SCUOLA DI SPECIALIZZAZIONE PER L’INSEGNAMENTO SECONDARIO

DELLA REGIONE EMILIA ROMAGNA

Università degli studi di Bologna, Ferrara, Modena e Reggio, Parma (cod. 4005)

SEZIONE DI PARMA

DIRETTORE Prof. Roberto Greci

INDIRIZZO FISICO-MATEMATICO-INFORMATICO CLASSE A049 SEDE PARMA

RELAZIONE DI ABILITAZIONE ALL’INSEGNAMENTO SECONDARIO

IL RUOLO DEI MODELLI NELL’INSEGNAMENTO

DELLA MATEMATICA E DELLA FISICA

Specializzando

Raffaella Raschellà

Responsabile di indirizzo

Riccardo Tedeschi

Supervisore

Rosaria Evangelista

ANNO ACCADEMICO 2007/2008

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IL RUOLO DEI MODELLI NELL’INSEGNAMENTO

DELLA MATEMATICA E DELLA FISICA

Much education today is monumentally ineffective. All

too often we are giving young people cut flowers when we

should be teaching them to grow their own plants.

John W. Gardner

INTRODUZIONE ........................................................................................................................................... 3 1 IL MODELLO NELLE SCIENZE E NELLA DIDATTICA............................................................... 3 2 OSSERVAZIONE DEL CONTESTO ................................................................................................... 8

2.1 Istituti .............................................................................................................................................. 8 2.2 I tirocinio: Docente accogliente ................................................................................................... 9 2.3 I tirocinio: Classe I scientifico B................................................................................................. 10 2.4 I tirocinio: Classe II scientifico A / II classico B....................................................................... 12 2.5 II tirocinio: Docente accogliente ................................................................................................ 13 2.6 II tirocinio: Classe IV H .............................................................................................................. 14 2.7 II tirocinio: Classe V E................................................................................................................. 15

3 AZIONE I TIROCINIO – FISICA (IB) ............................................................................................... 16 3.1 Preparazione ................................................................................................................................ 16 3.2 Lezioni .......................................................................................................................................... 24 3.3 Verifica.......................................................................................................................................... 34

4 AZIONE I TIROCINIO - MATEMATICA (IIA/B).......................................................................... 38 4.1 Preparazione ................................................................................................................................ 38 4.2 Lezioni .......................................................................................................................................... 42 4.3 Verifica.......................................................................................................................................... 50

5 AZIONE II TIROCINIO – FISICA (VE) ............................................................................................ 52 5.1 Preparazione ................................................................................................................................ 52 5.2 Lezioni .......................................................................................................................................... 59 5.3 Verifica.......................................................................................................................................... 70 5.4 Questionario................................................................................................................................. 73

6 AZIONE II TIROCINIO – MATEMATICA (IVH)........................................................................... 75 6.1 Preparazione ................................................................................................................................ 75 6.2 Lezioni .......................................................................................................................................... 79 6.3 Verifica.......................................................................................................................................... 85 6.4 Questionario................................................................................................................................. 87

CONCLUSIONI ............................................................................................................................................ 88 BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................................................ 94

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ALLEGATI classe IscB ................................................................................................................................. 95 1. Programma di Fisica ....................................................................................................................... 95 2. Scheda consegnata dopo l’esperimento 1 .................................................................................... 95 3. Altri esercizi assegnati .................................................................................................................... 96 4. Verifica di fisica ............................................................................................................................... 96

ALLEGATI classe IIscA/IIclB...................................................................................................................... 99 5. Programma di Matematica............................................................................................................. 99 6. Problemi usati per introdurre concetti e teoremi........................................................................ 99 7. Ripasso su probabilità e calcolo combinatorio .......................................................................... 101 8. Verifica di Matematica.................................................................................................................. 102

ALLEGATI classe VE ................................................................................................................................. 103 9. Programma di Fisica ..................................................................................................................... 103 10. Dispensina sul modello di Drude ........................................................................................... 104 11. Esercizi sui modelli di conduzione elettrica.......................................................................... 106 12. Verifica di Fisica ........................................................................................................................ 107 13. Questionario conclusivo........................................................................................................... 108

ALLEGATI classe IVH............................................................................................................................... 109 14. Programma di Matematica ...................................................................................................... 109 15. Esercizio per casa ...................................................................................................................... 109 16. Verifica di Matematica.............................................................................................................. 110 17. Questionario conclusivo........................................................................................................... 110

3

INTRODUZIONE

In questa tesi viene presentata e analizzata l’attività di tirocinio svolta durante i due anni della

Scuola di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario. L’azione si è svolta presentando due

argomenti di matematica e due di fisica in quattro classi di età diversa. L’aspetto che ha unificato

argomenti necessariamente diversi e in contesti differenti è stata l’idea del modello come

strumento di indagine e descrizione della realtà, che ha influenzato la scelta dei contenuti e

l’approccio didattico. La presentazione e relativa discussione della preparazione e dello

svolgimento dell’azione saranno quindi focalizzate ad analizzare l’insegnamento dei modelli

proposti nelle diverse classi, discutendo motivazioni, utilità, metodologie e risultati, senza

trascurare tuttavia altri aspetti importanti dell’azione svolta, di natura contenutistica o didattica.

La prima sezione vuole fornire un’introduzione al ruolo del modello nella matematica e nella

fisica, sia come strumento specifico delle due discipline, sia come strumento generale di indagine e

interpretazione della realtà, considerando anche le implicazioni didattiche.

La seconda sezione è dedicata all’osservazione del contesto del tirocinio, e comprende una

presentazione dei due istituti in cui si è svolto, un’analisi del lavoro dei due docenti accoglienti, e

delle classi in cui si è svolta l’azione, sia dal punto di vista del comportamento, delle dinamiche tra

studenti e tra studente e insegnante, sia dal punto di vista dell’atteggiamento nei confronti della

materia, dello studio, della lezione.

Le sezioni successive presentano le azioni svolte durante i due tirocini, di fisica e di matematica.

Sono organizzate in un paragrafo che descrive il lavoro di preparazione (motivazioni, vincoli,

analisi preliminare dell’argomento, unità didattica), uno che analizza le lezioni effettivamente

svolte, e uno dedicato alla verifica finale.

Nell’ultima sezione si propone un bilancio dell’esperienza di tirocinio, valutando il lavoro svolto e

i risultati ottenuti, e la possibilità di trasferire l’esperienza in contesti diversi.

1 IL MODELLO NELLE SCIENZE E NELLA DIDATTICA

Il modello è uno strumento fondamentale usato da tutte le scienze, sia umane sia naturali, con

l’obiettivo di rappresentare una porzione dell’oggetto di studio in modo che sia possibile non solo

riprodurne le proprietà essenziali, ma anche fare previsioni. I modelli assumono quindi un ruolo

centrale perché soddisfano più obiettivi: come supporto alla descrizione di un sistema, consentono

la comprensione e la comunicazione; come strumento di studio dell’evoluzione del sistema, sono

4

un tassello fondamentale del metodo scientifico, fornendo indicazioni per progettare esperimenti

di verifica o per interpretare l’osservazione di nuovi fenomeni. La capacità descrittiva e predittiva

sono inoltre fondamentali per progettare applicazioni tecnologiche.

I modelli della fisica sono riferiti a fenomeni naturali e utilizzano il linguaggio matematico. Una

schematizzazione del processo di costruzione di un modello fisico, che ha anche implicazioni

didattiche, si può riassumere attraverso i seguenti punti [1]:

1) individuare le variabili che possono essere rilevanti nella descrizione del fenomeno;

2) dare una descrizione verbale e schematica del fenomeno;

3) determinare le relazioni esistenti tra le variabili;

4) esprimere tali relazioni tramite equazioni e/o regole che danno al modello una valenza

predittiva.

Questi passaggi mostrano le caratteristiche fondamentali e comuni di ogni modello. Un modello

non è la riproduzione fedele della realtà, ma un’astrazione e una semplificazione, che rispetta

comunque le caratteristiche rilevanti del fenomeno. Le fasi che precedono la formulazione

matematica finale consentono di analizzare il fenomeno dal punto di vista qualitativo,

costruendosi delle immagini mentali che diano a esso significato, e che forniscano gli oggetti e i

meccanismi con cui descrivere quanto osservato. Dal punto di vista didattico, è importante che gli

studenti siano in grado di dare una descrizione verbale del fenomeno, oltre ad enunciare delle

leggi già formalizzate, sia per non perdere di vista il senso fisico del fenomeno, che rimane

nascosto dalla sola equazione matematica, sia per esplicitare all’insegnante i loro modelli

spontanei, in modo che l’azione didattica utilizzi, o corregga, le loro preconcezioni in modo

consapevole, limitando di conseguenza l’insorgere di misconcetti [2][3].

Le idee e i concetti che emergono in questa fase sono necessariamente un’elaborazione di quelli

contenuti in modelli e teorie già noti. Il rapporto con l’osservazione quindi non è di passiva

acquisizione, ma prevede una coordinazione tra ciò che si osserva e le conoscenze preesistenti, che

permettono di scegliere ciò che si vuole osservare, con che grado di precisione, e ciò che è rilevante

per farlo. Prevede cioè un’interpretazione delle osservazioni in base alle intenzioni e alle

conoscenze dell’osservatore. Questo è un punto che sfugge alla maggioranza delle persone che non

ha ricevuto una formazione scientifica specifica, e porta a un’idea equivoca della scienza che

“descrive ma non spiega”, e che si fonderebbe esclusivamente sull’esperienza, evitando

accuratamente ipotesi, intese come prodotti della nostra mente in contrapposizione alla realtà

dell’esperienza. Ma come riassume chiaramente Agazzi [4]:

5

<< La scienza non può fare a meno di enunciare ipotesi e teorie, proprio perché ogni conoscenza

umana non si può limitare a constatare, ma procede sempre a un tentativo di comprendere e

spiegare. […]

L’aspetto esplicativo si realizza, appunto, nella costruzione delle teorie che tentano di spiegare

in un quadro unitario l’insieme di ciò che si riesce ad appurare: proprio perché in tale quadro

compaiono elementi che oltrepassano il contenuto dell’osservazione, esse esigono il controllo

sperimentale e presiedono alla progettazione degli esperimenti. L’esperimento, quindi, non è

propriamente destinato a sancire delle leggi, ma proprio a vagliare le ipotesi teoriche. Si vede

pertanto che una scienza veramente sperimentale è quella in cui si costruiscono teorie,

contrariamente a quanto molti ritengono. Senza teorie gli esperimenti non hanno alcuna

funzione e non sono neppure formulabili. >>

L’aspetto dell’interpretazione è essenziale, e si può usare per distinguere modello e teoria. I due

concetti non hanno una definizione univoca, e sono stati usati storicamente e sono usati tuttora

nelle diverse scienze con significati diversi. Una proposta dovuta a Hestenes [5] consente di

chiarire il rapporto tra oggetto reale, oggetto astratto, e sua interpretazione, e di evidenziare le

analogie tra la modellizzazione come processo cognitivo e come attività della ricerca fisica. Il

modello è ciò che “dà significato” alla teoria, interpretando gli oggetti fondamentali e costruendo

relazioni tra essi, che devono rispettare i principi della teoria. Ad esempio, gli oggetti della

meccanica classica sono concetti astratti, come il punto materiale o il corpo rigido, e non hanno

significato finché non vengono legati a oggetti reali, ad esempio interpretando un gas di molecole

come un insieme di palline rigide e lisce all’interno della teoria cinetica dei gas (che secondo le

definizioni qui adottate, è un modello). Quello che si fa è quindi isolare gli aspetti dell’oggetto

reale sufficienti a studiare ciò che interessa, ed eventualmente operare approssimazioni che la

teoria da sola non prevede, ma che devono essere adattate al sistema in esame. Nell’esempio,

l’interesse è legare grandezze macroscopiche come pressione e volume a proprietà microscopiche,

e per farlo si possono trascurare la struttura interna delle molecole e degli atomi, le dimensioni

delle molecole rispetto alle loro distanze, le interazioni tra molecole, assumere movimenti

completamente casuali, perché queste ipotesi portano a una relazione tra pressione, volume ed

energia cinetica media delle molecole che è compatibile con la legge dei gas perfetti. La teoria da

sola, quindi, nella sua generalità e completezza, non fornisce leggi direttamente riferibili a un

sistema reale e direttamente verificabili da un esperimento, a meno di non operare scelte e

semplificazioni, cioè di costruire un modello. La teoria fornisce il quadro generale all’interno del

quale operare le scelte degli oggetti e delle grandezze da considerare, e i principi e le leggi che le

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relazioni costruite nel modello devono rispettare [5]; ad esempio un modello fisico non può

prevedere una violazione della conservazione dell’energia. Si può vedere un’analogia con il

rapporto tra teoria e modello in matematica, dove il modello interpreta i termini primitivi, e

riproduce assiomi e teoremi della teoria. La differenza essenziale tra matematica e fisica è che la

validità di una teoria matematica è subordinata solo alla coerenza, quindi una teoria può essere

studiata solo sul piano formale e sintattico, senza necessità di costruire modelli; in fisica, invece,

una teoria deve poter produrre modelli che consentano di verificare il suo grado di aderenza a una

realtà esterna. In questa tesi verrà analizzato l’insegnamento del modello in senso fisico, sia in

lezioni di fisica sia di matematica, quindi finalizzato a descrivere situazioni reali (anche non

necessariamente oggetto di studio della fisica) e non a interpretare una teoria formale matematica.

Insegnare a costruire modelli, e non solo presentarne la sistemazione finale è importante per la

formazione degli studenti sotto più punti di vista. Partecipare attivamente al processo di

costruzione di particolari modelli consente di capire meglio anche i modelli che per motivi di

tempo o complessità vengono presentati solo nella loro forma finale. Questo da una parte permette

di utilizzare lo specifico modello che si sta studiando per risolvere problemi e descrivere situazioni

reali che si discostino dalla risoluzione di esercizi standard, dall’altra fornisce una comprensione

più profonda del ruolo del modello in generale nello studio della realtà, il rapporto tra realtà, sua

descrizione matematica e nostra rappresentazione mentale, e il suo utilizzo all’interno del metodo

scientifico. Una vera comprensione del metodo scientifico, che non si limiti alla ripetizione verbale

di una ricetta imparata a lezione (osservazione-ipotesi-esperimento-legge), ma che prenda

significato dalla sua applicazione in classe per lo studio di situazioni o fenomeni reali, oltre a

soddisfare l’obiettivo di una migliore conoscenza della specifica disciplina, aiuta a farsi un’idea

positiva di questa disciplina (la fisica come le altre scienze), in cui diventa chiaro il significato delle

approssimazioni e delle astrazioni, la loro utilità nell’indagine scientifica e nelle applicazioni

tecniche, e diventa evidente la tensione verso la generalità e l’unità, attraverso il riconoscimento

delle analogie tra teorie diverse. L’insegnamento tradizionale porta invece a considerarla come un

elenco di formule slegate tra loro e che funzionano solo nella realtà dei libri di testo, in cui

vengono applicate in esercizi standardizzati, ma che sembrano non avere alcuna utilità per

descrivere la realtà esterna [6][7]. Inoltre, una padronanza del metodo scientifico e dell’uso dei

modelli ne consente il loro utilizzo in situazioni diverse da quelle in cui sono stati appresi, e

contribuisce quindi alla formazione culturale generale dello studente, che sarà in grado, nella vita

quotidiana come in quella lavorativa, di analizzare informazioni e gestire situazioni in modo

7

consapevole e razionale. L’insegnamento a “pensare per modelli” può essere proposto già al

biennio con buoni risultati, sia nella comprensione dei modelli proposti, sia nello sviluppo della

capacità di costruire autonomamente modelli per affrontare argomenti nuovi [8]. E’ quindi

consigliabile impostare fin dall’inizio del percorso scolastico secondario superiore il corretto

approccio ai metodi e ai contenuti, dapprima lasciando che l’idea di modello e di teoria si formi

implicitamente attraverso gli esempi proposti e costruiti attivamente dagli studenti, e facendo

seguire successivamente una riflessione esplicita, fondata su riferimenti già in possesso degli

studenti, in modo da favorire comprensione e transfer.

I programmi ministeriali riconoscono l’importanza dell’insegnamento del metodo scientifico e

della capacità di costruzione e uso di modelli, ponendoli come obiettivi generali dell’insegnamento

delle materie scientifiche a diversi livelli e tipologie di scuola. Ad esempio nei programmi per il

biennio degli istituti tecnici si indicano, tra le finalità del corso “fisica e laboratorio”, <<in stretto

raccordo con le altre discipline scientifiche>>:

• la comprensione dei procedimenti caratteristici dell’indagine scientifica e la capacità

di utilizzarli;

• l’acquisizione di un corpo organico di contenuti e metodi finalizzati ad un’adeguata

interpretazione della natura;

• la comprensione delle potenzialità e dei limiti delle conoscenze scientifiche;

• l’acquisizione di un linguaggio corretto e sintetico;

• la capacità di analizzare e schematizzare situazioni reali e di affrontare problemi

concreti anche al di fuori dello stretto ambito disciplinare;

Le stesse finalità, espresse con le medesime parole, si trovano nei programmi Brocca per il triennio

del liceo scientifico, che aggiungono, specificando ulteriormente gli obiettivi:

• conoscere, scegliere e gestire strumenti matematici adeguati e interpretarne il

significato fisico;

• distinguere la realtà fisica dai modelli costruiti per la sua interpretazione;

• formulare ipotesi di interpretazione dei fenomeni osservati, dedurre conseguenze e

proporre verifiche;

• scegliere tra diverse schematizzazioni esemplificative la più idonea alla soluzione di

un problema reale;

• analizzare fenomeni individuando le variabili che li caratterizzano.

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In matematica, l’insegnamento di concetti e tecniche attraverso la modellizzazione della realtà,

permette di avere come punto di partenza un riferimento al reale, che stimola l’interesse e aiuta la

comprensione perché permette di dare significato a simboli e formule. Offre inoltre lo spunto per

predisporre attività in cui lo studente è soggetto attivo del proprio apprendimento, in

contrapposizione all’apprendimento passivo di una sistemazione formale di definizioni, assiomi e

teoremi, tipico dell’insegnamento tradizionale [9]. Il meccanismo di astrazione non viene imposto

come punto di partenza da cui dedurre le applicazioni particolari, ma diventa un processo

realizzato dagli stessi studenti, che possono apprezzare l’utilità di concetti generali per descrivere

situazioni diverse. Un apprendimento attivo facilita inoltre la percezione della disciplina come

costruzione umana, dinamica e in evoluzione, avvicinando lo studente a un approccio da

ricercatore, mentre l’insegnamento dogmatico induce la falsa idea di un sapere statico.

In definitiva, l’insegnamento dei modelli è importante dal punto di vista dei contenuti perché il

modello è uno strumento fondamentale delle discipline scientifiche, e si presta a essere usato per

una didattica finalizzata all’apprendimento significativo, aspetto centrale delle moderne teorie

cognitive, come il costruttivismo, perché riconosciuto più efficace nello stimolare la motivazione, la

comprensione e stabilizzazione dei contenuti e lo sviluppo di capacità, rispetto al cosiddetto

apprendimento ricettivo, che ha caratteristiche più addestrative che educative.

2 OSSERVAZIONE DEL CONTESTO

2.1 Istituti

Il tirocinio del primo anno si è svolto nel Liceo “M. Gioia” di Piacenza. Il liceo comprende tre

indirizzi principali (classico, linguistico e scientifico) con diverse sezioni sperimentali.

E’ un istituto che cerca di sfruttare al massimo le opportunità offerte dall’autonomia scolastica, non

solo introducendo indirizzi con un curricolo personalizzato, ma anche riservando una quota del

curricolo per dei corsi a scelta da parte dello studente, e offrendo un gran numero di attività

extracurricolari, di orientamento (in ingresso per gli studenti della secondaria di primo grado e in

uscita per gli studenti delle ultime classi), sportive, culturali, di volontariato, con l’obiettivo di

coinvolgere gli studenti nella vita della scuola anche oltre l’orario di lezione. Queste attività sono

principalmente pomeridiane, ma spesso le attività preparatorie si svolgono al mattino, con la

conseguenza che durante le lezione c’è sempre qualche studente assente perché impegnato in

qualcuna di queste attività.

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Il tirocinio del secondo anno si è svolto nel Liceo Scientifico “L. Respighi” di Piacenza. Pur

comprendendo diversi indirizzi e sperimentazioni, a differenza del Liceo Gioia è un liceo

esclusivamente scientifico. Si presenta inoltre come più tradizionale, con attività extracurriculari

concentrate al pomeriggio e più orientate al recupero o all’approfondimento disciplinare

(Laboratori di matematica, Mercoledì della Scienza, corsi di preparazione alle Olimpiadi,

certificazione informatica o linguistica, progetti in collaborazione con università …) anche se non

mancano attività come corsi di educazione alla salute, viaggi d’istruzione, corsi di fotografia e

cinema, il gruppo musicale e il giornalino d’istituto.

Entrambi i licei si presentano, attraverso il POF e il loro sito web, come istituti orientati alla

formazione globale della persona e non solo culturale; come integrati nel territorio e attenti

all’educazione alla cittadinanza. Differiscono tuttavia nella realizzazione pratica di questi intenti:

mentre il Gioia si presenta come luogo rivolto a tutta la cittadinanza, ad esempio con corsi di

lingue pomeridiani aperti a tutti e la biblioteca/mediateca aperta per tutta la giornata e che fa

prestito anche agli esterni, il Respighi rivolge le sue attività agli studenti, mostrandosi più come

scuola tradizionale; significativo ad esempio il fatto che la biblioteca sia accessibile solo a studenti

e docenti, e solo per due ore a giorno, di mattina.

2.2 I tirocinio: Docente accogliente

L’osservazione della docente accogliente è avvenuta in tutte e tre le sue classi, una prima, una

seconda e una quinta. Questo ha permesso di osservare come la docente adatta pratica didattica e

il rapporto con la classe a seconda del contesto.

Prevalentemente, la lezione è di tipo dialogato, e può tendere più verso la lezione frontale

tradizionale o verso una maggiore partecipazione degli alunni a seconda del contenuto e della

classe. Ad esempio, per introdurre le disequazioni in seconda, ha annunciato il nuovo argomento e

proposto un problema (trovare i numeri reali che addizionati a 5 danno un numero maggiore di 7),

risolvendolo lasciando molto spazio alla classe ma guidando il procedimento: ha formalizzato il

problema chiedendo ai ragazzi di scegliere nomi e incognite e facendo proporre loro la

disuguaglianza n+5>7; ha guidato la soluzione con un dialogo del tipo (D=domanda, R=risposta):

− D: quante sono le soluzioni? R: infinite

− D: troviamone qualcuna. R: 4, 5, 6

− D: troviamone qualcuna più piccola. R: 2.01, 2.001, …

− D: quindi come devono essere le soluzioni? R: maggiori di 2

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a questo punto ha formalizzato l’insieme delle soluzioni (con la scrittura per caratteristica o come

intervallo); ha proposto altri problemi proponendo di ricercare le regolarità; ha istituzionalizzato la

definizione di disequazione e fatto proporre ai ragazzi la definizione di disequazioni equivalenti,

facendo nascere l’esigenza di determinare dei principi di equivalenza, che ha fatto proporre agli

studenti partendo da esempi per poi istituzionalizzarli.

Questo schema di lezione sembra avvicinarsi al metodo comportamentista di suddividere in

piccoli passi e procedere per domanda e risposta, ma invece di prevedere un lavoro individuale

consente il confronto tra allievi e quindi quell’aspetto sociale considerato fondamentale per la

costruzione dei concetti dal modello socio-costruttivista. Questo risulta più evidente nella classe

seconda, molto partecipativa e motivata, mentre la lezione risulta più frontale nelle classi prima e

quinta, di atteggiamento più passivo, dove l’argomento è essenzialmente presentato

dall’insegnante, con poche domande di stimolo ad anticipare la conclusione o a proporre una

definizione. Talvolta è l’argomento stesso che richiede una lezione frontale più che dialogata, come

i teoremi di Euclide e Pitagora che sono stati introdotti in seconda in modo assiomatico,

enunciando ipotesi, tesi e dimostrazione.

Il metodo della lezione dialogata, in cui le domande sono talvolta rivolte genericamente alla classe

e talvolta dirette a specifici studenti, consente alla docente un continuo feedback della

preparazione e delle capacità degli allievi, di cui tiene conto in modo informale come impressione

generale e non con una valutazione quantitativa da affiancare a quelle delle verifiche ufficiali.

Consente inoltre di valorizzare gli interventi positivi e di stimolare chi si distrae. La docente è

molto attenta a pretendere attenzione e concentrazione da tutti, come dimostra la cura anche dei

dettagli: nelle classi del biennio, costituite da ragazzi giovani che tendono più facilmente a

distrarsi, fa alzare la classe in piedi al suo ingresso, per dare un segnale di stacco che li induca a

predisporsi alla lezione, preparando il materiale e concentrandosi; quando spiega, cammina tra i

banchi, per attirare meglio l’attenzione su di sé e controllarli (infatti cammina di più in prima, dove

sono molto più distratti); compila il registro a fine lezione, quando i ragazzi sono necessariamente

più stanchi.

2.3 I tirocinio: Classe I scientifico B

La classe è una prima liceo scientifico sperimentale (Brocca), composta da 25 alunni. La materia

insegnata dalla DA è Laboratorio di Fisica.

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La classe appare in generale abbastanza passiva; i ragazzi partecipano poco e difficilmente

intervengono se non sono sollecitati direttamente, si distraggono facilmente e spesso è necessario

dire a qualcuno di loro esplicitamente di tirare fuori libro e quaderno o di prendere appunti. Sono

comunque educati, non c’è mai confusione né polemiche particolari, e nonostante l’apparente

passività e disattenzione sono abbastanza diligenti da ottenere risultati complessivamente

sufficienti. I risultati del primo quadrimestre sono di 4 insufficienze su 25 alunni, 19 hanno voti tra

sufficiente e discreto, e solo due hanno voti più che buoni. La docente accogliente conferma

l’impressione di generale passività, attribuendola al fatto che in prima la classe deve ancora fare

gruppo, devono ancora svilupparsi le dinamiche che stimolino a partecipare, a voler contribuire

alla lezione e a voler lavorare insieme. Questo incide anche sulla omogeneità dei risultati,

accentuata anche dall’età (le eccellenze emergono di solito nel triennio). Durante il Consiglio di

Classe ho potuto constatare che anche i docenti delle altre materie confermano l’impressione

generale sulla classe, evidenziando soprattutto l’atteggiamento nei laboratori, che viene

considerato un momento più di gioco che di lezione, un momento di scarsa importanza per cui

non vale la pena impegnarsi, anziché un’occasione per imparare in modo interessante e attivo.

Questo in parte comprova l’immaturità precedentemente rilevata, ma parallelamente tutti i docenti

di materie di laboratorio (scienze, fisica, informatica) evidenziano la contraddizione di una

maggiore attenzione rivolta alle lezioni frontali rispetto a quelle di laboratorio, fatto insolito per

una prima.

Lo schema didattico seguito dalla docente accogliente è essenzialmente quello di presentare

brevemente l’esperimento in classe, farlo svolgere in laboratorio, analizzare i risultati in classe e

spiegare la teoria alla base dell’esperimento, quindi di svolgere una verifica scritta, e interrogare

successivamente solo gli insufficienti. Durante l’introduzione in classe vengono evidenziati il più

possibile gli aspetti del fenomeno in esame che sono interessanti da osservare, e anticipata il meno

possibile la teoria. L’esperimento solitamente richiede materiale comune, che viene portato dai

ragazzi stessi e consente un controllo da parte dei ragazzi dell’intero esperimento, dalla

preparazione all’effettiva misura/osservazione e analisi dei dati; i gruppi sono scelti solitamente

dall’insegnante, cercando di uniformare il livello dei gruppi. I ragazzi non mostrano particolari

preferenze o conflittualità e lavorano in ogni gruppo in cui sono inseriti; interessante è l’influenza

del genere sul funzionamento del gruppo: in gruppi di tre persone di genere diverso, i due in

maggioranza (sia maschi sia femmine) operano praticamente e il terzo sta seduto e annota; nei

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gruppi con componenti dello stesso genere tutti e tre sono in piedi e partecipano alla parte

‘manuale’ dell’esperimento.

L’esperimento è guidato da una scheda che indica passo-passo cosa fare e cosa osservare, propone

delle domande di analisi delle osservazioni, e la cui compilazione sostituisce la redazione di una

vera e propria relazione, in quanto la docente ritiene che in prima è troppo presto per pretendere

qualcosa di diverso da una semplice cronaca, che risulterebbe inutile.

La verifica è strutturata solitamente con una parte di test a risposta multipla per verificare la

comprensione della teoria, e una parte con qualche problema di applicazione in cui talvolta

bisogna usare i dati raccolti durante l’esperienza in laboratorio (e per cui possono tenere la scheda

compilata). Durante l’interrogazione controlla il quaderno dell’interrogato e propone sia domande

di teoria sia esercizi e problemi, coinvolgendo gli altri facendo calcolare il risultato cui si è giunti

alla lavagna, o facendo rispondere alle domande su cui l’interrogato è in difficoltà, e

approfittandone per dare chiarimenti di teoria collegandosi alle domande dell’interrogazione.

2.4 I tirocinio: Classe II scientifico A / II classico B

La classe deriva dalla fusione della IIA liceo scientifico sperimentale (Brocca), composta da 15

alunni, e la IIB liceo classico sperimentale a opzione europea, composta da 9 alunni. La materia

insegnata dalla DA è Matematica. Questa particolare composizione della classe implica che per

alcune materie le due classi sono separate, e per altre, come matematica, seguono insieme. Questo

non sembra avere influenza sulle relazioni tra i ragazzi, che sembrano interagire bene come classe

di 25 alunni e non appaiono divisi in due gruppi separati. Influenza tuttavia l’azione didattica e i

risultati, in quanto i due gruppi, in quanto classi diverse, possono avere attività extracurricolari in

giorni diversi, quindi ci si ritrova una volta con una mezza classe e una volta l’altra, in momenti

diversi.

Come già anticipato, l’atteggiamento di questa classe è non solo di attenzione e diligenza, ma quasi

tutti mostrano di voler partecipare e di essere interessati a imparare e non solo al risultato

scolastico. Gli studenti non si limitano a rispondere quando sollecitati dall’insegnante o a porre

domande di chiarimenti sulla spiegazione in corso, ma fanno proposte anche se non stimolati

direttamente, durante la correzione degli esercizi propongono spesso più soluzioni alternative, si

consultano spontaneamente tra di loro di fronte a un problema e pongono domande anche legate a

curiosità suggerite dalla lezione (ad esempio durante la spiegazione dei principi di equivalenza

per le disequazioni, uno studente ha chiesto se esiste un simbolo per indicare l’equivalenza in

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questo caso) e che non si limitano ai contenuti specifici proposti, anzi talvolta anticipandoli (ad

esempio dopo la dimostrazione del I teorema di Euclide qualcuno ha proposto come usarlo per

dimostrare il teorema di Pitagora, che sarebbe stato argomento della lezione successiva). Sotto

questo aspetto la classe è abbastanza omogenea, e anche i risultati riflettono questo atteggiamento

positivo: le medie del primo quadrimestre riportano una sola insufficienza grave, sei quasi

sufficienze (media intorno al 5½), e per il resto i voti sono tra il sufficiente e il discreto, con le

sufficienze concentrate maggiormente nella classe a indirizzo classico. Tuttavia, solo uno ha voti

più che buoni. La DA e il Consiglio di Classe confermano la buona impressione generale

sull’atteggiamento e il rendimento ma evidenziano come nessuno sia particolarmente brillante.

Anche in questo caso si può applicare l’idea, già espressa a proposito della classe prima, che le

eccellenze emergano maggiormente al triennio. Questa classe mostra comunque più maturità

rispetto alla I sc B, non solo per l’anno di differenza (la DA testimonia che erano più maturi anche

l’anno precedente), soprattutto per il comportamento tenuto in laboratorio: lavorano in modo

ordinato, si consultano senza fare confusione, considerano il laboratorio con lo stesso impegno e

attenzione di una lezione in classe.

Il programma è presentato essenzialmente con il metodo dialogato discusso precedentemente, e

con il supporto del laboratorio di informatica, in cui viene usato il software Cabri per attività di

costruzioni geometriche per la migliore comprensione dei teoremi; le attività sono guidate passo-

passo e prese dal loro libro di testo.

La valutazione avviene attraverso interrogazioni e verifiche scritte tradizionali.

2.5 II tirocinio: Docente accogliente

L’osservazione del docente accogliente è avvenuta principalmente in due delle tre classi in cui

insegna, per motivi di orario, e questo ha reso obbligata la scelta delle classi in cui svolgere

l’azione, la quarta e la quinta, anche se il DA ha anche una terza.

La metodologia didattica è essenzialmente tradizionale, con una lezione frontale e logocentrica,

secondo la classificazione di Titone [10], verifiche orali e scritte comprendenti domande di teoria e

problemi. La scelta di non proporre attività di gruppo o laboratoriali, o comunque intese a rendere

gli studenti più attivi nella costruzione delle proprie conoscenze, è dettata nel docente dalla

mancanza di tempo degli indirizzi tradizionali cui appartengono queste due classi, e dalla

preferenza a svolgere un programma il più possibile completo dal punto di vista dei contenuti,

essendo matematica e fisica due materie caratterizzanti un liceo scientifico.

14

La lezione-tipo consiste nella spiegazione da parte dell’insegnante, seguita da esercizi di

applicazione, in parte svolti dal docente, in parte lasciati svolgere in classe dai ragazzi. Viene

quindi lasciato spazio agli studenti di lavorare da soli, ma sempre come applicazione di quanto

appena spiegato e mai come mezzo di costruzione attiva del sapere. La lezione non è dialogata,

non viene stimolata la partecipazione durante la spiegazione, che tuttavia viene frequentemente

intervallata da momenti in cui gli studenti devono risolvere brevi esercizi o effettuare calcoli da

soli, in modo da fissare e comprendere meglio quanto appena ascoltato. In questo senso i contenuti

vengono suddivisi in parti e proposti gradualmente, secondo la visione comportamentista.

La volontà di raggiungere buoni risultati in molti studenti in poco tempo porta il docente a

classificare i contenuti in modo da poter fornire algoritmi risolutivi e tecniche meccaniche,

soprattutto all’inizio della presentazione di un argomento. Assegna pochi compiti a casa, sia in

matematica sia in fisica, lasciando alla responsabilità dei ragazzi, che essendo al triennio

dovrebbero averne la capacità, di capire se hanno bisogno di ulteriore esercizio.

In fisica, la preferenza verso la completezza del programma e la mancanza di tempo si traducono

in un’impostazione che parte dalla formulazione matematica, in modo da poter fornire in breve

tempo la sistemazione finale di una teoria, completata successivamente da qualche riferimento a

fenomeni osservabili quotidianamente o ad applicazioni tecnologiche, piuttosto che partire da

fenomeni noti agli studenti o da attività di laboratorio da cui ricavare insieme le equazioni

descrittive e costruire un modello o una teoria.

