Upload
others
View
19
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Profesor Zorica Mladenovic
Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010
VEKTORSKI AUTOREGRESIONI MODELI VAR MODELI
II SEMESTAR DOKTORSKIH STUDIJAEkonomskog fakulteta Univerziteta u Beogradu
Zorica Mladenović
TemTemaa::
1. Uslov stabilnosti VAR modela
2. Ocene parametara modela
3. Određivanje reda VAR modela
4. Uzročnost
5. Funkcija impulsnog odziva
6. Dekompozicija varijanse greške predviđanja
7. Strukturni VAR model
Profesor Zorica Mladenovic
Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010
UzroUzroččnost: nost: GrGrejndejndžžerova uzroerova uzroččnostnost
Granger (1969) : “Investigating Causal Relations by Econometric Models and
Cross-Spectral Methods”, Econometrica, 37
( )( ) ( ).,...Y,Y,...X,X
X,...X,X
X
sXY
i Yosti za Xove uzrocn GrejndžerDefinicija
1tt1tt
st1tt
st
tt
tt
−−
+−
+
i osnovu na formira se koja
za japredvidjan greski kvadratnoj srednje jednaka je
osnovu na obrazovana za japredvidjan greska kvadratna srednja
nula, od vece svako za ako Grejndžerasmislu u uzrokuje ne
UzroUzroččnost: nost: GrGrejndejndžžerova uzroerova uzroččnost IInost II
Srednja kvadratna greška predvidjanja: SKG
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ).Grejndžerasmislu u uzrokuje ne tada
,ˆSKGˆSKG :Ako
ˆ- ˆSKG
,,...,,,...,Eˆ
: ,..., i ,...,osnovu na obrazovano za II jePredvidjan
ˆ- ˆSKG
,,...,Eˆ
:,...,osnovu na samo obrazovano za I jePredvidjan
)2()1(
2)2()2(
11
)2(
11
2)1()1(
1
)1(
1
tt
stst
ststst
ttttstst
ttttst
ststst
ttstst
ttst
XY
XX
XXEX
YYXXXX
YYXXX
XXEX
XXXX
XXX
++
+++
−−++
−−+
+++
−++
−+
=
=
=
=
=
Profesor Zorica Mladenovic
Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010
UzroUzroččnost: nost: GrGrejndejndžžerova uzroerova uzroččnost IIInost III
Alternativne interpretacije:
• Xt je egzogena vremenska serija u odnosu na Yt
•Yt nije informativan u linearnom smislu u pogledu
budućeg kretanja Xt
• U ovom slučaju relevantan je VAR model oblika:
+
+
+
+
+
=
−
−
−
−
−
−
t
t
pt
pt
pp
p
t
t
t
t
t
t
a
a
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
2
1
)(22
)(21
)(11
2
2
)2(22
)2(21
)2(11
1
1
)1(22
)1(21
)1(11
2
1
0
...00
φφ
φ
φφ
φ
φφ
φ
µ
µ
Testiranje Grejndžerove uzročnosti
Da li Y uzrokuje X?
1. Postavljamo VAR model za Xt i Yt
2. Fokusiramo se na jednačinu za Xt :
3. Posmatramo sledeće hipoteze
p,...,2,1i,0:H
)XY0...:H
i1
ttp210
=≠
====
jednoBar
uzrokuje ne (
β
βββ
4. Ocenjujemo VAR dva puta (T+p podataka):
1. Bez ograničenja (polazni VAR)
→rezidualna suma kvadrata, RSKB
2. Sa ograničenjem nulte hipoteze
(X samo od sopstvenih docnji) →rezidualna suma kvadrata, RSKO
greskaslYYY
XXXcX
ptptt
ptpttt
....
......
