ﺱﻼﺑﻻ ﻝﻮﳏ ********************* ﻪﺻﺍﻮﺧﻭ ﺱﻼﺑﻻ … · 5 u = st ﺾﻳﻮﻌﺘﻟﺍ ﺬﺧﺄﺑ 0 1 0 1 ( ) 1 { } e u du s e du s u s L t u n n n n

1

حمول البالس*********************

تعريف حمول البالس وخواصه ١٠وهي دالة تابعـة −sxeهذه الدالة يف النواة فرضنافإذا . s≤0معرفة يف الفراغ xf)(لتكن هناك الدالة

0مـن القيمـة xثـم التكامـل علـى النـاتج بالنسـبة ل ، sسـيط والو xللمتغري وكـان هـذا التكامـل ∞ إىل ويرمز s<0مبعامل البالس حيث sوتسمى xf)(متقارب فإن ناتج هذا التكامل يسمى حمول البالس للدالة

}){(أو sf)(:كاآلتيللناتج tfL ويكتب على الصورة )١( ∫

∞−=

0)()}({ dxxfexfL sx

التكامل متقارب أما إذا كان التكامـل متباعـداً فإننـا نقـول أن ويقال أن حمول البالس لدالة ما متواجد إذا كان .حمول البالس غري معروف

جتعـل حتويـل البـالس معرفـاً ومـن ثـم ميكـن sوهناك شروط موضوعة على معامل البالس وهي وجود قـيم ل الس لقـيم . القول أن هذه القيم متثل جمموعة تعريف احملـول الـدوال تأخـذ السـالبة غـري متواجـد وكـذلك عنـدما sوحمـول الـب

2أوضاعاً معينة فمثال)( tetf .sفإن احملول يف هذه احلالة متباعد مهما كانت قيمة =

وبناء على ما سبق من نقاش نذكر احلقيقية التالية :خاصية

ــه إذا كانــت لــدينا الــدالتني مــؤثر حمــول البــالس هــ ),()(و مــؤثر خطــي أي ان tgtf وكــان حمــول البــالس هلمــا)}({)},({ tgLtfL عددان أليعلى الرتتيب فإنهFba .األعدادحقل Fحيث ,∋

)٢( )}({)}({)}()({ tgbLtfaLtbgtafL +=+ :الربهان

:حمول البالس تعريفستخدام اب

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

http://www.pdffactory.com


2

)}({)}({ )()(

)}()({)}()({..

00

0

tgbLtfaLdttgebdttfea

dttbgtafetbgtafLSHL

stst

st

+=+=

+=+=

∫∫

∫∞

−∞

−

∞−

:اآلتيوعلى وجه العموم هذه اخلاصية تكتب على الشكل )٣( ∑∑

==

=

n

iii

n

iii tfLatfaL

11)}({)(

تعريف حمول البالس العكسي ٢٠ــة }{لــتكن الدال fL أو)(sf ــة هــي حمــ ــة tf)(ول البــالس للدال ــه ميكــن القــول أن الدال tf)(وعلي

:اآلتيوتكتب على الشكل sf)(تسمى مبحول البالس العكسي للدالة )}({)( 1 sfLtf −=

ملعاكس من حل املعادلة التكامليةويتعني احملول ا)٤( ∫

∞−=

0)()( dttfesf st

فإن كان هلا حال وحيداً فإنـه ،وعلى وجه العموم ليس بالضروري أن يكون هناك هلذه املعادلة حل .tf)(موجود وهو sf)(ميكن القول أن حمول البالس املعاكس للدالة

س يتمتع باخلاصية العامة التالية وهذا احملول املعاك)٥( ∑∑

=

−

=

− =

n

iii

n

iii sfLbsfbL

1

1

1

1 )}({)( حمول البالس لبعض الدوال ٣٠ .ستنباط حمول البالس لبعض الدوال املشهورةايف هذا اجلزء سنقوم ب atetfعندما تكون -أ ثابت aحيث ،)(=




