Il sonometro Il sonometro e e

il problema dell’accordaturail problema dell’accordaturaUn ponte tra Arte, Un ponte tra Arte, Fisica e MatematicaFisica e Matematica

a cura di Alberto Martini e Gloria Nobilia cura di Alberto Martini e Gloria Nobili

Liceo Scientifico “Malpighi” Bologna

25 febbraio 2009

Il sonometroIl sonometro Un posto essenziale nella storia delle ricerche di acustica (e di Un posto essenziale nella storia delle ricerche di acustica (e di

musica) è occupato da uno strumento costruttivamente molto musica) è occupato da uno strumento costruttivamente molto semplice, ma rilevante per i risultati che con esso si ottennero, il semplice, ma rilevante per i risultati che con esso si ottennero, il cosiddetto cosiddetto monocordo,monocordo,che venne usato per secoli negli studi sulle che venne usato per secoli negli studi sulle proporzioni musicali, sugli accordi e sull'armonia. Infatti permise la proporzioni musicali, sugli accordi e sull'armonia. Infatti permise la risoluzione del problema della determinazione del risoluzione del problema della determinazione del numero assoluto numero assoluto di vibrazioni nell'unità di tempo (= frequenza in Hertz)di vibrazioni nell'unità di tempo (= frequenza in Hertz) che sono che sono associate ad un suono. La risoluzione di tale problema fu associate ad un suono. La risoluzione di tale problema fu fondamentale per lo sviluppo dell'acustica. fondamentale per lo sviluppo dell'acustica.

www.phys.uniroma1.it/DipWeb/museo/acu20.htm

Struttura del sonometroStruttura del sonometro Il Il monocordomonocordo consiste in una tavola su cui viene tesa, tra due cavalletti fissi fra i quali consiste in una tavola su cui viene tesa, tra due cavalletti fissi fra i quali

ne può essere posto un terzo mobile, una corda. La corda è fissata da un lato ad un ne può essere posto un terzo mobile, una corda. La corda è fissata da un lato ad un piolo fisso, dall'altro ad una chiave o ad un peso che ne regolano la tensione.piolo fisso, dall'altro ad una chiave o ad un peso che ne regolano la tensione.

Quando alla tavola sia sostituita una cassa armonica, siano presenti più corde e Quando alla tavola sia sostituita una cassa armonica, siano presenti più corde e scalescale, , lo strumento viene detto lo strumento viene detto sonometro.sonometro.

Agendo sulla tensione si ottiene dalla corda, messa in vibrazione, un determinato Agendo sulla tensione si ottiene dalla corda, messa in vibrazione, un determinato suono di suono di altezza musicale (= frequenza)altezza musicale (= frequenza) conosciuta. Per mezzo del cavalletto mobile conosciuta. Per mezzo del cavalletto mobile si può ridurre la parte di corda che può vibrare in modo da far generare un suono si può ridurre la parte di corda che può vibrare in modo da far generare un suono diverso diverso (più acuto = frequenza maggiore).(più acuto = frequenza maggiore).

Agli inizi del Seicento si verificò che il rapporto fra le lunghezze delle corde è uguale Agli inizi del Seicento si verificò che il rapporto fra le lunghezze delle corde è uguale all'inverso del rapporto tra le frequenze dei suoni. all'inverso del rapporto tra le frequenze dei suoni.

Un po’ di storiaUn po’ di storia Fra il 1700 e il 1711 Fra il 1700 e il 1711 Joseph Sauveur (1653-1716)Joseph Sauveur (1653-1716) (sordo dalla (sordo dalla

nascita!) fece degli esperimenti fondamentali col sonometro nascita!) fece degli esperimenti fondamentali col sonometro ponendo dei ‘cavalierini’ in vari punti della corda in modo da in vari punti della corda in modo da determinare la posizione di determinare la posizione di ventriventri e e nodi, nodi, termini da lui introdotti termini da lui introdotti insieme ad insieme ad armonica superiore.armonica superiore.

Provò sperimentalmente l’esistenza, nel moto vibratorio di una Provò sperimentalmente l’esistenza, nel moto vibratorio di una singola corda, di più vibrazioni contemporanee che furono anche singola corda, di più vibrazioni contemporanee che furono anche dette suoni concomitanti (o, appunto, armonici superiori).dette suoni concomitanti (o, appunto, armonici superiori).

