Upload
trantruc
View
220
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
Ciocotişan Radu
ii vectoriale de coliniaritateii vectoriale de coliniaritateţţ3.1 Condi3.1 Condiia 1.ia 1.ţţPropoziPropozi
Punctele A,B,C sunt coliniare dacă şi numai dacă există numărul real α astfel încât ACAB
ieieţţemonstraemonstraDD
1) Dacă A,B,C sunt coliniare atunci vectorii AB şi AC sunt coliniari deci există numărul real α şi ACAB 2) Dacă ACAB atunci vectorii AB şi AC sunt coliniari,deci dreptele AB şi AC coincid,adică punctele A,B,C sunt coliniare
n cazurileîişia este adevăratăţ: propoziieţObserva ABACBCACACAB ,,
Punctele A,B,C sunt coliniare există numărul real α ,astfel încât ACAB
Ciocotişan Radu
ia 2.ia 2.ţţPropoziPropoziPunctele A,B,C sunt coliniare dacă şi numai dacă există numerele reale x,y,cu x+y=1, astfel încât pentru orice punct O din plan avem
OByOAxOC
Punctele A,B,C sunt coliniare . astfelastfel îîncât pentru orice punctncât pentru orice punct O din plan avem1,, yxRyx OByOAxOC
a) b)ieieţţemonstraemonstraDD
a)→b)A
B
C
O
Fie OByOAxOBOAOBOAOCCB
CA
11
1
1
1
x y
b)→a) avem
CBx
yCACByCAx
CByCAxOCCByCAxOCyxCBOCyCAOCxOByOAxOC
0 iar din Prop.1 A,B,C sunt coliniare
ăăţţConsecinConsecin Cum x+y=1 avem y=1-x şi atunci
OBxOAxOC )1( *RxPunctele A,B,C sunt coliniare
Ciocotişan Radu
Problema 1Problema 1
Într-un trapez mijloacele bazelor,punctul de intersecţie al diagonalelor şi punctul de intersecţie al laturilor neparalelesunt 4 puncte coliniare
AB
CD
O
E
F
IRezolvareRezolvare
,O,F sunt coliniareArătăm că E1)
,2
,2
OBOAOF
OCODOE
E,F mijloace
Notămk
OD
OB
OC
OA
OEkOBOC
kOBkOCkOBOA
OF
OCkOA
222
,
ceea ce exprimă că O,E,F sunt coliniare( Prop.1)
,F,I sunt coliniareArătăm că punctele E2)
2,
2
IBIAIF
ICIDIE
E,F mijloace
IFk
IBIAk
IEkIB
IC
kIA
ID
kOA
OC
AB
DCOABODC
AB
DC
IB
IC
IA
IDIABIDC
2
1
2
11,
1
1
ceea ce exprimă că I,E,F sunt coliniare( Prop.1)
Ciocotişan Radu
22ProblemaProblema
În triunghiul ABC ,fie D,E mijloacele laturilor AB,AC.Fie C’ situat pe AB şi B’ situat pe AC astfel ca
AB
AB
AC
BC
'
'
'
' Arătaţi că punctele D,E şi I ,mijlocul lui B’C’ sunt coliniare.
