DIDATTICA DI DISEGNO E DI PROGETTAZIONE DELLE COSTRUZIONI

PROF. CARMELO MAJORANA

ING. LAURA SGARBOSSA

MODULO DUE

IL PROBLEMA DELLA TRAVE DI DE SAINT VENANT (PARTE B)

• MATERIALE DIDATTICO DA UTILIZZARE IN AULA (SCUOLA SUPERIORE)

• Esempio di lezione 02 (parte B)

IN QUESTO MODULO: IL PROBLEMA DELLA TRAVE DEL DE SAINT VENANT

2.3 Sforzo normale semplice di trazione e di compressione

2.4 Flessione semplice e deviata

2.3 Sforzo normale semplice di trazione e di compressione

Si consideri come caso generale una trave ad asse rettilineo, vincolata con una cerniera in A e con

un appoggio semplice in B, comunque caricata da forze verticali ed oblique.

Le forze applicate e le reazioni vincolari costituiscono l’insieme delle forze esterne, le quali sono in

equilibrio.

Si assuma una qualsiasi sezione S in modo tale che la trave sia divisa in due tronchi: uno a sinistra e

uno a destra della sezione S.

Ricercando le risultanti relative alle forze esterne applicate nei tronchi a sinistra e a destra della

sezione, si riconosce che attraverso la sezione stessa S si trasmettono mutue azioni interne, a

conferma della validità del terzo principio della dinamica di Newton noto come principio di azione

e reazione, come in precedenza osservato.

In particolare tra tutte le forze risultanti, la forza N normale al piano della sezione, si chiama sforzo

normale. Figura 4.

figura 4

Lo sforzo normale, insieme allo sforzo di taglio e al momento flettente che analizzeremo in seguito,

contrapponendosi reciprocamente nella sezione S, definiscono lo stato di equilibrio interno e danno

luogo ad altrettanti stati di sollecitazione di pressione semplice (compressione o trazione), di taglio

e di flessione.

In generale allora si può dare la seguente definizione: una sezione retta S di trave è sollecitata a

sforzo normale semplice di trazione o di compressione quando la risultante delle forze agenti da una

o dall’altra parte della sezione è una forza normale al piano della sezione stessa ed è incidente nel

suo baricentro.

Se tale risultante è diretta contro il piano della sezione lo sforzo normale è di compressione,

tendendo ad avvicinare, in questo caso, le mutue sezioni di contatto S dei due tronchi di trave, e il

segno per convenzione è negativo; al contrario se il verso della risultante si allontana dalla sezione

lo sforzo normale è di trazione, e il segno positivo.

Nel caso che una trave prismatica sia soggetta a sforzo normale di compressione costante, si

suppone che il tronco di tale trave sia sufficientemente corto e tozzo, in modo da evitare che si

inneschi il fenomeno di instabilità per carico di punta.

Fatta questa osservazione, i due casi di sforzo a trazione e a compressione, possono essere trattati

insieme per quanto riguarda la ricerca degli stati tensionali, i criteri di progetto, di verifica e la

ricerca delle operazioni.

Una diversità può riguardare invece, la differente resistenza del materiale nel caso di trazione o di

compressione.

Per quanto riguarda infatti, i materiali da costruzione che più ci interessano, l’acciaio ha circa

uguale resistenza sia a trazione che a compressione, mentre materiali come il calcestruzzo e i

materiali lapidei in generale, resistono molto bene a compressione, pochissimo a trazione.

Se il materiale è omogeneo lo sforzo normale N si distribuisce uniformemente in tutte le aree

elementari da della sezione, interessando in eguale misura tutte le ideali fibre disposte

parallelamente all’asse z della trave, e dando origine a tensioni unitarie zσ normali alla sezione

trasversale S.

Ogni area elementare da è quindi interessata da una forza elementare interna dazσ , e la somma di

tali forze interne deve essere uguale alla risultante N, ossia:

NdaA z =∫ σ ; 3)

poiché zσ è costante, può essere portato fuori dal segno di integrale e messo in evidenza:

NdaAz =∫σ

dove l’integrale delle aree elementari (che può essere pensato come la somma di tutte le aree

elementari), è uguale all’area A della sezione AdaA

=∫ , ottenendo in fine l’espressione:

NAz =σ

da cui si ricava:

AN

z =σ = costante 4)

Osservazione: nel caso della pressione semplice il dimensionamento della trave dipende solo dal

parametro di area A, sezione della trave, e quindi indipendente dalla forma della sezione stessa.

La distribuzione uniforme delle tensioni è giustificata dal fatto che è verificata dall’esperienza

l’ipotesi di Bernoulli-Navier sulla conservazione delle sezioni piane durante e dopo le

deformazioni. Ciò sta a dire che, se le fibre si allungano e si accorciano in modo uguale, significa

anche che sono ugualmente tese e compresse e quindi che lo sforzo zσ è costante in una determinata

sezione retta della trave.

