االحتماالت الشرطية – 6

الكفاءات المستهدفة . إيجاد قانون احتمال لمتغير عشوائي - 1 حل مسائل في االحتماالت توظف المتغيرات العشوائية، قانون احتمالها - 2

. ، التباين ، االنحراف المعياري ، األمل الرياضياتي . للعد باستعمال المبدأ األساسي تنظيم معطيات من أجل عدها - 3 . التعرف على استقالل أو ارتباط حادثتين - 4 . توظيف شجرة االحتماالت لحل مسائل في االحتماالت الشرطية - 5 . باستعمال قوانين التحليل التوفيقي حل مسائل في االحتماالت الشرطية - 6

. توظيف دستور االحتماالت الكلية - 7

نمذجة وضعيات باالعتماد على التجارب المرجعية - 8

تصميم الدرس تعريف

أنشطة

الدرس

تمـاريـن و مشكــالت

الحـلــــــول

: تعريف

نقطة ما يساوي نسبة عدد المسارات إلى ، احتمال أن تصل كرية ) Galton ( على لوحة غالتون 10 على الشكل ، في الصف السادس ، للكرية . عدد المسارات الكلية إلى الممكن المرور عبرها

. B كي تصل الى النقطة 32 حظوظ من 10 و A النقطة إلى حظ كي تصل 32 حظوظ من أصل 1 يساوي ) و في كل صف ( مجموع االحتماالت في الصف السادس : الحظ أن في كل حالة لها . B أو A على الكرية أن تمر بـ في الصف الموالي يجب C النقطة إلى للوصول

: يلي نتحصل على ما . حظ من حظين : هو C إلى احتمال أن تصل الكرية

1 10 1 10 20 2 32 2 32 64

× + × =

و هكذا نتحصل على كسور مقاماتها هي قوى و أبسطتها هي األعداد المشكلة لمثلث 2 العدد

و هي أيضا معامالت ثنائي باسكال - الكرجي . الحد لنيوتن

منحنى جدا من الكريات، ا كبير ا باستعمال عدد توزيع الكريات يتشكل على هيئة جرس يعرف

. غوص ناقوس باسم

: أنـشـطــة

1 النشاط

: سبر أراء حول االنترنت : شخص حول االنترنت 1000 تعطى نتائج سبر اآلراء لـ

. من األشخاص المستجوبين صرحوا باهتمامهم باالنترنت 40% > سنة و من 25 من األشخاص المستجوبين ، أعمارهم تقل عن 35 % >

. صرحوا باهتمامهم باالنترنت 80 % بينهم سنة و من 50 من األشخاص المستجوبين، أعمارهم تزيد عن 30 % >

. صرحوا بعدم اهتمامهم باالنترنت 85 % بينهم : ثم أكمل الجدول التالي أنجز - 1

غير المهتمين المهتمون باالنترنت باالنترنت

المجموع

سنة 25 األقل من

سنة 50 إلى 25 من

سنة 50 أكثر من

1000 المجموع

1000 نختار عشوائيا شخص من بين الـ - 2

. شخص المستجوبين نفرض أن كل األشخاص لهم نفس االحتمال بأن يكون هو

: نعتبر الحوادث التالية المختار، وA : " مره أقل منسنة 25 الشخص المستجوب ع " .

B : " مره أكثر منسنة 50 الشخص المستجوب ع " .

I : " الشخص المستجوب مهتم باالنترنت " .

p ( ) احسب االحتماالت ) أ A ، ( ) p B و ( ) p I . p ( ) و احسب B عبر عن الحادثة ) ب B .

p ( ) احسب ) ج A I ∩ و استنتج ( ) p A I ∪ . توجب غير مهتم باالنترنت، ما هو ا علمت أن الشخص المس إذ - 3

هو االحتمال أن يكون ؟ ما سنة 50 أكثر من مره ع االحتمال أن يكونسنة ؟ 50 سنة أو أقل من 50 مره ع

ما . سنة 50 ال يزيد عن مره إذا علمت اآلن أن الشخص المستجوب ع هو االحتمال أن يكون مهتما باالنترنت؟

: الحل : إكمال الجدول - 1

غير المهتمين االنترنت المهتمون ب باالنترنت

المجموع

280 70 350 سنة 25 األقل من 75 275 350 سنة 50 إلى 25 من

45 255 300 سنة 50 أكثر من 400 600 1000 المجموع

40 1000 : من أجل 400 100

× = .

1000 : من اجل 400 600 − = .

35 1000 : من اجل 350 100

× = .

1

1

2

4

3

2

3 5

6 7 8 9 10 11

80 350 : من اجل 280 100

× = .

350 : من اجل 280 70 − = .

30 1000 : من اجل 300 100

× = .

85 300 : من اجل 255 100

× = .

االحتماالت المطلوب حسابها معطاة بالنص على شكل نسب ) أ - 2 . مئوية

( ) P A P ( ) ؛ = 0,35 B P ( ) ؛ = 0,30 I 0, 40 =

: بـ B نعبر عن الحادثة ) بB : ? سنة 50 سنة أو أقل من 50 الشخص المستجوب له = .

P ( ) حساب B : لدينا ( ) ( ) P B 1 P B = : و منه −

A نعبر عن الحادثة ) ج I ∩ كما يلي : A I ∩ : ? سنة و مهتم باالنترنت 25 الشخص المستجوب أقل من = .

سنة و مهتمون 25 شخص أعمارهم تقل عن 280 : يبين لنا الجدول أنp ( ) : و عليه . باالنترنت A I 0, 28 = ∩

p ( ) ( ) ( ) ( ) : و منه نستنتج A I p A p I p A I = + − ∪ ∩

( ) p A I 0, 35 0, 40 0, 28 = + − ∪

( ) p A I 0, 47 = ∪ . 600 من بين الـ . الشخص المستجوب غير مهتم باالنترنت - 3

شخص أعمارهم تزيد 255 شخص غير المهتمة باالنترنت يوجد . محققة I علما أن B احتمال الحادثة عندئذ نحسب . سنة 50 عن

( ) P B 0,70 =

4

5

7

6

I P ( ) : تكتب كما يلي B أو ( ) B P I

I ( ) : و منه255 P B 0, 425 600

= =

شخص 345 باالنترنت يوجد شخص غير المهتمة 600 من بين الـ . سنة 50 أقل من سنة أو 50 أعمارهم

I ( ) محققة I علما أن B نحسب احتمال

345 P B 0,575 600

= = .

: مالحظة

" B علما أن I و " محققة " B علما أن I تعاكستان م حادثتان " محققة .

2 النشاط

نساء و %51 بينت دراسة أجريت على مجموعة من السكان تتكون من من الرجال لم يذهبوا قط إلى %15 من النساء و %20 رجال أن 49%

االختيارات لها نفس ل من هذه المجموعة؛ ك د نختار فر . المدرسة . االحتمال

. = ة الفرد المختار امرأ ? الحادثة F : نضع

C الفرد المختار يذهب إلى المدرسة ? الحادثة = .

تصف هذه الدراسة التي أنشئ شجرة االحتمالت - 1P ( ) أعط - 2 F ، ( ) F P C ، ( ) F P C .

P ( ) حسب ا ) أ - 3 F C ∩ ثم ، ( ) P F C ∩ .

C ( ) ( ) بكتابة ) ب F C F C = ∩ ∪ P ( ) ، احسب ∩ C .

P ( ) أستنتج C .

