оповiдi НАЦIОНАЛЬНОЇ 10 2015 АКАДЕМIЇ НАУК · Рис. 1. Незамкнена сферична оболонка де An, Bn — довiльнi сталi,

оповiдiНАЦIОНАЛЬНОЇАКАДЕМIЇ НАУКУКРАЇНИ

10 • 2015

МЕХАНIКА

УДК 539.3

Г.В. Тонкошкур

Особливостi розподiлу механiчних полiв у пружномусередовищi з тонким жорстким включенням у формiнезамкненої сферичної оболонки(Представлено академiком НАН України В.Т. Грiнченком)

Розглядається метод дослiдження механiчних полiв у просторовiй задачi теорiї пру-жностi з тонким жорстким сферичним включенням довiльного кута розхилу та ана-логiчної задачi гiдромеханiки для обтiкання вказаного включення стоксовою рiдиною.

Ключовi слова: теорiя пружностi, незамкнене сферичне включення, рiдина Стокса.

Постановка задачi. Розглядається осесиметрична задача про рiвновагу пружного просто-ру з тонким жорстким включенням у формi сферичної незамкненої оболонки довiльногокута розхилу (рис. 1). Загальний розв’язок цiєї задачi, побудований iз застосуванням ме-тоду власних вектор-функцiй, подано в роботi [1]. Використання аналогiчного пiдходу дляпобудови розв’язку задачi про повiльне обтiкання такої оболонки в’язкою рiдиною Стоксаобгрунтовано в [2].

Радiальнi, тангенцiальнi перемiщення та напруження внутрiшньої задачi наводятьсяу виглядi рядiв

2µU (1)r (r, ϑ) =

∞∑n=0

[nAnrn+1 +Bnr

n−1]Pn(cosϑ),

2µU(1)ϑ (r, ϑ) =

∞∑n=1

[n(n+ 3)Anrn+1 + (n+ 1)Bnr

n−1]P

(1)n (cosϑ)

n(n+ 1),

σ(1)r (r, ϑ) =∞∑n=0

[(n(n− 1)− 3)Anrn + (n− 1)Bnr

n−2]Pn(cosϑ),

τ(1)rϑ (r, ϑ) =

∞∑n=1

[n((n− 1)(n+ 3) + 3)Anrn + (n2 − 1)Bnr

n−2]P

(1)n (cosϑ)

n(n+ 1),

(1)

© Г.В. Тонкошкур, 2015

32 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №10

Рис. 1. Незамкнена сферична оболонка

де An, Bn — довiльнi сталi, якi визначаються з граничних умов. Розв’язок зовнiшньої задачiотримується iз наведених вище формул замiною n на −(n+1) i, послiдовно, A−n−1 на −Cn,B−n−1 на −Dn, P (0,1)

−n−1(cosϑ) на P (0,1)n (cosϑ).

Вказанi розв’язки повиннi задовольняти умови неперервностi внутрiшнього i зовнiшньо-го полiв перемiщень i напружень (iндекси 1 i 2) поза незамкненою сферичною оболонкоюдовiльного кута розхилу (r = r0, α < ϑ 6 π)

U (1)r = U (2)

r , U(1)ϑ = U

(2)ϑ , σ(1)r = σ(2)r , τ

(1)rϑ = τ

(2)rϑ

(2)

та граничнi умови на поверхнi жорсткого включення (r = r0, 0 6 ϑ 6 α)

U (1)r = U (2)

r = cosϑV0, U(1)ϑ = U

(2)ϑ = − sinϑV0,

σ(ϑ) = σ(1)r − σ(2)r =

∞∑n=0

2n+ 1

2pnPn(cosϑ),

τ(ϑ) = τ(1)rϑ − τ

(2)rϑ =

∞∑n=1

2n+ 1

2qnP

(1)n (cosϑ)

n(n+ 1), (3)

де pn, qn — щiльностi в розкладах за полiномами Лежандра невiдомих стрибкiв радiальнихi тангенцiальних напружень на поверхнi незамкненої сферичної оболонки

pn =

α∫0

σ(ξ)Pn(cos ξ) sin ξdξ, qn =

α∫0

τ(ξ)P (1)n (cos ξ) sin ξdξ. (4)

Побудова точного розв’язку задачi. Для побудови точного розв’язку спочатку дорозгляду вводяться зображення вiд невiдомих стрибкiв напружень у виглядi iнтегралiвАбеля, а полiноми Лежандра подаються через iнтегральнi зображення Мелєра–Дiрiхле.

ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №10 33

Подальшi доволi громiздкi перетворення дозволяють звести запис граничних умов до сис-теми парних iнтегральних рiвнянь Фредгольма другого роду [3]. Шляхом послiдовного ди-ференцiювання цих рiвнянь вдалося iстотно спростити цю систему та знайти сталi вихiднихпредставлень загального розв’язку (1)

Anrn0 = −A n+ 1

4(2n+ 1)(2n+ 3)

{− sin(n− 1)α+ (5n+ 1)

sin(n+ 2)α

n+ 2+

+ [3(2n+ 1) + n(2 cosα− 1)]sinnα

n+ [3(2n+ 1)− n(2 cosα− 1)]

sin(n+ 1)α

n+ 1

},

Bnrn−20 = A

n(n+ 1)

4(2n− 1)(2n+ 1)

{−(n− 7)

sin(n− 1)α

n− 1+ 5(n− 1)

sin(n+ 2)α

n+ 2+

+ [3(2n+ 1) + (n− 2)(2 cosα− 1)]sinnα

n+ [3(2n+ 1)− (n− 2)(2 cosα− 1)]×

× sin(n+ 1)α

n+ 1

}.

(5)

Коефiцiєнти зовнiшньої задачi легко знаходяться з граничних умов (2).Виходячи з аналогiї окремих задач теорiї пружностi i гiдромеханiки cтоксової рiдини [2],

за цими формулами виконано числовi розрахунки розподiлу швидкостей усерединi оболон-ки для рiзних значень кута розхилу. Основна увага придiлялась вiдшуканню точок стагнацiїi так званого кiльця стагнацiї, тобто кола, у точках якого перемiщення дорiвнюють заданимза умовою задачi перемiщенням сферичного включення. Було виявлено певнi закономiрно-стi обтiкання незамкненої сферичної оболонки стокcовою рiдиною. Для будь-яких кутiврозхилу, крiм випадку пiвсфери, як видно з табл. 1, радiальнi швидкостi всерединi оболон-ки U (1)

r досягають максимуму в точцi на осi симетрiї, яка завжди знаходиться ближче доцентра сфери, нiж центр кiльця стагнацiї. А центр кiльця стагнацiї завжди лежить ближчедо центра сфери, нiж центр кола обода незамкненої оболонки.

Частинний випадок пiвсферичної оболонки. Оскiльки особливий iнтерес у прикла-дних задачах становить пiвсферична оболонка, то випадок α = π/2 розглянемо бiльш де-тально. Сталi An, Bn (5), а також Cn, Dn зводяться до простих дробово-рацiональних вира-

Таблиця 1. Особливостi розподiлу внутрiшнього поля швидкостей при обтiканнi незамкненої сферичноїоболонки з кутами розхилу αn, кратними n(π/12)

Кутрозхилуоболонки

Точкастагнацiї

на осi

Радiускiльця

стагнацiї

Куткiльця

стагнацiї

Центркiльця

стагнацiї

Точкимаксимумушвидкостi

Максимальнiзначенняшвидкостi

1 0,91839 0,96825 0,17735 0,95306 0,94581 1,001782 0,72392 0,90008 0,38658 0,83366 0,81640 1,007933 0,46598 0,82032 0,63210 0,66182 0,64070 1,016044 0,18175 0,74957 0,91805 0,45527 0,43721 1,023565 −0,09911 0,70277 1,23747 0,22994 0,21995 1,028716 −0,35466 0,68712 π/2 0 0 1,030527 −0,57092 0,70092 1,89404 −0,22264 −0,21376 1,028748 −0,74115 0,73687 2,19168 −0,42868 −0,41432 1,023819 −0,86456 0,78717 2,46038 −0,61148 −0,59636 1,0167210 −0,94462 0,84705 2,70413 −0,76728 −0,75604 1,0090211 −0,98738 0,91607 2,92910 −0,89547 −0,89096 1,00267


зiв [3]. Розподiл складових поля швидкостей знаходиться в замкненому виглядi для деякихчастинних випадкiв, зокрема, в екваторiальнiй площинi пiвсферичної оболонки ϑ = α = π/2

