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Il progetto allo SLU per il taglio
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite135/230
Il progetto allo SLU per taglioLe travi sollecitate a taglio
La teoria lineare
Il comportamento non lineare
Travi non armate a taglio
Funzionamento a trave e ad arco
Travi armate a taglio
Determinazione della forza nell’armatura di taglio
Determinazione del contributo del calcestruzzo
Interazione momento-taglio
Il DM 9.1.96
Esempi e confronto TA e SLU
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite136/230
La teoria lineare
Nel metodo TA le τ agenti sulle sezioninormali si calcolano con la nota teoria approssimata di Jourawski:
)()()(
ybIySVy
⋅⋅
=τ
in cui: I = momento d’inerzia baricentrico della sezione, S(y) è il momento statico, rispetto al baricentro, della parte di sezione al disopra della fibra di ascissa y e b(y) è la larghezza di detta fibra
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite137/230
La teoria lineare
Nel caso di sezioni fessurate:
a.n. wbdV
9.0max ≅τ
Incongruenza: la parte di calcestruzzo sotto l’asse neutro, “inesistente” per la flessione, sopporta la tensione tangenziale τmax che, come risulta dal cerchio di Mohr, produce una tensione principale di trazione di pari valore.
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite138/230
Il comportamento delle travi sollecitate a taglio
Per comprendere cosa avvenga in una trave in c.a. sollecitata a flessione e taglio, si deve rinunciare all’analisi della sola sezione ed esaminare la trave nella sua estensione spaziale.Consideriamo il comportamento di una trave appoggiata, uniformemente caricata, al crescere dell’intensità del carico.
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite139/230
Il comportamento lineare
Inizialmente il comportamento è elastico lineare e la distribuzione delle tensioni segue la teoria delle travi elasticheL’andamento delle linee isostatiche delle tensioni principali è:
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite140/230
Il comportamento non lineare
Il valore max della tensione principale di trazione viene raggiunto al lembo inferioreIn un punto, superata la resistenza a trazione, si innesca una fessura normale all’asse della trave, perpendicolare alle isostatiche di trazioneAl crescere del carico la fessura si propaga e, per effetto delle tensioni tangenziali, si inclina verso l’asse.
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite141/230
Il comportamento non lineare
Le fessure seguono le isostatiche di compressioneNascono ortogonali all’asse della trave e poi si inclinano fino a divenirne quasi parallele in prossimitàdel corrente compresso.
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite142/230
Il comportamento non lineare
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite143/230
Il comportamento non lineare
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite144/230
Conseguenze …
Si deduce un risultato fondamentale per l’analisi di travi in c.a. soggette a flessione e taglio:
si deve rinunciare al semplice schema della sezione fessurata normalmente all’assesi devono esaminare conci di lunghezza finita entro cui, nella parte tesa, si estendono delle fessure inclinate.
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite145/230
Quindi …
Dall’equilibrio di un concio di trave si ha:
dxdMV =
x
dxM M+dM
V V
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite146/230
Poiché …
Per una trave in c.a.soggetta a M e V :
z = braccio delle forze internezTM ⋅=
x
Mz
T
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite147/230
Doppio funzionamento
Sostituendo l’ultima espressione nell’equilibrio:
Tdxdz
dxdTzV +=
All’equilibrio di V concorrono due termini, dipendenti da:la variazione della forza di trazione nell’acciaiola variazione del braccio delle forze interne z.
