[ اصل عباسی رضا: گردآوريتألیف و [ ، دایره مقاطع مخروطی، هندسه تحلیلی

1

مقاطع مخروطی

تعریف سطح یا رویه مخروطی :

دوران کامل Dحول خط ثابت ∆متقاطع باشند ، اگر خط Sدر ∆و Dفرض کنیم دو خط متقاطع

کند حجمی به وجود می آید که آن را رویه مخروطی می نامند .

مخروطی را رأس رویه S را مولد رویه مخروطی و ∆را محور سطح مخروطی ، Dدر شکل مقابل ، خط

می نامند .

است سطح مقطع حاصل از تقاطع یک صفحه با یک رویه مخروطی ، ممکن مقاطع مخروطی :

.شکل هاي متفاوتی داشته باشد ، هر یک از این شکل ها را یک مقطع مخروطی می نامیم

سطح مقطع حاصل از حالت هاي چهارگانه فوق را مقاطع مخروطی متعارف می نامند .

صفحه به موازات مولد یکی از دامنه ها ،

رویه مخروطی را قطع کند شکل حاصل

. یک سهمی است

عمود بر محور سطح مخروطـی ، صفحه ي

دامنه رویه مخروطی را قطع کنـد ، مقطـع

حاصل یک دایره است .

صفحه ي به طور مایل نسبت به محور یک

دامنه ، رویه را قطع کند ، سطح مقطع

حاصل یک بیضی است .

يهر دو دامنه ، صفحه به موازات محور

رویه را قطع کند شکل حاصل یک هذلولی

است .

S

D ∆

حالت هاي مختلف سطح مقطع یک رویه مخروطی با یک صفحه عبارتند از :

اگر صفحه اي عمود بر محور سطح مخروطی ، دامنه رویه مخروطی را قطع کند ، مقطع حاصل یک دایره است . -1

اگر صفحه اي به طور مایل نسبت به محور یک دامنه ، رویه را قطع کند ، سطح مقطع حاصل یک بیضی است . -2

هذلولی است .اگر صفحه به موازات محور هر دو دامنه ، رویه را قطع کند شکل حاصل یک -3

اگر صفحه به موازات مولد یکی از دامنه ها ، رویه مخروطی را قطع کند شکل حاصل یک سهمی است . -4

[ اصل عباسی رضا: گردآوريتألیف و [ ، دایره مقاطع مخروطی، هندسه تحلیلی

2

را مقاطع مخروطی تباهیده می نامند و آن در حالتی اتفاق می افتد که صفحه از سطح مقطع حاصل از حالت هاي سه گانه فوق

رأس مخروط بگذرد .

)74صفحه اي عمود بر محور سطح مخروطی است ، مقطع آن دو کدام است ؟ ( سراسري تست .

) دو خط متقاطع4) هذلولی 3) د ایره 2) سهمی 1

حل :

) صحیح است . 2گزینه (

عمود بر محور سطح مخروطی، از رأس بگذرد مقطع حاصل یک نقطه است .توجه داشته باشید که اگر صفحه

صفحه عمـود بـر محـور رویـه از رأس رویـه مخروطـی

است . می گذرد ، شکل حاصل یک نقطه

ــه مخروطــی ــطح ، اســتصــفحه شــامل محــور روی س

اســت .متقــاطع مقطــع حاصــل دو خــط راســت

ـــروط و از رأس آن ـــه مخ ـــر روی ـــاس ب ـــفحه مم ص

ــت .می ــت اس ــط راس ــک خ ــل ی ــع حاص ــذرد ، مقط گ

حاصل یک نقطه است .اگر صفحه عمود بر محور رویه از رأس رویه مخروطی بگذرد ، شکل -1

اگر صفحه مماس بر رویه و از رأس بگذرد ، مقطع حاصل یک خط راست است . -2

اگر صفحه شامل محور رویه مخروطی باشد ، مقطع حاصل دو خط راست است . -3

[ اصل عباسی رضا: گردآوريتألیف و [ ، دایره مقاطع مخروطی، هندسه تحلیلی

3

دایره :

معادله دایره :

, O(αفرض کنیم β) مرکز دایره اي به شعاعR : باشد ، بدیهی است که خواهیم داشتOM = R

و در نتیجه معادله دایره به صورت زیر خواهد بود :

