Embed Size (px)
Citation preview
1
II. OSNOVE LINEARNOG PROGRAMIRANJA
1. Riješite sljedeće probleme LP grafičkom metodom, formulirajte njihov dual i riješite ga
primjenom principa oslabljene komplementarnosti.
a) ( )1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
max 2
2 5 25
3 2 9
1
, 0
x x
x x
x x
x x
x x
− +
+ ≤
− ≤
+ ≥
≥
Rješenje:
1 11 1 1 1
25 2 3 950 4 15 45 19 95 5
5 2
x xx x x x
− −= ⇒ − = − ⇒ = ⇒ =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,1 , 1, 0 , 3, 0 , 5, 3 , 0,5A B C D E
Pravac koji predstavlja funkciju cilja, kroz recimo točku ( )0,1A je 1 22 2.x x− + = Taj pravac
translatiramo u smjeru vektora 1
2 .2
z i j− ∇ = = − +
� �
Očito je da taj pravac napušta skup
mogućih rješenja u ekstremnoj točki ( )0,5E pa je optimalno rješenje
( )1 20, 5, 0 2 5 10.x x z z E∗ ∗ ∗= = = = − + ⋅ =
2
( )1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
max 2
2 5 25
3 2 9
1
, 0
x x
x x
x x
x x
x x
− +
+ ≤
− ≤
− − ≤ −
≥
kanonski oblik:
( )1 2
1 2 1
1 2 2
1 2 3
1 2 1 2 3
max 2
2 5 25
3 2 9
1
, , , , 0
x x
x x u
x x u
x x u
x x u u u
− +
+ + =
− + =
− − + = −
≥
1 1
2 2
3 3
2 0 5 5 25 0
3 0 2 5 9 19
0 5 1 4
u u
u u
u u
∗ ∗
∗ ∗
∗ ∗
⋅ + ⋅ + = ⇒ =
⋅ − ⋅ + = ⇒ =
− − + = − ⇒ =
dual:
( )1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
min 25 9
2 3 1
5 2 2
, , 0
y y y
y y y
y y y
y y y
+ −
+ − ≥ −
− − ≥
≥
kanonski oblik duala:
( )1 2 3
1 2 3 1
1 2 3 2
1 2 3 1 2
min 25 9
2 3 1
5 2 2
, , , , 0
y y y
y y y v
y y y v
y y y v v
+ −
+ − − = −
− − − =
≥
Po principu oslabljene komplementarnosti, imamo:
2 2 2 2
2 2 2 2
3 3 3 3
1 2 3 2 1 1 2 3 1 1
5 0 0
19 0 0
4 0 0
2 95 2 2 ; 2 3 1
5 5
x v v v
y u y y
y u y y
y y y v y y y y v v
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
= = ⇒ =
= = ⇒ =
= = ⇒ =
− − − = ⇒ = + − − = − ⇒ =
Dakle, optimalno rješenje dualnog problema je 1 2 3
2, 0.5
y y y∗ ∗ ∗= = =
1 2 325 9 25z y y y∗ ∗ ∗ ∗= + − = 5 2
5⋅ 10.=
3
b) ( )1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
min 2 3
3 0
1
5 15
, 0
y y
y y
y y
y y
y y
−
+ ≥
− + ≤
− ≤
≥
Rješenje:
1 1 1 15 15 1 4 16 4y y y y− = + ⇒ = ⇒ =
( ) ( ) ( ) ( )0,1 , 0, 0 , 3, 0 , 4, 5A B C D
Pravac koji predstavlja funkciju cilja, kroz recimo točku ( )3, 0C je 1 22 3 6.y y− = Taj pravac
translatiramo u smjeru vektora 2
3 2 .3
z j i ∇ = − = − −
� �
Očito je da taj pravac napušta skup
mogućih rješenja u ekstremnoj točki ( )4,5D pa je optimalno rješenje ( )1 24, 5, 2 4 3 5 7.y y z z D∗ ∗ ∗= = = = ⋅ − ⋅ = −
( )1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
min 2 3
3 0
1
5 15
, 0
y y
y y
y y
y y
y y
−
+ ≥
− ≥ −
− + ≥ −
≥
4
kanonski oblik:
( )1 2
1 2 1
1 2 2
1 2 3
1 2 1 2 3
min 2 3
3 0
1
5 15
, , , , 0
y y
y y v
y y v
y y v
y y v v v
−
+ − =
− − = −
− + − = −
≥
1 1
2 2
3 3
3 4 5 0 17
4 5 1 0
5 4 5 15 0
v v
v v
v v
∗ ∗
∗ ∗
∗ ∗
⋅ + − = ⇒ =
− − = − ⇒ =
− ⋅ + − = − ⇒ =
dual:
( )2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
max 15
3 5 2
3
, , 0
x x
x x x
x x x
x x x
− −
+ − ≤
− + ≤ −
≥
kanonski oblik duala:
( )2 3
1 2 3 1
1 2 3 2
1 2 3 1 2
max 15
3 5 2
3
, , , , 0
x x
x x x u
x x x u
x x x u u
− −
+ − + =
− + + = −
≥
Po principu oslabljene komplementarnosti, imamo:
1 1 1 1
1 1 1 1
2 2 2 2
2 3
3 22 3
17 0 0
4 0 0
5 0 0
5 2 1 13, 4 43
x v x x
y u u u
y u u u
x xx x
x x
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗
∗ ∗∗ ∗
= = ⇒ =
= = ⇒ =
= = ⇒ =
− = ⇒ = =− + = −
Dakle, optimalno rješenje dualnog problema je 1 2 3
13 10, , .
4 4x x x∗ ∗ ∗= = =
2 3
13 115 15 7.
