Upload
others
View
6
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
III. Kontaktusok tulajdonságai és számítógépes modellezés
4. el4. előőadadáás:s:HertzHertz--kontaktus; kontaktus; üütktköözzééss
Budapest, 2006. szeptember 28.
Rugalmasságtan emlékeztető
n Deformációs energia, energiasűrűség:
n Feszültségtenzor, deformációtenzor:
n Hooke-törvény:
n Köbös szimmetriájú anyagban:
n Amorf anyagban(folytonos forgásszimmetria):
ijiju
ϕσ
∂=
∂
dVϕΦ = ∫
ij ijkl klC uσ =
1122 1212 1111C C C
1122 1212 1111 2C C Cλ µ λ µ= = = +
( ) ( )1 2 1Eσ
λσ σ
=− +
( )2 1E
µσ
=+
Lamé-féleállandók
Young-modulus
Poisson-szám
Hertz-kontaktus
ξ
1 1
2 2
z x xz x x
αβ α β
αβ α β
χχ
= =
koordinátaválasztás
kényszerfeltétel:
( ) ( )1 1 2 2z zz u z u ξ+ + + =
2 21 2z zAx By u u ξ+ + + =
( )2 22 21 2
1 2
', '1 11 ' 'zP x ydx dy Ax By
E E rσ σ
ξπ
− −+ = − −
∫∫
( ) ( ) ( )1 1 12 1 1 22z z x yu F xF yF
E r rσ
σ σπ+ = ⋅ ⋅ − + − +
( )21
11
', '1 ' 'zz
P x yu dx dy
E rσ
π−
= ∫∫( )2
22
2
', '1 ' 'zz
P x yu dx dy
E rσ
π−
= ∫∫
( )( )2 2 2 2
2 2 2 2 2 20
1 ' '1 ' ' 12
x y ab x y dsdx dyr a b a s b s a s b s
π ∞ − − = − + + + + +
∫∫ ∫
( )2 22 21 2
1 2
', '1 11 ' 'zP x ydx dy Ax By
E E rσ σ
ξπ
− −+ = − −
∫∫
( ) ( ) ( )1 1 12 1 1 22z z x yu F xF yF
E r rσ
σ σπ+ = ⋅ ⋅ − + − +
( )21
11
', '1 ' 'zz
P x yu dx dy
E rσ
π−
= ∫∫( )2
22
2
', '1 ' 'zz
P x yu dx dy
E rσ
π−
= ∫∫
( )( )2 2 2 2
2 2 2 2 2 20
1 ' '1 ' ' 12
x y ab x y dsdx dyr a b a s b s a s b s
π ∞ − − = − + + + + +
∫∫ ∫
Következtetés: az érintkezési felület ellipszis:2 2
2 2 1x ya b
+ =
( )2 2
2 2, konstans 1zx yP x ya b
= ⋅ − −
1 2
1 2
1 134
DE Eσ σ − −
= +
( )( )2 20
FD ds
a s b s sξ
π
∞
=+ +
∫
( ) ( )( )2 2 20
FD dsAa s a s b s sπ
∞
=+ + +
∫
( ) ( )( )2 2 20
FD dsBb s a s b s sπ
∞
=+ + +
∫
( )2 2
2 2
3, 12z
F x yP x yab a bπ
= ⋅ − −
Következtetés: az érintkezési felület ellipszis:2 2
2 2 1x ya b
+ =
1 2
1 2
1 134
DE Eσ σ − −
= +
( )( )2 20
FD ds
a s b s sξ
π
∞
=+ +
∫
( ) ( )( )2 2 20
FD dsAa s a s b s sπ
∞
=+ + +
∫
( ) ( )( )2 2 20
FD dsBb s a s b s sπ
∞
=+ + +
∫
Eredmények alkalmazása két gömbre
1 2
1 1 12
A BR R
= = +
( )1/31/3a b F Dρ= =
1/322/3 DFξ
ρ
=
1/ 23/ 2
2FDρ
ξ =
1/ 25/ 2
2
25
UDρ
ξ =
1 2
1 1 1R Rρ
= +1 2
1 1 1m mµ
= +
Dinamika: centrális ütközés(rugalmas eset)
n Ütközési paraméter:n Erőtörvény → mozgásegyenlet:
( )N N Ne′ = −g g
23/ 2
2
5 04
d kdt
ξµ ξ+ =
1/ 2
2
45
kDρ =
Kiterjesztés disszipatív ütközésre
( ) ( )el disP P P= +
( ) ( )', '' ' 'disP x yD dx dyr
ξπ
