پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------

1

فصل پنجم

سری و انتگرال فوریهFourier series and integrals

periodic functions: توابع متناوب: 1- 5

trigonometric series: سری مثلثاتی

:بشکلی وجود داشته باشد کهT یک تابع متناوب است اگر یک عدد مثبت f(x)تابع )()( xFTxf =+

. تابع می نامند(period) را تناوبTدر اینصورت عدد

بهترین مثال توابع .د تکرار کنT که خود را بعد از هر تناوب استبه این ترتيب تابعی تناوبی==هم چنين تابع ثابت . تناوبی همان توابع سينوسی و کسينوسی هستند cfیک تابع يز ن

. مثبت ميتواند باشدهر مقدار برای آن Tتناوبی است و

داراي نوسی که آنها نيز ي را بر حسب توابع سينوسی یا کسπ2 تابع با تناوب هرميتوان

.اين نوع بسط را بسط مثلثاتي نيز مي گويند. هستند بسط دادπ2تناوب

سي يا بطور آلي عمل بسط يك تابع بر حسب توابع معلوم و مشخص مانند توابع سينو

تناوبي در مسائل مهندسي تابع . ه تر با مسائل مهندسي استآسينوسي براي برخورد ساد

تناوبي پيچيده بر حسب توابع تناوبي ساده تري اي هستند و لذا بايد اين توابع توابع پيچيده

نوشته شوند تا تحليل و آناليز آنها ميسر شود در غير اين صورت رفتار توابع پيچيده مهندسي

.اري دشوار خواهد بودآ

:تمرينات

: را براي توابع زير پيدا آنيدTآمترين تناوب مثبت ) 1

. خواهد بودf(x) نيز تناوب nT(…,n=2,3) باشد نشان دهيد f(x) تناوب تابع Tاگر ) 2

b,a آه در آن h(x)=af(x)+bg(x) باشند نشان دهيد T داراي تناوب g(x) و f(x)اگر ) 3

. خواهد بودTد هم داراي تناوب ثابت هستن

پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------

2

اين بخش مورد لزوم ساين انتگرالها جهت ادامه درو. د انتگرالهاي زير را پيدا آني)4

.هستند

dxnxe

dxnxedxnxxdxnxx

dxnxxdxnxdxnx

x

x

sin

cos,cos,sin

cos,sin,cos

0

00

22

2

2

20

2

0

∫

∫∫∫

∫∫∫

−

−

−

π

πππ

π

π

π

ππ

سری فوریه :2 ـ5

فرمولهای اولر

: توسط سري مثلثاتي زير بسط داده شودπ2 با تناوب f(x)فرض آنيدآه تابع

F(x) = a0 + nxbnxa nnn

sincos(1

+∑∞

=

(A)

بر f(x) ، آنگاه bn و anبديهي است با پيدا آردن . را پيدا آنيمbn و anحال مي خواهيم

براي پيدا . حسب توابع متناوب سينوسي و آسينوسي بطور آامل نشان داده شده است

: انتگرال گيري مي آنيم يعني π تا -π در محدوده آردن ضرايب از طرفين رابطه باال

( ) dxxbxaadxxf nnn

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++= ∑∫∫

∞

=−−

sincos)(1

0

π

π

π

π

:به عبارت انتگرال گيري آنيم خواهيم داشتعبارت اگر طرف دوم را

02)( 0 += ∫∫ −−adxxf π

ππ

ππ

: به اين ترتيب

dxxfa )(21

0 ∫−=πππ

ضرب sin mxر و نيز دبار و يكCos mx را يكبار در (A)ت بهمين ترتيب اگر طرف اول عبار

:نمائيم و انتگرالها را عبارت به عبارت حساب آنيم داريم

,...2,1sin)(1

,...2,1cos)(1

==

==

∫

∫

−

−

mdxmxxfb

mdxmxxfa

m

m

π

π

π

π

π

π

.د توابع سينوسي و آسينوسي استفاده آرديممآه در محاسبه آنها از شرط تعا

.قبلي نيز آمده استی اين مطالب در گذشته و در بخش ها

را بدست ضرائب خود انتگرالها را حساب آرده و ممارستيان گرامي بايد براي دانشجو

.آورند

.يه مي نامندفور ضرائب را bm و am ضرائب

:مثال

:موج مربعي

: موج مربعي زير را در نظر بگيريد

پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------

3

:فرم رياضي اين موج عبارت است از

هاي نيروي مكانيكي يا هاي خارجي به سيستم هانيروتوابعي از اين نوع در اعمال

.الكتروموتيو در مدارات الكتريكي ديده مي شوند

بسط ضرائب را برحسب توابع سينوسي و آسينوسي بسط داده و f(x)حال مي خواهيم

:را پيدا آنيم پس

( )

