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Il laboratorio delle Macchine Matematiche. Progetto Mate-Laboratorio. Incontro 22 settembre 2011 Cremona. Corso nato dalla collaborazione tra. e. Associazione delle macchine Matematiche. Nicoletta Nolli [email protected] Cinzia Galli [email protected] - PowerPoint PPT Presentation
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Progetto Mate-Laboratorio
Incontro 22 settembre 2011Cremona
Il laboratorio Il laboratorio delle delle
Macchine MatematicheMacchine Matematiche
Associazione delle macchine Matematiche
Corso nato dalla collaborazione tra
e
Cremona 2011
Nicoletta Nolli
Cinzia Galli
Francesca Martignone [email protected]
Rossella Garuti
Associazione delle Macchine Matematiche
[email protected] 2011
Cosa è stato fatto2010/2011
• Macchine matematiche in dotazione al Museo disponibili per il prestito
• Apertura al prestito (Cinzia Galli)• Inizio corso di formazione
DATA TITOLO Elementi di contenutoe strumenti
Primo incontro
30 marzo
2011
15-18
Sala Puerari e
Aula Didattica
Presentazione del progetto: intervengono M.L.Beltrami (UST ) e Laura Parazzi (Dirigente Liceo Scientifico Aselli) Il Laboratorio di Matematica nelle Indicazioni per il Curricolo e nel nuovo Obbligo Formativo Il laboratorio di matematica e macchine matematiche: quadro teorico. Un esempio di continuità verticale. Analisi di un caso: costruzioni con riga e compasso.
L’idea generale di Laboratorio di Matematica STRUMENTI: riga e compasso
Secondo incontro
14 aprile
2011
15-18
Aula Didattica
Costruzioni con riga e compasso Il laboratorio di matematica:macchine geometriche(macchine per le trasformazioni)
STRUMENTI: riga e compasso Trasformazioni geometriche: simmetria assiale e dilatazione STRUMENTI: Pantografi e Biellismi
Terzo
incontro
28 aprile2011
15-18
Aula Didattica
Il laboratorio di matematica:macchine geometriche(macchine per le trasformazioni)
Trasformazioni geometriche: dilatazione e omotetia STRUMENTI: Pantografi e Biellismi
Programma del corso1° parte anno scolastico 2010-2011
Cremona 2011
Le macchine analizzate fin ora
• IL COMPASSO
• I PANTOGRAFI PER LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE DEL PIANO
I materiali del corso
• Presentazioni ppt• Schede di lavoro• Animazioni virtuali delle macchine• Materiali da sperimentazioni• Griglie di progettazione
http://www.liceoaselli.it/matelaboratorio.htm
Cosa faremo oggi
• Ripresa del lavoro• Alcuni estratti da sperimentazioni già
svolte• Discussione proposte di
sperimentazioni
Quadro teoricodel progetto
• Idea di laboratorio di matematica• Ricerche storico-epistemologiche e didattiche
sulle macchine matematiche• Mediazione semiotica• Ricerche su aspetti cognitivi legati
all’esplorazione delle macchine matematiche
Ricerche nazionali ed
internazionali
www.mmlab.unimore.it Progetto regionale Emilia-Romagna Risultati del progetto
• Report delle sperimentazioni (insegnanti)
• Foto e video (insegnanti e centri di doc.)
• Libro Progetto regionale (Martignone (ed.), 2010)
• Tesi di dottorato (Garuti, 2011)
• Diari di bordo delle sperimentazioni (insegnanti)
• Pubblic. su riviste e comunic. agli atti di congressi naz. e internaz. (insegnanti e ricercatori MMLab)
La documentazione pubblica del Progetto MMLab-ER
UMI 2011
Metodologia
Laboratorio di matematica
(curriculi UMI)
Laboratorio di matematica
(curriculi UMI)
Laboratorio con gli studenti nelle sperimentazioni nelle classi
Laboratorio con gli insegnanti durante il corso di formazione
Metodologia laboratoriale
Lavori di gruppo e discussioni
Metodologia laboratoriale
Lavori di gruppo e discussioni
Quali artefatti?Quali focus?
