- 11 -

II. OSCILAII I UNDE MECANICE

1. Oscilatorul liniar armonic

Micarea unui corp este o micare oscilatorie dac se repet periodic n timp. Micarea oscilatorie are loc n jurul unei poziii de echilibru. O deplasare a corpului din poziia de echilibru presupune existena unei fore care s readuc corpul n poziia de echilibru. n poziia de echilibru aceast for este zero (din definiia echilibrului).

Considerm un corp de mas m legat de un resort care oscileaz fr frecare n lungul axei Ox. Studiem micarea centrului de mas al corpului.

Particulariznd formula de definiie a forei

de tip conservativ

rU F r

r

=

la oscilatorul liniar considerat rezult:

F = xU

unde U este energia potenial. Din condiia de echilibru a corpului (F = 0) rezult:

0 xU

xx 0=

= (1.1)

unde x0 este coordonata poziiei de echilibru (x0 este soluia ecuaiei 0 xU=

).

Pentru deplasri x x0 mici putem dezvolta energia potenial U n serie Taylor n jurul lui x0:

U(x) = U(x0) + ( ) xx xU

xx0

0

=+ ( )2xx

2x

U2

xx 2

1 00

= (1.2)

n care am neglijat termenii de ordin superior. Al doilea termen din (1.2) este zero datorit condiiei de echilibru (1.1).

Mrimea k =

=2x

U2

xx 0 se numete constant elastic.

Deci:

U(x) = U(x0) + ( )

2

2xxk 0 (1.3)

Putem alege x0 = 0 (translatm originea axei Ox n centrul de mas al corpului) i U(x0) = 0 (energia potenial de referin este nul). Astfel energia potenial a oscilatorului liniar devine:

- 12 -

U = 2

2kx (1.4)

care reprezint grafic o parabol. Pentru deplasri mici n jurul poziiei de echilibru energia potenial real (curba punctat) poate fi aproximat prin relaia (1.4).

Fora

F= kx xU =

)4.1(

(1.5)

va readuce corpul n poziia de echilibru dac se opune deplasrii. Astfel condiia de echilibru stabil n punctul x0 = 0 este:

k > 0 (1.6)

Deoarece pentru valori ale lui x pozitive sau negative dar suficient de mici (pentru a fi valabil relaia (1.4)) funcia U(x) este cresctoare, rezult c n poziia de echilibru stabil (x0 = 0) energia potenial U(x) are un minim.

Funcia lui Hamilton pentru oscilatorul liniar are expresia:

H = T + U = 2

2mv + U = m2

2p + 2

2kx (1.7)

Ecuaiile lui Hamilton sunt:

mp

pH x =

=&

(1.8)

kx xH p =

=&

Eliminnd p din cele dou relaii:

p = m x& p& = m x&&

m x&& = kx 0 x mk x =+&&

kx p =& kx p =&

rezult ecuaia:

0 x x =+ 20&& (1.9)

unde:

mk =0 (1.10)

este pulsaia proprie (natural) a oscilatorului.

Ecuaia (1.9) este o ecuaie diferenial de ordinul doi, fr termenul cu derivata de ordinul nti i omogen (fr termenul liber) cu coeficieni constani.

- 13 -

Soluia general a ecuaiei (1.9) ce descrie o micare oscilatorie armonic (amplitudinea i pulsaia rmn constante) este:

x = C1 tie 0 + C2 tie 0 (1.11)

sau una din formulele echivalente:

x = A cos ( t +0 ) (1.12)

x = A sin ( t +0 ) (1.12)

x = a sin t0 + b cos t0 (1.13)

x = A ( ) t ie +0 = A ( ) ( )[ ]+++ t sin i t cos 0 0 (1.14) Se poate arta uor c relaiile (1.11) (1.14) verific ecuaia (1.9). Forma (1.14) este

foarte comod n aplicaii, deoarece calculele cu exponeni sunt mai uor de efectuat. Partea real a expresiei (1.14) coincide cu (1.12). Astfel se poate utiliza reprezentarea oscilaiilor prin numere complexe (1.14), iar n rezultatul final se reine partea real. n (1.12), A este amplitudinea oscilaiei, 0 este pulsaia oscilaiei, este faza iniial, iar + t 0 este faza momentan (integral) a oscilaiei. Elongaia x (t) fiind o funcie periodic de timp ia aceeai valoare cnd timpul t crete cu o perioad T, x (t) = x (t + T),

x = A cos ( + t 0 ) = A cos ( )[ ]++ T t 0 = A cos ( )++ 2 t 0 (1.15) unde am folosit faptul c perioada cosinusului este 2 . Din (1.15) rezult:

= 2 T 0 T0 = km 2 2 1

00=

=

(1.16)

unde 0 este frecvena (numrul de oscilaii efectuate n unitatea de timp). Din (1.12) rezult viteza

v = ( )+ t sinA 0 0 Energia total a oscilatorului este:

E = ( ) ( )2

2A2m t 2cos 2

2A2m t 2sin 2

2A2m 2

2kx 2

2mv 0 0

0 0

0 =+

++

=+ (1.17)

Din (1.17) rezult:

E = Ec max = Umax

Pentru x = A rezult U = Umax, iar pentru x = 0 rezult U = 0. Graficul energiei poteniale este de forma din figura alturat.

n cazul oscilatorului liniar armonic valoarea medie temporal a energiei cinetice este egal cu valoarea medie temporal a energiei poteniale

U Ec = (1.18)

unde

- 14 -

( )4

2A2m t 2sin T

0 2

2A2m dt E T1 E 0 0 0 cc =+== (1.19)

( )4

2A2mdt T

0 t 2cos

T1

2

2A2m T

0dt U

T1 U 0 0 0 =+== (1.20)

n cazul n care intervine frecarea, cele dou valori medii sunt diferite. 2. Oscilaii amortizate

Un corp aflat n micare de oscilaie ntmpin o rezisten din cauza forei de frecare. Dac frecvena de vibraie a corpului este mic, atunci fora de frecare depinde numai de vitez. Pentru viteze mici putem dezvolta fora de frecare n serie Taylor dup puterile vitezei. Termenul de ordinul zero al seriei este nul, deoarece nici o for de frecare nu acioneaz asupra unui corp imobil. Primul termen care nu se anuleaz este proporional cu viteza:

, xr F f &= r > 0 (2.1)

unde r este coeficientul de frecare a corpului cu mediul n care oscileaz. Semnul minus arat c fora acioneaz n sens opus vitezei. Deoarece asupra corpului acioneaz i fora elastic

F = kx , k > 0 (2.2)

rezult ecuaia diferenial a oscilaiilor amortizate:

xrkx x m &&& = (2.3)

sau

0 x mk x

mr x =++ &&& 0 x 2 x 2 x 0 =++ &&& (2.4)

unde

, 2 mr

= 2 mk

0= (2.5)

este coeficientul de amortizare temporal, iar 0 este pulsaia proprie (n absena frecrilor).

Ecuaia (2.4) este o ecuaie omogen cu coeficieni constani, avnd soluia de forma:

x (t) = C te (2.6)

unde C i sunt constante. nlocuind (2.6) n (2.4) se obine ecuaia caracteristic:

0 2 2 2 0 =++ (2.7)

cu soluiile:

2 2 0 2,1 = (2.8)

a) Cazul frecrilor intense ( > 0 )

n acest caz rdcinile ecuaiei caracteristice (2.8) snt reale i negative:

- 15 -

2 2 , 2 2 0 20 1 =+= (2.9)

Soluia cea mai general a ecuaiei (2.4) este o suprapunere a dou soluii liniar independente cu dou constante arbitrare C1 i C2:

x = C1 te 1 + C2 te 2 = C1 t

e 1

+ C2 t

e2

(2.10)

Constantele C1 i C2 se determin din condiiile iniiale (elongaia i viteza la momentul t = 0). Aceasta este o micare aperiodic (neperiodic) amortizat. Forma graficului elongaiei n funcie de timp depinde de valoarea vitezei iniiale.

b) Cazul critic ( = 0 )

n acest caz rdcinile ecuaiei caracteristice (2.8) sunt egale == 2 1 . Soluia x = C te obinut din (2.6) nu este complet, deoarece din punct de vedere matematic soluia unei ecuaii difereniale de ordinul doi trebuie s aib dou constante arbitrare.

Din punct de vedere fizic, cele dou constante ar permite specificarea condiiilor iniiale (poziia i viteza). De aceea folosim metoda variaiei parametrilor, lund o soluie de forma:

x = u (t) t e (2.11)

Impunnd ca soluia (2.11) s verifice ecuaia (2.4) obinem:

, t eu t e u x = &&

teu 2 te u t e u t e u x += &&&&&&

0 t eu 2 teu 2 2 te u 2 teu 2 t e u 2 t e u 0 =+++ &&&&

0 u 2 u 2 u 0 =+&&

Dar 0 = 0 u 2 u 2 u 0 0 =+&& 0 u =&& u = a + bt

Astfel soluia general a ecuaiei (2.4) este:

x = (a + bt) t e (2.12)

Aceasta este o micare aperiodic critic. Corpul se deplaseaz spre poziia de echilibru ntr-un timp minim, fr a oscila n jurul acesteia.

c) Cazul frecrilor slabe ( < 0 )

n acest caz rdcinile ecuaiei caracteristice (2.8) sunt complexe.

Soluia general a ecuaiei (2.4) este:

x = C1 te 1 + C2 te 2 = C1 t2 2 i

e 0

++ C2

t2 2 i e

0

- 16 -

x = ( )t i eC tieC t e 2 1 + (2.13) unde:

2 2 0 = (2.14)

este pseudopulsaia.

Utiliznd relaiile lui Euler obinem:

x = ( ) ( )[ ] tsin i t cosC tsin i t cosC t e 2 1 ++

x = ( ) t sin b t cos a t e + (2.15) unde:

a = C1 + C2 , b = i (C1 C2)

Pentru t = 0 rezult x0 = a , iar pentru t =

2 rezult x = b 2

e

. Deoarece x0,

x

2, i sunt reale, rezult c a i b sunt reale. Soluia (2.15) poate fi scris i sub

forma: x = A0 ( )+ t cos t e (2.16)

Identificnd (2.15) cu (2.16) rezult:

A0 ( ) tsin b t cos a sin t sin cos t cos += A0 cos = a , - A0 sin = b

A0 = 2b 2a + , ab tg = (2.17)

Din (2.16) se constat c caracterizeaz scderea n timp a amplitudinii:

A (t) = A0 t e (2.18)

Aceast micare este numit pseudoperiodic. Pseudoperioada

T = ( )2 2

2 2.14 2

0

(2.19)

este mai mare dect perioada micrii neamortizate 0

02 T

= . (Pentru > 0 pseudoperioada

este imaginar, iar pentru = 0 rezult T = , astfel c n aceste cazuri micarea nu poate fi periodic.

n cazul micrii slab amortizate ( < 0 ) graficul elongaiei x n funcie de timp are forma din figur.