3

∞−−∞−−

∞−

−−

=== ∫∫0

)(

0

)(

0 )( )(}{

asedtedttfeeeL

tastasatstat

.القاعدة إىلوعليه ميكن الوصول )٦(

aseL at

−=

1}{ ,0سالبة مبعنى أن aفإذا كانت • >−= bba فإن

)٧( bs

eL bt

+=− 1}{

فإن a=0ا كانتفإذ •

)٨( s

L 1}1{ = ==− ,1فإذا كان iica فإن

icseL ict

−=

1}{ بالضرب يف املرافق

)٩( 22}{isicseL ict

++=

أنمن السابق ولكن درسθθ θθ sinIm , cosRe == ii ee

ومن ثم حنصل على )١٠( 22}{cos

cssctL+

= أيضاً

)١١( 22}{sincs

actL+

= )( 0وللحصول على حمول البالس لدالة كثريات احلدود ≥= nttf n )n عدد صحيح موجب(




4

فإن

∫∞

−=0

}{ dttetL nstn بالتكامل بالتجزيء

vs

edtntdu

dvdtetust

n

stn

=−

=

==−

−

−

1

ومن ثم جند أن

∫∞

−−∞−

+

−

=0

1

0

}{ dttesn

stetL nst

nstn

:اآلتيوعليه حنصل على األميننعدام اجلزء األول من الطرف اومن املالحظ )١٢( }{}{ 1−= nn tL

sntL

ذات العدد الصحيح املوجب فهي عالقة تكرارية وعليه nحمققة جلميع قيم ) ١٢(وملا كانت العالقة }{)1(21}{ 0tL

snn

sn

sn

sntL n −−−

⋅−

⋅= L ومن ثم جند أن

}1{!}{ LsntL n

n = كتابة احملول على الصورة األفضلومن

)١٣( )1(! , )1(}{ 1 +Γ=+Γ

= + nnsntL n

n هي دالة جاما Γ⋅)(حيث

فإن n<−1أما إذا كانت •

∫∞

−=0

}{ dtettL stnn




5

stuبأخذ التعويض =

∫∫∞

−+

∞− ==

01

0

1 )(1}{ duues

duesu

stL nu

nunn

:اآلتيوعليه حنصل على )١٤( 1 )1(1}{ 1 −>+Γ= + nn

stL n

n 1 ,1صاحلة جلميع قيم )١٣(ذلك ميكن القول أن العالقة ول ≥−> nn أمثلة عامة ومتارين •

.١مثال :أوجد حمول البالس لالتي

}8{sin , }{sinh , }{cosh tLatLatL نعلم أن مما سبق دراسته : احلل

( )atat eeat −+=21cosh

{ } ]11[21 }{}{

21}{cosh

asaseLeLatL atat

++

−=+= −

ومن ثم حنصل على 22 }{cosh (i)

assatL−

= باملثل وبنفس الطريقة ميكن إثبات أن22 }{sinh (ii)

asaatL−

= حيث أن

22 }{sin as

aatL+

= فإن




6

⋅+

=64

8 }8{sin 2stL

.٢مثال أوجد حمول البالس للدالة

≥<<−<<

=6 0

62 320 5

)(t

tt

tf

:احلل

[ ] [ ] [ ]⋅+−=−+−=

−

−

−

=−=

+−+==

−−−−−

−−−−

∞−−−

∞−

∫∫

∫∫∫∫

sssss

stststst

stststst

ees

ees

es

se

sedtedte

dtedtedtedttfetfL

62262

6

2

2

0

6

2

2

0

6

6

2

2

00

3851 315

3535

)0()3(5 )()}({

.٣مثال :اآلتيةأوجد حمول البالس للدوال

}4{cos, }2cos2{sin , }5{ 26 23

tLttLttL +− ستخدام القاعدة التالية اب: احلل

1)1(}{ +

+Γ= nn

sntL

:اآلتيحنصل على

25

23

5

)1()1(5)7(}5{ 23

76 +Γ

+Γ

−Γ

=+−ss

ttL وحيث أن

π))(()( , 1)1( , !6)7( 21

23

25 =Γ=Γ=Γ

وعليه جند أن




7

[ ] ⋅

++=+=

+=

⋅+

⋅==

⋅+−=+−

641

21}8{cos}1{

21

}8cos1{21}4{cos (iii)

164

21 }4{sin

21}2cos2{sin (ii)

54

35!6}5{ (i)

2

2

2

76

25

23

ss

stLL

tLtL

stLttL

ssttL π

تعاريف ومالحظات ونظرية الوجود ٤٠ :اآلتيةيف هذا البند سنقوم بذكر بعض التعاريف اهلامة

: االستمرار املقطعي .أ

],[مستمرة مقطعياً يف الفـرتة tf)(يقال أن الدالة ba ة منتهيـة لل ],[فـرتة إذا اسـتطعنا إجيـاد جتزـئ ba وكانـت الدالـة)(tf وإذا كانـت هنايـة الدالـة . مستمرة يف كل جمال جزئي مفتوح من فرتات التجزئة)(tf يمني مـن اـل

.ومن اليسار عند حدود التجزئة حمدودة ،tf)(يـد مـن االنقطـاع الـذي يسـمح بـه للدالـة وعليه ميكن القول أن القفـزات احملـدودة هـي النـوع الوح