OM = R ⟹ �(x − α)� + (y − β)� = R طرفین به توان � ������������ (x − α)� + (y − β)� = R�

�xدر حالت خاص که مرکز دایره مبدأ مختصات باشد ، معادله دایره به صورت تذکر : + y� = R� . خواهد بود

Aمعادله دایره اي که از نقاط تست . = (1 , 1) , B = (3 , xبگذرد ، مرکز ان روي خط (3 = 3y واقع باشد ، کدام است ؟

(x − 2)� + (y − 3)� = 9(2 (x − 1)� + (y − 3)� = 4(1

(x − 2)� + (y − 2)� = 8(4 (x − 3)� + (y − 1)� = 4(3

حل :

متعلق به دایره اند بنابراین در معادله آن صدق می کنند : Bو A) صحیح است . نقاط 3گزینه (

(x − α)� + (y − β)� = R� ⟹ �

(1 − α)� + (1 − β)� = R�

(3 − α)� + (3 − β)� = R�⟹ (1 − α)� + (1 − β)� = (3 − α)� + (3 − β)� ⟹

⟹ 1 − 2α + α2 + 1 − 2β + β2 = 9 − 6α + α2 + 9 − 6β + β2 ⟹ α + β = 4 (1)

, O(αاز طرفی β) رويx = 3y : واقع است بنابراین در معادله آن صدق میکند ، در نتیجهα = 3β (2)

�) داریم : 2) و (1از معادالت (α + β = 4

α = 3β ⟹ α = β و 3 = ، حال مقدار شعاع نیز قابل محاسبه است : 1

�(� , �)

�(� , �)

دایره ، مکان هندسی نقاطی از صفحه است که از یک نقطه ثابت به یک فاصله باشند . نقطه ثابت را مرکز دایره و تعریف :

فاصله ثابت را شعاع دایره می نامیم .

نمایش می دهیم . (C(O , Rرا به صورت Rو شعاع Oدایره به مرکز

[ اصل عباسی رضا: گردآوريتألیف و [ ، دایره مقاطع مخروطی، هندسه تحلیلی

4

(1 − α)� + (1 − β)� = R� ��� و ��� ����������� (1 − 3)� + (1 − 1)� = R� ⟹ R = 2

و در نتیجه معادله دایره مورد نظر به صورت زیر خواهد بود :

(x − α)� + (y − β)� = R� ��� و ��� و ��� ����������������� (x − 3)� + (y − 1)� = 4

Mمجموع شعاع هاي دایره هایی که در ربع اول از نقطه تست . = (2 , می گذرند و بر محورهاي مختصات مماس می شوند ، (1

کدام است ؟

6 (4 5(3 4(2 3(1

) صحیح است . 4گزینه ( حل :

ـــره ـــیم دای ـــرض کن ـــل ف ـــکل مقاب , C(Oدر ش R) ، ـــد ـــر باش ـــورد نظ ـــره م دای

ـــلعی ـــه OABCچهارض ـــد ( توج ـــه ان ـــاي آن قائم ـــه ه ـــرا زاوی ـــت زی ــــع اس مرب

ـــر خـــط ممـــاس در نقطـــه تمـــاس عمـــود اســـت داشـــته باشـــید کـــه شـــعاع ب

ـــه هـــاي ـــی دو ضـــلع مجـــاور آن �Cو �Aبنـــابراین زاوی ـــد)از طرف ـــاهم قائمـــه ان ب

ــــد OA): برابرن = OC = R) ــــازند ـــــرها نیمس ـــــربع قط ــــیم در م ـــــی دان ، م

ـــابراین ـــع OBبن ـــاز رب ـــط نیمس ــــره روي خ ـــز دای ـــه مرک ـــت و در نتیج اول اس

y = x : ــــت ــــواهیم داش ــــه خ ــــرار دارد و در نتیج αق = β وOA = OC = R = α ــــه ــــره ب ــــه دای ــــال معادل ، ح

صورت زیر خواهد بود :

(x − α)� + (y − β)� = R� ⟹ (x − α)� + (y − α)� = α�

Mدایره فوق از = (2 , می گذرد ، بنابراین : (1

(x − α)� + (y − α)� = α� ⟹ (2 − α)� + (1 − α)� = α� ⟹ α� − 6α + 5 = 0 ⟹�α = R = 1 α = R′ = 5

