Maxinski fakultet BeogradKatedra za mehaniku fluida 20. de embar 2009. god.MEHANIKA FLUIDA B - II test 1. grupa1. Poe brzine pri ravanskom struja�u fluida je~U = ax~i − by~jgde su a i b pozitivne konstante.

• Odrediti koji uslov moraju da zadovoe konstante a i b da bi struja�e fluida bilonestixivo.• Za tako odreÆene konstante a i b, odrediti jednaqinu familije strujni a i na rtatistrujnu sliku.• Odrediti zapreminski protok kroz pravougaonik jediniqne xirine (b = 1m, dimenzijaupravna na ravan rte�a), odreÆen taqakama A(4, 1) i B(4, 4). (2 poena)2. Posmatra se nepokretna kontrolna zapremina V ograniqena kontrolnom povrxi A kroz kojuprotiqe fluid. Napisati zakon za odr�a�u mase za tu kontrolnu zapreminu. Na osnovu terela ije, izvesti izraz koji izra�ava isti zakon u diferen ijalnom obliku. (2 poena)3. Poa brzine i gustine pri struja�u su odreÆena slede�im izrazima

u = U0

(

1 +x

L

)

, v = w = 0

ρ = ρ0

(

1 +x

L

)

−1gde su U0, L0 i ρ0 konstante. Uz obrazlo�e�e, koje su od slede�ih tvrd�i taqne, a koje netaqne:(a) ovakvo struja�e je mogu�e samo kod stixivog fluida;(b) brzina dilata ije u prav u x iznosi U0/L;(v) brzina zapreminske dilata ije je U0/L;(g) zakon o odr�a�u mase je zadovoen. (2 poena)4. Temperatursko i brzinsko poe pri struja�u fluida su su dati izrazimaT = T0 e−x/L sin

(

t

t0

)

,

~U = U0

x

L~i + U0

y

L~jgde su L, U0 i t0 konstante. Odrediti materijalni izvod DT

Dt . (1 poen)5. Posmatra se masa fluida m gustine ρ, tj. proizvona materijalna zapremina Vm ograniqenamaterijalnom povrxi Am koja se kre�e. Napisati jednaqinu koliqine kreta�a za tu mater-ijalnu zapreminu - reqima i odgovaraju�im matematiqkim simbolima ako se radi o modeluneviskoznog fluida. Na osnovu �e izvesti i diferen ijalni oblik jednaqine koliqine kre-ta�a. (2 poena)

6. Voda (ρ = 1000 kg/m3) teqe sta ionarno kroz ev promenivog popreqnog preseka, du�ineL = 3m (slika 1). Brzinsko poe u evi se mo�e pribli�no opisati izrazom ~U = 3(x + 1)~i,gde je x dato u metrima; 3 i 1 su dimenzijske konstante - 3 ima dimenziju s−1, dok je 1 u m,tako da se zamenom za x u metrima dobija brzina u m/s. Smatrati da se u ovom problemustruja�a efekti viskoznosti mogu zanemariti.(a) Odrediti gradijent pritiska ∂p/∂x (u funk iji x) koji ostvaruje ovo struja�e(b) Ako je pritisak u preseku 1 p1 = 2bar, odrediti pritisak u preseku 2

• integrae�em izraza dobijenog pod (a);• primenom Bernulijeve jednaqine (3 poena)PSfrag repla emen x

L

11 22

Slika 1: Zadatak 6.7. Na sli i 2 je prikazan deo nekog evovoda kroz koji teqe voda (ρ = 103 kg/m3) i koji se sastojiiz pravih evi preqnika D1 = 150mm i D2 = 100mm koje se nalaze na vertikalnom rastoja�uH = 1m i krivine koja ih povezuje. U prese ima 1 i 2 se nalaze Pitoova sonda (presek 1) ipijezometarska evqi a prikaqena na zid evi (presek 2). Ako su pokaziva�a h1 = 1.75m ih2 = 200mm odrediti:(a) brzine struja�a U1 i U2 u evima(b) silu kojom voda deluje na krivinu (prava , smer i intenzitet). (3 poena)

PSfrag repla emen pa

pa

D1

D2

H

h1

h2

1 2Slika 2. Zadatak 7.

