算例として，図－3(a)に示すように，集中荷重 P が作用する両端固定

ばりの支点反力と反力モーメントを求める．ただし，ここでは，静定構造への分解方法が異なる下記の

2つの場合について示すことにする．

(1) 荷重作用点で両端固定ばりを切断して 2 つの片持ち

ばりに分解し，同点に極めて近い左右の断面に生ずる

曲げモーメント ML，MR とせん断力 QL，QR を不静定

力に選んで解析する方法

(2) 両端固定ばりをピン，ローラー支持された単純ばりに

置き替え，集中荷重が作用する静定基本系（0系），そ

れぞれ左右の支点に不静定モーメント M1，M2を導入

した 1系，2系の重ね合わせによって解析する方法

４４４４．．．．１１１１片持ちばりに分解する解法片持ちばりに分解する解法片持ちばりに分解する解法片持ちばりに分解する解法

図－3(b)に示すように，荷重作用点に限りなく近い同点

左右の断面で両端固定ばりを切断して，片持ちばり AC と

CB に分解し，切断面の断面力と外力との力の釣り合い条

件と，切断位置での変位の適合条件から反力を算定する．

切断面におけるモーメントと上下方向の力のつり合い式

はそれぞれ次式で表される．

RLMM = (20)

PQQRL

+= (21)

切断位置における変位の適合条件として，たわみの連続

条件は，図－3(c)～(f)に示した自由端のたわみを用いて，

RsQRbQRsMRbMR

sQLbQLsMLbMLL

vvvvv

vvvvv

=+++=+++=

(22)

図－3 片持ちばりに分解する解法

(a) 両端固定ばり

P

A C

a

L

b B

EI, GA/κ = const.

A MRA

RA

C

ML QL

vL ML MR P

QL QR

MR QR vR

C

C

MRB

RB

B

(b) 片持ちばりへの分解

(c) ML，MRによる曲げ変形

vbML θbML

vbMR θbMR

(d) ML，MRによるせん断変形

vsML = 0 θsML = 0

vsMR = 0 θsMR = 0

(e) QL，QRによる曲げ変形

vbQL θbQL

vbQR θbQR

(f) QL，QRによるせん断変形

vsQL θsQL = 0

vsQR θsQR = 0


6

式(22)の vbML は，自由端に集中モーメントを受ける片持ちばりの曲げたわみであるから，「曲げ変形

とせん断変形（前編）」の表－2の(6)において，曲げたわみ vb の式に MC = -ML，x = a を代入すると，

EI

aMv L

bML 2

2

−= (23)

式(22)の vsML は，自由端に集中モーメントを受ける片持ちばりのせん断たわみであるから，「曲げ変

形とせん断変形（前編）」の表－2の(6)からも，vsML = 0が明らかである．同式の vbQL は，自由端に集

中荷重を受ける片持ちばりの曲げたわみであるから，「曲げ変形とせん断変形（前編）」の表－2の(5)

において，曲げたわみ vbの式に P = QL，x = a = L を代入すると，

EI

aQ

L

L

L

L

EI

aQv LL

bQL 33

6

323

=

−

= (24)

式(22)の vsQL は，自由端に集中荷重を受ける片持ちばりのせん断たわみであるから，「曲げ変形とせ

ん断変形（前編）」の表－2の(5)において，せん断たわみ vs の式に P = QL，x = a を代入すると，

GA

aQv L

sQL

κ= (25)

一方，式(22)の vbMRは，自由端に集中モーメントを受ける片持ちばりの曲げたわみであるから，「曲

げ変形とせん断変形（前編）」の表－2の(6)において，曲げたわみ vbの式に MC = -MR，x = b を代入す

ると，

EI

bMv R

bMR 2

2

−= (26)

式(22)の vsMR は，自由端に集中モーメントを受ける片持ちばりのせん断たわみであるから，「曲げ変

形とせん断変形（前編）」の表－2の(6)からも，vsMR = 0が明らかである．同式の vbQRは，自由端に集

中荷重を受ける片持ちばりの曲げたわみであるから，「曲げ変形とせん断変形（前編）」の表－2の(5)

において，曲げたわみ vbの式に P = -QR，x = b = L を代入すると，

EI

bQ

L

L

L

L

EI

bQv RR

bQR 33

6

323

−=

−

−= (27)

式(22)の vsQR は，自由端に集中荷重を受ける片持ちばりのせん断たわみであるから，「曲げ変形とせ

ん断変形（前編）」の表－2の(5)において，せん断たわみ vs の式に P = -QR，x = b を代入すると，

GA

bQv R

sQR

κ−= (28)

式(23)～(28)，vsML = 0および vsMR = 0を式(22)へ代入すると，

GA

bQ

EI

bQ

EI

bM

GA

aQ

EI

aQ

EI

aMRRRLLL

κκ −−−=++−3232

3232

(29)

式(29)に式(20)，(21)を代入して整理すると，

( ) ( )( )

PGA

a

EI

aQ

GA

ba

EI

baM

EI

abGA

bQ

EI

bQ

EI

bMPQ

GA

aPQ

EI

a

EI

aM

RR

RRR

RR

R

+−=

++++−

−−−=++++−

κκ

κκ

332

323233322

3232

(30)1,2

式(30)の第 2式の両辺に 6EI を乗じると，


7

( ) ( ) ( ) PGA

aEIaQba

GA

EIbaMab

RR

+−=

++++− κκ 6

26

23 33322 (31)

式(31)の両辺に GA/κを乗じると，

( ) ( ) ( ) PaEIGAa

QbaEIbaGA

MabGA

RR

+−=

++++− 62623

3

3322

κκκ (32)

切断位置におけるもう一つの変位の適合条件として，断面回転角の連続条件は，図－3(c)～(f)に示し

た自由端の断面回転角を用いて，

RsQRbQRsMRbMR

sQLbQLsMLbMLL

θθθθθθθθθθ

=+++=+++=

(33)

式(33)の断面回転角 θbML は，自由端に集中モーメントを受ける片持ちばりの自由端におけるたわみ角

に等しいから，まず，「曲げ変形とせん断変形（前編）」の表－2の(6)において，曲げたわみ vb の式を

x で 1階微分するとたわみ角は，

EI

xM

dx

dvcb = (34)

式(34)に MC = -ML，x = a を代入すると θbML は，

EI

aML

bML−=θ (35)

式(33)の θsML は，自由端に集中モーメントを受ける片持ちばりの断面の回転角であるから，「曲げ変

形とせん断変形（前編）」の表－2の(6)からも，θsML = 0が明らかである．同式の θbQL は，自由端に集

中荷重を受ける片持ちばりの自由端におけるたわみ角に等しいから，まず，「曲げ変形とせん断変形（前

編）」の表－2の(5)において，曲げたわみ vbの式を x で 1階微分すると，

−=

−=−

−=

−

+

−⋅=

L

xx

EI

PL

L

xx

EI

PL

L

x

EI

PL

L

xx

EI

PL

LL

x

EI

PL

L

x

L

x

EI

PL

dx

dvb

2

222

23

2

3

22

36

662

66

1

632

6

(36)