4 4z x x∗ ∗ ∗= − − = − − ⋅ = −
5
c) ( )1 2
1 2
1 2
1
1 2
min 2 2
4 16
4
2
, 0
y y
y y
y y
y
y y
− +
+ ≤
+ ≥
≥
≥
Rješenje:
( ) ( ) ( )
( ) 1 2
2, 3.5 2 2 2 3.5 3; 2,2 2 2 2 2 0; 4, 0 2 4 2 0 8
16,0 2 16 2 0 32 16, 0, 32
z z z
z y y z∗ ∗ ∗
= − ⋅ + ⋅ = = − ⋅ + ⋅ = = − ⋅ + ⋅ = −
= − ⋅ + ⋅ = − ⇒ = = = −
( )1 2
1 2
1 2
1
1 2
min 2 2
4 16
4
2
, 0
y y
y y
y y
y
y y
− +
− − ≥ −
+ ≥
≥
≥
kanonski oblik:
( )1 2
1 2 1
1 2 2
1 3
1 2 1 2 3
min 2 2
4 16
4
2
, , , , 0
y y
y y v
y y v
y v
y y v v v
− +
− − − = −
+ − =
− =
≥
6
1 1
2 2
3 3
16 4 0 16 0
16 0 4 12
16 2 14
v v
v v
v v
∗ ∗
∗ ∗
∗ ∗
− − ⋅ − = − ⇒ =
+ − = ⇒ =
− = ⇒ =
dual:
( )1 2 3
1 2 3
1 2
1 2 3
max 16 4 2
2
4 2
, , 0
x x x
x x x
x x
x x x
− + +
− + + ≤ −
− + ≤
≥
kanonski oblik duala:
( )1 2 3
1 2 3 1
1 2 2
1 2 3 1 2
max 16 4 2
2
4 2
, , , , 0
x x x
x x x u
x x u
x x x u u
− + +
− + + + = −
− + + =
≥
Po principu oslabljene komplementarnosti, imamo:
2 2 2 2
3 3 3 3
1 1 1 1
1 2 3 1 1 1 2 2 2
12 0 0
14 0 0
16 0 0
2 2; 4 2 10
x v x x
x v x x
y u u u
x x x u x x x u u
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
= = ⇒ =
= = ⇒ =
= = ⇒ =
− + + + = − ⇒ = − + + = ⇒ =
Dakle, optimalno rješenje dualnog problema je 1 2 32, 0.x x x∗ ∗ ∗= = =
1 2 316 4 2 16 2 4 0 2 0 32.z x x x∗ ∗ ∗ ∗= − + + = − ⋅ + ⋅ + ⋅ = −
7
d) ( )1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
min 3 4
2 13
5 20
2
4 16
, 0
y y
y y
y y
y y
y y
y y
−
+ ≥
+ ≥
− ≤
− + ≤
≥
Rješenje:
11 1 1 1 1
1 1 1 1
11 1 1 1 1
11 1 1 1 1
2013 2 65 10 20 9 45 5
5
13 2 2 3 15 5
1613 2 52 8 16 9 36 4
4
162 4 8 16 3 24 8
4
yy y y y y
y y y y
yy y y y y
yy y y y y
−− = ⇒ − = − ⇒ = ⇒ =
− = − ⇒ = ⇒ =
+− = ⇒ − = + ⇒ = ⇒ =
+− = ⇒ − = + ⇒ = ⇒ =
( ) ( ) ( )
1 2
4,5 3 4 4 5 8; 5, 3 3 5 4 3 3; 8,6 3 8 4 6 0
4, 5, 8
z z z
y y z∗ ∗ ∗
= ⋅ − ⋅ = − = ⋅ − ⋅ = = ⋅ − ⋅ =
⇒ = = = −
( )1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
min 3 4
2 13
5 20
2
4 16
, 0
y y
y y
y y
y y
y y
y y
−
+ ≥
+ ≥
− + ≥ −
− ≥ −
≥
8
kanonski oblik:
( )1 2
1 2 1
1 2 2
1 2 3
1 2 4
1 2 1 2 3 4
min 3 4
2 13
5 20
2
4 16
, , , , , 0
y y
y y v
y y v
y y v
y y v
y y v v v v
−
+ − =
+ − =
− + − = −
− − = −
≥
1 1
2 2
3 3
4 4
8 5 13 0
4 25 20 9
4 5 2 3
4 20 16 0
v v
v v
v v
v v
∗ ∗
∗ ∗
∗ ∗
∗ ∗
+ − = ⇒ =
+ − = ⇒ =
− + − = − ⇒ =
− − = − ⇒ =
dual:
( )1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
max 13 20 2 16
2 3
5 4 4
, , , 0
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ − −
+ − + ≤
+ + − ≤ −
≥
kanonski oblik duala:
( )1 2 3 4
1 2 3 4 1
1 2 3 4 2
1 2 3 4 1 2
max 13 20 2 16
2 3
5 4 4
, , , , , 0
x x x x
x x x x u
x x x x u
x x x x u u
+ − −
+ − + + =
+ + − + = −
≥
Po principu oslabljene komplementarnosti, imamo:
2 2 2 2
3 3 3 3
1 1 1 1
2 2 2 2
1 4
4 11 4
9 0 0
3 0 0
4 0 0
5 0 0
2 3 11 8, .9 94 4
x v x x
x v x x
y u u u
y u u u
x xx x
x x
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗
∗∗ ∗
= = ⇒ =
= = ⇒ =
= = ⇒ =
= = ⇒ =
+ = ⇒ = =− = −
Dakle, optimalno rješenje dualnog problema je 1 2 3 4
8 11, 0, .9 9
x x x x∗ ∗ ∗ ∗= = = =
1 2 3 4
8 11 104 17613 20 2 16 13 20 0 2 0 16 8.
