Il comportamento del consumatore - uniroma2.it · I panieri di consumo sono, ... Questa proprietà è necessaria per avere una teoria in cui il consumatore possa effettuare una scelta

Il comportamento del consumatore.

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Indice.

Le preferenze del consumatore. 4

1. Relazioni di preferenza. 4

Proprietà delle relazioni di preferenza. 5

Esempio 1. 5

Esempio 2. 5

Esempio 3. 6

2. Le curve di indifferenza. 6

3. Esempi di preferenze. 9

Perfetti sostituti. 9

Perfetti complementi. 10

4. Preferenze regolari. 11

5. Saggio marginale di sostituzione. 12

6. Esercizi e soluzioni. 14

Esercizio 1. 14

Soluzione. 15

Utilità. 18

1. Esempi di funzioni di utilità. 19

Esempio. 19

Perfetti sostituti. 20

Perfetti complementi. 22

2. Preferenze quasi-lineari. 25

3. Utilità marginale. 26

4. Utilità marginale e saggio marginale di sostituzione. 27


Esercizio 1. 29

Soluzione. 29

3

Esercizio 2. 30

Soluzione. 31

Il vincolo di bilancio. 33

1. Insieme e vincolo di bilancio: proprietà. 33

2. Come varia la retta di bilancio. 36

2.1. Variazioni nel livello del reddito. 36

2.2. Variazioni nel livello dei prezzi. 37

3. La scelta del consumatore. 40


Esercizio 1. 42

Soluzione. 42

Esercizio 2. 45

Soluzione. 45

Esercizio 3. 47

Soluzione. 47

Esercizio 4. 50

Soluzione. 51

Elisa Battistoni Le preferenze del consumatore

4

Le preferenze del consumatore.

Nell’analisi del comportamento del consumatore si parte dall’ipotesi che egli scelga la

combinazione di beni e servizi migliore fra tutte quelle che può acquistare. Al

momento della scelta il consumatore prende in considerazione un insieme di beni e

servizi detto paniere di consumo.

I panieri di consumo sono, perciò, l’oggetto della scelta del consumatore e sono un

elenco completo di beni e servizi. Per ogni bene o servizio è specificato quando, dove e

in quali circostanze è disponibile. Tale specificazione è molto importante perché lo

stesso bene/servizio può essere valutato diversamente dal consumatore in

circostanze differenti. Ad esempio un consumatore non valuta allo stesso modo un

ombrello quando piove o quando c’è il sole.

È, quindi, utile considerare lo stesso bene come “diverso” se è disponibile in luoghi o in

circostanze differenti.

1. Relazioni di preferenza.

Consideriamo due panieri di consumo costituiti da due soli beni – il bene 1 ed il bene 2.

I due panieri sono (((( ))))21 x,x e (((( ))))21 y,y .

Si ha:

1. (((( )))) (((( ))))2121 y,yx,x f ⇒ (((( ))))21 x,x è strettamente preferito a (((( ))))21 y,y , cioè il

consumatore preferisce inequivocabilmente il paniere (((( ))))21 x,x a quello (((( ))))21 y,y

ed ogni volta che ne avrà l’opportunità sceglierà (((( ))))21 x,x ;

2. (((( )))) (((( ))))2121 y,yx,x ≈≈≈≈ ⇒ (((( ))))21 x,x è indifferente a (((( ))))21 y,y , cioè il consumatore è

ugualmente soddisfatto sia che consumi (((( ))))21 x,x , sia che consumi (((( ))))21 y,y ;

3. (((( )))) (((( ))))2121 y,yx,x ≥≥≥≥ ⇒ (((( ))))21 x,x è debolmente preferito a (((( ))))21 y,y .


5

Proprietà delle relazioni di preferenza.

1. proprietà transitiva

Dati tre panieri – (((( ))))21 x,x , (((( ))))21 y,y e (((( ))))21 z,z – si ha:

(((( )))) (((( ))))2121 y,yx,x f e (((( )))) (((( ))))2121 z,zy,y f ⇒ (((( )))) (((( ))))2121 z,zx,x f

Questa proprietà è necessaria per avere una teoria in cui il consumatore

possa effettuare una scelta “ottimale”;

2. Proprietà riflessiva

(((( )))) (((( ))))2121 x,xx,x ≥≥≥≥

Un paniere è desiderabile almeno quanto se stesso (o uno identico);

3. Proprietà di completezza

Dati due panieri (((( ))))21 x,x e (((( ))))21 y,y si ha:

(((( )))) (((( ))))2121 y,yx,x ≥≥≥≥ oppure (((( )))) (((( ))))2121 y,yx,x ≈≈≈≈ oppure (((( )))) (((( ))))2121 x,xy,y ≥≥≥≥ .

Questo significa che dati due panieri è sempre possibile confrontarli e,

perciò, il consumatore è sempre in grado di effettuare una scelta fra i due

panieri considerati.

Esempio 1.

Se un consumatore sceglie (((( ))))21 x,x quando è disponibile anche (((( ))))21 y,y si può

concludere che (((( )))) (((( ))))2121 y,yx,x f ?

R: No, perché potrebbe anche essere (((( )))) (((( ))))2121 y,yx,x ≈≈≈≈ . L’unica conclusione che

si può trarre è (((( )))) (((( ))))2121 y,yx,x ≥≥≥≥ .

Esempio 2.

Si considerino tre individui A, B e C. La relazione “almeno altrettanto alto di“ è

transitiva? È completa?

R: è transitiva


6

Se A è almeno altrettanto alto di B e B è almeno altrettanto alto di C, allora è

anche A altrettanto alto di C.

CACB

BA≥≥≥≥⇒⇒⇒⇒

≥≥≥≥

≥≥≥≥

R: è completa

Per ogni individuo può valere BA ≥≥≥≥ oppure AB ≥≥≥≥ oppure BA ≈≈≈≈ .

Esempio 3.

La relazione “strettamente più alto di” è transitiva? È riflessiva? È completa?

R: è transitiva

Se BA f e CB f allora sarà CA f

R: non è riflessiva

È assurdo dire che A è strettamente più alto di se stesso

AA f ⇒ assurdo

R: non è completa

Per i due individui potrebbe valere BA ≈≈≈≈ , possibilità non contemplata dalla

relazione proposta.

2. Le curve di indifferenza.

Consideriamo un diagramma cartesiano sui cui assi siano riportate le quantità

consumate dei due beni 1 e 2. In corrispondenza di differenti livelli di consumo si

avranno diversi panieri.

Dato un paniere (((( ))))21 x,x ci sono infiniti panieri che per il consumatore hanno lo stesso

livello di soddisfazione, cioè che sono indifferenti a (((( ))))21 x,x . Se si riportano tutti i

panieri indifferenti a (((( ))))21 x,x sul diagramma cartesiano considerato si ottiene una

curva, detta curva di indifferenza.


7

Il luogo dei punti (((( ))))21 x,x che rappresentano panieri fra i quali il

consumatore è indifferente è detto curva di indifferenza.

L’insieme strettamente preferito – ovvero l’insieme dei panieri che il consumatore

preferisce strettamente a quello iniziale (((( ))))21 x,x – è la parte di piano che si trova

sopra la curva di indifferenza.

L’insieme preferito debolmente deriva dall’unione dell’insieme strettamente preferito

e della sua frontiera (curva di indifferenza)

2x

1x 1x

2x

Curva di indifferenza

2x

x

1x 1x

2x Insieme strettamente preferito


8

Le curve di indifferenza possono assumere molte forme, ma le curve di indifferenza

che corrispondono a diversi livelli di soddisfazione non possono intersecarsi!

DIM: Consideriamo due curve di indifferenza che si intersecano relative a livelli

di soddisfazione differenti (vedi fig. sottostante).

Siano X , Y e Z tre panieri corrispondenti a diversi livelli di consumo di (((( ))))21 x,x .

X e Z sono sulla stessa curva di indifferenza ⇒ ZX ≈≈≈≈ .

Z e Y sono sulla stessa curva di indifferenza ⇒ YZ ≈≈≈≈ .

2x

1x 1x

2x Insieme debolmente preferito

Y

Z

X

1x

2x Preferenza più alta


9

Per la proprietà transitiva deve essere YX ≈≈≈≈ , ma X si trova su una curva di

indifferenza più alta di quella di Y ⇒ deve essere anche YX f ⇒ abbiamo

raggiunto un ASSURDO.

3. Esempi di preferenze.

Perfetti sostituti.