.ومن الواضح أن فئة الدوال املستمرة مقطعياً حيتوي على مجيع الدوال املستمرة

60 ,)(رمساً للدالة ثل مي (1) الشكل tft .وهي مستمرة مقطعياً ≥≥

)(tf

t




8

: الرتبة االسية .ب

t→∞ذات رتبـة أسـية عنـدما tf)(يقال أن الدالـة bM نين ثـابت يعـدد أليإذا كـان تتحقـق , ينةاباملت

0for |)(| ttMetf bt ≥≤

وتكتب bteمن مرتبة tf)(وعليه ميكن القول أن الدالة

⋅∞→= teOtf bt , ) ()( :كاآلتيوميكن سياق التعريف بصورة أخرى

bMذات رتبة أسية إذا كان هناك عددان ثابتان tf)(يقال أن الدالة حبيث أن ,)١٥( MtfeLim bt

t→−

∞→|)(|

.٤مثال )(3ت أن أثب ttf t→∞ذات رتبة أسية عندما =

السابقمن خالل التعريف : احلل0)(

33 →=

∞→

−

∞→ btt

bt

t etLimteLim

وميكن للدارس إثبات ذلك عند تطبيق نظرية لوبيتال

066

3)(

32

233

→==

==

∞→∞→

∞→∞→

−

∞→

bttbtt

bttbtt

bt

t

ebLim

ebtLim

betLim

etLimteLim

)(3وعليه فإن الدالة ttf = .ذات مرتبة أسية :٥مثال

2وضح أن الدالة )( tetf = ليست ذات مرتبة أسية

أيضاً من التعريف جند أن :احلل




9

⋅>∞→= −

∞→∞→)0( )(

2

beLimeeLim btt

tbt

t

t

Aفئة الدوال .ج

:اآلتيإذا حتقق Aالفئة إىلتنتمي tf)(يقال أن الدالة (i) إذا كانت الدالة)(tf 0مستمرة مقطعياً يف أي جمال حمدود من املنطقة≥t.

(ii) إذا كانت الدالة)(tf 0ذات رتبة أسية جلميع قيمtt 0tمهما كانت قيمة ،< . : الس للمشتقات الداليةحمول الب ٥٠ هو tf)(درسنا فيما سبق أن حمول البالس لدالة

∫∞

−=0

)()}({ dttfetfL st tf)( األوىلحمول البالس للمشتقة وإلجياد :اآلتيندرس ′

∫∞

− ′=′0

)()}({ dttfetfL st :ياآلتحنصل على ستخدام قاعدة التكامل بالتجزيء اب

( ) ∫∞

−∞− +=′0

0 )()()}({ dttfestfetfL stst :اآلتيةوعليه حنصل على القاعدة

)١٦( )0()}({)}({ ftfsLtfL −=′ أيضاً ميكن حساب حمول البالس للمشتقة الثانية

∫∞

− ′′=′′0

)()}({ dttfetfL st بالتكامل بالتجزيء مع وضع

( ) ∫∞

−∞−

−

′+′=′′

=′′=

00 )()()}({

)(

dttfestfetfL

dvdttfeu

stst

st




10

)١٦(املعادلة باستخدام

)}({)0()}({ tfsLftfL ′+′−=′′ وبناء على ذلك جند أن

)١٧( )0()0()}({)}({ 2 fsftfLstfL ′−−=′′ سبق يف القاعدة التالية وميكن تعميم ما

)١٨( )0()0()0()}({)}({ )1()1(21)( −−− −−−−= nnnnn ffsfstfLstfL L

:اآلتيإذا كانت الدالة متصلة مقطعياً فإننا نتبع -ب

)١٩( ∫∫∫

∫

′+++′=

′=′

−

∞→

−

−

∞→

T

T

st

T

T

T

Tst

Tst

T

n

dttfeLimdttfe

dtetfLimtfL

)()(

)()}({

2

1

1

0

0

L

بالتجزيء جلميع التكامالت السابقة جند أن ضاً بالتكاملأي

)٢٠(

( ) ( )

( )