Estese le relazioni fra frequenza, lunghezza d'onda e lunghezza Estese le relazioni fra frequenza, lunghezza d'onda e lunghezza della corda alla canna d'organo, trovandone conferma sperimentale. della corda alla canna d'organo, trovandone conferma sperimentale.

La relazione La relazione lunghezza corda- frequenzalunghezza corda- frequenza

Diminuendo la lunghezza della Diminuendo la lunghezza della corda, ad esempio a metà, si ottiene corda, ad esempio a metà, si ottiene un suono uguale al precedente come un suono uguale al precedente come tono, ma più alto di un'tono, ma più alto di un'ottavaottava: la : la corda vibra con un numero di corda vibra con un numero di vibrazioni al secondo doppio vibrazioni al secondo doppio (= raddoppia la frequenza). Se (= raddoppia la frequenza). Se accorciamo la corda ancora a metà, accorciamo la corda ancora a metà, quindi a un quarto rispetto all’inizio, quindi a un quarto rispetto all’inizio, avremo un suono ancora più alto: la avremo un suono ancora più alto: la corda vibra con una corda vibra con una frequenzafrequenza quadrupla. quadrupla. Es: La 2 (ottava inf)

a 220 Hz

Es: La 3 a 440Hz

f α 1/L Se L = L0 f0 = f

Se L1 = ½ L0 f1 = 2f

Se L2 = ¼ L0 f2 = 4f

f α λ

Es: La 4 (ottava sup)

a 880Hz

Le relazioni Le relazioni lunghezza corda – armoniche superiorilunghezza corda – armoniche superiori

Nella Nella relazione tra L relazione tra L e f interviene e f interviene anche anche λ in in quanto: quanto:

Quando una Quando una corda vibra, corda vibra, può quindi può quindi vibrare in più vibrare in più ‘modalità’ ‘modalità’ diverse, rette diverse, rette da semplici da semplici relazioni relazioni matematichematematiche

Corda a riposo di lunghezza L

Suono ‘base’ (es:110 Hz): L = ½ λ ; λ = 2L; f = f0

1^ armonica superioreL = λ; f = 2 f0

2^ armonica superioreL = 3/2 λ ; λ = 2/3L; f = 3 f0

λ α f

3^ armonica superiore

L = 2 λ ; λ = ½ L; f = 4 f0

In una stessa corda si possono produrre contemporaneamente più vibrazioni,

ognuna con una sua λ e f caratteristiche.Ciò che hanno in comune sono i vincoli(o nodi) agli estremi fissati.

Il sonometro del Liceo MalpighiIl sonometro del Liceo MalpighiVista dall’altoVista dall’alto

Confronto con un sonometro antico: il sonometro differenziale di Marloye (Konig, Parigi, 1873)

http://www.phys.uniroma1.it/DipWeb/museo/acustica.htm

Elementi caratteristiciElementi caratteristici E’ composto da una cassa armonica sulla quale sono fissati tre regoli graduati: uno riporta le divisioni E’ composto da una cassa armonica sulla quale sono fissati tre regoli graduati: uno riporta le divisioni

corrispondenti alle note della corrispondenti alle note della scala cromatica temperatascala cromatica temperata musicale (basata sul LA3=435 Hz); un altro alle musicale (basata sul LA3=435 Hz); un altro alle frequenze della frequenze della scala cromatica naturalescala cromatica naturale; l'ultima (quella centrale) è un metro diviso in millimetri. Due corde ; l'ultima (quella centrale) è un metro diviso in millimetri. Due corde fisse sono montate fra cavalletti e messe in tensione da chiavi; una terza corda può essere posta al centro fra le fisse sono montate fra cavalletti e messe in tensione da chiavi; una terza corda può essere posta al centro fra le prime due, passando su una carrucola per poter essere tesa tramite un peso. Cavalletti mobili permettono di prime due, passando su una carrucola per poter essere tesa tramite un peso. Cavalletti mobili permettono di limitare la parte vibrante delle corde.limitare la parte vibrante delle corde.