Broj indeksa: Ime i prezime:Maxinski fakultet BeogradKatedra za mehaniku fluida 14. de embar 2007. god.MEHANIKA FLUIDA - II test1. Pri ravanskom struja�u fluida u ravni Oxy brzinsko poe je~U = y~i − tx~j(a) Odrediti jednaqinu strujni e koja prolazi u trenutku t = 1 s prolazi kroz taqku M(1, 1).(b) Odrediti jednaqinu trajektorije fluidnog deli�a koji se u trenutku t = 1 s nalazi u taqki

M(1, 1). U kojoj taqki se posmatrani deli� nalazio u trenutku t = 0 s? (2 poena)2. Vektor brzine nekog struja�a je ~U =U0

Hy~i. Odrediti:(a) vektor ugaone brzine(b) tenzor brzine deformisa�a(v) irkula iju brzine na du�i AB, A(H ; H

2) i B(2H ; H

2)(g) zapreminski protok kroz pravougaonik CDEF - C(0; H

2; 0); D(0; H ; 0); E

(

0; H

2; H

); F(0; H ; H);(3 poena)3. Kod nekog gasa je poznato temperatursko i brzinsko poe u ravni Oxy

T = A + Bxe−t i ~U = y~i,gde su A i B poznate konstante. Odrediti DT

Dtu trenutku t = 1 s u taqki M(1, 1). (1 poen)4. Napisati izraz za Bernulijev integral Ojlerove jednaqine. Pod kojim uslovima taj izraz va�i?(1 poen)5. Osnosimetriqna raketa leti pravolinijski brzinom U = 300 m/s u mirnom vazduhu temperature

t = 20◦C. Odrediti najve�u temperaturu koja �e se uspostaviti na raketi. (1 poen)6. Voda teqe kroz Venturi ev. Odrediti visinsku razliku ∆h nivoa vode u pijezometarskim evqi- ama ako se zna da je brzina U1 = U i da je D1/D2 = 2. U rtati polo�aj nivoa vode u pijezometarskim evqi ama. (2 poena)PSfrag repla emen

∆h

D1 D2

U1 2Slika 1

7. Pri nekom struja�u vode poznata je brzina struja�a~U =

U0

H0

y~i.Odrediti razliku ∆h izmeÆu nivoa u Pitoovim evqi ama. Obele�iti nivoe vode u evqi ama.(2 poena)

PSfrag repla emen x

y

H/2

H/2

∆h

Slika 28. Na sli i je prikazana horizontalna raqva kroz koju teqe voda (ρ = 1000 kg/m3). Ako su poznatislede�i poda i: D1 = D2 = 100 mm, D3 = 150 mm, V̇1 = 10l/s, p1 = 2.5 bar, p2 = 2.4 bar, odreditiprava , smer i intenzitet sile kojom voda deluje na raqvu. Zanemariti te�inu vode u raqvi.(3 poena)

PSfrag repla emen 1 23

Slika 3

Maxinski fakultet BeogradKatedra za mehaniku fluida 29. januar 2009. god.MEHANIKA FLUIDA B - II popravni testBroj indeksa: Ime i prezime:1. Vektorsko poe brzine pri struja�u fluida je opisano u Dekartovom pravouglom koordinat-nom sistemu~U = y~i− x~j.Odrediti jednaqinu familije strujni a i na rtati strujnu sliku sa naznaqenim smerom stru-ja�a. Da li je struja�e nestixivo? Da li je struja�e nevrtlo�no? (2 poena)2. U sluqaju sta ionarnog struja�a fluida kroz konusni mlaznik, aksijalna brzina se prib-li�no mo�e opisati izrazom

u =U0

(1 − x/L)2,gde je U0 brzina na ulazu u mlaznik, a L �egova du�ina. Odrediti: (a) uopxteni izraz zaaksijalno ubrza�e, a = a(x); (b) vrednost ubrza�a na ulazu i na rastoja�u x = L/3 od ulaza umlaznik, ako je U0 = 5m/s i L = 3m. (2 poena)3. Na sli i je prikazana uprox�ena xema jednog radijalnog le�aja. Rastoja�e izmeÆu kru�nihploqa preqnikaD = 10 cm je h = 2mm. Ue ulazi zapreminskim protokom V̇ = 7.14 cm3/s krozpresek 1 u unutrax�ost le�aja, a napuxta ga radijalno kroz presek 2. Izraqunati brzinestruja�a u prese ima 1 i 2. (2 poena)