式(36)に P = QL，x = a = L を代入すると θbQL は，

( ) ( )

EI

aQ

aaEI

aQLa

EI

aQ

L

La

EI

aQ

L

LLL

bQL

2

22

22

22

2

2

=

−=−=

−=θ (37)

式(33)の θsQL は，自由端に集中荷重を受ける片持ちばりの断面回転角に等しいから，「曲げ変形とせ

ん断変形（前編）」の表－2の(5)より θsQL = 0となる．

式(33)の θbMRは，自由端に集中モーメントを受ける片持ちばりの自由端におけるたわみ角に等しいか

ら，式(34)に MC = -MR，x = b を代入すると θbMRは，時計回りを正として，

EI

bMR

bMR=θ (38)


8

式(33)の θsMRは，自由端に集中モーメントを受ける片持ちばりの断面の回転角であるから，「曲げ変

形とせん断変形（前編）」の表－2の(6)より θsMR = 0である．同式の θbQRは，自由端に集中荷重を受け

る片持ちばりの自由端におけるたわみ角に等しいから，式(36)に P = -QR，x = b = L を代入し，時計回り

を正とすることに注意すると，

( )EI

bQbb

EI

bQ

L

Lb

EI

bQRRR

bQR 22

22

2

22

=−=

−−−=θ (39)

式(33)の θsQR は自由端に集中荷重を受ける片持ちばりの断面回転角に等しいから，「曲げ変形とせん

断変形（前編）」の表－2の(5)より θsQR = 0となる．

式(35)，(37)，θsML = θsQL = 0，式(38)，(39)および θsMR = θsQR = 0を式(33)に代入すると，

EI

bQ

EI

bM

EI

aQ

EI

aMRRLL

22

22

+=+− (40)

式(40)に式(20)，(21)を代入して整理すると，

( )

( ) ( )( ) ( ) PaQbaMba

EI

Paba

EI

Qba

EI

MEI

bQ

EI

bMPQ

EI

a

EI

aM

RR

RR

RR

R

R

222

2

22

22

222

22

−=−++−

−=−++−

+=++−

(41)1～3

式(32)と(41)の第 3式をマトリックス－ベクトル表示すると，

( ) ( ) ( )( )

−

+−=

−+−

+++−

Pa

PaEIGAa

Q

M

baba

baEIbaGA

abGA

R

R

2

3

22

3322 62

2

623κκκ (42)

Cramer（クラメル）の公式を式(42)に適用し，L = a+b の関係を用いて MRについて解けば次式を得る．

PEIL

GA

EIGA

ab

L

ababP

LEILGA

EIGA

abM

R

12

32

12

62

23 +

+=

+

+=

κ

κ

κ

κ (43)

式(43)の誘導についての詳細は補足 A.1 を参照されたい．

式(42)に Cramerの公式を適用し，L = a+b の関係を用いて QRについて解けば次式を得る．

( ) ( )P

EILGA

EIbaaGA

L

aP

LEILGA

EIabaGAa

QR

12

123

12

123

23

2

+

++−=

+

++−=

κ

κ

κ

κ (44)


式(43)を式(20)に代入すると，

PEIL

GA

EIGA

ab

L

abM

L

12

32

2 +

+=

κ

κ (45)

式(44)を式(21)に代入すると最終的に次式を得る．


9

( )P

EILGA

EIbabGA

L

bQL

12

123

2 +

++=

κ

κ (46)

式(46)の誘導についての詳細は補足 A.3 を参照された

い．

図－3(b)の片持ちばり AC について，A 点まわりのモー

メントのつり合い条件，片持ちばり全体の上下方向の力

の釣り合い条件より，A 点に生ずる反力モーメント MRA，

および支点反力 RAはそれぞれ次式で表される．

LLRAaQMM −= (47)

LAQR = (48)

式(47)に式(45)，(46)を代入し，式(52)の最右辺に，L =

a+b の関係を代入して整理すると，

EILGA

EIbLGA

L

abPM

RA

12

6

2 +

+−=

κ

κ (49)


式(48)に式(46)を代入すると，

( )P

EILGA

EIbabGA

L

bR

A

12

123

2 +

++=

κ

κ (50)

図－3(b)の片持ちばり CB について，C 点まわりのモーメントのつり合い条件，片持ちばり全体の上

下方向の力の釣り合い条件より，A 点に生ずる反力モーメント MRB，および支点反力 RBはそれぞれ次式

で表される．

RRRBbQMM += (51)

RBQR −= (52)

式(51)に式(43)，(44)を代入し，L = a+b の関係を用いると次式を得る．

EILGA

EIaLGA

PL

abM

RB

12

6

2 +

+−=

κ

κ (53)



( )P

EILGA

EIbaaGA

L

aR

B

12

123

2 +

++=

κ

κ (54)

図－3 片持ちばりに分解する解法（再掲）


P

A C

a

L

b B

EI, GA/κ = const.

A MRA

RA

C

ML QL

vL ML MR P

QL QR

MR QR vR

C

C

MRB

RB

B

(b) 片持ちばりへの分解


10

４４４４．．．．２２２２単純ばりを用いた解法単純ばりを用いた解法単純ばりを用いた解法単純ばりを用いた解法

本解法では，図－4(b)～(d)に示すように，固定端をピ

ン，ローラー支点に置き換え，反力モーメントを不静

力に選んで，両端の支点では断面回転角が 0 という変

位の適合条件を用いて不静定力を求める．図－4(b)に示

すように集中荷重 P の作用する単純ばりは一般的に静

定基本系と呼ばれ，0系と称する．これに対して，同図

(c)，(d)に示すように，それぞれ支点 A，B に不静定モ

ーメント M1，M2を導入した単純ばりを 1系，2系と称

する．

本題の変位の適合条件は，それぞれ A，B 点に生ずる

断面回転角の合計を θA，θBとすれば次式で表される．

0=A

θ (55)

0=B

θ (56)

それぞれ式(55)，(56)は，図－4(e)～(j)に示した断面回

転角を用いて次のように表される．

0221100

=+++++=sAbAsAbAsAbAA

θθθθθθθ (57)

0221100

=+++++=sBbBsBbBsBbBB

θθθθθθθ (58)

式(57)の θbA0は，単純ばりへの集中荷重の作用によっ

て支点 A に発生するたわみ角に等しいから，まず，「曲

げ変形とせん断変形（前編）」の表－2の(1)において，

0 ≦ x ≦ aの場合の曲げたわみ vbの式を1階微分する

と，

−+==ba

x

baLEI

bPa

dx

dvb

b 2

222 312

6θ (59)

式(59)に x = 0，b = L1-a を代入して整理すると θbA0は，

( )baLEI

Pab

baLEI

bPaxbbA

26

12

6

22

00+=

+===

θθ (60)

式(57)の θsA0は，単純ばりへの集中荷重の作用によって支点 A に発生するせん断変形による断面回転

角であり，「曲げ変形とせん断変形（前編）」の表－2の(1)より θsA0 = 0である．同式の θbA1は，A 点

に作用する不静定モーメント M1によって支点 A に発生するたわみ角に等しいから，まず，「曲げ変形

とせん断変形（前編）」の表－2 の(2)において，0 ≦ x ≦ a の場合の曲げたわみ vbの式を 1 階微分す

ると，

( )