Due beni sono perfetti sostituti se il consumatore è disposto a sostituire un bene con

l’altro ad un saggio (rapporto) costante. Il caso più semplice è quello in cui i due beni

vengono sostituiti in proporzione 1:1.

ESEMPIO: si considerino come beni le matite rosse e le matite blu. Il

consumatore è interessato unicamente alla quantità di matite che possiede,

indipendentemente dal loro colore.

Scegliamo un paniere di consumo iniziale (((( ))))21 x,x , con 1x =matite rosse e

2x =matite blu, pari a (((( ))))10,10 . Visto che il consumatore è interessato solamente

alle matite ogni altro paniere che ne contenga 20 è, per lui, altrettanto

desiderabile di quello iniziale: ogni paniere tale che 20xx 21 ====++++ è, perciò, sulla

stessa curva di indifferenza del paniere (((( ))))10,10 .

Le curve di indifferenza del consumatore relativamente ai beni considerati sono,

perciò, rette parallele con coefficiente angolare pari a –1.

Se diamo al consumatore una matita rossa in più, per farlo rimanere sulla stessa

curva di indifferenza bisogna togliergliene una blu: perciò i panieri (((( ))))9,11 e

(((( ))))11,9 hanno lo stesso grado di soddisfazione del paniere (((( ))))10,10 e si trovano,

quindi, sulla stessa curva di indifferenza.


10

I panieri che contengono un numero totale di matite superiore rispetto al paniere

(((( ))))10,10 sono preferiti strettamente a quest’ultimo e, perciò, si trovano su curve

di indifferenza più alte.

Le curve di indifferenza di beni perfetti sostituti sono, quindi, rette parallele con

coefficiente angolare negativo.

Se la proporzione in cui il consumatore è disposto a scambiare i due beni non è 1:1 le

rette saranno più o meno inclinate, ma la forma delle curve di indifferenza non

cambierà.

Perfetti complementi.

Due beni sono perfetti complementi se sono sempre consumati insieme in proporzioni

fisse (non necessariamente 1:1).

Un esempio di beni perfetti complementi in un rapporto 1:1 è costituito dai due beni

“scarpa destra” e “scarpa sinistra”.

Un esempio di beni perfetti complementi in un rapporto diverso da quello 1:1 può

essere quello di un consumatore che mette sempre due cucchiaini di zucchero in una

tazza di tè e non consuma mai né zucchero né tè separatamente.

Consideriamo, per semplicità, il caso di due beni perfetti complementi consumati in

proporzione 1:1 (es.: scarpa destra e scarpa sinistra). Inizialmente il consumatore ha il

paniere (((( ))))10,10 ; se forniamo al consumatore un’unità ulteriore del bene 1, portandolo

al paniere (((( ))))10,11 , egli rimarrà indifferente perché non potrà consumare l’unità in più

Matite rosse

Matite blu

10

10

11

9


11

del bene 1 senza avere anche un’altra unità del bene 2. Analoga considerazione vale

per il passaggio al paniere (((( ))))11,10 . I tre panieri (((( ))))10,10 , (((( ))))10,11 e (((( ))))11,10 sono,

perciò, sulla stessa curva di indifferenza.

Le curve di indifferenza, perciò, sono spezzate ad “L” ed il vertice, nel caso di beni

consumati in proporzione 1:1, si trova sulla diagonale principale.

4. Preferenze regolari.

Le preferenze del consumatore si dicono regolari se sono verificate due ipotesi (le

preferenze analizzate fino a questo punto sono regolari).

1. “più è meglio”:

Se consideriamo due panieri (((( ))))21 x,x e (((( ))))21 y,y tali che (((( ))))21 y,y contiene

almeno le stesse quantità di entrambi i beni rispetto a (((( ))))21 x,x ed una

quantità addizionale di uno dei due beni rispetto a (((( ))))21 x,x , allora si ha che

(((( )))) (((( ))))2121 x,xy,y f .

Questa condizione fa sì che le preferenze siano monotone decrescenti, o –

in altri termini – che abbiano inclinazione negativa: infatti, da quanto detto

risulta che i panieri migliori sono tutti quelli che, rispetto ad una curva di

indifferenza, si trovano in alto a destra, mentre quelli peggiori si trovano in

basso a sinistra. Per trovare panieri indifferenti, quindi, ci si deve muovere

10

10

1x

2x


12

per forza in basso a destra o in alto a sinistra ⇒ la curva di indifferenza è

monotona decrescente.

2. “la media è preferita agli estremi”:

Consideriamo due panieri indifferenti (((( ))))21 x,x e (((( ))))21 y,y ed una loro media

ponderata

(((( )))) (((( ))))(((( ))))2211 yt1tx,yt1tx −−−−++++−−−−++++ [[[[ ]]]]1,0t ∈∈∈∈

Il nuovo paniere è sul segmento che unisce i due panieri iniziali.

Dire che il paniere intermedio è preferito a quelli estremi significa dire che

si trova su una curva di indifferenza più alta: perché ciò sia vero l’insieme

dei panieri preferiti deve essere convesso.

5. Saggio marginale di sostituzione.

Il saggio marginale di sostituzione – indicato con MRS (Marginal Rate of Substitution)

– rappresenta il rapporto al quale il consumatore è disposto a sostituire un bene con

l’altro.

1x

2x

Panieri peggiori

Panieri migliori

(tx1+(1-t)y1,tx2+(1-t)y2) x

y 1x

2x


13

In altri termini il saggio marginale di sostituzione risponde alla domanda: “Se tolgo una

quantità 1x∆∆∆∆ del bene 1 al consumatore, quale quantità 2x∆∆∆∆ del bene 2 devo dargli in

cambio perché la sua soddisfazione non cambi (ovvero per farlo rimanere sulla stessa

curva di indifferenza)?”.

Il saggio marginale di sostituzione è rappresentato dal rapporto fra le due variazioni

di quantità dei beni 1 e 2:

1

22,1 x

xMRS

∆∆∆∆

∆∆∆∆====

Poiché le due variazioni delle quantità dei beni hanno segno opposto – la quantità di un

bene aumenta, mentre quella dell’altro diminuisce – l’MRS ha sempre segno negativo.

Inoltre, per le curve di indifferenza strettamente convesse l’MRS è decrescente:

questo significa che maggiore è la quantità che si possiede di un bene più si è disposti

a cederne in cambio dell’altro.

Se si considera:

1

2

1x

x

0xlim

∆∆∆∆

∆∆∆∆

→→→→∆∆∆∆

si ottiene la derivata della curva di indifferenza e, pertanto, il saggio marginale di

sostituzione dà la misura della pendenza della curva considerata: come si è visto la

pendenza, come l’MRS, è negativa.

L’MRS può essere interpretato anche come “disponibilità marginale a pagare”. Infatti,

se il bene 2 è il “consumo di tutti gli altri beni diversi da 1” ed è misurato in termini

della quantità di moneta che il consumatore può spendere per essi, l’MRS del bene 2

con il bene1 rappresenta i soldi che il consumatore sarebbe disposto a rinunciare a

1x

2x


14

spendere nell’acquisto degli altri beni per poter consumare una quantità maggiore del

bene 1.

Si noti che la somma che si è disposti a spendere per avere una quantità aggiuntiva del

bene 1 può non coincidere con quanto si deve spendere per tale quantità.

6. Esercizi e soluzioni.

Esercizio 1.

In una assolata domenica di agosto Homer Simpson si trova di fronte ad un

distributore di lattine di birra. La macchina non dà resto: si può ottenere una lattina

di birra solo se si dispone della quantità esatta di denaro (2 monete da 25 cents e 1

moneta da 10 cents). Nessun negozio è aperto e non c’è nessuno in giro. Homer è così

assetato che l’unica cosa che gli interessa è la quantità di lattine che può acquistare

con le monete che ha in tasca (quante più ne può acquistare tanto meglio).

a) Disegnare le curve di indifferenza di Homer;

b) Trovare tutte le combinazioni indifferenti a “2 monete da 25 cents, 1 moneta

da 10 cents”;

c) Le preferenze di Homer sono convesse?

d) Se fosse sabato, il negozio vicino al distributore automatico sarebbe aperto. In

questo caso Homer potrebbe comprare tutta la birra che desidera al prezzo di

4 cents per 1/10 di litro e potrebbe pagare impiegando qualsiasi combinazione

di monete. Supponiamo che Homer decida di spendere in questo negozio tutto il

suo denaro. Disegnare le curve di indifferenza relative alle monete da 10 cents

e da 25 cents, considerando, per semplicità, che Homer possa impiegare

qualsiasi frazione delle monete.


