22
Profesor Zorica Mladenovic Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010 VEKTORSKI AUTOREGRESIONI MODELI VAR MODELI II SEMESTAR DOKTORSKIH STUDIJA Ekonomskog fakulteta Univerziteta u Beogradu Zorica Mladenović Tem Tema: 1. Uslov stabilnosti VAR modela 2. Ocene parametara modela 3. Određivanje reda VAR modela 4. Uzročnost 5. Funkcija impulsnog odziva 6. Dekompozicija varijanse greške predviđanja 7. Strukturni VAR model

II SEMESTAR DOKTORSKIH STUDIJA Ekonomskog fakulteta ...avs.ekof.bg.ac.rs/master - primenjena analiza vremenskih serija... · Ortogonalna funkcija impulsnog odziva VI Holeskijeva dekompozicija

  • Upload
    others

  • View
    19

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: II SEMESTAR DOKTORSKIH STUDIJA Ekonomskog fakulteta ...avs.ekof.bg.ac.rs/master - primenjena analiza vremenskih serija... · Ortogonalna funkcija impulsnog odziva VI Holeskijeva dekompozicija

Profesor Zorica Mladenovic

Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010

VEKTORSKI AUTOREGRESIONI MODELI VAR MODELI

II SEMESTAR DOKTORSKIH STUDIJAEkonomskog fakulteta Univerziteta u Beogradu

Zorica Mladenović

TemTemaa::

1. Uslov stabilnosti VAR modela

2. Ocene parametara modela

3. Određivanje reda VAR modela

4. Uzročnost

5. Funkcija impulsnog odziva

6. Dekompozicija varijanse greške predviđanja

7. Strukturni VAR model

Page 2: II SEMESTAR DOKTORSKIH STUDIJA Ekonomskog fakulteta ...avs.ekof.bg.ac.rs/master - primenjena analiza vremenskih serija... · Ortogonalna funkcija impulsnog odziva VI Holeskijeva dekompozicija

Profesor Zorica Mladenovic

Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010

UzroUzroččnost: nost: GrGrejndejndžžerova uzroerova uzroččnostnost

Granger (1969) : “Investigating Causal Relations by Econometric Models and

Cross-Spectral Methods”, Econometrica, 37

( )( ) ( ).,...Y,Y,...X,X

X,...X,X

X

sXY

i Yosti za Xove uzrocn GrejndžerDefinicija

1tt1tt

st1tt

st

tt

tt

−−

+−

+

i osnovu na formira se koja

za japredvidjan greski kvadratnoj srednje jednaka je

osnovu na obrazovana za japredvidjan greska kvadratna srednja

nula, od vece svako za ako Grejndžerasmislu u uzrokuje ne

UzroUzroččnost: nost: GrGrejndejndžžerova uzroerova uzroččnost IInost II

Srednja kvadratna greška predvidjanja: SKG

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ).Grejndžerasmislu u uzrokuje ne tada

,ˆSKGˆSKG :Ako

ˆ- ˆSKG

,,...,,,...,Eˆ

: ,..., i ,...,osnovu na obrazovano za II jePredvidjan

ˆ- ˆSKG

,,...,Eˆ

:,...,osnovu na samo obrazovano za I jePredvidjan

)2()1(

2)2()2(

11

)2(

11

2)1()1(

1

)1(

1

tt

stst

ststst

ttttstst

ttttst

ststst

ttstst

ttst

XY

XX

XXEX

YYXXXX

YYXXX

XXEX

XXXX

XXX

++

+++

−−++

−−+

+++

−++

−+

=

=

=

=

=

Page 3: II SEMESTAR DOKTORSKIH STUDIJA Ekonomskog fakulteta ...avs.ekof.bg.ac.rs/master - primenjena analiza vremenskih serija... · Ortogonalna funkcija impulsnog odziva VI Holeskijeva dekompozicija

Profesor Zorica Mladenovic

Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010

UzroUzroččnost: nost: GrGrejndejndžžerova uzroerova uzroččnost IIInost III

Alternativne interpretacije:

• Xt je egzogena vremenska serija u odnosu na Yt

•Yt nije informativan u linearnom smislu u pogledu

budućeg kretanja Xt

• U ovom slučaju relevantan je VAR model oblika:

+

+

+

+

+

=

t

t

pt

pt

pp

p

t

t

t

t

t

t

a

a

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

2

1

)(22

)(21

)(11

2

2

)2(22

)2(21

)2(11

1

1

)1(22

)1(21

)1(11

2

1

0

...00

φφ

φ

φφ

φ

φφ

φ

µ

µ

Testiranje Grejndžerove uzročnosti

Da li Y uzrokuje X?

