FederationAstronomie-Astrophysiqued’Ile deFrance2004-2005

STRUCTURE INTERNE & SISMOLOGIE

Benoıt MosserObservatoiredeParis

III./ SISMOLOGIE

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sismologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Tabledesmatieres

1 Intr oduction 851.1 “Dis-moi commenttu oscilles,je tedirai qui tu es” . . . . . . . . . . . 851.2 Vocabulaire,definition, rappels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2 Ondeset propagation 892.1 Le formalisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892.2 Linearisationdesequationsdel’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922.3 Ondessonores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952.4 Ondesdegravite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.5 Ondesdegravite a unesurfacelibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982.6 Distinctionentreondesdepressionetondesdegravite . . . . . . . . . 100

3 Oscillationsglobales 1023.1 Uneetudesimplifieedesoscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.2 Lesharmoniquesspheriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.3 Lesequationsdebase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093.4 Diagrammedepropagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.5 Excitationdesmodesetamortissement. . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4 Developpementsasymptotiques 1174.1 Modesdepressiondebasdegre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.2 Modesdedegresintermediaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.3 Modesdegravite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5 Rotation 1235.1 Le Soleil, rotateurlent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.2 Rotateurrapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

6 Techniquesnumeriques 1266.1 Codesnumeriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.2 Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Liste destableaux

1 Echellesdetemps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922 Pointstournants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063 Amplitudesdesoscillationsdetypesolaire. . . . . . . . . . . . . . . . 1154 Perturbationsduesa la rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Liste desfigures

1 Modesouondes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852 Sismologie/Variabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863 Pulsationsstellaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864 Profil demasseet champgravitationnelduSoleil . . . . . . . . . . . . 885 Profil demasseet champgravitationnel(Jupiter). . . . . . . . . . . . . 886 Profil depressionetmassevolumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887 Profil d’echellesdehauteur(Jupiter) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888 Profil devitesseduson(Soleil) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 949 Profil devitesseduson(Jupiter) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9410 Profil devitesseduson(Terre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9411 Profil depulsationdeBrunt-Vaisala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9912 Profil desfrequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10413 Propagationetpointstournants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

84 . . . . . . . . . . . . . . STRUCTURE INTERNE & SISMOLOGIE . . . . . . . . . . . . . . 2004-2005

14 Refractionauseindel’objet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10515 Reflexion a la surfacedel’objet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10616 Modesd’oscillationdusoleil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10717 Harmoniquesspheriques(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10818 Harmoniquesspheriques(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10919 Diagrammedepropagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11220 Amplitudesdesmodesdepression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11221 Amplitudesdesmodesdegravite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11322 Amplitudespreditesd’oscillationsstellaires . . . . . . . . . . . . . . . 11423 Amplitudesobserveesd’oscillationsstellaires . . . . . . . . . . . . . . 11424 Spectredesmodesdebasdegres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11725 Theorieasymptotique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11826 Spectre� -Cen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11827 Diagrammeechelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11928 DiagrammeHR asterosismique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11929 Spectredesmodessolairesdedegre

�moyena eleve . . . . . . . . . . 120

30 DiagrammedeDuvall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12031 Leveededegenerescencerotationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12332 La rotationdifferentielledusoleil,2-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12433 La rotationdifferentielledusoleil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12534 Convergenced’un coded’oscillation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12635 Noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12836 Inversiondela vitesseduson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Resumedecechapitre� Introduirele plusadiabatiquementpossiblediversesnotions,qui permettentdecernerl’h elio- et l’asterosismologie.� Definir ondessonoresetdegravite� Expliciter lesspecificitesdesmodespropres� Aborderl’ etudesismiqueparlesrelationsditesasymptotiques� Regarder, maisdeloin, lesapprochesnumeriques

Referencesdecechapitre

Ouvragesgeneraux���– Voir les articlesdu livre Solarinterior andatmosphere, edite par Cox, Livingston&Matthews,TheUniversityof ArizonaPress,Tucson,1991– Abramowitz& Stegun.Handbookof MathematicalFunctions– Christensen-Dalsgaard1984.Oscillationsasa diagnosticof the solar interior. Ann.Rev. Astron.Astrophys.22,563-619– Christensen-Dalsgaard1998.Lecturenotesonstellaroscillations.http://bigcat.ifa.au.dk/ jcd/oscilnotes/– GoughD.O. 1986.EBK quantizationof stellarwaves.In HydrodynamicsandMHDProblemsin theSunandStars(Y.Osaki,Ed.),117-143.Universityof Tokyo Press.– ProvostJ.& BerthomieuG. 1990.Sismologiestellaire: objectifset resultats.In CoursdeStructureInterne,AM HubertetE. SchatzmanEds.– UnnoW., Y. Osaki,H. Ando andH. Shibashi1979.Nonradialoscillationof stars, W.Unnoed.,149-159.Universityof Tokyo press.

. . . . INTRODUCTION – “ DIS-MOI COMMENT TU OSCILLES, JE TE DIRAI QUI TU ES” . . . . 85

FIG. 1 – Modesresonnants,et donc presentantune grandeamplitude,etondesa hautefrequence,non piegeesdoncnon resonnantes,vusparle detecteurGolf a borddeSoho.

Articles���

– Bouchy, F., F. Carrier2001.P-modeobservationon -CenA A&A 374, 733– Duvall T.L. Jr. 1982.Nature300, 242-243– HoudekG., N.J.Balmforth,J. Christensen-Dalsgaard,D.O. Gough1999.A&A 351,582-596– LognonnePh.,B. Mosser1993.Planetaryseismology. Survey in Geophysics14, 239-302– TassoulM. 1980.Asymptotic approximationsfor stellar nonradialpulsations.ApJSuppl43, 469-490.– Toutain& Frohlich 1992.Characteristicsof solarp-modes: resultsfrom the IPHIRexperimentA&A 257, 287-297– Turck-ChiezeS. et al. 2001Solarneutrinoemissiondeducedfroma seismicmodel.ApJ555, L69-L73

1. Intr oduction

1.1. “Dis-moi comment tu oscilles, je te dirai qui tu es” Le cheminotqui ecoute(ecoutait!) le sonemisparl’essieud’un wagonqu’il a excited’un coupde maillet est renseigne sur l’ etatdudit essieu: le moindredesequilibre,lamoindrefissureaurontleur signaturesonore. Une chiquenaudecontreun mur permetd’intuiter la consistancede celui-ci: un sonmat et faible indique un mur rigide et massif,alors qu’un son clair et sonorelaissepresagerunecloisonplussouple. Une chiquenaudecontrela tempede votre enseignantpermetegalementd’estimerla consistancede sa matiere grise: un son vide et amplelaissedeviner l’ampleur dudesastre. La musique1 desastrescaracteriseleursinterieursdefacon univoque,a encroire lesexemplesgeo-etheliosismiques...quel’on va etudier.

1.2. Vocabulaire, definition, rappels Seisme,dugrec“seismos”,verbe“seiein” = secouer Sismologie: etudedesseismes Heliosismologie: s’il n’y a guerede tremblementsdesoleil sur le soleil, le soleil estuneetoilevariable,dontlesvariationsperiodiquesdelumiere,etsurtoutle champvitesseassocie, sontinterpreteescommela signaturede mouvementsglobaux,ou oscillationsglobales. Sismologie/Variabilite (Fig. 2)

1. Par la suiteondiraplutot oscillationsglobales...

86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SISMOLOGIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2004-2005

FIG. 2 – Distinction entreles oscillationsde type solaire– le domainedel’asterosismologie– et lesnombreuxcasd’etoilesvariables

FIG. 3 – Lesdifferentstripletsdecetteetoilepulsanteontpuetreidentifies,malgre l’extreme irregularite du spectre.Ce n’est pas toujourspossible,enl’absenced’unerepartitionsimpledesfrequences

– On restreindra la notion de sismologie aux objets intrinsequementstables,presentantcommele soleil desoscillationsnonauto-excitees2

– On distinguerapar la suite les phenomenesvariablesdesphenomenessismiques,les premiersconcernantdesobjets intrinsequementinstables,alors que l’activite des

2. Cettedefinitionestmalheureusementfragile,carnongenerale

. . . . . . . . . . . . . INTRODUCTION – VOCABULAIRE, DEFINITION, RAPPELS . . . . . . . . . . . . . . 87

secondsestexciteeparunesourced’energieexterneauxpulsations– Pour fixer un ordre de grandeur: la variabilite d’une sourcestellairese mesure

typiquement en millimagnitude, alors que les mesuressismiquesrequierent unesensibilitedel’ordre dela micromagnitude.� Une autredistinctionpossiblepour definir l’asterosismologiereposesur la capacitea realiserle problemeinverse, cad a remonteraux proprietes de structureinterne apartir d’un spectresismique.Cette etapesupposede pouvoir identifier des modesd’oscillations3, cequi n’estpasnecessairementaise dansle casdecertainescategoriesd’etoilespulsantes(Fig. 3). Nombreuxsont les modesd’oscillation enregistres pourdesnainesblanches,parexemple,qui resistentencorea toutetentative d’identificationnon controversee.On noteraau passagele paradoxe: les modessolaires,d’amplitudecentimetrique,sontparfaitementidentifies,alorsquedesmodesd’etoilespulsantesdeplusieurscentainesdem.s�� nele sontpas!� Ondesonore/ondedegravite:

– Uneondesonoredansun milieu materiel estperturbationlongitudinale( �� ondedecisaillement),adiabatique(sansperted’energie), qui sepropageavec la (sur)pressioncommeforcederappel

– Uneondedegravite4 apourtermederappelpreponderantla forced’Archimede� Modepropre/onde5 :– Uneondesepropage(phasedu type ��������� � )– Un modepropreestuneondestationnaireresonante(Fig. 1)... qui nesepropagepas

vu qu’ellestationne! (variablestemporelleet spatialedecouplees)– Ondeencos������� �"!$#�% modepropreencos��� .cos�"!� Propagation/evanescence:– Selonquele vecteurd’ondeestreelou imaginaire� Frequence& /pulsation� :– & � �('*),+ ! Mais,enanglais,frequency peutsignifierles2 termes,et le termecyclic

frequency pourtraduirela frequence& estrarementemploye!� Au seind’un astre:– Masseet champgravitationnelsontnuls au centrede la planete, -.��/0# monotone,

croissanteet continue(Fig. 4, 5) ; 1 estnul aucentre,sinontresvariable– 23�4/5# estunefonctionmonotone,decroissanteet continue(Fig. 6).– 67�4/5# , monotonedecroissanteparmorceaux,peutetrediscontinue(Fig. 6).� Echelle de hauteurde la variable 89��/0# (Fig. 7), indispensablepour mesurerles

variationsrelativesdecettevariable::<;>=@?ACB�ED �GF8IH 8H /KJ �� ?! On remarquesurla Fig. 7 qu’approximativement

:MLONQP$R � P ��SG�T/5# (R

notelavariabledeprofondeur); endeduirele profil depressionUV� R # .6

3. Par la donneedesnombresquantiquescaracteristiques,cf la suitedecechapitre.4. A nepasconfondreavecuneondegravitationnelle5. Rappel: onpassedesondesauxmodesparsimplecombinaisonlineaire.L’ equation:WYX[Z,\ ]@^7_a`*b*c�deWYX[Z,\ ]@^�d3`*b*c@f<g@WhX,Z�]@^,WhX[Zi`*b

montrebienqu’unmodeestla superpositionde2 ondespropagatives,et l’inverseestbien-sur egalementvrai6. j�k<lnm

88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SISMOLOGIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2004-2005

FIG. 4 – Profil de masse(trait plein monotonementcroissant)et champgravitationnel(trait mixte)duSoleil

FIG. 5 – Profil demasseetchampgravitationnel(Jupiter).La discontinuitede massevolumique a la frontiere du noyau se traduit par unextremumduchamp.