++++

+++=′

∫∫

∫

−−

∞→

−

−−−

T

T

stTT

st

T

Tst

TstT

stTst

n

ndttfestfeLimdttfes

tfedttfestfetfL

)()()(

)()()()}({

2

21

1

0

00

0

L

]0,(متصلة يف الفرتة tf)(الدالة أنوحيث فإن ∞)٢١( )0()}({)}({ ftfsLtfL −=′

.)١٦(وهي نفس نتيجة املعادلة : دالة متقطعة حتويل البالس لتفاضل •

.٢نظرية tf)(وكانت t→∞متصلة وذات مرتبة أسية عند tf)(دالة ألي دوال إىلتنتمي ′ وكانـت الدالـة Aفئـة اـل

atعند النقطة )(لقيمة حبيث ختتلف قيمتها عند غري متصلة ولكنها حمدودة ا = +af عن نظريهتا)( −af فإن )٢٢( )]()([)0()}({)}({ −+− −−−=′ afafeftfsLtfL sa




11

:الربهانtf)(حيث أن الدالة حتقق شروط وجود احملول فإن ′

dttfetfL st )()}({0

′=′ ∫∞

− atمنقطعة عند tf)(وحيث أن الدالة :كاآلتيفإن العالقة السابقة تكتب =

dttfeLimdttfeLimtfLc

st

ac

cst

ac)()()}({

0

′+′=′ ∫∫∞

−

→

−

→ +−

وكما سبق نستخدم قواعد التكامل بالتجزيء فنحصل على [ ] [ ] dttfestfeLimdttfestfeLimtfL

c

stc

st

ac

cstcst

ac)()( )()()}({

00 ∫∫

∞−∞−

→

−−

→+++=′

+−

}){(يعطيان األميناجلزئني الثاني والرابع يف الطرف أنونالحظ tfsL جند أن ومن ثم )٢٣( [ ] )}({)()0()()}({ tfsLcfeLimfcfeLimtfL sc

ac

sc

ac+−−=′ −

→

−

→ +−

وحيث أن sasc

ac

sc

aceeLimeLim −−

→

−

→==

+−

)٢٤( )()( , )()( +

→

−

→==

+−afcfLimafcfLim

acac

.)٢٢(تنتج املعادلة )٢٣(يف العالقة )٢٤(ستخدام املعادلة ابniaiميكن تعميم النظرية لعدد حمدود من نقط االنفصال وليكن عددها ورة التاليةعلى الص ,1≥≥

)٢٥( )]()([)0()}({)}({1

−+

=

− −−−=′ ∑ ii

n

i

sa afafeftfsLtfL i دالة الوحدة الدرجية •

:اآلتيةالدالة

><

=atat

tf 1 0

)(




12

:اآلتيةتسمى دالة الوحدة الدرجية ويرمز هلا بأحد الرموز )( atu : كاآلتيومتثل بيانياً auأو −

:كاآلتيوحيسب هلا حمول البالس

∫∫∞

−− +=a

sta

sta dtedteuL )1()0(}{

0

وعليه يكون حمول البالس للدالة على الصورة )0( , }{ >=

−

ss

euLas

a : ٧ مثال

عرب عن الدالة

>+<

=ππ

tttt

tf 7cos

cos)(

بداللة دالة الوحدة ثم أوجد حمول البالس : احلل

><

+=ππ

tt

ttf 7 0

cos)( ومن ثم جند أن

)}({7}{cos)}({ 1 0

7cos)(

π

ππ

−+=

><

+=

tuLtLtfLtt

ttf

a

t




13

العالقة حنصل على باستخدام

se

sstfL

sπ−

++

=7

1)}({ 2

حمول البالس العكسي لبعض الدوال ٠٦

)1(}1{ )1(}{ 2)(

}1{ 1}{ 1)(

11

1

1

+Γ=

+Γ=

=−−

=

+−

+

−

nt

sL

sntL

eas

Las

eL

n

nnn

atat

atas

aLas

aatL

atas

sLas

satL

sin} { }{sin 4)(

cos} { }{cos 3)(

221

22

221

22

=++

=

=++

=

−

−

: ٩ مثال :أوجد حمول البالس العكسي لالتي

++

−−

−−−−

258 (iii)

541 (ii)

721 (i) 2

12

11

ssL

ssL

sL

:احلل

+−=

−−

=

−=

−

−−

−−

)1)(5(1

541 (ii)

211

21

721 (i)

12

1

27

11 27

ssL

ssL

es

Ls

L t

BA,, ثابتان

++

−= −

)1()5(1

sB

sAL

tt BeAes

BLs

AL −−− +=

++

−= 511

11

51

على احملاور اإلزاحة ٧٠ .واهلامة حملول البالس وأيضاً احملول العكسي األساسيةيات النظر إىليف هذا اجلزء سنتعرض




14

)sعلى حمور اإلزاحة( .األوىل اإلزاحةنظرية bsعند sf)(موجوداً أو يساوي tf)(إذا كان حمول البالس للدالة ة فـإن حمـول البـال < tfeat)(س للداـل