−+=

−−−==L

bxLEI

LM

L

x

L

b

LEI

LM

dx

dvCCb

b

13

633

1

622

3

2

3

2

3

22

θ (61)

式(61)に x = 0，b = L，MC = M1を代入して整理すると θbA1は，

EI

LM

EI

bM

bbEI

bM

bb

b

EI

bMxbbA 33

13

6

13

611

2

1

3

22

1

01==

−=

−===

θθ (62)

図－4 単純ばりを用いた解法


P A C

a

L

b B EI, GA/κ = const. MRA

RA

(b) 静定基本系（0系）

(f) 0系のせん断変形

MRB

RB

P

(c) 左支点に不静定力を載荷した 1系

M1

(d) 右支点に不静定力を載荷した 2系

M2

θbA0 θbB0

(e) 0系の曲げ変形 θsB0 = 0

θsA0 = 0

(h) 1系のせん断変形

(g) 1系の曲げ変形

θbA1 θbB1

θsB1 θsA1

(j) 2系のせん断変形

(i) 2系の曲げ変形

θbA2 θbB2

θsB2 θsA2


11

式(57)の θsA1は，A 点に作用する不静定モーメント M1によって支点 A に発生するせん断変形による

断面回転角であり，「曲げ変形とせん断変形（前編）」の表－2の(2)より，MC = M1として

GAL

MsA

1

1

κθ = (63)

式(57)の θbA2は，B 点に作用する不静定モーメント M2によって支点 A に発生するたわみ角に等しい

から，式(61)に x = 0，b = 0，MC = M2を代入して整理すると，

EI

LM

LEI

LMxbbA 6

1

62

2

2

02−=

−===

θθ (64)

式(57)の θsA2は，B 点に作用する不静定モーメント M2によって支点 A に発生するせん断変形による断

面回転角であり，「曲げ変形とせん断変形（前編）」の表－2の(2)より，MC = M2として

GAL

MsA

2

2

κθ = (65)

式(60)，θsA0 = 0，式(62)～(65)を式(57)に代入すると，

( )

( )baLEI

PabM

GALEI

LM

GALEI

LGAL

M

EI

LM

GAL

M

EI

LMba

LEI

Pab

2663

063

26

21

2211

+−=

+−+

+

=+−+++

κκ

κκ

(66)1,2

式(58)の θbB0は，単純ばりへの集中荷重の作用によって支点 B に発生するたわみ角に等しいから，ま

ず，「曲げ変形とせん断変形（前編）」の表－2 の(1)において，a ≦ x ≦ L の場合の曲げたわみ vbの

式を 1階微分すると，

( )

−+−−==

2

222 312

6 ab

Lx

abLEI

bPa

dx

dvb

bθ (67)

式(67)に x = L を代入して整理すると θbB0は，

( )baLEI

Pab

abLEI

bPaLxbbB

+−=

−−===

26

12

6

22

0θθ (68)

式(58)の θsB0は，単純ばりへの集中荷重の作用によって支点 B に発生するせん断変形による断面回転

角であり，「曲げ変形とせん断変形（前編）」の表－2の(1)より θsB0 = 0である．同式の θbB1は，A 点

に作用する不静定モーメント M1によって支点 B に発生するたわみ角である．まず，「曲げ変形とせん

断変形（前編）」の表－2の(2)において，a ≦ x ≦ L の場合の曲げたわみ vb の式を 1階微分すると，

( )

−++−==

3

2

3

22

331

6 L

Lx

L

a

LEI

LM

dx

dvCb

bθ (69)

式(69)に x = L，a = 0，MC = M1を代入して整理すると θbB1は，

EI

LM

LEI

LMLxbbB 6

1

61

2

1

1−=

−===

θθ (70)

式(58)の θsB1は，A 点に作用する不静定モーメント M1によって支点 B に発生するせん断変形による断



12

GAL

MsB

1

1

κθ = (71)

式(58)の θbB2は，B 点に作用する不静定モーメント M2によって支点 B に発生するたわみ角に等しいか

ら，式(69)に x = L，a = L，MC = M2を代入して整理すると，

EI

LM

L

L

LEI

LMLxbbB 3

31

62

3

22

2

2=

+−===

θθ (72)

式(58)の θsB2は，B 点に作用する不静定モーメント M2によって支点 B に発生するせん断変形による断


GAL

MsB

2

2

κθ = (73)

式(68)，θsB0 = 0，式(70)～(73)を式(58)に代入すると，

( )

( )baLEI

PabM

GALEI

LM

GALEI

LGAL

M

EI

LM

GAL

M

EI

LMba

LEI

Pab

+=

++

+−

=+++−+−

2636

036

26

21

2211

κκ

κκ

(74)1,2

式(66)の第 2式と式(74)の第 2式をマトリックス－ベクトル表示すると，

( )

( )

+

+−=

++−

+−+

baLEI

Pab

baLEI

Pab

M

M

GALEI

L

GALEI

LGALEI

L

GALEI

L

26

26

36

632

1

κκ

κκ

(75)

式(75)の両辺に 6EI/L を乗じると，

( )

( )

+

+−=

++−

+−+

baL

Pab

baL

Pab

M

M

GAL

EI

GAL

EIGAL

EI

GAL

EI

2

2

62

61

61

62

2

2

2

1

22

22

κκ

κκ

(76)

式(76)の両辺に GAL2/κを乗じると，

( )

( )

+

+−=

++−

+−+

baPabGA

baPabGA

M

M

EIGAL

EIGAL

EIGAL

EIGAL

2

2

62

6

662

2

1

22

22

κ

κ

κκ

κκ (77)

Cramerの公式を式(77)に適用して，a+b = L の関係を用いて M1について解けば次式を得る．

P

EIGAL

EIGAbL

L

abM

12

6

21

+

+−=

κ

κ (78)


Cramerの公式を式(82)に適用して，a+b = L の関係を用いて M2について解けば次式を得る．


13

P

EIGAL

EIGAaL

L

abM

12

6

22

+

+=

κ

κ (79)

式(79)の誘導の詳細は補足 A.7 を参照されたい．

図－5より，支点 A，B に生ずる支点反力 RA，RBは，

0～2 系に生ずる支点反力の重ね合わせとして，それぞ

れ次式で表される．

210 AAAARRRR ++= (80)

210 BBBBRRRR ++= (81)

図－5(b)より，式(80)，(81)の支点反力 RA0，RB0 はそ

れぞれ次式で表される．

L

aPR

L

bPR

BA==

00, (82)1,2

同図(c)より，式(80)，(81)の支点反力 RA1，RB1はそれ

ぞれ次式で表される．

L

MR

L

MR

BA

1

1

1

1, =−= (83)1,2

同図(d)より，式(80)，(81)の支点反力 RA2，RB2はそれ

ぞれ次式で表される．

L

MR

L

MR

BA

2

2

2

2, =−= (84)1,2

式(82)～(84)を式(80)，(81)に代入すると，

( )21

211

MMbPLL

M

L

M

L

bPR

A−−=−−= (85)

