II. MEKANIKA

FIZIKA – I – Rrahim MUSLIU – ing.dipl.mek. 1

II.1. Lëvizja mekanike

Mekanika është pjesë e fizikës e cila i studion format më të thjeshta të lëvizjes së materies, të

cilat bazohen në zhvendosjen e thjeshtë ose kalimin e trupave fizikë prej një pozite në një pozitë tjetër.

Mekanika e cila e studion lëvizjen e trupave të vegjël me shpejtësi shumë më të vogël se shpejtësia e

dritës në vakum quhet mekanikë klasike.

Mekanika klasike ndahet në tri pjesë, edhe atë:

1. statikë – pjesë e mekanikës e cila i studion trupat në gjendje të qetësisë derisa ato janë nën

ndikim të forcave,

2. kinematikë – pjesë e mekanikës e cila i studion lëvizjet e trupave, dhe

3. dinamikë – pjesë e mekanikës e cila i studion lëvizjen e trupave nën ndikimin e forcave.

Për të gjitha llojet e lëvizjeve shenjë e përbashkët e tyre është ndryshimi i pozitës së një trupi në

krahasim me trupin tjetër.

Ndryshimi i pozitës së një trupi në krahasim me ndonji trup tjetër, dhe ndryshimi i pozitës së

disa pjesëve të një trupi në krahasim me pjesën tjetër të atij trupi, quhet lëvizje mekanike.

Detyra themelore e mekanikës është të përcaktojë pozitën e trupit të dhënë në çdo moment kohor,

gjegjësisht të dihen ligjet për lëvizjen e trupit. Që të zgjidhen detyra themelore në kinematikë, janë

futur disa nocione: trup referues, sistem referues, pozita e trupit, zhvendosja, vija rrugore, rruga e

kaluar, shpejtësia mesatare, shpejtësia momentale dhe nxitimi.

Trupi i palëvizshëm në krahasim me të cilin vëzhgohet lëvizja e trupit tjetër, quhet trup referues.

Në krahasim me trupin referues disa trupa lëvizin, ndërsa disa të tjerë janë në qetësi, dhe kjo tregon se

lëvizjet mekanike janë relative.

Me eksperimente dhe me vrojtime gjat të studiuarit të lëvizjeve mekanike është arritur deri në tre

rezultate vijuese:

1. trupat gjat kohës mund të ndryshojnë pozitën e tyre njëri ndaj tjetrit,

2. pjesët e një trupi gjat kohës mund të ndryshojnë pozitën në krahasim me pjesën tjetër të

trupit,

3. një trup në të njejtën kohë mund të kryejë lëvizje të ndryshme në krahasim me trupin

referues.

Trupi referues, së bashku me sistemin koordinativ të lidhur në mes veti dhe kohës, quhet sistem

referues.

Ekzistojnë dy lloje të lëvizjeve mekanike, edhe atë: lëvizja translatore (drejtëvizore) dhe lëvizja

rrotative (rrotulluese) e trupit të ngurtë rreth boshtit të palëvizshëm.

Lëvizja e trupave gjat së cilës të gjithë pikat e tij janë në lëvizje në mënyrë të njejtë, quhet

lëvizje translatore (drejtëvizore). Gjat lëvizjes translatore të trupit, çdo drejtëz e lidhur me të mbetet

paralele me vetveten, prandaj në rast të lëvizjes translatore të trupit ajo mund të zëvendësohet me pkië

materiale.

II. MEKANIKA

FIZIKA – I – Rrahim MUSLIU – ing.dipl.mek. 2

Gjat lëvizjes rrotative (rrotulluese) të gjithë pikat e trupit përshkruajnë rrathë të cilët shtrihen në

rrafshe paralele, gjat së cilës qendrat e këtyre rrathëve shtrihen në një drejtëz të njejtë, e cila quhet

bosht i rrotacionit (rrotullimit). Boshti i rrotacionit mund të gjenet edhe jashtë trupit që rrotullohet dhe

pikat që shtrihen në boshtin e rrotullimit mbeten të palëvizshme.

Gjat rrotullimit të trupit, pikat e ndryshme lëvizin në mënyrë të ndryshme, me çka traektoret e

tyre, shpejtësitë dhe nxitimi nuk janë të njejta.

Nga gjeometria është e njohur se pozita e një pike përcaktohet me një rrezevektor (vektori i

pozitës) ose, në krahasim me sistemin koordinativ drejtëkëndësh me koordinatat e tij.

Rrezevektor quhet segmenti i kahëzuar që e lidh fillimin referues me pozitën e pikës materiale.

Për përcaktimin e pozitës së ndryshuar të trupit, është futur madhësia fizike që quhet vektori i

zhvendosjes (zhvendosja). Vektori i zhvendosjes i lidh pozitën fillestare dhe përfundimtare të pikës

materiale, dhe ka kahje prej fundit të vektorit të parë kah fundi i vektorit të dytë.

Vektori i zhvendosjes është madhësi e parë kinematike.

Me lidhjen e pikave nëpër të cilën kalon trupi në hapësirë gjat lëvizje së tij, fitohet traektorja e

trupit. Gjatësia e traektores ndërmjet dy pikave që shtrihen në traektore quhet rrugë e kaluar (rrugë).

II. MEKANIKA

FIZIKA – I – Rrahim MUSLIU – ing.dipl.mek. 3

II.2. Lëvizja drejtëvizore e njëtrajtshme

Gjat lëvizjes drejtëvizore të pikës materiale, traektorja e saj është pjesë e drejtëzës. Prandaj, lloji

më i thjeshtë i lëvizjes mekanike është lëvizja drejtëvizore e njëtrajtshme.

Për trupin i cili lëviz në vijë të drejtë dhe i cili për kohë të barabartë kalon rrugë të barabartë

themi se bën lëvizje drejtëvizore të njëtrajtshme.

Për të analizuar lëvizjen drejtëvizore të një trajtshme, supozojmë se jemi duke lëvizur me

automjet në një rrugë të drejtë. Shtyllat elektrike të cilat gjenden në skaje të rrugës janë të vendosura

në distancë të njejtë, dhe njërën prej tyre e marrim si pikë fillestare dhe me ndihmën e orës ose

kronometrit masim kohën që do kalojmë nga njëra shtyllë tek tjetra. Nëse koha është e njejtë atëherë

themi se bëjmë lëvizje drejtëvizore të njëtrajtshme.

Lëvizja drejtvizore është ajo lëvizje që kryen trupi në një traektore vijëdrejtë, ku raporti

ndërmjet hapësirës dhe kohës është i pandryshueshëm, pra shpejtësia është e pandryshueshme.

Trupi në lëvizjen drejtvizore kryen rrugë të barabarta në interval kohe të barabartë.

Rruga te lëvizja drejtëvizore e njëtrajtshem është e barabartë me prodhimin midis shpejtësisë dhe

kohës:

𝒔 = 𝒗 ∙ 𝒕

Kjo formulë vlen vetëm për lëvizjen e njëtrajtshme, gjegjësisht nëse shpejtësia është konstante.

Nëse në një bosht numerik kemi dy pika të cilat janë të përcaktuara me numra, p.sh. koordinata

x e pikës A është e barabartë me 3m, ndërsa e pikës B është 5m, dhe nëse e vëzhgojmë lëvizjen e pikës

materiale që kryhet nëpër gjatësinë e

boshtit koordinativ OX, do të vërejmë se

në çdo moment të kohës pika e lëvizshme

do të ketë koordinatë plotësisht të caktuar.

Segmenti që është i barabartë me ndryshimin e koordinatave është i barabartë me modulin e

vektorit të zhvendosjes së pikës materiale:

∆𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

Zhvendosja është vektor, sepse ajo ka drejtim, kahje dhe gjatësi (modul, madhësi), ku vlera e saj

mund të jetë pozitive, negative ose e barabartë me zero.

Nëse pika materiale lëviz në një kahje, atëherë rruga e kaluar është e barabartë me zhvendosjen:

∆𝒙 = 𝒔

Lëvizja e pikës materiale kryhet në vijë të drejtë dhe kahje e pikës materiale e vargojmë si kahje

pozitive në boshtin koordinativ OX, atëherë koordinatat e pikës M1, M2, M3, M4, M5, etj., do të jenë:

𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑, 𝒙𝟒, 𝒙𝟓, etj., prej ku mund të nxirret përfundimi:

𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

∆𝒕=

𝒙𝟑 − 𝒙𝟐

∆𝒕=

𝒙𝟒 − 𝒙𝟑

∆𝒕=

𝒙𝟓 − 𝒙𝟒

∆𝒕= ∙∙∙= 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕

Ky raport konstant (v = const), e përcakton shpejtësinë e lëvizjes drejtëvizore të njëtrajtshme të

pikës materilae: 𝒗 =∆𝒙

∆𝒕

Shpejtësia e pikës materiale është madhësi e dytë kinematike.

II. MEKANIKA

FIZIKA – I – Rrahim MUSLIU – ing.dipl.mek. 4

II.3. Lëvizja drejtëvizore e ndryshueshme

Shumica e lëvizjeve drejtëvizore nuk janë të njëtrajtshme. Kështu që ekzistojnë trupa të cilët për

intervale të barabarta të kohës përshkruajnë rrugë më të gjatë dhe pastaj përshkruajnë rrugë më të

shkurtër. Shembull i thjeshtë për lëvizjen drejtëvizore të ndryshueshme është lëvizja e trenit kur niset

nga stacioni dhe kur arrin në stacionin tjetër.

Lëvizja drejtëvizore, gjat së cilës trupi për intervale të barabarta të kohës kryen zhvendosje të

ndryshme, quhet lëvizje drejtëvizore e ndryshueshme.

Lëvizja drejtëvizore e ndryshueshme, karakterizohet me këto madhësi: shpejtësinë mesatare,

shpejtësinë momentale (e çastit), nxitimin mesatar dhe nxitimin momental (i çastit).

Shpejtësia mesatare: Gjat lëvizjes së ndryshueshme nuk mund të flitet për ndonjë shpejtësi të

caktuar, meqenëse raporti i rrugës së kaluar ndaj intervalit kohor përkatës nuk është i njejtë për pjesë

të ndryshme të traektores, siç është rasti te lëvizja e njëtrajtshme. Për raste të këtilla në kinematikë

është futur madhësia e quajtur shpejtësi mesatare.

Shpejtësia mesatare quhet herësi nga zhvendosja ∆�⃗� që ka kryer trupi për intervalin kohor të

dhënë ∆𝒕:

�⃗⃗� 𝒎𝒆𝒔 =∆�⃗�

∆𝒕

Shpejtësia momentale (e çastit): Në shumë raste, është shumë me rëndësi të dihet shpejtësia me

të cilën lëviz trupi në mëmentin e dhënë të kohës. Prandaj në makina të ndryshme janë të montuar

shpejtësi matësit, të cilët tregojnë shpejtësinë në çdo moment të kohës.

Shpejtësia momentale është shpejtësia e trupit në momentin e dhënë të kohës ose në pikë të

dhënë të traektores së pikës materiale.

Shpejtësia momentale ose shpejtësia në pikën e dhënë të traektores është e barabartë me herësin

ndërmjet zhvendosjes tepër të vogël të pjesës së traektores, që qfrohet deri te ajo pikë, dhe intervalit të

kohës tepër të shkurtër në rrjedhje të të cilit ka ndodhur zhvendosja:

�⃗⃗� 𝒕 =∆�⃗�

∆𝒕, ∆𝒕 − ë𝒔𝒉𝒕ë 𝒔𝒉𝒖𝒎ë 𝒆 𝒗𝒐𝒈ë𝒍

Shpejtësia momentale e lëvizjes së njëtrajtshme është e vijueshme, kurse e asaj të ndryshueshme

është madhësi e ndryshueshme dhe ka vlerë të ndryshme në çaste të ndryshme të kohës.

Shpejtësia momentale gjat lëvizjes së ndryshueshme ndryshon gjat kohës në mënyrë të

vazhdueshme, prandaj ajo mund të jetë karakteristikë për lëvizje e ndryshueshme të trupit.

Nxitimi mesatar: Gjat lëvizjes së ndryshueshme, shpejtësia momentale vazhdimisht ndryshon

nga një pikë në tjetrën, nga një moment në tjetrin. Për të caktuar sa shpejtë ndryshon shpejtësia

momentale, në kinematikë është pranuar një karakteristikë e re (madhësi tjetër fizike), e cila quhet

nxitim (a).

II. MEKANIKA

FIZIKA – I – Rrahim MUSLIU – ing.dipl.mek. 5

Nxitimi është madhësi e tretë kinematike.

Shembull konkret për nxitimin është lëvizja e automjetit në një autostradë të drejtë, ku gjat

shtypjes së pedalit të gazit fillon të ritet shpejtësia momentale dhe në shpejtësimatësin (spidometrin)

fillon të zhvendoset shigjeta e cila tregon shpejtësinë momentale në çdo çast dhe në çdo vent të

traektores, prandaj thuhet se nxitimi është i madh.

Shtypja e pedalit të frenave sjell deri te efekti i njejtë, mirëpo kjo tani është nxitim negativ.

Në pjesë të ndryshme të traektores për intervale të barabarta të kohës ndodhin ndryshime të

ndryshme të shpejtësisë me të cilën lëviz trupi, prandaj mund të flitet për nxitim mesatar.

Nxitimi mesatar është i barabartë me raportin (herësin) e ndryshimit të shpejtësisë në interval

kohe të dhënë, për të cilin ka ndodhur ai ndryshim:

�⃗⃗� 𝒎𝒆𝒔 =�⃗⃗� 𝟐 − �⃗⃗� 𝟏𝒕𝟐 − 𝒕𝟏

=∆�⃗⃗�

∆𝒕

Nxitimi momental (i çastit): Në rast të përgjithshëm gjat lëvizjes së ndryshueshme, nxitimi

mesatar varet nga intervali kohor. Për përshkrimin me të mirë të pikës materiale duhet të dihet nxitimi

i pikës materiale në moment të dhënë të kohës ose në pikë të dhënë të traektores. Për këtë qëllim futet

nxitimi momental (i çastit). Nxitimi momental �⃗⃗� 𝒕 caktohet me të njejtin barazim:

�⃗⃗� 𝒕 =�⃗⃗� 𝟐 − �⃗⃗� 𝟏𝒕𝟐 − 𝒕𝟏

=∆�⃗⃗�

∆𝒕, 𝒌𝒖𝒓 ∆𝒕 = 𝒕𝟐 − 𝒕𝟏 ë𝒔𝒉𝒕ë 𝒔𝒉𝒖𝒎ë 𝒆 𝒗𝒐𝒈ë𝒍

II.4. Lëvizja drejtëvizore njëtrajtësisht e nxituar

Ekzistojnë lloje të ndryshme të lëvizjeve të ndryshueshme: njëtrajtësisht të nxituara dhe jo

njëtrajtësisht të nxituara. Forma më e thjeshë e lëvizjes së ndryshueshme është lëvizja drejtëvizore

njëtrajtësisht e nxituar. Në këtë rast, nitimi mesatar është i barabartë me nxitimin momental (të çasti):

�⃗⃗� 𝒎𝒆𝒔 = �⃗⃗� 𝒕

Nëse me �⃗⃗� 𝟎 e shënojmë shpejtësinë e pikës

materiale në momentin e kohës 𝒕𝟎 = 𝟎, ndërsa, me �⃗⃗� 𝒕

shpejtësinë në momentin e kohës t, atëherë vektori i

nxitimit gjat lëvizjes drejtëvizore njëtrajtësisht të

nxituar do të jepet me formulën:

�⃗⃗� =�⃗⃗� 𝒕 − �⃗⃗� 𝟎

𝒕

Nëse është e njohur shpejtësia fillestare �⃗⃗� 𝟎 dhe

nxitimi �⃗⃗� , atëherë mund të caktohet shpejtësia

momentale e pikës materiale:

�⃗⃗� 𝒕 = �⃗⃗� 𝒐 + �⃗⃗� ∙ 𝒕

Ky barazim jep mundësi të caktohet shpejtësia në çdo moment të kohës t, nëse janë të njohura

nxitimi dhe shpejtësia fillestare. Ky barazim quhet ligji i shpejtësisë së lëvizjes njëtrajtësisht të nxituar

të pikës materiale (trupit).