RezolvareRezolvare A
B C
D EI
B’
C’
12
'' ACABAI
Avem 2,
1
1'
'''''
ABAC
ACABBCABACACBC
Avem 3,1
''' ACABCBAB
Înlocuind 2 şi 3 în 1 avem AEADAI
11
1
x y
şi x+y=1 deci D,E,I coliniare( Prop.2)
Ciocotişan Radu
33ProblemaProblema
Fie triunghiul ABC şi G centrul său de greutate.O dreaptă d care trece prin G,intersectează AC în P şi BC în Q. Arătaţi că 1
QC
BQ
PC
AP
RezolvareRezolvare
Notăm nQC
BQm
PC
AP ,
C
BA
GP
Q
atunciCA
mCP
mCA
CP
1
1
1
1
analog CB
nCQ
1
1
De asemenea avem CBCACCCG 2
1
3
2'
3
2
Cum punctele P,Q,G sunt coliniare,există numărul real nenul t,astfel încât CQtCPtCG )1( consecinţă
CBn
tCA
m
tCBCACG
1
1
13
1
Atunci
Cum vectorii CA şi CB sunt necoliniari avem
cctdnmnmn
tm
t
n
t
m
t
,13
11
3
1
3
11şi
3
11
1
3
1şi13
1
Ciocotişan Radu
SYLVESTERSYLVESTERia luiia luiţţRelaRela
În orice triunghi ABC avem
( notăm O-centrul cercului circumscris,G-centrul de greutate,H-ortocentrul)
OHOCOBOA
ieieţţDemonstraDemonstra
triunghi dreptunghic1.Cazul A
B CO
H=A OHOA OHOCOBOA evident
triunghi oarecare.Cazul2
A
B
C
O
D
H
P
BHCDABCHABDB
DCBHACDCACBH
//,
//,
deci BHCD este paralelogram
Fie P mijlocul lui BC
În ΔAHD, OP este linie mijlocie OPAH 2De asemenea în ΔOBC,OP este mediană OCOBOP 2
AHOCOB
În ΔAOH avem OAOHAH
OHOCOBOA
Ciocotişan Radu
))Dreapta lui EULERDreapta lui EULER((TeoremăTeoremă
i avemşi H sunt coliniarei H sunt coliniareşşO,GO,Gn orice triunghi ABC,puncteleÎ OGOH 3ieieţţDemonstraDemonstra
Folosim relaţia lui LEIBNIZ PCPBPAPG 3 cu P=O OCOBOAOG 3
OHOCOBOA dar
OGOH 3
ceea ce exprimă că O,G,H sunt coliniare(Prop.1)
ia lui LEIBNIZţrela
G
A
B C
B’
P
3
2
'2,'
1
1
PCPBPAPG
PCPAPB'dar
GB
GBPBPBPG
ieţObserva
Ciocotişan Radu
MENELAUSMENELAUSTeorema luiTeorema luiFie un triunghi ABC şi punctele A’,B’,C’ distincte de vârfurile triunghiului.
Punctele A’,B’,C’ sunt coliniare 1
'
'
'
'
'
'
BC
AC
AB
CB
CA
BA
A
B C
A’
B’C’
Notăm
CA
BA
'
'= m
AB
CB
'
'= n
BC
AC
'
'= p
(←)ieieţţDemonstraDemonstra
Presupunem mnp = 1. Din BAnBCn
BBABnCB
1
1'''
Avem
'1
1''1
'''' BAm
BABAm
BACABACABC
'1'''' BCpBCpBCACBCBA
(*)
'1
)1('
)1(
1' BC
n
pnBA
nm
mBB
x y
Se verifică că x+y = 1
Deci A’,B’,C’ sunt coliniare(Prop.2)(→) Presupunem prin absurd că A’,B’,C’ sunt coliniare şi mnp≠1Notăm 1mnqpq,
1
mnq
Construim unicul punct Q astfel ca qQB
QA Cum mnq= 1 avem A’,B’,Q coliniare
Atunci dreptele A’B’ şi AB au în comun 2 puncte distincte C’ şi Q,deci ele coincid.
3.23.2
A’B’C’ se numeşteTRANSVERSALĂ
Ciocotişan Radu
VAN AUBELVAN AUBELia luiţRelaFie triunghiul ABC şi punctele A’,B’,C’ ,diferite de vârfurile triunghiului,astfel încât AA’,BB’,CC’ sunt concurente în P.Atunci avem relaţia:
BC
AC
CB
AB
PA
PA
'
'
'
'
'
A
B C
P
A’
B’C’ sau
A
B C A’
C’
PB’
ieieţţDemonstraDemonstra
Aplicăm T.Menelaus în ΔABA’ cu transversala C’PC
BC
CA
PA
PA
CB
CA
PA
PA
BC
AC
PA
PA
CA
CB
BC
AC '
'
'
''
'1
'
''
'
Aplicăm T.Menelaus în ΔACA’ cu transversala B’PB
BC
BA
PA
PA
CB
AB
PA
PA
BA
BC
CB
AB '
''
'1
'
''
'
+
''
''
''
'
'
'
PA
PA
BC
BC
PA
PA
BC
BA
BC
CA
PA
PA
BC
AC
CB
AB
Ciocotişan Radu
Problema 4Problema 4Fie triunghiul ABC şi punctul D, situat pe segmentul BC ,astfel încât BC = 3DC.Fie C’ şi E mijloacele segmentelor AB şi CC’.Arătaţi că punctele A,E şi D sunt coliniare.