( )21

211

MMaPLL

M

L

M

L

aPR

B++=++= (86)

式(85)に式(78)，(79)を代入すると，

( )L

bP

EILGA

EIbabGA

RA

12

123

2 +

++=

κ

κ (87)


式(87)は式(50)に一致している．

式(86)に式(78)，(79)を代入すると，

( )L

aP

EILGA

EIbaaGA

RB

12

123

2 +

++=

κ

κ (88)

図－5 各単純ばりに生ずる支点反力


P A C

a

L

b B EI, GA/κ = const. MRA

RA

(b) 静定基本系（0系）

MRB

RB

P

(c) 左支点に不静定力を載荷した 1系

M1

(d) 右支点に不静定力を載荷した 2系

M2

RA0 RB0

= +

RA1 RB1

+

RA2 RB2


14



図－5より，A 点に生ずる反力モーメント MRAは，不静定モーメント M1そのものであるから，式(78)

を用いて，

PEIL

GA

EIbLGA

L

abMM

RA

12

6

21

+

+−==

κ

κ (89)


図－5より，B 点に生ずる反力モーメント MRBと不静定モーメント M2の関係は MRB = -M2より，式(79)

を用いて，

PEI

GAL

EIGAaL

L

abMM

RB

12

6

22

+

+−=−=

κ

κ (90)


５５５５．．．．マトリックス変位法による解法マトリックス変位法による解法マトリックス変位法による解法マトリックス変位法による解法

周知の通り，マトリックス変位法

1) ,2)は任意形状を持ち，不静定次数の高い大規模骨組構造物の解析

にも適用することができる汎用性の高い構造解析法である．同法でせん断変形を考慮した不静定ばりの

構造解析を実施するためには，せん断変形の影響を考慮したはりの要素剛性方程式が必要である．同方

程式は骨組構造物を離散化して表現するのに用いられる骨組要素の力と変形の関係を表すものである．

一般的に，骨組構造物の解析では，両端 2節点を有する要素が用いられるため，本資料においては，両

端 2節点平面はりのせん断変形を考慮した要素剛性方程式を導く．本資料では，同方程式の誘導方法と

して直接剛性法を用いることとする．同法では，各節点の変位成分が単位量となるときの外力成分を求

め，各外力成分を足しあわせることによって，要素剛性方程式を導くものである．なお，本資料では，

平面はりを考えることとして，節点変位としてはたわみと断面の回転角を考えることにする．両端節点

における変位と外力は図－6に示す向きを正とする．

図－7(a)に示すように，要素 i 端の合計たわみ v1iが 1 に等しくなるように境界条件が与えられた系を

1 系と称することにして，このような変形を実現させるための要素両端の外力 F1i，反力 F1j，外力モー

メント M1i，反力モーメント M1j を求める．軸力の影響を無視すれば，本構造は 2 次不静定構造であり，

i 端の固定ローラーを取り外せば j 端にて固定支持された静定構造の片持ちばりとなる．よって，同図(b)，

(c)に示すように，同片持ちばりの i 端に外力 F1i を載荷した際の曲げ，せん断たわみ vb1Fi，vs1Fi，曲げ，

図－6 せん断変形を考慮した平面骨組要素の要素座標系，変位と外力の定義

(a) 変位

i j

EI, GA/κ = const.

L y

x

i’ j’

vi

θi vj

θj (b) 外力

Fi Mi

i j

L y

x

Fj

Mj


15

せん断による断面の回転角 θb1Fi，θs1Fi，同図(d)，(e)に示

すように，同片持ちばりの i 端に外力モーメント M1i を載

荷した際の曲げ，せん断たわみ vb1Mi，vs1Mi，曲げ，せん

断による断面の回転角 θb1Mi，θs1Mi の間にそれぞれ次の変

位の適合条件が成立する．

111111

=+++=MisMibFisFibi

vvvvv (91)

011111

=+++=MisMibFisFibi

θθθθθ (92)

式(91)における vb1Fi は，「曲げ変形とせん断変形（前

編）」の表－2の(5)において，0 ≦ x ≦ L の場合の曲げ

たわみ vbの式に x = L および P = F1iを代入すると，

EI

LF

L

L

L

L

EI

LFv ii

Fib 33

6

3

1

23

1

1=

−

= (93)

また，式(91)における vs1Fi は，「曲げ変形とせん断変

形（前編）」の表－2の(5)より，x = L および P = F1i とし

て，

GA

LFv i

Fis

1

1

κ= (94)

式(91)における vb1Mi は，「曲げ変形とせん断変形（前

編）」の表－2の(6)において，0 ≦ x ≦ L の場合の曲げたわみ vb の式に x = L および MC = -M1i を代入

すると，

EI

LMv i

Mib 2

2

1

1−= (95)

また，式(91)における vs1Mi は，「曲げ変形とせん断変形（前編）」の表－2の(6)より，vs1Mi = 0となる．

式(91)に式(93)～(95)ならびに vs1Mi = 0を代入すると，

123

123

1

2

1

3

2

11

3

1

1

=−

+

=−+=

ii

iii

i

MEI

LF

GA

L

EI

LEI

LM

GA

LF

EI

LFv

κ

κ

(96)1,2

式(92)における断面回転角 θb1Fi は自由端に集中荷重の作用する片持ちばりの曲げに伴うたわみ角に等

しいから，「曲げ変形とせん断変形（前編）」の表－2 の(5)において，0 ≦ x ≦ L の場合の曲げたわ

み vbの式を 1階微分して，

−=

−=3

2

2

3

3

2

2

3 2

23

6

6 L

x

L

x

EI

PL

L

x

L

x

EI

PL

dx

dvb (97)

θb1Fi は式(97)に x = L および P = F1iを代入して，たわみ角が逆向きとなることを考慮して負号を乗じる

と，

EI

LF

L

L

L

L

EI

LF

dx

dvii

Lx

b

Fib 2

2

2

2

1

3

2

2

3

1

1−=

−−=−==

θ (98)

式(92)における θs1Fi は，「曲げ変形とせん断変形（前編）」の表－2 の(5)より，自由端に集中荷重を

受ける片持ちばりにはせん断変形に伴う断面の回転角は生じないから θs1Fi = 0となる．また，同式の θb1Mi

図－7 i 端に単位たわみが導入された 1系

(a) 外力，反力と i 端の変位

F1i

i L

v1i = 1 j

M1i θ1i = 0

F1j M1j

(b) F1iによる曲げ変形

F1i

vb1Fi j θb1Fi

(c) F1i によるせん断変形

F1i

vs1Fi j θs1Fi = 0

i

i

(d) M1i による曲げ変形

vb1Mi j θb1Mi

i M1i

(e) M1i によるせん断変形

vb1Mi = 0 j θb1Mi = 0

i M1i


16

は自由端に集中モーメントを受ける片持ちばりの自由端における曲げに伴うたわみ角に等しいから，

「曲げ変形とせん断変形（前編）」の表－2 の(6)において，0 ≦ x ≦ L の場合の曲げたわみ vbの式を

1階微分して，

EI

xM

dx

dvCb = (99)