⟹ R + R� = 6

Bمعادله دایره اي که تست . معادله دایره اي که تست . = (1 , 5) , A = (−1 , دو سر قطري از آن باشند ، کدام است ؟ (3

�(� , �)�(2 ,1)

B C

A

معادله دایره هایی اي که در ربع اول بر محورهاي مختصات مماس می شوند به صورت زیر است : نکته :

(x − α)� + (y − α)� = α�

مختصات مماس می شوند به صورت زیر است :نکته : معادله دایره هایی اي که در ربع هاي چهار گانه بر محورهاي

(x ± α)� + (y ± α)� = α�

[ اصل عباسی رضا: گردآوريتألیف و [ ، دایره مقاطع مخروطی، هندسه تحلیلی

5

(x − 2)� + (y − 3)� = 9(2 x� + (y − 4)� = 2(1

(x − 2)� + (y − 2)� = 8(4 (x − 4)� + y� = 2(3

) صحیح است . 1گزینه ( حل:

مرکز دایره و اندازه ABدر این صورت مختصات وسط |��|

� برابر شعاع دایره خواهد بود :

O �x� + y�

2 ,

x� + y�2

� = �−1 + 1

2 ,

3 + 5

2� =(0 , =|AB| و (4 �(1 + 1)� + (5 − 3)� = √8 ⟹ R = √2

x)بنابراین معادله دایره مطلوب عبارت است از : − α)� + (y − β)� = R� ⟹ x� + (y − 4)� = 2

, C(Oدایره تست . R) در ربع اول بر محورx ها و نیز بر نیمساز ربع اول و سوم مماس است ، نسبت طول به عرض مرکز این

دایره همواره برابر است با :

√3 + 1 (4 3 − √2(3 1 + √2(2 √5(1

) صحیح است . 2گزینه ( حل :

با توجه به شکل مقابل داریم :

R = OA = �(α − α)� + (β − 0)� = β ⟹ R = β (1)

R = OH =|α − β|

√1� + 1�

در ناحیه مشخص شده ��� ������������������� R =

α − β

√2 (2)

��� ) داریم :2) و (1(از روابط √�

= β ⟹ α = �1 + √2�β ⟹�

�= 1 + √2

Aفاصله نقطه یادآوري : = (x� , y�) از خطax + by + c = از دستور زیر محاسبه می شود : 0

d =|ax� + by� + c|

√a� + b� ∶ فرمول فاصله نقطه از خط

, O(−1شعاع دایره اي به مرکز تست. 4yو مماس بر خط (2 − 3x − 1 = کدام است؟ 0

1( 2 2 (3 3 (4 4 (6

حل:

� = �

H

�(� , �)

�(� ,0)

[ اصل عباسی رضا: گردآوريتألیف و [ ، دایره مقاطع مخروطی، هندسه تحلیلی

6

, O(3مربع شعاع دایره اي به مرکز تست. 2xکه از خط (1− − 5y + 18 = جدا می کند ، کدام است؟ 6وتري به طول 0

1( 16 2 (25 3 (36 4 (38

حل:

�xدر دایره تست . + y� = رسم شده است . مکان هندسی وسط این وترها کدام است؟ 8وترهایی به طول 25

x� − y� = 9 (4 x� + y� = 9 (3 x� − y� = 16 (2 x� + y� = 16 (1

حل:

نکته :

,�)�اگر دایره فاصله مرکز hاز رابطه زیر به دست می آید که در آن lایجاد کند ، طول lوتري به طول Dروي خط (�

است : Dدایره تا خط

� = 2��� − ℎ�

[ اصل عباسی رضا: گردآوريتألیف و [ ، دایره مقاطع مخروطی، هندسه تحلیلی

7

�xطول کوچکترین وتر از دایره تست . + y� − 4x − 5y − 15 = کدام است؟ (2,3)،گذرنده از نقطه 0

12 (4 10 (3 8 (2 6 (1

حل:

: دایره معادله ضمنی

yبه صورت xبر حسب متغیر مستقل yمعادالت ضمنی، معادالتی هستند که در آنها متغیر وابسته تعریف : = f(x) نمی بیان

,f(xشود ، صورت کلی اینگونه توابع به صورت y) = می باشد . 0

از ساده کردن معادله دایره داریم : معادله ضمنی دایره :