Dal punto di vista del rapporto con gli studenti, riesce ad alternare i momenti di lezione a momenti

più rilassati di scambi di battute e attenzione ai problemi dei ragazzi, ottenendo rispetto e ordine

durante le lezioni, mantenendo tuttavia una certa confidenza.

2.6 II tirocinio: Classe IV H

La classe è a indirizzo tradizionale ed è composta da 19 alunni. Il docente accogliente insegna in

questa classe da quest’anno per quanto riguarda la matematica, e dall’anno scorso per la fisica.

Durante le lezioni sono in generale attenti, anche se quelli seduti in fondo alla classe tendono a

distrarsi; le chiacchiere sono comunque a bassa voce e saltuarie; solo raramente il docente deve

riprendere qualcuno, perché disturba o non svolge il lavoro proposto. La partecipazione è limitata

alla richiesta di chiarimenti durante gli esercizi svolti in classe o a fine lezione, mai durante la

spiegazione; non capita mai che qualcuno faccia osservazioni originali o anticipi i risultati esposti.

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Durante il consiglio di classe emerge, a proposito del comportamento, un quadro differenziato a

seconda dei docenti, alcuni dei quali lamentano una distrazione continua durante le lezioni che

non ho osservato durante le ore di matematica. Riferendosi invece alle capacità e alla preparazione,

tutti i docenti sono concordi nel dire che in media la classe ha buone capacità, ma non hanno

costanza nel lavoro a casa, infatti hanno risultati carenti nelle materie in cui bisogna essere più

sistematici, come matematica e latino. Emerge anche il problema del ricambio continuo dei

professori, che dalla prima vengono cambiati quasi completamente ogni anno; questo provoca

necessariamente una certa frammentazione nel programma (il DA ha dovuto riprendere argomenti

non solo dell’anno precedente, ma addirittura del biennio, come le disequazioni di secondo grado

o fratte) e la difficoltà da parte dei ragazzi di acquisire un metodo di studio sistematico, avendo

ricevuto input continuamente differenti. Tuttavia, pur riconoscendo il problema, gli studenti,

attraverso i loro due rappresentanti di classe, mostrano maturità nel non usarlo come scusa per il

loro rendimento, ma dimostrando consapevolezza del fatto che anzi questa situazione richiede un

maggior impegno da parte loro.

Nell’ultima verifica tuttavia ci sono state solo due sufficienze, che hanno indotto il DA a scrivere

una lettera ai genitori. Dopo questo episodio l’atteggiamento è migliorato, e il maggior impegno

nel lavoro domestico si è reso evidente soprattutto con l’aumentare di studenti che chiedono di

correggere anche esercizi non esplicitamente assegnati.

2.7 II tirocinio: Classe V E

La classe è a indirizzo tradizionale ed è composta da 19 alunni. Il docente accogliente insegna in

questa classe dall’anno scorso, sia matematica sia fisica.

Dal punto di vista del comportamento, è una classe molto più tranquilla della IV. Durante le

lezioni nessuno chiacchiera o disturba, e quasi tutti seguono sul libro e prendono appunti. Sono

molto educati, anche in senso formale (ad esempio si alzano in piedi quando entra in aula un

professore o un collaboratore), e dimostrano di essere un gruppo molto unito nei momenti in cui si

possono rilassare e parlare tra loro, come nei momenti in cui il professore compila il registro, o nei

cambi d’ora. Il consiglio di classe conferma che è una classe tranquilla, dove si fa bene lezione, ma

dal punto di vista del rendimento ci sono diversi debiti non saldati e non si rilevano eccellenze,

anche se nel confronto con altre classi quinte risultano in media migliori. Lavorano poco a casa e

sembrano non essere preoccupati per l’Esame di Stato; qualche docente lamenta una certa

immaturità nel fatto che pretendono di avere il lavoro facilitato, richiedendo le interrogazioni

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programmate. L’osservazione in classe conferma quanto emerso dal consiglio di classe. La

partecipazione alle spiegazioni è ridotta a svolgere quanto assegnato, ma quasi mai chiedono

chiarimenti o fanno osservazioni. Anche quando il professore propone domande, alla classe o a

persone specifiche, durante le spiegazioni, spesso non sanno rispondere, dimostrando un

atteggiamento passivo nei confronti delle lezioni e di non studiare in modo continuativo. Durante

gli esercizi svolti in classe molti dimostrano lacune gravi in matematica (addirittura qualcuno non

ricorda il teorema di Pitagora, o non sa calcolare la distanza tra due punti note le coordinate), e

non tutti svolgono gli esercizi assegnati per casa. Diverse volte il docente accogliente ha ritenuto di

fare loro un discorso per stimolarli a cambiare atteggiamento, per poter recuperare le lacune in

vista dell’Esame di Stato, soprattutto in matematica. Anche in fisica i risultati sono poco

soddisfacenti: nell’ultima verifica di fisica hanno riportato 6 sufficienze su 19.

3 AZIONE I TIROCINIO – FISICA (IB)

Nella classe I sc B è stata presentata un’unità didattica sulla fluidostatica.

3.1 Preparazione

Motivazioni e vincoli

La fase di azione in questa classe si è inserita a fine programma (allegato 1), dopo le esperienze

sull’elettrizzazione. La DA ha proposto, come possibile argomento alternativo al movimento e

all’esperimento sul piano inclinato previsto dal programma, l’argomento fluidostatica associato a

un esperimento sulla legge di Stevino presentato ai Giochi di Anacleto del 2006. Lo studio della

cinematica, e dell’esperimento sul piano inclinato in particolare, offre l’interessante opportunità di

evidenziare le caratteristiche essenziali del metodo scientifico, anche seguendo un approccio

storico di analisi di passi presi dai “Discorsi intorno a due nuove scienze” di Galileo [2]. Tuttavia

proprio un’analisi storica mostra che i concetti fondamentali della cinematica, di velocità,

accelerazione, quantità istantanea, e le leggi del moto, non sono stati sviluppati correttamente fino

al diciassettesimo secolo, mentre i concetti fondamentali legati alla fluidostatica erano noti già

nell’Antichità ai Greci. Ho quindi ritenuto più opportuno affrontare in una prima classe concetti

legati all’equilibrio e non al movimento, scegliendo di trattare la fluidostatica.

Considerando la natura del corso, più orientato a fornire una comprensione dei metodi della

scienza attraverso la pratica in laboratorio, che a fornire contenuti specifici, non avevo vincoli nella

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scelta dei contenuti per sviluppare l’argomento; ho dovuto solo tenere conto del tempo a

disposizione (una decina di ore), che ho organizzato prevedendo due esperienze di laboratorio.

Per la progettazione degli esperimenti ho seguito l’abitudine della DA di utilizzare il più possibile

materiale comune e setup semplici. In questo modo gli studenti dovrebbero sviluppare l’idea che

la fisica descrive la realtà e non è solo una serie di leggi ideali che “funzionano” solo con sofisticate

attrezzature di laboratorio progettate apposta; inoltre, potendo controllare anche la fase di

preparazione oltre che di raccolta dati, si abituano a considerare tutti i dettagli di un esperimento,

e quindi a comprendere la differenza tra uno schema ideale e una situazione reale, a distinguere

tra le scelte necessarie e quelle opportune, tra errore nell’impostazione dell’esperimento e

nell’interpretazione successiva.

Analisi preliminare

I nuclei concettuali dell’argomento da trattare si possono riassumere nella mappa concettuale di

Figura 1.

Figura 1. mappa concettuale di fluidostatica.

FLUIDO

assenza di forma propria

forze ⊥ superficie

isotropia pressioni

all’equilibrio assenza sforzi di taglio

LEGGE DI

ARCHIMEDE

LEGGE DI STEVINO

PRINCIPIO DI

PASCAL (legge fenomenologica)

implica è soggetto a

implica

implicano

applicazioni

implica

torchio idraulico

legge dei vasi comunicanti

ESP LABORATORIO misura densità dell’olio

ESP LABORATORIO studio galleggiamento

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Il libro di testo adottato [11] tratta gli argomenti di fluidostatica in due diversi capitoli, uno

dedicato a “le forze e la pressione”, in cui la pressione atmosferica, il principio di Pascal e la legge

di Stevino sono affrontate insieme a un’introduzione delle forze come grandezze vettoriali, alle

forze di attrito, elastiche e gravitazionale; il successivo dedicato a “le forze e l’equilibrio”, in cui il

galleggiamento dei corpi è trattato insieme all’equilibrio dei corpi solidi, appesi o appoggiati. Pur

avendo scelto di limitare l’argomento alla sola fluidostatica, con particolare attenzione ai liquidi,

non ho ritenuto di dover fornire materiale diverso dal libro di testo, organizzato in paragrafi brevi

e indipendenti. Dal punto di vista della correttezza, il testo contiene degli errori che ho fatto notare

a lezione (la pressione non è definita come F⊥/S ma F/S; il punto di applicazione della massa di

acqua spostata viene fatto coincidere con il baricentro del corpo immerso, in un esercizio si assume

come uguale la pressione alla base di un bicchiere largo e di un bicchiere col gambo di vetro). Nella

presentazione dei contenuti è essenziale e manca di mostrare in diversi casi quando una legge o

una proprietà ne implica un’altra; su questi collegamenti, importanti per mostrare come la fisica

organizza i concetti in modo da spiegare il maggior numero di fenomeni a partire da pochi

principi, ho quindi insistito molto a lezione.

Per quanto riguarda gli esercizi, il libro ne propone pochi e ho integrato con un altro testo [12],

equivalente per semplicità di trattazione ma più ricco di esercizi e problemi un po’ articolati. Il

libro adottato infatti tratta brevemente molti argomenti, con l’intento di dare le basi di tutta la

fisica classica, dalla meccanica alla termodinamica, la fluidostatica, l’ottica e l’elettromagnetismo; il

programma della DA si concentra invece su pochi concetti chiave, con l’attenzione più

all’acquisizione di un metodo che alla vastità dei contenuti.

Unità didattica

Prerequisiti matematici: equazioni lineari, proporzionalità diretta.

Prerequisiti fisici: grandezze (forza, peso, massa, densità, volume, superficie), concetti (equilibrio),

incertezze di misura.

Ostacoli: didattici (confusione tra massa e peso, indotta dall’uso del kgp nel corso di scienze,

difficoltà a vedere una legge fisica come un’equazione, indotta dall’uso delle formule inverse nel

corso di scienze); epistemologici (il comportamento dei solidi si acquisisce prima, lo si considera

quindi più naturale, e si tende ad estenderlo ai fluidi, creando dei misconcetti)

Obiettivi specifici: comprensione dei concetti e delle leggi fondamentali della fluidostatica

(definizione e proprietà di fluido, liquido, gas; pressione; principio di Pascal, legge di Stevino,

legge di Archimede)

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Obiettivi generali: differenza tra legge fenomenologica e legge dimostrata da altre e verificata

sperimentalmente; acquisizione del metodo sperimentale (osservazione-ipotesi-esperimento-

intepretazione-legge); autonomia in laboratorio (capacità di compiere scelte operative, formulare

congetture, effettuare controlli per individuare eventuali errori)

Obiettivi metodologici: valutazione delle incertezze di misura, rappresentazione dei dati in grafici e

tabelle; lavorare in gruppo

Percorso didattico Il percorso riportato è quello effettivamente svolto, e corrisponde a quello predisposto, a parte la

scansione temporale, non prevista nella preparazione e adeguata alla reazione della classe, e la

rinuncia a qualche esempio o applicazione, dettagliati nel paragrafo 3.2.

TEMPO LEZIONE CONTENUTI OBIETTIVI 1h introduzione alla

fluidostatica / Principio di Pascal

Concetto di pressione1, caratterizzazione di fluido ideale2. (esempi puntine, racchette da neve) Pressione nel caso dei fluidi: forze normali e indipendenti dall’orientazione della superficie (esempi ventose, fiale). Principio di Pascal (esperimento pag. 168, torchio idraulico).

1Comprensione del ruolo e dell’uso delle grandezze fisiche 2Costruzione di un modello semplice e approssimato a partire da proprietà di oggetti reali.

1h esercitazione esercizi su pressione, densità, massa e peso, principio di Pascal, conservazione del volume nei liquidi

Verifica dei prerequisiti. Motivare la soluzione di un esercizio

2h LABORATORIO: misura della densità dell’olio

Osservazione: indipendenza della pressione dall’orientazione e dalla forma. Osservazione: confronto dislivelli di liquidi di densità diverse → proporzionalità. Ipotesi: pressione proporzionale a densità e profondità → applicazione alla misura della densità dell’olio → verifica con misura indipendente (m/V)

Acquisizione del metodo sperimentale (osservazione-ipotesi-esperimento-intepretazione-legge). Autonomia in laboratorio (capacità di compiere scelte operative, formulare congetture, effettuare controlli per individuare eventuali errori)

2h Legge di Stevino Commento schede dell’esperimento e discussione: la pressione è dovuta al peso ma si esercita anche verso l’alto (confronto con solidi); analisi dettagliata della situazione dell’equilibrio, legato ai dislivelli e indipendente dalla forma dei due recipienti; analisi dati raccolti: proporzionalità tra i dislivelli di olio e acqua. Legge di Stevino: suggerita dall’esperimento, si può dedurre teoricamente da leggi già note e dal peso di una colonna di liquido. Conseguenza: legge dei vasi comunicanti. Applicazioni: paradosso idrostatico (botte di Pascal).

Distinzione tra legge fenomenologica e legge dimostrata da altre e verificata sperimentalmente. Riconoscere una legge fisica come un’equazione.

20

20 min Introduzione esperimento sul galleggiamento

Equilibrio dei solidi nei fluidi: considerazioni su solidi sostenuti da solidi (unica grandezza importante è il peso). considerazioni sul galleggiamento (esempi: nave pesante galleggia, moneta leggera affonda, gnocchi prima affondano poi galleggiano quando aumentano di volume): quali proprietà del solido e del liquido contano? Formulazione di ipotesi da verificare con l’esperimento successivo.

Analizzare osservazioni qualitative per scegliere gli obiettivi e le grandezze rilevanti di un esperimento.

3h LABORATORIO: equilibrio di solidi in liquidi

Osservazione: dipendenza del peso dell’acqua spostata e della spinta esercitata dal liquido da: volume immerso, peso dell’oggetto, densità dell’oggetto, profondità dell’oggetto. Osservazione: dipendenza del volume immerso da peso/densità dell’oggetto e da densità del liquido.

Acquisizione del metodo sperimentale (osservazione-ipotesi-esperimento-intepretazione-legge). Autonomia in laboratorio (capacità di compiere scelte operative, formulare congetture, effettuare controlli per individuare eventuali errori)

2h Legge di Archimede

commento scheda dell’esperimento e discussione risultati: un corpo riceve una spinta verso l’alto sia che galleggia sia che affondi; la spinta è indipendente dalla profondità; questo è compatibile con la pressione trovata nella legge di Stevino (dimostrazione nel caso semplice di un parallelepipedo); ruolo di: peso, densità, volume oggetto, densità fluido. Enunciato della legge di Archimede e definizione di peso specifico.

Distinzione tra legge fenomenologica e legge dimostrata da altre e verificata sperimentalmente. Riconoscere una legge fisica come un’equazione.

1h ripasso problemi di ripasso rinforzo e recupero 2h verifica

Esperimento 1: misura della densità dell’olio

Materiale

In laboratorio: tubo di gomma, carta millimetrata, acqua

Da studenti: bottiglia, vassoio, scatola su cui fissare il tubo a U e la carta mm, olio, galleggiante di polistirolo, righello, elastico, cannuccia, scotch, forbici

Setup e procedimento

Immergendo il tubo nell’acqua a diverse profondità, si forma un dislivello nell’olio.

Ogni gruppo ha una bottiglia di larghezza diversa, per studiare se il dislivello dell’olio dipende dalla forma del recipiente d’acqua.

Si misurano i dislivelli dell’olio per ogni dislivello che si forma nell’acqua immergendo il tubo, e si ricava la legge che lega le due grandezze.

Si applica la legge ai dati per calcolare la densità dell’olio.

Scheda studente

Segue la scheda consegnata agli studenti per guidare il lavoro in laboratorio e la riflessione sulle osservazioni fatte.

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MISURA DELLA DENSITÀ DELL’OLIO Ti aspetti che sia più denso l’olio o l’acqua? In base a quali considerazioni?

Immergi il tratto libero del tubo nell’acqua della bottiglia. Cosa succede all’olio aumentando la profondità? La pressione dell’acqua aumenta con la profondità perché aumenta il peso del liquido sovrastante. Per esercitare la stessa pressione alla sua base, una colonna di liquido più denso dell’acqua dovrà avere un’altezza maggiore o minore di quella dell’acqua? Dalle considerazioni precedenti, puoi dire se l’olio è più o meno denso dell’acqua? Perché?

Immergi il tubo nell’acqua a una certa profondità, che misuri con il righello. Mantenendo fermo il tubo, prendi nota del dislivello tra le due superfici libere dell’olio usando la carta millimetrata. Prendi i valori per almeno 5 profondità, cercando di coprire un intervallo ampio di profondità, da 5 cm al fondo della bottiglia. Completa la seguente tabella.

ACQUA OLIO profondità pelo libero di sx pelo libero di dx dislivello

MISURA 1 MISURA 2 MISURA 3 MISURA 4 MISURA 5 MISURA 6

Che relazione c’è tra il dislivello dell’olio e la profondità del tubicino in acqua?

Per ogni profondità a cui è posto il tubicino in acqua, questa esercita una pressione sull’olio, provocando un dislivello finché la pressione esercitata dall’olio non compensa quella dell’acqua. Dalle considerazioni precedenti e da quello che hai osservato, ti sembra lecito supporre che la pressione sia proporzionale alla densità del liquido e alla profondità? Perché?

Come puoi ottenere, dai dati raccolti in questo esperimento e dall’ipotesi appena fatta, la densità dell’olio? Ti serve anche la densità dell’acqua; puoi trovarla sapendo che l’acqua contenuta in una bottiglia di 1l pesa 1kg.

Per verificare che la nostra ipotesi sia corretta, dobbiamo confrontare la densità appena misurata con quella misurata con un’altra tecnica. Descrivi come si potrebbe fare in modo semplice.

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Esperimento 2: studio del galleggiamento

Materiale

In laboratorio: supporti regolabili, acqua, bicchieri con gancio ed elastico, aste in fil di ferro da fissare ai bicchieri e usare come indicatori, adesivi graduati da fissare agli ovetti

Da studenti: ovetti di plastica, bottiglia bassa, vaschetta, spago, scotch di carta, sabbia, metro di carta

Setup e procedimento

Il bicchiere viene fissato al supporto con l’elastico e al bicchiere viene agganciata un’asta che faccia da indicatore; fissando il metro di carta al supporto si è costruito così un dinamometro.

Alla base del bicchiere viene agganciato l’ovetto, cui è apposto un adesivo graduato, e che viene riempito con diverse quantità di sabbia e immerso nell’acqua. Si può quindi misurare approssimativamente il peso dell’oggetto immerso, la frazione di volume immersa e la spinta esercitata dall’acqua, osservando l’allungamento dell’elastico, le tacche immerse e l’accorciamento dell’elastico durante l’immersione, rispettivamente.

Per consentire di staccare e riattaccare l’ovetto al bicchiere quando si cambia la quantità di sabbia, è stata preparata una gabbietta di fil di ferro che rimane appesa al bicchiere, e che permette di inserire e disinserire l’ovetto comodamente per aprirlo.

La bottiglia in cui viene immerso l’oggetto è piena fino all’orlo, in modo che tutta l’acqua spostata venga raccolta nella vaschetta sottostante, e quindi versata nel bicchiere, in modo da poterne misurare il peso.

Vengono raccolti dati del peso dell’acqua spostata, della spinta dell’acqua e del volume immerso per diversi pesi dell’oggetto, cioè per diverse quantità di sabbia.

Viene ripetuto l’esperimento dopo aver salato l’acqua per studiare l’influenza della densità del liquido.

Scheda studente

Segue la scheda consegnata agli studenti per guidare il lavoro in laboratorio e la riflessione sulle osservazioni fatte.

IL GALLEGGIAMENTO

Domande preliminari Immergendo un oggetto in un liquido, qual è il volume dell’acqua spostata? pari al volume dell’oggetto dipende dal recipiente proporz. al peso dell’ogg. Immergendo solo una parte dell’oggetto in un liquido, qual è il volume dell’acqua spostata? pari al volume dell’oggetto pari al V della parte immersa dell’ogg. dipende dal recipiente Esperimento 1

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Appendi il bicchiere al supporto con l’elastico e fissa l’asta al bicchiere con lo scotch. Segna la posizione di equilibrio sul metro. In questo modo hai un dinamometro che misura le forze in centimetri. Poni la bottiglia nella vaschetta, in modo da riuscire a raccogliere tutta l’acqua tracimata. Riempi la bottiglia fino all’orlo. Riempi l’ovetto con diverse quantità di sabbia e per ognuna:

a) appendi l’ovetto al bicchiere e misura il peso con il dinamometro b) immergi nella bottiglia segnando di quanto si alza l’asta, cioè la forza Fa esercitata dall’acqua. c) versa l’acqua tracimata nel bicchiere segnando di quanto si abbassa l’asta, cioè il peso dell’acqua

tracimata Pa, e il valore a cui arriva l’asta, cioè la risultante P-Fa+Pa. Riempi la tabella con i valori ottenuti.

a) peso ovetto P

a) n° tacche immerse*

b) spinta dell’acqua Fa

c) peso acqua spostata Pa

c) risultante P-Fa+Pa

RIEMPI a circa ½ RIEMPI a circa

3/4

RIEMPI tutto RIEMPI tutto**

* se affonda completamente scrivere semplicemente “affonda” ** abbassa il supporto in modo che l’ovetto rimanga immerso a una profondità maggiore. Riazzera il dinamometro.

Indica come variano Pa e Fa al variare dei pesi P dell’ovetto. In particolare, indica se dipendono da peso, volume totale, volume immerso, densità dell’ovetto.

La pressione dell’acqua sull’ovetto è proporzionale alla profondità, per la legge di Stevino. Quello che hai osservato è compatibile con tale legge? Giustifica la risposta.

Esperimento 2 Sala l’acqua nella bottiglia e ripeti l’esperimento 1

a) peso ovetto P

a) n° tacche immerse

b) spinta dell’acqua Fa

c) peso acqua spostata Pa

c) risultante P-Fa+Pa

RIEMPI a circa ½ RIEMPI a circa

3/4

RIEMPI tutto RIEMPI tutto**

A parità di peso dell’ovetto, quali grandezze sono cambiate rispetto a prima? Come potresti usare i dati dei due esperimenti per trovare la densità dell’acqua salata (sapendo che quella dell’acqua è 1g/cm3)?

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3.2 Lezioni

Introduzione alla fluidostatica

Le prime lezioni erano intese a fornire i concetti necessari ad affrontare e a comprendere gli

esperimenti relativi alle leggi di Stevino e Archimede, cioè essenzialmente la definizione di

pressione, le proprietà dei fluidi e il principio di Pascal. Ho impostato questa fase con lezioni

frontali, cercando di stimolare interventi e proposte da parte della classe, con domande e

riferimenti a oggetti e situazioni quotidiani.

Per introdurre la pressione ho chiesto loro cos’è la forza, orientando le risposte a riconoscere la

funzione di questa grandezza più che a dare una definizione formale. Dopo un’iniziale resistenza a

tentare qualsiasi intervento, qualcuno ha proposto che è “qualcosa” che ha degli effetti sugli

oggetti (“deforma, sposta, fa cadere…”), offrendomi l’occasione di precisare che la forza, in quanto

grandezza fisica, è il concetto che usiamo per descrivere la causa di questi effetti, più che la causa

stessa. In questo modo ho cominciato a introdurre l’idea che le grandezze fisiche non sono

proprietà degli oggetti o dei fenomeni, da adottare necessariamente, ma nostre scelte, effettuate in

base alla classe di fenomeni che vogliamo descrivere. Di fronte all’osservazione che in certi casi si

hanno effetti diversi a parità di forza, casi esemplificati con oggetti comuni come le puntine o le

racchette da neve, è stato facile per i ragazzi riconoscere che bisognava considerare anche la

superficie su cui la forza si distribuisce, e che quindi si poteva introdurre una grandezza che

tenesse conto sia della forza sia della superficie. Diversi interventi, tuttavia, non provenivano da

un’analisi del fenomeno fisico seguita da un tentativo di descrizione, ma dalla riproduzione

acritica di quanto imparato alla secondaria inferiore; qualcuno ha addirittura motivato

esplicitamente la sua proposta di definire la nuova grandezza come F/S “perché lo abbiamo fatto

alle medie”, altri prevedevano che una persona con superficie di appoggio il doppio di un’altra e

doppiamente pesante affondasse nella neve della stessa profondità perché la pressione è la stessa,

non accorgendosi che stavano subordinando una legge (profondità proporzionale alla pressione,

peraltro non valida in generale) alla definizione e non viceversa. Ho quindi insistito perché

giustificassero ogni loro affermazione, e ho fatto notare che la pressione viene definita come forza

per unità di superficie perché comoda per descrivere una classe di osservazioni, ma che potrebbero

esistere fenomeni per cui è comodo introdurre una grandezza F/S2 o F2/S. Ho anche fatto proporre

a loro un simbolo, per mostrare la convenzionalità della scelta, non completamente arbitraria ma

vincolata a criteri di comodità e chiarezza (ad esempio hanno deciso di indicare la pressione con la

lettera minuscola, p, per distinguerla dalla forza peso che loro indicano con P).

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In questa fase iniziale la classe ha confermato l’atteggiamento emerso durante la fase di

osservazione, in generale passivo e disattento; alla discussione partecipavano sempre gli stessi tre

o quattro studenti, e buona parte apparentemente seguiva ma non prendeva appunti, a meno di

non riprenderli singolarmente.

Ho introdotto i fluidi come caso limite di corpi deformabili, per la cui descrizione è quindi comodo

usare la pressione, evidenziando la proprietà che gli strati possono scorrere liberamente uno

sull’altro. A questo livello, ho solo accennato al fatto che questa è una semplificazione che ci

permette di trovare comunque leggi verificate sperimentalmente, senza discutere esplicitamente la

differenza tra modello e realtà. Da questa proprietà abbiamo dedotto che all’equilibrio la forza

esercitata da un fluido su una qualsiasi superficie è a essa perpendicolare, evidenziando come

questo caratterizzi i fluidi e li distingua dai solidi. Abbiamo poi distinto tra gas e liquidi,

assumendo i secondi incomprimibili e quindi di volume costante. Per spiegare l’isotropia della

pressione in un fluido ho mostrato una ventosa attaccata a un libro cui cambiavo l’orientazione,

perché vedessero che l’aria è in grado di esercitare sulla ventosa una forza tale da resistere a ogni

nostro tentativo di staccarla, anche dal basso verso l’alto, cosa che ovviamente un solido non è in

grado di fare. E’ emerso in questa discussione l’equivoco secondo cui è il vuoto ad attirare la

ventosa, e non l’aria a spingerla, che indica un’eccessiva disinvoltura nel dare descrizioni che

funzionano ma non sono realistiche. Ho infine presentato il principio di Pascal come legge

fenomenologica riferendomi all’esperimento illustrato sul libro di testo, chiamandolo principio per

indicare che da esso, insieme alle altre proprietà dei fluidi, si deducono le altre leggi che avremmo

studiato.

Ho assegnato esercizi sui concetti appena trattati e sui prerequisiti, verificando durante la

correzione in classe che le definizioni delle grandezze (pressione, massa, densità) fossero chiare, e

che le sapessero applicare, insieme ai concetti di proporzionalità diretta e inversa, e al principio di

Pascal e alle proprietà dei fluidi, in semplici problemi. In generale quasi tutti gli esercizi sono stati

svolti correttamente, mostrando una buona comprensione dei prerequisiti. Ho dovuto tuttavia

precisare che nella definizione di pressione compare la componente della forza perpendicolare alla

superficie (mentre sul loro libro di testo compare genericamente la forza), e la relazione tra massa e

peso, definendo la costante g come termine comune al calcolo del peso di tutti i corpi (che finora

loro conoscevano solo come forza gravitazionale esercitata dalla Terra sul corpo), evitando di

parlare di accelerazione perché non conoscevano le leggi della dinamica, e non era necessario per

l’argomento in corso. Durante la correzione dei problemi, chiedevo a chi li aveva risolti di spiegare

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la tecnica risolutiva, per stimolare la consapevolezza dei propri ragionamenti e l’uso del

linguaggio specifico. Questo è un esercizio sicuramente necessario, considerata la tendenza,

comune e osservata anche in questa classe, a esporre i calcoli effettuati anziché individuare la

logica usata, e a risolvere i problemi meccanicamente, senza pensare alla situazione fisica. Ad

esempio in un esercizio coinvolgente un torchio idraulico (allegato 2, es. 1) hanno cercato di

risolverlo usando il principio di Pascal, solo perché il torchio idraulico era stato introdotto come

sua applicazione, senza accorgersi che il problema richiedeva semplicemente la conservazione del

volume del liquido.

Legge di Stevino

Per introdurre l’esperimento che ci avrebbe portato a trattare la legge di Stevino ho seguito

l’abitudine della DA di descrivere le operazioni e le osservazioni da svolgere, senza anticipare la

legge coinvolta, in modo che fosse il più possibile un esperimento di scoperta. Ho quindi

presentato l’obiettivo dell’esperimento come misura della densità dell’olio, senza nominare la

legge di Stevino, descritto brevemente le operazioni da compiere, e invitato a chiedersi cosa si

aspettassero prima di ognuna, in modo che le osservazioni risultassero consapevoli e non casuali.

In particolare, ho chiesto cosa si aspettassero immergendo il tubo nella bottiglia. In questa fase la

partecipazione è stata maggiore del solito, in molti hanno cercato di proporre le loro previsioni e

spiegazioni, mostrando di preferire una situazione di scoperta a una di spiegazione di fatti già noti

(come per la ventosa). L’opinione prevalente era che l’acqua sarebbe entrata nel tubo fino al livello

esterno, spingendo l’aria che avrebbe spinto l’olio creando un dislivello della stessa altezza della

colonna d’acqua nel tubo. Si vede come questa descrizione non tenga conto della diversa densità

dei due liquidi, né dell’equilibrio tra pressioni, né della dipendenza tra pressione e dislivello;

estende semplicemente l’osservazione che si potrebbe fare immergendo il tubo tenendo un

estremo libero: proprio la ricerca del perché in questo caso il comportamento non è quello atteso

dovrebbe far capire il coinvolgimento degli elementi elencati sopra, e fornire le basi per

comprendere la legge di Stevino.

L’esperimento è stato svolto a gruppi di due o tre, decisi dalla DA, seguendo la scheda con le

indicazioni delle osservazioni, le misure e le riflessioni da compiere, in modo il più possibile

autonomo, in modo che tutti avessero modo di costruirsi le proprie idee e congetture, che

sarebbero state successivamente sistemate a lezione. All’inizio ho solo ricordato loro di osservare

se il livello dell’acqua all’interno del tubo immerso era quello da loro atteso, e rispondevo solo a

dubbi di carattere operativo, senza dare indicazioni su come interpretare le osservazioni.

27

Come già osservato, la classe tendeva a distrarsi facilmente e a lavorare in modo superficiale; non

solo nessuno si poneva domande o effettuava prove che andassero oltre quanto proposto dalla

scheda, ma dimostravano ingenuità e immaturità nel metodo, riportando come risultati delle

misure ciò che si attendevano (ad esempio dislivelli uguali), indicando incertezze sufficienti a

comprendere i valori attesi, preferendo la fretta nel raccogliere i dati all’affidabilità delle misure

(ad esempio leggendo la profondità in acqua senza tenere il tubo vicino al righello), o non

riconoscendo questioni ininfluenti (ad esempio un gruppo ha chiesto se la cannuccia, che serviva

solo a irrigidire il tubo per facilitare la lettura, dovesse essere a filo con il tubo). Dovevo quindi

continuamente correggere e indirizzare il loro lavoro.

Dopo aver lasciato un po’ di tempo per sistemare il setup e

rispondere alle prime domande della scheda, che aiutano a collegare

la pressione con il peso, e quindi con l’altezza e la densità della

colonna di liquido, ho stimolato una discussione su cosa intendesse

la scheda con ‘profondità’ nel caso dell’acqua, tra le tre altezze

possibili (vedi figura). Capire quale scegliere tra h1, h2 e h3 equivale a capire da cosa dipende il

dislivello nell’olio, ed è quindi un punto cruciale per la conduzione e interpretazione

dell’esperimento. Inizialmente i gruppi si dividevano tra chi proponeva h1, prendendo

acriticamente il termine ‘profondità’, e chi h2, in coerenza con l’idea espressa nella discussione

introduttiva. Dopo aver sottolineato che noi eravamo interessati a raccogliere dati sulle grandezze

da cui dipendono le reciproche pressioni di olio e acqua, e aver suggerito di ragionare in analogia

con l’olio, che essendo in un tubo a U rendeva automatico prendere in considerazione il dislivello,

due gruppi hanno capito che la grandezza interessante era h3, pur non riuscendo a darne una

motivazione. Ho quindi spiegato che la pressione esercitata dai due liquidi sull’aria dipende dai

dislivelli perché è dovuta al peso della colonna di liquido “in eccesso”, che per il principio di

Pascal si trasmette fino all’interfaccia aria-liquido, esercitando una forza dal basso verso l’alto,

anche se il peso ha verso opposto.

Questa discussione era intesa a evidenziare come un esperimento non è un’osservazione passiva

della natura, ma richiede la consapevolezza di ciò che si vuole studiare e una scelta delle

grandezze da osservare. Analogamente, l’analisi dettagliata delle schede di laboratorio, che ho

discusso in classe dopo l’esperimento, voleva mostrare che una legge non deriva in modo

necessario e quasi meccanico dai dati raccolti, ma richiede un’attenta interpretazione delle

osservazioni e dei dati, che tenga conto anche di osservazioni e leggi già note ed eventualmente di

h1 h2

h3

28

nuove ipotesi. Di seguito sono riportate le domande (D) della scheda una per una, con le risposte

ottenute con le rispettive occorrenze, indicate per ogni studente con la lettera del gruppo di

appartenenza, e seguite da un’analisi e il conseguente commento in classe (L). Per preparare la

discussione, a fine esperimento avevo anche consegnato delle domande (allegato 2) volte a

riflettere sui meccanismi fisici alla base delle osservazioni fatte.

D: Ti aspetti che sia più denso l’olio o l’acqua? In base a quali considerazioni?

RISPOSTE OCCORRENZE acqua perché olio galleggia in acqua AAACCDEEFGLLL olio perché meno fluido BBB acqua (senza giustificazione) GHIII L: La maggior parte ha risposto correttamente, dimostrando di avere un’idea intuitiva, o una

conoscenza proveniente dalla scuola dell’obbligo, del legame tra densità e galleggiamento. La

seconda risposta ha dato l’occasione di precisare la differenza tra densità e viscosità (ho

interpretato “meno fluido” come “più viscoso”), e la terza l’importanza di motivare ogni

intuizione per raggiungere una piena comprensione dei concetti.

D: Immergi il tratto libero del tubo nell’acqua della bottiglia. Cosa succede all’olio aumentando la

profondità?