9 9 9z x x x x∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −= + − − = ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ = = −
9
e) ( )1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
max 2 3
5
3 2 10
4 15
2 3 5
, 0
x x
x x
x x
x x
x x
x x
−
+ ≥
− ≤
− ≥
− + ≤
≥
Rješenje:
11 1 1 1 1
1 1 1 1
11 1 1 1 1
1 11 1 1 1
3 105 10 2 3 10 5 20 4
2
5 4 15 5 20 4
2 54 15 12 45 2 5 10 50 5
3
3 10 2 59 30 4 10 5 40 8
2 3
xx x x x x
x x x x
xx x x x x
x xx x x x
−− = ⇒ − = − ⇒ = ⇒ =
− = − ⇒ = ⇒ =
+− = ⇒ − = + ⇒ = ⇒ =
− += ⇒ − = + ⇒ = ⇒ =
( ) ( ) ( )
1 2
4,1 2 4 3 1 5; 8, 7 2 8 3 7 5; 5,5 2 5 3 5 5
4, 1, 5
z z z
x x z∗ ∗ ∗
= ⋅ − ⋅ = = ⋅ − ⋅ = − = ⋅ − ⋅ = −
⇒ = = =
( )1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
max 2 3
5
3 2 10
4 15
2 3 5
, 0
x x
x x
x x
x x
x x
x x
−
− − ≤ −
− ≤
− + ≤ −
− + ≤
≥
10
kanonski oblik:
( )1 2
1 2 1
1 2 2
1 2 3
1 2 4
1 2 1 2 3 4
max 2 3
5
3 2 10
4 15
2 3 5
, , , , , 0
x x
x x u
x x u
x x u
x x u
x x u u u u
−
− − + = −
− + =
− + + = −
− + + =
≥
1 1
2 2
3 3
4 4
4 1 5 0
12 2 10 0
16 1 15 0
8 3 5 10
u u
u u
u u
u u
∗ ∗
∗ ∗
∗ ∗
∗ ∗
− − + = − ⇒ =
− + = ⇒ =
− + + = − ⇒ =
− + + = ⇒ =
dual:
( )1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
min 5 10 15 5
3 4 2 2
2 3 3
, , , 0
y y y y
y y y y
y y y y
y y y y
− + − +
− + − − ≥
− − + + ≥ −
≥
kanonski oblik duala:
( )1 2 3 4
1 2 3 4 1
1 2 3 4 2
1 2 3 4 1 2
min 5 10 15 5
3 4 2 2
2 3 3
, , , , , 0
y y y y
y y y y v
y y y y v
y y y y v v
− + − +
− + − − − =
− − + + − = −
≥
Po principu oslabljene komplementarnosti, imamo:
1 1 1 1
2 2 2
4 4 4 4
4 0 0
0
10 0 0
x v v v
x v v
y u y y
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
= = ⇒ =
= =
= = ⇒ =
1 2 3
1 2 3
3 4 2
2 3
y y y
y y y
∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗
− + − =
− − + = −
I. bazično optimalno rješenje:
2 3
1 2 32 3
3 4 20 2, 1
2 3
y yy y y
y y
∗ ∗
∗ ∗ ∗∗ ∗
− = = ⇒ ⇒ = =− + = −
1 2 3 45 10 15 5 5 0 10 2 15 1 5 0 5z y y y y∗ ∗ ∗ ∗ ∗= − + − + = − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ =
11
II. bazično optimalno rješenje:
1 3
2 3 11 3
4 20 1, 2
3
y yy y y
y y
∗ ∗
∗ ∗ ∗∗ ∗
− − = = ⇒ ⇒ = − =− + = −
nije moguće rješenje jer je 3 0y∗ <
III. bazično optimalno rješenje:
1 2
3 2 11 2
3 20 1, 1
2 3
y yy y y
y y
∗ ∗
∗ ∗ ∗∗ ∗
− + = = ⇒ ⇒ = =− − = −
1 2 3 45 10 15 5 5 1 10 1 15 0 5 0 5.z y y y y∗ ∗ ∗ ∗ ∗= − + − + = − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ =
f) ( )1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
min 2
5 3 50
12
4 7 7
5 2 10
, 0
y y
y y
y y
y y
y y
y y
− +
+ ≤
+ ≤
− + ≥
− + ≤
≥
Rješenje:
11 1 1 1 1
11 1 1 1 1
11 1 1 1 1
50 512 50 5 36 3 2 14 7
3
4 712 84 7 4 7 11 77 7
7
5 1012 24 2 5 10 7 14 2
2
yy y y y y
yy y y y y
yy y y y y
−= − ⇒ − = − ⇒ = ⇒ =
+− = ⇒ − = + ⇒ = ⇒ =
+− = ⇒ − = + ⇒ = ⇒ =
12
( ) ( ) ( )
( ) 1 2
0,1 2 0 1 1; 7,5 2 7 5 9; 2,10 2 2 10 6;
0,5 2 0 5 5 7, 5, 9
z z z
z y y z∗ ∗ ∗
= − ⋅ + = = − ⋅ + = − = − ⋅ + =
= − ⋅ + = ⇒ = = = −
( )1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
min 2
5 3 50
12
4 7 7
5 2 10
, 0
y y
y y
y y
y y
y y
y y
− +
− − ≥ −
− − ≥ −
− + ≥
− ≥ −
≥
kanonski oblik:
( )1 2
1 2 1
1 2 2
1 2 3
1 2 4
1 2 1 2 3 4
min 2
5 3 50
12
4 7 7
5 2 10
, , , , , 0
y y
y y v