(x − α)� + (y − β)� = R� ⟹ x� − 2αx + α� + y� − 2βy + β� = R� ⟹ x� + y� −2α��

x −2β��

y + α� + β� − R�����������

= 0 ⟹

x� + y� + ax + by + c = معادله ضمنی دایره∶ 0

در معادله ضمنی دایره ، مختصات مرکز دایره و شعاع دایره از دستورهاي زیر محاسبه می شوند :

O = �−a

2 , −

b

2� R و مختصات مرکز دایره∶ =

1

2�a� + b� − 4c ∶ شعاع دایره

به نحوه به دست آوردن فرمول هاي فوق توجه کنید :

O = (α , β) � � ��� , � � ��� ���������������� O = �−

a

2 , −

b

2�

نکته :

,�)�در دایره lمکان هندسی وسط کلیه وترهایی که به طول و شعاع Oرسم می شوند ، دایره اي است به مرکز (�

� =1

2�4�� − ��

[ اصل عباسی رضا: گردآوريتألیف و [ ، دایره مقاطع مخروطی، هندسه تحلیلی

8

c = α� + β� − R� � � �

�

� , � � �

�

��������������� c =

���������

�⟹ R� =

�

�(a� + b� − 4c) ⟹

R =1

2�a� + b� − 4c

�a بدیهی است که رادیکال فوق در صورتی با معنی است که + b� − 4c ≥ 0 ،

�a(xدایره به معادله تست . + y�) + b(x + y) = , 1)از نقطه 0 )74می گذرد ، شعاع دایره چقدر است ؟(سراسري (1

√2

2 (4 a√2(3

b

a(2 √2(1

) صحیح است .4گزینه ( حل :

, 1)مختصات در معادله دغایره صدق می کند ، بنابراین : (1

a(x� + y�) + b(x + y) = 0 ⟹ a(1� + 1�) + b(1 + 1) = 0 ⟹ 2a + 2b = 0 ⟹ a = −b

�xدر نتیجه معادله دایره به صورت + y� − x − y = با : برابر است فوقخواهد بود که شعاع آن با توجه به فرمول هاي 0

R =1

2√1 + 1 − 4×0=

√2

2

�x، نمودار معادله aبه ازاي کدام مقدار تست. + y� − 3x + 5y − 4 = یک دایره است ؟ 0

1 (a > 3 2 (a < 17/5 3 (a < 8/5 4 (a ≤ 17

حل:

نکته :

اگر�� + �� − 4� > −�و مرکز R، دایره اي به شعاع 0�

� , −

�

� داریم ، �

اگر�� + �� − 4� = −�، به جاي دایره ، نقطه اي به مختصات 0 ��

, − �

�و به عبارتی دایره به شعاع صفر �

خواهیم داشت .

و نهایتا ً اگر�� + �� − 4� < باشد ، معادله داده شده معادله دایره نخواهد بود . 0

[ اصل عباسی رضا: گردآوريتألیف و [ ، دایره مقاطع مخروطی، هندسه تحلیلی

9

معادله پارامتري دایره :

, O(αاگر β) مرکز دایره اي به شعاعR 0باشد و ≤ θ ≤ 2π : آنگاه معادالت پارامتري دایره به صورت زیر است ،

�x = α + R cos θ

y = β + R cos θ

M(xمکان هندسی نقطه تست. = 1 + sin t , y = 2 + cos t) کدام است؟

) هذلولی4 ) سهمی3 ) دایره2 بیضی )1

حل:

[ اصل عباسی رضا: گردآوريتألیف و [ ، دایره مقاطع مخروطی، هندسه تحلیلی

10

وضع نسبی یک نقطه و یک دایره :

, C(Oدایره R) ونقطهA در صفحه این دایره را در نظر می گیریم ، فاصله نقطهO تاA را باd : نمایش می دهیم

نقطهA بیرون دایرهC اگر و تنها اگر قرار داردd > R 1، (شکل(

نقطهA روي دایرهC اگر و تنها اگـر قرار دارد d = R 2، (شکل(

نقطهA درون دایرهC اگر و تنها اگر قرار داردd < R 3. (شکل(

) می دانیم هر خم ساده بسته صفحه را به سه 1دایره یک خم ساده بسته است و بنا به قضیه خم جردن از هندسه ( تذکر :

قسمت درون ، برون و روي خم تقسیم می کند .