II. MEKANIKA

FIZIKA – I – Rrahim MUSLIU – ing.dipl.mek. 6

Nëse krahasojmë boshtin OX përgjat kahjes së lëvizjes, atëherë për projektimin e shpejtësisë

mund të shkruhet barazimi:

�⃗⃗� 𝒙 = �⃗⃗� 𝟎𝒙 + �⃗⃗� 𝒙 ∙ 𝒕

Meqenëse të tre vektorët (�⃗⃗� 𝟎, �⃗⃗� , �⃗⃗� ) shtrihen në një drejtëz (janë kolinear), vlerat absolute të

projeksioneve të tyre janë të barabarta me modulet e këtyre vektorëve në raport me boshtin koordinativ

të zgjedhur.

Nëse kahjet e vektorëve të shpejtësisë fillestare dhe vektorit të nxitimit janë të njejta (përputhen

me kahjen pozitive të boshtit OX), atëherë moduli i shpejtësisë së pikës materiale gjat kohës zmadhohet

(ritet):

�⃗⃗� = �⃗⃗� 𝟎 + �⃗⃗� ∙ 𝒕

dhe thuhet se ajo nxiton. Nëse kahja e nxitimit është e kundërt me kahjen e shpejtësisë fillestare,

atëherë moduli i shpejtësisë së pikës materiale gjat kohës zvogëlohet:

�⃗⃗� = �⃗⃗� 𝟎 − �⃗⃗� ∙ 𝒕

dhe thuhet se pika materiale ngadalësohet ose frenohet. Në këtë kuptim lëvizjet njëtrajtësisht të

dryshuara në vijë të drejtë ndahen në: të nxituara dhe të ngadalësuara.

II.5. Rënia e lirë

Çdo trup që nuk është i varur ose i mbështetur bie në tokë. Nëse

një gurë dhe një copëz letre i lëshojmë të bien nga një lartësi e njejtë

njëkohësisht, guri do të bjerë më shpejtë në tokë se sa fleta.

Nëse e shikojmë nga ky këndvështrim këtë dukuri mund të

vijmë deri në përfundim të gabuar, duke menduar se trupat më të

rëndë bien më shpejtë në tokë se sa ato më të lehtit.

Me këtë dukuri është marrë Galileo Galilei i cili ka treguar

faktin se gjat rënies së trupave ndikim të madh ka edhe rezistenca e

ajrit.

Ai ka bërë eksperimentin e tij me dy trupa te cilët kanë pasur

peshë të ndryshme dhe i ka lëshuar nga një lartësi e njejtë në të njejtën

kohë. Praktikisht ako kanë rënë me shpejtësi të njejtë, por dallimi i

vogël që është paraqitur, Galilei ia ka përshkruar rezistencës së ajrit.

Hulumtimet e para eksperimentale që i ka bërë, i ka filluar me

studimin e lëvizjes së sferave nëpër një rrafsh të pjerët. Nga ky eksperiment ka konstatuar se rrokullisja

e sferës pa shpejtësi fillestare nëpër rrafshin e pjerët është lëvizje njëtrajtësisht e nxituar.

Kjo provë tregon se me zmadhimin e këndit

të pjertësisë së rrafshit deri kur ai do të arrijë 90°,

lëvizja do të kalojë në rënie të lirë.

Në këtë mënyrë Galilei ka konstatuar se

edhe rënia e lirë është lëvizje njëtrajtësisht e

nxituar.

Për të vërtetuar ligjin e Galileit do të

sqarojmë provën e thjeshtë të Njutnit.

II. MEKANIKA

FIZIKA – I – Rrahim MUSLIU – ing.dipl.mek. 7

Ai ka përdorur një gyp prej qelqi me një gjatësi rreth 1m, ku njëri skaj ka qenë i mbyllur kurse

skaji tjetër i paisur me tapë.

Në të ka futur një sferë të vogël metalike, copëz plutoje, dhe

një pendël.

Gjat rrotullimit të gypit nga ana e kundërt sfera ka rënë më

shpejtë, pastaj plutoja dhe në fund penda. Mirëpo nëse nga i njejti

gyp nxirret ajri me ndihmën e vakum pompës, atëherë të tre trupat

bien njëkohësisht.

Nga kjo provë Njutni ka vërtetuar se në vakum (hapësirë pa

ajër) të gjithë trupat bien me nxitim të njejtë, dhe nga kjo mund të

thuhet se:

Rënia e lirë e trupave është vetëm një shembull konkret i

lëvizjes drejtëvizore njëtrajtësisht të nxituar.

Që të bëhet dallimi ndërmjet rënies së lirë dhe të gjithë lëvizjeve tjera të nxituara, është pranuar

që nxitimi i rënies së lirë të shënohet me g në vend se me a. Moduli i nxitimit të rënies së lirë në

gjerësinë gjeografike 45° është 9,81 m/s2, në pole është 9,83 m/s2, kurse në ekuador është 9,78 m/s2.

Barazimet për shpejtësinë dhe zhvendosjen gjat rënies së lirë të trupit kanë këto forma:

�⃗⃗� = �⃗⃗� 𝟎 + �⃗⃗� 𝒕

∆�⃗� = 𝒗𝟎𝒕 +𝒈𝒕𝟐

𝟐

𝒗𝒚 = 𝒗𝟎𝒚 + 𝒈𝒚𝒕

∆𝒓𝒚 = 𝒚 − 𝒚𝟎 = 𝒗𝟎𝒚𝒕 +𝒈𝒚𝒕

𝟐

𝟐

Vektori i nxitimit të rënies së lirë �⃗⃗� çdoherë ka kahje vertikalisht teposhtë ↓.

Rënia e lirë pa shpejtësi fillestare: Trupi

lëshohet të bie nga lartësia h mbi sipërfaqen e tokës,

ku kahja pozitive e boshtit numerik OY e kahëzojmë

teposhtë, ndërsa fiilimin e sistemit koordinativ e

vendosim në vendin prej ku është lëshuar trupi të bie.

Në këtë rast barazimi për shpejtësinë dhe koordinatën

do të kenë këtë fotmë:

𝒗 = 𝒈𝒕 ; 𝒚 =𝒈𝒕𝟐

𝟐

Meqë shpejtësia fillestare është e barabartë me zero, për koordinatën y në këtë rast fitohet:

𝒚 =𝒈𝒕𝟐

𝟐

Kur do të zgjidhet ky barazim në raport me kohën t, fitohet:

𝒕 = √𝟐𝒚

𝒈

II. MEKANIKA

FIZIKA – I – Rrahim MUSLIU – ing.dipl.mek. 8

Shpejtësia e sferës e cila bie lirshëm, në momentin e kohës t do të jetë:

𝒗 = 𝒈𝒕 = 𝒈√𝟐𝒚

𝒈= √𝟐𝒈𝒚

Kur një trup bie prej pozitës së qetësisë nga një lartësi h, shpejtësia e tij përfundimtare është e

barabartë me 𝒗 = √𝟐𝒈𝒉.

Rënia e lirë me shpjetësi fillestare: Pjesa më

kreative e zgjidhjes së detyrave në kinematikë është

zgjidhja e sistemit referues dhe sistemit koordinativ

(kahjet e boshteve koordinative dhe fillimit të sistemit

koordinativ). Nëse nuk është e theksuar ndryshe,

atëherë më e natyrshme është që fillimi i sistemit

koordinativ të vendoset në pozitën fillesatare të trupit,

kurse kahja e boshtit koordinativ të vendoset përgjat

kahjes së lëvizjes së trupit.

Projektimi o boshtit OY do të jetë:

∆𝒚 = 𝒗𝟎𝒚𝒕 +𝒈𝒚𝒕

𝟐

𝟐

Boshtin koordinativ OY do ta kahëzojmë vertikalisht teposhtë, ndërsa fillimin e sistemit

koordinativ do ta vendosim në tokë, dhe në këtë rast fitohet:

𝒚 = 𝒚𝟎 − 𝒗𝟎𝒕 −𝒈𝒕𝟐

𝟐

Për trupin i cili gjendet në lartësi H, kemi:

𝒚𝟏 = 𝑯 − 𝒗𝟎𝒕 −𝒈𝒕𝟏

𝟐

𝟐

Për trupin i cili gjendet në lartësi h, kemi:

𝒚𝟐 = 𝒉 −𝒈𝒕𝟐

𝟐

𝟐

Në tokë të dy trupat do të bien për kohë të njejtë, 𝒕𝟏 = 𝒕𝟐 = 𝒕. Kur do të bien në tokë koordinatat

e të dy trupave janë të barabartë me zero 𝒚𝟏 = 𝒚𝟐 = 𝟎. Prandaj mund të shkruhet barazimi:

𝑯 − 𝒗𝟎𝒕 −𝒈𝒕𝟏

𝟐

𝟐= 𝒉 −

𝒈𝒕𝟐𝟐

𝟐 ; 𝑯 − 𝒉 = 𝒗𝒐𝒕 ; 𝒕 =

𝑯 − 𝒉

𝒗𝟎

Me zëvendësimin e kohës në barazimin:

𝒉 =𝒈𝒕𝟐

𝟐

për shpejtësinë fillestare, që duhet ti përshkruhet trupit i cili bie lirisht nga lartësia H, fitohet:

𝒗𝟎 =(𝑯 − 𝒉)√𝟐𝒈𝒉

𝟐𝒉

II. MEKANIKA

FIZIKA – I – Rrahim MUSLIU – ing.dipl.mek. 9

II.6. Hedhja vertikale dhe horizontale

Lëvizja e trupit të hedhur vertikalisht përpjetë me shpejtësi fillestare �⃗⃗� 𝟎, quhet hedhje vertikale.

Hedhja vertikale është vetëm një shembull tjetër i lëvizjes njëtrajtësisht të nxituar, ku nxitimi i trupit �⃗⃗�

është i barabartë me nxitimin e rënies së lirë: �⃗⃗� = �⃗⃗� .

Në vijim përdoren barazimet e njejta si edhe te lëvizja drejtëvizore njëtrajtësisht e nxituar, në

formë vertikale:

�⃗⃗� = �⃗⃗� 𝟎 + �⃗⃗� 𝒕

∆�⃗� = �⃗⃗� 𝟎𝒕 +�⃗⃗� 𝒕𝟐

𝟐

Në qoftë se trupi hidhet vertikalisht përpjetë me shpejtësi

fillestare �⃗⃗� 𝟎, ai do të bëjë një lëvizje drejtëvizore njëtrajtësisht

të ngadalsuar. Shpejtësia e çastit, pas kalimit të kohës t, nga

fillimi i lëvizjes do të jetë:

�⃗⃗� = �⃗⃗� 𝟎 − �⃗⃗� 𝒕

ku g është nxitimi i rëndimit të Tokës (g=9,81 m/s2).

Lartësia e ngritjes së trupit pas kohës t, nga fillimi i lëvizjes do

të jetë:

𝒉 = �⃗⃗� 𝟎𝒕 −𝒈𝒕𝟐

𝟐

Nëse eliminohet parametri kohor t nga të dy ekuacionet e mësipërme do të gjendet shpejtësia e

çastit të trupit kur ndodhet në lartësinë h nga pika e hedhjes:

�⃗⃗� 𝟐 = �⃗⃗� 𝟎𝟐 − 𝟐𝒈𝒉

Lëvizja e trupit të hedhur në mënyrë horizontale

është e njohur me emrin hedhje horizontale. Në këtë rast

trupi bën lëvizje të ndërlikuar e cila përbëhet prej

komponentit horizontal dhe vertikal.

Pas kohës t, komponenti horizontal i rrugës është:

𝒙 = �⃗⃗� 𝟎𝒕

Ndërsa komponenti vertikal i rrugës është:

𝒚 = 𝒚𝟎 −�⃗⃗� 𝒕𝟐

𝟐

Nëse eliminohet parametri i kohës t nga të dy ekuacionet e mësipërme do të fitohet ekuacioni i

hedhjes horizontale:

𝒚 = 𝒚𝟎 −�⃗⃗� 𝒙𝟐

𝟐�⃗⃗� 𝟎𝟐

Shpejtësia te hedhja horizontale po ashtu përbëhet prej komponentës horizontale të shpejtësisë

�⃗⃗� 𝒙 që është konstante:

�⃗⃗� 𝒙 = �⃗⃗� 𝟎𝒙 = �⃗⃗� 𝟎 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕

II. MEKANIKA

FIZIKA – I – Rrahim MUSLIU – ing.dipl.mek. 10

dhe komponentës vertikale të shpejtësisë:

�⃗⃗� 𝒚 = −�⃗⃗� 𝒕

Shpejtësia rezultante, pas kohës t nga fillimi i lëvizjes është:

�⃗⃗� = √�⃗⃗� 𝒙𝟐 + �⃗⃗� 𝒚𝟐 = √�⃗⃗� 𝟎𝟐 + (�⃗⃗� 𝒕)𝟐

Nxitimi teposhtë i trupit të hedhur me shpejtësi fillestare në drejtim horizontal është i barabartë

me nxitimin e trupit që kryen rënie të lirë dhe nuk varet nga lëvizja e tij në drejtim horizontal.

Ndryshe hedhja horizontale mund të definohet si lëvizje dydimensionale. Ajo mund të trajtohet

si kombinim i dy lëvizjeve njëdimensionale, njëra në drejtim horizontal dhe tjetra në drejtim vertikal.

Gjat të gjithë hedhjeve (vertikale, horizontale dhe të pjerët) trupi kryen rënie të lirë.

II.7. Lëvizja e njëtrajtshme rrethore

Traektorja më e thjeshtë (rruga) nga traektoret e lakuara është vija rrethore, ndërsa lëvizja e

lakuar më e thjeshtë është lëvizja e njëtrajtshme rrethore.

Lëvizja e pikës materiale në vijë rrethore me modul konstant të shpejtësisë quhet lëvizje e

njëtrajtshme rrethore.

Në figurë është paraqitur lëvizja e pikës materiale në vijë

rrethore me rreze R. Ligji i lëvizjes së pikës materiale nëpër vijë

rrethore shprehet me varshmërinë funksionale të dhënë:

𝒔 = 𝒔(𝒕)

ku s është rruga e kaluar për kohën t përgjat vijës rrethore.

Si pozitë fillestare do të marrim pikën Mo, ndërsa si kahje

pozitive të lëvizjes së pikës materiale do ta llogarisim kahjen e

kundërt të akrepave të orës.

