Il Calcolo Delle Probabilità

27 aprile 2023Annamaria Sarli

Il calcolo delle probabilità«E’ improbabile», «E’ impossibile», «E’ una su cinque…»


Gli eventiUn evento è un avvenimento, descritto da una proposizione, che può accadere o non accadere.Gli eventi possono essere distinti in:• Eventi certi: eventi che accadono con certezza• Eventi impossibili: eventi che non possono mai verificarsi• Eventi aleatori: eventi il cui verificarsi dipende dal caso, che possono

ovvero accadere ma senza certezza

Ogni evento è visto come risultato di un esperimento aleatorio, ed è anche detto evento elementare o campione (indicato con E)


Consideriamo l’esempio del lancio di un dado, con l’evento aleatorio E = «esce un numero dispari».Il sottoinsieme E = {1, 3, 5} rappresenta i casi favorevoli (quelli in cui E è verificato), mentre l’insieme U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} è quello dei casi possibili.Supponendo che tutti i casi siano ugualmente possibili, si considera il rapporto:

Questo rapporto fornisce una stima sulla possibilità che E si verifichi e viene chiamato probabilità di E.


La Probabilità

La probabilità di un evento E è il rapporto fra il numero dei casi favorevoli f e quello dei casi possibili u, quando sono tutti ugualmente possibili.

Esempio

Per un mazzo di 52 carte, consideriamo gli eventi:- = «estrazione di una figura rossa»;

- = «estrazione di una carta di picche».

I casi possibili sono u = 52, per i casi favorevoli sono f = 6; per i casi favorevoli sono f = 13.

) =

Poiché il numero dei casi favorevoli è sempre minore o uguale al numero dei casi possibili, la probabilità di un evento aleatorio è sempre compresa tra 0 e 1

().

Per un evento impossibile, f = 0, ovvero il numero dei casi favorevoli è nullo e quindi le probabilità in questo caso sono p = 0.

Per un evento certo, f = u, ovvero il numero dei casi favorevoli è uguale al numero dei casi possibili, quindi p (E) = 1.

Per evento contrario si intende un evento che si verifica solo se non si verifica E.) =


La probabilità condizionataDati due eventi , si dice probabilità condizionata (o subordinata) di rispetto a e si indica con la probabilità che si verifichi nell’ipotesi che sia verificato.

Se le conoscenze ulteriori sul verificarsi di , non modificano la probabilità di si dice che gli eventi sono stocasticamente indipendenti.Se le conoscenze ulteriori sul verificarsi di , modificano la probabilità di si dice che gli eventi sono stocasticamente dipendenti.

EsempioConsideriamo un’urna in cui ci sono dei biglietti numerati da 1 a 20. Supponiamo che l’evento sia: «estrazione di una pallina con un numero divisibile per 4. Quindi, U: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} e {4, 8, 12, 16, 20} e la probabilità p () = Supponiamo poi che l’evento sia «estrazione di una pallina con un numero maggiore di 13», per il quale p () = Valutiamo la probabilità di quando sappiamo che si è verificato, chiamata probabilità condizionata → . In questo modo, i casi possibili diventano 7 → U’: {14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}, mentre i casi favorevoli sono i 2 elementi dell’insieme = {9, 12}. La probabilità sarà .



Le variabili aleatorie (o casuali)Una variabile casuale X è una variabile che può assumere i valori corrispondenti a eventi aleatori non impossibili, che si escludono a vicenda e tali che sicuramente uno di essi si verifichi.

…U

X …P (X) …

Gli eventi relativi ad una variabile casuale costituiscono una partizione dell’insieme U dei possibili esiti di un esperimento.

Distribuzione di probabilitàData una variabile casuale X, con valori , la successione delle probabilità , , …, ad essi associate si chiama distribuzione di probabilità della variabile X.