RezolvareRezolvare))MenelausMenelaus.(T.(TMetoda 1Metoda 1
A
B CD
C’E
ΔBCC’ şi ‘’transversala’’ A,E,D 11
21
2
1
'
'
DC
DB
EC
EC
AB
AC
Metoda 2.Metoda 2.
Arătăm că există numărul real α cu DEAE
221
2
' ACABACACAE
221
6
1
12
2
12
3
12
3
432
'
3
34 ACABACABACACBACABCCBCABCCCBCCEDCDE
Atunci DEAE 3 A,D,E coliniare (Prop.1)
Ciocotişan Radu
Problema 5Problema 5
Fie ΔABC echilateral şi punctele D,E astfel încât avem CAAEBCCD , Notăm DE∩AB= {F}. Arătaţi că ABAF3
1
A
B C D
E
F
))MenelausMenelaus.(T.(TMetoda 1Metoda 1ΔBFD cu transversala EAC
ED
EF
AB
AF
CD
CB
EF
ED
AB
AF 1
ΔECD cu transversala BAF
3
1
2
11
ED
FE
FD
FE
AE
AC
BC
BD
FD
FE
Metoda 2.Metoda 2.
Notăm 0 xAB
AFatunci A împarte în raportul -xFB EBxEF
xEA
1
1
Punctul E împarte în raportulAC
BCBABCBABE 2
2
1
21
1
1
2
1
ABBCEB 2
(1)
(2)
Cum vectorii EDEF şi sunt coliniari,există )2()(, BCACkCDECkEDkEFRk (3)Avem BCABACEA (4) Înlocuind 2,3,4 în 1 obţinem
BCxkABxkx
BCAB
3221
1
Cum vectorii AB şi BC sunt necoliniari avem simultan
3
1
11
3
11
22
xk
x
xkx
xk
Metoda 3.Metoda 3.Ducem CM // AB
M
T.Thales în ΔACM AFCMEFFMEF
FM
EA
AC2 (1)
Analog se arată că FM=MD,deci în ΔBDF BF=2CM (2)
Din 1 şi 2 avem AB+AF=2(2AF),deci AB=3AF
Ciocotişan Radu
Problema 6Problema 6Fie triunghiul ABC,A’mijlocul laturii BC şi N situat pe (AA’).Notăm BN∩AC={E},CN∩AB={D}.Arătaţi că DE // BC.
RezolvareRezolvare A
B CA’
NED
Aplicăm T.Menelaus în ΔAA’C cu transversala B,N,E
'2
11
'
' NA
NA
EC
EA
EC
EA
NA
NA
BA
BC
Aplicăm T.Menelaus în ΔBAA’ cu transversala D,N,C
'2
11
'
' NA
NA
DB
DA
DB
DA
NA
NA
CA
CB
Reciproca T.Thales DE // BC
Ciocotişan Radu
Problema 7Problema 7
Fie ΔABC şi un punct D situat pe dreapta AB astfel încât BDA
Fie [AF, CDF bisectoarea unghiului <CAD,E mijlocul lui [BC] şi AC∩BF={P}.Punctele D,P,E sunt coliniare dacă şi numai dacă AB=AC.
