II-MapasBidimensionais

Referência:Chaos,K.Alligood,T.D.Sauer,J.A.Yorke;Springer(1997).

1-NovasCaracterísMcasDinâmicas

•  Alémdepontosfixos,hápontosdeselas.•  Pontodesela:contraçãoemumadireçãoeexpansãona

outra.

•  MapadePoincarébidimensionaldeumaórbitatridimensional.

(Alligood et al. Chaos...)

Atratores, Repulsores e Pontos de Sela

2-MapadeHénon

Hénon (Comm. Math. 50, 69, 1976) introduziu o mapa (xn+1, yn+1) = f (xn, yn ) = (a - x2 + b y, x)a, b : parâmetros de controle

Para a = 1,28 e b = -0,3 e (x0, y0 ) = (0, 0),trajetória converge para órbita com período 2

Os pontos iniciais convergem para essa orbita ou para x →∞

Bacias de atração variam com a, bPara a = 1,28 e b = -0,3 ; fronteira das bacias é contínuaPara a = 1,40 e b = -0,3 ; fronteira das bacias é fractal

Mapa de Hénon b = -0.3

(Alligood et al. Chaos...)

a = 1.28 a= 1.4

{ }

)p(N)v(f lim )p(Nv que tal0 serepulsorum ép

p)v(f lim )p(Nv que tal0 seatratorum ép

:Definiçõesp )p( f fixo, ponto um p,Rem mapa umf Seja

εp-v:Rv:)p(N é çãA vizinhan

.yxu é R em y) (x, u

vetor um de o)(euclidian ocompriment O : Definição

εk

kε

k

kε

2

2ε

222

!!!!!!

!!!!!!

!!!!!

!!!!

!!

⊄⇒⊂>∃

=⇒⊂>∃

=

<∈

+==

∞→

∞→

ε

ε

4 - Definições de Atratores e Repulsores

Alligood Chaos

Atrator e Ponto de Sela no Mapa de Hénon

a = 0 b = 0.4

Bacias de atração para o Mapa de Hénon

Alligood Chaos

Trator Caótico para o Mapa de Hénon

Alligood Chaos

5-MapasLineares

A xy⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ =

a11 a12

a21 a22

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟xy⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ =

a11 x + a12 ya21 x + a22 y⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

!V≡

xy⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

Definição: A é linear se A(a!v + b !w) = a A (!v) +b A !w( )

λ é um auto-valor da matriz A se (para !v≠ !0)

A !v=λ !v

!vn+1=A !vn ⇒!vn+1=λ

n+1 !v0

vetor-auto10

evalor-auto éb10

bb0

10

b 00 a

vetor-auto01

evalor-auto éa01

a00

1b 00 a

b 00 a

A matriz a Para

Exemplo

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

a

y. embe x direção naa eixos-semi com elípse uma em

mapeados são unitário raio de disco um em iniciais Pontos

10

bb0

10

b00a

01

a0a

01

b00a

b 00a

A iteraçõesn Para

nn

nnn

nn

n

n

n

n

nn

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Expansão e Contração no Mapeamento de Um Disco de Pontos Iniciais

y direção na atração1b

xdireção na repulsão1a

bea eixos-semi com elípse uma se-torná

0), (0,Ppontodo)0,0(N ça vizinhanna

e., i. , raio de disco Um

nn

⇒<

⇒>

εε

ε

ε

!

Alligood Chaos

)vv(A v)v(A geral, Em

25,0x4x

A;5,0x2x

A

xe

0,5002

A :Exemplo

0

0

0

02

0

0

0

0

0

0

!!

!!=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

yyyy

y

Alligood Chaos

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

=+=

==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

±±

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

θθ

θθ

θ

θθ

θ

sencoscos-sen

bar

ar

br

b-r

arA

baarctg,bar

rcosb,senra çãoTransformai

1 vetores-autobia valores-Auto

r de dilata e de gira iterado pontoabb-a

A:Exemplo

22

222

r de )(contração dilatação e de Rotaçãosenxcosx

r0x

cossensen-cos

r 0x

A0

000

θ

θ

θ

θθ

θθ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

7–MatrizJacobiana

( ) ( ) ( )

( )( ) repulsor um é p1pf

atrator um é p1pf

pfh p fh p f(p), f p fixo ponto um com dimensão, uma Em

⇒>ʹ

⇒<ʹ

ʹ+≅+

=

sela. de ponto um ép 1, quemenor outro o e 1 quemaior for valor -auto um Se :Definição

repulsor. um é p 1, que maiores forem )p(f D matriz da valores-auto dos módulos os Se - 2

atrator. um é p 1, que menores forem )p(f D matriz da valores-auto dos módulos os Se - 1

:Teorema

h)p(f Dph)p(f D)p(f)hp( f

)p(fp fixo ponto um com dimensões, duas Em

!

!!!!

!!!!

!!!!!!!!!!!!!!!!!