PSfrag repla emen h D

D11 22 PSfrag repla emen 1230◦

60◦mlaz4. Mlaz vode (ρ = 1000 kg/m3) se kre�e brzinom U = 10m/s i udara u mali tobogan kao xto jeprikazano na sli i. Ako je protok vode u mlazu V̇ = 0.06m3/s, odrediti silu kojom mlazdeluje na tobogan. (2 poena)5. U jednom strujnom pou brzine dilata ije zadovoavaju slede�u rela iju

∂u

∂x=∂v

∂y= −

∂w

∂z,

∂u

∂x> 0Da li se zapremina fluidnog deli�a pove�ava, sma�uje ili ostaje ista? (1 poen)

6. Posmatra se nepokretna kontrolna zapremina V , ograniqena kontrolnom povrxi A kroz kojuprotiqe fluid gustine ρ. Napisati qemu mora biti jednak qlan S u izrazu∫

V

S dV =

∮A

ρ(~U · ~n)dA.Koji fiziqki zakon je predstaven tom jednaqinom? Napisati izraz kojim se iskazuje istizakon za materijalnu zapreminu. (1 poen)7. Posmatra se masa fluida m gustine ρ, tj. proizvona materijalna zapremina Vm ograniqenamaterijalnom povrxi Am koja se kre�e. Napisati jednaqinu koliqine kreta�a za tu ma-terijalnu zapreminu - reqima i matematiqkim simbolima ako se radi o modelu neviskoznogfluida. Na osnovu �e izvesti i diferen ijalni oblik jednaqine koliqine kreta�a.(2 poena)8. Ravansko poe brzine nestixivog, neviskoznog fluida je odreÆeno izrazom~U = 2xy~i− y2~jAko se zanemari uti aj masenih sila, i ako je ρ = ρ0 odrediti gradijent pritiska u taqki

M(1, 2, 0). (2 poena)9. Koje se pretpostavke koriste pri izvoÆe�u Bernulijevog integrala Ojlerove jednaqineU2

2− ΦF +

∫dp

ρ(p)= CB(ψ)?Da li on va�i i za vrtlo�na struja�a? Obrazlo�i. Xta fiziqki predstava leva stranaprethodne jednaqine? Za koje sluqajeve struja�a �e konstanta CB(ψ) imati istu vrednost usvim taqkama strujnog poa? (1 poen)

Maxinski fakultet BeogradKatedra za mehaniku fluida 18. de embar 2010. god.MEHANIKA FLUIDA B -2. test 1. grupa1. Vektorsko poe brzine nekog ravanskog struja�aje opisano sa~U = 4y~i+ 6xy~j.(a) Odrediti familiju strujni a i na rtatistrujnu sliku sa naznaqenim smerom stru-ja�a.(v) Odrediti vektorsko poe ugaone brzine ~ω.(g) Odrediti tenzor brzine deformisa�a. Dali je struja�e stixivo ili nestixivo?(d) Odrediti zapreminski protok kroz pravo-ugaonik jediniqne xirine (upravno na ra-van Oxy u kojoj se odvija struja�e), odreÆentaqkama A i V, qije su koordinate A(1, 1) i

B(1, 3).(e) Odrediti irkula iju brzine po du�i AB.2. Temperatursko i brzinsko poe pri nekom ravan-skom struja�u fluida su dati izrazimaT = T0 e

−x/L sin

(

t

t0

)

,

~U = U0

x

L~i+ U0

y

L~jgde su L, T0 i t0 konstante. Odrediti materijalniizvod DT

Dt .3. Izvesti Bernulijev integral Ojlerove jednaqine.Detano navesti pretpostavke koje se koriste pri�egovom izvoÆe�u.