Decrementul logaritmic este definit ca logaritmul natural al raportului a dou valori succesive ale amplitudinii, separate printr-un timp de o pseudoperioad:

- 17 -

( )( ) ( ) T

T eln T t eA

t eAln T t A

tA ln 0

0==

+

=

+= (2.20)

Prin msurarea decrementului se poate determina gradul de amortizare specific unui material.

Amplitudinea micrii scade n timp datorit pierderilor de energie cauzate de fora de frecare.

Lucrul mecanic efectuat de fora de frecare este:

===t

0dt 2x r

t

0dt xF

txx dxF L f f f &&

)()0( < 0 (2.21)

Din relaia (2.16) rezult viteza:

( ) ( ) t sin te A t cos t e A x 0 0 =++=&

= t eA 0 ( ) ( )

+++ t sin t cos

n cazul unei amortizri foarte mici,

- 18 -

Pentru

- 19 -

Unei pseudoperioade

= 2 T i corespund 2 radiani i deci unui radian i corespunde

un interval de timp egal cu 1 .

Gradul de atenuare a unui oscilator poate fi caracterizat prin factorul de calitate Q, definit ca raportul ntre energia total a oscilatorului i energia disipat ntr-un interval de timp egal cu 1/ .

Pentru

=1 t energia disipat este

=E 2 E . Astfel factorul de calitate este:

Q =

=

2

2

E 2

E 0 (2.31)

Un oscilator slab amortizat are Q >> 1. Astfel o cavitate de microunde supraconductoare are Q > 107 . Pentru un oscilator neamortizat ( = 0) , factorul de calitate este infinit.

Din relaia (2.14) rezult: 2

Q 21 1

2 1 2 2 0

0 00

=

== (2.32)

Pentru Q 0 . 3. Oscilatorul forat neamortizat (fr frecare)

Considerm un oscilator liniar asupra cruia acioneaz, pe lng fora elastic, o for exterioar periodic:

F (t) = t cosF 0 (3.1)

Ecuaia de micare a oscilatorului forat fr frecare este:

m x&& + k x = t cosF 0 (3.2) sau

t cosf x 2 x 00 =+&& (3.3)

unde f0 = F0/m este densitatea masic a amplitudinii forei armonice, iar 20 = k/m este pulsaia proprie.

Soluia general a ecuaiei neomogene (3.3) este egal cu suma dintre soluia general a ecuaiei omogene xomog. = C ( )+ t cos 0 i o soluie particular a ecuaiei neomogene, care se ia de forma membrului din dreapta xneomog. = A tcos .

n cazul soluiei particulare neomogene nu am luat i un defazaj, deoarece n ecuaia de micare nu intervine termenul n x& datorat forei de frecare. Deci:

x = C ( )+ t cos 0 + A tcos (3.4) Pentru timpi mult mai mari dect timpul de relaxare , amplitudinile primului termen

sunt practic nule | xomog (t >> ) |

- 20 -

, t cosA 2 x , t sin A x == &&&

t cosf t cosA 2 t cosA 2 00 =+

A = 2 2f

0

0

(3.6)

Astfel soluia devine:

x = 2 2f

0

0

tcos (3.7)

Soluia (3.7) nu este complet, deoarece nu conine nici o constant arbitrar, astfel c nu putem specifica poziia i viteza iniial a oscilatorului.

Rezult c, dup un timp n care putem neglija contibuia soluiei generale a ecuaiei omogene, efectul condiiilor iniiale se pierde.

Variaia amplitudinii A din relaia (3.6) cu pulsaia este reprezentat n figur.

Graficul reprezint o curb de dispersie i de aceea amplitudinea este numit amplitudine dispersiv.

La = 0 amplitudinea are valoarea f0 / 20 , iar pentru rezult A 0 . n cazul n care pulsaia forei armonice exterioare este egal cu pulsaia natural a

oscilatorului ( 0 = ) , avem un fenomen de rezonan, deoarece amplitudinea oscilaiilor crete fr limit ( A ) . Amplitudinea sistemelor fizice reale este ntotdeauna finit, ntruct intervine frecarea.

Pentru < 0 , A este pozitiv, iar pentru > 0 , A este negativ. Amplitudinea negativ arat c dac fora variaz ca t cosF 0 , deplasarea variaz ca t cos A . Deoarece ( )= t cos t cos rezult c semnul minus este echivalent cu un defazaj egal cu radiani ( 1800 ) ntre for i deplasare. Defazajul real este , datorit ntrzierii rspunsului corpului oscilant la excitaie.

Pentru < 0 deplasarea este n faz cu fora. Rezult c faza se schimb cu radiani la rezonan.

4. Oscilatorul forat amortizat (cu frecare) Considerm un oscilator liniar asupra cruia acioneaz, pe lng fora de frecare xr & ,

fora elastic k x i o for exterioar periodic t cosF 0 . Ecuaia de micare este:

xr k x x m =++ &&& t cosF 0

- 21 -

t cosf x 2 x 2 x 00 =++ &&& (4.1) unde:

= 2 mr , 2

mk

0= , mF f 0 0 = (4.2)

Deoarece 2 x & introduce un termen n t sin , vom alege o soluie particular a ecuaiei neomogene de forma:

x = B t cos + C t sin = A ( ) t cos (4.3) Pentru timpi mult mai mari dect timpul de relaxare, soluia general a ecuaiei omogene

este neglijabil i deci soluia ecuaiei (4.1) n regim staionar este:

x = A ( ) t cos (4.4) Oscilaia este forat deoarece pulsaia din (4.4) este egal cu pulsaia forei exterioare.

S-a luat datorit ntrzierii rspunsului corpului oscilant la excitaie. Impunem ca soluia (4.4) s verifice ecuaia (4.1) :

( )= t sin A x& , ( )= t cosA 2 x&&

( ) ( ) ( ) t cosf t cosA 2 t sin A 2 t cosA 2 00 =+ (4.5) Aceast egalitate trebuie s fie valabil la orice moment, deci n particular i pentru t1 i t2

definii prin:

2 t , 2 t 2 1 ==

( )+=+ 2 cosf A 2 A 2 00 A ( 2 20 ) = cosf 0 (4.6)

+

= 2

cosf A 2 0 = sinf A 2 0 (4.7)

2 2 2 tg

0

= (4.8)

A ( 2 20 ) = 2f

2A 2 2 4 1f 2sin 1f0

0 0

=

( ) 2A 2 2 4 2f 22 2 2A 00 = ( ) 2f 2 2 4 22 2 2A 00 =

+

( ) 2 2 4 22 2f A

0

0

+

= (4.9)

Astfel n regim staionar soluia ecuaiei (4.1) este:

- 22 -

( )

+

= 2 2 2 arctg t cos

2 2 4 22 2

f x 0

0

0 (4.10)

Dac iniial corpul a fost n stare de repaus, iar asupra sa a nceput s acioneze fora periodic exterioar, corpul ncepe s efectueze oscilaii forate a cror amplitudine crete pn cnd atinge valoarea maxim dat de relaia (4.9).

4.1. Rezonana de amplitudune

Pentru a deduce pulsaia a forei armonice exterioare pentru care amplitudinea oscilaiei forate este maxim, egalm cu zero derivata lui A din (4.9) n raport cu .

( ) ( )( )[ ] =+

+=

2 8 2 2 2 2 2

3 2 2 4

22 2f 21

ddA

00 0

( )( )

0 3

2 2 4 22 2

2 2 2 2f 2

0

0 0 =

+

=

Deoarece 0 , rezult:

2 2 2 0A = (4.11) sau:

2

2 2 1 0

0A

= 2Q 2

1 1 0A = (4.12)

unde

Q =

2

0 (4.13)

este factorul de calitate. Introducnd (4.11) n (4.8) i (4.9) obinem:

2 2 2 2

2 2 2 2 tg

00

0A

+

=

=

=

A0A

2 2 2 tg (4.14)

- 23 -

( ) ( ) 4 4 2 2 4f

2 2 2 2 4 22 2 2 2

f A 0

000

0A

=

++

=

2 2 2

f A0

0A

= (4.15)

Cnd A = , amplitudinea micrii oscilatorii devine foarte mare, caracteriznd fenomenul de rezonan de amplitudine. Pentru 20 < 2

2 , A devine complex i deci nu avem rezonan, amplitudinea descrescnd continuu.

Dependena amplitudinii A i a fazei de este influenat foarte mult de mrimea factorului de calitate Q.

Pentru 0 = (Q = ) rezult 0A = , adic pulsaia forei exterioare este egal cu

pulsaia proprie. n acest caz din (4.15) rezult c amplitudinea este infinit. Aceast situaie nu se realizeaz practic, deoarece ntotdeauna intervine rezistena mediului. Totui, arborii mainilor rapide tind s se rup la rezonan. La arbori fora exterioar perturbatoare este cauzat de imposibilitatea centrrii riguroase pe axa de rotaie a rotoarelor i a pieselor montate pe ei. Pe baza fenomenului de rezonan se pot construi rezonatorii acustici.

n vecintatea pulsaiei proprii 0 , faza se schimb cu att mai mult, cu ct se apropie de zero (Q ). Trebuie s inem seama c n expresia elongaiei am luat defazajul n loc de . Pentru

- 24 -

4

2A 2 m U 0

= (4.17)

Din condiia de maxim a acestei energii medii obinem:

0 d Ud

=

0 d

2A d=

d (

( ) 2 2 4 22 21

0 +) = 0

( )( )[ ]( )

22 2 4

22 2

2 8 2 2 22

0

0

+

+ = 0

A = 2 2 20 ,

=2 2 2

tg 0A ,

2 2 2

f A0

0A

= (4.18)

Se constat c rezonana energiei poteniale medii are caracteristici asemntoare cu rezonana de amplitudine ( A i Atg sunt aceleai). Valoarea maxim a energiei poteniale medii este:

=

=

2 2 2 16

2f 2 m

4

2A 2 m U

0

00A0 max (4.19)

Valorile lui pentru care 2 U U max= se obin astfel:

( ) ( )2 2 2 322f 2 m

2 2 4

22 2

2f

4

2 m

0

00

0

00

=

+

( ) ( )2 2 2 8 2 2 4 22 2 00 =+ ( ) ( ) 0 2 2 2 8 4 2 2 2 2 2 4 000 =+

4 4 2 2 4 2 2 2 2 00 =

2 2 2 2 2 2 2 00 =

Deoarece > 0 rezult:

2 2 2 2 2 2 00 = , 2 2 2 2 2 2 00 +=+ (4.20)

4.3. Rezonana cinetic a vitezei

Din relaia (4.4) putem determina viteza:

- 25 -

( )= t sin A x& (4.21) ntruct pentru sistemele oscilante intereseaz n primul rnd defazajul x& dintre

rspunsul cinetic ( )t x& i excitaia F (t), folosind relaia (4.21) obinem:

+=

2 t cosA x& = ( )x t cosA &

x& = 2 (4.22)

Din relaiile (4.21) i (4.9) putem determina amplitudinea vitezei:

( ) ( ) 2 4 2 f

2 2 4 2

f A A

+

=

+

==

2

22220

0

0

0v

2 4

f A

+

=22

0

0v (4.23)

Pentru a obine pulsaia a forei armonice exterioare pentru care amplitudinea vitezei este maxim, egalm cu zero derivata lui AV n raport cu :

0 dA d

=

v

+

2 4

2

2

1 dd

0

= 0

0 3

2 4 2

2

1 2

2

2 2

21

0

00

=

+

0 20 =

2 2o = 0 = (4.24)

Relaia (4.24) exprim condiia de realizare a rezonanei cinetice. Pentru 0 = , A din (4.11) devine egal cu 0 .

nlocuind 0 = n (4.8) i (4.23) obinem:

=

=

2 tg0

v 220

0

2

=v (4.25)

- 26 -

( ) 2 4 f A

+=

200

0maxv

f A

20

maxv = (4.26)

Din (4.22) rezult: 0 x =v&

(4.27)

adic la rezonan rspunsul cinetic x& este n faz cu excitaia F(t).