y y v
y y v
y y v
y y v v v v
− +
− − − = −
− − − = −
− + − =
− − = −
≥
1 1
2 2
3 3
35 15 50 0
7 5 12 0
28 35 7 0
35 10
v v
v v
v v
∗ ∗
∗ ∗
∗ ∗
− − − = − ⇒ =
− − − = − ⇒ =
− + − = ⇒ =
− 4 10v∗− = − 4 35v∗⇒ =
dual:
( )1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
max 50 12 7 10
5 4 5 2
3 7 2 1
, , , 0
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
− − + −
− − − + ≤ −
− − + − ≤
≥
kanonski oblik duala:
( )1 2 3 4
1 2 3 4 1
1 2 3 4 2
1 2 3 4 1 2
max 50 12 7 10
5 4 5 2
3 7 2 1
, , , , , 0
x x x x
x x x x u
x x x x u
x x x x u u
− − + −
− − − + + = −
− − + − + =
≥
Po principu oslabljene komplementarnosti, imamo:
4 4 4 4
1 1 1 1
2 2 2 2
4 0 0
7 0 0
5 0 0
x v x x
y u u u
y u u u
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
= = ⇒ =
= = ⇒ =
= = ⇒ =
13
1 2 3
1 2 3
5 4 2
3 7 1
x x x
x x x
∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗
− − − = −
− − + =
I. bazično optimalno rješenje:
2 3
1 3 22 3
4 2 3 100 ,
11 117 1
x xx x x
x x
∗ ∗
∗ ∗ ∗∗ ∗
− − = − = ⇒ ⇒ = =− + =
1 2 3 4
10 3 21 12050 12 7 10 50 0 12 7 10 0 9
11 11 11z x x x x∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −= − − + − = − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ = = −
II. bazično optimalno rješenje:
1 3 1 3
2 3 11 3 1 3
5 4 2 15 12 6 11 100 ,
47 473 7 1 15 35 5
x x x xx x x
x x x x
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗
− − = − + = = ⇒ ⇒ ⇒ = = − + = − + =
1 2 3 4
10 11 77 50050 12 7 10 50 12 0 7 10 0 9
47 47 47z x x x x∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −= − − + − = − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ = = −
III. bazično optimalno rješenje:
1 2
3 1 21 2
5 2 3 110 ,
2 23 1
x xx x x
x x
∗ ∗
∗ ∗ ∗∗ ∗
− − = − = ⇒ ⇒ = = −− − =
nije moguće rješenje jer je 2 0.x∗ <
g) ( )1 2
1 2
2
1 2
1 2
1 2
max 5
4 4
4
2 1
5 22
, 0
x x
x x
x
x x
x x
x x
+
− ≥
≤
− ≤
+ ≤
≥
Rješenje:
1 11 1 1 1
1 225 5 44 2 7 49 7
2 5
x xx x x x
− −= ⇒ − = − ⇒ = ⇒ =
14
( ) ( ) ( )1, 0 1 5 0 1; 7, 3 7 5 3 22; 2, 4 2 5 4 22z z z= + ⋅ = = + ⋅ = = + ⋅ =
I. bazično optimalno rješenje: 1 27, 3, 22x x z∗ ∗ ∗= = =
II. bazično optimalno rješenje: 1 22, 4, 22x x z∗ ∗ ∗= = =
( )1 2
1 2
2
1 2
1 2
1 2
max 5
4 4
4
2 1
5 22
, 0
x x
x x
x
x x
x x
x x
+
− + ≤ −
≤
− ≤
+ ≤
≥
kanonski oblik:
( )1 2
1 2 1
2 2
1 2 3
1 2 4
1 2 1 2 3 4
max 5
4 4
4
2 1
5 22
, , , , , 0
x x
x x u
x u
x x u
x x u
x x u u u u
+
− + + = −
+ =
− + =
+ + =
≥
15
I. bazično optimalno rješenje:
1 1
2 2
3 3
4 4
28 3 4 21
3 4 1
7 6 1 0
7 15 22 0
u u
u u
u u
u u
∗ ∗
∗ ∗
∗ ∗
∗ ∗
− + + = − ⇒ =
+ = ⇒ =
− + = ⇒ =
+ + = ⇒ =
II. bazično optimalno rješenje:
1 18 4 4 0
4
u u∗ ∗− + + = − ⇒ =
2 4u∗+ = 2
3 3
4 4
0
2 8 1 7
2 20 22 0
u
u u
u u
∗
∗ ∗
∗ ∗
⇒ =
− + = ⇒ =
+ + = ⇒ =
dual:
( )1 2 3 4
1 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
min 4 4 22
4 1
2 5 5
, , , 0
y y y y
y y y
y y y y
y y y y
− + + +
− + + ≥
+ − + ≥
≥
kanonski oblik duala:
( )1 2 3 4
1 3 4 1
1 2 3 4 2
1 2 3 4 1 2
min 4 4 22
4 1
2 5 5
, , , , , 0
y y y y
y y y v
y y y y v
y y y y v v
− + + +
− + + − =
+ − + − =
≥
Po principu oslabljene komplementarnosti, imamo:
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2
3 4 3 4
4 33 4 3 4
7 0 0
3 0 0
21 0 0
0
1 2 2 21, 0.