FIG. 6 – Profil depressionetmassevolumique(Jupiter)

FIG. 7 – Profil d’echellesde hauteurde pressionet de massevolumique(Jupiter)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . ONDES ET PROPAGATION – LE FORMALISME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

2. Ondeset propagation

2.1. Le formalisme

EulerversusLagrangeo�p�qRappel– La descriptionlagrangienneesttypiquementutiliseedansle cadredela mecanique

dupointmateriel, lorsquel’on suit le systemeetudiepasapas– La descriptioneuleriennedecrit un fluide via destermesdechamps,explicitant ce

qui sepasseenunpointet a unedatedonnesqLa differenceentreles2 pointsdevues’exprimeoperationnellementpar:rr�sGtvuu sxw rnyr�s{z |}tvuu sxw.~�z |

ouencore,ennotantainsilesvariables:��� �� a l’ equilibre: �$�perturbationeulerienne: �

perturbationlagrangienne: ������ t � w � y z | � �� La descriptionusuelledu fluide esteulerienne,maison nepeutpasfaire l’ economiede la descriptionlagrangiennelorsquel’on s’interessea dessituationsbien concretes,du type:

– Ou estl’ energiedusysteme?– Commentevolueunebulle defluidedonnee?– Quesepasse-t-ilenunendroitdonne7, unefrontiereparexemple?

L’ equationdecontinuite� p�q

La conservationdela massed’unebulle defluide dansun volume � delimite parunesurface� s’exprimeenfonctiondela massetransportee:rr�s��n�i�{��� r � t��3�i�$����~�z � r �Le signenegatif provientdel’orientationdela normale� , versl’exterieur, enoppositionavec la conventionusuelledesigne: estcompte positivementcequi rentre.D’apreslarelationd’Ostrogradski8, on reexprimelocalementla conservationdela masse:r �r�s3w�� r0� � ~�t��cad,enformalismeeulerien: u �u sew r@� ��� �5~��Tt��oubienencore: r�� � �ris t r0� � ~Cettederniere equationpermetde serepresenterle resultatde l’operateurdivergenceapplique auchampdevitesse~ : il s’agit du tauxd’accroissementrelatif duvolume.

7. Donne,caddefini parquelqueproprietecaracteristique,etnonobligatoirementfixe8. �h�Y�5� div  .¡�¢¤£¤�Y�0¥V 3¦ §�¡i¨

90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SISMOLOGIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2004-2005

L’ equationdumouvement©«ªOn distingue¬ dansl’ equationdu mouvement2 typesde force, celless’appliquantsurun volume – typiquementle poids – ou sur une surface– typiquementla pression.On neglige des a presenttout termede viscosite ou magnetique.Et donc l’ equationdumouvement(l’ equationd’Euler) s’ecrit simplement:­¯®­7°M±³² ®�´ µe¶[®¸·º¹ µK»¼ ±.½avec ½ le champgravitationnel.

L’ equationdePoisson¾ ª

Le champ½ derive dupotentielgravitationnel¿ , lui-memerelie autermedesource¼ :½ ·º¹ ½VÀ*Á0 ¿ etµTà ¿ ·IÄ�ÅÇÆ ¼

L’ equationenergetiqueÈ«ª{ÉCe paragrapheainsi quele suivant sontasseztechniques,et peuvent etreomis dans

unepremierelecture.Le resultatimportantestresumeparl’ equation(3).Ê Une bulle de fluide subit une transformationelementaire: commentexprimer lachaleurelementaireassocieea la transformation?

– En travaillant avec les variables temperature et volume (ou plutot la massevolumique¼ , avec Ë ·ÍÌÍÎ ¼ et

Ìrepresentantici la massemolaire),on ecrit:Ï�ÐÑ·ÓÒiÔ�Õ�Ö ±�× Õ Ë ·ØÒiÔ�Õ�ÖÙ¹ Ì ×¼ Ã Õ ¼

L’expressiondu coefficient × ne dependevidemmentpasde la transformation,et doncdansle casadiabatique,

Ï�Ð= 0, ondoit avoir :

×ÛÚYÜ«Ý ÚßÞ«ÚhàáÝ â,ã[ä· Ò ÔÌ ¼ à Õ�ÖÕ ¼ · Ò ÔÌ Ö ¼ Õ�å æ�ÖÕ�å æ ¼ · Ò ÔÌ Ö ¼ ­çå æ�Ö­Kå æ ¼eèèèè ÚYÜOn introduit le coefficient adiabatique9 é{ê , et il en decoule,vu les conditionsdanslesquellesona ecrit l’ equationprecedente:Ì ×¼ à ·ØÒiÔ Ö ¼Oë é{ê ¹ÍìníTout cejeud’ecritureconduita:Ï�ÐÕ�° ·îÒiÔQï Õ�ÖÕ�° ¹ ë é{ê ¹Íìií Ö ¼ Õ ¼Õ�°@ð·îÒnñ<ï Õ�ÖÕ�° ¹ é à ¹Íìé Ã Ö » Õi»Õ�°@ð· ì¼ ë é{ê ¹Íìní ï Õ�»Õ�° ¹ é�ò »¼ Õ ¼Õ�°Vð (1)

... ou l’on voit cequi apumotiver l’introductiondescoefficients é¯ó .9. Poureviterdecompulserle poly : ôÇõ�öK÷@ø¤ù�ú{û ü{ýú{û ü{þ$ÿ�� �

. . . . . . . . . . . . . . . . . . ONDES ET PROPAGATION – LE FORMALISME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

?! Retrouv� er les2 dernieresegalitesdesequations1

� Par ailleurs,les termesde chauffagesontrelies a la productiond’enthalpie� et auxpertesparflux radiatif

�: � ��� � � ������ � ��� ��� � �� Pour etre tout a fait correct,il faudraitn’inclure dansle flux

�quele flux radiatif,

et pasle flux convectif ... maiscelaon ne sait pasbien le faire: on ne sait pasdecrireproprementla convection,cadla repartitiondel’ energievia desmouvementmecaniquesa grandeechelle.La modelisationactuellementutiliseeestla theoriede la longueurdemelange.

Justificationdel’adiabaticitedela propagation��� � La comparaisonde constantesde tempscaracteristiquesva permettrede mettreen

evidencel’adiabaticitedela perturbation,cadle fait quel’onden’echangepasd’energieavecle milieu.La chaleurelementaire

��s’ecrit pouruneetapeelementaireenfonctiondestermesde

sources: �� � � ��� �� ��� � ��� ���avecle flux

�relie augradientthermiquepar:� � � �"!"#%$'&(*) �,+.-0/�1 $

Et donc: �� � � �324�� ��� � �*!"#%$ &(") �5+6-/�1 $ � ��Cecipermetd’ecrireconceptuellementla chaleur

�pouruneetapededuree 7 � :�98 #�:*$ 7 � � ��<; 2=��%>@? � (2)

ou les3 grandeurstemporellesintroduitesontpoursignification:– 7 � estla dureecaracteristiquede la perturbationa laquelleon s’interesse.Dansle

casqui nousconcerne,7 � estdel’ordre degrandeurdel’ echelledetempsdynamique.– La constante

� >@?, deKelvin-Helmholtzestcaracteristiquedu transportradiatif.

– La constante� ;

estcaracteristiquedutauxdeproductiond’energie.Elle estdumemeordredegrandeurque

� >A?aucentredel’ etoile,etinfinie danslescouchesperipheriques.

92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SISMOLOGIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2004-2005

?! ExpliquerB pourquoi10

– D’apres l’ equationenergetique(Eqt. 2), l’ echellede temps C%D@E a pour ordre degrandeur: C%D@EGF,H*IJAKML�N*OPKQ*R L%S'Tou O , provenant des termes de derivation spatiale, est une echelle de hauteurcaracteristique.On rappelleque

Rvaut U"VXW*Y Z\[<]�^`_ enunite SI ; L\N estla chaleurmassique,del’ordre de

acbed.f Y Z�[�g JK]3^ kg]3^ (compter5/2 hji N parmole).Au centredu soleil, l’ echelledehauteurestdumemeordredegrandeurquele rayon.11k On remarque(Table 1) que partout, sauf a la surface, le rapport CXlXm<n*opC%D@E estnegligeable,et doncque l’onde peutetre considereecommeadiabatique: elle necedeni nerecoit d’energie dumilieu, saufa la “surface”.k On deduit de l’ equation(1) que les variationsde pressionet massevolumiqueaupassagedel’ondesontrelieespar: q�r sutq�r s J Fwv ^ (3)

2.2. Linearisation des equations de l’onde

NotationsxyOn marqueles grandeursde structureinterne,statiques,par un indice 0, alors quelesperturbationseulerienness’expriment,sansaucuneambiguite possible,a l’aide dessymboles de variablestraiteesjusqu’a present.Ceci donne,pour les pression,massevolumique,champdevitesseet champgravitationnel(oupotentielgravitationnel):z

equilibre:

t.{ V J { V}|~V������ ou � {<�perturbationseuleriennes:

t V J V���V�� � ou � �k Traiterparla suitelesperturbationscommedes...perturbations,et lineariserlescalculsau1erordredecespetitstermesestamplementjustifie,maisvaempecherdetraitertoutephysiquenon lineaire,tels les couplagesenergetiques,ou la limitation en amplituded’uneondepardissipationd’energie selondestermesquadratiques.Enpratique,le developpementdu formalismelineairepermetalorsle calculdesvaleurs

10.Transportradiatif aucentre; pasd’energieproduiteenperipherie11.pourl’AN : �`�6�����"� �"� ���"�������\���'���% c¡

C lXm<n I J O S C DAEh kg]�^ mK kg m] T m K

cœur 10]�^ 10T 10¢ 10£ 10¤ ansSoleil 2 h enveloppe 10 10] K 10£ 10g 10K ans

surface 10 10] T 10¤ 6.10T 2 h

enveloppe 1 10T 10£ 10g 10p^ ansJupiter 2 h enveloppe 10] K 10]�^ 10_ 10T 10K ans

surface 10] T 10] K 10g 10K 2 h

TAB. 1 – Diversesechellesdetempscaracteristiques

. . . . . . ONDES ET PROPAGATION – L INEARISATION DES EQUATIONS DE L’ ONDE . . . . . . . 93

propresdu probleme,mais les fontionspropresrestentindetermineesa un coefficientnumerique¥ pres(typiquement: l’amplitudedesoscillations).

– Pourtoutegrandeurdestructureinterne¦u§ , l’hypothesehydrostatiqueimplique:¨ ¦ §¨.©«ª­¬– Onremarquequ’a l’ equilibrestatique,le champdevitesseestnul.