1. Postavljamo VAR model za Xt i Yt

2. Fokusiramo se na jednačinu za Xt :

3. Posmatramo sledeće hipoteze

p,...,2,1i,0:H

)XY0...:H

i1

ttp210

=≠

====

jednoBar

uzrokuje ne (

β

βββ

4. Ocenjujemo VAR dva puta (T+p podataka):

1. Bez ograničenja (polazni VAR)

→rezidualna suma kvadrata, RSKB

2. Sa ograničenjem nulte hipoteze

(X samo od sopstvenih docnji) →rezidualna suma kvadrata, RSKO

greskaslYYY

XXXcX

ptptt

ptpttt

....

......

2211

22111

+++++

+++++=

−−−

−−−

βββ

ααα

Page 4: II SEMESTAR DOKTORSKIH STUDIJA Ekonomskog fakulteta ...avs.ekof.bg.ac.rs/master - primenjena analiza vremenskih serija... · Ortogonalna funkcija impulsnog odziva VI Holeskijeva dekompozicija

Profesor Zorica Mladenovic

Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010

Testiranje Grejndžerove uzročnosti II

5. Testiramo valjanost nulte hipoteze na osnovu F statistike

oblika:

( ) ( )( )

( )( )

( )RSKB

RSKBRSKOT

p

pTRSKB

pRSKBRSKOF

RSKB

RSKBRSKOF

p

−=

−−

−=

−=

2

2 :slobode stepeni sa raspodeli

naekvivalent je raspodela ova iAsimptotsk

,12/

/

,modelu polaznomu slobode stepeni broj/

aogranicenj broj/

χ

χ

Primer upotrebljivosti testa uzročnosti

Posebna prezentacija rada:

Mladenović (2009), Relationship between inflation and inflation uncertainty, YUJOR, 19, No1.

Page 5: II SEMESTAR DOKTORSKIH STUDIJA Ekonomskog fakulteta ...avs.ekof.bg.ac.rs/master - primenjena analiza vremenskih serija... · Ortogonalna funkcija impulsnog odziva VI Holeskijeva dekompozicija

Profesor Zorica Mladenovic

Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010

TemTemaa::

1. Uslov stabilnosti VAR modela

2. Ocene parametara modela

3. Određivanje reda VAR modela

4. Uzročnost

5. Funkcija impulsnog odziva

6. Dekompozicija varijanse greške predviđanja

7. Strukturni VAR model

Funkcija impulsnog odzivaFunkcija impulsnog odziva

Cilj: analiza reakcije sistema na dejstvo neočekivanog

slučajnog uticaja (impulsa)

[ ]

)(,

)(

'

matrice cijaInterpreta

s

ij

jt

sti

s

ijs

t

st

s

a

y

a

Y

ψ

ψ

=∂

=Ψ=∂

Ψ

+

+

n x n

Reakcija promenljive yi u trenutku

t+s na jedinični impuls j u trenutku t

uz fiksirano dejstvo svih faktora u

trenuku t i ranije

......

: u trenutku sistem Zapisujemo

...][)(

)(...

:stabilan je Sistem

112211

2

21

2211

11

211

+Ψ+Ψ++Ψ+Ψ++=

+

+Ψ+Ψ+=Ψ

Ψ+=+Ψ+Ψ++=

+Φ+=

−+−+−+++

Φ

Φ

tstsstststst

n

ttttt

ttt

aaaaaY

st

LLIL

aLaaaY

aYcY

µ

µµ

Page 6: II SEMESTAR DOKTORSKIH STUDIJA Ekonomskog fakulteta ...avs.ekof.bg.ac.rs/master - primenjena analiza vremenskih serija... · Ortogonalna funkcija impulsnog odziva VI Holeskijeva dekompozicija

Profesor Zorica Mladenovic

Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010

Funkcija impulsnog odziva IFunkcija impulsnog odziva III

Funkcija impulsnog odziva:

Grafički prikaz reakcije za s=1,2,...

na jednokratni impuls u trenutku t na

pod pretpostavkom da nema impulsa na

druge promenljive sistema u trenucima t,t-1,...

stiy +,

jty

torimultiplikaa

yij

jt

sti →=∂

∂ + ψ,

s

ijψ

1 2 3

PrimerPrimer: : FIO zaFIO za VAR(1)VAR(1) dimenzije 2dimenzije 2

( )nema impulsadrugih

jedinicujednu za povecava se

od manje

t22010

t2t1

22212

122

11

t2

t1

1t2

1t1

2221

1211

t2

t1

y1a,0a,0t

0yy,0t

;a

a

y

y

y

y

===

==

=

+

=

σσ

σσΩ

φφ

φφ

Reakcija sistema 10

20

11 11 12 12

21 21 22 22

2

12 11 12 11 11 12

22 21 22 21 21 22

1 11 12

1

2 21 22

0

1

0

1

0

1

0 0

1 1

s

s s

s

y

y

y

y

y y

y y

y

y

φ φ φ

φ φ φ

φ φ φ φ

φ φ φ φ

φ φ

φ φ

=

= =

= =

= = Φ

M

(impuls)

Page 7: II SEMESTAR DOKTORSKIH STUDIJA Ekonomskog fakulteta ...avs.ekof.bg.ac.rs/master - primenjena analiza vremenskih serija... · Ortogonalna funkcija impulsnog odziva VI Holeskijeva dekompozicija

Profesor Zorica Mladenovic

Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010

Pogledajmo MA reprezentaciju:

[ ]s1s

21211

1

,...,,

)L()L(

ΦΨΦΨΦΨ

ΦΨ

===

= −

U ovom primeru kovarijaciona matrica nije dijagonalna:

012 ≠σ

Postoji tekuća korelacija između impulsa (šokova) :

=

1

0

20

10

y

y

Da bi se prevazišao problem kovarijaciona matrica mora da se

transformiše tako da postane dijagonalna.