Në momentin e kohës t1 pika materiale ka arritur në pikën

M1, ndërsa në momentin e kohës t2 ka arritur në pikën M2. Për

intervalin kohor ∆𝒕 = 𝒕𝟐 − 𝒕𝟏, pika materiale duke lëvizur nëpër

gjatësinë e vijës rrethore ka kaluar rrugën e barabartë me

gjatësinë e harkut 𝑴𝟏𝑴𝟐̂ , gjegjësisht ∆𝒔 = 𝒔𝟐 − 𝒔𝟏.

Herësi i rrugës elementare ∆𝒔 dhe intervali kohor për të

cilin është kaluar kjo rrugë elementare është e barabartë me modulin e shpejtësisë momentale:

𝒗 =∆𝒔

∆𝒕

kur ky interval kohor ∆𝒕 është mjaft i vogël (tenton kah zeroja).

Gjat lëvizjes së njëtrajtshme nëpër vijën rrethore ndryshon vetëm kahja e shpejtësisë. Prandaj

barazimi për caktimin e shpejtësisë momentale do të jetë i njejtë edhe për interval kohor më të gjatë të

paramenduar ∆𝒕, p.sh: për interval kohor ∆𝒕 = 𝒕 − 𝟎 = 𝒕, për të cilin pika materiale ka kaluar rrugën

e barabartë me gjatësinë e traektores 𝒔 = 𝑴𝟏𝑴𝟐̂ :

II. MEKANIKA

FIZIKA – I – Rrahim MUSLIU – ing.dipl.mek. 11

𝒗 =𝒔

𝒕

prej ku rrugën e kaluar s, për kohën t përgjat gjatësisë së vijës rrethore, fitohet:

𝒔 = 𝒗 ∙ 𝒕

ku v quhet shpejtësi lineare. Me atë formulë është dhënë ligji i rrugës gjat lëvizjes së njëtrajtshme të

pikës materiale nëpër vijë rrethore.

Ligji i lëvizjes së pikës materiale nëpër vijë rrethore mund të shprehet edhe në mënyrë tjetër,

nëse vëzhgojmë figurën do të shohim se kur pika materiale M lëviz nëpër vijë rrethore, atëherë

rrezevektori �⃗⃗� përshkruan një kënd φ. Prandaj ligjin për lëvizjen e pikës materiale nëpër vijë rrethore

mund ta paraqesim edhe me anë të funksionit :

𝝋 = 𝝋(𝒕)

Raporti i ndryshimit (rritjes) të këndit të rrotullimit ∆𝝋 ndaj intervalit kohor për të cilin ka

ndodhur ky ndryshim, quhet shpejtësi këndore mesatare (shenja ω).

𝝎𝒎𝒆𝒔 =𝝋𝟐 − 𝝋𝟏

𝒕𝟐 − 𝒕𝟏=

∆𝝋

∆𝒕

Meqë lëvizja e njëtrajtshme nëpër vijën rrethore është lëvizje me shpejtësi këndore konstante (ω

= const.), nëse këndi fillon të matet në momentin e kohës to = 0, atëherë shpejtësia këndore në

momentin e dhënë të kohës caktohet me formulën:

𝝎 =𝝋

𝒕

Nëse këndi φ matet në radian, atëherë gjatësia e harkut s, të prerë nga ai kënd i vijës rrethore me

rreze R do të jetë i barabartë me:

𝒔 = 𝝋 ∙ 𝑹

Nga ky barazim dhe nga barazimi i rrugës 𝒔 = 𝒗 ∙ 𝒕, fitohet lidhëshmëria e shpejtësisë lineare të

pikës materiale, e cila lëviz njëtrajtësisht nëpër vijën rrethore, me shpejtësi këndore ω të rrotullimit të

rrezevektorit, moduli i së cilës është i barabartë me rrezen e vijës rrethore:

𝒗 = 𝝎 ∙ 𝑹

Perioda e rrotullimit: Çdo lëvizje që përsëritet në interval të barabartë të kohës quhet lëvizje

periodike.

Lëvizja periodike më e thjeshtë është lëvizja e njëtrajtshme e pikës materilae nëpër vijën rrethore.

Koha për një rrotullim të plotë të pikës materiale përgjat vijës rrethore quhet periodë (T), dhe ka

dimensionin e kohës e cila matet njejtë si koha – sekondë (s).

Frekuenca e rrotullimit: Numri i rrotullimeve i pikës materiale, që i kryen në njësi të kohës

quhet frekuencë e rrotullimit (n). Njësia e saj në SI është sekonda në fuqi minus (s-1). Për vlera

numerike shprehet “në sekondë”, p.sh: 10s-1 lexohet “dhjetë në sekondë”. Mund të përdoret edhe njësia

minutë në fuqi minus një (min-1), p.sh: 1000 min-1, dhe lexohet “një mijë në minut”.

Frekuenca e rrotullimit n dhe perioda T janë vlera reciproke:

𝑻 =𝟏

𝒏

Ndërmjet frekuencës së rrotullinit n, shpejtësisë këndore ω dhe periodës T gjat lëvizjes së

njëtrajtshme nëpër vijën rrethore, ekziston varshmëri e caktuar, e cila është dhënë me anë të formulës:

II. MEKANIKA

FIZIKA – I – Rrahim MUSLIU – ing.dipl.mek. 12

𝝎 =𝟐𝝅

𝑻 ; 𝝎 = 𝟐𝝅 ∙ 𝒏

Numri i përgjithshëm i rrotullimeve N për kohë të caktuar t, llogaritet sipas barazimit:

𝑵 = 𝒏 ∙ 𝒕

II.8. Nxitimi centripedal

Gjat lëvizjes së njëtrajtshme të pikës materiale nëpër vijën rrethore, moduli i shpejtësisë nuk

ndryshon, por ndryshon vetëm vektori i shpejtësisë i cili ndërron drejtim. Drejtimi i vektorit të

shpejtësisë ndryshon pandërprerë prej pike në pikë dhe përputhet me tangjentën e vijës rrethore në

pikën e dhënë.

Prandaj edhe lëvizja e pikës materiale, me modul konstant të shpejtësisë nëpër vijën rrethore

është lëvizje e nxituar.

Nxitimi i lidhur me ndryshimin e drejtimit të shpejtësisë së pikës materiale që lëviz nëpër vijë

rrethore quhet nxitim centripedal (qendërsynues).

Nxitimi centripedal çdoherë është i orientuar kah qendra e vijës rrethore, dhe moduli i tij është i

barabartë me:

𝒂 =𝒗𝟐

𝑹

Pika materiale që lëviz njëtrajtësisht në vijën rrethore me rreze R

në momentin e kohës t = t1 është gjendur në pikën M1. Në momentin e

kohës t = t2 ajo ka arritur në M2. Prë kohën Δt = t2 – t1 rrezevektori është

rrotulluar për këndin Δφ. Gjat kësaj ka ndryshuar edhe vektori i

shpejtësisë prej v1 në v2.

Meqë koha Δt është shumë e vogël, pikat M1 dhe M2 janë shumë

afër njëra tjetrës. Kjo do të thotë se harku 𝑴𝟏𝑴𝟐̂ dhe këndi Δφ që i

takon atij harku, gjithashtu do të jenë shumë të vegjël.

Nëse vektorin e shpejtësisë �⃗⃗� 𝟏 e zhvendosim paralel me vetveten,

ashtuqë fillimi i tij të përputhet me fillimin e vektorit �⃗⃗� 𝟐 (në pikën M2)

duke përdorur rregullën e zbritjes së vektorëve, do të fitojmë vektorin e

ndryshimit të shpejtësisë ∆�⃗⃗� = �⃗⃗� 𝟐 − �⃗⃗� 𝟏.

Trekëndëshat M1OM2 dhe M2AB janë të ngjashëm, pasi këndet e

tyre M1OM2 dhe AM1B janë të barabartë (kënde me krah reciprokisht normal).

Nga ngjashmëria e trekëndëshave vijon:

∆𝒗

𝒗=

∆𝑹

𝑹 , 𝒐𝒔𝒆 ∆𝒗 = 𝒗

∆𝑹

𝑹

ku ∆𝑹 është moduli i vektorit të zhvendosjes ∆𝑹. Pasi koha ∆𝒕 është shumë e vogël, moduli i

zhvendosjes mund të zëvendësohet me rrugën elementare të kaluar ∆𝒔, të barabartë me harkun e rrethit

𝑴𝟏𝑴𝟐̂ dhe fitohet:

∆𝒗 = 𝒗∆𝑺

𝑹

II. MEKANIKA

FIZIKA – I – Rrahim MUSLIU – ing.dipl.mek. 13

Nëse të dy anët e barazimit pjestohen me kohën ∆𝒕, fitohet:

∆𝒗

∆𝒕=

𝒗

𝑹∙∆𝑺

∆𝒕 ,

∆𝑺

∆𝒕= 𝒗

∆𝒗

∆𝒕= 𝒂

ose nga definicioni i nxitimit a, barazimi i fundit do të marrë këtë formë:

𝒂 =𝒗𝟐

𝑹

Meqë shpejtësia lineare, shpejtësia këndore dhe rrezja e vijës rrethore janë të lidhura me anë të

barazimit 𝒗 = 𝝎 ∙ 𝑹, nxitimi i pikës materiale gjat lëvizjes së njëtrajtshme të saj nëpër vijë rrethore,

fitohet:

𝒂 = 𝝎𝟐 ∙ 𝑹

Kahja e vektorit të nxitimit �⃗⃗� përputhet me kahjen e vektorit të ndryshimit të shpejtësisë ∆�⃗⃗� .

Kur pikat M1 dhe M2 janë shumë afër njëra tjetrës, atëherë këndi Δφ është shumë i vogël

(pothuajse i barabartë me zero). Meqë këndet M1AB dhe M1BA janë të barabartë, ndërsa shuma e

këndeve të brendshme të trekëndëshit është e barabartë me 180°, rrjedh se:

≮ 𝑴𝟏𝑨𝑩 =≮ 𝑴𝟏𝑩𝑨 = 𝟗𝟎𝒐

Gjat këndit të vogël Δφ ndërmjet vektorëve, vektori i

ndryshimit të tyre është normal me çdonjërin prej tyre.

Vektori i nxitimit ka kahje normale të tangjentës (respektivisht

drejtimin e shpejtësisë lineare), ndërsa kahja e tij do të jetë nëpër

rrezen kah qendra O e vijës rrethore (fig.2).

Prandaj edhe quhet nxitim centripedal (qendërsynues).

II.9. Ligji i I i Njutnit

Në fillim Aristoteli ka llogaritur se të gjithë trupave u takon vend i caktuar, gjegjësisht trupat e

lehtë lëvizin lartë, kurse trupat e rëndë lëvizin poshtë. Sipas këtij parimi ai ka thënë se këto janë lëvizje

natyrore, ku ka analizuar lëvizjen e yjeve dhe trupave qiellorë në gjithësi.

Lëvizjet tjera që nuk bëjnë pjesë në lëvizjet natyrore i ka quajtur lëvizje të dhunshme. Arsyen

për të cilën trupat kryejnë lëvizje të dhunshme e ka quajtur forcë.

Poashtu ai ka llogaritur se trupat munden vetëm të rruajnë gjendjen e tyre të qetësisë, ndërsa

lëvizjet i bëjnë vetëm nën ndikim të forcës.

Me përfundimet e këtilla nuk është pajtuar Galileo Galilei duke e mohuar formulimin e

Aristotelit, për një nga ligjet e natyrës i cili thotë se trupat e lehtë lëvizin lartë kurse trupat e rëndë

lëvizin poshtë (rënia e lirë).

Që nga atëherë e deri më sot pyetjet e pazgjidhura në shkencën natyrore zgjidhen me vëzhgim

dhe me eksperimente.

Galilei shumë qartë ka treguar se nuk ka arsye që të sqarohet ruajtja e shpejtësisë së trupave gjat

lëvizjes së tyre, por ndryshimi i saj.

Kështu Galilei kuptimin forcë e ka lidhur me kuptimin nxitim dhe jo me shpejtësinë e trupave.

II. MEKANIKA

FIZIKA – I – Rrahim MUSLIU – ing.dipl.mek. 14

Gjat kryerjes së eksperimenteve ka arritur në përfundim se: në të gjithë rastet e lëvizjes së trupave

nëpër rrafsh të pjerët teposhtë, ekziston arsye e cila e shkakton nxitimin e trupave.

Pas përgjithësimit të rezultateve ka arritur të zbulojë ligjin për inercion të trupave i cili thotë:

Çdo trup në të cilin nuk veprojnë trupa tjerë, ai lëviz njëtrajtësisht dhe në mënyrë drejtëvizore,

ose ndodhet në gjendje të qetësisë.

Lëvizja e tillë ideale quhet

lëvizje sipas inercionit.

Isak Njutni ka bërë

përgjithësimin dhe sintezën e

gjithë asaj që ka qenë e njohur në

dinamikë, duke themeluar tri

parime të cilat janë të njohura si

ligjet e Njutnit.

Ligji i parë i Njutnit, në realitet është ligji i Galileit për inercion, i cili thotë: Çdo trup mbetet

në pozitë të qetësisë ose të lëvizjes drejtëvizore të njëtrajtshme, deri atëherë kur në atë trup nuk do të

ndikojnë trupa tjerë që të ndryshojnë pozitën e tyre.

Të gjithë sistemet referuese për të cilat vlen ligji i parë i

Njutnit quhen sisteme referuese inerciale.

Sistemi referues në krahasim me të cilin trupi gjat

kompensimit të ndikimeve të jashtme lëviz në mënyrë të

njëtrajtshme drejtëvizore quhet sistem referues inercial.

Sisteme të tilla janë: Toka si sistem referues inercial,

sistemi referues gjeocentrik, sistemi referues heliocentrik

(sistemi i Kopernikut).

Sistemi referues gjeocentrik: Merret për studimin e

lëvizjeve të satelitëve, ku qendra koordinative e të cilit është

vendosur në qendrën e Tokës, boshti OZ është i kahëzuar kah

ylli Polar, ndërsa dy boshtet tjera koordinative shtrihen në rrafshin e ekuadorit, ndërsa janë të kahëzuar

kah dy yje të largëta të palëvizshme.

Sistemi referues heliocentrik: Fillimi koordinativ gjendet në qendrën e Diellit, ndërsa tre

boshtet koordinative janë të kahëzuar kah tre yjet e largëta

të palëvizshme.

Rëndësia thelbësore e ligjit të parë të Njutnit qëndron

në atë se ai pohon se ekzistojnë sisteme referuese inerciale,

në krahasim me të cilët pika materiale e lirë, e cila nuk është

nën ndikim të asnjë trupi tjetër, bën lëvizje drejtëvizore të

njëtrajtshme ose lëvizje sipas inercionit.

Sistemet referuese të cilat lëvizin me nxitim në

krahasim me sistemet referuese inerciale quhen sisteme

referuese joinerciale (p.sh: vagoni që tërhiqet nga

lokomotiva, etj.).

II. MEKANIKA

FIZIKA – I – Rrahim MUSLIU – ing.dipl.mek. 15

II.10. Forca dhe masa, ligji i II i Njutnit

Ligji i parë i Njutnit tregonte faktin se në trupat në të cilët nuk veprojnë trupa tjerë (forca),

lëviznin me shpejtësi konstante.