Equationdumouvement®*¯

Le termed’advection °3± ²³° estdu secondordre,doncd’embleeneglige; l’ equationdumouvementsedeveloppeen:´¶µ §c· µ.¸ ¨ °¨.©¹ª»º ² ´¶¼ §c· ¼.¸ º ´�µ §�· µ½¸ ² ´¶¾ §c· ¾¿¸Bien-sur, lestermesd’ordre0exprimentl’ equilibrehydrostatiqueetdoncsecompensent:² ¼ § ª µ § ² ¾ §Il resteau1erordredesperturbations:¨ °¨½©¹ª»º Àµ § ² ¼ · ² ¼ §µ §ÂÁ µ º ² ¾ou l’on reconnaıt les3 termesderappel,respectivementdusauxforcesdepression,a laforced’Archimedeet a la perturbationdupotentielgravitationnel.

Continuiteà ¯L’ equationdecontinuite devient immediatement,au1erordre:¨ µ¨½© ·ÅÄ�Æ Ç ´¶µ § ° ¸ ªw¬EquationdePoisson

È*¯Commecetteequationestlineaire,ellesereecrit a vue:² Á ¾ ªÊÉ"ËAÌ µAdiabaticite dela propagationÍ ¯L’ equation(3), transcrivantl’adiabaticitepar Ä�Î Ï ¼AÐ Ä�Î Ï µ ªÒÑ�Ó , peutsereecrire:Ä ¼Ä ©ÔªwÑ�Ó ¼ §µ § Ä µÄ © (4)

Ceciestuneecriturelagrangienne,qui devientenvariableseuleriennes:¨ ¼¨.© ·Õ°�± Ö.×0Ø6Ù ¼ § ª­Ñ�Ó ¼ §µ §ÛÚ ¨ µ¨½© ·Õ°3± Ö6×Ø�Ù µ §ÝÜEn combinantaveclesequationsdecontinuite et du mouvement,on arrive sanstrop deproblemes,lorsquela perturbationdepotentielestnegligee,a:¨ ¼¨½©Ôª»º¿Ñ Ó ¼ § ²Þ± ° º µ § Ö�ß*± ° (5)

94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SISMOLOGIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2004-2005

FIG. 8 – Profil ducarredela vitessedusondansl’int erieursolaire

FIG. 9 – Profil de vitessedu son au sein de Jupiter, avec de brusquesdiscontinuitesaunoyauet a la PPT.

FIG. 10– Profil devitessedu sonauseinde la Terre.LesondesS sontdesondesdecisaillement,qui sepropagentdansunsolideuniquement

. . . . . . . . . . . . . . . . . . ONDES ET PROPAGATION – ONDES SONORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

?! Verifier l’ equation(5)

2.3. Ondes sonoresà Pardefinition,uneondesonorecorrespondauneperturbationdepression:– longitudinale,carlesondesdecisaillementnesepropagentpasdanslesfluides– adiabatique,caronsupposepouvoir negligerlespertesenergetiquesà Approchetres simplifiee, avec l’hypotheseque les gradientsde l’ etat d’equilibre

negligeables(cad áãâÕä,å )

Vitessedusonæç�èLa descriptionharmoniquepermetd’ecrire,a partir del’ equation4:é�ê�ëíì­î�ï ë.ðñ ð é�ê ñ

d’ou l’ egalite: ë ìwî ï ë ðñ ð ñ ì�ò\ð0ó ñresultantde l’adiabaticite de l’onde , et ou apparaıt la vitessedu son (Fig. 8, 9, 10),calculeed’apreslesprofilsdepressionetmassevolumique(Fig.6) definievia soncarre:ò ð ó5ô6õö`÷ìøî�ï ë ðñ ð (6)

Enremplacantle coefficientî ï

parsadefinition12, onreecrituneautredefinitiondeò ó

:ò*óÊô�õö`÷ì ùuú ëú ñuûýü (7)èCasparticuliers:– Si le milieu estlui memestratifie adiabatiquement:ò*ó¹þÝô<ÿ þ��ì � ë.ð� ñ ð– Si le milieu estisotherme,a la temperature� ð , et obeit a l’ equationd’etatduGP:ò*ó����ì î�ï�� � ð�

?! Justifiercesdeuxdernieresegalites13

12. �� ������������� ���� ��� ��! "$#13.Stratificationadiabatique% evolutionadiabatique; cf. �'&(!*)*+

96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SISMOLOGIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2004-2005

Equationdedispersion,.- / Le syst0 emegouvernantlesperturbationss’ecrit alors:12223 2224 576*8�987:<;>=@?BADCFEHG8 587:JI 5 6LKFM N 9 ;POGQ;SR 6UT 5

Onentire, eneliminantG puis 9 :8 T�587: T ;V= 576 KFM N 8�98W:X;YI KBM N ?WAZCBEHG[;Y\]GJ;^R 6 T \ 5En supposantque l’onde est plane, on trouve l’ equationde dispersion(qui n’estd’ailleursjustementpasdispersive,vuestoutesleshypothesessimplificatrices!) :_ T ;a` T R T (8)

?! Pourquoi,alorsquele profil de temperaturedu soleil estmonotonementcroissantversle centre,la vitesseduson(Fig. 8) nel’est-ellepas?14

?! Expliquerlesdifferencesqualitativesentrelesprofils devitessedesondessonoresdeJupiteretdusoleil (Fig. 8 et9) 15

?! Expliquerlesdifferencesqualitativesentrelesprofils devitessedesondessonoresdela TerreetdeJupiter(Fig. 9 et10) 16

14.Gradientdecomposition15.Presencedediscontinuitesdestructure16.Propagationpossibled’ondesdecisaillementdanslescouchessolidesdela Terre

. . . . . . . . . . . . . . . . . ONDES ET PROPAGATION – ONDES DE GRAVITE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

2.4. Ondes de graviteb Ce n’est pas la surpressionqui agit comme force de rappel, mais la pousseed’Archimede.Une bulle ecartee de sa position d’equilibre y revient, rappelee par ledesequilibredemassevolumiquequi agit commeforcederappel.b On voit d’embleequ’uneondede gravite ne peutpassepropagerdansune regionconvective, ou la pousseed’Archimedeagit non commeforce de rappel,maiscommedesequilibre,etdecefait engendrela convection.b Ons’interesseaucasd’ondesdepulsationpetiteparrapporta la pulsationdynamique(= c dfe$g hij ).

– On supposea priori que l’onde peut valablementetre decomposee en une ondeplane,chaquetermeperturbe evoluantcomme:kLlnmporq s gutwvux yUz

– Le vecteur d’onde v est decompose en une composanteverticale {*| et unehorizontale{�} . Par soucideclarte,onnes’interessepasaucaracterevectorielde {*} .

– Le but descalculsqui suivent estd’eliminer les diversesvariablespour aboutir al’ equationdedispersion.On elimined’abordles termeslesplusnegligeablespouruneondedegravite,asavoir ~ , etdonc� } . A chaqueetape,onprendsoind’exprimerchacunedesvariableseliminees,histoiredejustifier leseventuellesapproximations.

Versl’ equationdedispersion�D���L’ equationdumouvementet l’ equationdecontinuite s’exprimentalors:�� � o��(�7� � }�� o { } ~o��(�7� �F| � o {D|u~�t(� ���o���� � � ��� o {*}u�F}@� o { | � |*�

Doncla composantehorizontaledela vitessesereecrit:�B} � { }�.� ~et donc en reportantdans l’ equationde continuite (ou ~ ne figure pas, mais pourdefinitivementtuerle termedevitessehorizontale):~ � �p�{ } ��� � t �W� {D|� ��|�Expressionquel’on exportedansl’ equationdumouvementvertical:o����W� ��| � � o {*| �p�{ } � t(� � � � t �7��o�� {*| �{ } � ��|Cette expressionne contient plus que les termesperturbes � | et � . Commeon nes’interessequ’aux ondestres lentes,le coefficient proportionnela � � en facteurde �estnegligeabledevantl’autre terme.Onaboutita:o��(�7� ��� � {D| �{ } � ����| � t�� ���Cetteequationenoncequele mouvementverticalaessentiellementlieu sousl’action dutermed’Archimede,l’inertie dumouvementcroissantaveclespetitesvaleursdunombred’ondehorizontal,cadavecunegrandeextensiondumouvementhorizontal; le couplageentremouvementverticalet inertiehorizontaleresultesimplementdela conservationdela masse.�

Il esttempsd’introduirela derniereequation,asavoir la propagationadiabatique,p.ex.sousla forme: o�� ~r�w� |�� ~ ��D� ���'� ~ �� � � o���� �w� |�� � ��*� �

98 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SISMOLOGIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2004-2005

Onpeutsanscraintenegligerle termedeperturbationenpression  , vu qu’il a ete etabliqu’il estproportionnela ¡p¢ , et reecrirel’ equationadiabatique:£�¤r¥§¦  W¨¦D©�ª¬«®­  W¨¯ ¨ ¦ ¯ ¨¦D©J°²±�³ ¡ «'­  B¨¯ ¨ ¯soit: £ ¤r¥�´ ª ´« ­ ¦§µ ¶�·  W¨¦§µ ¶�· ¯ ° ¯ ¨¸(¹ ±º³ ¡ ¯Encombinantavecl’ equationprecedemmentetablie:¡ ¢ ¯ ¨ ¥ ´§»�¼ ¤ ¢¼*½ ¢ ° £�¤ ± ¥ ´ ª ´«'­ ¦§µ ¶*·   ¨¦§µ ¶�· ¯ ¨ °¿¾ ¨ ¯ ¨¸ ¹ £�¤d’ou l’ equationdedispersion:¡ ¢ ¥ ´§»�¼ ¤ ¢¼*½ ¢ °²±À¾ ¨¸ ¹ ¥ ´ ª ´«'­ ¦§µ ¶*·  W¨¦§µ ¶�· ¯ ¨ °²±ºÁ ¢ (9)

PulsationdeBrunt-VaisalaÂ.Ã

L’ equationdedispersionprecedente(Eqt.9) introduit la pulsationdeBrunt-Vaisala Á ,qui comparele gradientdumilieu augradientadiabatique:

Á ¢ÅÄBÆÇ�ȱ ¾ ¨¸ ¹�ÉÊÊË ´ ª ¦§µ ¶�·  ¦§µ ¶*· ¯pÌÌÌÌÎÍ'Ï Ð Ï Ç�Ѧ§µ ¶*·  ¦§µ ¶�· ¯ ÌÌÌÌÓÒ Ä Ï Ò�ÔZÕÖD××Ø (10)

Ù D’apres l’ equationde dispersion(Eqt. 9), la pulsationd’une onde de gravite estnecessairementinferieurea la pulsationÁÙ La pulsationÁ estnulle dansuneregionconvective (enfait, la legeresuradiabaticiteimpliquememeÁ ¢ÛÚÝÜ )±�Þ Lesondesdegravite nepeuventpassepropagerdansuneregionconvective

– Dansle casdu Soleil, les modesde gravite sontpiegesdansla zoneradiative; etdoncsonttresdifficiles aobserver!