⋅+=⋅+≅+

=

)p(f D)p(f D)p(f D dimensões, duas Em

)(p f)(p f)p(f dimensão, uma Em

1002

1002

!!!!!!=

ʹʹ=ʹ

sela de ponto1272,0;1472,10-0 1

b -1,2

0 10,4 1,2

0 1b x 2-y) b x- a(y) b x- a(

J

0,6)- (-0,6, fixo Ponto

atrator14,00-0 1

b -0

0 10,4 0

0 1b 0

0 1b x 2-y) b x- a(y) b x- a(

J

0) (0, fixo Ponto0,4- be0 a x) y, b x- (a y) (x, f Hénon de Mapa :Exemplo

21

x

2y

2x

x

2y

2x

2

⇒<−=>=⇒=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂+∂=

⇒<±=⇒=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂+∂=

==+=

λλλ

λ

λλ

λ

xx

xx

y

y

Alligood Chaos

Esqema Dinâmico de um Ponto de Sela

Alligood Chaos

Órbitas Próximas de Um Ponto de Sela

atrator140.00.30 i 26.004.04.1008.012.0

4.04.1008.012.0

0 10.4 2(0.7)-

0 10.4 2(-0.1)-

JJJ

0.7) (-0.1, 0,1)- (0.7, : 2 período de Órbita0,4 b 0,43 a x)y, b x- (a y) (x, fHénon de Mapa : Exemplo

2

2

<=⇒±=⇒=−−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

⇔

==+=

λλλ

λ

Alligood Chaos

Mudançã de Atratores do Mapa de Hénon

Alligood Chaos

Diagrama de Bifurcação do Mapa de Hénon

Alligood Chaos

Mudança de atratores com a, para b=0.4

VariedadesEstáveiseInstáveis

Variedade estável: conjunto dos pontos iniciais que convergem para um ponto de sela. Variedade instável: variedade estável da transformação inversa

DefiniçõesdasVariedades

0P)(f - )v(flim

que talv pontos de conjunto o é U(P),P, de instável deA varieda

0P)(f - )v(flim

que talv pontos de conjunto o é S(P), P, de estável deA varieda

n-n-

n

nn

n

→

→

∞→

∞→

!

!

!

!

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−+=

21

321

2

1152

5 2-

11

5.011

2

1152

5 2-

21

e 11

vetores-auto e 3 e 0.5 valores-auto com

0) (0, em sela de ponto um tem

y)211 x 5,y2

5 (-2x y) (x, flinear mapa O : Exemplo

instável. e variedada constituem pontos Esses iteração. cada a 3fator um de

acréscimo um sofrem,21

vetor -auto do direção na linha

, x 2 y condição a dosatisfazen pontos dos sCoordenada

estável. e variedada constituem pontos Essesiteração. cada a 0.5fator um de

decréscimo um sofrem,11

vetor -auto do direção na linha

, x y condição a dosatisfazen pontos dos sCoordenada

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

Alligood Chaos

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

1-2

e01

:vetores-Auto

0,5- 2, : valores-Auto)int( alternado sela de Ponto

y) 0.5- y, 5 x (2 : y) (x, f com Mapa : Exemploposaddleflip

Alligood Chaos

Alligood Chaos

Alligood Chaos

Alligood Chaos

Alligood Chaos

Alligood Chaos

BaciasdeAtraçãoeAtratorCaóMconoPênduloForçado

Periódicamente

(Alligood et al. Chaos...)

Pêndulo Forçado

( )

instáveis fixos pontos 5 ainda Há

fractais. são órbitas trêsdessas bacias das fronteiras As2. período de órbitas duas e fixo ponto 1 há , 1,66 ; 0,2 c Para

. N 2 t instantes nos variáveisdas valoresosanotar e movimento de equação aintegrar vamosPortanto,

... 3, 2, 1, 0, N soluções, sãoN) 2(t e

tsensen c - :movimento de Equação

==

=

=+

+−=•••

ρ

π

πθθ

ρθθθ

t

Alligood et al. Chaos...)

Bacias de Atração de 1 Ponto Fixo e 2 Órbitas Periódicas

c = 0.2 ρ = 1.66

(Alligood et al. Chaos...)

Ampliações das Três Bacias

(Alligood et al. Chaos...)

Órbita Caótica do Pêndulo Forçado

c = 0.05 ρ = 2.5

Alligood Chaos

Alligood Chaos

ÓrbitasPlanetáriasCaóMcas

MovimentodeTrêsCorposRestrito(NumPlano)

nal.bidimensio é mapa EstePoincaré. de mapa no )x (x, pontos os são

,cte H e 0 y com o, y plano no órbita da esintersecçõ As

),,x (x, : fase de espaço no bitaÓr.

•

•

••

=>=

yy

Dois corpos pesados descrevem círculos ao redor do centro de massa. Uma partícula leve de massa m descreve a trajetória mostrada na figura (sem influenciar o movimento dos dois corpos pesados).

Método de análise introduzido por Poincaré

Trajetória de Uma Massa Leve no Sistema de Três Corpos

(Alligood et al. Chaos...)

Mapa de Poincaré Bidimensional

(Alligood et al. Chaos...)

Órbita tridimensional

CaosnoSistemaSolar

Prêmio do rei Oscar da Suécia em 1889 para trabalho sobre a estabilidade do sistema solar. Poincaré mostrou que as trajetórias de 3 corpos que se atraem (Terra, Sol e Jupiter) são sensíveis às condições iniciais se ocorrerem cruzamentos homoclínicos. Sussman, Wisdom, Numerical evidence that the motion of Pluto is chaotic, Science 241, 433 (1988)

Sussman,Wisdom,Numericalevidencethatthemo3on

ofPlutoischao3c,Science241,433(1988)

Integração das equações do movimento de Plutão para um intervalo de 845 milhões de anos. Computador construido para essa investigação: Digital Orrey. Em exposição no Smithsonin Institution em Washington, D.C.

Alligood Chaos

Alligood Chaos

Inclinação do eixo de rotação de Marte (em relação ao plano do sistema solar)

Transições abruptas