Në rast se ndryshohet shpejtësia e trupit, vijmë në përfundim se në trup vepron ndonjë forcë.

Nga kjo mund të konstatojmë se: Madhësia fizike që e karakterizon veprimin e një trupi ndaj

një trupi tjetër quhet forcë.

Pas lëshimit në gjendje të lirë të trupave ato

menjiherë fillojnë që të bien vertikalisht teposhtë kah

sipërfaqja e Tokës.

Nga kinematika na është e njohur lloji i tillë i

lëvizjes me të cilin trupi kryen rënie të lirë. Meqë

trupi bie në Tokë, mund të përfundojmë se Toka

vepron në trupa.

Forca me të cilën Toka i tërheq trupat quhet forcë e rëndimit (ose rëndim Tokësor) dhe ajo

gjithmonë ka kahje vertikalisht teposhtë. Para se të kalojmë më tej, do të përkujtohemi nga kinematika

në formulën me të cilën është dhënë nxitimi:

𝒂 =𝒗 − 𝒗𝟎

𝒕

Nga kjo mund të konstatojmë se sa më e vogël të jetë koha, aq më pak ndryshon shpejtësia e

trupit për kohë të caktuar.

Nga dy trupa që bashkëveprojnë, më inert është ai trup i cili më ngadalë e ndryshon shpejtësinë

e vetë. Me këtë kuptojmë se nga inercioni i trupit varet nxitimi që e fiton ai trup nën veprimin e trupave

tjerë.

Masa për inercionin është madhësi fizike e cila quhet masë e trupave.

Nëse me 𝒎𝟏 dhe me 𝒎𝟐 i shënojmë masat e trupave që bashkëveprojnë, atëherë mund të supozohet se nxitimet që i fitojnë janë në proporcion të zhdrejtë me masat e tyre:

𝒂𝟏

𝒂𝟐=

𝒎𝟐

𝒎𝟏

Masa është madhësi e parë dinamike, kurse forca është madhësi e dytë dinamike.

Lidhja ndërmjet nxitimit të trupit si madhësi kinematike dhe masës së trupit dhe forcës si madhësi

dinamike, jepet me anë të ligjit të dytë të Njutnit, i cili thotë:

Forca që vepron në trup, është e barabartë me prodhimin e masës së trupit dhe nxitimit që ia

jep ajo forcë atij trupi.

�⃗⃗� = 𝒎 ∙ �⃗⃗�

Prej ku për nxitimin e trupit fitohet:

�⃗⃗� =�⃗⃗�

𝒎

Në sistemin SI njësia për matjen e forcës është quajtur Njutën (N), dhe forca është një njutën

kur trupit me masë prej 1kg i jepet nxitim prej 1m/s2.

𝟏𝑵 = 𝟏𝒌𝒈 ∙ 𝒎

𝒔𝟐

II. MEKANIKA

FIZIKA – I – Rrahim MUSLIU – ing.dipl.mek. 16

II.11. Ligji i III i Njutnit

Në natyrë nuk mund të ekzistojnë veprime të njëanshme të trupave.

Çdo veprim i një trupi ndaj një trupi tjetër, çon kah veprimi i trupit të dytë ndaj të parit,

gjegjësisht, bëhet fjalë për bashkëveprim ndërmjet trupave.

Ligji i tretë i Njutnit definohet në atë se forcat çdoherë paraqiten në çifte, ku zakonisht njëra forcë

quhet veprim (aksion), kurse tjetra frocë quhet kundërveprim (reaksion).

Ligji i tretë i Njutnit thotë: Veprimi është i barabartë me kunderveprimin ose aksioni i barabartë

me reaksionin.

�⃗⃗� 𝟏 = −�⃗⃗� 𝟐

Nëse dy trupa A dhe B bashkëveprojnë me forcat �⃗⃗� 𝟏𝟐 dhe �⃗⃗� 𝟐𝟏, atëherë ato dy forca janë të

barabarta sipas madhësisë (modulit), të kundërta sipas kahjes, të kahëzuara përgjat një drejtëze dhe

afrohen kah trupa të ndryshëm:

�⃗⃗� 𝟏𝟐 = −�⃗⃗� 𝟐𝟏

Ligji i tretë i Njutnit vlen për sistemet referuese inerciale. Sipas ligjit të tretë të Njutnit vijon se:

nëse ndonjë trup vepron me ndonjë forcë, atëherë me siguri ekziston edhe ndonjë trup tjetër në të

cilin trupi i parë vepron me forcë të njejtë sipas modulit, por me kahje të kundërt.

Shembull: Një trup A me masë m është i vendosur, i shtrirë në bazën B. Forca me të cilën vepron

trupi në bazën horizontale quhet rëndim i trupit G. Rëndimi i trupit A ëahtë i afruar kah baza. Forca

me të cilën vepron baza B, është e afruar kah trupi A. Kjo forcë quhet forcë e reaksionit normal të bazës

�⃗⃗� 𝒑. Në pajtim me ligjin e tretë të Njutnit, kemi:

�⃗⃗� 𝟐𝟏 = −�⃗⃗� 𝟏𝟐 , �⃗⃗� = −�⃗⃗� 𝒑 , 𝑮 = 𝑭𝒑

II. MEKANIKA

FIZIKA – I – Rrahim MUSLIU – ing.dipl.mek. 17

II.12. Forca centripedale

Gjat studimit të lëvizjes së lakuar në kinematikë, në rastin kur ndryshohet shpejtësia në kahje me

modul, nxitimi me të cilin lëviz pika materiale është i përbërë nga dy komponenta: nxitimin normal

(centripedal) 𝒂𝒏 dhe nxitimin tangjencial 𝒂𝝉:

�⃗⃗� = �⃗⃗� 𝒏 + �⃗⃗� 𝝉

Forca nën veprimin e së cilës pika materiale fiton

nxitim, përbëhet nga dy komponenta: njëra është

tangjenciale, e cila vepron nëpër tangjentën e

traektores së pikës së dhënë dhe tjetra është normale

në tangjentën, por me kahje kah qendra e lakores dhe

quhet forcë centripedale.

�⃗⃗� = �⃗⃗� 𝒏 + �⃗⃗� 𝝉

prej ku rrjedh se:

�⃗⃗� 𝝉 = 𝒎 ∙ �⃗⃗� 𝝉

�⃗⃗� 𝒏 = 𝒎 ∙𝒗𝟐

𝑹∙ �⃗⃗�

Moduli i forcës normale (centripedale) është dhënë me barazimin:

𝑭𝒏 = 𝒎 ∙𝒗𝟐

𝑹

ku: R – është rrezja e vijës rrethore, moduli (madhësia) i forcës së pikës materiale.

Lëvizja e pikës materiale nëpër vijë rrethore me modul

konstant të shpejtësisë quhet lëvizje e njëtrajtshme nëpër vijën

rrethore. Meqë moduli i shpejtësisë nuk ndryshon, nxitimi

tangjencial është i barabartë me zero (�⃗⃗� 𝝉 = 𝟎), prandaj gjat lëvizjes

së njëtrajtshme nëpër vijë rrethore të pikës materiale, vepron vetëm

forca normale (centripedale), e cila është shkaktare për ndryshimin

e kahjes së shpejtësisë �⃗⃗� .

Forca centripedale mund të shprehet me anë të shpejtësisë

këndore:

𝑭𝒏 = 𝒎 ∙ 𝝎𝟐 ∙ 𝑹

Nga kjo formulë shihet se me zmadhimin e shpejtësisë këndore edhe forca centripedale

zmadhohet (rritet) shpejtë, e cila është e nevojshme për mbajtjen e lëvizjes së njëtrajtshme të pikës

materiale nëpër vijë rrethore.

Kjo dukuri është përdorur për konstruktimin e disa llojeve të tahometrave. Tahometrat janë

instrumente të cilët shërbejnë për caktimin e frekuencës së rrotullimit të makinave.

Rol të forcës centripedale mund të kenë disa forca të ndryshme, si p.sh: forca elastike, forca e

fërkimit, forca e gravitetit të tokës, forcat elastike dhe magnetike, etj.

II. MEKANIKA

FIZIKA – I – Rrahim MUSLIU – ing.dipl.mek. 18

II.13. Impulsi i trupit, ligji për ruajtjen e impulsit

Me ndihmën e barazimit themelor të dinamikës �⃗⃗� = 𝒎 ∙ �⃗⃗� , mund të zgjidhet çdo detyrë ose çdo

lloj lëvizje që i përket një pike materiale ose trupi të caktuar.

Nëse në një trup me masë të caktuar m, vepron forca konstante

�⃗⃗� = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ , atëherë ajo forcë i jep edhe nxitim konstant �⃗⃗� = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ :

�⃗⃗� = 𝒎 ∙ �⃗⃗� ⟹ �⃗⃗� = 𝒎 ∙�⃗⃗� 𝟐 − �⃗⃗� 𝟏

∆𝒕

prej ku fitohet:

�⃗⃗� ∙ ∆𝒕 = 𝒎 ∙ (�⃗⃗� 𝟐 − �⃗⃗� 𝟏)

Barazimi i fundit paraqet formën e re të ligjit të dytë të Njutnit, ku prodhimi i masës së trupit dhe

shpejtësisë së trupit është madhësi e re dinamike e cila quhet impuls i trupit.

�⃗⃗� = 𝒎 ∙ �⃗⃗�

Prodhimi i forcës �⃗⃗� dhe intervalit kohor të veprimit të saj Δt, është madhësi e re dinamike që

quhet impulsi i forcës.

Këto madhësi dinamike nëse zbatohen në ligjin e dytë të Njutnit, barazimi do të merr formën:

�⃗⃗� ∙ ∆𝒕 = ∆(𝒎 ∙ �⃗⃗� ) ⟹ �⃗⃗� ∙ ∆𝒕 = ∆�⃗⃗�

Nga barazimi i fundit mund të themi se ligji i dytë i Njutnit mund të formulohet edhe ndryshe,

gjegjësisht: Impulsi i forcës është i barabartë me ndryshimin e impulsit të trupit.

Ligji për ruajtjen e impulsit:

Madhësitë dinamike të fituara më sipër impuls i trupit dhe impuls i forcës, mund t’i shprehim në

një formë të re të ligjit të tretë të Njutnit.

Për këtë qëllim do të shqyrtojmë një detyrë të thjeshtë:

ndeshjen e dy sferave elastike me masa 𝒎𝟏 dhe 𝒎𝟐.

Në momentin e dhënë të kohës, të dy sferat kanë

shpejtësi 𝒗𝟏 dhe 𝒗𝟐. Gjat intervalit kohorë ∆𝒕, ato veprojnë

njëri ndaj tjetrit me forcat �⃗⃗� 𝟏 dhe �⃗⃗� 𝟐, të cilat në pajtim me

ligjin e tretë të Njutnit kanë module të barabarta, drejtim të

njejtë por kanë kahje të kundërta.

Që të zgjedhim këtë problematikë, do të shfrytëzojmë formën e re të ligjit të tretë të Njutnit:

�⃗⃗� ∙ ∆𝒕 = ∆�⃗⃗�

ku:

Për sferën e parë do të kemi: �⃗⃗� 𝟏∆𝒕 = ∆�⃗⃗� 𝟏 = �⃗⃗� 𝟏′ − �⃗⃗� 𝟏

Për sferën e dytë do të kemi: �⃗⃗� 𝟐∆𝒕 = ∆�⃗⃗� 𝟐 = �⃗⃗� 𝟐′ − �⃗⃗� 𝟐

Meqenëse forcat �⃗⃗� 𝟏 dhe �⃗⃗� 𝟐 veprojnë në interval kohor rë njejtë ∆𝒕, atëherë në pajtim me ligjin e

tretë të Njutnit �⃗⃗� 𝟏 = −�⃗⃗� 𝟐, mund të shkruhet barazimi:

�⃗⃗� 𝟏∆𝒕 = �⃗⃗� 𝟐∆𝒕 ⟹ �⃗⃗� 𝟏′ − �⃗⃗� 𝟏 = −(�⃗⃗� 𝟐

′ − �⃗⃗� 𝟐)

II. MEKANIKA

FIZIKA – I – Rrahim MUSLIU – ing.dipl.mek. 19

prej ku vijon:

�⃗⃗� 𝟏′ + �⃗⃗� 𝟐

′ = �⃗⃗� 𝟏 + �⃗⃗� 𝟐

Nga barazimi i fundit dhe nga barazimi themelor i dinamikës (ligji i dytë i Njutnit), dhe me

madhësitë e reja impuls i trupit dhe impuls i forcës, arrijmë në një rezultat shumë të rëndësishëm i cili

thotë: Shuma e impulseve të trupave para bashkëveprimit të tyre është e barabartë me shumën e

impulseve pas bashkëveprimit të tyre.

Ky barazim mund të shkruhet edhe në formën tjetër:

�⃗⃗� 𝟏 + �⃗⃗� 𝟐 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ . 𝑜𝑠𝑒 𝒎𝟏 ∙ �⃗⃗� 𝟏 + 𝒎𝟐 ∙ �⃗⃗� 𝟐 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ .

që do të thotë se, shuma e impulseve të trupave është madhësi konstante (e pandryshueshme).

Kjo formë e re e ligjit të tretë të Njutnit nuk i lidh forcat, por e themelon lidhjen ndërmjet

rezultateve fillestare dhe atyre përfundimtare nga veprimi i atyre forcave.

Në këtë mënyrë arrihet deri tek një ligj i përgjithshëm i natyrës, ligji për ruajtjen e impulsit të

përgjithshëm të trupave në një sistem të mbyllur (izoluar).

Nëse sitemi i mbyllur përmban më shumë trupa, ligji për ruajtjen e impulsit të sistemit shkruhet

në këtë formë:

�⃗⃗� 𝟏 + �⃗⃗� 𝟐 + �⃗⃗� 𝟑 + ⋯+ �⃗⃗� 𝒏 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ .

𝒎𝟏 ∙ �⃗⃗� 𝟏 + 𝒎𝟐 ∙ �⃗⃗� 𝟐 + 𝒎𝟑 ∙ �⃗⃗� 𝟑 + ⋯+ 𝒎𝒏 ∙ �⃗⃗� 𝒏 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕.⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

II.14. Lëvizja reaktive

Një rast shumë i rëndësishëm në aplikimin praktik të ligjit për ruajtjen e impulsit është lëvizja

reaktive e trupave. Lëvizja e trupit e cila kryhet kur prej saj ndahet ndonjë pjesë me shpejtësi të caktuar

quhet lëvizje reaktive. (rrjedhja e substancës si produkt i ndezjes së ndonjë lënde djegëse)

Si rezultat i bashkëveprimit të trupit me substancën që derdhet nga ai, trupi lëviz nën veprimin e

forcës, e cila quhet forcë reaktive.

Shembull: Nëse në një karrocë kemi të

përforcuar në mënyrë horizontale një epruvetë të

mbushur me ujë deri në gjysëm dhe e ekmi mbyllur

me një tapë gome ose kallami.

Gjat nxehjes së epruvetës uji do fillojë të vlojë.

Kur do të fitohet sasi e mjaftueshme e avujve të ujit

(rritja e presionit të brendshëm), tapa do të hudhet në të majtë kurse karroca do lëviz në të djathë.