15

Soluzione.

a) Le monete da 10 cents e da 25 cents sono perfetti complementi e vanno

consumate in proporzione 1:2.

Si ha perciò:

b) Anche se Homer avesse in tasca frazioni delle monete non se ne potrebbe

comunque servire: c’è, quindi un’intera zona di combinazioni che per Homer sono

indifferenti ad avere 2 monete da 25 cents ed 1 moneta da 10 cents. Ne risulta

che le preferenze di Homer sono rappresentate da “fasce” più che da curve.

1 2

3

4 6 2

10 cents

25 cents

1 2

3

4 6 2

10 cents

25 cents


16

c) Si considerino due panieri x e y sulla stessa curva di indifferenza e si tracci il

segmento con estremi in x e y . Il segmento ottenuto si trova in parte nella

stessa fascia di indifferenza di x e y ed in parte in una fascia superiore: in

questo segmento, quindi, ci saranno punti indifferenti ad x e y e punti

strettamente preferiti. Se ne deduce che le preferenze di Homer sono

convesse, ma non strettamente.

Paniere intermedio indifferente agli estremi

Paniere intermedio strettamente preferito agli estremi x

y 1 2

3

4 6 2

10 cents

25 cents


17

d) In questo caso per Homer è indifferente pagare con 1 moneta da 10 cents o con

0,4 monete da 25 cents (oppure, al contrario, utilizzare 2,5 monete da 10 cents

al posto di 1 da 25 cents): i due beni, perciò, diventano, in questo caso, perfetti

sostituti, con un rapporto di sostituzione pari a 2,5 o a 0,4.

Inclinazione=-2,5=MRS1,2=1

2

x

x

∆∆∆∆

∆∆∆∆

25 cents

10 cents

Elisa Battistoni La funzione di utilità

18

Utilità.

L’utilità è un mezzo per descrivere le preferenze del consumatore.

La funzione di utilità è un mezzo per associare un numero ad ogni possibile paniere di

consumo, in modo che a panieri preferiti siano assegnati numeri più elevati.

Un paniere (((( ))))21 x,x è preferito a (((( ))))21 y,y se e solo se l’utilità di

(((( ))))21 x,x è maggiore di quella di (((( ))))21 y,y .

Si hanno, perciò, le seguenti relazioni

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))21212121

21212121

21212121

y,yux,xuyyx,x

y,yux,xuyyx,x

y,yux,xuyyx,x

≥≥≥≥⇔⇔⇔⇔≥≥≥≥

====⇔⇔⇔⇔≈≈≈≈

>>>>⇔⇔⇔⇔f

L’utilità ha, quindi, un significato ordinale.

Poiché panieri indifferenti si trovano sulla stessa curva di preferenza, tutti i panieri

di questa curva avranno la stessa utilità: una funzione di utilità è, pertanto,

un’assegnazione di valori alle curve di indifferenza tale che alle curve più alte siano

assegnati valori più elevati.

Non tutte le preferenze possono essere rappresentate da una funzione di utilità.

Es.: preferenze non transitive.

Sia

ACBA fff

Una funzione di utilità associata a queste preferenze dovrebbe essere tale che

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))AuCuBuAu >>>>>>>>>>>> ⇒ IMPOSSIBILE!

Ci possono essere diversi modi per assegnare ai panieri valori di utilità: uno di questi

consiste nel tracciare la diagonale del diagramma sul quale sono rappresentate le


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curve di indifferenza e nell’assegnare ad ogni curva un valore pari alla sua distanza

dall’origine degli assi.

Poiché le preferenze che prendiamo in considerazione sono monotòne la diagonale

interseca ogni curva una sola volta, associandole, quindi, un solo valore; inoltre, a curve

più alte – e, perciò, a preferenza maggiore – corrisponde una distanza dall’origine

maggiore ed un’utilità più elevata.

Quello descritto è uno dei metodi per costruire le funzioni di utilità, anche se, in molti

casi, non è il più semplice.

1. Esempi di funzioni di utilità.

Data una funzione di utilità è relativamente semplice determinare le curve di

indifferenza corrispondenti: è sufficiente, infatti, rappresentare su un grafico i punti

(((( ))))21 x,x tali che (((( ))))21 x,xu sia costante. In corrispondenza di ogni valore dell’utilità si

ottiene una curva di indifferenza.

Esempio.

Sia (((( )))) 2121 xxx,xu ==== . Come sono le curve di indifferenza?

R: Lungo una curva di indifferenza l’utilità è costante, perciò deve essere:

(((( )))) kxxx,xu 2121 ========

Esplicitiamo 2x rispetto a 1x :

12 x

kx ====

2x

1x


20

Si ottiene che la curva di indifferenza è un’iperbole equilatera. A valori di k

più alti corrispondono curve di indifferenza più elevate ed utilità maggiori.

Perfetti sostituti.

Riprendiamo in considerazione il caso delle matite rosse e delle matite blu. Il

consumatore è interessato solamente al numero totale di matite e non al loro colore,

perciò i panieri con un maggior numero di matite sono preferiti.

Si può misurare l’utilità del paniere per mezzo del numero totale di matite:

(((( )))) 2121 xxx,xu ++++====

1x = numero di matite blu

2x = numero di matite rosse

Affinché la funzione proposta sia effettivamente una funzione di utilità, deve

verificare due proprietà:

1. Essere costante lungo le curve di indifferenza

Ogni paniere con lo stesso numero totale di matite deve essere sulla stessa

curva di indifferenza, perciò deve valere:

kxx 21 ====++++

su ogni curva di indifferenza. Con la funzione proposta questa proprietà è

verificata;

2k ====

2x

1x

1k ====

3k ====


21

2. I panieri preferiti devono avere utilità maggiore

I panieri con un maggior numero di matite devono essere preferiti, cioè se

(((( )))) (((( ))))2121 y,yx,x f deve essere 2121 yyxx ++++>>>>++++ e viceversa. La funzione

proposta verifica questa proprietà.

La funzione

(((( )))) 2121 xxx,xu ++++====

è, quindi, una funzione di utilità per i due beni perfetti sostituti.

La funzione determinata è valida per un rapporto di sostituzione dei due beni di 1:1.

Se il rapporto di sostituzione non fosse 1:1, quale forma analitica avrebbe la funzione

di utilità dei due beni?

Supponiamo che il consumatore chieda 2 unità di 2x per rinunciare ad un’unità del

bene 1: questo significa che il consumatore valuta il bene 1 il doppio del bene 2. Allora

dovrà essere:

(((( )))) 2121 xx2x,xu ++++====

In generale, se il consumatore è disposto a rinunciare a b unità di 1 per avere in

cambio a unità di 2 (con 0b,a ≠≠≠≠ ) si ha:

ba

ba

x

xMRS

1

22,1 −−−−====

−−−−

++++====

∆∆∆∆

∆∆∆∆====

Nel passaggio dal paniere iniziale al nuovo paniere – contenente a unità in più del bene

2 e b unità in meno del bene 1 – l’utilità del consumatore deve essere rimasta

invariata: 0u ====∆∆∆∆ .

Supponiamo che la funzione di utilità abbia la forma generica:

(((( )))) 221121 xcxcx,xu ++++====

con ====21 c,c costanti da determinare

Deve essere:

0xcxcu 2211 ====∆∆∆∆++++∆∆∆∆====∆∆∆∆

perciò:


22

2

1

1

2

c

c

x

x−−−−====

∆∆∆∆

∆∆∆∆

Si ha, quindi:

2

1

1

22,1 c

c

ba

x

xMRS −−−−====−−−−====

∆∆∆∆

∆∆∆∆====

Se scegliamo ac1 ==== e bc2 ==== si ottiene:

(((( )))) 2121 bxaxx,xu ++++====

Perfetti complementi.

Riprendiamo in considerazione il caso dei beni “scarpa destra” e “scarpa sinistra”,

perfetti complementi in un rapporto 1:1: al consumatore interessa solamente il numero

di paia di scarpe che possiede, pari al minimo fra il numero di scarpe destre ed il

numero di scarpe sinistre. Posto, perciò:

====1x numero di scarpe destre

====2x numero di scarpe sinistre

si può scegliere come funzione di utilità la seguente:

(((( )))) {{{{ }}}}2121 x,xminx,xu ====

Affinché la funzione proposta rappresenti realmente l’utilità del consumatore devono

essere verificate le due proprietà seguenti:

1. A panieri indifferenti deve corrispondere la stessa utilità

Considero un paniere di riferimento (((( ))))21 x,x , con 21 xx ==== .