2211
22111
+++++
+++++=
−−−
−−−
βββ
ααα
Profesor Zorica Mladenovic
Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010
Testiranje Grejndžerove uzročnosti II
5. Testiramo valjanost nulte hipoteze na osnovu F statistike
oblika:
( ) ( )( )
( )( )
( )RSKB
RSKBRSKOT
p
pTRSKB
pRSKBRSKOF
RSKB
RSKBRSKOF
p
−=
−−
−=
−=
2
2 :slobode stepeni sa raspodeli
naekvivalent je raspodela ova iAsimptotsk
,12/
/
,modelu polaznomu slobode stepeni broj/
aogranicenj broj/
χ
χ
Primer upotrebljivosti testa uzročnosti
Posebna prezentacija rada:
Mladenović (2009), Relationship between inflation and inflation uncertainty, YUJOR, 19, No1.
Profesor Zorica Mladenovic
Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010
TemTemaa::
1. Uslov stabilnosti VAR modela
2. Ocene parametara modela
3. Određivanje reda VAR modela
4. Uzročnost
5. Funkcija impulsnog odziva
6. Dekompozicija varijanse greške predviđanja
7. Strukturni VAR model
Funkcija impulsnog odzivaFunkcija impulsnog odziva
Cilj: analiza reakcije sistema na dejstvo neočekivanog
slučajnog uticaja (impulsa)
[ ]
)(,
)(
'
matrice cijaInterpreta
s
ij
jt
sti
s
ijs
t
st
s
a
y
a
Y
ψ
ψ
=∂
∂
=Ψ=∂
∂
Ψ
+
+
n x n
Reakcija promenljive yi u trenutku
t+s na jedinični impuls j u trenutku t
uz fiksirano dejstvo svih faktora u
trenuku t i ranije
......
: u trenutku sistem Zapisujemo
...][)(
)(...
:stabilan je Sistem
112211
2
21
2211
11
211
+Ψ+Ψ++Ψ+Ψ++=
+
+Ψ+Ψ+=Ψ
Ψ+=+Ψ+Ψ++=
+Φ+=
−+−+−+++
−
Φ
−
Φ
−
tstsstststst
n
ttttt
ttt
aaaaaY
st
LLIL
aLaaaY
aYcY
µ
µµ
Profesor Zorica Mladenovic
Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010
Funkcija impulsnog odziva IFunkcija impulsnog odziva III
Funkcija impulsnog odziva:
Grafički prikaz reakcije za s=1,2,...
na jednokratni impuls u trenutku t na
pod pretpostavkom da nema impulsa na
druge promenljive sistema u trenucima t,t-1,...
stiy +,
jty
torimultiplikaa
yij
jt
sti →=∂
∂ + ψ,
s
ijψ
1 2 3
PrimerPrimer: : FIO zaFIO za VAR(1)VAR(1) dimenzije 2dimenzije 2
( )nema impulsadrugih
jedinicujednu za povecava se
od manje
t22010
t2t1
22212
122
11
t2
t1
1t2
1t1
2221
1211
t2
t1
y1a,0a,0t
0yy,0t
;a
a
y
y
y
y
===
==
=
+
=
−
−
σσ
σσΩ
φφ
φφ
Reakcija sistema 10
20
11 11 12 12
21 21 22 22
2
12 11 12 11 11 12
22 21 22 21 21 22
1 11 12
1
2 21 22
0
1
0
1
0
1
0 0
1 1
s
s s
s
y
y
y
y
y y
y y
y
y
φ φ φ
φ φ φ
φ φ φ φ
φ φ φ φ
φ φ
φ φ
=
= =
= =
= = Φ
M
(impuls)
Profesor Zorica Mladenovic
Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010
Pogledajmo MA reprezentaciju:
[ ]s1s
21211
1
,...,,
)L()L(
ΦΨΦΨΦΨ
ΦΨ
===
= −
U ovom primeru kovarijaciona matrica nije dijagonalna:
012 ≠σ
Postoji tekuća korelacija između impulsa (šokova) :
=
1
0
20
10
y
y
Da bi se prevazišao problem kovarijaciona matrica mora da se
transformiše tako da postane dijagonalna.
Ovom transformacijom impulsi postaju nezavisni-ortogonalni.
Ovo je nerealna pretpostavka
Ortogonalna funkcija impulsnog
odziva.