Din (4.9) rezult A = 2

f 0 care coincide cu (4.15) pentru 0 = .

4.4. Rezonana puterii disipate medii i a energiei cinetice medii

Puterea disipat de fora de frecare este:

Pd = ( ) ( )== t 2sin 2A 2r 4.21 2xr x xr x F f &&&& (4.28)

Media temporal a puterii disipate se determin astfel:

dP = ( )

+

=

=2 4

2

2 2

2fr 4.23

2

2vAr

2

2A 2r dt T

0P

T1

0

0d (4.29)

Din condiia de maxim a puterii disipate medii obinem:

0 dP d d

=

0

2 4 2

2

1 dd

0

=

+

+

2 4 2

2

1 2

2

2 2

0

00

= 0

0 = , 2

= , 0 x = & (4.30)

Se constat c rezonana puterii disipate medii are caracteristici asemntoare cu rezonana cinetic a vitezei.

Valoarea maxim a puterii disipate medii este:

( ) 2 8

2fr 4.29 P 0max d

(4.31)

Valorile lui pentru care 2

P P max d d = se obin astfel:

- 27 -

2 16

2fr

2 4 2

2

2

2fr 0

0

0

=

+

2 8 2 4

2

20 =+

( ) 2 2 4 22 20 = (4.32) = 2 2 20 0

2 2 2 0 =

2 2 0+= m

Deoarece este pozitiv, iar < 0 rezult:

+= 2 2 0 m

+= 2 2 0 , ++=+

2 2 0 (4.33)

+= = 2 (4.34)

Energia cinetic a oscilaiilor forate este:

( ) t 2 sin2

2A 2 m 2

2x m E c ==&

(4.35)

Media temporal a energiei cinetice este dat de relaia:

=T

0t dE

T E c c

1 = 4

2A m

4

2A 2 m V= (4.36)

Deoarece cE are aceeai dependen de ca i dP (determinat de 2AV ) rezult c valoarea maxim a energiei cinetice medii corespunde tot lui

0 = , 2

= , 0 x = &

( ) 216

2f m 4.26 E 0 c

max (4.37)

Notm cu i + pulsaiile forei armonice exterioare pentru care energia cinetic a oscilaiei forate este egal cu jumtate din valoarea maxim:

2E E c c max= 2

f m

2 4 2

4

2f m 0

0

0

32

2

2=

+

- 28 -

2 8 2 4

2

20 =+

( ) 2 2 4 22 20 = (4.32)

Rezult aceleai valori i + date n relaia (4.33). = 2 este numit limea benzii de trecere n scara pulsaiilor.

Graficul energiei cinetice medii n funcie de este o curb de rezonan Lorentz.

4.5. Rezonana puterii totale medii

Puterea total furnizat de fora exterioar este:

P = ( ) ( ) ( ) === t sin t cosFA t sin A t cosF x F 0 0& = [ ] = t cos sin cos t sin t cosFA 0

= t 2cos sinFA cos t 2sin 2

FA 00 +

Puterea total medie se obine uor deoarece 21 t 2cos , 0 t 2 sin ==

2 F A

P sin0= (4.38)

nlocuind 00 f m F = i sin din relaia (4.7)

0fA 2 sin = (4.39)

obinem:

0

0

fA 2

2f mA P = 2A 2 m P = (4.40)

sau 2A m P V= (4.41)

Deoarece P are aceeai dependen de ca i dP i cE (determinat de 2AV ) rezult

c valoarea maxim a puterii totale medii corespunde la 0 = , 2

= , 0 x = & .

Puterea maxim se obine din relaiile (4.41) i (4.26):

2 4

2f m maxP 0

=

=4

2f m maxP 0 (4.42)

Pulsaiile i + pentru care puterea total medie este egal cu jumtate din valoarea maxim se obin astfel:

- 29 -

2

maxP P =

=

+

8

2f m

2 4 2

2

2f m 0

0

0

2 8 2 4 2

20 =+

( ) 2 2 4 2 = 202 (4.43) (4.32)

+= 2 2 0 , ++=+

2 2 0 (4.44)

+= = 2 (4.45)

se numete lrgime total a liniei de rezonan. Din relaia (4.45) i din definiia factorului de calitate

2

0=Q (4.46)

obinem:

= 0Q (4.47)

Astfel factorul de calitate este egal cu raportul ntre pulsaia de rezonan i lrgimea liniei de rezonan. Cu ct Q crete ( scade), cu att curba de rezonan Lorentz devine mai nalt i mai ngust. n acest caz se spune c selectivitatea oscilatorului crete.

Deoarece constanta de timp i timpul de relaxare au expresiile:

=

21 ,

=

1 (4.48)

rezult:

1 = (4.49)

=

2 (4.50)

n urma unei perturbri accidentale a unui oscilator cu nalt selectivitate ( mic), oscilaia va dura un timp ndelungat ( mare). Relaia (4.49) este asemntoare relaiei de incertitudine din mecanica cuantic. Astfel lrgimea curbei de rezonan a oscilaiilor forate este egal cu inversul constantei de timp a oscilaiilor libere. este invers proporional cu timpul de relaxare .

4.6. Amplitudinea absorbtiv i amplitudinea dispersiv (elastic)

Putem obine aceleai rezultate folosind reprezentarea complex. n aceast reprezentare ecuaia (4.1) devine:

tief z 2 z 2 z 00=++ &&& (4.51)

unde z este o mrime complex. n regim staionar, soluia ecuaiei (4.51) este de forma:

t iez z 0 = (4.52)

- 30 -

Impunnd soluiei (4.52) s verifice ecuaia (4.51) obinem: t iez i z 0 =& , tiez 2 z 0 =&& ,

tief tiez 2 tiez i 2 t iez 2 0 00 0 0=++

+=

2 i 2 2f z

0

0 0 (4.53)

unde + 2 i 2 2

1

0

este numit funcie de transfer.

Deci:

t iez z 0 = z = +

2 i 2 2

t ief

0

0 (4.54)

z =

( ) ( ) ( )

+

=

+

+

i e 2 2 4

22 2

t ief 2 2 4

22 2

2 i 2 2

2 2 4 22 2

t ief

0

0

0

0

0

0

( ) 2 2 4 22 22 2

cos

0

0

+

= ,

( ) 2 2 4 22 2 2 sin

0 +

= ,

2 2 2 tg

0

= (4.55) (4.8)

x = Re z =

( )( )

+

t cos 2 2 4

22 2

f

0

0

x = A ( ) t cos (4.56) (4.4) unde:

A =

( ) 2 2 4 22 2f

0

0

+

(4.57) (4.9)

tg i A puteau fi scrise direct din (4.53). Relaia (4.54) poate fi scris astfel:

z = ( )

( ) ( ) t ie

2 2 4 22 2

2f i 2 2 4

22 2

2 2f

0

0

0

0 0

+

+

x = Re z = ( )

( ) ( ) tsin

2 2 4 22 2

f 2 t cos 2 2 4

22 2

2 2f

0

0

0

0 0 +

+

+

x = tsin aA t cos dA + (4.58)

unde:

- 31 -

( )( ) 2 2 4 22 2

2 2f dA

0

0 0

+

= ,

( ) 2 2 4 22 2 f 2 aA

0

0

+

= ,

A = 2aA 2dA + (4.59)

dA este numit amplitudine dispersiv, iar aA este amplitudinea absorbtiv.

Deci n loc s descriem oscilaiile printr-o amplitudine i o faz, le descriem n funcie de dou amplitudini ( dA i aA ). Componenta t cos dA este n faz cu fora extern

F0 t cos , iar componenta

=

2 t cos aA t sin aA este defazat cu 90

0 fa de fora

exterioar. n vecintatea rezonanei 2 20 > 2 avem:

0 aA , 2 2f dA

0

0

= , x = t cos 2 2

f

0

0

(4.61)

Pentru > 0 avem dA 0 , 0 aA .

Graficul amplitudinilor dA i aA n funcie de are forma urmtoare:

Din relaia (4.58) obinem viteza:

t cos aA t sin dA x +=&

Puterea instantanee absorbit n regim staionar este:

- 32 -

P = t 2cos aAF t cos t sin dAF x F 0 0 += &

Puterea medie este:

2vA m 2

aAF P 0

=

= (4.62) (4.41)

Se constat c numai partea imaginar a soluiei complexe contribuie la puterea absorbit mediat pe durata unei oscilaii staionare.Termenul t cos dA contribuie numai la puterea

absorbit instantanee. 5. Oscilaii electromagnetice n circuite RLC Pentru un circuit LRC serie

putem scrie relaiile:

I = tdQ d , 2td

Q 2d L tdI d L e LU === , td

Q d R R I RU == , CQ CU =

Din legea a doua a lui Kirchhoff:

0 = C U R U LU ++

obinem:

0 Q C1 Q R Q L =++ &&& : L

0 Q LC1 Q

LR Q =++ &&&

Ultima relaie este de forma ecuaiei oscilaiilor amortizate:

0 x 2 x 2 x 0 =++ &&&

Astfel oscilaiile electromagnetice pot fi studiate prin analogie cu oscilaiile mecanice. Exist corespondena:

m L , k C1

x Q , r R

2 LR , v I

20 LC1 , F U

- 33 -

Pentru un circuit LRC serie alimentat de o surs de tensiune :

avem ecuaia diferenial:

t cos U Q C1

tdQ d R 2 td

Q 2d L 0 =++

t cos LU Q

LC1 Q

LR Q 0 =++ &&&

care are aceeai form cu ecuaia oscilatorului forat:

t cosf x 2 x 2 x 00 =++ &&&

n mod asemntor se trateaz circuitul RLC paralel.