Si possono riprodurre le note di un’ottava intera, sia in una modalità (temperata) che nell’altra (naturale)Si possono riprodurre le note di un’ottava intera, sia in una modalità (temperata) che nell’altra (naturale) Se si osserva con attenzione, le tacche corrispondenti a note uguali sulle due scale non sono sempre allineate Se si osserva con attenzione, le tacche corrispondenti a note uguali sulle due scale non sono sempre allineate

(es: La, Si), ciò significa che le frequenze dei due suoni non sono le stesse! Anche se, musicalmente, si scrivono (es: La, Si), ciò significa che le frequenze dei due suoni non sono le stesse! Anche se, musicalmente, si scrivono nello stesso modo nel pentagramma (rigo musicale).nello stesso modo nel pentagramma (rigo musicale).

Si possono verificare Si possono verificare 3 leggi sulle corde tese3 leggi sulle corde tese:: 1° legge della lunghezza1° legge della lunghezza: mantenendo costante la tensione il numero delle vibrazioni eccitate sulla corda in un : mantenendo costante la tensione il numero delle vibrazioni eccitate sulla corda in un

secondo è inversamente proporzionale alla lunghezza della corda.secondo è inversamente proporzionale alla lunghezza della corda.2° legge delle tensioni2° legge delle tensioni: il numero delle vibrazioni di una corda è direttamente proporzionale alla radice quadrata : il numero delle vibrazioni di una corda è direttamente proporzionale alla radice quadrata del peso che la tende.del peso che la tende.3° legge delle dimensioni3° legge delle dimensioni : il numero delle vibrazioni di una corda è inversamente proporzionale al raggio della : il numero delle vibrazioni di una corda è inversamente proporzionale al raggio della corda e alla radice quadrata della sua densità. corda e alla radice quadrata della sua densità.

Come mai ci sono due modalità? Come mai ci sono due modalità? Quando sono nate?Quando sono nate? Quando si usano o sono usate?Quando si usano o sono usate? Cosa centra la matematica nella loro costruzione?Cosa centra la matematica nella loro costruzione?

Qualità (o timbro) del suonoQualità (o timbro) del suono In base alla forma d’onda, i In base alla forma d’onda, i

suoni si suddividono in: suoni si suddividono in: a) a) semplici semplici

(es: diapason)(es: diapason) b) b) composticomposti (es: corde di uno strumento; (es: corde di uno strumento;

colonne d’aria)colonne d’aria)

Sovrapposizione di onde sinusoidali semplici = suono complesso (analisi di Fourier)

(b)

La lettera A sta al posto della nota LA(notazione anglosassone)

Notazione musicaleNotazione musicale In musica, più che di frequenze, si parla di note e di ottave, per posizionare le In musica, più che di frequenze, si parla di note e di ottave, per posizionare le

varie altezze (frequenze)varie altezze (frequenze) Negli spartiti le altezze Negli spartiti le altezze delle note si individuano delle note si individuano in base alla posizione in in base alla posizione in cui sono scritte nelcui sono scritte nel pentagramma.pentagramma.

Oltre alle 7 note di base, Oltre alle 7 note di base, esistono anche 5 suoni esistono anche 5 suoni intermedi, detti note ‘alterate’intermedi, detti note ‘alterate’ ( e ) che nel pianoforte ( e ) che nel pianoforte corrispondono ai tasti nericorrispondono ai tasti nerie hanno frequenze e hanno frequenze intermedie.intermedie.

1 ottava = 13 note e1 ottava = 13 note e 12 intervalli12 intervalli

Le scale musicaliLe scale musicali

Le scale musicali (successione ordinata di Le scale musicali (successione ordinata di suoni) sono costituite da una serie di note suoni) sono costituite da una serie di note corrispondenti a suoni di altezza progressiva, il corrispondenti a suoni di altezza progressiva, il cui numero e i cui intervalli si possono ottenere cui numero e i cui intervalli si possono ottenere in modi diversi.in modi diversi.