θb1Mi は式(99)に x = L および MC = -M1i を代入し，たわみ角が逆向きとなることを考慮して負号を乗じ

ると，

EI

LM

dx

dvi

Lx

b

Mib

1

1=−=

=

θ (100)

式(92)における θs1Mi は，「曲げ変形とせん断変形（前編）」の表－2 の(6)より，自由端に集中モーメ

ントを受ける片持ちばりにはせん断変形に伴う断面の回転角は生じないから θs1Mi = 0となる．

式(98)，(100)と θs1Fi = θs1Mi = 0を式(92)に代入すると，

02

02

11

2

1

2

1

1

=+−

=+−=

ii

ii

i

MEI

LF

EI

LEI

LM

EI

LFθ (101)1,2

式(96)の第 2式，(101)の第 2式をマトリックス－ベクトル表示すると，

=

−

−+

0

1

2

231

1

2

23

i

i

M

F

EI

L

EI

LEI

L

GA

L

EI

L κ

(102)

式(109)に対して Cramerの公式を適用して，F1iについて解けば，

+=

2

31

12112

1

GAL

EI

EI

LF i κ

(103)

式(103)の誘導の詳細は補足 A.10を参照されたい．

ここで，次式で定義されるせん断パラメータ λを用いることにする．

2GAL

EIκλ = (104)

式(103)の最右辺に式(104)を代入すると，

( )λ121

1231 +

=L

EIF

i (105)

式(105)において，次のパラメータ J を定義する．

λ121+= I

J (106)

式(106)を式(105)に代入すると，

31

12

L

EJF

i= (107)

式(102)に対して Cramerの公式を適用して，M1i について解けば，


17

+=

2

21

1216

1

GAL

EI

EI

LM i κ

(108)


式(108)に式(104)，(106)を代入すると，

( ) 221

6

121

6

L

EJ

L

EIM

i=

+=

λ (109)

図－7(a)より，1系全体の力のつり合い条件として次式が成立する．

iijMLFM

111−= (110)

ijFF

11−= (111)

式(110)に式(107)，(109)を代入すると，

2231

6612

L

EJ

L

EJ

L

EJLM

j=−= (112)


31

12

L

EJF

j−= (113)

図－8(a)に示すように，要素 i 端の合計回転角 θ1i が 1

に等しくなるように境界条件が与えられた系を 2 系と称

することにして，このような変形を実現させるための要

素両端の外力 F2i，反力 F2j，外力モーメント M2i，反力モ

ーメント M2jを求める．本構造も 2次不静定構造であり，

i 端のピン（ただし単位回転角を発生）を取り外せば j 端

にて固定支持された静定構造の片持ちばりとなる．よっ

て，同図(b)，(c)に示すように，同片持ちばりの i 端に外

力 F2i を載荷した際の曲げ，せん断たわみ vb2Fi，vs2Fi，曲

げ，せん断による断面の回転角 θb2Fi，θs2Fi，同図(d)，(e)

に示すように，同片持ちばりの i 端に外力モーメント M2i

を載荷した際の曲げ，せん断たわみ vb2Mi，vs2Mi，曲げ，

せん断による断面の回転角 θb2Mi，θs2Mi の間にそれぞれ次

の変位の適合条件が成立する．

022222

=+++=MisMibFisFibi

vvvvv (114)

122222

=+++=MisMibFisFibi

θθθθθ (115)

式(114)における vb2Fi は式(93)の F1iを F2iとすることによって，

EI

LFv i

Fib 3

3

2

1= (116)

また，式(114)における vs2Fi は，式(94)の F1i を F2iとすることによって，

図－8 i 端に単位回転角が導入された 2系

(a) 外力，反力と i 端の変位

F2i

i

L

v2i = 0 j M2i

θ2i = 1 F2j M2j

(b) F2iによる曲げ変形

F2i

vb2Fi j θb2Fi

(c) F2i によるせん断変形

F2i

vs2Fi j θs2Fi = 0

i

i

(d) M2i による曲げ変形

vb2Mi j θb2Mi

i M2i

(e) M2i によるせん断変形

vb2Mi = 0 j θb2Mi = 0

i M2i


18

GA

LFv i

Fis

2

2

κ= (117)

式(114)における vb2Mi は式(95)の M1iを M2iとすることによって，

EI

LMv i

Mib 2

2

2

2−= (118)

また，式(114)における vs2Mi は vs1Mi = 0と同様に vs2Mi = 0となる．

式(114)に式(115)～(118)ならびに vs2Mi = 0を代入すると，

023

023

2

2

2

3

2

21

3

2

2

=−

+

=−+=

ii

iii

i

MEI

LF

GA

L

EI

LEI

LM

GA

LF

EI

LFv

κ

κ

(119)1,2

式(115)における θb2Fi は式(98)の F1iを F2iとすることによって，

EI

LFi

Fib 2

2

2

2−=θ (120)

式(115)における θs2Fi は θs1Fi と同様に θs2Fi = 0となる．また，同式の θb2Mi は式(100)の M1i を M2iとする

ことによって，

EI

LMi

Mib

2

2=θ (121)

式(115)における θs2Mi は θs1Mi と同様に θs2Mi = 0となる．

式(120)，(121)と θs2Fi = θs2Mi = 0を式(115)に代入すると，

12

12

22

2

2

2

2

2

=+−

=+−=

ii

ii

i

MEI

LF

EI

LEI

LM

EI

LFθ (122)1,2


=

−

−+

1

0

2

232

2

2

23

i

i

M

F

EI

L

EI

LEI

L

GA

L

EI

L κ

(123)

式(123)に対して Cramerの公式を適用して，F2iについて解けば，

+=

2

22

1216

1

GAL

EI

EI

LF i κ

(124)


式(124)に式(104)，(106)を代入すると，

( ) 222

6

121

6

L

EJ

L

EIF

i=

+=

λ (125)

式(125)に対して Cramerの公式を適用して，M2i について解けば，


19

+

+=

2

2

2

1214

31

GAL

EI

EI

LGAL

EI

M i κ

κ

(126)


式(126)に式(104)，(106)を代入すると，

( )( )

( )L

EJ

L

EIM

i

λλλ 314

121

3142

+=+

+= (127)


iijMLFM

222−= (128)

ijFF

22−= (129)

式(128)に式(125)，(127)を代入すると，

( ) ( ) ( )L

EJ

L

EJ

L

EJ

L

EJLM

j

λλλ 6121246

314622

−=−−=+−= (130)


22

6

L

EJF

j−= (131)

図－9(a)に示すように，要素 j 端の合計たわみ v3jが 1

に等しくなるように境界条件が与えられた系を 3 系と

称することにして，このような変形を実現させるため

の要素両端の外力 F3j，反力 F3i，外力モーメント M3j，

反力モーメント M3i を求める．本構造は図－7(a)に示す

1 系と対称な 2次不静定構造であり，j 端の固定ローラ

ーを取り外せば i 端で固定支持された片持ちばりとな

る．よって，図－9(b)，(c)に示すように，j 端に外力 F3j

を載荷した際の曲げ，せん断たわみ vb3Fj，vs3Fj，曲げ，

せん断による断面の回転角 θb3Fj，θs3Fj，同図(d)，(e)に

示すように，j 端に外力モーメント M3jを載荷した際の

曲げ，せん断たわみ vb3Mj，vs3Mj，曲げ，せん断による

断面の回転角 θb3Mj，θs3Mj の間にそれぞれ次の変位の適

合条件が成立する．

133333

=+++=MjsMjbFjsFjbj

vvvvv (132)