6. Compunerea oscilaiilor 6.1. Compunerea oscilaiilor armonice paralele de aceeai pulsaie

Vom lucra n reprezentarea complex a oscilaiilor:

z1 = A1 ( )1 t ie + , x1 = Re z1 = A1 ( )1 t cos + (6.1)

z2 = A2 ( )2 t ie + , x2 = Re z2 = A2 ( )2 t cos + (6.2) Micarea rezultant este tot o micare oscilatorie armonic de aceeai pulsaie:

z = z1 + z2 = ( )+=

+

t ieA ie A ie A t ie 2211 ,

x = Re z = x1 + x2 (6.3)

Complex conjugata acestei relaii este:

z = ( )+=

+

t i eA i e A i e A t i e 2211 (6.4)

Fcnd produsul ultimelor relaii obinem:

z z = A2 = ( ) ( )

+

++ 212121

22

21

i e ie A A A A (6.5)

Folosind formula lui Euler:

- 34 -

=+ cos

2

i e ie

obinem: A2 = ( )21212221 cos A A 2 A A ++

sau, deoarece ( ) ( )1221 cos cos = A2 = ( )12212221 cos A A 2 A A ++ (6.6)

Relaia (6.3) poate fi scris astfel:

z = ( )[ ]22112211 sin A sin A i cos A cos A t ie +++ = ( )+ sin i cosA tie Prin identificarea prilor reale i a celor imaginare obinem:

A cos = 2211 cos A cos A + (6.7)

A sin = 2211 sin A sin A + (6.8)

De aici rezult:

2211

2211

cos A cos Asin A sin A tg

++

= (6.9)

Relaia (6.6) poate fi obinut i din (6.7) i (6.8) prin ridicare la ptrat i adunare membru cu membru.

Dac = k 2 12 , (k = 0, 1, 2, ... ) atunci A = A1 + A2 , iar oscilaiile sunt n faz. Dac ( )+= 1 k 2 12 , (k = 0, 1, 2, ... ) atunci A = A1 A2 , iar oscilaiile sunt n

opoziie de faz. n particular, dac A1 = A2 rezult A = 0 , adic punctul material rmne n repaus.

Dac ( )1 k 2 12 += 2 , (k = 0, 1, 2, ... ) atunci 22

21

2 A A A += , iar oscilaiile

sunt n cuadratur. 6.2. Compunerea oscilaiilor armonice paralele de pulsaii puin diferite (fenomenul de

bti)

n reprezentarea complex, oscilaiile care se compun sunt descrise de relaiile:

z1 = A1 ( )11 t ie + , z2 = A2 ( )22 t ie + (6.10) Notnd:

12 = , =+ 2 21 (6.11) obinem:

2 2

+= , 2

1

= (6.12)

+

=1

11

t 2

ie A z ,

+

+

=2

22

t 2

ie A z (6.13)

Compunnd oscilaiile obinem:

- 35 -

z = z1 + z2 = A1

+

1 t 2

ie + A2

+

+ 2 2

ie =

= a (t) ( )[ ]t t ie + (6.14)

z = A1

+

1

t 2

i e + A2

+

+ 2 t 2

i e =

= a (t) ( )[ ]t t i e +

z z = a a = a2 = +

+

++ t

2

2 i

e A A A A21

2122

21

+

+

21 t 2

2

i e

a2 = ( ) ( )

+

++

t i e t ie A A A A 21212122

21

a2 = ( ) t cos A A 2 A A 21212221 ++

a2 = ( )12212221 t cos A A 2 A A +++ (6.15) Relaia (6.14) poate fi pus sub forma:

z = {

++

t

2 cos A t

2 cos A t ie 2211 +

+

++

t

2 sin A t

2 sin A i 2211 =

= a (t) ( ) ( )[ ]t sin i t cos t ie + Identificnd prile reale pe de o parte i prile imaginare pe de alt parte, obinem:

a (t) ( )t cos =

++

t

2 cos A t

2 cos A 2211

a (t) ( )t sin =

++

t

2 sin A t

2 sin A 2211

- 36 -

( )

++

++

= t

2 cos A t

2 cos A

t2

sin A t2

sin A t tg

2211

2211

(6.16)

Din relaiile (6.15) i (6.16) rezult c amplitudinea i faza iniial variaz n timp, adic oscilaia rezultant nu mai este armonic. Amplitudinea micrii rezultante este o funcie periodic ce variaz ntre un maxim egal cu A1 + A2 pentru =+ k 2 t 12 i un minim egal cu A1 A2 atunci cnd ( )12 t cos + = - 1, adic pentru ( )+=+ 1 k 2 t 12 .

Dac diferena 12 este foarte mic n raport cu media pulsaiilor 2

21+

= , atunci

a (t) i ( )t variaz foarte lent n comparaie cu funciile tcos i t sin , adic micarea rezultant este o oscilaie modulat att n amplitudine, ct i n faz.

Maximele de amplitudine corespund unor amplificri periodice ale micrii oscilatorii numite bti, care sunt evideniate prin alternana lor cu amplitudinile minime. Prin frecvena btilor se nelege numrul de bti pe unitatea de timp, iar prin perioada btilor se nelege timpul scurs ntre dou bti consecutive, adic ntre dou momente de amplitudine maxim.

Notnd cu b perioada btilor, putem scrie urmtoarele relaii care corespund la dou maxime consecutive:

=+ k 2 t 12

( ) ( )+=++ 1 k 2 t 12b Scznd termen cu termen prima ecuaie din a doua, obinem:

= 2 b

de unde rezult perioada btilor

12b

2 2

=

= (6.17)

Frecvena btilor este:

( )12

1212

bb 2

2 2 1 =

=

=

= (6.18)

Rezult c frecvena cu care se succed maximele, deci frecvena btilor, este egal cu diferena celor dou frecvene componente.

Din relaia (6.17) rezult c maximele (btile) sunt cu att mai rare cu ct frecvenele oscilaiilor componente sunt mai apropiate. Dac diferena dintre 1 i 2 este mare, frecvena btilor este ridicat, iar amplitudinea a(t) variaz foarte repede n timp, astfel nct fenomenul de bti nu mai poate fi pus n eviden experimental.

Ilustrm fenomenul de bti pentru 1 = 60 Hz i 2 = 70 Hz, pentru care b = 10 Hz. n cazul particular n care A1 = A2 = A0 , 21 = din relaia (6.15) obinem:

a (t) = t cos A 2 A 2 202o + = t2

cos A 2 2 t cos 2 A 2 120

220

=

(6.19)

- 37 -

1 = 60 Hz

2 = 70 Hz

b = 10 Hz

n acest caz din (6.14) rezult:

x = Re z = a (t) ( )[ ] ( )

+

+

=+ t t

2

cos t 2

cos A 2 t t cos 21120 (6.20)

Relaia (6.20) evideniaz modularea amplitudinii 2 t2

cos A 120

. Fenomenul de

bti se poate pune n eviden cu ajutorul a dou diapazoane de frecvene puin diferite. Sunetele provenind de la vibraiile celor dou diapazoane se compun i dau natere la fenomenul de bti: se aude un sunet a crui intensitate crete i scade periodic. Fenomenul de bti are aplicaii numeroase n acustic i n electronic. n electronic se construiesc receptoare heterodin n care oscilaiile electrice primite de la circuitul antenei ( = 106 Hz) se suprapun cu oscilaiile unui oscilator local cu frecvena apropiat ( = 9,9 105 Hz) i dau n circuitul unui telefon bti de frecven (106 9,9 105) Hz = 104 Hz, cu care vibreaz membrana telefonului. Vibraiile membranei cu aceast frecven sunt percepute de ureche.

6.3. Compunerea oscilaiilor armonice perpendiculare de aceeai pulsaie

Considerm o particul care se mic n planul xy sub aciunea a dou oscilaii armonice perpendiculare de aceeai pulsaie.

x = A t cos (6.21)

y = B ( )+ t cos (6.22) Pentru a obine traiectoria, eliminm timpul din cele dou relaii:

t cos Ax

= (6.23)

== sin Ax 1 cos

Ax sin t sin cos t cos

By

2

2

(6.24)

= sin Ax 1 cos

Ax

By

2

2

(6.25)

Ridicnd la ptrat relaia (6.25) obinem:

- 38 -

=+ sin

Ax 1 cos

Ax cos

BA y x 2

By 2

2

22

2

2

2

2

=+ sin cos BA y x 2

By

Ax 2

2

2

2

2

(6.26)

Aceasta este ecuaia unei elipse nscrise ntr-un dreptunghi de laturi 2A i 2B. Oscilaia descris de ecuaia (6.26) este o oscilaie polarizat eliptic.

Pentru a obine unghiul format de axa mare a elipsei cu axa Ox, exprimm x i y n coordonate polare ( , ):

x = cos y = sin

(6.27)

nlocuind (6.27) n (6.26) obinem:

=+ sin B A cos cos sin BA 2 cos B sin A 2222222222

cos 2sin BA cos B sin A sin B A 2222

2222

+

= (6.28)

Deoarece n lungul axei mari are valoarea maxim, rezult c unghiul corespunde anulrii derivatei numitorului din relaia (6.28).

0 d

d 2=

cos 2 cos BA 2 sin cos B 2 cos sin A 2 22 = 0

( ) = cos 2 cos BA 2 2sin B A 22

22 B A cos BA 2 2 tg

= (6.29)

Analizm cteva cazuri particulare.

a) Dac = k 2 , (k = 0, 1, 2, ...), atunci oscilaiile sunt n concordan de faz, iar relaia (6.26) se reduce la forma:

0 By

Ax

= y = xAB (6.30)

care este ecuaia unei drepte ce trece prin origine i este situat n cadranele I i III. Oscilaia este polarizat liniar. Se poate arta c orice micare armonic liniar se poate descompune n dou micri oscilatorii armonice n concordan de faz, pe direcii perpendiculare.

b) Dac ( )+= 1 k 2 , (k = 0, 1, 2, ...), atunci oscilaiile sunt n opoziie de faz, iar relaia (6.26) devine:

y = xAB (6.31)

- 39 -

care reprezint cealalt diagonal a dreptunghiului. Oscilaia este polarizat liniar.

Se poate arta c o micare oscilatorie armonic liniar se poate descompune n dou micri oscilatorii armonice n opoziie de faz, pe direcii perpendiculare.

c) Dac ( )2

1 k 2 += , (k = 0, 1, 2, ...),

atunci oscilaiile sunt n cuadratur de faz, iar

relaia (6.26) devine:

1 By

Ax

2

2

2

2

=+ (6.32)

care reprezint o elips raportat la axele sale. Oscilaia este polarizat eliptic.