RISPOSTE OCCORRENZE olio sale dalla parte opposta CCEE aumenta il dislivello dell’olio AD olio sale AAB livello sx si alza e livello di dx si abbassa (o aumenta da una parte e diminuisce dall’altra)

BBFGGHIIILLL

L: Tutti hanno osservato l’aumento di dislivello, ma visto il diverso grado di precisione nella

descrizione, ho ricordato che nella fase preliminare di osservazione, non si sa a priori cosa è

rilevante, quindi è importante dare una descrizione il più possibile completa, per individuare

successivamente i comportamenti da studiare e le grandezze da misurare e da mettere in relazione.

D: La pressione dell’acqua aumenta con la profondità perché aumenta il peso del liquido sovrastante. Per

esercitare la stessa pressione alla sua base, una colonna di liquido più denso dell’acqua dovrà avere un’altezza

maggiore o minore di quella dell’acqua?

RISPOSTE OCCORRENZE minore AAABBBCCDEEFGGHIIILLL D: Dalle considerazioni precedenti, puoi dire se l’olio è più o meno denso dell’acqua? Perché?

RISPOSTE OCCORRENZE meno denso (senza giustificazione) AAACCDEEFGGHIIILLL meno denso perché la profondità dell’acqua è minore del dislivello dell’olio

BBB

29

L: Queste domande volevano stimolare una riflessione sul legame tra la pressione e il peso del

liquido, e quindi con la densità e l’altezza. Tutti hanno dato la risposta corretta, ma senza

giustificazione, che non sapevano dare neanche quando sollecitati in classe, confermando la già

osservata difficoltà a esplicitare il proprio ragionamento. E’ da considerare però positivamente che

l’unico gruppo che aveva fatto un’ipotesi errata sulla densità dell’olio (il B), abbia poi usato

correttamente le informazioni provenienti dalla teoria e dall’esperimento per confutarla e trarre la

corretta conclusione.

D: Immergi il tubo nell’acqua a una certa profondità, che misuri con il righello. Mantenendo fermo il tubo,

prendi nota del dislivello tra le due superfici libere dell’olio usando la carta millimetrata. Prendi i valori per

almeno 5 profondità, cercando di coprire un intervallo ampio di profondità, da 5 cm al fondo della bottiglia.

INCERTEZZA OCCORRENZE RIFERIMENTO per i livelli sx e dx dell’olio

OCCORRENZE

0.5 cm ABCIL generico ABCDEFHI 0.05 cm DFGH livello iniziale GL 0.05 cm acqua, 0.5 cm olio E L: Le incertezze di 0.5 mm applicano la regola di considerare come incertezza metà della

risoluzione dello strumento, in questo caso il righello e la carta millimetrata, ma non tiene conto

del menisco dell’olio nel tubo e la lontananza tra tubo in acqua e righello, che rendono difficoltosa

la lettura. D’altra parte, le incertezze di 0.5 cm sono eccessivamente sovrastimate e dovute

all’esigenza di “far tornare” i risultati. Ho precisato quindi che le convenzioni sul calcolo delle

incertezze devono essere applicate con accortezza, suggerendo 1 mm come incertezza dopo aver

discusso il caso specifico. La posizione dello zero per misurare i livelli dell’olio è arbitraria, e il

fatto che solo due gruppi abbiano preso il riferimento più “naturale”, cioè il livello iniziale, può

essere interpretato come una chiara comprensione della convenzionalità della scelta.

D: Che relazione c’è tra il dislivello dell’olio e la profondità del tubicino in acqua?

RISPOSTE OCCORRENZE proporzionalità diretta (confusa con crescenza) CEGGHIILLL forza di proporzionalità diretta A (relazione di) proporzionalità diretta AABBCDFH diretta alla prima potenza BE profondità è dislivello dell’acqua I L: In generale tutti hanno riconosciuto la corretta dipendenza tra i dislivelli dei due liquidi, ma la

prima risposta è associata a motivazioni che indicano una confusione tra la proporzionalità diretta

e la semplice crescenza; la seconda curiosamente scambia “legge” con “forza”, e l’ultima indica che

è stata letta male la domanda.

30

D: Per ogni profondità a cui è posto il tubicino in acqua, questa esercita una pressione sull’olio, provocando

un dislivello finché la pressione esercitata dall’olio non compensa quella dell’acqua.

Dalle considerazioni precedenti e da quello che hai osservato, ti sembra lecito supporre che la pressione sia

proporzionale alla densità del liquido e alla profondità? Perché?

RISPOSTE OCCORRENZE Sì (lega aumento di dislivello ad aumento pressione) CCGG Sì (nella motivazione usa la stessa costante k per p=kdh e hacqua=kholio) BB Sì per le misure raccolte IIIL Sì (senza giustificazione) EEL Sì perché dolio = dacqua hacqua/holio DFF Sì perché p=dhg (preso da libro?) AA Sì perché p = dacqua/dolio H

L: Nonostante la scheda guidasse molto il ragionamento, le risposte mostrano che in pochi hanno

collegato correttamente le considerazioni e le osservazioni per trarre la conclusione suggerita (solo

la prima risposta, e la seconda in modo impreciso). Le ultime due partono da quello che avrebbero

dovuto dedurre, probabilmente consultando il libro, senza alcun riferimento all’esperimento. La

difficoltà sta nel seguire un percorso logico inverso a quello che sembra più naturale e che è stato

seguito per trovare la proporzionalità diretta tra dislivelli: se fino al passaggio precedente si è

individuata una relazione che è implicata dai dati, qui si deve giungere a una legge (p=kdh), che

non deriva dalla relazione precedente, ma che la implica; è quindi un’ipotesi che viene fatta da

considerazioni indipendenti (peso della colonna d’acqua, principio di Pascal) e che i dati si

limitano a non falsificare, ma che non possono verificare. Questo è un passaggio cruciale sia per

capire la legge particolare che stiamo studiando, sia per comprendere il metodo scientifico in

generale, e il ruolo del nostro modello iniziale di fluido, che permette di dedurre le leggi verificate

sperimentalmente. Mi sono quindi soffermata sulla sua discussione e spiegazione, riferendomi

anche alle domande lasciate per casa (allegato 2), intese a isolare i fattori che influenzano

l’equilibrio e individuare quindi le grandezze rilevanti per la legge che stavamo ricavando.

Arrivati a scrivere l’equazione che uguaglia le due pressioni esercitate da acqua e olio scritte in

funzione della densità, del dislivello e dell’accelerazione di gravità, ho mostrato come da questa si

possa ricavare, con passaggi algebrici, la densità dell’olio richiesta dalla domanda successiva della

scheda. Questo passaggio è apparentemente più semplice del discorso precedente in cui si

mettevano insieme considerazioni teoriche e sperimentali, ipotesi e dimostrazioni, perché richiede

la soluzione meccanica di un’equazione di primo grado. Tuttavia i ragazzi seguivano a fatica, sia

per la poca pratica sui passaggi matematici (in matematica avevano appena iniziato le equazioni),

ma soprattutto per le difficoltà a riconoscere una legge fisica come equazione, a capire che

31

l’incognita può essere una qualsiasi delle grandezze che compaiono nell’equazione, a seconda di

quali grandezze sono note. Questo deriva dall’ipostatizzazione dell’incognita [13], come conferma

il fatto che si sono sentiti meno spaesati quando ho indicato la densità dell’olio con x, ma anche

dall’abitudine a parlare di formule dirette e inverse (evitata dalla DA, ma seguita dall’insegnante

di Scienze), che induce a pensare una legge fisica come un’operazione, in cui si inseriscono i valori

delle grandezze note per trovare quello dell’incognita, e non come una relazione tra grandezze

espressa da un’uguaglianza; questo stimola solo capacità algoritmiche e non relazionali [13].

D: Come puoi ottenere, dai dati raccolti in questo esperimento e dall’ipotesi appena fatta, la densità dell’olio?

Ti serve anche la densità dell’acqua; puoi trovarla sapendo che l’acqua contenuta in una bottiglia di 1l pesa

1kg.

RISPOSTE OCCORRENZE dolio = hacqua/holio dacqua = 1g/cm3 non calcolato dolio CCEEF dolio = dacqua hacqua/holio dacqua = 1kg/dm3 dolio = 0.8 (senza unità) BBB dolio = hacqua/holio dacqua = 1kg/dm3 dolio = 0.9 D dolio = hacqua/holio dacqua = 1kg/dm3 dolio = 0.7/1 F dacqua = 1kg/m3 H L: Le difficoltà appena descritte indicano che le risposte precedenti sono state trovate consultando

il libro e non impostando la corretta equazione, mettendo insieme informazioni in modo confuso,

come dimostrano l’errore dimensionale nella formula della densità dell’olio (tranne in un caso), la

mancanza di dimensioni nel calcolo di dolio, e il calcolo di dacqua che in diversi casi non fa uso delle

indicazioni della domanda.

D: Per verificare che la nostra ipotesi sia corretta, dobbiamo confrontare la densità appena misurata con

quella misurata con un’altra tecnica. Descrivi come si potrebbe fare in modo semplice.

RISPOSTE OCCORRENZE calcoliamo massa con bilancia, calcoliamo volume con recipiente graduato, d=m/V

DF

calcolo della massa diviso il volume EHIIILL L: Queste risposte sono interessanti perché mostrano la confusione tra calcolo e misurazione, e

l’interpretazione della domanda come esercizio ideale e non come situazione reale: nessuno ha

descritto come si può pesare un liquido nella pratica. Tuttavia, ho tralasciato queste

considerazioni, considerata la difficoltà che avevano incontrato a seguire fin qui e la loro generale

difficoltà a mantenere la concentrazione, per non deviare il discorso e istituzionalizzare quanto

detto enunciando la legge di Stevino, puntualizzando l’indipendenza dalla forma del recipiente e

facendo qualche esempio. Nel correggere gli esercizi assegnati per casa, si è confermata sia la

discontinuità di questa classe (alcuni non avevano svolto gli esercizi e leggevano ora il testo

32

dell’esercizio), sia la difficoltà a esplicitare con che ragionamento si è risolto un esercizio, anziché

descrivere i calcoli.

Legge di Archimede

Come per l’esperimento precedente, anche per presentare l’esperimento sulla forza di Archimede

ho evitato di anticipare la teoria, dicendo che l’obiettivo era lo studio della forza esercitata dai

liquidi sui solidi, e dando indicazioni operative.

La preparazione del setup è stata lunga, ma l’ho lasciata fare dai ragazzi perché è una fase

importante di un esperimento, al pari dell’acquisizione dati. E’ un’occasione per rendersi conto dei

tanti dettagli che influenzano i risultati di un esperimento, che durante una descrizione a lezione

viene invece necessariamente schematizzato e semplificato, e soprattutto obbliga a compiere delle

scelte operative, che costringono di ipotizzare consapevolmente cosa influenza o meno il

fenomeno, e quindi poter successivamente interpretare meglio i risultati e correggere eventuali

errori procedurali. Questo approccio non banale è ovviamente assente in una prima classe, che ha

poca esperienza ed è abituata a seguire passo-passo le indicazioni di una scheda, ed è quindi

importante cominciare a stimolarlo in situazioni semplici, come la scelta se misurare il peso

dell’acqua spostata tenendo l’ovetto appeso o meno, o se trascurare il peso e il volume occupato

dalla gabbia. Un gruppo in particolare ha dimostrato di aver compreso il corretto atteggiamento

quando ha notato che la bottiglia era tagliata male, formando un bordo non orizzontale, e quindi

non si poteva riempire uniformemente fino all’orlo, e immergendo l’ovetto l’acqua usciva solo da

una parte; dopo aver inizialmente pensato di tagliare meglio la bottiglia, si è reso conto

autonomamente che comunque tutto il volume occupato dall’oggetto immerso deve

necessariamente uscire, visto che il pelo dell’acqua è orizzontale. Il resto della classe però non

mostrava questa flessibilità, e tendeva a chiedere conferma per ogni più piccolo dettaglio e a

eseguire acriticamente le indicazioni. Molti gruppi hanno anche confermato la superficialità nella

raccolta dati già osservata, soprattutto nel caso in cui l’ovetto galleggiava, e il numero di tacche

veniva riportato acriticamente in tabella senza accorgersi che non corrispondeva alla sola spinta

dell’acqua, perché l’elastico era in trazione o piegato. Su questo mi sono soffermata a lungo

analizzando la situazione con ogni gruppo.

A causa di questa mancanza di autonomia l’esperienza è risultata più lunga del previsto, e molti

gruppi non hanno avuto tempo di discutere tra loro le domande proposte dalla scheda, utili a

interpretare le osservazioni. Solo un gruppo, quello già notato precedentemente, ha cominciato

anche a porsi domande non direttamente suggerite dalla scheda, e a collegare quanto osservato in

33

questo esperimento con la teoria a loro nota. In particolare, sono stati gli unici a riflettere

sull’apparente incompatibilità tra la dipendenza della pressione dalla profondità e il risultato

sperimentale di indipendenza della spinta a profondità diverse. La scheda suggeriva di fare questa

connessione per preparare a una migliore comprensione del significato sia della legge di Stevino

sia del principio di Archimede, e della differenza tra il punto di applicazione della risultante delle

forze e quelli delle singole forze che realmente agiscono su un oggetto.

Non avendo completato le schede, non le ho ritirate a fine esperimento, lasciandole come spunto di

riflessione a casa. Nelle lezioni successive ho quindi discusso con la classe le domande proposte,

ma non ho potuto analizzare in dettaglio le loro risposte come per il primo esperimento. Ho anche

ripreso i problemi operativi emersi durante l’esperimento, come il controllo che le misure fossero

fatte in regime di linearità dell’elastico e gli accorgimenti per la misura nel caso di galleggiamento,

individuando, tra i dati raccolti dai gruppi, quali fossero affidabili. Da questi abbiamo dedotto che

la spinta è pari al peso dell’acqua spostata, e che il volume immerso aumenta con la densità

dell’ovetto (di cui si aumentava la massa a parità di volume). Usando queste osservazioni

sperimentali e imponendo la condizione di equilibrio ho ricavato l’equazione che lega la frazione

di volume immerso Vimm/V al rapporto tra le densità do dell’oggetto e dl del liquido, Vimm / V = do / dl.

Come già osservato nella presentazione della legge di Stevino, la classe aveva difficoltà a seguire

un discorso in cui si manipolano equazioni, e tendevano a non chiedere chiarimenti a meno di non

essere sollecitati direttamente. Una partecipazione leggermente maggiore c’è stata nella fase

successiva, in cui ho legato legge di Stevino e di Archimede deducendo la seconda dalla prima nel

caso semplice di un corpo a forma di parallelepipedo. Tuttavia, l’atteggiamento prevalente di

passività e la facilità a distrarsi non sono migliorati durante il periodo della mia azione. Ad

esempio quando ho ripreso l’equazione che uguaglia i rapporti tra i volumi e tra le densità,

qualcuno ha chiesto cosa fosse V, dimostrando non solo di non essere attento, ma di non ricordare

quanto detto solo la lezione precedente. Allo stesso modo, quando ho chiesto se avevano pensato

all’ultima domanda della scheda, che chiedeva come sfruttare le due serie di misure per calcolare

la densità dell’acqua salata, nessuno ha risposto, e molti mostravano di non sapere di che cosa

stessi parlando, come se non fosse stato un compito assegnato. Questa domanda è stata pensata

per stimolare a distinguere un problema fisico da uno matematico, tenendo conto degli oggetti e

delle situazioni reali che le equazioni e i simboli rappresentano, e non solo dei calcoli necessari per

dare una risposta. In questo caso, a parità di peso dell’ovetto, si potrebbe usare

Vimm(dolce) / Vimm(salata) = dacqua(salata) / dacqua(dolce), ma bisognerebbe avere una grande precisione

34

nel riempimento dell’ovetto durante le due serie di misure. Una soluzione più opportuna dal

punto di vista fisico è quindi di confrontare i risultati nel caso di immersione completa,

confrontando i volumi immersi e i pesi dell’acqua spostata nei due casi: dacqua(salata) / dacqua(dolce) =

Pacqua(salata) / Pacqua(dolce). A conferma di quanto detto prima, queste considerazioni non sono

emerse da una discussione né da risposte a miei suggerimenti, ma ho dovuto esporre il

ragionamento completamente, e pochi sono riusciti a seguire i passaggi algebrici.

Durante la correzione degli esercizi in vista della verifica, ho evidenziato come in ogni problema si

debbano individuare le grandezze che descrivono la situazione fisica, e una o più leggi che

contengano le grandezze note e quella richiesta, in modo da impostare un’equazione, che viene poi

risolta algebricamente. Ho mantenuto questo schema anche nei problemi più semplici, per

contrastare l’abitudine a ricercare formule ‘dirette’, che permettano di calcolare la grandezza

richiesta, e a impararle a memoria, perdendo di vista il senso fisico e i limiti di validità delle

formule. Considerato l’atteggiamento e le difficoltà della classe, mi ha stupito che metà della classe

abbia risposto correttamente alla seconda domanda del problema (3) dell’allegato 3, che è

controintuitiva e richiede una comprensione della legge di Archimede che vada oltre

l’applicazione diretta di formule o la conoscenza dell’enunciato. Inoltre, qualcuno è stato in grado

di motivare correttamente la risposta, ragionando qualitativamente sull’uguaglianza tra peso del

cubo di ghiaccio e quello dell’acqua spostata, che implica che la parte immersa ha lo stesso volume

che occuperà il ghiaccio quando sarà diventato acqua.

In definitiva, le lezioni hanno rispettato essenzialmente l’ordine di presentazione e i contenuti

previsti nell’UD, a parte il taglio di qualche esempio o applicazione, come il paradosso idrostatico.

La passività della maggioranza della classe evitava che nascessero dubbi particolari o deviazioni

dal discorso previsto, ma d’altra parte era difficile avere un controllo in itinere di quanto fosse

stato recepito, essendo l’interazione limitata a pochi, mentre dagli altri si avevano solo risposte

saltuarie quando interpellati direttamente.

3.3 Verifica

La verifica (allegato 4) che ho proposto alla classe segue la struttura usata dalla DA: una parte di

test a risposta chiusa per verificare le conoscenze teoriche, e una parte di problemi, eventualmente

riferiti all’esperimento svolto. Per la parte di test ho inserito domande con definizioni (1, 2),

applicazioni dirette delle leggi studiate (4, 5, 7, 9, 10), quesiti che richiedono brevi calcoli (3, 8). I tre

problemi sono intesi a verificare la corretta comprensione e applicazione delle leggi di Archimede

35

e di Stevino. Tutti e tre descrivono una situazione reale in modo da evitare che la soluzione sia

indotta da un riconoscimento di parole chiave in una formulazione standard dell’esercizio, anziché

dalla capacità di descrivere un fenomeno fisico con una legge opportuna. Inoltre un riferimento a

una situazione già osservata in laboratorio dovrebbe consentire una previsione sull’ordine di

grandezza dei risultati e quindi un controllo sulla soluzione trovata. Il problema 13 presenta il

cosiddetto paradosso idrostatico, previsto nell’UD ma non presentato a lezione per mancanza di

tempo.

In Tabella 1 sono riassunti gli obiettivi verificati e i punteggi previsti per ogni esercizio.

% risp. corrette Esercizio obiettivi specifici competenze coinvolte

punti parziali compl

1 unità di misura per la pressione C 0.4 100 2 definizione di pressione C 0.4 54 3 applicazione della definizione di pressione C T 0.4 75 4 principio vasi comunicanti C 0.4 79 5 applicazione della legge di Stevino C T 0.4 67 6 applicazione della legge di Stevino C T 0.4 71 7 indipendenza della pressione dall’orientazione e

Stevino C T 0.4 46

8 principio di Pascal C T 0.4 58 9 legge di Archimede C 0.4 83 10 conseguenza della legge di Stevino C T 0.4 38 11 applicazione della legge di Stevino C T 1.5 63 54

1p applicazione della legge di Archimede, peso, soluzione di un problema fisico attraverso equazioni

C E 1 38 8 12

2p applicazione della legge di Archimede, peso, soluzione di un problema fisico attraverso equazioni, composizione delle forze

C E .25 4 4

13 C T 1.5 54 42

Tabella 1. Griglia di valutazione della verifica di fisica proposta in 1B. C-Conoscenza di definizioni e

leggi; T-Applicazione immediata delle leggi, tecniche standard; E-Elaborazione di procedure. La

percentuale di risposte parzialmente corrette comprende anche le completamente corrette.

Il punteggio è costruito in modo che i voti siano compresi tra 2 e 10, e che si possa raggiungere la

sufficienza con le sole domande di teoria e i quesiti. I test a risposta multipla valgono quindi 4/10 e

i restanti 4 punti da attribuire ai problemi sono ripartiti in modo che il problema più difficile valga

di meno. Prima della verifica erano previsti un punto a problema, quindi due punti per il

problema 12, perché articolato in due parti e più complesso degli altri due, che richiedono

l’applicazione della legge di Stevino in modo analogo agli esercizi svolti in classe. Durante la

correzione però, avendo rilevato che solo una su 23 ha risolto la seconda parte del 12, e che anche

la prima parte è risultata eccessivamente difficile (solo un terzo l’ha svolta almeno in parte, e solo

in due l’hanno svolta completamente e correttamente), ho ridotto il punteggio di questo problema

36

per non penalizzare chi non è stato in grado di risolvere un problema evidentemente starato

rispetto alla preparazione ricevuta e forse all’età; ho considerato risolto al 100% il problema 12 se

corretto nella prima parte, e ho assegnato un bonus di ¼ di punto all’unica che ha risolto anche la

seconda parte.

3

4

5

6

7

8

9

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Figura 2. Distribuzione dei voti riportati nella verifica in 1B.

I risultati (Figura 2) sono abbastanza in linea con quelli riportati nelle precedenti verifiche, nel

senso che ogni studente, salvo qualche eccezione di netto peggioramento o miglioramento, ha

riportato un voto nella fascia a cui apparteneva prima; tuttavia la gamma dei voti è risultata meno

appiattita verso il sufficiente/discreto, spaziando dal gravemente insufficiente all’ottimo in modo

abbastanza omogeneo. Le insufficienze sono state in numero maggiore che nelle verifiche

precedenti.

Le differenze si possono comprendere considerando che l’argomento è stato presentato e valutato

da un differente insegnante. Anche se ho cercato di usare lo stesso schema di lezione e di

conduzione del laboratorio a cui la classe era abituata, ogni insegnante introduce inevitabilmente,

e anche volontariamente, un modo personale di organizzare la spiegazione, il lavoro, di gestire i

tempi, e di valutare; è quindi prevedibile che la classe risponda in modo diverso.

Osservando le percentuali di risposte corrette relative ai test a risposta chiusa, si può concludere

che la teoria e le sue applicazioni più immediate sono state recepite da buona parte della classe. Le

maggiori difficoltà emergono nei quesiti 2, 7 e 10. Nel (2), la classe si è divisa a metà, tra chi ha

risposto correttamente che la pressione è il rapporto tra la componente perpendicolare della forza e

l’area della superficie su cui agisce (risposta a), e tra chi ha definito la pressione come rapporto tra

forza e area (risposta c). Probabilmente avrei dovuto insistere maggiormente sulla definizione,

37

considerato che la confusione è comprensibile perché in fluidostatica le forze sono sempre

perpendicolari alle superfici, quindi le due definizioni divengono equivalenti. L’ho invece

precisato solo all’inizio in occasione della correzione di un esercizio. Nel (7) la risposta più comune

è stata la (d), a causa probabilmente di una confusione tra il valore della pressione in diversi punti

del liquido e il valore della pressione trasmessa in ogni punto del liquido, di cui parla il principio

di Pascal. Nel (10) le risposte errate si distribuiscono equamente tra la (a) e la (b), e in due casi la

(c). La risposta (a) indica una confusione con la condizione di galleggiamento, probabilmente

dovuta al fatto che la situazione del quesito è stata discussa in occasione della spiegazione della

legge di Archimede. La (c) è coerente con la risposta (d) nel quesito (7), cioè con il trascurare

l’aumento della pressione con la profondità, e in effetti chi ha risposto 10-c ha risposto anche 7-d.

L’apparente non conoscenza della legge di Stevino non ha però impedito a entrambi di risolvere

correttamente uno fra i due esercizi 11 e 13, che richiedono l’applicazione di questa legge. Si può

dire quindi che in questo caso sia stata assimilata la tecnica risolutiva ma non il significato fisico

della legge. Appare invece strana l’alta occorrenza della risposta (b), visto che è una condizione

che non si verifica mai, e che quindi non può derivare dalla generalizzazione di un caso particolare

studiato; né è facile capire quale equivoco sulle leggi della fluidostatica può portare a una forza

risultante esercitata da un liquido diretta verso il basso.

I problemi hanno creato più difficoltà, soprattutto il 12, in cui non bisognava applicare una tecnica

già vista, sia nell’analisi dei dati di laboratorio, sia negli esercizi in classe, ma impostare

un’equazione avendo una buona comprensione della legge di Archimede, della condizione di

equilibrio, del fatto che il peso è una forza. La difficoltà incontrata dalla classe, soprattutto nella

seconda parte, conferma la resistenza, già osservata durante le lezioni, a vedere una legge fisica

come un’equazione che permette di trovare una qualsiasi grandezza, anziché come formula che

permette di calcolare una grandezza specifica conoscendo le altre. Questo porta a cercare di

calcolare ogni grandezza con formule “dirette” fino ad arrivare a quella richiesta, e impedisce di

impostare un’equazione in cui la grandezza cercata è un’incognita, se non si conoscono già tutte le

altre.

L’11 e il 13 sono concettualmente analoghi e richiedono la conoscenza della stessa legge, ma il

primo ha avuto un successo leggermente superiore probabilmente perché riferendosi

all’esperimento di laboratorio, è stato risolto anche da chi ha applicato acriticamente la formula

usata per trovare la densità dell’olio, sostituendo la densità del mercurio a quella dell’olio. Il 13

richiedeva invece di conoscere la legge di Stevino, o di aver compreso che per avere la stessa

38

pressione di deve conservare il prodotto di densità e altezza della colonna d’acqua, e non il

rapporto. L’uso della proporzionalità diretta anziché inversa può essere stato indotto dalla

confusione con la proporzionalità tra dislivelli osservata nell’esperimento, ed estesa anche alla

relazione tra densità e dislivello (o altezza).

Riguardo il problema 11, un risultato sicuramente positivo è che nessuno ha scritto, come nelle

schede di laboratorio, d = hA/h, ma tutti hanno scritto un’equazione dimensionalmente corretta,

d h = dA hA oppure d = dA hA/h, recependo le precisazioni su cui si è insistito (a posteriori si può dire

opportunamente) durante la discussione delle schede a lezione.

4 AZIONE I TIROCINIO - MATEMATICA (IIA/B)

Nella classe II sc A / II cl B è stata presentata un’unità didattica sulla probabilità.

4.1 Preparazione

Motivazioni e vincoli

La fase di azione in questa classe si è inserita dopo i teoremi di Euclide e Pitagora in geometria e le

disequazioni di II grado in algebra; il programma (allegato 5) proseguiva con le similitudini in

geometria e il completamento dell’argomento disequazioni (fratte, con valore assoluto, irrazionali,

di grado superiore al secondo) in algebra. In accordo con la docente accogliente, ho scelto invece

l’argomento probabilità, che essendo relativamente indipendente dal resto del programma,

permette più libertà nell’organizzazione del percorso, sia dal punto di vista dei contenuti e della

metodologia, sia per la tempistica, non dovendo inserirsi in un discorso già iniziato da un altro

docente. Abbiamo scelto di dedicare a questo argomento due ore settimanali, in modo da non

interrompere lo studio di argomenti del “filone principale”, e quindi perdere l’esercizio sulle

tecniche di calcolo e sul metodo ipotetico-deduttivo.

I punti da trattare sono stati scelti dalla DA, cui interessava dare i concetti base di probabilità

classica e di calcolo combinatorio, rimandando agli anni successivi le interpretazioni frequentista e

soggettivista, e arrivando a trattare la probabilità condizionata e cenni di statistica descrittiva solo

tempo permettendo.

Analisi preliminare

I punti da trattare si possono riassumere nelle seguenti definizioni e teoremi:

Definizioni

ESPERIMENTO ALEATORIO: avvenimento il cui esito non è certo

39

EVENTO ALEATORIO: uno dei possibili esiti di un esperimento aleatorio

PROBABILITÀ DI UN EVENTO: misura della possibilità che esso si verifichi

SPAZIO CAMPIONARIO: insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento aleatorio

EVENTO COMPOSTO: evento che è combinazione di altri

EVENTO E UNIONE DI E1 e E2: evento che si verifica se si verifica E1 vel E2

EVENTO E INTERSEZIONE DI E1 e E2: evento che si verifica se si verifica E1 et E2

EVENTI INCOMPATIBILI: quando i casi favorevoli a uno non sono favorevoli anche all’altro

EVENTI COMPATIBILI: quando esistono casi favorevoli in comune

EVENTI INDIPENDENTI: la probabilità di uno non viene influenzata dal verificarsi dell’altro

PROBABILITÀ CLASSICA: P(E)= f/n; proprietà: P(evento certo)=1; P(evento impossibile)=0; 0<P<1

Teoremi

TEOREMA DELLA PROBABILITÀ CONTRARIA: P(non E)=1-P(E)

TEOREMA PROBABILITÀ TOTALE: P(E1∪E2)=P(E1)+P(E1)- P(E1∩E2)

TEOREMA PROBABILITÀ COMPOSTA: P(E1∩E2)=P(E1)*P(E2) per eventi indipendenti

PROBABILITÀ CONDIZIONATA: probabilità di un evento supposto che si sia verificato l’altro

TEOREMA PROBABILITÀ COMPOSTA: P(E1∩E2)=P(E1)*P(E2|E1) per eventi dipendenti

Calcolo combinatorio

sequenze con ordinamento senza ordinamento

senza ripetizioni disposizioni semplici

Dn,k=n!/(n-k)!

Dn,n=n! permutazioni

combinazioni semplici

Cn,k= n!/(k!(n-k)!) coeff binomiale*

con ripetizioni disposizioni con ripetizioni

Drn,k=nk

combinazioni con ripetizioni

Crn,k= (n+k-1)!/(k!(n-1)!)

*proprietà:

− n

k

è il numero di sottoinsiemi di k elementi in un insieme di n;

− con il triangolo di Tartaglia si vede facilmente che n n

k n k

= −

e che 1

0

2n

k

n

k=

=

∑ , che è la cardinalità

dell’insieme delle parti. Allo stesso risultato si arriva contando le combinazioni della condizione di

appartenenza/non appartenenza di ogni elemento a un sottoinsieme (cioè si contano i sottoinsiemi

costruiti come n-uple di 0 e 1)

La teoria della probabilità si è evoluta storicamente a partire da un’impostazione intuitiva e per

certi versi ingenua all’attuale formulazione assiomatica, che evita le precedenti contraddizioni e la

necessità di fondare la teoria su un’interpretazione. Per una trattazione introduttiva è sufficiente

40

l’impostazione classica, che consente anche di giustificare i teoremi in modo intuitivo senza

eccessive formalizzazioni, come ben espresso da Laplace: “in fondo la teoria delle probabilità è

soltanto senso comune espresso in numeri” [14].

Il libro di testo adottato [15] segue questa impostazione, fornendo la definizione classica di

probabilità e accennando alle probabilità frequentista e soggettivista (ignorando la teoria

assiomatica) e giustificando i teoremi con esempi e la rappresentazione grafica. Gli esercizi

proposti sono in buon numero e vari per difficoltà e tipologia; non ho quindi proposto esercizi

diversi, se non nelle ultime lezioni, per integrare quelli del libro, quasi tutti già svolti.

La probabilità e il calcolo combinatorio richiedono, dal punto di vista del calcolo, al massimo la

conoscenza delle operazioni su frazioni, quindi non ho previsto nessuna verifica in ingresso dei

prerequisiti. Dal punto di vista concettuale, la probabilità richiede un cambio di mentalità rispetto

all’abituale approccio deterministico, ma il pensiero probabilistico solitamente non viene

sufficientemente sviluppato nei gradi inferiori di istruzione. Ho pensato quindi di far precedere

l’introduzione delle definizioni e dei teoremi da una serie di problemi sulla probabilità da risolvere

qualitativamente per confronto anziché calcolando esplicitamente le probabilità coinvolte; ho

preso spunto dai problemi analizzati durante le lezioni del corso di Didattica della Matematica I e

presentati come adatti a sviluppare il pensiero probabilistico. Visto l’obiettivo di costruzione di

nuovi concetti e di un nuovo approccio, ho presentato i problemi come lavoro di gruppo seguito

da una discussione in classe, secondo il modello socio-costruttivista e considerando che

l’atteggiamento attivo della classe si sarebbe prestato a questa modalità.

Gli ostacoli previsti per questi argomenti consistono principalmente nelle difficoltà di astrazione,

necessaria per generalizzare gli esempi particolari per comprendere le formule del calcolo

combinatorio, e per riconoscere in una situazione reale l’opportuno modello cui applicare la teoria.

Considerando il positivo atteggiamento e rendimento della classe, confermato soprattutto

dall’ultima verifica effettuata prima dell’inizio della mia azione, sulle disequazioni, in cui nessuno

aveva riportato insufficiente, ho pensato un percorso che prevedeva anche qualche

approfondimento (il triangolo di Tartaglia, il lotto…) e arrivava fino alla probabilità condizionata.

Come si vedrà, le differenze precedentemente evidenziate tra un argomento prevalentemente

tecnico e algoritmico come la risoluzione di disequazioni e la probabilità faranno emergere

difficoltà per cui il percorso verrà modificato in itinere rinunciando a qualche argomento e

aumentando le lezioni dedicate a esercitazioni in classe, guidate o di gruppo.

41

Unità didattica

Prerequisiti: teoria degli insiemi (insieme, insieme complementare, unione, intersezione), logica

(negazione, connettivi di congiunzione e disgiunzione), operazioni tra frazioni.

Ostacoli: ontogenetici (capacità di astrazione); epistemologici (pensiero probabilistico e non

deterministico).

Obiettivi specifici: definizioni di esperimento aleatorio, evento, esito, spazio campionario, evento

composto, evento contrario; probabilità di un evento semplice, unione, intersezione, probabilità

totale; rappresentazione insiemistica e ad albero; disposizioni semplici e con ripetizione,

combinazioni semplici.

Obiettivi generali: significato e uso del modello.

Percorso didattico Il percorso riportato è quello effettivamente svolto, e corrisponde a quello predisposto, a parte la

scansione temporale, non prevista nella preparazione e adeguata alla reazione della classe, e alcuni

tagli o modifiche minori dettagliati nel paragrafo 4.2. I testi dei problemi sono riportati

nell’allegato 6.

TEMPO LEZIONE CONTENUTI OBIETTIVI 1h introduzione Attività a gruppi: problema “Méré 1”.

Discussione in classe: problemi “Compleanni 1” e “Lanci”

Passaggio dal pensiero deterministico, sul passato, a probabilistico, sul futuro. Costruzione del concetto di probabilità attraverso problemi risolvibili per confronto, senza calcolo.