2 5 5 2 5 5
x v v v
x v v v
y u y y
y u y
y y y yy y
y y y y
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗
= = ⇒ =
= = ⇒ =
= = ⇒ =
= =
+ = + = ⇒ ⇒ = = − + = − + =
Dakle, optimalno rješenje dualnog problema je 1 2 3 40, 1.y y y y∗ ∗ ∗ ∗= = = =
1 2 3 44 4 22 4 0 4 0 0 22 1 22.z y y y y∗ ∗ ∗ ∗ ∗= − + + + = − ⋅ + ⋅ + + ⋅ =
16
h) ( )1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
max 3 2
2 3 12
3 4 1
5 2 45
6 5 20
, 0
x x
x x
x x
x x
x x
x x
− +
+ ≥
− ≤
+ ≤
− + ≤
≥
Rješenje:
1 11 1 1 1
1 11 1 1 1
1 11 1 1 1
12 2 3 148 8 9 3 17 51 3
3 4
3 1 45 53 1 90 10 13 91 7
4 2
45 5 6 20225 25 12 40 37 185 5
2 5
x xx x x x
x xx x x x
x xx x x x
− −= ⇒ − = − ⇒ = ⇒ =
− −= ⇒ − = − ⇒ = ⇒ =
− += ⇒ − = + ⇒ = ⇒ =
( ) ( ) ( )
( ) 1 2
0,4 3 0 2 4 8; 3,2 3 3 2 2 5; 7, 5 3 7 2 5 11;
5,10 3 5 2 10 5 0, 4, 8
z z z
z x x z∗ ∗ ∗
= − ⋅ + ⋅ = = − ⋅ + ⋅ = − = − ⋅ + ⋅ = −
= − ⋅ + ⋅ = ⇒ = = =
( )1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
max 3 2
2 3 12
3 4 1
5 2 45
6 5 20
, 0
x x
x x
x x
x x
x x
x x
− +
− − ≤ −
− ≤
+ ≤
− + ≤
≥
17
kanonski oblik:
( )1 2
1 2 1
1 2 2
1 2 3
1 2 4
1 2 1 2 3 4
max 3 2
2 3 12
3 4 1
5 2 45
6 5 20
, , , , , 0
x x
x x u
x x u
x x u
x x u
x x u u u u
− +
− − + = −
− + =
+ + =
− + + =
≥
12− 1 12u∗+ = − 1
2 2
3 3
0
16 1 17
8 45 37
20
u
u u
u u
∗
∗ ∗
∗ ∗
⇒ =
− + = ⇒ =
+ = ⇒ =
4 20u∗+ = 4 0u∗⇒ =
dual:
( )1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
min 12 45 20
2 3 5 6 3
3 4 2 5 2
, , , 0
y y y y
y y y y
y y y y
y y y y
− + + +
− + + − ≥ −
− − + + ≥
≥
kanonski oblik duala:
( )1 2 3 4
1 2 3 4 1
1 2 3 4 2
1 2 3 4 1 2
min 12 45 20
2 3 5 6 3
3 4 2 5 2
, , , , , 0
y y y y
y y y y v
y y y y v
y y y y v v
− + + +
− + + − − = −
− − + + − =
≥
Po principu oslabljene komplementarnosti, imamo:
2 2 2 2
2 2 2 2
3 3 3 3
1 4 1
1 4
4 0 0
17 0 0
37 0 0
2 6 3
3 5 2
x v v v
y u y y
y u y y
y y v
y y
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗
∗ ∗
= = ⇒ =
= = ⇒ =
= = ⇒ =
− − − = −
− + =
I. bazično optimalno rješenje:
4 1
1 4 14
6 3 2 30 ,
5 55 2
y vy y v
y
∗ ∗
∗ ∗ ∗∗
− − = − = ⇒ ⇒ = ==
1 2 3 412 45 20 12 0 0 45 0 20z y y y y∗ ∗ ∗ ∗ ∗= − + + + = − ⋅ + + ⋅ + 4 2
5⋅ 8=
18
II. bazično optimalno rješenje:
1 4 1 4
1 4 11 4 1 4
2 6 3 6 18 9 13 30 ,
28 283 5 2 6 10 4
y y y yv y y
y y y y
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗
− − = − + = = ⇒ ⇒ ⇒ = = − + = − + =
1 2 3 412 45 20 12z y y y y∗ ∗ ∗ ∗ ∗= − + + + = − 3 3
28⋅
70 45 0 20+ + ⋅ + 5 13
28⋅
7
65 98.
7
−= =
i) ( )1 2
1 2
2
1 2
1 2
1
1 2
max 2
8
12
17
2 2
10
, 0
x x
x x
x
x x
x x
x
x x
+
− + ≤
≤
+ ≤
− ≤
≤
≥
Rješenje:
11 1 1 1 1
217 34 2 2 3 36 12
2
xx x x x x
−− = ⇒ − = − ⇒ = ⇒ =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0, 0 , 2, 0 , 10, 4 , 10,7 , 5,12 , 4,12 , 0, 8A B C D E F G
19
Pravac koji predstavlja funkciju cilja, kroz recimo točku ( )10, 4C je 1 22 18.x x+ = Taj pravac
translatiramo u smjeru vektora 1
2 .2
z i j ∇ = = +
� �
Očito je da taj pravac napušta skup
mogućih rješenja u ekstremnoj točki ( )5,12E pa je optimalno rješenje
( )1 25, 12, 5 2 12 29.x x z z E∗ ∗ ∗= = = = + ⋅ =
kanonski oblik:
( )1 2
1 2 1
2 2
1 2 3
1 2 4
1 5
1 2 1 2 3 4 5
max 2
8
12
17
2 2
10
, , , , , , 0
x x
x x u
x u
x x u
x x u
x u
x x u u u u u
+
− + + =
+ =
+ + =
− + =
+ =
≥
1 15 12 8 1
12
u u∗ ∗− + + = ⇒ =
2 12u∗+ = 2
3 3
4 4
5 5
0
5 12 17 0
5 24 2 21
5 10 5
u
u u
u u
u u
∗
∗ ∗
∗ ∗
∗ ∗
⇒ =
+ + = ⇒ =
− + = ⇒ =
+ = ⇒ =
dual:
( )1 2 3 4 5
1 3 4 5
1 2 3 4
1 2 3 4 5
min 8 12 17 2 10
1
2 2
, , , , 0
y y y y y
y y y y
y y y y
y y y y y
+ + + +
− + + + ≥
+ + − ≥
≥
kanonski oblik duala:
( )1 2 3 4 5
1 3 4 5 1
1 2 3 4 2
1 2 3 4 5 1 2
min 8 12 17 2 10
1
2 2
, , , , , , 0
y y y y y
y y y y v
y y y y v
y y y y y v v
+ + + +
− + + + − =
+ + − − =
≥
Po principu oslabljene komplementarnosti, imamo:
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1
4 4 4 4
5 5 5 5
5 0 0
12 0 0
0
21 0 0
5 0 0
x v v v
x v v v
y u y
y u y y
y u y y
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
= = ⇒ =
= = ⇒ =
= =
= = ⇒ =
= = ⇒ =
20
3
2 3 2
1
2 1.