A
B C
D
E
F
P
RezolvareRezolvare
dacă AB=AC Punctele D,P,E sunt coliniare
Avem <FAC=< ACB AF // BC ABCF trapez Pr1 Punctele D,P,E sunt coliniare
Punctele D,P,E sunt coliniare dacă AB=AC
Aplic[m T.Menelaus în ΔABC cu transversala D,P,E 1EB
EC
PC
PA
DA
DB
De undePA
PC
DA
DB (1)
T.Menelaus în Δ ADC cu transversala BPFBD
BA
FC
FD
PC
PA
FD
FC
PC
PA
BA
BD 1
T.bisectoarei în ΔCAD avem
AC
AD
FC
FD
BD
BA
AC
AD
PC
PA (2)
Din 1 şi 2 avem AB=AC
Ciocotişan Radu
Problema 8Problema 8Fie ABCD un patrulater convex şi O intersecţia diagonalelor sale AC şi BD.O dreaptă mobilă care trece prin O taie dreptele AB,DC,în punctele M,N(diferite de vârfurile patrulaterului)Arătaţi că produsul
kNC
ND
MB
MA
A
B C
D
M NORezolvareRezolvare
Aplicăm T.Menelaus în ΔABD cu transversala L,M,O
L
OB
OD
LD
LA
MB
MA
MA
MB
OB
OD
LD
LA 1
Aplicăm T.Menelaus în ΔACD cu transversala L,N,O
OC
OA
LA
LD
ND
ND
NC
ND
OA
OC
LD
LA 1
·
kOC
OA
OB
OD
NC
ND
MB
MA
Ciocotişan Radu
CEVACEVA3.3 Teorema lui3.3 Teorema lui
Fie untriunghi ABC şi A’,B’,C’ situate respectiv pe dreptele BC,CA şi AB ,diferite de vârfuri.Atunci AA’,BB’,CC’ sunt concurente sau paralele
1'
'
'
'
'
'
BC
AC
AB
CB
CA
BA
ieieţţDemonstraDemonstra
AA’,BB’,CC’ sunt concurente în M.
A
B CA’
B’C’
MAplicăm T.Menelausîn ΔABA’ cu transversala C’,C,M
1'
''
'
MA
MA
CA
CB
BC
AC
Aplicăm T.Menelausîn ΔACA’ cu transversala B’,B,M
1'
''
'
MA
MA
BA
BC
CB
AB1
'
'
'
'
'
'
''
'
''
'
CB
BC
AB
BA
CA
CB
BC
AC
BA
BC
CB
AB
CA
CB
BC
AC
AA’,BB’,CC’ sunt paralele.
A
B C
B’C’
A’Aplicăm T.Thales
''
'
AC
AB
CA
BAΔBCC’
BA
BC
AB
CB '
'
'ΔBAB’cu CC’
·
BA
AB
AC
BC
AB
CB
CA
BA
BA
BC
AC
AB
AB
CB
CA
BA
'
'
'
'
'
'
'
'
''
'
'
'
-1Reciproca se demonstrează prin reducere la absurd.
1'
'
'
'
'
'
BC
AC
AB
CB
CA
BAsau
Ciocotişan Radu
GergonneGergonnePunctul luiPunctul lui
Dacă în ΔABC notăm M,N,P punctele de contact ale cercului înscris cu laturile BC,CA,AB,))GergonneGergonneun punct (-ntrîatunci dreptele AM,BN,CP sunt concurente
A
B CM
NP1
PB
PA
NA
NC
MC
MBieieţţDemonstraDemonstra
Avem AM,BN,CP concurente ( nu pot fi paralele)
Ciocotişan Radu
Problema 9Problema 9
Fie ΔABC şi M mijlocul lui BC.Considerăm [MP bisectoarea unghiului <AMC, undeAtunci dreptele AM, BN şi CP sunt concurente.
ACNABP ,
RezolvareRezolvare
A
B CM
P N
Aplicăm T.bisectoareiMC
MA
NC
NA
MB
MA
PB
PA şi
Verificăm T.Ceva
11 MC
MA
MA
MC
PB
PA
NA
NC
MC
MB
AM, BN şi CP sunt concurente
Ciocotişan Radu
Problema 10Problema 10
Fie ΔABC şi înălţimea CD,mediana AM şi bisectoarea BE.Dacă 1
BA
BD
BC
BDatunci dreptele CD, AM şi BE sunt concurente.