?! Montrer que,pour uneatmosphereplan-parallele ou le champgravitationnelestsuppose constant: Á ¢ ± ¾ ¥ ´¸ ¹ ªÅ¾ß ¢ °

2.5. Ondes de gravite a une surface libreà On considerele casd’un fluide a un interfaceavecuneatmosphere(ou biendedeuxfluidesimmisciblesencontact)

– L’interfaceestperpendiculaireauchampgravitationnel– Le problemeestsuppose plan-parallele– Le fluideestsuppose incompressibleÙ Il decouleimmediatementdela proprieted’incompressibilite:¦Fá â[ã ± Ü

. . . . . . . ONDES ET PROPAGATION – ONDES DE GRAVITE A UNE SURFACE LIBRE . . . . . . . . 99

FIG. 11– Profil descarresdela pulsationdeBrunt-Vaisala (ä¬å , pointilles)etdela pulsationdecoupure(æuç å , trait plein)auseindela planeteJupiter: la convectionannuleäèå presquepartout

Ennegligeantla perturbationdupotentiel,l’ equationdumouvementsereduita:é7ê*ë�ìë7íÅîðï@ñBòDóFôHõLe champdeperturbationdepressiondoit doncsuivre la loi :ö å õ÷î�øIl estnatureldechercherunesolutionen õ periodiqueet sepropageantparallelementala surfaceou a l’interface.On note ù la variabledel’axe normala la surface,et ú l’unedesvariablesqui parcourentcettesurface:õ÷î�ûJü ùWýUþLÿ���� ü æ í ï � ú�ýLe Laplaciende õ etantnul, il vient:� å û� ù å ï � å û�î øetdoncûJü ùWý s’ecrit: ûJü ùWý î�û � þÿ�� ü ï � ùWý�� û þLÿ�� ü � � ùWýLa solutionqui diverge– celadependde l’orientationchoisiepour ù – doit etreexcluesi l’ epaisseurdel’“oc ean”esttresgrande.Par ailleurs,a la surface,il doit y avoir equilibredespressions,et doncla perturbationlagrangienne17 depressionsedoit d’etrenulle:� õ� í î ë õë7í � ì� ñWòZóFôHõ ê î ë õë7í � é7ê ì� ñ � î øSansavoir a determinerle lieu dela surface,voisinde ù îYø , onpeutobtenirl’ equationde dispersionde cette onde, en combinantcette derniere equationa l’ equationdumouvementvertical: �� �� ë õë7í � é ê��Fê���� îYøé7ê*ë � �ëWí � ë õë ù îYøCequi donne: ë å õë7í å î �Fê*ë õë ùD’ou la relationdedispersionpouruneondedegravite a unesurfacelibre:æ å î �Fê �

17.On voit ici combien, meme pour un fluide decrit euleriennement,la notion lagrangienneresteimportante: il s’agit desuivreunesurfacequi bouge!

100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SISMOLOGIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2004-2005

?! Quellerelationverifientlesvitessesdephaseetdegroupedel’onde?18

Onpeutdeterminerla surfacelibre, ou la perturbationlagrangienne��� estnulle:��������� �!#" $#%'&�( �#)*�,+etdonc: !.- � /0 )213) �2.6. Distinction entre ondes de pression et ondes de gravite4 Ceparagraphea pourbut derevenir sur la distinctionmeneeentrelesdifferentstyped’ondes: qu’est-cequi permetdequalifier lesoscillationsglobalesd’ondesdepressionoudegravite?56 7

equationdumouvement 8 0 )�9�:9<; �>=@?A��� ?A�#)0 ) 0 = 0 ) ?CBequationdePoisson 8 ?ED�BF�HG�IKJ 0

OndesdepressionL�M 4 On s’interesseaux ondes evoluant rapidement,pour lesquellesl’operateur dederivationpartielletemporelle9@NO9<; estgranddevantl’operateurgradient.

– L’ evolutionadiabatiqueimpliquedoncla relation:�QPSRUT � )0 ) 0 �WV ) D 0X Onreexprimeles3 termesderappel,aveclesestimationssuivantespourlestermesdegradient: Y

equilibre 8Z?A[\)]P [\) NO^perturbation 8 ?A[ P`_a[ Nb^ou _ comptele nombredefuseauxdel’onde stationnairele long d’un rayonplanetaire(_ estl’ordre radialdel’ondestationnaire)X Lesordresdegrandeursuivantspermettentdepreciserlestermesderappel:V ) D PcJed Nb^ PcJ 0 ) ^ D P 1�) ^Les3 termesderappels’approximentalorspar:

– Termedepression: ?A�fPc_ �^ Pg_ V ) D^ 0– Termed’Archimede:

?A� )0 ) 0 Ph/^ � )0 ) 0 P V ) DRUT ^ 0– La perturbationdu potentielgravitationneldecoulede l’ equationde Poisson,quel’on peutecrire: ? D BiP _ D^ D B etdonc: Bj�kG�IKJ ^ D_ D 0pouraboutira l’ordre degrandeurdu3emeterme:0 ) ?AB,Pg_ 0 )^ B,Pk/_ GlIKJ 0 ) ^ 0 Pk/_ V ) D^ 0

18. monKpEm�q'rbs

ONDES ET PROPAGATION – DISTINCTION ENTRE ONDES DE PRESSION ET ONDES DE GRAVITE 101t Finalement: uvvvw vvvx pression y zA{ |~}������Archimede y zA{ �� � ��| � � �

potentiel y��<��z��~| �} �������� Parmi les3 forcesde rappel,le termedepressiondomine,pour lesondesd’ordreradial } suffisamentgrand��� Le termedeperturbationdupotentielestdeloin le plusfaible

Ondesdegravite�l� t Lesondesdegravite evoluenttreslentement

– Danscecas,l’operateur�@�b�#� apparaissantdansl’ equationdu mouvementesttrespetit devantlestermesderappel

– D’ou la successiond’approximations,avec les memesestimationsde l’operateurz que precedemment,en negligeanta priori le terme de perturbationdu potentielgravitationnel: zA{�| zA{ �� � �} {� | { �� � � �} { |`�l� �

– Pour } grand,cecomportementn’estpasdu tout celui d’uneondesonore,puisquela perturbationenpression{ verifie: {f���l������ Puisquecen’estpasuneondedepression,il s’agit d’uneondedegravite

102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SISMOLOGIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2004-2005

3. Oscillationsglobales� En supposantl’objet spherique,sansrotation,4 variablesdecrivent sesoscillationsglobales:

– pression� ,– massevolumique� ,– champdevitesse�– champgravitationnel � (oupotentielgravitationnel� )� Cesvariablessontrelieesentreellesparlesequationsdecritesauchapitreprecedent:– equationdumouvement,– equationdecontinuite,– equationdePoisson,– equationdel’ evolution energetiquedel’onde� Cadredel’ etude:– Petitsmouvements�K� linearisation– Comme la rotation est negligee a l’ordre 0, la symetrie spherique permet la

decompositionenharmoniquesspheriquesY �O  ¡� Differentstraitementssontenvisageables:– Selonle degre deprecisionsouhaite– Selon le but souhaite: distinction des modesde pressionou modesde gravite,

propagationou evanescence,miseenevidencedegrandeurscaracteristiques...– Selonlesdeveloppementssouhaites: numerique,asymptotique,analytique...� Eventuellesapproximations:– Ondesradialesseulement( � pb1-D)– Perturbationduchampgravitationnelneglige (approximationdeCowling)– Propagationrigoureusementadiabatique– Atmosphereplan-parallele(symetriespheriquenegligee)– ...¢ Cechapitreestloin d’epuiserle sujet: on serefereraavecprofit auxtrescompleteset

tresintelligibles“Lecturenotesonstellaroscillations”deJ.Christensen-Dalsgaard.

3.1. Une etude simplifiee des oscillations¢ Calculcomplet,desequationsdebasea la relationdedispersion,avecleshypothesessimplificatricessuivantes(Gough1986).

– Evolutionadiabatique– Atmosphereplan-parallele– ApproximationdeCowling (perturbationduchampgravitationnelnegligee)

Equationsdebase£�¤ � Rappeldesnotations:¥equilibre: �§¦�¨��<¦'¨W©e¨W��ª

perturbationseuleriennes: �K¨«��¨¬��¨­�� En tenantcomptedeshypotheses:®¯¯¯¯¯¯° ¯¯¯¯¯¯±� ¦.² �²<³`´ � µ�� ¶·� ª � mouvement² �²<³ ´ � µ¹¸ º»� ¦ �½¼ continuite² �²<³ ´ �F¾U¿À� ¦ µ¹¸ �Á�`� ¦ � ª ¸ � evolutionadiabatique

L’ eliminationdesvariablesperturbees� et � , avecle changementdevariable: ´iÃ�Ä Å �

. . . . . OSCILLATIONS GLOBALES – UNE ETUDE SIMPLIFIEE DES OSCILLATIONS . . . . . . 103

et lesnotations:ÆÇÇÇÇÇÇÇÇÇÈÉlÊHËÍÌUÎ'ϧÐÑ Ð vitessedusonÌ Ë É Ð Ê�ÒÓÊÔ ÐÒÓʬË�Ô Ð�ÕEÖ×\ØAÙ Ô ÐÉ ÊlÚ pulsationdeBrunt-Vaisala×\Ø Ë Õ Ù ÖÑ Ð@Û Ñ ÐÛ�Ü Ú3Ý

Îechelledehauteurdemassevolumique

conduisenta: Þ Ê2ßÞ<à Ê ËâáäãåÉ Ê�æEçcè�é�ê ßKë Ù Ì æíì@î

?! Verifier que l’expressionde la pulsation de Brunt-Vaisala, ici obtenuedansdesconditionsparticulieres,esten accordavec l’expressionplus generaleobtenueauparagraphe“Ondesdegravite”19

L’ etapedecalcul:Þ ÊÞ#à Ê ÙïáñðÓò ÙïáñðóßKôgõ Þ ÊÞ#à Ê ãåá æ Ù á Ê ß�ë�Ë�á Ê÷ö Ì æ�øåì@î Ù ÞÞ Ü á ö Ì æ�øconduita: Þ ÊÞ<à Ê á Ê öÀè ß ø Ë Þ ÊÞ<à Ê ã èUê á æ ë ç Ôùá\ú Ê ö Ì æ�øou á\ú Ê estle laplacienhorizontal.Þeû æÞ<à û Ù Þ ÊÞ#à Ê Õ á Êüö É Ê�æ�ø�ç ÞÞ Ü

ý ÉlÊ× Ø æ�þ Ú Ù É Ê Ò Ê á\ú Ê�æ Ë,ÿLe changementde variable � Ë Ñ Î�� Ê�ÉlÊ æ conduit alors a l’ equationdifferentielledumouvement: ý Þ ÊÞ<à Ê ç����÷Ê�þ Þ Ê �Þ#à Ê Ù É Ê Þ ÊÞ<à Ê á Ê � Ù É Ê Ò Ê á\ú Ê � Ë ÿ (11)

ou apparaıt la pulsationdecoupure:��� Ë É� × Ø Õ Ö Ù � Û ×Û�Ü ÚÎ�� Ê

19.Prendreunsandwichetunebiere,et s’y atteler

104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SISMOLOGIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2004-2005

FIG. 12– Profil desfrequences� ��� � et ��������� ����� (Jupiter)