ضمنی دایره :تعیین وضع نسبی نقطه و دایره با استفاده از معادله

,�A(xمختصات نقطه مفروض y�) را در معادله ضمنی دایرهf(x, y) = نسبت Aقرار می دهیم (عدد بدست آمده را قوت نقطه 0

�ρنامیده و با Cبه دایره نمایش می دهند.) ، �

f �x� و y�� > 0 نقطه A ، بیرون دایره C دارد. ⇔

f �x� و y�� = 0 نقطه A ، روي دایره C دارد. ⇔

f �x� و y�� > 0 نقطه A ، درون دایره C دارد. ⇔

, A(mبراي اینکه نقطه mحدود تست . m − �xخارج دایره (1 + y� = )78باشد : (آزاد 5

1 (−1 < m < 2 2(−1 < m 3(m < 2 4( m > m یا 2 < −1

حل:

R d

A

O

R

d

A

O

R

d

A

O 3شکل 2شکل 1شکل

[ اصل عباسی رضا: گردآوريتألیف و [ ، دایره مقاطع مخروطی، هندسه تحلیلی

11

وضع نسبی خط و دایره :

, C(Oو دایره Lخط R) را در نظر می گیریم ، اگر فاصله خطL تا مرکز دایره را باd : نشان دهیم ، داریم

d > R اگر و تنها اگر خطL و دایرهC 1( شکل نقطه مشترکی نداشته باشند (،

d = R 2(شکل اگر و تنها اگر خط بر دایره مماس است( ،

d < R 3(شکل اگر و تنها اگر خط و دایره متقاطع باشند ( .

تعیین وضع نسبی خط و دایره با استفاده از معادله ضمنی دایره :

را محاسبه می کنیم : ∆به دست آمده 2معادله خط را قرار می دهیم و براي معادله درجه yدر معادله ضمنی دایره به جاي

اگر∆> باشد ، خط و دایره متقاطع اند و ریشه هاي معادله طول هاي نقاط تالقی خط و دایره می باشند. 0

اگر∆= باشد ، خط بر دایره مماس است و ریشه مضاعف معادله ، طول نقطه تماس می باشد. 0

اگر∆< باشد ، خط و دایره نقطه مشترکی ندارند . 0

ayخط تست . + 3x − 7 = �xبر دایره 0 + y� + 2x − 3 = کدام است؟ aمماس است. بزرگترین مقدار 0

1 (4 2 (3 3 (2 4 (1

حل:

1شکل

R d

H

O 2شکل

R

d

H

O 3شکل

R

d

H

O

[ اصل عباسی رضا: گردآوريتألیف و [ ، دایره مقاطع مخروطی، هندسه تحلیلی

12

مماس و قائم بر دایره

بخش است: 3مبحث مماس بر دایره شامل

مماس ھایی کھ از یک نقطھ واقع بر دایره بر آن رسم می شوند. - 1

مماس ھایی کھ از یک نقطھ خارج دایره بر آن رسم می شوند. - 2

ھایی کھ بھ موازات خط مشخصی بر دایره رسم می شوند.مماس - 3

معادله مماسی که از یک نقطه واقع بر دایره بر آن رسم می شود: )1

�xعدد ثابت در معادله خط مماس بر دایره تست. + y� − 3x + 5y − 4 = و عرض منفی واقع بر -1در نقطه اي به طول 0

دایره کدام است؟

6 (4 5 (3 4 (2 3 (1

حل:

روش اول:

روش دوم:

روش سوم:

معادالت مماس هایی که از یک نقطه خارج دایره بر آن رسم می شوند: )2

[ اصل عباسی رضا: گردآوريتألیف و [ ، دایره مقاطع مخروطی، هندسه تحلیلی

13

�xبه معادله Cمماس هایی بر دایره (P(4,2از نقطه تست. + y� − 2x − 2y − 3 = رسم می کنیم . مجموع طولهاي نقاط 0

تماس کدام است؟

5 (4 4 (3 3 (2 2 (1

حل:

تست.

نکته :

�� = ��� = ���� .

�� است . ′���� و�����نیمساز

�� عمودمنصفTT’ .است

���. �� = 2�. �� .

��. �� = �� .