Ovom transformacijom impulsi postaju nezavisni-ortogonalni.

Ovo je nerealna pretpostavka

Ortogonalna funkcija impulsnog

odziva.

Problem: Q nije jedinstvena matrica

( ) ( ) ( )

1. varijansuima svaka i nenekorelisasu greske slucajne nove

,

'ΩQ Q : vazida tako,, matrica nanesingular Postoji

a)(simetricn matrica definitna pozitivno realna je

'''''

0

1

0

1

===

+=⇒=Ψ=

Ψ+=

Ω

=

=−

t

ntttttt

iti

itttii

iw

it

M

it

n

w

IQaaEQQaQaEwwE

wMYQawQM

QaQY

I nnQ

Ω

iti

321

321

µ

µ

Ortogonalna funkcija impulsnog odziva

1

'

−+ Ψ==∂

∂QM

w

Yss

t

st

Page 8: II SEMESTAR DOKTORSKIH STUDIJA Ekonomskog fakulteta ...avs.ekof.bg.ac.rs/master - primenjena analiza vremenskih serija... · Ortogonalna funkcija impulsnog odziva VI Holeskijeva dekompozicija

Profesor Zorica Mladenovic

Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010

( ) ( )( ) ( ) ( )

=

==

=

====⇒=

×−

×

=

−−−−−−−

t3

t2

t1

t3

t2

t1

3231

21tt

23w

22w

21w

t

t

'11'11'1'tt

1'ttt

1t

a

a

a

w

w

w

1

01

001

;aVw:

00

00

00

D

Dw

wD

DV'VDVVVΩVVaaEVwwEaVw

nnD

nn

,'VDVΩ

Ω

vv

v :3n zaPrimer Dalje

dijagonali glavnoj na ma varijansasa ninekorelisasu clanovaslucajnih Elementi

od matrica onakovarijaci je

ma, vrednostipozitivnim sa matrica adijagonaln ajedinstven

,dijagonali glavnoj na jedinicama sa matrica trougaonadonja ajedinstven - V

:formiu ipredstavit mozeuvek se ona

matrica, definitna pozitivno i simetricna je da Buduci

σ

σ

σ

Ortogonalna funkcija impulsnog odziva II

Holeskijeva dekompozicija

( )

. impulsa ogortogonaln devijacija standardna

:sistema reakcija mere Jedinica

devijacije standardne elementisu ciji matrica adijagonaln

clanova od svakog varijanseelementisu ciji matrica adijagonaln

t

sst

st

t2/1

t0i

itit

n'

ttt2/1

t12/1

t1

t

ii0i

it1

it

12/112/1

2/12/1

t2/1

t

w

PM'v

Y

wDv,vMY

IvvE,wDaVDaPv

PM,aPPY

VDP,VDP

'PP'VDVD'VDVΩ

:nn,wD

.nn,wD

→==∂

∂⇒

⇒=+=⇒

====

=+=

==

===

×

×

+

−∑∞

=−

−−−−

∑∞

=−

−−−

Ψ

µ

ΨΨµ

Ortogonalna funkcija impulsnog odziva III

Holeskijeva dekompozicija

Page 9: II SEMESTAR DOKTORSKIH STUDIJA Ekonomskog fakulteta ...avs.ekof.bg.ac.rs/master - primenjena analiza vremenskih serija... · Ortogonalna funkcija impulsnog odziva VI Holeskijeva dekompozicija

Profesor Zorica Mladenovic

Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010

00

00

00

vv

0v

00

2

00

00

00

1

00

00

00

vv

v

Primer

=

=

=

=

=

⇒=

=

=

t3

t2

t1

3w

2w

1w1

3231

21

t3

t2

t1

t

t3

t2

t1

3w

2w

1w

t3

t2

t1

t

t3

t2

t1

t3

t2

t1

3w

2w

1w

tt2/1

t3

t2

t1

t3

t2

t1

3231

21

a

a

a

/1

/1

/1

1

1

1

v

v

v

v.

w

w

w

/1

/1

/1

v

v

v

v.

w

w

w

v

v

v

wvD,

a

a

a

w

w

w

1

01

001

:3n

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

Ortogonalna funkcija impulsnog odziva IV

Holeskijeva dekompozicija

.uzrocnosti testarezultataosnovu Na

sistemu?u ih promenljiv redosled odredjuje se Kako 3.