Pentru k = 0,

2 = oscilaiile componente sunt descrise de relaiile:

x = A t cos , y = B tsin B 2

t cos =

+ (6.33)

iar punctul material se mic pe traiectorie n sensul acelor de ceasornic.

Pentru k = 1, 2 3 = oscilaiile componente sunt descrise de relaiile:

x = A t cos , y = B

+

2 3 t cos = B t sin (6.34)

iar punctul material se mic pe traiectorie n sens antiorar. n general, pentru k par oscilaia rezultant este polarizat eliptic drept, iar pentru k

impar oscilaia este polarizat eliptic stng. n particular, dac A = B , elipsa devine un cerc:

x2 + y2 = A2 (6.35)

6.4. Compunerea a dou oscilaii circulare de aceeai pulsaie i amplitudine, polarizate n sensuri contrare

Prin compunerea unei oscilaii polarizate drept

x1 = A t cos , y1 = tsin A (6.36)

cu o oscilaie polarizat stng

x2 = A t cos , y2 = A t sin (6.37)

se obine o oscilaie liniar cu pulsaia egal cu pulsaia oscilaiilor componente i cu amplitudinea dubl.

- 40 -

x = x1 + x2 = 2 A tcos , y = y1 + y2 = 0 (6.38)

Rezult c o oscilaie polarizat liniar este echivalent cu dou oscilaii circulare, polarizate n sensuri contrare.

Acest rezultat este util n studiul rezonanei magnetice nucleare.

6.5. Compunerea oscilaiilor armonice perpendiculare de pulsaii diferite Considerm dou oscilaii armonice perpendiculare de pulsaii diferite:

x = A ( )11 t cos + (6.39) y = B ( )22 t cos +

Prin compunerea lor se obine o micare a crei traiectorie este cuprins n dreptunghiul A x A , B y B.

Dac pulsaiile sunt proporionale cu numere ntregi, astfel ca raportul lor s fie un numr raional (raport de numere ntregi)

Q n nn

2

1

2

1 ==

(6.40)

atunci exist o perioad T0 , cel mai mic multiplu comun al perioadelor fiecrei micri componente, aa nct micarea rezultant este periodic, iar traiectoria particulei este o curb nchis, numit curb Lissajous. Relaia (6.40) se obine astfel:

( ) ( )[ ] ( )++=++=+ n 2 t cosA T t cosA t cosA 1111011 1

= n 2 T 101

( ) ( )[ ] ( )++=++=+ n 2 t cos B T t cos B t cos B 22220222 = n 2 T 202

- 41 -

2

1

2

1

nn =

Traiectoria micrii depinde de raportul pulsaiilor i de defazajul dintre oscilaiile

componente. Ca exemplu considerm traiectoria corespunztoare cazului 4

, 2 2

1 ==

.

Figurile lui Lissajous sunt utilizate n electronic pentru determinarea frecvenelor cu ajutorul osciloscopului. Un semnal contribuie la deflexia orizontal, iar cellalt la deflexia vertical. Raportul pulsaiilor se determin ca raportul dintre numrul punctelor de intersecie a traiectoriei cu o dreapt vertical i una orizontal.

Cazul n care pulsaiile vibraiilor componente difer foarte puin ntre ele poate fi redus la compunerea a dou vibraii cu aceeai pulsaie, dar cu defazajul dintre ele variind lent n timp. Astfel, pentru += 12 obinem:

x = A ( )11 t cos + , y = B ( ) t t cos 21 ++ , 12 t +=

Dac pulsaiile nu sunt proporionale cu numere ntregi, atunci micarea nu mai poate fi periodic, iar traiectoria este o curb deschis care acoper ntreg dreptunghiul

A x A , B y B.

n mod asemntor pot fi compuse trei oscilaii armonice perpendiculare de pulsaii diferite.

7. Descompunerea oscilaiilor complexe

7.1. Descompunerea oscilaiilor periodice (analiza armonic)

O oscilaie periodic complex (nearmonic) poate fi reprezentat printr-o suprapunere de oscilaii armonice. Astfel, mrimea fizic periodic

x (t) = x (t + T)

se poate exprima sub forma unei serii Fourier

x (t) = ( )

=++

1 n tn sin b t n cos a

2a

1n1n0 (7.1)

unde:

( ) ( ) td t x T2 t d tx

T2 a

2T

2T

T

00

== (7.2)

( ) ( ) td t n cos t x T2 t d t n cos tx

T2 a 1

2T

2T

1

T

0n ==

(7.3)

- 42 -

( ) ( ) td t n sin t x T2 t d t n sin tx

T2 b 1

2T

2T

1

T

0n ==

(7.4)

iar T = 1

2 este perioada funciei x(t). S-a ales

2a 0 i nu a0 pentru ca a0 s aib aceeai

form ca i an.

Constanta 2

a 0 este termenul de ordinul zero (n = 0) , tsin b t cos a 1111 + este

termenul de ordinul nti, care are frecvena cea mai mic 1 numit frecvena fundamental, a2 t 2sin b t 2 cos 121 + este termenul de ordinul doi i corespunde frecvenei 2 12 = i aa mai departe, termenul de ordinul n corespunznd frecvenei

1n n = . Termenul de ordinul nti reprezint oscilaia sau armonica fundamental, iar termenii de ordinul doi, trei, patru etc. reprezint armonicele de ordin superior.

Operaia de descompunere a unei funcii periodice oarecare n armonice se numete analiz armonic i este folosit ca mijloc de cercetare n acustic i electronic. Evidenierea fizic a armonicelor superioare n cazul semnalelor electrice, acustice, vibratorii arat c dezvoltarea Fourier are o fundamentare material.

Coeficientul a0 se obine prin integrarea relaiei (7.1) de la 0 la T sau de la 2T la

2T .

( ) =

=+

=+= t d

1n tn sin b t d tn cos

1na td

2a

t d tx T

01n

T

01n

T

0

0T

0

= 0 T 2n sin T

T 2n sin

n 1

1na T

2a

1n

0

=+

T 2

a 0

T 2n cos T

T 2n cos

n 1

1nb 0

1n =

=

0a = T2 ( ) td tx

T

0

Astfel, ntr-o perioad T , pentru n 0 , tn sin 1 i tn cos 1 iau un numr egal de valori negative i pozitive, integralele din acestea fiind nule.

Coeficientul na se obine nmulind relaia (7.1) cu t m cos 1 i integrnd de la 0 la T:

( ) += t d t m cos 2a

t d t m cos tx T

01

01

T

0

+ td t n sin t m cos 1n

b t d t n cos t m cos 1n

a 1T

01n1

T

01n

=+

=

( ) ( ) ( ) td 2

t nm cos t n m cos 1n

a t d t m cos tx T

0

11n1

T

0

++

== +

- 43 -

( ) ( ) td

2 t mnsin t m n sin

1nb

T

0

11n

++

=+

Pentru m n integralele din membrul drept sunt nule (se reduc la cazul anterior cu n = m n 0, n = m + n 0).

Pentru m = n rezult:

( ) nT

0n1

T

0

a 2T

2 td a t d t n cos tx == ( ) td t n cos tx T

2 a 1T

0n =

Coeficientul nb se obine nmulind relaia (7.1) cu t m sin 1 i integrnd de la 0 la T :

( ) +=T

01

01

T

0

t d t m sin 2

a t d t msin tx

+ td t n sin t m sin 1n

b t d t n cos t m sin 1n

a 1T

01n1

T

01n

=+

=

( ) ( ) ( ) +++

== t d 2

t n msin t nmsin 1n

a t d t msin tx T

0

11n1

T

0

+ ( ) ( )

td 2

t n m cos t n m cos 1n

b T

0

11n

+

=

Pentru m n integralele din membrul drept sunt nule, iar pentru m = n rezult:

( ) nT

0n1

T

0

b 2T

2 td b t d t n sin tx == ( ) tdt n sin tx T

2 b 1T

0n =

Astfel oscilaia periodic nearmonic x (t) se poate exprima cu ajutorul funciilor sistemului ortogonal trigonometric.

( =T

011 0 t d t n cos t m sin pentru orice n sau m).

Seria Fourier este convergent, deoarece pentru n coeficienii na i nb devin din ce n ce mai mici. n cazul n care seria Fourier este rapid convergent, este suficient s ne limitm la primii trei, patru termeni ai seriei.

De multe ori se utilizeaz forma complex a seriei Fourier:

x (t) =

=

n tn ie C 1n (7.5)

unde:

( ) dtt n i e t x T

C2T

2T

n

= 11 (7.6)

Artm c relaia (7.5) este identic cu relaia (7.1).

- 44 -

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b i a 21 7.4 , 7.3 t d tn sin i t n cos t x

T1 C nn

2T

2T

11n =

(7.7)

( ) ( ) ( )nn2T

2T

11n b i a 21 t d tn sin i t n cos t x

T1 C +=+=

(7.8)

( )2

a td t x

T1 C 0

2T

2T

0 ==

(7.9)

Astfel relaia (7.5) devine:

( ) =

=

+

=

+= 1n

tn i e C 1n

tn ie C C tx 1n1n0

= ( )( ) +

=++

1n tn sin i t n cos b i a

21

2a

11nn0

+ ( ) ( ) =

=+

1n tn sin i t n cos b i a

21 11nn

= ( +

=+++ t n sin

1nb t n cos b i t n sin a i t n cos a

21

2a

1n1n1n1n0

+ ) =++ tn sin b t n cos b i t n sin a i t n cos a 1n1n1n1n

= ( )

=++

1n tn sin b t n cos a

2a

1n1n0 (7.1)

7.2. Descompunerea semnalelor neperiodice

O funcie neperiodic poate fi privit ca un caz limit al unei funcii periodice cu perioada

infinit. Pentru T , T 2 1

= devine infinitezimal, d 1 , iar n = 1

devine o variabil continu, astfel c suma din relaia (7.5) se transform n integral.

X (t) = ( ) =

t ie td t i e t x 2 d

= ( ) =

d t ie td t i e t x

21

= ( )

d t 2 ie td t 2 i e t x

Dac notm:

- 45 -

( ) ( )

= td t 2 i e t x X (7.10)

atunci:

( ) ( )

= d t 2 ie X tx (7.11)

( ) X din (7.10) i ( )tx din (7.11) se numesc integrale Fourier. Ele formeaz o pereche de transformate Fourier (una este transformata Fourier a celeilalte).

( ) X descrie un fenomen fizic n domeniul amplitudine-frecven (reprezentare n domeniul frecvenei), iar ( )tx descrie acelai fenomen n domeniul amplitudine-timp (reprezentare temporal).