0sinsin1

coscos1cos)(1

0)(21

0

0

0

0

0

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−==

==

−

−−

−

∫∫∫

∫

π

π

π

π

π

π

π

π

π

ππ

π

nnxk

nnxk

dxnxkdxnxkdxnxxfa

dxxfa

n

( )πππ

πππ

π

π

π

π

π

nn

knnxk

nnxk

dxnxkdxnxkdxnxxfbn

cos12coscos1

sinsin)(1sin)(1

0

0

0

0

−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−==

−

−− ∫∫∫

: پس

054

034

04

65

43

21

==

==

==

b؛kb

b؛kb

b؛kb

π

π

π

:پس

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++= ...5sin

513sin3

1sin4)( xxxkxfπ

when

when

پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------

4

. نيز صفر در آمدan ضرائبو البته همانطور آه ديده شد

. درك آنيمبهتر را f(x)خوب حاال دقت آنيد منظور از بسط

xkاگر شما فقط جمله اول بسط را يعني عبارت sin4π

. خواهد بودf(x) را بكار گيريد شكل

بخوبي حاصل نخواهد شد f(x) آه با بكارگيري جمله اول بسط شكلمالحظه مي شود

. يعني موج مربعي داردf(x)گرچه شباهتي ولو اندك با شكل

:حال اگر جمله دوم بسط را نيز اضافه آنيم داريم

دارد به تدریج آه با بكارگيري جمله دوم بسط شكل سري بسط می شوداين بار مالحظه

:در نظر بگيريم داريم مي رود بطوريكه اگر جمله سوم را نيز f(x)به سمت شكل

در حال بدست آمدن f(x) آه با بكارگيري جمله سوم تقريبا شكل آلي می شودمالحظه

بسط در حقيقت پي بردن به رفتار توابع به شکلپس انجام بسط و نوشتن توابع تناوبي . است

مع چه جمالت بيشتري از بسط را در نظر بگيريد جهردر اينجا . پيچيده در مهندسي است

چيزي نيست f(x)يعني . نزديك مي شودf(x)جمالت بسط بيشتر و بيشتر به شكل اصلي

.تا آخر sin 7xهبه عالو sin 5x به عالوه sin 3x به عالوهsin xمگر جمع جمالتي مانند

پس اگر ما از رفتار تابع مربعي در ابتدا اطالع درستي نداشتيم حال مي توانيم بگوئيم آه SinxxSinxSinxSinر توابع با دانستن رفتا را شناخت و f(x) تا آخر بخوبي مي توان تابع 3,5,7,