.5h definizione classica della probabilità

esperimento aleatorio, evento, esito, spazio campionario; probabilità classica; legge empirica del caso; rappresentazione ad albero

Formalizzazione di idee intuitive. Distinzione tra situazione reale e modello matematico che la descrive

.5h probabilità composta

evento intersezione;evento complementare; rappresentazione insiemistica; probabilità composta

1h probabilità totale eventi compatibili e incompatibili; evento unione; probabilità totale; problema “Libri”

Uso del registro grafico per scoprire risultati e per condurre dimostrazioni informali

1h disposizioni disposizioni semplici e con ripetizione; rappresentazione ad albero e “a caselle”1; problemi “Compleanni 2” e “Méré2”2

1modello come strumento di calcolo più che rappresentazione della realtà 2scelta della tecnica più conveniente; motivazione alla formulazione di tecniche di calcolo di fronte a risultati controintuitivi

.5h permutazioni permutazioni; notazione fattoriale

42

.5h combinazioni combinazioni semplici; coefficiente binomiale (definizione)

.5h coefficiente binomiale

proprietà: n n

k n k

= −

;

legame del coefficiente binomiale con il numero di sottoinsiemi di un insieme e con la cardinalità dell’insieme delle parti.

studiare un problema da diversi punti di vista

.5h esercitazioni “Diagonali di un poligono”3; ripresa “Méré 2”

3applicazioni alla geometria; confronto diverse soluzioni

1h ripasso attività a gruppi: allegato 6 1h ripasso discussione problemi della lezione

precedente

rinforzo e recupero

2h verifica

4.2 Lezioni

Introduzione al pensiero probabilistico

Prima di formalizzare le definizioni e i teoremi che permettono di calcolare la probabilità in

diverse situazioni, ho proposto un’attività a gruppi per stimolare lo sviluppo di un approccio

orientato al futuro, in contrapposizione al consueto pensiero deterministico, cominciando con il

problema “Méré 1” (allegato 6). Conoscendo la maturità di questa classe, ho lasciato che fossero i

ragazzi a dividersi in gruppi di tre o quattro, e infatti hanno lavorato senza far confusione,

consultandosi tra membri dello stesso gruppo e anche tra gruppi. Dopo qualche minuto abbiamo

confrontato i risultati dei diversi gruppi. Non tutti avevano una proposta di soluzione, mentre tutti

quelli che l’avevano erano d’accordo nel ripartire la posta secondo la frazione di partite vinte sul

totale (4/7 e 3/7). E’ evidente qui quanto sia radicato l’approccio legato al passato, tanto più che i

ragazzi sapevano che l’argomento trattato era la probabilità e quindi avrebbero dovuto aspettarsi

di dover includere nel calcolo della ripartizione la probabilità di vittoria. Per guidare la discussione

verso la consapevolezza che la ripartizione della vincita dovrebbe tener conto delle probabilità di

vincita, e non della storia della partita, ho chiesto di giustificare la soluzione proposta, ottenendo

risposte del tipo: “ho diviso per 7 e poi ho dato 4 al giocatore A e 3 a B”, cioè una descrizione del

calcolo e non del ragionamento. La difficoltà ad esplicitare un ragionamento o un’intuizione, che

ho rilevato più volte in tutta la classe, può impedire di individuare le regolarità e i collegamenti dei

concetti e delle loro proprietà, portando ad apprendere la matematica come una serie di regole e

tecniche mnemoniche; è quindi importante stimolare questa capacità sollecitando spesso a

motivare i metodi risolutivi scelti e a dare chiarimenti ai compagni. Quando qualcuno ha proposto

di considerare le probabilità di vincita e di ripartire secondo queste frazioni, c’era accordo unanime

nel calcolare le due probabilità come 2/3 e 1/3, secondo il ragionamento semplice che al giocatore B

43

mancano il doppio delle vittorie rispetto ad A per arrivare a 5. Nel commentare ho introdotto la

rappresentazione ad albero:

che sembra confermare le conclusioni degli studenti. La difficoltà di questo problema è capire

perché non si possono mettere sullo stesso piano i tre risultati 53, 54 e 45, cioè distinguere cosa

influenza la probabilità da ciò che ha significato solo per noi (che la partita termini raggiunto il 5),

e capire come trattare gli eventi composti. Prima di arrivare a questo livello, era necessario

costruire il concetto, e successivamente la definizione, di probabilità in casi elementari per poi

comprendere quelli composti. Ho quindi lasciato in sospeso la soluzione e proposto e discusso altri

problemi, per concentrarsi sullo studio di ciò che influenza la probabilità, costruendo, prima

ancora di definirli, i concetti di equiprobabilità, casi favorevoli e possibili. Già nel primo problema

la classe ha dimostrato di usare in modo inconsapevole la definizione classica (che ho verificato

non era a loro nota dalla scuola dell’obbligo), mentre le altre idee sono state discusse con i

problemi “Compleanni 1” e ”Lanci successivi e contemporanei” (allegato 6). Pur lasciando talvolta

qualche tempo per la riflessione personale e in gruppo, principalmente ho condotto la discussione

con l’intera classe, mantenendo un maggior controllo sulle idee che emergevano. Infatti

l’atteggiamento attivo della quasi totalità della classe non richiedeva di usare espedienti per

motivare la partecipazione, come la competizione tra gruppi o la necessità di difendere la propria

posizione con gli altri gruppi, ma tutti intervenivano e ribattevano spontaneamente agli interventi

dei compagni.

Per aiutarli ad esplicitare i loro ragionamenti, ho sempre suggerito di ricercare il ragionamento più

semplice possibile, possibilmente qualitativo piuttosto che quantitativo, in modo da stimolarli a

ricercare una vera comprensione dei concetti e non all’applicazione di formule. I due problemi

proposti chiedevano infatti di confrontare le probabilità, non di calcolarle. Mentre quello sui lanci

non ha dato difficoltà, in quello sui compleanni non è stato considerata convincente

l’argomentazione secondo cui la situazione “due persone compiono gli anni lo stesso giorno” è

come la situazione “una persona compie gli anni in un giorno specifico”, dove il giorno è fissato

dal compleanno di una seconda persona anziché dall’autore del problema. Si vede qui

l’importanza dell’educazione a ragionare per modelli, astraendo dal contesto e riconducendo

44

43

53

54 45

A

B A

B I partita

II partita

44

situazioni e fenomeni diversi a uno stesso schema o immagine. In questo caso, entrambe le

situazioni si possono schematizzare con due caselle, da riempire la prima con un giorno a caso su

365 (scelto dall’autore della domanda o dalla nascita), e la seconda con un giorno uguale al

precedente, riducendo il problema a contare le coppie possibili. Il problema dei compleanni ha

offerto anche lo spunto per far notare che per risolverlo abbiamo assunto le date di nascita

equiprobabili, mentre statisticamente le nascite si concentrano in certi periodi dell’anno; ho quindi

mostrato il legame tra probabilità e frequenza, espressa dalla legge empirica del caso (accettata

senza difficoltà perché già assunta implicitamente), e sottolineato la differenza tra realtà e modello

usato per descriverla, che introduce delle approssimazioni.

Nella fase di discussione lasciavo che i ragazzi usassero un linguaggio anche impreciso, in modo

che potessero concentrarsi sulle loro intuizioni; ad esempio nel motivare perché ottenere due volte

6 lanciando 5 volte un dado è più probabile che ottenere 6 proprio al secondo e terzo lancio, una

ragazza ha detto che il secondo caso è “più specifico”, dimostrando di intenderlo nel senso di un

numero minore di casi favorevoli rispetto ai possibili, e non una particolarità nel significato,

rispondendo correttamente che la sequenza di esiti 66666 non è più specifica di 53112.

Teoria della probabilità

Dopo aver chiarito i concetti li ho istituzionalizzati, per avere un linguaggio condiviso, definendo

esperimento aleatorio, evento, esito, spazio campionario, probabilità come rapporto tra i casi

favorevoli e possibili. Nella correzione dei primi esercizi ho precisato il significato di evento certo e

impossibile, sottolineando la distinzione tra l’astrazione matematica e la realtà, presentando il

dado ideale, usato nel calcolo della probabilità, come modello dei dadi reali, che non possono

essere perfettamente simmetrici (e non possono essere lanciati in modo perfettamente casuale) e

quindi cadere su ogni faccia in modo equiprobabile.

Ho successivamente presentato la probabilità composta di eventi indipendenti, riprendendo i

problemi già presentati. In questo modo, oltre a completare l’analisi dei problemi, ho potuto far

riferimento a situazioni su cui i ragazzi avevano già riflettuto, facilitando la comprensione. Ho

mostrato, in modo dialogato, come calcolare la probabilità che due persone compiano gli anni in

una data specifica, sia calcolando casi favorevoli e possibili, sia moltiplicando le probabilità dei

singoli eventi. Mentre il secondo metodo è stato facilmente accettato, soprattutto dopo averlo

giustificato con una rappresentazione insiemistica (lo spazio campionario del secondo evento è

l’insieme dei casi favorevoli del primo evento), il primo ha creato molte difficoltà, a causa dei

grandi numeri in gioco. Ho quindi ripreso il problema della ripartizione della posta, calcolando le

45

probabilità dei possibili esiti successivi alla settima partita, cioè AA, AB, BA, BB, usando anche

l’analogia con il lancio di due monete, e usando sia la rappresentazione insiemistica sia quella ad

albero. In questo modo ho chiarito il calcolo dei casi possibili e favorevoli quando si hanno più

eventi indipendenti, mostrato come astrarre dal contesto e ricondursi a una situazione analoga e

più facilmente gestibile, e spiegato perché le probabilità di vincita per i giocatori A e B non erano

2/3 e 1/3 ma ¾ e ¼.

Ho introdotto i successivi argomenti (probabilità dell’evento unione per eventi compatibili e

incompatibili, evento complementare) partendo sempre da problemi e guidando le proposte della

classe. La discussione avveniva sempre in modo ordinato, molti partecipavano, non solo per

rispondere alle mie domande di stimolo o per chiedere chiarimenti, ma per ribattere agli interventi

dei compagni o dare spiegazioni a chi non capiva. Le richieste di chiarimenti mi permettevano di

individuare subito dove la spiegazione aveva generato equivoci e quindi precisare definizioni e

ragionamenti. Per la probabilità totale, ho proposto il problema “Libri” (allegato 6), che mi ha dato

l’occasione di suggerire di effettuare sempre un controllo della soluzione. Qualcuno aveva infatti

proposto di calcolare la probabilità che il libro estratto sia un giallo oppure in italiano sommando

le singole probabilità; ho mostrato che seguendo la loro regola, in certi casi la probabilità sarebbe

maggiore di 1. Questo suggerimento al controllo è stato recepito immediatamente da qualcuno: in

un’occasione ho proposto l’esercizio “qual è la probabilità che esca un numero primo e dispari nel

lancio di un dado”, senza accorgermi che gli eventi non erano indipendenti perché avevo calcolato

la probabilità direttamente contando i casi favorevoli dell’evento composto, essendo i numeri

coinvolti piccoli, ma qualche studente si è accorto che non si otteneva lo stesso risultato contando i

casi e moltiplicando le probabilità dei due eventi. Ho dovuto quindi anticipare che non sempre la

formula della moltiplicazione è applicabile, senza però definire gli eventi indipendenti e

dipendenti, perché avevo intenzione, in accordo con la DA, di tenere la probabilità condizionata

come ultimo argomento, se ci fosse stato tempo, perché difficile.

Per la probabilità complementare, dopo qualche esempio semplice, ho proposto i problemi “Méré

2” e “Compleanni 2” (allegato 6), che mi avrebbero anche dato lo spunto per introdurre il calcolo

combinatorio. Entrambi sono risultati molto difficili, anche se diversi hanno provato a proporre

soluzioni e sono nate le consuete discussioni di confronto. In particolare qualcuno aveva difficoltà

con la negazione, intendendo la negazione di “non esce mai 6” come “esce sempre 6”; in questo

caso una dimostrazione formale con il linguaggio della logica ha reso accettabile che la negazione

46

invece sia “esce almeno un 6”, mostrando loro che in certi casi il linguaggio rigoroso, che può

apparire un appesantimento e una complicazione, facilita invece la comprensione.

In questa fase il percorso didattico svolto ha seguito essenzialmente quello previsto, a parte il

taglio di alcuni problemi a causa dell’elevata difficoltà nei confronti dei primi problemi, che mi ha

indotto a dedicare loro più tempo. Inoltre le vivaci discussioni su ogni problema facevano

emergere domande che mi hanno portato talvolta ad anticipare argomenti e quindi modificare

l’ordine di presentazione, ad esempio ho trattato prima la probabilità composta e poi quella

dell’evento unione, diversamente da quanto inizialmente previsto.

Calcolo combinatorio

La correzione dei problemi “Méré 2” e “Compleanni 2” ha permesso di introdurre il calcolo

combinatorio. Il primo si può risolvere anche calcolando la probabilità dell’evento complementare

dell’evento composto “esce un numero diverso da 6 per quattro lanci”, e permette quindi un

controllo del risultato ottenuto calcolando con il calcolo combinatorio il numero di quartine senza

6 (cioè le disposizioni con ripetizione di 5 elementi a gruppi di 4). Il secondo richiede la probabilità

degli eventi dipendenti, non nota ai ragazzi, e quindi ha offerto una motivazione per cercare un

metodo di calcolo diretto di tutti i casi possibili e favorevoli, che sarebbe stato poi

istituzionalizzato definendo le disposizioni semplici e con ripetizione. In questa fase la classe ha

mostrato molte difficoltà, e anche se manteneva l’atteggiamento di interesse e in molti cercavano di

proporre le proprie soluzioni, le formule corrette non sono emerse dai loro interventi ma ho

dovuto mostrarle e motivarle io. Per facilitare la comprensione ho usato il registro grafico,

costruendo le disposizioni con la rappresentazione ad albero, oppure schematizzando la situazione

del problema con una serie di caselle, segnando in ognuna il numero di casi possibili. Ho applicato

questo schema a tutti gli esempi, cominciando da piccole quantità, in modo che nello schema ad

albero fossero visibili tutte le disposizioni, e generalizzandolo a quantità maggiori. E’ emersa qui

chiaramente la difficoltà, dovuta all’età, ad astrarre dal contesto del problema applicando uno

schema ricavato per numeri piccoli a quantità maggiori e non completamente visualizzabili. Anche

la DA ha confermato che il calcolo combinatorio in seconda risulta ostico, e che di solito lo tratta a

livello elementare per poi riprenderlo nelle classi successive. Ho quindi deciso di procedere più

lentamente di quanto avevo inizialmente pensato, rinunciando a trattare le combinazioni con

ripetizione oltre che la probabilità condizionata, dedicando molto tempo a esercitazioni in classe.

Per lo stesso motivo, ho tagliato dall’unità didattica gli approfondimenti come il triangolo di

47

Pascal-Tartaglia e alcune proprietà del coefficiente binomiale, argomenti interessanti ma che a

questo livello sarebbero risultati inutili complicazioni.

Per semplificare la formalizzazione, ho definito le disposizioni parlando di “disposizioni di n

oggetti a gruppi di k”, e non “disposizioni di n elementi di classe k”, per conservare un riferimento

a situazioni visualizzabili, e non ho usato il simbolo di fattoriale, non ancora conosciuto dalla

classe, ma ho usato la scrittura intuitiva Dk,n = n(n-1)…(n-(k-1)). Ho inizialmente assegnato esercizi

che coinvolgevano piccole quantità, perché potessero avere un controllo sul calcolo elencando

interamente le sequenze, ma molto vari come contesto, in modo che si abituassero a riconoscere lo

schema astratto di raggruppamento indipendentemente dalla situazione reale. La difficoltà

maggiore era considerare come “casella” e come “oggetti da disporre” concetti che non fossero

direttamente riconducibili a contenitori e oggetti. Ad esempio, un problema chiedeva la probabilità

che esca testa due volte in cinque lanci di una moneta. Questo problema è complicato dal fatto che

ci sono degli oggetti indistinguibili (due teste e tre croci), e può essere semplificato contando,

anziché i modi di disporre due teste su cinque lanci, il numero di posizioni che possono assumere

le due teste. Ho suggerito quindi di considerare che la prima testa può uscire in uno dei cinque

lanci, e per ognuna di queste cinque possibilità la seconda testa ha quattro posizioni in cui uscire,

ottenendo, dividendo per due perché le teste sono indistinguibili, 5*4/2=10. Quello che riusciva

difficile alla maggior parte della classe era identificare le posizioni con gli oggetti e le teste come

caselle, mentre risultava più naturale fare in viceversa; era difficile cioè riconoscere lo schema a

caselle e oggetti come un modello astratto, come uno strumento di calcolo cui ricondurre le

situazioni reali, senza dare significato reale ai suoi componenti. Di fronte alla difficoltà nel

comprendere il metodo risolutivo, molti mostravano di aver risolto gli esercizi guardando il

risultato e cercando una formula simile a quelle delle disposizioni che restituisse il risultato;

nell’esempio appena descritto, qualcuno ha proposto 5*2 o 101, senza ovviamente essere in grado

di giustificarlo.

Dopo aver presentato le disposizioni ho dato esercizi che prevedevano le permutazioni senza che

le avessi ancora nominate, visto che sono un caso particolare di disposizioni semplici. Tuttavia,

durante la correzione degli esercizi un ragazzo mi ha chiesto se avevo proposto quegli esercizi per

introdurre un nuovo argomento, visto che sul libro compaiono nel paragrafo sulle permutazioni,

che non avevo spiegato. Questo mi porta ad alcune riflessioni. La tecnica di proporre problemi

senza aver spiegato la relativa teoria, utile per stimolare la costruzione dei concetti in modo più

solido della semplice applicazione di una teoria recepita in modo passivo, può indurre ad avere

48

difficoltà a capire quando un problema si può affrontare con gli strumenti già in possesso oppure è

una situazione nuova. Il fatto che non abbiano risolto gli esercizi di permutazione con le

disposizioni di n oggetti a gruppi di n indica come sia radicata negli studenti, anche diligenti e

attenti, anche con un’insegnante che non propone tecniche mnemoniche ma stimola al

ragionamento e giustifica ogni passaggio, la tendenza ad associare a ogni problema il paragrafo di

riferimento, anziché cercare di rispondere alla richiesta con gli strumenti a disposizione. La

capacità di gestione delle proprie conoscenze e capacità di fronte a un problema non “etichettato”,

essendo un’abilità metacognitiva, non è banale e deve essere esercitata a lungo proponendo

sistematicamente situazioni-problema ed esercizi di cui non si sappia a priori l’argomento di

riferimento, mentre l’uso di situazioni-problema in modo occasionale può creare confusione.

Ho utilizzato la correzione di questi esercizi per introdurre le permutazioni, evidenziando che

sono un caso particolare di disposizioni semplici, e introducendo la notazione fattoriale. Nella

correzione successiva, siccome usavo ancora la notazione del tipo n(n-1)…1 qualcuno ha chiesto se

si può calcolare anche con il fattoriale, confermando quando appena osservato: pur sapendo che le

due scritture sono equivalenti, hanno bisogno di sapere come l’insegnante, o il libro, vuole che si

risolva un esercizio; l’esercizio è visto cioè l’applicazione acritica di ciò che è stato insegnato, come

associato a una tecnica, e non un problema da risolvere.

Le stesse difficoltà si sono ripresentate con l’introduzione delle combinazioni semplici. Tuttavia,

nelle ultime lezioni sempre più studenti dimostravano di essere in grado di motivare le proprie

soluzioni, cercando di ricostruire lo schema ad albero o a caselle per calcolare le disposizioni o

combinazioni, piuttosto che riferirsi alle formule predefinite. La maggior parte continuava tuttavia

a cercare di ricondursi all’applicazione di formule standard. Ad esempio, quando ho chiesto di

trovare il numero di diagonali di un poligono di lato n, solo una ragazza ha riconosciuto

un’analogia con il problema precedente, che chiedeva quante strette di mano possono esserci tra n

persone, considerando le diagonali come coppie di vertici, ed escludendo le coppie corrispondenti

ai lati, proponendo n(n-3)/2, quindi applicando il ragionamento sotteso alla formula delle

combinazioni semplici per costruirne un’altra, anziché applicare meccanicamente la formula. Gli

altri, dopo aver recepito il suggerimento di considerare diagonali e lati come coppie di vertici,

hanno preferito a questa espressione quella più standard per contare il numero di coppie di vertici,

n(n-1)/2, cui sottrarre il numero n di lati.

Nelle ultime lezioni ho proposto esercizi misti, di probabilità e di calcolo combinatorio, per non

fissare l’attenzione solo sull’ultimo argomento. Ho ripreso più volte il problema “Méré 2”, perché

49

si presta a essere risolto in più modi, e perché le prime volte era risultato troppo difficile, quindi ho

aspettato che avessero acquisito più confidenza con gli strumenti concettuali e matematici

necessari. In effetti, nessuno ha compiuto l’errore “storico” di risolverlo calcolando entrambe le

probabilità come 2/3 (4/6 nel primo caso e 24/36 nel secondo) anche se non hanno trovato

facilmente la soluzione corretta; inoltre nella discussione qualcuno effettuava il controllo,

mostrando al compagno che la sua soluzione doveva essere errata perché cambiando i numeri in

gioco si sarebbero avuti dei valori incompatibili con le proprietà della probabilità, ad esempio una

probabilità maggiore di uno.

Ho dedicato le ultime due lezioni a un’attività di gruppo, proponendo di risolvere i problemi

nell’allegato 7 durante la prima, e discutendo poi le soluzioni la lezione successiva. In questo modo

i ragazzi hanno potuto svolgere esercizi di ripasso senza avere in anticipo le soluzioni, e io ho

potuto osservare meglio gli obiettivi raggiunti e le difficoltà di ognuno. Nonostante le precedenti

osservazioni sui miglioramenti raggiunti, durante il lavoro di gruppo è emerso che per molti le

difficoltà erano ancora rilevanti. Il positivo atteggiamento ha permesso tuttavia di sfruttare questa

attività per un miglioramento significativo. Ad esempio un gruppo ha riconosciuto che per

risolvere i problemi di calcolo combinatorio cercavano una formula che portasse al risultato del

libro (non a caso per questa attività ho dato loro solo il testo senza i risultati), chiedendo

chiarimenti sul ragionamento. Dopo aver brevemente spiegato lo schema logico comune a tutti gli

esercizi, ho indicato loro gli esercizi da cui cominciare, escludendo quelli che avevo inserito per

stimolarli ma che sono meno standard (come il n.7) e quelli meno immediati (come il n.3 e 10). A

fine lezione hanno mostrato di saper applicare correttamente il ragionamento e di risolvere gli

esercizi di calcolo combinatorio più semplici. Durante la successiva discussione, purtroppo in

presenza di mezza classe perché la IIclB era in gita, ho osservato di nuovo il netto miglioramento

nel giustificare il procedimento risolutivo, e nell’individuare dei controlli per riconoscere quando

una soluzione è errata, senza confrontare con il risultato riportato. In particolare la corretta e ben

motivata soluzione del primo esercizio mi sembra indice di una buona comprensione di cosa

influenza la probabilità, e della capacità di distinguere quando bisogna considerare l’ordinamento

o meno. La discussione dell’esercizio 7 è esemplificativo della partecipazione della classe. Una

studentessa ha osservato che non si possono contare i casi favorevoli e possibili perché le posizioni

del disco sono infinite, e una compagna ha ribattuto che si può calcolare il rapporto tra le aree. Ho

fatto notare che l’intuizione era giusta, perché quello che è importante è la frazione di casi

favorevoli rispetto ai possibili, e non tanto il loro valore assoluto, ma che aveva considerato le aree

50

sbagliate (area del disco diviso area della mattonella), giustificandolo col fatto che in questo modo

la probabilità che il disco cada nella mattonella aumenterebbe all’aumentare dell’area del disco.

Sono seguite quindi diverse proposte compatibili con questa osservazione, ma confuse e non

giustificate. Un ragazzo ha fatto notare che il disco può solo cadere dentro la mattonella o su una

riga, concludendo che la probabilità è ½. La conclusione era errata, ma l’intuizione era giusta,

infatti quando una compagna ha osservato che il disco può cadere anche fuori, lui ha giustamente

ribattuto che se esce è dentro a un’altra mattonella, mostrando di aver capito che il problema si

poteva ridurre a una sola mattonella. Ho confermato, suggerendo che dovevamo trovare la

condizione che deve soddisfare il disco perché rimanga dentro a una mattonella. Quando un altro

ragazzo ha notato che il centro deve distare dal bordo più della lunghezza del raggio, ho messo

insieme a questo il suggerimento del rapporto tra le aree, calcolando la probabilità come

(20cm)2/(40cm)2=1/4. Tutta questa discussione si è sviluppata in modo ordinato e spontaneo, senza

bisogno di interventi da parte mia per stimolarla, ma solo per qualche precisazione o

suggerimento.

4.3 Verifica

Ho scelto, come modalità di verifica, la tradizionale verifica scritta comprendente esercizi da

risolvere, per adeguarmi alla modalità usata dalla DA e quindi a cui i ragazzi sono abituati.

Ho scelto gli esercizi (allegato 8) in modo che coprissero tutti gli argomenti trattati (probabilità di

un evento semplice, unione, intersezione, probabilità totale, disposizioni semplici e con ripetizione,

combinazioni semplici), e fossero del tipo e del livello di difficoltà degli esercizi svolti in classe e a

casa.

L’esercizio (3) fa riferimento al problema qui denominato “Méré 2”, più volte discusso in classe.

Può essere quindi risolto velocemente richiamando il risultato noto, oppure per tentativi. Permette

quindi di verificare anche la capacità di richiamare e sfruttare risultati oltre che di elaborare e

applicare tecniche risolutive. L’esercizio (8) è formulato in modo che prima di individuare il

calcolo necessario bisogna tradurre la situazione reale descritta in problema matematico, e verifica

quindi la capacità di modellizzare e di argomentare usando un linguaggio appropriato.

In Tabella 2 sono riassunti gli obiettivi verificati e i punteggi previsti per ogni esercizio.

Il punteggio è costruito in modo che i voti siano compresi tra 2 e 11, che i problemi articolati in

sottoesercizi valgano 1.5 e quelli singoli 1 punto. L’esercizio 8 vale 0.5 perché discorsivo e senza

calcoli. Il punteggio è stato distribuito in modo da superare 10 dopo aver riconosciuto, visti i

51

risultati, che la verifica assegnata era troppo difficile (vedi dopo per i commenti), in accordo con la

DA che ha confermato che il calcolo combinatorio risulta sempre ostico nelle seconde.

% risp. corrette Esercizio obiettivi specifici competenze coinvolte

punti parz. compl.

a def. prob., casi fav e poss C T 95 77 b def. prob., casi fav e poss C T 100 86

1

c def. prob., casi fav e poss, teo prob totale C T

1.5

91 45 a Rappresentazione insiemistica, operazioni tra insiemi C E 86 18 b def. prob., casi fav e poss C T 50 45 c prob totale C T 50 23

2

d definizione evento impossibile, argomentazione

C L

1.5

23 18

3 utilizzo risultato già noto, prob composta, prob evento complementare soluzione per tentativi anziché calcolo diretto

C E 1 50 23

4 disposizioni con ripetizione C T 1 50 27 5 modellizzazione,

combinazioni semplici C E 1 59 23

6 calcolo combinatorio generico C E 1 64 41 a permutazioni, ripetizioni C T 73 36 7 b permutazioni, ripetizioni C T

1.5 55 14

8 modellizzazione situazione reale, giustificazione senza calcolo completo (controesempio), corretta esposizione

E L 0.5 55 41

Tabella 2. Griglia di valutazione della verifica di matematica proposta in 2A/B. C-Conoscenza di

definizioni e teoremi; T-Applicazione immediata di tecniche, E-Elaborazione di procedure,

modellizzazione, L-Argomentazione, uso del linguaggio specifico. La percentuale di risposte

parzialmente corrette comprende anche le completamente corrette.

I risultati (Figura 3) hanno confermato la distribuzione dei voti della classe: poche insufficienze,

molti voti sufficienti e discreti, nessuno oltre al buono, e voti mediamente inferiori per la IIclB.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 2 4 6 8 10 12 14

II sc A

II cl B

Figura 3. Distribuzione dei voti riportati nella verifica in 2A/B.

52

Tuttavia ci sono stati dei risultati inattesi. I miglioramenti nella risoluzione e nell’argomentazione

osservati nelle ultime lezioni, in buona parte della classe, non sembrano coerenti con il fatto che

nessuno sia riuscito a svolgere tutti gli esercizi, e quasi nessuno (solo 4 su 22) è stato in grado di

rispondere correttamente alla domanda 2d, apparentemente innocua e analoga ad altre oggetto di

discussione in classe. Si può ipotizzare che il compito sia risultato lungo perché la classe non è

riuscita a prepararsi a casa sufficientemente, forse per il problema già citato delle numerose altre

verifiche nella stessa settimana; considerato l’atteggiamento osservato in classe non si può pensare

a una scarsa considerazione di questo argomento rispetto agli altri (per il suo contenuto o perché

tenuto da un docente non titolare). In ogni caso, la lunghezza del compito ha sicuramente creato la

difficoltà aggiuntiva di dover gestire il tempo e scegliere quali esercizi svolgere, con il conseguente

abbassamento generale delle prestazioni, anche in esercizi che avevano ricevuto migliore risposta

durante le lezioni.

Inoltre, solo 3 su 22 hanno risolto l’esercizio 3 ricordando il risultato, ottenuto in classe, relativo

alla probabilità di ottenere almeno un 6 su 4 lanci, e calcolando la probabilità su un numero

inferiore di lanci per verificare che 4 fosse il minimo. Altri 6 hanno tentato di risolvere per

tentativi, ma lasciando il problema incompleto o sbagliando l’impostazione; tutti gli altri hanno

saltato questo esercizio. Questa è un’ulteriore conferma della tendenza a non leggere l’enunciato

del problema come una domanda a cui rispondere con tutte le risorse, ma a ricercare in esso il

richiamo a una tecnica da applicare (che però in questo caso non era standard).

5 AZIONE II TIROCINIO – FISICA (VE)

Nella classe V E è stata presentata un’unità didattica sulla conduzione elettrica nei metalli.

5.1 Preparazione

Motivazioni e vincoli

L’azione si è svolta tra novembre e dicembre. In questa classe ho scelto di presentare un’unità

didattica di fisica, perché in matematica avrei dovuto inserirmi in un argomento già iniziato (i

limiti e la continuità) e quindi proseguire con un percorso impostato da altri, mentre in fisica avrei

potuto iniziare un argomento nuovo e quindi avere più spazio per la sperimentazione. L’azione si

è inserita dopo l’argomento elettrostatica. Seguendo il programma (allegato 9), il DA ha proposto

di trattare le correnti continue. Per la scelta dei contenuti specifici, il docente accogliente mi ha

53

lasciato una certa libertà di operare aggiunte al suo programma o di posticipare qualche

argomento, che avrebbe trattato lui in seguito.

Nella scelta degli argomenti, ho tenuto conto del programma fornitomi, che non ho voluto

stravolgere nelle sue parti “tradizionali”, anche in vista della terza prova dell’Esame di Stato; del

fatto che questa classe non aveva mai svolto un’attività di laboratorio; e della volontà di stimolare i

ragazzi a comprendere a fondo la descrizione fisica dei fenomeni studiati, non limitandosi a

ricordare formule e applicarle negli esercizi. Ho quindi scelto di includere una presentazione del

modello di Drude della conduzione dei metalli, in modo da avere la possibilità, attraverso il

confronto tra descrizioni macroscopiche e microscopiche, di discutere il significato di modello e

descrizione fisica della realtà. Ho di conseguenza posticipato la trattazione dei condensatori, che

sarebbero stati trattati dal docente accogliente quando i ragazzi sarebbero stati in possesso degli

adeguati strumenti matematici (per la descrizione dei processi di carica e scarica) e fisici (correnti

non stazionarie).

Analisi preliminare

Lo studio del trasporto di carica nei metalli si colloca nel contesto più ampio dello studio dei

fenomeni elettrici (sia di equilibrio sia di trasporto) in ogni tipo di materiale, ed è quindi

importante individuare i legami tra i fenomeni, i concetti e le leggi che descrivono le correnti nei

metalli e quelli più generali. La mappa concettuale di Figura 4 mostra la distinzione tra ciò che si

può ricavare dalle esperienze di elettrostatica e delle correnti nei metalli, e l’interpretazione

“finale”, che unifica l’interazione e riconduce alla composizione della materia in particelle cariche

di due tipi, ma che richiede esperienze mutuate da altri campi, in particolare la chimica (che

suggerisce l’ipotesi atomica) e la conduzione nei liquidi (che con l’elettrolisi conferma che la carica

è trasportata da particelle discrete). Questa distinzione è importante per mostrare agli studenti

come opera la fisica, per mettere in evidenza che non esiste mai un esperimento cruciale che

implica in modo univoco le grandezze e le leggi per descriverlo, ma ogni osservazione viene

collocata in un quadro più ampio, coordinando la deduzione da leggi già note con l’acquisizione di

fatti nuovi. Il criterio fondamentale è quello di semplicità, che porta a cercare di descrivere il

maggior numero di fenomeni con pochi concetti e poche leggi, e a scegliere, tra due teorie che

descrivono gli stessi fenomeni, quella più semplice. Partendo dalla fenomenologia e mostrando

quello che si può dedurre da essa, e introducendo più modelli compatibili con essa, è possibile

evitare il nozionismo di definizioni e formule introdotte in modo assiomatico, non accompagnato

da una vera comprensione delle motivazioni e del loro legame con la realtà, chiarendo il significato

54

di modello, strumento di descrizione della realtà ma che comprende una componente

convenzionale.

Figura 4. mappa concettuale sul trasporto di carica nei metalli.

E’ utile quindi, prima di introdurre l’argomento delle correnti elettriche, stimolare una riflessione

sull’elettrostatica, cercando di capire perché è stata introdotta un’interazione diversa dalla gravità,

perché si è introdotta una nuova grandezza, la carica, e la si è distinta in due tipi, e se le leggi

studiate sono indotte dalla fenomenologia nota (agli studenti) o se fanno parte di una sistemazione

finale che mette a frutto anche altri esperimenti1.

Nella fase introduttiva è anche importante collocare l’argomento rispetto al resto del programma,

in modo da non dare l’idea di tanti argomenti separati e indipendenti. Bisogna evidenziare che si

sta studiando il caso dinamico mentre prima ci si era limitati alle situazioni di equilibrio,

1 E’ quanto suggerisce Arons [2], capitolo 6.

FENOMENI ELETTROSTATICI

FENOMENOLOGIA CORRENTI

intensi rispetto gravità

attivati e temporanei

attrazione e repulsione

due tipi di elettrizzazione

DUE TIPI DI CARICA

eccesso / mancanza di un tipo

scelta viene da chimica, elettrolisi,

esp. Thomson

scariche, calore, defless. ago magn., solo a circuito chiuso

CARICHE IN MOTO?

esperimenti Tolman-Stewart e

Rowald

def: I = q/∆t

nuova interazione

LEGGE DI

COULOMB

conservativa pr. sovrapposiz

def V

studio relazione ∆V-I nei metalli

LEGGI DI OHM

∆V provoca trasporto carica

* conservazione carica

conservazione carica *

LABORATORIO

cariche libere + attrito

modello a fluido

MODELLO DI DRUDE

EFFETTO

JOULE

studio in diversi mezzi (Tabella 3)

studio circuiti cons. energia

LEGGI DI

KIRCHHOFF

legge maglie

legge nodi

simboli

componenti

strumenti

∆V=RI R=ρ l/S

spiegabili con

continua discreta

55

concentrandosi sul movimento di cariche mantenute nel tempo (quindi circuiti chiusi) e non

transizioni verso l’equilibrio (come nella ridistribuzione di carica in un conduttore). Inoltre ci si

limita al trasporto nei metalli, pur essendo l’argomento molto più ampio, come riassunto in

Tabella 3.