Ondesdepressionoudegravite��� � Dansl’ equation(11), le termeproportionnela ��� estnegligeabledevant l’operateur � � "! � pourlesevolutionsrapides(le termederappeldu a la pousseed’Archimedeest

negligeabledevantcelui du auxforcesdepression),et alors,pouruneondeplane,avec � #!%$'& � et ( $*)�& + , on trouve l’expressionsimplifieedel’ equationdedispersion:� � �,��� ��- + �/.�� (12)

Cetteequationintroduit la pulsationde coupure��� , etudieepar la suite.En fait, cettepulsationestsurtoutimportantea la surfacedel’objet (Fig. 12).� Pouruneevolution lente,onpeutnegliger, dansl’ equation(11), lestermesou apparaıtla seulederivation partielletemporelledevant ceuxde gradientsspatiaux.On retrouvealors,dansle casd’une ondesupposee plane,l’ equationde dispersiondesondesdegravite deja determinee: � � 021 - +�3 �+54 �56 �7� � (13)

La pulsation 8 � � Au seinde la planete,si l’on peutsupposerquela pulsationdu modeesttresgrandedevant les frequencescaracteristiquesde la structureinterne (� , ��� ), l’ equationdedispersiondevient: � � � + �/.�� � + 3 �/.���- � � (14)

avecla definition: �:9<;=/>�@? .5ACBEDB et ?F�HG I A I - 1 D (15)� Ce termerend comptede l’absencede gradientshorizontaux,et exprime la loi deconservation de la composantehorizontaledu vecteurd’onde,au terme

1 � B presdu ala symetriespherique:

+J4 �*?K� B . En d’autrestermes,quelquesoit le grandcerclea Bconstant: LNM"O �/PRQ + 4%SJT �U� �2?�WV Refraction des ondesau point tournant B Q pour lequel la propagation verticales’annule

+�3 �YX .� Le rayonB Q dupoint tournant(Fig. 13, 14) verifie l’ equation:�Z�, A[B Q D�\ soit�? � .5ACB Q DB Q (16)� La profondeurdepenetrationestd’autantplusgrandeque:

– le degre estfaible(seulslesmodesradiauxI]�YX penetrentaucentredel’objet)– ouquela frequenceestelevee

. . . . . OSCILLATIONS GLOBALES – UNE ETUDE SIMPLIFIEE DES OSCILLATIONS . . . . . . 105

FIG. 13– Propagation et pointstournants: lorsquele degre ^ augmente( _nombrede festons),la propagation se restreinta desregionsdemoinsenmoinsprofondes.

FIG. 14– Refraction au sein de l’objet, d’autant plus profonde que lafrequencedumodeestgrandeouquesondegre ^ estpetit(Eqt.16)

La pulsationdecoupure`�acb

Aux abordsdela “surface”,l’ equationdedispersiondevient:d%e'fHghe/i�ekj�dlenm (17)bL’expressiondela pulsationdecoupuredependintimementdesvariables( op , q , r�s q ...)

de la modelisationchoisie.A l’ordre 0, la pulsationdecoupure,ou pulsationdeLamb,s’ecrit: d mut<vw/xf iy zk{ (18)fW| Reflexion desmodesa la “surface”fW| La “surfacesismologique”apparaıt clairementidentifiee,definiepar la barrieredela pulsationdecoupure,situeeauminimumdetemperatureb

Commeles variationsde la pulsationde coupuresont tres rapides,le confinementexterieur des modesse produit sensiblementau meme endroit, quelle que soit leurfrequence.

106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SISMOLOGIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2004-2005

FIG. 15– Reflexion a la surface de l’objet (surface caracterisee par lemaximumdela frequencedecoupure).Lesmodessontquasimenttous reflechis tres prochede ce niveau,sauf ceux de tres bassefrequence(Eqt.17)} La propagationdesmodesa la surfaceestquasi-verticale,eneffet :~l�'���h�/������~l�n�������5�/�������]� � �� � ��~l�n�

– a la reflexion: ���K�Y� , et ~���~�� car ~������������5��� .– justeen deca de la regionde confinement: � � ��� � , saufpour les tresgrandes

valeursde � .} Eneffet, d’aprescequi precede,la condition � � ��� � estequivalentea la condition:~ � ����� �qui menea: �������� ��k�?! Quantifiercetteconditiondansle casdusoleil20

20.  ]¡£¢¥¤§¦E¡�¨#©�ª]«�¬®­�¯�¯ km, d’ou °#±�²�¯ ¯� : 0 5 15 40 100 500 1000³J´¶µ � : 0 0,2 0,4 0,7 0,9 0,99 0,999

TAB. 2 – Position des points tournants ³J´ , pour le soleil, des ondesdefrequenceaux alentoursde 3 mHz, en fonction du degre � : plus� augmente,plus ³ ´ serapprochedela surface

. . . . . . . . . . OSCILLATIONS GLOBALES – LES HARMONIQUES SPHERIQUES . . . . . . . . . . . 107

FIG. 16– Modesdegravite etdepressionauseindusoleil: vuesynthetique

Cavite resonante·n¸�¹Lespulsationsº�» et ¼�½ constituentunecavitederesonancepourlesondesdepression

(Fig. 14, 15, 16, ).¹Uneondedepulsation¼ et degre ¾ devient un moded’oscillationsi elle satisfait a la

conditionderesonance: ¿�ÀÁ�ÂÄÃJÅ/Æ�ÇÉÈUÊCËkÌ�ͧÎ<Ï (19)

– Ë estl’ordre radial; onnote¼�ÐhÑ » la pulsationdumoded’ordreradial Ë etdedegre ¾– Í estunepetiteconstantequi rendcomptedesproprietesdela surfaceÒ SismologieÓ sondagedifferentiel: deuxmodesdepulsations¼�ÐhÑ » et ¼�ÐhÑ »CÔ§Õ (ou ¼�ÐhÑ »

et ¼ Ð Ô§Õ Ñ » ), ont despoints tournantsÇ5Ö et Ç5×Ö voisins.La differencede leur frequencepermet,qualitativement,deremonterauxproprietesdumodeleentrelesrayonsÇ Ö et Ç5×Ö .3.2. Les harmoniques spheriques¹

Rappel: les harmoniquesspheriquessont construitssur la basedes polynomesde Legendreassocies ØÚÙ» ÊÜÛÞÝ2ßJà<Î , solutionsde l’ equationgenerique (Abramowitz &Stegun): ÆÆJáYâ ÊäãlåkácænÎ Æ�çèÊCà<ÎÆJáêé Ììë�íKæ�åïî æãlåká æJð çèÊCà<Î¥Èòñavex áóÈZÛôÝ2ß�à . Cessolutionsne peuvent converger qu’a la conditiond’avoir í æ Ⱦ Ê ¾ Ì�ã5Î , ¾ entieret î entiercomprisentre å ¾ et Ì ¾ .¹

Definition:õ Ù» Ê[à#öô÷�Îkø<ùúôûÈüʶålã5Î ý Ù%þcÿ ÙKÿ � � æ â � ¾ Ì�ã� Ï Ê ¾ å � î � Î �Ê ¾ Ì � î � Î � é Õ � æ Ø ÿ ÙKÿ» ÊäÛôÝ2ß�à"Î���� � î ÷– Le degre ¾ comptele nombretotal delignesnodales– L’ordreazimutalî comptele nombredelignesnodalesmeridiennes

108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SISMOLOGIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2004-2005

FIG. 17– Cartesdesharmoniquesspheriques�� � , pour les degres � de 0a 9 (lignes) et les ordresazimutaux� de 0 a � (colonnes).Onremarque:– la structureenbandesparallelesa l’ equateurlorsque� =0.– la structureenquartiersmeridienslorsque� ������– le confinementde � � auxregionsprochesdel’ equateurlorsquele rapport����� augmente.

?! Calculerenfonctionde � et � le nombredesecteursd’un ����� (Fig. 17, 18), ainsiquele nombredelignesnodalesparallelesa l’ equateur21

� Lesharmoniquesspheriquesconstituentunebaseorthonormeedela sphere:��� �"!$#%'&(% � �*) � ,+� +.-0/ � ������!$#%'&1% � �2) � ,+� +4365 798:-;8<-;= �?> �6@ � + > @ +Mais depuisla Terreonnevoit jamaistoutela surfaced’un objet...�BA %'C9D E � �"!$#%F&(% � � ) � ,+� +43G5 798<-;8<-H=JI�K> �G@ � + > @ +Et il y a donc, lors d’une observation, confusion entre couples L �NMO�QP , en faitessentiellemententre L �RMO�QP et L �,S�TMO�QP

21. U�V secteurs; WYX[Z V[Z lignesnodales\ \ a l’ equateur

. . . . . . . . . . . . . OSCILLATIONS GLOBALES – LES EQUATIONS DE BASE . . . . . . . . . . . . . . . 109

FIG. 18– Harmoniquesspheriques]_^` projetessurunesphere,correspon-dantauxcartesdela figure17

a Lesharmoniquesspheriquesapparaissentdansla decompositiondudeplacementbc desondes,dansla basespherique:bc0d eNfOgBfihjfik�lnm

Re o ep1qr$s tOuwv cNxFd e0l ] ^`zy x|{}cR~Hd e0l o"� ] ^`� g y:� { ��G� � g � ] ^`� h y:�R��,�– Lesdegre � etordreazimutal� rendentcomptedesvariablesangulaires

get

h.

3.3. Les equations de base

Variableet equations�;�|�Uniquehypothese: l’ evolutiondel’ondeestadiabatique.a Lesequationsgouvernantla propagationdel’ondepeuventalorss’ecrireaveccomme

variables:

– deplacementverticalcNx

(tel que� xYm�� c x� k ),

– pression,– potentielgravitationnel(representeparla variable� ).

?! Reprendrecequi precedeet rappelercesequations.22

a La surpression� estrelieeaudeplacementhorizontalpar: � m�� e;���������O�0cN~22.Aveccepoly, biere,sandwich,huiledecoudeet jusdecrane,c’esttout a fait faisable.

110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SISMOLOGIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2004-2005� Lesderiveespartiellesspatialess’enoncentenfonctiondesproprietesdesharmoniquesspheriques,et l’on aboutita:������� ����� 

¡;¢R£¡;¤ ¥§¦ ¨ª©¤¬«®­¯±° ¡ª² ³9´:µ¡;¤·¶ ¢R£ « ­¸ µ6¹Nº_¨9»±¼ º½ ºz¦ ­ ¶ ´ ¦¿¾HÀ ¾ « ­RÁ½ ºF¤<º ¡;´¡;¤Ã¥ ¸ µ À ½ º ¦¬Ä º Á ¢ £ « ­¯ ° ¡ª² ÅRÆÇ´ µ¡;¤ ´ « ¸ µ ¡ ¡;¤­¤<º ¡¡;¤�¨ ¤ º ¡ ¡;¤È¶¿¥§¦ ÉNÊ�Ë ¸ µÌ µ Ä º ¢ £ ¦ ÉNÊB˹Nº ´ « ¾HÀ ¾ « ­RÁ¤<º Â(20)

Avecl’absenceremarqueedel’ordre azimutalÍ .