.تحليل آرد

پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------

5

:تمرينات

زير را پيدا آنيد و منحني جمع سه جمله از بسط را نيز رسم f(x)سري فوريه توابع ) 1

:آنيد

e) f(x) = ⎩⎨⎧

<<−<<−

23

2

22

ππ

ππ

π xifxxifx

توابع با تناوب دلخواه :3 ـ5

آرد معرفی x باشد آنگاه مي توان متغير جديدي به نام T داراي تناوب f(t)اگر تابع

باشد در دست π2 آه تناوب حالتیچون روابط براي . باشدπ2 داراي تناوب f(t(x))بطوريكه

.باشد تعميم داد T تناوبحتي ميتوان موضوع را به حالتيكه است پس برا

tT

xxTftf ππ

2)2

()( =⇒=

2 متناظر با π±=xبه عبارت ديگر Tt به عنوان fاين بدان معنا است آه تابع . است=±

. استπ2تناوب داراي xتابعي از

dxnxxTfb

dxnxxTfa

dxxTfa

nxbnxaaxTftf

n

n

nnn

sin)2

(1

cos)2

(1

)2

(21

)sincos()2

()(

0

10

∫

∫

∫

∑

−

−

−

∞

=

=

=

++==

π

π

π

π

π

π

ππ

ππ

ππ

π

پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------

6

:با توجه به روابط باال خواهيم داشت

dtT

tntfb

n

dtT

tntfa

dttfa

T

Tn

T

Tn

T

T

ππ

ππ

π

2sin)(2...,2,1

2cos)(2

)(1

2

2

2

2

2

20

∫

∫

∫

−

−

−

=

=

=

=

:و به اين ترتيب سري فوريه عبارت است از

∑∞

=

++=1

0 )2sin2cos()(n

nn tTnbt

Tnaatf ππ

:مثال

موج مربعي متناوب) 1

: را در نظر بگيريد و ضرائب بسط را پيدا آنيدf(t)تابع

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<<=<<−

−<<−=

210411

120)(

twhenTtwhenk

twhentf

241)(

41)(1 1

1

2

2

2

20

kdtkdxtfdxtfT

aT

T==== ∫∫∫ −−−

2sin2

2sin

21

2cos)(

21

2cos)(2

1

1

2

2

2

2

ππ

ππ

π

nn

k

dttnkdttntf

dtT

tntfT

aT

Tn

=

==

=

∫∫

∫

−−

−

:پس

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=−

==

,...11,7,32

,...9,5,12

0

nn

k

nnk

an

π

π

برايn زوج

پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------

7

...2

5cos51

23cos

31

2(cos2

2)(

,...2,1

02sin)(2 2

2

tttkktf

n

dtT

tntfT

bT

Tn

ππππ

π

+−+=⇒

=

== ∫−

Half-Wave Rectifierيكسو آننده نيمه موج

درك بيشتر مفهوم بسط فوريه يك يكسو آننده نيمه موج مورد بررسي قرار ایدر اينجا بر

.مي گيرد

tEيك ولتاژ سينوسي به شكل : سئوال ωsin از يك يكسو آننده نيمه موج عبور مي آند

. سري فوريه تابع تناوبي يكسو شده را پيدا آنيد. منفي ولتاژ مزبور حذف مي شودو قسمت

)شكل زير(

∫

∫ ∫ ∫

==

+==

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

<<

=

<<−

=

− −

w

T

T T

T

EdttE

dttUT

dttUT

dttUT

a

TtwhentE

T

tTwhen

tU

π

πω

πω

ωωπ

0

2

2

0

2

2

00

sin2

)(1)(1)(1

20sin

2

02

0

)(

dttntUT

dtT

tntUT

aT

T

T

Tn ωπ cos)(22cos)(2 2

2

2

2∫∫ −−

==

ωπچون =

T2

( ) ( )[ ]∫ ∫ −++==⇒ ωπ

ωπ

ωωπ

ωωωπω

0 01sin1sin

2cossin dttntnEdttntEan

:يم دار…,n=2,3 باشد جواب انتگرال طرف راست صفر خواهد بود و براي n=1وقتي

( ) ( )

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−+−−

=+

++−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−+−−

++

++−=

nn

nnE

nn

nnEan

111cos

111cos

2

111cos

111cos

2 0

πππ

πππ

ω ωπ

: زوج باشد داريمn فرد باشد عبارت باال صفر است و وقتي nوقتي

پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------

8

,...6,4,2)1)(1(

21

21

22

=+−

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

+=

nnnE

nnEan π

: داريمbnبهمين ترتيب براي ضرائب

,...3,2021 === nforb؛Eb n

:پس

...)4cos53

12cos31

1(2sin2

)( +×

+×

−+= ttEtEEtU ωωπ

ωπ

:تمرينات

از يك يكسو U(t) = 2 Cos 100 πtي آه توسط عبور يك ولتاژ تناوب سري فوريه يك تابع )1

.آننده نيمه موج حاصل شده است را پيدا آنيد

را بدست آورده و حاصل سه جمله از مجموعه Tتناوب با f(t)سري فوريه تابع تناوبي ) 2

.جمع را نيز رسم آنيد

a)⎪⎩

⎪⎨

⎧

<<=

<<−=

2014

020)(

tT

ttf

b)⎪⎩

⎪⎨

⎧

<<=

<<−=

3104

111)(

tT

ttf

c)⎪⎩

⎪⎨

⎧

<<−=

<<−=

1012

011)(

tT

ttf

توابع زوج و فرد4 ـ5

تناوبي آه مي خواهيم سري فوريه آنها را بدست آوريم زوج يا فرد باشند آار چنانچه توابع

.آسانتر خواهد بود و بدون انجام محاسبات اضافي ضرائب بسط بدست مي آيند

:توابع زوج

.ج مي نامند در عبارت زير صدق آند آنرا زوy=g(x)اگر تابع

g(-x) = g(x) ها xبراي همه

:داي از يك تابع زوج را نشان مي دهشكل زير نمونه

پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------

9

توابع فرد

. در عبارت زير صدق آند آنرا فرد مي نامندg = h(x)اگر تابع

h(-x)=-h(x) ها xبراي همه

:شكل زير نمونه اي از يك تابع فرد را نشان مي دهد

. يك تابع فرد استsin nxتابع يك تابع زوج وCos nxبه عنوان مثال تابع

: يك تابع زوج باشد مي توان نوشتg(x)اگر

∫ ∫−=2

2

2

0)(2)(

T

T

Tdxxgdxxg

: يك تابع فرد باشد خواهيم داشتh(x)و اگر تابع

∫− =2

20)(

T

Tdxxh

ضرب ند حاصلو ديگري فرد باشد در يكديگر ضرب ش و آه يكي زوجh(x) و g(x)اگر دو تابع

. خواهد بود فرد استq(x)=h(x)g(x)آه يك تابع

:پس به اين ترتيب

زوج باشد عبارت f(t)اگر T

tntf π2sin)( فرد خواهد بود و لذا bn=0 . بهمين ترتيب اگرf(t)

فرد باشد عبارت T

tntf π2cos)( فرد بوده و an=0خواهد بود .