: الحل : شجرة االحتمال المطلوبة هي - 1

( ) 0,80 0,51 0,408 P F C = × = ∩

( ) 0,20 0,51 0,102 P F C = × = ∩

( ) 0,85 0,49 0,4165 P F C = × = ∩

( ) 0,15 0,49 0,0735 P F C = × = ∩

1 االحتماالت األربعة المحاطة بدائرة معطاة بالفرض اإلثنين المتبقيين مستنتجين إذا اعتبرنا أن مجموع احتماالت الفرع المخرج لنفس العقدة

. مساويا للواحد ( ) : طيات نجد من المع - 2 0,51 P F = ، ( ) 0,20 F P C =

( ) : و منه نستنتج 1 0,20 0,80 F P C = − = . F الحادثة ) أ - 3 C ∩ الفرد المختار إمرة تذهب إلى المدرسة :" هي ."

لحساب احتمال هذه الحادثة نقوم بحداء االحتماالت المسجلة على . C ثم إلى F تي تؤدي إلى الفروع ال

( ) : ومنه 0,80 0,51 0,408 P F C = × = ∩

0,51 F

F

C

C

C

C

0,49

0,20

0,15

0,85

0,80

( ) : بنفس الطريقة 0,49 0,85 0,4165 P F C = × = ∩

ننجز رسما يعطي تجزئة ) أ . للمجموعة المدروسة

C ( ) ( ) : واضح أنه لدينا F C F C = ∩ ∪ ∩

F الحادثتان C ∩ و F C ∩ غير متالئمتين .

P ( ) ( ) ( ) : فيكون لدينا C P F C P F C = + ∩ ∩

( ) : أي 0,408 0,4165 0,8245 P C = + =

P 1 ( ) ( ) : ومنه نستنتج C P C = −

( ) : أي 1 0,8245 0,1755 P C = − =

F F C

F C ∩ F C ∩

: الــــدرس

I ­ العد : : المبدأ األساسي للعد – 1

طريقة n 2 طريقة و إجراء ثان يتم بـ n 1 : إذا كان هناك إجراء معين يتم بـ طريقة فإن هذه اإلجراءات تتم على k n بـ يتم k ٬ ثم إجراء من رتبة ... ٬

1 التتابع بـ 2 ... k n n n × × . طريقة × : مثال

أصناف من 4 أصناف من اللحم وصنفين من الحساء و 3 يقدم مطعم . الفاكهة

ما هو عدد الوجبات التي يمكن للمطعم تقديمها إذا كانت كل وجبة - . حساءات وفاكهة مكونة من لحم و

: الحل طرائق لتقديم 4 طرائق لتقديم اللحم وطريقتين لتقديم الحساء و 3 لدينا -

. الفاكهة و حسب المبدأ األساسي للعدد فإن عدد الطرائق التي يقدم بها المطعم

3 : الوجبات للزبائن هو 2 4 × . وجبة ممكنة 24 أي أن هناك × : القوائم – 2

: مثال5 ، 4 ، 3 ، 2 أرقام يمكن تكوينه باستخدام األرقام 3 ونا من كم عددا مك

: الحل إمكانيات أو 4 : لدينا . abc أرقام هو من الشكل 3 كل عدد مكونا من

b إمكانيات الختيار رقم العشرات 4 و c طرائق الختيار رقم اآلحاد a إمكانيات الختيار رقم المئات 4 و

: وحسب المبدأ األساسي للعد الختيار هذه األرقام على التتابع لدينا4 4 4 × . طريقة 3 4 إمكانية أي ×

. عددا 64 و منه عدد األعداد التي يمكن تشكيلها هو : تعريفn و p عددان طبيعيان غير معدومين E مجموعة ذات n عنصرا .

الشكل من عنصر 1 ( ) كل 2 , ,..., p a a a ذات قائمة عنصرا p يسمى2 : حيث E المجموعة من 1 ,..., , p a a a عناصر ليست E من هي

. جميعها مختلفة : عدد القوائم1 ( ) لتكن القائمة 2 , ,..., p a a a . لدينا n 1 طريقة الختيار العنصر a من E

طريقة الختيار n و لدينا ... E من a 2 طريقة الختيار العنصر n و لدينا العناصر . E من p a العنصر اختيار عليه 2 و 1 ,..., , p a a a على يتم بـ n ... : التتابع n n × × ذات : أي × القوائم من p عدد عنصرا . p n عنصر هو n ذات E المجموعة

: مثال2,1.....,9 األعداد م أرقام يمكن تشكيله باستخدا 6 كم عددا مكونا من

: الحل عددا 531441 : أي 6 9 عدد األعداد هو

: الترتيبات – 3 : تعريف

n و p حيث عددان طبيعيان : p n ≤ . نسمى ترتيبه ذات p عنصرا من . عنصرا متمايزة مثنى مثنى p عنصرا كل قائمة ذات n مجموعة ذات : عدد الترتيبات1 ( ) لتكن الترتيبة 2 , ,..., p a a a . لدينا n 1 طريقة الختيار العنصر a من

E ) عدم التكرار ( E من a 2 طريقة الختيار العنصر −n 1 و لديناn 2 و لدينا E من a 3 طريقة الختيار العنصر −M n 1 ( ) و لدينا p − E من p a طريقة الختيار العنصر −

1 و حسب المبدأ األساسي للعدد عدد الطرائق الختيار العناصر 2 , ,..., p a a a 1 ( ) ( )( ) : بهذا الترتيب هو 2 ... 1 n n n n p − − − و نرمز له بالرمز +

p n A و عليه عدد الترتيبات :

( )( ) ( ) 1 2 ... 1 p n A n n n n p = − − × × − +

: مثال أرقام متمايزة مثنى مثنى أي غير مكررة يمكن 6 كم عددا مكونا من

. 9 ، ... ، 2 ، 1 تكوينها باستخدام األعداد

: الحل1 : كل عدد يكون من الشكل 2 3 4 5 6 a a a a a a

8 هو a 5 عدد إمكانيات اختيار 9 هو a 6 عدد إمكانيات اختيار

6 هو a 3 عدد إمكانيات اختيار 7 هو a 4 عدد إمكانيات اختيار

. 4 هو a 1 عدد إمكانيات اختيار 5 هو a 2 عدد إمكانيات اختيار9 : يه عدد األعداد التي يمكن تشكيلها هو وعل 8 7 6 5 4 × × × × ×

. عددا 60480 : أي : التبديالت – 4

: تعريفn نسمى تبديلة المجموعة . عدد طبيعي غير معدوم E ذات n

. E عنصرا من n ة ذات عنصرا كل ترتيب1 ( )( ) : عدد التبديالت هو 2 ... 1 n

n A n n n = − − × ×

: مثال 9 ، … ، 2 ، 1 أرقام يمكن تشكيله باستخدام األعداد 9 كم عددا مكونا من

. دون تكرار أرقام هذا العدد : الحل

9 : عدد األعداد هو 8 7 6 5 4 3 2 1 × × × × × × × ×

. عددا 362880 : أي

: و منه( )

! !

p n

n A n p

= −

n ! وn A n =

: مثال

( ) 6 9

9! 9! 9 8 7 6 5 4 3! 9 6 ! 3! 3!