?! Pourquoi l’ordre azimutal Í n’apparaıt-il pas dans le systeme d’equationsprecedent(Eqt.20)?23

Onretrouvedanscesystemed’equations:– La vitesseduson

¹ º ¥ ¯ ° ´ µ$Î ¸ µ– La pulsationdeBrunt-Vaisala deja definie– La pulsationcaracteristique» ¼ telleque:

»±¼ ºQÏ<ÐÑOÒ¥ ¾HÀ ¾ « ­RÁ ¹ º¤0º– Lestermesen ­ Î ¤

et ­ Î ¤ ºproviennentdesdefinitionsdesoperateursdivergenceet

laplacienencoordonneesspheriques(rappel: la sphericite n’estplusnegligee)– La quantificationexprimee par le degre ¾ provient de la quantificationselonles

variablesangulaires: Ó¬Ô º�Õ�Ö¼ ¥4¦�¾;À ¾ « ­RÁ¤<º Õ�Ö¼Ou

Ó Ôestle gradienthorizontal24. On retiendrasurtoutquecettequantificationdonne,

pourle nombred’ondehorizontal,l’expressionfonctionduseuldegre ¾ :× Ô ¥ÙØ ¾HÀ ¾ « ­RÁ¤� Si l’on prefere travailler avec les variables¢ £

,¢ Ô

et  , le systeme d’equationsaresoudres’ecrit:�������� ������ 

¡;¢ £¡;¤ ¥§¦�ÚN©¤¬«®­¯ ° ¡ª² ³9´¡;¤ÜÛ ¢ £ « ¤ ½ º¹NºÜÚ"» ¼ º½ ºz¦ ­ Û ¢ Ô ¦ ­¹Nº ¡;¢ Ô¡;¤ ¥ ­¤�Ú ­ ¦ Ä º½ ºÝÛ ¢R£ « Ú Ä ºÌ µ2¦Þ­¤ÝÛ ¢ Ô ¦ Ä º¤ Ì µ ½ º ­¤<º ¡¡;¤�¨ ¤ º ¡ ¡;¤È¶¿¥ ¦ ÉNÊBË ¸ µÌ µßÄ º ¢R£ ¦ ÉÊBË ¸ µ ¤¹Nº ½ º ¢ Ô « Ú�à º¤<º¬¦ ÉÊBË ¸ µ¹Nº·ÛáÂ23.Onasuppose la symetriederevolution24.Cette egalite, cruciale pour toute l’ etudesismique,provient en fait de l’ etudedes fonctions â des

variablesangulairesã et ä separees(â:å ãNæ ä�ç<è¬âRé�å ã�çOâ;êëå ä�ç ) satisfaisanta la relationdeLaplacehorizontale:ìHíGî;ïÝð âwèÜñ�òó ê±ô ê âou ô estuneconstante.Pourlescurieux,cetteequations’explicite en:òõiö ÷ ãùøø ãùú õiö ÷ ã ø âø ã:ûýü òõiö ÷ ê ãþø ê âø ä ê èÿñ ô ê âet conduitfinalementa l’ equationdifferentiellecaracteristiquedespolynomesdeLegendre.

. . . . . . . . . . . . . OSCILLATIONS GLOBALES – LES EQUATIONS DE BASE . . . . . . . . . . . . . . . 111

Lesconditionsauxlimites���

Tout systemed’equationsdifferentiellessedoit d’etreaccompagne de conditionsauxlimites,ennombresuffisant.� Au centre: par symetrie, il est immediat que les perturbationsvectoriellesdoivents’annulerau centrede l’objet, et respecterles conditionsde regularite. DesproprietesdespolynomesdeLegendreil vient:� �������� ������ �� � �Cesconditionstraduisentle comportementdecesvariablesradialesa l’origine, propor-tionnellesa

���.� A la surface:

– Le potentieldoit etrecontinu,etseraccordera la solutionexterieurequi s’exprime:��� � ���cad: � �� ��� ���� � ���

– Laderniereconditionauxlimitesdependdumodeled’atmospherechoisi.Si p.ex. onconsidereunmodeled’interieursansatmosphere,la surfaceestlibre detoutecontrainte,etdoncla perturbationlagrangiennedepressiony estnulle��� �!� �#"�%$ &%')(+*,�%-.�/�En revanche,le raccord avec p.ex. une atmosphere isothermese traduira par uneperturbationde pressionen accord avec le comportementisotherme,vu qu’il estnecessaired’assurerla continuite enpression.

L’approximationdeCowling0 �L’approximation de Cowling consiste a negliger, parmi les termes de rappel dumouvementd’une perturbation,le terme le plus faible, a savoir la perturbationdupotentielgravitationnel.1223 224 � ������ �65�7�8� 5:9<;>=?@ =BA � � � �C�D � 7FE � �G � 5 � A �� ���� � CIH G � 5KJ �ML ���N5 7F9 ;>=?@ = A �Lorsquel’on neglige les variationsdestermesde structureinterne,a priori bien plusfaiblesquecellesdestermesdel’onde25 :1223 224 � � ���� � �C�D � 7 E � �G � 5 � A �� ���� � C 7 G � 5KJ � A ���Cequi donne: � � � ���� � � G �D � 7 � 5 J �G � A 7 E � �G � 5 � A � �D’ou l’ equationdedispersion:D �PO � � � G � 7 � 5 J �G � A 7 � 5:E � �G � A (21)

25.Cen’estpasjustifiepartout,parexemplepourl’ echelledehauteurdepression,qui varietresrapidementauxalentoursdela surface

112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SISMOLOGIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2004-2005

FIG. 19– Diagrammedepropagation: lesmodesdepresssionet degraviteont descavitesresonantesdifferentes,delimiteespar la frequencedeBrunt-Vaisala (Q , trait plein)pourlesmodes-g,et la frequenceR�SFT)UFV

(tiretes,selonla valeurde W ) pourlesmodes-p

FIG. 20– Amplitudesdemodesdepressionsolaires(WYX[Z]\^W�X[Z�\_W�`aZ )Amplitudesauseindel’ etoile

b�c]dOn retrouve, dansle casdu soleil, unedistinctionbien marqueeentreles variations

d’amplitudedesmodesdepressionoudesmodesdegravite (Fig. 20, 21).– L’amplitude desmodesde pressionest maximaledansles plus hautescouches

atmospheriques

. . . . . . . . . . . OSCILLATIONS GLOBALES – DIAGRAMME DE PROPAGATION . . . . . . . . . . . . 113

FIG. 21– Amplitudes de modesde gravite solaires.Quoique valent lesnombresquantiquese et f , l’amplitudedecroıt exponentiellementdansl’enveloppeconvective.

– L’ evanescencedesmodesdegravite dansla regionconvective tueleuramplitude

3.4. Diagramme de propagationg Le diagrammedepropagationpermet:– Unenouvelle distinctiondesondesdepressionetdesondesdegravite– La definition danschaquecasde la cavite resonantedanslaquellecertainesondes

vontpouvoir s’exprimerenmodesresonantsh L’ equation(21) etablieprecedemmentmontrequ’il y a propagation(ie. iYjlknm/o ) auxseulesconditions: pq,r k m^s�t k et

r k m^u koubienr kwv s�t k et

r kwv u kh Commepresquepartoutu v s t (cf. Fig. 19), onentire lesinegalites:pq r m^s�tour v uxzy Diagrammedepropagationavec3 typesd’ondes(voir Fig. 16et19) :h Ondesdepression:

r m{s�th Ondesdegravite:r v uh Ondesdepulsationsintermediaires...(modes| )

3.5. Excitation des modes et amortissementg L’approcheenergetiquenepeutpasetreconduitedansle cadrelineaire.g La descriptiondel’excitationdesoscillationsdetypesolairerestephenomenologique;ellesouffre dumanqued’unetheorieexplicitantproprementla convection.

114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SISMOLOGIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2004-2005

FIG. 22– Amplitude d’oscillations stellaires des etoiles de la sequenceprincipaledemasseinferieurea 1.5 }!~ , et amplitudedesmodesinstablesdesetoilesde la sequenceprincipaledemasseentre1.5et2 } ~ (Houdeketal. 1999).

FIG. 23– Amplitudedesoscillationsstellairesobservees.

Autoexcitation�����Mecanisme� : lorsquel’opacite augmenteavecle flux dansleszonesd’ionisation– Une augmentationdu flux estbloqueepar l’augmentationde l’opacite; l’ energie

bloqueeesttransfereea l’onde.

. . . . OSCILLATIONS GLOBALES – EXCITATION DES MODES ET AMORTISSEMENT . . . . . 115

Type Masse Amplitude(��� ) (cm.s�>� )

G8V 1.0 151.1 25

F9V 1.2 351.3 60

F2V 1.4 110

TAB. 3 – Amplitude des oscillationsde type solaire pour des etoiles demassescomprisesentre 1 et 1.4 ��� , pour un age zero sur lasequenceprincipale.

– Cemecanismes’appliqueauxCepheıdes,� -Scuti,situeesdansla banded’instabilitedudiagrammeHR.

– L’autoexcitation conduit a un spectreassezpauvreen modes: le systemesecaledansunnombretresreduitdefrequencesauto-entretenues.

Oscillationsentretenues���]�

Excitationstochastiqueparla convectionturbulente:– Mecanismeefficace seulementlorsque l’ echellede tempsde la turbulenceest

voisinedesperiodesdesmodes.�z� L’excitationalieu danslescouchesperipheriques,ou lescellulesdeconvectionsontpetitesavecdecourtesperiodes.�

Modeledupiston:– Chaquepetitecelluledeturbulenceestconsidereecommeun pistonfaisantmonter

etdescendrela matiere.– Les cellules sont incoherentesentre elles; chaquecellule excite des ondesde

frequencevoisinea celledupiston.– Cesondesinterferententreelles; les interferencesconstructricesconstruisentles

modesd’oscillation.– L’ energie d’un moderesultede la superpositionincoherentedesenergiesfournies

parlespistons; ellenecroıt quecommela racinecarreedunombredepiston.

Amortissement� �.�Recensementdestermesd’amortissement(Houdeketal. 1999):– 3 termesmodifient le bilan de la quantite de mouvementassociee a l’onde: la

diffusion incoherenteaux interfacesdesregionssuradiabatiques; la pertede quantitede mouvementde l’onde au profit de la quantite de mouvementturbulente; les pertesdansla hauteatmosphereparechappementdel’onde

– 2 termesmodifient le bilan energetiquede l’onde: le chauffageradiatif; la perted’energie del’ondepartransfertauflux d’energie turbulente.�

La priseen comptedeseffets dissipatifspeut etremeneedansle cadrede l’analyselineaire,via le formalismecomplexe:

– Lesgrandeursperturbeessontdeveloppeesenuntermeadiabatiqueetunpetit termedissipatif

– La dissipationapparaıt via unecorrectionsurla pulsationimaginaire:� � ���l�.�B� � ��La duree de vie des modesd’oscillation est li ee aux processusd’excitation et

d’amortissement; commeelle n’est pas infinie, les pics d’oscillation n’ont pas unefrequencebien definie, et la dureede vie desmodesestdoncmesureepar la largeurdespicsd’oscillations.Pourun modede frequence�P��� � , de dureede vie typique ���)� , le pic en frequencevaavoir unprofil lorentzien: ��� ��  � � � �]�)¡� £¢� �n¤��P��� �¥  ¢ � � �]��¡Y  ¢

116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SISMOLOGIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2004-2005

Amplitudes¦�§]¨

Lesamplitudesd’oscillationsontle plussouventexprimeesenvitesse,enreferenceal’observablespectrometriquepareffet Doppler.Pour les etoilesde type spectralprochedu soleil, pour lesquellesc’est la convectionturbulentequi excite le plusefficacementlesmodesdepression,l’amplitudedesmodesvarielineairementavecle rapport©«ª­¬ stellaire,selonlesdeveloppementsdeHoudecketal. (1999): ®°¯]±M²�³µ´ ©¬·¶Lesobservationscorrigentcetteloi en:®°¯]±M²�³µ´ ©¬·¶¹¸Fº »La Fig. 22 et la Table 3 illustrent une modelisation obtenuepour diversesciblesasterosismiquesdela sequenceprincipale.

