UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI PALERMOFACOLTA’ DI SCIENZE DELLA FORMAZIONE

CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DELLA FORMAZIONE PRIMARIAIndirizzo Scuola Primaria

IL PENSIERO PRE-PROPORZIONALE.STRATEGIE RISOLUTIVE IN UN

CONTESTO INDIVIDUALE E COOPERATIVO

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CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DELLA CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DELLA FORMAZIONE PRIMARIAFORMAZIONE PRIMARIAIndirizzo Scuola PrimariaIndirizzo Scuola Primaria

IL PENSIERO PREIL PENSIERO PRE--PROPORZIONALE.PROPORZIONALE.STRATEGIE RISOLUTIVE IN UN STRATEGIE RISOLUTIVE IN UN

CONTESTO INDIVIDUALE E CONTESTO INDIVIDUALE E COOPERATIVOCOOPERATIVO

Tesi di laurea di Valeria CatalanoTesi di laurea di Valeria CatalanoRelatore: Prof. Filippo SpagnoloRelatore: Prof. Filippo Spagnolo

Anno accademico 2005Anno accademico 2005--20062006

I PARADIGMI DI RIFERIMENTO1. Freinet e il M.C.E.:• la cooperazione• il calcolo vivente

2. La Ricerca in Didattica (Brousseau):• la situazione-problema e l’analisi a priori• la situazione a-didattica (devoluzione)

3. Il cooperative learning:• l’interdipendenza reciproca; • la responsabilità individuale.

4. La fiaba e il gioco:• la fiaba come spazio “meta”;

• apprendere giocando

La proporzionalità• La proporzione è l’uguaglianza di due

rapporti.• Aritmetica: problemi del tre semplice.• Geometria: similitudine.

• “Indicazioni Nazionali” (D.DL.59/04 Allegato B):

• multiplo, divisore, frazione;• scala grafica e/o numerica.

L’ipotesi generaleSe i bambini di 10 anni sono messi in opportune situazioni didattiche, sono in grado di sviluppare ragionamenti di tipo proporzionale

Le ipotesi di ricerca1. Se i bambini di 10 anni comprendono il concetto di

rapporto, allora possono sviluppare un pensiero proporzionale in campo aritmetico e geometrico.

2. Se i bambini provengono da contesti socioculturalidifferenti, allora la capacità di risolvere i problemi di tipo proporzionale sarà diversa

3. Se si utilizza un metodo di tipo cooperativo, allora si registra una maggiore ricchezza ideativa.

Le ipotesi di ricerca4. Se si utilizzano riferimenti concreti, allora la

risoluzione dei problemi viene facilitata dalla possibilità di ancorare le conoscenze alla realtàvissuta.

5. Se è presente uno sfondo di tipo fantastico, allora i bambini si sentono maggiormente coinvolti e raggiungono maggiori risultati.

Falsificazione delle ipotesi• I. n. 1, 2 e 5: falsificate attraverso tutte le prove• I. n. 3: falsificata attraverso il problema aperto e

la situazione a-didattica• I. n. 4: falsificata attraverso il problema aperto

Il disegno sperimentale• Confronto test-retest.• Campione: 104 alunni frequentanti la quinta classe

della scuola primaria, di cui 6 di altra nazionalità . • Tre scuole di Ragusa ubicate in tre quartieri

diversi per estrazione socio-culturale.• Prima parte (contesto individuale):- questionario (test);- situazione-problema.• Seconda parte (contesto cooperativo):- problema aperto;- situazione a-didattica;- questionario (re-test).

STRATEGIE RISOLUTIVE IN UN CONTESTO INDIVIDUALE

Questionario (TEST):• Problema• Tabelle• Riproduzione in scala di figure geometriche

Situazione problema• Testo del problema• Analisi a priori• Strategie non attese

ARGOMENTAZIONI E CONGETTURE IN UN CONTESTO COOPERATIVO

• Problema aperto (Freinet):• pianta della classe rappresentata prima su un

foglio bianco e poi a quadri.

• Situazione a-didattica (Brousseau)Racconto della storia “Il Paese di Fantàsia”

1)Gioco uno contro uno:

riproduzione in scala della mappa

2) Gioco di un gruppo contro un altro gruppo:• Tappa n. 1. ; n. 2.; n. 3 ; n. 4; n. 5

Questionario (RE-TEST)

Risultati• Strategie corrette:• Situazione-problema: calcolo del valore unitario (93%) e di

tipo intuitivo (6%);• Problema aperto: similitudine (“Le figure sono simili perché

hanno la stessa forma, ma non le stesse dimensioni”). • Situazione a-didattica: costanza del rapporto (“Il

rapporto vale con tutti i numeri);• Re-test: aumento delle risposte corrette (es. 99% ha

risolto correttamente il problema).• Strategie errate:• uso della strategia additiva, (“Significa aggiungere la stessa

quantità”);• confusione: doppio/quadrato e triplo/cubo (tabelle);• spiegazioni tautologiche (“Proporzione significa una cosa

proporzionata”);• difficoltà nella rappresentazione del triangolo.

CONCLUSIONI1. I bambini di 10 anni comprendono il

concetto di rapporto e lo applicano nella risoluzione delle proporzioni in un contesto aritmetico e geometrico.(“La proporzione iniziale deve rimanere sempre uguale”, “Lo misuriamo e poi rimpiccioliamo”, “Ogni m, 1 cm”)

2. L’influenza dei contesti socio-culturali non è netta, per l’interferenza di alcune variabili:

- ritardato inserimento scolastico;- tipo di attività didattiche svolte.