Putem scrie relaia (7.11) astfel:

( ) ( ) =

= d t 2 ie td t 2 i e t x tx

= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d t 2sin i t 2 cos td t 2sin t x i td t 2 cos tx +

X (t) = Re x (t) = ( ) ( ) ( ) +

d t 2 cos td t 2 cos t x

+ ( ) ( ) ( ) =

d t 2sin td t 2sin t x

= ( ) ( )

+

d t sin td t sin t x 21 d t cos td t cos t x

21

Deoarece n raport cu integranii t cos 2 i t sin 2 sunt funcii pare, putem scrie:

( ) ( ) ( )

+

= d t sin

0 td t sin t x 1 d t cos

0 td t cos t x 1 t X

Notnd:

( ) ( )

= td t cos t x 1 A , ( ) ( )

= td t sin t x 1 B (7.12)

rezult:

( ) ( ) ( )

+

=0

d t sin B 0

d t cos A t X (7.13)

care are aceeai form ca relaia (7.1). Din relaia (7.11) obinem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =

== t d d t 2 ie X t x t d t x t x t d t x 2

- 46 -

= ( ) ( ) ( ) ( )

=

d X X d td t 2 ie t x X

( ) ( )

= d X t d t x 22 (7.14)

(7.14) este formula lui Parseval pentru semnale neperiodice. Aceast formul are semnificaia c energia unui semnal n domeniul temporal este egal

cu energia semnalului n domeniul frecvenei. n practic intervin numai frecvene pozitive i deci:

( ) ( )

=

0 d X 2 t d t x 22 (7.15)

deoarece ( ) 2 X este o funcie par de . O condiie suficient pentru ca transformata Fourier a lui x(t) s existe este ca integrala

( )

td t x s fie finit, adic ( )

td t x < .

7.3. Puls dreptunghiular n timp

Un puls dreptunghiular n timp este descris de funcia:

2 t ,

2 t t ,

tA0

x (t) = { 0 , rest

(7.16)

care are urmtoarea reprezentare grafic:

Din relaia (7.10) rezult:

( ) ( )

== t d t 2 i e t x X

= =

t d t 2 i e t

A 2

t

2 t

0

( )

=

+

=

=

=

=

2t sini

t iA

2t sini

2t cos

2t sini t cos

t i A

titt i

A t d t i e

t A

00

2t

2t

t

t

0

22

sincos2

2

0

( )

2 t 2

t sin A X 0

=

- 47 -

( ) X are o reprezentare grafic de forma:

7.4. Puls dreptunghiular n domeniul pulsaiei

Presupunem c n relaia (7.12) ( ) B este zero pentru orice , iar ( )A este de forma:

[ ]210 , , A

( ) A = { 0 , rest

Notm 1221

0 , 2 =+=

2 ,

2 0201

+=

=

Din relaia (7.13) obinem:

( ) ( ) =

=

= d t cos

A

0 d t cos A t X

2

1

0

=

+

t

2 sin t

2 sin

t A

000 =

= =

+

+

t cos t

2 sin t

2 cost sin t cos t

2 sin t

2 cost sin

t A

00000

= t cos t 2 sin 2

t A

00

( ) ( ) t cos tA t cos

2 t 2

t sin A t X 000 =

= (7.18)

- 48 -

Se obine o oscilaie rapid determinat de t cos 0 , cu amplitudinea lent

variabil A (t) = A0

2 t 2

t sin

. Pentru

0 = 0 rezult , 1 t cos 0 =

X (t) = A0

2 t 2

t sin

care are o form similar relaiei (7.17).

7.5. Coeficientul Fourier A( ) al unui oscilator amortizat ( < 0 )

Elongaia oscilatorului amortizat are expresia:

x (t) = ( )+ t cos t e A10

(7.19)

unde: 22

021 = (7.20)

Pentru a simplifica scrierea, alegem A0 = 1, = 0. Astfel:

x (t) = t cos t

e1

(7.21)

Calculm coeficientul Fourier ( )A pe baza relaiei (7.12):

( ) ( )

=

=

= t d t cos t cos

t e 1 t d t cos t x 1 A

1

= ( ) ( )[ ] =

++

t d t cos t cos t

e 21

11

= ( ) ( )[ ] td 0

t cos t cos t e 1 11

++

( )( ) ( )

+

+++

=22

122

1

1 A (7.22)

unde am folosit o integral de tipul

+=

0 b aa x d x b cos xa e 22 (7.23)

nlocuind 1 din (7.20) n (7.22) obinem:

- 49 -

( ) ( )( )

+++++

++++++=

2220

2220

2220

220

220

220

2220

2220

2 2

2 2 A

2

22

( ) ( )( ) ( )[ ]

( )( )22202202402

20

2

220

2220

2

20

2

4 4 2 2

4

2 A

++++

=+

+=

( ) ( )( )[ ]222202

20

2

4

2 A

+

+= (7.24)

Vom compara coeficientul ( )A cu energia total medie a unui oscilator forat. Din relaiile (4.36), (4.17) i (4.9) obinem:

( ) 220222022C A

4 m

4

A m

4A m U E E

+=

+

=+=

( )( )[ ]222220

20

20

2

4

f

4 m

E+

+

= (7.25)

Fcnd raportul:

( ) ( )( )[ ]

( )[ ]( ) 20202

222220

22220

2

20

2

f m 4 4

4

2

EA

++

+

+=

( ) E f m

8 A 20

= (7.26)

Astfel, coeficientul Fourier ( )A pentru oscilatorul amortizat este proporional cu energia total medie a unui oscilator forat. Acest rezultat poate fi folosit la modelarea unor fenomene fizice. De exemplu, la emisia radiaiei luminoase de ctre un atom are loc dezexcitarea atomului. Se poate presupune c dezexcitarea atomului este descris de o relaie de forma (7.19) caracteristic unui oscilator amortizat. n acest caz, putem spune c amplitudinea Fourier ( )A pentru dezexcitarea spontan este proporional cu energia medie E acumulat de un oscilator forat.

7.6. Densitatea spectral de putere

Prin mrime aleatoare (stochastic) se nelege o mrime care n urma repetrii unei experiene poate lua orice valoare dintr-un numr de valori permise. Mrimea aleatoare este nedeterminat, neputnd ti dinainte ce valoare va lua. Astfel mrimile aleatoare au un comportament imprevizibil.

Un fenomen este ergodic dac media temporal

( ) ( )=T

0

td t x T1 tx (7.27)

este egal cu media pe ansamblu

( ) ( )=

=n

1it i x n

1 t x~ 11 (7.28)

Un proces este staionar dac media pe ansamblu nu depinde de originea timpului:

- 50 -

( ) ( )=

+=

=

n

1i n

t t ix n

1i n

t ix 11

(7.29)

Pentru a putea studia procesele aleatoare, vom trunchia x (t) pentru un timp T. Notm mrimea trunchiat cu ( )t xT .

Este evident c

x (t) = lim ( )t xT (7.30) T

Valoarea ptratic medie a lui ( )t xT este:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=

d x T1 7.14 t d t x

T1 fig. t d t x

T1 t x 2T

2T

2T

2T

2T

2T

( ) ( )

= d x T

1 t x 2T2T (7.31)

Lund T rezult:

( ) t x 2 = ( )t xlim 2TT

= ( )

d x T

1 lim 2

TT ( ) ( )

= d S t x xx

2 (7.32)

unde:

( ) Sxx = ( )2

TT x

T1lim

(7.33)

este numit densitate spectral de putere.

Denumirea provine din electricitate, unde x (t) este intensitatea curentului aleator pe unitatea de rezisten ( P = U I = I2 R, R = 1 P = I2).

n relaia (7.33) avem o energie mprit la timp ntr-un interval de frecven egal cu unitatea, adic o putere corespunztoare unitii intervalului de frecven.

Pentru o band de frecven cuprins ntre 1 i 2 , puterea este ( )

2

1

xx d S . Astfel

membrul drept din (7.32) reprezint puterea total medie (valoarea ptratic medie a lui x (t)). 7.7. Funcia de corelaie. Funcia de autocorelaie. Relaiile Wiener-Hincin

Funcia de corelaie a dou mrimi x (t) i y (t) este definit ca media produsului uneia din mrimi cu cealalt defazat cu intervalul de timp :

( ) ( ) ( ) =+= t y tx xyR lim T ( ) ( ) =+ t y t x T

= lim T

( ) ( )

+2T

2T

TT td t y t x T1

(7.34)

- 51 -

n cazul proceselor staionare i ergodice, funcia de corelaie depinde numai de .

Se definete funcia de autocorelaie

( ) ( ) ( ) =+= t x tx xxR lim T ( ) ( ) =+ t xt x TT

= lim T

( ) ( )

+2T

2T

TT td t xt x T1

= lim T

( ) ( )

+ td t xt x

T1

TT

(7.35)

care pentru = 0 devine valoarea ptratic medie. Deoarece funcia de corelaie are semnificaia unei puteri medii, aceasta va permite

caracterizarea mrimilor de energie infinit. Din relaia (7.33) rezult:

( ) Sxx = lim T

( ) 2T x T1

= lim T

( ) ( ) ( )7.10 x xT1

TT

= lim T ( ) ( )

= s d s 2 i e s x t d t 2 ie t x

T1

TT

= lim T

( ) ( ) s d td s 2 i e t 2 ie s xt x T1

TT

La integrarea dup s , t este constant i deci pentru s = t + rezult ds = d . Introducem s = t + pentru a face s apar funcia de autocorelaie:

( ) Sxx = lim T

( ) ( ) ( ) =

++ d td t 2 i e t 2 ie t xt x

T1

TT

= lim T ( ) ( ) =

+ d td 2 i e t xt x T1

TT

= [

lim

T ( ) ( )

+ d 2 i e td t xt x T

1TT

Paranteza ptrat reprezint ( ) xxR din (7.35). Rezult relaiile lui Wiener-Hincin:

(7.36) ( ) ( )

= d 2 i e xxR xxS

( ) ( )

= d 2 ie xxS xxR

(7.37)

Astfel densitatea spectral de putere ( ) xxS i funcia de autocorelaie ( ) xxR formeaz o pereche Fourier.

Se definete coeficientul de corelaie

- 52 -

( ) ( )( )0 xxR xxR xx

= (7.38)

unde ( )0 xxR este valoarea ptratic medie a lui x (t). O mrime x

(t)

poate fi obinut prin suprapunerea unui semnal

e (t)

cu un zgomot n (t)

Mrimea ( )+ t x

se nmulete cu x (t) i se mediaz pentru

diferite valori ale lui pentru a obine ( ) xxR . Lund transformata Fourier a lui ( ) xxR se obine ( ) xxS .