U (1)r ≡ 0, U

(1)ϑ = −

[1

2+

1

4π

(3 +

1

q2

)arcsin q

q+

1

4π

(3− 1

q2

)√1− q2

]V0,

U (2)r = − 1

2π

√q2 − 1

q3V0, U

(2)ϑ = −

{1

8q

(3 +

1

q2

)+

1

πarcsin

1

q

}V0,

(6)

що збiгається з результатами [4], а також на осi симетрiї пiвсфери ϑ = {0, π}

U (1)r

∣∣∣∣ϑ={0π}

=

{1

π

[arctan q − q

1 + q2

]± 1

2π

[π +

1

q2+

(3− 1

q2

)arctan q

q

]}V0,

U (2)r

∣∣∣∣ϑ={0π}

=

{1

2π

[− 1

q2+

(3− 1

q2

)1

qarctan

(1

q

)]±

± 1

π

[π

4q

(3− 1

q2

)+

q

1 + q2+ arctan

(1

q

)]}V0,

(7)

де q = r/r0. За наведеними формулами легко визначається геометричне положення кiльцястагнацiї q = 0,68712, ϑ = π/2, що лежить в екваторiальнiй площинi пiвсферичної оболонки,i точка стагнацiї q = 0,35466, ϑ = π, яка знаходиться на осi симетрiї. Радiальнi швидкостiвздовж осi симетрiї досягають максимуму в центрi пiвсфери U (1)

r (0, 0) = (1/2 + 5/3π)V0 == 1,0305V0, що збiгається з [4].

Функцiї течiї. У сферичних координатах компоненти поля швидкостей простим чиномпов’язанi з частинними похiдними вiд функцiї течiї. Враховуючи зв’язок мiж полiномамиЛежандра та їх диференцiалами, функцiя течiї у внутрiшнiй та зовнiшнiй областях пода-ється у виглядi

ψ(1)(r, ϑ) = − 1

2µsinϑ

∞∑n=1

[nAnrn+3 +Bnr

n+1]P

(1)n (cosϑ)

n(n+ 1),

ψ(2)(r, ϑ) = − 1

2µsinϑ

∞∑n=1

[(n+ 1)Cnr−n+2 −Dnr

−n]P

(1)n (cosϑ)

n(n+ 1).

(8)

На рис. 2 зображено розподiл лiнiй течiї при обтiканнi сферичних оболонок з кутамирозхилу α = π/3, α = π/2, α = 2π/3. У вершинi сферичної оболонки лiнiя течiї ψ̂ = 0розгалужується на двi гiлки, одна з яких збiгається з вiссю симетрiї, а частина другої —з поверхнею оболонки. Обидвi гiлки замикаються на осi симетрiї у точцi стагнацiї.

Сила опору, що чинить в’язка рiдина руховi сферичної оболонки, визначається так:

F

8πµ= lim

r→∞

ψ(2)

r sin2 ϑ=C1

2µ=

1

4π

(3α+ 4 sinα+

1

2sin 2α

)V0r0, (9)

що збiгається з вiдомим результатом [5, 6]. Аналiзуючи поле швидкостей на нескiнченностi,легко переконатись у тому, що головний член асимптотики точно збiгається з розв’язкомзадачi Кельвiна про зосереджену силу в пружному просторi, тому

U (2)r

∣∣r→∞ ≃ 2 cosϑ

r

C1

2µ, U

(2)ϑ

∣∣r→∞ ≃ −sinϑ

r

C1

2µ. (10)


Рис. 2. Розподiл лiнiй течiї

Рис. 3. Лiнiї рiвного тиску

Поле тиску. Враховуючи згадувану аналогiю мiж просторовими задачами теорiї пру-жностi та мiшаними задачами для в’язкої рiдини Стокса [2], тиск може бути знайдений iззiставлення рiвнянь Ламе i Нав’є-Стокса i виражається

p(r, ϑ)

µ= −2(m− 1)

m− 2div U⃗, (11)

де m — число Пуассона. Для знаходження тиску спочатку обчислюємо дивергенцiю вiдкомпонентiв перемiщень, виходячи з їх запису для загального випадку стисливої рiдини(m ̸= 2). Покладаючи в остаточних виразах m = 2, знайдемо

p(1)(r, ϑ) =

∞∑n=0

(2n+ 3)AnrnPn(cosϑ). (12)

Аналогiчно будується розв’язок для розподiлу тиску p(2) в зовнiшнiй задачi.На рис. 3 наведено лiнiї рiвного тиску для сферичних оболонок з кутами розхилу α =

= π/4, α = π/2, α = 3π/4. Попереду рухомої оболонки рiдина стискається (p > 0), а позадута всерединi незамкненої сферичної оболонки вiдбувається розтяг в’язкої рiдини (p < 0).