A × × × × × ×

= = = −

6 : و عليه9 9 8 7 6 5 4 A = × × × × 6 : أي ×

9 60480 A =

: التوفيقات – 5 : تعريف

n و p عددان طبيعيان ) p n ≤ .( لتكن E مجموعة ذات n عنصرا . E عنصرا من p يشمل E كل جزء من E عنصرا من p نسمى توفيقة ذات

: عدد التوفيقات

: بالعبارة E عنصرا من p يعطي عدد التوفيقات ذات!

p p n n

A C p

=

: أي( )

! ! !

p n

n C n p p

= − ×

. ألن الجزء ال ترتب عناصره و ال تكرر

: مالحظة p : نرمز لعدد التوفيقات بالرمز

n C أو n p

: مثال . ممثلين للقسم 3 أرادوا اختيار . تلميذا 40 يتكون قسم دراسي من

. بكم طريقة يتم اختيارهم : الحل

. عنصر 40 عناصر من 3 ممثلين هو اختيار جزء مكون 3 ر إن اختيا

3 : وعليه عدد الطرائق هو40

40 39 38 37! 37! 3 2 1

C × × ×

= × × ×

3 40

40 39 38 20 13 38 9880 3 2

C × ×

= = × × = ×

. ممثلين لهذا القسم 3 طريقة الختيار 9880 إذن هناك p خواص

n C : p لدينا الخواص التالية للعدد

n C : 0 1 n C = 1 ؛

n C n = 1 ؛ n n C = ؛ p n p

n n C C − = 1 ؛ 1 1

p p p n n n C C C −

− − = +

: يمكن البرهان عليها باستخدام التعريف( )

! ! !

p n

n C n p p

= −

: أمثلة7 7 1 C = 1

5 5 C = 0 4 1 C =

2 3 5 5 C C = 4 3 4

8 7 7 C C C = +

: المثلث العددي p ويعتمد في حساب

n C على الخواص الخمسة السابقة : n ­1 n … p ­1 p … 3 2 1 0 p

n 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 2 1 2 0 0 1 3 3 1 3

0 0 1 1 ­ 1 p

0 1 1 p

0 1 ­1 p n C ­1

­1 p n C 1 ­1 n

1 p n C 1 n

وذلك 1 العمود األول لهذا المثلث مكون من أعداد كل منها يساوي ­

0 من 1 n C = . n 1 و ذلك من 1 قطر المثلث مكون من أعدادا يساوي كل منها -

n C = . p عداد األخرى داخل المثلث فكل عدد أما األ -

n C 1 هو مجموع العدد p n C −

1 الذي يقع فوقه و العدد1

p n C −

1 الذي يلي العدد −p n C − من اليمين .

1 و ذلك من الخاصية1 1

p p p n n n C C C −

− − = +

p , 0 األعداد الخارجة من المثلث فمعدومة أما -n C p n = >

: مثال

5 n =

5 4 3 2 1 0 p n

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 2 1 2 0 0 1 3 3 1 3 0 1 4 6 4 1 4 1 5 10 10 5 1 5

: دستور ثنائي الحد : معدوم فإن عدد طبيعي غير n عددان طبيعيان و b و a إذا كان

( ) 0 0 0 1 1 1 ..... n n n n n n n n n n a b C a b C a b C a b − − − + = + + +

( ) : إذن0

i n n i n i i

n i

a b C a b =

−

=

+ . ويسمى دستور ثنائي الحد ∑ =

: مثال

( ) ( ) 5 0 0 5 0 1 5 1 1 2 5 2 2 5 5 5 2 2 2 2 x C x C x C x − − − + = + +

3 5 3 3 4 5 4 4 5 5 5 5 5 5 5 2 2 2 C x C x C x − − − + + +

5 ( ) : و منه 5 4 3 2 2 10 40 80 80 32 x x x x x x + = + + + + +

5 األعداد 4 3 2 1 0 5 5 5 5 5 5 , , , , , C C C C C C تستخرج باستعمال المثلث العددي .

III - الشرطية االحتماالت : : المستقلة األحداث ­

: يد تمه . مجموعة اإلمكانيات المتعلقة بتجربة عشوائية Ω لتكنp احتمال معرف على Ω ، A و B حادثتان حيث : ( ) 0 p A ≠

: 1 تعريفA p ( ) محققة العدد A علما أن الحادثة B نسمي احتمال الحادثة B

( ) ( ) : و هو معرف بالعبارة( ) A

p A B p B

p A =

∩

( ) ( ) : من التعريف لدينا -( )

( ) ( ) 1 A

p A p A p

p A p A Ω

Ω = = = ∩

2 إذا كانت - 1 , B B حادثتان غير متالئمتين فإن : ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 A A A p B B p B p B = + ∪

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B A p A B p B p A p A p B = × = × ∩ : 2 تعريف

: أنهما مستقلتان إذا و فقط إذا كانت B و A نقول عن حادثتين

( ) ( ) A p B p B = أي : ( ) ( ) ( ) . p A B p A p B = ∩

: مبرهنة . مستقلتين B و A حادثتين مستقلتين فإن B و A إذا كانت

: 1 تطبيق نسحب من الكيس 6 إلى 1 قريصات مرقمة من 6 يحتوي كيس على

. قريصتين في آن واحد . 7 احسب احتمال سحب قريصتين مجموعهما - . 3 وعلما أن فرقهما 7 احسب احتمال سحب قريصتين مجموعهما -

: الحل عدد إمكانيات سحب قريصتان في آن واحد من الكيس هو عدد ­

: عناصر و عددها 6 التوفيقات ذات عنصرين من مجموعة ذات

( ) 2 6

6! 15 6 2 ! 2!

C = = − ×

7 الحادثة المعرفة بمجموع الرقمين يساوي A لتكن

1, 6 , 2,5 , 3, 4 A = 3 و منه عدد إمكانياتها هو .

( ) : و منه 3 15

P A = أي : ( ) 1 3

P A =

3 الحادثة المعرفة بالفرق بين الرقمين يساوي B لتكن - 2

1,4 , 2,5 , 3, 6 B = 2,5 ؛ A B = ∩

: محققة هو A علما أن B احتمال الحصول على

( ) ( ) ( ) A

P A B P B

P A =

( ) : ينا مما سبق ولد ∩ 1 3

P A =

( ) : و لدينا 1 15

P A B = ∩

( ) : و عليه1

1 3 1 15 1 15 1 5 3

A P B = = × =

1 هو 3 علما أن فرقهما 7 إذن احتمال سحب رقمين مجموعهما5

: 2 تطبيق راء كرات خض 8 كرات صفراء و 4 يحتوي وعاء على

) على التوالي و بدون إعادة ( ن نسحب كريتيي . احسب احتمال الحصول على كرة صفراء ثم كرة خضراء - 1

. احسب احتمال الحصول على كرة خضراء ثم كرة صفراء - . احسب احتمال الحصول على اللونين معا - استعمل شجرة االحتماالت لنمذجة كل من الوضعية السابقة وحساب - 2

. االحتماالت : الحل حادثة الحصول على كرة صفراء في أول سحب J 1 نفرض - 1

حادثة الحصول على كرة خضراء في أول سحب V 1 وحادثة الحصول على كرة صفراء في ثاني سحب J 2 و

حادثة الحصول على كرة خضراء في ثاني سحب V 2 و نفرض4 8 8 12 11 33

= × = ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 V . V J P J P J P = ∩

8 4 8 12 11 33

= × = ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 V 2 V V . P J P P J = ∩

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 1 2 1 V 2 V V . V . V J P J J P P J P J P P + = + ∩ ∩

4 3 8 7 12 11 12 11

= × + ×

1 14 17 11 33 33

= + =

: نمذجة الوضعية باستعمال شجرة االحتماالت ­ 2

سحب األول السحب الثاني ال

( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 J 2 J J J J p p p = × ∩ ( )

1 J 2 3 J 11

p =

4 3 1 12 11 11

= × =

( ) 1 4 J 12

p =

( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 J 2 J V J V p p p = × ∩ ( )

1 2 8 V 11 J p =

4 8 8 12 11 33

= × =

( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 V J V J V p p p = × ∩ ( )

1 V 2 4 J 11

p =

8 33

= 8 4 12 11

= ×

( ) 1 8 v 12

p =

( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 V 2 V V V V p p p = × ∩ ( )

1 v 2 7 V 11

p =

8 7 14 12 11 33

= × =

III - دستور االحتماالت الكلية : Ω مكانيات المتعلقة بتجربة عشوائية مجموعة اإل . P احتمال معرف على Ω .