Infine, può essere utile distinguere nettamente, anche cronologicamente, tra la trattazione più

“fisica”, che presenta leggi derivanti da quelle fondamentali, leggi fenomenologiche,

considerazioni energetiche, interpretazione microscopica, e quella più “tecnica”, che fornisce

regole semplificate per la trattazione di circuiti reali, pur derivandole da approssimazioni delle

leggi fisiche. In questo modo diventa chiaro quando si stanno operando approssimazioni e quando

si stanno applicando direttamente le leggi, superando l’apparente contraddizione, ad esempio, di

confrontare le diverse resistività dei metalli e poi considerare un intero tratto di circuito come un

punto, come se ai capi di un filo la differenza di potenziale fosse nulla.

MATERIALE PORTATORI FENOMENI/LEGGI metalli elettroni leggi di Ohm: ∆V=RI, R=ρS/l

ρ(T)∝T per alte T ρ(T)∝T5 per basse T

semiconduttori elettroni e lacune leggi di Ohm ρ(T) decrescente

liquidi ioni positivi e negativi ioni prodotti per dissociazione elettrolitica correnti governate da leggi di Faraday

gas elettroni, ioni positivi e negativi correnti di varia intensità: scarica oscura, scarica a bagliore, scarica ad arco

Tabella 3. Confronto della conduzione elettrica nei diversi tipi di materiale.

Il libro di testo adottato [16] segue l’ordine degli argomenti tradizionale: cariche e forze elettriche

nel caso statico, potenziale elettrico, correnti continue, campo magnetico statico, legge

dell’induzione elettromagnetica, correnti alternate, onde elettromagnetiche; questa prima sezione

sull’elettromagnetismo è seguita da una sezione di fisica atomica e subatomica. Il docente segue

l’ordine e i contenuti del libro, quindi mi sono riferita anch’io a esso, non essendoci problemi di

prerequisiti e per rispettare le abitudini degli studenti. Inoltre il libro fornisce molti collegamenti a

fenomeni quotidiani e applicazioni tecnologiche, e una grande varietà di esercizi, dalle domande

di comprensione dei concetti, ai quesiti a risposta multipla, a problemi di diversa complessità. Non

ho dovuto quindi fornire materiale aggiuntivo, per quanto riguarda le parti trattate nel testo. Per

quanto riguarda il modello di Drude, il libro si limita ad accennare brevemente in modo

qualitativo al fatto che su scala microscopica il trasporto di carica può essere visto come dovuto a

elettroni che sono accelerati dal campo elettrico e urtano continuamente contro gli atomi del

56

metallo; per questo argomento ho preparato un testo di sintesi di quanto spiegato in classe

(allegato 10), e una serie di domande ed esercizi in preparazione alla verifica (allegato 11).

Unità didattica

Prerequisiti matematici: equazioni algebriche e sistemi, proporzionalità diretta.

Prerequisiti fisici: grandezze (campo elettrico, potenziale elettrico, carica elettrica, velocità,

accelerazione, densità), concetti (equilibrio, conservazione dell’energia, variazione temporale e

differenza spaziale, interpretazione microscopica della temperatura, struttura atomica della

materia a livello qualitativo), leggi (leggi della dinamica), incertezze di misura.

Prerequisiti chimici: valenza, massa atomica.

Ostacoli: didattici (settorializzazione delle materie che rende difficile l’utilizzo di concetti imparati

in chimica in un argomento di fisica, e il richiamo di concetti fisici imparati negli anni precedenti);

ontogenetici (difficoltà a concepire e visualizzare oggetti microscopici, difficoltà a distinguere un

modello o un’immagine mentale usati per descrivere la realtà dalla realtà stessa); epistemologici

(comprensione delle resistenze in parallelo ostacolata da un’idea di conservazione, in questo caso

della carica, estesa a casi in cui non si applica)

Obiettivi specifici: Riconoscere le caratteristiche elettriche dei conduttori; applicare le leggi di Ohm;

calcolare la corrente in un circuito elementare e in un circuito a più maglie; analizzare un circuito

con più resistenze in serie o in parallelo e determinare la resistenza equivalente (dal programma

del DA). Analizzare i circuiti dal punto di vista energetico; comprendere la connessione tra regole

operative e leggi fondamentali; dare un’interpretazione microscopica semiquantitativa delle leggi

di Ohm e della dipendenza della resistività dalla temperatura.

Obiettivi generali: distinguere tra legge fenomenologica e legge derivata dai principi di una teoria;

significato e uso del modello, limiti e validità; riconoscere le motivazioni che portano a scegliere un

modello o introdurre una grandezza o una legge.

Percorso didattico Il percorso riportato è quello effettivamente svolto, e corrisponde a quello predisposto, a parte la

scansione temporale, nella preparazione solo stimata e adeguata alla reazione della classe.

ORE LEZIONE CONTENUTI OBIETTIVI 1h riflessione su

elettrostatica discussione su elettrostatica: perché un nuovo tipo d’interazione, perché 2 tipi di carica, perché carica trasportata da particelle discrete

distinguere tra realtà e modelli usati per descriverla

57

1h introduzione all’elettrodinamica

passaggio dall’equilibrio allo studio del trasporto di carica; schema trasporto in metalli, semiconduttori, liquidi e gas e limitazione del nostro campo d’indagine (corrente continua nei metalli); prime definizioni: circuito, corrente e fem

distinguere lo studio delle cariche all’equilibrio e in movimento; conoscere le grandezze fisiche principali per descrivere il trasporto di carica

1h leggi di Ohm I e II legge di Ohm; considerazioni su limiti di validità e significato fisico

conoscere la natura di una legge fenomenologica; interpretare le leggi di Ohm con un modello di fluido elettrico

2h modello di Drude versione microscopica delle leggi di Ohm; ipotesi e risultati del modello

comprendere la necessità di un modello microscopico

.5h considerazioni energetiche

effetto Joule; potenza assorbita e dissipata; consumi energetici

applicare la conservazione dell’energia ai circuiti

.5h circuiti intro circuiti reali: fili, resistori, approssimazioni

applicare leggi fisiche per trovare regole pratiche

3h LABORATORIO: I legge Ohm

misure corrente/ddp per conduttori ohmici e no

verificare leggi note; interpretare risultati inattesi (non linearità lampadina)

1h circuiti resistenze in serie e in parallelo; leggi di Kirchhoff

applicare leggi fisiche per trovare regole pratiche

1h dipendenza ρ da T ripresa risultati esperimento e modello di Drude per spiegare ρ(T); limiti del modello

distinguere tra induzione sperimentale e deduzione da conoscenza preesistente

1h commento relazioni lab

3h esercitazioni esercizi di ripasso per verifica rinforzo e recupero 1h verifica 1h correzione verifica questionario anonimo su azione

tirocinante; correzione verifica

Esperimento: conduzione elettrica nei metalli

Materiale

Generatore, voltmetro, multimetro, cavi, resistori da ¼W, lampadina da 12V, carta millimetrata.

I collegamenti sono facilitati dall’uso di cavi a banana e componenti saldati su supporti provvisti di boccole.

Setup e procedimento

L’esperimento è operativamente molto semplice, essendo il primo che gli studenti fanno.

Si costruisce il circuito collegando il componente (resistore o lampadina) al generatore, e l’amperometro in serie e il voltmetro in parallelo. Si scelgono diversi valori di tensione e si misurano i corrispondenti valori di corrente. I resistori sono scelti in modo da poter trascurare le resistenze interne del generatore e degli strumenti di misura.

Nel caso dei resistori si conferma la linearità prevista dalla legge di Ohm, mentre nel caso della lampadina si osserva una curva che dovrebbe suggerire (guidati dalla scheda e dalla discussione in laboratorio con l’insegnante) non una violazione della legge di Ohm, ma una dipendenza della resistenza dalla temperatura.

Scheda studente

Segue la scheda consegnata agli studenti per guidare il lavoro in laboratorio e la riflessione sulle osservazioni fatte.

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Studio della conduzione nei solidi metallici

Materiale: generatore, voltmetro, multimetro, cavi, resistori, lampadina. Tutte le resistenze assorbono al massimo ¼ W. Procedimento:

1. Costruisci un circuito che ti permetta di applicare una tensione a un resistore e di misurarne corrente e differenza di potenziale; ricorda che l’amperometro deve essere collegato in modo da essere attraversato dalla stessa corrente della resistenza (in serie) e il voltmetro in modo da essere sottoposto alla stessa differenza di potenziale della resistenza (in parallelo).

VA R

2. Utilizza prima la resistenza da 220 Ω. Calcola la ∆Vmax massima che si può applicare per non superare la potenza massima, e costruisci una tabella analoga alla seguente scrivendo nella prima colonna 10 valori di ∆V equispaziati tra 0 e ∆Vmax. Non superare comunque i 2/3 del fondoscala del generatore. Per ogni valore della ∆V, misurata con il voltmetro, misura la corrente con l’amperometro e completa la tabella indicando per ogni misura la portata e la risoluzione (che possono variare a seconda della scala scelta). Riporta i dati su un grafico.

∆∆∆∆V (V) portata risoluzione I (mA) portata risoluzione 0 15 V 0.1 V 0 1 mA 0.01 mA 3 6

esempio di tabella per la raccolta dei dati Domande per l’analisi dei dati:

− La relazione tra ∆V e I è quella attesa (indicare quale)? − La retta ∆V(I) ha intercetta nell’origine degli assi? − Il coefficiente angolare della retta è quello atteso (indicare quale)? − Per ogni risposta negativa, cercare di individuare una causa.

3. Collega una resistenza a scelta tra quelle da 1kΩ e da 10kΩ. Procedi come al punto 2. 4. Collega al posto della resistenza la lampadina e procedi come al punto 2, considerando come ∆Vmax quella indicata sul supporto.

Indicazioni per la relazione: Una buona relazione è precisa e completa, ma sintetica. Una struttura tipica è: obiettivo – materiale/strumentazione – procedimento – dati raccolti – analisi dati – conclusioni. Nella sezione materiale/strumentazione, elencare gli strumenti usati indicando la grandezza fisica misurata, la portata e la risoluzione. Nella sezione dati, riportare sia la tabella dati come indicato in questa scheda, sia un grafico per ogni serie di misure (eventualmente allegare il foglio in carta millimetrata); indicare le incertezze di misura. Nella sezione analisi dati, interpretare i dati raccolti seguendo la traccia data dalle domande di questa scheda. Nella sezione conclusioni riassumere quali leggi/fenomeni sono stati studiati, evidenziando cosa è stato confermato, e come interpretare eventuali risultati inattesi.

59

5.2 Lezioni

Riflessione su argomenti precedenti

Le prime lezioni che ho svolto sono state di esercitazione per la preparazione alla verifica

sull’elettrostatica, prima di cominciare il mio argomento. Questo mi ha permesso di cominciare a

puntualizzare questioni che avrei inserito nelle lezioni successive, e anche di farmi un’idea del loro

approccio ai problemi e alle situazioni fisiche, e del loro modo di rispondere alle mie sollecitazioni.

Ho impostato questi due incontri facendo proporre da loro esercizi da correggere. Dai chiarimenti

richiesti sono emerse difficoltà soprattutto nell’associare le grandezze, le definizioni e leggi

studiate a situazioni e oggetti reali. Ad esempio, una ragazza era in grado di risolvere un problema

che coinvolgeva lo schermo elettrostatico, ma non aveva idea di che cosa fosse come oggetto reale,

e si è stupita quando le ho detto che poteva essere semplicemente una scatola con pareti di metallo.

Ho cercato di dare spiegazioni il più possibile qualitative, riferendomi a principi generali

(simmetria, conservazione dell’energia o della carica) e oggetti reali, in modo da dare il significato

fisico del problema più che la tecnica matematica di risoluzione. Ho cominciato a introdurre la

questione dell’origine sperimentale delle leggi, ad esempio facendo notare che il principio di

sovrapposizione non è scontato, è un fatto sperimentale, che i due tipi di carica si differenziano con

il segno per semplificare la forma della legge di Coulomb, cioè che sperimentalmente sappiamo

che esistono due tipi di carica, mentre che uno sia positivo e uno negativo è una scelta

convenzionale e di comodità. Ho anche ripassato il significato e l’uso delle cifre significative,

perché ho visto che non erano abituati a tenerne conto.

Fin dalle prime lezioni la classe si è confermata molto tranquilla ed educata. Parlavano tra loro un

po’ di più che durante le lezioni del DA, ma per confrontarsi sugli esercizi proposti e mai

disturbando. Inoltre ho notato fin da subito una partecipazione maggiore rispetto alla fase di

osservazione; ponevano più domande e provavano a rispondere alle mie, forse sentendosi più in

confidenza con una tirocinante giovane che con il loro professore.

Dopo la verifica ho cominciato il mio argomento. Ho introdotto l’argomento distinguendolo dal

precedente, evidenziando che mentre prima avevano studiato cariche ferme e campi statici, ora

avremmo studiato cariche in moto non per stabilire un nuovo equilibrio, ma mantenute

costantemente in moto da un campo elettrico, nel nostro caso statico (correnti stazionarie). In

questo modo ho legato l’argomento in corso a quello precedente, evidenziando anche che le leggi

che conoscevano sono riferite all’equilibrio, e non è detto che possano essere estese al caso

dinamico. Avrei ripreso questa osservazione quando avrei parlato della corrente come fenomeno

60

di volume, in contrasto con le cariche in un conduttore all’equilibrio che si dispongono sulla

superficie.

Ho proposto una riflessione sull’elettrostatica per evidenziare cosa si può dedurre dalla

fenomenologia che conoscono e cosa gli è stato anticipato ma proviene da studi ulteriori. Ho

concentrato l’attenzione soprattutto sul confronto delle caratteristiche dei fenomeni gravitazionali

ed elettrici, e di conseguenza delle proprietà delle corrispondenti leggi che legano la forza alle

grandezze caratteristiche di ciascuna interazione, e sul perché riusciamo a descrivere tutti i

fenomeni elettrici con due soli tipi di carica. Mettendo insieme i miei suggerimenti e gli interventi

della classe, abbiamo costruito alla lavagna la seguente tabella:

GRAVITÀ FORZA ELETTRICA attrattiva attrattiva o repulsiva tra ogni coppia di corpi si ‘attiva’ per sfregamento e si disattiva in poco tempo debole intensa (es pezzetti di carta) dipende da massa dipende da carica, che è di due tipi

principio di sovrapposizione simmetria radiale → conservativa

dipendenza da 1/r2 → legge di Gauss

In questo modo è risultato chiaro perché è stato necessario introdurre un nuovo tipo di forza, visto

che quella finora nota, la gravità, non poteva descrivere certa fenomenologia. E’ interessante

l’osservazione fatta da uno studente quando ho chiesto perché il comportamento del righello che

attira pezzettini di carta dopo averlo sfregato contro la manica di lana, non possa essere spiegato

con la gravità. La sua spiegazione è stata che la carta viene attirata verso l’alto anziché verso il

basso, mostrando di considerare la gravità solo come l’interazione tra un oggetto e la Terra. Dopo

avergli fatto notare che si trattava di un’attrazione, esattamente come l’interazione gravitazionale,

abbiamo potuto approfondire trovando differenze nell’intensità della forza (il righello applica sul

pezzo di carta una forza maggiore che la Terra, non rispettando la dipendenza dalle masse

espresse dalla forza di Newton), nel fatto che l’interazione si osserva solo tra alcuni corpi, e solo

dopo aver ‘attivato’ lo stato di elettrizzazione, per sfregamento, contatto o induzione, oltre che

naturalmente nel fatto che è anche repulsiva. Ho anche fatto notare che la classificazione in due

soli tipi di elettrizzazione, descritti da due tipi di carica, non è implicita nel fatto che l’interazione

ha due versi; è una scelta che deriva dall’osservazione che non si è mai trovato un corpo carico che

attira due corpi che tra di loro si attraggono, e dal criterio di semplicità. Per sottolineare questo

criterio fondamentale della fisica, ho enunciato il principio di Ockham, che ben lo riassume, anche

nella forma originale latina.

61

Ho introdotto la questione se la carica sia continua o discreta, facendo notare che nessuno degli

esperimenti finora ricordati suggeriscono l’uno o l’altro modello, e che se si è già parlato loro di

elettroni e protoni, è perché sappiamo dalla chimica che la materia è composta di atomi, e dallo

studio del trasporto di carica nei liquidi che questa sembra trasportata in unità discrete dagli

atomi, anche se le particelle elementari che oggi conosciamo saranno riconosciute definitivamente

da esperimenti a cavallo tra ‘800 e ’900. In questo modo ho dato una motivazione allo studio del

trasporto di carica, che ho introdotto mostrando la vastità del problema copiando alla lavagna la

Tabella 3, evidenziando che il nostro interesse sarà limitato alla conduzione nei metalli.

Conduzione elettrica nei metalli

Con la riflessione sull’elettrostatica ho dato l’impostazione secondo cui a partire da osservazioni

sperimentali si individuano delle grandezze che consentano di descrivere quantitativamente i

fenomeni, e tra le quali si cerca di determinare relazioni. Allo stesso modo, per le correnti ho

richiamato fenomeni che ci permettono di dire che le ‘correnti’, intese come fili collegati a batterie o

generatori, sono cariche in moto per analogia con i fenomeni elettrostatici (attrazione e repulsione)

e con i fenomeni dovuti a cariche che sappiamo in moto per ridistribuzione o per movimento

meccanico (effetti magnetici, scintille) [2]. Considerato il legame con cariche ed elettricità, è

risultato quindi naturale definire, come grandezze caratteristiche per lo studio delle correnti,

l’intensità di corrente I che descrive quanta carica ‘scorre’ e con che velocità, e la differenza di

potenziale ∆V che è legata al campo elettrico e quindi alla forza con cui le cariche sono indotte a

muoversi. Ho definito anche la fem, precisando la necessità di una forza non conservativa per il

mantenimento del movimento in un percorso chiuso, e quindi la differenza tra fem e ∆V, e ho

fornito le unità di misura.

Ho osservato una grande difficoltà nel seguire i riferimenti a fenomeni che dovrebbero far parte

dell’esperienza quotidiana, come se non si fidassero a fare riferimento a quanto sanno per

esperienza se l’argomento non è stato “fatto”. Ad esempio non capivano l’accenno alla capacità di

una corrente a muovere un ago magnetico, come se fosse necessario aver svolto l’argomento

‘campo magnetico’ e non semplicemente aver sentito parlare di effetti magnetici nei gradi

precedenti di istruzione e aver visto una bussola. Spesso erano il loro silenzio e i loro sguardi che

mi suggerivano di ripetere e precisare, perché in generale facevano molto poche domande,

limitandosi a chiedere chiarimenti su dettagli o definizioni, mai sul filo logico o su idee generali. A

causa di queste difficoltà ho ridotto al minimo gli esempi proposti, per non aumentare la loro

confusione, ma sufficienti per dare l’idea che anche senza conoscere i dettagli dei generatori di

62

corrente, possiamo riconoscere la natura elettrica delle correnti per analogia e usando il criterio di

semplicità, che ci forniscono delle ipotesi di partenza. Questa introduzione qualitativa voleva

introdurre i concetti prima della formulazione matematica, quindi ho assegnato, dal libro,

dapprima esercizi e domande volte a chiarire l’idea di corrente, la differenza tra la scala

macroscopica e microscopica (ad es. si chiedeva se caricando un pettine con i propri capelli si

produce una corrente correndo, oppure caricando il pettine con il pelo di un cane e correndo con il

pettine in mano), e il fatto che la carica sia trasportata in unità discrete, prima di aver formulato

qualsiasi legge. Dalla correzione ho constatato che tutti erano in grado di calcolare quanti elettroni

colpiscono lo schermo di un televisore in un secondo sapendo la corrente presente nel tubo,

mostrando confidenza con l’idea che la carica sia suddivisa in parti uguali sugli elettroni e

trasportata da essi, mentre le altre domande hanno rivelato tentativi di spiegazioni inadeguati. Il

fatto che si producesse o meno una corrente veniva attribuito al fatto che dopo un po’ la carica si

perde, piuttosto che al fatto che su scala macroscopica si osservasse o meno una carica netta in

movimento.

Nel presentare le leggi di Ohm, ho introdotto la prima come legge fenomenologica, distinguendola

da una legge derivabile da principi fondamentali, precisando il commento del loro libro1, che in

modo ambiguo sostiene che non sia una legge di natura. Quindi ho ricordato che su scala

macroscopica niente ci vieta di considerare la corrente elettrica come un fluido, e con l’aiuto di

questa immagine ho proposto loro di trovare la relazione tra resistenza e lunghezza e sezione del

conduttore, che hanno previsto correttamente.

L’atteggiamento della classe era di grande diligenza, tutti prendevano appunti e un buon numero

cercava di rispondere alle domande che proponevo nel corso della spiegazione, gli interventi erano

ordinati e non c’era bisogno che fossero regolati dall’alzata di mano; tuttavia si è confermata una

certa passività con la mancanza di domande od osservazioni che andassero al di là dei chiarimenti

su dettagli.

Dopo aver presentato le leggi di Ohm nella loro forma macroscopica, ho trattato il modello

microscopico di Drude, che fa uso solo di concetti classici ed è abbastanza semplice da poter essere

proposto in un liceo. Ho descritto prima qualitativamente il modello, evidenziando le idee

essenziali che lo guidano (elettroni sotto l’azione del campo elettrico che si muovono tra gli atomi

1 "La legge di Ohm non è una legge di natura, ma un'utile legge empirica, come la legge di Hooke per le

molle o la legge dei gas ideali che approssima il comportamento dei gas reali." In [16], pag. 85.

63

del conduttore, contro cui subiscono continui urti durante il percorso), quindi ho presentato la

trattazione matematica, in cui a ogni passaggio dicevo esplicitamente, scrivendolo anche alla

lavagna, la legge o la definizione usata. Successivamente ho preparato un breve riassunto della

lezione svolta (allegato 10), che ho poi consegnato ai ragazzi. Nell’esposizione ho mantenuto lo

stile della lezione frontale dialogata, la più vicina a quella cui la classe era abituata ma che mi

consentisse di stimolare un po’ di partecipazione attiva, e contemporaneamente consentisse di

trattare i contenuti previsti nelle ore a disposizione. In questo caso tuttavia, sia per la difficoltà

dell’argomento sia per la verifica di matematica fissata per l’ora successiva, la classe si è dimostrata

più passiva del solito, si limitavano a copiare alla lavagna, senza rispondere alle mie sollecitazioni,

e qualcuno si distraeva chiacchierando con il compagno. L’influenza negativa della verifica è

dimostrata anche dal fatto che nessuno aveva svolto gli esercizi assegnati, proprio per prepararsi

alla verifica di matematica, confermando la non abitudine a un lavoro costante e sistematico, né in

fisica né in matematica. Nella lezione successiva qualcuno mi ha chiesto di correggere sia gli

esercizi sulle leggi di Ohm sia quelli di applicazione del modello di Drude (semplici calcoli del

tempo medio tra due urti o della densità dei portatori nel caso di rame ed argento), ma

complessivamente solo in pochi svolgevano il compito assegnato e studiavano volta per volta.

Durante gli esercizi in classe ho notato anche una notevole difficoltà nei calcoli numerici, a fronte

di una maggiore dimestichezza nella manipolazione delle formule simboliche. Ho scelto il più

possibile esercizi che dessero lo spunto per parlare di situazioni reali e conosciute dagli studenti,

ad esempio facendo calcolare correnti e differenze di potenziale per spiegare perché gli uccelli

appoggiati sui cavi dell’alta tensione non rimangono fulminati. Durante la correzione degli esercizi

sul modello di Drude ho precisato i limiti del modello, dicendo che descrive qualitativamente il

comportamento dei metalli, e quantitativamente in buona approssimazione i metalli del gruppo

del rame, mostrandoli su una tavola periodica, sfruttando un supporto visivo diverso dalla

lavagna per rompere la monotonia e aiutare la memorizzazione.

Ho concluso la parte ‘fisica’ con considerazioni energetiche, evidenziando l’importanza e la

generalità della conservazione dell’energia nel trattare situazioni fisiche. Non ho rilevato difficoltà

nell’accettare che a causa della presenza di una differenza di potenziale le cariche dovrebbero

essere accelerate, mentre la corrente costante significa velocità media costante, e che quindi

l’energia della batteria deve trasformarsi in una forma diversa dall’aumento di energia cinetica, e

qualcuno correttamente ha proposto che si trasformi in calore. Ho quindi ricavato l’espressione

della potenza dissipata per effetto Joule, definito il kWh, e assegnato esercizi sia di applicazione

64

diretta delle relazioni tra potenza, corrente e differenza di potenziale, per fissarle, sia sui costi e il

consumo di energia elettrica di uso domestico, per mostrare applicazioni reali.

Per ricordare loro di studiare volta per volta, ho indicato le pagine del loro libro che si riferiscono

ai contenuti trattati, segnalando le parti da saltare, e assegnando alcuni esercizi guidati contenuti

nelle pagine di teoria. Inoltre talvolta ho chiesto a qualcuno, a inizio lezione, di riassumere gli

argomenti toccati la lezione precedente.

Circuiti elettrici

Nel passare alla fase più ‘tecnica’, ho distinto esplicitamente le lezioni precedenti, in cui abbiamo

cercato di spiegare i fenomeni con leggi legate a leggi fisiche fondamentali e alla struttura della

materia, distinguendo tra i diversi tipi di materiali, dalle successive in cui da queste leggi

avremmo ricavato, con opportune approssimazioni, regole operative per descrivere il

comportamento dei circuiti, senza più preoccuparci dei dettagli della composizione dei

componenti. Per mostrare i componenti tipici di un circuito reale, ho mostrato un modem interno

di un pc, dove si possono distinguere resistori e condensatori, e altri (ad esempio diodi e integrati)

che non abbiamo discusso. Con mia sorpresa, quasi nessuno aveva mai visto una scheda interna di

un computer. Questo mi ha confermato la loro difficoltà a collegare la fisica vista a scuola con

l’esperienza quotidiana, non solo perché non hanno mai avuto occasione di andare in laboratorio e

non sono stati abituati a lezione a vedere questi collegamenti, ma anche perché mancano essi stessi

delle esperienze quotidiane cui riferirsi. Di conseguenza, ho pensato di impostare questa fase con

un’introduzione ai componenti, alla simbologia e alle convenzioni, e quindi di svolgere

l’esperienza di laboratorio, in modo da fornire un po’ di esperienze su oggetti reali cui riferirsi per

comprendere le leggi sulle resistenze in serie e in parallelo, e dei nodi e delle maglie, trattate

successivamente.

Nella fase introduttiva ho dato la convenzione sul verso della corrente, di cui non avevo ancora

parlato. In questo modo ho potuto rendere evidente come la fenomenologia vista finora non

consente di decidere se a muoversi siano le cariche negative o positive, fatto che si può scoprire

sperimentalmente solo con l’effetto Hall, che a loro non ho citato perché per ora sarebbe solo un

nome senza significato, mentre più avanti lo tratteranno sicuramente, come applicazione della

forza di Lorentz. Ho sottolineato inoltre che per descrivere le grandezze in gioco in un circuito

(correnti, differenze di potenziale, resistenze) è sufficiente fissare un verso convenzionale e

scrivere le equazioni in modo coerente, senza bisogno di sapere il segno dei portatori.

65

Durante le lezioni svolte dopo il laboratorio, avendo loro già visto cavi, resistori, e multimetri, e

preso confidenza con il significato di costruire un circuito ed effettuare una misura di tensione o

corrente, ho mostrato dalla cattedra i circuiti cui mi riferivo per ricavare le leggi che stavo

trattando. In questo modo ho potuto ottenere più risultati: mostrare il collegamento tra equazioni

matematiche e realtà, avere la possibilità di sollecitare ipotesi da verificare sperimentalmente in

tempo reale, distinguere tra un circuito reale, la sua rappresentazione grafica e la sua

schematizzazione simbolica.

In questa fase ho proceduto per gradi, partendo da quello che già sapevano per usarlo per delle

previsioni. Ho inizialmente collegato semplicemente un resistore a una batteria, e fatto dire da loro

la corrente che si aspettavano, facendo poi leggere il valore sull’amperometro da uno studente

seduto in un posto vicino alla cattedra. Ho quindi definito il collegamento in parallelo, chiedendo

come si aspettavano che variasse la corrente. Ragionando sulla conservazione della carica,

qualcuno ha proposto che la corrente dovesse diminuire perché si separa nei due resistori, e il resto

della classe era d’accordo. Ho fatto quindi leggere la corrente che attraversa il primo resistore, che

risultava invariata. E’ seguita una discussione sulle motivazioni di questo comportamento, che ho

guidato fino a capire che la corrente nel ramo della batteria doveva essere aumentata (cosa che

abbiamo verificato) e che i due resistori erano sottoposti alla stessa differenza di potenziale. A

questo punto abbiamo formalizzato e ricavato l’espressione della resistenza equivalente a un

parallelo. Solitamente si presentano prima le resistenze in serie, perché la configurazione e

l’espressione della resistenza equivalente sono più semplici. Ho preferito partire dal parallelo per

fare accettare come normale il fatto che aggiungendo resistenze la corrente nel circuito può

aumentare (se l’avessi presentato dopo poteva essere visto come anomalia, e non venir

interiorizzato), e perché, aspettandomi il ragionamento errato da loro proposto rifacendosi alla

conservazione della carica, mi sembrava interessante mostrare come anche un ragionamento che a

noi sembra logicamente inattaccabile possa essere smentito dalla natura, e affermare quindi il

primato della verifica sperimentale. In effetti il circuito reale li ha motivati più del solito, e oltre a

partecipare alle mie sollecitazioni, in diversi hanno fatto domande di chiarimento, o fatto

osservazioni in cui cercavano di collegare quello che vedevano ora con quello che avevano visto in

laboratorio (ad esempio una ragazza ha osservato che il comportamento delle resistenze in

parallelo spiegava la prova che aveva fatto in laboratorio, di collegare due lampadine in parallelo

senza che la luminosità variasse, contrariamente a quanto si aspettava). In maniera analoga ho

presentato le resistenze in serie. Per trattare le leggi di Kirchhoff, ho fatto riferimento ai risultati

66

delle configurazioni dei circuiti già mostrati, e a quello che durante le discussioni la classe ha

mostrato di sapere: la conservazione della carica è stata applicata in modo naturale a un nodo

qualsiasi, mentre ho rilevato maggiore difficoltà nell’accettare il legame tra la legge delle maglie e

la conservazione dell’energia, e una certa confusione tra potenziale e differenza di potenziale.

Esperienza di laboratorio

Ho ritenuto necessario inserire un’esperienza di laboratorio nell’unità didattica a causa della già

evidenziata scarsa familiarità della classe con esperimenti reali e non solo descritti, e la scarsa

abitudine a collegare leggi e definizioni a oggetti e situazioni reali. Il DA è stato d’accordo, non

avendo mai avuto occasione di portarli in laboratorio. Con questi obiettivi e vincoli ho pensato di

proporre un esperimento semplice nella realizzazione operativa e nella legge da verificare,

lasciando però anche spazio per una componente di scoperta oltre alla verifica. Ho quindi

predisposto un’esperienza per verificare la legge di Ohm su resistori di diversa resistenza, e su una

lampadina. Nel caso dei resistori, l’obiettivo principale è familiarizzare con componenti e

strumenti dei circuiti reali, e con i collegamenti necessari, oltre che riconoscere una relazione

lineare tra grandezze a partire da misure reali; per la lampadina, gli studenti dovrebbero

riconoscere una relazione non lineare, nonostante il filamento di tungsteno della lampadina sia

metallico e quindi si aspettino uno comportamento ohmico. La scheda consegnata dovrebbe

stimolare la discussione tra gruppi che, insieme ai suggerimenti dell’insegnante, dovrebbero

ricercare la causa del comportamento inatteso in una variabilità della resistenza per ogni valore di

differenza di potenziale, e la causa di questa variabilità da una dipendenza con la temperatura.

Ho lasciato che i gruppi fossero scelti dai ragazzi, visto che sono abbastanza maturi per dividersi

senza generare polemiche o conflitti, e non richiedendo l’esperienza una composizione particolare,

essendo molto semplice. La classe ha confermato la sua maturità lavorando in modo ordinato e

senza confusione, anche quando qualcuno si alzava per andare a confrontarsi con qualche gruppo

diverso dal proprio, seguendo la scheda senza distrarsi eccessivamente, anche se, come è naturale

e giusto che sia, erano sicuramente più rilassati che durante le lezioni. Nei diversi gruppi tutti

partecipavano sia alla costruzione dei circuiti sia all’annotazione dei dati e alla discussione.

All’inizio erano molto lenti anche nei collegamenti più semplici, ma motivati a fare prove e a

capire autonomamente, chiamandomi ogni tanto per avere conferme o chiarire dubbi. Inizialmente

avevo previsto un’esperienza di due ore, ma vista la loro lentezza causata dalla non abitudine al

laboratorio, ho preferito lasciare il tempo a tutti i gruppi di studiare anche la lampadina,

chiedendo mezz’ora all’ora successiva, cosa possibile perché era di matematica. Le domande dei

67

gruppi mi hanno dato lo spunto per ricordare e precisare l’uso delle scale, delle incertezze di

misura, la differenza tra linearità e proporzionalità. Ho osservato di nuovo una grande difficoltà

nei calcoli numerici, che in alcuni gruppi si traduceva in rifiuto; ho dovuto sollecitare più volte

alcuni gruppi a calcolare per ogni resistore usato la tensione massima erogabile, compatibilmente

con la potenza massima assorbibile. In generale si limitavano ad eseguire quanto proposto nella

scheda. Un gruppo si è dimostrato più curioso e autonomo, cominciando a fare prove di

collegamenti non previsti dalla scheda. Li ho guidati a fare osservazioni non occasionali,

chiedendosi sempre cosa si aspettavano prima di provare una certa configurazione. Ad esempio

hanno osservato come, collegando due lampadine in parallelo, l’intensità non venisse ‘ripartita’ tra

le due lampadine, come si aspettavano, e che se si interrompeva il collegamento di una, questa si

spegneva come previsto, ma l’altra non aumentava di intensità. Avrei richiamato questa

osservazione durante le lezioni successive, spiegando le resistenze in parallelo, chiamando alla

lavagna una studentessa del gruppo per farle disegnare la configurazione, cogliendo anche

l’occasione per distinguere la rappresentazione realistica del circuito con lo schema simbolico, che

non rispetta le proporzioni tra le lunghezze dei tratti di filo o la curvatura, né la disposizione

geometrica, ma solo la disposizione rispetto a una maglia o a un ramo.