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite148/230
Doppio funzionamento
Sostituendo l’ultima espressione nell’equilibrio:
Tdxdz
dxdTzV +=
Funzionamento a trave
(travi snelle)
Funzionamento ad arco
(travi tozze)
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite149/230
Il comportamento delle travi non armate a taglio
Le due facce contigue di una fessura sono superfici scabreInfatti la fessura non attraversa gli inerti grossi, lo scheletro più resistente dell’impasto, ma ne segue i contorniDopo l’apertura della fessura, le protuberanze di queste superfici scabre rimangono ingranate con le corrispondenti cavità, rendendo ancora possibile la trasmissione di forze tangenziali
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite150/230
Il comportamento delle travi non armate a taglio
Questo è il meccanismo di ingranamento degli inerti (aggregate interlock)
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite151/230
Il comportamento delle travi non armate a taglio
Le fessure separano la trave in tante mensoleincastrate nella parte superiore compressa dell’elementoOgni mensola èsollecitata dalla forza
∆T = T1 - T2data dalla variazione della forza di trazione dell’armatura nel comportamento a trave
T2 T1
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite152/230
Il comportamento delle travi non armate a taglio
Alla forza ∆Tresistono:
Le tensioni tangenziali τa sulle superfici delle fessure (ingranamento degli inerti)Le forze di taglio Vdper effetto spinotto(dowel action) delle barre longitudinaliIl momento Mcall’incastro della mensola di cls nel corrente compresso
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite153/230
Funzionamento a trave (flessione e taglio) e ad arco
Per valori di a/d > 7Mu sperimentale coincide con Mu teoricoLa trave raggiunge la resistenza flessionale perché la resistenza a taglio è maggioreQuesto si ha nelle travi molto snelle per le quali è possibile omettere l’utilizzo dell’armatura di taglio
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite154/230
Funzionamento a trave (flessione e taglio) e ad arco
Per 7 > a/d > 3la rottura è prodotta dal cedimento dei denti di calcestruzzo con la conseguente perdita di efficacia del “meccanismo a trave”La resistenza della trave si riduce rispetto a quanto previsto dalla sola flessione.
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite155/230
Funzionamento a trave (flessione e taglio) e ad arco
Per a/d < 3 la resistenza cresce fino a raggiungere la resistenza flessionaleIl collasso è in flessione e non per taglioDopo il cedimento del “meccanismo a trave”si ha il “meccanismo ad arco” che permette di portare un’ulteriore quota di carico
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite156/230
Travi armate a taglio
Perché le travi raggiungano la loro piena capacità portante, la resistenza al taglio deve essere aumentata fino a raggiungere, e possibilmente superare, quella flessionale (la gerarchia delle resistenze!)Soprattutto a causa della natura fragile, e quindi particolarmente pericolosa, del collasso per taglio.
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite157/230
La gerarchia delle resistenze
Si tratta di progettare gli e/m fragili in base alle massime azioni (le resistenze) trasmesse dagli e/m duttili
F
FFy
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite158/230
La gerarchia delle resistenze
Si tratta di progettare gli e/m fragili in base alle massime azioni (le resistenze) trasmesse dagli e/m duttili
FyFy
Fy
La forza non può crescere oltre Fy e quindi l’elemento fragile è automaticamente protetto
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite159/230
Travi armate a taglio
Per aumentare la resistenza a taglio si dispone un’armatura d’anima disposta trasversalmente all’asse della traveHa il ruolo di congiungere:
la parte compressa (il corrente in calcestruzzo)la parte tesa (l’armatura longitudinale)
Le armature utilizzate a questo scopo sono:le staffele barre piegate.
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite160/230
Travi armate a taglio
Le staffe sono più efficaci delle barre piegate nel prevenire i meccanismi di rottura per taglio
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite161/230
Determinazione della forza nell’armatura di taglio
L’efficacia dei meccanismi aumenta:L’ingranamento degli inerti migliora
Le armature d’anima, in particolare prima di plasticizzarsi, ostacolano l’aprirsi delle fessure consentendo un ingranamento efficace
L’effetto spinotto miglioraLe staffe, se abbastanza vicine tra loro, aumentano la rigidezzaflessionale delle armature longitudinali
La resistenza delle mensole di calcestruzzo aumentaL’armatura provoca la compressione di queste bielle, con conseguente riduzione delle tensioni di trazioneLimitando l’estendersi delle fessure impedisce l’eccessiva riduzione delle sezioni di incastro delle mensole al corrente compresso