: تعريف1 نقول عن الحوادث 2 , ,..., n A A A أنها تجزئة للمجموعة Ω إذا وفقط

. كل من هذه الحوادث غير مستحيلة - 1 : إذا كانت . كل حادثتين من هذه الحوادث غير متالئمتين - 2 . Ω اتحاد هذه الحوادث يساوي - 3

: مثال : عند رمي النرد مرة واحدة نجد أن مجموعة اإلمكانيات هي

1,2,3,4,5,6 Ω =

, لتكن الحوادث , C B A حيث : A " ظهور رقم أولى " B " ؛ " 4 ظهور رقم مضاعف للعدد C " 6 أو 1 ظهور العدد "

2,3,5 : لدينا , 4 , 1,6 A B C = = =

, نالحظ أن , A B C حوادث غير مستحيلة و كل حادثتين منها غير , وعليه الحوادث . Ω متالئمتين واتحادها هو , A B C تشكل تجزئة

. Ω للمجموعة

) االت الكلية دستور االحتم : ( مبرهنةΩ المتعلقة بتجربة عشوائية اإلمكانيات مجموعة . P احتمال معرف على Ω . ( ) 1 2 , ,..., n A A A تجزئة للمجموعة Ω .

: فإن Ω حادثة من A إذا كانت( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 . . ... . n A A A n P A P A P A P A P A P A P A = + + +

. و يسمى دستور االحتماالت الكلية : 1 مثال

Ω 1,2,3,4,5,6 : في المثال السابق =

( ) , , A B C تجزئة للمجموعة Ω حيث : 2,3,5 4 1,6

A B C

= = =

,3,4,5 احسب احتمال الحادثة 6 E = بطريقتين . : الحل

( ) : الطريقة األولى - 1 4 2 6 3

P E = =

: باستعمال دستور االحتماالت الكلية : الطريقة الثانية - 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . . A B C P E P E P A P E P B P E P C = + +

2 ( ) ( ) ( ) : حيث 1 3 , , 6 6 6

P C P B P A = = =

( ) ( ) : لدينا( )

2 2 6

3 3 6

A P E A

P E P A

= = = ∩

E 3,5 : ألن A= ∩ و عليه : ( ) 2 6

P E A = ∩ .

( ) ( ) : لدينا( )

1 6 1 1 6

B P E B

P E P B

= = = ∩

E 4 : ألن B ( ) : و منه ∩ = 1 6

p E B = ∩

( ) ( ) : لدينا( )

1 1 6

2 2 6

C p E C

p E p C

= = = ∩

E 6 : ألن C = ∩ و عليه : ( ) 1 6

p E C = ∩

. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : إذن . . A c p E p E p A p E p B p E p C = + +

( ) 2 3 1 1 2 . 1. 3 6 6 2 6

p E = + + + ( ) : ومنه × 2 3

p E = .

: 2 مثال راء و كرتان كرات خض 3 كرات حمراء و 5 يحتوي كيس على

. بيضاويين ). على التوالي و دون إرجاع ( نسحب من الكيس كرتين عشوائيا

. مثل الوضعية بشجرة . احسب احتمال الحصول على كرة بيضاء في السحب الثاني ­

: الحل : نمذجة هذه الوضعية بواسطة شجرة ­

. كرة حمراء R كرة خضراء ، B لكرة بيضاء ، V : نرمز بـ

( ) 1 V 2

2 V 9

p = V

( ) 1 V 2

2 B 9

p = B V

( ) 1 V 2

5 R 9

p = R ( ) 1 3 V 10

p =

( ) 1 B 2

3 V 9

p = V

( ) 1 B 2

1 B 9

p = B B

( ) 1 B 2

5 R 9

p = R ( ) 1 2 B 10

p =

( ) 1 R 2

3 V 9

p = V

( ) 1 R 2

2 B 9

p = B R ( ) 1 5 R 10

p =

( ) 1 R 2

4 R 9

p = R

السحب الثاني السحب األول : احتمال الحصول على كرة خضراء في السحب الثاني -

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 V 2 1 B 2 1 R 2 1 V V V V . V . R p p P p p B p p = × + +

( ) 2 2 3 3 2 3 5 v 9 10 9 10 9 10

p = × + × + ×

6 6 15 90

+ + =

( ) 2 27 3 v 90 10

p = =

: تمـاريـن و مشكــالت

. 1 التمرين

. 6 إلى 1 زهرتي نرد غير مزيفتين لونهما مختلفان وأوجه كل منهما مرقمة من . ين يظهران على الوجهين العلويين ن ونسجل الرقمين الذ نرمي هذين النردي

. عين على شكل جدول مجموعة إمكانيات الحدوث - 1 : عين الحوادث التالية - 2

A : " ظهور رقمين فرديين " B : " 7 ظهور رقمين مجموعهما أكبر من " C : " ظهور رقمين أوليان " D : " رقمين أحدهما فردي و اآلخر زوجي ظهور "

, , , , B D B D A C A B ∩ ∩ ∩ . أحسب احتماالت كل من الحوادث السابقة

. 2 التمرين

احتمال ظهور رقم زوجي . 6 إلى 1 زهرة نرد مزيفة أوجهها مرقمة من . م فردي ضعف احتمال ظهور رق

. أحسب احتمال ظهور رقم زوجي ثم احتمال ظهور رقم فردي ) 1. 5 و الرقم 2 أحسب احتمال ظهور الرقم ) 2

. 3 التمرين

. ال نفرق بينها عند اللمس 6 إلى 1 كريات مرقمة من 6 يحتوي كيس على نسحب من الكيس كريتين على التوالي بحيث بعد كل سحب نعيد الكرية

. س قبل السحب الموالي المسحوبة إلى الكي . أنشئ مخطط يبين كل الحاالت ) 1 . 5 أحسب االحتمال ألن تكون الكرية الثانية تحمل رقم ) 2 أعد نفس األسئلة السابقة مع عدم رد الكرية المسحوبة إلى الكيس ) 3

. قبل السحب الموالي . 4 التمرين

6,5,4,3,2,1 صمم مكعب غير متجانس و كتبت على أوجهه األعداد بحيث إذا ألقي على مستوى أفقي يكون احتمال ظهور أي عدد متناسبا مع

. ذلك العدد Ω عين مجموعة اإلمكانيات – 1

. أحسب احتماالت الحوادث البسيطة – 2 . أحسب احتمال ظهور عدد أولي – 3. 5 أحسب احتمال ظهور عدد أكبر من أو يساوي – 4

. 5 مرين الت

. 20 إلى 1 ورقة مرقمة من 20 نسحب ورقتين عشوائيا من بين : أوجد احتمال أن يكون المجموع فرديا في كل حالة مما يلي

. سحب الورقتين معا – 1 سحب الورقتين الواحدة بعد األخرى دون إعادة الورقة المسحوبة قبل – 2

. سحب الورقة الثانية األخرى مع إعادة الورقة المسحوبة قبل سحب الورقتان الواحدة بعد – 3

. سحب الورقة الثانية . 6 التمرين

تالميذ أعمارهم 5 سنة و 16 تالميذ أعمارهم 10 يتكون قسم دراسي من سنة، أرادوا تشكيل لجنة مكونة من 18 تلميذا أعمارهم 20 سنة و 17

. تلميذين . ما هو عدد الطرائق الختيار هذين التلميذين – 1 . سنة 34 احتمال اختيار تلميذين مجموع سنهما ما – 2 الذين يرفق بكل من هذه اإلمكانيات X نعتبر المتغير العشوائي – 3

. الختيار تلميذين مجموع سني هذين التلميذين . أكتب قانون االحتمال لهذا المتغير العشوائي - . أحسب األمل الرياضياتي -. و االنحراف المعياري أحسب التباين -