Esempio

Da un’urna contenente tre palline numerate da 1 a 3, estraiamo consecutivamente due palline, rimettendo ogni volta la pallina estratta nell’urna. Costruiamo la distribuzione di probabilità della variabile casuale X sommando i due numeri estratti:

(1, 1) (1, 2); (2, 1)(1, 3); (3, 1); (2, 2)(2, 3); (3,2)(3, 3)

somma

23456

Dove ogni coppia ha probabilità 27 aprile 2023Annamaria Sarli


Quindi la variabile casuale X può assumere i valori 2, 3, 4, 5, 6, a cui corrispondono le probabilità:

P (X = 2) = P (X = 6) =

P (X = 3) = P (X = 5) =

P (X = 4) = =

X 2 3 4 5 6P (X)


Esempi di usi delle probabilità

La probabilità è molto ricorrente nella vita di tutti i giorni o anche in alcune occasioni più «mondane», come nel caso del gioco d’azzardo. Ma esso, se giocato con l’uso del calcolo delle probabilità, può essere molto meno «azzardato» e trasformarsi in una vera e propria fonte di guadagno, molto cospicua. Un esempio di ciò è la storia, realmente accaduta, del MIT blackjack team, raccontata nel film americano «21», in cui un gruppo di studenti Massachussets Institute of Technology di Boston, guidati da un loro professore, sbancarono numerosi casinò, giocando a blackjack usando la tattica del «conteggio delle carte», in cui il calcolo delle probabilità ha un ruolo fondamentale.

Altro esempio, per quanto riguarda il ruolo delle probabilità nel gioco d’azzardo, lo troviamo nella letteratura, con Pirandello e, per quanto riguarda l’ambiente estero, Doestoevskij.

Le probabilità in letteratura Fëdor Michailovic Dostoevskij - Il giocatore

Il gentleman può puntare cinque o dieci luigi d'oro, qualche volta anche di più, può puntare addirittura mille franchi se è molto ricco, ma unicamente per il gioco in se stesso, per il divertimento, unicamente per togliersi il gusto di osservare il processo di vincere o perdere; ma non deve assolutamente interessarsi alla propria vincita… può anche puntare un'altra volta e magari raddoppiare, ma unicamente e solamente per curiosità, per osservare il gioco delle probabilità, e non certo per il plebeo desiderio di vincere. […] Mi è parso che in realtà il calcolo significhi molto poco e comunque non abbia affatto tutta l'importanza che gli attribuiscono molti giocatori. Certi se ne stanno lì seduti davanti a dei pezzi di carta rigata, segnano tutti i colpi, li contano, ne deducono le probabilità, fanno i loro calcoli e alla fine puntano e perdono proprio come noi, semplici mortali che giochiamo senza calcolare niente. […] effettivamente nel gioco alterno delle probabilità si può scorgere un certo qual ordine, il che naturalmente è molto strano. Capita, ad esempio, che dopo le dodici cifre mediane, escano le dodici ultime; queste escono, mettiamo, due volte, e poi si passa alle prime dodici. Dopo che sono uscite le prime dodici, ecco che si passa di nuovo alle dodici di mezzo; queste escono tre o quattro volte in fila e poi di nuovo si passa alle ultime dodici, che di nuovo escono un paio di volte per poi passare alle prime, che escono una sola volta e quindi escono ancora per tre volte di seguito le mediane… […] Capita invece, per esempio, che il rosso si alterni col nero e viceversa senza nessun ordine, quasi di continuo, tanto che il rosso e il nero non escono mai più di due o tre volte di fila. Un altro giorno o un'altra sera capita invece che esca quasi sempre solo il rosso; capita, ad esempio, che il rosso esca anche più di ventidue volte di seguito, e immancabilmente continua a uscire in questo modo per un pezzo, magari anche per tutta una giornata. […] Lei tirava fuori di tasca un po' d'oro e qualche banconota da mille franchi e cominciava a puntare in silenzio, con freddezza e facendo i suoi calcoli, segnando a lapis delle cifre su un pezzo di carta e cercando di trovare un sistema secondo il quale, in un determinato momento, si presentassero un certo numero di probabilità favorevoli. […] Io non calcolavo, non avevo neppure sentito quale numero fosse uscito per ultimo, né l'avevo chiesto al momento di cominciare il gioco, come avrebbe senza dubbio fatto qualsiasi giocatore che calcolasse almeno un po' le probabilità.



