II

LES EQUILIBRES

LIMITES

1) Définitions

Les équilibres limites (E.L.) permettent de déterminer les

contraintes dans les zones où le sol a été amené à la rupture.

En tous points de ces zones, l’état de contrainte peut être

représenté par un cercle de Mohr à la rupture qui est tangent aux

droites intrinsèques.

Les théories des E.L. sont relatives aux contraintes effectives.

On distingue 2 types d’E.L.

L’équilibre de POUSSEE ou état ACTIF qui correspond à l’action du sol sur l’ouvrage

L’équilibre de BUTEE ou état PASSIF qui correspond à l’action de l’ouvrage sur le sol

2) L’état de contrainte des terres au repos

En l’absence d’actions extérieures, il existe un état de contrainte initial dans le sol qui est appelé « état de contrainte au repos ».

Cas du massif à surface libre horizontale 

’v

’Ho

’v : contrainte effective principale majeure

’Ho : contrainte principale mineure dépendant de l’histoire

du sol.

Représentation de Mohr

On dit que l’équilibre est surabondant.

’

’

Dr.Intr.

’Ho

’v

Ko : coefficient des terres au repos

’Ho = Ko.’v

Expérimentalement on montre que :

Sables Ko = 0,4 à 0,5

Argiles Ko = 0,5 à 0,7

Argiles molles et vases Ko = 1

Ce paramètre étant difficile à mesurer, on prend pour la plupart des sols

Formule empirique de JAKY (pour les milieux granulaires)

Ko = 0,5

Ko = 1 – sin’

3) Etude expérimentale des E.L.

écran

déplacement de l’écran

sable H

ButéePoussée

Force

Force

déplacementdéplacement

Ko

H/1000

Fa

poussée

H/100

Fp

butée

4) Equilibres de RANKINE

La diminution de ’Ho va conduire le sol à un E.L. de Poussée.

’Ho’H1

Cercle de poussée

On peut ainsi calculer ’H1 à la rupture

L’augmentation de ’Ho va conduire le sol à un E.L. de Butée.

’Ho

’H2

Cercle de butée

Pour les sols pulvérulents (c’ = 0) et pour un terrain horizontal, les contraintes sont liées par les relations suivantes :

En poussée :

En butée :

avec Ka : coefficient de poussée

avec Kp : coefficient de butée

Comme ’V = .h (pour un sol homogène), ’H varie linéairement avec la profondeur.

= Ka.’V VH '.'sin1

'sin1' 1

VH '.'sin1

'sin1' 2

= Kp.’V

Pour les sols pulvérulents et cohérents et pour un terrain horizontal, les contraintes sont liées par les relations suivantes :

En poussée :

En butée :

'sin1

'cos'2'.

'sin1

'sin1' 1

cVH

'sin1

'cos'2'.

'sin1

'sin1' 2

cVH

Terrain horizontal : v = .h

5) Cas des sols purement cohérent - Court terme

H2

v

H1

Cu

En poussée :

En butée :

Ha = v – 2Cu = .z – 2Cu

Hp = v + 2Cu = .z + 2Cu

Le sol est en traction sur une certaine profondeur

Attention : il s’agit ici de contraintes totales, est le poids volumique apparent, généralement sat.

Remarques concernant la théorie de Rankine

-Cette théorie existe également pour la butée, mais elle est peu utilisée.

- la théorie de Rankine n’est pas bien adaptée pour les écrans réels qui imposent une orientation des contraintes .

Sols pulvérulents : c’ = 0

Elle s’applique à la poussée et à la butée.

Hypothèses :

6) Théorie générale de Boussinesq (1882)

Cette théorie donne la répartition des contraintes effectives sur un plan réel dans le sol (paroi B.A., palplanche…).

Répartition des contraintes linéaires

On connaît l’état de rugosité de la paroi (inclinaison ).

Sol (’)

a

ea

r

ep

p

Ecran réel

Expression des contraintes :

valeurs usuelles de  :

Les coefficients ka et kp sont donnés par les tables de

Caquot et Kérisel.

Poussée : eaka..r (inclinaison a positive )

Butée : epkp..r (inclinaison p négative)

Paroi lisse : = 0 (ex : palplanches)

Paroi rugueuse : = ’ (ex : paroi coulée)

Paroi B.A. : = 0,66.’ (ex : paroi banchée)

Forces résultantes :

En poussée :

En butée :

L : longueur de l’écran

2..2

1LkF aa

2..2

1LkF pp

Attention :

• Ces forces résultent de l’application des contraintes effectives sur l’écran.

• Pour les sols humides, correspond au poids volumique apparent du sol.

• En présence d’une nappe, il faut prendre en compte le poids volumique déjaugé du sol ’.

Surcharge uniforme verticale

7) Actions des surcharges - Théorie de Prandtl

q

eaq

Sol : = 0c’ = 0’

Poussée

La répartition des contraintes est uniforme :

eaq = kaq.q ( inclinaison )

Force résultante : (longueur de l’écran L)

Faq = kaq.q.L

cos

aaq

kkavec:

8) Les E.L. et le calcul des soutènements

Sol (, ’)

Faka..L²

Faqkaq.q.L

q

Poids du mur