. 7 التمرين

1 : برهن على صحة الخاصية1 1

p p p n n n C C C −

− − = +

: المعادلة ¡ ثم حل في2 1

1 1 . 0 p p p n n n x C x C C −

− − − + =

. 8 التمرين

0 : برهن أن – 1 1 ........ 2 n n n n n C C C + + + =

1 : أثبت أن – 21

p p n n pC nC −

− = 1 أحسب المجموع – 3 2 3 2 3 ... n

n n n n S C C C nC = + + + +

. 9 التمرين

a 100 ( ) عند نشر b + 70 ما هو معامل الحد 30 . a b 41 ما هي رتبة الحد 59 a b ×

. 10 التمرين

1 ( ) انشر كل من 1 n + 1 ( ) و 1 n − ثم استنتج المجاميع : 0 1

1 . .. n n n n S C C C = + + + 0 2 4

2 ... n n n S C C C = + + + 1 3 5

3 ... n n n S C C C = + + +

. 11 التمرين

: ن غير معدوم فإ n برهن بالتراجع أنه من أجل كل عدد طبيعي

1

1 1 ! 2 n n − ≤

. 12 التمرين

إذا 9,8,7,6,5,4,3,2,1,0 كم عددا يمكن تشكيله باستخدام األرقام : كانت هذه األعداد مكونة من

أرقام 6 ) 1 أرقام متمايزة مثنى مثنى 6 ) 25 أرقام و مضاعفة 6 ) 3 ≥

. أرقام متمايزة مثنى مثنى و فردية 3 ) 4 . 13 التمرين

نسحب من الكيس . 20 إلى 1 قريصة مرقمة من 20 يحتوى كيس على . قريصتين في آن واحد و بال اختيار

. 10 أحسب احتمال سحب قريصتين مجموع رقميهما ­ . 4 أحسب احتمال سحب قريصتين الفرق بين رقميهما يساوي ­ علما أن 10 ين مجموع رقميهما أحسب احتمال سحب قريصت ­

. 4 الفرق بينهما . 14 التمرين

قطعة نقود صنعت مزيفة بحيث عند رميها يكون احتمال ظهور الوجه الذي . B ضعف احتمال ظهور الوجه اآلخر والذي يحمل الحرف A يحمل الحرف

: لية أحسب االحتماالت التا – 1( ) ( ) ( ) ( ) , , , p A B p A p B p A ∩

دج وظهور الوجه 100 يعطي ربح A نفرض أن ظهور الوجه – 1B دج 50 يعطي خسارة .

. المتغير العشوائي الذي يأخذ قيم الربح أو الخسارة X ليكن

X للمتغير العشوائي أكتب قانون االحتمال ­

X أحسب األمل الرياضياتي للمتغير ­

X المعياري للمتغير االنحراف أحسب التباين و ­

. 15 التمرين

، 30 % أقسام حيث تساهم بـ 3 يتكون مصنع إلنتاج الثالجات من رتيب في اإلنتاج الكلي للمصنع و احتماالت أن على الت 10 % 60 %

الثالثة هي تكون الثالجة أنها صنعت في األقسام صالحة لالستعمال علما

0,90 , 0,85 , . على الترتيب 0,75 ما هو احتمال أن تكون الثالجة المصنوعة في هذا المصنع صالحة

. لالستعمال . 16 التمرين

. كرات سوداء 4 ء و كرات حمرا 6 يحتوي كيس على . كرات على التوالي و دون إرجاع 3 نسحب من هذا الكيس

: حيث B و A احسب احتمال تحقق كل من الحدثين – 1A : الحصول على اللونين معا . B : الحصول على لون واحد .

استعمل شجرة االحتماالت لنمذجة كل من الوضعيتين السابقتين – 2. B و A لحساب احتمال تحقق كل من الحدثين

. 17 التمرين

. كرات صفراء 3 كرات خضراء و 5 يحتوي كيس على كرات على التوالي بحيث بعد كل سحب نعيد الكرة 3 س نسحب من الكي

. المسحوبة إلى الكيس قبل السحب الموالي : حيث D و C احسب احتمال تحقق كل من الحدثين – 1

C : الحصول على اللونين معا D : الحصول على لون واحد .

استعمل شجرة االحتماالت لنمذجة كل من الوضعيتين السابقتين – 2. D و C و لحساب تحقق كل من الحدثين

: الحـلــــــول

. 1 التمرين

D 2 و D 1 ليكن النردين : ات الحدوث جدول مجموعة إمكاني تعيين في – 1

6 5 4 3 2 1 1 D

2 D

( ) 1;6 ( ) 1;5 ( ) 1;4 ( ) 1;3 ( ) 1;2 ( ) 1;1 1

( ) 2;6 ( ) 2;5 ( ) 2;4 ( ) 2;3 ( ) 2;2 ( ) 2;1 2

( ) 3;6 ( ) 3;5 ( ) 3;4 ( ) 3;3 ( ) 3;2 ( ) 3;1 3

( ) 4;6 ( ) 4;5 ( ) 4;4 ( ) 4;3 ( ) 4;2 ( ) 4;1 4

( ) 5;6 ( ) 5;5 ( ) 5;4 ( ) 5;3 ( ) 5;2 ( ) 5;1 5

( ) 6;6 ( ) 6;5 ( ) 6;4 ( ) 6;3 ( ) 6;2 ( ) 6;1 6

: تعيين الحوادث - 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1;1 , 1; 3 , 1; 5 , 3; 3 , 3; 5 , 5;1 , 5; 3 , 5; 5 A =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2; 6 , 3; 5 , 3; 6 , 4; 4 , 4; 5 , 4;6 , 5; 3 , 5; 4 , B =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5; 5 , 5; 6 , 6; 2 , 6; 3 , 6; 4 , 6; 5 , 6; 6

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2; 2 , 2;3 , 2;5 , 3; 2 , 3; 3 , 3;5 , 5; 2 , 5; 3 , 5;5 C =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1; 2 , 1;4 , 1;6 , 2;1 , 2;3 , 2;5 , 3;2 , 3;4 , 3;6 D =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 4;1 , 4; 3 , 4;5 , 5; 2 , 5;4 , 5; 6 6;1 , 6; 3 , 6;5

( ) ( ) ( ) 3; 5 , 5; 3 , 5; 5 A B = ∩

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1;1 , 1; 3 , 1; 5 , 2; 2 , 2; 4 , 2; 6 , 3;1 , 3; 3 , D =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3; 5 , 3; 5 , 4; 2 , 4; 4 , 4; 6 , 5;1 , 5, 3 ,

( ) ( ) ( ) ( ) 5; 5 , 6; 2 , 6; 4 , 6; 6

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1;1 , 1; 2 , 1; 3 , 1;4 , 1;5 , 1;6 , 2;1 , 2;2 , B =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2; 3 , 2; 4 , 2; 5 , 3;1 , 3; 2 , 3; 3 , 3, 4 , 5;1

4;1 , 4; 2 , 4; 3 , 5;1 , 5; 2 , 6,1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1;1 , 1; 3 , 1; 5 , 2; 2 , 2; 4 , 3;1 , 3; 3 , B D = ∩