Problem: Q nije jedinstvena matrica
( ) ( ) ( )
1. varijansuima svaka i nenekorelisasu greske slucajne nove
,
'ΩQ Q : vazida tako,, matrica nanesingular Postoji
a)(simetricn matrica definitna pozitivno realna je
'''''
0
1
0
1
−
===
+=⇒=Ψ=
Ψ+=
=×
Ω
−
∞
=
−
∞
=−
−
∑
∑
−
t
ntttttt
iti
itttii
iw
it
M
it
n
w
IQaaEQQaQaEwwE
wMYQawQM
QaQY
I nnQ
Ω
iti
321
321
µ
µ
Ortogonalna funkcija impulsnog odziva
1
'
−+ Ψ==∂
∂QM
w
Yss
t
st
Profesor Zorica Mladenovic
Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010
( ) ( )( ) ( ) ( )
=
==
=
⇒
====⇒=
×−
×
=
−−−−−−−
t3
t2
t1
t3
t2
t1
3231
21tt
23w
22w
21w
t
t
'11'11'1'tt
1'ttt
1t
a
a
a
w
w
w
1
01
001
;aVw:
00
00
00
D
Dw
wD
DV'VDVVVΩVVaaEVwwEaVw
nnD
nn
,'VDVΩ
Ω
vv
v :3n zaPrimer Dalje
dijagonali glavnoj na ma varijansasa ninekorelisasu clanovaslucajnih Elementi
od matrica onakovarijaci je
ma, vrednostipozitivnim sa matrica adijagonaln ajedinstven
,dijagonali glavnoj na jedinicama sa matrica trougaonadonja ajedinstven - V
:formiu ipredstavit mozeuvek se ona
matrica, definitna pozitivno i simetricna je da Buduci
σ
σ
σ
Ortogonalna funkcija impulsnog odziva II
Holeskijeva dekompozicija
( )
. impulsa ogortogonaln devijacija standardna
:sistema reakcija mere Jedinica
devijacije standardne elementisu ciji matrica adijagonaln
clanova od svakog varijanseelementisu ciji matrica adijagonaln
t
sst
st
t2/1
t0i
itit
n'
ttt2/1
t12/1
t1
t
ii0i
it1
it
12/112/1
2/12/1
t2/1
t
w
PM'v
Y
wDv,vMY
IvvE,wDaVDaPv
PM,aPPY
VDP,VDP
'PP'VDVD'VDVΩ
:nn,wD
.nn,wD
→
→==∂
∂⇒
⇒=+=⇒
====
=+=
==
===
×
×
+
−∑∞
=−
−−−−
∑∞
=−
−
−−−
Ψ
µ
ΨΨµ
Ortogonalna funkcija impulsnog odziva III
Holeskijeva dekompozicija
Profesor Zorica Mladenovic
Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010
00
00
00
vv
0v
00
2
00
00
00
1
00
00
00
vv
v
Primer
=
=
=
=
⇒
=
⇒
⇒=
=
=
−
t3
t2
t1
3w
2w
1w1
3231
21
t3
t2
t1
t
t3
t2
t1
3w
2w
1w
t3
t2
t1
t
t3
t2
t1
t3
t2
t1
3w
2w
1w
tt2/1
t3
t2
t1
t3
t2
t1
3231
21
a
a
a
/1
/1
/1
1
1
1
v
v
v
v.
w
w
w
/1
/1
/1
v
v
v
v.
w
w
w
v
v
v
wvD,
a
a
a
w
w
w
1
01
001
:3n
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
Ortogonalna funkcija impulsnog odziva IV
Holeskijeva dekompozicija
.uzrocnosti testarezultataosnovu Na
sistemu?u ih promenljiv redosled odredjuje se Kako 3.
sistema. polaznog reakcije
struktura rekurzivna namece se kojom ijadekompozic trougaonaje Ovo 2.
u devijacije standardne jedne od impulsa promena odgovara
jedinice jedne od impulsa Promeni m.devijacijo mstandardno
rajucomkorespondi sastarih deljenjem seDobijaju 1.
vgreske slucajne nove clanova svojstva Dva
.w
v
.
it
it
t
Ortogonalna funkcija impulsnog odziva V
Holeskijeva dekompozicija
Profesor Zorica Mladenovic
Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010
3-2-1 REDOSLED JE OVO
jednaciniII i Iu
ih promenljiv uticaja tekucegod zavisi III jednaciniu aPromenljiv 3.