Questa ipotesi trova conferma esatta qualora le forze N applicate alle sezioni esterne della trave

sono uniformemente distribuite.

Nel caso in cui le forze sono concentrate, tale ipotesi dell’allungamento uniforme delle fibre e come

conseguenza zσ costante, è ancora verificata dal principio di De Saint Venant, purché la

distribuzione delle forze esterne abbia la stessa risultante N, e ad eccezione dei due tratti estremi del

tronco di trave per una lunghezza pari a circa la maggiore dimensione trasversale.

Per lo stato di deformazione si ha:

===Ec

Ez

zσ

ε costante(x,y,z) 5)

In conclusione essendo la distribuzione degli stati di tensione zσ , della trave, uniforme, si ha uno

stato tensionale monoassiale; rappresentato secondo la convenzione di Mohr nel piano ( τσ , ) si ha

la seguente figura:

figura 5

E’ importante osservare inoltre, che uno stato deformativo di tipo biassiale, come nel caso di sforzo

normale, non implica che pure lo stato di tensione lo sia, infatti il caso di sforzo normale ce lo

dimostra essendo lo stato tensionale proprio monoassiale .

Si definisce modulo di rigidezza assiale, riferito all’unità di lunghezza, il rapporto:

EAA

NNE

E

NNRzz

n ====σε

6)

2.4 Flessione semplice e deviata

Una sezione S di trave si dice sollecitata a flessione semplice quando l’insieme delle forze esterne,

applicate a sinistra o a destra della sezione stessa, equivale ad una coppia appartenente ad un piano

normale al piano della sezione.

figura 6

Il momento della coppia RlM = è il momento flettente esterno, agente nella sezione, dato dalla

risultante di tutte le forze esterne applicate ; per il teorema di Varignon il momento di tale risultante

è anche dato dalla somma algebrica dei momenti delle singole forze componenti, in generale allora

il momento flettente di una determinata sezione è dato dalla somma algebrica dei momenti flettenti

di tutte le forze esterne agenti ambo i lati della sezione.

L’effetto di un momento flettente in una sezione della trave è la rotazione della sezione stessa e se si

immagina tale effetto esteso a tutte le sezioni della trave, queste ruotano reciprocamente e la trave si

deforma curvandosi o più correttamente, inflettendosi.

Quando l’inflessione produce la tensione delle fibre inferiori e la compressione delle fibre superiori,

il momento flettente è per convenzione di segno positivo.

Quando inversamente le fibre superiori sono tese e quelle inferiori compresse tale da rivolgere

l’inflessione della trave con convessità verso l’alto, il momento flettente è di segno negativo.

M sP P

S

(+)

sP P

M s

S

(+)

sfibre tese

fibre neutre

fibre compresse

figura 7a

MsPP

S

(-)

sP

Ms

S(-)

s

fibre tese

fibre neutre

fibre compresse

figura 7b

Il momento M è costante in tutte le sezioni comprese nel campo centrale della trave, quindi queste

ruotano dello stesso angolo; l’asse geometrico e le fibre longitudinali della trave, si dispongono

secondo linee curve a curvatura costante; in particolare l’asse geometrico si chiama linea elastica

della trave.

Nello stato deformativo si distinguono tre famiglie di fibre

• fibre che si allungano, nella parte convessa della trave

• fibre che si accorciano, nella parte concava della trave

• fibre che non si allungano e non si accorciano, quindi hanno conservato la dimensione

originaria.

Quest’ultima famiglia di fibre appartiene ad un piano chiamato strato piano della trave il quale è

ortogonale al piano di sollecitazione.

La ratta di intersezione dello strato neutro con il piano di una qualsiasi sezione si chiama asse

neutro n della sezione; di conseguenza l’asse neutro n è normale all’asse di sollecitazione,

dividendo la sezione in una zona compressa e una tesa, soggetta quindi a tensioni normali σ

rispettivamente di compressione e di trazione; in particolare i punti appartenenti all’asse neutro

hanno tensioni nulle:

figura 8

Si può definire quindi l’asse neutro come luogo geometrico dei punti della sezione a tensione nulla.

Si vuole ora ricavare l’espressione che descrive i valori maxσ delle tensioni ai lembi di una sezione,

corrispondenti alle distanze massime maxy dall’asse neutro; si immagini allora di dividere una trave

in due parti mediante una sezione S e di isolare uno dei due tronchi dall’altro insieme e da tutte le

forze interessate prima del taglio.

Il tronco di trave così isolato deve essere ancora in equilibrio, poiché lo era prima del taglio, allora

devono essere soddisfatte le condizioni di equilibrio:

∑ = 0V

∑ = 0H 7)

∑ = 0M

La prima condizione è facilmente verificabile poiché è nulla la somma delle forza esterne verticali,

mentre nel piano della sezione S non agiscono forze verticali.