Se il consumatore è in possesso di un paniere (((( ))))21 x,x con 21 xx >>>> si troverà

sulla stessa curva di indifferenza di (((( ))))21 x,x e dovrà, quindi, avere la stessa

utilità. La funzione proposta fornisce:

(((( )))) {{{{ }}}} 212121 xxx,xminx,xu ============

(((( )))) {{{{ }}}} 22121 xx,xminx,xu ========

Un risultato analogo si ottiene se il consumatore è in possesso di un paniere

(((( ))))21 x,x con 12 xx >>>> .


23

La prima proprietà è soddisfatta;

2. Punti su curve di indifferenza più alte devono avere utilità maggiore

Consideriamo due panieri

(((( ))))21 x,x con 21 xx ====

(((( ))))21 y,y con 21 yy ==== e 11 xy >>>>

La funzione proposta fornisce:

(((( )))) {{{{ }}}} 212121 xxx,xminx,xu ============

(((( )))) {{{{ }}}} 21212121 xxyyy,yminy,yu ====>>>>============

Perciò la funzione proposta verifica anche questa proprietà.

La funzione

(((( )))) {{{{ }}}}2121 x,xminx,xu ====

è, quindi, una funzione di utilità per i perfetti complementi consumati in un rapporto

1:1.

Se il rapporto di consumo dei due beni è differente da quello 1:1 come diventa la

funzione di utilità?

Consideriamo, ad esempio, il caso di un consumatore che metta sempre 2 cucchiaini di

zucchero in 1 tazza di tè e non consumi mai né zucchero né tè separatamente. Sia:

====1x numero di cucchiaini di zucchero

====2x numero di tazze di tè

Supponiamo che il consumatore abbia 2x tazze di tè: egli ne potrà zuccherare un

numero pari a 1x2

1 , cioè alla metà dei cucchiaini di zucchero a sua disposizione. Si

avranno due casi possibili:

(((( ))))21 y,y

(((( ))))21 x,x


24

1. 21 x2x ≥≥≥≥ ⇒ il consumatore può zuccherare tutte le tazze di tè e ne berrà,

perciò, un numero pari a 2x ;

2. 21 x2x <<<< ⇒ il consumatore può zuccherare solamente 1x2

1 tazze di tè e ne

berrà, perciò, un numero pari a 1x2

1 .

In definitiva il consumatore potrà consumare un numero di tazze di tè pari a

21 x,x2

1min . La sua utilità sarà, quindi:

(((( ))))

==== 2121 x,x2

1minx,xu

Si è detto, però, che l’utilità è un modo di associare un valore alle preferenze, in modo

che a panieri indifferenti corrispondano valori uguali e a panieri preferiti valori

maggiori: questo significa che per noi è indifferente utilizzare come funzione di utilità

quella appena indicata oppure la seguente:

(((( )))) {{{{ }}}}2121 x2,xminx,xu ====

Quest’ultima espressione della funzione di utilità ha il vantaggio di non presentare

frazioni.

In generale se il rapporto di consumo fra 1x e 2x è pari ad b:a (con 0b,a ≠≠≠≠ ) la

funzione di utilità del consumatore sarà:

(((( )))) {{{{ }}}}2121 bx,axminx,xu ====


25

2. Preferenze quasi-lineari.

In questo tipo di preferenze tutte le curve di indifferenza risultano dalla “traslazione

verticale” di un’unica curva.

La funzione di utilità delle preferenze quasi-lineari ha la seguente espressione

analitica:

(((( )))) (((( )))) 2121 xxvx,xu ++++====

con (((( )))) ====1xv funzione non lineare di 1x

La funzione è, come si vede, lineare per il bene 2 e non lineare per il bene 1: è detta,

pertanto, quasi-lineare.

Es: (((( )))) 2121 xxx,xu ++++==== ;

(((( )))) 2121 xxlnx,xu ++++==== .

1x

2x


26

3. Utilità marginale.

Consideriamo un paniere di consumo (((( ))))21 x,x al quale è associato un determinato valore

di utilità. La variazione dell’utilità che deriva da una variazione infinitesima del paniere

di consumo è detta utilità marginale.

Supponiamo di aumentare di 1x∆∆∆∆ il consumo del bene 1, passando dal paniere (((( ))))21 x,x a

quello (((( ))))211 x,xx ∆∆∆∆++++ . Le rispettive utilità saranno:

PANIERE UTILITA’

(((( ))))(((( ))))211

21

x,xx

x,x

∆∆∆∆++++

(((( ))))(((( ))))211

21

x,xxu

x,xu

∆∆∆∆++++

La variazione di utilità legata alla variazione del bene 1 è:

(((( )))) (((( ))))212111 x,xux,xxuu −−−−∆∆∆∆++++====∆∆∆∆

N.B.: Il pedice di u∆∆∆∆ rappresenta il bene di

cui si è variato il consumo.

La variazione relativa di utilità legata alla variazione del consumo del bene 1 è data da:

(((( )))) (((( ))))

1

21211

1

1

x

x,xux,xxu

x

u

∆∆∆∆

−−−−∆∆∆∆++++====

∆∆∆∆

∆∆∆∆

vale a dire il rapporto incrementale della funzione di utilità rispetto al bene 1.

Passando al limite per l’incremento 1x∆∆∆∆ che tende a zero si ottiene:

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

1

21

1

21211

11

1

1

1 x

x,xu

x

x,xux,xxu

0xlim

x

u

0xlimMU

∂∂∂∂

∂∂∂∂====

∆∆∆∆

−−−−∆∆∆∆++++

→→→→∆∆∆∆====

∆∆∆∆

∆∆∆∆

→→→→∆∆∆∆====

vale a dire la derivata parziale della funzione di utilità rispetto alla variabile 1x :

questa derivata rappresenta l’utilità marginale rispetto al bene 1, ovvero la

variazione di utilità che si ottiene in corrispondenza di una variazione infinitesima

della quantità del solo bene 1.

Analogamente, se viene variato il consumo del bene 2 di 2x∆∆∆∆ , lasciando costante il

livello di consumo del bene 1, si ottiene:


27

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

2

21

2

21221

22

2

2

2 x

x,xu

x

x,xuxx,xu

0xlim

x

u

0xlimMU

∂∂∂∂

∂∂∂∂====

∆∆∆∆

−−−−∆∆∆∆++++

→→→→∆∆∆∆====

∆∆∆∆

∆∆∆∆

→→→→∆∆∆∆====

cioè l’utilità marginale rispetto al bene 2 è pari alla derivata parziale della funzione

di utilità rispetto a 2x .

Si noti che, per come è stata definita, l’utilità marginale dipende dalla particolare

funzione di utilità scelta per descrivere le preferenze del consumatore.

4. Utilità marginale e saggio marginale di sostituzione.

Consideriamo un paniere iniziale (((( ))))21 x,x ed uno finale (((( ))))2211 xx,xx ∆∆∆∆++++∆∆∆∆++++ che siano

indifferenti per il consumatore: in tal caso i due panieri si troveranno sulla stessa

curva di indifferenza ed avranno, quindi, la stessa utilità.

Nel passaggio dal paniere iniziale a quello finale sono variate le quantità di entrambi i

beni.

Il passaggio dal paniere iniziale a quello finale può essere scomposto in due fasi:

1. Dal paniere iniziale (((( ))))21 x,x a quello intermedio (((( ))))211 x,xx ∆∆∆∆++++ → in questa fase

varia solamente il consumo del bene 1;

2. Dal paniere intermedio (((( ))))211 x,xx ∆∆∆∆++++ a quello finale (((( ))))2211 xx,xx ∆∆∆∆++++∆∆∆∆++++ → in

questa fase varia solamente il consumo del bene 2.

Nel primo passaggio si ha una variazione di utilità pari a :

(((( ))))211 x,xx ∆∆∆∆++++

22 xx ∆∆∆∆++++

11 xx ∆∆∆∆++++ 1x

2x

1x

2x


28

111 xMUu ∆∆∆∆====∆∆∆∆

con

• ====1MU variazione dell’utilità legata ad una variazione “campione” infinitesima del

bene 1;

• ====∆∆∆∆ 1x variazione totale del bene 1.

Nel secondo passaggio si ha:

222 xMUu ∆∆∆∆====∆∆∆∆

con analogo significato.