Nell’ambito storico dei sistemi musicali Nell’ambito storico dei sistemi musicali occidentali si susseguono in ordine di tempo: occidentali si susseguono in ordine di tempo:

1) scala greca (o pitagorica)1) scala greca (o pitagorica) 2) scala naturale ( o zarliniana)2) scala naturale ( o zarliniana) 3) scala temperata (attuale)3) scala temperata (attuale)

La scala pitagoricaLa scala pitagorica Per tradizione si attribuisce a Pitagora (500 a.C. circa) la costruzione di Per tradizione si attribuisce a Pitagora (500 a.C. circa) la costruzione di

questa scala, che avviene per quinte successive questa scala, che avviene per quinte successive (= armonica superiore di frequenza tripla della fondamentale). (= armonica superiore di frequenza tripla della fondamentale). Per riportare l'insieme di note ottenuto nell'ambito dell'ottava di partenza Per riportare l'insieme di note ottenuto nell'ambito dell'ottava di partenza

si divide la frequenza così ottenuta per 2si divide la frequenza così ottenuta per 2nn dove dove nn è il numero di ottave è il numero di ottave che si sono "percorse" dalla nota di partenza a quella di arrivo. che si sono "percorse" dalla nota di partenza a quella di arrivo.

Quinte 1 2 3 4 5 6

Suono basefrequenza f =1Es: Do

Rapporti tra Rapporti tra le le frequenzefrequenze

3:23:2 9:89:8 27:1627:16 81:6481:64 243:128243:128 729:512729:512

Note Note scalascala

SolSol ReRe La La MiMi SiSi FaFa

Frequenze scala pitagoricaFrequenze scala pitagorica Riordinando in 1 ottava si ottiene:Riordinando in 1 ottava si ottiene:

NotaNota DoDo ReRe MiMi FaFa SolSol LaLa SiSi DoDoRapportoRapporto

numericonumerico11 9/89/8 81/6481/64 4/34/3 3/23/2 27/1627/16 243/128243/128 22

frequenzefrequenze

In Hertz AIn Hertz A261261 293293 330330 348348 391391 440440 495495 522522

Questo sistema fu in vigore nell'Antichità e nel Medio Evo, sino a tutto il secolo XV, è eccellente per la musica monodica (canto "gregoriano") ma inadatto alla polifonia.

frequenzefrequenze

In Hertz BIn Hertz B 256256 288288 324324 341341 384384 432432 486486 512512

La scala naturaleLa scala naturale La necessità di una riforma della scala pitagorica era già stata sentita da Aristosseno La necessità di una riforma della scala pitagorica era già stata sentita da Aristosseno

(IV secolo a.C.) e riproposta da vari autori (tra cui anche Vincenzo Galilei), ma venne (IV secolo a.C.) e riproposta da vari autori (tra cui anche Vincenzo Galilei), ma venne ufficialmente codificata daufficialmente codificata da Gioseffo Zarlino (1517 – 1590),Gioseffo Zarlino (1517 – 1590), organista al duomo di S. organista al duomo di S. Marco a Venezia. Marco a Venezia. In definitiva a lui è attribuita l'invenzione della moderna In definitiva a lui è attribuita l'invenzione della moderna armoniaarmonia tonaletonale, , basata su due soli modi: il maggiore e il minore. basata su due soli modi: il maggiore e il minore.

La riforma consiste nell’uso dei suoni armonici che accompagnano il suono La riforma consiste nell’uso dei suoni armonici che accompagnano il suono fondamentale; dato che possiedono frequenza multipla secondo i numeri interi, fondamentale; dato che possiedono frequenza multipla secondo i numeri interi, l'intervallo naturale suona quindi puro, senza battimenti, ed è tanto più "piacevole" l'intervallo naturale suona quindi puro, senza battimenti, ed è tanto più "piacevole" all'ascolto quanto più è "semplice" il rapporto fra le frequenze dei suoni. all'ascolto quanto più è "semplice" il rapporto fra le frequenze dei suoni.

La conferma scientifica di tale effetto uditivo venne da Joseph Sauveur nel 1701.La conferma scientifica di tale effetto uditivo venne da Joseph Sauveur nel 1701.