Slika 1. Leonhard Euler (1707-1783), DanielBernoulli (1700-1782), Henri Pitot (1695-1771).4. Kroz horizontalnu ev, kod koje se preqnik sma-�uje sa D1 = 150mm na D2 = 100mm protiqevoda (ρ = 1000 kg/m3) zapreminskim protokom

V̇ = 0.025m3/s. U preseku 1 vrednost natpri-tiska je pm,1 = 2bar. Odrediti silu kojom vodadeluje na ev izmeÆu prirubni a 1-1 i 2-2.PSfrag repla emen

1

1

2

2

V̇Slika 2. Problem 5.5. Na rtati ski u i objasniti originalni prin ipmere�a brzine reke Sene na razliqitim dubinamakoji je prvi obavio Pito 1732. godine. Na ski iobele�iti sve relevantne veliqine koje je tre-balo meriti i napisati odgovaraju�e jednaqineiz kojih se, na osnovu merenih veliqina, mo�esraqunati brzina.6. Na sli i 3 je prikazan deo nekog evovoda kroz koji teqe voda (ρ = 103 kg/m3) i koji se sastoji iz pravih evi preqnika D1 = 150mm i D2 = 100mm koje se nalaze na vertikalnom rastoja�u H = 1m i krivinekoja ih povezuje. U prese ima 1 i 2 se nalaze Pitoova sonda (presek 1) i pijezometarska evqi a prikaqenana zid evi (presek 2). Ako su pokaziva�a h1 = 1.75m i h2 = 200mm odrediti brzine struja�a U1 i U2 u evima.PSfrag repla emen pa pa

D1

D2

H

h1

h21 2Slika 3. Problem 6.

Машински факултет БеоградКатедра за механику флуида 15. децембар 2012. год.

МЕХАНИКА ФЛУИДА Б - 2. колоквиjум 1. група

1. Поред уобичаjених хоризонталних струjањa ваздуха у Земљиноj атмосфери (ветрови), често суприсутна и струjања ваздуха у вертикалном правцу (тзв. термали) коjи су последица неjеднакетемпературе у слоjевима ваздуха. Захваљуjући термалима могуће jе уживати у падобранскомjедрењу (параглаjдинг). Претпостављаjући да се поље брзине у одређеном слоjу Земљинеатмосфере, 0 < y < h, може апроксимирати као u = u0 и v = v0(1 − y/h), где су u0 и v0

константе, одредити jедначину струjнице коjа пролази кроз координатни почетак. Нацртати теструjнице за вредности односа v0/u0 = 0.5, 1 и 2.

(a) (б)

u0

y

x

Слика 1. (a) Параглаjдинг на обронцима Пиринеjа. (б) Скица струjница термала.

2. Посматра се раванско струjање флуида одређено следећим брзинским пољем:

~U = 2xy~i− y2~j.

(a) Да ли jе ово струjање стишљиво или нестишљиво?

(б) Одредити запремински проток кроз правоугаоник чиjа jе jедна страница b = 1m (управнона раван цртежа), док jе друга страницa AB одређена координатама A(1, 1) и B(1, 4).

(в) Одредити векторско поље вртложности и тензорско поље брзине деформисања.

(г) Ако се утицаj масених сила може занемарити, и ако jе ρ = ρ0, одредити градиjент притискау тачки M(1, 2, 0).

3. Вода (ρ = 1000 kg/m3) истиче кроз цев промењивог попречног пресека у атмосферу. Ако супознати следећи подаци: D1 = 80mm, D2 = 50mm, h = 1m израчунати вредност запреминскогпроток кроз цев.

V̇

pa

pa

h

D1 D2

Слика 2. Проблем 3.