La variazione totale di utilità legata al passaggio dal paniere iniziale a quello finale è

data da:

221121 xMUxMUuuu ∆∆∆∆++++∆∆∆∆====∆∆∆∆++++∆∆∆∆====∆∆∆∆

e deve essere nulla perché il consumatore è rimasto sulla stessa curva di indifferenza

2

1

1

2

2211

MU

MU

x

x

0xMUxMU

0u

−−−−====∆∆∆∆

∆∆∆∆

====∆∆∆∆++++∆∆∆∆

====∆∆∆∆

Perciò risulta:

2

1

1

22,1 MU

MU

x

xMRS −−−−====

∆∆∆∆

∆∆∆∆====

Si noti che, mentre l’utilità marginale dipende dalla particolare funzione di utilità

scelta per descrivere le preferenze del consumatore, il saggio marginale di

sostituzione non varia con la funzione di utilità scelta.


29


Esercizio 1.

La funzione di utilità di Lorenzo è

(((( )))) 2121 xxx,xu ====

1. Calcolare la curva di indifferenza che passa per il punto (3,4);

2. Calcolare l’utilità marginale del bene 1 e quella del bene 2;

3. Calcolare il saggio marginale di sostituzione nel punto (3,4).

Soluzione.

1. Tutti i punti sulla stessa curva di indifferenza devono avere la stessa utilità: in

particolare, in questo caso, devono avere l’utilità del punto (3,4).

(((( )))) 124*34,3u ========

La curva di indifferenza cercata, quindi, è quella con utilità pari a 12.

Per un punto (((( ))))21 x,x qualsiasi su questa curva vale:

(((( )))) 12x,xu 21 ==== 12xx 21 ====

12 x

12x ====

La curva di indifferenza è un ramo di iperbole equilatera.

1x

2x


30

2. L’utilità marginale del bene 1 è data dalla derivata parziale della funzione di utilità

rispetto a 1x , mentre quella del bene 2 è la derivata parziale rispetto a 2x . Si

ottiene:

(((( ))))2

1

211 x

x

x,xuMU ====

∂∂∂∂

∂∂∂∂==== ;

(((( ))))1

2

212 x

x

x,xuMU ====

∂∂∂∂

∂∂∂∂==== .

3. Il saggio marginale di sostituzione fra i due beni è dato dal rapporto:

2

12,1 MU

MUMRS −−−−====

In questo caso, perciò, il saggio marginale di sostituzione calcolato nel punto (3,4)

vale:

34

x

xMRS

1

22,1 −−−−====−−−−====

Esercizio 2.

Homer Simpson si nutre di ciambelle e birra ed ha una funzione di utilità quasi lineare

per questi due beni

(((( )))) 2121 xx4x,xu ++++====

====1x ciambelle;

====2x lattine di birra.

1. Inizialmente Homer consumava 9 ciambelle e 10 lattine di birra. Ora il suo consumo

di ciambelle si è ridotto a 4 unità, ma ha ricevuto una quantità di lattine

sufficiente a mantenere inalterata la sua soddisfazione. Quante lattine consuma

ora Homer?

2. Verificare che i panieri (9,10) e (25,2) sono indifferenti per Homer;

3. Raddoppiando le quantità dei due panieri si ottengono i nuovi panieri (18,20) e

(50,4). Questi panieri sono sulla stessa curva di indifferenza?


31

4. Qual è il saggio marginale di sostituzione di Homer in corrispondenza del paniere

(9,10)?

Soluzione.

1. Con 9 ciambelle e 10 lattine Homer aveva un’utilità pari a

(((( )))) 22109410,9u ====++++====

Ora consuma 4 ciambelle, ma la sua utilità è la stessa. Perciò

(((( )))) 22x44x,4u 22 ====++++====

22x2*4 2 ====++++

14822x2 ====−−−−====

Ora Homer consuma 14 lattine di birra.

2. Perché i panieri (9,10) e (25,2) siano indifferenti deve risultare

(((( )))) (((( ))))2,25u10,9u ====

(((( )))) 22109410,9u ====++++====

(((( )))) 2222022542,25u ====++++====++++====

I due panieri sono indifferenti perché hanno la stessa utilità per Homer.

3. Perché i due panieri (18,20) e (50,4) siano sulla stessa curva di indifferenza devono

avere la stessa utilità

(((( )))) 372018420,18u ≅≅≅≅++++====

(((( )))) 3245044,50u ≅≅≅≅++++====

Non è detto che raddoppiando le quantità di due panieri indifferenti si ottengano

ancora due combinazioni con la stessa utilità: in questo caso i panieri ottenuti non

si trovano sulla stessa curva di indifferenza.

4. Il saggio marginale di sostituzione è dato da:

MU

MUMRS2

12,1 −−−−====

La funzione di utilità è:


32

(((( )))) 2121 xx4x,xu ++++====

Perciò:

11

1 x

2

x2

4MU ========

1MU2 ====

12,1 x

2MRS −−−−====

In corrispondenza del paniere (9,10) si ha:

3

2

9

2MRS 2,1 −−−−====−−−−====

Va notato che in questo caso il saggio marginale di sostituzione non dipende da 2x ,

perciò anche in corrispondenza del paniere (9,20) si avrà lo stessa valore per

l’MRS.

In generale per le funzioni di utilità quasi lineari il saggio marginale di sostituzione

dipende solamente dalla variabile non lineare.

Elisa Battistoni Il vincolo di bilancio

33

Il vincolo di bilancio.

1. Insieme e vincolo di bilancio: proprietà.

La mappa delle curve di indifferenza e le funzioni di utilità rappresentano ciò che il

consumatore preferirebbe acquistare, ma non necessariamente ciò che il consumatore

può permettersi di acquistare.

Consideriamo due beni, 1 e 2, che vengono venduti ai prezzi 1p e 2p , rispettivamente.

Supponiamo, inoltre, che il consumatore abbia a disposizione un reddito pari a m che

può spendere per l’acquisto di questi due beni.

Si dice insieme di bilancio del consumatore l’insieme di tutti i panieri (((( ))))21 x,x che il

consumatore può acquistare in corrispondenza dei prezzi (((( ))))21 p,p e del reddito m .

Se il consumatore decide di acquistare 1x unità del bene 1 al prezzo 1p egli spenderà

una quantità di moneta pari a 11xp ; analogamente, se decide di acquistare 2x unità del

bene 2 al prezzo 2p spenderà una quantità di moneta pari a 22xp .

Il consumatore può, pertanto, decidere di acquistare tutte le quantità dei beni 1 e 2

che gli consentano di non superare il reddito m a sua disposizione. Pertanto, il suo

insieme di bilancio è costituito da tutti i panieri (((( ))))21 x,x tali che sia verificata la

seguente relazione:

mxpxp 2211 ≤≤≤≤++++

Dal punto di vista grafico l’insieme di bilancio del consumatore è costituito da tutte le

coppie di punti (((( ))))21 x,x che si trovano nella parte di piano compresa fra i due assi

cartesiani e la retta

mxpxp 2211 ====++++

Tale retta è detta vincolo di bilancio e rappresenta l’insieme dei panieri di beni il cui

costo è esattamente uguale al reddito.


34

Se il consumatore decide di acquistare solamente il bene 1 potrà acquistarne una

quantità 1x data da:

mxpxp 2211 ====++++

con 0x2 ====

m0*pxp 211 ====++++

mxp 11 ====

11 p

mx ====

Analogamente, se egli decide di acquistare solamente il bene 2 la quantità che potrà

acquistare è pari a:

22 p

mx ====

Pertanto le quantità 1

1 p

mx ==== e

22 p

mx ==== rappresentano rispettivamente le intercette

orizzontale e verticale del vincolo di bilancio.

Consideriamo ancora la retta di bilancio

mxpxp 2211 ====++++

e supponiamo di conoscere sia il reddito m che la quantità 1x che il consumatore

intende acquistare del bene 1. La quantità 2x che egli può acquistare è data da:

12

1

22 x

p

p

p

mx −−−−====

2x

1x

Retta di bilancio

Insieme di bilancio


35

Il termine 2p

m è costante e rappresenta l’intercetta del vincolo di bilancio (ovvero la

quantità del bene 2 che il consumatore acquista quando 0x1 ==== ); il termine 2

1

p

p−−−−

rappresenta, invece, il coefficiente angolare della retta.

È da notare che la pendenza della retta di bilancio è negativa: questo significa che il

consumatore è disposto a sostituire una certa quantità di un bene con una quantità

aggiuntiva dell’altro bene in un rapporto costante e pari, appunto, a 2

1

p

p−−−− .

Supponiamo, infatti, che il consumatore parta da un paniere (((( ))))21 x,x che si trova sul

vincolo di bilancio e che voglia arrivare al paniere (((( ))))2211 xx,xx ∆∆∆∆++++∆∆∆∆++++ ancora sul

vincolo di bilancio.

