IKA ARFIANI,S.T.

Luas daerah yang dibatasi oleh beberapa

kurva dapat ditentukan dengan menghitung

integral tertentu.

Andaikan kurva y = f(x) dan kurva y = g(x)

kontinu pada interval a ≤ x ≤ b, dan kurva

y = f(x) terletak di atas atau pada kurva

y = g(x), maka luas daerah yang dibatasi

kurva y = f(x), kurva y = g(x), garis x = a

Dan x = b adalah sebagai berikut:

X

Y

O

y1 =f(x)

x1 = a x2 = b

Luasnya ?

L =

b

a

dxxgxf )()(

y2 =g(x)

; f(x) > g(x)

Langkah-langkah

Menghitung Luas Daerah :

1. Tentukan daerah yang diminta denganmenggambar daerahnya

2. Perhatikan daerah yang dimaksud untukmenentukan batas-batas integrasinya

3. Tentukan rumus luas yang lebih mudah digunakan(L = ∫ y dx atau L = ∫ x dy )

4. Hitung nilai integral sebagai hasil luas daerah

I. Garis dan sumbu-sumbu koordinat

a. Daerah yang dibatasi oleh garis Y= 2x + 4, sb.Y dan sb.X

Y= 2x + 4

Sb.Y

Sb.X

Titik pot. dgn. Sb.X (2, 0) Titik pot. dgn. Sb.Y (0, 4)

Daerah yang diminta

2

4

Langkah 1. : Garis Y = 2X + 4,

Tentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat

Langkah 2. : Gambar garis tersebut yang melalui titik pot.

dan sumbu-sumbu koordinat

Langkah 3. : Arsir daerah yang ada diantara garisSb.Y dan Sb.X

II. Kurva dan sumbu-sumbu koordinat

b. Daerah yang dibatasi oleh Kurva Y= X2 5X + 4 dan sb.X

Y= X2 5X + 4

Sb.Y

Sb.X

Titik pot. dgn. Sb.X (1, 0) & (4,0)

Titik pot. dgn. Sb.Y (0, 4)

Daerah

yang

diminta

4

41

Langkah 1. : Garis Y = X2 5X + 4 ,

Tentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat

Langkah 2. : Gambar kurva tsb. yang melaluititik potong dan sumbu x

Langkah 3. : Arsir daerah yang adadiantara kurva dan Sb.X

Catatan:

Untuk mencari titik potong dengan sumbu X, gunakan faktorisasi

Letak daerah ada di bawah sumbu, maka luasnya = nilai integral

0

II. Kurva dan sumbu-sumbu koordinat

c. Daerah yang dibatasi oleh Kurva Y= X2 5X + 4, sb.Y dan sb.X

Y= X2 5X + 4

Sb.Y

Sb.X

Titik pot. dgn. Sb.X (1, 0) & (4,0) Titik pot. dgn. Sb.Y (0, 4)

Daerah

yang

diminta

4

0

41

Langkah 1. : Kurva Y = X2 – 5x + 4,

Tentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat

Langkah 2. : Gambar kurva tsb. yang melalui titik potong dan sumbu-sumbu koordinat

Langkah 3. : Arsir daerah yang adadiantara kurva Sb.Y dan Sb.X

Catatan: Untuk mencari titik potong dengan sumbu X, gunakan faktorisasi

III. Kurva dan garis

d. Daerah yang dibatasi oleh Kurva Y= X2 + 3X 4, dan 2Y+X 4 = 0

Y= X2 5X + 4

Sb.Y

Sb.X

Titik pot. dgn. Sb.X (1, 0) & (-4,0) Titik pot. dgn. Sb.Y (0, -4)

Daerah

yang

diminta

Langkah 1. : Garis Y = X2 + 3X– 4,

Tentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat

Langkah 3. : Gambar kurva tsb. yang melaluititik potong dan Garisnya

Langkah 4. : Arsir daerah yang ada diantarakurva Sb.Y dan Sb.X

Catatan:

Batas-batas daerah tersebut adalah kedua titik potong kurva dan garis

4

14

Langkah 2. : Garis 2Y+ X – 4 = 0,

Tentukan titik potong dengan sumbu-sumbukoordinat

Titik pot. dgn. Sb.X (-4, 0)

Titik Pot. Dgn. Sb.Y (0, -2)2

2Y+ X - 4 = 0

1. Batas-batas integrasi merupakan nilai awal dan akhir pada sumbu

koordinat dari suatu daerah yang akan dihitung.