= ∫∫&
( ) ( )2 2
2, 1disx yP x y
aα
+= −
( ) ( ) ( ) ( )2', ' ' ' =
2dis
dis dis
FF P x y dx dy
aα
π= ⇒∫∫
„Disszipatív Hooke-törvény”:( ) ( )dis disij ijkl klC uσ = &
( ) ( )2 2 2 2
2
' '1 ' ' ...2 2' '1
dis disF D F Ddx dy
a ax yra
ξπ
= = =+−
∫∫&
( )1/ 25 '
2disF k ξ ξ= &
n A mozgásegyenlet:
1/ 2 3/ 25 5' 02 4
k kµξ ξ ξ ξ+ + =&& &
Dimenziótlanítás
n Új, dimenziótlan paraméterek:
n Ezekkel a mozgásegyenlet:
ahol γ anyagi állandó:
és x τ
max xξ ξ= max
0
tv
ξτ=
1/ 2 3/ 25 04
x x x xγ+ + =&& &
1/53/ 5 3/5
2
524 '
D vD
γ ρµ
=
Ütközési paraméter a modell alapján
Közelítés e ≈ 1-rePerturbációszámítás: a mozgás súrlódással ≈ rugalmas ütközés
( ) ( )( )1 1/ 22 5/ 2
0
1 1 2 12
u x x dxγ− = − −∫
1 1.009e u γ= ≈ −
( )
( ) ( )
( ) ( )
21/ 2 3/ 2
2 25/ 2 1/ 2
1/ 22 5/ 2 5/ 2
0 0
5 04
1 12 2
1 1 12 2
c c
xx x x x x
d x x x xd
d x x d x x dd
τ τ
γ
γτ
τ γ ττ
+ + =
+ = −
+ = − − ∫ ∫
&&& & &
& &
&
határozott integrál kiszámítása közelítés + változócsere
Beta-függvény → 0.5045
( ) 1/51 e v− :
Eredmények kísérleti ellenőrzése
Nemcentrális ütközés
n Ütközési számok
n Relatív sebesség:
n Mozgásegyenlet:
( )( )
0 1
1 1
N N N N
T T T T
e e
e e
′ = − ≤ ≤
′ = − ≤ ≤
g g
g g
( ) ( )12 1 1 1 2 2 2R R= − × − − ×g r ω n r ω n& &
2ˆ
mRΘ
Θ =( )1212 12
1 1 2 2
1 1ˆ ˆm mµ
= + + × ×
Θ Θ
Fg n F n&
ahol:
n Komponensenként:
n Energiaveszteség:
NN
µ=
Fg&
1T T
µκ=g F&
( )1 1 2 2
1 2 1 2
ˆ ˆ1 1 ˆ ˆm m
m mκΘ + Θ
= +Θ Θ +
ahol
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1
2 20 1 és 1
N N T T
N T
Q e e
Q e e
µ µκ ∆ = − + −
∆ = ⇔ = = ±
g g
Normál irányú mozgás
n Mozgásegyenlet:
n Hertz-elmélet → erőtörvény:
( ) ( ) ( )1 2 1 2t R R t tξ = + − −r r
( ) ( )( )1 Nt tξ ξµ
= F&&
( )
( )
1/ 23/ 2
2
1/ 25 '2
Nel
Ndis
FD
F k
ρξ
ξ ξ
=
= &→ megoldás →
( )( )0
cN te
ξξ
=&&
Eredmény kísérleti ellenőrzése
Tangenciális irány
n Modell:H. Czichos, Tribology, Elsevier, (Amsterdam, 1978.)szerint
n Megoldandó, dimenziótlanított egyenlet:
n Megoldás után:
( )*
0 0
0T T
tφ σ ζ ζζ ξ
κ ζ ζ
− − =
&& &&
( )( )0
cT te
ζζ
=&&
Szimulációs eredmények (a)
Szimulációs eredmények (b)
Szimulációs eredmények (c)
Összefoglalás• Lineáris anyag + geometria =
= erőtörvény
• Disszipáció bevezetése
• Centrális ütközés:
mérhető paraméterek számolása
• Nemcentrális ütközés:
szimuláció
Köszönöm a figyelmet!
Irodalom (a szemináriumi irodalomjegyzéken kívül):
• Keszthelyi Tamás: Jegyzet a mechanika tantárgyhoz
• Wikipediahttp://en.wikipedia.org/wiki/Hertz_contact_stress