سري فوريه توابع زوج و فرد

. يك سري آسينوسي فوريه خواهد بودT با تناوب f(t)ي فوريه يك تابع زوج سر )1

,...2,1

2cos)(4)(2

2cos)(

2

0

2

00

10

=

==

+=

∫∫

∑∞

=

nT

tntfT

a؛dttfT

a

Ttnaatf

T

n

T

nn

π

π)زوج(

پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------

10

. يك سري سينوسي فوريه مي باشدT با متناوب f(t)سري فوريه يك تابع فرد ) 2

dt

Ttntf

Tb

tTnbtf

T

nn

π

π

2sin)(4

2sin)(

2

00

1

∫

∑

=

=∞

=

: باشد داريمπ2تناوب زوج با f(x) چنانچه تابع در حالت خاص

,...2,1

cos)(2)(1...3cos2coscos)(

000

3210

=

==

++++=

∫∫n

dxnxxfa؛dxxfa

xaxaxaatf

n

ππ

ππ

: باشد خواهيم داشتπ2تناوب با فرد f(t)و در حالت خاص چنانچه تابع

,...2,1sin)(2

...3sin2sinsin)(

0

321

==

+++=

∫ ndxnxxfb

xbxbxbxf

n

π

π

:مثال

اگر به مثال موج مربعي به فرم ) 1⎩⎨⎧

<<<<−−

=π

πxwhenkxwhenk

xf0

0 برگرديم مالحظه )(

:سري فوريه عبارت بود ازهد شد آه حاصل اخو

......5sin513sin3

1(sin4)( +++= xxxkxfπ

: جمع آنيم حاصل عبارت است ازg(x)=kحال اگر اين تابع را با عبارت

....5sin513sin

31(sin4)()()( ++++=+= xxxkkxfxgxF

π

: را نشان مي دهيدF(x)شكل زير تابع

عبارت است از سري فوريه F(x)=g(x)+f(x)اين مثال نشان مي دهد آه سري فوريه تابع

.f(x) به عالوه سري فوريه تابع g(x)تابع

آه از حاصل جمع سري فوريه دو تابع به دست آمده است پالس مستطيلي F(x)به شكل

.مي گويند

)فرد(

)زوج(

)فرد(

پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------

11

etoothed Wav-Saw موج دندان اره اي )2

:سري فوريه تابع زير را حساب مي آنيم

ت و ميتوان آنرا به شكلاين تابع به موج دندان اره اي موسوم اس

ππππ 2)( =<<−+= Txwhenxxf

:ميتوان نوشت. نشان دادπ==+= 2121 fandxf؛fff

π=0a صفر هستند بجز f2ضرائب فوريه

) تابعي فرد است پس f1چون ) 0,...2,1 == nan و براي bnداريم :

∫ ∫==π π

ππ 0 01 sin2sin)(2 dxnxxdxnxxfbn

: انتگرال بگيريم داريمز به جزشكل جبه چنانچه از عبارت باال

πππ

ππndxnx

nnnxxbn cos2cos1cos2

00−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−

= ∫

:بنابراين

...,42

32

222 4321

−==−== b؛b؛b؛b

: عبارت است ازf(x)و لذا نمايش سري فوريه

:تمرينات

ممكن است توابع نه فرد باشند . فرد بودن و زوج بودن را در مورد توابع زير تحقيق آنيد)1

.نه زوج

ππ

ππ

ππ

<<−=⎩⎨⎧

<<<<−−

=⎩⎨⎧

<<<<−

=

+

xifxxf

xifxxifx

xfxifxxif

xf

xxxxxxxx

sin)(

00

)(0

00)(

;ln;sin;;

2

2

2

)(2نشان دهيد آه تابع) 2 xxf ) درباره = )ππ ≤<− x با π2=T داراي سري فوريه زير

:است

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−= ...........3cos

912cos

41cos4

3)(

2

xxxf π

را بدست آمده است ر قبل جواب معروف زير آه توسط اول در مسألهπ=x با گذاشتن )3

.تحقيق آنيد

......)3sin312sin

21(sin2)( xxxxf +−+= π

∑∞

=

=++++=1

2

2 6....

161

91

4111

n nπ

پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------

12

: استفاده آنيد نشان دهيد2 از مسأله )4( )

12....