Në parim të kësaj dukurie janë të ndërtuara raketat dhe anijet kozmike të sodit, të cilat përdoren

për lundrime në hapësirë dhe për vendosje të satelitëve artificial për vëzhgim të planeteve të sistemit

Diellor, si dhe për komunikime të ndërmjetme në planetin tonë.

Çdo raketë është e ndërtuar nga dy pjesë: mbështjellësja dhe lënda djegëse për oksidim. Në

raketat me lëndë djegëse të ngurtë përdoret një lloj special i pluhurit. Në raketat me lëndë djegëse të

lëngët, si lëndë djegëse përdoren kerozini, hidrogjeni i lëngët, ndërsa si oksidues më së shpeshti

përdoret oksigjeni në gjendje agregate të lëngët.

II. MEKANIKA

FIZIKA – I – Rrahim MUSLIU – ing.dipl.mek. 20

Mbështjellësja e raketës ka formë të gypit, e cila nga njëra anë është e mbyllur, kurse nga ana

tjetër ka reaktiv special – me një ose më shumë hapje.

Shembull: Lëvizjen e raketës me masë të ndryshueshme M do ta

analizojmë duke e krahasuar me Tokën.

Për kohën Δt, masa e gazrave të derdhura është ΔM. Gazrat derdhen nga

raketa me shpejtësi u në krahasim me raketën. Shpejtësia e raketës në krahasim

me Tokën është e barabartë me �⃗⃗� + �⃗⃗� .

Ndërkohë zmadhohet edhe shpejtësia e raketës për ∆�⃗⃗� . Impulsi i

përgjithshëm i sistemit (raketa dhe gazrat e derdhur), do të jetë:

– para derdhjes së gazrave:

�⃗⃗� 𝟏 = (𝑴 + ∆𝑴) ∙ �⃗⃗�

– pas hudhjes së gazrave:

�⃗⃗� 𝟐 = 𝑴 ∙ (�⃗⃗� + ∆�⃗⃗� ) + ∆𝑴 ∙ (�⃗⃗� + ∆�⃗⃗� )

Impulsi i forcës (rezultanta e të gjithë forcave të jashtme), është i barabartë me ndryshimin e

impulsit të përgjithshëm të sistemit (raketa dhe gazrat e derdhur).

�⃗⃗� ∆𝒕 = 𝑴 ∙ (�⃗⃗� + ∆�⃗⃗� ) + ∆𝑴 ∙ (�⃗⃗� + ∆�⃗⃗� ) − (𝑴 + ∆𝑴) ∙ �⃗⃗�

Prej ku fitohet:

�⃗⃗� = 𝑴 ∙∆�⃗⃗�

∆𝒕+

∆𝑴

∆𝒕∙ �⃗⃗�

Anëtari i dytë nga ana e majtë e barazimit e paraqet forcën e cila është forcë reaktive:

�⃗⃗� 𝑹 =∆𝑴

∆𝒕∙ �⃗⃗�

Barazimi i lëvizjes së raketës ka formën:

𝑴 ∙ �⃗⃗� = �⃗⃗� − �⃗⃗� 𝑹

Ku: M – masa e raketës, a – nxitimi i raketës.

Forca reaktive vepron me kahje të kundërt nga kahja e derdhjes së gazrave dhe varet nga masa e

gazrave rrjedhës në njësi të kohës dhe nga shpejtësia e tyre.

Lansimet praktike të raketave tregojnë se rëndimi i Tokës �⃗⃗� = 𝒎 ∙ �⃗⃗� dhe rezistenca e ajrit 𝑭𝒓

nuk mund të anashkalohen, prandaj këto forca të jashtme veprojnë në raketë dhe duhet të merren

parasysh gjat përllogaritjeve.

II. MEKANIKA

FIZIKA – I – Rrahim MUSLIU – ing.dipl.mek. 21

II.15. Puna mekanike dhe fuqia

Në jetën e përditshme me fjalën punë shënohet procesi në të cilin kryhet ndonjë veprimtari fizike

ose mendore. Në fizikë kuptimi punë ka krejtësisht domethënie tjetër nga ajo në jetën e përditshme.

Në fizikë puna është e lidhur me forcën dhe zhvendosjen e trupit. Për ta pasur më të thjeshtë

kuptimin e punës, në fillim do të sqarojmë rastin kur forca konstante (F=const), vepron në një trup të

vendosur në një rrafsh horizontal.

Nën veprimin e kësaj force trupi zhvendoset (lëviz) në drejtim të veprimit të forcës. Prodhimi i

forcës dhe i rrugës quhet punë e forcës.

𝑨 = 𝑭 ∙ 𝒔

Njësia për punën në sistemin SI është

njutën–metër, e cila quhet xhul dhe shënohet

me J. Një xhul (1J) është puna e kryer prej një njutni (1N) në rrugëm prej një metri (1m).

𝟏𝑱 = 𝟏𝑵 ∙ 𝟏𝒎 = 𝟏𝑵𝒎

Puna që e kryen forca që ka kahje të njejtë me kahjen e vektorit të zhvendosjes quhet punë

pozitive, kurse puna që e kryen forca e cila ka kahje të kundërt me kahjen e vektorit të zhvendosjes

quhet punë negative.

Nëse forca vepron në një trup nën një kënd α, me kahjen e lëvizjes së trupit (fig.2), forca do të

zbërthehet në dy komponenta �⃗⃗� 𝟏 dhe �⃗⃗� 𝟐, ku njëra është me kahje në boshtin Ox dhe tjetra në kahje me

boshtin Oy. Projektimi i forcës �⃗⃗� në të dy boshtet koordinative është i barabartë me:

𝑭𝒙 = 𝑭 𝒄𝒐𝒔𝜶 , 𝑭𝒚 = 𝑭 𝒔𝒊𝒏𝜶

Komponenta �⃗⃗� 𝒙 = 𝑭𝟐𝒊 , përputhet me

kahjen e zhvendosjes (lëvizjes së trupit),

prandaj puna e kësaj komponente të forcës �⃗⃗� 𝟐,

do të jetë:

𝑨 = 𝑭𝟐∆𝒓𝒙 = 𝑭∆𝒙𝐜𝐨𝐬𝜶

Nëpër boshtin Oy nuk ka zhvendosje prandaj ∆𝒓𝒚 = ∆𝒚 = 𝟎, dhe sipas kësaj komponente �⃗⃗� 𝟏 =

𝑭𝒚𝒋 , nuk kryen punë.

Nga kjo paraqitet nevoja e një definicioni me të theksuar: puna e forcës është prodhim i

komponentës së forcës në kahjen e zhvendosjes dhe modulit (madhësisë) të zhvendosjes së trupit të

shkaktuar nga veprimi i asaj force:

𝑨 = 𝑭∆𝒓 𝐜𝐨𝐬𝜶

ku këndi α është këndi ndërmjet vektorit të forcës �⃗⃗� dhe vektorit të zhvendosjes ∆�⃗� .

Nga barazimi shihet se forca �⃗⃗� nuk do të kryejë punë për këto dy raste:

a) kur trupi nuk lëviz (�⃗� = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ , ∆𝒓 = 𝟎),

b) kur 𝜶 = 𝝅/𝟐, respektivisht kur forca �⃗⃗� ka kahje nëpër normale kah traektorja e pikës

materiale në moment të dhënë të kohës.

Nëse 𝒄𝒐𝒔 𝜶 > 𝟎, atëherë puna e forcës është pozitive dhe nëse 𝒄𝒐𝒔 𝜶 < 𝟎 (𝛼 = 180𝑜), atëherë

puna e forcës është negative (fig.3).

II. MEKANIKA

FIZIKA – I – Rrahim MUSLIU – ing.dipl.mek. 22

Puna mekanike është madhësi e tillë të

cilën e karakterizon procesi i kalimit të trupit

prej një gjendje mekanike në tjetrën.

Procesi i tillë është i mundshëm vetëm

nëse ekziston forcë e cila vepron në trup dhe

trupi do të znvendoset nën veprimin e asaj force.

Fuqia: Madhësia fizike që cakton sa punë do të kryhet në njësi të kohës quhet fuqi, dhe shënohet

me P. Kur puna A do të kryhet për kohën t, fuqia është:

𝑷 =𝑨

𝒕

Njësia për fuqinë në sistemin SI është xhul për sekondë dhe quhet vat (W):

𝟏𝑾 =𝟏𝑱

𝟏𝒔= 𝟏

𝑱

𝒔

Fuqi prej një vati (1W) kemi atëherë nëse për kohën prej një sekonde (1s) do të kryhet punë prej

një xhuli (1J).

Rekomandohet edhe përdorimi i njësive më të mëdhaja dhe më të vogla se vat: kilovat (kW),

megavat (MW), milivat (mW) dhe mikrovat (μW):

𝟏𝒌𝑾 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝑾, 𝟏𝑴𝑾 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝑾

𝟏𝒎𝑾 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝑾, 𝟏𝝁𝑾 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝑾

Nëse mjetet e udhëtimit lëvizin me shpejtësi konstante,atëherë në këto raste forcat që veprojnë

në këto mjete, duke u bazuar në motorët e tyre janë të barabartë nga moduli, ndërsa të kundërt për nga

kahja me forcat e fërkimit (forcat rezistente të mjedisit).

Në raste të tilla shpejtësia e lëvizjes së tyre përcaktohet nga fuqia e motorit. Sipas përcaktimit,

fuqia është dhënë me formulën:

𝑨 =𝑷

𝒕

Meqenëse puna është 𝑨 = 𝑭 ∙ 𝒔, ku F është moduli i forcës rezistente të mjedisit. Nëse bëhet

zëvendësimi i tyre do të fitohet:

𝑷 =𝑭 ∙ 𝒔

𝒕= 𝑭 ∙ 𝒗

Për shkak se:

𝒗 =𝒔

𝒕, 𝑜𝑠𝑒 𝒗 =

𝑷

𝑭

Në shumë raste forca e rezistencës nuk është konstante, por ajo zmadhohet me zmadhimin e

shpejtësisë. Prandaj gjat konstruktimit të automjeteve duhet të llogarisim për zmadhimin e shpejtësisë

së tyre.

Një makinë që të mund të kryejë punë të dobishme duhet të harxhojë energji. Punën që e kryen

makina çdoherë është më e vogël se energjia e harxhuar, poashtu edhe fuqia e dobishme çdoherë është

më e vogël se ajo e harxhuar.

II. MEKANIKA

FIZIKA – I – Rrahim MUSLIU – ing.dipl.mek. 23

Herësi i fuqisë së dobishme 𝑷𝑫 dhe i asaj të harxhuar 𝑷𝑯, quhet koeficienti i veprimit të

dobishëm i makinës (η):

𝜼 =𝑷𝑫

𝑷𝑯

Shpeshherë koeficienti i veprimit të dobishëm (η) shprehet në përqindje: 𝜼 =𝑷𝑫

𝑷𝑯= 𝟏𝟎𝟎%

II.16. Energjia potenciale

Trupat mund të posedojnë energji, jo vetëm pse lëvizin, por edhe për shkak të pozitës së tyre ose

të konfiguracionit të hapësirës. Ky lloj i energjisë quhet energji potenciale.

Do të shqyrtojmë dy shembuj konkret të energjisë potenciale: 1) energjia potenciale e trupit të

ngritur në një lartësi mbi sipërfaqen e Tokës, dhe 2) energjia potenciale e spirales elastike të

deformuar.

Formulat me të cilat caktohet energjia potenciale në të dy rastet do t’i fitojmë nëse llogarisim

punën e forcave në të dy rastet konkrete.

1) Energjia potenciale e trupit të ngritur në jë lartësi të caktuar nga Toka – forca e rëndimit:

Nëse një trup me masë m gjendet në një lartësi h nga sipërfaqja e Tokës dhe ai trup lirohet të

bjerë lirisht pa shpejtësi fillestare, duhet të caktohet puna e forcës së rëndimit.

Në trupin i cili gjendet në afërsi mbi sipërfaqen e

Tokës, vepron forca e rëndimit e cila mund të llogaritet

si konstante dhe caktohet me formulën �⃗⃗� = 𝒎�⃗⃗� .

Rëndimi tokësor vepron verikalisht teposhtë, dhe

nëse trupi nuk është i mbështetur, ai fillon të lëviz

vertikalisht teposhtë.

Forca e rëndimit dhe vektori i zhvendosjes ∆�⃗�

kanë kahje të njejtë (fig.1).

Pna A e forcës së rëndimit P do të jetë e barabartë

me:

𝑨 = 𝑷 ∙ ∆�⃗� = 𝒎𝒈𝒚∆𝒚 = −𝒎𝒈(𝒚𝟐 − 𝒚𝟏)

Meqenë se 𝒚𝟏 = 𝒉𝟏 dhe 𝒚𝟐 = 𝒉𝟐, puna e forcës së rëndimit do të jetë e barabartë me:

𝑨 = −(𝒎𝒈𝒉𝟐 − 𝒎𝒈𝒉𝟏)

Prodhimi i masës së trupit (m), modulit të nxitimit të rënies së lirë (g) dhe lartësisë (h) në të cilën

gjendet trupi quhet energji potenciale e trupit:

𝑬𝒑 = 𝒎𝒈𝒉

Puna e forcës së rëndimit është e barabartë me ndryshimin e energjisë potenciale me shenjë të

kundërt, gjegjësisht puna e forcës së rëndimit është e barabartë me zvogëlimin e energjisë potenciale:

𝑨 = −(𝑬𝒑𝟐 − 𝑬𝒑𝟏)

II. MEKANIKA

FIZIKA – I – Rrahim MUSLIU – ing.dipl.mek. 24

Nëse me forcën e njejtë për nga moduli, një trup do të ngritej në një lartësi nga sipërfaqja e Tokës

me forcën e rëndimit, atëherë energjia potenciale e sistemit Tokë–trup do të zmadhohet.

Nëse trupi lëviz nëpër traektore teposhtë, atëherë puna e forcës së rëndimit është pozitive, në të

kundërtën është negative. Puna e forcës së rëndimit në traektore të mbyllur është e barabartë me zero.

Forcat, puna e të cilave nuk varet nga forma e traektores quhen forca konservatore. Në grupin e

forcave konservatore bëjnë pjesë: forca e rëndimit, forca e elasticitetit (forca elastike), forca e

gravitacionit.

2) Energjia potenciale e spirales elastike të deformuar:

Kur forca e jashtme F vepron në spiralen elastike, ajo

deformohet (zgjatet ose shkurtohet). Kjo forcë është

proporcionale me deformimin e spirales elastike: F = k · Δx.

Në pajtim me ligjin e tretë të Njutnit edhe spiralja

elastike vepron me forcë elastike e cila sipas modulit është e

barabartë me forcën e jashtme, por me kahje të kundërt:

𝑭𝒆𝒍 = −𝒌 ∙ ∆𝒙.

Le të jetë susta elastike e zgjatur, ashtuqë pozita e saj

fillestare është e barabartë me 𝒙𝟏. Fillimi koordinativ i boshtit

të abshisës do të vendoset në vendin e spirales së

padeformuar (fig.2).