A
B C
D
M
E
RezolvareRezolvare
Este suficient să verificăm T.Ceva 1DB
DA
EA
EC
MC
MB (1)
a
bc
a
c
DB
DADB
DA
c
a
DB
DA
c
a
a
a
DB
DA
EA
EC
MC
MB
12/
2/
(2)
sau
darca
acBD
caBDBA
BD
BC
BD
1111
Atuncica
cBDcAD
2
... Şi avema
c
ac
ca
ca
c
DB
DA
2
Ciocotişan Radu
Problema 11Problema 11
Fie ΔABC şi punctele A’, B’şi C’ situate respectiv pe segmentele (BC), (AC) şi (AB) astfel încât cevienele AA’, BB’, CC’sunt concurente în M. Atunci
6'''
)
'''2
''')
MC
MC
MB
MB
MA
MAb
MC
MC
MB
MB
MA
MA
MC
MC
MB
MB
MA
MAa
(cu ‘’= ‘’ M este centrul de greutate)
RezolvareRezolvare
A
B CA’
B’C’M
Notăm pBC
ACn
AB
CBm
CA
BA
'
',
'
',
'
'atunci mnp=1
Aplicăm relaţia lui Van Aubel
mn
AB
CB
BA
CA
MC
MA
pm
AC
BC
CA
BA
MB
MBn
pCB
AB
BC
AC
MA
MA
1
'
'
'
'
'
1
'
'
'
'
'
1
'
'
'
'
'
a)
cctdm
np
mn
p
mn
pm
np
MC
MC
MB
MB
MA
MA
1112
...111
'''
b) cum 21
xx avem cctd.
1
...01
021
21
21
6111
2
pnm
p
nn
mm
pp
mn
pm
np
adică AA’,BB’,CC’ sunt mediane
Ciocotişan Radu
Probleme propuse pag192/193Probleme propuse pag192/193
Problema 1/192Problema 1/192
Fie 2 drepte secante şi d∩d’=O. Considerăm punctele B, C situate pe d şi punctele A, D situate pe d’ astfel încât AB // CD.Fie I, J mijloacele segmentelor AB şi CD. Arătaţi că punctele I, J şi O sunt coliniare.
O
d
d’
A D
BC
IJ
ie:ie:ţţindicaindica
2;
2
OCODOJ
OBOAOI
Din asemănare avem OCkOBODkOAkOC
OB
OD
OA ,
Atunci
OJkOCOD
kOBOA
OI
22 ceea ce exprimă că punctele O,I,J sunt coliniare
Ciocotişan Radu
Problema 2/192Problema 2/192Fie un triunghi ABC şi punctele ACFABE , astfel încât EF // BC.
Considerăm punctele 0cu, NC
NB
MF
MEBCNEFM
Arătaţi că punctele M, N şi A sunt coliniare.
A
B C
E F
M
N
ie:ie:ţţindicaindica
Din T.Thales avem ACkAFABkAEkAC
AF
AB
AE ;
Dar
NCNB
MFME
de unde exprimând vectorii de poziţiecu originea A avem:
ACABAN
1
1
şi
ANkACABk
AFAEAM
11
1
Ceea ce exprimă că punctele A,M,N sunt coliniare.
Ciocotişan Radu
Problema 3/193Problema 3/193Fie un paralelogram ABCD.Notăm cu I mijlocul laturii AB şi considerăm punctul E situat pe [ID] astfel încât IDIE
3
1
Arătaţi că punctele A, E, C sunt coliniare.
A B
CD
I
E
ie:ie:ţţindicaindica
Deoarece IE este o treime din ID avem
ACABADAIADAE
EIED
3
1
3
12
21
1
2
adică punctele A,E,C sunt coliniare
Ciocotişan Radu
Problema 4/193Problema 4/193
Fie paralelogramul AMNO şi punctele B, C astfel încât avem .2*,1
11
nN ; nOM
nOC ;ON
nOB
Arătaţi că A, E şi C sunt puncte coliniare.
ie:ie:ţţindicaindica
A M
NOB
C
AB
n
n
OAOBn
nOAON
nn
nONOA
nOAOM
nOAOCAC
OCAOAC
1
1)
1(
11
1
1
1
adică punctele A,C,B sunt coliniare
Ciocotişan Radu
Problema 5/193Problema 5/193Fie două triunghiuri ABC şi A’B’C’.Considerăm punctele ',',' CCCBBNAAM
astfel încât ',',' PCPCNBNBMAMA Arătaţi că centrele de greutate ale triunghiurilor ABC,A’B’C’ şi MNP sunt puncte coliniare.
ie:ie:ţţindicaindicaNotăm centrele de greutate respectiv cu G,G’ şi Q.