���� = 4��. �� .

sin�

�=

�

��

T

T’

M

O α H

[ اصل عباسی رضا: گردآوريتألیف و [ ، دایره مقاطع مخروطی، هندسه تحلیلی

14

�xدو مماس بر دایره (M(4,2از نقطه تست. + y� − 2x − 2y − 3 = رسم کرده ایم . طول پاره خطی که نقاط تماس را 0

بهم وصل می کند کدام است؟

2√3 (4 √10 (3 3 (2 2 (1

حل:

�xتست. مکان هندسی نقاطی که مماس هاي رسم شده از آن بر دایره + y� + 2x + 6y + 6 = می سازند ، °60باهم زاویه 0

دایره اي است به شعاع :

2√3 (4 4 (3 3 (2 2 (1

حل:

نکته :

,�)� مکان هندسی نقطه اي که مماس هاي رسم شده از آن بر دایره و Oبسازند ، دایره اي است به مرکز αباهم زاویه (�

شعاع �

�����

��

چنین دایره اي را است . 2√�در حالت خاص ، اگر مماس هاي رسم شده برهم عمود باشند شعاع دایره مذکور برابر

می گویند. (monge)دایره مونژ

[ اصل عباسی رضا: گردآوريتألیف و [ ، دایره مقاطع مخروطی، هندسه تحلیلی

15

در یک امتداد معین (شیب مشخص) مماس بر دایره رسم می شوند:مماس هایی که )3

�xمجموع عرض از مبدأ هاي خطوط مماس بر دایره تست. + y� + 2x + 2y − 3 = که به موازات خط 0

2y − x − 10 = رسم می شوند ، کدام است؟ 0

1) صفر 2) 1 3) 2 4) 3

حل:

نکته :

اگر خطی بر دایره مماس باشد، معادله حاصل از تقاطع آنها همواره داراي ریشه مضاعف است و بالعکس.

[ اصل عباسی رضا: گردآوريتألیف و [ ، دایره مقاطع مخروطی، هندسه تحلیلی

16

قائم بر دایره

شود.هر خطی که بر خط مماس بر منحنی در نقطه تماس عمود باشد، قائم بر منحنی نامیده می تعریف:

در دایره ، شعاع بر خط مماس در نقطه تماس عمود است. در نتیجه هر خطی که بر دایره عمود باشد از مرکز دایره یادآوري:

ی گذرد.م

�xخط قائم بر دایره تست. + y� + 2x + 6y + 6 = , A(−2که از نقطه 0 ها را در چه عرضی قطع yرسم می شود، محور (0

می کند؟

−6 (4 − 3 (3 6 (2 3 (1

حل:

, B(−2شعاع دایره اي که از نقاط تست. ,A(1 و (0 xگذشته و بر خط (2 + y = عمود باشد ، کدام است؟ 2

√61

2 (4

√122

2 (3

√55

2 (2

√110

2 (1

حل:

نکته :

براي تعیین معادله خط قائم بر دایره از یک نقطه دلخواه، کافی است معادله خطی را بنویسیم که آن نقطه را به مرکز دایره

وصل می کند.

[ اصل عباسی رضا: گردآوريتألیف و [ ، دایره مقاطع مخروطی، هندسه تحلیلی

17

4xمعادله دایره اي بر خط تست. + 3y + 2 = yمماس و مرکز آن روي خط 0 = 3x بوده و خطy = −3x + قطري از 6

دایره باشد، کدام است؟

(x − 1)� + (y + 4)� = 9 (2 (x − 1)� + (y − 4)� = 4 (1

(x − 1)� + (y + 3)� = 4 (4 (x − 1)� + (y − 3)� = 9 (3

حل:

�xمعادله قطري از دایره تست. + y� − 2x = yعمود بر خط 0 = x 76(سراسري کدام است؟(

y + x = 1 (4 2y + x = 1 (3 y = 2x − 2 (2 x + y = 2 (1

حل:

[ اصل عباسی رضا: گردآوريتألیف و [ ، دایره مقاطع مخروطی، هندسه تحلیلی

18

زاویه خط و دایره:

زاویه حاده بین یک خط قاطع و خط مماس بر دایره در نقطه تالقی خط و دایره را زاویه بین خط و دایره می نامند. تعریف:

3xبه معادله dزاویه اي که خط تست. − y − 1 = �xبا دایره 0 + y� − 4x − 1 = می سازد، کدام است؟ 0