Forca elastike është proporcionale me deformimin e

spirales elastike, d.m.th. ajo është e ndryshueshme. Prandaj duhet të merren vlerat mesatare të saj:

𝑨 = 𝑭𝒎𝒆𝒔 ∙ ∆𝒙 = 𝑭𝒎𝒆𝒔 ∙ (𝒙𝟏 − 𝒙𝟐) =𝟏

𝟐(𝑭𝟏 + 𝑭𝟐) ∙ (𝒙𝟏 − 𝒙𝟐)

𝑨 =𝒌𝒙𝟏

𝟐

𝟐−

𝒌𝒙𝟐𝟐

𝟐

Puna e forcës elastike të spirales është e barabartë me dallimin (ndryshimin) e madhësisë kx2/2.

Kjo madhësi fizike e ka marrë emrin energji potenciale e spirales elastike të deformuar:

𝑬𝒑 =𝒌𝒙𝟐

𝟐

Puna e forcës elastike është e barabartë me zvogëlimin e energjisë potenciale të siprales elastike

të deformuar:

𝑨 = −(𝒌𝒙𝟐

𝟐

𝟐−

𝒌𝒙𝟏𝟐

𝟐)

𝑨 = −(𝑬𝒑𝟐 − 𝑬𝒑𝟏)

II. MEKANIKA

FIZIKA – I – Rrahim MUSLIU – ing.dipl.mek. 25

II.17. Energjia kinetike

Energjia e trupit definohet si aftësi e trupit për të kryer punë. Trupi që lëviz mund të kryejë punë

sepse ka shpejtësi. Energjinë që e posedon trupi i cili lëviz quhet energji kinetike.

Si llogaritet energjia kinetike e trupit? Puna e forcës së energjisë kinetike:

Do të shqyrtojmë rastin më të thjeshtë:

nëse një trup me masë m, lëviz me shpejtësi v,

vepron forcë konstante (�⃗⃗� = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ) në kahjen e

lëvizjes së trupit (fig.1).

Nën veprimin e kësaj force trupi do të kalojë distancën ∆𝒓 = 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏. Të gjendet me çka është

e barabartë puna e forcës.

Meqenë se vektorët �⃗⃗� 𝟏 dhe �⃗⃗� janë kolinear, lëvizja e trupit do të jetë drejtëvizore. Nën veprimin

e forcës konstante (�⃗⃗� = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ), trupi lëviz njëtrajtësisht i nxituar. Distanca ∆𝒙 që do të kalojë trupi

mund të shprehet nëpërmjet shpejtësisë mesatare e cila është e barabartë me vlerën mesatare aritmetike

ndërmjet shpejtësisë fillestare dhe të fundit:

𝒗𝒎𝒆𝒔 =𝒗𝟏 + 𝒗𝟐

𝟐 , 𝑔𝑗𝑒𝑔𝑗ë𝑠𝑖𝑠ℎ𝑡 ∆𝒙 = 𝒗𝒎𝒆𝒔 ∙ ∆𝒕 =

𝒗𝟏 + 𝒗𝟐

𝟐∙ ∆𝒕

Nëse i shumëzojmë të dy anët e barazimit (që e paraqesin ligjin e dytë të Njutnit F = m·a) me

distancën e zhvendosjes ∆𝒙 që e ka kaluar trupi në kahjen e veprimit të forcës F, do të fitohet:

𝑭 ∙ ∆𝒙 = 𝒎 ∙ 𝒂 ∙ ∆𝒙

Pas zëvendësimit të modulit të nxitimit të trupit e cila është e barabartë me :

𝒂 =𝒗𝟐 − 𝒗𝟏

𝒕

Nga kjo do të fitohet:

𝑭 ∙ ∆𝒙 =𝒎 ∙ 𝒗𝟐

𝟐

𝟐−

𝒎 ∙ 𝒗𝟏𝟐

𝟐

Shprehja në anën e majtë të barazimit paraqet punën e forcës (A = F·Δx), ndërsa ana e djathtë

paraqet dallimin (zmadhimin) e një madhësie e cila është e quajtur energji kinetike (𝑬𝒌 = 𝒎𝒗𝟐/𝟐).

Me futjen e madhësive fizike (puna e forcës dhe energjia kinetike e trupit), kjo formulë do të

merr formën:

𝑨 =𝒎 ∙ 𝒗𝟐

𝟐

𝟐−

𝒎 ∙ 𝒗𝟏𝟐

𝟐

𝑨 = 𝑬𝒌𝟐 − 𝑬𝒌𝟏 = ∆𝑬𝒌

Me futjen e madhësive fizike (puna e forcës dhe energjia kinetike e trupit), ligji i dytë i Njutnit

mund të formulohet me sa vijon:

Ndryshimi i energjisë kinetike i trupit është i barabartë me punën e forcës që vepron në trup

për kohën e lëvizjes së tij.

Ky pohim është i njohur si teorema e energjisë kinetike.

II. MEKANIKA

FIZIKA – I – Rrahim MUSLIU – ing.dipl.mek. 26

II.18. Ligji për ruajtjen e energjisë mekanike

Trupat që lëvizin mbi sipërfaqen e Tokës kanë edhe energji kinetike edhe potenciale. Shuma e

përgjithshme e energjisë kinetike dhe potenciale quhet energji mekanike:

𝑬 = 𝑬𝒑 + 𝑬𝒌

Përveç ligjit për ruajtjen e impulsit të përgjithshëm të trupit në një sistem të mbyllur, ekziston

edhe një ligj tjetër shumë i rëndësishëm i cili është ligji për ruajtjen e energjisë të përgjithshme

mekanike.

Për të shqyrtuar këtë ligj do të marrim dy shembuj konkret për analizim:

1). Në majën e një rrafshi me pjertësi të

dyfishtë (fig.1), nga pika A lëshohet që të

rrokulliset një sferë prej çeliku. Do të vërejmë se

gjat lëvizjes teposhtë të sferës nëpër rrafshin e

pjerët shpejtësia e tij zmadhohet, kurse gjat lëvizjes

përpjetë shpejtësia e tij zvogëlohet.

Poashtu do të vërejmë se sfera ngjitet

pothuajse deri në lartësinë e njejtë prej ku ka qenë e lëshuar që të lëviz.

2). Nëse një sferë prej gone ose prej kauçuku e lëshojmë që të bie në një sipërfaqe elastike (beton,

dysheme derase, etj.), gjat rënies së sferës do të zvogëlohet lartësia e tij, ndërsa do të rritet shpejtësia.

Kur sfera do të prekë bazën elastike ajo do të dëbohet prej sajdhe do të fillojë të lëvizë përpjetë,

ndërsa do të fillojë ti zvogëlohet shpejtësia kurse lartësia do të rritet, derisa nuk do të arrijë në lartësinë

e njejtë prej nga është lëshuar. Kjo dukuri do të përsëritet disa herë derisa sfera të pushojë mbi

sipërfaqen e bazës elastike.

Toka dhe sfera janë dy trupa të cilët bashkëveprojnë në mes veti dhe formojnë një sistem të

mbyllur. Gjat bashkëveprimit të tyre mund të ndryshojë shpejtësia e tij dhe pozita e tyre, gjegjësisht

koordinatat e tyre. Sipas kësaj mund të thuhet se ndryshon energjia kinetike dhe potenciale e tyre.

Kur trupi bie lirisht, puna e forcës së rëndimit është e barabartë me ndryshimin e energjisë

potenciale me shenjë negative:

𝑨 = −(𝑬𝒑𝟐 − 𝑬𝒑𝟏)

Kur në trup vepron forcë konstante, nën veprimin e së cilës ndryshon shpejtësia e trupit, atëherë

puna e asaj force është e barabartë me ndryshimin e energjisë kinetike:

𝑨 = 𝑬𝒌𝟐 − 𝑬𝒌𝟏

Meqë anët e majta të të dy barazimeve janë të njejta, atëherë vijon se edhe anët e djathta do të

jenë të barabarta:

𝑬𝒌𝟐 − 𝑬𝒌𝟏 = −(𝑬𝒑𝟐 − 𝑬𝒑𝟏)

𝑬𝒌𝟏 + 𝑬𝒑𝟏 = 𝑬𝒌𝟐 + 𝑬𝒑𝟐 , 𝑜𝑠𝑒 𝑬𝒌 + 𝑬𝒑 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕

Në sistemin e mbyllur konservativ, energjia e përgjithshme mekanike e sistemit nuk ndryshon.

II. MEKANIKA

FIZIKA – I – Rrahim MUSLIU – ing.dipl.mek. 27

Ligjin për ruajtjen e energjisë mekanike do ta

aplikojmë në sistemin Tokë–sferë. Do ti shqyrtojmë të

tre pozitat e sferës: A, B dhe C.

Në pozitën fillestare A (të përcaktuar me

lartësinë H, të matur nga sipërfaqja e Tokës), sfera

është në qetësi (𝒗𝑨 = 𝟎). Në pozitën B (të përcaktuar

me lartësinë h) shpejtësia e sferës është 𝒗𝑩, kurse gjat

goditjes shpejtësia e sferës është 𝒗𝑪.

Të llogaritet energjia e përgjithshme e sistemit:

Në pikën A:

𝑬𝒌 + 𝑬𝒑 = 𝟎 + 𝒎𝒈𝑯 = 𝒎𝒈𝑯

𝑬𝒌 + 𝑬𝒑 = 𝒎𝒈𝑯

Në pikën B:

𝑬𝒌 + 𝑬𝒑 =𝒎𝒗𝑩

𝟐

𝟐+ 𝒎𝒈𝒉 =

𝒎

𝟐𝟐𝒈(𝑯 − 𝒉) + 𝒎𝒈𝒉 = 𝒎𝒈𝑯 − 𝒎𝒈𝒉 + 𝒎𝒈𝒉 = 𝒎𝒈𝑯

𝑬𝒌 + 𝑬𝒑 = 𝒎𝒈𝑯

Në pikën C:

𝑬𝒌 + 𝑬𝒑 =𝒎𝒗𝑩

𝟐

𝟐+ 𝟎 =

𝒎

𝟐(𝟐𝒈𝑯) = 𝒎𝒈𝑯

𝑬𝒌 + 𝑬𝒑 = 𝒎𝒈𝑯

Energjia kinetike dhe potenciale e sistemit mund të ndryshohet, mirëpo energjia e përgjithshme

mbetet konstante, ruhet (E = const).

II.21. Ligjet e Keplerit

Modeli i propozuar për sistemin Diellor nga ana e Nikolla Kopernikut, i ka hedhur të gjitha

paragjykimet për gjithësinë, të cilat ishin krijuar që në kohën e Aristotelit.

Kozmologjia e tërë e mesjetës dhe Fizika, kanë qenë të bazuara në idetë se Toka është e

palëvizshme dhe se gjendet në qendër të gjithësisë. Prandaj, punët e Kopernikut kanë qenë të

nënshtruara nga kritikat e rrepta.

Teoria e Kopernikut ka qenë e mohuar si “e rrejshme dhe në kundërshtim me shkrimin e shenjtë”.

Një ndër luftëtarët më të dalluar dhe më human, për pranimin e ideve të reja për gjithësinë dhe

botën, ka qenë filozofi italian Xhordano Bruno, i cili i ka përhapur idetë e Kopernikut, duke pohuar se

Dielli nuk është qendra e gjithësisë, por gjithësia është e pafund dhe është e mbushur me yje.

Për shkak të ideve të këtilla ka qenë i dënuar nga inkuizicioni dhe pas burgimit është djegur.

Për pranimin përfundimtar të sistemit heliocentirk kontribut të madh ka dhënë fizicienti dhe

astronomi italian Galileo Galilei, i cili ka konstruktuar teleskopin dhe ka bërë zbulime të rëndësishme.

Ai ka zbuluar katër satelitët e Jupiterit dhe ka vëzhguar lëvizjen e tyre rreth tij.

II. MEKANIKA

FIZIKA – I – Rrahim MUSLIU – ing.dipl.mek. 28

Me këtë ka qenë i rrëzuar pohimi se çdo gjë patjetër duhet të lëviz (rrotullohet) rreth Tokës.

Planeti i Jupiterit me katër satelitët e tij ka qenë një shembull i një sistemi të vogël Diellor.

Galilei me anë të teleskopit ka shikuar në drejtim të kah Kashta e Kumtrit (Byku i Kumbarës)

dhe ka zbuluar se ajo është e ndërtuar nga miliona yje, të cilët janë shumë larg. Me këtë e ka përmbajtur

supozimin e Bruno-s, se Gjithësia është e pafund.

Meritë të madhe për zhvillimin e mëtejshëm të shkencës ka astronomi danez Tiho Brahe, i cili

duke punuar në observatoriumin e ishullit Hven afër Kopenhagës, i ka themeluar tabelat e mirënjohura

për lëvizjen imagjinare të planeteve.

Pas ikjes së tij në Pragë si rezultat i përndjekjes nga trashëgimtari i fronit, dhe ndihmës të tij ka

pasur Johan Kepler-in. Sipas vëzhgimeve të Brahe-s, është treguar se orbitat e planeteve të parapara

nga Nikolla Koperniku nuk janë të sakta, prandaj Brahe ka kërkuar mënyrën për përshkrim më të saktë

të orbitave të planeteve.

Detyrën e parashtruar – më mirë dhe më saktë i përshkruan orbitat e planeteve – e ka zgjidhur

astronomi gjerman Johan Kepler. Në krahasim me Brahe-n, Kepler-i ka qenë personalitet krejtësisht

tjetër, derisa Brahe ka qenë mjeshtër i pakapërcyeshëm – eksperimantator, aq më tepër Kepler-i ka

besuar në mundësitë e mëdha të matematikës.

Kepler-i me padurim ka pritur ti shikojë shënimet astronomike të Brahe-s, ku nga ai ka qenë e

sugjeruar lëvizja e Marsit. Kepleri-i e ka parashtruar pyetjen: “Nëpër çfarë lakore lëviz Marsi për kohën

e vëzhguar që i ka kryer Tiho Brahe, të cilat kanë zgjatur njëzet vite? Vëzhgimet janë kryer nga Toka.

Si lëviz Marsi? Nëpër lakore të thjeshtë, e përcaktuar sipas postulateve për palëvizshmërinë e Tokës,

ose sipas postulatit të Kopernikut?

Gjat kësaj analize ka marrë parasysh numër të madh të lakoreve vezake, dhe pas disa muajsh ka

aplikuar një formulë për elipsën, e cila burimisht ka qenë e përmendur në bibliotekën e Aleksandrisë

nën emrin e zbuluesit të saj Apolnij, dhe menjëherë e ka kuptuar se ato shumë mirë përputhen me

zbulimet e Brahe-s gjat vëzhgimeve të tij.

Kështu u realizua ideja e Kepler-it dhe ai ka konstatuar se Marsi lëviz rreth Diellit jo në orbita

rrethore por eliptike, kurse planetet tjera kanë orbita të cilat janë dukshëm më pak eliptike se ajo e

Marsit.

Duke i gjeneruar rezultatet e fituara për të gjitha planetet, Kepler-i në mënyrë empirike ka

themeluar tri ligje të kinematikës së lëvizjes së planeteve:

Ligji i parë i Kepler-it (ligji për orbitat) – Çdo planet lëviz nëpër elipsë, në të cilën në njërën nga

fokuset gjendet Dielli.

Ligji i dytë i Kepler-it (ligji për sipërfaqet) – Rreze vektori që e lidh planetin me Diellin, për

kohëra të barabarta përshkruan sipërfaqe të barabartë.