La ‘base’ per la costruzione di tale scala sono gli accordi perfetti maggioriLa ‘base’ per la costruzione di tale scala sono gli accordi perfetti maggiori costituiti da 1 terza maggiore +1 terza minore = 1 quintacostituiti da 1 terza maggiore +1 terza minore = 1 quinta a cui corrispondono i rapporti 5/4 = 1,25 e 6/5 = 1,2a cui corrispondono i rapporti 5/4 = 1,25 e 6/5 = 1,2 solsol SiSi ReRe

5/45/4 6/56/5

Accordo di FaAccordo di Fa DoDo MiMi SolSol Accordo di SolAccordo di Sol

5/4 * 6/5 = 3/25/4 * 6/5 = 3/2 5/45/4 6/56/5 5/4 * 6/5 = 3/25/4 * 6/5 = 3/2

FaFa LaLa DoDo Accordo di DoAccordo di Do

5/45/4 6/56/5 5/4 * 6/5 = 3/25/4 * 6/5 = 3/2

Storicamente la scala naturale ebbe vita breve: da Zarlino a BACH!Il problema erano le note alterate…

Frequenze scala naturaleFrequenze scala naturale Riorganizzando le note e i corrispondenti rapporti all’interno di 1 ottava si Riorganizzando le note e i corrispondenti rapporti all’interno di 1 ottava si

ottiene la scala naturale:ottiene la scala naturale:

NotaNota DoDo ReRe MiMi FaFa SolSol LaLa SiSi DoDoRapportoRapporto

numericonumerico 11 9/89/8 5/45/4 4/34/3 3/23/2 5/35/3 15/815/8 22

frequenzefrequenze

In Hertz AIn Hertz A264264 297297 330330 352352 396396 440440 495495 528528

frequenzefrequenze

In Hertz BIn Hertz B256256 288288 320320 341341 384384 427427 480480 512512

La scala temperataLa scala temperata Il problema dei diesis e dei bemolle creava non poche difficoltà tecniche. Il problema dei diesis e dei bemolle creava non poche difficoltà tecniche.

Già Già Marin Mersenne (1588 – 1648)Marin Mersenne (1588 – 1648) nella sua “Harmonie Universelle” nella sua “Harmonie Universelle” aveva proposto un cambiamento, che poi venne attribuito all’organista aveva proposto un cambiamento, che poi venne attribuito all’organista Andrea Werckmeister (1645 – 1706)Andrea Werckmeister (1645 – 1706)

La novità consiste nell’aver unificato il diesis e il bemolle tra 2 note La novità consiste nell’aver unificato il diesis e il bemolle tra 2 note consecutive e nell’aver diviso l’ottava in 12 semitoni uguali, in consecutive e nell’aver diviso l’ottava in 12 semitoni uguali, in progressione geometrica, ciascuno dei quali è pari a 2 progressione geometrica, ciascuno dei quali è pari a 2 1/12 .1/12 .

Ogni rapporto tra 2 note successive vale quindi 1, 05946Ogni rapporto tra 2 note successive vale quindi 1, 05946……

NotaNota DoDo ReRe MiMi FaFa SolSol LaLa SiSi DoDoRapportoRapporto

numericonumerico 11 2 2 2/12 2 2 4/12 2 2 5/12 2 2 7/12 2 2 9/12 2211/12 2 2 12/12

frequenzefrequenze

In Hertz AIn Hertz A262262 294294 330330 349349 392392 440440 494494 524524

frequenzefrequenze

In Hertz BIn Hertz B256256 287287 323323 342342 384384 431431 483483 512512

La misura in cent degli intervalliLa misura in cent degli intervalli Il sistema logaritmico in base 2 per calcolare le frequenze delle note non è Il sistema logaritmico in base 2 per calcolare le frequenze delle note non è

comunque molto agevole.comunque molto agevole. Alexander Ellis (1814 – 1890) propose il cosiddetto sistema dei ‘cent’. Alexander Ellis (1814 – 1890) propose il cosiddetto sistema dei ‘cent’. 1 Cent = 1/1200 parte dell’ottava (di 2) = 1,00057775…= 2 1 Cent = 1/1200 parte dell’ottava (di 2) = 1,00057775…= 2 1/1200

1 Cent = 1/100 semitono temperato I semitoni temperati sono adatti a misurare la scala musicale temperata, i cents

sono idonei a misurare qualsiasi intervallo. Un buon orecchio musicale molto difficilmente apprezza differenze di altezza

inferiori a 8 cent; un’orchestra ben intonata tollera fluttuazioni di 10 cent.