161

91

4111 2

2

1

1

π=+−+−=

− +∞

=∑ n

n

n

Range Expansions-Half بسط نيم بازه 5 ـ 5

توابعي داشته فنیدر بعضي از مسائل فيزيكي و مهندسي الزم مي شود آه به لحاظ

.باشيم آه فقط روي يك بازه محدود تعريف شده اند

lt روي بازه f(x)نوان مثال فرض آنيد تابع به ع تعريف شده باشد و ما مي خواهيم 0≥≥

f(x)را با يك بسط فوريه نمايش دهيم . ltبراي اينكار فرض مي آنيم آه بازه 20 متناظر بازه انتگرال گيري 0≥≥ Tt به . باشد≥≥

lTعبارت ديگر lT يا 2= lTبه اين ترتيب با اختيار آردن عبارت . =2 مشاهده مي شود =2

−≥≥0آه ما تابع را به قسمت tlع حال ميتوانيم تابع بعد از اين موضو. نيز گسترش داده ايم

.يه آسينوسي يا بسط فوريه سينوسي نشان دهيمتناوب باال بشكل بسط فورامزبور را ب

:مثال

. در شكل زير دقت آنيدf(t)به عنوان مثال به تابع )1

ltاين تابع در محدوده براي نمايش اين تابع بشكل بسط فوريه . تعريف شده است0≥≥

ltlآسينوسي الزم است تابع بشكل زير در محدوده )شكل زير(گسترش يابد −≥≥

و يا اينكه بخواهيم نمايش تابع را بشكل بسط فوريه سينوسي بدهيم آه در آن شرايط تابع

: بايد شكل زير را بخود بگيرد

پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------

13

از ) آسينوسي يا سينوسي(بعد از انتخاب چگونگي نمايش بسط فوريه تابع داده شده

:يعني. روابط قبلي داده شده براي محاسبه ضرائب بسط استفاده مي آنيم

,...2,1

cos)(2;)(1

cos)(

0 00

10

=

==

+=

∫ ∫

∑∞

=

n

dtltntf

ladttf

la

tl

naatf

l l

n

nn

π

π

يا

,...2,1sin)(2

sin)(

0

1

==

=

∫

∑∞

=

ndttl

ntfl

b

tL

nbtf

l

n

nn

π

π

:پالس مثلثي )2

.ا آنيدبسط نيم بازه تابع زير موسوم به پالس مثلثي را پيد

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+=

∫∫

∫∫

dttl

ntllkdtt

lnt

lk

la

kdttll

dttlk

la

l

l

l

n

l

l

L

ππ cos)(2cos222

)(221

2

2

0

2

2

00

:با انتگرال گيري جزرا به جزرا داريم

∫

∫

−−−=−

−+=

l

l

l

nnn

lnnldtt

lntl

nn

lnnldtt

Lnt

222

22

22

222

0

)2

cos(cos2

sin2

cos)(

)12

cos(2

sin2

cos

πππ

ππ

π

ππ

ππ

π

:آه در نهايت خواهيم داشت

2210226222

22

1016....;

616;

