II LEZIONECastelmaggiore 11 marzo 2014

La logica dei predicati

Principi fondamentali della logica classica

• Principio di identità : da ogni affermazione segue se stessa

• Principio di non contraddizione: una affermazione e la sua negazione non possono essere vere contemporaneamente

• Principio del terzo escluso : o una affermazione è vera o lo è la sua negazione

• Ex falso quodlibet : dal falso segue tutto

Leggi delle inverse

• Diretta : A→B • Es. se Tizio ha assassinato Caio allora è passato per vicolo Oscuro

• Inversa : B→A ottenuta scambiando tra loro antecedente e conseguente

• Es.se Tizio è passato per vicolo oscuro allora ha assassinato Caio

• Contraria: ¬A→¬B ottenuta negando antecedente e conseguente

• Es. se Tizio non ha assassinato Caio allora non è passato per vicolo Oscuro

• Contro nominale: ¬B→¬A ottenuta invertendo la inversa

• Es. Se Tizio non è passato per vicolo Oscuro allora Tizio non ha assassinato Caio

Legge delle inverse

• 1° legge delle inverse :• se è vera la diretta è vera la contro nominale• se è vera l’inversa è vera la contraria• 2° legge delle inverse• Se sopra ad un determinato soggetto ipotesi Hº……H

che esauriscono tutti i casi possibili e queste ipotesi trattate separatamente implicano rispettivamente tesi Tº……T che si escludono a vicenda cioè :

• Hº → Tº ….H→Tallora sono valide le inverse delle implicazioni stabilite cioè : T º→ Hº…..T → H.

Logica dei predicati

• La logica che abbiamo visto la scorsa lezione si occupa delle proposizioni ( o enunciati) intese come blocchi unici , cioè senza analizzare la loro “struttura interna”

• Es. Parigi è in Francia proposizione riferita ad un unico soggetto ( Parigi )al quale viene attribuita una certa proprietà (quella di trovarsi in Francia )

• Es.Tutti i quadrati hanno quattro lati proposizione con più soggetti ( tutti i quadrati ) e a ciascuno di essi viene attribuita una certa proprietà( hanno quattro lati )

Logica dei predicati

• L’insieme dei concetti e dei procedimenti che ci consentono di esaminare la struttura interna di un enunciato formano la logica dei predicati o calcolo dei predicati.

• La logica dei predicati contiene come parte propria la logica degli enunciati

Quantificatori

• I quantificatori come tutti» «alcuni» che, a differenza dei connettivi della logica proposizionale, esprimono relazioni tra insiemi e non tra proposizioni.

• Si tratta dunque di una forma di ragionamento non proposizionale.

Quantificatori

• Sono quattro gli enunciati di base in cui vengono usati i quantificatori «tutti» e «alcuni» e le loro rispettive negazioni «nessuno» «alcuni… non», e sono quattro gli enunciati che si possono costruire applicando tali quantificatori a due insiemi A e B, come schematizzato nel seguente «quadrato delle opposizioni»:

•  •  • Universale affermativa (A) = Tutti gli A sono B.• Universale negativa (E) = Nessun A è B. • Particolare affermativa (I) = Alcuni A sono B.• Particolare negativa (O) = Alcuni A non sono B.•  

I esempio

• Se è vero che “ tutti gli intellettuali sono interlocutori noiosi” sarà necessariamente VERA anche UNA delle affermazioni seguenti :a)Tutti gli interlocutori sono intellettuali noiosi b)Nessun interlocutore noioso è intellettualec)È falso che alcuni intellettuali non siano noiosi d)Tutti i noiosi sono intellettuali

e)Tutti gli interlocutori sono noiosi

II esempio

Se è vero che “ non tutti i mali vengono per nuocere “ sarà necessariamente VERA anche UNA delle seguenti affermazioni:

a)Nessun male nuoce

b)Se non vengono per nuocere non sono mali

c)Quelli che nuocciono non sono mali

d)Se sono mali non vengono per nuocere

e)Qualche male non viene per nuocere.

III esempio

• A quale delle seguenti affermazioni equivale la frase : “ non tutti i miopi portano gli occhiali”

• a)nessun miope porta gli occhiali• b)tutti i miopi portano gli occhiali• c)non vi è un miope che non porti gli occhiali• d)tutti i miopi evitano di portare gli occhiali• e)C’è almeno un miope che non porta gli occhiali

Negazione

• La negazione • Negare una affermazione sembra molto

semplice ma può presentare delle difficoltà. esempio :

• la negazione di “ Antonio è alto “ non è “ Antonio è basso “ma“ Antonio non è alto “

• la negazione di “ Nego l’impossibilità di andare su Giove “ è “ su Giove non si può andare “

• la negazione di “ non esco mai “ non è “ esco sempre “ ma “ A volte esco “

Negazione

• La negazione di “ per ogni x , p(x) è vera “ è “esiste almeno un x per cui p(x) è falsa”

• La negazione di “ esiste almeno un y, q(y) è vera “ è “ per ogni y , q(y) è falsa