033333

=+++=MjsMjbFjsFjbj

θθθθθ (133)

式(132)における vb3Fj は式(93)の F1iを F3jとして，

図－9 j 端に単位たわみが導入された 3系

(a) 外力，反力と j 端の変位

F3i i

L

v3j = 1

j

M3i

θ3i = 0

F3j M3j

(b) F3jによる曲げ変形

F3j

vb3Fj j θb3Fj

(c) F3j によるせん断変形

F3j

vs3Fj j θs3Fj = 0

i

i

(d) M3j による曲げ変形

vb3Mj j θb3Mj i

M3j

(e) M3j によるせん断変形

vb3Mj = 0 j

θb3Mj = 0

i M3j


20

EI

LFv j

Fjb 3

3

3

3= (134)

式(132)における vs3Fj は式(94)の F1iを F3jとして，

GA

LFv j

Fjs

3

3

κ= (135)

式(132)における vb3Mj は，「曲げ変形とせん断変形（前編）」の表－2の(6)において，0 ≦ x ≦ L の

場合の曲げたわみ vbの式に x = L および MC = M3j を代入すると，

EI

LMv j

Mjb 2

2

3

3= (136)

式(132)における vs3Mj は，「曲げ変形とせん断変形（前編）」の表－2の(6)より，vs3Mj = 0となる．

式(132)に式(134)～(136)ならびに vs3Mj = 0を代入すると，

123

123

3

2

3

3

2

33

3

3

3

=+

+

=++=

jj

jjj

j

MEI

LF

GA

L

EI

LEI

LM

GA

LF

EI

LFv

κ

κ

(137)1,2

式(133)における θb3Fj は，式(97)に x = L および P = F3jを代入して，

EI

LF

L

L

L

L

EI

LF

dx

dv jj

Lx

b

Fjb 22

2

2

3

3

2

2

3

3

3=

−===

θ (138)

式(133)における θs3Fj は，「曲げ変形とせん断変形（前編）」の表－2の(5)より，自由端に集中荷重を

受ける片持ちばりにはせん断変形に伴う断面の回転角は生じないから θs3Fj = 0となる．また，同式の θb3Mj

は，式(99)に x = L および MC = M3jを代入すると，

EI

LM

dx

dv j

Lx

b

Mjb

3

3==

=

θ (139)

式(133)における θs3Mj は，「曲げ変形とせん断変形（前編）」の表－2の(6)より，自由端に集中モーメ

ントを受ける片持ちばりにはせん断変形に伴う断面の回転角は生じないから θs3Mj = 0となる．

式(138)，(139)と θs3Fj = θs3Mj = 0を式(133)に代入すると，

02

02

33

2

3

2

3

3

=+

=+=

jj

jj

j

MEI

LF

EI

LEI

LM

EI

LFθ

(140)1,2


=

+

0

1

2

233

3

2

23

j

j

M

F

EI

L

EI

LEI

L

GA

L

EI

L κ

(141)

式(141)に対して Cramerの公式を適用して，F3jについて解けば，

+=

2

33

12112

1

GAL

EI

EI

LF j κ

(142)


21


式(142)に式(104)，(106)を代入すると，

( ) 333

12

121

12

L

EJ

L

EIF

j=

+=

λ (143)

式(141)に対して Cramerの公式を適用して，M3j について解けば，

+−=

22

3

121

6

GAL

EIL

EIM j κ

(144)


式(144)に式(104)，(106)を代入すると，

( ) 223

6

121

6

L

EJ

L

EIM

j−=

+−=

λ (145)


jjiMLFM

333−−= (146)

jiFF

33−= (147)

式(146)に式(143)，(145)を代入すると，

2233

6612L

EJ

L

EJ

L

EJLM

i−=+−= (148)

式(147)に式(143)を代入すると， 3

312 LEJF

i−= (149)

最後に，図－8(a)に示す 2系と対称な構造として，図

－10(a)に示すように，要素 j 端の合計回転角 θ4jが 1に

等しくなるように境界条件が与えられた系を 4 系と称

することにして，このような変形を実現させるための

要素両端の外力 F4j，反力 F4i，外力モーメント M4j，反

力モーメント M4iを求める．本構造は，j 端のピンを取

り外せば i 端で固定支持された静定構造の片持ちばり

となる．よって，同図(b)，(c)に示すように，同片持ち

ばりの j 端に外力 F4jを載荷した際の曲げ，せん断たわ

み vb4Fj，vs4Fj，曲げ，せん断による断面の回転角 θb4Fj，

θs4Fj，同図(d)，(e)に示すように，同片持ちばりの j 端

に外力モーメント M4j を載荷した際の曲げ，せん断た

わみ vb4Mj，vs4Mi，曲げ，せん断による断面の回転角 θb4Mj，

θs4Mj の間にそれぞれ次の変位の適合条件が成立する．

044444

=+++=MjsMjbFjsFjbj

vvvvv (150)

144444

=+++=MjsMjbFjsFjbj

θθθθθ (151)

図－10 j 端に単位回転角が導入された 4系

(a) 外力，反力と j 端の変位

F4i i

L

v4j = 0 j M4i θ4j = 1

F4j M4j

(b) F4jによる曲げ変形

F4j

vb4Fj j θb4Fj

(c) F4j によるせん断変形

F4j

vs4Fj j θs4Fj = 0

i

i

(d) M4j による曲げ変形

vb4Mj j θb4Mj i

M4j

(e) M4j によるせん断変形

vb4Mj = 0 j

θb4Mj = 0

i M4j


22

式(150)における vb4Fj は式(134)の F3jを F4jとして，

EI

LFv j

Fjb 3

3

4

4= (152)

式(150)における vs4Fj は式(135)の F3jを F4jとして，

( )GALFvjFjs 44

κ= (153)

式(150)における vb4Mj は式(136)の M3j を M4jとして，

( )EILMvjMjb

22

44= (154)

式(150)における vs4Mj は，「曲げ変形とせん断変形（前編）」の表－2の(6)より，vs4Mj = 0となる．

式(150)に式(152)～(154)と vs4Mj = 0を代入すると，

023

023

4

2

4

3

2

44

3

4

4

=+

+

=++=

jj

jjj

j

MEI

LF

GA

L

EI

LEI

LM

GA

LF

EI

LFv

κ

κ

(155)1,2

式(151)における θb4Fj は式(138)の F3jを F4jとして，

( )EILFjFjb

22

44=θ (156)

式(151)における θs4Fj は，「曲げ変形とせん断変形（前編）」の表－2の(5)より，自由端に集中荷重を

受ける片持ちばりにはせん断変形に伴う断面の回転角は生じないから θs4Fj = 0となる．また，同式の θb4Mj

は式(139)の M3jを M4j として，

( )EILMjMjb 44

=θ (157)