Poiché entrambi i panieri si trovano sul vincolo di bilancio devono essere soddisfatte le

due equazioni:

(((( )))) (((( )))) mxxpxxp

mxpxp

222111

2211

====∆∆∆∆++++++++∆∆∆∆++++

====++++

Perciò si ha:

(((( )))) (((( ))))2221112211 xxpxxpxpxp ∆∆∆∆++++++++∆∆∆∆++++====++++

ovvero

0xpxp 2211 ====∆∆∆∆++++∆∆∆∆

Si ottiene quindi:

2

1

1

2

p

p

x

x−−−−====

∆∆∆∆

∆∆∆∆

cioè si ottiene che il saggio marginale di sostituzione – si ricorda che 1

22,1 x

xMRS

∆∆∆∆

∆∆∆∆==== –

è pari all’opposto del rapporto fra i prezzi: il segno negativo indica, quindi, che

all’aumentare del consumo del bene 1 deve diminuire il consumo del bene 2 e viceversa.


36

2. Come varia la retta di bilancio.

Supponiamo che inizialmente il consumatore abbia a disposizione il reddito m e che

possa acquistare i beni 1 e 2 ai prezzi 1p e 2p . Il suo vincolo di bilancio sarà quindi:

mxpxp 2211 ====++++

con 21 bene del acquistata quantità bene del acquistata quantità

x

x

2

1

====

====

Nel caso in cui si modifichino il reddito del consumatore e/o uno o entrambi i prezzi

dei beni si modifica di conseguenza anche il vincolo di bilancio.

2.1. Variazioni nel livello del reddito.

Supponiamo che il reddito del consumatore passi dal valore iniziale m al valore 'm ,

con m'm >>>> . Poiché i prezzi dei due beni sono rimasti inalterati la pendenza della retta

di bilancio non è cambiata: la nuova retta di bilancio, quindi, è parallela a quella iniziale,

ma ha un diverso valore delle intercette orizzontale e verticale.

Si ha infatti:

1° caso: il consumatore acquista solamente il bene 1.

In questo caso 0x2 ==== e si ha:

11

11

p

'm'x

p

mx

====

====

Poiché m'm >>>> risulta 11 x'x >>>> .

2° caso: il consumatore acquista solamente il bene 2.

In questo caso 0x1 ==== e si ha:

22

22

p

'm'x

p

mx

====

====

Poiché m'm >>>> risulta 22 x'x >>>> .


37

Quindi la retta di bilancio del consumatore si è spostata verso l’alto rimanendo

parallela a se stessa.

Un discorso del tutto analogo vale se il reddito del consumatore diminuisce passando

dal valore m al valore ''m , con m''m <<<< : in questo caso la curva di bilancio si sposterà

verso il basso rimanendo parallela a se stessa.

Riassumendo:

quando il reddito del consumatore varia e il rapporto fra i prezzi dei due

beni rimane costante il vincolo di bilancio si sposta parallelamente a se

stesso. Se il reddito diminuisce il vincolo di bilancio si sposta verso l’origine

degli assi; se, invece, il reddito aumenta il vincolo di bilancio si allontana

dall’origine.

2.2. Variazioni nel livello dei prezzi.

Supponiamo che il prezzo del bene 1 passi dal valore 1p al valore 'p1 con 11 p'p >>>> ,

mentre il reddito m ed il prezzo 2p rimangono invariati. L’equazione del vincolo di

bilancio diventa:

mxpx'p 2211 ====++++

2p

''m

1p

''m

2p

m

2p

'm

1p

'm 1p

m

Inclinazione = -p1/p2

1x

2x


38

e le intercette sono:

'p

mx

11 ====

22 p

mx ====

Pertanto, aumentando 1p non cambia l’intercetta verticale, mentre cambiano la

pendenza della retta – che passa da 2

1

p

p−−−− a

2

1

p

'p−−−− – e l’intercetta orizzontale.

Analogo risultato si ottiene se il prezzo 1p diminuisce fino al valore ''p1 . In questo

caso rimarrà ancora immutata l’intercetta verticale, mentre quella orizzontale si

sposterà verso destra: quest’ultima, infatti, rappresenta la quantità 1x che il

consumatore potrebbe acquistare se comprasse solamente il bene 1 e non il bene 2:

diminuendo il prezzo del bene 1, quindi, aumenterà la quantità che il consumatore può

acquistare a parità di reddito.

Graficamente si ha:

Nel caso in cui il prezzo 1p ed il reddito rimangano invariati e cambi il prezzo 2p il

ragionamento è del tutto analogo. Graficamente si avrà:

Inclinazione = -p1’’/p2

''pm

1

Inclinazione = -p1'/p2


'p

m

1

1p

m

2p

m

1x

2x


39

con 'pp''p 222 <<<<<<<< .

Riassumendo:

quando il prezzo di uno dei due beni varia e gli altri parametri rimangono

costanti l’intercetta del vincolo di bilancio sull’asse corrispondente al bene il

cui prezzo è variato si sposta: se il prezzo aumenta l’intercetta si avvicina

all’origine degli assi, mentre se il prezzo diminuisce se ne allontana.

Da quanto detto fin qui risultano le seguenti considerazioni:

• Se entrambi i prezzi variano aumentando o diminuendo dello stesso fattore k

( 11 kp'p ==== e 22 kp'p ==== ) il cambiamento si tradurrà in una traslazione del vincolo di

bilancio, che rimarrà parallelo a se stesso. Questo significa che il consumatore si

troverà in una situazione analoga a quella in cui venga variato il suo reddito, mentre

i prezzi rimangono immutati. Si dirà, perciò, che il potere d’acquisto del

'p

m

2

''p

m

2

1p

m

2p

m Inclinazione = -p1/p2’’


Inclinazione = -p1/p2’

1x

2x


40

consumatore è cambiato, ovvero che è mutata la sua capacità di acquistare i beni in

commercio;

• Si consideri il caso di un’economia inflazionistica, in cui sia i prezzi che il reddito

variano di uno stesso fattore k ( 11 kp'p ==== , 22 kp'p ==== , km'm ==== ). In questo caso la

pendenza del vincolo di bilancio – data dal rapporto fra i prezzi – non cambia e non

variano nemmeno le intercette – date dal rapporto fra il reddito ed i prezzi. Ne

consegue che il vincolo di bilancio del consumatore non si sposta e non si hanno

effetti sul suo potere di acquisto.

3. La scelta del consumatore.

Si è detto che l’insieme di bilancio indica le alternative tra cui il consumatore può

scegliere e consente di distinguere i panieri di beni ottenibili da quelli non ottenibili,

dati i prezzi dei beni ed il reddito.

Fra tutti i panieri che il consumatore può acquistare si tratta di capire quale egli

sceglierà effettivamente.

A questo proposito si considerino le curve di indifferenza del consumatore ed il suo

vincolo di bilancio.

Fra tutti i panieri che si trovano nell’insieme di bilancio il consumatore sceglierà quello

che si trova sulla curva di indifferenza più alta – e, quindi, con utilità maggiore – che

1x

2x

Scelta del consumatore


41

può raggiungere dato il suo reddito. Questo significa che il consumatore sceglierà il

paniere che si trova nel punto di tangenza fra il suo vincolo di bilancio ed una delle

curve di indifferenza: ogni altro paniere del suo insieme di bilancio si trova, infatti, su

curve di indifferenza più basse e, quindi, ha un’utilità minore.

Nella sua scelta, quindi, il consumatore massimizza la sua funzione di utilità ed il

paniere scelto sarà, perciò, il paniere ottimo (((( ))))*x*,x 21 .

Il paniere scelto appartiene, quindi, sia al vincolo di bilancio che alla curva di

indifferenza ed in quel punto le due curve dovranno avere la stessa inclinazione.

Risulterà quindi:

2

1

1

22,1 p

p

x

xMRS −−−−====

∆∆∆∆

∆∆∆∆====

Si ricorda che il Marginal Rate of Substitution rappresenta la pendenza della curva di

indifferenza in un determinato punto.

Inoltre, risulta che l’MRS è pari al rapporto fra le derivate parziali della funzione di

utilità che rappresenta la mappa di indifferenza del consumatore:

2

1

1

22,1 MU

MU

x

xMRS −−−−====

∆∆∆∆

∆∆∆∆====

2

1

2

1

p

p

MU

MU−−−−====−−−−

2

1

2

1

p

p

MU

MU====


42


Esercizio 1.