7.8. Zgomotul alb Pentru un semnal ideal al crui spectru este constant n amplitudine i continuu n funcie

de frecven, puterea semnalului este infinit. Acest semnal este numit zgomot alb, prin analogie cu lumina alb, dei n cazul luminii albe avem aceeai putere pe unitatea intervalului de lungimi de und i nu pe unitatea intervalului de frecven, ca n cazul zgomotului alb.

Prin definiie, densitatea spectral a zgomotului alb este constant:

( ) xxS = a = const. (7.39) Funcia de autocorelaie a zgomotului alb se obine din relaiile (7.37) i (7.39):

( ) xxR = ( )

= d 2 ie a d 2 ie xxS

( ) xxR = a ( ) (7.40) unde ( ) este funcia Dirac.

- 53 -

( ) xxS i ( ) xxR au urmtoarele reprezentri grafice:

n practic puterea semnalului este finit, deoarece exist o frecven de tiere dup care amplitudinea semnalului scade la zero.

Zgomotul alb este furnizat de generatoare electronice utilizate n metodologia de identificare.

7.9. Funcia de autocorelaie n cazul oscilaiilor forate Legtura dintre densitile spectrale de putere ale excitaiei F (t) i ale rspunsului x (t)

este dat de relaia:

( ) ( ) ( )= FFS xxS2 (7.41)

unde ( ) este funcia de transfer a oscilatorului forat:

( ) = + 2 i

122

0

(7.42)

care poate fi determinat analitic sau experimental (se determin ( ) ). Dac presupunem c fora excitatoare este caracterizat de un zgomot alb, atunci:

( ) FFS = A = const. (7.43) i deci:

( )( ) 222220 4

A xxS+

= (7.44)

Transformata Fourier a lui ( ) xxS d funcia de autocorelaie ( ) xxR :

( ) xxR = C

+

sin cos

e 11

1 (7.45)

unde: 22

01 = (7.46)

iar C este o constant ce depinde de .

Dac / 1

- 54 -

8. Unde mecanice (elastice) 8.1. Introducere

Mediile elastice sunt medii continue formate din particule materiale care interacioneaz ntre ele. Dac la un moment dat o particul ncepe s oscileze, dup ea vor intra n oscilaie i particulele vecine i astfel oscilaia se propag din aproape n aproape prin mediu, datorit forelor de interaciune elastice dintre particule.

Propagarea unei perturbaii printr-un mediu elastic se numete und elastic. Ca exemplu, considerm perturbaia produs de o piatr ce cade pe suprafaa linitit a unei ape. Aceast perturbaie se propag la suprafaa apei, n toate direciile orizontale, formnd unde sub form de valuri circulare concentrice. O particul de rumegu (de lemn) ce plutete pe suprafaa apei va executa o micare oscilatorie ntr-un plan vertical, dar nu se va deplasa pe direciile orizontale care sunt direciile de propagare a undelor elastice. Astfel, n timpul propagrii undei nu are loc un transport de substan. Particulele mediului oscileaz n jurul poziiilor de echilibru, iar perturbaia avanseaz n sensul de propagare a undei.

Spre deosebire de undele electromagnetice, undele elastice nu se propag n vid. Undele elastice se caracterizeaz prin transferul de energie mecanic i transformarea energiei cinetice n energie potenial, n timp ce undele electromagnetice transport energie electric i magnetic, ce se transform reciproc una n cealalt.

Viteza undelor elastice este finit i este o caracteristic a fenomenului de propagare i a mediului i nu trebuie confundat cu viteza de oscilaie a particulelor mediului, care depinde n primul rnd de caracteristicile mediului i abia dup aceea de caracteristicile undei (pulsaie, amplitudine, faz). Din punct de vedere fizic, propagarea undei mecanice depinde de elasticitatea i ineria mediului. ntr-adevr, se constat c viteza de propagare a unei perturbaii mecanice se exprim totdeauna sub forma unei rdcini ptrate dintr-un parametru care definete rezistena mediului la deformaie i un parametru care definete ineria mediului.

n general, mrimea perturbat (poziia unei particule din mediu, viteza acesteia, presiunea, densitatea) se noteaz cu (x, y, z, t) i este numit funcie de und.

Funcia de und depinde att de coordonatele spaiale, ct i de timp. Dac direcia de oscilaie a particulelor este paralel cu direcia de propagare a undei, atunci unda se numete longitudinal, iar dac direcia de oscilaie este perpendicular pe direcia de propagare, atunci unda se numete transversal. Un mediu este omogen dac mrimile de material (densitatea , permitivitatea electric , permeabilitatea magnetic , conductivitatea , indicele de refracie n) au aceeai valoare n orice punct al mediului. Mediul este neomogen dac proprietile fizice (determinate de valorile mrimilor de material) depind de poziia punctului din mediu.

Mediile anizotrope au proprieti fizice care variaz n raport cu direcia, n timp ce n mediile izotrope nu exist direcii privilegiate pentru aceste proprieti (mrimile de material nu depind de direcie).

- 55 -

Mediile liniare sunt acelea n care este valabil principiul suprapunerii (superpoziiei)

= =

n

1i i , n caz contrar mediile fiind neliniare.

n medii dispersive viteza de propagare a perturbaiei depinde de caracteristicile undei, iar n cele nedispersive este constant.

n mediile disipative propagarea undelor se produce cu absorbie de energie, n timp ce n mediile conservative energia total se conserv.

Caracterul dispersiv sau nedispersiv, conservativ sau disipativ depinde att de proprietile mediului, ct i de natura undei (elastic, electromagnetic). Un mediu omogen, izotrop, liniar, nedispersiv i conservativ se numete mediu ideal.

8.2. Ecuaia de propagare a undei plane monocromatice O und este plan dac toate particulele situate ntr-un plan perpendicular pe direcia de

propagare a undei oscileaz identic. Considerm o und plan care se propag ntr-un mediu ideal, de-a lungul axei Ox.

Presupunem c sursa de oscilaie se afl n originea axei i execut oscilaii transversale ca n

cazul unei coarde elastice. Dac alegem ca origine a timpului

momentul n care sursa din O ncepe s oscileze, atunci un punct M ncepe s oscileze la un timp t de la producerea oscilaiei n O, adic punctul M oscileaz cu o ntrziere de faz fa de O.

n cazul oscilaiilor armonice putem scrie:

t cosA Oy = (8.1)

( )

==

vx t cosA t t cosA My (8.2)

unde v este viteza de propagare a undei. n cazul coardei elastice y are semnificaie de

elongaie. Se constat c funcia y este periodic att n timp, cu perioada T = 2 , ct i

n spaiu, cu perioada numit lungime de und. Lungimea de und este definit ca spaiul parcurs de und n timp de o perioad i se obine din condiia de periodicitate spaial:

=

+ 2

vx t cosA

v x t cosA

= 2

v ,

= v 2

T v = (8.3)

Ecuaia undei (8.2) se mai poate scrie i astfel:

( ) ( ) ===

= x t vk cosA k x t cosA x

Tt 2 cosA My

- 56 -

= A Re ( )k x t ie (8.4) unde:

k =

= 2 v

(8.5)

este mrimea vectorului de und kuk krr

= , kur fiind versorul direciei de propagare.

Argumentul funciei cosinus se numete faza undei:

( ) x t vk k x t == (8.6) Suprafaa de und este suprafaa pe care faza undei are aceeai valoare la un moment dat,

adic reprezint locul geometric al punctelor care oscileaz n faz. Suprafaa de und cea mai ndeprtat de surs la un moment dat se numete front de und. La un moment dat (t = constant) faza undei este constant ( = constant) dac

x = constant (8.7)

care reprezint ecuaia unui plan perpendicular pe direcia de propagare, adic avem o und plan.

Din condiia ca faza s fie constant:

d = d t k d x = k (v d t d x) = 0

rezult viteza de deplasare a suprafeei de und, numit vitez de faz, care coincide cu viteza undei:

v = k

td

xd = (8.8)

Pentru d t > 0 rezult:

d x = v d t > 0

adic avem o und care se deplaseaz n sensul pozitiv al axei Ox , numit und progresiv. Din relaia d = d t k d x rezult:

x t

= , t x

k

= (8.9)

Astfel pulsaia descrie viteza de variaie a fazei. Scriind relaia (8.4) pentru acelai moment de timp, dar pentru dou puncte diferite M1 i

M2:

=

= 11

1

x Tt 2 cosA x

Tt 2 cosA My ,

= 2

2

x

Tt 2 cosA My

obinem diferena de faz:

( )

=

== 2 x x 2 1212 (8.10)

unde 12 x x = este diferena de drum geometric. Aceeai relaie se puea obine prin diferenierea lui din (8.6) la t = const. i innd seama de paritatea funciei cosinus. Dac = n , n = 0, 1, 2, . . . , atunci = n 2 i cele dou puncte oscileaz n faz,

- 57 -

iar dac ( )2

1 n 2 += , n = 0, 1, 2, . . . , atunci ( )+= 1 n 2 i punctele M1 i M2 oscileaz n opoziie de faz.

Relaia (8.4) poate fi scris sub o form mai general:

f = A cos k (v t x) ( )[ ] x t vk f = (8.11) Prin derivare obinem:

fk x

= , ( ) f k fk k

xd 2

2

2

== , f k v

t

= , f vk

t22

2

2

=

22

22

2

2

2

2

v f k

f vk

x

t

==

0 t

v1

x

2

2

22

2

=

(8.12)

Ecuaia (8.12) este ecuaia de propagare a undelor. Ecuaia (8.12) este echivalent cu urmtoarele dou ecuaii:

0 t

v1

x

t

v1

x=

+

(8.13)

0 t

v1

x

t

v1

x=

+ (8.14)

Aceste ecuaii sunt satisfcute dac:

t

v1

x

= ,

t

v1

x

= (8.15)

sau:

y

x

= (8.16)

y

x

= (8.17)

unde y = v t. Ecuaia (8.16) este satisfcut de o funcie de forma (8.11):

( )[ ] ( )[ ]x t k f x y k f p == v (8.18) deoarece:

fk x

p =

, fk

y p

=

, k f = ( k f)

Ecuaia (8.17) este satisfcut de funcia:

( )[ ] ( )[ ] x t vk g xy k g r +=+= (8.19) ntruct x i y apar n (8.17) n mod simetric.

p din (8.18) i r din (8.19) sunt soluii particulare ale ecuaiei (8.12). Soluia general a ecuaiei de propagare a undelor se obine folosind principiul

superpoziiei:

- 58 -

= p + r = f [ k (v t x) ] + g [ k (v t + x) ] (8.20)

Soluia p corespunde undei progresive, iar soluia r corespunde undei regresive, care se propag spre stnga.