216

)1cos2

cos2(4

πππ

πππ

kakaka

nnn

kan

−=

−=

−=

−−=

n≠14,10,6,2...., وقتي آه na=0و

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<<−

<<=

ltliftllk

ltiftlk

tf

2)(2

202

)(

پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------

14

:شكل زير است در حالت آسينوسي بf(t)بنابراين بسط نيم بازه تابع

:بهمين ترتيب بسط نيم بازه سينوسي نيز مي تواند مورد استفاده قرار گيرد يعني

2sin8

22

ππ

nn

kbn =

:و نهايتا مي توان بسط آسينوسي و يا سينوسي نيم بازه تابع مذآور ار بصورت زير نوشت

آسينوسي نيم بازهبسط ...)6cos622cos

21(16

2)( 222 ++−= t

lt

lkktf ππ

π

نوسي نيم بازهبسط سي ...)5sin513sin

31sin

11(8)( 2222 −+−= t

lt

lt

lktf πππ

π

:تمرينات

توابع زير را با سري آسينوسي فوريه بسط دهيد)1

. توابع زير را با سري سينوسي فوريه بسط دهيد)2

ltttfltttf

ltttflttf

<<=

<<=

<<=<<=

0)(0)(

0)(01)(

3

2

lttl

tf

ltetfltttf

ltttflttf

t

<<=

<<=

<<=

<<=<<=

02

sin)(

0)(0)(

0)(01)(

2

π

پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------

15

Forced Oscillations نوسانات زوري : 5 ـ 6

.يفرانسيل استدمي در رابطه با معادالت مهسري فوريه داراي آاربردهاي

نسيل معمولي مطرح است را مورد در اينجا يك مسأله عملي آه در آن حل يك معادله ديفرا

.بررسي قرار مي دهيم

.به شكل زير دقت آنيد

به جسم r(t) متصل شده است و نيروي خارجي k به فنري با ثابت mدر اين شكل جرم

m باشد معادله ديفرانسيل حاآم بر نوسان جرمC ثابت استهكاك چنانچه. وارد مي شود

:عبارت است از)(trkyycym =++ &&&

. انحراف جسم از وضعيت تعادل استyآه در آن

: مطالب زير قابل بحث و بررسي استدر مسأله باال

با شكل رياضي سينوسي يا آسينوسي باشد و ی نيرويr(t) اگر نيروي خارجي )الف

معادله باال يك حرآت (Steady – State) یستاك نيز صفر نباشد آنگاه جواب اابت استهكاث

. تغييرات همان نيروي خارجي وارد شده به جسمکانسنوساني هماهنگ خواهد بود با فر

يك تابع خالص سينوسي يا آسينوسي نباشد ولي بهرحال يك تابع تناوبي r(t) اگر )ب

اين . مايش دهنده بر هم نهش نوسانات هماهنگ خواهد بود نیستاباشد، آنگاه جواب ا

. انجام شودr(t) از فرآانس مضاربی و يا باr(t)نوسانات هماهنگ مي تواند با فرآانس

در اين حالت به فرآانس تشديد يا رزونانس mاگر يكي از فرآانسهاي نوساني جرم

آانس پاسخ بارز و غالب سيستم با آن فرارتعاش نزديك باشد، آنگاه ارتعاشی سيستم

.سيستم به نيروي خارجي است

:حال به طرح همين مسأله با مثال عددي مي پردازيم

:مثال عددي

: آه فرض آنيدارتعاشی مذکور ديفرانسيل حاآم بر سيستم معادلهدر

2sec25,sec02.0;1 gmkgmcgmm ===

2502.0)(بطوريكه معادله ديفرانسيل بشكل tryyy =++ . در مي آيد&&&

r(t) 2 بر حسبseccmgm −

مطابق شكل زير به r(t)حال فرض آنيد . اندازه گيري ميشود

: سيستم وارد شود

پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------

16

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<<+−=

<<−+

=ππ

π

ππ

tiftT

tift

tr02

2

02

)(

: را پيدا مي آنيمy(t)حال جواب اسيتاي

: را برحسب سري فوريه نشان دهيم بشكل زير در مي آيدr(t)اگر

...)5cos513cos

31cos(4)( 22 +++= ttttr

π

:پس ميتوان معادله ديفرانسيل را بشكل زير نوشت

,...3,1

cos42502.0 2

=

=++

n

ntn

yyyπ

&&&

:از مطالب گذشته در مورد نوسانات زوري ميتوان نوشتntBntAy nnn sincos +=

:حال اگر جواب باال را در معادله ديفرانسيل قرار دهيم و دو طرف را معادل بگيريم داريم

222: ارت است از مخرج عبDدر روابط باال مقدار )02.0()25( nnD +−=

خطي است پس انتظار داريم آه جواب آلي برهم نهش ما چون معادله ديفرانسيل،

:جوابهاي تكي باشد يعني...531 +++= yyyy

:زير توصيف مي آنيمبگونه را Cnدر اينجا عبارت 22

nnn BAC +=

ntBntAyاين عبارت از جواب معادله بشكل nnn sincos : بديهي است پس=+

DnBAC nnn π2

22 4=+=

: عبارت است ازCn هاي مختلف مقادير عددي nبا در نظر گرفتن

DnB

DnnA nn ππ

08.0;)25(42

2

=−

=

پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------

17

0003.00011.05100.00088.00530.0

9

7

5

3

1

=====

CCCCC

C5 بسيار آوچك مي شود و بهمين ترتيب D مقدار n=5از روابط مالحظه ميشود آه براي

عبارت غالب در ) C5جواب متناظر با (y5 است اين مطلب نشان دهنده آن. خيلي بزرگ ميشود531... رابط +++= yyyyخواهد بود اين موضوع تلويحا مي گويد آه:

بطوريكه فرآانس آن پنج برابر فرآانس ،قريبا يك حرآت نوساني خواهد بود تیستاحرآت ا

.تغييرات نيروي خارجي است

:به شكل زير در اين رابطه دقت فرمائيد

:تمرينات2)( جواب عمومي معادله ديفرانسيل )1 tryy =+ω&& آه در آن

0.10,0.2,5.1,1.1,9.0,7.0,5.0;sin)( == ωttr باشد را پيدا آنيد.

. مسأله باال را براي حالتهاي زير حل آنيد)2

tLintLintintr 52513

91)( ++=

8,6,1.5,9.4,4,1.3,9.2,2,1.1,9.0,5.0=ω

ntbtr

ttrtktr

tifttr

N

nn sin)(

3sin)(sin)(

,...4,2,0

sin4

)(

1∑=

=

==

≠

<<−=

ω

πππ

زير را در حالتي آهRLCر در مدا(I(t)) یستاجريان ا)3 Ω=== − 10,10,10 2 RHenryLfaradCپيدا آنيد است .