Un consumatore dispone di un reddito di 40€ per acquistare due beni. Una unità del

bene 1 costa 10€, mentre un'unità del bene 2 costa 5€.

a) Scrivere l'equazione di bilancio;

b) Se il consumatore spendesse tutto il suo reddito per acquistare il bene 1, quante

unità ne potrebbe comprare?

c) Se il consumatore spendesse tutto il suo reddito per acquistare il bene 2, quante

unità ne potrebbe comprare?

d) Supponiamo che p1 scenda a 5€, mentre tutto il resto non cambia. Qual è la nuova

equazione di bilancio?

e) Supponiamo che il reddito scenda a 30€, mentre i prezzi di entrambi i beni restano

a 5€. Qual è la nuova equazione di bilancio?

f) Rappresentate i diversi vincoli di bilancio ottenuti sullo stesso grafico: quali

conclusioni si possono trarre?

Soluzione.

a) Il consumatore spende 10€ per ogni unità del bene 1 acquistata. Detta, perciò, x1

la quantità del bene 1 che il consumatore deciderà di acquistare la sua spesa sarà

data da 10*x1.

Analogamente, detta x2 la quantità del bene 2 acquistata dal consumatore la spesa

relativa all'acquisto di tale bene sarà data da 5*x2.

Acquistando x1 unità del bene 1 e x2 unità del bene 2 il consumatore spenderà in

totale una somma pari a

10x1+5x2

Il consumatore ha a disposizione una somma pari a 40€, pertanto la sua spesa

dovrà essere non superiore a questa cifra


43

10x1+5x2≤≤≤≤40

L'insieme di panieri (x1,x2) che soddisfano la disuguaglianza indicata è l'insieme

dei panieri ammissibili per il consumatore; l'insieme dei panieri (x1,x2) che

soddisfano la relazione indicata all'uguaglianza è il vincolo di bilancio del

consumatore.

Vincolo di bilancio 10x1+5x2=40

b) Se il consumatore acquista solamente il bene 1 si avrà x2=0 e quindi

10x1+5*0=40

x1=40/10=4

Pertanto, se il consumatore deciderà di acquistare solamente il bene 1 ne potrà

consumare 4 unità.

c) Analogamente a quanto fatto per il caso precedente si ha:

10*0+5x2=40

x2=40/5=8

Pertanto, se il consumatore decide di acquistare solamente il bene 2 può

consumarne 8 unità.

d) Se il prezzo del bene 1 scende a 5€ il vincolo di bilancio del consumatore diventa:

5x1+5x2=40

In questo caso, se il consumatore decidesse di consumare solamente il bene 1

potrebbe usufruire di un numero di unità del bene pari a 8. Si ha infatti:

5x1+5*0=40

x1=40/5=8

e) Se il prezzo di entrambi i beni rimane fisso a 5€ ed il reddito diminuisce fino a 30€

il vincolo di bilancio del consumatore diventa:

5x1+5x2=30

f) Rappresentiamo i vincoli di bilancio ottenuti sullo stesso grafico.


44

Dal grafico si può notare che, a parità di condizioni, alla variazione di uno dei

prezzi corrisponde una variazione nell'inclinazione della curva, mentre ad una

variazione del reddito corrisponde una variazione di "altezza" del vincolo di

bilancio: in particolare, se il prezzo del bene 1 diminuisce la curva di bilancio

aumenterà la sua inclinazione, intercettando l'asse x1 in un punto più a destra di

quello iniziale; se, invece, il reddito diminuisce la retta di bilancio si sposterà

parallelamente a se stessa verso il basso.

x2

x1

Legenda:

10x1+5x2=40

5x1+5x2=40

5x1+5x2=30


45

Esercizio 2.

La funzione di utilità di un consumatore è (((( )))) 22

121 xxx,xu ==== . Il prezzo del bene 1 è

1p1 ==== , il prezzo del bene 2 è 3p2 ==== ed il reddito del consumatore è 180m ==== .

Determinare il paniere ottimo (((( ))))*x*,x 21 per il consumatore.

Soluzione.

Nell’effettuare la scelta il consumatore cercherà di massimizzare la propria utilità nel

rispetto del suo vincolo di bilancio:

(((( )))) {{{{ }}}}mxpxp .t.s

xxmaxx,xumax

2211

22

121

====++++

====

In corrispondenza del paniere ottimo si ha la tangenza fra il vincolo di bilancio del

consumatore ed una delle sue curve di indifferenza: in questo punto, quindi, le due

curve dovranno avere la stessa pendenza.

L’equazione del vincolo di bilancio è

180x3x 21 ====++++

e la sua pendenza è data da:

3

1

p

p

x

x

2

1

1

2 −−−−====−−−−====∆∆∆∆

∆∆∆∆

Nel punto di ottimo anche la funzione di utilità deve avere pendenza pari a 3

1−−−− e,

quindi, deve essere:

3

1

MU

MU

x

x

2

1

1

2 −−−−====−−−−====∆∆∆∆

∆∆∆∆

con

212

211

xMU

xx2MU

====

====


46

Si ha quindi:

1

22

1

21

2

1

x

x2

x

xx2

MU

MU========

Perciò

21

12

1

2

2

1

x6x

x6

1x

3

1

x

x2

3

1

MU

MU

====

====

====

====

Sostituendo la condizione trovata nel vincolo di bilancio si ha:

====

====++++

21

21

x6x

180x3x

====

====++++

21

22

x6x

180x3x6

====

====

21

2

x6x

180x9

====

====

120x

20x

1

2

Il paniere ottimo per il consumatore è quindi (((( )))) (((( ))))20,120*x*,x 21 ==== . In

corrispondenza di questo paniere l’utilità del consumatore vale:

(((( )))) 000.28820*12020,120u 2 ======== .


47

Esercizio 3.

La Central High School dispone di 60.000$ per acquistare calcolatori elettronici ed

altri materiali didattici. L'equazione di bilancio della scuola è C+X=60.000, dove C

rappresenta la somma spesa per acquistare i computer, mentre X quella spesa per

acquistare altri beni. Attualmente la scuola ha in programma di spendere 20.000$

nell'acquisto di computer.

La commissione statale per l'istruzione intende incoraggiare “l'alfabetizzazione

informatica” nelle scuole sotto la sua giurisdizione e sta esaminando i seguenti

progetti:

� PROGETTO A: in base a questo progetto ciascuna scuola superiore dello Stato

riceverebbe 10.000$ da spendere a sua discrezione;

� PROGETTO B: il progetto prevede che ciascuna scuola riceva 10.000$, a

condizione che decida di spendere nell'acquisto di computer almeno 10.000$ in

più di quanto spende attualmente. La scuola può scegliere di non partecipare al

progetto e, in questo caso, non riceverà la sovvenzione, ma non dovrà neppure

destinare somme maggiori all'acquisto di computer;

� PROGETTO C: il progetto prevede che per ogni dollaro speso nell'acquisto di

calcolatori la scuola riceva dallo Stato una sovvenzione di 50 centesimi.

Si scrivano i vincoli di bilancio della Central High School relativi a ciascuno dei tre

progetti.

Soluzione.

a) Nel caso in cui venga approvato il progetto A il vincolo di bilancio della scuola è

dato da:

C+X=70.000

b) Nel caso in cui venga approvato il progetto B si devono distinguere due situazioni:

la prima, relativa al caso in cui la scuola decida di partecipare al progetto; la

seconda, invece, relativa al caso in cui la scuola non voglia partecipare al progetto.


48

� Caso 1:

In questo caso il reddito della scuola aumenterà di 10.000$ solamente se la

scuola in questione sarà disposta a spendere almeno 10.000$ in più di

quanto aveva preventivato nell'acquisto di computer: questo significa che il

reddito della scuola sarà pari a 70.000$ se la spesa per computer sarà pari

almeno a 30.000$.

Se si definisce la spesa minima per computer pari a 30.000C ==== , la spesa

totale C potrà essere espressa come:

C=C +C'

dove con C' si è indicata la spesa in più rispetto a quella minima destinata

all'acquisto di calcolatori. Si avrà quindi:

C=30.000+C'

Il nuovo reddito della scuola, inoltre, sarà pari a R'=70.000$.

Il vincolo di bilancio può, pertanto, essere scritto come:

C+X=R'

30.000+C'+X=70.000

C'+X=40.000

Il vincolo individua il segmento compreso fra i due punti estremi dati da:

(C',X)=(40.000,0) e (C',X)=(0,40.000)

Ritornando ad esprimere la spesa per calcolatori nella variabile originaria C,

il segmento individuato dal vincolo di bilancio è delimitato dai due estremi:

(C,X)=(70.000,0) e (C,X)=(30.000,40.000)

Il valore di C è stato ottenuto dai corrispondenti valori di C' aggiungendo la

quota minima di spesa destinata ai calcolatori, pari a 30.000$.