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite162/230
Determinazione della forza nell’armatura di taglio
L’armatura d’anima contribuisce direttamente a sopportare una parte delle forze di taglioIl modello di Mörsch è molto schematico ma coglie i caratteri essenziali del fenomenoLa trave fessurata viene assimilata ad una trave reticolare in cui:
il calcestruzzo compresso e l’armatura tesa sono i correntile bielle di calcestruzzo sono le aste di parete compressele armature d’anima sono le aste tese
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite163/230
Determinazione della forza nell’armatura di taglio
Il traliccio di Mörsch
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite164/230
Determinazione della forza nell’armatura di taglio
Schema del meccanismo resistente
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite165/230
Determinazione della forza nell’armatura di taglio
L’eq. di eq. dei momenti di una mensola di calcestruzzo tra due fessure distanti s è:
∆T·z = (Vd +Va)·s + Mc + Fs sinβ·z·cotα + Fs cosβ·z
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite166/230
Determinazione della forza nell’armatura di taglio
Ponendo ∆T ≈ (dT/dx)s e z ≈ cost. , e poiché V = dM/dx , si ha:
szV
dxzMdT ≈≈∆)/(
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite167/230
Determinazione della forza nell’armatura di taglio
Sostituendo e risolvendo per Fs si ha:
)cot(cotsin)cot(cotsin β+αβ=
β+αβ−
=z
Vz
VVs
F scs
sMVVV cdac /++=
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite168/230
Determinazione della forza nell’armatura di taglio
Nel caso α = 45° e β = 90°:
Nel caso α = 45° e β = 45°:z
Vs
F ss =
2zV
sF ss =
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite169/230
Determinazione della forza nella biella compressa
Nella biella compressa si ha:
)cot(cotsinsinsin
β+αα=
αβ
=z
sVFC ss
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite170/230
Determinazione del contributo del calcestruzzo
E’ difficile valutare teoricamente:
Vc = Va + Vd + Mc /sQuindi si ricorre a formule empiriche
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite171/230
Interazione momento-taglio
La presenza del taglio fa sviluppare le fessure secondo linee inclinateIl concetto di sezione retta della teoria della trave elastica perde di significato
Ciò comporta che la T sull’armatura tesa non coincide con quella prevista dalla teoria della flessione
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite172/230
Interazione momento-taglio
Nella sezione (2’) si ha: M2’ = T2 zNella sezione (2) si ha: M2 ≈ M2’ – V2 z cotα
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite173/230
Interazione momento-taglio
Secondo la teoria della flessione si ha:T2,flex = M2 / z = M2’ / z – V2 cotαQuindi la forza effettiva è maggiore:T2 = T2,flex + V2 cotα
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite174/230
Interazione momento-taglio
Il taglio produce, nella trave fessurata, un incremento della forza nell’armatura pari a VcotαDi questo si tiene conto traslando il diagramma dei momenti con cui si progettano le armature della quantità: z cot α ≈ 0.9d cotαIn tal modo in ogni sezione il momento considerato è maggiore di quello corrispondente all’equilibrio della parte di trave individuata da una sezione retta.
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite175/230
Interazione momento-taglio
Traslazione del diagramma del momento
0.9 d0.9 d
0.9 d 0.9 d
0.9 d 0.9 d
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite176/230
Il DM 9.1.96
4.2.2. Verifiche allo stato limite ultimo per sollecitazioni taglianti
4.2.2.2. Elementi senza armature trasversali resistenti a taglio
4.2.2.2.1. Verifica del conglomerato4.2.2.2.2. Verifica dell’armatura longitudinale
4.2.2.3. Elementi con armature trasversali resistenti al taglio
4.2.2.3.1. Verifica del conglomerato4.2.2.3.2. Verifica dell’armatura trasversale d’anima4.2.2.3.3. Verifica dell’armatura longitudinale
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite177/230
Il comportamento a rottura per taglio
Dipende da molti parametriNon esistono metodi di calcolo semplici che coprano tutti i tipi di rottura e che tengano conto adeguatamente dei contributi alla resistenza di tutti gli elementi costituenti le membratureNel caso di travi parete, mensole corte, ecc., si useranno metodi di calcolo fondati su ipotesi teoriche e risultati sperimentali chiaramente comprovati.
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite178/230
Il comportamento a rottura per taglio
Il calcolo agli SL si riferisce solo alla rottura:del conglomerato d'anima, o delle armature trasversali
I rischi inerenti ad altri tipi di rottura sono coperti:
da prescrizioni sui dettagli costruttiviancoraggi
da limitazioni progettualiinterasse minimo delle armature trasversali, conformazione delle armature trasversali, ecc.