ππππ

2)(100)( 22

=<<−−=

TtwhentttE

پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------

18

. مطابق مراحل زير مسأله را حل آنيد:راهنمائي

بر حسب سري مثلثاتي ظاهر خواهد I(t). را بر حسب سري فوريه بنويسيدE(t)ابتدا

. پيدا آنيديك فرمول عمومي براي ضرائب اين سري. شد

.مقادير عددي چند تا از اين ضرائب را حساب آنيد

.سپس جمع چند عبارت سري را رسم آنيد

: مسأله باال را براي حالت زير نيز حل آنيد)4

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<<−=

<<−+=

πππ

ππ

tifttT

tiftttE

0)(1002

0)(001)(

2

2

انتگرال فوريه7 ـ 5

. مي باشندتناوبيرسي مسائل است آه در آنها توابع سري فوريه ابزاري قوي براي بر

ستند و لذا بايد روش سري نيتناوبي عملي و آاربردي، توابع ولي در بسياري از مسائل

.فوريه را براي اينكه توابع غير تناوبي را نيز شامل شود تعميم داد

را به سمت بي نهايت T را در نظر بگيريم و سپس T با تناوب fT(x)ميتوان گفت آه اگر تابع

اين موضوع را با مثال . خواهد بود آه ديگر تناوبي نيستf(x) مانند ميل دهيم حاصل تابعي

:هاي زير نشان مي دهيم

:مثال

تابع زير را آه در شكل نيز نشان داده شده است )1

:در نظر بگيريد

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<<<<−−<<−

=

210111

120)(

TxwhenxwhenxTwhen

xfT

پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------

19

: آنگاه داريمT→∞اگر

⎪⎩

⎪⎨

⎧ <<−==

∞→0

111)(lim)(

xwhenxfxf

TT

:يعني

)(11 تابع )2 x

T exf 22 را در بازه =−TxT )()( بطوريكه −>> xfTxf TT را در نظر +=

:بگيريد و سپس

T با تناوب fT(x)حال براي ادامه بحث و معرفي انتگرالهاي فوريه از يك تابع تناوبي به نام

.شروع مي آنيم آه ميتواند بشكل زير بسط داده شود

∑∞

=

++=1

0 )2sin2cos()(n

nnT xTnbx

Tnaaxf ππ

بقيه جاها

xT exfxf −== )(lim)(

پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------

20

ا يك تغيير متغير محاسبات را قدري آسانتر مي آنيم يعني بTnWnπ2

ز را اbn و an حال اگر =

نشان دهيم v قرار دهيم و متغير انتگرال گيري را نيز به الروابط درسهاي قبلي در عبارت با

:سري باال بشكل زير نوشته ميشود

∫ ∑ ∫∫−

∞

=−− ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ++

=

2

2 1

2

2

2

2sin)(sincos)(cos2)(1

)(T

Tn

T

T nTn

T

T nTnT

T

dWfxWdWfxWT

dfT

xf

νννννννν

TTn

TnWW nn

πππ 22)1(21 =−

+=−+

پسT

WWW nnπ2

1 =−=∆ + πW

T∆

=⇒2

:به اين ترتيب مي توان سري فوريه را بصورت زير نوشت

∫ ∫∫∑− −−

∞

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ∆+∆+

=

2

2

2

2

2

21sin)()sin(cos)()(cos1)(1

)(T

T

T

T nTnnnT

T

Tnn

T

T

dwfwxwdwfwxwdfT

xf

ννννννπ

νν

را به سمت بي Tحال . خيلي بزرگ ولي محدود صحيح استلو وT هر مقدارعبارت اخير براي

ها انتگرال x حاصل روي محور f(x)ع غير تناوبي نهايت ميل مي دهيم و فرض مي آنيم آه تاب

:پذير باشد يعني

dxxf) وجود داشته باشد( )(∫∞

∞−)(lim)( و xfxf TT ∞→=

01 به سمت بي نهايت خواهيم داشت Tبه اين ترتيب با ميل آردن →

T همچنين

02→=∆

TW π

يعني جمله اي آه با fT(x)پس به اين ترتيب جمله اول تابع T1

د به سمت نشو شروع مي

:صفر ميل مي آند و بقيه جمالت به انتگرالهاي از صفر تا بي نهايت تبديل شدند يعني

dwdwfwxdCoswfWxxf ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ += ∫∫∫

∞

∞−

∞

∞−

∞νννννν

πsin)(sin)(cos1)(

0

: را بشكل زير تعريف مي آنيمB(w) و A(w)حال

ννν

ννν

dwfwB

dwfwA

sin)()(

cos)()(

∫∫∞

∞−

∞

∞−

=

=

:پس

[ ]dwwxwBwxwAxf sin)(cos)(1)(0

+= ∫∞

π

. است آه بشكل انتگرال فوريه نوشته شده استf(x)عبارت باال نمايش

پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------

21

:مثال

تك پالس، انتگرال سينوسي) 1

نمايش انتگرال فوريه تابع ⎩⎨⎧

><

=11101111

)(xifxif

xfرا بدست آوريد .