( ) ( ) 4; 2 , 5;1

: حساب االحتماالت - 3

( ) ( ) 9 3 15 5 , 36 12 36 12

p A p B = = = =

( ) ( ) 9 3 18 1 , 36 12 36 2

p C p D = = = =

( ) 3 1 36 12

p A B = ( ) ؛ ∩ = 4 1 36 9

p A C = = ∩

( ) 18 1 36 2

p D = ( ) ؛ = 21 7 36 12

p B = =

( ) 9 1 36 4

p B D = = ∩

. 2 التمرين

Ω 1,2,3,4,5,6 : هي Ω مجموعة اإلمكانيات ) 1 =

( ) : فإن Ω احتمال على p حيث إذا كان 1 p Ω =

1,2,3,4,5,6 ( ) : إذن 1 p =

1,3,5 ( ) : و منه 2,4,6 1 p = ∪

1,3,5 ( ) ( ) ( ) : و بالتالي 2,4,6 1 ... 1 p p + =

2,4,6 : ألن 1,3,5 = ∅ ∩

: وبما أن احتمال ظهور رقم زوجي ضعف احتمال ظهور رقم فردي فإن

( ) ( ) 2, 4, 6 2 1, 3,5 p p = 1,3,5 ( ) : بوضع p a =

2,4,6 ( ) : نجد 2 p a = 2 : نجد ) 1 ( و منه بالتعويض في 1 a a + =

3 : و عليه 1 a = 1 أي 3

a =

( ) : إذن 1 1,3,5 3

p = و ( ) 2 2, 4, 6 3

p = أي أن احتمال ظهور

1 رقم فردي هو3

2 و احتمال ظهور رقم زوجي هو3

: 2 احتمال ظهور الرقم

( ) : لدينا 2 2,4,6 3

p = و عليه : ( ) 2 2 4 6 3

p = ∪ ∪

( ) ( ) ( ) 2 2 4 6 3

p p p + + =

2 ( ) ( ) ( ) : لكن 4 6 p p p h = = 2 3 : ومنه =3

h 2 : إذن =9

h =

2 هو 2 إذن احتمال ظهور الرقم9

( ) : لدينا : 5 احتمال ظهور الرقم ­ 1 1,3,5 3

p =

( ) : و منه 1 1 3 5 3

p = ∪ ∪

( ) ( ) ( ) : إذن 1 1 3 5 3

p p p + + =

1 ( ) ( ) ( ) : لكن 3 5 p p p m = = =

1 3 : إذن3

m = 1 : و منه 9

m = 1 هو 5 إذن احتمال ظهور الرقم 9

. 3 التمرين

السحبة الثانية السحبة األولى

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

: حساب االحتمال – 26 : عدد الحاالت الممكنة هو 6 36 × =

6 : عدد الحاالت المالئمة هو 1 6 × =

6 : االحتمال 1 36 6

p = =

: السحب دون إرجاع – 3 2 : مخطط السحب

3 4 5 6 1 3 4 5 6 1 2 4 5 6 1 2 3 5 6 1 2 3 4 6 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

: حساب االحتمال -6 : عدد الحاالت الممكنة 5 30 × =

6 : عدد الحاالت المالئمة 1 6 × =

: االحتمال6 1 36 5

p = =

. 4 التمرين

Ω 1,2,3,4,5,6 : مجموعة اإلمكانيات – 1 =

: لحوادث البسيطة حساب احتماالت ا – 2 ( ) : لدينا 1 p Ω : أي =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 5 6 1 p p p p p p + + + + + = 1 : و عليه 2 3 4 5 6 1 p p p p p p + + + + + =

3 : لكن 5 6 1 2 4

1 2 3 4 5 6 p p p p p p α = = = = = =

1 : إذن 1 p α = 2 و 2 p α = 3 و 3 p α = 4 و 4 p α = 5 و 5 p α = 6 6 p α = 2 : و بالتالي 3 4 5 6 1 α α α α α α + + + + + =

21 : و منه 1 α = أي أن : 1 21

α =

3 : و عليه3 1 21 7

p = = ٬ 2 2 21

p = ٬ 1 1 21

p = ٬

6 6 2 21 7

p = = ٬ 5 5 21

p = ٬ 4 4 21

p =

: حساب احتمال ظهور عدد أولي ­ 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 2,3,5 2 3 5 p p p p = + +

2 3 5 10 21 21 21 21

= + + =

: 5 حساب احتمال ظهور عدد أكبر من أو يساوي – 2 ( ) ( ) ( ) 5 6 5,6 5 6 p p p p p = + = +

5 6 11 21 21 21

= + =

. 5 التمرين

. يكون المجموع فرديا إذا كانت ورقة تحمل رقما زوجيا و األخرى فرديا 2 : لممكنة لسحب الورقتين معا عدد الطرق ا – 1

20 190 C =

عدد الطرائق المالئمة لسحب ورقتين إحداهما تحمل رقم زوجي1 : و األخرى فردي أي مجموع الرقمين فردي هو 1

10 10 100 C C × =

1 : االحتمال100 10 190 19

p = =

: رقتين على التوالي دون اإلعادة عدد الطرائق الممكنة لسحب الو – 22 20 20 19 380 A = × =

عدد الحاالت المالئمة لسحب ورقتين مجموعها فردي، أي أن تكون - : األولى زوجية و الثانية فردية أو األولى فردية و الثانية زوجية و عددها

10 10 10 10 200 × + × =

2 : االحتمال200 10 380 19

p = =

: عدد طرائق سحب ورقتين على التوالي مع اإلرجاع هو – 3

20 20 400 × = 10 : عدد الطرائق المالئمة ­ 10 10 10 200 × + × =

ألن إما أن تكون األولى فردية والثانية زوجية أو أن تكون األولى زوجية . و الثانية فردية

3 : االحتمال هو200 1 400 2

p = =

. 6 التمرين

: عدد الطرائق الختيار هذين التلميذين – 1

( ) 2 35

35! 35 2 ! 2!

C = − ×

595 = 2 35

35 34 33! 35 17 33! 2

C × × = = ×

× : سنة 34 احتمال اختيار تلميذين مجموع سنيهما – 2

1 : عدد الطرائق المالئمة 1 2 10 20 5 210 C C C × + =

سنة أو تلميذين عمر كل 18 سنة و آخر 16 أي تلميذ عمره ( ). سنة 17 منهما

: االحتمال هو210 6 595 17

=

36,35,34,33,32 : هي X قيم – 3

[ ] 2 10 45 9 32

595 595 119 C p X = = = =

[ ] 1 1 10 5 50 10

33 595 595 119

C C p X × = = = =

[ ] 1 1 2 10 20 5 210 42 34

595 595 119 C C C p X × +

= = = =

[ ] 1 1 5 2 0 1 00 20 3 5 59 5 59 5 11 9

C C p X × = = = =

[ ] 2 20 190 38 36

595 595 119 C p X = = = =

: قانون االحتمال X قيم 36 35 34 33 3238 119

20 119

42 119

10 119

9119 p

: األمل الرياضياتي -

( ) 32 9 33 10 34 42 35 20 36 38 119 119 119 119 119

E X × × × × × = + + + +

( ) 288 330 1428 700 1368 4114 119 119

E X + + + + = =

( ) : إذن 34,57 E X ; . : التباين -

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 2

2 2

9 10 42 V 32­35 33­35 34­35 119 119 119

20 38 35­35 36­35 119 119

× + × + ×

+ × + ×

;

81+40+42+0+38 V 119

;

201 V 119

;

V 1,7 ; : االنحراف المعياري ­

V σ = 1,3 σ ;

. 7 التمرين

1 : البرهان على صحة الخاصية -1 1

p p p n n n C C C −

− − = +

( ) ( ) ( ) ( )

( ) [ ]

1 1 1

1 ! 1 ! 1 !. ! 1 1 ! 1

p p n n

n n C C

n p p n p p p −

− −

− − + = +

− − − − − ( )

( ) ( ) ( )

( ) 1 ! 1 !