)(يكون أيضاً موجوداً أو يساوي asf basعند − تكتب النظرية على الصورة آخرومبعنى −<)٢٦( )()}({ asftfeL at −=

:١٠مثال :احسب حمول البالس لالتي

{ } { } { }teLteLteL ttnat 6sin (iii) 4cos (ii) (i) 23 :احلل

حيث أن { } 1

! (i) += nn

sntL

اإلزاحةومن نظرية { } 1)(

!+−

= nnat

asnteL

أيضاً{ }

16 4cos (ii) 2 +=

sstL

اإلزاحةنظرية باستخدام{ }

16)3(34cos 2

3

+−−

=s

steL t باملثل

{ }36

66sin (iii) 2 +=

stL

{ } ⋅+−

=36)2(

66sin 22

steL t




15

:١١مثال :اآلتياحسب

+−

+−

−−−−

256 (iii)

2043 (ii)

)72(5 (i) 2

12

13

1

sssL

ssL

sL

: احلل :اآلتي األوىلنالحظ يف احلالة

−=

−−−

327

13

273

1

)(1

85

)(25

sL

sL

اإلزاحةطبق نظرية ⋅==

=

−−− ttt etet

sLe

sL 2

727

27

165

!2851

85

)72(5 (i)

22

31

31

:اآلتيحلل اجلزء الثاني جيب مالحظة 4)2(4 22 −−=− sss


16)2(1

2043 (ii) 2

12

1

+−=

+−−−

sL

ssL

)زاحةاإلطبق (

+= −

161

212

sLe t

tes

Le

t

t

4sin4

164

42

21

2

=

+= −

:اآلتيأيضاً حلل اجلزء الثالث نستخدم 9)3(6 22 −−=− sss





16

+−=

+−−−

16)3(256 (iii) 2

12

1

ssL

sssL

+−+−

= −

16)3(3)3(

21

ssL

⋅

+=

++

+=

++= −−− tte

sL

ssLe

ssLe ttt 4sin

434cos

163

16163 3

21

213

213

)tعلى حمور إلزاحةا( الثانية اإلزاحةنظرية 0,)(فإن tf)(هي حمول البالس للدالة sF)(إذا كانت الدالة sFea as−> هو حمول البالس للدالة

>−<

=atatfat

tf )( 0

)( )(الدرجية ةدالة الوحد استخداموب atu على الشكل tf)(ميكن كتابة الدالة −

)()()( tuatftf a−= :الربهان

:كاآلتي uf)(حمول البالس للدالة أنمما سبق عرفنا ∫∞

−=0

)()( duufesF su −aseبضرب الطرفني بالدالة

∫

∫∞

+−

∞−−−

=

=

0

)(

0

)(

)()(

duufe

duufeesFe

aus

suasas

tauبأخذ التعويض :اآلتيفإننا حنصل على +=∫∞

−− −=a

stas dtatfesFe )()( تكتب على الشكل األخريةفإن العالقة ) راجع التعريف( auفإذا استخدمنا الدالة الدرجية

∫∞

−− −=a

astas dttuatfesFe )()()(




17

بناء على تعريف حمول البالس حنصل على و)٢٧( )}()({)( tuatfLsFe a

as −=− .وهو املطلوب إثباته احلقيقة اهلامة التالية إىلهذه النظرية تقودنا

: ٢حقيقة •

1}){()(إذا كان tfsFL =− فإن

)٢٨( )()()}({1 tuatfsFeL aas ⋅−=−−

:١٢مثال أوجد حمول البالس للدالة

><<

<<=

πππ

π

2 sin2 0

0 )(

ttt

tttf

:احلل دالة الوحدة الدرجية باستخدام أوالً تكتب العالقة

π>π<

+

π>π<

−=2 sin2 0

1 0

)( 0 ttt

tt

utf :اآلتي إىلوهذا يقودنا

ππ +−= utuutf )(sin)( 0 رفنيبأخذ حمول البالس للط

})2{sin(}{}{)}({ 20 ππ π−+−= utLuLuLtfL طبق القاعدة




18

setuL

as

a

−

=)}({ مع النظرية

)()}()({ sfetuatfL asa

−=− :اآلتيحنصل على

11)}({ 2

2

++−=

π−π−

se

se

stfL

ss

:٥نظرية االشتقاق فإن sf)(وكان حمول البالس هلا هو t≤0لكل Aصف الدالة إىلتنتمي tf)(الة إذا كانت الد )٢٩( )()1()}({ sf