I jednaciniu epromenljiv
uticaja tekucegod zavisi II jednaciniu aPromenljiv 2.
ih promenljivostalih
uticaja tekucih od zavisi ne I jednaciniu aPromenljiv 1.
vσadada
vσada
vσa
vσ
vσ
vσ
a
a
a
1dd
01d
001
/σa
/σa
/σa
1dd
01d
001
v
v
v
v
3tw32t321t313t
2tw21t212t
1tw11t
3tw3
2tw2
1tw1
3t
2t
1t
3231
21
w33t
w22t
w11t
3231
21
3t
2t
1t
t
+−−=
+−=
=
⇒
=
⇒
=
=
Ortogonalna funkcija impulsnog odziva VI
Holeskijeva dekompozicija
Ocena funkcije impulsnog odziva i
formiranje odgovarajućih intervala poverenja
• Ova funkcija se konstruiše na osnovu ocenjenih
koeficijenata VAR modela: u asimptotskim uslovima
ocene su normalno raspodeljene.
•Imajući u vidu veliki broj parametara za ocenjivanje,
moguće je da su ocene međusobno korelisane, što ocene
funkcije impulsnog odziva može činiti nepreciznim.
•Kako formirati odgovarajuće intervale poverenja?
•Na osnovu normalne raspodele
•Na osnovu metoda simulacije
Profesor Zorica Mladenovic
Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010
Primena metoda simulacija (Monte-Karlo)
1. Ocenjuje se VAR model i dobijaju se:
2. Za uzorak obima T izvlači se T slučajnih brojeva koji treba da
predstavljaju seriju reziduala. Najveći broj statističkih paketa će
izvlačiti slučajne brojeve tako što će na slučaj uzimati neke od
vrednosti reziduala. Na ovaj način dobijamo simulirane serije koje bi
trebalo da imaju ista svojstva kao i stvarne slučajne greške.
2a. Kako su slučajne greške VAR modela međusobno korelisane
na docnji 0, prilikom generisanja slučajnih greški mora se voditi
računa da se održi prvobitno utvrđena korelaciona struktura.
3. Prema simuliranoj seriji slučajne greške simuliraju se podaci iz
uzorka uz prethodno definisane inicijalne vrednosti i koristeći već
ocenjene vrednosti parametara.
.parametara ocene ceodgovaraju- itd.,,ˆ ,ˆ
itd. jednacine, druge iz reziduali ˆ jednacine, prve iz reziduali ˆ
1211
21
φφ
−− tt aa
4. Prema rekonstruisanoj seriji podataka ocenjuje se VAR
model ponovo i potom i funkcija impulsnog odziva.
5. Ovaj postupak ocenjivanja ponavlja se mnogo puta. Na
primer, na osnovu 10000 izračunatih funkcija impulsnog odziva
obrazuje se interval poverenja sa verovatnoćom 95% , tako što
se iz datog skupa izostavlja 2.5% najmanjih i 2.5% najvećih vrednosti.
6. Prednost ovakvog računanja: raspodela ocena parametara
nije od značaja.
Primena metoda simulacija (Monte-Karlo) II
Profesor Zorica Mladenovic
Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010
Primer primene funkcije impulsnog odziva
Mladenović (2009), Relationship between inflation and
inflation uncertainty, YUJOR, 19, No1.