� Caso 2:

In questo caso la scuola decide di non partecipare al progetto e di investire una

quota minore di 30.000$ nell'acquisto di computer: il reddito della scuola

rimane, perciò, pari a 60.000$.


49

Il vincolo di bilancio della scuola è, pertanto, rappresentato dall'equazione:

C+X=60.000

con la limitazione che C debba essere inferiore a 30.000$: se così non fosse si

ricadrebbe nel caso precedente.

Il vincolo di bilancio individua, perciò, il segmento di estremi

(C,X)=(0,60.000) e (C,X)=(30.000,30.000)

c) Nel caso in cui venga approvato il progetto C per ogni dollaro speso nell'acquisto di

computer la scuola riceverà un finanziamento di 0,5$: questo significa che se la

scuola spende in calcolatori una somma pari a C dollari riceverà un finanziamento di

0,5C dollari.

Il vincolo di bilancio della scuola sarà quindi:

C+X=R+0,5C

0,5C+X=R

0,5C+X=60.000

Si tratta del segmento delimitato dai punti:

(C,X)=(0,60.000) e (C,X)=(120.000,0)


50

La rappresentazione grafica di vincoli di bilancio ottenuti relativamente a ciascuno dei

tre progetti è riportata in figura.

Esercizio 4.

Supponiamo che la Central High School abbia preferenze che possono essere

rappresentate dalla seguente funzione di utilità:

U(C,X)=CX2

Proviamo a determinare come i progetti descritti nell’esercizio precedente

modifichino le decisioni della scuola circa la somma da destinare all’acquisto di

computer.

Determinare la somma destinata all’acquisto di computer che massimizza l’utilità della

scuola, dato il vincolo di bilancio, nei seguenti casi:

a) Nessun progetto viene approvato;

b) Viene approvato il progetto A;

c) Viene approvato il progetto B;

d) Viene approvato il progetto C.

60

40

30

X (*1000)

C (*1000) 30 120

70

70

Legenda Progetto A

Progetto B

Progetto C


51

Soluzione.

La funzione di utilità della scuola è data da:

U(C,X)=CX2

e rimane la stessa indipendentemente dal progetto che viene approvata dalla

commissione statale. Al variare del progetto scelto cambia, invece, il vincolo di bilancio

della scuola.

La scuola deciderà di spendere nell’acquisto dei due beni le quantità C e X che

massimizzano la sua funzione di utilità e che rispettano il suo vincolo di bilancio. Il

problema che si deve risolvere, quindi, è:

Max U(C,X)

s.t.

aC+bX=R

dove a e b sono costanti e R è il reddito che la scuola ha a disposizione nei diversi casi.

a) Nel caso in cui non venga approvato alcun progetto il vincolo di bilancio della scuola

è dato da:

C+X=60.000

Dal vincolo di bilancio si può ricavare l’espressione di C in funzione di X e si

ottiene:

C=60.000-X

Sostituendo questa espressione di C nella funzione di utilità della scuola, questa

diventa una funzione ad una sola variabile – la variabile X – e può, pertanto, essere

massimizzata ponendo la derivata prima pari a zero. Si ha:

U(C,X)=CX2=(60.000-X)X2=60.000X2-X3

U’= =dX

dU120.000X-3X2=0

X=0, X=40.000

Per decidere quale dei due valori di X corrisponda al punto di massimo della

funzione di utilità si può valutare il segno della derivata seconda della funzione


52

calcolata nel punto in questione: se la derivata seconda nel punto è minore di zero

allora il punto sarà di massimo, mentre se è maggiore di zero si tratterà di un

punto di minimo. Nel caso in esame si ha:

U’’= =dX

Ud2

2

120.000-6X

U’’(X=0)=120.000-6*0=120.000>0

U’’(X=40.000)=120.000-6*40.000=120.000-240.000=-120.000<0

Il punto in cui la derivata seconda della funzione è negativa è X=40.000 e, quindi,

questo è il valore di X che massimizza l’utilità della scuola, tenendo conto, nel

contempo, del vincolo di bilancio. Da quest’ultimo si può ricavare il corrispondente

valore di C:

C=60.000-X=60.000-40.000=20.000

Perciò la scuola deciderà di allocare la sua spesa destinando C=20.000$

all’acquisto di computer e X=40.000$ agli altri beni.

b) In questo caso il vincolo di bilancio della scuola è dato da:

C+X=70.000

e la variabile C può essere espressa in funzione di X come:

C=70.000-X

La funzione di utilità diventa quindi:

U(C,X)=CX2=(70.000-X)X2=70.000X2-X3

Si ha:

U’= =dX

dU140.000X-3X2=0

X=0, X=46.667

La derivata seconda è data da:

U’’= =dX

Ud2

2

140.000-6X

U’’(X=0)=140.000-6*0=140.000>0


53

U’’(X=46.667)=140.000-6*46.667=140.000-280.000=-140.000<0

La corrispondente spesa per computer è data da:

C=70.000-X=70.000-46.667=23.333

Perciò l’allocazione della spesa che massimizza l’utilità della scuola nel rispetto del

vincolo di bilancio quando viene approvato il progetto A è data da:

(C,X)=(23.333,46.667)

c) Per questo progetto è necessario distinguere due casi: il primo è quello in cui la

scuola decide di aderire al progetto, mentre il secondo è quello in cui la scuola

decide di non aumentare le spese previste per i computer.

� Caso 1:

In questo caso si avrà:

C+X=70.000

C=70.000-X

U(C,X)=CX2=(70.000-X)X2=70.000X2-X3

U’= =dX

dU140.000X-3X2=0

X=0, X=46.667

U’’= =dX

Ud2

2

140.000-6X

U’’(X=0)=140.000-6*0=140.000>0

U’’(X=46.667)=140.000-6*46.667=140.000-280.000=-140.000<0

Perciò il valore di X che massimizza l’utilità della scuola è X=46.667 e,

conseguentemente, si ha:

C=70.000-X=70.000-46.667=23.333

La soluzione ottenuta non è accettabile perché in questo caso la spesa della

scuola destinata ai computer deve essere non inferiore ai 30.000$, cosa che si

può evidenziare anche dal vincolo di bilancio ricavato nell’esercizio precedente.

� Caso 2:

In questo caso si avrà:


54

C+X=60.000

C=60.000-X

U(C,X)=CX2=(60.000-X)X2=60.000X2-X3

U’= =dX

dU120.000X-3X2=0

X=0, X=40.000

U’’= =dX

Ud2

2

120.000-6X

U’’(X=0)=120.000-6*0=120.000>0

U’’(X=40.000)=120.000-6*40.000=120.000-240.000=-120.000<0

Perciò il valore di X che massimizza l’utilità della scuola è X=40.000, cui

corrisponde

C=60.000-X=60.000-40.000=20.000

Questa soluzione è accettabile.

In definitiva, nel caso in cui venga approvato il progetto B la spesa che massimizza

l’utilità della scuola nel rispetto del vincolo di bilancio è data da:

(C,X)=(20.000,40.000)

e la scuola deciderà di non partecipare al progetto e, quindi, di non usufruire del

finanziamento di 10.000$.

d) Nel caso in cui venga approvato il progetto C si ha:

0.5C+X=60.000

0.5C=60.000-X

C=120.000-2X

U(C,X)=CX2=(120.000-2X)X2=120.000X2-2X3

U’= =dX

dU240.000X-6X2=0

X=0, X=40.000

U’’= =dX

Ud2

2

240.000-12X


55

U’’(X=0)=240.000-12*0=240.000>0

U’’(X=40.000)=240.000-12*40.000=-240.000<0

In questo caso il valore di X che massimizza l’utilità della scuola è X=40.000 e,

corrispondentemente, si ha:

C=120.000-2X=120.000-2*40.000=120.000-80.000=40.000

Pertanto, in questo caso la scuola deciderà di allocare la spesa nel modo

seguente:

(C,X)=(40.000,40.000)

Come si vede, a parità di funzione di utilità del consumatore le scelte di quest’ultimo

cambiano al variare del vincolo di bilancio.

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Il comportamento del consumatore - uniroma2.it · I panieri di consumo sono, ... Questa proprietà è necessaria per avere una teoria in cui il consumatore possa effettuare una scelta