Processi e aspetti culturali
coinvolti
Processi e aspetti culturali
coinvolti
Le Macchine Matematiche
Aspetti culturali:•Le macchine come oggetti usati nella storia della matematica e non solo•Il ruolo della definizione e dimostrazione nella cultura matematica
Processi:•Produzione congetture, sviluppo di argomentazioni e costruzione di dimostrazioni
Focus
Metodologia laboratoriale
Attività in piccoli gruppiDiscussioni collettive
Metodologia laboratoriale
Attività in piccoli gruppiDiscussioni collettive
Macchine Matematiche:
Macchine aritmetiche e geometriche
Attenzione aiProcessi e agli aspetti culturali
coinvolti
Opportune consegne
Gli ingredienti
La prima macchina analizzata:
il compasso
Cremona 2011
Costruzioni di triangoli isosceli(tenendo presente la disuguaglianza triangolare)
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Partendo dalla proprietà della crf …
Partendo dall’asse di simmetria…Data la base costruire i lati congruenti…
Partendo dagli angoli conguenti
21 aprile 2023 17
Due triangoli isosceli congruenti … Diagonali che si secano…
Perpendicolare alla perpendicolare ….
Esempi di costruzioni di rette paralllele ricostruite da Simone Banchelli con un
software di DG
Rombo o parallelogramma…
Angoli alterni interni o corrispondenti congruenti…
Triangoli e Talete…
E poi variazionidi queste come: costruzioni di trapezi isosceli, di rettangoli…
Nelle diverse costruzioni
• Da dove siete partiti? Dalla definizione, da quali proprietà del triangolo? PERCHE’?
• Quale procedura avete seguito? PERCHE’?• Che ruolo hanno avuto gli strumenti in
queste scelte? E le conoscenze (pratiche e teoriche)?
• Cosa abbiamo notato dal confronto tra le diverse costruzioni?
Cremona 2011
Pantografi
Meccanismi che stabiliscono una corrispondenza locale tra i punti
di due regioni piane limitate collegandole fisicamente attraverso sistemi articolati e che incorporano le proprietà che caratterizzano la trasformazione
geometrica del piano
Le quattro domande chiaveche hanno strutturato tutte le
attività con le macchine (nelle attività con gli insegnanti e con gli studenti)
1. Come è fatta?
2. Cosa fa?
3. Perché lo fa?
4. Cosa succederebbe se …?
ESPLORAZIONIARGOMENTAZIONI
DIMOSTRAZIONI
CONDIZIONALITA’PROBLEM POSING E PROBLEM SOLVING
Il pantografo per la simmetria assiale
UMI 2011
x'=xy'=-y
Come è fatto?Cosa fa? Perché?
Cosa succederebbe se…?
Due vertici di un rombo articolato sono vincolati a muoversi su
una guida rettilinea (r) e quindi gli altri due vertici (P e Q)
si corrispondono in una simmetria assiale di asse r
Cosa succederebbe se… cambiassimo la lunghezza delle aste?Variazioni del pantografo:
quadrilateri con due lati congruenti
Associazione delle Macchine Matematichewww.macchinematematiche.org
PERCHE’ fa/non fa una simmetria assiale?
AB
C
Che cosa fa? Perché?
Stiramento
I triangoli FQG e MPN sono simili:
QH:PH=QF:PM
QH:PH=(QB+BM):PM
QB=l PM=d
QH:PH=(2l-d):d
K=(2l-d)/d
Equazioni:
x'=-kxy'=y
21 aprile 2023 23
Idee di percorsi didattici
• Indicazioni metodologiche• Alcune linee guida e materiali di
lavoro• Idee di percorsi
Progetto regionale Scienze e tecnologie Laboratorio delle macchine matematiche
21 aprile 2023 Autori: R. Garuti e F. Martignone
Indicazioni metodologiche
1. Strumenti: pantografi, fogli bianchi, riga, squadrette, compasso.
2. Lavoro a piccoli gruppi.3. Verbalizzazione scritta (più o meno
strutturata)4. Discussioni di bilancio con produzione di
testi collettivi condivisi
Quanto tempo?
Almeno 3 ore (2+1) per introdurre la prima macchina: esplorazione e successiva discussione con focus sui processi e sugli aspetti culturali coinvolti
A seconda del percorso e del numero di macchine scelte, si potrà progettare di quanto allungare la sperimentazione
21 aprile 2023 Autori: R. Garuti e F. Martignone
Quali sono gli aspetti che mettono in gioco le attività con i pantografi?
Aspetti legati• Alla geometria: analisi delle proprietà delle
figure trasformate, dimostrazioni (geometria euclidea)…
• All’aritmetica: Individuazione dei rapporti tra segmenti, figure…
21 aprile 2023 Autori: R. Garuti e F. Martignone
Quali possibili obiettivi?