dww

wwxxf

dwwB

ww

wwudwdwfwA

sincos2)(

0sin)(

sin2sincoscos)()(

0

1

1

1

1

1

1

∫

∫

∫∫

∞

−

−−

∞

∞−

=

==

====

π

νν

ννννν

تعريف شده است شامل نقاط f(x)يم آه بازه اي آه در آن با آمي دقت متوجه ميشو

x=1 و x=-1قضيه اي وجود دارد آه . نيست به عبارت ديگر تابع در نقاط مزبور پيوسته نيست

منفصل است مقدار تابع در آن نقاط عبارت است از متوسط حد f(x)مي گويد در نقاطي آه

.چپ و حد راست آن تابع در آن نقطه

:ز اين قضيه استفاده مي آنيم پسما نيز ا

2 عبارت است از x=1 در f(x)متوسط حد چپ و حد راست 1

201=

+

پس

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>=

<≤

=∫∞

1014

102sincos0

xwhenxwhen

xwhen

dww

wwx π

π

. مي گويند(Dirichlet s discontinous factor)انتگرال باال را عامل غير پيوسته در يچلت

: با اهميت ويژه مي پردازيم به عنوان نقطه ايx=0حال به بررسي نقطه

: است داريمx=0وقتي

2sin

0π=∫

∞dw

ww

.مالحظه ميشود آه انتگرال باال حد انتگرالي است آه به آن انتگرال سينوس مي گويند

:انتگرال سينوس به شكل زير نوشته مي شود

dww

wtSisin)(

7

0∫=

2 سمت و انتگرال باال بهt→∞با πميل خواهد آرد .

در بحث سري فوريه جمع جمالت سري تقريبي از تابع تناوبي بود آه سري اش را مي

بدست مي آيند آه حد باالي مانیجا نيز تقريبهاي انتگرال فوريه زدر اين. خواستيم بنويسيم

. دهيم قرارa عدد ∞انتگرال گيري را بجاي

پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------

22

dwبه اين ترتيب w

wwxa sincosdw انتگرال ∫0

wwwxxf sincos2)(

0∫∞

=π

. را تقريب مي زند

: را نشان ميدهدx=0شكل زير نوسانات حول نقطه

dwاين شكل ها مقدار انتگرال w

wwxa sincos . نشان ميدهندa=8,16,32 را براي ∫0

: و داريمB(w)=0 يك تابع زوج باشد آنگاه f(x)اگر

ννν dwfwA cos)(2)(0∫∞

=

f ( dwwxwAxfزوج ( cos)(1)(0∫∞

=π

و

: و داريمA(w)=0 يك تابع فرد باشد آنگاه f(x)اگر

ννν dwfwA sin)(2)(0∫∞

=

f ( dwwxwBxfفرد ( sin)(1)(0∫∞

=π

و

اي الپالسانتگراله : مثال بعدي

بشكل انتگرال فوريه در حقيقت ما به عبارتي مي f(x)بعضي اوقات با نمايش يك تابع مانند

.رسيم آه بعدا براي انتگرال هاي معمولي بسيار الزم هستند

:براي درك اين موضوع به مثال زير توجه آنيد)(0مي خواهيم انتگرال فوريه تابع >= − xwhenexf kxاين تابع زوج . م را بدست آوري

0,)()(است يعني xfxfk : زوج است پس داريمf(x) چون <−=

ννν dwewA k cos2)(0

−∞

∫=

:حاصل عبارت باال ميشودجز به جز با انتگرال گيري

)cossin(cos 22 νννν νν wwkwe

wkkdwe kk +

−+

−= −−∫

پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------

23

22مقدار عبارت سمت راست برابر است با ) حد پائيني انتگرال (v=0وقتي wkk+−

و وقتي

∞=ν) مقدار عبارت سمت راست صفر ميشود پس) حد باالي انتگرال:

22

2)(wk

kwA+

=

:و به اين ترتيب

00cos2)( 220 >

>

+== ∫

∞−

kx

dwwkwxkexf kx

π

kxexfبهمين ترتيب چنانچه : بوده و فرد باشد داريم)(=−

dwwkwxwexf kx

220

sin2)(+

== ∫∞−

π

گرچه براي . در قرار گرفته اند به انتگرالهاي الپالس موسومندکادر داخل انتگرالهايي آه

بدست آوردن آنها از انتگرال فوريه استفاده شد ولي عبارتي بدست آمد آه براي محاسبه

.انتگرالهاي پيچيده بسيار مفيد هستند

:تمرينات

: از نمايش انتگرال فوريه استفاده آرده و نشان دهيد)1

a) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

=<

=++

−

∞

∫002

00

1sincos20

xifexifxif

dww

xwwwx

xπ

π

b) ⎪⎩

⎪⎨⎧

><<=

−∫∞

ππππ

xifxifdwxw

ww

002sincos1

0

c)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>=

<≤

=∫∞

1014

102cossin0

xifxif

xif

dww

xww π

π