y
y y y
∗
∗ ∗ ∗
=
+ = ⇒ =
Dakle, optimalno rješenje dualnog problema je 1 2 3 4 50, 1, 0.y y y y y∗ ∗ ∗ ∗ ∗= = = = =
1 2 3 4 58 12 17 2 10 8 0 12 1 17 1 2 0 10 0 29.z y y y y y∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗= + + + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =
j) ( )1 2
1 2
2
1 2
1 2
1 2
min 2
4 4
4
2 1
5 22
, 0
y y
y y
y
y y
y y
y y
− +
− ≥
≤
− ≤
+ ≥
≥
Rješenje:
( ) ( ) ( )2, 4 2 2 4 6; 7, 3 7 2 3 1; 9, 4 9 2 4 1z z z= − + ⋅ = = − + ⋅ = − = − + ⋅ = −
I. bazično optimalno rješenje: 1 27, 3, 1y y z∗ ∗ ∗= = = −
II. bazično optimalno rješenje: 1 29, 4, 1y y z∗ ∗ ∗= = = −
21
( )1 2
1 2
2
1 2
1 2
1 2
min 2
4 4
4
2 1
5 22
, 0
y y
y y
y
y y
y y
y y
− +
− ≥
− ≥ −
− + ≥ −
+ ≥
≥
kanonski oblik:
( )1 2
1 2 1
2 2
1 2 3
1 2 4
1 2 1 2 3 4
min 2
4 4
4
2 1
5 22
, , , , , 0
y y
y y v
y v
y y v
y y v
y y v v v v
− +
− − =
− − = −
− + − = −
+ − =
≥
I. bazično optimalno rješenje:
1 1
2 2
3 3
4 4
28 3 4 21
3 4 1
7 6 1 0
7 15 22 0
v v
v v
v v
v v
∗ ∗
∗ ∗
∗ ∗
∗ ∗
− − = ⇒ =
− − = − ⇒ =
− + − = − ⇒ =
+ − = ⇒ =
II. bazično optimalno rješenje:
1 136 4 4 28
4
v v∗ ∗− − = ⇒ =
− 2 4v∗− = − 2
3 3
4 4
0
9 8 1 0
9 20 22 7
v
v v
v v
∗
∗ ∗
∗ ∗
⇒ =
− + − = − ⇒ =
+ − = ⇒ =
dual:
( )1 2 3 4
1 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
max 4 4 22
4 1
2 5 2
, , , 0
x x x x
x x x
x x x x
x x x x
− − +
− + ≤ −
− − + + ≤
≥
kanonski oblik duala:
( )1 2 3 4
1 3 4 1
1 2 3 4 2
1 2 3 4 1 2
max 4 4 22
4 1
2 5 2
, , , , , 0
x x x x
x x x u
x x x x u
x x x x u u
− − +
− + + = −
− − + + + =
≥
22
Po principu oslabljene komplementarnosti, imamo:
1 1 1 1
2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
3 4
4 33 4
21 0 0
0
7 0 0
3 0 0
10, 1.