Dal questionario (allegato 13) consegnato a fine azione, emerge che l’esperienza di laboratorio è

stata considerata positivamente da tutti; le risposte si dividono tra chi ha sostenuto che ha facilitato

la comprensione delle leggi coinvolte, e chi la loro memorizzazione.

Dopo l’esperienza di laboratorio ho assegnato una relazione, che avrei valutato. Non hanno avuto

bisogno di chiarimenti particolari riguardo la struttura da seguire, che ho indicato nella scheda di

laboratorio e commentato brevemente durante l’esperienza. Hanno invece chiesto chiarimenti sulle

cifre significative e le incertezza di

misura, sostenendo di non aver trattato

l’argomento in terza, e su come ricavare la

resistenza dai dati corrente-tensione. Non

avendo loro dimestichezza con la

propagazione degli errori, né alcuna

nozione, neanche intuitiva, di regressione

lineare, ho proposto loro la soluzione

semplice di calcolare la resistenza come

media dei singoli rapporti ∆V/I e di

L

V

A

L

disegno studentessa

L

V

L

mio schema

A

68

stimare l’incertezza dalla semidispersione; dovevano inoltre indicare le incertezze di misura delle

singole misure, considerando la sensibilità dello strumento usato, a seconda della scala scelta. Sono

invece apparsi molto preoccupati per l’analisi dei dati riferiti alla lampadina, che non sapevano

assolutamente come interpretare. Per lasciare spazio alla loro riflessione e non anticipare troppo,

ho dato solo qualche indicazione ricordando loro che la lampadina ha un filamento di tungsteno,

che essendo un metallo dovrebbe seguire la legge di Ohm; che viene detta a incandescenza perché

per emettere luce viene portata ad alte temperature; e che la temperatura dipende dalla differenza

di potenziale cui è sottoposta. Mi sembrava di aver evidenziato l’importanza della temperatura, e

che qualcuno avrebbe potuto collegare questa variabilità alla variabilità della resistenza,

nell’ipotesi di validità della legge di Ohm, e quindi dedurre una dipendenza tra resistenza e

temperatura.

Per la correzione della relazione, ho usato gli indicatori riportati in Tabella 4.

frazione della classe che ottenuto il punteggio grezzo (%)

indicatori generali

indicatori specifici

descrittori p.ti 0 25 50 75 100

parte operativa

scelta strumento, scala, costruzione circuito

0,5 0 0 0 0 100 laboratorio

raccolta dati scelta numero di punti, intervalli e spaziatura

0,5 0 0 0 0 100

completezza materiale, procedimento, dati

1 0 0 28 50 22 descrizione

precisione sintesi, linguaggio specifico, cifre significative

1 0 22 33 33 11

completezza proporzionalità, intercetta a 0, valore di R, lampadina

1 0 6 39 44 11

precisione sintesi, linguaggio specifico, conclusioni logicamente argomentate

2 0 0 61 39 0

correttezza riferimento corretto a leggi note, deduzione corretta di leggi non note

1 0 6 17 61 17

analisi dati

originalità lavoro pertinente ma non richiesto

0,5 61 28 6 0 6

Tabella 4. Il punteggio per ogni indicatore è assegnato in percentuale, e pesato con il punteggio

dell’indicatore. Il punteggio finale è ottenuto dalla somma dei punteggi grezzi pesati +2.

Come prevedibile, la realizzazione dell’esperimento in laboratorio e la sua descrizione non hanno

creato difficoltà particolari, essendo l’esperimento operativamente e concettualmente semplice. In

diversi hanno tuttavia mostrato poca attenzione al linguaggio specifico, nella scelta dei termini (ad

esempio l’uso di amperaggio e voltaggio anziché corrente e differenza di potenziale, o di

variazione anziché differenza), nel rispetto delle convenzioni (ad esempio l’uso delle maiuscole e

minuscole nelle unità di misura, su cui avevo insistito durante le esercitazioni in classe), ma anche

69

a livello più sostanziale, come nel confondere potenziale e differenza di potenziale, o la verifica

con l’applicazione di una legge (in una relazione, l’obiettivo viene descritto come: “Verificare

utilizzando la prima legge di Ohm, ∆V=RI, che il rapporto tra ∆V ed I è costante.”).

Più difficoltà hanno dato l’elaborazione dei dati e ancora di più la loro interpretazione. Nel calcolo

della resistenza, qualcuno ha usato i valori troncati alle cifre significative (nonostante avessi più

volte ricordato che nei calcoli si usano tutte le cifre e avessi mostrato esempi numerici di come

l’errore aumenta accumulando approssimazioni successive), trovando incertezze sovrastimate, e

quasi tutti hanno calcolato con la media anche la resistenza della lampadina, anche quanto

nell’interpretazione dicevano chiaramente che l’andamento non è lineare e che la resistenza

cambia. Questo mostra quanto siano abituati ad eseguire procedure e non ad analizzare

criticamente dati ed osservazioni: nessuno, ad esempio, ha usato il fatto che la semidispersione

risultasse dello stesso ordine di grandezza del valore medio della resistenza per concludere che nel

caso della lampadina non si può associare un solo valore di resistenza; dati e commenti sono più

che altro elencati, senza connessione logica. Questo risulta ancora più evidente nella spiegazione

della nonlinearità della curva tensione-corrente per la lampadina: tranne due casi, il fenomeno non

è stato spiegato oppure sono stati riportati i suggerimenti dati da me, senza alcun tentativo di

metterli insieme ma separati da un “inoltre”. I voti ottenuti nelle relazioni (quasi tutti tra il 6 e il 7,

vedi Figura 5) descrivono bene come in media la classe sia diligente, ma abbia difficoltà a compiere

elaborazioni personali e originali, come appena discusso e rilevato già in fase di osservazione.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Figura 5. Voti assegnati alle relazioni di laboratorio, classe 5E.

La disattenzione alla coerenza logica è mostrata anche da come è stato commentato il fatto che la

retta tensione-corrente abbia intercetta nell’origine degli assi: invece di dedurlo dal grafico o per

70

estensione dalle misure per piccoli valori di ∆V e I, e ricordare l’interpretazione fisica che avevamo

visto a lezione, molti l’hanno dimostrato dicendo che senza applicare tensione non si misura

corrente, perdendo di vista che questa osservazione è quasi ovvia e non permette di ricavarne

nessun significato fisico (anche una molla senza pesi non si allunga, ma la proporzionalità non vale

per valori piccoli del peso applicato).

Mi pare che il problema sia più di non avere l’abitudine a interpretare le osservazioni cercando di

trovare collegamenti con altri fenomeni e concetti e di ricavare leggi, più che una vera carenza sul

piano logico. Durante il commento in classe della relazione, non ho rilevato particolare difficoltà

ad accettare le mie puntualizzazioni e correzioni. Durante questa fase ho anche completato la

presentazione del modello di Drude mostrando come le considerazioni qualitative suggerite dal

comportamento della lampadina, di aumento della resistenza con la temperatura, vengono

previste quantitativamente dal modello, e sottolineando i limiti di validità, per cui i risultati

quantitativi valgono solo per pochi metalli, e non viene prevista la diminuzione di resistività con la

temperatura osservata nei semiconduttori. Il modello presentato è quindi un’utile semplificazione,

che consente di fare previsioni in certi casi e di costruirci un’immagine mentale di cosa avviene su

scala microscopica, ma non descrive alcuni tratti essenziali della struttura e del funzionamento

della materia.

5.3 Verifica

Durante le ore di esercitazione di ripasso prima della verifica, ancora una buona parte della classe

non ricordava le leggi e le definizioni più semplici, oltre a mostrare lacune di matematica molto

gravi per una quinta liceo (alcuni non riuscivano a dire di che fattore deve aumentare il raggio

della sezione di un filo per raddoppiarne l’area). Qualcuno ha tuttavia dimostrato di aver

cominciato a riflettere a casa sugli argomenti svolti, ponendo domande varie, non solo sugli ultimi

argomenti.

Ho costruito la verifica (allegato 12) seguendo la struttura cui erano abituati dal DA, inserendo

domande di teoria e problemi. Le domande nelle verifiche del DA consistono in richieste di

dimostrazione, ma considerato che ai ragazzi è consentito consultare libro e appunti (abitudine che

ho rispettato), mi è sembrato più indicativo valutare la capacità di rispondere con argomentazioni

qualitative a domande di comprensione della teoria, del tipo proposto dal loro libro e assegnato

come compito a casa insieme agli esercizi.

71

In Tabella 5 sono riassunti gli obiettivi valutati, i punteggi e i risultati. Ho considerato 1 punto

come punteggio base per avvicinarmi alla valutazione del DA, che assegna un punteggio a ogni

esercizio e somma i punteggi parziali, partendo da 0, evitando però il prevalere di voti insufficienti

rispetto ai sufficienti.

% risp. corrette Esercizio obiettivi specifici competenze coinvolte

punti parz. compl.

D1 II legge di Ohm CT 1 100 53 Leggi di Kirchhoff; enunciato C 0,5 100 74 D2 Leggi di Kirchhoff; spiegazione E 0,5 37 5 interpretazione microscopica della dipendenza ρ(T)

E 1 63 21 D3

interpretazione microscopica del riscaldamento di un conduttore percorso da corrente

E 1 11 5

analisi di un circuito CT 2 84 37 P1 calcolo ∆V tra due punti di un circuito CE 1 74 21

P2 resistenze in parallelo; potenza CT 2 100 42

Tabella 5. Griglia di valutazione per la verifica di fisica proposta in 5E. D-domanda; P-problema.

C-Conoscenza di definizioni e leggi; T-Applicazione immediata delle leggi, tecniche standard;

E-Elaborazione e interpretazione. Il punteggio base è 1.

Risulta chiaramente la differenza di prestazione nella risoluzione di esercizi ‘standard’,

evidentemente affrontabili discretamente anche con uno studio ridotto agli ultimi giorni prima

della verifica, rispetto al rispondere a domande più ‘fisiche’, di spiegazione di fenomeni legandoli

a principi fondamentali o a modelli specifici.

L’esercizio D1 ha rivelato che qualcuno non sa calcolare l’area di un cerchio.

Nella domanda D2 la maggioranza ha preferito enunciare la legge dei nodi, com’era prevedibile

dato che coinvolge la conservazione di qualcosa di sostanziale invece che l’energia, concetto

astratto e non facilmente visualizzabile e manipolabile dagli studenti. In pochi hanno dato una

spiegazione soddisfacente, la maggior parte si è limitata a ricondurre la legge dei nodi alla

conservazione della carica senza ulteriori spiegazioni, qualcuno ha dato spiegazioni cicliche del

tipo “la legge dei nodi è dovuta al fatto che la somma delle correnti entranti deve essere uguale a

quella delle correnti uscenti”, spiegando cioè la legge con la legge stessa.

Analoga ciclicità è emersa nella domanda D3, ad esempio nella risposta di uno studente:

“L’aumento di resistività in un conduttore con la temperatura è dato dal fatto che alcuni materiali

[…] variano la loro resistività in relazione alla temperatura, e in particolare l’aumentano”. In

pochissimi hanno dato una spiegazione corretta, come questa, semplice e non perfetta

nell’esposizione, ma che dimostra di aver compreso l’essenziale: “Se aumenta la temperatura gli

elettroni si muovono più veloci e fanno più urti, quindi l’effetto della resistenza è maggiore.”

72

Paradossalmente, questa risposta è stata data da uno studente che ha riportato complessivamente

un 4+. Qualcuno ha attribuito l’aumento di urti alla maggior velocità degli atomi anziché degli

elettroni, dimostrando di non aver presente, o di non riflettere su, la differenza di massa tra

elettroni e atomi, che rende trascurabile la mobilità degli atomi rispetto agli elettroni (fatto detto in

classe). In molti hanno direttamente tralasciato la domanda, soprattutto la seconda parte, forse per

motivi di tempo. Se da una parte è comprensibile che una domanda non di calcolo meccanico ma

di interpretazione microscopica abbia provocato tante difficoltà, è da notare che non solo la

risposta era stata data durante le spiegazioni (e durante la verifica avevano a disposizione gli

appunti), ma anche che la domanda, tale e quale, era già stata assegnata tra gli esercizi per casa

(allegato 11), e quindi avrebbero potuto chiedere chiarimenti specifici prima della verifica, se li

avessero svolti.

Il secondo problema, anche se più semplice del primo, è più interessante perché consente più

metodi di risoluzione. Il primo ammette al massimo la libertà di scegliere le due maglie cui

applicare le leggi di Kirchhoff, e si può osservare che la maggior parte ha scelto le due maglie

meglio visualizzabili, cioè le due piccole di destra e sinistra, mentre solo qualcuno ha preferito

scegliere quelle più comode per i calcoli, cioè le due contenenti una sola batteria. Il secondo è stato

risolto da quasi tutti trovando le due correnti da I=P/∆V attraverso radio e lampadina, e

sommandole per trovare la corrente erogata dalla rete elettrica e quindi la potenza. Pochi hanno

usato l’equazione P=RI2 costringendosi a più passaggi di calcolo. In un caso una studentessa ha

commentato il risultato osservando che verifica la conservazione dell’energia (la potenza trovata è

somma delle potenze assorbite da radio e lampadina), dimostrando di attivare un controllo sul

risultato che non si limita a ripercorrere i calcoli ma cercando una legge fisica indipendente.

Per quanto riguarda le cifre significative, la maggior parte della classe ha dimostrato alla fine di

averne compreso l’uso.

La distribuzione dei voti (Figura 6) mostra voti né gravemente insufficienti (sotto il 4) né eccellenti

(sopra il 9), confermando la caratteristica di questa classe di essere in media diligente, senza

particolari eccellenze. C’è stato un miglioramento rispetto alla verifica precedente, raddoppiando il

numero di sufficienze. Questo non era previsto, dato che l’atteggiamento passivo e la mancanza di

costanza, osservati prima della mia azione, si sono conservati durante l’azione, e la verifica è stata

impostata in modo un po’ differente da come erano abituati. Probabilmente la differenza deriva

dai diversi criteri di valutazione tra me e il DA. Il questionario (allegato 13) consegnato a fine

azione, mostra comunque che la diversa impostazione della verifica non è stata percepita come un

73

aumento di difficoltà: la maggioranza l’ha ritenuta difficile come le precedenti, solo una minoranza

più difficile. Ha inoltre confermato, come prevedibile e come dimostrato dai risultati della verifica,

la difficoltà nel comprendere il modello di Drude, e la maggiore comprensione per gli argomenti

più ‘tecnici’, come le leggi di Kirchhoff o le formule per le resistenze in serie o parallelo.

3

4

5

6

7

8

9

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Figura 6. Distribuzione dei voti riportati nella verifica in 5E.

5.4 Questionario

Il questionario consegnato a fine azione (allegato 13) è stato compilato da 16 studenti, e i risultati

sono riassunti in Tabella 6. Dove le risposte erano aperte (quelle relative all’argomento capito

meglio e peggio) la somma delle percentuali può superare il 100% perché alcuni hanno risposto

più argomenti.

Nei paragrafi precedenti ho già discusso della valutazione positiva nei confronti dell’esperienza di

laboratorio, e della verifica, che è stata percepita dalla maggioranza di difficoltà comparabile a

quelle del DA, e che ha mostrato punti di forza e difficoltà negli argomenti riconosciuti come tali

anche dagli studenti nel questionario.

Considerando la valutazione positiva del laboratorio e i voti, si può fare un bilancio dell’azione

complessivamente positivo, sia dal punto di vista della percezione avuta dagli studenti, sia per i

risultati, che come già discusso hanno visto un miglioramento rispetto le precedenti verifiche.

Tuttavia, non è da trascurare la valutazione relativa alla chiarezza, che è coerente con la quasi

unanimità nel ritenere il cambio di insegnante un ostacolo alla comprensione. La media quasi

sufficiente deriva da voti quasi tutti sufficienti (dodici 6 e un 6,5) e tre insufficienze (un 3, un 4 e un

5), quindi c’era accordo generale nell’attribuire all’esposizione un voto non più che sufficiente. Se

la percezione dell’impegno e della competenza dell’insegnante sono importanti perché lo studente

74

sia ben disposto a seguire le indicazioni e a svolgere l’attività proposta, ed è quindi soddisfacente

la buona valutazione ricevuta, la chiarezza è un fattore essenziale per la comprensione, e quindi

una valutazione appena sufficiente non è sicuramente soddisfacente e dovrà essere tenuta in

considerazione per migliorare la mia azione in futuro. Tuttavia, è innegabile che un voto di scarsa

chiarezza proviene da una percezione di scarsa comprensione, e questa è dovuta a fattori che

dipendono dalla classe oltre che dall’insegnante. Non a caso in 4H la valutazione della classe nei

confronti della mia chiarezza è stata migliore (vedi Tabella 8), e corrisponde a una mia valutazione

nei confronti della classe di maggiori capacità e di un migliore atteggiamento rispetto alla 5E.

DOMANDA OPZIONI o RISPOSTE OCCORRENZE (%) ha reso più difficile la comprensione 15 (94%) è stato indifferente 0

Seguire le lezioni tenute da un insegnante diverso da quello a cui sei abituato: mi ha stimolato a stare più attento 1 (6%)

ha permesso di capire meglio il fenomeno studiato 10 (62.5%) non ha facilitato la comprensione ma a ricordare i fenomeni e le leggi coinvolti

6 (37.5%)

era scollegata con il resto delle lezioni, mi ha confuso

0

L’esperienza in laboratorio:

è stata indifferente dal punto di vista della comprensione

0

più difficile del solito 5 (31%) più facile del solito 0

La verifica ti è sembrata:

come al solito 11 (69%) leggi di Ohm 8 (50%) serie/parallelo 4 (25%) leggi di Kirchhoff 3 (19%) legge dei nodi 2 (12.5%) effetto Joule 1 (6%)

Qual è l’argomento che ritieni di aver capito meglio

parallelo 1 (6%) modello di Drude 14 (88%) legge delle maglie 1 (6%)

Qual è l’argomento che ti ha dato più difficoltà

batterie in serie 1 (6%) MEDIA

impegno/disponibilità 8.2 chiarezza 5.7

Valuta la prof:

competenza 8.4

Tabella 6: Risposte, con relative frequenze, del questionario di gradimento finale consegnato in 5E.

In questa classe ho rilevato profonde difficoltà a costruirsi immagini mentali e riferimenti alla

realtà che dessero significato alle equazioni, che erano viste nel loro aspetto matematico e solo

occasionalmente legate ad altre e inquadrate in una teoria più ampia. Il livello di questa difficoltà,

probabilmente indotta dall’impostazione dell’insegnamento della fisica e delle scienze ricevuta

fino a quel momento [6], può essere esemplificato da un episodio avvenuto durante la mia azione:

prendendo spunto dal fatto che la classe aveva trovato divertente la richiesta di uno studente di

chiudere la finestra “perché c’è corrente”, avendo associato la corrente d’aria a quella elettrica di

75

cui stavamo parlando, ho proposto di completare l’analogia, chiedendo quali fossero, nel caso

dell’aria, gli analoghi della carica che viene trasportata e della differenza di potenziale che è causa

del trasporto. Non solo non sono stati in grado di individuare nella massa la grandezza

trasportata, ma addirittura hanno attribuito al vento la causa delle correnti d’aria, mostrando non

solo di non sapere attribuire alla differenza di pressione lo spostamento di una porzione di un

fluido, ma neanche che il vento coincide con la corrente d’aria, né che quello che avrebbero dovuto

cercare era una grandezza fisica.

E’ vero che l’azione deve essere adeguata alla classe in cui si svolge, ma è inevitabile, quando si

parla di fisica, mostrare il senso fisico delle equazioni, riferirsi alla realtà e discutere le scelte che

hanno portato a una descrizione piuttosto che a un’altra; anzi ho proprio insistito su questi aspetti

considerando la loro non abitudine a questo approccio. Se è comprensibile il senso di confusione

provocato sugli studenti, si può pensare tuttavia che un percorso più lungo avrebbe alla lunga

ottenuto risultati migliori, e che se anche pochi studenti hanno recepito il corretto approccio,

sicuramente è stato utile stimolarlo, anziché adeguarsi a un metodo apparentemente più chiaro,

ma che porta a vedere la fisica come un elenco di formule slegate tra loro e che non hanno niente a

che fare con la realtà.

6 AZIONE II TIROCINIO – MATEMATICA (IVH)

Nella classe IV H è stata presentata un’unità didattica sulle funzioni ed equazioni esponenziali e

logaritmiche.

6.1 Preparazione

Motivazioni e vincoli

L’azione si è svolta tra novembre e dicembre, durante la trattazione delle coniche in geometria

analitica. Seguendo il programma (allegato 14), avrei potuto continuare l’argomento in corso,

completando la trattazione dell’ellisse e introducendo l’iperbole, oppure scegliere un argomento

che potessi svolgere interamente nelle ore previste dall’azione, dall’inizio alla fine. Il docente

accogliente mi ha lasciato libertà di scelta, con l’unico ragionevole vincolo che, se avessi scelto di

iniziare un argomento nuovo, avremmo portato avanti entrambi contemporaneamente, non

avendo senso interrompere la geometria analitica delle coniche per quasi due mesi. Ho preferito

iniziare un argomento nuovo per avere la possibilità di impostarlo fin dall’inizio in modo

personale, e tra le funzioni esponenziali e quelle goniometriche ho scelto le prime, in quanto si

76

prestavano meglio a una trattazione compatibile con il tema del modello. Infatti ci sono molti

ambiti e situazioni, dall’economia alla fisica, che consentono di evidenziare i legami e le differenze

tra realtà e sua descrizione matematica.

Abbiamo concordato con il DA di dedicare ogni settimana una delle tre ore previste alla geometria

analitica, e due alla mia azione. Per la scelta dei contenuti specifici, ho seguito essenzialmente il

programma, includendo la definizione e le proprietà delle funzioni esponenziali e logaritmiche, la

definizione e le tecniche di risoluzione delle equazioni esponenziali e logaritmiche, aggiungendo

solo riferimenti all’applicazione di queste funzioni nella descrizione di situazioni reali.

Analisi preliminare

Le funzioni esponenziali sono interessanti come esempio di uso della matematica per modellizzare

la realtà, perché descrivono fenomeni molto diversi, che spaziano dalla fisica, alla biologia,

all’elettronica, all’economia. La proprietà caratterizzante è che la quantità rappresentata aumenta

di uno stesso fattore per incrementi uguali della grandezza da cui dipende; una funzione con

queste caratteristiche è quella che associa agli elementi x del dominio una potenza con esponente x,

essendo yaaaayy xxxxx ⋅=⋅==∆+ ∆∆∆+ , dove xa∆ è il fattore costante per ogni incremento ∆x. Si

può definire la funzione esponenziale come omomorfismo tra ℝ,+ e ℝ,⋅, dimostrando esistenza e

unicità, e le proprietà di monotonia e positività [17]. L’approccio seguito alla secondaria superiore

è meno astratto e più graduale, definendo e studiando inizialmente le potenze con esponente

naturale, quindi estendendo le proprietà a esponenti interi e razionali, in modo che le definizioni

siano ben date e rispettino le proprietà delle operazioni coinvolte. Anche volendo rimanere a un

livello in cui ogni oggetto matematico viene collegato a qualche applicazione reale, la definizione

di potenze con esponenti irrazionali si rende necessaria per la risoluzione dei problemi, anche se

una funzione che rappresenta grandezze osservabili nella realtà può assumere solo valori

razionali. Procedendo nella trattazione graduale, nella secondaria si introducono gli irrazionali

come elemento separatore delle sezioni di Dedekind o delle classi contigue di Capelli e Cantor. Se

le sezioni di Dedekind hanno il vantaggio di usare il registro grafico, riferendosi alla

corrispondenza tra numeri reali e punti di una retta, facilitando la comprensione, le classi contigue,

costruite approssimando il numero irrazionale con sempre più cifre decimali, ha il vantaggio di

fornire un metodo operativo per approssimare il numero, e di darne una definizione costruttiva,

coinvolgendo solo l’infinito in potenza e non in atto [18]. Quest’ultimo approccio tuttavia richiede

una nozione intuitiva di convergenza di una successione.

77

Una volta definita e studiata la funzione esponenziale, il logaritmo può essere introdotto in modo

formale come funzione inversa. L’interesse dei logaritmi nel modellizzare la realtà sta nella

possibilità di rappresentare i dati con scale logaritmiche o semilogaritmiche, in modo da avere

indicazioni sulla forma funzionale (potenza dominante del polinomio, o esponenziale) della

relazione tra grandezze studiata, a partire dai dati, anche quando non si ha una teoria che permetta

di prevederla. Può essere quindi utile trattare questo aspetto, soprattutto se si ha la possibilità di

applicarlo in esperienze di laboratorio, durante le ore di fisica o scienze. Ha invece solo interesse

storico la possibilità fornita dai logaritmi di facilitare i calcoli, riducendo le moltiplicazioni ad

addizioni, gli elevamenti a potenza a moltiplicazioni. In lezioni non impostate con un approccio

storico, che evidenzi le motivazioni dell’introduzione di oggetti e strumenti matematici, questo

aspetto si ridurrebbe a poco più di un aneddoto.

Il libro di testo [19] ha un’impostazione orientata alla costruzione dei concetti prima della loro

formalizzazione, lavorando in modo informale e grafico, con riferimenti ad applicazioni e

problemi storici, prima di fornire definizioni e teoremi. Questo mi consente di usare esempi che gli

studenti ritrovano direttamente sul loro testo, senza dover fornire troppo materiale aggiuntivo, che

può risultare dispersivo. Nella parte degli esercizi il libro è tuttavia essenziale, fornisce pochi

esercizi, non differenziati per tipologia e difficoltà. Ho quindi tenuto gli esercizi del libro per il

lavoro a casa, e preso gli esercizi proposti in classe da un altro libro, in modo da fornire più

materiale per l’esercitazione, conservando però il libro come riferimento per il lavoro a casa.

Unità didattica

Prerequisiti: proprietà delle potenze a esponente razionale, equazioni algebriche, funzioni e loro

rappresentazione grafica, funzione inversa, numeri irrazionali, linearità.

Ostacoli: epistemologici (funzione inversa, continuità, prevalenza del pensiero lineare); didattici

(introdurre le potenze come moltiplicazioni ripetute induce a ricondurre le potenze a esponente

negativo e razionale a potenze con esponente intero attraverso reciproci e radicali, creando

difficoltà a dare significato all’esponente irrazionale; un’eccessiva attenzione al piano sintattico

porta a perdita di senso e quindi di controllo)

Obiettivi specifici: saper confrontare potenze con esponente reale; saper disegnare grafici

deducendoli dal grafico della funzione esponenziale o logaritmica, mediante trasformazioni del

piano; calcolare logaritmi; operare cambiamenti di base di logaritmi; semplificare espressioni

logaritmiche; risolvere equazioni esponenziali e logaritmiche (dal programma del DA).

Riconoscere una situazione reale che può essere rappresentata con una funzione esponenziale;

78

comprendere la necessità di definire e usare oggetti matematici che non rappresentano

direttamente grandezze osservabili (ad esempio i numeri irrazionali).

Obiettivi generali: comprendere il significato e l’uso del modello.

Percorso didattico Il percorso riportato è quello effettivamente svolto, e corrisponde a quello predisposto, a parte la

scansione temporale, nella preparazione solo stimata e poi adeguata alla reazione della classe, e

alla rinuncia a trattare le equazioni logaritmiche, come spiegato nel paragrafo 6.2.

TEMPO LEZIONE CONTENUTI OBIETTIVI 1h crescita

esponenziale Situazione problema: scelta tra interesse semplice e composto; necessità di definire potenze a esponente irrazionale

modellizzare una situazione reale con una funzione; distinguere tra modello continuo/valori reali razionali

1h richiami sugli irrazionali

classi contigue; applicazione esponenziale al decadimento radioattivo

comprendere la definizione di numero irrazionale e di potenza con esponente irrazionale; sapere costruire due classi contigue per definire un numero

1h funzione esponenziale

istituzionalizzazione; dominio, codominio, limiti sulla base, monotonia, grafici elementari

1h equazioni esponenziali

ripresa grafici; equazioni riconducibili alla forma a^f(x) = a^g(x)

uso della proprietà di monotonia per risolvere equazioni esponenziali

1h esercizi in classe esercizi in classe su grafici ed equazioni esponenziali

lavoro in gruppo o secondo i propri tempi per chiarire meglio i concetti

1h equazioni esponenziali

equazioni riconducibili alla forma a^x=b e introduzione logaritmo; equazioni risolvibili per sostituzione

1h logaritmo logaritmo come operazione inversa dell’esponenziale; funzione logaritmo: dominio, codominio, basi, monotonia, grafici

1h proprietà logaritmi

proprietà logaritmi cercate dagli studenti a partire da quelle delle potenze, con la guida dell’insegnante

scoprire e dimostrare le proprietà dei logaritmi a partire da quelle delle potenze

.5h numero e numero e, valore approssimato, cenni sulle proprietà, notazione ln(x) e log(x)

.5h esercizi in classe esercizi su proprietà logaritmi risolvere equazioni elementari e semplificare espressioni applicando le proprietà dei logaritmi

.5 ordinamento log ordinamento di logaritmi sfruttando proprietà o per via grafica, senza calcolarli

confrontare base e argomento per sapere a che intervallo appartiene un log

1.5 esercizi in classe esercizi sui log e grafici 2h verifica verifica per metà su esponenziali e

logaritmi, metà su ellisse e iperbole

1h correzione verifica

questionario anonimo su azione tirocinante; correzione verifica

79

6.2 Lezioni

Prima di cominciare il mio argomento, ho svolto una lezione di esercitazione sull’ellisse, in modo

da farmi un’idea della loro partecipazione e del loro approccio ai problemi. Ho in parte proposto

esercizi guidati da me, in parte svolti alla lavagna da uno studente mentre passavo tra i banchi per

vedere come lavoravano quelli al posto. In generale erano tutti attenti ed eseguivano gli esercizi

assegnati in classe, anche quelli con più difficoltà hanno mostrato interesse a capire, chiedendo

chiarimenti, mentre solo in pochissimi partecipavano più attivamente facendo osservazioni o

rispondendo alle mie sollecitazioni.

Funzioni esponenziali

Considerato l’atteggiamento della classe, mi è stato possibile introdurre l’argomento con un

problema, che ho lasciato affrontare all’inizio autonomamente, individualmente o a gruppi, ma ho

subito cominciato a guidare per sfruttare gli interventi dei pochi che davano contributi originali.

Ho presentato il problema di scegliere tra un investimento che prevede un interesse semplice al 5%

e uno con un interesse composto al 4%, esplicitando l’obiettivo di ricercare una funzione che

descriva la dipendenza capitale-tempo, per poi studiarne le proprietà e arrivare a generalizzare la

definizione. Questo perché il percorso che proponevo era inverso a quello cui la classe era abituata,

vicino all’impostazione assiomatica definizione – esempi – applicazioni.

Un buon numero è arrivato a scrivere autonomamente le due funzioni nella forma

MS(t) = C0(1+5/100*t) e MC(t) = C0(1+4/100)t, con MS e MC il montante nel caso di interesse semplice e

composto, rispettivamente. Essendo evidente a tutti che le due funzioni sono crescenti, restava da

capire quale cresceva più velocemente. Dopo qualche calcolo numerico per valori interi del tempo

(espresso in anni) si sono accorti che inizialmente era più conveniente l’interesse semplice, ma a un

certo punto doveva esserci un ‘sorpasso’. Non sapendo risolvere l’equazione necessaria per

determinarlo, qualcuno ha proposto di risolvere graficamente, scartando subito la proposta, visto

che non sapevano disegnare il grafico di MC(t). Ho suggerito di costruire il grafico per punti, in

modo che vedessero chiaramente che l’istante cercato non è un numero intero, imponendo di

definire la funzione su un insieme più ampio dei naturali. Qualcuno ha proposto automaticamente

di definirla sui reali. Questo mi ha permesso di far notare che qualsiasi misura effettuata nella

realtà può fornire solo valori interi o razionali, ma che per rappresentare le grandezze è necessario

usare funzioni a valori reali e definite sui reali, per poter eseguire i calcoli e risolvere equazioni. Ho

giustificato questa affermazione dimostrando, sulla falsariga della dimostrazione dell’irrazionalità

di √2, che ad esempio l’istante in cui il capitale si raddoppia è un numero irrazionale, e

80

distinguendo quindi il modello dalla realtà che rappresenta. Questo ragionamento non è stato

accettato subito da tutti, ma è risultato più naturale quando ho fatto loro un esempio con concetti

più elementari e da loro ben acquisiti: se disegnano un quadrato di lato l e vogliono tagliare una

striscia di carta in modo che possa essere sovrapposta alla diagonale, devono usare concetti

astratti, eseguire un’operazione che fornisce un valore irrazionale (l√2), cioè ‘muoversi’ nei reali,

anche se alla fine il risultato viene approssimato a un numero razionale per effettuare l’operazione

pratica di misura e taglio della striscia. Durante la discussione è emerso che non avevano mai

definito rigorosamente i numeri irrazionali, né dimostrato l’irrazionalità di alcun numero. Prima di

proseguire con la definizione di potenza con esponente irrazionale, ho dedicato una lezione alla

definizione di irrazionale come elemento separatore di classi contigue, e alla dimostrazione

dell’irrazionalità di numeri del tipo √n, con n naturale. Ho fatto riferimento ai primi capitoli del

loro libro, che proponevano questo argomento come ripasso, quindi non c’è stato bisogno di

fornire materiale aggiuntivo. Ho però dovuto limitare il numero di esempi di situazioni reali

modellizzabili con funzioni esponenziali.