Mladenović and Petrović (2009), prezentirano više puta i
trenutno na recenziji EXCHANGE RATE PASS-THROUGH IN A SMALL OPEN
DEVELOPING ECONOMY UNDER DIFFERENT INFLATION
RATE REGIMES: ECONOMETRIC EVIDENCE
Empirical results for Serbia:
Modelling permanent inflation III• Accumulated impulse response function is calculated from VAR to
evaluate reaction of:
– Uncertainty to positive unanticipated random shock in permanent inflation
– Permanent inflation to positive unanticipated random shock in uncertainty
– Two possible Cholecky decompositions of residual covariance matrix are used giving similar results
-.0 0 4
.0 0 0
.0 0 4
.0 0 8
.0 1 2
2 4 6 8 10 12 14 16 18
A c cum u lated res pons e of pe rm anen t
infl ation rate to un c ertainty
.00 0 0 00 0
.00 0 0 02 5
.00 0 0 05 0
.00 0 0 07 5
.00 0 0 10 0
.00 0 0 12 5
2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8
A c c um ulated res po ns e of unc ertain ty
to perm anent infla t ion rate
Accumulated Re sponse to Cholesky One S.D. Innovations
Profesor Zorica Mladenovic
Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010
Mladenović i Petrović (2009):
• Ocenjen je VAR model četiri vremenske serije: cene (p), devizni kurs (epe), plate (w) i cena nafte (poil)
• Ocena dinamičkog efekta transmisije kursa na cene
Količnik vrednosti multiplikatora iz funkcije impulsnog odziva iednačine cena i jednačine kursa kao reakcija na šok u jednačini kursa (pt+j/et+j)
• Rezultat: efekat transmisije kursa na cene je relativno mali i nekompletan.
Jul 2001 –
Jul 2008
3
meseca
6
meseci
9
meseci
12
meseci
18
meseci
24
meseca
36
meseci
poil-w-epe-p 0.21 0.26 0.30 0.33 0.38 0.41 0.47
poil- w-p-epe 0.15 0.20 0.25 0.28 0.34 0.38 0.44
TemTemaa::
1. Uslov stabilnosti VAR modela
2. Ocene parametara modela
3. Određivanje reda VAR modela
4. Uzročnost
5. Funkcija impulsnog odziva
6. Dekompozicija varijanse greške predviđanja
7. Strukturni VAR model
Profesor Zorica Mladenovic
Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010
Dekompozicija varijanse (greDekompozicija varijanse (grešške predvike predviđđanja)anja)
Najava:
• VAR modelom se ne opisuju tekući uticaji promenljivih.
• Ukoliko postoje, ovi uticaji su sadržani u rezidualima i
zbirno su predstavljeni kovarijacionom matricom
reziduala.
• Na osnovu ove matrice i vektorske forme pokretnih sredina može se zaključiti koliko u ukupnom
varijabilitetu neočekivane promene jedne promenljive
učestvuje varijabilitet ostalih.
• Može se pratiti i promena njihovog relativnog udela
tokom vremena.
Dekompozicija varijanse (greDekompozicija varijanse (grešške predvike predviđđanja)anja)
Cilj: utvrđivanje doprinosa varijabiliteta datog ortogonalnog impulsa na
srednju kvadratnu grešku predviđanja s-perioda unapred svih promenljivih
( )
( )
( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )
( )
( )( )'1-s
'2
'1
'1s
'2
'1
SKG
:impulse eortogonaln na Prelazimo
SKG
:prognoze ove SKG, greska, kvadratna Srednja
:prognoze ove Greska
:prognoza) (najbolja unapred perioda za u trenutku vrednost naPrognozira
: u trenutku vektora vrednost Stvarna
ΨΩΨΨΩΨ
ΨΩΨΩ
Ω
ΩΨΨΩΨΨΩΨΨΩ
ΨΨΨΨ
ΨΨ
ΨΨ
ΨΨΨΨ
'1'11s
'1'12
'1'11
'1'1t
'tt
1s21
'1t1s1st1st1t1s1st1st
'tsttstt
1t1s1st1sttst
1t1ststtst
t
1t1sts1t1s1st1stst
t
QQQQ...QQQQ
QQQQQQQQsY
aaE
...