IV Esempio

• Quale delle seguenti affermazioni è la negazione di Tutti i numeri perfetti sono pari ( non è necessario

sapere che cosa è un numero perfetto ma per vostra ardente curiosità vi dirò che un numero perfetto è un numero uguale alla somma dei suoi divisori propri compreso l’uno ed escluso se stesso : es

6= 1+2+3, sono numeri perfetti : 6.28, 496…..)a)tutti i numeri perfetti sono disparib)almeno un numero perfetto è disparic)almeno un numero pari non è perfettod)nessun numero pari è perfettoe)nessun numero dispari è perfetto

V esempio

• La seguente proposizione “ in ogni scuola c’è almeno una classe in cui sono tutti promossi “ diventa falsa quando:

A)in ogni scuola c’è almeno una classe in cui sono tutti bocciati

B)in ogni scuola c’è almeno un bocciato in tutte le classi C)c’è almeno una scuola che ha almeno un bocciato in

ogni classe D)c’è almeno una scuola che ha dei promossi in ogni

classe E)c’è almeno una scuola in cui c’è una classe che ha

almeno un bocciato

Analisi V esempio

• Risolviamo per passaggi successivi• Non ( in ogni scuola c’è almeno una classe in cui

sono tutti promossi) = • c’è almeno una scuola in cui non (c’è almeno

una classe in cui sono tutti promossi )=• c’è almeno una scuola in cui ogni classe non

( sono tutti promossi ) =• c’è almeno una scuola in cui in ogni classe c’è

almeno un bocciato

VI esempio

• Alessandro afferma : Se Rossi parte in pole position arriva primo “

Quale delle seguenti proposizioni è la NEGAZIONE di quella di Alessandro?

a)Se Rossi non parte in pole position non vinceb)Rossi può non vincere anche se parte in pole positionc)Rossi non vince mai ogni volta che parte in pole positiond)Rossi può non partire in pole position e non vinceree)Rossi può arrivare primo anche se non parte in pole

position

VII esempio• Francesca afferma che “ tutti gli studenti di ingegneria

biomedica hanno partecipato almeno una volta al test di Medicina”. Sapendo che l’affermazione di Francesca è falsa , determinare quale delle seguenti situazioni è sicuramente verificata :

a)Almeno uno studente che ha partecipato al test di medicina non si è iscritto a ingegneria biomedica

b)nessuno studente di ingegneria biomedica ha mai partecipato al test di medicina

c)Almeno uno studente di ing.biomedica ha partecipato al test di medicina

d)almeno uno studente di ing biomedica non ha mai partecipato al test di medicina.

e)almeno uno studente di ing.biomedica ha superato il test di medicina

VIII esempio

• Negare che “ ogni gatto miagola “equivale a dire:

• A) C’è un gatto che non miagola

• B)Se non miagola non è un gatto

• C) C’è un gatto che miagola

• D)Ogni gatto non miagola

• E) nessun gatto miagola

I X esempio

• Un grande teorico dei numeri ha scoperto i numeri troppobelli,e, avendo osservato che tutti quelli che ha scoperto sono pari, deduce che esistono solo numeri troppobelli pari.

Un suo allievo afferma che questa congettura è falsa, quindi l’allievo sostiene:

a) C’è almeno un numero pari che non è troppobello

b) Nessun numero pari è troppobello

c) c’è almeno un numero troppobello dispari

d) Esiste almeno un numero troppobello che non è pari

e) Tutti i numeri troppobelli sono dispari.

X esempio

• C’è una casa con almeno due porte; si consideri l’affermazione: esiste una chiave che apre tutte le porte di casa ma non quella della cantina.

Indicare quale tra le seguenti frasi costituisce la negazione della affermazione riportata sopra:

A)Per ogni chiave esiste una porta diversa dalla cantina che viene aperta dalla chiave o apre solo la porta di cantina

B)Esiste una chiave che apre tutte le porte compresa quella di cantina

C)Esiste una chiave che non apre nessuna porta se non quella di cantina

D)Nessuna chiave apre tutte le porte

E) Per ogni chiave esiste una porta che non è quella della cantina che viene aperta da quella chiave

XI esempio

(test ammissione al collegio superiore S Anna )• Massimo ha previsto che “ per ogni domanda di questo test, ci

sarà almeno una risposta sbagliata”.In quale dei seguenti casi la previsione è sicuramente azzeccata?

A) Se c’è una domanda che sbagliano tutti

B) Se ogni studente sbaglia almeno una risposta

C) Se tutti gli studenti sbagliano la risposta a questa domanda

D) Se c’è uno studente che sbaglia tutte le risposte

XII esempio

• La frase “non c’è alcuna persona che parli bene l’inglese” è falsa.

Questo significa che :

A ) Almeno una persona tra noi parla bene l’inglese

B) Nessuno parla bene l’inglese

C) Tutti parlano bene l’inglese

D)Una sola persona tra noi parla bene l’inglese

E)Pur non essendo inglesi non parliamo bene la lingua.