!. 1 ! !. ! n n

n p p n p p − −

= + − − −

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 ! 1 ! . 1 !. 1 1 !. 1

n n n p n p p n p p p

− − = +

− − − − − − −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 ! . 1 ! . . 1 ! 1

n p n n p n p n p p p

− + − − =

− − − −

( ) [ ] ( )

( ) ( ) ( )

1 ! 1 ! ! ! ! ! ! ! !

n p n p n n n n p p n p p n p p

− + − − = = =

− − − p n C =

: حل المعادلة2 1

1 1 . 0 p p p n n n x C x C C −

− − − + =

( ) 2 1 1 1 4 . p p p

n n n C C C − − − ∆ = − −

( ) 2 1 1 1 4 . p p p

n n n C C C − − − ∆ = −

( ) 2 1 1 1 1 1 1 4 . p p p p

n n n n C C C C − − − − − − ∆ = + −

( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 . 4 . p p p p p p

n n n n n n C C C C C C − − − − − − − − − ∆ = + + −

( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 1 1 2 . p p p p

n n n n C C C C − − − − − − ∆ = − +

( ) 2 1 1 1

p p n n C C −

− − ∆ = −

∆ 0 ه و علي : و منه للمعادلة حلين متمايزين <

( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 2

p p p p p p p n n n n n n n

C C C C C C C x − − − − − − − − −

− − + − + = =

1 : و منه 1 p n x C − =

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2

p p p p p p p n n n n n n n C C C C C C C x

− − − − − − − − − − − + + −

= =

1 : و منه2 1

p n x C −

− =

1 1 1 , p p

n n S C C − − − =

. 8 التمرين

0 : نبرهن أن – 1 1 ... 2 n n n n n C C C + + + =

( ) : لدينا 0 0 0 1 1 1 ... n n n n n n n n n n a b C a b C a b C a b − − − + = + + +

a 1 بوضع b = : نجد =

( ) 0 1 1 1 ... n n n n n C C C + = + + +

0 : إذن 1 ... 2 n n n n n C C C + + + =

( ) : ويمكن البرهان بالتراجع على صحة 0 1 : ... 2 n n n n n p n C C C + + + =

n = : 0 0 من أجل ­ 0 0 2 C صحيحة =

p ( ) نفرض صحة - k 1 ( ) و نبرهن صحة p k +

( ) 0 1 : ... 2 k k k k k p k C C C + + + =

( ) 0 1 1 1 1 1 1 1 : ... 2 k k

k k k p k C C C + + + + + + + + + =

0 : لدينا مما سبق 0 1 k k C C + =

1 0 1 1 k k k C C C + = +

2 1 2 1 k k k C C C + = +

M 1

1 k k k k k k C C C −

+ = + 1 1 1

k k k k k k C C C + +

+ = +

: بالجمع طرفا لطرف نجد0 1 1 0 1 1 1 1 1 ... 2 2 ... 2 k k k

k k k k k k k C C C C C C C + + + + + + + + = + + + +

( ) 0 1 2 ... 0 k k k k C C C = + + + +

2.2 k = 1 2 k+ =

p 1 ( ) ومنه k + صحيحة و عليه ( ) p n من أجل كل عدد طبيعي n 1 : إثبات أن – 2

1 p p n n pC nC −

− =

( ) ( ) ( ) ! ! ! ! ! 1 !

p n

n n pC p p n p p n p p p

= × = × − × − −

( ) ( ) ( ) ! ... 1 ! 1 ! n

n p p =

− −

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1

1 ! 1 .

! . 1 ! 1 1 !. 1 ! p n

n n n nC n

n p p n p p −

−

− − = =

− − − − − −

( ) ( ) ( ) ! ... 2 ! . 1 ! n

n p p =

− −

1 ) : 2 ( و ) 1 ( من1

p p n n pC nC −

− =

: S حساب المجموع – 31 2 3 1. 2 3 ... n n n n n S C C C nC = + + + +

0 : مما سبق 1 2 1 1 1 1 1 . ... n

n n n n S n C nC C nC − − − − − = + + + +

0 1 2 1 1 1 1 1 ... n

n n n n S n C nC C nC − − − − − = + + + +

n S 2. 1 : 1 و من السؤال n − =

. 9 التمرين

( ) 100

100 100 100

0

. . p

p p p

p a b C a b

= −

=

+ = ∑ 30 معامل ­ 30 . a b :

: لدينا ­100 70

30 p

p − =

= p 30 : و منه =

30 : إذن المعامل هو100 C

41 : رتبة الحد - 59 a b × إذن : 100 41

59 p

p − =

= p 59 : إذن =

. 60 : و عليه رتبة هذا الحد هي . 10 التمرين

( ) ( ) ( ) 0 0

1 1 1 . 1 n p p n p n

n p p p n n

p p C C

− = =

= =

+ = = ∑ ∑ 0 1 2 ... n n n n C C C = + + +

( ) ( ) ( ) ( ) 0

1 1 1 1 1 . 1 p n n n n p p p

n p

C =

−

=

+ = + − = − ∑

( ) ( ) 0 1 2

0

1 ... 1 p p n

n p n n n n n n

p C C C C C

=

=

= − = − + − + − ∑

( ) 0 1 2 0 ... 1 n n n n n n C C C C = − + − + −

: جاميع استنتاج الم

( ) 1 1 1 2 n n S = + =

( ) ( ) 0 2 1 3 1 ... ... n n n n S C C C C = + + + + +

1 2 3 S S S = + ( ) ( ) 0 2 1 3 0 ... ... n n n n C C C C = + + − + +

2 3 0 S S = −

2 : إذن 3

2 3

2 0

n S S S S

+ =

− = 2 2 : بالجمع نجد 2 n S =

: إذن2

2 2

n

S 1 : و عليه =2 2 n S 1 : و بالتالي = −

3 2 n S − =

. 11 التمرين

( ) : الخاصية البرهان بالتراجع على صحة 1

1 1 : ! 2 n

p n n − ≤

n = : 0 1 من أجل ­

1 1 1! 2

1 أي ≥ 1 ≤

. صحيحة p 1 ( ) و هذا صحيح و منه ­p ( ) نفرض صحة k 1 ( ) و نبرهن صحة p k +

( ) 1

1 1 : ! 2 k

p k k − ≤

( ) ( ) 1 1 1 : 1 ! 2 k

p k k

+ ≤ +

≤ k 1 : لدينا

1 : إذن 2 k + 1 ( ) : و عليه ≤ : ! 2. ! k k k + ≥

1 ( ) : و منه ! 2. ! k k + ( ) ( ) : بالتالي و ≤1 1 1 ... 1 ! 2. ! k k

≤ +

1 : لكن

1 1 ! 2 k k 1 : و منه ≥ −

1 1 2 ! 2.2 k k − ≤

( ) : إذن 1 1 2 ... 2. ! 2 k k

≤

1 : 2 ( ) و 1 ( ) من 1 ( 1)! 2 k k

≤ +

p 1 ( ) : إذن k + صحيحة . p ( ) : و منه n صحيحة من أجل كل عدد طبيعي n غير معدوم .

. 12 التمرين

: أرقام 6 عدد األعداد المكونة من – 1 ≠ a 0 : حيث abcdef و هي من الشكل

إمكانيات 9 فلدينا a الختيار كل عدد منها ما عدا إمكانيات 10 : لدينا9 9 : و حسب المبدأ األساسي عدد األعداد هو ≠ a 0 : ألن 10 ×

أرقام متمايزة مثنى مثنى وهي من 6 عدد األعداد المكونة من – 2 ≠ a 0 حيث abcdef : الشكل

: على اليسار هو 0 عدد األعداد من هذا الشكل بما فيهم التي تشمل -6 10 A أي

( ) 10!

10 6 ! − 10 أي 9 8 7 6 5 : × × × × ×

151200 : وعليه عدد هذه األعداد هو

أرقام 5 هو عدد األعداد ذات abcdef داد من الشكل وعدد األع

5 وعددها9 A حيث :

( ) 5 9

9! 9 8 7 6 5 9 5 !