a...aaa...aaE
sYYsYYEsY
a...aasYY
...aasYY
stY
...aaa...aaY
stY
−−−
−−
−−−−
−−
+−−+++−−++
++
+−−+++
−++
−++−−+++
+++
+=
=
++++=
++++++=
−−=
+++=−
++==
++++++=
+
Profesor Zorica Mladenovic
Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010
Dekompozicija varijanse (greDekompozicija varijanse (grešške predvike predviđđanja) IIanja) II
( )( )
( )( )
( )( ) ( )
sistemu.u elemenatapojedinih itet varijabilna razloziti se mozeitet varijabilOvaj
u trentuku sistemaitetu varijabilukupnom sokovaih ortogonaln doprinos -
u trenutku sistemaitetu varijabilukupnom sokovaih ortogonaln doprinos -
SKG
SKG
Podsecanje
SKG
:impulsi iortogonaln Nastavak,
'1-s
'2
'1
'1s
'2
'1
1t'MM
st'MM
.YvarsY,s
'MM...'MM'MM'MM
QQ...QQQQQQsY
I,QM,QM
:
QQQQ...QQQQ
QQQQQQQQsY
1s1s
00
tt
1
1s1s
2s
22
1s
11
s
00
'111s
'112
'111
'11t
n01
001
ii
'1'11s
'1'12
'1'11
'1'1t
+
+
→∞→
++++=
++++=
===
+++
+=
−−
−−
−−
−−−
−−−−−−
−−
−−−
−−−
−−−−
434214342132143421
ΨΨΨΨΨΨ
ΨΨΨ
ΨΩΨΨΩΨ
ΨΩΨΩ
Dekompozicija varijanse (greDekompozicija varijanse (grešške predvike predviđđanja) IIIanja) III
( )
( )
( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
.komponentinih nekorelisa od sastoji se Vektor
y
y
:pisati mozemo 2 dimenzije VAR Za
:impulsaih ortogonalnovih preko i izrazi se da moze prognoze Greska
greske slucajne eortogonaln datesu Neka
:prognoze Greska
2t
1t
s2t
s1t
2ts2t
1ts1t
t
1
1
1s22
1s21
1s12
1s11
022
021
012
011
1t1s1st1st0tst
1t1s1st1sttst
t1
t
1t1s1st1sttst
w
w
w...
w
w
sy
sy
w...wwsYY
wV...wVwVsYY
.aVw
a...aasYY
1s10
++
=
−
−
+++=−
+++=−
=
+++=−
+
+−−
−−
+
+
+
+
+−−+++
+−−+++
−
+−−+++
−
θθ
θθ
θθ
θθ
ΘΘΘ
ΨΨ
ΨΨ
ΘΘΘ321
Profesor Zorica Mladenovic
Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010
Dekompozicija varijanse (greDekompozicija varijanse (grešške predvike predviđđanja) IVanja) IV
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )( )( )
( ) ( )
( )( )
: šoka zbog javlja se koji , ja,predvidjan greske varijanseDeo
: šoka zbog javlja se koji , ja,predvidjan greske varijanseDeo
y
:unapred perioda komponente prve japredvidjan greske Varijansa
y
:jednacinuprvu Izdvajamo
1t
1t
1t
1t
1t1ts1t
2ts2t
1ts1t1ts1t
.sySKG
...
wsySKG
sySKG
...
wsySKG
......
sySKGsyvar
s
w...w
w...wsy
21s12
012
22w
2
1s11
011
21w
1
21s12
012
22w
1s11
011
21w
11s
120
12
11s
110
11
2
22
222
++
++
+++
++=
=−
+++
++=−
−
−
−−
+
+−
+
+−
++
θθσ
θθσ
θθσθθσ
θθ
θθ
Primer primene dekompozicije varijanse greške predvidjanja
Arsić, Mladenović, Nojković, Petrović (2005),
Makroekonometrijsko modeliranje privrede Srbije:
teorijske osnove i rezultati, CESMECON
Analiza determinanti privredne aktivnosti i uvoza Srbije u
prvim godinama tranzicije:
• VAR: BDP, uvoz (M) i realne bruto plate (W)
• Da li je BDP u većoj meri odredjen faktorima na strani tražnje ili faktorima na strani ponude?
• Rezultat testa uzročnosti: egzogeni rast plata vuče
uvoz, a zatim uvoz pokreće proizvodnju.
• Prvi put kod nas primenjeni metodi dezagregiranja
BDP na mesečni nivo.
Profesor Zorica Mladenovic
Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010
Primer primene dekompozicije varijanse greške predvidjanja II
u % Jednačina BDP Jednačina uvoza Jednačina plata
Br. meseci BDP M W BDP M W BDP M W
10 61 10 29 14 44 42 4 0 96
20 55 9 36 23 37 51 5 0 95
Napomene:
Redosled: plate-uvoz-BDP; Redovi se sabiraju do 100%.