30° (4 45° (3 60° (2 90° (1

حل:

نکته :

و دایره از دستور زیر محاسبه می شود: Lدر شکل مقابل، زاویه بین خط

cos � =�

�

در دو نقطه تقاطعش با دایره می سازد باهم برابرند. Lزاویه هایی که خط تذکر:

α

α

L

T

T’

d

[ اصل عباسی رضا: گردآوريتألیف و [ ، دایره مقاطع مخروطی، هندسه تحلیلی

19

وضع نسبی دو دایره:

رابطه ي خــط المرکزین

و شعاع هاي دو دایره

تعداد مماس هاي شترك وضع نسبی دو دایره

d > R + R′

دو دایره برون هم

(متخارج)

d = R + R′

دو دایره مماس برون

R − R� < d < R + R′

دو دایره متقاطع

d = R − R′

دو دایره مماس درون

d < R − R′

دو دایره متداخل

d = 0

دایره هاي هم مرکز

یادآوري:

�TTطول مماس مشترك داخلی: = �d� − (R + R′)�

�TTطول مماس مشترك خارجی: = �d� − (R − R′)�

[ اصل عباسی رضا: گردآوريتألیف و [ ، دایره مقاطع مخروطی، هندسه تحلیلی

20

�xدو دایره تست. + y� + 2y = 0 , (x − 1)� + (y + 2)� = )78نسبت به هم چگونه اند؟ (سراسري 5

) متقاطع4 ) متخارج3 ) مماس خارجی2 ) مماس داخلی1

حل:

�xدو دایره تست. + y� − 4x + 4y = �xو 1 + y� − 4x + 8y + 19 = نسبت به یکدیگر چه وضعی دارند؟ 0

)80(سراسري

) متقاطع4 ) متخارج3 ) مماس خارجی2 ) مماس داخلی1

حل:

�xطول مماس مشترك دو دایره تست. + y� − 4x + 3 = �xو 0 + y� − 10x + 21 = )76کدام است؟ (آزاد 0

2√2 (4 √10 (3 √5 (2 √2 (1

حل:

[ اصل عباسی رضا: گردآوريتألیف و [ ، دایره مقاطع مخروطی، هندسه تحلیلی

21

معادله و طول وتر مشترك دو دایره متقاطع

�xطول وتر مشترك دو دایره تست. + y� + 2x + 6y − 11 = �x و 0 + y� + 2x − 6y + 1 = کدام است؟ 0

4 (4 √3 (3 2 (2 √2 (1

نکته :

براي تعیین معادله وتر مشترك دو دایره متقاطع کافی است معادله دو دایره را مساوي هم قرار دهیم، در این صورت معادله

�� :��وتر مشترك دایره هاي متقاطع + �� + ��� + ��� + �� = �� :� و 0 + �� + �� + �� + � = به صورت 0

زیر خواهد بود:

∶ معادله وتر مشترك دو دایره (� − �′)� + (� − �′)� + (� − �′) = 0

براي طول وتر مشترك کافی است، فاصله مرکز یکی از دایره ها از وتر مشترك را محاسبه کنیم ، در این صورت تذکر:

��خواهیم داشت: = 2��

H O

A

B

O´

[ اصل عباسی رضا: گردآوريتألیف و [ ، دایره مقاطع مخروطی، هندسه تحلیلی

22

زاویه بین دو دایره

�xدایره هاي تست. + y� + ax − 2 = �xو 0 + y� − 2x + y + 1 = کدام است؟ aبرهم عمودند، 0

−2 (4 − 1(3 2 (2 1 (1

حل:

: تعریف

متقاطع در نقطه تقاطع را زاویه بین دو دایره می نامیم. دو دایرهزاویه حاده بین دو مماس مرسوم بر

نکته:

زاویه بین دو دایره از رابطه زیر به دست می آید:

cos � = ��� − (�� + �′�)

2��′�

تذکر:

اگر دو دایره مماس داخل یا مماس خارج باشند، زاویه بین آنها صفر است.

شرط عمود بودن دو دایره:

�� :��دو دایره + �� + ��� + ��� + �� = �� :� و 0 + �� + �� + �� + � = برهم عمودند اگر و تنها اگر 0

��� + ��� = 2(� + �′)

O O´

α

α