sistema. polaznog reakcije

struktura rekurzivna namece se kojom ijadekompozic trougaonaje Ovo 2.

u devijacije standardne jedne od impulsa promena odgovara

jedinice jedne od impulsa Promeni m.devijacijo mstandardno

rajucomkorespondi sastarih deljenjem seDobijaju 1.

vgreske slucajne nove clanova svojstva Dva

.w

v

.

it

it

t

Ortogonalna funkcija impulsnog odziva V

Holeskijeva dekompozicija

Page 10: II SEMESTAR DOKTORSKIH STUDIJA Ekonomskog fakulteta ...avs.ekof.bg.ac.rs/master - primenjena analiza vremenskih serija... · Ortogonalna funkcija impulsnog odziva VI Holeskijeva dekompozicija

Profesor Zorica Mladenovic

Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010

3-2-1 REDOSLED JE OVO

jednaciniII i Iu

ih promenljiv uticaja tekucegod zavisi III jednaciniu aPromenljiv 3.

I jednaciniu epromenljiv

uticaja tekucegod zavisi II jednaciniu aPromenljiv 2.

ih promenljivostalih

uticaja tekucih od zavisi ne I jednaciniu aPromenljiv 1.

vσadada

vσada

vσa

a

a

a

1dd

01d

001

/σa

/σa

/σa

1dd

01d

001

v

v

v

v

3tw32t321t313t

2tw21t212t

1tw11t

3tw3

2tw2

1tw1

3t

2t

1t

3231

21

w33t

w22t

w11t

3231

21

3t

2t

1t

t

+−−=

+−=

=

=

=

=

Ortogonalna funkcija impulsnog odziva VI

Holeskijeva dekompozicija

Ocena funkcije impulsnog odziva i

formiranje odgovarajućih intervala poverenja

• Ova funkcija se konstruiše na osnovu ocenjenih

koeficijenata VAR modela: u asimptotskim uslovima

ocene su normalno raspodeljene.

•Imajući u vidu veliki broj parametara za ocenjivanje,

moguće je da su ocene međusobno korelisane, što ocene

funkcije impulsnog odziva može činiti nepreciznim.

•Kako formirati odgovarajuće intervale poverenja?

•Na osnovu normalne raspodele

•Na osnovu metoda simulacije

Page 11: II SEMESTAR DOKTORSKIH STUDIJA Ekonomskog fakulteta ...avs.ekof.bg.ac.rs/master - primenjena analiza vremenskih serija... · Ortogonalna funkcija impulsnog odziva VI Holeskijeva dekompozicija

Profesor Zorica Mladenovic

Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010

Primena metoda simulacija (Monte-Karlo)

1. Ocenjuje se VAR model i dobijaju se:

2. Za uzorak obima T izvlači se T slučajnih brojeva koji treba da

predstavljaju seriju reziduala. Najveći broj statističkih paketa će

izvlačiti slučajne brojeve tako što će na slučaj uzimati neke od

vrednosti reziduala. Na ovaj način dobijamo simulirane serije koje bi

trebalo da imaju ista svojstva kao i stvarne slučajne greške.

2a. Kako su slučajne greške VAR modela međusobno korelisane

na docnji 0, prilikom generisanja slučajnih greški mora se voditi

računa da se održi prvobitno utvrđena korelaciona struktura.

3. Prema simuliranoj seriji slučajne greške simuliraju se podaci iz

uzorka uz prethodno definisane inicijalne vrednosti i koristeći već

ocenjene vrednosti parametara.

.parametara ocene ceodgovaraju- itd.,,ˆ ,ˆ

itd. jednacine, druge iz reziduali ˆ jednacine, prve iz reziduali ˆ

1211

21

φφ

−− tt aa

4. Prema rekonstruisanoj seriji podataka ocenjuje se VAR

model ponovo i potom i funkcija impulsnog odziva.

5. Ovaj postupak ocenjivanja ponavlja se mnogo puta. Na

primer, na osnovu 10000 izračunatih funkcija impulsnog odziva

obrazuje se interval poverenja sa verovatnoćom 95% , tako što

se iz datog skupa izostavlja 2.5% najmanjih i 2.5% najvećih vrednosti.

6. Prednost ovakvog računanja: raspodela ocena parametara

nije od značaja.

Primena metoda simulacija (Monte-Karlo) II

Page 12: II SEMESTAR DOKTORSKIH STUDIJA Ekonomskog fakulteta ...avs.ekof.bg.ac.rs/master - primenjena analiza vremenskih serija... · Ortogonalna funkcija impulsnog odziva VI Holeskijeva dekompozicija

Profesor Zorica Mladenovic

Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010

Primer primene funkcije impulsnog odziva

Mladenović (2009), Relationship between inflation and

inflation uncertainty, YUJOR, 19, No1.