4. На краjу цеви пречника d = 100mm кроз коjу тече вода (ρ = 1000 kg/m3) налази се осносимет-рични затварач коjи делимично спречава истицање воде у атмосферу. Затварач се налази нарастоjању h = 10mm oд излазног пресека цеви. Вода радиjално истиче атмосферу (пресек 3)брзином константног интензитета U3 = 5m/s. Пречник затварача jе D = 120mm. Одредити:

(a) запремински проток кроз цев,

(б) вредност натпритиска у тачки 1,

(в) вредност натпритиска у тачки 2 и

(г) интензитет силе F коjом jе треба деловати на затварач тако да се он налази на задатомрастоjању h.

1 2

3

3

p1, U1

U3

U3

F

h

d

D

D

Слика 3. Проблем 4.

5. На слици су приказана три уређаjа коjи се крећу по хоризонталноj подлози без трења. Свиуређаjи су конципирани тако да имаjу jедан улазни и jедан излазни пресек, кроз коjе у његаулази, односно излази околни ваздух. Струjање ваздуха се може сматрати нестишљивим. Усвим случаjевима у улазном и излазном пресеку уређаjа влада атмосферски притисак. Одго-ворити и образложити у ком смеру ће се кретати сваки од уређаjа!

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������

(a) (б) (в)

Напомене:

• Колоквиjум траjе 120 минута.

• Коришћење литературе ниjе дозвољено!

• Резултати ће бити обjављени у понедељак, 17. децембра, на интернет адресиhttp://fluidi.mas.bg.ac.rs

Пуно успеха у раду!

Машински факултет Београд

Катедра за механику флуида 24. април 2014. год.

МЕХАНИКА ФЛУИДА Б - 2. колоквиjум

1. Приликом опструjавања сфере флуидомгустине ρ, константном брзином U0, променабрзине дуж струjнице AB се може приближноописати изразом

~U = u~i = U0

(

1 +R3

x3

)

~i.

На ком месту на струjници AB притисак иманаjвећу вредност? Написати израз из когасе може израчунати таj притисак, pmax =pmax(ρ, U0, R).

A B

x = −4R x

y

R

U0

Слика 1. Задатак 1.(20 поена)

2. За раванско струjање флуида одређеноследећим брзинским пољем:

~U = 2xy~i− y2~j

одредити запремински проток крозправоугаоник чиjа jе jедна страница b = 1m(управно на раван цртежа), док jе другастраницa AB одређена координатама A(1, 1)и B(1, 4).

(20 поена)

3. Брзина струjања ветра се мери помоћуПитоовое цеви, затим барометра коjи мериатмосферски притисак и чиjе jе показивањеpa = 101 kPa, и термометра коjим jеизмерена температура t = 20 ◦C. Показивањеманометра на коjи jе прикључена Питоова цевjе 100Pa (натпритисак). Одредити брзинуструjања ваздуха сматраjаћи да jе струjањенестишљиво. Гасна константа за ваздух jеR = 287.15 J/kgK. (20 поена)

pm

U0 =?

Слика 2. Задатак 3.

4. Вода, ρ = 1000 kg/m3 истиче из великогрезервоара у атмосферу кроз цев промењивогпопречног пресека. Ако jе pa = 100 kPa, апритисак засићења (испаравања) воде ps =2kPa, одредити при коjоj минималноj висиниH ће доћи до поjаве кавитациjе у цеви, ако суD1 = 100mm, и D2 = 50mm.

H U1

ρ pa

D1 D1

D2

Слика 2. Задатак 3.

(20 поена)

5. Одредити силе истезања и смицања коjеоптерећуjу завртањску везу A-A коjом jе Т-рачва причвршћена за цевовод. Кроз цевоводтече вода (ρ = 103 kg/m3), коjа проласкомкроз рачву истиче у атмосферу. Познати суи следећи подаци: U1 = U2 = 5m/s, D1 =D2 = 50mm, D = 100mm. Занемаритисве губитке струjне енергиjе, тежину водеу рачви, као и разлике геодезиjских висинакарактеристичних пресека.

U1, D1

U2, D2

pa

D

A

A

Слика 4: Задатак 5.

(20 поена)

Колоквиjум траjе 120 минута! Резултати ће бити

обjављени у петак, 25. априла 2014. године, на интернет

адреси http://fluidi.mas.bg.ac.rs. Пуно успеха у

раду!

A.Ћ.