Fornire un contesto di apprendimento di significati matematici in cui:
• vengano favoriti processi di argomentazione e dimostrazione
• siano messe in luce le connessioni della matematica con la storia, la cultura e la vita quotidiana
21 aprile 2023 Autori: R. Garuti e F. Martignone
Per questo, durante le attività laboratoriali
Si vuole dare spazio a:• Attività di esplorazione• Manipolazioni ed osservazioni di oggetti
fisici• Verbalizzazione (orale e scritta)• Discussioni collettive
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Cosa è stato fatto2010/2011
• Macchine matematiche in dotazione al Museo disponibili per il prestito
• Apertura al prestito (Cinzia Galli)• Inizio corso di formazione• Progettazione sperimentazioni
Griglia per la progettazione
21 aprile 2023
I vostri progetti
Discussione
Possibili percorsi di sperimentazione
1. I pantografi per la simmetria assiale e per lo stiramento
2. Il pantografo di Scheiner: esploriamo, ricostruiamo e dimostriamo!
21 aprile 2023 Autori: R. Garuti e F. Martignone
• Analisi dello strumento (componente artefatto e schemi d’uso)
• Individuazione della trasformazione svolta dalla macchina (cosa fa la macchina)
• Riflessione sulle proprietà matematiche incorporate in questa (perché svolge una simmetria assiale)
Percorso 1: simmetria assiale e stiramento
Come è fatta la macchina?
Cosa fa?
Perché lo fa?
Produzione di testi descrittivi e argomentativi
Discussioni matematiche
Indicazioni metodologiche
1. Lavoro a piccoli gruppi (max 5 studenti)2. Strumenti: pantografi e fogli bianchi3. Richiesta di verbalizzazione scritta (più o
meno strutturata) dell’attività con la macchina
4. Discussioni di bilancio con produzione di testi collettivi condivisi
21 aprile 2023 Autori: R. Garuti e F. Martignone
Linee guida per le attività degli studenti
1. Descrizione e disegno della macchina (come è fatta la macchina?)
2. Individuazione dei punti puntatori/tracciatori e analisi del meccanismo (come si usa?)
3. Disegni di figure che sono trasformate dalla macchina (cosa fa la macchina?)
4. Analisi delle caratteristiche della macchina che permettono lo svolgimento della trasformazione (le proprietà della trasformazione incorporate nella macchina)
Cosa succederebbe se…
21 aprile 2023 Autori: R. Garuti e F. Martignone
L’ultimo pantografo analizzato
pantografo di Scheiner
Come è fatto?Cosa fa?
Perché lo fa?
Ricominciamo da qui…
Come è fatto?Cosa fa?
Perché lo fa?
Per dimostrare…
21 aprile 2023
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'
'
x kx
y ky
Nel piano cartesiano:Per dimostrare l’allineamento di O, Q e P e il rapporto costante tra le distanze dei tracciatori (Q e P) dal punto fisso O, si possono considerare il triangoli simili OQA e OPB oppure i triangoli OQA, QPC e il parallelogramma AQCB…
21 aprile 2023 42
Confronto di dimostrazioni
Cosa succederebbe se …?
Omotetia di rapporto 1:3Omotetia di rapporto
negativo (simm centr.)
•Animazioni costruite con Geogebra o Cabri•Costruzione di nuove macchine con materiali poveri: aste di plastica, bastoncini di legno…
Materiali ora presenti sul sito
• Presentazione PPT degli incontri• Schede di lavoro per gli insegnanti• Materiali analizzati• Linee guida per percorsi didattici• Griglie per la progettazione di
sperimentazioni
http://www.liceoaselli.it/matelaboratorio.htm
Materiali presto sul sito
• Presentazioni PPT e schede di lavoro dei prox incontri
• Schema di diario di bordo• Modulo prenotazione macchine• Pdf di articoli e libri in cui sono raccolte
esperienze svolte da insegnanti dell’Emilia Romagna
http://www.liceoaselli.it/matelaboratorio.htm
Da alcune sperimentazioni svolte in classe
Progetto MMLab-ER
Sperimentazioni
In tutte le sperimentazioni svolte dagli insegnanti coinvolti nel progetto MMLab-ER si ritrovano le linee guida del corso di formazione:•La metodologia laboratoriale•L’elaborazione di percorsi e di consegne cruciali •L’attenzione ai processi •Il focus sugli aspetti culturali
Come è fatta?
Cosa fa? Perché?
Nuove consegne…lo Scheiner sbagliato
• Perché non funziona?