Рис. 4. Локальна система координат на границi оболонки

Зауважимо, що для довiльного кута розхилу на границi оболонки r = r0, ϑ = α тискp → −∞. Лiнiя p = 0 вiдображає миттєве положення частинок рiдини, на якi не дiютьсили розтягу–стиску.

Особливостi розподiлу механiчних полiв поблизу граничного кола тонко-го жорсткого включення. Переходячи до локальної полярної системи координат ρ, γ(рис. 4), знаходимо асимптотики степеневих рядiв за полiномами Лежандра [7]. В представ-леннях у сферичнiй системi координат компонентiв перемiщень та напружень здiйснюємоiнтегрування по частинах з видiленням неiнтегрального доданка, який є на порядок бiль-шим за iнтегральний. Перепроектувавши отриманi в [7] вирази на осi локальної полярноїсистеми координат ρ, γ (див. рис. 4), знаходимо такi асимптотичнi формули:

2µUρ

r0≃ 1

2

√s

2 sinα

[−φ(α) sin γ cos γ

2+ ψ̃(α)(1− 3 cos γ) cos

γ

2

],

2µU

(2)γ

r0≃ 1

2

√s

2 sinα

[−φ(α)(1 + cos γ) cos

γ

2+ ψ̃(α)3 sin γ cos

γ

2

],

σρ ≃ 1

4√2s sinα

[−φ(α)(3 + cos γ) sin

γ

2− ψ̃(α)(1 + 3 cos γ) cos

γ

2

],

σγ ≃ 1

4√2s sinα

[−φ(α)(1− cos γ) sin

γ

2− ψ̃(α)3 sin γ sin

γ

2

],

τργ ≃ 1

4√2s sinα

[φ(α) sin γ sin

γ

2+ ψ̃(α)(1 + 3 cos γ) sin

γ

2

],

(13)

де φ(α), ψ̃(α) — вiдомi полiномiально-тригонометричнi функцiї. Отриманий результат точнозбiгається з вiдомим розподiлом перемiщень та напружень в околi границi тонкої жорсткоїнапiвнескiнченної пластини у виглядi пiвплощини в пружному середовищi.


Аналогiчним чином можна одержати асимптотики й iнших характеристик поблизу гра-ничного кола оболонки. Так, для функцiї тиску у зовнiшнiй областi (r > r0) маємо

p

µ≃ 2

√2√

s sinα

V0r0

cos2α

2sin

γ − α

2. (14)

Отже, область стиску рiдини визначається областю додатних значень тиску, що вiдповiдаєтiй частинi зовнiшньої областi, яка знаходиться попереду площини граничного кола обо-лонки (γ > α), що рухається у в’язкiй рiдинi в осьовому напрямку. Тиск набуває вiд’ємнихзначень (розтяг в’язкої нестисливої рiдини) у внутрiшнiй областi та в частинi зовнiшньої об-ластi, яка лежить позаду площини граничного кола оболонки (γ < α). Лiнiя γ = α визначаємиттєве положення частинок рiдини, на якi не дiють сили розтягу–стиску.

Наведене в роботi [7] представлення для функцiї течiї в зовнiшнiй областi (r > r0)дозволяє вiдшукати асимптотичне значення

ψ(2) ≃ −sinϑ

2µr30

s3/2√2 sinα

2 cos2γ

2

[φ(α)

1

3cos

γ

2− ψ̃(α) sin

γ

2

]. (15)

Пiсля пiдстановки вiдомих розв’язкiв для φ(α), ψ̃(α) помiчаємо, що функцiя течiї набуваєнульових значень ψ(2) = 0 поблизу граничного кола незамкненої сферичної оболонки то-дi, коли γ = ±π, що визначає, вiдповiдно, зовнiшнiй та внутрiшнiй контури оболонки, тау випадку

tgγ

2= −1

3ctg

α

2, (16)

що збiгається з отриманим ранiше результатом [1].Таким чином, побудовано завершений аналiтичний розв’язок складної мiшаної задачi

теорiї пружностi для жорсткого сферичного включення довiльного кута розхилу. На основiвiдомої аналогiї мiж просторовими задачами теорiї пружностi i задачами гiдромеханiкипро рух тонких оболонок у в’язкiй нестисливiй рiдинi Стокса встановлено якiсно подiбнiвагомi особливостi розподiлiв полiв швидкостей, тиску i характеристик напруженого станув пружному середовищi тiла з незамкненим сферичним включенням. Одержанi результатиможуть бути корисними при розрахунках елементiв конструкцiй, що включають складовiз суттєво вiдмiнними механiчними характеристиками.