Durante la correzione del problema sul decadimento radioattivo (allegato 15), lo studente alla

lavagna ha risposto alle domande usando una funzione con una base (1+x) anziché ½, per analogia

con l’esempio del capitale. La soluzione era corretta, ma non permetteva di generalizzare

direttamente l’espressione della funzione cui volevo arrivare, cioè ax. Questo suggerisce che

l’esempio dell’investimento, scelto perché suggerito anche dal loro libro e semplice perché non

coinvolge fenomeni fisici a loro ignoti e inizialmente solo esponenti naturali, ha una forma

particolare che ostacola l’individuazione delle caratteristiche essenziali della situazione in esame,

cioè una grandezza che varia dello stesso fattore in uguali intervalli di tempo, e che quindi può

essere espressa con una potenza. Sarebbe stato più opportuno forse presentare come primo

esempio la crescita di una popolazione di batteri, che ha un semplice fattore di crescita. Non ha

invece creato difficoltà il fatto che l’esempio del capitale si limitasse a esponenti positivi, perché

nessuno ha avuto dubbi nell’usare un esponente negativo per calcolare la quantità di radon a un

istante precedente di quello attuale. Nella dimostrazione dell’irrazionalità di (1/2)15/1620, molti

hanno mostrato difficoltà a seguire i passaggi che coinvolgevano le proprietà delle potenze, e ho

quindi suggerito di fare qualche esercizio in proposito autonomamente per richiamarle alla

memoria. Ho invece dedicato diverso tempo a proporre esercizi in classe di costruzione di classi di

minoranti e maggioranti di alcuni numeri irrazionali del tipo √n, determinandone gli elementi

come numeri razionali il cui quadrato è minore o maggiore di n, rispettivamente, e che aggiungono

81

al precedente una cifra decimale. Formalmente, la classe dei minoranti(maggioranti) è quindi

immagine della successione m: ℕ → ℚ; i ֏ mi = mi-1 + k 10-i, con k naturale compreso tra 0 e 9, tale

che mi è il massimo(minimo) numero al variare di k il cui quadrato è minore(maggiore) di n. In

classe si è usato solo implicitamente il concetto di successione, mentre esplicitamente si è parlato

solo di trovare gli elementi di due insiemi, costruendo schemi del tipo:

1 1,4 1,41 1,414 … √2 2 1,5 1,42 1,415 …

Con queste attività ho dato il tempo di assimilare il concetto, di comprendere come si può

operativamente approssimare un numero, e di estendere in modo naturale la costruzione di

numeri del tipo √n a quella di na . Quest’ultimo passaggio richiede di accettare intuitivamente che

le due classi che convergono a √n permettono di definire due classi che convergono ad na ,

semplicemente elevando la base a ai valori degli elementi delle classi precedenti. Assegnando la

costruzione delle classi che definiscono 7)2(− , ho lasciato che scoprissero da soli perché la base

della funzione esponenziale debba essere positiva, e ho quindi ricordato che anche con esponenti

razionali bisogna imporre la stessa condizione, a causa dell’ambiguità nell’identificare i radicali

con potenze a esponente frazionario nel caso di basi negative, ad esempio 3/1)2(− risulterebbe

negativo se visto come 3 2− , ma positivo se, da 1/3 = 2/6, si scrivesse come 26 ( 2)− . [18]

A questo punto ho potuto istituzionalizzare la definizione di funzione esponenziale facendo

suggerire da loro dominio, codominio, condizione sulla base, e presentando il grafico completando

per continuità quello che avevamo costruito per punti, distinguendo tra base compresa tra 0 e 1 o

maggiore di 1. Ho anche fatto dire da loro la definizione di crescenza e decrescenza, che non

avevano mai formalizzato. Come già osservato, pochi intervenivano in questi casi, mentre gli altri

stavano attenti e al massimo chiedevano chiarimenti; tuttavia, chi interveniva dimostrava sia una

buona intuizione sia una padronanza del linguaggio specifico, ad esempio nella definizione di

crescenza hanno correttamente usato i quantificatori e connettori logici. Talvolta dovevo

riprendere un gruppetto in fondo all’aula che si distraeva, ma rimanevano episodi saltuari, e

quando proponevo lavori di gruppo partecipavano tutti.

Equazioni esponenziali

Le equazioni esponenziali sono state trattate dal punto di vista puramente matematico, senza

riferimenti a situazioni reali descrivibili da esse. La decisione è stata presa considerando il tempo a

82

disposizione e le richieste del DA, che ha voluto che le equazioni venissero presentate secondo la

seguente schematizzazione, volta a facilitare il riconoscimento della tecnica di risoluzione:

− Stessa base, senza addizioni, o riconducibili. Es 21 1

42

x

x x

−−

=

− Basi diverse, senza addizioni. Es 4 163 2x x+ −=

− Stessa base, con addizioni. Es 1 22 2 2 7x x x− −+ + =

− Risolvibile per sostituzione. Es 23 3 6 0x x+ − =

Per introdurre le equazioni, ho proposto un esempio subito dopo l’istituzionalizzazione della

definizione e proprietà della funzione esponenziale, in modo che le avessero ben presenti. Prima di

chiedere come si poteva risolvere, secondo loro, l’equazione 13 3x x+ −= , ho chiesto quante soluzioni

ha. Chi è intervenuto ha correttamente risposto che la soluzione è una, ma nel motivare ha

mostrato di considerare solo il grado dei polinomi presenti a esponente, e non l’iniettività della

funzione esponenziale. Ho quindi proposto esempi in cui gli esponenti contenessero polinomi di

grado superiore o espressioni frazionarie, per evidenziare che la monotonia della funzione

esponenziale, implicando l’iniettività, permette di dire che i due esponenziali sono uguali solo se

sono uguali gli esponenti, rendendo equivalenti l’equazione tra esponenziali e quella tra esponenti,

fornendo una tecnica risolutiva. A questo punto ho dato la definizione di equazione esponenziale

(avendo loro già visto esempi cui riferire la definizione), distinguendole da quelle trascendenti,

riprendendo l’esempio iniziale del problema della scelta dell’investimento, in modo da non

relegarlo a spunto iniziale, disgiunto dalla trattazione successiva.

Avendo ridotto le equazioni esponenziali a equazioni algebriche, ho dato un po’ di esercizi da

svolgere autonomamente in classe, non essendo necessarie ulteriori spiegazioni. I ragazzi hanno

reagito con commenti di soddisfazione, dimostrando di voler lavorare attivamente piuttosto che

ascoltare passivamente delle spiegazioni, stimolati probabilmente dai risultati dell’ultima verifica e

dalla lettera a casa. In questo modo ognuno poteva seguire i propri tempi, e io potevo osservarli

individualmente e intervenire sulle difficoltà di ciascuno. Ho constatato grandi disparità tra chi

risolveva senza difficoltà equazioni anche complesse, anticipando tecniche di soluzione non ancora

spiegate, e qualcuno con gravi lacune sui prerequisiti algebrici. Ad esempio una studentessa ha

scritto ( )2 27 7x x− = “perché un quadrato è sempre positivo”, un altro 1 2 12 2 2x x x− −+ = . Ho ribadito la

necessità di avere ben presenti le proprietà delle potenze per risolvere le equazioni esponenziali,

quindi di esercitarsi sulle prime prima di affrontare le seconde. Durante le attività di esercitazione,

quando ne è emersa la necessità ho definito il logaritmo, come soluzione di un’equazione del tipo

83

ax=b, in attesa della definizione come funzione inversa dell’esponenziale. Questa definizione

provvisoria non crea confusione perché la soluzione dell’equazione usata per definire il logaritmo

è unica, consente di cominciare a familiarizzare con il simbolo, e mostra il legame tra logaritmo e

potenza, che sarà utile nel ricercare e dimostrare le proprietà.

Funzioni logaritmiche

Per definire il logaritmo, introdotto provvisoriamente come numero, ho detto che si vuole definirlo

come funzione, e ricordato loro la definizione provvisoria di soluzione dell’equazione ax=b. Hanno

osservato da soli che è la funzione inversa dell’esponenziale, e che non servono restrizioni sul

dominio grazie alla monotonia della funzione esponenziale. Ho quindi chiesto loro di proporre

dominio, codominio e condizioni sulla base. Dopo aver scritto log: ℝ+ → ℝ, x ֏ logax, a∈ℝ\1, su

suggerimento di qualcuno, sono emerse delle difficoltà da parte di altri. Il fatto di scrivere

l’immagine come logax non ha convinto subito, qualcuno proponeva logab rifacendosi

all’equazione, dimostrando che la definizione provvisoria fornita può indurre in confusione

quando gli stessi simboli vengono usati con significato diverso in scritture correlate ma

indipendenti. Per chiarire è comunque stato sufficiente esplicitare una lettera per l’immagine, x ֏

y=logax e legarla all’equazione ay=x. Inoltre, non tutti hanno capito subito perché le limitazioni sulla

base imposte per l’esponenziale dovessero venire estese anche al logaritmo. Questi interventi

mostrano che, anche se solo in pochi erano in grado di dare contributi attivi alla spiegazione, la

maggior parte degli altri avevano comunque il corretto atteggiamento di seguire e riflettere su

quanto ascoltato, chiedendo subito chiarimenti. Solo un piccolo gruppo si limitava a prendere

appunti.

Per presentare le identità che consentono di semplificare le espressioni logaritmiche, ho proposto

loro di completare le uguaglianze che scrivevo alla lavagna (ad esempio loga(b⋅c) = logab …)

rifacendosi alla definizione di logaritmo e alle proprietà delle potenze. In questo modo, oltre a

stimolare l’attenzione, la scoperta dell’identità avrebbe fornito automaticamente la dimostrazione.

Qualche identità e dimostrazione è stata trovata da loro, con qualche rilancio da parte mia, altre le

ho lasciate per casa e poi le ho riprese in classe.

Per le stesse motivazioni espresse per le equazioni esponenziali, non ho presentato situazioni reali

di cui le funzione logaritmiche possano essere modello. Sarebbe stato utile, inoltre, presentare l’uso

della scala logaritmica, non solo per presentare i dati, ma anche per avere informazioni sulla forma

funzionale della legge ricavabile dai dati. Questo è tuttavia possibile riprenderlo nelle ore fisica,

84

quando sono stati forniti loro gli strumenti matematici. Considerato il tempo a disposizione prima

della verifica, ho preferito dedicare più tempo a esercizi su quanto già trattato piuttosto che

introdurre le equazioni logaritmiche. Il DA è stato d’accordo che rallentare il ritmo avrebbe

permesso a più studenti di migliorare rispetto all’ultima verifica, con effetti positivi sulla

motivazione e sull’impegno successivo.

Ho quindi proposto esercizi in classe di semplificazione di espressioni logaritmiche e di disegno di

grafici, anche sfruttando le trasformazioni del piano. A proposito dell’atteggiamento della classe, è

significativa la richiesta di chiarimenti di una studentessa che non capiva perché, dovendo

disegnare il grafico di ln(4-x), si debba ‘spostare in avanti’, il grafico di ln(-x) (Figura 7a), non

accontentandosi di sostituire qualche valore e ‘vedere’ che il grafico disegnato corrispondeva alla

funzione, né di ricondurre il grafico di ln(4-x) alla simmetrizzazione di ln(x-4) rispetto alla retta

x=4, dopo aver operato la traslazione di ln(x) (Figura 7b). Nelle domande della studentessa era

evidente la distinzione tra l’accettazione razionale di una dimostrazione che si riconosce come

corretta, e il convincimento che coinvolge maggiormente intuizione e immagini mentali, e dà una

comprensione più profonda del solo piano formale. Una spiegazione che è stata ritenuta

convincente è stata di considerare il grafico di ln(4-x) come il grafico di ln(4+x) fatto su un

riferimento cartesiano con l’asse delle ascisse orientato verso sinistra: in questo riferimento la

traslazione ‘all’indietro’ della curva, corrisponde alla traslazione ‘in avanti’ in un riferimento

standard.

a b

Figura 7. Disegno del grafico di y=ln(4-x) a partire dal grafico di y=ln(x), applicando (a) una simmetria

rispetto all’asse y (1) e una una traslazione verso destra di 4 unità (2); applicando (b) una traslazione verso

destra di 4 unità (1) e una simmetria rispetto a x=4 (2).

2 4 6 8

-2

-1

1

2 (1)

y=ln(x) y=ln(x-4)

y=ln(4-x)

(2)

-1

1

2

-2 2 4

y=ln(x) y=ln(-x)

y=ln(4-x)

(2)

(1)

85

In definitiva, anche durante la fase di azione ho avuto conferma dell’idea avuta durante

l’osservazione, ed espressa dal consiglio di classe, di una classe con buone capacità, con un

atteggiamento più attivo, e interessata alla comprensione più che a limitarsi ad eseguire quanto

assegnato, tendenza rilevata nella classe 5E.

6.3 Verifica

La verifica (allegato 16) comprendeva sia gli argomenti trattati da me sia quelli del DA, quindi ho

predisposto problemi da svolgere in circa un’ora, e ho mantenuto la struttura del DA per

omogeneità. Non ho quindi inserito problemi di descrizione di situazioni reali con funzioni

esponenziali, sia per seguire l’abitudine del DA a proporre esercizi decontestualizzati, sia

considerando che l’azione si era sviluppata in modo che l’uso di funzioni esponenziali come

modello era stato trattato solo nelle prime lezioni e non più ripreso.

Oltre a esercizi standard di calcolo (il 2 e il 3), ho inserito problemi che prevedessero l’uso del

registro grafico e la capacità di fare considerazioni qualitative, tenendo conto delle proprietà

caratterizzanti come la monotonia, il segno, la relazione tra base e argomento (il 4).

In Tabella 7 sono riassunti gli obiettivi valutati, i punteggi e i risultati.

% risp. corrette Esercizio obiettivi specifici competenze coinvolte

punti parz. compl.

grafico con trasformazioni del piano CE 1 74 32 1 indicazione esplicita di intersezione con assi e asintoti

CT 0,5 21 5

2a equazione esponenziale per sostituzione; proprietà potenze

CT 2 79 42

2b equazione esponenziale uguagliando gli esponenti

T 2 100 63

3a proprietà logaritmi; proprietà potenze CT 1 100 79 3b proprietà logaritmi; proprietà potenze CT 1 95 84

ordinamento logaritmi CE 0,5 47 47 4 discussione L 1 26 16

Tabella 7. Griglia di valutazione per la verifica di matematica proposta in 4H. C-Conoscenza di

definizioni e teoremi; T-Applicazione di tecniche standard, E-Elaborazione di procedure; L-

Argomentazione, uso del linguaggio specifico. Il punteggio base è 1.

I risultati mostrano chiaramente una preferenza nei confronti degli esercizi di calcolo, che

coinvolgono l’applicazione di tecniche standard, rispetto alla rappresentazione grafica delle

funzioni e la discussione dei risultati. Questa tendenza diventa applicazione acritica di tecniche

mnemoniche in certi casi, come mostra ad esempio il passaggio:

( )2 13 3 3 1 3

2 1 (1 )

x x x x

x x x x

++ = ⋅ −

+ = + + −

86

in cui si uguagliano gli esponenti, procedendo per analogia visiva con gli esempi visti a lezione,

senza aver compreso perché, e quindi in quali casi, si possa fare.

Le proprietà delle potenze sono state recuperate dalla maggior parte della classe, anche se in

qualche caso si trovano errori del tipo: 3 1/ 2 6 1x x= → = .

Interessante è l’analisi dell’esercizio 4, in cui tre numeri espressi attraverso logaritmi devono essere

ordinati, facendo considerazioni sulla crescenza e decrescenza delle funzioni logaritmiche a

seconda della base, e deducendo segno e modulo maggiore o minore di 1 dal confronto tra

argomento e base, aiutandosi eventualmente con un grafico (esercizi di questo tipo erano stati

svolti in classe e assegnati a casa). Oltre ad essere stati tralasciati da un buon numero di studenti

(forse per mancanza di tempo), in diversi casi sono stati risolti in modo incoerente, con errori che

nel contesto degli altri esercizi non sono stati commessi. Ad esempio, uno studente che ha risolto

correttamente le equazioni, nel 4 ha scritto:

2log 4 2 2x x positivoπ π→ = → =

Un altro, dopo aver correttamente disegnato i grafici di lnx, logπx e log1/2x, e indicato per quali

valori assumono i valori 1 e -1, invece di individuare sull’asse delle ascisse il numero

dell’argomento per determinare graficamente l’intervallo cui appartenesse il logaritmo, ha scritto:

0<e<1 → valore positivo | 0<π<1 → valore positivo | valore negativo

sotto ogni grafico, per concludere log1/2e < logπ4 = ln2. Questo mostra di nuovo una perdita di senso

di quello che si sta facendo, cercando di riprodurre acriticamente quanto visto, senza alcun

controllo.

L’esercizio 3 non ha dato particolari problemi, ma è interessante osservare che i 2/3 delle soluzioni

non applicano le proprietà dei logaritmi (come mostrato da me in classe), ma si riconducono a

un’equazione esponenziale e applicano le proprietà delle potenze. Ad esempio:

41/ 3

1log 81 81 3 4

3

x

x− → = = → = −

Questo mostra che, a parte la minoranza che opera meccanicamente discussa prima, in generale in

questa classe sono in grado di operare scelte di fronte a un problema, optando per la soluzione

considerata più comoda. In effetti, non avendo ancora dovuto risolvere equazioni logaritmiche

complesse, non era necessario imparare le proprietà dei logaritmi, visto che ci si poteva ricondurre

a quelle delle potenze. Si vede anche come la definizione provvisoria di logaritmo sia stata ben

assimilata.

87

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Figura 8. Distribuzione dei voti riportati nella verifica in 4H. •••• parte su esponenziali e logaritmi; voto

complessivo.

In Figura 8 sono mostrati i voti. Per determinare il voto complessivo della prova, il DA ha

sommato le due votazioni riferite alla sua parte e alla mia, tradotte in quinti, e ha aggiunto 0,25

punti per compensare le approssimazioni nella conversione.

La distribuzione dei voti mostra un generale miglioramento rispetto ai risultati della verifica

precedente, e conferma la grande variabilità osservata durante la fase di azione; i voti rispecchiano

il diverso grado di partecipazione in classe e di impegno a casa.

Il questionario (allegato 17) consegnato a fine azione, mostra la consapevolezza da parte dei

ragazzi delle loro forze/debolezze, in quanto hanno confermato la migliore comprensione, in

media, della funzione esponenziale rispetto al logaritmo e delle equazioni rispetto alla

rappresentazione grafica o all’ordinamento. Invece, contrariamente alle intenzioni mie e del DA e a

quanto dimostrano i risultati ottenuti, hanno ritenuto che la verifica fosse della stessa difficoltà

delle precedenti, quasi all’unanimità (due l’hanno ritenuta più facile).

6.4 Questionario

Il questionario consegnato a fine azione (allegato 17) è stato compilato da 15 studenti, e i risultati

sono riassunti in Tabella 8. Dove le risposte erano aperte (quelle relative all’argomento capito

meglio e peggio) la somma delle percentuali può superare il 100% perché alcuni hanno indicato

più argomenti.

88

Nel paragrafo precedente ho già discusso della verifica, che è stata percepita di difficoltà

comparabile a quelle del DA, e da cui sono emersi punti di forza e difficoltà negli argomenti

riconosciuti come tali anche dagli studenti nel questionario.

DOMANDA OPZIONI o RISPOSTE OCCORRENZE (%) ha reso più difficile la comprensione 2(14%) è stato indifferente 9 (64%)

Seguire le lezioni tenute da un insegnante diverso da quello a cui sei abituato: mi ha stimolato a stare più attento 3 (22%)

più difficile del solito 1 (7%) più facile del solito 2 (13%)

La verifica ti è sembrata:

come al solito 12 (80%) esponenziali 8 (53%) equazioni esponenziali 5 (33%) logaritmi 1 (7%)

Qual è l’argomento che ritieni di aver capito meglio

equazioni logaritmiche 1 (7%) grafici 4 (30%) grafici di logaritmi 3 (21%) logaritmi 3 (21%) ordinamento logaritmi 3 (21%)

Qual è l’argomento che ti ha dato più difficoltà

grafici esponenziali 1 (7%) MEDIA

impegno/disponibilità 8.6 chiarezza 7.1

Valuta la prof:

competenza 8.1

Tabella 8: Risposte, con relative frequenze, del questionario di gradimento finale consegnato in 4H.

E’ interessante confrontare le risposte alla prima domanda con il voto relativo alla chiarezza. La

maggior parte non ha ritenuto una difficoltà il cambio di insegnante, e questo è coerente con la

percezione di una discreta chiarezza nell’esposizione. In effetti, da parte mia non ho cambiato

significativamente il metodo del DA, a parte nell’introduzione, e la classe ha confermato, durante

la mia azione, il parere espresso dal consiglio di classe, di una classe con buone potenzialità. Questi

fattori hanno contribuito alla buona riuscita dell’azione, anche da parte di un insegnante diverso

dal solito che ha lavorato con la classe per un breve periodo.

CONCLUSIONI

L’azione di tirocinio è stata impostata, svolta e analizzata attorno all’idea di modello, inteso come

strumento fondamentale di rappresentazione e indagine della realtà, come contenuto specifico

degli argomenti trattati, come componente di una didattica centrata sulla costruzione attiva dei

concetti da parte del discente.

Gli argomenti trattati nelle diverse classi, tutte di liceo scientifico, e i relativi modelli specifici

presentati possono essere così riassunti:

− in prima: fluidostatica. Modello di fluido ideale, incomprimibile e privo di sforzi di taglio.

89

− in seconda: probabilità e calcolo combinatorio. Modello di dado ideale, con facce

perfettamente equiprobabili, a cui ricondurre il calcolo della probabilità di situazioni reali,

astraendo i concetti di lancio, numero di dadi, esito; modello ‘a cassetti’ cui ricondurre il

calcolo di disposizioni e combinazioni, astraendo i concetti di oggetti da disporre e cassetti in

cui disporli.

− in quarta: esponenziali e logaritmi. Funzione esponenziale come modello di quantità che

variano di un fattore costante per incrementi costanti della variabile indipendente; funzione

definita sui reali e a valori reali per descrivere quantità che assumono valori solo razionali.

− in quinta: correnti elettriche continue. Modello continuo (fluido) o discreto (flusso di

particelle cariche) della corrente; modello di Drude per la conduzione nei solidi.

In situazioni diverse la presentazione dei modelli ha seguito metodologie e finalità diverse.

In prima e in seconda non si è parlato esplicitamente di modello, ma si è costruito il modello

necessario a studiare l’argomento in esame, mostrando l’utilità di astrarre e semplificare per poter

portare avanti uno studio quantitativo che consenta la previsione, e avere uno schema generale cui

ricondurre diverse situazioni reali; l’obiettivo era più stimolare un’abitudine a un metodo che una

riflessione esplicita al ruolo del modello e al metodo scientifico, perché per poter condurre e

comprendere una discussione su di essi bisogna averli sperimentati in situazioni specifiche e aver

costruito una base di idee implicite in proposito. A seconda della difficoltà dello specifico modello

e dell’atteggiamento della classe, la presentazione è stata più o meno orientata verso l’esposizione

o la costruzione attiva da parte della classe. In prima, considerata la generale passività e

immaturità, il processo di costruzione del modello di fluido ideale, di individuazione delle

grandezze caratteristiche per la sua descrizione e delle leggi che legano queste grandezze, è

avvenuto in modo molto guidato, sia durante le lezioni introduttive sia durante l’esperienza di

laboratorio. In seconda, classe decisamente più motivata e partecipativa, i concetti e i teoremi sono

emersi quasi naturalmente dalle discussioni in gran parte spontanee che coinvolgevano la quasi

totalità della classe, stimolate solo da uno spunto iniziale o da pochi suggerimenti da parte mia;

questo è avvenuto soprattutto per gli argomenti di probabilità, mentre la difficoltà del calcolo

combinatorio per ragazzi di quest’età ha portato a una presentazione più guidata.

Nelle classi del triennio la presentazione è stata più esplicita, discutendo non solo in maggiore

dettaglio l’utilità dei modelli presentati per descrivere e studiare gli argomenti specifici in esame, e

i loro limiti di applicabilità, ma anche la loro natura di strumento generale per la descrizione della

realtà, individuando le caratteristiche ricorrenti di ogni modello. In quarta la presentazione è stata

90

limitata dai vincoli di tempo e di contenuti imposti dal DA, e si è ridotta a qualche esempio iniziale

di situazioni reali (prese dall’economia o dalla fisica) modellizzabili con la funzione esponenziale,

che è stata successivamente trattata, insieme alle equazioni e ai logaritmi, dal punto di vista

formale e delle tecniche di calcolo. Nonostante il tempo ridotto dedicato all’aspetto di

modellizzazione, si è tuttavia potuto usare il modello come motivazione all’introduzione di un

nuovo oggetto matematico, come riferimento alla realtà che facilita la comprensione perché dà

significato a concetti astratti (come suggerisce la teoria dei campi concettuali), come spunto per

una situazione-problema che favorisse la costruzione attiva dei concetti, e si è discussa la relazione

tra realtà e suo modello matematico, riflettendo sulla necessità di definire la funzione esponenziale

sui numeri reali per descrivere quantità che assumono solo valori razionali, anche in linea di

principio e non solo come effetto di una misurazione (ad esempio la frazione di nuclei decaduti).

In quinta la presentazione è stata più completa. Si è presentato un modello specifico, il modello di

Drude, che ha una complessità sufficiente per riflettere in modo maturo sugli aspetti già

evidenziati: le caratteristiche di astrazione e semplificazione, i limiti di validità, la distinzione con

la realtà rappresentata, e l’utilità nel consentire previsioni; soprattutto il fatto che alcuni oggetti

siano considerati, in questo modello, in modo diverso da come gli studenti sapevano da altre

materie o altri argomenti, ad esempio gli ioni e i portatori di carica sono considerati come palline

rigide, senza struttura interna, ha consentito di evidenziare che un modello non è un tentativo di

adesione alla realtà, limitato solo da carenza di conoscenze o di capacità di calcolo, ma opera delle

scelte per individuare quali sono le proprietà caratterizzanti il fenomeno. Si è anche stimolata una

riflessione sul metodo scientifico e sui criteri di scelta di modelli e di teorie, mostrando diversi

modelli per descrivere lo stesso sistema e lo stesso fenomeno, ugualmente corretti per rendere

conto delle osservazioni sperimentali. Si è potuto evidenziare che il riferimento alla realtà, dato

dall’esperimento, non impone una descrizione univoca, sempre più aderente alla realtà

all’aumentare degli esperimenti fatti e al raffinarsi della loro elaborazione, ma può solo imporre di

escludere una teoria (è una falsificazione e non una verifica), mentre la scelta di due teorie

equivalenti avviene secondo il criterio di semplicità, che è un criterio di funzionalità e di

preferenza intellettuale, ma non è necessariamente contenuto nella realtà esterna.

La valutazione della comprensione dei modelli specifici presentati e del ruolo del modello in

generale come strumento di descrizione e indagine, è avvenuta in modo indiretto attraverso

l’osservazione degli interventi della classe durante l’azione (o, dove previsto, del comportamento

in laboratorio), e la valutazione, nella verifica sommativa, di domande di comprensione della

91

teoria o di problemi che richiedessero l’applicazione delle leggi e dei concetti contenuti nei modelli

presentati; solo in quarta la verifica ha proposto esercizi standard, senza alcun riferimento a

situazioni reali. La comprensione del ruolo del modello nelle scienze e il suo uso sono obiettivi

generali legati alla comprensione del metodo scientifico e all’acquisizione di una visione critica e

analitica della realtà, ed è quindi la sua applicazione in contesti specifici che è interessante

valutare, piuttosto che la capacità di rispondere a domande esplicite, che possono essere la

ripetizione di frasi ascoltate a lezione, ma non necessariamente accompagnate da una

comprensione significativa. Per questo motivo questo obiettivo è stato valutato indirettamente

attraverso la valutazione dei contenuti e obiettivi specifici dell’unità didattica, fatto che ha anche

reso possibile adeguare forma e contenuti delle verifiche a quelle dei DA.

I risultati complessivi dell’azione, dal punto di vista dei contenuti e degli obiettivi specifici,

ottenuti nelle diverse classi sono stati discussi nei rispettivi paragrafi relativi alle verifiche e ai

questionari. Qui si vuole analizzare i risultati ottenuti nell’insegnamento del modello, nei suoi

aspetti scientifici e didattici.

Si è detto nel capitolo di teoria che il modello è un componente essenziale del metodo scientifico,

in cui si scelgono le proprietà essenziali di un sistema o di un fenomeno, si definiscono le

grandezze descrittive, e si determinano le relazioni tra esse. Anche se con approcci diversi, a causa

dei vincoli già richiamati, in tutte le classi si è presentato un processo di questo tipo anziché dare la

formulazione matematica finale di definizioni, leggi o teoremi, con l’intento di facilitare la

comprensione, di abituare a motivare ogni affermazione o procedimento risolutivo, e di dare una

visione delle scienze come strumento efficace di descrizione della realtà e non come insieme di

formule slegate e astratte. La risposta delle classi è stata diversa a seconda principalmente dell’età

e dell’atteggiamento di partenza. Nelle classi del biennio ho osservato una maggiore facilità a

cambiare approccio: in prima, in laboratorio ho osservato, anche se in numero limitato di studenti,

un miglioramento nella capacità di individuare gli elementi essenziali alla descrizione del

fenomeno e ad escludere quelli ininfluenti; in entrambe le classi, nella motivazione delle soluzioni

degli esercizi sono aumentati quelli che ricostruivano il ragionamento, riferendosi a schemi astratti

o ragionando per analogia; il numero di studenti coinvolti in questo cambiamento è stato maggiore

in seconda, classe più attiva. E’ prevedibile che gli studenti più giovani siano più flessibili, mentre

nelle classi terminali l’impostazione ricevuta si sia ormai stabilizzata. La classe quinta, in larga

maggioranza, ha mostrato difficoltà profonde nel riferire le leggi matematiche a situazioni reali,

nel legare eventi e concetti con relazioni di causa ed effetto, nell’affrontare problemi o domande

92

che non richiedessero l’applicazione meccanica di tecniche risolutive. Queste difficoltà erano più

marcate di quelle della classe prima, e lo si può evidenziare con un esempio: se in prima un buon

numero di ragazzi è stato in grado di trovare un’osservazione semplice e quotidiana (l’olio

galleggia sull’acqua) per concludere che l’olio è meno denso dell’acqua, in quinta nessuno è stato

in grado di concludere che i fanali delle auto sono collegati in parallelo pensando alle auto con un

solo fanale funzionante. Questo conferma da una parte il fatto che l’insegnamento tradizionale

induce queste difficoltà [6], dall’altra che un approccio fondato sulla memorizzazione e sul

formalismo anziché sul significato, anche se meno funzionale, può stabilizzarsi e impedire

l’acquisizione di un approccio più corretto.

Un confronto tra la classe quinta e quarta mostra anche che ogni classe ha delle sue peculiarità,

indipendentemente dall’impostazione ricevuta. In quarta ho osservato una partecipazione

maggiore, una buona intuizione da parte di diversi studenti nel “costruire” la funzione

esponenziale come modello delle situazioni reali proposte, e un discreto numero di studenti ha

mostrato di aver recepito lo stimolo a “pensare per modelli”, cioè a costruirsi immagini mentali e

schemi che diano significato ai concetti studiati, come evidenziato soprattutto nelle discussioni sui

grafici delle funzioni esponenziali e logaritmiche (ad esempio per il grafico di ln(4-x), dettagliato

nel paragrafo 6.2). Sicuramente, se l’impostazione data dall’insegnante è importante, non si può

dire che l’approccio meccanico sia totalmente indotto dall’insegnamento tradizionale come che un

approccio più critico sia dovuto esclusivamente a un approccio che parte dal fenomeno reale e

procede verso l’astrazione attraverso la costruzione di modelli.

Dal punto di vista della costruzione dei modelli come stimolo all’interesse e all’apprendimento

attivo, è stato positivo osservare che in tutte le classi la partecipazione è aumentata durante il

procedere dell’azione, e che nelle classi del triennio si è registrato un miglioramento medio dei

risultati nella verifica rispetto alle precedenti.

In definitiva, l’esperienza di tirocinio ha confermato le idee espresse nel capitolo iniziale, che

indicavano nel modello non solo un contenuto centrale per la formazione scientifica degli studenti,

ma uno strumento concettuale generale e uno strumento didattico per stimolare motivazione e un

apprendimento significativo.

L’approccio presentato non ha interesse di pura sperimentazione didattica, possibile solo in un

breve periodo come quello di un tirocinio, ma può essere utilizzato in un contesto reale di

insegnamento, perché adattabile alle esigenze di tempo, di programma, e delle peculiarità della

classe. L’idea centrale è, sia in fisica sia in matematica, partire da situazioni reali e stimolare un

93

processo di astrazione, passando da un piano informale a una successiva formalizzazione,

stimolando l’intuizione, il “fare significato“, e l’acquisizione degli strumenti concettuali propri

delle scienze, quindi utili all’indagine dei fenomeni naturali, ma anche applicabili in generale

all’analisi critica delle situazioni quotidiane. Se è vero che un apprendimento di questo tipo è

facilitato da attività di laboratorio e da situazioni a-didattiche, non è necessario usare questa

metodologia per ogni argomento, ma sfruttare l’impostazione indotta da queste esperienze in

presentazioni più espositive, necessarie per rispondere ai vincoli di tempo e di contenuti, ma

ugualmente efficaci se fanno riferimento a quanto costruito attivamente nelle esperienze

laboratoriali, che non devono quindi essere episodiche ma distribuite strategicamente nella

programmazione. Questo è possibile in un contesto in cui si ha la possibilità di seguire le stesse

classi per lunghi periodi, ma è proponibile anche in situazioni più brevi, come supplenze o dove

c’è un ricambio annuale degli insegnanti, come suggeriscono i risultati di questa esperienza di

tirocinio (solo la classe quinta sembra aver mantenuto in maggioranza un atteggiamento

decontestualizzato e algoritmico nell’affrontare problemi, per le motivazioni già discusse).

L’esperienza di tirocinio è stata anche un’occasione unica per svolgere un’analisi dettagliata della

preparazione e della realizzazione delle lezioni, individuando punti di forza e debolezza, che

saranno utili per il mio lavoro futuro. A parte le osservazioni specifiche discusse nel testo, relative

alla scelta di esempi, di modalità espositive, di esercizi per la verifica, o di criteri di valutazione,

due conclusioni generali emergono da un bilancio complessivo. La prima è che è risultata evidente

l’importanza di riflettere sulla propria azione, comparando aspettative e svolgimento reale, non

solo per avere indicazioni per la presentazione degli stessi argomenti in altre classi, ma anche per

adeguare strada facendo l’azione alla classe. Le modifiche maggiori all’unità didattica sono state

nelle classi più partecipative, che mi hanno consentito di rispondere meglio alle loro esigenze, e

questo ha avuto effetti positivi sia sui risultati, sia sulla percezione da parte degli studenti della

mia azione. La seconda è che la valutazione è risultato l’aspetto più difficile dell’attività di

insegnamento, soprattutto la valutazione qualitativa fatta in itinere. Un errore ricorrente che ho

compiuto, soprattutto nei due tirocini del primo anno, è stato quello di generalizzare in modo

troppo ottimistico i miglioramenti mostrati da interventi di alcuni studenti, ricavandone

un’impressione generale della classe, non a pieno confermata dalla verifica sommativa finale.

Questo mi suggerisce di prendere in considerazione, per le esperienze future, l’uso delle verifiche

formative, strumento che ho trascurato ma che dovrebbe consentire un monitoraggio più oggettivo

dei progressi raggiunti dalla classe, e quindi un migliore adeguamento della programmazione.

94

BIBLIOGRAFIA

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La Fisica nella Scuola, XXXVII, 1, 1-12 (2004)

[2] A. B. Arons “Guida all’insegnamento della fisica”, Zanichelli (1992)

[3] G. Arrigo “La costruzione del concetto in Matematica: immagini mentali, modelli e

misconcezioni”, Atti del Terzo Convegno Nazionale di Didattica della Matematica: La

matematica è difficile?, Adria - Rovigo (2004).

[4] E. Agazzi “Lo statuto epistemologico delle scienze sperimentali”, Nuova Secondaria, 6 (1989)

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Scuola, XXXIII, 2, 149-155 (2000)

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didattica”, in http://matematica.unibocconi.it/brandi/modelli.htm

[10] R. Titone “Metodologia didattica”, Las (1975)

[11] M. Palladino Bosia “La materia e le sue proprietà - Corso di fisica e chimica integrate”, Paravia

[12] R. di Fiore “I colori della Fisica”, libro verde, La Nuova Scuola

[13] C. Marchini, Lezioni di Matematiche Complementari, cap. 8 (2005-2006)

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[19] M. Andreini, R. Manara, F. Prestipino “Matematica controluce – per i programmi

sperimentali”, vol. 2 tomo 1, ETAS

95

ALLEGATI classe IscB

1. Programma di Fisica

MISURA: grandezze fisiche e sistemi di misura (SI), metodi di misurazione (diretto, indiretto,

mediante strumenti tarati). L’incertezze delle misure: errore assoluto, relativo, percentuale. I tipi di

errori: sistematici, casuali. Propagazione degli errori nelle misure indirette. La scrittura corretta per

le misure e i relativi errori. ESPERIENZE DI LABORATORIO: misura dei lati, dello spessore e della

diagonale di un foglio di quaderno, misura del periodo di un pendolo semplice.