A = = × × × × −

5 : أي9 15120 A =

: أرقام متمايزة مثنى مثنى هو 6 ومنه عدد األعداد ذات6 5 10 9 136080 A A − =

و هي من 5 أرقام و مضاعفة لـ 6 عدد األعداد المكونة من – 3abcde ( ) 0 a 5 أو abcde 0 الشكل 5 أو 0 أي رقم آحادها إما ≠

9 : و عددها 10 10 10 10 2 × × × × ×

إمكانيات 10 و a إمكانيات االختيار 9 لدينا ( لمبدأ األساسي حسب ا ) f إمكانية الختيار 2 و e و d و C و b الختيار كل من

4 18 : و منه عدد هذه األعداد هو 10 180000 × =

. عدد األعداد الفردية و المتمايزة مثنى مثنى – 4 ∋c 1,3,5,7,9 و ≠ a 0 : حيث abc : و هي من الشكل

على 0 ها التي تشمل عدد كل األعداد الفردية من هذا الشكل بما في -8 : اليسار هو 9 5 × 360 أي ×

8 : هو abc : عدد األعداد الفردية من الشكل - 40 أي × 5

أرقام متمايزة مثنى مثنى و فردية 3 ومنه عدد األعداد المكونة من360 : هو 40 320 − =

. 13 التمرين

: عدد السحبات الممكنة( )

2 2 0

2 0 ! 2 0 2 ! 2 !

C = − ×

190 = . 10 الحادثة المعرفة بمجموع الرقمين يساوي A لتكن ) 1

1, 9 , 2, 8 , 3, 7 , 4, 6 A =

( ) 4 2 190 95

p A = =

: 4 الحادثة المعرفة بالفرق بين الرقمين يساوي B لتكن ) 2 1,5 , 2, 6 , 3, 7 , 4, 8 , 5, 9 , 6;10 , B =

7,11 , 8,12 , 9,13 , 10,14 , 11,15 ,

12,16 , 13,17 , 14,18 , 15,19 , 16, 20

( ) 16 8 190 95

p B = =

B p ( ) حساب – 3 A :

( ) ( ) ( ) B

p A B p A

p b =

∩

A 3,7 : لكن B = ∩ و منه : ( ) 1190

p A B = ∩

( ) : و عليه1

1 19 1 190 16 190 16 16 190

B p A = = × =

. 14 التمرين

A , : لتكن مجموعة اإلمكانيات ) 1 B Ω =

( ) 1 p Ω ( ) ( ) و منه = 1 p A p B + =

p 2 ( ) ( ) : لكن A p B = 3 ( ) : و منه 1 p B =

( ) : إذن 1 3

p B ( ) و عليه = 2 3

p A =

( ) ( ) 2 1 1 1

3 3 p A p A = − = − =

p ( ) حساب A B ∩ : ( ) ( ) ( ) ( ) p A B p A p B p A B = + − ∪ ∩

( ) 1 2 1 3 3

p A B = + ( ) و منه ∩ − 0 p A B = ∩

: X قانون االحتمال للمتغير العشوائي - 2 X قيم 100 ­ 501 3

2 3 X p

: X ألمل الرياضياتي للمتغير ا ­

( ) 2 1 200 50 100 50 3 3 3

E X − = × − × =

( ) 150 50 3

E X = =

2 ( ) ( ) ( ) : التباين - 2 2 1 V X 100 50 50 50 3 3

= − + − −

( ) ( ) 2 1 5000 10000 2500 10000 3 3 3

+ = + = ( ) V X 5000 =

: االنحراف المعياري -V ( ) ( ) : لدينا X X σ = و منه : ( ) 70,7 X σ ;

. 15 التمرين

30 : احتمال اختيار ثالجة من إنتاج القسم األول هو100

1 ( ) : أي 0,3 p C =

60 : احتمال اختيار ثالجة من إنتاج القسم الثاني هو100

2 ( ) : أي 0,6 p C =

10 : احتمال اختيار ثالجة من إنتاج القسم الثالث هو100

3 ( ) : أي 0,1 p C =

في أنتجت صالحة لالستعمال علما أنها F احتمال أن تكون الثالجة ( ) : القسم األول هو

1 0,75 C p F =

في أنتجت صالحة لالستعمال علما أنها F احتمال أن تكون الثالجة ( ) : القسم الثاني هو

2 0, 85 C p F =

في أنتجت صالحة لالستعمال علما أنها F احتمال أن تكون الثالجة ( ) : القسم الثالث هو

3 0,90 C p F =

: صالحة لالستعمال في هذا المصنع F و منه احتمال أن تكون ثالجة( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 3 1 2 3 C C C p F p F p C p F p C p F p C = × + × + × 0,75 0,3 0,85 0,6 0,90 0,1 0,822 = × + × + × =

. 16 التمرين

. لكرة سوداء N لكرة حمراء و بالرمز R نرمز بالرمز 3 : عدد الحاالت الممكنة لهذا السحب هو

10 720 A = : هي A الحاالت المالئمة لوقوع الحدث ) 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ;V ; ;V;R ; V; ; ; V;V; ; V; ;V ; ;V;V R R R R R R R R : هو A و عليه عدد الحاالت المالئمة للحصول على

2 1 1 2 6 4 6 4 3. 3. 3 120 3 72 576 C C C C × + × = × + × =

( ) : A احتمال الحدث 576 720

p A =

: B الحاالت المالئمة لوقوع الحدث -

( ) ( ) ; ; ; V;V;V R R R و عليه عدد الحاالت المالئمة للحصول

3 : هو B على 3 6 4 144 C C + ( ) : و منه = 144

720 p B =

: نمذجة الوضعية باستعمال شجرة االحتماالت ) 3

R 4 8

N 4 8

R R 5 8

5 9 4 9

R 6 10

N

N 3 8

R 5 8

4 10

R 6 9

N 3 8

N

R 2 8

N 3 9

N 6 8

: مسارات نرمز لها بالرموز 6 تتكون من A و عليه الحادثة( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ; ; ;N;N ; R; ; ; R;R; ; N;N;R ; N;R;N N R R R N R N

( ) 6 5 4 6 4 5 6 4 3 10 9 8 10 9 8 10 9 8

p A = × × + × × + × ×

4 6 5 4 6 3 4 3 6 10 9 8 10 9 8 10 9 8

+ × × + × × + × ×

120 120 72 120 72 72 576 720 720

+ + + + + = =

; ( ) ( ) : فتتكون من مسارين هما B أما الحادثة ; ; N;N;N R R R

( ) : و عليه 6 5 4 4 3 2 120 24 10 9 8 10 9 8 720

p A + = × × + × × =

( ) 144 720

p B =

. 17 التمرين

J لكرة خضراء و بالرمز V نرمز بالرمز . لكرة صفراء . 512 أي 3 8 : عدد الحاالت الممكنة لهذا السحب هو

: هي C الحاالت المالئمة لوقوع الحدث ) 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V;V; ; V;J ;V ; J;V;V ; V;J; J ; J; J;V ; J ;V;J J

: لوضوع الحدث هو و عليه عدد الحاالت المالئمة2 1 2 3.5 3 3.5 .3 360 × + =

( ) : و بالتالي 360 512

p C =

V;V;V ( ) ( ) : هي D الحاالت المالئمة لوقوع الحدث - , J;J;J

3 : هو C عدد الحاالت المالئمة لوقوع 3 5 3 152 + =

( ) : C احتمال 152 512

p C =

: ت نمذجة الوضعية باستعمال شجرة االحتماال – 2

V 5 8 3 8

V 5 8

J V

V 5 8

J 3 8

J 3 8

J 3 8

5 8

• 5 8

J

V 3 8

3 8

J 3 8

J

V 5 8

V 5 8

: و عليه

( ) 5 5 3 5 3 5 5 3 3 8 8 8 8 8 8 8 8 8

p A = × × + × × + × ×

3 3 5 3 5 3 3 5 5 8 8 8 8 8 8 8 8 8

+ × × + × × + × ×

( ) 2 2

3

3.5 3 3.5.3 360 8 512

p A × + = =

( ) : و لدينا 5 5 5 3 3 3 8 8 8 8 8 8

p B = × × + × ×

( ) : إذن 152 512

p B =