Mladenović and Petrović (2009), prezentirano više puta i

trenutno na recenziji EXCHANGE RATE PASS-THROUGH IN A SMALL OPEN

DEVELOPING ECONOMY UNDER DIFFERENT INFLATION

RATE REGIMES: ECONOMETRIC EVIDENCE

Empirical results for Serbia:

Modelling permanent inflation III• Accumulated impulse response function is calculated from VAR to

evaluate reaction of:

– Uncertainty to positive unanticipated random shock in permanent inflation

– Permanent inflation to positive unanticipated random shock in uncertainty

– Two possible Cholecky decompositions of residual covariance matrix are used giving similar results

-.0 0 4

.0 0 0

.0 0 4

.0 0 8

.0 1 2

2 4 6 8 10 12 14 16 18

A c cum u lated res pons e of pe rm anen t

infl ation rate to un c ertainty

.00 0 0 00 0

.00 0 0 02 5

.00 0 0 05 0

.00 0 0 07 5

.00 0 0 10 0

.00 0 0 12 5

2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8

A c c um ulated res po ns e of unc ertain ty

to perm anent infla t ion rate

Accumulated Re sponse to Cholesky One S.D. Innovations

Page 13: II SEMESTAR DOKTORSKIH STUDIJA Ekonomskog fakulteta ...avs.ekof.bg.ac.rs/master - primenjena analiza vremenskih serija... · Ortogonalna funkcija impulsnog odziva VI Holeskijeva dekompozicija

Profesor Zorica Mladenovic

Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010

Mladenović i Petrović (2009):

• Ocenjen je VAR model četiri vremenske serije: cene (p), devizni kurs (epe), plate (w) i cena nafte (poil)

• Ocena dinamičkog efekta transmisije kursa na cene

Količnik vrednosti multiplikatora iz funkcije impulsnog odziva iednačine cena i jednačine kursa kao reakcija na šok u jednačini kursa (pt+j/et+j)

• Rezultat: efekat transmisije kursa na cene je relativno mali i nekompletan.

Jul 2001 –

Jul 2008

3

meseca

6

meseci

9

meseci

12

meseci

18

meseci

24

meseca

36

meseci

poil-w-epe-p 0.21 0.26 0.30 0.33 0.38 0.41 0.47

poil- w-p-epe 0.15 0.20 0.25 0.28 0.34 0.38 0.44

TemTemaa::

1. Uslov stabilnosti VAR modela

2. Ocene parametara modela

3. Određivanje reda VAR modela

4. Uzročnost

5. Funkcija impulsnog odziva

6. Dekompozicija varijanse greške predviđanja

7. Strukturni VAR model

Page 14: II SEMESTAR DOKTORSKIH STUDIJA Ekonomskog fakulteta ...avs.ekof.bg.ac.rs/master - primenjena analiza vremenskih serija... · Ortogonalna funkcija impulsnog odziva VI Holeskijeva dekompozicija

Profesor Zorica Mladenovic

Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010

Dekompozicija varijanse (greDekompozicija varijanse (grešške predvike predviđđanja)anja)

Najava:

• VAR modelom se ne opisuju tekući uticaji promenljivih.

• Ukoliko postoje, ovi uticaji su sadržani u rezidualima i

zbirno su predstavljeni kovarijacionom matricom

reziduala.

• Na osnovu ove matrice i vektorske forme pokretnih sredina može se zaključiti koliko u ukupnom

varijabilitetu neočekivane promene jedne promenljive

učestvuje varijabilitet ostalih.

• Može se pratiti i promena njihovog relativnog udela

tokom vremena.

Dekompozicija varijanse (greDekompozicija varijanse (grešške predvike predviđđanja)anja)

Cilj: utvrđivanje doprinosa varijabiliteta datog ortogonalnog impulsa na

srednju kvadratnu grešku predviđanja s-perioda unapred svih promenljivih

( )

( )

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )

( )

( )( )'1-s

'2

'1

'1s

'2

'1

SKG

:impulse eortogonaln na Prelazimo

SKG

:prognoze ove SKG, greska, kvadratna Srednja

:prognoze ove Greska

:prognoza) (najbolja unapred perioda za u trenutku vrednost naPrognozira

: u trenutku vektora vrednost Stvarna

ΨΩΨΨΩΨ

ΨΩΨΩ

Ω

ΩΨΨΩΨΨΩΨΨΩ

ΨΨΨΨ

ΨΨ

ΨΨ

ΨΨΨΨ

'1'11s

'1'12

'1'11

'1'1t

'tt

1s21

'1t1s1st1st1t1s1st1st

'tsttstt

1t1s1st1sttst

1t1ststtst

t

1t1sts1t1s1st1stst

t

QQQQ...QQQQ

QQQQQQQQsY

aaE

...

a...aaa...aaE

sYYsYYEsY

a...aasYY

...aasYY

stY

...aaa...aaY

stY

−−−

−−

−−−−

−−

+−−+++−−++

++

+−−+++

−++

−++−−+++

+++

+=

=

++++=

++++++=

−−=

+++=−

++==

++++++=

+

Page 15: II SEMESTAR DOKTORSKIH STUDIJA Ekonomskog fakulteta ...avs.ekof.bg.ac.rs/master - primenjena analiza vremenskih serija... · Ortogonalna funkcija impulsnog odziva VI Holeskijeva dekompozicija