Exprimând vectorii de poziţie (LEIBNIZ) avem:
OPONOMOQ
OCOBOAOG
OCOBOAOG
3
1
'''3
1'
3
1Din ipoteză avem :
'
1
1
'1
1
'1
1
OCOCOP
OBOBON
OAOAOM
Fie O , un punct oarecare din plan.
Atunci : '
1
1'''
33
1
1
1
'1
1'
1
1'
1
1
3
1
OGOGOCOBOAOCOBOA
OCOCOBOBOAOAOQ
Alegem O = Q şi avem'QGQG adică G,G’ şi Q sunt coliniare.
Ciocotişan Radu
Problema 6/193Problema 6/193
Fie un triunghi ABC şi punctele M, N astfel încât avemRrNCrNBACABAM ,;2
Determinaţi r astfel încât punctele A, M şi N să fie coliniare.
ie:ie:ţţindicaindica
Exprimăm vectorul de poziţie al lui N în raport cu originea A )(1
1ACrAB
rAN
A,M,şi N să fie coliniare AMAN ,
ACABACrABr
2)(1
1
2
1
1
21
1
r
r
rr
Ciocotişan Radu
Problema 7/193Problema 7/193
Fie un paralelogram ABCD.Considerăm punctele E, F astfel încât ADAFABBE 3,2
1
Arătaţi că punctele E, F şi C sunt coliniare.
ie:ie:ţţindicaindica
AB E
CD
F
Arătăm că: CFEC 2 care exprimă coliniaritatea E,F şi C.
BCABADABADAFCDDFCDCF
BCABBCEBEC
22
2
1
cctd
Ciocotişan Radu
Problema 8/193Problema 8/193
Fie un triunghi ABC unde notăm centrul cercului circumscris cu O şi ortocentrul cu H. Arătaţi că : HOHCHBHA 2ie:ie:ţţindicaindica
Scriem relaţia lui Sylvester OHOCOBOA A
B CO
H
Avem :
HCOHOC
HBOHOB
HAOHOA
+
HOOHHCHBHAHCHBHAOHOH 223
Ciocotişan Radu
Problema 9/193Problema 9/193
Fie un triunghi ABC. Considerăm punctele 3
1cu',
2
1
'
'cu'
SA
SA'AAS
BA
CABCA şi notăm CS ∩AB = {M}
Arătaţi că M este mijlocul laturii [AB].
ie:ie:ţţindicaindica A
B C
M
A’
S
Aplicăm T.Menelaus în ΔABA’ cu M, S, C.
MBMACA
CA
MB
MA
CA
CB
SA
SA
MB
MA 1
3
13
'31
'
'
3
1
Ciocotişan Radu
Problema 10/193Problema 10/193Fie ABC un triunghi. Notăm cu M mijlocul lui [BC],notăm cu N mijlocul lui [AM] şi CN ∩ AB = {P}.Arătaţi că a) BP = 2AP şi b) PC = 4PN.
ie:ie:ţţindicaindica A
BC
M
NP
a) T.Menelaus în ΔABM cu P, N, C. PBPACM
CB
NA
NM
PB
PA21
1 2
b) T.Menelaus în ΔBPC cu A, N, M.
411
PC
PN
PC
PN
APAB
AP
CN
NP
AB
AP
MC
MB
NP
NC
AB
AP
1
Ciocotişan Radu
Problema 11/193Problema 11/193
Fie triunghiul ABC dreptunghic în A şi C=30°.Considerăm bisectoarea BT,T situat pe segmentul AC şiînălţimea AE, E situat pe segmentul BC. Paralela prin C la BT taie AB în F. Arătaţi că punctele F, E şi T sunt coliniare.