dsdttfL −=

:الربهان من تعريف حمول البالس

∫∞

−==0

)()}({)( dttfetfLsf st sبإجراء التفاضل بالنسبة ل

)}({))(( )()(

00ttfLdtttfedttfte

dssfd stst −=−=−= ∫∫

∞−

∞−

.وعليه تنتج النظرية وميكن تعميم النظرية يف الشكل العام التايل

)()1()}({ sfdsdtftL n

nnn −=

:٣١مثال :يلالت أوجد حمول البالس




19

}3cos{(ii) }2sin{ (i) ttLttL :احلل

حيث أن

42}2{sin (i) 2 +

=s

tL وعليه يكون

222 )4(4

42}2sin{

+=

+−=

ss

sdsdttL

باملثل

⋅+−

=+

−=

+=

22

2

2

2

)9(9

9}3cos{

9}3{cos ii)(

ss

ss

dsdttL

sstL

تكامل حمول البالس •

: ٦ نظرية إذا كان شروط وجود حمول البالس حمققة وكان

finitettfLim

t→

+→

)(0

فإن

)٣٠( ∫∞

=

sduuf

ttfL )()(

: ٤١ مثال

أوجد حمول البالس للدالة

tttf sin)( =




20

finiteحيث أن t

tLimt

→→

sin0

فإنه ميكن تطبيق النظرية

11}{sin 2 +

=s

tL وبناء على ذلك

⋅−==+

=

−∞−

∞

∫ suduut

tL ss

112 tan

2 ][tan

11sin π

:التالف •تتجلى أمهية التالف يف حل املعادالت التكامليـة والتفاضـلية ذات الشـروط االبتدائيـة وكمـا أن هلـذا املفهـوم أمهيـة

.خاصة يف كثري من ااالت اهلندسية والربامج على الكمبيوتر),()(دينا الدالتني وتعرف التالف بإنه لتكن ل tftg 0,[معرفتان يف الفرتة[ t فإن تالف الدالتني

fg, أنه الدالة علىيعرف)(th كاآلتي:

∫ −=t

dtgfth0

)()()( τττ ويرمز هلا

))(*()( tgfth = تيةاآلوهذا التالف له اخلواص

fggf اإلبدالخاصية .١ ** = 2121 خاصية التوزيع .٢ **)(* gfgfggf +=+

hgfhgfhgf خاصية التجميع .٣ ***)*()*(* ==

*00*0 الصفر عنصر ماحي .٤ == ff

ff الواحد ليس عنصر حمايد .٥ ≠*1

ttgبفرض ٥ ةالعالق وإلثبات =)(




21

)(22

)(1))(*1(2

0

2

0tgttdttg

tt≠=

−=−⋅= ∫

ττττ

.٧نظرية التالف

ــدالتان ),()(إذا كانــت ال tftg ــالس العكســيان للــدالتني ),()(مهــا حمــوال الب sFsG ــب علــى الرتتيالس العكسـي )()()(للـدالتني th)(وكانت شروط وجـود التحويـل حمققـة فـإن حمـول الـب sGsFsH هـو =