II. MEKANIKA

FIZIKA – I – Rrahim MUSLIU – ing.dipl.mek. 29

Ligji i tretë i Kepler-it (ligji për periodat) – Katrorët e kohërave gjat një rrotullimi të planeteve

rreth Diellit qëndrojnë sikurse kubet e mëdha të gjysmëboshteve të dhiareve eliptike të tyre.

𝑻𝟏𝟐

𝑻𝟐𝟐 =

𝒂𝟏𝟑

𝒂𝟐𝟑

Ligji i parë dhe i dytë i Kepleri-it kanë qenë të publikuar në vitin 1600, kurse i treti më 1619.

Ligji i tretë i Kepler-it është publikuar me titullin “Pajtueshmëria e botës”.

Tre ligjet e Kepler-it e paraqesin përshkrimin e lëvizjeve kinematike të planeteve të sistemit

Diellor. Edhe metoda e llogaritjes së lëvizjes orbitale të planeteve që ka përdorur Ptolomeu është

metodë e pastër kinematike e përshkrimit të lëvizjes së planeteve.

Në realitet bëhet fjalë për dy metoda të barabarta kinematike të përshkrimit të lëvizjes së

planeteve: Ptolomeu për përshkrimin e lëvizjes së planeteve për trup referues ka marrë Tokën.

II.19. Ligji i Njutnit për Gravitacionin

Në krahasim me sistemin referues heliocentrik, Toka hulumtohet si planet, i ngjashëm me të

gjithë planetet tjera. Kjo d.t.th. se nuk ka nevojë për themelimin e dinamikës gjeocentrike të posaçme.

Sistemi referues heliocentrik jep mundësi për aplikimin e dinamikës së Galileit dhe Njutnit.

Ëndra jetësore e Keplerit, që ta kuptojë lëvizjen e planeteve, ta kuptojë pajtueshmërinë e qiellit,

ka qenë e realizuar 36 vite pas vdekjes së tij, nga ana e Isak Njuton, njëri ndër shkencëtarët gjenial më

të mëdhenj i cili ka jetuar në këtë botë.

Ai i ka bashkuar zbulimet e Kopernikut, Keplerit, Galileit she shkencëtarëve tjerë, si në fizikë,

ashtu edhe në astronomi. Duke ua bashkangjitur edhe zbulimet e veta kështu ka themeluar një sistem,

i cili në kohën e sotme paraqet një ndër të arriturat më të mëdha në shkencë.

Që para kohës paraikonike, ka qenë e njohur se trupat bien në Tokë, nëse nuk janë të mbështetur

ose të varur. Gjat gjithë historisë së njerëzimit nuk ka pasur hamendje se Hëna lëviz rreth Tokës.

Isak Njuton ishte i pari i cili e kuptoi, se shkaku i rënies së trupave në Tokë dhe shkaku i

lëvizjes së Hënës rreth Tokës, është e njejta gjë – Toka.

Në këtë mënyrë e ka zbuluar ligjin për gravitacionin e përgjithshëm. Njutni mirë e ka ditur se

Hëna rrotullohet rreth Tokës, me periodë 𝑻 = 𝟐𝟕𝒅 𝟕𝒉𝟒𝟑𝐦𝐢𝐧𝟏𝟐𝒔.

duke vëzhguar natyrën përreth, ai i ka kushtuar

vëmendje rënies së mollës në Tokë, në ndërkohë ai e ka

parashtruar pyetjen: “Nëse molla e lirë dhe e papërforcuar

bie në drejtim kah Toka, a thua edhe Hëna, e cila gjithashtu

është trup i lirë dhe e cila gjithashtu nuk është askund e

përforcuar, nuk bie në drejtim të Tokës?!”.

Prej këtu Njutni ka arrdhë në përfundim se Hëna do të

duhej të lëvizë nëpër vijë të drejtë, nëpër tangjentën në pikë

të dhënë të orbitës eliptike të vet, nëse në të nuk vepron

ndonjë forcë e cila ndikon ashtu që sistematikisht do ta

kalojë dhiarenë, prandaj Hëna rrotullohet rreth Tokës

pothuajse nëpër vijë rrethore.

II. MEKANIKA

FIZIKA – I – Rrahim MUSLIU – ing.dipl.mek. 30

Këtë forcë tërheqëse Njutini e ka quajtur forcë të Gravitacionit. Për forcën e Gravitacionit

Njutni ka supozuar se vepron në largësi. Hëna nuk lëviz drejt kah Toka, por shmangia e çdohershme e

kahjes së lëvizjes nga vija e drejtë paraqet “rënien” e saj.

Para Njutin u parashtrua problemi: si ndryshon forca,

që vepron në planetet në rast kur ndryshon rrezja e orbitës?

Që ta zgjidh këtë problem ka përdorur ligjet e Keplerit.

Ligji i parë i Keplerit those se planetet lëvizin rreth Diellit

nëpër orbita eliptike. Meqenë se ato orbita janë shumë të

afërta me vijën rrethore, në fillim për ta thjeshtësuar do ta

pranojmë se dhiaretë e planeteve janë vija rrethore dhe se

Dielli gjendet në qendrën e këtyre vijave rrethore.

Në kushte të tilla, nxitimi i planeteve gjat lëvizjes së

tyre të njëtrajtshme nëpër vijën rrethore me rreze R është

dhënë me formulën:

𝒂𝑹 = 𝝎𝟐𝑹 =𝟒𝝅𝟐

𝑻𝟐𝑹

Në pajtim me ligjin e tretë të Keplerit, për planetet që lëvizin nëpër vija rrethore rreth Diellit,

mund të shkruhet:

𝑻𝟏𝟐 ∶ 𝑻𝟐

𝟐 ∶ 𝑻𝟑𝟐 … = 𝑹𝟏

𝟑 ∶ 𝑹𝟐𝟑 ∶ 𝑹𝟑

𝟑 … , 𝒐𝒔𝒆 𝑹𝟑

𝑻𝟐= 𝑲

ku K – është konstanta një dhe e njejtë për të gjithë planetet e sistemit Diellor. Kjo konstantë

quhet konstanta e Keplerit.

Që ta anashkalojmë periodën T të planeteve dhe të fitojmë shprehje për nxitimin 𝒂𝑹 vetëm si

funksion nga rrezja e vijës rrethore e orbitës së planetit, Njutini e ka përdorur ligjin e tretë të Keplerit:

𝑻𝟐 =𝑹𝟑

𝑲

Në ndërkohë, për nxitimin e planeteve gjat lëvizjes së saj nëpër vijën rrethore, fitohet:

𝒂𝑹 =𝟒𝝅𝟐𝑲

𝑹𝟐

Në pajtim me ligjin e dytë të Njutnit, forca

me të cilën vepron Dielli në planet masa e së cilës

është m, do të jetë:

𝑭 = 𝒎𝒂𝑹 =𝟒𝝅𝟐𝑲𝒎

𝑹𝟐

Koeficienti i proporcionalitetit 𝟒𝝅𝟐𝑲, që hyn në barazimet është një dhe i njejtë për të gjithë

planetet, prandaj ky koeficient nuk mund të varet nga masa e planetit përkatës.

Sipas kësaj, nëse forca që e shpreh bashkëveprimin ndërmjet planeteve dhe Diellit është

proporcionale me masën e planetit, atëherë ajo forcë e njejtë patjetër duhet të jetë proporcionale me

masën e Diellit:

𝟒𝝅𝟐𝑲 = 𝜸𝑴 ;𝑲 =𝜸𝑴

𝟒𝝅𝟐

II. MEKANIKA

FIZIKA – I – Rrahim MUSLIU – ing.dipl.mek. 31

Prej ku për forcën me të cilën Dielli i tërheqë planetet, fitohet:

𝑭 = 𝜸𝑴𝒎

𝑹𝟐

ku γ – është konstanta e re, e cila më vonë e merr emrin konstanta e Kevendishit, M – masa e

diellit, m – masa e planetit, R – distanca prej qendrës së diellit deri tek qendra e planetit.

Në bazë të këtyre ideve Njutni përsëri i është kthyer problemit që kishte parashtruar: llogaritja e

forcës nën veprimin e së cilës Hëna lëviz rreth Tokës.

Përputhshmëria e rezultateve të fituara për nxitimin e Hënës ka qenë dëshmi e fortë se është i

arsyeshëm paragjykimi për natyrë të njejtë të forcave që veprojnë ndërmjet Tokës dhe Hënës dhe

ndërmjet Diellit dhe planeteve.

Këto forca janë quajtur forca të gravitacionit dhe janë të ngjashme me forcën e rëndimit, që

vepron në trupin që bie në Tokë.

Meqë Dielli dhe planetet dallohen vetëm për nga madhësia e masave të tyre, prandaj është e

arsyeshme që Njutni ka supozuar se forcat tërheqëse (të gravitacionit) ekzistojnë jo vetëm ndërmjet

Diellit dhe planeteve, por edhe ndërmjet planeteve.

Sipas kësaj forca �⃗⃗� 𝟏𝟐, me të cilën trupi me masë 𝒎𝟏 e tërheq trupin me masë 𝒎𝟐 i cili gjendet

në distancë R, është e barabartë me:

�⃗⃗� 𝟏𝟐 = (𝟒𝝅𝟐𝑲𝟏)𝒎𝟐

𝑹𝟐= 𝜸

𝒎𝟏𝒎𝟐

𝑹𝟐

Nga ana tjetër, në pajtim me ligjin e tretë të Njutnit, forca �⃗⃗� 𝟐𝟏me të cilën trupi me masë 𝒎𝟐, e

tërheq trupin e parë me masë𝒎𝟏, meqenëse (𝟒𝝅𝟐𝑲𝟐) = 𝜸𝒎𝟐, do të jetë e barabartë me :

�⃗⃗� 𝟐𝟏 = (𝟒𝝅𝟐𝑲𝟐)𝒎𝟐

𝑹𝟐= 𝜸

𝒎𝟏𝒎𝟐

𝑹𝟐

Në këtë mënyrë mund të shkruhet :

�⃗⃗� 𝟐𝟏 = −�⃗⃗� 𝟏𝟐 = −𝜸𝒎𝟏𝒎𝟐

�⃗� 𝟏𝟐𝟐 �⃗� 𝟎 ; �⃗� 𝟎 =

�⃗� 𝟏𝟐

𝑹

�⃗⃗� 𝟐𝟏 = −�⃗⃗� 𝟏𝟐 = −𝜸𝒎𝟏𝒎𝟐

�⃗� 𝟏𝟐𝟐

Njutni nuk e ka ditur vlerën numerike të masës së asnjë trupi qiellor, por nuk e ka ditur as vlerën

numerike të konstantës γ. Vlerën numerike të konstantës së gravitacionit i pari e ka caktuar fizicienti

anglez Henri Kevendish në vitin 1798. Sipas tij është quajtur konstanta e Kevendishit, e cila ka vlerën:

𝜸 = 𝟔, 𝟔𝟕 ∙ 𝟏𝟎−𝟏𝟏𝑵 ∙ 𝒎 ∙ 𝒌𝒈−𝟐

Ligji i Njutnit për gravitacionin e përgjithshëm nuk është në gjendje ta sqarojë rrotullimin e

perikelit të planeteve. Ky rrotullim i perikelit të Merkurit jep sqarime të kënaqshme në kuadër të teorisë

së Ajnshtajnit për gravitacionin.

II. MEKANIKA

FIZIKA – I – Rrahim MUSLIU – ing.dipl.mek. 32

II.20. Forca e rëndesës, pesha e trupit që lëviz me nxitim në drejtim vertikal

Forca e rëndimit: Forca me të cilën Toka i tërheq trupat që gjenden në rrethin e saj (afër

sipërfaqes së saj) quhet forcë e rëndimit (rëndimi Tokësor). Ajo caktohet me formulën:

𝑷 = 𝒎 ∙ 𝒈

ku m – është masa e trupit, kurse g – është nxitimi i rënies së lirë.

Në pajtim me ligjin për gravitacionin e përgjithshëm, forca e gravitacionit me të cilën Toka e

tërheq trupin me masë m, është dhënë me formulën:

𝑭 = 𝜸𝑴𝒎

𝑹𝟐

ku M – është masa e Tokës, kurse R – është rrezja e Tokës (R=6370km).

Meqenëse bëhet fjalë për bashkëveprimin e Tokës me një trup të njejtë, vijon:

𝒎𝒈 = 𝜸𝑴𝒎

𝑹𝟐

ku për nxitim të rënies së lirë fitohet:

𝒈 = 𝜸𝑴

𝑹𝟐

Kjo d.t.th. se nxitimi i rënies së lirë nuk varet nga masa e trupit. Nxitimi i rënies së lirë g është i

njejtë për të gjithë trupat.

Vlera e llogaritur e nxitimit të rënies së lirë, sipas formulës përafërsisht është e barabartë me:

𝒈 = 𝜸𝑴

𝑹𝟐= 𝟗, 𝟖𝟑 𝒎/𝒔𝟐

Kur trupi gjendet në një lartësi h mbi sipërfaqen e Tokës, atëherë nxitimi i rënies së lirë llogaritet

me formulën:

𝒈 = 𝜸𝑴𝒎

(𝑹 + 𝒉)𝟐

Sipas rezultateve eksperimentale, nxitimi i rënies së lirë në gjerësi të ndryshme gjeografike ka

vlera të ndryshme. Shkak për këtë është rotacioni i Tokës rreth boshtit të vet dhe forma e veçantë e

Tokës, e cila quhet gjeoid. Në gjerësinë gjeografike 45o, nxitimi i rënies së lirë është g = 9,80620 m/s2.

Në pole është g = 9,83 m/s2, kurse në ekuador është g = 9,78 m/s2. Gjat llogaritjeve si vlerë

mesatare merret g = 9,81 m/s2, kurse ndonjëherë është edhe g = 10 m/s2.

Pesha e trupit: Të gjithë trupat që gjenden në sipërfaqen e Tokës ose në afërsi të saj, ajo i tërheq

në vete. Për shkak të veprimit të forcës së gravitacionit të Tokës, trupat bëjnë shtypje në bazën në të

cilën janë të vendosur, ose nëse i lëshojmë, ato bien kah Toka.

Forca me të cilën trupi bën shtypje në bazën horizontale, ose e tërheq perin në të cilin është i

varur, quhet peshë e trupit.

Pesha e trupave është e barabartë me forcën e rëndimit vetëm atëherë, kur baza në të cilën

është vendosur trupi ose varësja në të cilën është varur trupi, janë në qetësi ose lëvizin me shpejtësi

konstante (�⃗⃗� = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ).

Ekziston dallim esencial ndërmjet forcës së rëndimit dhe peshës së trupit. Forca e rëndimit ka

natyrë gravituese, kurse pesha e trupit ka natyrë elastike. Pesha e trupit është e barabartë me forcën e

II. MEKANIKA

FIZIKA – I – Rrahim MUSLIU – ing.dipl.mek. 33

reaksionit normal të bazës (mbi të cilën shtrihet trupi), ose me forcën e elasticitetit të tërheqjes së perit

(në të cilin është varur) por me kahje të kundërt:

�⃗⃗� 𝑻 = −�⃗⃗� 𝑩 ; 𝑷𝑻 = 𝑭𝑩 𝑔𝑗𝑒𝑔𝑗ë𝑠𝑖𝑠ℎ𝑡 �⃗⃗� 𝑻 = −�⃗⃗� 𝒆𝒍 ; 𝑷𝑻 = 𝑭𝒆𝒍

Forca e rëndimit dhe pesha e trupave nuk duhet të barazohen edhe për shkak të shkaqeve që

vijojnë:

1. Forca e rëndimit dhe pesha e trupit veprojnë në dy trupa të ndryshëm: forca e rëndimit

vepron në trupin që është i shtrirë kurse pesha e trupit vepron në bazën ku është shtrirë trupi.