Profesor Zorica Mladenovic

Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010

Dekompozicija varijanse (greDekompozicija varijanse (grešške predvike predviđđanja) IIanja) II

( )( )

( )( )

( )( ) ( )

sistemu.u elemenatapojedinih itet varijabilna razloziti se mozeitet varijabilOvaj

u trentuku sistemaitetu varijabilukupnom sokovaih ortogonaln doprinos -

u trenutku sistemaitetu varijabilukupnom sokovaih ortogonaln doprinos -

SKG

SKG

Podsecanje

SKG

:impulsi iortogonaln Nastavak,

'1-s

'2

'1

'1s

'2

'1

1t'MM

st'MM

.YvarsY,s

'MM...'MM'MM'MM

QQ...QQQQQQsY

I,QM,QM

:

QQQQ...QQQQ

QQQQQQQQsY

1s1s

00

tt

1

1s1s

2s

22

1s

11

s

00

'111s

'112

'111

'11t

n01

001

ii

'1'11s

'1'12

'1'11

'1'1t

+

+

→∞→

++++=

++++=

===

+++

+=

−−

−−

−−

−−−

−−−−−−

−−

−−−

−−−

−−−−

434214342132143421

ΨΨΨΨΨΨ

ΨΨΨ

ΨΩΨΨΩΨ

ΨΩΨΩ

Dekompozicija varijanse (greDekompozicija varijanse (grešške predvike predviđđanja) IIIanja) III

( )

( )

( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

.komponentinih nekorelisa od sastoji se Vektor

y

y

:pisati mozemo 2 dimenzije VAR Za

:impulsaih ortogonalnovih preko i izrazi se da moze prognoze Greska

greske slucajne eortogonaln datesu Neka

:prognoze Greska

2t

1t

s2t

s1t

2ts2t

1ts1t

t

1

1

1s22

1s21

1s12

1s11

022

021

012

011

1t1s1st1st0tst

1t1s1st1sttst

t1

t

1t1s1st1sttst

w

w

w...

w

w

sy

sy

w...wwsYY

wV...wVwVsYY

.aVw

a...aasYY

1s10

++

=

+++=−

+++=−

=

+++=−

+

+−−

−−

+

+

+

+

+−−+++

+−−+++

+−−+++

θθ

θθ

θθ

θθ

ΘΘΘ

ΨΨ

ΨΨ

ΘΘΘ321

Page 16: II SEMESTAR DOKTORSKIH STUDIJA Ekonomskog fakulteta ...avs.ekof.bg.ac.rs/master - primenjena analiza vremenskih serija... · Ortogonalna funkcija impulsnog odziva VI Holeskijeva dekompozicija

Profesor Zorica Mladenovic

Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010

Dekompozicija varijanse (greDekompozicija varijanse (grešške predvike predviđđanja) IVanja) IV

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )( )( )( )

( ) ( )

( )( )

: šoka zbog javlja se koji , ja,predvidjan greske varijanseDeo

: šoka zbog javlja se koji , ja,predvidjan greske varijanseDeo

y

:unapred perioda komponente prve japredvidjan greske Varijansa

y

:jednacinuprvu Izdvajamo

1t

1t

1t

1t

1t1ts1t

2ts2t

1ts1t1ts1t

.sySKG

...

wsySKG

sySKG

...

wsySKG

......

sySKGsyvar

s

w...w

w...wsy

21s12

012

22w

2

1s11

011

21w

1

21s12

012

22w

1s11

011

21w

11s

120

12

11s

110

11

2

22

222

++

++

+++

++=

=−

+++

++=−

−−

+

+−

+

+−

++

θθσ

θθσ

θθσθθσ

θθ

θθ

Primer primene dekompozicije varijanse greške predvidjanja

Arsić, Mladenović, Nojković, Petrović (2005),

Makroekonometrijsko modeliranje privrede Srbije:

teorijske osnove i rezultati, CESMECON

Analiza determinanti privredne aktivnosti i uvoza Srbije u

prvim godinama tranzicije:

• VAR: BDP, uvoz (M) i realne bruto plate (W)

• Da li je BDP u većoj meri odredjen faktorima na strani tražnje ili faktorima na strani ponude?

• Rezultat testa uzročnosti: egzogeni rast plata vuče

uvoz, a zatim uvoz pokreće proizvodnju.

• Prvi put kod nas primenjeni metodi dezagregiranja

BDP na mesečni nivo.