gfhالتالف أنمبعنى =*)٣١( )}({)()())(*()( 1

0sHLdtgftgfth

t−=−== ∫ τττ

:٥١مثال :قتني خمتلفتني بطري أوجد

++−

)4)(9(1

221

ssL

:احلل مما سبق نعلم أن t

sLt

sL 2sin

21

41,3sin

31

91

21

21 =

+=

+−−

وعليه

∫ −==

++−

tdttt

ssL

022

1 )(3sin2sin61 3sin2sin

61

)4)(9(1

τττ اخلاصية املثلثية باستخدام

)]cos()[cos(21sinsin BABABA +−−=

حنصل على




22

]3sin22sin3[301]2sin

563sin

54[

121

)]3sin2sin(51)3sin2sin[(

121 )]35sin(

51)3sin([

121

)]3cos()35[cos(121

)4)(9(1

0

022

1

tttt

ttttdtt

dttss

L

t

t

−=+−=

+++−+=−+−−=

−−−=

++ ∫−

τττ

τττ

: املعادالت التفاضلية العادية حلتطبيقات على ٨٠

: ١٦ مثال حل املعادلة التفاضلية

1)0( , 2)0( 0)(6)(5)( =′==+′+′′ yytytyty :احلل

بأخذ حمول البالس

0)(6)]0()([5)0()0()(

0)}({6)}({5)}({2 =+−+′−−

=+′+′′

syyssyysysys

tyLtyLtyL الشروط االبتدائية والتعويض باستخدام

27

35

23)65(112)(

1012)()65(

2

2

++

+−

=+

++

=++

+=

++=++

sssB

sA

ssssy

ssyss

بأخذ حمول البالس العكسي⋅+−= −− tt eety 23 75)(

: ١٧ مثال حل املعادلة التفاضلية

2)0( , 2)0( 343 −=′==−′−′′ yyeyyy t :احلل




23

بأخذ حمول البالس للطرفني حنصل على

13)(4)]0()([3)]0()0()([ 2

−=−−−′−−

ssyyssyysysys

جند أن االبتدائيةالشروط باستخدام2)3(2

13)()43( 2 +−+−

=−− ss

syss حنصل على باالختصار

⋅−+=

−−

−+

+=

++

−−+=

− ttt eeety

ssssy

sssssy

21

51

1023)(

11

21

41

51

11

1023)(

12

)1)(4)(1(3)(

4

: ١٨ مثال حل املعادلة التفاضلية

,0)0()0( , )()(2)( =′==+′′ yytrtyty

><<<<

=π

πππ

2 sin2 0

0 1)(

tttt

tr

:احلل الدرجيةعلى صورة دالة الوحدة tr)(بكتابة الدالة

ttutututr sin)()()()( 20 ⋅+−= ππ بأخذ حمول البالس

11)(2)0()0()(

)}2sin()({}{)}({)}({2)}({

2

22

20

++−=+′−−

−+−=+′′−−

se

se

ssyysysys

ttuLuLtuLtyLtyLss ππ

ππ π




24

الشروط االبتدائية واالختصار جند أن باستخدام

)2)(1()2()2(1)( 22

2

22 +++

+−

+=

−−

sse

sse

sssy

ss ππ

طبق حمول البالس العكسي

+++

+−

+=

−−

−−−

)2)(1()2()2(1)( 22

21

21

21

sseL

sseL

ssLty

ss ππ :ستخدام العالقة التاليةاب

(i) ts

L 2sin2

12

12

1 =

+−

واليت منها حنصل على العالقة∫=

+−

t

uduss

L0

21 2sin

21

)2(1

وعليه حنصل على (ii) ]2cos[

21

)2(1

21 tt

ssL −=

+−

الثانية حنصل على العالقة اإلزاحةطبق نظرية (iii) )](2cos[)(

21

)2( 21 π−−⋅=

+ π

π−− tttu

sseL

s أيضاً من املالحظ أن

+−

+=

++−−

21

11

)2)(1(1

221

221

ssL

ssL

وعليه حنصل علىtt

ssL 2sin

21sin

)2)(1(1

221 −=

++−

وبناءاً على ذلك جند أن (iv) )]2(2sin

21)2[sin()(

)2)(1( 222

21 π−−π−⋅=

++ π

π−− tttu

sseL

s




25

:اآلتيحنصل على (11.44)يف املعادلة (ii),(iii),(iv)بالتعويض من

)]2(2sin2

1)2[sin()(

)](2cos1[2

)2cos1(21)(

2 π−−π−⋅+

+π−−+−=

π

π

tttu

tutty

.ل املطلوبوهو احل حل املعادالت التفاضلية العادية ذات املعامالت املتغرية

علـى القاعـدة اعتمـاداً حمول البالس حلل املعادالت التفاضلية العادية ذات املعامالت املـتغرية استخداممن السهولة :اآلتية

)}({)1()( tftLsfdsd nn

n

n

−= يضاً اعتماداً على املشتقة التاليةوأ

).0()0()0()()}({ )1(21)( −−− −′−−= mmmmm yysyssystyL L .تعين رتبة التفاضل m)(حيث : ١٩ مثال

حل املعادلة التفاضلية0)0()0( 0)2( =′==−+′′ yyytyt

: احلل بأخذ حمول البالس للطرفني

0}{}{2}{ =−+′′ tyLyLytL وحيث أن

)]0()0()([)1(}{

)0()0()(}{

2

2

ysysysdsdytL

ysysysyL

′−−−=′′

′−−=′′




26

ومن ثم )]0()(2)()[1(}{ 2 yssysysytL −+′−=′′

الشروط االبتدائية حنصل على باستخدام(i) )(2)(}{ 2 ssysysytL −′−=′′

أيضاً(ii) )()()}({ sysy

dsdttyL ′−=−=

:اآلتيالوضع إىل وعليه تتحول املعادلة التفاضلية0)()(2)(2)(2 =′++−′− sysyssysys

حنصل على باالختصار0)()1(2)()1( 2 =−+′− syssys

:وميكن كتابتها على الشكل التايل ،األوىلوهي متثل معادلة تفاضلية عادية من الرتبة )(