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite179/230
4.2.2.2. Elementi senza armature trasversali resistenti a taglio
Appartengono a questa categoria di strutture:i solai monodimensionalisolette, piastre e membrature a comportamento analogole travi poste su aperture di luce modesta
Si considerano armature trasversali a tagliole staffele altre armature che collegano il corrente teso al corrente compresso della membratura
Gli elementi senza armatura a taglio non devono essere soggetti a trazione affinché si instauri il meccanismo resistente arco-tirante.
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite180/230
4.2.2.2.1. Verifica del conglomerato
Il taglio di calcolo non deve superare il valore che, riferito alla resistenza a trazione di calcolo fctd, determina la formazione delle fessure obliqueLa resistenza a trazione di calcolo è:
3 227.07.017.011ck
cctm
cctk
cctd Rfff ⋅⋅
γ=⋅
γ=
γ=
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite181/230
4.2.2.2.1. Verifica del conglomerato
Le verifiche si effettuano:
δ⋅⋅⋅ρ+⋅≤ dbrfV wlctdSdu )501(25.0dove:
VSdu taglio agente
r = (1.6 m – d) con d ≤ 0.6 m
ρl = Asl/(bw d) ≤ 0.02 (Asl = area armatura long. di trazione)
δ = 1 + M0/MSdu (= 0 in presenza di trazione apprezzabile)
M0 = momento di decompressione
MSdu = momento agente massimo di calcolo
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite182/230
Quantitativi minimi di armatura
Se risulta VSdu < Vcu si deve disporre una quantità minima di armatura:
Inoltre deve essere rispettata la:s ≤ min(0.8 d, 0.33 m).
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+≥
⋅=ρ
ww
sww b
dbs
A 15.0110.0min,
yk
ck
w
sww f
fbs
A 08.0min, ≥⋅
=ρ (EC2)
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite183/230
4.2.2.2.2. Verifica dell’armatura longitudinale
La verifica comporta la traslazione del diagramma del momento flettente lungo l'asse longitudinale, nel verso che dà luogo ad un aumento del valore assoluto del momento flettente.In altri termini, l’armatura longitudinale deve essere dimensionata per resistere al momento sollecitante pari a:
MSdu(V) = MSdu(V) + VSdu · 0.9 d
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite184/230
4.2.2.3. Elementi con armature trasversali resistenti al taglio
La resistenza al taglio dell'elemento fessurato si calcola schematizzando la trave come un traliccio ideale (Ritter-Morsch)
Gli elementi del traliccio resistenti a taglio sono:le armature trasversali d'anima, come aste di pareteil cls del corrente compresso e delle bielle d'animal'armatura longitudinale.
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite185/230
4.2.2.3.1. Verifica del conglomerato
La verifica consiste nel confrontare il taglio di calcolo con una espressione cautelativa della resistenza a compressione delle bielle inclinate
VSdu ≤ 0.30 fcd · bw · d
dove fcd è la resistenza di calcolo a compressione del calcestruzzo
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite186/230
4.2.2.3.2. Verifica dell’armatura trasversale d'anima
Il taglio di calcolo deve risultare inferiore od al limite uguale alla somma della resistenza della armatura d’anima e del contributo degli altri elementi del traliccio idealeComunque la resistenza di calcolo dell’armatura d’anima deve risultare non inferiore alla metà del taglio di calcolo.