La seconda condizione è verificata, non essendoci forze eterne orizzontali ed essendo uguali e

contrarie le tensioni σ normali al piano di sezione, per cui la somma algebrica risulta nulla.

Si osserva inoltre che le forze interne C e T, risultanti rispettivamente degli sforzi di compressione e

di trazione, essendo di uguale intensità e di versi contrari, costituiscono una coppia di braccio z e di

momento interno

TzCzM i == 8)

perciò l’equilibrio dei momenti deve essere garantito dal momento esterno M indotto nella sezione

dalle coppie esterne ed il momento interno iM dovuto alla coppia interna:

iMM = 9)

esprimendo ora il momento interno in modo più esplicito cioè il momento della forza σ⋅da riferita

ad una striscia elementare per cui si ha:

daykykydaydadmi ⋅⋅=⋅⋅=⋅= 2)( σ 10)

dove k è costante di proporzionalità poiché per l’ipotesi di conservazione delle sezioni piane e la

validità della legge di Hooke risulta:

kyy

==2

2

1

1 σσ 11)

Il prodotto 2yda ⋅ che compare nella 10) prende il nome di momento d’inerzia dell’area elementare

rispetto all’asse considerato.

Il momento d’inerzia totale, quindi riferito all’intera sezione, rispetto all’asse neutro o baricentrico,

indicato con la lettera xJ è dato dalla somma dei momenti elementari:

∑ ⋅∆=Ax yaJ 2 12a)

analogamente in forma integrale:

∫ ⋅=A

x dayJ 2 12b)

Si può allora esprimere il momento interno uguale a:

xi Jy

M ⋅=σ 13)

ed essendo iMM = , anche

xJy

M ⋅=σ . 14)

Ora si può ricavare l’espressione delle tensioni massime maxσ , (positive e negative secondo la

convenzione dei segni)

xJyM max

max⋅

=σ 15)

dove con il rapporto xx W

yJ

=max

si definisce il modulo di resistenza o momento resistente alla

sezione.

In conclusione si ottiene:

xWM

=maxσ 16)

Quando l’asse di sollecitazione non coincide con nessuno degli assi d’inerzia principale di una

sezione di trave la flessione non è più retta ma obliqua o deviata, perché l’asse neutro coniugato

all’asse di sollecitazione non è più normale a questo ma obliquo.

Y

X

P

Y

X

figura 9

Questo tipo di flessione si riscontra comunemente nelle travi orizzontali dei tetti (arcarecci) le quali

appoggiando sui puntoni di falda, presentano gli assi principali obliqui rispetto all’asse di

sollecitazione determinato dalla direzione verticale su cui è diretta la gravità del carico.

Nel caso di flessione deviata, come rappresentato in figura 10, si considera quindi, al posto del

carico P e del corrispondente maxM , la sua componente βPsen sulla normale all’asse neutro ed il

corrispondente momento βsenM max , riconducendoci così al caso della flessione retta

Y

X

+

-

2

Y

X

1

n

max

P(M)

Psen

(Mse

n

max

figura 10

Il raggio d’inerzia nρ rispetto all’asse neutro, è dato dalla proiezione del semidiametro dell’ellisse

centrale d’inerzia, steso nell’asse di sollecitazione di partenza, sulla normale all’asse neutro; quindi

il momento d’inerzia baricentrico nJ della sezione rispetto all’asse neutro è dato da:

2nn AJ ρ= 17)

I punti della sezione più lontani dall’asse neutro, individuati dalle tangenti alla sezione parallele

all’asse neutro, se distano il valore a, il modulo di resistenza vale:

aJ

W nn = ; 18)

allora le tensioni massime a cui sono soggetti i punti a distanza a dall’asse neutro sono date dalla

formula valida per la flessione semplice:

nn JaM

WM ⋅

±=±=ββ

σsinsin maxmax

max . 19)

Si può costruire il diagramma delle tensioni sulla normale all’asse neutro come riportato in figura

11.

Non sempre l’uso di questa risoluzione è di pratica applicazione, perché è necessario determinare

graficamente l’ellisse d’inerzia e l’asse neutro per ricavare il momento d’inerzia nJ e la distanza a.

Per semplificare il problema della flessione deviata si può sempre pensare di ricondurre il problema

alla somma di due flessioni rette, poiché vale il principio della sovrapposizione degli effetti: la

tensione totale maxσ può essere cioè ottenuta dalla somma delle tensioni parziali 21 σσ + ,

decomponendo il carico P nelle componenti xP e yP lungo gli assi principali x e y rispettivamente.

Y

X

+

-

Y

X

nx+

y

max

P

+-

C

Py

BN 2

A D

N1

+

-

1

1= xMWx

y

n

Px

figura 11

In conclusione si ottiene semplicemente:

)(21maxy

y

x

x

WM

WM

+±=+= σσσ 20)

dove xM e yM sono i momenti delle due flessioni rette, rispettivamente attorno agli assi neutri x e

y.