式(151)における θs4Mj は，「曲げ変形とせん断変形（前編）」の表－2の(6)より，自由端に集中モーメ

ントを受ける片持ちばりにはせん断変形に伴う断面の回転角は生じないから θs4Mj = 0となる．

式(156)，(157)と θs4Fj = θs4Mj = 0を式(151)に代入すると，

12

12

44

2

4

2

4

4

=+

=+=

jj

jj

j

MEI

LF

EI

LEI

LM

EI

LFθ

(158)1,2


=

+

1

0

2

234

4

2

23

j

j

M

F

EI

L

EI

LEI

L

GA

L

EI

L κ

(159)

式(159)に対して Cramerの公式を適用して，F4jについて解けば，

+−=

22

4

121

6

GAL

EIL

EIF j κ

(160)


23


式(160)に式(104)，(106)を代入すると，

( ){ } 22

461216 LEJLEIF

j−=+−= λ (161)

式(159)に対して Cramerの公式を適用して，M4j について解けば，

+

+=

2

2

4

121

314

GAL

EIL

GAL

EIEI

M j κ

κ

(162)


式(162)に式(104)，(106)を代入すると，

( ) ( ){ } ( ) LEJLEIMj

λλλ 3141213144

+=++= (163)


jjiMLFM

444−−= (164)

jiFF

44−= (165)

式(164)に式(161)，(163)を代入すると，

( )

( )L

EJ

EJLL

EJ

L

EJLM

i

λ

λλ

612

1246314624

−=

−−=+−= (166)

式(165)に式(161)を代入すると， 2

46 LEJF

i= (167)

以上の 1～4系を総括すると，i 端で y 方向に作用する外力 Fi は，1系において i 端を単位たわみ vi = 1

だけ変位させるのに要した力F1i，2系において i端を単位回転角 θi = 1だけ回転させるのに要した力F2i，

3系において j 端を単位たわみ vj = 1だけ変位させるのに要した力 F3i，4系において j 端を単位回転角 θj

= 1だけ回転させるのに要した力 F4iの合計であるから，

11114321

4321

⋅+⋅+⋅+⋅=+++=

iiii

iiiii

FFFF

FFFFF (168)

式(168)において，各系の外力 F1i～F4i は各系の対応する変位 vi～θi を単位量移動もしくは回転させた

ときに i 端の y 軸方向外力に及ぼす影響を表しており，重ね合わせの原理が適用可能な線形構造物にあ

っては，任意量の変位を与えてもそれらの値は変化しない．よって，式(168)は各系の外力 F1i～F4iに対

応する変位 vi～θi（=1）を代入すると次のように表される．

jijiiiiiiFvFFvFF θθ ⋅+⋅+⋅+⋅=

4321 (169)

外力 Fj，外力モーメント Mi，Mj についても，式(169)と同様の関係が成立し，それらをマトリックス

－ベクトル表示すると，


24

=

j

j

i

i

jjjj

jjjj

iiii

iiii

j

j

i

i

v

v

MMMM

FFFF

MMMM

FFFF

M

F

M

F

θ

θ

4321

4321

4321

4321

(170)

式(170)の係数マトリックスに，式(107)，(109)，(112)，(113)，(125)，(127)，(130)，(131)，(143)，(145)，

(148)，(149)，(161)，(163)，(166)および(167)を代入すると，

( ) ( )

( )

+

−

−−+

−

=

j

j

i

i

j

j

i

i

v

v

L

EJsym

L

EJ

L

EJL

EJ

L

EJ

L

EJL

EJ

L

EJ

L

EJ

L

EJ

M

F

M

F

θ

θ

λ

λλ

314.

612

6126314

612612

23

2

2323

(171)

式(171)は，せん断変形の影響を考慮した両端 2節点平面はり要素の要素剛性方程式に他ならない．即

ち，式(171)の係数マトリックスは要素剛性マトリックス[k]を表している．

式(171)において，せん断剛性が大きく，せん断変形の影響を無視できる場合には，GA/κ→∞であるか

ら式(104)より，

02

→=∞→κ

κλGAGAL

EI (172)

式(172)より式(106)は

II

J →+

=→0121 λλ

(173)

式(172)，(173)の関係を式(171)の要素剛性マトリックスに代入すると，

[ ]

−

−

−

=→→

L

EIsym

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EI

k IJ

4.

612

264

612612

23

2

2323

,0λ (174)

式(174)はせん断変形を無視した両端 2節点平面はり要素の要素剛性マトリックス

1)に一致する．

【参考文献】

1) 崎元達郎：構造力学［第 2版］下－不静定編－，森北出版，2012.

2) R. K. Livesley：Matrix Methods of Structural Analysis，Pergamon Press Ltd.，1964.（山田嘉昭，川井忠

彦共訳，マトリックス構造解析入門，培風館，1968.）


25

【補足】【補足】【補足】【補足】

A1．．．．式式式式(43)の誘導の誘導の誘導の誘導

式(43)の誘導過程を以下に示す．

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

PbaEIbababa

GAbaba

GA

EIababaGAa

baEIabaGAa

PbaEIbababa

GAbaba

GA

baEIabababaGAa

babaEIababaGAa

PbaEIbaba

GAba

GA

baEIabaGAa

baEIabaGAa

baba

baEIbaGA

abGA

baPa

baEIbaGA

PaEIGAa

M R

+++−+++−−

++−+−−−−=

+++−+++−−

+++−++

−+−−+−

=

+++++−−

++++−−−−=

−+−

+++−

−−

+++

+−

=

1243

6262

1243

62

62

1243

6262

2

623

6262

222

22223

222222

2222

3

233222

2332

22223

22

3322

222

333

κκ

κκ

κκ

κ

κ

κκ

κκ

κκ

κκ

(A1.1)

式(A1.1)の最右辺を整理すると，

( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )abP

baEIbaGA

EIGA

ab

PbaEIbababa

GA

abEIGA

ba

PbaEIbababababa

GA

abaaEIabababaGAa

MR

+++

+=

+++++

+=

+++−+−+−+

+−++−+−=

12

62

122

62

12444363

62

3

22

22

2222

22222

2

κ

κ

κ

κ

κ

κ

(A1.2)

式(A1.2)の最右辺に L = a+b の関係を代入して整理すると，

PEIL

GA

EIGA

ab

L

ababP

LEILGA

EIGA

abM

R

12

32

12

62

23 +

+=

+

+=

κ

κ

κ

κ (43)


26

A2．式．式．式．式(44)の誘導の誘導の誘導の誘導


( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )P

baEIbababaGA

babaGA

EIaGAa

baGAa

PbaEIbababa

GAbaba

GA

baEIabaGAa

babaGAa

PbaEIbaba

GAba

GA

baEIabaGAa

abGAa

baba

baEIbaGA

abGA

Paba

PaEIGAa

abGA

QR

+++−+++−−

−−−=

+++−+++−−

+−+−+−=

+++++−−

+−+−−−=

−+−

+++−

−+−

+−−

=

1243

1243

1243

1243

1243

1243

2

623

2

623

222

32

222222

32

233222

322

2

22

3322

2

322

κκ

κκ

κκ

κκ

κκ

κκ

κκ

κκ

(A2.1)