– Pourle soleil actuel: lesamplitudespreditessontdel’ordre de20cm.s¼>½ .– SeuleslesetoilesG et surtoutF presententdesamplitudesa priori mesurables; les

amplitudesdesciblesK et M semblentactuellementhorsde porteedesperformancesobservationnelles.La Fig. 23 reportelesamplitudespourdiversesciblesdeja etudiees.

. . . . DEVELOPPEMENTS ASYMPTOTIQUES – MODES DE PRESSION DE BAS DEGRE . . . . 117

4. Developpementsasymptotiques¾ Lesmethodesasymptotiquessontengeneralbasees(ouderivees)delamethodeJWKB(Jeffreys, Wentzel,Kramerset Brillouin) utiliseeenmecaniquequantique,qui consisteadecomposerunevariableenuneexpressionquasiharmonique,auxlentesvariationsdel’amplitudepres: ¿ÁÀÃÂÅÄÇÆ+ÈPÉ[Ê�ËÍÌaÎ�Ï ÐLe gradientdel’amplitudedoit doncverifier:ÑÑÑÑÓÒ ÂÒ Æ ÑÑÑÑ ÔÖÕ Î Õ¾ La basede ce developpementconsisteen la trituration des equationsselon leshypotheseschoisiesjusqu’aobteniruneequationdifferentielledu type:Ò°× ¿Ò Æ ×�ØBÙ × ¿ÁÀ�Úou¿zÄÛÆ�È

representeunefonction donneed’une variablede structureinterneperturbee.Selonle developpement,Ù ressemblea unefonctionplusou moinscomplexe de

Æou

apparaıt a l’ordre 0 le termeÜ ×PÝ¥Þ�× (Ü provenantbien-sur de la dependancetemporelleÉ[Ê�ËßÌ Ü�à ).4.1. Modes de pression de bas degre¾ Premierniveaud’approximation: l’ondeestdecritetelleuneondeplane

– cecinepermetpasdetraiterlesregionscentralescorrectement¾ Deuxieme niveau d’approximation: theorie asymptotique,qui rend compte desproprietesdesregionscentralesetperipheriquesdela faconsuivante:

– Unesolutiontenantcomptedela “singularite” centraleestdeveloppeeversle centre– Unesolutiontenantcomptedesconditionsauxlimitesestdeveloppeea la surface¾ Heliosismologie: les 2 solutionssont raccordeesen un point quelconque(Fig. 25) ;

verificationaprescoupde l’independancede la solutiontrouveevis a vis du point deraccord¾ Diosismologie26 : les2 solutionssontraccordeesa la frontieredunoyauplanetaireá Les modesde pressionde basdegre

ÄÇâ Ôµã ) satisfonta la relation asymptotique(Tassoul1980): äPå�æ ç Àéè ã Ø â ê ØBë¥ì ä)í<î âYÄÇâ Ø�ï È ØBðã Ø â ê ØBë

Â(22)

26.Du prefixedio-, genitif deZeus,aliasJupiter

FIG. 24– Modes de pressionsolaires de bas degre (IPHIR, Golf). Laregularite du spectredes modesde bas degre correspondauxindications qualitatives de la theorie asymptotique(Toutain &Frohlich1992)

118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SISMOLOGIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2004-2005

FIG. 25– Principedela theorieasymptotique: unesolutionesttireedepuisle centre,uneautredepuisla surface.Il y a convergencedanslecasb), contrairementaucasa).

FIG. 26– Spectredesoscillationsde ñ -Cen,avec l’identification proposeepourlesmodes-pdedegre 0 et1 (Bouchy & Carrier2001).

Avec: òóóóóôzõ)öø÷ ù]úüûþý ÿö ���� ���� ÷ ��� �� ù �������������� û ý ÿö � ���� ���� �Les parametres� et � dependentdu modele (� dependplus precisementdesproprietesdela surfaceou sontreflechislesmodes)� Onreperelesequidistances(Fig. 26) :õ��! �#" $ � õ�� " $&% õ)öet: ' õ $ � " $ � õ � ÷þõ � " $ � � õ �! �#" $ ÷ ú � ú)(�*,+ � - *.(�/�ú�* � ÷/ú � ú)(*,+ �10 $ � õ �avecenparticulier: ' õ � " ö � õ � ÷32 - * � ÷ 2 0 ö � õ �

. . . . DEVELOPPEMENTS ASYMPTOTIQUES – MODES DE PRESSION DE BAS DEGRE . . . . 119

FIG. 27– Diagrammeechelle: representationutile pourvisualiserlesecartsdu2eordredela theorieasymptotique(Eqt.22)

FIG. 28– DiagrammeHR asterosismique( 46587:9;5878<>=?7 ), aveclignesiso-masse(traitspleins)et lignesiso-X@BABC#DFE�G#HI Le diagrammeechelle(Fig. 27) permetdevisualiserlesseulsecartsa la regularite.I Les observationsdonnent=?7KJL5NM6OP=RQLJL5NM . Les frequences5�7 et =?7 permettentde

caracteriserunmodelestellaire(Fig. 28).

120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SISMOLOGIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2004-2005

FIG. 29– Spectredesmodessolairesdedegre S moyena eleve

FIG. 30– Diagrammede Duvall, construit a partir des modesde degremoyenT De nombreusesautresmethodesont ete developpees.Citons Provost et al. (1993)

pourrendrecomptedediscontinuitesou fortsgradientsdestructure,ouplusrecemmentRoxburgh & Vorontsow (2001,MNRAS 317, 141; 317, 151; 322, 85).

4.2. Modes de degres intermediairesU Les modesde degres intermediairesne sepropageantpasdansles regionsles plusinternes,onnes’interessequ’auxtermestraduisantlesproprietesdesurface.U L’interdiction depropagationdanslesregionsinternessignifiel’exclusiondesmodesdebasdegre S .

. . . . . . . . . . . DEVELOPPEMENTS ASYMPTOTIQUES – MODES DE GRAVITE . . . . . . . . . . . . 121V La quantificationradiales’exprimeparWYXZ\[.]_^>`�a;bdcfehg.ij1k (23)

ou l’on rappellequ’en a�l , la pulsationdel’ondesatisfait a:m bonqpLc�a l jc’esta dire: a lr cfa_lsj butmavec t bwv x_c�xg,y�j . Lesniveauxa l et z sontappelespointstournantsdel’onde,et iun termeconstantrendantcomptedela reflexion a la surface.

– Cesmodesde pressionde hautesfrequencesverifient m|{~} , d’ou l’expressionsimplifieedela composanteradialeduvecteurd’onde:]_^\�&b m �r ��� t �a �V La relationderesonance(Eqt.23) sereecrit donc:k.cfehg.ijm��N� p b WYXZ\[��#y � t � r �a � m��N� p ���>�\� � `�arCetteequationcorresponda la relation decouverte empiriquementpar Duvall (1982)(Fig. 29et30): k��e?g.i��m b���� mt��� La relationdeDuvall fut determineeexperimentalement,et conduisita l’acceptationgeneraledusignalsolaireauxalentoursde5 minutescommesignaturesismiqueV Le deplacementradials’approximepar:� ^�� ya y� � r�������� m WYXZ\[��>y � t � r �m �B�q�_� �\� � ` �r�¡Le changementdesvariables(a!¢ � ) vers(£ ¢�¤ ), telsque:¥ ¤ �¦a � � r � ^ �` £ b `�a1§ ret la priseencomptedel’approximationm�{ n p permettentd’ecrire:¤¨c £ jR� ������© m6ª £ c z j � £ c�a«jf¬)­� Cequi caracteriseuneondeplanestationnaire!

– £ estappele rayonacoustique– la grandeur® , definie par ® ��a �8¯ r ¯ � � � m � , et doncexprimant la densite de flux

d’energie cinetique,estuniformele longdesfuseauxdel’ondestationnaire.

4.3. Modes de graviteV La composanteradialeduvecteurd’onde(Eqt.13) s’ecrit:]_^\�&b°]_±��²� } �m �.� y � b nqp �r � � } �m �.� y �etalors,dansla cavite creeepar } � , l’ equationderesonance(Eqt.23) devient:v x_c�xg,y�jm b�k³cfehg.ij W>´Bµ\¶)· lK¸¹���y � m �} ��� �\� � } a `�a

122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SISMOLOGIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2004-2005º Les modesde gravite, qui existentau seindesetoilesa cœurradiatif, satisfonta larelationasymptotiquepourlesfaiblesdegreset »�¼|½ :¾À¿NÁ ÂRÃÅÄ�Æ?Ç;ÈÉËÊÍÌÎ Ê?Ï!Ð ¾�ÑÒ Ç ÒÔÓ�Õ�Ö×ÇØÕ ÓÒ Ó ¾Ñ8Ó¾À¿NÁ ÂAvec: ¾Ñ¨Ã ÉÚÙ Ó?ÛÍÜÞÝsßÑ ½ àâá à

–Õ�Ö

etÕ Ó fonctionsde ½²ã à«ä .

– Le termeÏ

exprimel’influencedela coucheconvective

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ROTATION – LE SOLEIL , ROTATEUR LENT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5. Rotationå Leseffetsdela rotationpropre:– Structureinternea l’ordre 0: aplatissementauxpoles– Referentieltournantnongalileen: termesdeCoriolis etd’entraınement– Eventuellerotationdifferentielleæ×ç Leveededegenerescence: è�éNê ëíìîè�éNê ë#ê ï

5.1. Le Soleil, rotateur lentð Rotateurlent (figuresolairespherique),maisrotationdifferentielleimportante– La rotationsuperficielledu soleil estestimee a partir du mouvementde diverses

structures: taches,structuresmagnetiques,supergranulationð Si l’on negligela rotationdifferentielle,la leveededegenerescences’ecritenpremiereapproximation: è éNê ë#ê ï æ è éNê ëqñ?ò è�óõô#ö (24)

L’orientationdesensconduisantausignenegatif dela correctionrotationnelleestbien-sur arbitraire.Ontrouveegalementdansla litt eraturela conventionopposee,qui conduitautermecorrectif ÷ ò è óøô#ö .?! Reperer dans la figure 31 les frequencescaracteristiques; retrouver la valeur

numeriquede è8óøôsö solaire; quelindicemontrequela rotationdusoleilestdifferentielle?

ð Pour rendre compte de la rotation differentielle, differentesapprochessemi-analytiquesont ete developpees.Mais la specificite du cassolaire,avec un profil derotationaxisymetrique( ù�ú�û!ü�ý1þ ), et avecdesdonneesnombreuses,meritedeconsidererlestechniquesd’inversion,et l’introductiondenoyaux...cequi n’estpasfait ici.