Faza undei regresive este: = k (v t + x) (8.21)

Din condiia d = 0 rezult viteza de faz a undei regresive:

v = td

xd (8.22)

care pentru d t > 0 conduce la d x = v d t < 0 , explicnd astfel denumirea de und regresiv.

n cazul n care direcia de propagare a undei nu coincide cu nici una dintre axele de coordonate, ecuaia de propagare a undei are forma:

0 t

v1

z

y

x

2

2

22

2

2

2

2

2

=

+

+ (8.23)

sau:

0 t

v1 2

2

2 =

(8.24)

unde:

2

2

2

2

2

2

z

y

x

+

+

= (8.25)

se numete laplacian, iar ( ) tz, y, x, este funcia de und.

8.3. Unde sferice Soluia ecuaiei (8.24) depinde de condiiile iniiale, iar forma suprafeei de und depinde

de forma sursei de perturbaie i de proprietile mediului elastic. ntr-un mediu omogen i izotrop, o perturbaie produs de o surs punctual se propag

sub form de unde sferice. n acest caz perturbaia se propag cu aceeai vitez n toate direciile, astfel c frontul de und este o sfer cu centrul n sursa punctual.

Datorit simetriei sferice, este mai corect s lucrm n coordonate dferice:

x = r sin cos

y = r sin sin (8.26)

z = r cos

n coordonate sferice ecuaia (8.24) se scrie astfel:

0 t

v1

sin1 sin

sin 1

r r

r

r1

2

2

22

2

22

2 =

+

+

(8.27)

Pentru un mediu omogen i izotrop, nu depinde de i . Ecuaia de propagare a undelor sferice devine:

- 59 -

( ) 0 t

v1 r

r

r1

2

2

22

2

=

(8.28)

sau:

( ) ( ) 0 r t

v1 r

r 22

22

2

=

(8.29)

Aceast ecuaie are aceeai form ca (8.12). Notnd:

= r s (8.30) rezult ecuaia:

0 t

s v1

r s

2

2

22

2

=

(8.31)

Soluia acestei ecuaii este de forma (8.20):

s = f [ k (v t r) ] + g [ k (v t + r) ] (8.32)

nlocuind s din (8.30) obinem:

r1 = f [ k (v t r) ] +

r1 g [ k (v t + r) ] (8.33)

Soluia este divergent pentru r = 0 , deoarece se presupune c n acest punct se afl sursa de perturbaie.

La un moment dat faza undei

= k (v t m r) (8.34)

este constant dac: r = constant (8.35)

care reprezint ecuaia unei sfere cu centrul n surs. Din condiia ca faza s fie constant

d = k (v d t m d r) = 0

rezult viteza de faz:

v = tdr d (8.36)

Pentru unda progresiv p = r1 f [ k (v t r) ] , = k (v t r) , v =

tdr d , iar pentru

unda regresiv r = r1 g [ k (v t + r) ] , = k (v t + r) , v =

tdr d . Unda progresiv se

propag de la surs spre exterior, iar unda regresiv se propag n sens invers. La distane foarte mari fa de surs, undele sferice pot fi considerate ca unde plane

pentru un domeniu A B de dimensiuni mici fa de distana pn la sursa S. n acest caz suprafaa de und are o raz de curbur foarte mare i devine un plan perpendicular pe direcia de propagare.

- 60 -

8.4. Propagarea perturbaiilor longitudinale Undele longitudinale se pot propaga att n solide, ct i n lichide i gaze, n timp ce

undele transversale se pot propaga numai n solide sau la suprafaa lichidelor, deoarece n fluide nu exist fore elastice la forfecare, adic fore proporionale cu distana de alunecare a unui strat fa de altul, care s transmit oscilaiile transversale.

Vom analiza cazul undelor acustice care se propag ntr-un gaz. Fenomenul de propagare a undelor longitudinale poate fi descris cu ajutorul a dou funcii de und: presiunea acustic i viteza de oscilaie a particulei n jurul poziiei sale de echilibru.

8.4.1. Presiunea acustic La echilibru, cnd n mediu nu se propag unde acustice, presiunea local este cea static

p0. Cnd n mediu se propag unde acustice, ntr-un punct din cmpul acustic presiunea va oscila armonic ntre o valoare maxim i una minim. Presiunea dinamic pd este diferena dintre presiunea total i presiunea static p0 :

pd = p p0 (8.37)

Presiunea dinamic pd este o presiune suplimentar (suprapresiune), care se datoreaz efectului ondulatoriu acustic i de aceea se numete presiune acustic.

Deoarece presiunea acustic pd este mult mai mic dect presiunea de echilibru p0 , rezult c o astfel de inegalitate este valabil i pentru densitile corespunztoare:

p = p0 + pd , d0 += , pd

- 61 -

Frontul de und plan este perpendicular pe direcia x i se propag n sensul pozitiv al

axei Ox. Presupunem c aria frontului este egal cu unitatea i c la momentul iniial (t = 0) acesta se afl n poziia x , unde gazul nu este perturbat. Sub aciunea sunetului, gazul din x se deplaseaz cu y (x, t) aa nct la timpul t va ocupa o nou poziie x + y (x, t) . Moleculele de gaz care iniial se gseau la o distan x + d x se vor deplasa cu y (x + d x, t) i se vor gsi la timpul t la distana x + d x + y (x + d x, t) . Deoarece seciunea tubului cilindric este egal cu unitatea, volumul ocupat iniial de gaz ntre x i x + d x este d x , iar volumul final va fi:

x + d x + y (x + d x, t) x y (x, t) = d x + xd xy

,

d x fiind foarte mic. n noul volum, considerat mai mare dect cel iniial, exist aceeai cantitate de gaz ca i

n volumul iniial neperturbat:

d m =

+= xd xy x d x d 0 ( )8.38 x

y 1 0

+=

= ( ) xy

xy

xy

xy 1 0d0d0d0d0

++

+

++=

++

Am neglijat termenul xy d

deoarece d 0 atunci densitatea scade fa de 0 .

d0 += = 0 xy 0

(8.41)

Dac presupunem c deplasarea particulelor de gaz y (x, t) este de forma (8.2):

y (x, t) = A cos ( t vx ) (8.42)

atunci viteza particulei este:

u =

=

=vx t sin A

ty y& (8.43)

Din (8.40) i (8.42) rezult:

=

=

vx t sin

vA

xy

0

d (8.44)

Folosind (8.43) obinem:

- 62 -

vu

0

0

0

d =

=

(8.45)

Rezult c variaia relativ a densitii unui fluid ntr-o und progresiv este egal cu

raportul dintre viteza particulelor i viteza undei. Deformaia relativ a volumului de gaz este:

xy

xd

xd xd xy x d

=

+= (8.46)

Din (8.44) , (8.45) i (8.46) obinem:

0

d

= vu = (8.47)

Din aceast relaie rezult c, pentru unda progresiv, deformaia relativ este egal cu rapoartul, cu semn schimbat, dintre viteza particulei i viteza undei. Deformaia relativ este maxim acolo unde viteza particulelor u (x, t) este maxim, adic n punctele n care particulele trec prin poziiile lor de echilibru. Acolo unde viteza particulelor u este n acelai sens cu sensul de propagare al undei longitudinale avem o regiune de comprimare ( < 0) , iar acolo unde viteza particulelor este n sens opus avem o regiune de rarefiere ( > 0) .

Din relaia (8.44) putem determina deformaia relativ maxim:

A 2 A k vA max

==

= (8.48)

care are ordinul de mrime al raportului dintre amplitudinea de oscilaie a particulelor i lungimea de und.

Din teoria elasticitii se tie c efortul unitar, care n cazul nostru are rol de presiune dinamic, are expresia:

pd = =

=

+=

= E

xy E

xd

xd x d xy x d

E E SF

l

l (8.49)

semnul minus avnd semnificaia c suprapresiunea pd se opune deformaiei relative, n acord cu relaiile (8.39) i (8.40) din care rezult:

pd = xy

p

0

0

=

(8.50)

Din (8.49) , (8.43) i (8.47) obinem:

pd =

==

vx t sin

vA E

vu E

vu E (8.51)

EA 2 EA k v

A E pmaxd

==

= (8.52)

=

vx t sin p p

maxdd (8.53)

- 63 -

Relaia (8.53) este expresia presiunii acustice momentane. Se definete presiunea acustic eficace pef ca rdcina ptrat a mediei ptratului

presiunii acustice momentane pd n decurs de o perioad. Din relaia (8.53) obinem:

=

vx t sin p p 22

maxd2d , pef = 2

p p maxd2d = (8.54)

8.4.2. Viteza sunetului

Asupra elementului de mas dm ce ocup volumul final acioneaz o for rezultant

dF = dm 22

ty

= p (x, t) p (x + dx, t) (8.55)

unde seciunea S a fost luat egal cu unitatea. Acelai element de mas ocup volumul iniial dx n care densitatea gazului este 0 .

Rezult:

( ) ( ) dx xp

dx p p x

8.38dx xp

ty dx dd02

2

0

=+

=

xp

ty d2

2

0

=

(8.56)

nlocuind pd din (8.39) obinem:

( ) 22

0

0d

0

2

2

0 xy

p 8.40

xp

p t

y

=

=

=

2

2

0

2

2

xy

p

ty

=

=

(8.57)

0 t

y

p

1 x

y 2

2

0

2

2

=

=

(8.58)

Ecuaia (8.58) reprezint ecuaia de propagare a undelor sonore n care viteza sunetului este:

v = 0

p

=

(8.59)

Se constat c viteza de propagare a undelor acustice depinde de densitatea mediului. Din relaiile (8.49) i (8.56) obinem:

=

xy E

x

ty 2

2

0 22

2

2

0 xy E

ty

=

0 t

y E1

xy

2

2

0

2

2

=

(8.60)

- 64 -

Din (8.60) rezult c viteza undelor acustice longitudinale este:

v = 0

E

(8.61)

unde E este modulul de elasticitate. Din relaiile (8.51) , (8.45) i (8.61) obinem:

p p0 = ( )02 v (8.62) Rezult c variaiile de presiune n unda sonor sunt proporionale cu variaiile de

densitate, constanta de proporionalitate v2 fiind ptratul vitezei de propagare a undei. Din relaiile (8.49) , (8.62) i (8.45) rezult:

p p0 = E (8.63)

p p0 = 02

vu v p p0 = 0 u v (8.64)

Astfel variaia de presiune este maxim acolo unde deformaia este maxim i este proporional cu viteza particulelor.

Considernd c procesul de propagare a sunetului este adiabatic

V p = const. (8.65)

prin diferenierea ecuaiei adiabatei obinem:

0 dV 1 V p dp V =+ V dp + 0 dV p =

VdV

pdp

= (8.66)

Pentru o mas de gaz constant, putem scrie:

V = m 22

V m ddV

=

=

=d

VdV (8.67)

nlocuind (8.67) n (8.66) obinem:

=d

pdp

0

0

0

2 p

p v

==

=

v = 0

0p

(8.68)