2 5 2
x v x x
x v x
y u u u
y u u u
x xx x
x x
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗
∗ ∗∗ ∗
= = ⇒ =
= =
= = ⇒ =
= = ⇒ =
− + = − ⇒ = =+ =
1 2 3 44 4 22 4 0 4 0 1 22 0 1.z x x x x∗ ∗ ∗ ∗ ∗= − − + = ⋅ − ⋅ − + ⋅ = −
k) ( )1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
min 2
3 1
3
2
2 2
, 0
y y
y y
y y
y y
y y
y y
− +
− + ≤
− + ≤
− ≤
+ ≥
≥
Rješenje:
1 1 1 13 1 3 2 2 1y y y y+ = + ⇒ = ⇒ =
( ) ( ) ( )2, 0 , 1, 4 , 0,1A B C
23
Pravac koji predstavlja funkciju cilja, kroz recimo točku ( )1, 4B je 1 22 7.y y− + = Taj pravac
translatiramo u smjeru vektora 1
2 .2
z i j ∇ = = − −
� �
Očito je da taj pravac napušta skup
mogućih rješenja u ekstremnoj točki ( )2, 0A pa je optimalno rješenje
( )1 22, 0, 2 2 0 2.y y z z A∗ ∗ ∗= = = = − + ⋅ = −
( )1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
min 2
3 1
3
2
2 2
, 0
y y
y y
y y
y y
y y
y y
− +
− ≥ −
− ≥ −
− + ≥ −
+ ≥
≥
kanonski oblik:
( )1 2
1 2 1
1 2 2
1 2 3
1 2 4
1 2 1 2 3 4
min 2
3 1
3
2
2 2
, , , , , 0
y y
y y v
y y v
y y v
y y v
y y v v v v
− +
− − = −
− − = −
− + − = −
+ − =
≥
1 1
2 2
6 1 7
2 3 5
2
v v
v v
∗ ∗
∗ ∗
− = − ⇒ =
− = − ⇒ =
− 3 2v∗− = − 3 0
2
v∗⇒ =
4 2v∗− = 4 0v∗⇒ =
dual:
( )1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
max 3 2 2
3 1
2 2
, , , 0
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
− − − +
+ − + ≤ −
− − + + ≤
≥
kanonski oblik duala:
( )1 2 3 4
1 2 3 4 1
1 2 3 4 2
1 2 3 4 1 2
max 3 2 2
3 1
2 2
, , , , , 0
x x x x
x x x x u
x x x x u
x x x x u u
− − − +
+ − + + = −
− − + + + =
≥
24
Po principu oslabljene komplementarnosti, imamo:
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1
7 0 0
5 0 0
2 0 0
x v x x
x v x x
y u u u
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
= = ⇒ =
= = ⇒ =
= = ⇒ =
3 4
3 4 2
1
2 2
x x
x x u
∗ ∗
∗ ∗ ∗
− + = −
+ + =
I. bazično optimalno rješenje:
4 3 2
1 2 3 4
0 1, 1
3 2 2 2
x x u
z x x x x
∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
= ⇒ = =
= − − − + = −
II. bazično optimalno rješenje:
3 4
2 4 33 4
1 2 3 4
1 1 40 ,
3 32 2
4 13 2 2 2 2 2.
3 3
x xu x x
x x
z x x x x
∗ ∗
∗ ∗ ∗∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
− + = − = ⇒ ⇒ = =+ =
= − − − + = − ⋅ + ⋅ = −
25
l) ( )1 2
1 2
1 2
1
1 2
max 4 2
2 1
2 1
1
, 0
x x
x x
x x
x
x x
− +
− ≤
− + ≤
≥
≥
Rješenje:
( ) ( )1, 0 , 1, 3A B
Pravac koji predstavlja funkciju cilja kroz točku ( )1, 0A je 1 24 2 4.x x− + = −
Taj pravac translatiramo u smjeru vektora 4
4 2 .2
z i j− ∇ = = − +
� �
Očito je da taj pravac napušta skup mogućih rješenja u ekstremnoj točki ( )1, 3B pa je
optimalno rješenje ( )1 21, 3, 4 1 2 3 2.x x z z B∗ ∗ ∗= = = = − ⋅ + ⋅ =
( )1 2
1 2
1 2
1
1 2
max 4 2
2 1
2 1
1
, 0
x x
x x
x x
x
x x
− +
− ≤
− + ≤
− ≤ −
≥
26
kanonski oblik:
( )1 2
1 2 1
1 2 2
1 3
1 2 1 2 3
max 4 2
2 1
2 1
1
, , , , 0
x x
x x u
x x u
x u
x x u u u
− +
− + =
− + + =
− + = −
≥
1 16 1u∗− + = 1
2 2
6
2 3 1 0
1
u
u u
∗
∗ ∗
⇒ =
− + + = ⇒ =
− 3 1u∗+ = − 3 0u∗⇒ =
dual:
( )1 2 3
1 2 3
1 2
1 2 3
min
2 4
2 2
, , 0
y y y
y y y
y y
y y y
+ −
− − ≥ −
− + ≥
≥
kanonski oblik duala:
( )1 2 3
1 2 3 1
1 2 2
1 2 3 1 2
min
2 4
2 2
, , , , 0
y y y
y y y v
y y v
y y y v v
+ −
− − − = −
− + − =
≥
Po principu oslabljene komplementarnosti, imamo:
1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1
2 3 1 2 1
1 2 3
0
3 0 0
6 0 0
2 2 4 0
2.
x v v
x v v v
y u y y
y y y y v
z y y y
∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
= =
= = ⇒ =
= = ⇒ =
= ⇒ = − − + =
= + − =
2. Riješite sljedeće probleme LP grafičkom metodom i odredite njihov dualni problem.
a) ( )1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
min 2
3 3
4 3 4
3
, 0
y y
y y
y y
y y
y y
+
+ =
+ ≥
+ ≤
≥
27
Rješenje:
( ) ( )
1 2
1,0 2 1 0 2; 0, 3 2 0 3 3
1, 0, 2
z z
y y z∗ ∗ ∗
= ⋅ + = = ⋅ + =
⇒ = = =
( )1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
min 2
3 3
4 3 4
3
, 0
y y
y y
y y
y y
y y
+
+ =
+ ≥
− − ≥ −
≥
dual:
( )1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3
max 3 4 3
3 4 2
3 1
, 0.
x x x
x x x
x x x
x x
+ −
+ − ≤
+ − ≤
≥
b) ( )1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
max 2
3 3
3 4 6
3
, 0
x x
x x
x x
x x
x x
+
+ =
+ ≥
+ ≤
≥
28
Rješenje:
1 11 1 1 1
3 6 3 612 4 18 9 5 6
3 4 5
x xx x x x
− −= ⇒ − = − ⇒ = ⇒ =
( ) ( )
1 2
6 3 6 3 12, 2 ; 3, 0 3 2 0 35 5 5 5 5
3, 0, 3
z z
x x z∗ ∗ ∗
= + ⋅ = = + ⋅ =
⇒ = = =
( )1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
max 2
3 3
3 4 6
3
, 0
x x
x x
x x
x x
x x
+
+ =
− − ≤ −
+ ≤
≥
dual:
( )1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3
min 3 6 3
3 1
3 4 2
, 0.