FIG. 31– Spectresdesmodesde degre ÿ æ���� et ordresazimutauxò deñ 20 a ÷ 20

124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SISMOLOGIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2004-2005

FIG. 32– La rotation differentielledu soleil, 2-D, obtenuepar inversion(experienceMDI a borddeSoho).Le profil presentedebrusquesvariationsa la tachocline.

– Apres quelquessimplificationset approximations,on peut exprimer la levee dedegenerescencerotationnelle: ����� �� ������ �� ������ �quetout le mondeappellesplitting rotationnelpar(cf. coursJCDsurle webp.ex.) :

����� �� ���� ���������� � �����"!$# %'&�(*) � # %+&,(.-0/ �21.3 ( �546.798�: �<; (�=>(? (�@A( � ��B �21.3 (+CED ?>F -,G0H ?= H D #I%+&�-,GJ �546.798�: �<; (�=>(? (�@A( � ��B �21.3 ( H ?=avec &�K LE) �M�ON ; . Cettevariablerend comptedu fait que l’harmoniquespheriqueP �

estessentiellementconfine auxregionsdepartet d’autredel’ equateurdelatitudescomprisesentre Q ) .

– Resultatsde l’inversiondesmesuresheliosismiquesdesreseauxd’observationsetdesmesuresSoHO(Fig.32, 33). Analyseexpliciteeauchapitre: techniquesnumeriques.

– Commela rotationpropredu soleil estlente(� J0R

jours),il fautobserver plusieursmoispourresoudrela structurefine rotationnelle

5.2. Rotateur rapideS Introductiondela rotationparunetheoriedeperturbation– ordresdegrandeur:

correction magnitude effet

changementdereferentiel��T �VU N���� �

termeadditif�W�O��T �VU

forcedeCoriolis X ��T �VU N���� �tendvers0 pour Y ou Z\[ :

forcecentrifuge- equilibre D � T �VU N0��] G ( �aplatissement^

forcecentrifuge- onde D � T �VU N0� � � G ( �negligeable

TAB. 4 – Influencedesdiverstermesperturbatifsdusa la rotation�`_Levee de degenerescencedes modespropres,qui apparaıt d’emblee dans les

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ROTATION – ROTATEUR RAPIDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

FIG. 33– La rotation differentielle du soleil, fonction du rayon interne,obtenueparinversion(experienceMDI aborddeSoho)

observations,memedecourteduree,et spectreplusricheenmodes:a�bc d�c egfha�bc djiVkElnmporqts uvs wyx{z k|p} ~j�wyo�wEl�k�x���� } ~�a����V�– m�o�qts uvs wyx : du memeordredegrandeurquel’aplatissement,fonctiondu degre, de

l’ordre radial– Le terme

} ~�a ����� est simplementdu au changementde referentiel, entre lereferentieltournantstellaireet le referentield’observation

– La leveede degenerescencerotationnellecomplexifie le spectre,maisneanmoinselle introduitunnouvel invariant,qui permetdeserepererdansuneventuelspectredontlesfrequencespropressontapriori inconnues:a bc dVc ��e } a bc d�c e fg�$~���a ���V�

126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SISMOLOGIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2004-2005

FIG. 34– De l’importancedubonchoixdel’approchenumerique

6. Techniquesnumeriques� Cechapitren’estgueredeveloppe: d’abordsatechnicite depassede loin cecoursdeDEA a developperdansun volumehorairelimit e. Descomplementsserontdonnesencoursde2emeet3emeanneed’EcoleDoctorale.

6.1. Codes numeriques� Un codenumeriquededie a la sismologiedoit s’attachera resoudreles equationsdifferentiellesgouvernantla propagation desondesen respectantles conditionsauxlimites.� Il existepourcefairediversesmethodes,quinesontdeloin paspropresalasismologie.

– Resolutiondusystemed’equationsdifferentiellespardifferencesfinies– Crible (shootingtechniques): la recherchedesvaleurspropresdela pulsation� se

fait eniterantsurunegrille serreedevaleursde � , avecpourchaquecalculun testbasesurlesconditionsauxlimites.Cecipermetderepererle voisinagedessolutionsetdelesiterer.

– Methodede relaxation: on supposeconnaıtre unesolutiondesvaleurset vecteurspropresrecherches,et on linearisele problemeau voisinagede cetteestimationde lasolution

– Extrapolationde Richardson: les diversesmethodesexpriment les termesderivesendifferencesfinies: �y��y��� �����`��� ����0���`��� �>�ou ¡ numerote un point de la grille de calcul. Commela precision de ce genredemethodevariecomme¢¤£ ¥§¦ , ou ¥ estle nombredepointsde la grille, l’extrapolationdeRichardson,baseesurlessolutionsdesgrilles a ¥ et ¥n£y¨ points,donnedesresultatsmeilleursqueceuxdela grille a ¥ points(Fig. 34):�{©'ª « ¬�­,®¯ °±³² �v´ � � ´�µ ¦¶� Choix de la grille de calcul: danstousles cas,la grille despointscalculesdoit etresubtilementchoisie(unmaillageregulierenrayonn’ayantaucuneproprieteparticuliere)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . TECHNIQUES NUMERIQUES – INVERSION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

– Dansle casdesmodesdepression,il s’agit depondererchaqueregionparle poidsdu temps· passe a la parcourir; unebonnegrille seraplutot reguliereenla variable 27 :¹ ¸»º,¼½ ¾¿ ¹�ÀÁ

– Lesmodesdegravite s’appuierontsurunegrille reguliereselonla ponderationdela frequencedeBrunt-Vaisala: ¹ ¸0 º,¼½�¾¿Äà ¹yÀÀ

– En revanche,l’examenprecisd’unegrandeurÅ a interet a sebasersurunegrilleregulariseeselonl’ echelledehauteurdecettevariable:¹ ¸�ÆǺ,¼½ ¾¿ ¹yÀÈ Æ6.2. InversionÉ La procedured’inversionconsisteaextrairel’information desdonneessismiques,pourconstruiredirectementdesmodelesdestructureinterne.Elle estbienplusperformantequ’un procede qui consisteraita chercheraveuglementun modele de structureinternequi voudraitbienaboutira unspectred’oscillationsenaccordaveclesobservations.

Mise enformeÊyË É Le but de l’approcheconsistea mettre en evidenceun operateurrepresentantlaphysiquedesoscillations,qui permettedeconsidererlespulsationsproprescommelesvaleurspropresdansunespacedeHilbert (voir le coursdeChristensen-Dalsgaard)

– En regime adiabatique,apres separationdes variables,le vecteurdeplacementsatisfait a l’ equation:ÌÎͤÏÐtÑ ¿ ÒÓ'Ô�ÕyÖØ× Ô ÖnÙ Í Ó'Ô ÏÐtÑ`Ú ÒÓ'Ô�ÖÜÛ ÖÝ× Ô Ù ÏÐ�ÞßÚ ÒÓ'Ô�ÖàÛ Á Õ Ó'Ô Ö ÏÐ�Þ

á Ögâã.äØå ÖnÙ Í Ó Ô ÏÐ,Ñ`¹tæ�çèèè ç Úné èèè êë¿ ì Õ ÏÐ

– Cetteequationainsi queles conditionsaux limites definissentles valeurspropresì Õ del’operateurÌ

– Cet operateuragit sur les vecteursÏÐ, exprimant physiquementune perturbation

de position au sein de l’objet, mathematiquementconsideres commeles elementsdel’espacedeHilbert duproblemeí Le produitde2 vecteursestdefini par:î ÏÐ�ï Ïð`ñ º,¼½�¾¿ å ÏÐò Ù Ïð\Ó Ô ¹ æ é

– L’operateurÌ

estsymetrique28 :î ÌÎÍ ÏÐtÑ�ï Ïðóñ ¿ î ÏÐ�ï ÌßÍ Ïð Ñ ñ– Ondefinit egalement,pourundegre ô donne, le produit:î ÏÐ�ï ÏðóñIõ º,¼½ ¾¿ å5öÔø÷ Ð òù ð ù ánú Õ Ð òû ð û$üþý>ÿ À Õ Ó Ô ¹yÀ

qui estegalementsymetrique.

27. � estle rayonacoustique28.L’annulationdela pressiona la surfacedel’ etoileassurequel’operateur

�esthermitien

128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SISMOLOGIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2004-2005

FIG. 35– Noyaux optimises, focalisantleur poids sur une region donneede la structureinterne.Une telle ponderation par un tel noyau(Eqt.25) permetl’ etudeprecisedecetteregion

� La symetriedel’operateur�

assurequesesvaleurspropressonttoutespositives,d’oudesfrequencespropresreelles����� :

����� � � ��������� �� ��� �� ��� �������� ��!��������� � �� ��� � � � ��!ou

�� ��� estle vecteurpropreassocie a la pulsationpropre�– Cette mise en forme permetd’affirmer que les valeurspropres� satisfontau

principevariationnel(Chandrasekhar1964).Ceci signifie que � estun extremumdel’expressionprecedente,considereecommeunefonctionnelledel’operateur

�.�#" La valeurpropre� ��� estdetermineebienplusprecisementquela fonctionpropre�� ���

Un changementdemodeledestructureinternes’accompagne:– d’un changement$ � del’operateur– d’un changement$%����� desvaleurspropres

– maisengardantlesmemesfonctionspropres�� ��� :

$%�&� � �(' �� ��� �)*$ ��� �� ��� ��+ ' �� ��� �) �� ��� + � ��������� � $ ��� �� ��� ��� � � ��!���� ���� � �� ��� � � � � !

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . TECHNIQUES NUMERIQUES – INVERSION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

FIG. 36– Inversion du carre de la vitessedu son et du profil de massevolumique: differenceentredivers modeleset le profil issu del’inversion(Turck-Chiezeet al. 2001).Les desaccordspersistentessentiellementa la tachocline.

Noyaux,.-

De cequi precede,on exprimeun changementdansle modelepar la variationrelativedela pulsationpropre:/%0�1�2 30�1�2 354768 /%0�1�2 3�90&1�2 3 9 4 68�0�1�2 3 9;:.<= 1�2 3�>*/%?�@ <= 1�2 3�A�B*3:.<=C1�2 3 > <=C1�2 3 B 3

– la relation precedente montre qu’un changementdans le modele se traduitlineairementparunchangementdefrequence.D Onexprimecettedependancelineairevia lesnoyaux E 1�2 3F , qui mesurentle poidsd’unchangementdela variabledestructureinterneG surla valeurpropre

0�1�2 3:/%0&1�2 30&1�2 3H4JILKMON E 1�2 3PRQ @TS�A /%U.9U 9WV E 1�2 3X @TS�A /%YY V E 1�2 3F @TS�A / GG[Z]\ S (25)

– les fonctionsnoyauxpermettentdemesurerl’importanced’uneregiondonneesurla mesuredesfrequencespropres,a l’aune de leur amplitudedanscetteregion (voirFig. 35)D Lesdonneesd’inversionpermettent

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– d’obtenirdirectementdesmodelesinternes– demesurerlesecartsentrepredictionstheoriquesetobservations(Fig. 36).^ Dansle casdu soleil, lesdifferencesentremodeleset observationsont ete reduitesa

pasgrandchose: seulsle cœuret la frontiereentreles regionsradiative et convectivegardentunpeudeleursecret.