CONCLUSIONI3. La cooperazione rende possibile una

maggiore ricchezza ideativa (“In maniera proporzionata significa a proporzioni, a maniera tutti uguali”, “Significa moltiplicare sempre per lo stesso numero”)

4. I riferimenti concreti permettono di confrontare il calcolo matematico con la realtà. (“Qui i banchi non sono tutti uguali”, “Lo dovevi dividere in scala”, “Farlo più piccolo, però sempre lo stesso”)

5. Lo sfondo fantastico coinvolge i bambini, che partecipano con attenzione alle attività presentate. (“Bisognerebbe fare sempre la stessa cosa, come Alice che rimpicciolisce sempre di 10 cm”)

PROBLEMI APERTI

• Rapporto e ritmo nella cultura africana

• Stereotipi in campo geometrico• Tipo di consegna• Apprendimento cooperativo e

coscienza democratica

Problema

“Due bambine indiane di nome Sole che nasce e Raggio di Luce giocano sulla riva del fiume. Ad un certo punto decidono di barattare i loro “tesori”. Stabiliscono che ogni conchiglia di Raggio di Luce vale 3 ciottoli decorati di Sole che nasce. Raggio di Luce baratta 12 conchiglie, quanti ciottoli avrà in cambio?”

Tabelle• Pinocchio ha promesso alla Fata Turchina che d’ora in poi non

marinerà più la scuola e si impegnerà a studiare. Però, a dire il vero, non è stato molto attento in classe e ora non riesce a trovare qual è la relazione che lega i numeri delle tabelle sotto riportate. Sei disposto ad aiutarlo?

• Indica che tipo di rapporto lega ogni numero della riga superiore con il corrispettivo della riga inferiore, tenendo presente che il rapporto è lo stesso in ogni colonna della stessa tabella.

864

432

15129

543

246

4812

Riproduzione in scala di figure geometriche

•Ingrandisci di due volte il quadrato e•di tre volte il triangolo.• Poi rimpicciolisci di tre volte il rettangolo

Testo del problema

• “Nonna Papera decide di preparare i biscotti per i suoi nipotini Qui, Quo, Qua. Utilizza 200 g di farina per preparare 20 biscotti. La settimana successiva Qui, Quo, Qua invitano i loro amici e chiedono alla nonna di preparare 50 biscotti. Quanta farina dovrà usare?”

Problema aperto

Discussione di gruppo:• “Ogni gruppo ha deciso le proprie misure”.

• “Lo dovevi dividere in scala; farlo più piccolo, però sempre lo stesso”.

• “Lo rimpiccioliamo in scala: ogni m 1 cm”.• “Se è 5 m, noi facciamo 5 cm”.

• “Figure simili”.

Tappa n. 1.

“Un re aveva 4 figlie a cui voleva dare la stessa dote. Aveva 4 tipi diversi di pietre preziose, ma non sapeva come distribuirle allefiglie.

Chiese aiuto al saggio del Regno, il quale gli diede una pergamena su cui era scritto:

1 diamante = 2 rubini

1 diamante = 3 zaffiri

1 diamante = 5 acquamarine

Il re allora, basandosi sul consiglio del saggio, decise di dare:4 diamanti alla prima figlia, ………. rubini alla seconda, ………. zaffiri alla terza e

………. acquamarine alla quarta. Sapreste completare le parti mancanti?”

Tappa n. 2.Alice, giunta nel Paese delle Meraviglie, beve 1 bicchiere di pozione magica e si rimpicciolisce di 10 cm. Se beve 3 bicchieri, di quanti centimetri diminuisce la statura di Alice?

10 cm

?

Tappa n. 3

La regina di Cuori ordina ai suoi giardinieri di ornare un angolo del suo immenso parco. I giardinieri piantano 25 pini. Per abbellirlo ulteriormente sotto ogni albero piantano 3 rose. Quante rose dovranno ordinare in tutto?

Tappa n. 4

• Biancaneve prepara 21 pasticcini da distribuire in parti uguali ai 7 Nani al ritorno dal lavoro.

• Se arrivano 4 dei nani prima degli altri e, avendo tanta fame, mangiano subito la loro parte.

• Quante ciambelle mangiano in tutto? Disegnate i pasticcini su un foglio.

• Quante ne rimangono per gli altri 3 nani?”

Tappa n. 5La canzone di Noè

Ci son 2 coccodrilli e 2 oragotango, 2 piccoli serpenti e 1 aquila reale,

1 gatto, 1 topo, 1 elefante, non manca più nessuno,solo non si vedono i 2 liocorni.

Noè dovrà aumentare in maniera proporzionata ogni specie di animali, senza superare il numero totale di 30. Completate la seguente tabella e poi cantate la canzone.

30

101111222

totaleelefantetopogattoaquilaserpentiorangotangococcodrilli

Analisi a priori•• Analisi epistemologica:Analisi epistemologica:• geometria elementare;• geometria analitica ;• grandezze.

•• Analisi storicoAnalisi storico--epistemologica:epistemologica:• Euclide, Archimede, Hilbert.

•• Comportamenti attesi Comportamenti attesi (strategie corrette (strategie corrette ed errate)ed errate)

Strategie non attese

• S 4: 200: 20=10 g (farina necessaria per un biscotto)200+200+100= 500 g (farina necessaria per 50 biscotti)

• S 5: 200 x 2 = 400 g (farina necessaria per 40 biscotti)400 + 100= 500 g (farina necessaria per 50 biscotti)

• S 6: L’alunno afferma che:se per fare 20 biscotti sono necessari 200 g ese per fare 10 biscotti sono necessari 100 g, allora per fare 50 biscotti sono necessari 500 g.

Mappa di Fantàsia