2. Pesha e trupit mund të mos përputhet me forcën e rëndimit si për nga moduli poashtu edhe

për nga kahja, p.sh. gjat lëvizjes së trupit me nxitim, pesha e trupit ndryshon dhe mund të

fitojë vlerën zero, kurse forca e rëndimit nuk është ky rast.

Pesha e trupit që është në lëvizje me nxitim në drejtimin vertikal: Në jetën e përditshme

shpesh hasen lëvizje të trupave nëpër vertikale. Lëvizja e këtillë është lëvizja e ashensorit. Do ta

hulumtojmë forcën me të cilën trupi vepron në bazën (dyshemenë e ashensorit), d.m.th. sa do të jetë

pesha e trupit në këto kushte.

Nëse bazohemi në figurën vijuese, atëherë në vizatim e

paraqesim ashensorin në pozitë të caktuar, kurse në dysheme të

ashensorit e vendosim trupin. Lëvizjen e ashensorit e vëzhgojmë

në krahasim me sistemin referues inercial (SRI) të lidhur me

përdhesën prej ku niset ashensori.

Në trup veprojnë dy forca: forca e rëndimit �⃗⃗� = 𝒎 ∙ �⃗⃗�

dhe forca e reaksionit normal të shtypjes �⃗⃗� 𝒔𝒉.

Ligji themelor i dinamikës (ligji i dytë i Njutnit), mund të shkruhet:

𝒎 ∙ �⃗⃗� + �⃗⃗� 𝑹 = 𝒎 ∙ �⃗⃗�

Kahja e lëvizjes së ashensorit nuk ndikon në kahjen e nxitimit, prandaj do të shqyrtojmë dy raste:

1. Nxitimi me kahje vertikalisht përpjetë. I projektojmë forcat dhe nxitimin në boshtin OY:

−𝒎 ∙ 𝒈 + 𝑭𝑹 = 𝒎 ∙ 𝒂

prej ku firohet:

𝑭𝑹 = 𝒎(𝒈 + 𝒂)

Në pajtim me ligjin e tretë të Njutnit, forca me të cilën dyshemeja e ashensorit vepron në trup

është e barabartë me forcën me të cilën trupi vepron në dysheme, gjegjësisht me peshën e trupit:

�⃗⃗� 𝑹 = −�⃗⃗� ; 𝑭𝑹 = 𝑮 ; 𝑮 = 𝒎(𝒈 + 𝒂)

II. MEKANIKA

FIZIKA – I – Rrahim MUSLIU – ing.dipl.mek. 34

2. Nxitimi me kahje vertikalisht teposhtë. I projektojmë forcën dhe nxitimin në boshtin OY,

fitojmë:

𝒎 ∙ �⃗⃗� = �⃗⃗� 𝑹 = 𝒎 ∙ �⃗⃗�

prej ku fitohet:

𝑭𝑹 = 𝒎(𝒈 − 𝒂)

Pesha e trupit do të jetë:

𝑮 = 𝒈 − 𝒂

Nëse �⃗⃗� = �⃗⃗� , atëherë pesha e trupit është e barabartë me zero. Në këtë rast trupi i cili është i

shtrirë në dyshemenë e ashensorit aspak nuk do të bëjë shtypje në të, ose nëse është i varur në tavan të

ashensorit në spirale elastike (dinamometër), spiralja nuk do të zgjatet.

Gjat rënies së lirë, trupat gjenden në gjendje pa peshë.

Pesha e trupit që është i shtrirë në dyshemenë e ashensorit i cili lëviz me nxitim mund të

jetë më e madhe ose më e vogël nga pesha e trupit, kur baza në të cilën është i shtrirë është në

qetësi ose lëviz me shpejtësi konstante. Pesha e trupit mund të jetë edhe e barabartë me zero, në

këtë rast trupi është në gjendje pa peshë.

II.22. Lëvizja e satelitëve artificial

Me zbulimin e ligjit për gravitacionin është mundësuar të sqarohen ligjëshmëritë e lëvizjes së

planeteve rreth Diellit, të cilat janë zbuluar nga Johan Kepler.

Pas caktimit eksperimental të konstantës së gravitacionit nga ana e Henri Kevendish, ligji i dytë

i Njutnit dhe ligji i Njutnit për gravitacionin e përgjithshëm, japin mundësinë që të caktohet traektorja

e lëvizjes së planeteve dhe satelitëve të tyre, poashtu të llogariten edhe traektoret e anijeve kozmike

dhe koordinatat e tyre në çdo moment të kohës.

Në bazë të mekanikës së Njutnit, ligjin e gravitacionit, masa dhe rrezja e Tokës dhe konstantën e

gravitacionit (Kevendishit), me ndihmën e së cilave mund të llogariten shpejtësitë e nevojshme për

lansimin që të mundet njdonjë satelit të hudhet në kozmos normalisht nga sipërfaqja e Tokës, ose

ndonjë satelit tjetër të lansohet në orbitë rrethore rreth Tokës.

Trupat e hedhur nga sipërfaqja e Tokës, që të mund të lëvizin nëpër orbita rreth Tokës, ose rreth

ndonjë trupi tjetër qiellor, quhen satelitë artificial.

Që të mundet një trup të shndërrohet në trup kozmik, ai duhet të nxirret jashtë atmosferës së

Tokës, dhe t’i jepet shpejtësi fillestare të mjaftueshme. Në kozmonautikë kjo është e njohur si lansim

i trupit në orbitë.

Shpejtësia më e vogël fillestare 𝒗𝟎 = 𝒗𝟏, që duhet t’i komunikohet një trupi, që të bëhet satelit

artificial i Tokës, quhet shpejtësia e parë kozmike. Shpejtësia e parë kozmike është e njohur me emrin

shpejtësia rrethore.

Ermin e ka marrë për shkak se ajo është e barabartë me shpejtësinë e satelitit artificial, i cili

rrotullohet rreth Tokës, në mungesë të rezistencës së atmosferës, nëpër orbitë rrethore vetëm nën

ndikimin e forcës së gravitacionit të Tokës (forcës së rëndimit).

Që të mundet rezistenca e ajrit të anashkalohet, lartësia e trupit duhet të jetë e madhe. Kështu

p.sh. gjat llogaritjeve mund të merret se rrezja e orbitës r është e barabartë me 6700 km. Nëse masa e

Tokës merret se është 𝑴 = 𝟔 ∙ 𝟏𝟎𝟐𝟒𝒌𝒈 dhe 𝜸 = 𝟔, 𝟔𝟕 ∙ 𝟏𝟎−𝟏𝟏𝑵 ∙ 𝒎 ∙ 𝒌𝒈, për shpejtësinë e parë

kozmike fitohet 𝒗 = 𝟖𝒌𝒎/𝒔.

II. MEKANIKA

FIZIKA – I – Rrahim MUSLIU – ing.dipl.mek. 35

Nëse shpejtësia është më e vogël sateliti do të bjerë

në Tokë. Dhe nëse shpejtësia është më e madhe, atëherë

traektorja më nuk do të jetë vijë rrethore por do të jetë

eliptike.

Shpejtësia me të cilën duhet të lansohet një trup, që

ta braktis Tokës – ta mbizotërojë forcën e gravitacionit

të Tokës dhe të bëhet satelit artificial i Diellit quhet

shpejtësia e dytë kozmike.

Kjo shpejtësi ndryshe quhet edhe si shpejtësi

parabolike, sepse kjo shpejtësi o përshtatet traektores

parabolike të trupit në fushën e gravitacionit të Tokës (në

mungesë të rezistencës së atmosferës).

Vlerën e shpejtësisë së dytë kozmike do ta

shënojmë pa llogaritur:

𝒗 = 𝟐𝒈 ∙ 𝑹 = 𝟏𝟏, 𝟐𝒌𝒎/𝒔

Me krahasimin e formulave për shpejtësinë e parë dhe të dytë kozmike, fitohet:

𝒗𝟐 = 𝒗𝟏√𝟐 = 𝟏𝟏, 𝟐𝒌𝒎/𝒔

Për shkak të vlerave të mëdhaja të shpejtësisë së parë dhe të dytë kozmike, gjat lansimit të anijeve

kozmike përdoren raketa shumë shkallëshe.

Prej lansimit të satelitit të parë artificial të Tokës më 4 Tetor 1957 e deri më sot, teknika e lansimit

dhe e drejtimit me satelitë artificial dhe stacionet kozmike është në rritje të dukshme.

Stacionet interplanetare ruse “Venera”, “Mars”, “Vega”, si dhe stacionet amerikane “Vojazher”

dhe “Pionir” kanë mundësuar që të hulumtohet atmosfera dhe sipërfaqja e planeteve Venera dhe Mars,

duke i fotografuar të gjitha planetet dhe satelitët e tyre.

Nëse perioda e satelitit artificial të Tokës është e barabartë me periodën e rrotullimit të Tokës

rreth boshtit të vet (24h), atëherë sateliti i tillë në krahasim me vëzhguesin e palëvizshëm në Tokë duket

statik (i palëvizshëm).

Gjat kësaj duhet të plotësohet kushti: të gjendet mbi një punkt (pikë) të ekuatorit të Tokës.

Ndryshe, sateliti që lëviz në rrafshin e ekuatorit të Tokës, rri i varur mbi ndonjë pikë mbi sipërfaqen e

Tokës.

Satelitët e tillë quhen satelitë sinkron ose gjeostacionar. Satelitët sinkron mund të shërbejnë dhe

të mundësojnë translacione interkontinentale shumëshkallëshe.

II.23. Njohuri nga Astronomia

Astronomia, që nga etimologjia do të thotë "ligji i yjeve" (greq.: astro + nomos), e cila është

shkencë që përfshin vrojtimin dhe shpjegimin e dukurive që ndodhin jashtë Tokës dhe atmosferës së

saj.

Ajo studion prejardhjen, zhvillimin, vetitë fizike dhe kimike të të gjitha trupave jashtë tokësorë

që mund të vrojtohen në qiell, së bashku me të gjitha proçeset (ecuritë) në të cilat ato përfshihen.

Me ndryshimin e kohërave kanë ndryshuar dhe degët e saj të studimit.

II. MEKANIKA

FIZIKA – I – Rrahim MUSLIU – ing.dipl.mek. 36

Astronomia është ndër të paktat shkenca ku amatorët

luajnë ende një rol, sidomos në zbulimin dhe vëzhqimin e

dukurive qiellore. Astronomia nuk duhet ngatërruar me

astrologjinë, apo pseudoshkencat të cilat përpiqen të

zbulojnë fatin e njerëzve duke vrojtuar lëvizjen e trupave

qiellorë.

Megjithëse të dyja bazohen tek të njëjtat parime

(vrojtimin e qiellit), ato janë të ndryshme: astronomia

bazohet në studimin sipas metodave shkencore, ndërsa

astrologjia nuk ka baza në metoda të tilla.

Astronomia në vete ka përfshirë më shumë pjesë: mekanikën qiellore, kozmogoninë,

kozmonautikën dhe astrofizikën.

Pjesa e astonomisë e cila e studion themelimin dhe zhvillimin e trupave qiellorë quhet kozmogoni

(gr. cosmo + genos = gjithësi + krijim).

Kozmonautika e studion lëvizjen e anijeve kozmike në hapësirën kozmike.

Astorifizika është degë e astronomisë e cila merret me natyrën dhe ndërtimin e gjithësisë, duke

përfshirë vetitë fizike (ndriçimin, dendësinë, temperaturën, dhe përbërjen kimike) të trupave qiellore

si yjet, galaktikë dhe mjedisit ndëryjor, si edhe ndërveprimeve të tyre.

Planetet e sistemit Diellor

Astronomia përbehet nga disa degë. Ndarja e parë bëhet në astronomi teorike, dhe astronomi

vrojtuese. Vrojtuesit përdorin mënyra të ndryshme për të marrë të dhëna mbi dukuri të ndryshme, të

dhëna që përdoren nga teoricienët për ndërtimin e modeleve, shpjegimin e këtyre dukurive dhe

parashikimin e të tjerëve të ngjashëm. Kjo nuk do të thotë që vrojtuesit dhe teoricienët janë persona të

ndryshëm.

Degët e studimit mund të ndahen edhe sipas dy kritereve:

sipas subjektit (p.sh planetët ose galaktikat) ose problematikave (formimi i yjeve ose i

planetëve),

sipas zonës së spektrit elektromagnetik të studiuar.

Ndarja sipas subjektit ose problematikës:

Astrometria: Mat vendosjen dhe zhvendosjen e objekteve (sendeve) qiellore. Nevojitet

të përcaktojë sistemin e përdorur të vend-ndodhjes dhe lëvizje-matjen e objekteve në

galaksinë tonë.

Kozmologjia: Studimi i gjithësisë në tërësi dhe zhvillimin e saj.

II. MEKANIKA

FIZIKA – I – Rrahim MUSLIU – ing.dipl.mek. 37

Astronomia galaktikore: Ishte studimi i ndërtimtarisë dhe përbërësve të galaktikës sonë.

Tani përfshin studimin e galaktikave të tjera që mund të vëzhgohen me hollësi.

Astronomia Tejgalaktikore: Studimi i objekteve (kryesisht galaksive) jashtë galaksisë

sonë.

Formimi dhe zhvillimi i galaktikave: Studimi i formimit të galaksive, dhe zhvillimit të

tyre në gjendjen e vëzhguar të tashme.

Shkenca planetare: Studimi i planetëve të sistemit diellor është (në kohët e fundit),

nganjëherë i menduar një disiplinë e ndryshme; e quajtur gjithashtu planetologji.

Astronomia yjore: Studimi i yjeve në përgjithësi.

Zhvillimi i yjeve: Studimi dhe zhvillimi i yjeve nga formimi i tyre deri në fundin e tyre si

mbetje yjore.

Formimi i yjeve: Studimi i kushteve dhe proceseve (ecurive) që kanë çuar në formimin e

yjeve në brendësinë e reve të gazta, dhe vetë ecurinë e formimit.

Gjithashtu, ka edhe disiplina të tjera që mund të mendohen pjesë e astronomisë, ose janë shkenca

ndërdisiplinore në lidhje me astronominë si:

Arkeoastronomia: është studimi se si njerëzit në të kaluarën, kanë kuptuar fenomenet në

qiell, si ata i kanë përdorur këto fenomene dhe

çfarë roli ka luajtur qielli në kulturat e tyre.

Astrobiologjia: është studimi i origjinës,

evolucionit, shpërndarjes, dhe të ardhmen e

jetës në univers, jetës jashtëtokësore dhe jetës

në Tokë.

Astrokimia: është studimi i begatisë dhe

reagimet e elementeve kimike dhe molekulave

në gjithësi, dhe ndërveprimin i tyre me

rrezatim.

Galaksioni Andromeda