Цитована лiтература

1. Улитко А.Ф. Метод собственных векторных функций в пространственных задачах теории упруго-сти. – Киев: Наук. думка. – 1979. – 264 с.

2. Ulitko A. F. On the Stokes flows in the vicinity of torus lens and spindle-shaped body // ZAMM., Z.Angew. Math. Mech. – Berlin. – 1997. – No 77. – P. 349–350.

3. Улiтко А.Ф., Тонкошкур Г.В. Про деякi особливостi обтiкання тонкої жорсткої незамкненої сфери-чної оболонки в’язкою рiдиною Стокса // Вiсн. Київ. ун-ту. Сер. Математика, механiка. – 1998. –№ 1. – С. 59–66.

4. Dorrepaal J.M., O’Neill M. E., Ranger K.B. Axisymmetric Stokes flow past a spherical cap // J. FluidMech. – 1976. – 75. – P. 273–286.

5. Collins W.D. A note on the axisymmetric Stokes flow of viscous fluid past a spherical cap // Mathematika. –1963. – 10. – P. 72–79.

6. Payne L. E., Pell W.H. The Stokes flow problem for a class of axially symmetric bodies // J. Fluid Mech. –1960. – 7. – P. 529–549.


7. Тонкошкур Г.В. Особливостi розподiлу механiчних полiв в пружному середовищi поблизу граничногокола тонкого жорсткого включення у виглядi незамкненої сферичної оболонки // Вiсн. Київ. ун-ту.Сер. Фiз.-мат. науки. – 1999. – № 2. – С. 164–169.

References

1. Ulitko A. F. Vector eigenfunctions method in the three-dimensional problems of the elasticity theory, Кyiv:Naukova Dumka, 1979 (in Russian).

2. Ulitko A. F. ZAMM., Z. Angew. Math. Mech., Berlin, 1997, No 77: 349–350.3. Ulitko A. F. Tonkoshkur H.V. Bulletin of Kyiv University, Ser. Mathematics & Mechanics, 1998, No 1:

59–66 (in Ukrainian).4. Dorrepaal J.M., O’Neill M. E., Ranger K.B. J. Fluid Mech., 1976., 75: 273–286.5. Collins W.D. Mathematika, 1963, 10: 72–79.6. Payne L. E., Pell W.H. J. Fluid Mech., 1960, 7: 529–549.7. Tonkoshkur H.V. Bulletin of Kyiv University, Ser. Physics & Mathematics Sciences, 1999, No 2: 164–169

(in Ukrainian).

Надiйшло до редакцiї 03.04.2015Київський нацiональний унiверситетiм. Тараса Шевченка

Г.В. Тонкошкур

Особенности распределения механических полей в упругой средес тонким жестким включением в форме незамкнутой сферическойоболочки

Киевский национальный университет им. Тараса Шевченко

Рассматривается метод исследования механических полей в пространственной задаче тео-рии упругости с тонким жестким сферическим включением произвольного угла раскрытияи в аналогичной задаче гидромеханики для обтекания указанного включения стоксовой жид-костью.

Ключевые слова: теория упругости, незамкнутое сферическое включение, жидкостьСтокса.

H.V. Tonkoshkur

On singularities of the distribution of mechanical fields in the elasticmedium with a thin rigid insertion in the form of an unclosed sphericalshell

Taras Shevchenko National University of Kiev

The method of investigation of mechanical fields in the spatial problem of elasticity theory with athin rigid insertion of an arbitrary apex angle and in a similar problem of hydromechanics for theStokes flow past such an insertion is considered.

Keywords: theory of elasticity, opened spherical insertion, Stokes flow.


Documents

оповiдi НАЦIОНАЛЬНОЇ 10 2015 АКАДЕМIЇ НАУК · Рис. 1. Незамкнена сферична оболонка де An, Bn — довiльнi сталi,