Luigi Pirandello – Il fu Mattia Pascal

Mi aspettavo di meglio, dico la verità. L'ingresso, sì, non c'è male; si vede che hanno avuto quasi l'intenzione d'innalzare un tempio alla Fortuna, con quelle otto colonne di marmo. Un portone e due porte laterali. Su queste era scritto Tirez: e fin qui ci arrivavo; arrivai anche al Poussez del portone, che evidentemente voleva dire il contrario; spinsi ed entrai.Pessimo gusto! E fa dispetto. Potrebbero almeno offrire a tutti coloro che vanno a lasciar lì tanto denaro la soddisfazione di vedersi scorticati in un luogo men sontuoso e più bello.Tutte le grandi città si compiacciono adesso di avere un bel mattatojo per le povere bestie, le quali pure, prive come sono d'ogni educazione, non possono goderne. E vero tuttavia che la maggior parte della gente che va lì ha ben altra voglia che quella di badare al gusto della decorazione di quelle cinque sale, come coloro che seggono su quei divani, giro giro, non sono spesso in condizione di accorgersi della dubbia eleganza dell'imbottitura. Vi seggono, di solito, certi disgraziati, cui la passione del giuoco ha sconvolto il cervello nel modo più singolare: stanno li a studiare il così detto equilibrio delle probabilità, e meditano seriamente i colpi da tentare, tutta un'architettura di giuoco, consultando appunti su le vicende de' numeri: vogliono insomma estrarre la logica dal caso, come dire il sangue dalle pietre; e son sicurissimi che, oggi o domani, vi riusciranno.

Suzanne Collins – The Hunger Games

Diventi sorteggiabile per la mietitura quando compi dodici anni. Quell'anno vieni nominato una volta. A tredici anni, due. E così via, finché raggiungi i diciotto anni, quando prendi sette nomine. […] Puoi decidere di farti nominare più volte in cambio di tessere. Ogni tessera vale una piccola fornitura annuale di cereali e olio per una persona. Puoi farlo anche per gli altri membri della tua famiglia. Così io, a dodici anni, ho avuto quattro nomine. Una perché dovevo e tre per le tessere, per me, per Prim e per mia madre. L'ho dovuto fare tutti gli anni. E le nomine sono cumulative. Così adesso, a sedici anni, il mio nome comparirà venti volte. Il nome di Gale, che ha diciotto anni e ha aiutato da solo una famiglia di cinque persone per sette anni, sarà ripetuto per quarantadue volte fra quelli sorteggiabili. […] sul palco eretto davanti al Palazzo di Giustizia due grandi bocce di vetro, una per i maschi e una per le femmine. Fisso le striscioline di carta nella boccia delle ragazze. Venti riportano il nome di Katniss Everdeen […] Penso ai quarantadue biglietti col nome di Gale nella grande boccia di vetro e a quanto la buona sorte non sia a suo favore. Ma i biglietti sono migliaia […] Effie Trinket attraversa il palco per avvicinarsi alla boccia di vetro con i nomi delle ragazze. La raggiunge, tuffa la mano in profondità ed estrae una strisciolina di carta. […] È Primrose Everdeen. Deve esserci stato un errore. Non è possibile che stia accadendo questo. Prim era solo un'unica strisciolina di carta in mezzo a migliaia di altre! Le probabilità che venisse scelta erano così remote che non mi sono nemmeno presa il disturbo di preoccuparmi per lei. Un biglietto fra migliaia di altri. 27 aprile 2023Annamaria Sarli

«Una sfortunata lotteria»

Annamaria Sarli

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