12)( sys

sy+

−=′

التكامل بإجراء

⋅+

=

=++

++

−=

2

2

)1()(

ln)1ln(ln

12

sAsy

Asy

cdssy

dy

عكسي بأخذ حمول البالس ال

=

+= −−

21

21 1

)1(1)(

sLAe

sALty t

ويكون احلل هو




27

tAtety =)( الرغم مـن أن املعادلـة مـن الرتبـة الثانيـة وواضـح أيضـاً من الواضح أننـا حصـلنا علـى حـل واحـد فقـط ـب

حيقق شروط مستقل خطياً عن احلل الذي حصلنا عليه ولكن املقدرة يف عدم إجياده أنه ال اآلخرأن احلل .t=0ويل البالس حيث يتباعد التكامل املعرف للتحويل عند وجود حت

وهكذا يدل أن هذه الطريقة حمول البالس ضعيفة يف حل املعادالت التفاضلية ذات املعامالت

حل املعادالت التكاملية:ق الرابعالتطبي

يعترب حمول البالس من أقوى احملوالت اليت تفيد يف حل املعادالت التكاملية الناشئة من املعادالت التفاضلية التكاملية واليت تأخذ الوضع ا نطلق عليه معادلة فولتري ذات الشروط االبتدائية وهي ما

)٣٢( ∫ =−x

xfdyyyxkx0

)()(),()( φλµφ مسيـت معادلـة µ=0فـإذا كـان ،µتسمى معادلة فولتريا التكاملية ويتوقـف نوعهـا علـى قيمـة الثاـبت املعادلة

=≠0فــولتريا التكامليــة مــن النــوع األول وإذا كانــت constµ مــن النــوع الثــاني أمــا إذا مسيــت معادلــة فــولتريا .متغرية فإهنا تسمى معادلة فولتريا من النوع الثالث µكانت

دائماً حتـت عالمـة التكامـل وهـي املـراد إجيادهـا ويطلـق xφ)(ن الدالة اهولة تسمى تكاملية أل )٣٢(واملعادلة ),(لة اجلهد والدالة بدا األساسيةعليها يف العلوم yxk دالة معروفة وتسمى نواة املعادلة التكامليـة وأحيانـاً تكـون

ة املعروفـة ه متصلة أو غري متصلة طبقاً للوضع املسـتنتجة منـ فهـو حيمـل λأمـا الثاـبت . تسـمى الطـرف احلـر xf)(والداـل .ئية خاصة برتكيبة املسألة من الناحية التطبيقيةمعاني فيزيا

.نظرية التالف تلعب دوراً بارزاً يف حل املعادلة التكاملية من نوع فولتريا أنونالحظ :اآلتيحمول البالس نتبع باستخدام )٣٢(وحلل املعادلة

)}({)(),()}({0

xfLdyyyxkLxLx

=

− ∫ φλφµ




28

طبق نظرية التالف)()()()( sfssFs =− φλµφ

لى ذلك وبناء ع

)()()(

sFsfs

λµφ

−=

ويكون حل املعادلة التكاملية على الصورة

−= −

)()()( 1

sFsfLt

λµφ

.)٣٢(تعترب احلل العام للمعادلة tφ)( .هي حمول البالس للنواة sF)(حيث أن : ٢٠ مثال

ة التكامليةحل املعادل )٣٣( ∫ −+=

tdxxxtt

0)()sin(1)( φφ

),()sin( , )(1 , 1 , 1نالحظ أن ===−= µλtfxttxk :كاآلتي )٣٣(وعليه يكون احلل على صورة املعادلة

+=

+

=

−= −−

+

−3

13

21

11

11 111

1)(

2 ssL

ssLLt

s

sφ

ومن ثم

!21)(

2tt +=φ : ٢١ مثال

كاملية حل املعادلة الت )٣٤( ∫ −+=

x

dtttxxx0

)()cos(2sin)( φφ




29

),()sin)( , )cos , 2 , 1نالحظ أن ===−= µλxxftxtxk

11}{ ,

1)},({)( 22 +

=+

==s

fLs

stxkLsF )٣٤(عوض يف املعادلة

⋅=

−=

−= −

+

+− x

ss

s xes

LLx 21

12

11

1

)1(1

1)(

2

2φ




Documents

ﺱﻼﺑﻻ ﻝﻮﳏ ********************* ﻪﺻﺍﻮﺧﻭ ﺱﻼﺑﻻ … · 5 u = st ﺾﻳﻮﻌﺘﻟﺍ ﺬﺧﺄﺑ 0 1 0 1 ( ) 1 { } e u du s e du s u s L t u n n n n