Zaključci:
1. U varijacijama plata zanemarljiv je udeo varijacija uvoza i BDP.
2. U varijacijama BDP znatno je veći udeo plata nego uvoza.
3. Varijacije uvoza prvenstveno su određene varijacijama plata, a tek
onda varijacijama BDP.
TemTemaa::
1. Uslov stabilnosti VAR modela
2. Ocene parametara modela
3. Određivanje reda VAR modela
4. Uzročnost
5. Funkcija impulsnog odziva
6. Dekompozicija varijanse greške predviđanja
7. Strukturni VAR model
Profesor Zorica Mladenovic
Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010
Identifikacija parametara u Identifikacija parametara u VAR(1)VAR(1) modelumodelu
• Krenuli smo od strukturnog VAR modela, ali smo prešli na redukovanu formu (klasični VAR model) da bismo ocenili parametre modela.
• Da li je moguće rekonstruisati parametre strukturnog VAR modela na osnovu ocenjenih parametara klasičnog VAR modela. Nije!
• U dvodimenzionom strukturnom VAR (1) modelu ima 10 parametara za ocenjivanje, dok ih je 9 u standardnom VAR(1) modelu.
•To znači da je VAR model nedovoljno identifikovan. Međutim, ako se nametne ograničenje da je jedan parametar strukturnog VAR modela jednak 0, tada je broj parametara 9 i sistem postaje tačno identifikovan.
• Nameću se ograničenja na strukturne parametre.
Identifikacija parametara u Identifikacija parametara u VAR(1)VAR(1) modelu IImodelu II
ytt 10 t 111 1212 12 12
t 20 21 22 t 1 xt
t 10 t 1 1t11 12
t 20 21 22 t 1 2t
y b y1 b 1 b 1 b
x b x0 1 0 1 0 1
y y e
x x e
−
−
−
−
εγ γ− − − = + + γ γ ε
φ φ φ = + + φ φ φ
• Sims (1980): Struktura treba da je rekurzivna, tako da
je b21=0. To znači sledeće:
+
+
=
=
−
−
xt
yt
t
t
t
t
t
t
x
y
b
b
x
yb
x
y
b
b
ε
ε
γγ
γγ
1
1
2221
1211
20
1012
21
12
10
1
1
1
Profesor Zorica Mladenovic
Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010
Identifikacija parametara u Identifikacija parametara u VAR(1)VAR(1) modelu IIImodelu III
• Parametri strukturnog VAR modela se identifikuju prema
sledećih 9 jednačina:
2 2 2
10 10 12 20 20 20 1 y 12 x
2
11 11 12 21 21 21 2 x
2
12 12 12 22 22 22 1 2 12 x
b b b b var(e) b
b var(e )
b cov(e,e ) b
φ = − φ = =σ + σ
φ =γ − γ φ =γ =σ
φ =γ − γ φ =γ =− σ
Identifikacija parametara u Identifikacija parametara u VAR(1)VAR(1) modelu IVmodelu IV
• Sada se svojstva strukturnih odnosa između veličina analiziraju na osnovu reziduala klasičnog VAR modela:
•Ograničenjem b21=0 pretpostavlja se da
• y ne ostvarujuje tekući uticaj na x.
•Oba strukturna šoka, εyt i εxt ostvaruju tekući uticaj na y, dok
samo šok εxt utiče na x sa tekućim dejstvom.
•Ograničenje ovog tipa zasniva se na trougaonoj dekompoziciji
kovarijacione matrice (Holeskijeva dekompozicija).
10
1
12
2
1
2
121
−=
⇒
=
−=
xt
yt
t
t
xtt
xtytt b
e
e
e
be
ε
ε
ε
εε
Profesor Zorica Mladenovic
Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010
Identifikacija parametara u Identifikacija parametara u VAR(1)VAR(1) modelu Vmodelu V
[ ]
forma.MA caodgovaraju se serekonstrui matrice onekovarijaci
ijedekompozic ocene i modela VAR parametara ocenaosnovu Na 3.
parametar. strukturni nepoznati se ocenjuje reziduala matrice onekovarijaci oceneosnovu Na 2.