2. Batas-batas integrasi tergantung pada arah integrasi yang

dilakukan:

b

a

dxxf )( L

d

c

dyyf )( L

a merupakan batas bawah (awal)

b merupakan batas atas (akhir)

a dan b terletak pada sumbu x

c merupakan batas bawah (awal)

d merupakan batas atas (akhir)

c dan d terlat pada sumbu y

I. Garis dan sumbu-sumbu koordinat

a. Daerah yang dibatasi oleh garis Y= 2x + 4, sb.Y dan sb.X

Y= 2x + 4

Sb.Y

Sb.X

Daerah yang diminta

2

4

(1) 0 sampai 2, jika perhitungan integral berbasis (ke arah) Sb. X

2

0

42 L dxx

4

0

2

4 L dy

y

Batas-batas integrasi ada dua, yaitu:

(2) 0 sampai 4, jika perhitungan integral berbasis (ke arah) Sb. Y

1

0

2 45 L dxxx

25

49

492

25

4252

25

2

4

45

yx

xxy

xxy

)()(

(1) 0 sampai 1, jika perhitungan integral berbasis (ke arah) Sb. X

Batas-batas integrasi ada dua, yaitu:

(2) 0 sampai 4, jika perhitungan integral

berbasis (ke arah) Sb. Y

II. Kurva dan sumbu-sumbu koordinat

b. Daerah yang dibatasi oleh Kurva Y= X2 5X + 4, sb.Y dan sb.X

Y= X2 5X + 4

Sb.Y

Sb.X

Daerah

yang

diminta

4

41

Karena basis yang kita gunakan adalah Sb.y, maka

Persamaan kurva f(x) diubah menjadi f(y).

4

025

49 L dyy

21

21

2

2

2

dan 4

01282

0472

04862

04) 432

xx

xx

xx

xxx

xxx

))((

(

Dengan memperhatikan gambar, maka batas-batas diperoleh

dengan cara mencari titik-titik potong kurva dan garis, yaitu

Y= X2 + 3X 4, disubtitusikan ke 2Y+X 4 = 0

Batas- batas integrasi (berbasis Sb.x)

III. Kurva dan garis

b. Daerah yang dibatasi oleh Kurva Y= X2 + 3X 4, dan 2Y+X + 4 = 0

Y= X2 3X 4

Sb.Y

Sb.X

Daerah yang

diminta

4

14

2

2Y+ X – 4 = 0

21

4

2

2

443 L dx

xxx )()(

Contoh 1:

Hitunglah luas daerah yang dibatasi

kurva y = 3x2 + 6x , sumbu X, dan

garis-garis x = 0 dan x = 2

Penyelesaian:Sketsalah terlebih dahulu

grafik y = 3x2 + 6x

Titik potong dengan sumbu X

y = 0 → 3x2 + 6x = 0 → 3x(x + 2) = 0

x = 0 atau x = -2

sehingga titik potong dengan sumbu X

adalah di (0,0) dan (-2,0)

Sketsa grafik y = 3x2 + 6x

X

Y

O

y = 3x2 + 6x

x =2

L=?

-2

X

Y

O

y = 3x2 + 6x

-2x =2

L=?

L =

2

0

2 )63( dxxx

luassatuan 200)2.32( 23

2

0

23 3 x x

Contoh 2:

Luas daerah yang dibatasi oleh

kurva y = x3, sumbu Y, garis

y = 8 adalah…

X

Y

O

y = x3

Penyelesaian:

Sketsa grafik fungsi y = x3 dan garis y = 8

y = 8

X

Y

O

y = x3

y = 8

d

c

xdyL 8

0

31

dyy

31

y x

8

034

341

y

8

0

34

4

3y

8

0

31

dyy

8

0

34

4

3y

)08(4

334

34

34

8.4

3 3

4.32.

4

3

16.4

3

412

Jadi, luasnya adalah luassatuan 12

Saturday, May 18, 2013 22

Contoh 3:

Luas daerah yang dibatasi oleh

kurva y = x2, sumbu Y, dan garis

y = x + 6 adalah…

Penyelesaian:

Sketsa grafik y = x2 dan garis y = x + 6

X

Y

–6

6

y = x2

X

Y

–6

6y = x2

batas atas ditentukan oleh perpotongan

kedua grafik

?

Titik potong antara y = x2 dan y = x + 6

x2 = x + 6

X

Y

–6

6

y = x2

x2 – x – 6 = 0

(x – 3)(x + 2) = 0

X

Y

–6

6

y = x2

(x – 3)(x + 2) = 0

x = 3 y = 9 (3,9)

3

9

x = -2 y = 4 (-2,4)

-2

X

Y

–6

6

y = x2

3

9

Jadi batas-batas pengintegralannya

adalah x1 = 0 dan x2 = 3

-2

X

Y

–6

6

y = x2

3

9

-2

L =

3

0

2 )6( dxxx3

0

3

312

21 )6x( xx

3

312

21 3.3.63. )0.0.60.( 3

312

21

L = 3

312

21 3.3.63. )0.0.60.( 3

312

21

0918421

2113

satuan luas2113

Jadi, luasnya adalah

SELESAI

42 yx

1. Diketahui D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva dan garis 2 xy

2. Diketahui R adalah daerah yang dibatasi oleh garis dan parabola 4 xy 22 xy

3. Diketahui Q adalah daerah yang dibatasi olehsumbu X, dan 2xy 2 xy

SOAL PENUGASAN

Dari ketiga soal tersebut, carilah :a. Gambar daerahnyab. Hitung titik potongnya (jika ada)c. Hitung luasnya