Descrivere il compasso …
Giustificare la risposta Provare che…
Scrivere la procedura
Costruire con riga e compasso …
La voce degli insegnantialcune riflessioni dai report finali
• “È stato interessante osservare i ragazzi all’opera non solo per la qualità degli elaborati finali prodotti, ma anche per l’opportunità di poterli ascoltare nel momento in cui le loro idee venivano alla luce, esposte e concretizzate”. [Banchelli- Liceo scientifico]
• “E’ importante anche sottolineare, che la lezione di geometria in laboratorio non richiede più tempo rispetto all’insegnamento classico, anzi, lo riduce, poiché suggerimenti, osservazioni e congetture fanno parte di una scoperta e di una crescita culturale di ognuno, nel rispetto dei propri modi e tempi di apprendimento” [Silvegni- IPSIA]
UMI 2011
Altre macchine
ricostruzioni virtuali con software di DG
www.macchinematematiche.org
Pantografo di Kempe
Questo pantografo si ottiene assemblando
due sistemi articolati BCP e ADQ
(ove BC=AD e CP=DQ)
mediante tre aste uguali di lunghezza
assegnata AB, CD e PQ. AB è fissata al
piano.
ABCD e CPQD sono quindi due
parallelogrammi articolati. Il punto P
(tracciatore) ha due gradi di libertà.
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A
B
C
D
P
Q
Si può osservare che:● Quando il puntatore percorre un segmento, il
tracciatore descrive un segmento parallelo e uguale:
in ogni posizione di R sul segmento a, PQRS è un
parallelogramma (lati PQ ed RS paralleli e uguali)● Viene conservato il verso di percorrenza delle figure● Non esistono punti uniti , esiste un fascio improprio
di rette unite.
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Pantografo di Kempe
Pantografo di Kempe
Questo pantografo si ottiene assemblando
due sistemi articolati BCP e ADQ
(ove BC=AD e CP=DQ)
mediante tre aste uguali di lunghezza
assegnata AB, CD e PQ. AB è fissata al
piano.
ABCD e CPQD sono quindi due
parallelogrammi articolati. Il punto P
(tracciatore) ha due gradi di libertà.
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Equazioni della trasformazione
Sia h la lunghezza di AB.
x'=x
y'=y-h
21 aprile 2023 57
Pantografo di Kempe
Rotazione
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Dimostrazione:
1)
2) relazione fra angoli:
Rotazione
CQOPOA
COQOPA
QOPO quindi OCQAOP
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
QCBQOP
180QOPOABPOAQOC
180QCBBCOOQCQOC
180QCOOQCQOC
ˆˆ
ˆˆˆˆ
ˆˆˆˆ
ˆˆˆ
Costruzione:
AP=AB=OC OA=CB=CQ triangoli PAB e BCQ simili
Nei prossimi incontri
• Esplorazione di altre macchine matematiche: ancora un pantografo e poi curvigrafi e macchine aritmetiche
• Discussione progetti di sperimentazione
• Testimonianze dalle classi
Programma del corso2° parte anno scolastico 2011-2012
Data TITOLO Elementi di contenuto
e strumenti
Quarto incontro
22 settembre
201115 – 18
Analisi delle prime sperimentazioni in classe Il laboratorio di matematica:macchine geometriche (macchine per le trasformazioni geometriche del piano)
Discussione dei progetti Trasformazioni geometriche STRUMENTI: Pantografi e Biellismi
Quinto incontro
13 ottobre
201115 – 18
Macchine geometriche: pantografiMacchine aritmetiche: costruzione e analisi
Trasformazioni geometriche
Notazione posizionale, algoritmi, regolarità numeriche STRUMENTI: pantografi e pascalina,
Sesto incontro
27 ottobre
201115 – 18
Il laboratorio di matematica:macchine geometriche (curvigrafi)
Coniche e costruzioni di animazioni virtuali STRUMENTI: curvigrafi
Settimo incontro
10 novembre 2011
15 – 18
I progetti di sperimentazione nelle classi
Discussione dei progetti di sperimentazione con particolare attenzione alla metodologia
laboratoriale
Cremona 2011
Per la prox volta
• Compilare la griglia per la progettazione delle sperimentazioni
• Spedire la griglia ai formatori via e-mail – Nicoletta Nolli [email protected]– Francesca Martignone
• Per facilitare il prestito, comunicare il periodo in cui si pensa di svolgere la sperimentazione
Il diario di Bordo
21 aprile 2023
VIDEO DI ESEPRIENZE SVOLTE IN CLASSE
MODENA
http://www.mmlab.unimore.it/on-line/Home/ProgettoRegionaleEmiliaRomagna/RisultatidelProgetto/Fotoevideo.html
DAL MIN 10.53-21.48
Grazie!
www.mmlab.unimore.it