ONK. metoda primenom model VAR standardni se Ocenjuje 1.
:uocenjivanju Koraci
. )var(
),cov(
1
1
)var(),cov(
),cov()var(
, 1
t2
t2t112
2x
2x12
2x12
2x
212
2y
'V
12
D
2x
2y
V
12
t2t2t1
t2t1t1
t2t1t2
t1
xt
yt12
t2
t1
e
eeb
σσb
σbσbσ
1b
0
σ0
0σ
10
b
eee
eee
eee
eE
10
b
e
e
−=⇒
−
−+=
−
−=
=
=
−=
434214342143421
Ω
Ωε
ε
1. Ukoliko postoji greška specifikacije u smislu da je iz
modela izostavljena relevantna promenljiva, onda se njen
uticaj manifestuje kroz reziduale, koji tada daju iskrivljenu
sliku strukturnih odnosa.
2. Međusobna interakcija svih promenljivih u sistemu otvara
problem izbora njihovog redosleda. Potrebno je odabrati
redosled koji najpreciznije odslikava prirodu ekonomskih
odnosa. U tome mogu biti od koristi i rezultati testa uzročnosti.
3. Stabilnost rezultata lako se može proveriti variranjem redosleda jednačina VAR modela.
Identifikacija parametara u Identifikacija parametara u VAR(1)VAR(1) modelu Vmodelu VII
Profesor Zorica Mladenovic
Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010
1. Pored Holeskijeve moguće su i druge dekompozicije kovarijacione matrice reziduala.
2. Holeskijevom dekompozicijom sistem je tačno identifikovan.
Broj ograničenja je tačno n(n-1)/2.
3. Postoje i druge dekompozicije kojima sistem postaje prekomerno identifikovan (Bernanke-ova).
Broj ograničenja je veći od n(n-1)/2.
Opravdanost dodatnih ograničenja proverava se
primenom testa količnika verodostojnosti.
4. Primer: Petrović and Vujošević-Mladenović (2000),
Monetary accommodation in transition economies: Econometric evidence from Yugoslavia’s high inflation in the 1980s, Journal of Development Economics, 62.
VarijanteVarijante ssttrrukturnukturnogog VARVAR modelmodelaa
• Period: januar 1980- jul 1991.
• VAR: Cene na malo, devizni kurs, plate i primarni novac
• Ocenjen strukturni VAR:
VarijanteVarijante ssttrrukturnukturnogog VARVAR modelmodelaa: primer : primer
).46.0vrednostp(60.2)3(
)67.1(
rplate15.0rnovac
)23.7(
rcene23.1rplate
)75.2(
rkurs11.0rcene
novacs,rplate,rrcene,rkur
2 =−=
=
=
=
χ
:cije)identifika tacneod vise(3 vaprihvatljisu aOgranicenj
zagradiu datisu odnosi-t
jednacinarajucih korespondi iz reziduali -
Profesor Zorica Mladenovic
Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010
• Dekompozicija varijanse greške predvidjanja ostvarena na osnovu datog strukturnog VAR modela za 20 meseci
VarijanteVarijante sstukturntukturnogog VARVAR modelmodelaa: primer : primer IIII
Reakcija u: Reakcija u: Reakcija u: Reakcija u: %, kolone se sabiraju do 100
1
64
21
14
jednačini
kursa
302825jednačini
cena
333130jednačini
Plata
Impuls u:Impuls u:Impuls u:Impuls u: jednačini
cena jednačini
plata
jednačini
novca
jednačini
Kursa44 40 36
jednačini
Novca1 1 1
Primer za praktičan rad:
• Vremenske serije privrede Srbije:
– Inflacija (prva diferenca log cena na malo)
– Deprecijacija (prva diferenca log deviznog kura, dinar/evro,
korigovano za inflaciju u evro zoni)
– Stopa rasta cene nafte na svetskom tržištu (dolar po barelu)
• Mesečni podaci
• Period: januar 2005 – maj 2009. godine