Page 17: II SEMESTAR DOKTORSKIH STUDIJA Ekonomskog fakulteta ...avs.ekof.bg.ac.rs/master - primenjena analiza vremenskih serija... · Ortogonalna funkcija impulsnog odziva VI Holeskijeva dekompozicija

Profesor Zorica Mladenovic

Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010

Primer primene dekompozicije varijanse greške predvidjanja II

u % Jednačina BDP Jednačina uvoza Jednačina plata

Br. meseci BDP M W BDP M W BDP M W

10 61 10 29 14 44 42 4 0 96

20 55 9 36 23 37 51 5 0 95

Napomene:

Redosled: plate-uvoz-BDP; Redovi se sabiraju do 100%.

Zaključci:

1. U varijacijama plata zanemarljiv je udeo varijacija uvoza i BDP.

2. U varijacijama BDP znatno je veći udeo plata nego uvoza.

3. Varijacije uvoza prvenstveno su određene varijacijama plata, a tek

onda varijacijama BDP.

TemTemaa::

1. Uslov stabilnosti VAR modela

2. Ocene parametara modela

3. Određivanje reda VAR modela

4. Uzročnost

5. Funkcija impulsnog odziva

6. Dekompozicija varijanse greške predviđanja

7. Strukturni VAR model

Page 18: II SEMESTAR DOKTORSKIH STUDIJA Ekonomskog fakulteta ...avs.ekof.bg.ac.rs/master - primenjena analiza vremenskih serija... · Ortogonalna funkcija impulsnog odziva VI Holeskijeva dekompozicija

Profesor Zorica Mladenovic

Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010

Identifikacija parametara u Identifikacija parametara u VAR(1)VAR(1) modelumodelu

• Krenuli smo od strukturnog VAR modela, ali smo prešli na redukovanu formu (klasični VAR model) da bismo ocenili parametre modela.

• Da li je moguće rekonstruisati parametre strukturnog VAR modela na osnovu ocenjenih parametara klasičnog VAR modela. Nije!

• U dvodimenzionom strukturnom VAR (1) modelu ima 10 parametara za ocenjivanje, dok ih je 9 u standardnom VAR(1) modelu.

•To znači da je VAR model nedovoljno identifikovan. Međutim, ako se nametne ograničenje da je jedan parametar strukturnog VAR modela jednak 0, tada je broj parametara 9 i sistem postaje tačno identifikovan.

• Nameću se ograničenja na strukturne parametre.

Identifikacija parametara u Identifikacija parametara u VAR(1)VAR(1) modelu IImodelu II

ytt 10 t 111 1212 12 12

t 20 21 22 t 1 xt

t 10 t 1 1t11 12

t 20 21 22 t 1 2t

y b y1 b 1 b 1 b

x b x0 1 0 1 0 1

y y e

x x e

εγ γ− − − = + + γ γ ε

φ φ φ = + + φ φ φ

• Sims (1980): Struktura treba da je rekurzivna, tako da

je b21=0. To znači sledeće:

+

+

=

=

xt

yt

t

t

t

t

t

t

x

y

b

b

x

yb

x

y

b

b

ε

ε

γγ

γγ

1

1

2221

1211

20

1012

21

12

10

1

1

1

Page 19: II SEMESTAR DOKTORSKIH STUDIJA Ekonomskog fakulteta ...avs.ekof.bg.ac.rs/master - primenjena analiza vremenskih serija... · Ortogonalna funkcija impulsnog odziva VI Holeskijeva dekompozicija

Profesor Zorica Mladenovic

Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010

Identifikacija parametara u Identifikacija parametara u VAR(1)VAR(1) modelu IIImodelu III

• Parametri strukturnog VAR modela se identifikuju prema

sledećih 9 jednačina:

2 2 2

10 10 12 20 20 20 1 y 12 x

2

11 11 12 21 21 21 2 x

2

12 12 12 22 22 22 1 2 12 x

b b b b var(e) b

b var(e )

b cov(e,e ) b

φ = − φ = =σ + σ

φ =γ − γ φ =γ =σ

φ =γ − γ φ =γ =− σ

Identifikacija parametara u Identifikacija parametara u VAR(1)VAR(1) modelu IVmodelu IV

• Sada se svojstva strukturnih odnosa između veličina analiziraju na osnovu reziduala klasičnog VAR modela:

•Ograničenjem b21=0 pretpostavlja se da

• y ne ostvarujuje tekući uticaj na x.

•Oba strukturna šoka, εyt i εxt ostvaruju tekući uticaj na y, dok

samo šok εxt utiče na x sa tekućim dejstvom.

•Ograničenje ovog tipa zasniva se na trougaonoj dekompoziciji

kovarijacione matrice (Holeskijeva dekompozicija).

10

1

12

2

1

2

121

−=

=

−=

xt

yt

t

t

xtt

xtytt b

e

e

e

be

ε

ε

ε

εε

Page 20: II SEMESTAR DOKTORSKIH STUDIJA Ekonomskog fakulteta ...avs.ekof.bg.ac.rs/master - primenjena analiza vremenskih serija... · Ortogonalna funkcija impulsnog odziva VI Holeskijeva dekompozicija

Profesor Zorica Mladenovic

Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010

Identifikacija parametara u Identifikacija parametara u VAR(1)VAR(1) modelu Vmodelu V

[ ]

forma.MA caodgovaraju se serekonstrui matrice onekovarijaci

ijedekompozic ocene i modela VAR parametara ocenaosnovu Na 3.

parametar. strukturni nepoznati se ocenjuje reziduala matrice onekovarijaci oceneosnovu Na 2.