NotaNota DoDo ReRe MiMi FaFa SolSol LaLa SiSi DoDo

RapportoRapporto

numericonumerico 11 2 2 2/12 2 2 4/12 2 2 5/12 2 2 7/12 2 2 9/12 2211/12 2 2 12/12

frequenzefrequenze

In Hertz In Hertz 262262 294294 330330 349349 392392 440440 494494 524524

frequenzefrequenze

In centIn cent00 200200 400400 500500 700700 900900 11001100 12001200

Confronti tra le varie accordatureConfronti tra le varie accordatureRAPPORTI DI FREQUENZA

NOTE

SCALACROMATICA

SCALA TEMPERATA Valorematematico decimale in cent

SCALA NATURALE

Valore matematico decimale in cent

SCALA PITAGORICA

valorematematico decimale in cent

DO 2⁰ 1.00000 0 1 1.0000 0 1 1.0000 0

Do ♯/ Reb 2 1/12 1.05946 100

RE 2 2/12 1.12246 200 9/8 1.1250 204 9/8 1.1250 204

Re♯/ Mib 2 3/12 1.18921 300

MI 2 4/12 1.25993 400 5/4 1.2500 386 81/64 1.2656 408

FA 2 5/12 1.33485 500 4/3 1.3333 498 4/3 1.3333 498

Fa♯/Sol b 2 6/12 1.41422 600

SOL 2 7/12 1.49831 700 3/2 1.5000 702 3/2 1.5000 702

Sol♯/ La b 2 8/12 1.58740 800

LA 2 9/12 1.68180 900 5/3 1.6666 864 27/16 1.6875 906

La♯/ Si b 2 10/12 1.78181 1000

SI 2 11/12 1.88776 1100 15/8 1.8750 1088 243/128 1.8984 1110

DO 2 12/12 2.00000 1200 2 2.0000 1200 2 2.0000 1200

Valutazioni quantitativeValutazioni quantitativesul sistema temperatosul sistema temperato

NOTE FREQUENZE FATTORE SCARTI RAPPORTO FREQUENZE SCARTI RAPPORTO

SCALAcromatica (in Hertz) decimale in Hertz o semitono (in Hertz) in Hertz o semitono

DO 3 256 s 1 0   261,6256 m    

Do# - Re b 271,2226 c 1,059463 15,22255 1,0594631 277,1826 u 15,55707 1,0594631

RE 287,3503 i 1,122462 16,12773 1,0594631 293,6648 s 16,48214 1,0594631

Re# - Mi b 304,437 e 1,189207 17,08674 1,0594631 311,127 i 17,46222 1,0594631

MI 322,5398 n 1,259921 18,10277 1,0594631 329,6276 c 18,50057 1,0594631

FA 341,719 t 1,33484 19,17921 1,0594631 349,2282 a 19,60067 1,0594631

Fa# - Sol b 362,0387 i 1,414214 20,31967 1,0594631 369,9944 l 20,76619 1,0594631

SOL 383,5666 f 1,498307 21,52794 1,0594631 391,9954 e 22,00101 1,0594631

Sol # - La b 406,3747 i 1,587401 22,80806 1,0594631 415,3047   23,30926 1,0594631

LA 3 o corista 430,539 c 1,681793 24,1643 1,0594631 440   24,6953 1,0594631

La # - Si b 456,1401 a 1,781797 25,60118 1,0594631 466,1638   26,16376 1,0594631

SI 483,2636   1,887749 27,1235 1,0594631 493,8833   27,71954 1,0594631

DO 4 512   2 28,73635 1,0594631 523,2511   29,36783 1,0594631

Il perno dell’accordatura musicale attuale è il La 3 ( o la corista) a 440 Hz.

Estensione musicaleEstensione musicale

La tastiera di un pianoforte presenta circa 7 ottave, dal La a 27,5 Hz La tastiera di un pianoforte presenta circa 7 ottave, dal La a 27,5 Hz a quello a 3520 Hz. La voce umana ha minor estensione!a quello a 3520 Hz. La voce umana ha minor estensione!

N.B. Limiti dellefrequenze udibili:20 – 20000 Hz !!!

ConclusioniConclusioni

La Matematica e la Fisica ci possono essere di grande La Matematica e la Fisica ci possono essere di grande aiuto per comprendere cosa si ‘nasconde’ dietro una aiuto per comprendere cosa si ‘nasconde’ dietro una sensazione sonora, ma non sopperiranno mai le sensazione sonora, ma non sopperiranno mai le sensazioni interiori che la musica evoca e esprime in sensazioni interiori che la musica evoca e esprime in modo così sublime! modo così sublime!

Fine