ie:ie:ţţindicaindica
E
AB
F
T
C
30 30
3030 3030
c
ab
2
acAB 3
4
3,
4
EB
ECaEC
aEB
T.bisectoarei
2
12 a
a
TC
TA
3
2
2
3,
FA
FBaFAaFB
Atunci:1
3
2
1
3
2
1
FA
FB
EB
EC
TC
TA R.T.Men.F,E şi T sunt coliniare
Ciocotişan Radu
Problema 12/193Problema 12/193
Fie T un punct în interiorul triunghiului ABC.Dreptele AT , BT şi CT intersectează [BC], [CA], [AB] respectiv în punctele M, N, P.Dacă T este centrul de greutate al triunghiului MNP,arătaţi că T este centrul de greutate al triunghiului ABC.
ie:ie:ţţindicaindica A
B CM
NP
C’
A’
B’T
T.Menelaus în ΔPMC cu B,B’;T )1(1'
'
TC
TP
BC
BM
TP
TC
MB
PB
BC
BM
T.Menelaus în ΔPNC cu A,A’;T )2(1'
'
TC
TP
AC
AN
TP
TC
NA
PA
AC
AN
ABMNAC
AN
BC
BM//
=1
=1
C’ mijloc P mijlocul ABanalog M,N
Ciocotişan Radu
Problema 13/193Problema 13/193
Fie ABC un triunghi şi punctele coliniare .,, ABPCANBCM Notăm M’, N’, P’ simetricele acestor puncte în raport cu mijlocul laturii pe care se află fiecare.Arătaţi că punctele M’, N’, P’ sunt coliniare.
ie:ie:ţţindicaindica
B
P’
P
M M’ C
N’N
Q
Avem'
'
'
'
BM
CM
BQQM
QMQC
QCMQ
MQBQ
MC
MB
analog
AP
BP
PB
PACN
AN
NA
NC
'
''
'
T.Menelaus în ΔABC cu P,M,N.
1NA
NC
MC
MB
PB
PAînlocuim 1
'
'
'
'
'
'
CN
AN
BM
CM
AP
BP
M’,N’,P’ sunt coliniare
Ciocotişan Radu
Problema 14/193Problema 14/193
Fie un triunghi ABC şi punctele ABCACBBCA ',',' astfel încât cevienele AA’,BB’ şi CC’ sunt concurente în M.
Arătaţi că ,8'''
MC
MC
MB
MB
MA
MAcu egalitate M este centrul de greutate al triunghiului ABC.
ie:ie:ţţindicaindica A
B C
A’
B’C’
M
Notăm pBC
ACn
AB
CBm
CA
BA
'
';
'
';
'
'
Aplicăm relaţia lui Van Aubel:
mn
AB
CB
BA
CA
MC
MC
pm
AC
BC
CA
BA
MB
MBn
pCB
AB
BC
AC
MA
MA
1
'
'
'
'
'
1
'
'
'
'
'
1
'
'
'
'
'
82222111
2...111
1'''
pp
mm
nn
mn
pm
np
MC
MC
MB
MB
MA
MA
dacă
1....021
21
21
8111
2
pnm
pp
mm
nn
pp
mm
nn
adică A’,B’.C’ mijloace
Ciocotişan Radu
Problema 15/193Problema 15/193
În triunghiul ABC bisectoarele AA’, BB’ şi CC’ se intersectează în punctul I. Arătaţi că sunt echivalente afirmaţiile:
8'''
)
6'''
)
)
IC
IC
IB
IB
IA
IAc
IC
IC
IB
IB
IA
IAb
lechilateraABCa
ie:ie:ţţindicaindica A
B C
I
A’
B’C’
(a→b) Dacă a=b=c avem 2'
a
aa
IA
IA
c
ba
IC
IC
b
ca
IB
IB
a
cb
IA
IA
';
';
'
Ştim că:
b)
(a→c) analog
(b→a) cbac
a
a
c
c
b
b
c
b
a
a
b
c
a
c
b
b
c
b
a
a
c
a
b
...02226
(b→c)
82222...111'''
a
c
a
b
c
b
b
c
b
a
c
a
b
c
c
b
a
c
c
a
b
a
a
b
IC
IC
IB
IB
IA
IA
(c→a)
cbac
b
b
c
a
c
c
a
a
b
b
a
a
c
a
b
c
b
b
c
b
a
c
a
...0222811