ONK. metoda primenom model VAR standardni se Ocenjuje 1.

:uocenjivanju Koraci

. )var(

),cov(

1

1

)var(),cov(

),cov()var(

, 1

t2

t2t112

2x

2x12

2x12

2x

212

2y

'V

12

D

2x

2y

V

12

t2t2t1

t2t1t1

t2t1t2

t1

xt

yt12

t2

t1

e

eeb

σσb

σbσbσ

1b

0

σ0

10

b

eee

eee

eee

eE

10

b

e

e

−=⇒

−+=

−=

=

=

−=

434214342143421

Ω

Ωε

ε

1. Ukoliko postoji greška specifikacije u smislu da je iz

modela izostavljena relevantna promenljiva, onda se njen

uticaj manifestuje kroz reziduale, koji tada daju iskrivljenu

sliku strukturnih odnosa.

2. Međusobna interakcija svih promenljivih u sistemu otvara

problem izbora njihovog redosleda. Potrebno je odabrati

redosled koji najpreciznije odslikava prirodu ekonomskih

odnosa. U tome mogu biti od koristi i rezultati testa uzročnosti.

3. Stabilnost rezultata lako se može proveriti variranjem redosleda jednačina VAR modela.

Identifikacija parametara u Identifikacija parametara u VAR(1)VAR(1) modelu Vmodelu VII

Page 21: II SEMESTAR DOKTORSKIH STUDIJA Ekonomskog fakulteta ...avs.ekof.bg.ac.rs/master - primenjena analiza vremenskih serija... · Ortogonalna funkcija impulsnog odziva VI Holeskijeva dekompozicija

Profesor Zorica Mladenovic

Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010

1. Pored Holeskijeve moguće su i druge dekompozicije kovarijacione matrice reziduala.

2. Holeskijevom dekompozicijom sistem je tačno identifikovan.

Broj ograničenja je tačno n(n-1)/2.

3. Postoje i druge dekompozicije kojima sistem postaje prekomerno identifikovan (Bernanke-ova).

Broj ograničenja je veći od n(n-1)/2.

Opravdanost dodatnih ograničenja proverava se

primenom testa količnika verodostojnosti.

4. Primer: Petrović and Vujošević-Mladenović (2000),

Monetary accommodation in transition economies: Econometric evidence from Yugoslavia’s high inflation in the 1980s, Journal of Development Economics, 62.

VarijanteVarijante ssttrrukturnukturnogog VARVAR modelmodelaa

• Period: januar 1980- jul 1991.

• VAR: Cene na malo, devizni kurs, plate i primarni novac

• Ocenjen strukturni VAR:

VarijanteVarijante ssttrrukturnukturnogog VARVAR modelmodelaa: primer : primer

).46.0vrednostp(60.2)3(

)67.1(

rplate15.0rnovac

)23.7(

rcene23.1rplate

)75.2(

rkurs11.0rcene

novacs,rplate,rrcene,rkur

2 =−=

=

=

=

χ

:cije)identifika tacneod vise(3 vaprihvatljisu aOgranicenj

zagradiu datisu odnosi-t

jednacinarajucih korespondi iz reziduali -

Page 22: II SEMESTAR DOKTORSKIH STUDIJA Ekonomskog fakulteta ...avs.ekof.bg.ac.rs/master - primenjena analiza vremenskih serija... · Ortogonalna funkcija impulsnog odziva VI Holeskijeva dekompozicija

Profesor Zorica Mladenovic

Ekonomski fakultet u Beogradu, april 2010

• Dekompozicija varijanse greške predvidjanja ostvarena na osnovu datog strukturnog VAR modela za 20 meseci

VarijanteVarijante sstukturntukturnogog VARVAR modelmodelaa: primer : primer IIII

Reakcija u: Reakcija u: Reakcija u: Reakcija u: %, kolone se sabiraju do 100

1

64

21

14

jednačini

kursa

302825jednačini

cena

333130jednačini

Plata

Impuls u:Impuls u:Impuls u:Impuls u: jednačini

cena jednačini

plata

jednačini

novca

jednačini

Kursa44 40 36

jednačini

Novca1 1 1

Primer za praktičan rad:

• Vremenske serije privrede Srbije:

– Inflacija (prva diferenca log cena na malo)

– Deprecijacija (prva diferenca log deviznog kura, dinar/evro,

korigovano za inflaciju u evro zoni)

– Stopa rasta cene nafte na svetskom tržištu (dolar po barelu)

• Mesečni podaci

• Period: januar 2005 – maj 2009. godine