LEGGI FISICHE E LORO RAPPRESENTAZIONI: raccolta dati e formulazione di ipotesi mediante

il linguaggio della matematica, notazione esponenziale, rappresentazione dei dati mediante

tabelle. Dai dati alle leggi matematiche: proporzionalità diretta e inversa alla prima e seconda

potenza, rappresentazione grafica delle leggi. ESPERIENZE DI LABORATORIO: studio delle leggi

che descrivono la dipendenza del periodo di un pendolo dalla lunghezza. Isocronismo delle

piccole oscillazioni.

PROPRIETÀ DELLA MATERIA: definizione operativa di forza, unità di misura dell’intensità della

forza, forza come grandezza vettoriale, somma e differenza di vettori. L’elasticità, la legge di

Hooke. La materia origine delle forza: forza di attrazione gravitazionale, peso e massa di un corpo;

lo stato di elettrizzazione, la forza di interazione elettrica, corpi isolanti e conduttori,

elettrizzazione per strofinio, induzione; intensità dello stato di elettrizzazione e la carica elettrica.

ESPERIENZE DI LABORATORIO: legge sperimentale degli allungamenti elastici, esperienze di

elettrostatica.

IL MOVIMENTO: descrizione del moto: posizione, spostamento, traiettoria rispetto a un sistema

di riferimento. Il moto rettilineo uniforme: velocità, equazione oraria. Esempi di moti non

uniformi. ESPERIENZE DI LABORATORIO: esperimento di Galileo sulla caduta di un grave lungo

un piano inclinato.

2. Scheda consegnata dopo l’esperimento 1

DOMANDE SULL’ESPERIMENTO

1. Se invece di olio e acqua ci fosse acqua sia nel tubo a U sia nella bottiglia, cosa cambierebbe? Si

avrebbe ancora il dislivello nel tratto a U? Sarebbe uguale, maggiore o minore che nel caso dell’olio?

E sarebbe uguale, maggiore o minore del dislivello nella bottiglia?

2. Cambierebbero i dislivelli se invece dell’aria ci fosse un gas diverso?

96

3. Cambierebbe il dislivello dell’olio per ogni valore del dislivello dell’acqua, se la bottiglia fosse più

larga, ma riempita allo stesso livello?

ESERCIZI

1. da [11], pag 133 n°24. Un elevatore idraulico solleva una macchina da 1000 kg a un’altezza di 10 cm.

Se la sezione piccola ha un raggio di 4 cm e quella grande di 20 cm, che spostamento ha compiuto il

pistone piccolo?

2. Nella situazione dell’esercizio precedente, dire la forza da esercitare sul pistone piccolo per sollevare

la macchina.

3. Esercizi n° 50,51 a pag. 174 del libro

3. Altri esercizi assegnati

1) Caricando una nave si aumenta la sua parte immersa di 6000 m3. Quanto pesa il carico?

2) Modifica del n°22 pag 192 di [11], da qualitativo a quantitativo. Supponendo che il blocchetto sia di

quercia (dquercia = 0,8 g/cm3), calcolare l’altezza immersa, la pressione sulla faccia inferiore, la

massa di un oggetto appoggiato necessario a fare affondare completamente il blocchetto.

Ripetere i calcoli nel caso il blocchetto sia di cedro (dcedro = 0,4 g/cm3)

3) Sapendo che il ghiaccio ha densità 0,9 g/cm3, qual è la frazione emersa di un ghiaccio

galleggiante in acqua? Dopo che il ghiaccio è completamente fuso, il livello di acqua nel

recipiente si è alzato, abbassato o rimasto invariato?

4. Verifica di fisica

CLASSE I sc B VERIFICA DI FISICA 22 maggio 2007 1) L’unità di misura nel Sistema Internazionale della pressione è

a. il newton. b. il millibar. c. il kg. d. il pascal.

2) La pressione è definita come:

a. il rapporto tra forza perpendicolare a una superficie e area della superficie. b. il rapporto tra forza parallela a una superficie e area della superficie. c. il rapporto tra forza agente su una superficie e area della superficie. d. il prodotto di forza perpendicolare a una superficie e area della superficie.

3) Se la superficie sulla quale agisce una data forza perpendicolare raddoppia, cosa accade alla pressione?

a. Diventa un quarto. b. Diventa la metà. c. Diventa il doppio. d. Diventa il quadruplo.

97

4) Tre recipienti cilindrici, di diverso diametro, sono collegati alla base da un tubo. Se si versa del liquido in uno dei tre recipienti, quale livello raggiungerà il liquido negli altri due recipienti? a. Raggiungerà il livello più basso nel recipiente più piccolo. b. Raggiungerà il livello più alto nel recipiente più piccolo. c. Dipende da qual è il recipiente in cui si versa il liquido. d. Raggiungerà lo stesso livello in tutti e tre i recipienti.

5) Cosa puoi dire della pressione sul fondo dei tre recipienti del disegno?

a. È minore dove l’area del fondo è maggiore. b. È maggiore sul fondo del recipiente

cilindrico. c. È la stessa per tutti e tre i recipienti. d. È maggiore dove l’area del fondo è

maggiore.

6) Due recipienti cilindrici contenenti un liquido sono collegati alla base da un tubo. In ogni recipiente un

galleggiante misura il livello raggiunto dal liquido. Versiamo acqua nel primo recipiente, e ci accorgiamo che i due galleggianti ora indicano livelli diversi. Come è possibile? a. Inizialmente, i due recipienti erano vuoti. b. Inizialmente, i due recipienti contenevano un liquido diverso dall’acqua. c. Inizialmente, i due recipienti contenevano già dell’acqua. d. I due recipienti hanno diametro diverso.

7) All’interno di un recipiente contenente un liquido, la pressione su una superficie qualunque è:

a. maggiore verso il fondo, e diretta verso il basso. b. la stessa in ogni punto, e diretta verso il basso. c. maggiore verso il fondo, e perpendicolare alla superficie. d. la stessa in ogni punto, e perpendicolare alla superficie.

8) Se nel dispositivo del disegno si esercita sulla faccia A una certa pressione, quale sarà il valore della

pressione sulla faccia B?

a. La metà. b. Uguale. c. Un terzo. d. Doppio

9) Secondo la legge di Archimede, la spinta idrostatica su un oggetto immerso in un liquido è

proporzionale: a. al volume emergente dell’oggetto. b. all’intero volume dell’oggetto. c. al volume immerso dell’oggetto. d. al volume del liquido in cui il corpo è immerso.

10) Se un oggetto a forma di parallelepipedo è totalmente immerso in un liquido, su ciascuna delle sue facce

agisce una forza dovuta alla pressione del liquido. La risultante di tutte queste forze a. è sempre uguale e opposta al peso dell’oggetto. b. è sempre rivolta verso il basso. c. è sempre nulla.

98

d. è sempre rivolta verso l’alto 11) Nell’esperimento sulla densità dell’olio, supponi

di aver riempito il tubo a U di mercurio (densità dm=13.6 g/cm3) anziché di olio. Per due valori del dislivello dell’acqua che hai misurato durante l’esperimento, calcola i dislivelli di mercurio che avresti trovato.

12) Nell’esperimento sulla spinta di Archimede,

trova la massa di sabbia necessaria a fare affondare l’ovetto della metà del suo volume, sapendo che l’ovetto ha un volume di 28 cm3 e quando è vuoto ha una massa di 6 g. Immagina di riempire l’ovetto con la quantità di sabbia trovata prima, e di osservare che l’ovetto appeso all’elastico risulta affondare di ¼ del volume anziché la metà. Trova la forza esercitata dall’elastico.

13) In figura è illustrato un aneddoto secondo cui Blaise Pascal, per stupire gli amici, sfasciò una botte piena di vino aggiungendo solo pochi bicchieri, usando un tubo lunghissimo. Supponendo che Pascal abbia usato un tubo lungo 10 m e vino di densità dv=995 kg/m3, calcolare la lunghezza del tubo necessaria a rompere la botte usando birra di densità db=1020 kg/m3.

99

ALLEGATI classe IIscA/IIclB

5. Programma di Matematica

GEOMETRIA DEL PIANO: Circonferenza e cerchio. Poligoni equiscomponibili; teorema di

Pitagora; I e II teorema di Euclide; Teorema di Talete. Le trasformazioni geometriche nel piano:

omotetie e similitudini; rapporti tra lati e angoli nei triangoli rettangoli; elementi di geometria

euclidea nello spazio. Teoria della misura.

IL PIANO CARTESIANO: Punti e rette nel piano cartesiano. Risoluzione grafica di equazioni e

sistemi di I grado, di disequazioni di II grado. Funzioni: y=ax+b, y=ax2+bx+c, y=a/x e loro grafici.

Equazioni di alcune simmetrie (rispetto asse x, asse y, origine).

ELEMENTI DI ALGEBRA: Introduzione ai numeri reali. Radicali. Equazioni, disequazioni e

sistemi di II grado e superiore al II. Equazioni e disequazioni di grado superiore al I con valore

assoluto. Problemi di II grado e superiore al II

ELEMENTI DI INFORMATICA: Programmazione in Turbo-Pascal. Uso di pacchetti applicativi

(CABRI, EXCEL)

ELEMENTI DI PROBABILITÀ E STATISTICA: Definizione elementare di probabilità e frequenza.

Elementi di statistica descrittiva.

6. Problemi usati per introdurre concetti e teoremi

Passaggio dal pensiero deterministico, sul passato, a probabilistico, sul futuro.

Meré1 Due giocatori, A e B, interrompono un gioco sul 4-3; avrebbe vinto chi sarebbe arrivato a 5. Come ripartire la posta iniziale di 60€?

Probabilità per confronto, senza calcolo. I seguenti problemi sono volti ad abituare a ragionamenti

qualitativi e a mostrare la controintuitività di alcuni risultati probabilistici, facendo emergere

l’esigenza di una teoria formale che fornisca le tecniche di calcolo.

Compleanni 1 Mettere in ordine dal più al meno probabile questi fatti:

a) una persona compie gli anni il 13 aprile b) due persone compiono gli anni il 13 aprile c) due persone compiono gli anni lo stesso giorno

Lanci Mettere in ordine dal più al meno probabile questi fatti:

a) ottenere due 6 lanciando 5 dadi b) ottenere due volte 6 lanciando 5 volte un solo dado c) ottenere due volte 6 di seguito lanciando 5 volte un dado d) ottenere 6 alla seconda e alla terza volta lanciando 5 volte un dado

Gare e Promessi Sposi E’ più facile indovinare l’ordine di arrivo di una gara a cui partecipano 4 atleti, o la 3° lettera della 254° pagina dei Promessi Sposi?

100

Nel problema precedente si assume che le lettere in un testo siano equiprobabili, fornendo un

primo spunto per differenziare la situazione reale dal modello usato per rappresentarla.

Compleanni 2 Su una classe di 24 alunni, la probabilità che due compiano gli anni lo stesso giorno è più o meno del 10%? Impareremo che questa probabilità è 27/50, cioè maggiore del 50%. Cosa significa? Analogamente, cosa significa che lanciando una moneta ho il 50% di probabilità che esca testa e 50% che esca croce?

Le ultime domande del problema precedente servono a far riflettere sul significato della

probabilità come previsione della frequenza di un evento su un gran numero di prove e quindi di

introdurre la legge empirica del caso.

Probabilità totale. Problema introduttivo:

Libri (modificato da n° 21 pag 114) Su uno scaffale ci sono 3 libri di saggistica, 7 di narrativa e 4 romanzi gialli. Se si prende un libro a caso, calcolare la probabilità che si verifichi il seguente evento:

a) il libro è di saggistica o di narrativa b) sapendo che la metà sono in italiano e la metà in lingua straniera, il libro estratto è un

giallo in italiano c) il libro estratto è un giallo oppure è in italiano

Meré2 E’ più probabile fare 6 lanciando un dado 4 volte o 12 lanciando 24 volte due dadi?

L’ultimo problema permette di introdurre il calcolo combinatorio come metodo risolutivo diverso

rispetto a quello già visto della composizione di eventi.

Diagonali di un poligono Quante sono le diagonali di un poligono di n lati? (le diagonali sono coppie di vertici non adiacenti, n(n-3)/2; oppure si contano tutte le coppie di vertici e si sottraggono i lati: n(n-1)/2 – n)

Questo problema offre un esempio di applicazione del calcolo combinatorio alla geometria e di

come un problema si può risolvere in più modi a seconda del punto di vista, cioè non esiste una

tecnica da associare a ogni esercizio.

Probabilità condizionata. Teorema di Bayes. Problemi da proporre per introdurre l’argomento:

Palline e urne Ho due scatole, contenenti una due palline nere e una due bianche. Estraggo una prima pallina e la metto in tasca senza guardarla. Estraggo una seconda pallina, e vedo che è bianca. Qual è la probabilità che la prima pallina sia nera? Gioco a premi In un gioco a premi ci sono tre porte, dietro a una sola delle quali c’è il premio. Il concorrente sceglie la porta A. Il conduttore apre una delle porte senza premio, tra B e C. Al concorrente conviene cambiare scelta? Problema dei 3 condannati A, B e C sono condannati a morte. Il governatore decide di graziarne uno. A chiede alla guardia di rivelargli chi è il graziato, ma la guardia si rifiuta. Allora A dice di dirgli almeno uno dei condannati: se il graziato è B gli dirà C, se è C gli dirà B, se è A stesso tirerà una moneta e dirà uno dei due tra B e C. La guardia dice che uno dei condannati è B. Come è cambiata la probabilità per A di essere graziato?

101

Gli ultimi due problemi permettono di precisare il significato della probabilità come misura di

un’incertezza: l’incertezza non è intrinseca nella situazione, ma dipende dalle informazioni che si

hanno.

7. Ripasso su probabilità e calcolo combinatorio

1) lanciando 3 dadi, si può fare 10 o 9 con lo stesso numero di combinazioni:

10: 1+3+6, 1+4+5, 2+2+6, 2+3+5, 2+4+4, 3+3+4 9: 1+2+6, 1+3+5, 1+4+4, 2+2+5, 2+3+4, 3+3+3

Perché il 10 esce più spesso del 9?

2) Lanciando due dadi, qual è la probabilità di ottenere come somma un numero primo?

3) In sette lanci di una moneta è uscito quattro volte testa. Qual è la probabilità che le quattro teste

siano uscite consecutivamente?

4) Una ditta produce scarpe che risultano con la tomaia difettosa nel 5% dei casi e con la suola

difettosa nell’8% dei casi. Qual è la probabilità che una scarpa abbia sia la tomaia sia la suola

difettose?

5) In un test a risposta multipla bisogna rispondere a 10 quesiti, ciascuno con 4 risposte, di cui una

sola esatta. Rispondendo a caso, qual è la probabilità di rispondere esattamente a tutti i quesiti?

Qual è la probabilità di rispondere esattamente ad almeno un quesito?

6) Le targhe automobilistiche italiane sono composte da 2 lettere seguite da 3 cifre seguite da 2

lettere. Sapendo che le lettere sono scelte dall’alfabeto anglosassone di 26 lettere, quante targhe è

possibile comporre?

7) In una stanza pavimentata con mattonelle di 40 cm di lato si lancia un disco circolare di raggio

di 10 cm. Qual è la probabilità che il disco rimanga dentro i bordi di una mattonella?

8) Una carta di credito è identificata da un numero di 16 cifre. Quante carte di credito diverse si

possono avere?

9) Quanti numeri telefonici si possono avere in una città dove i numeri sono di 6 cifre, e la prima

cifra non può essere lo 0?

10) Calcola le probabilità di fare un estratto singolo, un ambo, un terno, una quaterna o una

cinquina al gioco del lotto (si estraggono 5 numeri compresi tra 1 e 90, senza reinserirli nell’urna,

cioè non possono esserci ripetizioni)

soluzioni: [1] P(10)=(6∙3+3∙3) ∙ (1/6)3=0.125, P(9)=(6∙3+3∙2+1) ∙ (1/6)3=0.116 [2] 15/36 [3] 4/35 [4] 1/250

[5] (1/4)10, 1-(3/4)10 [6] 264∙103 [7] ¼ [8] 1016 [9] 9∙105 [10] P(sing)=1/18, P(ambo)=1/400,

P(terno)=1/11748, P(quat)=1/511038, P(cinq)=1/43949268

102

8. Verifica di Matematica

CLASSE IIscA/IIclB VERIFICA DI MATEMATICA 22 maggio 2007

1) Scegliendo a caso un numero intero compreso tra 1 e 20, qual è la probabilità che sia:

a. un numero primo [9/20]

b. divisibile per 4 [1/4]

c. divisibile per 4 o maggiore di 15 [2/5]

2) In una scuola di 300 studenti un’inchiesta rivela che:

− 200 studenti amano la fisica

− 180 studenti amano la matematica

− 60 studenti non amano né la fisica né la matematica

a. Disegna lo spazio campionario indicando quanti studenti amano solo la fisica, quanti solo

la matematica, quanti entrambi e quanti nessuna.

Se si interroga uno studente a caso nella scuola:

b. qual è la probabilità che ami solo la fisica? [60]

c. qual è la probabilità che ami la fisica o la matematica? [240]

d. Considerato che i risultati dell’inchiesta sembrano alquanto inverosimili , si può dire

che l’evento “l’inchiesta dà i risultati riportati sopra” è impossibile? Motiva la risposta.

3) Quante volte bisogna lanciare un dado perché la probabilità di ottenere almeno un 6 sia

superiore al 50%? [4]

4) Quanti sono i numeri di 6 cifre di cui le prime 3 sono dispari e le restanti pari? [56=15625]

5) Su un piano ci sono 10 rette, in modo che non vi siano coppie di rette parallele. Quanti sono i

punti di intersezione tra tali rette? [10*9/2]

6) La città di New York è stata divisa in due distretti telefonici con prefissi diversi, perché si

erano esauriti i numeri possibili di 6 cifre. Sapendo che la prima cifra non può essere né 0 né 1,

quanti abbonati ha superato il distretto di New York? [8 milioni]

7) Quanti sono gli anagrammi, anche privi di significato, della parola COMBINATORIA? Quanti

quelli che iniziano per A? [12!/(23)= 59875200; 11!/(22)= 9979200]

8) Spiega perché, per sorteggiare qualcuno per un’interrogazione, aprire un libro a caso e

sommare le cifre del numero di pagina non dà la stessa possibilità per ogni studente di essere

estratto.

103

ALLEGATI classe VE

9. Programma di Fisica

CARICHE E CAMPI: applicare la legge di Coulomb e la legge di Gauss nell’analisi di sistemi fisici

con varie distribuzioni di cariche; riconoscere le caratteristiche distintive dei corpi conduttori e

isolanti; analizzare e interpretare la rappresentazione di un campo elettrico ottenuta con il metodo

delle linee di campo; calcolare il campo elettrico generato da distribuzioni di cariche discrete e

continue (lineari, superficiali, di volume).

POTENZIALE E CAPACITÀ: calcolare il potenziale elettrico dovuto a distribuzioni di carica

discrete e continue; interpretare e tracciare rappresentazioni grafiche di linee di campo elettrico e

di superfici equipotenziali prodotte da distribuzioni di cariche;calcolare la capacità elettrica e

l’energia immagazzinata in vari tipi di condensatore, anche in presenza di un dielettrico;

analizzare un sistema con più condensatori connessi fra loro e determinare la capacità equivalente.

CORRENTI E CIRCUITI: riconoscere le caratteristiche elettriche dei conduttori; applicare le leggi

di Ohm; calcolare la corrente che circola in un circuito elementare e in un circuito a più maglie;

analizzare circuiti con più resistori collegati in serie e parallelo e determinare la resistenza

equivalente.

MAGNETISMO: calcolare i campi magnetici prodotti dalle correnti; determinare le forze agenti su

cariche in moto in campi magnetici o in fili percorsi da correnti immersi in un campo magnetico;

applicare le leggi di Faraday e Lenz nell’interpretazione di fenomeni induttivi; analizzare circuiti

contenenti induttanze.

CAMPO ELETTRO-MAGNETICO: distinguere e interpretare le proprietà magnetiche della

materia; riconoscere le analogie tra oscillazioni meccaniche ed elettriche; analizzare situazioni

fisiche con campi elettrici e magnetici variabili mediante le equazioni di Maxwell; applicare le

principali proprietà delle onde elettromagnetiche.

RELATIVITÀ: distinguere la lunghezza propria di un oggetto e il tempo proprio tra eventi e

calcolare gli effetti della dilatazione del tempo e della contrazione delle lunghezze; utilizzare le

trasformazioni di Lorentz per mettere in relazione le coordinate spazio-temporali di un evento

misurate in differenti sistemi di riferimento inerziali; calcolare le grandezze meccaniche quantità di

moto ed energia cinetica nella dinamica relativistica.

FISICA MODERNA.

104

10. Dispensina sul modello di Drude

La conduzione elettrica nei metalli: le leggi di Ohm

Gli esperimenti condotti da Ohm negli anni ’20 del XIX secolo hanno portato a formulare le

seguenti leggi che descrivono la conduzione elettrica nei solidi metallici:

V RI∆ = (1)

S

lR ρ= (2)

dove ∆V è la differenza di potenziale agli estremi di un tratto di filo di sezione S e lunghezza l, ρ è

la resistività e I è la corrente che scorre nel filo.

1. Natura della legge

Queste leggi sono fenomenologiche, cioè si ricavano sperimentalmente ma non possono essere

dedotte matematicamente da leggi fondamentali. Si distinguono quindi, ad esempio, dalla legge di

Gauss che si può dimostrare dalla legge di Coulomb. La prima è analoga alla legge di Hooke nel

senso che è un’approssimazione lineare, valida in certo range di valori.

2. Interpretazione macroscopica

La misura di una corrente costante in presenza di un campo elettrico costante, suggerisce la

presenza di un effetto frenante analogo all’attrito, in modo che la carica si muova a velocità

costante e non sia accelerata. Questo effetto frenante viene descritto dalla seconda legge di Ohm,

facilmente prevedibile a livello macroscopico per analogia del passaggio di carica nel filo con il

passaggio di un liquido in un condotto, o con il passaggio di calore in un solido.

La prima legge di Ohm è una legge di proporzionalità tra ∆V e I, valida per valori arbitrariamente

piccoli delle due grandezze. Differisce quindi dalla legge di Hooke nel senso che non esiste un

valore minimo di ∆V da applicare per “attivare” il fenomeno, ma descrive un passaggio di corrente

anche per valori piccolissimi di ∆V, e quindi del campo elettrico. Questo suggerisce che la carica

che contribuisce al trasporto è libera di muoversi nel conduttore.

3. Interpretazione microscopica

Nel 1900 Drude propone un modello per la conduzione nei metalli che concilia la libertà dei

portatori di carica con la presenza di un effetto frenante, descrivendo la conduzione come il

passaggio di elettroni liberi accelerati dal campo elettrico, ma rallentati nel loro percorso da

continui urti con gli atomi del reticolo metallico. Se fossero completamente liberi, gli elettroni

percorrerebbero un tratto L di filo, in cui c’è un campo E, di moto uniformemente accelerato con

105

accelerazione eE/m, cioè in un tempo (2 )t Lm eE∆ = / . A causa degli urti, che allungano il percorso

e fanno perdere velocità agli elettroni, impiegheranno in generale un tempo molto più lungo, a una

velocità media dv L t= /∆ , che viene detta velocità di deriva, per indicare che è la velocità netta che

viene osservata e che contribuisce allo spostamento dell’elettrone. Se nel suo percorso l’elettrone

subisce N urti, possiamo trovare il tempo medio tra un urto e l’altro da τ=∆t/N e la distanza media

tra un urto e l’altro (detta libero cammino medio) da ℓ = L/N, cioè possiamo esprimere la velocità di

deriva come vd = ℓ/τ.

Per spiegare microscopicamente le leggi di Ohm dobbiamo mostrare che la velocità di deriva è

proporzionale al campo elettrico. Infatti, definendo la densità di corrente J = I/S, dalle leggi di Ohm

(1) e (2) si ha:

1 1I V V

J E E J ES S R L

σ σρ ρ

∆ ∆= = = = = → = (3)

dove abbiamo definito σ = 1/ρ la conducibilità del materiale. D’altra parte, la corrente elettrica è la

carica che attraversa la sezione S in un intervallo di tempo ∆t, cioè la carica che si trova entro una

distanza vd∆t dalla sezione. Quindi la densità di corrente si può scrivere anche:

dd d

nev t SI QJ nev J nev

S S t S t

∆ ⋅∆= = = = → =∆ ∆

(4)

dove n è il numero di elettroni per unità di volume ed e la carica dell’elettrone. Allora le leggi di

Ohm scritte nella forma (3) equivalgono a dimostrare che la velocità di deriva è proporzionale al

campo E.

Calcoliamo la velocità dv in queste ipotesi:

1. Gli elettroni si muovono in un reticolo di atomi fermi (cioè la loro agitazione termica è trascurabile). 2. Gli elettroni sono liberi, quindi equivalgono a un gas perfetto di atomi a temperatura T. La loro velocità per agitazione termica è quindi (dalla termodinamica) 5(3 ) 10 m/stermv KT m= / ≃ .

3. In media, gli urti sono casuali quindi la media delle velocità dopo ogni urto è nulla.

La vd può essere quindi calcolata come velocità media di un moto uniformemente accelerato lungo

ℓ e di durata τ, con partenza da fermo, per la terza ipotesi e perché l’agitazione termica non

contribuisce al moto di deriva. Si trova quindi:

d

eEv

mτ= (5)

Inserendo la (5) nella (4) si trova

2ne

J Em

τ=

106

cioè proprio le leggi di Ohm nella forma (3), ammesso di poter definire la conducibilità come

σ = ne2τ/m. Questo è possibile perché tutte le grandezze che compaiono sono costanti, cioè

indipendenti dal campo E: n è una proprietà del materiale, e e m sono costanti universali, τ è in

buona approssimazione indipendente da E perché dipende dalla velocità degli elettroni, ma il

contributo alla velocità dipendente da E è solo la vd, che è trascurabile1 rispetto alla vterm.

________________

1Si può stimare l’ordine di grandezza di vd nel caso di un filo di sezione 1 mm 2 percorso da una

corrente di 10 mA: 2 6 2 19 28 3( ) 10 A (10 m 1 6 10 C 8 5 10 m ) 1μm/sdv I S e n − − − −= / ⋅ ⋅ = / . ⋅ ⋅ . ⋅ ≃ . Il numero n di

elettroni liberi per unità di volume si ottiene moltiplicando il numero di atomi per unità di volume

per gli elettroni più esterni, cioè per la valenza. Per il rame, monovalente, la densità è

3 38 96 10 kg/mδ = . ⋅ e il peso atomico A = 63.54, quindi 28 38 5 10 elettroni/mAn A Nδ= / ⋅ = . ⋅ .

11. Esercizi sui modelli di conduzione elettrica

MODELLI PER LA CONDUZIONE ELETTRICA NEI METALLI

DOMANDE

Trasporto di carica

1. Le grandezze (Q, I, ∆V, E, P,…) e le leggi (conservazione della carica, dell’energia, leggi di Ohm,

effetto Joule) che descrivono il trasporto di carica elettrica, implicano che la carica sia trasportata da

particelle discrete?

2. Le due leggi di Ohm sono compatibili con un’interpretazione macroscopica della carica come fluido

continuo?

3. Lo studio dei fenomeni elettrostatici suggerisce l’esistenza di due tipi di carica. Viene usata questa

informazione nelle leggi che descrivono la conduzione elettrica nei metalli?

4. Spiega come si può interpretare il fatto che la I legge di Ohm valga anche per piccoli valori della

corrente e della differenza di potenziale.

Modello di Drude

1. Il modello di Drude dà una descrizione microscopica o macroscopica del trasporto di carica?

2. Su quali ipotesi si basa il modello di Drude.

3. Spiega, nelle ipotesi del modello di Drude, come si può interpretare, qualitativamente, l’aumento di

resistività con la temperatura e l’aumento di temperatura del conduttore al passaggio di corrente

107

ESERCIZI

1. Interpretazione microscopica della conduzione

1. Calcolare la velocità di deriva vd degli elettroni in un filo metallico di sezione S=2 mm2, lunghezza

L=15 cm, percorso da una corrente di 25mA, e avente una densità di elettroni liberi di 1029

elettroni/m3

2. Calcolare la densità di elettroni liberi in un filo metallico di sezione .5 mm2, percorso da una corrente

di 100 mA, sapendo che gli elettroni hanno una velocità di deriva di 1 mm/s.

2. Modello di Drude

1. Sapendo che l’oro (Au) ha numero atomico Z=79, valenza 1, densità 19,32 g/cm3, peso atomico

A=196,97, resistività ρ=2,44 10-8 Ωm , calcolare il tempo medio τ tra due urti successivi degli elettroni

di conduzione secondo il modello di Drude.

2. Calcolare, con i dati e il risultato dell’esercizio 1.2, la resistività del materiale, supponendo un tempo

medio tra due urti successivi τ=5 10-14 s.

3. Dimostra che la relazione J=σE tra densità di corrente J e campo elettrico nel conduttore E è

equivalente alle due leggi di Ohm.

12. Verifica di Fisica

15/12/07 VERIFICA DI FISICA classe 5E

DOMANDE

1. Due fili di rame hanno il primo lunghezza doppia e raggio della sezione doppio rispetto al

secondo. Trova il rapporto tra le resistenze dei due fili.

2. Dopo aver enunciato una delle due leggi di Kirchhoff a tua scelta, indica da quale legge

fisica fondamentale deriva, motivando brevemente la risposta.

3. Spiega, nelle ipotesi del modello di Drude, come si può interpretare qualitativamente

l’aumento di resistività di un conduttore con la temperatura e l’aumento di temperatura del

conduttore al passaggio di corrente.

PROBLEMI

1. Nel circuito in figura, indica tutte le correnti presenti e scrivi le leggi di Kirchhoff necessarie

a determinarle (impostare il sistema sostituendo i valori, ma senza risolverlo). Sapendo che

la corrente che attraversa la resistenza da 5 Ω è 0,46 A verso il basso, determinare la

differenza di potenziale tra i punti A e B.

2. Una radio da 4,0W e una lampadina da 60W sono collegate alla rete domestica, che fornisce

una differenza di potenziale di 220V. Sono collegate ognuna a una presa, quindi sono in

108

parallelo. Dopo aver schematizzato il circuito descritto, calcola la potenza e la corrente

erogate dalla rete per alimentare i due dispositivi.

13. Questionario conclusivo

QUESTIONARIO CONCLUSIVO CLASSE 5E

Seguire le lezioni tenute da un insegnante diverso da quello a cui sei abituato:

ha reso più difficile la comprensione è stato indifferente mi ha stimolato a stare più attento

L’esperienza in laboratorio:

ha permesso di capire meglio il fenomeno studiato non ha facilitato la comprensione ma a ricordare i fenomeni e le leggi coinvolti era scollegata con il resto delle lezioni, mi ha confuso è stata indifferente dal punto di vista della comprensione

La verifica ti è sembrata:

più difficile del solito più facile del solito come al solito

Qual è l’argomento che ritieni di aver capito meglio

__________________________________________________________________________________

Qual è l’argomento che ti ha dato più difficoltà

__________________________________________________________________________________

Valuta la prof (voto da 1 a 10)

impegno/disponibilità chiarezza competenza

A

B

109

ALLEGATI classe IVH

14. Programma di Matematica

FUNZIONI TRASCENDENTI:

Funzioni goniometriche: definizione e proprietà delle funzioni goniometriche; relazioni tre le

funzioni goniometriche; funzioni goniometriche di alcuni angoli notevoli; funzioni goniometriche

inverse. Funzione esponenziale: potenza con esponente reale; definizione, proprietà e grafico.

Funzione logaritmica: definizione, proprietà e grafico; definizione di logaritmo; proprietà dei

logaritmi.

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE, ESPONENZIALI E LOGARITMICHE:

Formule goniometriche; procedure di risoluzione di equazioni e disequazioni goniometriche;

procedure di risoluzione di equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche.

TRIGONOMETRIA:

Relazioni tra i lati e gli angoli di un triangolo rettangolo; teorema dei seni; teorema delle

proiezioni; teorema del coseno; teorema della corda.

NUMERI COMPLESSI:

Definizione di numero complesso; operazioni tra numeri complessi; rappresentazione nel piano di

Gauss.

GEOMETRIA DELLO SPAZIO:

Rette e piani nello spazio; Enunciato del teorema delle tre perpendicolari; definizioni e proprietà

delle figure solide; equivalenza; superfici e volumi.

15. Esercizio per casa

UN MODELLO PER IL DECADIMENTO RADIOATTIVO

Supponi di avere un campione di 10 g di radon, (numero atomico Z=86, peso atomico A=222). Il

radon è radioattivo, cioè i suoi atomi hanno una certa probabilità di emettere particelle dal nucleo,

trasformandosi in un altro elemento. Il tempo di dimezzamento per il radon, cioè il tempo dopo il

quale metà degli atomi si sono trasformati e quindi la quantità di radon si è dimezzata, è τ=1620

anni.

Con questi dati: (1) Scrivi una funzione che rappresenti il numero di nuclei di radon al variare del

tempo; (2) trova la massa di radon rimasta dopo 15 anni; (3) dimostra che il valore trovato è

irrazionale: che significato ha una massa, e quindi un numero di atomi, irrazionale? (4) trova la

massa di radon presente nello stesso campione 1000 anni fa.

110

16. Verifica di Matematica

CLASSE 4H VERIFICA DI MATEMATICA 12 dicembre 2007

1. Disegnare il grafico della curva di equazione

( 3)2 xy − +=

2. Risolvere le seguenti equazioni in ℝ:

a. ( )13 9 3 1 3x x x x++ = ⋅ −

b. 1

2 19

27

x

x

+− =

3. Calcolare i seguenti logaritmi (usando le proprietà dei logaritmi, non la calcolatrice):

a. 1/ 3log 81

b. 565log 25

4. Mettere in ordine crescente i seguenti numeri, dopo aver indicato se sono negativi, positivi,

e in valore assoluto maggiori o minori di 1 (usando le proprietà dei logaritmi, non la

calcolatrice):

1/ 2ln 2 log 4 log eπ

17. Questionario conclusivo

QUESTIONARIO CONCLUSIVO CLASSE 4H

Seguire le lezioni tenute da un insegnante diverso da quello a cui sei abituato:

ha reso più difficile la comprensione è stato indifferente mi ha stimolato a stare più attento

La verifica ti è sembrata:

più difficile del solito più facile del solito come al solito

Qual è l’argomento che ritieni di aver capito meglio

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Qual è l’argomento che ti ha dato più difficoltà

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Valuta la prof (voto da 1 a 10)

impegno/disponibilità chiarezza competenza