y y y
y y y
y y y
y y
− +
− + ≥
− + ≥
≥
29
c) ( )1 2
1 2
1 2
2
1 2
1 2
max 3
3
1
2
1
, 0
x x
x x
x x
x
x x
x x
+
+ ≤
+ ≥
≤
− + =
≥
Rješenje:
( ) ( )
1 2
0,1 0 3 1 3; 1,2 1 3 2 7
1, 2, 7
z z
x x z∗ ∗ ∗
= + ⋅ = = + ⋅ =
⇒ = = =
( )1 2
1 2
1 2
2
1 2
1 2
max 3
3
1
2
1
, 0
x x
x x
x x
x
x x
x x
+
+ ≤
− − ≤ −
≤
− + =
≥
dual:
( )1 2 3 4
1 2 4
1 2 3 4
1 2 3
min 3 2
1
3
, , 0.
y y y y
y y y
y y y y
y y y
− + +
− − ≥
− + + ≥
≥
30
d) ( )1 2
1 2
1 2
2
1 2
1 2
min 2 2
3
1
2
1
, 0
y y
y y
y y
y
y y
y y
+
+ =
+ ≥
≤
− + ≤
≥
Rješenje:
( ) ( )1,2 2 1 2 2 6; 3, 0 2 3 2 0 6z z= ⋅ + ⋅ = = ⋅ + ⋅ =
I. bazično optimalno rješenje: 1 21, 2, 6y y z∗ ∗ ∗= = =
II. bazično optimalno rješenje: 1 23, 0, 6y y z∗ ∗ ∗= = =
( )1 2
1 2
1 2
2
1 2
1 2
min 2 2
3
1
2
1
, 0
y y
y y
y y
y
y y
y y
+
+ =
+ ≥
− ≥ −
− ≥ −
≥
31
dual:
( )1 2 3 4
1 2 4
1 2 3 4
2 3 4
max 3 2
2
2
, , 0.
x x x x
x x x
x x x x
x x x
+ − −
+ + ≤
+ − − ≤
≥
e) ( )1 2
1 2
1 2
2
1 2
2
min 2 3
2
6
6
2 13
0
y y
y y
y y
y
y y
y
−
+ ≥
+ ≤
≤
− + ≤
≥
Rješenje:
11 1 1 1 1
11 1
132 4 2 13 3 9 3
2
136 12 13 1
2
yy y y y y
yy y
+− = ⇒ − = + ⇒ = − ⇒ = −
+= ⇒ = + ⇒ = −
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
2, 0 2 2 3 0 4; 6, 0 2 6 3 0 12; 0, 6 2 0 3 6 18;
1,6 2 1 3 6 20; 3,5 2 3 3 5 21
3, 5, 21
z z z
z z
y y z∗ ∗ ∗
= ⋅ − ⋅ = = ⋅ − ⋅ = = ⋅ − ⋅ = −
− = ⋅ − − ⋅ = − − = ⋅ − − ⋅ = −
⇒ = − = = −
32
( )1 2
1 2
1 2
2
1 2
2
min 2 3
2
6
6
2 13
0
y y
y y
y y
y
y y
y
−
+ ≥
− − ≥ −
− ≥ −
− ≥ −
≥
dual:
( )1 2 3 4
1 2 4
1 2 3 4
1 2 3 4
max 2 6 6 13
2
2 3
, , , 0.
x x x x
x x x
x x x x
x x x x
− − −
− + =
− − − ≤ −
≥
f) ( )1 2
1 2
1 2
2
1
max 3
1
5
2
0
x x
x x
x x
x
x
+
− ≥
+ ≤
− ≤
≥
Rješenje:
( ) ( ) ( )
( ) 1 2
0, 2 3 0 2 2; 7, 2 3 7 2 19; 3,2 3 3 2 11;
0, 1 3 0 1 1 7, 2, 19
z z z
z x x z∗ ∗ ∗
− = ⋅ − = − − = ⋅ − = = ⋅ + =
− = ⋅ − = − ⇒ = = − =
33
( )1 2
1 2
1 2
2
1
max 3
1
5
2
0
x x
x x
x x
x
x
+
− + ≤ −
+ ≤
− ≤
≥
dual:
( )1 2 3
1 2
1 2 3
1 2 3
min 5 2
3
1
, , 0.
y y y
y y
y y y
y y y
− + +
− + ≥
+ − =
≥
3. Zadan je problem LP: ( )2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 4
min 9 6 6
2 1
2 2 3
, , 0.
y y y
y y y y
y y y y
y y y
+ +
− + + + ≥
+ − − = −
≥
a) Formulirajte dual tog problema i riješite ga grafičkom metodom.
b) Koliki mora biti nepoznati parametar t da bi vektor 1
0 03
TY t
= −
bio moguće
rješenje originalnog problema minimuma?
c) Je li vektor Y iz b) ujedno i optimalno rješenje tog problema minimuma? Zašto?
Rješenje:
a) ( )1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1
max 3
2 0
9
2 6
2 6
0
x x
x x
x x
x x
x x
x
−
− + ≤
+ ≤
− =
− ≤
≥
34
( )
( )1 2
2, 2 82, 2, 8.
4,2 2
zx x z
z∗ ∗ ∗
− = ⇒ = = − == −
b) 1 2 3 4
1 52 2 3 2 3 .
3 3y y y y t t+ − − = − ⇒ − = − ⇒ =
c) ( ) 9 0 6z Y = ⋅ + 2 1
3⋅ −( ) 6+ 2 5
3⋅ 8 .z∗= =