式(A2.1)の最右辺を整理すると，

( )

( )( ) ( )

( )

( )( ) ( )

( )

( ) ( )P

baEIbaGA

EIabaGAa

PbaEIbababa

GA

EIabaGAa

PbaEIbababababa

GA

EIaabaGAa

QR

+++

++−=

+++++

−+−=

+++−+−+−+

−−−=

12

123

122

123

12444363

12433

3

2

22

2

2222

2

κ

κ

κ

κ

κ

κ

(A2.2)

式(A2.2)の最右辺に L = a+b の関係を代入して整理すると，

( ) ( )P

EILGA

EIbaaGA

L

aP

LEILGA

EIabaGAa

QR

12

123

12

123

23

2

+

++−=

+

++−=

κ

κ

κ

κ (44)



( )PP

EILGA

EIbaaGA

L

aQL +

+

++−=

12

123

2

κ

κ


27

( )

( )

( ){ }

( )

( ) ( )

( )P

EILGA

EIbabGA

L

b

PEIL

GAL

bEIba

L

GAb

PEIL

GAL

bEIbab

L

GA

PEIL

GAL

bEIbabbaabaa

L

GA

PEIL

GAL

bEIbabaa

L

GA

PEIL

GAL

aLEILbaa

L

GA

PEIL

GA

EILGA

EIL

aba

GA

L

a

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12

123

12

123

12

123

12

12333

12

123

12

123

12

12123

2

2

2

2

32

2

322323

2

323

2

323

2

22

+

++=

+

++=

+

++=

+

+++++−−=

+

+++−−=

+

−++−−=

+

++−+−=

κ

κ

κ

κ

κ

κ

κ

κ

κ

κ

κ

κ

κ

κκ

(46)



( )

( )

( )

( )

EILGA

EIbabGA

L

abP

EILGA

EIbabGA

L

abP

EILGA

EIbabGA

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ab

L

abP

PEIL

GA

EIbabGA

L

abP

EILGA

EIGA

ab

L

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12

6

12

6

12

12362

12

123

12

32

2

2

2

2

2

22

+

++−=

+

−+−=

+

−+−+=

+

++−

+

+=

κ

κ

κ

κ

κ

κκ

κ

κ

κ

κ

(A4.1)

式(A4.1)の最右辺に，L = a+b の関係を代入して整理すると，


28

EILGA

EIbLGA

L

abPM

RA

12

6

2 +

+−=

κ

κ (49)



( )

( )

( ) ( )

EILGA

EIbaaGA

PL

ab

EILGA

EIabaabGA

PL

ab

EILGA

EIabaGA

EIGA

abP

L

ab

PEIL

GA

EIbaaGA

L

abP

EILGA

EIGA

ab

L

abM RB

12

6

12

632

12

12362

12

123

12

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22

2

2

2

22

+

−+−=

+

−−−=

+

−+−+=

+

++−

+

+=

κ

κ

κ

κ

κ

κκ

κ

κ

κ

κ

(A5.1)

式(A5.1)の最右辺に，L = a+b の関係を代入して整理すると，

EILGA

EIaLGA

PL

abM

RB

12

6

2 +

+−=

κ

κ (53)



( )

( )

( )

( ) ( )2222

22

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22

2

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22

2

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6262

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62

62

6

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62

2

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+−+

++

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EIGAL

EIGAL

baEIGAL

baPabGA

EIGAL

EIGAL

EIGAL

EIGAL

EIGAL

ba

EIGAL

ba

PabGA

EIGAL

EIGAL

EIGAL

EIGAL

EIGAL

baPabGA

EIGAL

baPabGA

M

κκ

κκκ

κκ

κκ

κ

κ

κ

κκ

κκ

κκ

κκ


29

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++−=

+

++−=

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+

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+

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EIGALGAL

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PabGA

EIGALGAL

bEIaEIbGAL

PabGA

EIGAL

EIGAL

EIGAL

EIGAL

bEIbGAL

aEIaGAL

bEIbGAL

aEIaGAL

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12

6

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662

662

6122

124

62

22

2

22

2

2222

2222

1

κκ

κκ

κκ

κκ

κκκκ

κκκκ

κ

(A6.1)

式(A6.1)の最右辺に，a+b = L の関係を代入すると，

PEI

GAL

EIGAbL

L

ab

EIGALGAL

EIbGAL

PabGA

EIGALGAL

LEIbGAL

PabGAM

12

6

12

6

12

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222

2

1

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+

+−=

+

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κ

κ

κκ

κκ

κκ

κκ

(78)



( )

( )

( )

( ) ( )

( )

+

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+

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+−+

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+−+

++−

+−+

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PabGA

EIGALGAL

bEIaEIaGAL

PabGA

EIGAL

EIGAL

EIGAL

EIGAL

bEIbGAL

aEIaGAL

bEIbGAL

aEIaGAL

PabGA

EIGAL

EIGAL

baEIGAL

baEIGAL

PabGA

EIGAL

EIGAL

EIGAL

EIGAL

baEIGAL

baEIGAL

PabGA

EIGAL

EIGAL

EIGAL

EIGAL

baPabGA

EIGAL

baPabGA

EIGAL

M

12

6

123

18183

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662

122

662

124

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62

6

662

26

262

62

6

662

26

262

22

2

22

2

2222

2222

2222

22

22

22

2

2

22

22

2

2

2

κκ

κκ

κκ

κκ

κκκκ

κκκκκ

κκ

κκκ

κκ

κκ

κ

κ

κ

κκ

κκ

κκ

κκ

(A7.1)


30

式(A7.1)の最右辺に，a+b = L の関係を代入すると，

PEI

GAL

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L

ab

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PabGAM

12

6

12

6

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2

2

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κ

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(79)



( )

( )

( )( )

L

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EILGA

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EIGAL

P

L

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EIGAL

P

L

b

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baGA

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P

L

b

GAaLGAbLEI

GAL

a

L

EIGAL

P

L

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EIGAL

a

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P

L

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GAL

EIGAaL

L

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EIGAbL

L

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2

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2

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2

2

22

2

22

22

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++=

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+−

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κκ

κ

κκ

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κκκκ

κ

κ

κ

κ

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+

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+

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κκκκ

κ

κ

κ

κ

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L

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P

L

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b

L

EIGAL

P

L

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P

EIGAL

EIGAaL

L

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EIGAL

EIGAbL

L

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12

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12

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2

22

22


31

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( )

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P

L

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2

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κ

κ

κκ

κκ

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L

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GA

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L

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L

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2

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2

2

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2

2

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κ

(162)

Documents

曲げ変形とせん断変形（曲げ変形とせん断変形（中 中中中編 …miyoshi/str_eng/Theme04/...技術者のための構造力学 20150605 2 は，変形後のはりの断面とはり軸が直角に交わるため，たわ

曲げ変形とせん断変形（曲げ変形とせん断変形（中中中中編 …miyoshi/str_eng/Theme04/...技術者のための構造力学 20150605 2 は，変形後のはりの断面とはり軸が直角に交わるため，たわ