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite187/230
4.2.2.3.2. Verifica dell’armatura trasversale d'anima
L’armatura trasversale deve verificare:
VSdu ≤ Vcd + Vwd con Vwd ≥ VSdu /2in cui:
Vcd = 0.60 fctd · bw · d · δVwd = Asw · fywd · 0.90 d / s (staffe)
Vwd = √2 · Asw · 0.8fywd · 0.90 d / s (piegati)
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite188/230
4.2.2.3.3. Verifica dell’armatura longitudinale
La verifica comporta la traslazione del diagramma del momento flettente lungo l'asse longitudinale, nel verso che dà luogo ad un aumento del valore assoluto del momento flettente.In altri termini, l’armatura longitudinale deve essere dimensionata per resistere al momento sollecitante pari a:
MSdu(V) = MSdu(V) + VSdu · 0.9 d
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite189/230
Esempio
Verificare per una forza di taglio VSk = 75 kNe, se necessario, progettare l’armatura della sezione rettangolare con:
base: bw = 30 cmaltezza: h = 60 cmarmatura longitudinale: Asl = 5φ20 = 15.7 cm2
Caratteristiche dei materiali:calcestruzzo: Rck = 30 N/mm2
acciaio: Fe B 44 k
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite190/230
EsempioMetodo TA
Le tensioni ammissibili sono:
Per l’acciaio si ha:
21
20
N/mm 83.135
15304.135
154.1
N/mm 6.075
15304.075
154.0
=−
+=−
+=τ
=−
+=−
+=τ
ckc
ckc
R
R
2N/mm 255=σs
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite191/230
EsempioMetodo TA
La tensione tangenziale massima è:
Si dispone l’armatura minima:
cioè staffe φ8/250 mm
02N/mm 49.0
3005709.075000
9.0 cw
Skcm bd
Vτ<=
⋅⋅=
⋅⋅=τ
/mcm 86.303 305715.0110.0 15.0110.0 2=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= w
w
sw bbd
sA
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite192/230
EsempioMetodo SLU
La sollecitazione di progetto è:VSdu = γ · VSk = 1.5 · 75 = 112.5 kNLe resistenze di calcolo dei materiali sono:
2N/mm 56.156.1
3083.083.0=
⋅=
γ=
c
ckcd
Rf
23 23 2 N/mm 14.13027.07.06.1
127.07.01=⋅⋅=⋅⋅
γ= ck
cctd Rf
2N/mm 37415.1
430==
γ=
s
ykyd
ff
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite193/230
EsempioMetodo SLU
La verifica richiede:
La trave deve essere armata a taglio
N 112500N 73240
1570300)57307.15501)(57.06.1(14.125.0
)501(25.0
<=
⋅⋅⋅⋅
⋅+−⋅⋅=
δ⋅⋅⋅ρ+⋅≤ dbrfV wlctdSdu
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite194/230
EsempioMetodo SLU
Verifica delle bielle compresse:
è largamente soddisfattaIl taglio portato dal calcestruzzo è:Vcd = 0.60 fctd · bw · d · δ
= 0.60 · 1.14 · 300 · 570 · 1= 116974 N > VSdu
N 79822857030056.1530.030.0
=⋅⋅⋅=⋅⋅≤ dbfV wcdSdu
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite195/230
EsempioMetodo SLU
Poiché risulta Vcd > VSdu, si deve assumere: Vwd = VSdu /2= 56.3 kNQuindi le staffe saranno:
cioè staffe φ8/330 mm
/mcm 93.23745709.0
563009.0
2=⋅⋅
=⋅
=ywd
wdswfd
Vs
A
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite196/230
Esempio
Per la stessa sezione dell’esempio precedente, si verifichi il caso in cui:
VSk = 200 kN.
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite197/230
EsempioMetodo TA
La tensione tangenziale massima è:
Quindi deve essere armata a taglio:
cioè staffe φ10/100 mm
12N/mm 3.1
3005709.0200000
9.0 cw
Skcm bd
Vτ<=
⋅⋅=
⋅⋅=τ
/mcm 3.153005709.0
2000009.0
2=⋅⋅
=⋅
=w
Skswbd
Vs
A
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite198/230
EsempioMetodo SLU
La sollecitazione di progetto è:VSdu = γ · VSk = 1.5 · 200 = 300 kNLa verifica delle bielle compresse èsoddisfatta
Per il calcolo dell’armatura si ha:Vwd = VSdu – Vcd = 300 – 117 = 183 kN
Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite199/230
EsempioMetodo SLU
Poiché risulta Vwd > VSdu /2, le staffe saranno calcolate con Vwd :
cioè staffe φ10/150 mmoppure φ8/100 mm
/mcm 5.93745709.0
1830009.0
2=⋅⋅
=⋅
=ywd
wdswfd
Vs
A